Wir waren jetzt gekommen bis zum Thema. Zentralprojektion, Projektionsgleichung. Richtig,
vielleicht setze ich an der Stelle wieder auf,
also was wir das letzte Mal hergeleitet hatten,
waren vor allem erstens, wir haben bewiesen, dass Fluchtpunkte existieren.
Zweitens haben sie ausgerechnet für typische Scharen von Fluchtpunkten. Oh,
mein Stoffeck ist weg, naja. Und dann uns überlegt,
wie wir die einfache Mathematik, die wir verwendet hatten,
nämlich alle Projektionen auszurechnen, bezogen auf das Projektionszentrum,
auf ein Koordinatensystem verankert im Projektionszentrum der Kamera,
wie wir das umrechnen können durch eine Kaskade von Transformationen,
um uns auf ein beliebiges Weltkoordinatensystem zu beziehen.
Also ich hoffe, daran haben wir es schon mal gesehen,
wie nützlich es ist, dass wir uns eben auf die Matrix-Notation, für Transformationsgleichung einlassen.
Und dass es wichtig ist, eine einheitliche Notation zu haben,
in welchem Koordinatensystem jeweils die Matrizen gelten.
Und typgerecht sollte immer das von wo nach wo transformiert wird,
zu denen passen, wie es hier weitergeht,
mit von wo nach wo transformiert wird.
Dann sieht man auf einem Blick der Gleichung an, ob das Ganze so gehen kann.
Wir haben dieses Konzept der Hauptfluchtpunkte eingeführt. Das waren diejenigen Fluchtpunkte,
die für geraden Scharen entstehen, die parallel zu den Hauptachsen unseres Weltkoordinatensystems sind.
Und da muss man eben bei den Bildern ein bisschen darauf achten,
wenn man Hauptfluchtpunkte auf ein Objekt bezogen auswerten will,
dass das Objekt sich dann auch mit seinen Hauptorientierungen so ausgerechnet ist,
ausgerichtet ist, wie es zum Weltkoordinatensystem passt.
Die Vokabeln eingeführt, 1.2.3. Projektionen, je nachdem,
wie viel Fluchtpunkte wir haben. Okay, dann geben wir mal,
ist an den Punkt, wo wir drüber sprechen können,
aber was die Eigenschaften der Perspektive sind.
Wenn wir gleich über die Eigenschaften der Perspektive als Abbildung sprechen und wie wir sie einsetzen können,
sollten wir auch noch mal in Erinnerung behalten, dass wir sowas wie,
ah, hier ist ja, wie ein Horitt, ... ähm,
äh, äh, äh, äh, äh,
äh, äh, o, äh, äh,
äh, äh, äh, äh, äh,
ä, ä, ä, ä, ä,
ä,
Die Aktie unseres Koordinatensystems liegt, wird einer der Spiegel
bildlich auf der anderen Seite, liegt von geraden erzeugt,
die senkrecht auf den Graden stehen, die diesen Fluchtpunkt haben.
Also sehr nützlich, wenn wir Bilder auswerten wollen,
Orientierung eines Roboters in einer Szene feststellen wollen und ähnliches.
Und die Entfernung der Fluchtpunkte vom Bild Mittelpunkt wird im Wesentlichen bestimmt davon,
was wir als Neigungswinkel hier haben und welche Brennweite wir haben.
Ja, das können wir auch daraus ableiten. Also wenn wir unsere Kameras kalibrieren wollen,
ist es eine gute Idee, Die Neigung und die Brennweite abzuschätzen,
aus der Position der Fluchtpunkte, die wir im Bild identifizieren können.
Okay, dann kommen wir mal zum Punkt Perspektivische Effekte.
Hier in der Computergrafik werden wir ja vor allem drüber reden,
wie können wir Abbildungen erzeugen,
die dann von unseren Betrachtern räumlich interpretiert werden können.
Und dazu ist es eben ganz nützlich, wenn wir wissen,
wie durch die Gesetze der Perspektive Bilder entstehen,
sodass dann die Betrachter auch wieder einen räumlichen Eindruck kriegen können
Über Fluchtpunkte und so weiter haben wir schon gesprochen, Hauptfluchtpunkte.
Ich möchte jetzt mal gern eingehen auf den Punkt perspektivische Elemente
in der Malerei, als das Ganze entdeckt wurde.
Ich weiß nicht, ob sie es auch so gelernt haben im Schulunterricht.
Ich jedenfalls, mir wurde eingebläut, die Gesetze der Perspektive
sind in der Renaissance entdeckt worden und dann wurden groß die Künstler der Renaissance gelobt.
Wenn man sich mal in den versunkenen Städten um Besuch umschaut,
die sind ja so um 9.,
circa 78 nach Christi oder so, in der Bulkanersche versunken.
Da finden wir Bilder, die ganz so aussehen,
als hätte sich jemand gemalt, der etwas von Perspektive versteht.
Die alten Römer kannten das eigentlich. Also das ist so
eine typische Villa von reichen Leuten. Was typisch ist,
für einen Mittelmeerraum, das ist da im Sommer viel zu heiß,
als dass man Fenster in der Wohnung haben möchte.
Andererseits mochte man dich in der Höhle ohne Fenster leben.
Also er hat mit Maler bezahlt, die einem dein Fenster reingemalt haben,
durch die man die Umgebung betrachten konnte,
wurde aber nicht durch die Sommersätze behändigt.
Und so, von dieser Art sind die Fenster, die wir hier sehen.
Also sie ist ganz typisch, Perspektive zu erkennen, Fluchtpunkt,
diese Graden hier laufen auf den Punkt in der Ferne zu.
Ja, eine typische, ein Punkt Projektion,
konstruiert um die Umgebung außerhalb zu zeichnen.
Also die Ollenrömer wussten, wie man perspektivisch zeichnet. Wahrscheinlich,
wenn man pingelig ist und mit einem Genialen rangeht und guckt,
ob das sich alles exakt in einem Punkt schneidet und so,
da wird man ein bisschen enttäuscht werden.
Aber sie konnten so zeichnen, dass es plastisch wirkt.
Und das ist dann aber leider lange, lange Zeit vergessen worden. Nachdem Pompelien,
Schutt und Asche versunken ist und die dunkle Zeit des Mittelalters kam,
hat in Europa niemand mehr so gemalt oder so malen können.
Und es kam dann wieder auf, ja, mit dem Beginn der Renaissance.
In der Zeit zwischendrin hat man eher bizantinisch gemalt,
so wie wir das hier sehen. Ein klarer Hintergrund,
vor dem die Figuren stehen und die sind alle ohne besondere Tiefeneffekte angeordnet.
Einfach klar vor dem Hintergrund, das ist das,
was das Publikum wollte überfürst, bezahlt hat.
Jetzt sind aber die Renaissance, in der Renaissance,
die Gesetze der Perspektive wieder entdeckt wurden, waren viele Maler gekniffen.
Sie wolltenten, dass ihre, dass ihre Bilder gekauft werden.
Das Publickt, das, weil sie wollen,
dass ihre deckten zeich, dass ihre Per Ve ät.
Und dann dahin, dass ihre moder Veten,
dass die deutlich, der Per ste deckt, dran.
Und so, dass die decken, wo wir das,
die deinten das nicht stät. Und äckt,
de sin dten, de de d, d,
de, d, de, dass, ähm. deckt,
d. Und das, d. Und dann de, de,
de, de, de de d,
dass d. Völ d d. de,
dass,
Jahre später war es dann aber so, dass sich durchgesetzt hat.
Klar, wir zeichnen perspektivisch und wir konstruieren perfekt. Und so um die Zeit,
als Raphael von Orbino gearbeitet hat, was gang und gäbe.
Ich glaube, Raphael von Orbino zumindest von den Bildern,
die übrig geblieben sind, ist der absolute Meister, der da,
er konnte besser zeichnen als ein Retreser, das heutzutage kann.
Das hier, wenn man in diese Bilder reinschaut,
es gibt dazu viele Publikationen, stellt man fest,
dass er es sogar geschafft hat,
Teile der Bilder so zu zeigen,
in dass sie eine andere Perspektive haben als andere.
Also wenn man direkt rangeht, kann man mit einmal Details sehen,
die mit anderen Projektionen gerechnet sind, als das,
was man sieht, wenn man weit weg steht.
Um unser Volkabellernen ein bisschen übersichtlicher zu gestalten,
vielleicht könnten sie versuchen, sich diese Grafik einzuprägen.
Das ist ganz witzig, als ich das Thema geprüft hätte,
was sind eine Projektionen und so weiter,
hat mir die Hochskizze dieser Form
eine Studentin während der Prüfung gezeichnet
Das fand ich sehr schön und habe es halt übernommen fürs Skript.
Erstmal haben wir gesagt, wir haben überhaupt Projektionen,
Abbildungen von vielen Dimensionen in weniger Dimensionen, jede Abbildung eines Vektorraums,
von höheren Dimensionen in einen mit niedrigeren Dimensionen wollen wir Projektionen nennen.
Dann haben wir Planna geometrische Projektionen. Ja,
das sind all die,
die in eine Ebene projizieren und zwar vom 3D in den 2D,
die Nicht-Planaren sind eben die,
die auf Kegel projizieren oder auf andere Flächen,
überlassen wir unseren Kollegen in der Geografie
Bei dem Planagiometrischen haben wir beim Vokabellern festgestellt,
wir haben einmal die Zentralprojektion,
eine perspektivische Projektion und haben da nur Unterschieden zwischen 1.2.3 Punkt,
je nachdem, nach der Zahl der Hauptfluchtpunkte.
Sehr viel weiter ausufern tut der Zweig der Parallelprojektion.
Da haben wir die Orthogonalen. Das waren diejenigen,
wo die Projektionsstrahlen senkrecht auf die Bildebene treffen.
Und da haben wir die verschiedenen Risse.
Wenn wir entlang einer der Hauptachsen projizieren und die Normal-Axonometrischen,
wenn wir Denkrecht auf die Bildebene projizieren,
aber nicht parallel zu einer der Hauptachsen.
Und dann hängt es davon ab, wie die unterschiedlichen Achsen verkürzt werden,
ob wir isometrisch, trymetrisch, der dimetrische Projektionen haben.
So, und dann die, die ein bisschen aufwendiger zu berechnen waren,
die schiefen Parallelprojektionen, Projektionsstrahlen treffen schräg auf die Bildebene.
Da haben wir uns nur zwei beliebte angeschaut,
für die man in der Frühzeit eben Schablonen kaufen konnte,
um die automatisch gut von Hand zu zeichnen.
Kavalierprojektionen und Kabinettprojektionen, die sich darin unterschieden,
wie stark Linien, die unter 45 Grad laufen,
verkürzt wurden
Okay, also das ist ganz witzig, wenn sie die
Übersicht verlieren. Wenn wir über das Betrachten von Projektionen,
von perspektivischen Projektionen sprechen, dann sollte man sich auch anschauen,
was unser Gehirn daraus macht. Wir sehen ja nicht unmittelbar,
dass wir es auf die Netzhaut trifft, sondern das,
was uns bewusst wird über Eigenschaften von dem,
was wir sehen, wird im visuellen Kontext verarbeitet.
Und der versucht hilfreich zu sein, aber manchmal irrt er sich.
Und genau aufgrund dessen Entstehen eben, Illusionen, ja.
Und Illusionen werden deshalb gern genutzt in der kognitiven Psychologie,
um rauszukriegen, was unser visueller Kortex vermutlich aus den Signalen auf der Netzzeug macht.
Also eine ganz klassische Illusion, die auf Zentralprojektionen zurückgeführt wird,
oder das ist die gängige Interpretation, ist diese.
Wir haben hier zwei Strecken. Und in der Urform der Folie
stand hier ein A und da ein B. Muss ich noch mal nachtragen.
Die sind irgendwie verschwunden aus dem Puss-Skriptfall.
Okay. Also tauchen wir denen mal A und den
Schauen Sie sie an und sagen Sie mir, welche Strecke länger ist.
Kennen Sie alle? Und was sind die Antwort?
Die obere, die Theorie ist, dass die obere einem
länger erscheint als diese. Also ich habe nur gefragt,
um zu sehen, ob das wirklich bei allen funktioniert.
Man kann sie halt versuchen häufiger mal ausprobieren. Warum erscheint
die obere länger? Weil... Also sie würde einem länger erscheinen,
wenn der visuelle Kortex das als räumlichen Effekt interpretiert,
wo wir hier rechte Winkeln haben.
Und hier Wände auf uns zukommen und diese Strecke in der Tiefe liegt.
Oder wenn wir hier einen Rechtwinkel oder Ähnliches haben,
so als wenn wir auf ein Dach drauf schauen und dann diese Strecke Dichte an uns dran ist.
So, wenn die auf der Netzhaut beide exakt gleich lang sind,
dann würde man davon ausgehen, dass eine Strecke,
die eben genauso lang aussieht wie die, aber uns näher ist,
dass sie in Wahrheit beiher kürzer ist und deshalb empfinden wir sie als kürzer.
Das ist eine der Interpretationen. Ja,
ich sage nicht, dass es so ist,
sondern dass es
das vernünftig erklären würde
Also wenn wir diese Situation hier als Kanka-Bekannte interpretieren,
nach hinten im Raum hin und die als Kondexe auf uns zugeneigt,
diese uns näher ist als diese, dann macht es eben Sinn,
wenn uns die als kürzer vermeldet wird,
wenn sie im Bild gleich lang aussehen.
Die ähnliche Interpretation, weil diese Anordnung von Quadern,
die haben jetzt vier Strecken, A, B, C,
D und fragen uns, Wenn wir A und C vergleichen,
welche von beiden die längere ist.
So, man es so fragt, ist natürlich sofort wieder
die Vermutung, sie sind in Wahrheit gleich, aber warum?
Aber ich möchte trotzdem mal fragen,
kommt irgendjemand diese Strecke hier nicht länger vor als diese?
Scheint also zu klappen mit der Illusion, ja?
Also bei allen Augen, alle Augen sind auf Einheitsmaß und vermelden
sie als länger als A. Ja, auch hier die Interpretation.
Das ist eine Strecke, die im Wesentlichen parallel zu uns
verläuft. Dieser Punkt ist nicht viel weiter entfernt als der
Also wir sehen tatsächlich die wahre Strecke ohne perspektivische Verkürzung.
Dieser Punkt scheint sehr viel weiter in die Tiefe zu gehen.
Und wenn wir jetzt diese lange Strecke hier sehen,
wird unser visueller Kortex das um eine angenommene perspektivische Verkürzung
automatisch kompensieren und uns erscheint diese Strecke sehr viel länger.
Ähnlich ist es mit den Strecken D und
Ich habe es mal hier an dem, wo bist du jetzt abgeblieben?
Nochmal? Das kennst du. Also früher kommt man das
immer auf dem Urwald-Projektor ganz gut machen und die rote Scheibe hier hin und her schieben.
Ich lasse das mal den Rechner machen. Also was man,
wenn man genau hinschaut, sieht, ist,
dass tatsächlich die Interpretation umschwenkt. In dem Moment,
wo das Recht etwas, exakt die gleiche,
rechtwinklige Form hat, den anderen betrifft,
wenn es eben näher kommt,
scheiß mit einmal
länger zu werden
Ja. Okay. Und die Illusion überhaupt zu diesem Thema
ist der bekannte Imsraum, der so gebaut ist,
dass man unter Ausnutzung der Perspektive dann für Theatereinrichtungen und ähnliches Illusionen erzeugen kann.
Also wir haben hier einen Punkt,
von dem betrachtet dieser Raum so aussehen würde,
als wäre die Person, die hier steht,
sehr viel größer als die Person,
die hier ist
Und in Wahrheit ist es eben nicht. Also die Perspektive,
die wir bekommen von genau diesem kleinen Löchlein, ist eben diese,
wir sehen Riesen hiervon, kleine Personen da hinten.
Und das funktioniert eben nur genau von diesem einen Punkt aus,
weil von dem Punkt aus gesehen hier zwei Linien oder
eigentlich vier parallel sind und parallel zur Bildebene erscheinen.
Das ist für unseren visuellen Kontext das Signal.
Alles ist exakt gleich weit entfernt. Und wenn es dann
unterschiedlich groß aussieht, wird es eben auch unterschiedlich groß empfunden.
Es wird nicht angenommen
Dass diese Person hier weit hinten steht und deshalb tatsächlich
die gleiche Größe hat wie da. Also das,
das Rätsels Lösung hängt hier exakt an den parallelen Linien,
die können wir uns gar nicht gegen wehren,
so interpretiert werden, als wären sie parallel zur Bildebene.
Also wir scheinen diesen angebauten Mechanismus zu haben,
der erkennt, wenn etwas parallel zu der Ebene ist,
auf die wir schauen und dann sagt ja,
alles ist gleich weit weg.
Und aus dem Wissen schöpfe ich eben die Annahme,
dass diese Person hier größer ist
Und was da hinter steckt, scheint so eine Grundarchitektur
zu sein, die in vielen Bildverarbeitungssystemen drin ist.
Wir werden es noch mal ansprechen, wenn wir über das Generalitätsprinzip reden.
Wenn wir Bildverarbeitungsprogramme schreiben, den Bild interpretieren sollen und wirklich
deuten, dann müssen wir die Projektion umkehren.
Rauskriegen, wie weit ist etwas weg? Und tiefen Hinweise
ausnutzen. Und viele versuchen heutzutage Bildverarbeitungssysteme so zu bauen,
wie man vermutet, dass unser Sehsinn das auch macht,
mich da reinzustecken, dass wir annehmen,
wir stehen nicht zufällig an einem Punkt,
von dem das nur gerade parallel aussieht
Das Generalitätsprinzip fordert, wir stecken die Annahme rein.
Kleiner Schritt zur Seite, rechts, links,
führt dazu, dass das Bild im Wesentlichen gleich aussieht.
Und wenn die Linien in meinem kleinen Schritt nach rechts,
links parallel bleiben, dann können wir davon ausgehen,
dass sie in Wahrheit auch parallel sind.
Ich habe ihn hier in meinem Paphree konstruiert, weil es
mir ein bisschen teuer erschien, in Selbst hier hinzubauen.
Ich lasse hier mal unseren kleinen Roboter spazieren und das ist
eben der Effekt, den man typischerweise hat.
Jemand bewegt sich entlang einer Wand und scheint dabei zu wachsen
Und Sie sehen, ich habe den Raum mit Absicht so konstruiert,
dass von der Stelle, wo die Kamera steht,
diese Linien hier alle genau parallel sind,
diese Linie und diese, und ich habe es vermieden,
die Wände zu texturieren,
weil das nämlich den Trick verraten würde.
Wenn wir es nämlich texturieren, Dann haben wir einen Widerspruch.
Die Linien sind immer noch parallel,
aber trotzdem klappt es nicht mehr, dass wir annehmen,
dass dieser Roboter wächst, während der da spaziert.
Dann erscheint tatsächlich seine, vielleicht nochmal,
hat so viel Rechenzeit gekostet, muss ich nochmal zeigen.
Mit der Textur im Hintergrund klappt es einfach nicht mehr,
ihn wachsen zu sehen, sondern wir sehen,
dass er näher kommt.
Und hier können wir auch eine Idee, wie der Raum konstruiert ist.
Also diese Ecke liegt sehr viel weiter hinten,
als diese hier vorne.
Und jetzt kommt nochmal von oben rein
Das ist schön. Da sieht man, wie schief ich
die Wände machen musste, damit das Ganze klappt.
Ganz zu Anfang steckt er auch mal seinen Ellenbogen durch die Wand,
aber im virtuellen Raum stört das alles nicht so.
Und hier können wir jetzt angucken, wie er konstruiert ist.
Dieses Rechteck ist das, was wir scheinbar sehen,
wenn wir genau von hier in den Raum reingucken
Dieser quadratische Raum. Und wir sehen scheinbar eine Wand,
die hier genau senkrecht auf der Projektionsachse steht.
In Wahrheit aber liegen die Wände so. Und was ich
nur gemacht habe für den dramatischen Effekt ist, auszurechnen,
wo entlang dieses Projektionsstrahls, der von dem Raum,
den ich indirekt zeigen wollte, ausgeht,
irgendwo habe ich hier einen Punkt gewählt und gesagt, na,
da lege ich in Wahrheit die Ecke der Wand hin.
Genauso hier für diese andere Ecke,
die habe ich ganz weit nach da hinten getan
Wir sehen aber scheinbar diesen Punkt hier,
weil eben die Projektionsstrahlen so liegen, dass die Verbindungslinie hier
in der Bildebene parallel ist zu der Projektion dieser Linie.
Und damit kann man solche Illusionen konstruieren.
Und das Ganze nochmal mit den eingeblendeten Konstruktionslinie.
Lass mal
alles gleichzeitig sehen können
Das ist so, okay. Also das mal als ein Ding,
woran wir denken müssen, wenn wir mit der Perspektive zu tun haben.
Und wenn wir witzige Effekte erzeugen wollen,
dann können wir uns natürlich mit Absicht bemühen.
Diese Gesetze im Moment zu verletzen. Ja, also so
eine kleine Impfraum-Szene einbauen, um die Zuschauer eines Films zu erschrecken.
Das kommt immer gut. Wir müssen nur nicht
die ganze Zeit machen, dann wird das Publikum verwirrt.
Diese Illusion, die soll Ihnen zeigen,
wie schwierig das ist für unser Sehsystem aus den Hinweisen,
die wir im Bild haben, eindeutig Objekte zu konstruieren.
Also zum einen kann eine Zeichnung so gemacht werden,
dass es gar keine sinnvolle physikalische 3D-Interpretation gibt.
Das ist bei diesem Bild, was nach Escher-Manier gezeichnet ist.
Ganz typisch, wenn wir lokal hier reinschauen,
dann sieht das hier Nachbarn wächst ein Winkeln aus.
Ja, und ist hier lokal, sieht nach Konfarven aus.
Aber wenn wir die Verbindungslinien verfolgen, dann kann es einfach nicht stimmen.
Eine Kante, die hier als Kontext beginnt, endet da als Konkar Bekannte.
Also so etwas kann schlichtweg nicht existieren. Eben nur als
2D-Zeichnung. Und sowas kriegt man im Wesentlichen dadurch hin,
dass wir Winkeln miteinander verbinden, die lokal gesehen,
eine andere Interpretation haben, als die,
mit denen wir sie verbunden haben.
Das war Escher, der viele, viele schöne Grafiken gemacht hat in dieser Art.
Aber es gab schon hunderte von Jahren vorher, Künstler,
die das konnten. Nur die haben es nicht mit Absicht angesetzt,
sondern sie Damit das Publikum nicht irritiert wird, wenn es die Bilder betrifft.
Von William Huggers sind einige Kupferstiche überliefert,
wo er genau diese Fehler eingebaut hat,
damit seine Lehrlinge gesehen haben, so bitte nicht.
Das ist so ein typisches Bild von Huggers. Ich habe
da leider nur eine ganz schlechte Kopie von finden können.
Also was man hier sehen kann, vielleicht treiben Sie ja mir das Original auf.
Das sind, das sind zum Beispiel hier ein Berg,
der in der Ferne sein soll,
da steht ein Raucher und der zündet sich seinen Pfeifline an.
Aber kriegt das Feuer von jemand, der auf der anderen Seite der Brücke,
also wirklich hunderte von Metern entfernt ist,
die zufällig die Flamme rüberreicht, ja?
Oder dieser Angler hier, der angelt in einem Teich,
der sehr, sehr weit entfernt ist, das kann also eigentlich auch nicht stimmen.
Und das Witzigste dieser Schütze hier, der Jäger,
der erschießten Ente oder ein Schwan, ich weiß nicht,
worauf er er zielt, auf der anderen Seite quer durch einen Brückenbogen.
Ja, das kann es, wenn man die Perspektive richtig rausrechnet,
kann es nicht gehen, weil da wäre die Wand im Weg.
Trotzdem glückt ihm das. Also solche Sachen sind perspektivische Fehler,
mit denen kann man in der realen Welt spielen,
aber also in der virtuellen Welt,
aber in der realen wird es
wenig sind
Klassiker von Escher, wo wir endlos Schleifen haben. Hier diese Treppe,
die immer hinaufführt, aber im Wesentlichen kommt man nie oben an.
Oder der Wasserfall, der hier in einer Ebene fließt,
wenn man das perspektivisch richtig rückgerechnet,
aber trotzdem mit einmal hier in gewaltigen Höhenunterschied erreicht,
obwohl er in einer Ebene bleibt.
Ja, er bleibt in dieser Dachebene.
Kann also auch nicht gehen. Und die knappste Abstraktion von
all dem ist das Pen-Rose-Trial-Engel.
Kennen Sie es auch
Genau, ne? Ein unmögliches Objekt. Hier im Kreis
geschlossen mit allem, was Escher so gut konnte,
aber das Schöne an dem ist,
das kann man tatsächlich in 3D nachbauen.
Ich habe sie mit Pafre gezeichnet, also mit Pafre
3D modelliert. Es gibt es also als 3D-Objekt.
Genau. Wir können es mal in spezieller Ansicht anschauen.
Und da kann man ja schon sehen,
wo die Schummelei ist
Das Dreieck ist, erscheint eben dadurch als geschlossenes Objekt,
weil wir wieder in einem speziellen Punkt stehen und genau an
diesem speziellen Punkt treffen sich die Linie zu einem Winkel,
sodass es auf der Netzhaut falsch erscheint.
Also in Wahrheit sieht das Teil eben so aus
Und der Film endet gemeinerweise genau vor dem entscheidenden Punkt,
der das Repeat hier nicht klappt. Gucken, ob ich
den Quicktime-Player zum Cycle bringen kann. Das Erstaunliche ist,
wenn man das wirklich schnell sehen kann,
das Objekt scheint sie in dem Moment, wo die beiden Arme sich treffen,
zu verformen, weil dann die Interpretation umschaltet.
Okay, gut. Ja, und wir können beliebig komplizierte Objekte zeichnen,
solange wir eine reine Liniendarstellung haben,
die in Wahrheit auch nicht so existieren können,
jedenfalls nicht unter der Annahme, dass Dinge,
die durch geradlinige Linien begrenzt sind in Wahrheit,
Ebene Flächen als Seitenflächen haben.
Kannst diese Objekte, kann im Raum existieren,
als ein Objekt mit ebenen Seitenflächen, sondern die sind alle gegründet.
Oh ja, die Bilder hat mir Werner mitgebracht und
die haben wir vielleicht tatsächlich noch nicht gesehen.
Er hat einen Pflastermaler zugeschaut, der Bilder auf Pflaster
gemalt hat und dann fleißig bei der Gelegenheit fotografiert.
Ich mache es mal einen Tick dunkler hier,
dass wir jemand was auf der Fensterbank liegen.
Und betrachtet aus einem bestimmten Blickwinkel,
sehen wir dann mit einmal tatsächlich das, was auf Pflaster gemalt ist,
zum Leben erwachen und direkt vor einem liegen.
Und es kommt dann bei solchen Zeichnungen immer darauf an,
dass man an genau der Stelle steht, wo es wirkt.
Und da können wir uns gar nicht dagegen wehren, ist plastisch zu sehen.
Also zum Beispiel hier dann von bestimmten Blickwinkel aus scheint die Ruhe
Die Nase balanciert zu haben, die da echt herumliegen.
Oder es ist ein Loch, wo man meint, reinfallen zu können,
wo dann auch noch ein kleines Bötchen schwimmt und spiegelt.
Denn aufgeklappt, der Riesen-Lektop, der mit einmal aus dem Pflaster wächst.
Oder eine Stolperfalle, die scheinen auch alle mit Absicht hier auszuweichen.
Dann brauchst du natürlich große Malzstifte für sowas, ne?
Wie sieht das jetzt aus,
wenn man von der anderen Seite drauf ruft,
der wird das doch überhaupt nicht mehr plastisch aussehen?
Überhaupt nicht. Von der anderen Seite kriegen wir gleich
Er versucht sich irgendwann am Selbstporträt, muss echt hingucken,
um zu sehen, welches das echte ist.
Und gucken wir mal gleich ein Bild von einer anderen Seite.
Dauert noch ein bisschen. Hier entsteht das Loch, noch
größeres Loch. Er versinkt drin, hinter dem Berg.
So, und hier ist mal von der anderen Seite geguckt.
Jetzt können Sie mal raten, was es denn sein soll.
Also wenn Sie das auf der falschen Seite in die Einbahnstraße
runterkommen, entgeht Ihnen viel.
Da sehen Sie einfach
nur so langgezogenen
Fuß, Fuß, genau. Und wir erwarten,
sie wird der Fuß aussehen, wenn man von der anderen Seite guckt?
So eine Frau, ja. Und um den Beckenschnitt.
Das ist eine einzelne Frau. Wir Frauen hier bei
so viel nackter Hautwunsch, deine Frau, ne?
So, von der anderen Seite, ja?
Und der Künstler pflanscht sogar. Also die Effekte müssen
sehr übertrieben sein, damit das Ganze funktioniert.
Wir können jetzt nochmal gucken, ob wir die anderen Sachen,
die auch hingezeichnet sind, jetzt im Bild wiedererkennen.
Den Ball, die Badelatschen, den Cocktail und
die Cola.
Und das Gummiändchen
Ist schwer zu erkennen, ne?
Also das ist extrem schwierig, sowas überhaupt zu zeichnen.
Und das erfordert also sehr viel Übung und Planung.
Aber Kulissenmaler im Theater, die können sowas. Nicht schlecht.
So. Ja. Jetzt gehen wir mal zur nächsten Kamera über.
Wir hatten ja das Bild der Lochkamera gehabt. Ach so
, die musste ich ihm das nächste Mal noch zeigen.
Ich habe sie wieder vergessen mitzubringen. Aber die gucken uns
dann das nächste Mal Mittwoch an. Die Lochkamera,
die erzeugt eben nur scharfe Bilder, wenn das Loch extrem klein ist.
Ja, und je kleiner das Loch ist, desto geringer ist sie Lichtintensität.
Also das Schärfste und beste Bild wird die Kamera erzeugen und
das Loch unendlich klein, ist wohl gar kein Licht durchkommt.
Und da haben wir nicht viel von. Und wenn wir
das Loch vergrößern, wird das Bild immer unschärfer.
Deshalb ist die gängige Technik heutzutage, dass wir anstelle des Loches
eine Linse reinsetzen. Bloß mit der Linsenkamera haben wir Probleme,
dass wir die Linse jeweils in eine bestimmte Entfernung von der Bildeebene bringen müssen,
damit wir scharfe Bilder kriegen, sonst wird es eben unscharf.
Das kennen wir von der Kamera, dass sie ein Einstellring haben,
wo sie die Entfernung hin und her schieben können.
Für eine Linse, die gleiche und kennen sie sicherlich auch noch aus dem Physikunterricht.
Da ist eben die Bildweite, für die das Bild scharf erscheint,
eine Funktion der Gegenstandsweite, wie weit ist das Objekt entfernt.
Und die Abbildungsgleichung jetzt für eine theoretische, perfekte,
dünne Linse, was ist eine dünne Linse?
Erstens ist sie dünn. Und zweitens eine Linse und drittens
ist es eine, die genau diese Gleichungen erfüllt.
Also wenn das Objekt sich in der Entfernung S von der Linse befindet und das Bild scharf ist,
dann befindet sich die Bildebene in der Entfernung erstrecht von der Linse
und es gilt eins durch S plus 1 durch S Strich,
ist eins durch F, das die Brennweite der Kameras.
So, das heißt, wenn wir mit realem Linsen arbeiten,
dann können wir nur das gleichzeitig scharf abbilden,
was in derselben Entfernung von der Linse ist.
Was näher dran ist, erscheint uns scharf,
was weiter weg ist, erscheint uns scharf.
Und führen wir gleich
Dass diejenige Ebene senkreich zur optischen Achse, deren Punkt über einer gegebenen bildweite,
es strich auf der Bildebene scharf abgebildet werden.
Gut, mal ein Beispiel. Eins. Irgendwo auf
der Welt habe ich immer diese Blüte hier fotografiert,
was man eben gut sehen kann.
Ich habe auf diesem Bereich fokussiert, da erscheint es einigermaßen scharf,
wenn auch nicht so scharf ich mir gewünscht hätte.
Aber die Blüten, die weiter entfernt sind, die verschwimmen.
Ja, das Objekt scheint irgendwie hier freigestellt zu sein.
Und viele Fotografen lieben genau diesen Effekt und spüren damit
Sätze es bei der Fotografie gezielt ein. Und deshalb werden wir
uns nachher auch anschauen, wie wir das in Parfum nachbilden können.
Für Pofrey mit seiner Lochkamera-Mathematik würde sonst alles gleich scharf ausscheinen.
Erscheinen ja alles, egal in welcher Entfernung es ist.
Du kannst den Pofrey nachbauen, dass man diesen Effekt hinkriegt.
Kostet da ein bisschen mehr Rechenzeit. So ist es,
wenn man sich die Gleichung für die dünne Linse anschaut,
dann meint man,
es gibt nur exakt einen einzigen Punkt in der Welt,
wo der Schaf abgebildet werden würde und alles andere nur ein paar Schritte daneben erscheint sofort und scharf,
so ist es nicht.
Was geschieht, wenn wir uns von der Einstell-Ebene entfernen,
wo wir einen Punkt durch die Linse bei gegebenem Durchmesser als ein Punkt abgebildet kriegen würden?
Ja, das ist, dass der Bildpunkt größer wird.
Es ist nicht mehr ein Punkt, sondern er wird zu einem Verstreuungskreis.
Und da wir jetzt aber die Bild-Ebene nicht beliebig dicht abpassen können,
sondern nur eine begrenzte Zahl von Pixeln haben oder wenn es ein echter Film ist,
so wie es früher war, Endliche Zahl von Filmkörnern,
dann erscheint uns das Bild noch scharf,
solange dieser Zerstreuungskreis nicht größer ist als der Abstand der Pixel,
die wir haben.
Das heißt, wir könnten einen Bereich auswählen oder bei jeder
für jede Brennweite und Entfernung einen Bereich angeben,
indem wir sagen, was in diesem Intervall ist hier.
Und je nachher. Das erscheint noch scharf,
weil der Zerstreuungskreis klein genug ist,
dass er nur auf einen Pixel der Bildebene fällt
Dann können sie sich leicht mit ein bisschen strahlen,
satz die folgenden Gleichungen hierher leiden, will ich jetzt nicht machen,
aber wir schauen uns einfach mal das Endergebnis an.
Also was eingeht, ist einmal das Verhältnis,
das Größe des Verstreuungskreises im Verhältnis zum Durchmesser unserer Linse.
Wir sehen der Geometrie schon an,
wenn wir die Linse sehr klein machen, im Grenzfall wie ein Loch,
sind die Zerstreuungskreise, die hier hinten entstehen,
auch wenn es sich eben auch nur ein einzelner Punkt.
Aber wir wollten über ein lichtstarkes Objektiv haben,
also machen wir die Linse größer und proportional zum Durchmesser,
wie wir die Linse hier vergrößern,
ändert sich hier hinten auch Der Durchmesser ist der Streuungskreises.
Ist also schon völlig klar. Wenn wir den Sinn sind,
Durchmesser verdoppeln, haben wir auch doppelt so große Zerstreuungskreise hier und der Bereich,
in dem wir scharf sehen können, wird eben kleiner.
Das ist dieses Verhältnis hier,
können wir ausrechnen über die Länge der Strahlen, die wir hier haben,
x den Abstand zwischen der Bildebene und der Linse zu dem Abstand der Linse.
Von der perfekten Bildebene. Und das Zweite, was eingeht,
ist die Brennweite, dass nämlich diese Distanz hier, Blinse,
bis zur Bildebene, das ist unsere Brennweite der Kamera.
Und das zeigt uns eben auch, wenn da ein langbrennweitiges Objektiv haben,
also die perfekte Bildebene im Verhältnis zur Kamera,
zur Linse, der Abstand.
Sehr lang ist, dann wächst proportional dazu eben auch die
Größe des Zerstreuungskreises. Das ist, können wir einen.
Also so zusammenfassend, Durchmesser als Zerstreuungskreis,
es ist umgekehrt proportional zur Bildweite
Die proportional zum Durchmesser unserer Blende oder Appatur.
Also wenn Trick beim Fotografieren, ihr habt das Wort Blende
nicht eingeführt, aber ich denke, das kennen sie.
Normalerweise haben wir eben die große Linse und das ist die maximale Öffnung,
die wir kriegen können, durch die Licht einfällt.
So, wenn wir jetzt sehr, sehr viel Licht haben,
können wir eine Blende davor schließen und das Loch kleiner machen,
damit erkriegen wir dann eine kleinere Öffnung,
Appatur und damit eine größere Bildschärfe in einem größeren Bereich
Einfach mal mit verschiedenen Abmessungen untereinander gezeichnet. Also kleinere Appatur
und entsprechend ist ja statt Streuungskreis hier hinten kleiner.
Und wenn wir diese Entfernung hier vergrößern, dann würde eben auch wachsen.
Also rein logisch steht das, aber ich verstehe nicht,
was für ein Essstritt, was ja die Rennweite angeht.
Wie sich das jetzt letztendlich auf unseren Verstreuungskreis ausgibt
Insofern weiter weg von Kuschelrich. Gut, wir ziehen das
in Gedanken einfach mal auseinander. Bei größeren S-Strich hier wird
diese Distanz hier kleiner, weil dieser Winkel hier kleiner wird.
Vergleichsweise, ne? Das ist einfach dadurch wird das Ganze flacher.
Kann man, so wie es hier unten gezeichnet ist.
Gut, halten wir noch mal fest,
also bei der realen Linse interessiert uns eigentlich in der Praxis
nur eine Unschärfe, die wir wahrnehmen können.
Und wir können sie nicht wahrnehmen,
wenn diese Zerstreuungskreise kleiner sind als die Pixel,
die wir haben
Und, oder eben die Filmkörner. Und deshalb kann man immer
ein ganzes Intervall angeben, wo einem etwas scharf erscheint.
Und da kommen wir zur nächsten Definition.
Wir können jetzt nämlich sagen, was Nah- und Fernpunkt sind.
Das sind die Ebenen, mit denen wir den Bereich begrenzen,
indem sie Objekte befinden können, die scharf abgebildet werden.
Also wenn wir die Mitte dieses Bereiches scharf abbilden,
dann können wir da zwei Ebenen angeben,
die wir davon entfernen und nah entfernt bringt.
Und die geben einen, was gerade auch noch scharf ist.
Also das sind dann die Nachpunktsebene und Fernpunktsebene
Das sind... Und deren Schnittpunkte mit der optischen Achse heißen Nahpunkt und Fernpunkt.
Die geben das Intervall an, indem wir scharf sehen.
TN, der Nahpunkt und TF, der Fernpunkt.
Und die Tiefenschärfe ist dann der Abstand zwischen die Fernpunkt und
den Nahpunkt. Kommen wir zu einer weiteren Begriffsverwirrung,
die ich auch gar nicht auflösen kann,
wenn sie sich 100 Fotobücher ausleihen und versuchen,
anhand dieser 100 Fotobücher herauszukriegen, wann man Tiefenschärfe und für meinen Schärfentiefe sagt.
Das ist einfach nicht rekonstruierbar. Ich habe eine Abstimmung genommen
und habe mich dann für mein Physikbuch aus dem
Beim Physikstudium entschieden, da ist der Begriff Tiefenschärfe gewählt worden.
Wir können Nahpunkt und Fernpunkt angeben. Das ist für die Umkehrung wichtig,
nämlich für die Bildverarbeitung. Wenn wir aus der Schärfe oder Unschärfe,
die wir im Bild sehen, erschließen wollen,
wie weit ist etwas entfernt, dann ist es gut zu wissen,
was war die Brennweite der Kamera, was war die Öffnung,
dann weiß ich, wo der Nah und Fernpunkt ist.
Und wenn ich dann etwas scharf sehe, weiß ich,
die Entfernung ist beschränkt auf den Bereich zwischen Nahpunkt und Fernpunkt.
So, und wenn wir jetzt den größten,
zulässigen Durchmesser eines Streutkreises nehmen Delta, dann können wir den Nachpunkt ausrechnen,
als das Verhältnis von bildweite zum Durchmesser mit Delta multipliziert durch Geplus Delta.
Gut. Und in der Computergrafik umgekehrt wollen wir
das Einsetzen zur Bildgestaltung, um Dinge vom Hintergrund abzuheben.
Also mit stark strukturierten Hintergrund hat und der störte,
man kriegt kein vernünftiges Bild hin, dann ist immer der übliche Trick,
Wir reißen die Blende auf, soweit wie möglich.
Und dann ist der Hintergrund weg. Muss man die Kamera aber
ruhig halten. Es beliebt für Porträts, um sie freizustellen.
Bei Porträts und ähnlichem Teleaufnahmen kommt was Zweites dazu.
Wenn wir mit dem Tele arbeiten, ist der tiefenschärfen Bereich
einfach kleiner. Und da muss man besonders sorgfältig fokussieren.
Also das Ziel ist meistens, man versucht zumindest,
ist die Augen der Objekte scharf zu kriegen.
Und das kann, wenn man eine lange Brennweite hat und
keinen guten Bildstabilisator bei Freiheit,
Aufnahmen ziemlich tückisch sein
Dagegen, weil Landschaftsbildern macht man die Blendende immer schön zu,
damit man eben Vordergrund, Hintergrund alles scharf sieht.
Okay. Was ich jetzt gezeigt habe,
sind die Linsen oder Gleichung für die Linsen,
wie wir sie kennen, wie wir sie in Fotoapparaten haben.
Eigentlich kann man festhalten, alles kann als Linse wirken,
was in der Lage ist, Licht strahlen zu können.
Bei der Linse ist es eben das Brechen des Lichtes im
Glas der Linse, das dazu führt,
dass wir diesen gekrümmten Lichtweg kriegen und damit alles auf
einen Brennpunkt zuläuft.
Im Weltall
Finden wir gelegentlich große Ansammlungen von Massen. Und wir wissen,
dass eine sehr starke Masse, Lichtstrahlen auch krümmen, gründen kann.
Und was wir hier sehen, ist die Abbildung durch eine Gravitationslinse.
Eine intensive Masse, Niquasa, der sich hier befindet. Und wir sehen Galaxien,
glaube ich, da mal den Astronomen,
die wir eigentlich nicht sehen dürften,
weil sie nämlich sich hinter diesen Quaser befinden,
aber durch sein Schwerefeld, das wie eine Linse wirkt,
den wir hier diese merkwürdigen Schlangenlinien, verzerrte Abbildungen von Galaxien,
die allesamt in der Form Also so nicht aussehen würden,
wenn der Quarser nicht im Weg wäre und das die Abbildung verändern würde.
Gut. Gucken wir mal, was wir an Projektionen im Poffrey
haben für unsere Übung, was wir da so einsetzen können.
Solange wir nichts weiter bestellen, haben wir eine Kamera vom
Typ Perspective, das ist ja default.
Wir können aber auch Parallelprojektionen damit machen. Die kriegen wir
durch Authographic. Und wir können verschiedene Arten von Weitwinkelprojektionen machen,
mit denen wir beispielsweise auf eine Kuppel abbilden können.
Das wäre die Omnimax-Projektion. Wir können eine Fischei-Projektion machen
Panorama-Projektion, dann wird eben entlang eines Zylinders um uns herum.
Das Bild projiziert, man muss es bei der Wiedergabe deiner
nur tatsächlich so projizieren, sonst sieht es komisch aus.
Die anderen Kameraparameter kennen wir schon aus den Übungen,
wir hatten gesprochen mit Location, können wir sagen,
wo die Kamera steht, mit Look at,
einen Punkt angeben, der auf der optischen Achse legen soll.
Wir können den Öffnungswinkel angeben und wir können zusätzlich noch,
habe ich bisher verschwiegen,
die Öffnung selbst angeben und den Punkt angeben,
auf den wir fokussieren.
Und damit können wir
die tiefen Schärfe steuern
Mhm. Ja, um dem... Nee,
Max ist die Projektion, wo der Projektor in der Mitte steht,
senkrecht, nach oben auf eine Kugelgewölbe über uns projiziert,
sodass wir rings um, dass wir scheinbar mitten in dieser Welt sitzen.
Ja? Also man,
das simple zum Beispiel von der Art haben wir schon durchgerechnet, ne,
Zentralprojektion, wir stehen an der Stelle 4 mal Y vom Ursprung weg,
gucken direkt auf den Ursprung und haben einen Öffnungswinkel von 60 Grad.
Ja, linker, rechter Bildrand, die nehmen,
der Bereich nimmt einen Winkel von 60 Grad ein.
Damit können wir so eine normale Kamera gut projizieren.
Wir haben ein paar Möglichkeiten, mehr zu tun.
Also wir können vor allem, wenn wir Parallelprojektionen machen wollen,
aber auch sagen, unsere Bildebene steht schief.
Und damit simulieren, dass wir auf eine schräge Bildebene projizieren.
Das können wir dadurch angeben, indem wir ab und reit Vektor
zueinander in eine Beziehung setzen, die nicht senkrecht auf der Bildebene steht.
Ansonsten ist das... Sind die Parameter für uns sonst nicht so wichtig?
Das sind eben die, die wir schon kennen. Ach so,
der Abvektor ist noch wichtig, wenn wir eine Kamera haben wollen,
die mit unserem Gefährt, mit dem wir unterwegs sind, mitfährt.
Also wenn wir uns vorstellen,
dass wir eine gekippte Kamera haben wollen und dabei die Kamera um die optische Achse drehen wollen,
dann können wir den Abvektor irgendwo anders hin zeigen lassen und damit eine Kamera erzeugen,
die eben 180 Grad gekippt ist oder so, ne?
Und wenn man jetzt Fehler macht mit dem Ab und reit weckte,
dann kann es einem passieren,
dass man damit implizit das Koordinatensystem versucht
Ein rechtshändiges wandelt. Es kommt nämlich schlichtweg darauf an,
wie man seinen Reitvektor auf den Abvektor setzt.
Wenn wir dem zur anderen Seite zeigen lassen, dann haben wir mit einmal eine Welt,
in der wir ein rechtshändiges Koordinatensystem haben. Gut. Zentralprojektion,
etwas größerer Öffnungswinkel, also das alles nicht so faszinierend,
aber einfach, um mal das Bild dafür zu sehen ist,
also die Standardzentralprojektion, die wir sie kriegen,
wenn wir eine Abbildung nehmen,
wie sie so typischerweise eine Knips-Kamera hat,
ohne dass man großzügig kriegt man solche Bilder, ja?
Jetzt nehmen wir mal eine, stattdessen die Ottogenalprojektion, Schlüsselwort Assographic.
Damit kriegen wir also eine Parallelprojektion und die Lage der Bildebene
geben wir durch die Ab- und Reitvektouren an und damit
können wir eben auch schiefe Projektionen machen.
Okay. Und dann kriegen wir eben die Projektion,
wie erwartet, eine zueinander parallelen Graden werden im gleichen Verhältnis verkürzt.
Diese hier weniger als die, die hier in die Tiefe gehen.
Nehmen wir mal ein Fischauge, 180 Grad Winkel,
extremes Weitwinkelobjektiv
Ja, das habe ich jedoch, Sonderheiten gemacht mit dem Reitwinkel,
Breitwegweckte ein bisschen die Richtung geändert, ein Abweckter.
Das ist so wichtig. Gucken wir uns mal das erzeugte Bild an.
180 Grad. Fällt Ihnen an diesem Bild was auf?
Oder ist etwas unerwartet? Also die Fischaugenprojektion ist keine reine Zentralprojektion.
Kann sie nicht sein, weil wenn wir 180 Grad haben,
dann kriegen wir nichts mehr zum Schneiden.
Also eine reine Zentralprojektion können wir, können wir nicht verwenden,
um ein Fischei zu haben. Und damit ist eine wichtige Eigenschaft
verloren gegangen, die die Fischeibprojektion hat gegenüber der Zentralprojektion.
Wenn wir auf diese Linien hier schaut.
In der realen Welt sind dieses Jahr ja gerade, ja.
Und bei der Zentralprojektion können wir uns darauf verlassen.
Geraden werden verkürzt, aber die bleiben gerade im Bild.
Also der reinen Mathematik, der affinen Transformation,
der Zentralprojektion, bleibt eine gerade, eine gerade.
Das Fischei hat eine Verzerrung mit eingebaut in die Projektionen,
die dazu führt, dass wir Dinge,
die sich 180 Grad von uns entfernen,
dass die noch ins Bild abgebildet werden,
über diese Verzerrung führt eben dazu, dass es keine Graden mehr sind.
Also in dem Bild sitzen wir auf einem,
direkt auf einem der Kullern in diesem Würfel.
Achso, muss nicht an dem zeigen. Irgendwie auf dem Kuller hier sitzt,
die wir uns schauen, auf die gegenüberliegende Seite.
Und damit sehen wir eben die Linien,
die direkt von uns ausgehen, als gekrümmte Linien.
So. Wir können mit Parfresk, Geometrie das Fischauge bis
360 Grad treiben
Und selbst auf dem Bauchnabel schauen, während wir da sitzen.
Und damit wird dann dieser eine Punkt,
auf dem wir sitzen, zu diesem Kreis hier verzerrt.
Und natürlich geraden bleiben nur diese drei Linien, alles andere wird gekrümmt.
Nochmal zurück auf den Frankfurt. Bin ich bei dem Beispiel
davor, dann wäre Angel 180, glaube ich.
Angel, ja? Genau. 180. Und wenn wir jetzt
statt Fish-Eye-Perspektiven schreiben, kann er das auch,
dann kommt ja so ein zweites Telefon zu dem Fisch-Eye.
Ich habe es nie ausprobiert, exakt 180 zu nehmen,
aber dicht dran. Also die Zentralprojektion, die wird,
probieren Sie es einfach mal aus und sehen Sie, ob der Rechner abstürzt.
Ja, also man sollte eigentlich nichts mehr sehen können bei 180 Grad.
Ich habe gleich ein Bild und man sieht, wie die Zentralprojektion unangenehm wird,
wenn wir da einen Engel von mehr als Em.
Ja. Okay. Ja, das, was,
habe ich jetzt hier? Ach so, die Omnimax-Projektion,
hätten Sie ja nachgefragt, ne? Ja, haben wir
auch einen Öffnungswinkel von 360 Grad genommen und wirklich alles sehen zu können, gucken.
Nach oben und sind schon gemacht. Dann kriegen wir eben so
ein Bild, ja? Und wie oft brauchen wir einen Projektor,
der dieses Ganze direkt um,
wir stehen irgendwo in der Mitte einer Kugel und um uns herum
wird dieses Bild projiziert durch den Omnimax-Google-Projektor.
Und dann kann man auf diese Weise eine Szene rendern,
in der man selbst
drin steht
So ist das gemeint. Aha, bewegte Kamera. Gut.
Also das ist, haben wir zu der Zeit gemacht,
als wir noch nicht sehr große Rechenleistungen hatten.
Deshalb ist die Auflösung hier ein bisschen klein.
Aber trotzdem spielen wir. Guck mal, ob wir
Ton haben
. . . . . . .
Also bei solchen Themen brauchen die dann aber den Abwechsler,
damit die Kamera sinnvoll zeigt
Tschüss. Das Team hatte in dem Semester
den Preis für die beste Kameraarbeit bekommen
Gut, ich habe hier mal einige Beispiele gerechnet,
mit verschiedenen Öffnungswinkeln für die Zentralprojekte, damit man verstehen kann,
warum es jenseits von 90 Grad meist Alternativen gibt in der Computergrafik.
Also wir wissen ja von der Zentralprojektion, geraden bleiben gerade.
Aber andere Formen, die können eben performt werden,
je weiter sie zum Rande kommen.
Also hier perfekte Kreise, die erscheinen weiter zum Rand
hin durch die perspektivische Verzerrung
schon als Elipsen
Und wenn wir den Öffnungswinkel sehr viel größer machen,
ich habe ihn immer auf 170 Grad für diesen Sternenhimmel genommen.
Das ist einfach unangenehm. Mit den Bildern kann man echt nichts mehr anfangen.
Und wenn er schon bei 170 Grad so saumäßig aussieht,
bin ich ehrlich gesagt nie bis 180 gegangen.
Hier die Frage war. Also diese Verzerrungen sind unerträglich.
Und stattdessen kann man gut disphärische Projektionen nehmen,
die sind Parfrae auch drin.
Und mit der sphärischen Projektion wird selbst beim Öffnungswinkel von
170 Grad alles zum Rand hin noch
Einigermaßen kreisförmig aussehen, ja. Jedenfalls so,
dass man die Sternenbilder hier noch erkennen kann. Gut,
wenn wir jetzt Fokussierungsunschärfe in Pafre hinkriegen wollen für die Zentralprojektion,
dann können wir das eben durch diese beiden Parameter.
Arpache und Vogelpoint machen, ja. Wo ist der Brennpunkt
der Kamera und welche Öffnung haben wir? Und da muss man
ein bisschen mitspielen und sich dann anschauen, wie einem das gefällt.
Aber hier sehen wir über die Angabe wo wir
den Brennpunkt hingelegt haben, haben wir.
Denn dieses Objekt scharf abgebildet und je weiter weg es geht,
desto unscharfe erscheint es. Forfrey macht das im Wesentlichen dadurch,
dass es für die weiterentfernten Teile, beim Retracing einfach,
die strahlen ein bisschen, sittern lässt und damit dann das verwischt.
Ja, es wird nicht wirklich gerechnet.
Auch wenn mir in Pofrey alles so angeben über Projektionsgleichung,
es wird im Endeffekt nicht wirklich die Projektionsgleichung durchgerechnet,
sondern die Grafiksysteme machen das schlichtweg durch,
eine Koordinatentransformation
Also was man sich klar machen muss, ist,
dass wir in einer Szene eine Viewpläne haben,
unser Bild entstehen soll.
Wir haben hier den Brennpunkt der Kamera oder eben das Projektionszentrum.
Und was jedes Grafikprogramm implizit annimmt oder sie können es angeben,
das sind Fremdplanes und Backplanes. Also wir müssen unserem Programm sagen,
welchen Bereich die Objekte sich befinden,
die gerechnet werden sollen
Warum macht man das? Wenn wir Objekte haben,
die hier direkt auf der Linse der Kamera herumtanzen, sieht man nichts mehr.
Deshalb wird hier vorne immer eine Fremdpläne angenommen und
erst ab der Lage dieser Fremdpläne werden Objekte modelliert,
welche, die näher dran sind, werden vergessen.
Und genauso ist es mit den weiter Entfernten, was jenseits der Backpläne ist,
wird auch nicht dargestellt. Und das ist etwas,
was einem schwer macht, wenn wir eine Animation machen wollen,
wo wir von der Welt, die sehr detailreich ist,
aber kleinräumlich in eine Welt überwechseln, die großräumlich ist.
Ich habe mal versucht, Haben die dann den Bildern eben gesehen,
wo ich die Sternbilder gezeigt habe, Fahrten durch den Weltraum zu simulieren.
Da will man zuerst im Pofrey hingehen und schön darstellen,
okay, hier ist Kippe Canaveral, hier startet unsere Rakete und ab geht's.
Da möchte man so klein, klein mit Kilometern Maschtab zeigen,
wie es aussieht. Und dann ist man unterwegs zum Maßen
und mit einmal braucht man Entfernungen von acht Lichtminuten und mehr.
Wenn Pafrey jetzt loslegt, dann wird es den Maßstab nehmen,
den wir in Kippe Canaveral hatten und sämtliche Sterne und alles,
was weiter als zehn Kilometer entfernt ist,
schlichtweg nicht darstellen, weil es jenseits der Backplan liegt.
Also man darf für die Objekte dann nicht die echten Entfernungen angeben,
dann muss zwischendrin den Maßstab immer ändern.
Passiert ihnen auch in Java, wenn sie mit Java 3D arbeiten,
dann haben sie harte Vorgaben für Fremdplaneten und Backplänen,
die sind nicht mehr selbst kontrollieren können.
Jedenfalls nicht in der Version, mit der ich gearbeitet hatte.
Ich muss einfach wissen, dass sie existieren. So,
das Zweite, was man in dieser Geometrie sehen kann,
das View Volume, der Bereich, der abgebildet wird,
ja, das hier ist eine Pyramide.
Und was ein Retracing-Programm in der Regel macht,
wenn es das durchrechnet, ist schlichtweg,
das ist die Transformation angibt,
die aus dieser Pyramide einen Curus macht und dann kann man nach der Koordinatentransformation sofort in der Bildebene ablesen, was die projizierten Bildpunkte sind.
Okay, das Juko-Ordinats-System, das Durchrechnen soll Werner erklären,
das lasse ich hier aus. Sind sie Betrachtungstransformationen. Okay,
mhm, Vie, Viertelstunde haben wir noch,
dann können wir jetzt ja mal in höhere Dimensionen gehen.
Damit wir das Kapitel-Transformationen, Koordinaten und alles dann ad adact da legen können.
Ja? In Pofriy, m, mhm, wesentlichen, mensionen, m. Und we ne,
mert, mö, das mölen, mensionen, d,
d, do, men, d's, men,
d. Und m, mine, d, men,
d, e menson e, d e, e,
dot, t, e, men, t, e.
Dass, t, mö, cle, e, we,
d, e, d, men ea, men men,
men, d, d d d men e d d. Und,
m, we, mö, d men, e,
mäh e, t, t, ne, e,
e d e, men, d, t e t. d Assierungsprobleme,
wir haben einfach einen Datensatz, da gibt es zehn Parameter und die wollen wir darstellen.
Und, aber wir haben keine Möglichkeit, so ohne weiteres
jetzt zehn Dimensionen auf noch die zwei Dimensionen des Papiers abzubilden.
Bei meiner eigenen Diplomarbeit hatte ich genau dieses Problem,
ich hatte einen Musterraum mit 30 Merkmalen und wollte mir anschauen,
belegen meine Objekte da.
Gut, was habe ich gemacht? Ich habe jeweils immer drei Parameter ausgewählt,
sie auf Papier projiziert und dann solche Stapel an Papier erzeugt,
weil bei 32 Parametern ist die Auswahl der drei Dreierkombinationen schon ganz schön groß.
Er kriegt ein Kompliment von Rechenzentrumsleitern, der mir sagte,
wenn er mich nicht hätte, wisst ihr ja nicht,
wer die Papierpauschale des Rechenzentrums verteidigen sollte.
Und ob ich mich schon über die Tragfähigkeit der Decken erkundigt hätte,
die meiner Trauung hätte, weil die Staffel wurden immer höher.
Gut, also das ist der eine Weg.
Param mit der auswählen und die dann projizieren oder versuchen,
was anderes zu machen. Inzwischen ist es,
heißt das Thema mehr, dass man was in Farbe darstellen kann.
Als ich meine Diplomarbeit gemacht habe, der war die einzige
Möglichkeit, Farbe auszugeben, diese Plotte.
Also die hatten solche Tuschefedern und die konnte man verschiedene Farben reintun.
Er musste eben immer ganz schnell sein,
bevor Griff die Farbe, die man jetzt brauchte,
reintun, weil der passt nur drei in die Halter.
Und das dauerte und dauerte während er mit seinen Stiften übers Papier zog.
Gut, also zum einen zum Visualisieren höher, dimensionale Räume,
muss man sich was einfallen lassen, aber auch für Testsfehlersuche und so weiter.
Gut, der typische Weg, den man dann geht, ist die Mehrdimensionale Skalierung.
Das heißt, wir projizieren in einen niederdimensionalen Raum,
in dem aber alle wichtigen Eigenschaften, die man haben will,
erhalten bleiben. Zum Beispiel die Abstände zwischen den Proben,
in dem hochdimensionalen Raum soll im niederdimensionalen genauso groß sein,
trotz, und wir versuchen, das optimal hinzukriegen,
kriegt man natürlich eine Approximative Lösung.
Aber eine Möglichkeit, wir stellen uns vor in unserem zehndimensionalen Raum,
da muss man nicht gleich auf 30 gehen, haben wir N-Punkte.
Und wir wollen jetzt wissen, wie sind die eigentlich in dem Raum verteilt.
Wir wollen sie abbilden in einen neuen Raum und da heißt das alles Y und wir wollen,
dass die Abstände, zwischen den Xen im Ursprungsraum,
möglichst ähnlich sind, den Abständen, in dem anderen Raum.
Ja? Delter, de ist und De ist.
Und jetzt haben wir ein Opt, problemen, in dem men, m.
Das d, de ist, ist, so ein d,
das ist, das ist ein de ist,
und die dä de, völt, ät, net,
ist,
m,
Oh, über quadratische Summe der quadrierten Abstände zwischen den DIS und Delta ist,
könnte man gehen, als Optimierungskriterium und so weiter.
Gut, das sollten, ich hoffe,
lernen Sie hoffentlich, da musste Erkennungsvorlesung.
Wir schauen uns das mal an einem Beispiel an,
was rauskommt, wenn wir es so machen.
Nehmen wir mal an, wir haben in einem Raum eine perfekte Spirale.
Der Wert X3 hängt von den anderen Experten so ab,
dass wir Sinus und Cosinus-Funktionen haben
Wenn wir da das quadratische Fehler im Maß Minimierungskriterium verwenden,
dann würden wir für eine Spirale die folgende Lösung kriegen können.
Also hier ist die Spirale, die wir eben gesehen haben,
mit X1 und X-2 Sinus und Colinus X,
die windet sich hier so um die X3-Achse.
Das können wir nach dem Kriterium in zweidimensionalen Raum projizieren,
mit Erhaltung der Abstände und kriegen dann hier eine Sinuslinie
raus,
die einigermaßen gut ist
Dann die andere Möglichkeit,
dass wir schlichtweg die anderen Parameter auf irgendwas anderes abbilden,
was wir gleichzeitig mit den Raumkoordinaten darstellen können.
Das ist aus der Kartografie bekannt. Also der Kartografen in
ein 1&1-2D-Bild fressen können, das ist erstaunlich.
Aber wir können die Farbe wählen, die Textur, Symbole,
wir können einen Film machen und das ist einfach eine Dimension auf die Zeit abbilden.
Isolinienzeichen in Vektefelder drüber legen oder eben Teile auf Unterräume projizieren.
Gut, warum ist es so schwierig, weil wir uns
selbst die vierte Dimension auch recht schwer vorstellen können?
Kommen wir mal überhaupt zum Dimensionsbegriff
Nulldimensional wäre ein einzelner Punkt. Gesehen, ich habe hier
den Würfel von eben recycelt. Eindimensional wäre eine Linie,
also Dimension entsteht eigentlich eine weitere Dimension, entsteht immer dadurch,
dass für ein Objekt senkrecht zu allen vorherigen Dimensionen verschieben.
Also wir verschieben den Punkt hier senkrecht zu sich und kriegen dann den Strich.
Wenn wir den wieder senkrecht zu sich verschieben, kriegen wir es.
Ein Quadrattier, ja, wenn wir das senkrecht zu sich
verschieben, kriegen wir für die dritte Dimension den Würfel.
Und wenn wir den jetzt senkrecht zu sich verschieben, kriegen wir den vierdimensionalen Würfel.
Und der ist schon recht schwer vorstellbar. Vor allem,
wenn wir nur seine 2D-Projektionen sieht, was man erkennen kann,
ist, dass jede Seitenfläche des 2D-Würfels, dass das 3D,
das 4D-Würfel ist, dass das dreidimensionale Würfel sind.
Ja, wir finden hier 16 einzelne Würfel,
die eben als neue Flächen hier erscheinen.
Es ist schwer, sich das vorzustellen, wie es da liegt.
Und wie man diese weiteren Dimensionen jetzt visualisieren kann,
jetzt können wir noch mal ein kleines Gedankenexperiment machen.
Wir stellen uns im Moment einmal vor, wir leben im
Plan Diversum, ja sind Punkte hier in dieser Ebene.
Und wir kriegen jetzt Besuch von einer 3D-Kugel, die hier unser zweidimensionales Universum durchdringt.
Von dieser 3D-Kugel sehen wir eigentlich immer nur den Schnitt mit unserer Welt. Also zuerst,
wenn sie hier auftaucht, sehen wir netten kleinen Punkt,
der hier auftaucht, dann wird es ein Kreis,
irgendwann wird der Kreis wieder kleiner und dann sehen wir wieder
nur einen Punkt und dann ist sie weg.
Dass wir, das wir unser Besucher aus der 3D-Welt.
Und was wir bekommen, in unserer Welt,
sind im Wesent
E-Objekt. Wir sehen eine Folge von Schnittlinien durchs 3D-Objekt.
Können wir uns das vorstellen hier,
wenn wir unsere Weltkugel haben, ein Globus.
Ja, wir sehen hier diese Schnittlinien mit der 2D-Welt
einfach als Breitenkreise. Und als Folge dieser Kreise können wir
unser drei höher dimensionales Objekt animieren. So, also Grundidee,
Kugeloberfläche durch eine Schar von parallelen Ebenen
Hier all diese Schnittlinien und wir projizieren sie von oben in
die Grundebene und kriegen dann wir eine Folge von Kreisen,
die schon nicht mehr equi-distanz sind.
So, das ist der eine Weg. Wir könnten schräg projizieren
. Das ist übrigens das Bild, an dem meinem Rechner
fast einen Monat gerechnet hat und dann fiel der Strom aus.
Deshalb fehlt hier unten der Teil. Warum? Weil ich
es mit Nebel gefüllt habe und noch Öl auf die Oberfläche gegossen habe.
Also alles, was Rechenzeit kostet. Und vor zehn Jahren
war die Rechenleistung von so einer einfachen Szene
Mal eben rechnen konnte, dass wir heutzutage kein Problem mehr.
Aber was uns das Bild zeigen soll,
deshalb habe ich es aufgehoben, wenn wir Schritt projizieren,
also dahin, dann sehen wir mit einmal,
dass die Linien, die beim Bild davor,
konzentrische Kreise waren, dass das jetzt erstens Allipsen sind und zweitens,
dass sie nicht mehr konzentrisch sind, die schneiden sich.
Wir kriegen hier ein Gewürf von Linien.
Also schon ein simples 2D-Abbild eines 3D-Objektes kann kompliziert aussehen.
Jetzt versuchen wir denselben Trick mal zu machen,
um eine vierdimensionale Kugel ins 3D-Universum zu projizieren.
Genau. Haben wir noch fünf Minuten Zeit vor,
das kriegen wir noch hin. Also zuerst muss man uns überlegen,
wie sieht denn eine vierdimensionale Kugel aus, die wir mal als Beispiel nehmen wollen?
Normale Kugelgleichung des X-Quadrators Y. Quadrat plus Set-Quadrat gleich eins. Ja,
da haben wir eine Kugelgleichung im 3D. Jetzt machen wir es vier,
den nehmen wir noch,
eine X4-Koordinate dazu und haben dann eine Einheitskugel im 4D. So,
was ich jetzt gemacht habe, ist,
das in eine Gleichung zu transformieren,
wo ich das X4 hier als Parameter isoliere.
Und wir wollen uns jetzt einfach Schnitte mit dieser Gleichung,
mit dieser Kugel anschauen, wo wir eben unterschiedliche Werte
für X4 einsetzen und damit dann die Kreise ausrechnen.
Was wir sehen, die Schnitte, die entstehen, sind 3D-Kugeln.
Wir haben einfach dadurch, dass wir sagen,
wir lassen das X4 hier variieren,
die Schnitte einer 4D-Kugel mit einer vierten Hyper-Ebene durch den Punkt
Vergleichung, denn das hier ist die typische 3D-Kugelgleichung,
bloß der Radius dieser Kugel ändert sich in Abhängigkeit von dem Wert von X4.
Also wenn wir jetzt uns hier vorstellen,
wir sitzen gemütlich in unserer 3D-Welt und eine 4D-Kugel sucht uns.
Durchdringt unser Universum, dann werden wir ganz zu Anfang
eine kleine Kugel sehen mit dem Radius null.
Irgendwann hat es den Radius eins und dann ist sie wieder weg.
Das war unser Besucher aus dem 4D. Ja? Die,
also die Oberfläche einer 4D-Kugel, die an der 4D-Einheitskugel projiziert,
in unser Universum würde aussehen,
wie diese Zwiebelschein hier
Das, was wir vorher als Linie
auf dem Blogoff gesehen hätten, sind jetzt konzentrische Kugeln.
Das ist noch einigermaßen einfach und übersichtlich, ne? Also,
was wäre unser Erlebnis, wenn in unserem Universum mir die
vier Dunkelkugel zu Besuch kommt? Also, falls sie meinen,
neben ihnen blisst jemand Kaugummi auf, es kann sein,
der kann gar nichts dafür, da kommt gerade eine 4D-Kugel durch.
So, also, wenn wir das jetzt selbe Spielchen
noch mal machen, aber wir projizieren schräg.
Wir schneiden jetzt nicht mit einer Achsenparallelen Hyperebene im 4D,
sondern einfach Hyperebenen in beliebiger Lage, dann wird die Gleichung ein Tick komplizierter,
aber im Wesentlichen kriegen wir ein ähnliches Ergebnis.
Wir nehmen wieder unsere Kugel hier, isolieren den Parameter X4
und für das X4 setzen wir jetzt eine Ebenengleichung ein.
Eine Hyperebene in beliebiger Lage mit koeffizienten ABC. Gleichung sind ein Tick komplizierter aus,
aber im Wesentlichen ergibt sich das wir dann, Projektion,
so ähnlich wie wir es in dem 2D-Bild gesehen haben,
von der 3D-Kugel, die wir projiziert haben,
die geschnittenen Ellipsen, haben wir jetzt für den 4D-Fall,
4D nach 3D-Fall, gescherte, Elipsoide,
die sich schneiden im Raum.
Das ist eine typische Fläche zweiten Grades hier, die wir hier sehen.
Und wenn wir die darstellen lassen, zum Beispiel durch Pofrey,
sehen wir unser Besucher aus der anderen Welt.
Ich habe es jetzt nicht mehr weiß gelassen,
sondern eingefährdet, wo man es erkennen kann.
Das sind Elipsoide, die ineinander stecken,
aber sich alle durchdringen und schneiden
Unser Besucher, wenn er jetzt käme, das wären also seltsame Smarties,
die hier elepsoidisch als U-Fuhr in der Welt auftauchen.
So. Ja, genau. Und ein Informatikum wollen wir es
doch auch gern mal sehen. Oh, was passiert denn
hier? Ach so, ja. Das ist eine Quadskompurse-Animation
. Die können wir auch nicht mal
voll scringen genießen
Wenn sich hier die vierte Dimension auftut, ja,
dann könnten unsere Elipsoide so aussehen.
Ja, Informatikstudenten lässt sowas kalt und dann können wir auch
aufhören.
Danke für die Aufmerksamkeit