ist die Methode, sie praktisch aus primitiven Bausteinen,
Kegelkugeln, Zylindern, Quadern und so weiter zusammenzusetzen,
mit Hilfe von Lotus
Diesem Verfahren arbeiten dem Verfahren der sogenannten Constructive Solitura Metricia,
konstruieren also eine relativ komplexe Geometrie durch Zusammenfügen von Einzelteilen,
wobei das Zusammenfügen auch ein negatives Zusammenfügen sein.
Wir können auch von gegebenen Formen andere Formen wieder abziehen.
Auch das lässt unser Baukastenprinzip, der Constructive Soliturametry zu.
Das haben wir uns recht, ausführlich angesehen,
einige einfache Beispiele haben sie kennengelernt, denn das ist das Verfahren,
mit dem sie im Rahmen ihre Übungsaufgaben auch arbeiten werden.
Denn das System Corfering, das sie einsetzen,
arbeitet nach dem Prinzip der Constructive Solice Geomitry.
Und damit können sie dann ihre Szenen und ihre Darsteller in ihrem Übungsaufgaben gestalten.
Als nächstes möchte ich jetzt in ein anderes Gebiet einsteigen,
nämlich die Repräsentation geometrischer Modelle. Das heißt, der Form
beliebig komplex gestalteter Gegenstände mit Hilfe der Begrenzungen dieser Gegenstände nach außen.
Das heißt also mit Hilfe der biometrischen Formen,
die diese Gegenstände gegen ihre Umwelt abgrenzen.
Und dieses Verfahren nennen wir begrenzungsbasierte Repräsentationsformen, auch B-Rep oder im englischen B-Rep.
Die Abkürzung passt da auch. Da ist es Bountry, Repräsentation.
Die begrenzungsbasierte Repräsentationsform ist eigentlich die komplexeste und die flexibelste Methode,
die Form von Objekten zu beschreiben. Denn wir hatten gesehen,
mit Hilfe der Konstructive Solith Johannetry können wir Details immer nur so frei gestalten,
wie unsere primitiver, mit deren Hilfe wir die Details zusammensetzen, es zulassen.
Und da wir in der Regel primitiver haben,
die eben Kugel, Kegel, Zylinder, Quader sind,
werden die Detailformen immer Oberflächendetails aus eben diesem primitiver enthalten.
Das heißt also, irgendwelche Kugelausschnitte kleine Ebenen, Abschnitte,
Zylinder, Mantel, Abschnitte und ähnliches.
Wir können keine Farmen beschreiben, die tatsächlich bis ins Detail
vollkommen unabhängig von diesen Grundformen sind.
Das aber lässt die begrenzungsbasierte Repräsentationsform zu. Da können wir
Detailformen beschreiben, die vollkommen frei gestaltet sind und darum benutzt
man dieses Verfahren auch zu sogenannten Freiformgestaltungen von Gegenständen
Und da haben wir Gegenstände,
die wir uns in der Praxis zum Beispiel vorstellen können,
wie Schmiedeformen, wenn also ein Schmied mit einem ordentlich abgearbeiteten Hammer auf einem Stück Metall rumklopft,
dann wird er formen, erreichen,
die sicherlich nicht mehr unbedingt mit dem Baukasten Deconstructive Solid Terometry nachempfunden werden können.
Oder bei Dussformen, wenn wir also an Gegenstände zunächst einmal modellieren,
ihre Negativform modellieren aus einer aus einem geeigneten Material,
aus Sand, Gips oder ähnlichem.
Und da frei wie ein anständiger Künstler mit unseren Fingern die Oberflächen gestalten und hinterher unser Material,
unser Metall zum Beispiel in diese Form hineingießen, dann sind das auch Formen,
die wir mit der Constructive Saligianic Person nicht erreichen können.
Und damit können wir eben so schöne Sachen,
die Skulpturen machen oder auch Karosserien,
die eben nicht so aussehen,
als seien sie mit einem einfachen Baukasten zusammengesetzt worden
Ich möchte nun als erstes einmal einen kleinen historischen Überblick geben
über die Entwicklung der begrenzungsbasierten Modellierung. Am Anfang,
das heißt also noch vor 1960,
aus ihrer Perspektive sicherlich irgendwo in der Nähe der Steinzeit und
möglicherweise in der Zeit als Dinosaurier, vielleicht gar noch gelebt haben.
Zu der Zeit hat man zunächst den ersten Schritt gewagt und sich vorgestellt, naja,
es ist ja eigentlich relativ einfach, begrenzungsbasiert die Form von Gegenständen zu modellieren.
Man ist damals von den einfachen Gegenständen der normalen technischen Umwelt
ausgegangen und hat also zum Beispiel im Bauwesen oder im Möbeldesign oder so Formen angenommen,
die in der Regel ebenflächig begrenzt waren.
Und häufig waren diese Ebenenflächen dann auch noch geradlinig und rechtwinklig begrenzt.
Und da konnte man also sehr schön diese Gegenstände ganz einfach beschreiben,
dadurch, dass man sagt,
man gibt für einen jeden Gegenstand praktisch die Koordinaten der Eckpunkte an und nimmt im einfachen Fall an,
dass diese Eckpunkte linear miteinander verbunden sind.
Und dann hat man über die Koordinaten der Eckpunkte bereits eine
Formbeschreibung des Gegenstandes. Also ich habe mal einen Würfel mitgebracht,
den wir damit im Prinzip ja doch schon genau beschrieben haben.
Wir können acht Eckpunkte des Würfels angeben, ihre Koordinaten im dreidimensionalen Raum angeben.
Wir wissen, wie diese Eckpunkte miteinander verbunden sind.
Und damit haben wir die Form eines Würfels mehr Informationen,
brauchen wir ja eigentlich überhaupt nicht um einen Würfel anständig beschreiben
zu können
Und aber schon relativ bald gemerkt, dass diese Beschreibung vielleicht
doch nicht so richtig ausreicht. Selbst bei Gegenständen,
die ebenflächig begrenzt sind und bei denen die begrenzenden Flächen ihrerseits durch gerade Kantenzüge begrenzt sind,
die rechtwinklig zueinander stehen, gibt es Probleme.
Zum Beispiel. Hier habe ich einen noch relativ einfachen Gegenstand beschrieben,
über die Kanten, die die einzelnen Oberflächenelemente dieses Gegenstandes begrenzen.
Wie sieht dieser Gegenstand aus
Ich glaub, sie hat ihre Hand zuerst gehoben.
Ich stelle es mir wieder an. Eine Seitenangriffskrader. Da
ist man schon oben nochmal in Ihnen nach Ihrem Bereich.
Ja. Okay, wir haben einen Quader,
so stellen Sie sich das vor.
Der auf einer seiner kleinen Flächen steht. Hochgangsfläche. Und
wir haben von allen sechs Seiten praktisch so die Flächen eingedrückt.
In Form eines Pyramidenstumpfes. Okay. Ja. Nee,
ich glaube, gestern nehme ich diese Meldung.
Er ist entgegen, aber ich komme dann auf sie auch noch.
Das ist nicht ganz klar, was jetzt.
Das kann ja auch einfach nur eine Frage sein,
das kannst du machen.
Oder eine Beschreibung von dir
Sonst wäre es zwar mehr Informationen als möglich ist,
aber ich will da keinen Film wissen.
Ja, wenn das nur ein Krader wäre,
wozu singt dann diese Kanten, die hier drin sind?
Das sind ja Kanten, die Oberflächenelemente unseres Objektes begrenzen.
Vobus finden sich im Inneren eines Kraders,
kannten die Oberflächenelemente begrenzen.
Gibt es nicht
Aber man kann ja die äußeren äußern kann. Die äußeren Kanten
kann man so interpretieren, aber es sollen ja alle Tanten,
die hier dargestellt sind, eine Bedeutung haben.
Hier die Visa kannten, ist eine Teil einer Begrenzung eines Flächenelementes,
dass Oberfläche des Objektes ist. Ich sage bewusst nicht Grade.
Ja, jetzt hatten Sie sich zuerst gemeldet im Prinzip.
Ich sei da ein Vater aus dem einen Vater ausgestützt.
Und das sieht man auch voraus nicht. Oder einer,
den Fyramidenstumpf, von dem man gar nicht ganz sicher eigentlich ist,
sechs Pyramidenstumpfe aufeinander bedrückt. Man kann aber nicht sagen,
ob davon jetzt einer irgendwie nicht ausgefüllt wird,
ausgefüllt wird und man kann dieselbe, die fand ich schon.
Ja, ja, das heißt also,
es ist so eine ähnliche Lösung,
wie wir sie ganz zu Anfang gehört haben, Pyramidenskünfte,
die von den sechs Seiten quasi eingedrückt sind in den Krader.
Wobei siegt das schon ganz vorsichtig relativiert haben.
Einige sind wahrscheinlich reingedrückt und andere nicht.
Da war noch eine
Genau. Da kann man ja eigentlich nichts noch hätte sprechen
können. Ihnen müsst ihr offenen, wenn man das Vater
eben drin befindet, dann ist das auch Oberfläche.
Dann ist das auch eine Oberfläche, vollkommen korrekt. Ja,
wenn wir uns also, oh, entschuldigen,
jetzt bin ich also schon ein bisschen weit gegangen aus Versehen,
wenn wir uns vorstellen, hier Brill ist ja praktisch auch ein Quade.
Das könnte ein Hohenraum sein innerhalb des großen Quaders und gehen wir
auch mal zurück. Und damit hätten wir also einen Quade,
der innenhohl ist,
quaderförmig ausgehöhlt
Dagegen spricht die Existenz dieser schräge Kanten. Die hätten dann
keine Bedeutung. So. Hatte ich hier noch eine Meinungsmeldung gesehen?
Wurde schon gesagt. Okay. Ich zeige Ihnen jetzt eine
Lösung. Ich habe einfach einmal diese Menge von Kanten,
die hier dargestellt sind, reduziert auf die Kanten,
die sichtbar wären, wenn dieser Gegenstand ein tatsächlich massiver Gegenstand wäre,
ein Gegenstand aus Material.
Und dann würden ja die hinten und irgendwo im Inneren liegenden
Kanten durch davor liegende Materie Teile verdeckt.
Und dann wäre das dieser Gegenstand. Das heißt also ein Quader,
in den von den Seiten her,
und zwar von dieser schmalen Faderseite und analog von der schmalen Rückseite,
ein Pyramidenschnumpf hineingedrückt ist.
Und der dann von Der Kopffläche dieses Pyramidenstumpfes zur Kopffläche des
entsprechenden Gegenstückes von der Rückseite offen ist.
Das heißt, wir können durch diesen Quader hindurch schauen.
Vorstellbar? Und das ist der Gegenstand,
der mit diesen Kanten, Punkten und Kanten beschrieben wird.
Und wir sehen, das ist im Grunde genommen ein
unheimlich einfacher Gegenstand,
wenn wir ihn einmal kennen
Und trotzdem war es doch schon ein bisschen schwierig, den da herauszusehen.
Und jetzt kommt der nächste Gemeindeschritt. Diese Kanten,
die wir hier sehen, müssen nicht unbedingt diesen Gegenstand beschreiben.
Das könnte theoretisch auch dieser Gegenstand sein. Der wird durch
genau dieselben Kanten beschrieben. Und da ein Quada ja bekanntlich
sechs Flächen hat, ist natürlich auch diese Lösung denkbar.
Das heißt also, wenn wir dieses Kantenmodell eines Gegenstandes haben,
dann ist damit nicht eindeutig gesagt,
welche dieser drei Lösungen damit tatsächlich gemeint ist.
Ich glaube, es hat immer noch jede Sache interessiert,
die man sagt, ob der Quada aus der inneren Falle
sozusagen lobt ist oder ob der ausgefüllt ist.
Das nicht. Weil da jeweils Kanten entstehen,
nicht vorhanden wären, wie hier aber dann gegeben sind.
Das heißt, die Kanten, trotzdem Wahnsinn. Ja,
was würden Sie, wenn wir zum Beispiel betrachten, wir sehen hier.
Und stellen Sie sich vor, der ist jetzt in der Mitte geführt.
Hier ist also ein Kader eingesetzt. Ja, dann haben wir eine Kante,
diese hier, die von da nach da verläuft,
also hier von da nach da, die wir nicht brauchen.
Also das ist Gott sei Dank ein Fall,
der dann ausgeschlossen ist, aber es sind ja schon genug Fälle,
die damit beschrieben sind.
Ja, das heißt also, unsere Kantenmodelle haben das Problem,
dass sie nicht unbedingt eindeutig sind und wir sehen an diesem
ganz einfachen Bad
Mehrdeutigkeiten, das hören kann. Oder betrachten wir einmal dieses
hier? Wir haben einen Würfel beschrieben,
aber wir haben in diesen Würfeln noch zusätzlich Kanten,
nämlich die räumlichen Diagonalen, von die zwei einander räumlich gegenüberliegende Eckpunkte miteinander verbinden.
Und zwar alle drei. Geht das überhaupt? Wie kann man sich das jetzt wieder austeilen vorstellen,
dass das 500 sechs Therapien zu unserem Gesetz ist und da
man alle sechs Therapien zusammensetzt und zwei gegenüber,
die sie wieder rechnen, sagen, dass das so ist.
Wenn alle drinnen stecken würden, dann würden die Kante Leute
ja keinen Sinn ergeben, sondern zwei Köpfe, die da rauslaufen.
Ja, wer gäbe das denn? Ja. Haben Sie
sich Projektionen schon angesehen bei Frau Dreifler Fischer? Eine Projektionsform,
die in der Technik gerne verwendet wird, ist die sogenannte Dreitafelprojektion,
bei der wir in der Architektur zum Beispiel Grundriss,
Aufriss und Seitenriss eines Gebäudes darstellen
Stand hier. In Grundriss, Aufrechts- und Seitenriss betrachten.
Hätten wir dann diese Darstellung? Kann ich unbedingt,
wenn es eine sehe ich, dass wir gucken,
gerade die gefüllte Führung,
die der ist, hatten wir für nichts,
die aber eine andere zu sehen
Ja. Also, wenn wir die Lösung, wenn,
die Sie genannt haben, die absolut plausibel ist,
wenn wir uns das ansehen,
dann hätten wir ja praktisch einen im Grader,
bei dem wir von dieser Seite eine Pyramide herausgeschnitten haben und von der Seite eine Pyramide herausgeschnitten haben.
Und wenn wir diesen Grader jetzt in Grundriss aufriss und Seitenriss darstellen,
dann haben wir zwei Seiten, von denen wir nichts weitersehen als ein Quadrat.
Und eine dritte, Da sehen wir ein Quadrat mit dem Diagonalen.
Das heißt also, in zwei der Ansichten hätten wir nur
ein Quadrat und in der dritten Ansicht hätten wir ein Quadrat mit dem Diagonalen.
Also können wir sagen, dieses hier ist keine drei Tafelprojektion
dieses Gegenstandes.
Ist dieses Ding denn überhaupt denkbar
Wir haben jetzt eine Verbrauchskonfo dran setzt, wer das zum Beispiel passt.
Wenn wir da von draußen Pyramiden dransetzen und uns die Ansichten von der Seite...
Ich sehe mir gerade auch, dass wir noch diese Spitzenseite finden.
Dann müsste man an den Seitenspitzen sehen. Wir müssen also hier
Spitzen rausschauen. Ja, wir werden ja innenseitig hören,
nicht bis an diesen Punkt gehen,
oder was wir uns zu helfen haben.
Ja. Ja, dazwischen noch das,
dass er in der Giege statt ist.
Ja, so.
Da sind ja
drei Hafen
Mhm. Okay. Andere Lösungen? Mhm. Ich glaube,
das ist noch ein paar Zeiten, um die eine Bohnenwäsche,
auch die Exzepte eben gepackt und Januar auf die, sozusagen so die letzte ausgesucht werden.
Das soll man nehmen. Mhm. Die dann einfach,
äh, Schlitze auf Schlitze aneinander, das soll man aufbauen. Ja. Ich nehme drei Pyramiden auf quadratischem Bundriss. Deren Höhe der Halbenhöhe unseres gerade,
unseres Würfels sind, sprich,
lege eine von diesen Pyramiden mit ihrer Basis auf den Boden,
stelle eine zweite mit ihrer Basis senkrecht dazu und mit der Spitze so,
dass sie auf sie weiß und die zweite mit der Basis senkrecht in dieser Richtung und die Spitze weiß dahin,
dagegen, dann habe ich drei Pyramiden aneinandergesetzt und wenn ich die dann projiziere in die drei Richtungen,
nach da, nach da, noch da, dann sehe ich,
Entschuldigung, dann habe ich genau die drei Trafelprojektionen,
die wir hier sind.
Oder ich könnte auch anders vorgehen, ich nehme meinen Würfel,
ziehe von der einen Seite eine Pyramide heraus,
ziehe von der angrenzenden Seite nach rechts eine Pyramide heraus,
ziehe nach oben eine Pyramide heraus und das,
was in der Mitte übrig bleibt, ist das,
was wir in diesen Orten, Entschuldigung,
in dieser Drei-Tafel-Projektion sind.
Aber der West, der da übrig bleibt, ist genau derselbe Körper,
wie der, den sie aus den drei Pyramiden zusammengesetzt haben.
Oder umgekehrt, wenn ich diese drei Pyramiden wieder zusammensetze,
dann erhalte ich
Dieses. So, Sie sehen, es ist nicht unbedingt einfach,
wenn man mit der reinen, mit reinen Kantenmodellen modelliert die Formen von Gegenständen beschreibt.
Und darum ist man schon recht bald,
nämlich in den frühen 1960er Jahren, auf die Idee gekommen,
man sollte doch besser ein bisschen mehr Informationen dazu geben,
nämlich zusätzlich zu den Kanten,
die Flächen begrenzen, auch mit angeben,
ob ein geschlossener Kantenzug auch tatsächlich eine Fläche begrenzt und diese Fläche dann eben auch mit dazu geben.
Ja, das heißt also, wir haben unser Kantenmodell und
wir repräsentieren unser Objekt zusätzlich über die geometrische Beschreibung der Oberflächen zwischen den einzelnen Kantenprolygonen.
Und erst dann sind wir natürlich auch in der Lage,
eine tatsächliche eindeutige Abbildung von diesen Objekten zu schaffen.
Dann wissen wir, welche dieser drei Lösungen die richtige ist,
die durch dieses Modell angegeben wird. Wenn wir dann also dazu sagen,
diese Kanten zum Beispiel, die Tanten hier begrenzen eine Fläche,
dann wissen wir, es kann diese oder diese Lösung sein,
wenn wir dann auch noch sagen, diese Kanten begrenzen eine Fläche,
dann schließen wir die Lösung auch schon aus und haben diese Lösung.
Wenn wir also für alle geschlossenen Tantenzüge angeben, ob sie
eine Fläche begrenzen oder nicht, dann können wir diese Mehrdeutigkeit ausschließen.
So, und wenn wir die Flächen mitbeschrieben haben,
dann können wir grafische Darstellungen des Gegenstandes eventuell auch schon hinkriegen
Aber bald gemerkt, dass diese Flächenmodelle,
es war schon ein deutlicher Fortschritt gegenüber den Kantenmodellen sind,
dass die Mehrdeutigkeiten der Kantenmodelle schon weitgehend aufgehoben sind,
aber nicht hundertprozentig.
Es gibt immer noch Probleme. Selbst wenn wir also sagen können,
welche geschlossenen Kantenzüge tatsächlich Flächen begrenzen,
können wir damit noch nicht eindeutig sagen,
was dieses hier für ein Objekt ist
Wir können sagen, es ist würfelförmig. Wir können die
sechs Flächen des Würfels identifizieren. Aber es fehlt noch etwas an Informationen.
Entweder ist es ein Würfel in einem eheren Raum oder es
ist ein Würfelfamilieus-Block in einem riesigen Folgenbaum, der verloren ist.
Boah. Das Problem, so wie Sie es geschildert haben,
ist das Problem, was beschreibt dieses Ding jetzt wirklich?
Beschreibt es einen Würfel, einen würfelförmigen Gegner,
mit dem wir in der Kneipe Glücksspiel machen können?
Oder ist es eine würfelförmige Aussparung in einer Riesenmenge Materie?
Also meinetwegen eine würfelförmige Grabkammer eines Pharao in einem großen Felsen?
Beide hätten dieselbe Form. Die Kanten stimmten überein in ihrer Geometrie,
die Flächen, deleganten, die von den Kanten begrenzt werden, stimmen überein.
Aber in dem einen Fall haben wir einen Würfel,
fahren wir im Hohlraum. Im anderen Fall haben wir einen
Gegenstand, einen massiven Gegenstand in Form eines Würfels.
Der eine Punkt ist ja verdenklich. Mit der Lehre,
wo halt, wo französisch die jetzt auch noch dahinter liegen
Ja, das sei lang gezogen. Das könnte man dann nicht sehen. Aber wenn wir jetzt davon ausgehen,
dass die Form zunächst einmal abstrakt beschrieben ist,
das heißt also,
die Form ist gegeben durch die Koordinaten der acht Eckpunkte und durch die Angabe,
welche Eckpunkte miteinander durch Kanten verbunden sind und welche geschlossenen Kantenzüge Flächen begrenzen,
wenn diese Informationen abstrakt gegeben ist, dann ist gewährleistet,
dass es sich bei einem Würfel auch tatsächlich um einen Würfel handelt,
egal von welcher Seite wir ihn betrachten.
Aber es ist eben nicht dadurch eindeutig, die Information gegeben
, handelt es sich um einen Und darum hat man dann
in einem nächsten Schritt zusätzliche Informationen hinzugefügt und hat gesagt,
wir geben den Flächen, die wir definiert haben,
auch noch eine Orientierung mit.
Das heißt also, wir sagen zum Beispiel,
welche Seite der Fläche von der Materie des Gegenstandes wegweist.
Also praktisch Außenseite ist
Ja. Und damit können wir sagen, in diesem Fall,
wenn diese Pfeile hier andeuten, das ist die Außenseite,
in diese Richtung ist außen von meinem Gegenstand aus,
dann können wir sofort sagen, okay,
hier handelt es sich um einen soliden Gegenstand in Form eines Würfels.
Wenn diese Pfeile in die andere Richtung weisen würden,
dann könnten wir sofort sehen, aha,
die handelt es sich um eine würfelförmige Aussparung in einer
großen Masse von Materien
So, und erst jetzt sind wir wirklich in der Lage,
eindeutig die Gegenstände zu beschreiben, die wir beschreiben wollen.
Und mit einer solchen eindeutigen Beschreibung können wir dann natürlich auch hier Auswertungen durchführen,
wie wir sie exemplarisch in der vergangenen Woche kennengelernt haben.
Das heißt, wir könnten massende Rechnungen durchführen.
Schwerpunktberechnungen und ähnliches, unmittelbar auf der Basis,
der so gegebenen geometrischen Beschreibung
So. Die letzte Einschränkung, die diese Modelle noch haben,
diese Körpermodelle, die in den frühen 1970er Jahren eingeführt worden sind.
Die letzte Einschränkung ist die, dass diese Objekte ihre Oberfläche überall topologisch eben sein müssen.
Und topologisch eben heißt, in diesem Zusammenhang, der es geometrischen Modellierens,
das wir für jeden beliebigen Punkt auf der Oberfläche eines Objektes,
die unmittelbare Umgebung der Oberfläche, eindeutig in eine Ebene abbilden können müssen.
Dann nennen wir das Objekt doppolompisch eben oder seine oberflächentopologisch stehen.
Und wir nennen diese Körpermodelle zweidimensional mannigfaltige Körpermodelle. Also zum Beispiel,
wenn wir eine große Oberfläche haben,
einen Punkt auf dieser Oberfläche betrachten und die unmittelbare Umgebung dieses Punktes,
die wir mit einem Nalo-Zirkel abgezirkelt haben und dann nochmal ganz vergrößert hier auf der Projektionswand dargestellt,
dann können wir sehen,
die unmittelbare Umgebung dieses Punktes ist eindeutig in eine Ebene abbildbar.
Egal welche Form das Objekt an diesem in der Umgebung dieses Punktes hat.
Wenn aber in diesem Punkt auf der Oberfläche unseres Objektes jetzt
noch irgendwie so ein Draht angebracht ist,
also eine Kante angebracht ist, die in diesem Punkt die Fläche trifft,
dann ist die unmittelbare Umgebung dieses Punktes nicht mehr eindeutig in eine Ebene abgebildet war.
Denn wir können projizieren, wie wir wollen,
wir projizieren immer die flächige Umgebung des Punktes und darauf praktisch
den Schatten dieses Drahtes.
Das ist dann nicht mehr
eindeutig in eine Ebene abbildbar
Wir haben eine Oberfläche, die,
man kann sich das so vorstellen, wie eine Ebeneoberfläche ist,
auf die wir eine Kugel gelegt haben.
Da gibt es einen Punkt, an dem die Kugel, diese Ebeneoberfläche berührt.
Wenn die Kugel und das Objekt teilen mit der Ebenenoberfläche,
wenn die zusammen ein Objekt bilden,
dann ist dem dem Berührungspunkt zwischen Kugel und Ebene
die Oberfläche des Gesamtobjektes
nicht mehr topologisch
Heben, nicht mehr zweidimensional. Denn wir können also,
wenn wir hier in dieser Umgebung dieses Punktes die Gesamtoberfläche betrachten,
diese Gesamtoberfläche nicht eindeutig in eine Ebene abbilden.
Wir können also projizieren, wie wir wollen.
Es gibt immer Überlappungen. Oder hier nochmal ein etwas einfacherer
Fall. Wir haben eine Fläche und eine zweite Fläche,
die darauf irgendwie unter irgendeinem Winkel darauf steht.
Entlang der Schnitt gewagen dieser beiden Flächen
Ist jeder Punkt ein Punkt, in dem das Gesamtobjekt nicht tochologisch zweidimensional ist.
Denn wir können die unmittelbare Umgebung da nicht so projizieren,
dass sie, dass es keine Überdeckung oder Überlappungen gibt.
Das ist also etwas, das sich mit den Körpermodellen,
wie wir in den frühen 1970er Jahren eingeführt worden sind,
nicht machen lässt.
Das kann man natürlich fragen,
wo gibt es sowas eigentlich
Wäre, wenn wir zwei Paar Energie hätten.
Ja. Da können wir uns auch trotzdem zwei dimensional produzieren
oder weil wir ja immer beieinander gut sind. Ja,
wenn wir zwei Parallelebenen haben, dann bedeutet das ja,
dass entweder zwischen diesen beiden Ebenen, das sind dann dann Oberflächen,
dass entweder zwischen diesen beiden Ebenen Materie liegt,
wie bei einer Fensterscheibe, ja, und dann sind das zwei voneinander getrennte Oberflächenelemente desselben Objektes.
Das heißt also, unsere Betrachtung,
die wir hier durchführen, führen wir entweder für die einen
oder für die andere Ebene
Deshalb sag nicht alles auch hier am Anfang,
wir müssen uns das so vorstellen,
dass wir jetzt da einen Punkt,
der hat ja die mathematisch aus denen und nun und um diesen Punkt herum
dann mit einem Nano-Zirkel einen winzig kleinen Kreis drehen.
Ja, und in dieser Umgebung die Oberfläche betrachten.
Und da treffen wir die Oberfläche auf der anderen Seite garantiert nicht.
Ja. So, wir haben ja auch die Kante von dir.
Nicht darstellen, oder? Vielleicht hast du auch die Widerschrift dazu.
Wenn wir zum Beispiel hier oben die Ecke eines Löffels betrachten,
Da sehe ich eigentlich keine Probleme. Wenn wir den Punkt betrachten,
und wenn Sie in Richtung der, sagen wir,
der räumlichen, die ja gemeint ist, schauen,
also von Sith aus gewöhnt, in diese Richtung schauen,
dann können Sie die unmittelbare Umgebung dieses Punktes in eine Ebene projizieren.
Und Sie sehen alle Flächenteile. Es gibt keinerlei Überdeckung,
keinerlei Überlappung. Ja. Jetzt möglich,
das mathematische zu finieren,
wann das erfüllt ist
Im Prinzip ja. Da müssten wir aber einen richtigen Ausflug in die Topologie machen.
Ja, und das ging ja jetzt ein kleines bisschen weit.
Darum also diese einfache, anschauliche Definition.
Es muss die unmittelbare Umgebung eines jeden Oberflächenpunktes so beschaffen sein,
dass sie sich eindeutig in eine Ebene bilden lässt.
Eigentlich eine sehr einfache Definition. So. Wo tritt so etwas
in der Praxis auf
Wir können uns vorstellen, im ersten Augenblick,
wenn wir noch mal diese Beispiele ansehen, können wir uns vorstellen,
sowas habe ich noch nie gesehen, so einen Gegenstand.
Aber wenn wir uns jetzt vorstellen, wir hätten so etwas,
wir sind also im Prozess des geometrischen Modellierens,
wir beschreiben die Form eines Gegenstandes und unser Gegenstand
sei zum Beispiel
eine Geburtstagsdate
Und wir hätten die fixe Idee, dass wir bei Aston,
Gästen, die am Geburtstagskaffee teilnehmen,
jetzt muss ich mal eben nach Kreide suchen.
Bei acht Gästen, die am Geburtstag des Kaffee teilnehmen.
Unsere Geburtstagstate. So teilen wollen. Das macht in sich
noch Sinn
Ich habe dann also acht Tortenstücke, die ich auf die Teller acht Gäste lege.
Und jetzt werden wir ein kleines bisschen spitz, finde ich.
Unsere Gäste kommen und jeder Gast, der hereinkommt, bekommt ein Stück Torte.
Der erste Gast bekommt dieses. Der zweite Gast,
damit ich irgendwie so schön die Torte noch erhalte,
die Form der Torte behalte, bekommt dieses,
der dritte Gast bekommt dieses und der vierte Gast bekommt dieses.
Ja, dann bleibt am Ende, wenn diese vier Gäste
am Tisch Platz genommen und ihr Stück Torte bekommen haben,
immer noch der Eindruck von der gesamten Geburtstagstorte erhalten.
Nicht, wenn sie so vorgegangen wären, 1,
2, 3, 4, dann hätten sie hinterher praktisch
nur noch eindeutig eine halbe Torte, das Sämann an.
Das wäre nur noch eine halbe Torte,
wenn der fünfte reinkommt, guckt er auf den Tisch,
da liegt ja nur noch eine halbe Torte.
Wenn jetzt der fünfte reinkommt,
dann hat er immer noch den Eindruck von der ganzen Geburtstagstorte.
So, wenn das aber dann die ganze Geburtstagstorte ist,
dann ist das Ganze geometrisch, bleibt das Ganze geometrisch eine Einheit.
Das heißt, ein Gegenstand. Und wenn wir ein geometrisches
Modell von diesem einen Gegenstand machen wollen, dann bedeutet das,
dass die kannte, die hier senkrecht steht.
Unsere Torte ist ja so ein kleiner Zylinder, nicht so ein flacher Zylinder.
Und da ist in der Mitte ja eine Kante, an der
unsere sämtlichen Tortenspücke zusammenstoßen. Die kannte, die da senkrecht steht,
die wäre dann nur ein ein einziges Mal vorhanden,
weil unsere Torte ja ideellerweise Ich gebe zu,
das geht schon fast wie in Richtung Philosophie,
was wir jetzt machen.
Aber was wir damit zum Ausdruck bringen wollen, ist,
wir haben damit einen Gegenstand. Wir haben einen Gegenstand und
den erhalten wir als einen Gegenstand so lange wie möglich.
Egal, ob wir jetzt an den Seiten irgendetwas abschneiden oder
ob wir eben solche Teile herausschneiden, wie diese Tatenstücke.
Und wenn wir eben alle vier herausgeschnitten haben,
dann wäre jede Normalsterbliche Torte zerfallen.
Und es blieben dann eindeutig nur noch vier Stücke übrig.
Es wäre aber nicht mehr eine Tate. Wir rollen aber
in unserem geometrischen Modell die Einheit dieser vier Stücke erhalten.
Und darum sagen wir, die bleiben hier in der Mitte an dieser einen Kante zusammen.
Und damit bleibt es eine Tate. Und dann hätten wir
genau diesen Fall. Dann haben wir eine Kante,
die gleichzeitig nicht nur zwei Flächen begrenzt,
wie das sonst üblicherweise im realen Leben der Fall ist.
Hier ist eine Kante Begrenzung für diese Fläche und Begrenzung für die Fläche.
Und wenn wir uns zu unser schönes mobiliar hier ansehen,
diese Kante hier ist Begrenzung für die Fläche und begrenzt für die Fläche.
Und so sieht das aus im normalen Leben immer aus.
Aber es kann Situationen geben, in denen aus rein formalen
Gründen eine Kante als eine einzige Kante betrachtet werden soll.
Obwohl sie dann mehrere Flächen begrenzt. Also für dieses Tatenstück
begrenzt sie diese Fläche und die Fläche da hinten meter.
Für dieses Turtelstück begrenzt sie diese Fläche und die Fläche von dahinten hinter.
Und theoretisch könnten wir das auch noch mit mehr Tortenstücken machen,
die da alle in der Mitte zusammenstoßen.
Und da hätten wir dann in der Praxise in einem Prozess
des geometrischen Modellierens eine Situation,
in der wir
eine Kante
... Flächen zusammenstoßen. Und wenn wir jetzt auf dieser Kante
irgendeinen Punkt lokalisieren und die unmittelbare Umgebung dieses Kundes betrachten,
dann können wir diese unmittelbare Umgebung der Oberfläche unseres Gesamtobjektes projizieren,
wie wir wollen, es gelingt uns nicht,
das überlappungsfrei zu tun.
Ja. Und das war also die Situation,
in die sich die Geometriemodellierer irgendwann dann in den späten
70ern und frühen 80er Jahren des vorigen Jahrhunderts bestellt sahen.
Und sie haben überlegt, wie können wir diese Situation jetzt
auch noch in den Griff bekommen. Und was sie gemacht haben,
war, sie haben die sogenannten Nicht-2-dimensional, mannigfaltigen Körpermodelle, erfunden.
Das ist dann in den späten 80er Jahren des vorigen Jahrhunderts passiert.
Und mithilfe dieser Nicht-2-dimensionalen mannigfaltigen Körpermodellen kann man dann in einer geschlossenen Repräsentationsform
sowohl die traditionellen Kantenmodelle unterbringen, als auch die Flächenmodelle, als auch Körpermodelle.
Und immer auch Situationen miterfassen, die nicht zweidimensional landesfertig sind. Also,
wenn wir uns nochmal diesen Gegenstand ansehen, wir können uns dem vorstellen,
wie wenn wir drei Quader so zusammengeklebt hätten,
zwei Quader aufrecht stehen und ein Quader von dem Horizont teilliegen,
der die beiden anderen verwendet.
Dann haben wir also so ein unfarmiges Gebilde.
Das ist ein ganz normal, zweidimensional mannigfaltiges Objekt,
dass wir mit unseren Volumenmodellen, wie wir sie oder Körpermodellen,
wie wir sie jetzt vorhin kennengelernt haben, Jetzt?
Kann es aber sein,
dass zum Beispiel Bauingenieure dieses Modelliersystem verwenden wollen und damit nicht nur den Baukörper,
den sie einmal errichten wollen, beschreiben möchten,
sondern auch noch Informationen mit da hineinbringen wollen in dieses geometrische Modell,
die für Bauingenieure sehr wichtig und interessant ist.
Zum Beispiel die Information, dass sie an dieser Stelle
eine Flittebene durch das Objekt
legen möchten
Ja. Eine rein abstrakte Ebene, von der Sie sagen,
diese Ebene liegt an dieser Stelle und schneidet also mein Objekt.
Warum könnten wir unseren Hörer auf die Idee kommen,
eine abstrakte Ebene durch einen Baukörper zu legen und zu sagen,
das ist ganz wichtig, ich möchte sagen können,
an dieser Stelle möchte ich dieses Objekt mit dieser Ebene zum Schnitt bringen.
Das ist bezweiflung der Wasserohrfläche darstellen. Das könnte zum Beispiel eine Wasseroberfläche darstellen.
Wenn ich also zum Beispiel an unseren Hafenbau denke, könnte ich sagen,
mein Baukörper ist ein Objekt dass teilweise unter Wasser liegt,
teilweise oben rausragt, wie eine Kaimauer oder so etwas.
Und wir wollen also angeben können,
an dieser Stelle liegt bei dem und dem Gezeitenstand der Wasserspiegel.
Wäre eine Möglichkeit. Ja, das ist also dann eine Ebene,
die dann mit eingezogen wird,
die mit dem Baukörper direkt nichts zu tun hat,
aber die aussagekräftig ist für alle, die jetzt damit arbeiten wollen.
Ja, da kann also der entwerfende Bauingenieur sagen,
und bei einem normalen Hochwasser steht der Wasserspiegel an der Stelle
Es gibt noch andere Gründe für Bauingenieure zu sagen,
ich definiere hier eine Ebene, mit der ich meinen Baukörper zum Schnitt bringe.
Das machen die dann, wenn sie die anderen Menschen,
die am Bau beteiligt sind,
an der Bauausführung beteiligt sind, darauf aufmerksam machen wollen,
wie es an der Stelle da drin aussieht.
Dann wollen die nämlich sagen, wenn ich hier durchschneiden würde und
mir die Schnittfläche ansähe, dann sähe die Schnittfläche so aus.
Dann hätten wir da die Kanten der Schnittfläche. Und im
Inneren hätten wir durchgeschnitten Eisenstamm, die so angeordnet sind.
Ja. Und das ist wichtig für die Menschen,
die hinterher den Bau ausführen, die den Bau tatsächlich in die Tat umsetzen.
Die Pläne der Bauingenieure in die Tat umsetzen. Die kriegen ja gesagt,
die äußere Form, die kann man daraus sehen.
Aber was müssen sie eigentlich da reinstecken in die äußere Form? Und dann wissen die,
aha, hier muss ich also Eisen stammen,
in die Ecke stellen, die so angeordnet sind,
wie sie hier im Querschnitt zu sehen sind,
die dann einen ganz bestimmten Abstand zu den Außenkanten haben und
einen ganz bestimmten Abstand untereinander haben und so weiter.
Und der Rest ist einfach betont. Wenn also nichts weiter angelehnt ist.
So, diese Ebene sieht man hinterher nicht mehr.
Also ich gehe jede Wette ein, dass es Pauingenieure gegeben hat,
die beim Entwurf dieses Gebäudes da an den dicken Spützen zwischen den Fenstern genau so etwas gemacht haben,
in der Entwurfsphase, dass sie gesagt haben,
wenn ich da durchschneide, dann kann ich eine Anordnung von Eisenstein
Den haben die Leute, die das hinterher gebaut haben,
dann auch in ihre Schalung tatsächlich diese alte Distanz so
da reingestellt und dann den Beton dann gegossen.
Ja, und die Ebene sieht man nicht mehr.
Ich sehe es jedenfalls nicht. Wir waren aber in der Entwurfsphase
ein ganz wesentlicher Bestandteil und darum sind sie ein wesentlicher Bestandteil
für den Bauingenieur, ein wesentlicher Bestandteil des geometrischen Modells.
Und diese Ebenen haben Wie hier eine Kante erzeugen, eine Kante,
an der sie auch die Außenfläche dieses Gegenstandes stoßen und entlang dieser Kante,
haben wir also in diesem Gesamtmodell Punkte, den Lichttoppologisch zweidimensional sind.
Ganz ähnliches gibt es in der Situation, Bräunchenhöre,
definieren auch gerne sogenannte Systemlinien. Das sind häufig die Linien,
die praktisch in der Schwerachse und in der Mittelachse der Bauteile liegen.
Denn sie beziehen viele ihrer Brechen auf diese Systemlinien.
Und dann muss man wissen, wo die Systemlinien tatsächlich angeordnet sind.
Und darum sind für Braingenieure diese Systemlinien tatsächlich Bestandteil des Modells.
Auch wenn es das hinterher nicht mehr geht. Also muss man
in dem Modell tatsächlich auch diese Systemlinien mit repräsentieren können.
Und dazu sind diese nicht zweidimensional mannigfaltigen Körpermodelle ohne Probleme geeignet.
Nochmal eine kleine geometrische Ergänzung. Wenn wir uns vorstellen,
wir hätten also diesen U-Firmen mit dem Gegenstand modelliert und dann kommen wir auf die Idee,
ach, wir wollen jetzt hier auf diese Seite,
die das Us noch eine Pyramide setzen,
deren Basis also hier angeklebt ist und damit also da befestigt wird,
integraler Bestandteil dieses Gegenstandes dieser Seite ist,
und die Spitze dieser Pyramide, die soll in der Fläche siegen,
und zwar garantiert in der Fläche liegen.
Dann hätten wir hier auch an dieser Stelle einen Punkt,
bei dem wir nicht topologisch zweidimensional sind.
Das können wir dann in unserem Modell auch ohne große Probleme mit berücksichtigen.
So, soweit zu Modellen, zu begrenzungsbasierten Objektmodenten, ja?
Ich habe keine Freiburg mal zu bezeichnen. Ja. Zylinder
wäre es jetzt nicht zweidimensional. Doch. Ein Zylinder,
wenn sie also z.B. so einen zylindrischen Baustein haben,
in ihrem Baukasten. Wenn wir ein Stück von diesem Stab
abschneiden, dann hätten wir ja so ein Stückchen Zylinder.
Das ist von vorne bis hinten
ordentlich topologisch
Kein... Es gibt keinen Punkt auf der Oberfläche dieses Zylinders,
dessen Umgebung wir nicht eindeutig in eine Ebene projizieren könnten.
Ja, das war das Kriterium. Wenn wir einen Punkt auf der Oberfläche haben,
dessen unmittelbare Umgebung wir nicht eindeutig in eine Ebene projizieren können,
dann ist in diesem Punkt die Oberfläche nicht zweidimensional meine Stadt.
Das war cool. Da hätte man ja auch Kohle,
wenn man das jetzt auch eine ähnliche ganze Kugel bringt, eine Inne projiziert.
Das sind die beiden Kohle ja nicht halt durch Darstellung. Google. Doch die Pole,
das sind ja nur von Ihnen willkürlich gewählte Punkte,
die sind in Bezug auf die Form der Kugel,
sind die Bohne keine Punkte,
die sich von irgendeinem anderen Oberflächenpunkt in irgendeiner Form unterscheiden.
Rein geometrisch, in Erfahrung, ja. Und das heißt also,
Sie können dann im Prinzip jeden beliebigen Punkt auch einen Pol betrachten,
die unmittelbare Umgebung dieses Punktes analysieren und sehen,
kann ich diese unmittelbare Umgebung dieses Punktes in eine Ebene projizieren,
ohne dass es Überlappungen gibt.
Gibt es eine Ebene in dich, die ich projizieren kann?
Und die gibt es dann immer. Freut sich lieber als kämpfen
zu weiter. Tja, genau, wie beim Scannen,
beim Scannen kommt das auch immer darauf an,
dass ich alles mitkriege von der Oberfläche.
Und wenn also es irgendwo eine Umgebung gibt, die ich
Bei der ich nicht alles mitkriege, egal wie ich den Scanner stelle.
Wann weiß ich, da habe ich Probleme. Und das
ist vergleichbar. Okay. Das nächste ist jetzt also,
wie beschreibe ich jetzt die Oberfläche oder alles,
was das Objekt begrenzt, bei einem beliebig komplex gestalteten Objekt.
In der Regel ist es nicht so, dass ich sage, ich schreibe eine Flächenformel.
F ist gleich und dann habe ich eine Formel,
die mir die gesamte Oberfläche eines Objektes sei,
das nun ein Flugzeug, ein Schiff,
eine Skulptur von Michel Angelo oder sonst irgendwas beschreibt.
Üblicherweise muss ich eine solche Fläche in Teilflächen zerlegen und dann beschreibe ich
diese Teilflächen jeweils für sich in ihrer Form und setze die dann zusammen,
sodass sie am Ende die Gesamtoberfläche ergeben.
Also Beispiel, mein altes Auto, das in dieser Form
wahrscheinlich nicht mehr existiert. Ich habe es vor einigen Jahren
verkauft. Vielleicht existiert es noch, keine Ahnung.
Das ist so etwas. Ich würde nie versuchen,
ich habe keinen Automobilbauer, versuche das.
Die Gesamtoberfläche eines solchen Automobils als eine Einheit zu beschreiben.
Sondern wir zerlegen die. Und zwar häufig in funktionale Einheiten.
Zum Beispiel sagen wir, wir haben die funktionale Einheit Windflutscheibe.
Wir haben die funktionale Einheit Kleinwerfe. Wir haben die funktionale
Einheit, Motorraumhaube. Wir haben die funktionale Einheit für.
Das können wir also praktisch jeweils als eine Einheit
betrachten und dann die Einzeloberflächen
Schreiben und hinterher einfach zusammensetzen. Und dann wissen wir,
geometrisch gesehen ist diese Begrenzung, diese Kante, der diese Windschutzscheibe begrenzt,
auch gleichzeitig, zum einen hier die Begrenzung zum Dach,
hier die Begrenzung zur Motorhaube und so weiter.
Das heißt also, wir können eine beliebig komplex gestaltete Objektoberfläche in Teilflächen aufteilen.
Ich habe das hier mal für so etwas wie eine menschliche Hand auch gemacht. Nicht das,
wenn wir also einen Avatar kreieren wollen,
der seine Finger bewegen kann,
dann könnten wir die Oberfläche der Hand praktisch in solche sinnvollen Teilflächen aufteilen und sagen,
daraus setzt sich dann die gesamte Hand zusammen und die einzelnen Teilflächen hätten dann die Möglichkeit,
sich individuell zu bewegen und dann eine entsprechende Verfarmung und Transformation der begrenzenden Kanten auch herbeizuführen.
In der Technik, in anderen Gebieten haben wir das auch beim Schiffbau,
Schiffbauer haben seit Jahrhunderten so gedacht und gebaut.
Sie haben sich immer vorgestellt, ein Schiff,
können wir entsprechend den Bauvorschritt im Grunde genommen in Teile zerlegen.
Wir können bei einem Schiff eindeutige Raumkurven identifizieren,
die den Schiffsrumpf aufspannen und diese eindeutigen Raum
Ja. Ich weiß nicht,
wer von Ihnen schon mal ein Schiff auseinandergenommen hat.
Ist ein bisschen schwierig. Bei den großen Schiffen,
die hier bei uns im Hafen rumlaufen, aber kleinere,
da kann man das vielleicht schon mal machen oder sich ansehen.
Ein Schiff. Bei einem Schiff ist die Außenoberfläche gespannt über so eine Art Grippe.
Und dieses Grippe setzt sich zusammen aus einzelnen sogenannten Spannten.
Das sind die einzelnen Ritten, die so hintereinander aufgestellt sind.
Auch den Key. Wir haben also
hier in Kiel unseres Schiffes und da sind Gespannten draufgestellt
Und über die Spannten wird dann die Außenhaut des Schiffes gezogen.
Damit ist die Form der Pfannten eine maßgebende Form für
die Form des Schiffes. Und eine andere maßgebende Form,
die für die Schiffbauer interessant ist, ist die Form der sogenannten Wasserlinien.
Das sind Linien, die praktisch von vorne nach hinten,
oder von mir aus von hinten nach vorne, über den Schiffsraum laufen.
Und wir können uns diese Linien generiert denken als Linien,
die in denen sich der Schiffsrumpf mit der Wasseroberfläche schneidet.
Wenn sie also das Schiff bis zu einer bestimmten Last beladen haben,
sinkt es entsprechend tief ins Wasser ein und dann können sie
an der Wasseroberfläche entlang eine Linie auf den Schiffsrumpf malen,
dann packen sie ein paar Tonnenladung mehr rein in das Schiff,
aber schön gleichmäßig verteilen.
Und dann senkt sich das Schiff fünf gleichmäßig ab und dann
kriegen sie parallel zu der ersten Linie eine neue Linie an
der Wasseroberfläche entlang und auf die Weise können sie also
eine ganze Scharfamilien über den Schiffsrumpf zeichnen
Und diese Linien können sie dann mit den Spannlinien zum Schlitt
bringen und erhalten dadurch praktisch immer solch ein Netz von Linien mit einzelnen Machen.
Und für diese einzelnen Massen müssten sie dann die Fläche bestimmen.
Und damit hätten sie dann die Gesamtoberfläche des Schiffes.
Das ist im Prinzip die Vorgehensweise von Schiffbauern. Dann,
ich habe meinen Flip gefunden, können Sie das Schiff sehen?
Das war ein Schiff, das habe ich hier,
ein Fischerboot, das ich auf dem Strand von Usedom gesehen habe.
Und da kam man sehr schön hier die Spannte
Erkennen. Ja, wie ritten,
auf die dann praktisch die Außenhaut des Schiffes,
in diesem Fall also die Beplankung, einfach so das Wetter aufgelegt sind.
Und das gibt dem Schiff die Frauen. Und vom Prinzip her
wird das auch bei riesengroßen Ozeantankern oder Containerschiffen auch noch genauso gemacht.
So, die Schiffbauer konstruieren ihre Schiffe darum,
auch in so etwas wie einer Drei-Tafel-Projektion, das,
was sie aus der Architektur mit Kontriss aufriss,
Seitenriss kennen
Das nennen die Schiffbauer auch Seitenansicht und drauf sich.
In der Seitenansicht können wir die Positionen der einzelnen Spanden sehr schön sehen.
Und das sind dann natürlich im einfachen Fall alles ganz einfache Parallele, vertikale Geraden.
Die senkrecht auf dem Tief stehen. Und parallel zum Boden
haben wir die Wasserlinien, die dann auch einfache Graben sind.
Das heißt also, in der Seitenansicht hätten wir in diesem einfachen Fall
nichts weiter als ein Gitternet von orthogonalen Linien, die Wasserlinien und Spannklinien repräsentieren.
Wenn wir uns das Ganze in der Draufsicht ansehen,
dann sind unsere Banken auch weiterhin einfache Graden.
Aber unsere Wasserlinien, unsere Wasserlinien sieht man dann schon,
die Form unseres Schiffes ein. Damit haben wir unser Schiff noch nicht ganz eindeutig beschrieben und darum verwenden die Schiffbauer noch eine dritte Ansicht,
die gucken sich per Schiffbau vor,
beziehungsweise von hinten auch nochmal an,
denn bis jetzt sind die Spannten immer nur einfache Graden gewesen und wir können also daraus die spannenden Formen noch nicht wirklich herleiten und das machen wir dann,
wenn wir das Schiff in längst Richtung betrachten und da machen die Schiffbauer,
dass dann beispielsweise meistens zum Mitrefilm sind, so,
dass sie auf der einen Seite den Blick von vorne und auf der anderen Seite den Blick von hinten darstellen.
Und ihm senden wir verfahrene, das Schiff betrachten, dann sehen unsere Spandlinien hintereinander gestaffelt,
so aus und dann wird das Schiff von hinten betrachten,
dann sehen wir die Spanklinien, wie so aussehen.
In der Realität ist das Ganze, wie gesagt,
symmetrisch und wir müssten theoretisch zwei Ansichten, zwei Komplettansichten machen,
eine, auf der wir das gesamte Schiff von vorne betrachten und eine,
auf der wir das gesamte Schiff von hinten betrachten, aber wie gesagt,
es ist dann ganz symmetrisch in den meisten Fällen und darum reicht das, wenn wir immer die Hälfte darstellen.
Ja, und hier sehen wir also, da haben wir Kurven,
traditionell sind das Ebene Kurven, deren Farm wir bestimmen müssen,
die wir mathematisch beschreiben müssen und diese Kurven,
die spannen dann praktisch so ein Gitternitz auf,
dass die Außenform unseres Schiffes umschließt und in diesem Internets müssen wir in einem nächsten Schritt die Massen fütz, um die gesamten, profälschen, beschreiben.
Das ist emitt, die Formen, die kovs, wemög.
Und das mög, das ist das ehren
Doch. Und haben einfach diese Kurven bemalt, 1 zu
1 auf die Werft getragen sozusagen und dann entsprechend ausgeschnitten.
Aus dem Holz und damit dann die Schiffsfarm hingekriegt.
Das hat in vielen Fällen geklappt, in einigen Fällen auch nicht,
dann sind die Fiffe doch nicht ganz so filmstabil gewesen,
wie sich die Schiffshauber das mit ihrer Intuition gedacht haben und dann sind sie beim Stapellauf auch gleich gesunken.
Und da hat man sich dann überlegt, ja,
ehe man immer so ein quasi 1 zu 1 Modellversuch macht,
sollte man sich doch mal überlegen,
ob man schon vor Abberechnungen durchführen kann, aus denen hervorgeht,
ob das Schiff, dass man sich das so ausgedacht hat,
auch tatsächlich schön stabil ist.
Ja, und das macht man eigentlich schon seit ein paar Jahrhunderten,
seit man die Mathematik dazu einigermaßen im Griff hat.
Und die Mathematik dazu ist eben, die Mathematik,
die man braucht, um solche Kurven zu bestimmen.
Und dann im einfachen Fall zu sagen, okay,
eine gute Nähe dann ist, wenn wir diese Fläche irgendwo relativ druck annähern,
die müssen wir nicht unbedingt auf den Millimeter genau berechnen.
Das reicht, wenn wir die einigermaßen grob annähern,
dann hinterher der Schiffszimmermann,
der die Planken irgendwo aus dem Holz auf die spannenden,
auflegt und festmacht,
der kriegt das auch nicht auf den Millimeter so hin,
wie wir das mal ausgerechnet haben.
Und darum brauchen wir so genau auch nicht zu rechnen.
Das muss aber im Großen und Ganzen stimmen.
Und dazu reichte es in den Anfangszeiten durchaus,
wenn man die Schiffsform über die Spannten und die Wasserlinien
einigermaßen exakt beschrieben hat.
Ja, und wie hat man,
wie kann man
diese Kurven beschreiben
Repräsentieren für die Computergrafik könnte man sie einfach dadurch, dass man Folgen von Punkten eingibt.
Das heißt also, ich sage einfach, dies ist eine Kurve.
Und sie werden alle dieses Ding als eine Kurve erkennen.
Wenn ich aber spitzfindig bin, dann ist das eigentlich gar keine Kurve,
sondern dann ist das eine riesengroße Anzahl von kleinen weißen Kreidepartikeln,
die hier auf die Tafel aufgetragen worden sind und deren Gesamtheit irgendwo die Form einer Kurve repräsentiert.
Und wenn ich dieses hier für irgendwelche Berechnungen benutzen wollte,
hieß es hier, dann hätte ich sehr große Schwierigkeiten.
Wenn ich ein Modell davon machen würde, von der Realität machen würde,
dann müsste ich praktisch ein Modell von von dieser Menge von Kreidepartikeln machen und versuchen,
mit diesem Modell in irgendeiner Form zu arbeiten und Berechnungen durchzuführen.
Was ziemlich aufwendig ist. Darum ist es irgendwie besser,
wenn wir die gleiche Form, mithilfe einer Abstrakten zunächst einmal abstrakten mathematischen Formel beschreiben könnten.
Denn damit könnten wir dann hinterher auch weiter arbeiten.
Dann können wir zum Beispiel eine solche Kurve manipulieren,
indem wir bei der mathematischen Formel die Koeffizienten in irgendeiner Form beeinflussen und sehen, was passiert eigentlich,
wenn ich den Koeffizienten so verändere und den so verändere,
wie verändert sich die Form der Kurve.
Also, mein Wunsch ist, eine Formel jeweils zu finden,
die die Form einer Kurve möglichst gut wiedergibt.
Und ja, da gibt es dann unterschiedliche Methoden, das zu machen.
Hier können Kurvenformen beschreiben. Zum einen in der Form,
die sie irgendwann schon vor vielen,
vielen Jahren in der Schulmathematik kennengelernt haben, mit Hilfe der expliziten Notation.
Das heißt also, wir geben einfach an,
unsere Kurve ist beschrieben in der Form Y ist eine Funktion von X. Okay,
Beispiele, die Ihnen alle läufig sind,
wäre eine Parade,
Y ist gleich AX Quadrat Plus
Diese schöne Kurve,
die ihn aus der technischen Informatik sicherlich bekannt ist,
Y ist gleich Sinus, Frix in der einfachen Form,
dann können sie den auch ein bisschen manipulieren.
Und dann haben sie eine Kurve beschrieben, die also diesen Höfenverlauf hat.
Diese explizite Notationsform, die ist unheimlich vorteilhaft. Zum einen,
wir kennen die schon unheimlich lange und sind damit vertraut.
Zum anderen hat die den ganz großen Vorteil,
dass es wirklich ein eindeutige Zupartner zwischen der abhängigen und der
unabhängigen Variablen gibt
Das heißt also, wir können zum Beispiel
unsere unabhängige Variable in einem Definitionsbereich, von einer Untergrenze,
zu einer Obergrenze inkrementieren, in gleichmäßigen Schritten inkrementieren.
Und wir halten dann für jeden Wert unserer unabhängigen Variablen
einen eindeutigen Wert unserer abhängigen Variablen. Und damit können wir
den Graphen einer solchen Kurve sehr schön darstellen. Das heißt also,
wenn wir hier zum Beispiel unser X hier beginnen,
inkrementieren, erhalten wir immer das passende Hübsimon dazu.
Und können also den Graphen kontinuierlich abfahren.
Das Gleiche gilt also hier in diesem Fall für unsere Sinusfunktion.
Ein kleines Problem haben wir. Wenn wir unsere praktische Anwendung
betrachten, im Schiff bauen. Das Gleiche gilt für
den Flugzeugbau und für viele andere Anwendungen auch.
Dann gibt es gemeine Kurven, die sehen so aus.
Wenn wir uns diese Stelle hier angucken und da mal die senkrechte Tangente dranlegen,
dann stellen wir fest, die Kurve ist rückläufig.
Das heißt, für einen Wert der unabhängigen Variablen gibt es
kein eindeutiges Gegenstück in der abhängigen Variante.
Und solche Kurven sind nicht ungewöhnlich. Nicht,
wenn wir uns also Pfiffe vorstellen, die die bezeichnende U-Boot haben,
dann haben wir Spannten, die rund laufen.
Und das Gleiche gilt für Flugzeuge. Flugzeuge sind vom Prinzip
her genauso wie Schiffe, konstruiert auch im Flugzeug,
finden sie,
wenn sie mal die
Montieren. Können Sie dahinter die Spannung sehen,
aber Sie machen sie ununterliebt, dann sollten Sie es lieber nicht machen.
Aber dann könnten Sie dahinter auch die Spannung sehen.
Und die Spannten beim Flugzeug laufen so rum. Das Flugzeug
ist ja im Grunde genommen so was wie eine lange,
runde Zigarre, mehr oder weniger. Und solche Spannformen,
die können Sie natürlich in der expliziten Notationsform nicht beschreiben,
weil Sie damit rückgläufige Kurven nicht direkt beschreiben können.
Man könnte jetzt natürlich irgendwie tricksen und sagen, okay,
wenn ich was Rückläufiges machen will,
dann kann ich bei einer solchen Form sagen,
ich beschreibe zunächst einmal die Kurve von da nach da und
dann die Kurve von da nach da und setzt die beiden einfach zusammen.
Wird aber ein bisschen aufwendig. Das hat man
früher gemacht, aber das ist ein bisschen aufwendig.
Die Mathematik gibt uns ja noch andere Möglichkeiten.
Kurvenformen zu beschreiben, nämlich zum Beispiel die implizite Form.
Das heißt also, die Form, die wir so notieren,
Ether und X und Y ist konstant,
wenn wir es als eben das Problem betrachten.
Und damit können wir so was Hübsches machen, die einen Kreis,
den wir also beschreiben können als x Quadratbus Y Quadrat gleich Erdquadrat.
Und da steht jetzt alles drin. Da haben wir also
den Kreis auch mit seinen Rückläufigkeiten. Oder diesen hübschen Brah-Grafen.
Das Kathese für Blatt, X-O-3 plus Y hoch 3,
minus 3, XY ist gleich null.
Gibt uns diese schöne Form, die beginnt asyntotisch an dieser M45,
Grad nach links hoch geneigten Asymptote,
läuft dann einmal so rum und geht dann hier asyntopisch wieder weg.
Sehr schön damit beschrieben. Der Nachteil dieser notationsform,
bisher für uns ist, wie können wir so etwas,
dass wir in Form einer solchen Gleichung gegeben haben?
Grafisch darstellen
Also der schöne Vorteil, den wir hier hatten,
dass wir einfach in unserem Definitionsintervall für unseren unabhängigen Variable
ein X reinfüttern und das Y passend dazu kriegen,
dann das X, um ein gegebenes Delta-X-Inkrementieren,
das nächste Y herausfinden und dann also punktweise tatsächlich den Grafen dieser Kurve kreieren und auf dem Grafen der Kurve entlang wandern,
das kriegen wir hiermit nicht hin.
Da müssen wir praktisch über das Gleichungssystem lösen und herausfinden,
für welche Paare XY ist das Gürtel.
Und dann könnten wir zum Beispiel bei einem genügend feinen Raster und einer gewissen Toleranz,
die wir vorgeben, unsere Kurve in der Ebene gerastert darstellen.
Dann finden wir da mal einen Punkt,
der dann auf der Kurve liegt und dann finden wir da
einen und hören mal da an und wenn man da ein,
aber wir haben nicht dieses viel Natürlichere, dass die Kurve kontinuierlich generiert werden,
sondern sie wird einfach so mehr oder weniger willkürlich und Abhängigkeit von dieser Gleichung, punktweise, was da punktweise generiert.
Das ist nicht unbedingt schön. Also brauchen wir eine Form,
eine Beschreibungsform für Kurven, die zum einen die Vorteile unserer Implicity,
Notationsform hat und es uns gestartet,
rückläufige Kurven zu definieren und die zum anderen die Vorteile unserer expliziten Notationsformen hat,
die es uns gestattet,
unsere Kurven kontinuierlich zu beschreiben und garantiert immer zu jedem Punkt,
den wir generieren, den nächsten Punkt,
auf dem Grafen der Kurve zu finden.
Und da haben sich die Mathematiker ein schönes Verfahren ausgedacht,
dass wir die parametrischen Notationen in parametrischer Notationsform darstellen können.
Da haben wir also ein X beschrieben durch eine Funktion von
einem Parameter Tee und das Y beschrieben durch eine andere Funktion vom Parameter Tee.
Dieses Tee ist ein gemeinsamer Parameter, Rontex und Y
werden unabhängig voneinander beschrieben. Aber was ich jetzt mache,
Ich kann meinen Tee variieren im gegebenen Definitionsbereich.
Das heißt, ich beginne also an der Untergrenze unseres Definitionsbereiches an.
Gebe einen Tee vor und kann dann für dieses Tee,
sowohl er X als auch an Y errechnen.
Dann inkrementiere ich meinen Tee um ein vorgegebenes Inkrement Delta Tee
und kann dafür wieder ein passendes Rix und ein passendes Y errechnen.
Und kann also auf diese Weise tatsächlich wieder ganz und ehrlich,
auf der Kurve entlangwandern, so wie ich das bei der expliziten Notationsform auch gemacht habe.
Aber ich kann jetzt auch Formen beschreiben, die rückläufig sind,
so wie wir sie vorher nur bei der impliziten Notationsform kennengelernt haben.
Also ich kann zum Beispiel einen Kreis beschreiben,
indem ich diese Kreisgleichung verwende. Das heißt also,
X ist gleich ärmer T und Y ist eher mal 1
minus Tequa 3. Wurzel aus 1 minus Tequa 3.
Und damit habe ich mit einem fortlaufenden T praktisch
die Punkte auf einem Kreisbogen beschrieben
Trotzdem haben positive und negative Vorzeiten. Das heißt,
an Wurzeln kann ich positiv und negativ auswerten,
damit kriege ich beide Kreisgebühren raus. So. Oder mein kathesisches
Blatt kann ich ebenfalls auf diese Weise beschreiben. Das heißt also,
ich habe die Vorteile der expliziten Notationsform, die wir gestatten,
Kurven beliebiger Gestalt zu beschreiben und auch grafisch darzustellen und ich habe die Entschuldigung.
Die explizite Form, die ist mir gestattet,
ist leicht grafisch darzustellen. Und der implizit die Form,
die ist mir gestattet, Kurven beliebiger Form zu beschreiben.
Das einzige kleine Problemchen, das ich habe, ist,
ich habe es nicht immer einfach eine geeignete Parametrische Notation für eine gewünschte Kurve zu finden.
Aber irgendwie geht es. So, hier hatte ich noch hingeschrieben,
dass dieses hier mögliche Parametrisierungen sind, Damit möchte ich darauf hinweisen,
dass die Parametrisierung im Prinzip relativ willkürlich sein kann.
Wir können ein und dieselbe Kurve beschreiben auf unterschiedliche parametrische Weise.
Einen Kreis zum Beispiel habe ich hier beschrieben mit x gleich Hermalt
Tee und hipsterland gleich ärmer Wurzel aus 1 minus di Quadrat.
Ich könnte den Kreis auch anders beschreiben
Es könnte den einen oder anderen von Ihnen auch bewusst oder unbewusst
eine mögliche parametrische Beschreibung für einen Kreis sein.
Ja? Ja, wir haben ja schon Polarpoker,
das sieht man schon. Wie sähe das dann aus?
Ja, es wäre ärmer als minus
Geht doch alles hin. Das wäre im Prinzip genau der gleiche.
Krass. Mit demselben Grafen, den wir gerade erzeugen.
Das heißt also, ich habe zwei vollkommen unterschiedliche Herangehensweisen.
Einen, eine an und dieselbe Kurve, eine Kurve,
eine und derselben Form zu beschreiben.
Wir können uns in ihm, diese parametrische Form vorstellen,
als die Beschreibung der Bewegung eines Punktes durch den Raum in
Abhängigkeit von der Zeit
Ja, und ich glaube, das haben unsere Vorfahren,
soweit sie Mathematiker waren, auch so gedacht.
Denn ich vermute mal,
aus dem Grunde haben sie sich häufig den Parameter Tee genannt,
Tee in der Wissenschaftlersprache der früheren Jahrhunderte stand, als Abkürzung für Tempus.
Und das bedeutet Zeit. Und wenn wir uns das so vorstellen,
dann können wir sagen, zu einem Zeitpunkt Tee gleich Tee 0,
hat meinen Punkt die Position XY,
die sich aus diesen Formen ergibt
Wenn ich Tee um ein Delta-Tee inkrementiere,
das heißt also um eine Sekunde oder eine Zehntelsekunde oder was auch immer,
weiterschalte, dann ist mein Punkt gewandert in diese neue Position,
die sich wiederum aus den Formeln für F&P und G von Tee ergibt.
Und dann inkrementiere ich Tee um die nächste Zeiteinheit
und finde die nächste Position meines Punktes.
Und so kann ich also in Abhängigkeit von der Zeit
den Weg meines Punktes durch den Raum beschreiben
So. Jetzt wollte ich aber darauf hinaus. Auch die Parametrisierung
und auf die Willkürlichkeit der Parametrisierung. Stellen wir uns vor,
wir hätten auf diese Weise in Abhängigkeit von der Zeit
die Bahn eines Slalom-Skifahrers beschrieben. Dann haben wir einen Zeitpunkt T0,
da steht unser Skifahrer oben an der Piste,
dann fällt der Startschuss und der saust da irgendwo runter,
kommt unten an und dann wird die Zeit wieder gestoppt und da
kann man sehen,
wie lange er
dafür gebraucht hat
Dann hat er also eine ganz bestimmte Bahn in dieser Zeit durchlaufen.
Und das ist mit der Präzisionstoppur der Spezialisten da genau festgehalten worden.
So, nun stellen Sie sich vor,
ich stehe daneben, mit meiner ganz normalen Armbanduhr.
Und wen auch ungefähr wissen, wie der da fährt.
Und wenn der Startschuss fällt, dann gucke ich auf
meine Uhr und dann dickt das so runter.
Und wenn ich sehe, der fährt da unten über die Ziellinie,
gucke ich wieder ran drauf und dann sehe ich,
wie spät es dann ist
Und wenn ich jetzt das, was ich mit meiner Armbanduhr gemessen habe,
mit der Präzisionsmessung der Spezialisten vergleiche, sehe ich,
naja, also irgendwie gibt es da schon deutliche zeitliche Abweichungen.
Das heißt also, auf meiner Armbanduhr hat dieser Parameter Zoll
ganz anders getickt, als auf der Präzisionsmessur der Spezialist.
Ist damit der Skifahrer Aufgrund meiner anders gearteten Armbanduhr,
auf einer anderen Bahn den Berg runtergefahren, als der Skifahrer,
der von den Spezialisten mit ihrer Präzisionsmessuhr gemessen worden ist.
Ja, eigentlich natürlich, aber man kann ja sich präsentieren,
so wie ich trans von Passumieren, sonst war ich sofern die Abwöhnung natürlich,
die aktiver bleibt und dass die immer eindeutig.
Das ist Tee oder was nutzen wir, das wird zu zweit geworden.
Man kann den Parameterraum beliebig transformieren, Man kann,
wie wir hier gesehen hatten, sogar unterschiedliche Funktionen für die Beschreibung verwenden.
Die Bahn des Punktes durch den Raum bleibt dieselbe. Und das ist etwas ganz Wichtiges,
was wir uns bei der Parametischen Notationsform noch merken sollten,
auch wenn es manchmal schwierig ist,
in einer Richtung eine gute Parametrisierung zu finden,
vergessen wir das mal und überlegen kurz,
vielleicht gibt es eine andere,
die ist viel einfacher
So, an der Stelle möchte ich für heute Schluss machen.
Ich danke Ihnen für Ihre Aufmerksamkeit und wir sehen uns dann
nächste Woche Montag wieder um 12 Uhr 15 gut