Nochmal ganz kurz, was Organisatorisches bekannt geben in eigener Sache.
Ich denke mal, einige von ihnen haben das oder werden das schon bemerkt haben.
Es gab also noch ein Problem bei der Raumplanung und das oder die Rechnerstrukturen,
Tutorien, also sprich diese freiwilligen Gruppen,
wo man also nochmal Fragen stellen kann, finde ich,
wie ursprünglich angekündigt, also irgendwo in die oder ein Haus,
die irgendwo starrt, sondern sind jetzt also in F 1,
1, 3, 2,
nur dass sie das dann entsprechend finden.
Also ich habe das jetzt hier auf den Webseiten bzw. im
Stundenplan dann also auch noch passend geändert. Gut,
heute werden, ich werde ich anfangen mit dem fünften Kapitel,
wo es also im Prinzip um Ziffern und Zahlen oder Zahldarstellungen geht.
Also gerade das ist immer so eine etwas schwierige Sache,
weil da muss ich mir zugeben, ich vermute mal den meisten von ihnen,
wird das also im Prinzip aus der Schule bekannt sein.
Das heißt, das werden jetzt also nicht so viele neue
Herbei sein, falls es langweilen sollten, stören sie nur
noch bitte die anderen nicht. Aber ich wäre dann zusehen,
dass ich das einigermaßen schnell so weit über die Bühne bringe,
zumindest insofern meine Stimme das mitmacht.
Also ich habe so eine leichte Erkältung, ich denke mir,
das hört man auch, aber gut.
Gut, das fünfte Kapitel ziffern uns Sahlen,
würde ich jetzt also eingangs erst nochmal ein bisschen was generelles
zur Historie sagen,
also im Prinzip
Zahlen wozu
Wenn ich also vom Konzept her, ist es natürlich so,
also eine Zahl dient einfach dazu, also irgendeine abstraktierte Anzahl von Objekten zu messen.
Diese Objekte müssen letztendlich dann eben irgendwo abzählbar sein.
Abstrakt damit ist also im Prinzip das gemeint,
was sie unten dargestellt ist, dass ich ihm quasi vom Konzept her sage,
2 plus 5 ist gleich 7, unabhängig davon,
also ob ich das jetzt also für Äpfel,
für Birnen oder für was weiß ich betrachte.
Also das ist ja jetzt mit dem abstrakten Konzept
letztendlich gemeint
So, wenn man sich jetzt Zahlen beziehungsweise Zahlensysteme anguckt,
dann ist eigentlich immer interessant, erstmal überhaupt der Zahlenbereich.
Also sprich, was ist die kleinste,
was ist die größte darstellbare Zahl?
Dann welche Arten und Möglichkeiten gibt es negative Werte darzustellen?
Wie sieht das mit Nachkommastellen aus? Also sprich,
das, was wir also in der Mathematik dann,
also in der Regel mit gebrochenen Werten erreichen.
Und wir werden eben
sehr große Zahlen dargestellt
Unterschiede in den Zahlensystemen gibt es dann eben auch noch hinsichtlich
der Art und Weise, wie jetzt die Rechenoperationen unterstützt werden.
Das heißt, da hat man eigentlich erstmal die vier Grundrechenarten.
Das ist natürlich das, was man also primär erstmal irgendwo realisieren möchte,
teilweise je nach Zahnsystem kann es dann aber auch noch interessanter sein,
also auch noch andere Operationen vielleicht noch mit zu unterstützen.
Bin ich interessant, ist bei dem Ganzen dann eben auch
immer mathematisch gesehen jetzt die Frage, wie sie das mit der Abgeschlossenheit unter diesen Operationen aus.
Das heißt, wenn ich jetzt zwei Zahlen habe, jetzt irgendeine Operation ausführe,
habe ich als Ergebnis dann eben wieder was, was in diesen Zahlenbereich ist.
Oder habe ich den dann letztendlich verlassen? Und das sind dann also nachher auch Fragestellen,
die also für uns als Informatiker letztendlich interessant werden,
war also auf dem Computer,
wo ich ja so im Prinzip begrenzte Wortlängen habe bei der Darstellung von Zahlen,
spielen dann eben solche Faktoren eben schon eine wichtige Rolle.
Nicht in dem Zusammenhang ist da natürlich noch interessant,
okay, wie können jetzt Werte letztendlich dauerhaft gespeichert werden,
wie kenne ich jetzt irgendwelche Werte sicher gegen Manipulationen machen.
Also zu diesen Fragestellen komme ich dann später noch,
wenn es dann also auch gerade um die Kodierung von irgendwelchen Informationen geht. Gut,
vorneweg nochmal, so ein paar historischen Sachen,
wo ich also jetzt hier aus dem Buch von Efra-Universal-Geschichte der Zahlen,
also jetzt immer so ein paar Sachen mal rauskopiert hatte,
Literaturtipp ist jetzt gehetzt, aber sagen wir mal,
diejenigen,
die ja sowas vielleicht mal interessiert und die immer so
ein bisschen Vagable den Tellerrand hinaus gucken wollen,
das ist also schon
ganz interessant
Was sah dann zusammengestellt ist? Nicht wissenschaftlich gesehen ist das einfach für uns jetzt natürlich eher,
ist ja weniger interessant, aber da werden im Prinzip jetzt,
also die Folie bitte ich dann zu entschuldigen,
beziehungsweise müssen sie sich dann, also wenn sie sich ansehen,
entsprechend mal umdrehen, nicht,
aber da sieht man jetzt also beispielsweise erstmal so eine Klassifikation von Zahlensystemen,
also jetzt wirklich historisch gesehen, nicht,
also fängt eben oben bei Ägypten an und geht dann eben
Im Prinzip dann also bis in die modernen Zahlensysteme runter.
Mir froh, dass dann eben wirklich mal historisch untersucht wurde.
Interessant jetzt, also ein Hinblick auf das,
was wir dann eben auch benutzen, zum Beispiel sowas,
wie sieht das da jetzt mit unterschiedlichen Zahlen, Basen aus.
Das heißt, worauf basieren diese Zahlensysteme? Ja,
das erste Zählen oder Wahrnehmen von Informationen ist es eigentlich
irgendwie erstmal geprägt durch die direkte Wahrnehmung des Menschen.
Also wenn ich jetzt hier sowas sehe,
kann ich jetzt eben sagen, für sehr kleine Anzahlen,
man kann so größenordnungsmäßig so von 1 bis 5,
kriege ich das eigentlich noch irgendwo auf einen Blick gefasst.
Nicht, wenn ich jetzt sagen sollte,
also wie viele Striche das hier sind,
beziehungsweise von diesen Vasen oder was immer das sein soll,
wie viele das sind, dann müsste ich das also schon mal eben durchzählen,
bis ich draufkomme, dass es sieben sind.
Und wenn ich jetzt also gefragt werde,
also wie viele Studenten sitzen hier nicht,
dann würde ich jetzt also hier erstmal eine halbe
Minute lang stillschweigen und also irgendwie hier diesen machen
Das heißt, da haben wir dann eben genau diesen Übergang von der direkten Wahrnehmung,
wo man das also wirklich auf einen Blick feststellt und zu dem,
wo man jetzt eben auch als Mensch anfangen muss, zu zählen. Gut,
dann wird in dem Buch noch so ein bisschen motiviert,
also jetzt bei den Zahlensystemen,
wie sieht das jetzt aus mit der Art und Weise,
wie jetzt irgendwie die Zahlinformation dargestellt wird,
nicht weil das erste oder ursprünglichste,
was eigentlich gemacht wurde,
war im Prinzip jetzt also irgendwelche figürlichen Zahlzeichen,
dass man jetzt eben entsprechende Anzahl,
also so und so viele Steine sich da hingelegt hat oder
eben entsprechend viele Kerben in sein Holz gemacht hat oder das,
was man also heute noch in Kneipen vielleicht noch kennt,
dass man also irgendwie
die Striche auf dem Bierdeckel macht
Nicht dem Gegenüber stehen dann eben wirklich jetzt irgendwelche schriftlichen Zahlzeichen,
die dann eben entweder es als spezielle Ziffern fungieren oder jetzt
eben entsprechend über irgendwelche abgeleiteten Worte oder irgendwas eingeführt sind.
Nicht, das war es,
wir jetzt als Menschen eigentlich so als erstes immer noch machen,
wenn es darum geht zu zählen, ist natürlich,
dass man also irgendwie jetzt anfängt mit den Fingern zu zählen.
Nicht je nach Kulturkreis, also hier auch noch mal kurz rauskopiert und dann aufgelistet,
kann man da jetzt also dann auch sehr unterschiedliche Systeme machen, wie gezählt wird.
Also sprich, zielt man rauf, die geht man runter.
Also da Es sind jetzt hier nur einige Beispiele letztendlich mit drauf. Gut,
was auch schon vergleichsweise alt ist, ist dann natürlich also irgendwo die Vorstellung,
dass man jetzt also nicht nur irgendwelche Waren oder Gegenstände oder irgendwas gezählt haben möchte,
sondern dass man diese Information auch gespeichert haben möchte.
Und also auch vor knapp 4000 Jahren gab es dann also schon die Möglichkeit zu sagen,
also dass dann, also wie hier so eine Art Turmbörse gemacht wurde,
also im Prinzip so ein Gefäß, wo dann also einmal hier oben mit Kahlschrift,
also irgendwie geschrieben wurde, bestimmte Informationen,
was drin ist und zusätzlich dann also entsprechende Anzahl dann,
also innen drin dann auch noch irgendwelche Tonkügelchen aufbewahrt wurden.
Später kam, wie gesagt, natürlich auch schon gesagt,
sie direkt zählen sowas wie irgendwelche Care-Perls da mit hinzu oder sowas wie Knotenschnüre,
also das ist jetzt hier so ein peruanisches Teil,
was, also hier war schon wieder ganz interessant ist,
also hier ist das schon so eine Art Stellenwertsystem mit drauf,
also etwas,
was wir eigentlich jetzt als normales Zahlensystem immer benutzen,
wo man jetzt eben wirklich sagt,
ich habe eben hier 100er und 10er und einer stellen
und kann demzufolge da also dann auch schon entsprechend große Zahlen
mit darstellen
Finde ich eine andere interessante Eigenschaft bei den Zahlen ist ja dann immer, wie rechne ich mit Zahlen?
Wie gesagt, bei unseren Stellenwertsystemen würde ich also gleich nochmal drauf zukommen. Ein klassisches Beispiel,
wie man also nicht mit Zahlen rechnet oder mit Zahlen rechnen kann,
ist dann letztendlich bei den römischen Ziffern,
die ja also heute zumindest über Jahreszahlen oder ja,
also Seitennummerierung klassischerweise im Vorwort oder was weiß ich,
wo also auch immer noch mitbenutzt werden,
nicht wo ich dann also bestimmte Symbole,
also ein IIIIVXL C, D und M.
Also die Buchstaben jetzt als Zahlen einer bestimmten Wertigkeit irgendwo stehen habe.
Und nach der Größe der Symbole sortiert man dann eben im Prinzip diese Sachen machen kann,
dass wenn die Klarenre vor dem Größeren steht,
das entsprechend abgezogen wird, ansonsten hinzuaddiert wird, also dieses Beispiel 5,
minus 1 als Darstellung oder 4 und 5 plus 1 als Darstellung der 6,
damit können dann eben durchgeeignete Kombinationen dann eben entsprechend so zahlen bis in einige tausend letztendlich dargestellt werden.
Nahteil bei dem Ganzen ist natürlich, es gibt also keine Symbole zur Darstellung,
irgendwie größere Zahlen und sowas wie Rechenoperationen, also auf römischen Ziffern ist Gelinde gesagt,
unmöglich oder man muss sich das also im Kopf selber erstmal irgendwo in Dezimalsystem übersetzen.
Es gab zwar damals dann auch schon sowas wie einen römischen Avakus,
was man aber hier sieht,
also auch zumindest jetzt an dieser Beschriftung, ist,
dass hiermit dann eigentlich auch in etwas wie im Dezimalsystem,
also einer Zehner, Hunderter, Tausende und so weiter irgendwo gezählt wurde.
Das heißt, damit wundern, also letztendlich Zwischenergebnisse aufgenommen,
wo dann jemand letztendlich von Hand das Ganze aus den römischen Ziffern umgesetzt hat,
weil wie gesagt, das Rechnen selber,
also die ist ja auch aus diesem Buch jetzt nur rausgenommen.
Also wenn ich jetzt also hier diese Ziffern sehe und da dann das Ergebnis,
wie gesagt, das gelingt in der Regel eigentlich nur,
wenn man das also erstmal hier umsetzt, Indizimalsystem,
dann entsprechend addiert.
Und da ist dann
eben wieder zurücktransferiert
Gut, soviel zu Zahn allgemein oder der Historie. Jetzt kommen wir zu dem Tal,
der uns jetzt eigentlich interessiert und womit wir ja nur rechnen.
Und das ist, nennt sich technisch gesehen, also erstmal Stellenwertsystem.
Das heißt, wir haben eine Zahlenbasis, Klein B,
auch noch Radix genannt, was bei uns erstmal im Dezimalsystem die Zehn ist.
Nicht andere Zahnbasen, die wir jetzt also hier noch kennenlernen werden,
sind also zum einen eine Sex-Addizimalsystem quasi 16 oder das Dualsystem mit Basis
2. Dann gibt es jetzt eben eine Menge der entsprechenden Ziffern,
nämlich von 0 bis b minus 1, also sprich,
in unserem Zahlensystem dann also von 0 bis 9. Und eine Zahl oder in diesem Fall jetzt,
dass ich hier erstmal der Betrag der Zahl wird,
dann eben letztendlich als Summe dargestellt,
wo ich dann eben im Prinzip die Summe will,
der dann A 0, also entsprechend die Stelle mal B hoch 0,
das wären dann eben die A einer,
A1 mal B hoch 1, dann die Zehner,
A2 mal B hoch 200er und so weiter.
Das heißt, ich habe dann entsprechend dieser mathematischen Schreibweise,
hätte ich dann da meinen Zahlenwert drin.
So, das Ganze ist letztendlich universell verwendbar.
Damit lassen sich dann eben auch, wenn ich jetzt also
erst mal positiv zähle, also beliebig große Zahlen darstellen.
Und das gilt in der Art und Weise auch unabhängig von einer gewählten Zahlenbasis.
Also ich kann dann also auch ein Zahlensystem aufbauen,
was sich dann beispielsweise zur Basis 5 oder zur Basis 3 mache.
Und damit letztendlich rechnen. Gut, Das, womit jetzt eigentlich
dieses System dann ja auch lebt, also der Darstellung der Null.
Auch das ist, wie man jetzt also hier aus dieser
entsprechenden Sache noch von dem Efra sieht, also auch nichts grundsätzlich Neues.
Also auch das gab es schon im dritten Jahrhundert vor Christus,
wo dann also im Prinzip auf so einer Tontafel,
also in Kahlschrift, da jetzt also eine Rechnung gefunden wurde,
die dann also beispielsweise in diese Files,
also sowas wie den Satz des Pithagoras erläutert oder an Beispielen erklärt,
nicht in das, was dort an Zahlensystem in Babylonern also eingesetzt wurde,
nennt sich Sechser Gesimalsystem,
ist also eigentlich mit das erste Stellenwertsystem überhaupt.
Die Zahlenbasis war 60 und es gibt dann im Prinzip zwei Symbole,
nämlich einmal in geraden Strichen einmal quasi so eine Einkerbung.
Der hat dann eben die Stellenwertigkeit 1 oder die zählt schon
1, der dann 10. Die wurden eben entsprechend auf Tontafeln
irgendwo eingeritzt. Eine Null wird dadurch dargestellt,
dass man dann quasi sowas wie eine Lücke lässt zwischen
den Ziffern
Nee, und damit lassen sich dann also beispielsweise jetzt hier durch fünf Striche eine 5 darstellen.
Zweimal 10 plus 3 ist 23. Und wenn ich jetzt hier
weiter vorne jetzt wieder mit kleineren Ziffern anfange,
beziehungsweise dann hier so ein Trendzeichen habe, dann bin ich dann eben eine Stelle weiter. Das heißt also,
dieses wäre jetzt hier dargestellt, der Wert 90,
nämlich einmal 60 plus 3 mal 10. Ja,
und wenn ich jetzt eben noch eine Stelle überspringe,
das heißt also hier nochmal so ein zusätzliches Leerzeichen oder so eine Auslassung drin habe,
dann wäre dann die erste Stelle dann eben Entsprechend die 60 zum Quadrat,
also einmal 3600, plus 0 mal 60,
plus 2 mal 10 plus 1, 36621.
Nee, also das nun mal zum Beispiel für ein etwas
ungewöhnlicheres Stellenwertsystem, aber im Prinzip funktioniert das eben auch.
Gut, ansonsten, jetzt sagt man sich ja,
okay, so was abstruses Basis 60,
haben wir heutzutage eigentlich noch, also bei Zeitangaben,
beziehungsweise Winkeleinteilung,
wo das dann im Prinzip auftritt
Gut, das, womit wir ja nun typischerweise rechnest, normale Dezimalsystem.
Wie gesagt, da wird eben eine Zahl dargestellt zur Zahlenbasis 10.
Also hier jetzt in der Folie von dem,
aus dem Tarnbaum rausgenommen, wo ich dann eben sage,
ich habe dann hier einer 10er,
100er stellen,
habe dann jetzt eben hier entsprechend noch so was wie
ein Komma und hätte dann eben als Nachkommastellen Zehntelhundertstel Tausendstel und
so weiter
Gut, das, womit die Rechner beziehungsweise Computer eigentlich rechnen,
ist dann logischerweise ein Stellenwertsystem zur Basis 2. Hat letztendlich so erstmal den Nachteil,
man braucht also für eine gegebene Zahl ungefähr dreimal mehr stellen als für die Basisszenen.
Nicht einfach, um jetzt die gleich große Zahl darzustellen.
Ist daher natürlich jetzt für den Menschen so zum direkten Lesen erstmal vergleichsweise unbequem beziehungsweise was man dann macht,
ist, dass man Im Prinzip das Ganze als Oktal oder Hexerdezimal-System betrachtet,
wo man dann eben Gruppen hier entsprechend zusammenfasst und dann zu etwas kleineren und übersichtlicheren Darstellungen kommt.
Vorteil jetzt für technische Systeme ist aber,
dass das Ganze dann eben entsprechend leicht zu implementieren ist,
weil dann eben wirklich nur zwei Zustände unterschieden werden müssen.
Und das ist also genau das,
was ich vorgestern im Prinzip in dem Kapitel Information beschrieben hatte,
also wo es dann also im Prinzip ja um Binärzeichen ging,
also ein Zeichen aus einer Menge von zwei Elementen.
Nicht, dass ich dann eben technisch letztendlich nur unterscheiden muss,
zwei Spannungen, also eine niedrig und hohe Spannung oder zwei Ströme oder zwei Beleuchtungsstärken,
wenn ich jetzt also an Datenübertragung beispielsweise mit einem Laser denke, was auch immer.
Nee, und der Vorteil dabei ist jetzt eben,
dass das Ganze dann natürlich vergleichsweise robustes ging,
überrauschen und Störung, indem ich jetzt eben wirklich sage,
ich habe diese beiden scharfgetrennten Diskreten Werte Eine 0 und eine
1. Und was ich dann also auch noch zeigen werde,
man kann da dann eben auch vergleichsweise einfach und sehr effizient dann eben auch eine Art und Metik.
Also sprich irgendwelche Rechenwerke realisieren, die dann eben letztendlich Addition,
Subtraktion und dann eben auch die anderen Rechenarten umsetzen können.
Gut, wie sieht das Dualsystem, beziehungsweise die Zahlen im
Dualsystem aus? Denkt mir, das ist allgemein bekannt,
also 2 hoch 0 bis 2 hoch 10. Hier wird es im Dualsystem,
also sprich dann immer eine Eins mit entsprechend vielen Nullen hinterher
und im Dezimal-System hätte ich dann eben 1, 2,
4, 8, 16, 32 und so weiter.
Gut, wie wird im Dualsystem dann gerechnet, beziehungsweise addiert?
Da kann man sagen, das funktioniert eigentlich genau wie im Dezimalsystem.
Das heißt, auch da arbeite ich eigentlich erstmal stellenweise,
wo ich dann immer mir betrachte, einzelne Stellen,
die untereinander schreibe und dann einfach innerhalb der Spalten dann irgendwo aufsummiere.
Und als Additionsmatrix oder als Funktion gilt eben null,
plus null ist 0, 0 plus 1 ist 1,
1 plus 0 ist null und 1 plus 1 ist 2,
beziehungsweise binär dann eben 1-0,
also sprich eine null und einen Übertrag.
Und wenn ich damit dann rechne,
also jetzt hätte ich hier zwei Zahlen,
hier nochmal quasi die Kontrollrechnung im Dezimalsystem,
also einmal 179 in einmal 57 und bei der Berechnung dann
eben genauso diese Stellenweise
Plus eins ist null und ein Übertrag. 1 plus 0
und der Übertrag ist null und wieder ein Übertrag und so weiter und so fort.
Also das heißt, die Art und Weise,
wie dort gerechnet wird, ist eigentlich genau das,
was wir also im Dezima-System auch machen,
nur dass es da dann eben keine zehn,
sondern nur zwei Ziffern gibt.
Gut, wie sieht es bei der Multiplikation aus?
Auch da kann man sagen, grundsätzlich nichts Neues.
Also wenn ich jetzt sage ich,
Berechne ein Produkt mit einem Multiplikator A und einem Multiplikanten B.
Dann habe ich letztendlich eben die Multiplikation von A mit jeder Stelle des Multiplikanten.
Habe dann entsprechende Wertigkeit, immer verschoben die Taltherme und die
werden dann einfach nur zueinander aufaddiert.
Nicht der einzige Vorteil dabei ist,
während ich im Dezimalsystem quasi entsprechend des Multiplikanten ja immer
die Ziffer 0 bis 9 haben kann und dann eben noch
irgendwas mal 0 mal 1 mal 2 und
so weiter rechnen muss
Habe ich hier eigentlich nur null oder eins. Das heißt,
wenn da eine Null ist, dann tut sich gar nichts,
wenn da das eins ist,
dann ist das einfach genau der Multiplikator A. Nicht.
Das heißt, die Multiplikationsmatrix an sich,
jetzt also stellenweise gesehen, kann ich ihm sagen,
wenn die eins mal eins ist eins und alles andere,
ist dann irgendwo null.
Wie sieht das jetzt aus, wenn ich damit rechne?
Also in diesem Fall 179 mal 13. Nicht,
dass wir die Darstellung der 179,
dass wir jetzt die 13,
und dann habe ich genauso wie ich das also auch auf
Papier jetzt im Dezimalsystem machen würde,
rechne ich jetzt eben hier eins
Mal diese 179,
das ist eben dieses hier plus der 1 mal 179,
das ist das Ganze dann eben entsprechender Stellenwertigkeit,
um jetzt um einen Stelle verschoben, plus null mal das Ganze,
das ist hier also die null,
plus einmal das Ganze ist dies hier und dann müsste ich dann eben nur diese vier Zahlen jetzt hier stellenweise wieder aufsummieren und komme damit dann einfach zu diesem übersichtlichen String,
1 0 0 1 0 0 1 0 1 11,
nicht was dann,
wenn ich das jetzt wieder in Dezimalsystem umrechne,
noch hoffentlich 2327 darstellen soll
Gut,
neben dem Dualsystem gibt es dann eigentlich noch zwei andere Zahlensysteme,
die jetzt also im Bereich der Zahlendarstellung und Rechner immer noch gerne genommen werden,
weil sie ein bisschen kompakter sind,
als das Dualsystem,
wo ich dann also vergleichsweise schnell hier eher so irgendwelche
langen Zahlen oder Ziffern folgen aus Nullen und Einsen,
also irgendwo hinbekomme
Und das erste wäre das Oktalsystem, formal gesehen,
ist das also quasi ein Zahlensystem zur Basis 8.
In dem Zufolge ist der Zeichensatz dann also von 0 bis 7.
Vielleicht nochmal kurz zur Schreibweise. Also ich habe das hier
immer so ein bisschen gemischt und das ist dann also auch teilweise wieder nochmal
ein bisschen anders als es in den Übungsaufgaben drin ist.
Also hiermit ist jetzt angedeutet, also einmal,
um mir zu unterscheiden, was ist eine Oktalzahl,
was ist nur Dualzahl,
was ist eine Dezimalzahl
In den Übungsaufgaben habe ich das in der Regel so,
dass ich so ähnlich wie hier quasi die Zahlenbasis rechts unten da drunter stehen habe.
Das heißt also, diese eins oder diese elf oder
die 253 sollen jetzt eben dezimalzahlen darstellen. Nicht das,
was man in der Programmierung dann häufig findet oder gängig hat als Konvention,
ist im Prinzip sowas wie die Schreibweise jetzt,
wie sie zum Beispiel von See genommen wird,
wo es ein Prefix, also eine führende Null gibt,
Und die kennzeichnet das Ganze dann als Oktalzahl.
Und wenn eine Zahl jetzt eben keine führende Null hätte,
dann wäre es jetzt eben eine Dezimalzahl,
nicht nur so einfach nur zur Unterscheidung.
Ich hebe jetzt also beispielsweise nochmal diese Umrechnung,
also diese Oktal 3, 7,
5 entspricht dann eben dreimal 8 hoch 3,
also 3x 64 plus 7x 8 plus 5,
demzufolge die
Gut, Vorteil von Oktal beziehungsweise nachher, also dem Hexer-Dezima-System ist jetzt einfach,
dass es für Menschen erst noch ein bisschen leichter lesbar war,
also einfach die Ziffernfolgen, jetzt bei größeren Zahlen ein bisschen kürzer sind. Und aus einer Binärdarstellung,
jetzt also, oder aus einer Zahlendarstellung im Dualsystem,
jetzt eben eine Zahlendarstellung im Oktalsystem zu machen,
ist also vergleichsweise trivial, was man einfach macht,
ist, dass ich quasi jetzt immer drei Bit-Folgen meiner Binärdarstellung,
also 0-0-0, ist halt eben Oktal 0,
001, Oktal 1 und so weiter und eben 1-1-1,
jetzt als größter, wie näherwert wäre dann eben Oktal 7. Nicht,
dass einfach jetzt immer drei Bit zusammengefasst werden.
Gut, Texadizimalsysteme im Prinzip, gleiches Prozedere,
Zahlenbasis 16, als Zeichensatz nimmt man an typischerweise dann,
also die Ziffern von 0 bis 9 und für die letzten
fünf für die letzten sechs Möglichkeiten,
nämlich von 10 bis 15. Dann also die Buchstaben von A bis F.
In der programmiertechnischen Schreibweise,
so wie das dann eben auch beispielsweise ein Ziel gemacht wird,
habe ich dann eben als Brefix 0X. Und dahinter dann eben die eigentliche Ziffernfolge.
Und das wäre dann eben 0X oder hieß das dringend
eine Eins.
0XFE wäre F
quasi als
Mal jetzt hier bei der zweiten Stelle, also Stellenwertigkeit 16,
also 15 mal 16, eh entspricht Queiz der Dezimal 14,
also plus 14 an der einer Stelle.
Das heißt, Dezimal wäre dann ihm dieser String 0X FE 254.
Und somit kann man also mit vergleichsweise kompakter Darstellung dann große Werte beziehungsweise an also auch gerade bei Binärzahlen entsprechend große Sachen mit angeben. Nicht deswegen viel leichter lesbares,
Dualzahl und auch da ist im Prinzip die Umwandlung aus dem Dualsystem beziehungsweise entsprechend umgekehrt,
einfach dadurch gemacht, dass ich dann eben in diesem Fall jetzt also Fia-Gruppen zusammenfasse,
denke und sage, okay, hier als größten, dezimalwert 1,
001, entsprechend nachher der neuen und 1-0,
1-0, also was dann die 10 ist,
wird dann das A und so weiter und so fort.
Gut, das ist eigentlich, es straight forward,
denken wir sollte,
soweit auch bekannt sein
Gut. Nichts zur Zahlendarstellung, hier nochmal gegenübergestellt.
Die Darstellung der Zahl 2012. Ich bin näher als Folge 1
1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0
0. Mich war es dann also letztendlich steht für 1 mal 2
hoch 10 plus 1 mal 2 hoch 9 plus 1 mal 2
hoch 8 plus 1 mal 2 hoch 7 plus 1 mal 2
hoch 6 plus 0 mal 2 hoch 5 und so weiter und so fort.
Und wenn ich dann also hier diese Teilsummen entsprechend aufaddiere,
wird also 2012 dabei rauskommen
Dezimalsystem, okay, da ist das hier,
also direkt klar und beim Oktalsystem dann eben auch eben entsprechend jetzt immer mit dieser Stellenwertigkeit,
also dreimal 8 hoch 3, 7 mal 8 hoch 2,
dreimal 8 hoch 1, plus 4 mal 8 hoch 0,
nicht ist dann eben dezimal, das ist dann immer hier diese unterste Zahl an dementsprechend
die 2012. Gut, die Umrechnung zwischen Dual, Oktal,
Hexerdezimalzahlen, also das ist dann ja auch was,
was dann also auch in Übungsaufgaben jetzt quasi rausgekommen sind,
passieren soll, was nun auch nicht allzu schwierig ist.
In der Regel wird man das eigentlich immer so machen, dass man also im Prinzip immer erst mal entweder dezimal oder eben irgendwo mit einer Minärdardstellung arbeitet. Und wenn ich dann eben so eine Binärdarstellung habe,
jetzt hier für eine gebrochene Zahl,
also sprich eine mit Nachkommastellen,
dass man dann eben für ausgehend von dieser Binärdarstellung dann eben für eine Oktaldarstellung dann eben jeweils Dreiergruppen zusammenfasst und entsprechend ihrer Wertigkeit dann eben hier aus diesen 3-0 wird eine 0,
aus diesem 0-0-1 für eine 1,
aus diesem 1 und 1 und 5,
da dann eben immer entsprechend die jeweiligen Werte abliest,
nicht bei Hexa dezimal dann eben das Gleiche mit Vierergruppen,
entscheidend bei dem Ganzen ist immer nur,
dass die Ausrichtung, wenn ich quasi anfange zu zählen,
immer jetzt hier an der Commage geht,
das heißt also bei 2 hoch 0,
2 hoch 1 und so weiter,
bewege ich mich dann quasi in diese Richtung fort und bei den Nachkommastellen bilde ich dann die Gruppen quasi als Dreiergruppen,
beziehungsweise als vier Gruppen dann immer kleiner werden,
dann eben auch immer hierran ausgerichtet.
Gut, denke mir, das sollte dann eigentlich relativ klar sein,
wie man da verfährt. Ja, also sprich,
ich bilde immer die entsprechenden Gruppen und ausgehend vom Dezimalpunkt oder dem Komma nach außen hin. Prinzipiell,
um jetzt Zahlen oder Zahnsysteme jetzt zwischen verschiedenen Basen ineinander umzurechnen,
welche Möglichkeiten gibt es da, wie gesagt,
wir rechnen natürlich im Dezimalsystem,
gelegentlich finden wir also auch noch dieses Sexergesimarsystem,
also mit der Basis 60, ansonsten Digitalrechner arbeiten eigentlich fast ausschließlich Dualsystem.
Wie kriege ich jetzt zwischen diesen Zahlen Basen? Also sprich
gerade jetzt Dezimalsystem und Dualsystem. Meine Zahlen ineinander umgerechnet.
Dazu werde ich jetzt im Prinzip exemplarisch, also drei Varianten vorstellen.
Nämlich einmal im Prinzip über vorberechnete Potenztabellen. Etwas, was sich
die Visionsrestverfahren nennt und das Horner Schema. Je nachdem,
aus welchem System, in welches andere System ich umrechnen muss,
sind dann Entweder das eine oder das andere Verfahren
ein bisschen eleganter oder ein bisschen einfacher zu handhaben.
Wie gesagt, jetzt in den Übungsaufgaben sollen sie die alle drei
eigentlich irgendwann einmal kennenlernen. Ansonsten kann ich nur sagen,
also für die Klausur ist es dann meistens immer so,
dass man dann oder dass dann eigentlich Aufgaben kommen,
wo es einfach nur darum geht, also erstmal Zahlen ineinander umzurechnen.
Da können sich dann eben ein beliebiges möglichst einfach handhabbares Verfahren dann entsprechend einsetzen.
Gut, das erste Verfahren wäre die Umrechnung der Zahlen ineinander über Potenztabellen.
Wie sieht das Ganze prinzipiell aus? Also hier so
als so ein quasi Algorithmus jetzt für Integer zahlen.
Da würde ich jetzt immer das größte Vielfache einer Potenz aus
dem Zielsystem von der umzuwandelnden Zahl abziehen.
Das schreibe ich mir entsprechend auf
Erhalte dann irgendwo einen Rest, von diesem Rest wird dann wieder dies größte Vielfache entsprechend abgezogen.
Auch da wird dann das Vierfache in dem Zielsystem quasi wieder mit notiert.
Und das Ganze wird dann hinterher, also diese Vielfachen,
die dann erzeugt worden sind,
entsprechend aufaddiert und letztendlich wird dieses Verfahren dann ebenso lange wiederholt, bis der Rest null ist.
So hört sich abstrakt an. Wählen wir gleich am Beispiel sehen, wie das Ganze funktioniert. Hier nur als Beispiel,
ja, sie hätten nochmal Potenztabellen, im Dualsystem,
also jetzt hier von 2 hoch 0 bis 2 hoch 10,
die entsprechenden Werte und jetzt hier beispielsweise im Dezimalsystem von 10 hoch 0 bis 10 hoch 10,
wobei das, wie man hier dann schon sieht,
bei den größeren Werten,
habe ich das dann also schon in Octalsch,
Blödsinn in hexerdiktimal schreibweise notiert,
weil das also sonst,
also doch nicht also ab 100.000 dann eben schon entsprechend große Werte sind,
die sich dann also daran nur noch
sehr unübersichtlich darstellen lassen
Gut, wie sieht das Beispiel aus? Also angenommen,
wir haben jetzt eine, als Dezimalzahl 163,
die soll jetzt in eine Dualzahl umgerechnet werden.
Wie würde man das jetzt mit der Potenztabelle machen?
Da gucke ich jetzt also beide 163,
was ist das größte Vielfache, aus meiner vorberechneten Potenztabelle,
was ich davon noch abziehen kann.
In diesem Fall wäre das also hier dann
noch zwei hoch sieben,
also sprich dann als Dezimalwert
Demzufolge ziehe ich also von den 163 diese 128 ab.
Und notiere mir dann eben hier entsprechend dieses Vielfache,
also sprich die zwei hoch sieben, jetzt als Dualzahl.
Wenn ich das jetzt hier abziehe, erhalte ich als Rest 35.
Dann wird eben wieder geguckt, war die sind 35,
welche Zweierpotenz passt da irgendwie noch sinnig rein,
in diesem Fall also 2.5,
Auch das wird davon abgezogen. Ich erhalte als Rest 3
und notiere mir dann eben hier die 2 hoch 5.
Und das Ganze wird dann eben entsprechend fortgesetzt,
bis ich dann eben wirklich irgendwann beim Rest nur lande.
Und hier habe ich dann eben die jeweiligen Zweierpotenzen,
die ich dann eben noch aufsummieren muss,
was hier natürlich also vergleichsweise trivial ist,
da das dann immer nur hier die entsprechenden Stellen sind,
die sich dann ergänzen.
Und man hat dann eben als Dualzahl eben diesen String.
1010, 0011, was dann
eben der 163 entspricht
Gut, wie sieht das oder wie würde das jetzt also umgekehrt aussehen?
Also ich habe jetzt also hier diese Dualzahl,
die soll jetzt in eine Dezimalzahl umgesetzt werden.
Und da wird jetzt eben geguckt, jetzt bei der Dualzahl,
welche möglichst große Potenz der Dezimalzahl kann ich davon noch abziehen.
In diesem Fall wäre das jetzt eben hier Die 1011001 00. Einmal,
die ich also quasi so runterschreibe, entsprechend abziehe,
erhalte dann hier wieder irgendwas, notiere mir dann eben hier einmal 100.
Bei dem Rest wurde dann eben geguckt, welche möglichst großen
Vielfachen passen da wieder rein. In diesem Fall wären das
dann eben 60. Wird entsprechend abgezogen und so weiter und so fort.
Und man landet dann eben bei einmal 100, 6 mal 10,
3 mal 1 und hätte dann eben wieder ins Trink 163.
Wie man hier schon sieht, ist dieses Potenztabellenverfahren in der Einrichtung,
also sprich von dezimal zu Dualzahl, also vergleichsweise einfach zur Hand haben.
In der anderen Richtung war ich dann also hier diese Vielfachen überhaupt erst mal bilden muss,
also dieses sechs mal zehn und das dann auch erst mal ausrechnen muss,
also schon ein bisschen schwieriger.
Das heißt, da würde sich das dann also zum Beispiel nicht so empfehlen,
wenn es darum geht, Dualzahlen in Dezimalzahlen umzurechnen.
Gut, das nächste Verfahren nennt sich Divisionsrestverfahren. Dabei wird
die umzuwandelnden Zahl im Ausgangssystem durch die Basis des Zielsystems geteilt.
Und jeweils durch entsprechende Divisionen des ganz zahligen Ergebnisses,
ohne Rest, wird das Ganze dann eben wiederholt und der
Rest wird dann eben entsprechend aufgeschrieben und das ist dann das,
was an entsprechender Stelle im Zielsystem überbleibt.
So, wie sieht das rein praktisch aus?
Denkt mir, dann wird das Ganze klar.
Also auch hier wieder
die Zahl
Möchte ich in Dual umrechnen. Also wird die durch die
Basis des Zielsystems, was also zwei ist, geteilt.
Kriege ich also 163 durch zwei, 81 und Rest 1.
Den schreibe ich mir hier auf. Dann habe ich,
verfahre ich eben weiter fort,
81 durch zwei ist 40 und Rest 1,
40 durch zwei wäre 20, Rest 0,
20 durch zwei ist 10 mit Rest 0,
10 durch zwei ist 5,
wird Rest
5 durch 2 ist 2 mit Rest 1 und so weiter und so fort.
Bis ich ihm auch hier das Ganze letztendlich dann aufgegangen ist.
Und in diese Richtung gelesen ist das dann, meine umgerechnete Zahl.
Und dieses Verfahren ist also gerade für diese Umrechnung von Dezimalzahlen,
in Dualzahlen, also vergleichsweise sehr einfach zu handhaben,
weil ich einfach immer nur gucken muss,
ist das so eine Grade oder eine ungrabele Zahl und habe
dann eben entweder einen Rest Null oder einen Rest 1.
Das geht also dann vergleichsweise schnell und vergleichsweise einfach
Mathematisch gesehen liegt dem Ganzen eigentlich genau die Umkehrung von dem nächsten Verfahren zugrunde,
nämlich das Horner Schema, wo ich dann im Prinzip immer
mit der Basis multipliziere und dann eben die entsprechende Stelle hinzuaddiere.
Werden wir gleich sehen. Gut, auch dies Divisionsrestverfahren könnte ich jetzt
also zum Beispiel nutzen, um jetzt umgekehrt, also von Dual in Dezimal umzurechnen.
Dazu muss ich jetzt diese Dualzahlen nehmen und die durch die Basis meines Zahlensystems in das ich das umgerechnet haben möchte,
teilen, also muss ich das durch zehn teilen,
die zehn Dual dargestellt ist 1, 0, 1,
0. Und wenn ich jetzt hier diese Division mache,
nur als Hinweis, wie das Ganze technisch passiert,
folgt er noch, nicht würde ich dann eben sagen,
gut, das ist einmal hier eins, 0,
0, 0, 0, mal dieses,
quasi das entsprechend oft geschoben hier runter und diese 0,
0, 1-1 oder die 1-1,
viel mehr ist dann
der Rest
Im Dezimalsystem entspricht der Rest von 1-1 in einer
3. Wenn ich das jetzt... Hier diesen Wert habe,
also die 1-0-0-0,
das jetzt Wiederteile hierdurch, erhalte ich jetzt in diesem Fall
eine 1 und der Rest wäre dann eine 6 und die A1,
die durchgeteilt ist, null,
der Rest ist eine Eins und das ist dann eben wieder diese Zahl 163,
entsprechend umgerechnet.
Gut, auch hier kann man jetzt sagen,
dies Divisionsrestverfahren ist also immer vergleichsweise einfach oder elegant,
wenn man jetzt also aus dem Dezimalsystem, in Dualsystem umrechnet.
Umgekehrt muss ich dann eben diese Division quasi in dem Dualsystem durchführen,
was also dann auch erstmal vergleichsweise ungewohnt erstmal ist
Hier nochmal, der in Anführungszeichen einfachere Fall.
Nochmals drittes Beispiel jetzt, also aus dem Buch von Tarnbaum.
Nicht, also worum auch nochmal beschrieben ist,
also die Zahl 1492 soll in eine Binärzahl umgerechnet werden.
Das passiert dann eben auch immer,
dass sich quasi von hier nach hier, jeweils durch zwei Teile gucke,
was ist der Rest, also hier ist die Null.
Hier wieder durch zwei Teile, Rest ist Null,
hier jetzt durch zwei Teile,
dann ist der Rest eins,
also sprich zweimal 186 plus eins ist
Hier dann wieder durch zwei Teile und das Ganze,
also so weit fortsetze, bis ich dann eben bei null angelangt bin.
Und diese Reste werden dann eben quasi von der innersten Stelle
bis zu dem hier nach oben hinern letztendlich einfach nur aufgeschrieben.
Und das wäre dann eben die entsprechende Dualzahl. Gut,
hier ist das Ganze dann also auch nochmal als ein Algorithmus beschrieben. Das heißt,
also wenn man das jetzt schon mal so in,
Programm sieht nicht,
also wo ich dann im Prinzip jetzt also hier irgendeinen Pferd A mit meiner Zahl initialisiere,
solange Argrößer Null ist, berechne ich hier eben einmal den Rest,
das wäre dann eben die entsprechende Stelle schon in meinem Wert,
teile das Ganze quasi das dann auf A zu und
das Ganze wird eben so lange iteriert,
bis ich dann letztendlich am Ende bin
So, dieses hier ist im Prinzip so ein Screenshot,
den hatte ich jetzt also rausgenommen aus einem Programm oder aus etwas,
worauf ich also gelegentlich auch nochmal verweise,
beziehungsweise was ich also in der Einführung auch schon mal kurz erwähnt hatte.
Es gab also mal von einem Professor,
da er sich ja recht eine Strukturen gelesen hat,
beziehungsweise damals hieß das noch, die 1,
dann etwas, was sich dann interaktives Skript nannte,
wo man im Prinzip dann solche Beispiele dann eben direkt auch ausführen konnte,
Nachteil bei dem Ganzen,
weswegen ich das jetzt also hier auch so rein praktisch
nicht vorführe,
man braucht dafür dann
also Madlab
Als Programm zum Laufen, wo ich dann erstmal sage,
das wären die meisten von Ihnen, also nicht auf irgendwie Computer zu Hause oder so haben.
Im Prinzip besteht aber die Möglichkeit,
also wenn man sowas mal ausprobieren möchte,
dass also beispielsweise hier auf den Rechnern in der Informatik das laufen zu lassen,
wo das dann eben teilweise zumindest, ich weiß nicht,
bei uns, also in den Rechnern ist das dann eigentlich auch nochmal mit installiert.
Gut, das dritte. Entschuldigung. So,
das dritte angesprochene Verfahren wäre dann eben das Horner Schema
Da geht es darum, dass man eine Darstellung als Potenzsumme durcheinander geschachtelte Faktoren macht.
Also das heißt, die Zahl, also diese Summe,
schreibe ich, indem ich dann eben sage,
dass es eben hier die höchste Stellenwertigkeit mal der Basis plus
nächst niedrigere Stellenwertigkeit mal der Basis plus nächste Mal der Basis und so weiter und so fort.
Und wenn ich das Ganze entsprechend jetzt diesen Ausdruck auflösen würde und ausmultiplizieren würde,
hätte ich dann eben genau AN minus 1 mal B hoch
N plus AN minus 2 mal B hoch N minus 2 und so weiter und so fort.
Nicht plus A1 mal B hoch 1, plus A0,
was dann im Prinzip genau die Art und Weise ist,
wie also im Stellenwertsystem ja gearbeitet wird. Gut,
und was man da dann eben machen kann,
bei der Umrechnung ist das im Prinzip die,
umzuwandelnde Zahl entsprechend in dieser Schreibweise geschrieben wird und ich dann
jeweils hier die einzelnen Teile in dem Zielsystem oder durch entsprechende Zahlen des Zielsystems dann eben schreibe und repräsentiere und das Ganze dann eben entsprechend auf, also mit Multiplikationen und Additionen dann dementsprechend ausreichende.
Auch dieses jetzt hier wieder mit diesem Beispiel 163,
geschrieben in dieser Schreib-WR-Eise wäre es eben ein, mal zehn,
Plus 6, in Klammern mal 10 plus 3. Das heißt,
die 163 oder die Stellen sind dann eben hier die 1,
hier die 6 und hier die 3. Jetzt muss ich noch diese verschiedenen Zahlen,
1, 10, 6 und 3 in Binär-Schreibweise haben.
Das ist eben hiermit letztendlich mal angedeutet,
dass ich mir überlege, wie es die 10 beneakuliert,
die 1,
die 6 und die 3. Und anschließend rechne ich einfach stumpf ein Mal 10,
jetzt aber eben wie näher,
ist dieser Wert
Plus sechs ist diese Rechnung,
dann habe ich dies als Ergebnis, wieder mal zehn,
das heißt, jetzt bin ich genau hier an dieser Stelle,
ist dann dieses Ergebnis plus drei hier wieder hin zu ordieren
und dann habe ich dann eben auch das richtige Ergebnis.
Das wäre dann also die Berechnung entsprechend dieses Verfahrens, wenn man da saß, Horner Schema zugrunde liegt.
Gut, genauso könnte ich das jetzt eben auch nehmen,
um aus der Dual, eine Dezimalzahl zu machen. Nicht,
wo ich jetzt eben sage,
ich habe jetzt eben hier die Sitzenfahrenfolge 1-0-1,
0-0-1-1, in Horner Schema schreibweise,
würde das dann eben entsprechend so aussehen, eins mal 1-0,
also das wäre dann quasi die zwei plus null mal 2 plus 1,
2 und so weiter und so fort.
Nicht die einzelnen Summanten wären dann quasi hier aus der Schreibweise
des Ziels des Quellsystems jetzt eben hier in die Schreibweise des Zielsystems,
also das heißt 0-1 und 2,
übersetzt und anschließend wird dann eben wirklich gerechnet einmal 2,
plus 0, mal 2 plus 1,
mal 2 plus 0 und so weiter,
bis ich dann eben auch bei dieser Berechnung dann eben bei dem richtigen Wert von 163 lande.
Nicht hier das Ganze eben auch nochmal in der entsprechenden Folie von dem Tarnenbaum,
wo dann im Prinzip auch genau das Gleichverfahren ist,
hier quellseitig, also jetzt die Dualdarstellung steht.
Und dann eben immer das entsprechende Multiplizieren dieser Zwischenergebnisse mit zwei,
das hinzuaddieren, der entsprechenden Stelle, liefert dann wieder was,
das wird dann wieder mit zwei multipliziert,
die entsprechende Stelle hinzuordiert und so weiter und so fort.
Und rein, mathematisch gesehen ist das dann also
nichts anderes als quasi die Umkehrung von dem,
was war so bei dem Divisionsrestverfahren gemacht haben,
wo wir dann im Prinzip immer durch zwei geteilt haben
Was dann immer hier immer durch dieses Klamauk und die Multiplikation mit
der Basis stattfindet. Gut, das waren jetzt auch so
ein bisschen schnell durch Lauf dann die drei Verfahren,
um jetzt also die Zahlenbasen ineinander umzurechnen.
Wie gesagt, das wären sie dann auch in der Übungsaufgaben
nochmal selber dann kennenlernen bzw. nachvollziehen,
Denk mir, dann wird das relativ einfach, klar,
wie die verschiedenen Verfahren arbeiten. Gut, jetzt hatte ich
eingangs ja gesagt, wenn wir jetzt also irgendwelche Zahlendarstellungen untersuchen,
interessieren das natürlich dann immer noch die Sachen.
Also wie sieht das mit dem Zahlenbereich aus,
den ich darstellen kann, also sprich Kleid, das größte darstellbare Zahl.
Und nachher dann eben noch, wo ich hoffe,
wo ich dann heute zumindest noch hinkommen werde, wie sieht das dann eben mit Negativen.
Oder mit der Darstellung negativer Zahlen mit aus. Gut,
zum Zahlenbereich, wenn wir jetzt also ansehen,
in Hinblick auf irgendwelche Binärdarstellungen, Kann ich jetzt eben sagen,
ich habe einfach als Zahlenbereich immer bei Endstellen,
im Prinzip von 0 bis 2 hoch N minus 1. Das heißt,
mit 4-Bit kann ich dann eben 16 Zahlen unterscheiden,
von 0 bis 15 und so weiter und so fort.
Nämlich mit 32-Bit bin ich dann eben bei 4,3 oder
knapp 4,3 Milliarden. Und mit entsprechend größeren Bit bis 2,64
habe ich dann eben auch entsprechend größere Zahlen,
die ich darstelle bzw. unterscheiden kann
Was man dann bei der Schreibweise auch immer noch macht,
bei, jetzt also auch größeren Zahlen, ist,
dass man eine vereinfachte Schreibweise von sehr großen oder sehr kleinen Zahlen durch Prefix-Angaben macht.
Üblich oder das, was wir kennen,
sind eigentlich erstmal Abkürzungen irgendwo zu Zehnerpotenzen,
wo ich dann sage, Lichtgeschwindigkeit sind 300.000 Kilometer pro Sekunde.
Die Kilometer sind jetzt eben 1000 Meter,
das müsste dann aber, na gut,
da müsste eigentlich ein großes K sein,
aber okay
Oder eben 30 Zentimeter pro Nano-Sekunde, wie auch immer,
Ruheenergie eines Elektrons, 0,51, Mega-Elektronenvolt,
die Strukturbreite von Mikroships, 22 Nanometer, was auch immer.
Also das heißt, irgendwelche tausendfachen millionenfachen oder in diesem Fall
jetzt megadstelfachen Vorsilben begegnen uns, also auch so schon relativ häufig.
Dazu gibt es eben auch entsprechende Präfixe im Dualsystem
Wo dann eben entsprechend Vielfache von zwei hoch zehn verwendet werden
. Das führt dann immer dazu, dazu vielleicht auch genug
gleich mal als Anmerkung, dass man damit also gerne schludert.
Ich habe das also bei der Übungsaufgabe auch gemacht,
beziehungsweise habe heute also auch gerade nochmal für die Übungsgruppenleiter,
also die Musterlösung nochmal korrigiert, weil ich da selber natürlich dann auch irgendwie so ein bisschen luschig gerechnet habe.
Aber ich denke mal, das wird dann also entsprechend schon klar sein, wie das gemeint ist. Weil wie gesagt,
also im Dezimalsystem arbeiten wir Ihm eigentlich mit Faktoren 10 Uhr 1,
10 Uhr 2, 10 Uhr 3,
also sprich Kilo, mega Giga Terra,
also das heißt hier dann immerhin Dreier-Abstufung und bis Kilo habe ich dann eben noch 10er und 100er und bei kleinen Werten,
also sprich 10 Uhr minus 1,
minus 2 Minus 2, bei einem Dezid Senti und Millie,
dann Millionenstel wäre dann 10 Uhr minus 6,
nano als 10 minus 9 und so weiter und so fort
Ich dachte, sind dann eigentlich immer, sagen wir mal,
so die üblichen Vorsämen, die wir im Dezimarsystem haben. Wie gesagt,
im Dualsystem, wenn dann eben Vielfache von 2 hoch 10 bzw. 2 hoch minus 10 verwendet,
was dann eben eigentlich 1024 und nicht 1000 sind,
nicht weswegen sich dann eben teilweise die Angaben so ein bisschen unterscheiden.
Und das wird dann also auch häufig nicht ganz sauber verwendet. Also die offiziellen Einheiten sind jetzt eigentlich Die,
wie sie jetzt hier stehen, nämlich Einheiten im Dualsystem,
wo ich dann also sage, zwei hoch zehn wäre Kibi,
beziehungsweise ein Abge- oder Kilobinary, abgekürzt dann immer als KI,
Maybe 2 hoch 20, also mega Binary, Gigapinary,
Terrabinary, das heißt dann eben zwei hoch zehn,
zweifach 20, 2, 30, 2,
40 und so weiter und so fort.
Nicht. Und demzufolge, dann eben auch jetzt hier so die kleinen,
aber feinen Unterschiede, wo man dann eben sagt,
also ein Kibi-Bit,
also KI
Und dann B, wie er dann eben 1024 bildt, während ein Kilobit dann eben 1000 Bits sind. Ich bloß,
also gerade im Sprachgebrauch wurde so was dann also oft ein bisschen unsauber verwendet,
weil, nicht wenn man da sitzt,
sind irgendwelche Werbeprospekte guckt, kann man jetzt sagen,
also sagen wir mal so bei Speicherbausteinen,
da rechnet man in der Regel eigentlich mit Zweierpotenzen,
schreibt aber dann also die falsche Vorsilbe, also sprich,
wenn ich irgendwo ein DRAM-Modul habe und da ist ANGB-Kapazität,
dann ist eigentlich ein Gibbyte gemeint und nicht ein Gigabyte.
Das heißt, also es sind eigentlich 2,30 Uhr bereit.
Und nicht 10 Uhr 9. Gemeint, nee, vielleicht spare ich
eine Karte, entsprechendes. Während bei Angaben von Festplatten beispielsweise,
wenn da steht Terabyte, dann ist damit eigentlich auch in der Regel die Zehnerpotenz gemeint. Das heißt,
also irgendwie so 10,12 Uhr,
wobei bei Festplan das dann sowieso sag ich mal,
dadurch so ein bisschen ungenau wird, weil das,
was man als Benutzer letztendlich da dann immer als Kapazität sieht,
deutlich geringer ist,
weil Verwaltungsinformationen von dem Dateisystem natürlich dort auch noch abgelegt wird und dann also von der Terabyte-Festplatte,
wenn man dann sein Dateisystem draufgebracht hat,
also doch schon wieder einiges verloren gegangen ist,
bevor man also irgendwie die ersten Daten drauf gespeichert hat
Gut, wie sieht es jetzt mit den Nachkommastellen aus? Das heißt,
mit irgendwelchen Brüchen, formal gesehen kann ich jetzt einfach sagen,
ich nehme jetzt dieses Grundprinzip von Stellenwertsystemen,
wo ich dann einfach den Laufindex zu negativen Werten hin erweitere.
Das heißt also, eine Zahl wird eben dargestellt,
einmal jetzt eben hier als Vorkommastellen,
jetzt über diese Summe und Nachkommastellen, je nachdem,
wie viele das jetzt auch sein mögen,
dann eben von ich minus in endlich bis i gleich minus 1,
A, I, B, hoch I und dass wir dann den Nachkomma stellen.
Ich finde, das Ganze kann ich dann eben entsprechend so zusammenfassen mit N,
Vorkomma stellen und in diesem Fall ist also unendlich viel Nachkomma stellen.
Ich fasse auch immer man dann nachher dann dort entsprechend einsetzen kann.
Im Dualsystem haben wir jetzt als Nachkomma stellennehmen zuvor,
also zwei auch minus eins, als 0,5,
zwar minus zwei
0,25, 2, minus 3, 0,1, 2,
5 und so weiter.
Wobei, was jetzt also hier nur noch angemerkt ist,
alle Dualbrüche, kann ich eben Dezimalsystem exakt darstellen.
Das heißt also immer mit endlicher Wortlänge. Umgekehrt gilt das
nicht. Das heißt, irgendwelche gebrochenen Zahlen können,
also je nach Wahl der Basis,
teilweise dann eben auch nur als unendlich lange
periodische Brüche dargestellt werden
Ähm, nicht. Und insbesondere bei vielen Dezimalbrüchen habe ich dann eben im Prinzip das Problem,
dass die im Dualsystem unendlich lange periodische Brüche ergeben.
Wie sieht das aus? Also hier hätten wir jetzt quasi einmal
irgendwelche Brüche im Dualsystem. Und da kann ich jetzt eben sagen,
okay, also bei der Basis Dualsysteme und die Umrechnung im Dezimalsystem kriege ich also hier immer,
also hier beispielsweise jetzt mit drei Stellen,
also hier immer irgendwelche schön geraden Werte hin.
Wenn ich Da ist aber jetzt anders rum nehme und sage,
ich habe jetzt, also hier mal von 0,1 bis 0,9
im Dezimalsystem und rechne das jetzt in entsprechende Brüche im Dualsystem um,
dann sieht man das eben bis auf 0,5, dass alles irgendwelche unendlich langperiodischen Brüche rauskommen.
Und das führt eben dann auch zu solchen Effekten,
dass wenn ich also damit nachher also auf dem Computer rechne,
wo ich letztendlich nur eine entsprechend feste Anzahl von Stellen habe,
dass dann eben selbst, sagen wir mal so,
diese Trivialbeispiele wie 0,3, das weiß ich, also vorgestern,
also auch mal kurz unter dem Stichwort Abgeschlossenheit bei der Informationsverarbeitung eingeführt habe,
wo das dann eben dazu führt, dass ich eine 0,3,
die jetzt für mich als jetzt die Mahlzahl,
also quasi ganz trivial ist,
auf dem Rechner eigentlich schon nicht mehr genau darstellen kann,
weil ich das eben ein und endlich langer
Bruch führt
Und ihn dann entsprechend der Darstellung da dann irgendwo was abschneiden muss. Gut,
hier also auch nochmal so eine Liste,
jetzt der unterschiedlichen gebrochenen Zahlen im Dualsystem nicht und hiermit dann also mal versucht,
also nachzurechnen,
wie dann also die 0,3 entsprechend sich jetzt zusammensetzt und das Ganze dann also irgendwie umgerechnet.
Gut, dann werde ich jetzt abschließend
noch was zur Darstellung,
negative Zahlen sagen
Dazu kann man sagen, gibt es grundsätzlich erstmal
drei unterschiedliche Verfahren, die man sich jetzt ausdenken kann.
Also das ist erst so ein einfachstes, dass ich sage,
ich mache einfach so eine Trennung zwischen Betrag und Vorzeichen.
Dann etwas, was man häufig hat, ist eine Offset kodierte Darstellung.
Entsprechend dem englischen Offsettern, also auch häufig noch Access-Kodierung genannt.
Und eben die Komplimentdarstellung, deswegen hier Fett,
weil das also dann auch das ist,
womit wir in der Regel am meisten rechnen werden
Das heißt, bei Indiger-Rechnung, beziehungsweise bei dem,
was sie dann also auch auf dem Computer kennenlernen werden wird.
Inzwischen habe ich fast nur noch im Zweier-Kompliment gearbeitet, beziehungsweise gerechnet.
Diese Darstellung mit Betrag und Vorzeichen oder Access-Kodierung werden teilweise aber auch noch benutzt,
nämlich bei der Darstellung von Leitkommazahlen,
wo ich im Prinzip dann nämlich über Betrag und Vorzeichen arbeite,
beziehungsweise wo der Exponent bei der Gleitkomma-Darstellung dann eben Offset basiert,
kodiert es.
Das ist dann auch eher so mal historisch gesehen,
weswegen das dann so gekommen ist.
Gut, wie sehen diese drei unterschiedlichen Godierungsmöglichkeiten aus?
Betrag und Vorzeichen, da wird einfach willkürlich jetzt irgendwie ein
einzelnes Bit als Vorzeichen wird ausgewählt.
In der Regel nimmt man das Most Significant Bit,
also da ist am weitesten Linksstehende.
Die restlichen Bits sind einfach eine
ganz normale Dualzahl
Und wenn dieses Bit null ist, das Vorzeichen Bit,
habe ich halt positive Zahlen, wenn es eins ist,
habe ich negative Zahlen. Das heißt,
bei vier Bit Wortbreite hätte ich dann eben einmal hier
die Zahlen von 0 bis 7 und hier dann eben mit
der Eins vorneweg dann eben die Zahlen von minus 0
bis minus 7. Nachteil bei dem ganzen Verfahren ist,
wie man natürlich schon sieht,
also einmal habe ich irgendwie
null Doppel dargestellt
Das ist natürlich dann auch irgendwie so ein bisschen Platz verschwendet.
Zum anderen ist dann aber ein Problem, dass,
wenn ich also jetzt wirklich mit diesen Zahlen rechne, und Addition,
beziehungsweise Subtraktion rechnen möchte und dann also beispielsweise rechnen möchte,
plus drei, plus minus eins,
dass das dann also von der Realisierung,
wie ich diese Arendt Medik umsetze,
vielleicht,
weil sie sehr aufwendig werden würde.
Eine Frage
Ja. Das muss, also die Frage war,
woran man jetzt erkennt, dass die das erste wird,
eben Vorzeichenbitt ist und jetzt also nicht zu der normalen Zahl gehört.
Da muss man sagen, das muss explizit bekannt sein.
Also da muss ich wirklich wissen,
dass ich bin jetzt in der und der Zahndarstellung und das
am weitesten links stehende Bitt ist irgendwie das Vorzeichenbitt.
Nicht, weil das,
was man bei allen Darstellungen oder Kodierungsformen letztendlich erstmal nur sieht,
ist eine Folge aus Null und Einsen.
Und ich muss eben wissen,
rechne ich mit dem Zahlensystem oder mit dem Zahlensystem,
ist das eine Zahl oder ist das jetzt irgendwie kodiert,
sowas wie ein Buchstabe
Da muss auch erst mal irgendwo implizit bekannt sein,
das soll jetzt eine Zahl sein mit der und der Zahlendarstellung.
Inzwischen ist es bei den Computern aber eben eigentlich so,
dass man sagt, okay, alles,
was Entager ist, ist immer Zweierkomplimenten.
Was anderes gibt es eigentlich nicht mehr. Und alles,
was Gleitkomma-Darstellung ist, ist dies standardisierte Format A-Triple i7754.
Und das sieht immer so und so und so aus.
Und damit ist das dann eigentlich erst mal bekannt.
Nicht nur weiß ich, wenn ich eine Fließkommazahl habe,
die sieht so aus. Da muss man sagen,
das hat sich inzwischen jetzt eben auch Glücklicherweise entsprechend vereinheitlicht.
Also zu Beginn der Computertechnik oder in der Historie gesehen,
da war es eben wirklich so, dass letztendlich jeder Computerhersteller seiner eigenen Zahlenformate hatte.
Mit unterschiedlich großen Wortbereiten, weil die Maschinen auch,
was weiß ich, also mal mit 60 und mal
mit 48 Bit gerechnet haben und dann eben auch mit sehr unterschiedlichen Zahlendarstellungen.
Und da war eben wirklich ein Problem,
dass man sagen konnte, okay,
also ich kann jetzt nicht irgendeinen Algorithmus nehmen oder irgendeine mathematisches Verfahren programmiere,
das auf dem einen Rechner so runter.
Das konnte ich nicht mal auf einen anderen Computer portieren,
war das mit den anderen Zahnformaten dann schon alles nicht hingehauen.
Hauen hat. Also das ist, war dann eben wirklich Problem.
Gut, aber letztendlich, also man muss wissen,
was dort explizit drin ist. Gut, also Betrag und Vorzeichen
. Nächste Kodierung dann eben diese Access-Kudierung. Das ist einfach
eine, ich sag mal, Uminterpretation der Binäre-Kodierung.
Man sagt jetzt also das, was als Zahlenwert dahinter steht,
Ist halt eine linäre Ganszahl, von der eben ein fester Offset,
der vorher auch irgendwo definiert ist, abgezogen wird.
Der wird irgendwo beliebig gewählt. Nachteil bei dem ganzen Verfahren,
der Stringende, jetzt quasi aus lauter Nullbits besteht,
kodiert gar nicht mehr die Null, sondern die kleinste negative Zahl,
weil dieser String wäre dann eben null minus diesem Offset.
Das ist quasi das Kleinste, was sich überhaupt darstellen kann.
Und die Null liegt dann eben irgendwo in der Mitte
des Zahlenbereichs
Vorteil bei den Wanzen ist, aber dadurch, dass ich quasi so einen Zahlenbereich habe,
der jetzt nicht mehr von null bis zwei Wochen minus eins geht,
sondern den quasi durch den Offset verschoben habe,
dass diese Ordnung bei Größen vergleichen nach wie vor gilt, da hat sich also nichts geändert.
Wie ich schon vorhin angedeutet hatte,
also benutzt wird das Ganze bei Exponenten in diesem Gleitkomma-Format,
werde ich dann also noch vorstellen,
wenn ich dann also zu dem Fließkomma-Formaten komme,
wo so eine Offset-Kodierung teilweise auch noch mit drin ist,
ist bei einigen Audio-Formaten,
ich glaube also irgendwo eine Waff-Kodierung oder sowas ist was mit drin,
dass ich dann eben Procemple so und so viel Bit habe und der Null wert ist dann eben irgendwie auch willkürlich in die Mitte gelegt und ich habe da irgendwo ein Offset von,
ja, was weiß ich jetzt, also auch mal da mit drin.
Beispiele, hier hätte ich jetzt Bitmuster,
binär quasi von 0 bis 15 und wenn ich das jetzt
eben als Access 8-Kodierung mache, wird einfach von dem entsprechenden Binärwert
Eine Acht abgezogen, das heißt, der kleinste Wert wäre dann
minus acht und der größte dann eben nicht mehr 15,
sondern 15, minus acht, also plus sieben.
Nicht das Ganze verschoben, eine Access-6-Kudierung wäre dann eben entsprechend anders verschoben. So,
und je nachdem, wie ich jetzt diesen Offset wähle,
kann ich mir das zum Beispiel dann auch so hinlegen,
dass ich also zum Beispiel jetzt hier bei diesem Achterbeispiel das erreiche,
dass ich sage, na gut, also alles,
was größer gleich null ist, fängt hier an der höchsten Stelle mit einer Eins an.
Aber wie gesagt, das sind letztendlich,
also hier irgendwo willkürlich festgelegte Sachen,
die man dann eben beispielsweise in Bezug auf irgendwelche Anwendungen auswählt und sagt,
okay, bei der und der Anwendung oder bei dem,
was sich da rechnet, da ist sowas jetzt vielleicht besonders vorteilhaft.
Gut, das, was jetzt eigentlich der interessante Teil
ist und womit gerechnet wird, sind Komplimentzahlen.
Dazu definiere ich jetzt als erstes erstmal das sogenannte Basiskompliment oder
in diesem Fall B, also B war die Zahlenbasis,
Und das B-Kompliment einer Zahl ist quasi so definiert,
dass das Kompliment dieser Zahl nichts anderes ist,
als die Zahlenbasis hoch-n-n- der Zahl, solange die Zahl ungleich null ist,
wenn die Zahl gleich null lässt,
dann ist das auch entsprechend der Wert null.
Wie gesagt, B ist die Basis.
Stellenwertsystems, Andy Answalte zu berücksichtigen, Vorkommastellen. So,
und wenn ich diese Formel stumpf nehme,
dies minus Z hier einmal auf die andere Seite bringe,
dann gilt eben,
B-Kompliment plus der Zahl
Es ist Live-B hochenden. Wenn wir das jetzt im Dualsystem betrachten,
und das ist also das, wo die Rechnern eigentlich noch rechnen,
sprechen wir dann eben dem zufolge vom Zwei-Kompliment.
Man kann das aber auch für beliebige andere Stellenwertsysteme machen.
Werde ich dann also auch gleich nochmal vorstellen,
beziehungsweise gibt es dann auch Übungsaufgabe dazu.
Man kann das eben auch beispielsweise im Dezimalsystem machen.
Dann hat man dann eben
ein Zehn-Kompliment
Netter Vorteil eigentlich, bei dem B-Kompliment ist,
auch wenn ich das jetzt in so einer Stellenwertschreibweise darstelle,
entspricht das einfach einem Zahlenwert, wo die allerhöchste Stelle,
also das MSB,
einfach negativ gewichtet ist und der Rest quasi ganz normal,
wie in einer normalen Zahlendarstellung, arbeitet.
Wie sieht das aus? B-Kompliment zur Basis 10 mit Vier Vorkommastellen. Würde also heißen,
wenn ich das jetzt hier fördere, die Zahl 3.7063 bilde,
dass ich einfach aufgrund dieser Formel nur rechnen muss,
B hoch N, minus 3.700, 63,
also 10 hoch 4, minus 3.763, ist 6.237.
Das wäre dann also jetzt dieses 10er- oder 10-Kompliment
von dieser Zahl
Nicht jedes Gleiche jetzt für eine Zahl mit Nachkomma stellen und
dass N eben auch größer als die Anzahl der Vorkomma stellen.
Aber auch da mache ich nichts anderes,
als es einfach stumpf in die Formel einzusetzen, zu sagen,
zehn, hoch zwei, minus dieser Zahl,
wie er dann in diesem Fall, also 99,6, 2,
3, 7, dass also jetzt dieses B-Kompliment Oder das Zehner-Kompliment jetzt,
also hier von dieser Zahl.
Hier das Gleiche jetzt eben auch nochmal für den noch null,
wo jetzt also nur Nachkommastellen sind, wäre das dann eben 0,6237. Funktioniert eben,
wie man hier jetzt erstmal sehen kann,
im Prinzip auch erstmal für beliebige Zahlenbasen.
Wir werden dieses B-Compliment jetzt eher kennenlernen bei Dualzahlen.
Auch da wird das ganz einfach gebildet,
indem ich jetzt sage,
Davon möchte ich jetzt das Zweier-Kompliment mit zwei Vorkommastellen machen.
Und auch da wird jetzt einfach gerechnet, zwei hoch zwei minus.
Diesem String wäre dann eben 01,11 oder jetzt,
wenn ich das Ganze jetzt hier mit acht Vorkommastellen mache,
wäre das dann dementsprechend desastring.
Nicht das einfach nur direkt einzusetzen. Ja,
welche Vorteile dieses B-Kompliment hat, werde ich dann also gleich noch zeigen,
wenn es dann um das Rechnen mit diesen Komplimentzahlen geht,
wo ich dann nämlich letztendlich die Addition beziehungsweise andersrum dann die Subtraktion also ersetzen kann durch eine Addition mit der entsprechenden Komplimentsaal.
Neben dem B-Kompliment gibt es dann eben auch noch das B-1-Kompliment.
Ist im Prinzip fast das Gleiche. Hier wird dann eben nur noch B,
nicht B hoch N, minus der Zahl gerechnet,
sondern es wird quasi noch die niederwärtigste Stelle einmal mit abgezogen.
Das ist also dieses minus B hoch minus M.
Wobei M jetzt also Anzahl und Nachkommastellen wäre,
wenn ich jetzt keine Nachkommastellen hätte, würde dann hier stehen letztendlich
B hoch N, minus Z,
minus 1. Dieses B minus 1 Kompliment im Dualsystem
wäre dann eben das Eins Kompliment bzw. im Dezimalsystem
das neuen Kompliment
Wie wird dieses, oder wie können jetzt diese Komplimente,
sagen wir mal, sehr einfach gebildet werden?
Dafür gibt es dann nämlich eigentlich einen sehr schönen Trick,
wo ich jetzt also hier nicht anfange,
wie jetzt hier im Prinzip mit den Potenzen zu rechnen,
sondern wo ich das anders mache.
Fangen wir erst mal mit dem B-1-Kompliment an. Es gilt
ja eben im Prinzip B hoch-en-minus diese niederwärtigste Stelle minus Z.
Das heißt eben genau für diesen Fall M gleich Null gilt,
dass dies B-Kompliment dann auch nichts anderes ist,
als das B-1-Kompliment plus 1. Demzufolge kann ich dann eben dieses B-1-Kompliment einfach dadurch berechnen,
dass sich also letztendlich die einzelnen Ziffern invatiere.
Das heißt, im Dualsystem, ich habe hier diese Zahl 1,
1, 0, 0, 1, 0,
0,1, möchte daraus das Eins-Kompliment bilden,
ist nichts anderes als alle Bits zu invertieren und diese Zahl hier unten ist das Eins-Kompliment.
Im Dezimalsystem Wenn ich also jetzt hier quasi als B-Minus-1-Kompliment das neuen Kompliment bilde,
und ich möchte das jetzt von 24.453 machen,
Ziffern invertieren, ist jetzt quasi im Dezimarsystem,
austauschen der Ziffern durch diejenigen,
die jetzt quasi auf der anderen Seite der Stellenwertigkeit sind,
sodass beide zusammen eben
immer genau neun ergeben
Das heißt, aus einer Null wird eine 9 und umgekehrt
aus einer 1 wird eine 8 und umgekehrt.
Arsenal 2 wird eine 7 und umgekehrt und so weiter und so fort. Das heißt,
aus dieser Zahl kann ich eben direkt das neue Kompliment bilden,
indem ich das entsprechend hier einfach nur vertausche und sage,
75.546 wäre dann eben dieses neue Kompliment.
Und was dann eben hier immer gilt,
das entspricht er ja also quasi letztendlich genau hier dieser Aussage,
die Summe von dem Ganzen wäre dann eben,
das ist ja diese Vertausschungsregel,
dann 99.9909 oder eben genau wie hoch
in minus
Gut, beim B-Kompliment kann man das Ganze dann eben dadurch machen,
dass ich sage, ich berechne quasi das B-1-Kompliment und addiere
an der niedrigsten Stelle dann noch eine Eins hinzu.
Das heißt, im Dualsystem, wenn ich jetzt,
also das Zwei-Kompliment dieser Zahl bilden möchte, 1-0,
0, 1, 0 und 1,
mache ich nichts anderes, als die Bits zu invertieren.
Hätte hier also quasi A, 0, 0,
1, 1, 0, 1, 1, 0.
Es führt dann eben noch eine 1 hinzu addiert.
Und dann lande ich bei dieser Zahl. Wenn ich die beiden jetzt eben aufsummiere,
hätte ich jetzt eben genau das hier quasi immer Überträge erzeugt werden,
bis ich dann eben als Summe zwei Hochende halte.
Im Dezimalsystem genau das Gleiche. Also auch wieder
dieses Ziffern invertieren
Und einen hin zu addieren, das führt dann eben dazu,
dass ich hier an der letzten Stelle quasi die drei wird es oder sechs plus eins,
habe ich dann sieben und wenn ich die beiden aufsummiere,
hätte ich dann eben als Summe, genau,
die 10.5. So,
wie kann man damit dann rechnen bei dieser Berechnung,
mit einer festen Stellenanzahl gilt jetzt eben
Dass ich sage, B-Kompliment plus Zahl ist gleich B hoch N.
Da ich jetzt aber insgesamt nur N minus eins stellen
zur Verfügung habe, wäre das Ergebnis da null.
Das heißt, diese Summe war das Ergebnis eben genau nicht mehr da reinpasst.
Diese Summe entspricht quasi jetzt genau der Subtraktion. Das heißt also,
ich nehme einfach das Kompliment oder das B-Kompliment von der Zahl.
Und wenn ich das mit der Zahl selber addiere,
erhalte ich dann
eben null
Aussage ist also die Subtraktion kann entsprechend durch die Addition des
B-Kompliments ersetzt werden. Und eben für Intiger-Zahlen gilt x-y,
ist dann x plus, B-1-Kompliment von y plus 1 oder
x plus B-Kompliment von y. So, zwei Folien noch.
Also hier ist das Ganze mal praktisch dargestellt. Wie gesagt,
Subtraktion durch Addition des Kompliments. Also dezimal würden wir jetzt sagen,
ich möchte eine 10 bloß minus drei rechnest, soll also sieben letztendlich rauskommen.
Und einer Kompliment habe ich hier zehn,
hätte jetzt hier quasi meine einer Komplimentdarstellung von der Drei.
Das addiere ich. Dabei wird ein Carry erzeugt,
dieser Carry wird quasi hinten auch wieder mit rein addiert.
Und ich habe dann meine einer Komplimentdarstellung von dem Ergebnis,
also von der sieben, beim Zweier-Kompliment,
habe ich hier meine zehn hier die Zweier-Kompliment-Darstellung der 3. Das addiere ich,
dabei wird zwar ein Übertrag erzeugt, der fliegt aber einfach raus,
den kann man ignorieren und ich habe direkt mein richtiges Ergebnis,
die 7. Gut, wie sehen jetzt überhaupt solche Zweier-Komplimentzahlen aus?
Also hier ist das Ganze nochmal angezeigt als quasi Zahlenkreis,
wo ich also jetzt hier wirklich sage,
ich habe hier meine Zahlen von 0 bis 7 jetzt bei 4 Bit und
dann die nächstgrößere Zahl wäre dann aber die minus 8 und geht dann eben wieder bis hier zu null.
Und wenn ich jetzt also arathmetische Operationen mache,
lassen die sich formal gesehen im Prinzip oder lassen sich Additionen dann überführen,
indem ich sage,
ich habe hier sowas wie einen bestimmten Winkel und die nächste Zahl oder
der entsprechende Winkel wird einfach aufaddiert und dann lande ich eben wieder an,
also zumindest sofern das passt,
anpassender Stelle mit dem richtigen Ergebnis.
Nicht hier wäre dann nochmal eine Veranschaulichung für Betrag und Vorzeichen
So, das ist jetzt wirklich die letzte Folie.
Darstellung negativer Zahlen. Hier sind jetzt eben noch mal kurz
die Beispiele. Einige Dezimalzahlen. Die entsprechende Binärdarstellung. Bei
einer festen Wortbreite. Dann die Darstellung von Minus N,
beinahe Codierung als Vorzeichen und Betrag.
Das ist also die Sign.
Dann eine Darstellung von minus N als einer Kompliment,
als Zweierkompliment und hier nun als Access 128 Darstellung.
Also wie gesagt,
das kann man sich dann in Ruhe nochmal angucken,
um dann also auch gerade nochmal so die unterschiedlichen Funktionsweisen
dieser Darstellung negativer Zahlen sich zu veranschaulichen