Die Projektionen selbst, da haben wir ein paar Grundbegriffe zu klären,
um überhaupt zu sehen, was denn eine Projektion ist.
Und wir werden hier zwei verschiedene Ansätze für die Projektionen besprechen.
Einmal Parallelprojektionen, einmal Zentralprojektionen. Bei den Übungen am Montag
werden wir uns dann auch mal ein Beispiel für Projektionen direkt angucken können.
Die Lochkamera, da haben wir ein Live-Modell,
was wir ausprobieren können.
Ich habe es heute nicht mitgebracht
Und das haben wir im Requisitenraum bei Werner Hansmann einen geschlossen,
bei der werden wir am Montag eben rankommen können.
Okay, zunächst mal ist eine Projektion mathematisch gesehen eine Abbildung
aus einem Raum, in dem wir etwas modelliert haben,
auf einem anderen Raum, in dem wir es betrachten wollen.
Also ganz allgemein werden wir das, was wir modellieren durch
Viktoren X beschreiben. Diese bilden einen enddimensionalen Vektorraum und die
projizierte Welt finden wir dann in einem anderen Vektorraum mit Vektoren
Wieder. Die einzige Einschränkung, die wir haben,
damit eine solche Abbildung zwischenwegterräumen, eine Projektion. Es soll sein,
dass der projizierte und der Raum weniger Dimensionen hat als der Ausgangsraum.
In der Vorlesung werden wir uns im Wesentlichen beschränken auf Abbildung des 3D-Raums,
weil wir eben in unserer realen Welt modellieren wollen,
auf Ebenen, also Planare-Projektionen.
Und damit wir dann die Dimension des Ausgangsraums 3 des Zielraums Fersi 2 und zusätzlich die Einschränkung,
wir projizieren in eine Ebene nicht auf gekrümmte Flächen Kugeln und so weiter, ne?
Sie wissen, dass diese nicht planalen Projektionen,
wo wir auf etwas anderes projizieren, eine wichtige Rolle spielen,
auch für Landkarten und ähnliches, Zylinderprojektion, Kegelprojektion,
aber das werden wir hier nicht betrachten.
Nur der Vollständigkeit halt bei einem Beispiel für nicht planare Projektionen,
wenn wir auf eine Kugel projizieren, bietet sich an, wenn wir Kugeln abbilden.
Oder wenn wir auf Zylinder projizieren. Also unser Grundmodell für
Abbildung Soll für futterrealistische Abbildungen das Modell der Lochkamera sein.
Dieses Loch hier, ich habe es ein bisschen größer gezeichnet,
als es ist, ist infinitär sie mal klein in der Theorie,
genau ein Punkt im Raum. Und das Bild entsteht dann dadurch,
dass wir die abzubildenden Objekte nehmen,
eine Grade legen vom Punkt, den wir abbilden wollen,
durch das Projektsunszentrum hier das Loch der Kamera und das Ganze landet dann hinten auf der Leinwand in der Bildebene der Kamera.
So, das Bild entsteht also im Schnittpunkt unserer Projektionsstrahlen mit der Bildebene.
Im Allgemeinen, wenn es keine Planareprojektion ist,
eben mit der Bildfläche, wie immer sie aussieht.
Und was man hier schon auf einen Blick sieht,
das Bild steht Kopf, wenn wir mit einer Lochkamera abbilden.
In unserer mathematischen Modellierung abstrahieren wir von dem Gehäuse der Kamera,
wie immer es sein mag.
Also das Modell besteht jetzt wirklich nur noch aus der mathematischen Definition
der Bildebene hier hinten und dem Loch selbst angegeben durch einen Punkt.
Das ist alles, was wir brauchen,
um eine solche Projektion zu spezifizieren
Ja. Damit es für uns mathematisch leichter Hand zu haben ist,
verwendet man immer den Kunstgriff, dass man das Bild aufrecht dreht.
Also wenn das hier unser Projektionsmodell ist, gegeben,
die strahlen durch das Loch und nimmt die Bildebene.
Und da entsteht dann unser Kopf stehendes Bild.
Dann haben wir ein mathematisch Äquivalente Beschreibung der Projektion,
indem wir einfach die Bildebene um 180 Grad um das Loch
rotieren und sie hier zwischen Loch und abzubildendes Objekt setzen.
Wenn die Bildebene sich hier befindet,
bekommen wir
ein aufrechtstehendes Bild
Thematische Behandlung ist das super. Für die Praxis hätten wir
nicht viel Bild, wenn das Loch durch die Bildebene verdeckt wird.
Das ist klar, ja, aber mathematisch können wir es
so behandeln und untersuchen und haben dann ein aufrecht stehendes Bild.
Also wir werden unsere Zentralprojektionen eben das,
was eine Lochkamera leistet, so modellieren,
dass für uns das Loch hinter der Bildebene denken,
die Bildebene reingeschoben zwischen der abgebildeten Szene und dem Loch und dann genau diese Strahlen dir verfolgen.
Damit sind wir denn auch schon bei der Zentralprojektion.
Eine Zentralprojektion legen wir fest durch Angabe eines Projektionszentrums.
Das wird im Deutschen auch Punkt genannt und der Projektionsebene. Und die Projektionsstrahlen,
das sind denn gerade durch den Hauptpunkt und die abzubildenden Punkte,
das Abbild des Punktes ist jetzt der Schnittpunkt des Projektionsstrahls mit
der Bildebene und den nennen wir schlichtweg die Projektion des Punktes.
So, jetzt können wir noch den Grenzfall betrachten,
wenn wir unsere Kamera sehr, sehr groß bauen.
Die virtuelle Kamera können wir uns unendlich groß denken mit dem
Projektionszentrum unendlich weit entfernt. Dann haben wir in diesem Grenzfall
das, was Parallelprojektionen genannt wird
Gut, also einfach uns vorstellen,
wir schieben diesen Punkt jetzt weit, weit weg,
dann werden die Strahlen eben immer paralleler und wenn dieser Punkt
tatsächlich im Unendlichen ist, dann sind sie parallel.
Parallel heißt der Abstand zwischen den Graden ist überall konstant.
Bei der Zentralprojektion ist es eben so,
dass der Abstand immer kleiner wird, was später,
wenn wir es besprechen, wenn wir sehen,
dass das der Grund für die perspektivische Verkürzung ist.
Gut, dann wird es erstmal
die Parallelprojektion
etwas ausführlicher
Ich ziehe sie vor, damit sie uns später nicht mehr im Weg rumliegen.
Ja, wir werden sie in dieser Vorlesung nicht wirklich brauchen für die Computergrafik,
sind sie aber wichtig. Also irgendwo müssen sie hin.
Und im Wesentlichen ist das Thema Parallelprojektion, Vokabel lernen.
Also stellen sich jetzt auf einen etwas langweiligen Exkurs an,
wo wir einfach ziemlich viele Fallunterscheidungen machen müssen und jedem Kind einen Namen geben.
Den Hauptunterscheidungen sehen wir schon. Einmal werden wir bei den
Parallelprojektionen über Orthogonale und Schiefe sprechen. Für die Praxis sind
die Schiefen meistens die wichtigeren und davon gibt es leider ziemlich viele.
Bei den Orthogonalen haben wir nicht so viele zu unterscheiden.
Kommen wir erstmal zu denen
Parallelprojektionen überhaupt, wie eben gesagt, das Projektionszentrum ist
ein Unendlichen und damit sind die Projektionsstrahlen alle parallel.
Unterscheidung, Orthogonal oder nicht, liegt vor allem daran,
wie die Projektionsstrahlen auf die Bildebene treffen.
Ob sie die senkrecht schneiden oder schief. Wenn wir diese
Parallelprojektionen ans anschauen, dann werden Punkte eben entlang paralleler Strahlen
auf die Projektionsebene abgebildet. Deshalb heißt das ganze Parallelprojektion.
Parallele Linien werden bei dieser Abbildung
parallel bleiben
Überlegen wir, was die Erhaltungssätze und der verschiedenen Arten von Projektionen.
Also wenn wir parallele Bierlinien abbilden mit einer Parallelprojektion,
sind sie im Bild auch parallel. Und das ist der Hauptgrund,
weshalb Parallelprojektionen für Ingenieursanwendungen so beliebt sind,
weil viele Eigenschaften der abgebildeten Objekte erhalten bleiben im Bild und
man dann Bemaßungen und alles dort anbringen kann.
Und wenn wir die Bild-Ebene parallel sehen, Projektionsstrahlen verschieben,
dann bleibt das Bild gleich. Können wir uns hier dran leicht vorstellen,
also wenn wir hier unsere Bild-Ebene nehmen, Macht es keinen Unterschied,
ob wir sonst hier denken oder hier oder hier oder hier.
Deshalb, weil die Lage der Bildebene entlang der Projektionsstrahlen gleichgültig ist,
denkt man sie sich immer da,
wo es für einen am bequemsten ist, nämlich so,
dass sie den Ursprung des Koordinatensystems enthält.
Das macht dann die Behandlung einfacher. Gut, das hatten
wir eben gesprochen. So, die Typen der Parallelprojektion,
jetzt beginnt das Vokabellernen. Wir haben einmal die Otto-Genale und
dann die Schiefe. Bei der Otto-Genalen treffen die Projektionsstrahlen.
Senkrecht auf die Bildebene
Die wird auch Normalprojektion genannt. Also die beiden Namen werden
Synonym verwendet. Wir haben eine schiefe Parallelprojektion im Englischen,
heißt das Oblik. Wenn Sie keine Normalprojektion ist,
also wenn die Projektionsstrahlen eben schräg auf die Bildebene treffen.
Die sind etwas schwerer zu konstruieren und deshalb nicht ganz so
beliebt gewesen, als man alles von Hand zeichnen musste.
Ein orthogenale Projektion haben wir im Ingenieurbereich als einen sehr beliebten Fall,
weil wir in der Ebene,
die parallel zur Bildebene ist,
alle Maße erhalten bleiben
Alle Winkel und Längen. Und damit kann man es gut
als Vorlage für die Konstruktion nehmen. Und wenn wir den Sonderfall haben,
dass eine Parallelprojektion auf die Grundebenen unseres Koordinatensystems geht,
dann heißt diese Parallelprojektion Riss.
Ob sie ermützt ihr. Vokabelheft schon gezückt, um all
diese Namen sich zu merken. Wir haben einmal den Grundriss,
das ist eine Normalprojektion in die XZ-Ebene.
Dann haben wir den Aufriss, das ist eine Normalprojektion in
die XY-Ebene
Und dann haben wir noch Seitenriss oder Kreuzriss, die beiden Namen sind synonym.
Das wären jetzt Projektionen in die XZ-Ebene. Also,
wenn wir in eine der Grundebene des Koordinatensystems projizieren, haben wir Risse.
Dass man typischerweise macht, ist von einem Objekt drei Risse zu haben,
die Projektionen in alle Ebenen. Und dann zu wissen,
was man an der Drehbank einstellen muss, um dieses Objekt zu produzieren.
Der Risse fordert aber ziemliche Übung. Und wir brauchen auf
jeden Fall mehrere Ansichten, um es eindeutig zu machen.
Selbst mit drei Rissen kann es vorkommt,
dass so ein Objekt nicht eindeutig ist,
der wird Werner in seinem Vorlesungsteil, denn die einige schöne Beispiele dafür zeigen,
dass die Interpretationen der Risse Erfahrung erfordert und oft Nebeninformationen.
Also wir haben es damals gemerkt, als wir dieses ein Projekt hatten,
bei dem, ja, wirklich hunderte Tausende waren.
Ich glaube, waren tausende Zeichnungen von Hand gezeichnet am Zeichenbrett mit solchen Rissen.
Die sollten überführt werden in 3D-Modelle im Rechner,
also die handgezeichneten Zeichnungen. Und wir haben viele,
viele Fälle gefunden, wo es nicht eindeutig aus den Projektionen
klar war
Was es sein sollte. Also da musste man dann tatsächlich
sich die zu fertigenden Objekte im 3D anschauen.
Und das nehmen, um die Risse zu interpretieren.
Also hier mal für ein Objekt, einfach um ihn zu zeigen,
dass es schon ganz schön tricky sein kann, bei simplen Objekten.
Wir haben es hier im Aufriss, im Seitenriss und im Grundriss.
Alle wichtigen Linien sind drin. Ich kann ihnen auch versprechen,
die Maße stimmen, soweit ich das geprüft habe.
Da sind also keine Zeichen Fehler drin.
Und jetzt kann man sich überlegen, nach was haben wir
da für ein Objekt
Machen Sie es mal zur Übung? Ich splatter jetzt,
ich hab da jetzt die Lösung auch noch gar nicht auf den Folien drin,
damit sie beim Blättern nicht selbst dadurch irritiert werden,
dass sie die Lösung finden.
Kommen wir zu weiteren Vokabeln. Normal-Axtronometrische Projektion. Also eine
orthogonale Projektion heißt normal-axtronometrisch. Wenn wir jetzt keinen der Risse haben, ja?
Also wenn keine Achse des Weltkoordinatensystems senkrecht zur Bildebene ist,
sondern wir legen die Bildebene so,
dass sie alle Koordinatenachsen schneidet
Und der Vorteil ist, dass wir mit einer solchen Projektion
zueinander senkrechte Objektflächen gleichzeitig darstellen können. Die Risse zeigen,
wenn unser Objekt zu den Achsen des Weltkoordinatensystems ausgerichtet ist,
ja immer nur einen Blick aus einer Richtung auf das Objekt und die seitlichen Flächen
sind von uns weggewendet und wir können sie nicht sehen.
Wenn wir schräg projizieren und das Objekt aber parallel zum Koordinatensystem ausgerichtet ist,
dann können wir eben mehrere Flächen gleichzeitig sehen.
Maße werden allerdings verkürzt, Parallele Kanten werden aber immerhin gleich verkürzt.
Ist schon immer was. Und wenn das Objekt weit entfernt
ist, dann sieht es ähnlich aus wie die Zentralprojektion.
Und wir können es als Ersatz dafür nehmen. Also das Objekt,
was wir eben in den Rissen gesehen haben, normal axonometrisch projiziert,
hat man schon eher eine Vorstellung wie es räumlich ausgerichtet ist.
Und wir projizieren eben hier irgendwie, die eben Bildebene schneidet,
alle drei Achsen XYZ.
So, noch mehr Vokabeln
Bei den am allaxonometrischen Projektionen gibt es drei Fälle, die man unterscheiden sollte.
Einmal die ISO-Mittrische. Dann sind die Schnittpunkte der Wildebene
mit den Hauptachsen alle gleich weit vom Ursprung weg.
Bei der dimetrischen sind immerhin zwei Schnittpunkte gleich weit vom Ursprung entfernt.
Die dritte anders. Und bei der Trimetrischen sind sie
alle drei unterschiedlich. Gut, das führt dazu,
dass dann wirklich entlang aller Koordinatenachsen die Längen unterschiedlich verkürzt werden.
Das kann für Messaufgaben schwierig sein
Müssen wir uns noch überlegen, wie wir denn eine gegebene
Projektion umsetzen in eine Projektionsmatrix. Wenn wir orthogonale Projektionen haben,
dann können wir uns den Weg dahin so vorstellen,
dass wir mit zwei Schritten transformieren, zum ersten Mal das Weltkoordinatensystem verschieben,
sodass die Bildebene im Ursprung liegt.
Wir haben ja gesehen, bei Parallelprojektionen ist es egal,
wie weit die Bildebene vom Ursprung entfernt ist,
also schieben wir sie uns für die Berechnung, mathematisch in den Ursprung.
So und dann Rotieren wir das System so,
dass die Normale der Bildebene parallel zur Z-Achse ist.
Und wenn wir das geschafft haben, Bildebene im Ursprung,
also Z-Koordinate ist null und eine Achse ist parallel zur Z-Achse,
dann können wir die projizierten Koordinaten einfach in der XY-Ebene ablesen.
Die Koordinaten in der XY-Ebene sind dann unsere projizierten Koordinaten.
Und damit haben wir die Projektionen gelöst. Das heißt,
das, was wir schon gelernt haben,
wie verschiebe ich mit einer Matrix, wie rotiere ich,
nehmen wir und haben dann Unsere Projektionsgleichung.
Bisschen schwieriger für die schiefe Parallelprojektion, im Schrägriss.
Da stehen die Projektionsstrahlen nicht sinkrecht auf der Ebene und
deshalb wird eine solche Projektion durch zwei typische Winkel angegeben.
Die können wir uns in diesem Bild mal anschauen.
Versuchen wir es erstmal zu sortieren. Also die XY-Ebene hier
, das sei die Bild-Ebene. Und dieser Punkt PXYZ,
das sei der Punkt, den wir abbilden wollen.
Und wir projizieren so, Das ist ja der Projektionsstrahl ist,
der geht also durch unseren Punkt fehl, soll er und schneidet irgendwo die Bildebene im Bildpunkt.
Und jetzt versuchen wir, weil die Geometrie uns da klarzumachen,
wie wir das beschreiben können.
Wir bilden die Verbindungslinie vom Bildpunkt zum Fußpunkt des Lotes,
wenn wir unseren Punkt auf die Bildebene projizieren,
sondern eben das Lot vom Punkt auf die Bildebene fällt.
Diese Verbindungsgrade. Die sagt uns nämlich, in welche Richtung
der Projektionsstrahl verläuft. Das gibt uns ungefähr an,
aus welcher Richtung der Projekt zu uns Strahl kommt,
der schief auf die Bildebene trifft.
Und dann bilden wir noch eine zweite, gerade hier,
in dem wir die Parallele zur X-Achse nehmen und die durch den Fußpunkt des Lotes gehen.
Und dann betrachten wir diesen Winkel Alpha,
der beschreibt uns die Richtung, aus der wir projizieren.
Und der zweite Winkel Better hier, das ist der Gegenwinkel,
ist der Winkel, zu dem unser Lot die Gegenkathete ist,
in diesem rechtwinkligen Dreieck hier.
Dieser Winkel Better sagt uns,
wie flach oder wie
Steil unsere Projekte uns strahlen auf die Bild-Ebene treffen. Kleiner Winkel,
Better heißt, dass wir praktisch streifend auf die Bild-Ebene projizieren,
während wenn er 90 Grad ist, dann haben wir eine orthogonale Projektion.
Und Better und Alpha zusammen beschreiben uns jetzt genau wie die
schiefe Parallelprojektion aussieht. Das sind die Winkel,
die sie finden, wenn sie Zeichenschablonen kaufen wollen oder sowas.
Heutzutage nicht mehr so üblich, aber früher hatte man die. Und je nachdem,
welche Paare Better und Alpha, man hatte, gab es unterschiedliche,
schiefe Projektionen, für die man tatsächlich Schablonen kaufen konnte,
damit es einem leichter fiel am Zeichenbrett, sowas zeichnen zu können.
Einmal die Covervir-Projektion, da ist Tange ins Bett da gleich
eins und Kabinettprojektionen, Tangens Better, gleich ein Halb.
Warum nur ausgerechnet auf dem Tangens des Winkels rumreiten?
Kurz zur Erinnerung an die Geomethe, Geometrieunterricht,
der Tangens ist das Verhältnis von Gegenkathetes zu Ann-Kathete, im Rechtwinkling-Dreieck, ja.
Wenn wir Rechtwinkliges Freieck haben. Denn sei das hier mal Winkel.
Moment, vor allem hier haben wir den rechten Winkel.
Und der hat eben einmal für den Winkelwetter hier die Gegenkantete.
Das ist diese Strecke und die Uncut-Thete,
die eben direkt am Fußpunkt des Winkels ist, wäre das.
Das Tangents ist dieses Verhältnis hier. Und genau das sind ja
die Strecken, die hier unsere Geometrie bei der Projektion beschreiben.
Also über den Tangens Better erfahren wir wie flach dieser Winkelbetter ist.
Und deshalb wird er eben genommen, um die Geometrie hier zu beschreiben.
Und wenn wir jetzt einen Winkel mit dem Tang ins Better von eins haben,
das ist ein Winkelbetter von 45 Grad, dann haben wir die schöne Situation,
dass diese Strecken hier genauso lang sind wie diese.
Ja. Sieht man nicht auf den ersten Blick,
ne? Aber deshalb stehen hier die Längen dran.
Also wenn das hier ein Quadrat ist,
dann ist diese Strecke hier
genauso lang
wie die
Und das kommt einem, wenn man das betrachtet, unglaublich unnatürlich vor.
Ich hoffe, allen geht es so, dass einem diese Strecke Elliot
viel länger erscheint als diese Strecke L. Das liegt daran,
dass unser Sehsystem, wenn es eine perspektivische Zeichnung betrachtet,
die eine perspektivische Verkürzung enthält, da sagen wir annimmt,
dass diese perspektivische Verkürzung existiert und sagt,
wenn es in die Tiefe genauso lang aussieht wie in die Breite,
dann ist die Strecke in Wahrheit länger und wir empfinden es als länger.
Für technische Zeichnen, wenn wir Bemaßungen ablesen wollen,
ist das super, dass diese Strecke hier nicht verkürzt wird.
Und wir die Maße direkt abnehmen können, wenn wir einen
Kubus darstellen. Aber um die Leute jetzt zu überzeugen,
dass sie diese Küche kaufen oder so,
da ist es nicht so gut, weil das wirkt einfach unnatürlich.
Und dann nimmt man die Kabinettprojektion,
bei der ist der Tang ins Better einhalb.
Da sieht er es hier nicht in der Zeichnung perspektivisch verkürzt
aus, kommt einem angenehmer vor.
Wir empfinden das visuell als korrekt. Und ein Hype ist
ein Faktor, den man den Menschen gerade noch zumuten kann
im Kopf umzurechnen
Deshalb waren diese beiden Fälle beliebt, also für die,
die gar nicht rechnen wollten, nahm er die Kavalierprojektion,
hatte dafür Schablonen und für die anderen die Kabinettprojektion,
dass es gut aussieht.
Man musste immer nur einen Faktor 2 anbringen für die Werte in die Tiefe.
Ja, leiten wir mal für diese Projektion bei gegebenen Winkeln.
Better und Alpha her, wie die Projektionsgleichung aussehen.
Das ist weniger schlimm, als es auf den ersten Blick
da erscheint. Also sei das mal der projizierte Punkt.
Wir haben die Bildebene ja in den Ursprung gelegt,
dann sei die Projektion
Wenn der Ursprungspunkt PXYZ ist. Der Tang ins Better,
das ist unsere Z-Koordinate geteilt durch L. Das ist L,
weil diese Strecke hier vom Fußpunkt des Lotes zum Bild, Punkt.
Der Winkelbetter ist dieser. Und warum ist der Tangensbetter L durch Z?
Weil Z, die Entfernung in die Tiefe hier,
ist die Gegenkathete zu Better und L ist die Ankathete.
Also es Tang ins Bett der Z
Und damit können wir umgekehrt werden. Z, die Strecke L
ist eben Z durch Tandenzbitter. Und wenn wir das haben,
können wir X-Strich und Y-Strich ausrechnen, indem wir uns jetzt anschauen,
wie viel ist denn dieser Punkt X-Strich hier verschoben gegenüber dem Fußpunkt?
Wir müssen ihn um die Strecke L verschieben und brauchen auch noch
diese Strecke hier. Das ist eben die Kriegenkartäte zu Alpha,
und das können wir uns aus Alpha ausrechnen,
und haben dann mit ein bisschen Geometrie hergeleitet,
die Punkte ex-strich und Y-Strich sind x-minus
L. Myposinus Alpha
Und Y plus L mal Singus-Eifer. Alles über elementare Geometrie am rechtwinkligen Dreiecken. Gut,
und das hier muss man jetzt einfach übersetzen in eine affine Transformationsmatrix,
die unsere Original-Koordinaten XYZ modifiziert, sodass Normalisierungsschritt diese Werte mit drauf addiert werden.
Und das kann man leicht experimentell prüfen,
dass wenn wir unseren Vektor XYZ haben,
in homogenen Koordinaten, hier hinten eine Eins,
dass wir genau diese additiven Therme, für Elmal Cosinus Alpha,
Elmal Sinus Alpha, dass wir die drauf addiert bekommen,
wenn wir einfach in der affinen Transformationsmatrix an der Stelle,
wo die Z-Koordinate multipliziert wird, diese Therme reinsetzen.
Dann haben wir genau den Effekt erreicht und haben damit hier
unsere affine Transformation für die schiefe Projektion konstruiert
Fragen dazu. Kommen wir mal zu, wenn nicht,
dann kommen wir jetzt zur Projektion, die wir am meisten
benutzen werden, während dieser Vorlesung eben die Zentralprojektion.
Reden wir zuerst mal über die Eigenschaften, weshalb wir die
eigentlich haben wollen. Und dann über die Projektionsgleichung.
Also weshalb die Zentralprojektion so wichtig ist, geometrisch entspricht sie ziemlich.
Der Abbildung durch die Sammellinse einer Kamera oder eben auch dem,
was die Sammellinse bei uns im Auge macht,
die wir als Linse im Auge haben.
Und echten tatsächlichen Linsen bringen, allerdings zusätzliche Effekte.
Das habe ich eben ziemlich gesagt, während das Modell der Lochkamera,
eine perfekte Abbildung ist, die keine Ungenauigkeiten im Ort bringt.
Wichtig ist, dass wir, wenn wir Zentralprojektionen verwenden,
weiter entfernte Objekte kleiner abgebildet werden, als dasselbe Objekt,
wenn es näher ist und wir haben damit die perspektivische Verkürzung
und die scheinbare Größe im Bild gibt uns einen Aufschluss drüber,
wie weit das Objekt entfernt ist,
gesetzt den Fall,
wir kennen seine Größe
Die perspektivische Verkürzung geht so weit, dass ein Objekt,
was denn unendlich weit erscheint wird, auch ein Punkt reduziert wird.
Und diese reduzierten Punkte sehen wir als Fluchtpunkte,
die werden wir mathematisch noch herleiten und deren Existenz beweisen.
So, erhalten bleibt fast nichts bei der Zentralprojektion,
dass die Kehrseite der Medaille eben durch diese Verkürzung ändert sich sehr viel.
Es ändern sich Winkel,
es ändern sich die Abbildungsgrößen der Strecken und Winkel bleiben überhaupt nur erhalten,
wenn ein Objekt, ja,
wenn der Winkel selbst in einer Ebene parallel zur Bildebene liegt
Bekommt die perspektivische Verkürzung zustande, kann man sich gleich klarmachen.
Wenn wir abbilden, indem wir strahlen durch einen Punkt betrachten,
dann bekommen wir denselben Bildpunkt, wenn wir eine Strecke abbilden,
wie hier parallel zur Bildebene die Projektionsstrahlen verbindet.
Also all diese Strecken hier sehen im Bild gleich aus,
weil sie eben denselben Winkel einnehmen. Umgekehrt heißt das,
wenn wir im Bild irgendwo eine Strecke sehen, können wir nicht wissen,
ob es groß und weit entfernt ist oder nahe und klein.
Ja, das ist eine Mehrdeutigkeit bei der Projektion.
Dasselbe Objekt in verschiedenen Entfernungen erscheint immens nahe,
ist sehr groß, weil es hier einen größeren Winkel einnimmt,
als wenn es weiter entfernt ist.
Ein Beispiel, was perspektivische Verkürzung bewirken kann.
Es gibt eigentlich zwei Ausprägungen davon. Das eine,
zum einen reden wir von perspektivischer Verkürzung,
wenn wir genau diesen Entfernungseffekt haben,
weiter weg
Das habe ich irgendwie gemacht. Weiter weg erscheint kleiner, ja.
Aber die andere Art, in der auch von perspektivischer Verkürzung sprechen,
das bezieht sich auf die Orientierung von Flächen im Raum.
Also ich hatte unter diesem Weg,
weil er gestanden hat, mir die Arme angeguckt.
Ich kann Ihnen versprechen, alle Arme hier,
des Wegweisers sind exakt gleich lang im Raum.
Trotzdem erscheinen Sie im Bild, in eine Dimension stark verkürzt.
Und da ist jetzt die Frage, warum eigentlich?
Das liegt eben an der Orientierung
Weil letztendlich nur die zur Bildebene parallele Komponente abgebildet wird.
Und auch das wird perspektivische Verkürzung genannt,
weil wir eben unterschiedliche Perspektive auf das Objekt haben.
Ja, das wäre jetzt eine Geometrieaufgabe lösen möchte, könnte ausrechnen,
wo dieser Wegweiser steht. Wir können eine Kreuzpeilung machen,
weil wir Richtungen und Entfernung zu ziemlich vielen Orten haben.
Gut, wir sehen zentral projizierte Bilder aus.
Ich nehme das immer als Vorwand,
um all meine Urlaubsbilder zu zeigen,
lässt sich
immer gut unterbringen
Also das hier ist, weil man einen Kurztriff nach Halikugel,
da haben wir im letzten,
vor zwei Jahren mit unserem Masterstudenten auch noch mal wieder Messungen gemacht,
um die Bodenmessung für Satellitenbilder zu haben.
Also wir sehen hier schlichtweg einen Deich. Und wenn man
da längst spaziert, sieht man diese Kanten hier sind ziemlich parallel.
Die Gedichte, die sind gleich gleich hier zum Horizont erscheint,
desto weiter laufen die Linie zusammen und der Kreuzungspunkt der Linie
liegt hier dann direkt auf der Horizontlinie.
Also das ist perspektivische Verkürzung aufgrund von je weiter entfernt,
desto kürzer und wir sehen hier schon
den ersten Fluchtpunkt
Und die andere Art von Perspektivischer Verkürzung, diese eigentlich quadratischen Steine hier erscheinen,
in die Tiefe kürzer als zur Seite hin.
Auch das. Also die Muster werden verkürzt, Texturen,
Oberflächenstrukturen erscheinen, verkürzt, je weiter sie weg sind.
Das ist ein wichtiger Schlüssel, wenn sie 3D-Animationen machen,
um den Betrachtern eine Chance zu geben,
die Form der Objekte zu erschließen.
Wenn sie Textur einbringen, dann ist sofort klar,
wie weit entfernt etwas ist,
weil sie aus der Größe der Texte entnehmen können.
Ist es nah oder ist es fern
Weiterer Fluchtpunkt hier. Viele, viele, viele,
viele parallele Linien. Und alle laufen sie eben hier standförmig
wieder auf den Punkt am Horizont zu.
Hier sehen wir einen Fluchtpunkt. Diese Straße übrigens hat sie
also und schreibe zehn Minuten gedauert, um sie zu überqueren.
Ich war nicht mutig genug. Also mit so viel Verkehr
und so vielen parallelen Spuren musste man zweimal Rast einlegen,
bis man überhaupt die andere Seite erreicht.
Das Bild ist an einem sehr verkehrsberüchtigten Moment aufgenommen gewesen.
Und man überhaupt wagen konnte in der Mitte stehen zu bleiben.
Gut, die Projektionsgleichung jetzt für Zentralprojektion
Wir hatten ja schon gesehen, wir brauchen den Abstand des
Augspunktes oder Projektionszentrums von der Bildebene und mehr eigentlich nicht.
Damit wir das gut ausrechnen können und zu unserer Projektionsgleichung kommen,
die wir dann mit all unseren Transformationen,
die wir schon kennen, kombinieren können,
machen wir es uns wieder bequem und wählen einen ausgewählten Punkt,
der die Herleitung einfach macht,
wir legen das Projektionszentrum in die Entfernung minus F von der Bildebene.
Das heißt, die Bildebene im Ursprung und das Projektionszentrum in
dem Den Punkt minus F. Je nachdem,
welches Lehrbuch sie nehmen, gibt es zwei verschiedene Arten,
wo man für die Herleitung der Gleichung das Projektionszentrum hintut.
Einige legen es gerne direkt in die Bildebene.
Ah, Quatsch. Legen das Projektionszentrum in den Ursprung
und die Bildebene dann in die Entfernung F.
Aber wir haben es verschoben und haben das Projektionszentrum.
Im Punkt 00 minus F-F, also DZ-Koordinate.
Können wir uns so zeichnen.
Bildebene hier
Projektionszentrum in der Entfernung F von der Bild-Ebene.
Die Bild-Ebene wird oft gespannt durch die X und Y-Achse.
Und unser Bildpunkt eines Punktes hier angegeben durch XYZ.
Den haben wir jetzt an dieser Stelle. Gut, und was
wir jetzt ausrechnen müssen, ist einmal diese Strecke X-Strich.
Und die Strecke Y-Strich. Alles, was wir wissen,
ist der Wert F. Und eben, wo der Punkt im Raum liegt.
Aber selbst das können wir noch herleiten tatsächlich mit
Simpler Geometrie. Dinge, die sie im frühesten Matheunterricht gelernt haben.
Nämlich schlichtweg bei Ausnutzung von Parallelen, Strahlen und Streckenverhältnissen.
Wo finden wir hier parallele Strahlen? Auch wenn es
in meinem Bild vielleicht nicht ganz so aussieht?
Die Strecke X-Strich hier ist parallel zu X. Die Strecke Y
, Strich, ist parallel zur Strecke Y.
Und um jetzt X-Strich und Y-Strich auszurechnen, betrachten wir einfach Verhältnisse.
Nämlich das Verhältnis, Von Y-Strich zu Y. Das ist dasselbe
wie das Verhältnis dieser Strecke hier von Z zu Z plus F.
Und dasselbe gilt für die Strecken X-Strich und X. Auch hier
haben wir dasselbe Verhältnis. F verhält sich zu F plus Z,
BX-Strich zu X, weil wir parallel geschnittene Strahlenbündel haben.
Und mit diesen beiden Verhältnissen die nichts weiter enthalten als bekannte Werte,
nämlich XYZ und der Strecke F,
ich nenne sie einfach Brennweite, weil ich denke,
bei dir in echt falschen Kameras, die wir hier modellieren,
immer sofort an die echte und da heißt eben diese Entfernung, die Brennweite F, ne?
So ist ja der Bildverarbeitungsliteratur üblich. Okay,
also sind wir jetzt hier F,
deshalb auch das Kürzel F für Vogel Lenks, Brennweite,
ja, betrachten, dann sagt uns der Strahlensatz,
X-Strich zu F, ist dasselbe wie X-SuZ plus F,
können wir noch X-Strich auflösen und stellen fest, aha,
Bei diesem einen gegebenen Wert F haben wir als X-Strich-Koordinate X geteilt durch Z durch F plus 1.
Und ähnliche Gleichung kriegen wir raus für. Habst du dann
ja Frage dazu? Wie lange ist so Marktset? Also
was ist jetzt Z nochmal? Z ist die Entfernung des
Bildes. Nein, das violette oder das schwarze Set?
Wo muss ich gucken? Ach so,
das Z ist die Beschriftung der Achsen und das violette Z ist,
das ist einfach der Name der Achse hier.
Und das Set ist diese Strecke hier. Und genau das
Exist, diese Strecke während des X hier die X-Achse ist
Also die bezogen auf die Gleichung, die ich geschrieben hatte,
ex-strichs sind die Bildpunkte, ohne Strich dann.
Das waren die Koordinaten hier oben im Raum.
Gut. Und jetzt dasselbe Spielchen noch mal für Y.
Und jetzt müssen wir uns noch überlegen, gegeben.
Diese Umrechnung von X zu X-Strich von Y zu Y,
Strich, wie kriegen wir das wieder in Matrix-Form gepresst?
Und die Matrix ist denkbar simpel, die wir hinkriegen können.
Wir schreiben Zuerst einmal unser Ziel hin. Der Bildpunkt X-Brich-Y-Strich-Z-Strich-1
soll abgebildet werden auf X-Y-0, Z-Durch F plus 1.
Und weshalb auf diesen Wert erinnern wir uns an homogene Koordinaten,
die eigentlichen Werte kann man ablesen, an den Positionen.
Hier werden wir das Ganze normalisieren. Also durch die vierte Koordinate teilen,
sodass wir hier hinten in Wert einstehen haben. Wenn wir jetzt sagen,
Die Abbildung, ja, ich soll doch ab, Y,
Strich, ergibt sich als X geteilt durch etwas und Y geteilt durch etwas,
dann können wir das eben in homogenen Koordinaten dort nicht ausdrücken,
dass wir den Devisor einfach hier als homogene Koordinate nehmen und der Normalisierungsschritt,
wenn wir daraus die Eins machen, der erzwingt die Division,
sodass wir dann hier die dividierten Werte stehen haben.
Das ist also einfach der Kunstgriff,
den wir machen und damit wir das hinkriegen,
den Wert hier so abzubilden, XY mit dem Wert hier hinten,
müssen wir einfach unser Eins durch F hier hinten in die vierte Spalte der Projektionsmatrix schreiben.
Wenn wir jetzt einen Geiste uns vorstellen, was beim Multiplizieren passiert,
wir nehmen hier den Vektor XYZ1 und wollen jetzt die vierte Koordinate ausrechnen.
Wenn wir also XYZ ein Ziel mit multiplizieren, x-mal null,
können wir vergessen, Y mal null, können wir vergessen.
Eins durch F, mal eins gibt eins durch F und
dann eins mal eins gibt eins.
Es gibt also genau den Thermen eins durch F plus eins,
den wir hier als vierte Koordinate bekommen und damit eins durch Z plus eins, ja.
Und damit haben wir dann diese Division hingekriegt,
die in diesen Gleichungen steht, ja.
Also das eigentlich sieht man ganz gut, wie die vierte
Spalte in der Regel wirkt. Wir können damit erreichen,
dass wir Werte in bestimmter Weise abhängig von einer Koordinate dividieren.
Okay, also gucken wir uns nochmal jetzt die Projektionsgleichung an,
damit wir uns erinnern, wie wir sie hergeleitet haben.
Der Fall war, diese Herleitung gilt,
wenn wir von links Zeilenvektoren mit dieser Matrix multifizieren.
Manchmal finden sie die Matrix anders geschrieben,
diesem 1 durch F hier unten in anderen Büchern.
Und dann schauen sie sich genau an,
wie da die Multiplikation gemeint ist,
ob sie von rechts oder von links oder Zeil- oder Spaltenvektoren multiplizieren.
Also bei Zeilen Vektoren von links steht der Faktor hier.
Gut, das ist also jetzt unsere Projektionsmatrix und die werden
wir in unseren gleichen PZ taufen für Zentralprojektion.
Wirkung ist eben, haben wir in der Herleitung gesehen,
alle XY-Koordinaten werden bei der Projektion im Bild proportional zur Entfernung Z verkürzt.
Und je kleiner der Wert F ist,
desto stärker ist die Verkürzung
Ja, als Bildverarbeiter interessiert mich eigentlich eher der umgekehrte Fall.
Gegeben ein Bild, wo im Raum war das, was
ich abgebildet habe. Und da ist der simple Ansatz und
die simple Idee, da nehmen wir doch unsere Projektionsmatrix.
Invertieren Sie und projizieren das projizierte Bild zurück in den Raum
und dann wissen wir, wo es herkommt.
Und da ist die erste Enttäuschung natürlich,
so wie die Projektionsmatrix dasteht, diese Null hier auf der Diagonalen.
Das Ding ist simpel, nicht simpel,
nicht invertierbar
Wenn man es versucht, knallt es.
Also flicken wir das und setzen hier mal eine Eins rein,
um sie invertierbar zu machen.
Und das, was wir dann haben, nimmt sich die inverse Zentralprojektion.
Ja, dadurch, dass wir hier eine Eins reingesetzt haben,
saugen wir uns entlang des Projektionsstrahls einfach eine Z-Koordinate aus den Fingern.
Es ist ja nicht klar, wo entlang der Strahls
der projizierte Punkt herkam.
Wir haben uns jetzt einfach
eine Koordinate damit ausgedacht
Weshalb alle Punkte entlang eines Projektionsstreits, die haben ja nun mal denselben Bildpunkt.
Und bei der Rücktransformation können wir eben nicht erwarten,
wenn einen einzelnen Punkt hier zurücktransformieren,
dass wir hier eindeutig seine Entfernung rauskriegen, worauf wir hoffen können,
ist, dass wir die Geradengleichung für den Projektionsstrahl bekommen.
Und genau das leistet die inverse Zentralprojektion, wir geben statt
des Punktes in der Bildebene als ZD-Koordinate null einfach eine Variable Z-Strich vor.
Und dann bekommen wir über die Inverse Zentralprojektion genau die Projektionsgleichung
des Projektionsstreits für den Für die Grade, die durch den Bildpunkt geht.
Und diese Gleiche können wir eben bekommen,
gerade die Gleiche umkehrleiten für die Projektion,
indem wir die Bildpunkte X-Sprich-Obsilan-Sprich nehmen, dann eine freie Variab-PZ-Strich einführen,
wenn die ein, zwei setzen und das zurückprojizieren.
Und haben dann unsere Geradengleichung und können damit losrechnen.
Ihr künstlerisch ist die Zentralprojektion seit der Renaissance sehr wichtig gewesen.
Und deshalb möchte ich im nächsten Abschnitt ein bisschen ausloten,
was wir alles bekommen,
wenn wir Zentralprojektionen verwenden
Um es zu motivieren, habe ich mal links
ein berühmtes Bild von Raphael von Orbino genommen.
Das war Aphael von Orbino, war einer der ersten,
die wirklich mit Zentralprojektionen sehr, sehr gut Bilder gestalten konnten.
Und wo, wenn man sich ransetzt heutzutage mit Winkelmesser und allem,
um es auszuloten, man feststellt, er hat hochpräzise die Projektionen durchgerechnet.
Okay, wir haben die Projektionsgleichung uns schon angeschaut,
gegeben im Kamerakoordinatensystem, was wir jetzt brauchen,
ist,
wie bilden wir
unser Weltkoordinatensystem ab
Kann man sich jetzt vorstellen, nachdem, was wir besprochen haben,
über Schollen wir es uns mal im Zusammenhang an,
um die Endgleichungen kennenzulernen.
Und dann werden wir vor allem erst mal über Fluchtpunkte sprechen,
weil die für die Bildverarbeitung ein wichtiger Schlüssel sind,
um ein Bild wieder zu rekonstruieren.
Ja, wir hatten ja schon mal erwähnt,
dass es total unpraktisch ist, wenn wir unsere Szene,
unsere Welt im Kamerakoordinatensystem modellieren.
Auf jeden Fall, wenn wir die Kamera festschieben,
müssen wir unsere Szenenmodellierung neu machen.
Also modellieren wir im Weltkoordinatensystem und müssen dann ins Kamerakoordinatensystem transformieren,
weil unsere Projektionsgleichung Nur im Kamerakoordinatensystem gilt.
So, jetzt erinnern wir uns an unsere Notationen für Koordinatensysteme.
Das werden wir jetzt mal einfach durchexerzieren.
Also unser Weltkoordinatensystem werden wir mit einem großen Weh bezeichnen.
Das Kamerakoordinatensystem mit einem großen K. Und können mit einem Vokabel
lernen auch gleich weitermachen. Je nachdem,
wie Kamerakoordinatensystem zum Weltkoordinatensystem, die kriegen wir mit einmal
noch unterschiedliche Arten von Zentralprojektionen
Die Geometrie, die wir jetzt hinkriegen müssen, so für eine typische Kamera.
Also früher habe ich immer Kamera- und Stative mitgeschleppt,
aber ich hoffe mal, dass hier jetzt die virtuelle Kamera reicht.
Also wir denken uns hier jetzt eine Kamera auf Stativ in den Übersaal gestellt.
Und so eine Kamera hat üblicherweise ein Dreneidekopf, Gimbal Center genannt,
in dem wir das Ganze drehen und bewegen können.
Und das befinde sich jetzt an der Position V0.
Also wir geben einen weg davor von Ursprung des Weltkoordinatensystems
bis hierhin
Unser Stativ, seien wir mal ein Sparmodell,
deshalb nicht drei Freiheitsgrade zum Drehen an der Stelle, sondern nur zwei.
Also wir können die Kamera hier einmal um die Y-Aktie drehen,
um den Winkel Tetter. Und dann können wir sie noch neigen.
Um den Winkelvieh. Aber nur ist an der Stelle in
unserem Plakativ natürlich nicht das Zentrum der Chip der Kamera,
sondern die Kamera sitzt da obendrauf,
ist nochmal verschoben um eine Strecke hier,
der wir hier jetzt gar nicht eingezeichnet
Die Bildebene selbst, die vermuten wir jetzt in der Entfernung kleinen L,
in der geneigten Kamera hier. Also mit den Angaben,
Verschiebung V0, gedreht um Zetter, geneigt um Vieh,
nicht seitlich gekippt, das ist unser Stativ nicht zu.
Da finden wir dann unsere Bildebene in der Entfernung L
relativ viel hin. Und in dieser Position können wir dann
unsere Projektionsgleichung darauf anwenden. Können wir doch mal sortieren,
was wir alles brauchen.
Die Transformationen kennen wir
Um von hier nach hier zu kommen,
brauchen wir eine Translation, nehmen wir unsere Translationsmatrix.
Jetzt müssen wir zweimal rotieren. Nehmen wir zweimal die Rotationsmatrix,
dann haben wir die nächste Translation und ganz am Ende
kommt dann noch eben unsere Projektionsmatrix dahinter.
Und dann können wir den Bildpunkt ausrechnen.
Also die zur Notation, die Translation zum Dreheneigekopf,
die bezeichnen wir mit einer der Translationsmatrix verschoben,
um den Vector minus V.0
ausgedrückt im Weltkoordinatensystem
Und das ist dann eine Transformation vom Weltkoordinaten ins Gimbal Centive.
Im Dreh-Neigekopf, da drehen wir das Ganze in zwei Etappen in gedrehte Koordinatensysteme.
Und zwar müssen wir von einem Gimbal Center, geh in ein G2 gehen,
wo wir zweimal gedreht haben, um verschiedene Winkel.
Und diese Rotationsmatrix, die rotiert um die Z-Achse
ausgedrückt im Koordinatensystem des Gimbal Centers. Und da drehen,
drehen wir einmal um den Winkel Vieh und wir Nee,
wir drehen um Vieh, wir neigen und wir drehen um Tetter,
wir neigen um Vieh.
Und dann zum Schluss haben wir die Translation,
die führt vom Gimbal Center in unser Kamerakoordinatensystem.
Deshalb heißt, diese Transformationsmatrix eben von G2 ins Kamerakoordinatensystem.
Und da müssen wir, um diese Entfernung verschieben und
das Ganze multiplizieren mit der Z-Achse des Gimmbal Centers.
Ja, weil dann, das Kamerakoordinatensystem legt ja schief.
Also haben wir da diesen geneigten Winkel. So,
und wenn wir da angekommen sind, dann multiplizieren wir
das Ganze noch mit der Zentralprojektionsmatrix.
Steve darf eben nur auf Koordinaten im System K angewendet werden
und liefert uns wieder Koordinatensystem, Koordinaten im Kamerakoordinatensystem.
Okay. Und damit haben wir eine Projektionsgleichung schon da,
ja? Ich habe noch eine Frage zur Full 2.
Zwei davor
Ich habe auch nicht ganz verstanden, wieso. Die Kamera ist auch
ein bisschen höher oder so, wird das jetzt mit irgendwie,
wie das irgendwie die Rechnung mit ein, aber...
Ja, das ist einfach dadurch ausgedrückt, durch diesen vektuell,
wie ich von der hin zeigt, ergibt sich daraus,
wie weit die Kamera hier hochgeschoben ist.
Also, sagen wir mal so, die Kamera sitzt hier
und sie hat ihr Koordinatensystem und irgendwo in ihrem Koordinatensystem ist der Ursprung der Bildebene.
Und ich habe die bildebliche außerhalb des Kameragehäuses gezeichnet, damit wir sie sehen.
Werde ich die Kamera hier so riesig machen müssen,
aber Also wir haben hier die optische Achse der Kamera und aus ihrer Höhe ergibt sich eben der Punkt,
wo hier der Endpunkt des Vectors Ells ist,
der zum Zentrum dieser Bildebene zeigt.
Also ich hatte auch diese beiden Größen angeben können, Phöhe plus Länge
F. Also diese Höhe ergibt sich implizit daraus,
was die Länge dieses Vectors Ell ist.
Das war jetzt ein rechtwinkliges Dreieck ist.
Aber mathematisch ist für uns eben nur wichtig,
wo ist denn nur der Ursprung der Bildebene und deshalb
möchte ich das hier direkt gewählt als Wert
Das ist schon ganz schön kompliziert. Wir brauchen eben insgesamt
vier Transformationsmatrizen. Aber ich hoffe, sie genießen das jetzt
auch und freuen sich, dass wenn man die alle hergefulleitet hat.
Man eben in diesem Formalismus der Hunger gehen Koordinaten einfach nichts weiter tun muss,
als all diese Transformationen, typgerecht zusammenzusetzen, also die Endtypen,
die oben müssen immer mit den Endtypen wie unten zusammenpassen.
Und wir haben dann insgesamt die Projektion durchgerechnet und haben sie
in Zielkoordinatensystem erreicht. Und wenn wir das haben,
ohne Beweis, aber sie können es ja mal nachrechnen.
Wenn das die Projektionen von Weltkoordinaten in das System ist,
dann bekommen wir für die inverse Zentralprojektionen ins Weltkoordinatensystem zurück.
Diese Folge hier, wo wir jede einzelne,
für jede einzelne der Transformationen ihre inverse Transformationen nehmen und haben
die Projektionsstrahlen ins Weltkoordinatensystem zurückgerechnet.
Ja, jetzt können wir anfangen,
tatsächlich die Zentralprojektion ein bisschen zu analysieren,
uns mit ihren Eigenschaften vertraut zu machen
Und das Wichtigste, wo man beim Draufgucken auf die Bilder
sofort stößt, das sind eben die Hauptfluchtpunkte.
Kein Hauptfluchtpunkt ist ein Fluchtpunkt von Graden,
die parallel zu den Achsen des Weltkoordinatensystems sind.
Nachdem wir jetzt unser Weltkoordinatensystem eingeführt haben, können wir eben
auch die Fluchtpunkte dahin unterscheiden, sind es Hauptfluchtpunkte oder nicht.
Also wenn wir Parallele gerade in unserer realen Welt haben,
im Weltkoordinatensystem und sehen im Bild,
sie laufen auf ein,
die Bilder der geraden laufenden Bild auf einen Punkt
zu und schneiden sich dort alle,
dann haben wir
einen Hauptfluchtpunkt
So, solange wir den 3D abbilden,
haben wir mindestens einen und höchstens drei Hauptfluchtpunkte.
Und die Position der drei Hauptfluchtpunkte werden wir jetzt mathematisch herleiten.
Mithilfe der Projektionsgleichung, um sie mal auszuprobieren.
Nächster Schritt Vokabel lernen. Je nachdem, wie viel Hauptfluchtpunkte
im Bild entstehen und sichtbar sind, haben wir eine Ein-Punkt-Projektion.
Zwei Punkt-Projektionen, drei Punkt-Projektionen. Ja, wenn wir so aufnehmen,
dass wir nur einen einzigen Fluchtpunkt haben, haben wir eben eine Einfunk-Projektion.
Und wenn wir drei Fluchtpunkte, es drei Fluchtpunkte gibt,
die können außerhalb der Bildgrenzen sein, aber sie müssen existieren.
Dann haben wir ein Drei-Punkt-Projektion. Gut,
fangen wir mal mit dem einfachsten Fluchtpunkt an,
dem man wirklich noch mit Schulen Mathematik herleiten kann.
Wir fragen uns, wenn wir unsere Welt mit Bäumen zugepflanzt haben,
ja, auf unserer Weltgrundebene des Weltsystems stehen lauter senkrechte Graden.
Laternen fehle Flackenmasten, was auch immer, Bäume,
die gerade schön gerade wachsen.
Dann fragen wir uns jetzt,
wo im Bild
Der Punkt, auf den diese Graden alle zulaufen.
Was sind seine Bildkoordinaten? Wie gesagt, er muss nicht
im Bild sein, irgendwo da unten. Außerhalb ist er,
aber er existiert und die Graden laufen offensichtlich darauf zu.
Also diese Koordinate wollen wir jetzt ausrechnen. Also zwei Dinge tun den ersten,
zeigen, dass wir das tatsächlich für senkrechte Graden einen Fluchtpunkt
entsteht und zweitens die Frage lösen, wo er ist.
Ja, dieses Bild hat noch einen weiteren Fluchtpunkt, den sehen wir hier.
Wenn man auf diesen grünen Geld gemusterten Fußboden schaut,
also in Z-Richtung gibt es einen weiteren Fluchtpunkt,
nach hinten läuft das zusammen,
in X-Richtung haben wir keinen,
da ist alles
schön parallel
So, um den Fluchtpunkt der vertikalen Graden auszurechnen,
simpel gesagt, wir müssen eigentlich nichts weiter tun,
als eine unendliche Schafe an vertikalen Graden zu modellieren.
Sie mathematisch durch eine Gradengleichung zu beschreiben und dann auszurechnen,
wo der Bildpunkt ist, wenn wir schön weit weggehen.
Und die Herleitung, jetzt sehe ich es so kompliziert zu machen,
nehmen wir an, dass unser Weltkoordinatensystem ein einfaches ist und nicht so kompliziert verschoben ist.
Wir setzen jetzt alles auf Null, was uns stören könnte.
Also die Kamera steht direkt Im Ursprung des Weltkoordinatensystems
die Verschiebung zum Gimbal Center V.0, die seien null.
Der Gimbal Center Offset ist auch null, das heißt,
die Bildebene liegt direkt im Ursprung des Weltkoordinatensystems.
Aber der Neigungswinkel Vieh sei beliebig,
also wir nehmen an, wir können die Kamera kippen,
ja, und die Brennweite F sei auch beliebig.
Also mit unserer Herleitung werden wir jetzt prüfen,
wie verändert sich die Position des Fluchtpunkts vertikaler Linien,
wenn wir die Kamera zunehmend neigen
Und wenn wir die Brennweite der Kamera verändern.
Wenn wir all das hier auf Null gesetzt haben,
dann ist unsere Projektionssmartpricks nicht mehr so schlimm.
Das ist, um vom Weltkoordinatensystem ins Kamerasystem zu projizieren,
brauchen wir jetzt nämlich nur noch unsere Kamera um den Winkel Vieh,
um die X-Achse zu neigen.
Eine einzige Rotation, und wir haben die Zentralprojektions-Matrix.
So, um es auszurechnen, hier nochmal die Rotationsmatrix.
Wir müssen um Vieh neigen
Und zwar um die X-Achse, also stehen die ganzen Cosinosinos-Koeffizienten
im Y und Z-Teil der Matrix und die X-Achse enthält hier den Einheitsvektor X.
Dann hier unsere Projektionsmatrix. Und das müssen wir jetzt hier nicht durchrechnen.
Nehmen Sie mal einfach das Ergebnis als gegeben hin.
Wir bekommen dann die gemeinsame Projektionsmatrix, wo im Wesentlichen,
hier noch die Sinus, Cosinos-Therme sind,
und hier hinten verkürzte Werte stehen.
Abhängig von Vieh und F. Und damit können wir jetzt eben
die Projektionen ausführen
Gucken wir uns. Das jetzt einmal. An,
wenn wir diese, die Projektion durchführen,
bekommen wir als Ergebnis für den Bildpunkt diesen Vektor hier raus.
Nochmal zurück. Also wir stellen uns jetzt einfach vor,
wir rechnen, wir projizieren einen Punkt XYZ1,
multiplizieren ihn mit dieser Matrix und haben dann als Ergebnis
diesen Vektor hier stehen
Die meiste Arbeit entsteht jetzt wieder durch die homogene Koordinate.
Hier haben wir einen Thermen, der Sinus, Cosinus und F-Therme enthält.
Und damit müssen eben alle Werte hier dividiert werden, um es zu normalisieren.
Das Ergebnis steht jetzt hier. Das projizierte Bild X-Strich ist
an der Stelle F-Malex und im Nenner steht ziemlich viel.
Was von Cosinus 4 abhängig ist und von der Brennweite abhängig ist.
Genauso hier. Und das schauen wir uns jetzt an und müssen uns überlegen,
warum bei dem Ergebnis bekommen wir mit diesem Projektionsgleichung für senkrechte Graden
Einen Fluchtpunkt. Das heißt, jetzt müssen wir unser X,
was wir hier abbilden, XYZ, einmal ausdrücken durch eine
Gradengleichung für senkrechte Graden und dann können wir über Fluchtpunkte reden.
Wie beschreiben wir eine vertikale Grade durch einen Punkt?
Sind wir hier eine Grade haben, parallel zur Y-Achse,
dann ist das, was sie von allen anderen unterscheidet,
die auch parallel zur Y-Achse sind,
einfach ihre X- und Z-Koordinate?
Ja. Und die nennen wir mal
Und die Y-Koordinate ist frei. Das heißt,
in homogenen Koordinaten können wir jetzt so eine senkrechte Grade oder
vertikale Grade simpel beschreiben durch einen Vektor.
Der hat feste Werte für X1 und Z1,
eben den Punkt hier in der Exzept-Ebene.
Und einen Variabwert Y-0, den wir als Parameter hier verschieben können
und haben damit alle möglichen Punkte entlang der Graden ausgedrückt.
So, und diesen Vektor in homogenen Koordinaten,
den stecken wir jetzt in die Projektionsgleichung von eben rein
Also unser Gleichung für zwei Punkte X und Y. Für die Bildkoordinaten
X-Y-Strich gegeben, XY. Und die Punkte X ein Set
eins von unseren Graden, wo sie die Bildebene durchdosen.
Ja, dicken. Können wir jetzt mal buchen. Insgesamt durchrechnen. Also überall,
wo in der Projekt sonst Gleichung von eben X stand,
setzen wir X-1 ein, wo Z-Stand setzen wir Z-1 ein,
wo Y stand,
lassen wir Y stehen
Und sehen das jetzt, das Bild unserer Graden.
Vor allem abhängig ist davon, wie die Kamera geneigt ist.
Und nicht so sehr davon, wo der eigentliche Punkt X1Y ist.
Jedenfalls dann nicht, wenn wir weit weg gehen.
Machen wir einfach folgenden kleinen Kunstgriff. Wir stellen uns mal
vor, wir wandern entlang der Strecke,
entlang der Y-Achse
immer weiter weg
Entlang unserer Graden. Bin der Wert, Y, sehr,
sehr groß wird. Dann verlieren additive Therme an Bedeutung,
wo der Wert Y nicht vorkommt.
Also einmal F von X6, X1 ist eine Konstante.
Z, mal Posinus Vieh und das Plus F,
auch das sind Konstante, wenn wir Y nur groß genug machen,
dann bleibt von unserer Gleichung Nicht mehr fehlt übrig.
Also F durch X ist ein fester Term. Und je
größer Y mal Sinus Fi wird, desto kleiner wird er wert.
Im Grenzfall bekommen wir für die Ex-Koordinate schlichtweg den Wert null raus.
Jetzt schauen wir uns mal an, was mit der Y-Koordinate passiert.
Wenn wir entlang der Graden immer weiter gehen und endlich gehen.
Wir haben zwei Terme, die von Y abhängig sind,
mit Y wachsen. Dann bin ich erst mal,
ob sie dann mal Co-Sinustrie und Y mal Sinus Fi
Während diese Therme, für die gilt, dasselbe,
was ich eben gesagt hatte, für die andere gleiche und hier oben,
die haben einen festen Wert, den wir einmal ausrechnen können.
Und irgendwann, wenn Y groß genug ist,
wird dieser Ausdruck irrelevant gegenüber den Wert,
den wir für große Y-Werke hier bekommen.
Also bleibt im Grenzfall nur übrig, das Verhältnis,
F mal Y, mal Cousinus Feed durch Y mal Sinus Fee.
So, Y taucht im gleichen Teilen im Zähler und Nenner
auf.
Und wir können es schlichtweg rauskotzen
Und sehen dann, wenn Y sehr groß ist,
bekommen wir als Verhältnis, als Y-Koordinate raus,
erstmals Cosinus, viel durch Sinus, viel.
So, Discosinus, viel durch Sinus,
viel ist eins durch Tangens, also unser,
die Y-Koordinate unseres Bildpunktes ist F-Durch Tangens Vieh und die X-Koordinate ist null, ja?
Das heißt, dass unabhängig davon, welche der senkrechten Graden wir betrachtet haben,
wir für alle Graden, Denselben Bildpunkt haben,
wenn Y groß ist und gegen und endlich geht.
Das heißt, sie schneiden die Bilder der Graden,
schneiden sich alle in einem Punkt, wenn Y groß wird.
Damit haben wir jetzt erstens bewiesen, dass es mindestens einen Fluchtpunkt gibt,
nämlich den Schnittpunkt der Bilder der vertikalen Graden.
Die liegen, wenn für große Werte von Y im Raum,
alle auf derselben Linie. Und eben bei der Koordinate X
gleich Null. Und wo sie im Bild liegen,
also ihre Y-Koordinate, ob sie unten oder oben liegen,
hängt davon ab, die Kamera gekippt haben,
vom Tangens Vieh und davon, was für eine Brennweite verwendet haben.
Je größer die Brennweite, desto größer wird er wert,
der Y-Koordinate im Bild, also bei sehr großer Brennweite F,
kannst du nach oben aus dem Bild wandern.
Wenn der Tangens Vieh sehr groß wird, dann wird
der Wert immer kleiner und du kannst nach unten rauswandeln.
So, das ist also jetzt der erste existierende Hauptfluchtpunkt,
den wir bewiesen haben. Ich habe es hier mal
ein Bild durchgerechnet für verschiedene Werte von Vieh,
bei vier gleich minus 50 Grad
Sehen wir einen Fluchtpunkt hier oben? Bei viel gleich.
0 Grad liegt der Fluchtpunkt im Unendlichen. Und bei 4
gleich 50 Grad liegt der Fluchtpunkt hier unten.
Was wir daran auch sehen, ist, dass wir mit
geneigter Kamera vorsichtig sein müssen, wenn wir Architektur abbilden.
Also was man hier sieht, ein Prototyp dessen,
was Fotografen stürzende Linie nennen.
Wenn wir nicht senkrecht auf die Bildebene,
die Kamera nicht senkrecht zur Bildebene ausgerichtet haben oder
senkrecht zu den Objekten ausgerichtet haben in dem Fall.
Es war die Neigung im Bettkoordinatensystem
Dann bekommen wir eben Fluchtpunkte für vertikale Linien.
Und das macht Bilder entweder dramatisch oder hässlich, je nachdem,
wie man es sieht. Also Sie sitzen im Geiste mal
hier jetzt vor einem solchen Gebäude und wollen es aufnehmen,
dass wir keine stürzenden Linien haben.
Das ist, wenn man in der Großstadt,
so wie Manhattan da zwischen den... Skyscrepern herumspaziert,
ganz schön schwierig, einen Punkt zu finden,
wo man stürzende Linien frei die Hochhäuser aufnehmen kann.
Solange man unten steht und hochguckt, sieht das
immer ziemlich schlimm aus.
Okay, alle schon Seekrampf
Ja, jetzt, also das war der einfache Fluchtpunkt für
vertikale Linien. Jetzt gucken wir uns mal einen an,
einen kleinen Tick komplizierter zu berechnen ist.
Wir wollen jetzt mal Fluchtpunkte berechnen für Scharen von Geraden,
die parallel zur Grundebene, XZ-Ebene des Koordinatensystems sind.
Also stellen wir uns mal vor, wir haben hier Parallele
geraden Scharen liegen und wollen deren Fluchtpunkte bestimmt.
Auch da nehmen wir wieder eine vereinfachte Anordnung unseres Weltkoordinatensystems.
Gimbal Center
Sei jetzt nicht mitten in der Grundebene,
sondern wir ringen uns durch,
die Kamera ein bisschen aus der Grundebene herauszunehmen,
dass wir sie von da nach unten neigen können.
Also unser Vektor des Gimbal Center enthält eine Y-Null-Komponente verschieden von Null.
Das Offset lassen wir aber wieder gleich L. Also die Kamera steht so im Zentrum,
im Ursprung des Weltkoordinatensystems nur ein Stück nach oben verschoben.
Das Zentrum der Bildebene
genau auf der Y-Achse ist
Der Neigungswinkel sei wieder beliebig und wir haben auch wieder eine beliebige Brennweite.
Dann werden die Gleichungen kleinen Tick komplizierter. Sie können sie,
wenn sie wollen, zum Üben sich gern herleiten.
Von der Struktur her sind die Gleichungen für die projizierten Punkte
X und Y, aber ähnlich aus.
Jetzt müssen wir uns nur überlegen, wie wir gerade in
der XZ-Ebene beschreiben können, Scharen von Parallelen geraden.
Ich hoffe, Sie erinnern sich noch an Geometrieunterricht,
wie man so eine gerade,
gerade in der Ebene beschreiben kann
Der Achsenabschnittsform. Ja, die wählen wir hier mal.
Also wenn wir eine Grade haben, können wir ihre Steigung angeben durch ein WHM.
Das ist der tangenzes Steigungswinkels und noch wo die Grade die
Y-Achse schneidet, geben wir durch die konstante C an.
Ja, M mal X plus C. Und das ist eben
der Wert. Hier für die Y-Achse, in dem Fall
für die Z-Achse genommen, gegeben einen Wert X als Parameter.
Also in der Form können wir als homogenen Vektor eine gerade beschreiben,
die unter einem bestimmten Tangens M. Durch unsere Grundebene läuft und
die Achse an der Stelle zäh schneidet.
Ja, haben wir die, damit haben wir sie ausgedrückt.
Und jetzt können wir eben für Z überall in unsere Projektionsgleichung einsetzen,
diese Wert M X plus C. Und für X setzen wir
das X ein und kriegen dann unsere X-Strich-Y-Koordinaten raus.
Und sehen die Gleichung sind auch wieder ein bisschen komplizierter.
Wir machen in dem Fall wieder eine Grenzwertbetrachtung, möglichst viele Thermen streichen zu können.
In dem Fall nehmen wir jetzt mal an,
dass wir Wissen wollen, wo denn das Bild der Graden ist,
wenn wir den Wert X gegen unendlich gehen lassen und gucken mal,
welche Therme gewinnen und andere verdrängen, wenn wir einen sehr hohen Wert von X haben.
Also wir können erst mal wieder sagen,
hier der Zähler unseres Spruches hier oben für X,
der bleibt konstant, während der Nenner groß werden kann,
MALX kann beliebig groß werden,
wenn wir X beliebig groß machen.
Also können wir den Therm schon mal vernachlässigen.
Auch dieser adjektive Thernominus Y Masinus 4 können wir irgendwann
vergessen.
Bleibt eben übrig
Emma X plus C, Maikosinus Vieh,
ja das plus F. Das ist auch, können wir auch vergessen.
Also der Term hier wird groß, der wird klein,
Ex-Strichwort im Grenzfall. Nur noch zu... Moment. Höhenex plus
10. Da habe ich das F jetzt hierher. Achso,
weil wir oben im Ziel länger das X stehen haben.
Also wenn ich so einen Unsinn erzähle, bitte sofort unterbrechen, ja.
Genau, wir haben ja oben ja noch den Term X stehen.
Den habe ich in Leute vergessen, Rot zu machen.
In der nächsten Auflage müssen wir das noch ändern
Also, F-Mail X, durch das X,
bleibt übrig als Verhältnis, mal Pursindustrie.
Und das X können da rauskürzen, das F bleibt,
das Plus C, wenn wir es hier ausklammern,
zehnmal Cosilos Vieh, können wir vergessen, bleibt übrig,
F durch M mal Cosinos Vieh.
Das heißt, die Position hier ist unabhängig vom X
im Grenzfall, aber abhängig vom Wert M.
Ja, von der Brennweite und von Vieh.
Also eigentlich von allem, wovon man es erwarten würde.
So, dasselbe Argument jetzt hierführen
Y-Strich, projizierte Y-Koordinate. Was können wir hier vernachlässigen?
Y-0 mal Sinusvieh, dieser Therm Plus hier. Also auch
die, der Thermen kann vernachlässigt werden, übrig bleibt.
Denn dieser Teil hier, M mal X plus C,
durch M mal X plus C,
mal Posinusvieh und der Faktor F. Wenn wir uns das hier anschauen,
dann sehen wir der Therm M.
kürzt sich weg
Es bleibt sinnlos, viel durch. Cousin nuss, viel übrig.
Und wir haben minus F-Mal-Tangens-Fee als Endergebnis. Das heißt,
die Y-Koordinaten sind unabhängig davon, was die Richtung M war.
Aber die X-Koordinate ist davon abhängig. Trotz allem bei einem
gegebenen M und einem gegebenen F sehen wir,
dass wir für alle Geraden aus der Schar,
die mit der Steigung M unterwegs sind,
genau denselben Fluchtpunkt bekommen.
An der Position.
F durch M-Mal-Cousinus-Fee minus F-Mal-Tangens-Fee
Gut. Also erstens,
er existiert und wir können seine Koordinate angeben und die sind eben,
da existiert genau dann, wenn die geraden parallel sind,
den gleichen Wert von M haben.
Zweite? Dieser Term ist unabhängig von M. Das heißt,
wenn wir geraden Scharen haben, die in der Grundebene sind,
deren Bilder liegen alle auf einer derselben gerade im Bild,
ja?
Unabhängig, wie sie ausgerichtet sind in der Grundebene.
Die Fluchtpunkte liegen auf einer geraden,
bei einem festen Wert von F-Maltan
ganz viel
Und diese eine gerade hat für uns im türklichen Leben einen
wohlbekannten Namen, das nämlich der Horizont. Das Horizont,
können wir mathematisch jetzt beschreiben, als die Linie im Bild,
wo die Fluchtpunkte von Graden sind, die parallel zur Grundebene sind.
Und dieser Fluchtpunkt im Unendlichen existiert, wenn wir jetzt Graden haben,
die parallel zur X-Achse sind, M gleich 0,
also gerade in der Grundebene, die so sind,
deren Fluchtpunkt wird auf keinen Fall im Bild liegen,
weil er unendlich weit entfernt ist.
Die Bilder von geraden, parallel zur Grundebene sind auch weiterhin parallel im Bild.
Sie schneiden sich nicht. Oder wenn die Kamera senkrecht auf
der Grundebene steht, dann passiert das auch.
Also für den Fall viel Betrag, gleich P, halbe,
kriegen wir dieselbe Situation. Gut, jetzt für die Bildverarbeitung wichtig,
wenn wir perspektivische Bilder interpretieren wollen, ist jetzt dieser folgende Zusammenhang.
Wenn wir jetzt zwei Scharen von Graden haben, die senkrecht aufeinander stehen.
Also typischerweise bei Szenen wo wir ein Gebäude drin haben oder
eben das, was ein Mensch so herstellt,
hat irgendwie neigen wir dazu, allen rechte Winkel zu geben.
Und damit haben wir eben bei den ganzen quaderförmigen Objekten immer die Situation,
geraden schauen, die senkrecht aufeinander stehen. Also wir nehmen mal an,
wir haben gerade in der Grundebene G1G2 senkrecht zueinander,
dann wissen wir ja,
gegeben den Wert von der Steigerung der ersten Gradenschar,
können wir die Steigerung der zweiten ausrechnen,
nämlich das
Und für solche zueinander senkrechten,
weil eben das M der Tangens des Steigungswinkels ist,
gilt das M2 gleich minus eins durch M1 ist.
Und das heißt jetzt für Bildverarbeiter,
dass wir aus der Annahme von zueinander das Bilder von Gradenscharen im Bild,
dass Bilder von zueinander senkrechten Graden sind,
dass wir das überprüfen können an der Position der Fluchtpunkte.
Wenn wir nämlich einen Zusammenhang haben zwischen dem M eine einschar und dem M2 der zweiten,
dann können wir aus dem M1 und der Position des ersten Fluchtpunktes die Position des Zweiten ausrechnen.
Sofür in die Position des Einfluchtpunkts geht ja das M1 ein
und fürs M2 können wir dann ableiten,
aus dem Wert des M1, wo der zweite Wert liegt.
Eins mal M2 ist minus eins, weil wir diese Gleichung kamen.
M2 gleich minus eins durch M1, also eins
mal im zwei gleich minus eins.
Und das können wir ausnutzen
Indem wir die X-Koordinaten der Fluchtpunkte miteinander multiplizieren. X-1-Strich mal X-2-Strich,
ist dann F durch M1 mal Cousindustrie, mal F durch M2 mal Cousindustrie,
dieses M1 mal M2, hat den Wert minus eins.
Und wenn wir testen wollen, gegeben zwei Fluchtpunkte im Bild,
gehören die zueinander senkrechten Graden, beigegebener Kameraneigung und Brennweite,
dann muss das Produkt der X-Koordinaten ergeben,
minus F-Quaddrat durch Cousinus 4 Quadrat.
Ja, das ist ein wichtiger Schlüssel, um aus einer
geraden Schar im Bild alle zu finden, die senkrecht dazu sind.
Und die Szene räumlich zu erschließen. Und solche Fluchtpunkte,
die zueinander senkrechten Gradenscharen gehören, die heißen, konjugierte Fluchtpunkte,
sind, wie gesagt, für die Analyse der Bilder sehr wichtig.
Und die Fluchtpunkte liegen überhaupt auf dem Horizont,
wenn die geraden in der Grundebene liegen.
Also diese Skizze kann uns das alles nochmal zusammenfassen, hergeleitet haben.
Hier unser Fluchtpunkt der senkrechten Grabenschaden. Mit der Y-Koordinate F
durch Tannens Vieh. Ja, Minus F durch Tannens Vieh.
Hier ein Fluchtpunkt für diese Gradenschar eines Kubus liege an der Stelle X1 Dricht.
Dann ergibt sich automatisch aus der Forderung M1 mal im Zweigleich minus eins,
dass der zweite genau spiegelbildlich auf der anderen Seite der Z-Achse liegen muss,
aber in der gleichen Höhe auch auf dem Horizont
Aus der Position. Dieser Fluchtpunkte ergibt sich der. Es
ist für uns auch ungewöhnlich und Bilder erscheinen und sofort falsch konstruiert,
wenn die konjugierten Fluchtpunkte nicht zueinander zu passen scheinen.
Ja, das ist das, worauf man beim Zeichnen am
meisten achten muss, dass man die konjugierten Fluchtpunkte richtig hinkriegt.
Gut, jetzt kennen wir die Vokabeln.
Also erste Testfrage. Ich habe hier ein Weltkoordinatensystem eingezeichnet.
Wir sehen einen Würfel hier drin und ist dieser Würfel jetzt
dargestellt in Zwei Punkte oder Drei-Punkt-Projektion.
Wo sehen wir Fluchtpunkte? Wo bilden sich welche?
Wie viele kann man sehen? Die senkrechten Linien hier
laufen nach unten.
Bilden einen Fluchtpunkt
Der Würfel selbst hat auch einen Fluchtpunkt im Welt für diese Linienschaden,
hier auf dem Horizont. Aber wenn wir nach 2.3.Projektion fragen,
fragen wir nach Fluchtpunkten von geraden Schaden,
parallel zu den Hauptachsen des Koordinatensystems. Und fürs Koordinatensystem,
für die Y-Achse, gibt es hier unten einen Fluchtpunkt?
Wir sehen einen zweiten Fluchtpunkt für die Parallelen zur Z-Achse,
sind wir hier
Und die X-Achse? Geraden Schaden parallel zu X-Achse. Die haben keinen Fluchtpunkt,
soweit man das hier in der Projektion erkennen kann.
Also dieses Bild ist gegeben, ein Weltkoordinatensystem in Zwei-Punkt-Projektion.
Ja. Wenn gegen der Würfel selbst,
der hätte drei Fluchtpunkte gehabt, wenn wir das als Weltkoordinatensystem gehabt hätten,
dann wäre das eine Drei-Punkt-Projektion.
Ja, ich bin weiter rein Würfel,
ein weiteres Koordinatensystem.
Ein Punkt oder Zwei-Punkt-Projektion
Zu wie vielen Hauptachsen des Koordinatensystems gibt es Fluchtpunkte?
Fangen wir mal mit den Senkrechten an. Parallelen zur Z-Achse
. Das können Sie erkennen hier anhand des Bildes,
bilden die senkrecht, die Parallelen zur Y-Achse bilden,
die einen Fluchtpunkt oder nicht?
Nö, ne? Also die fallen schon mal flach.
Hier haben wir keinen Parallelen zur Ex-Achse.
Ich wackel hier
ein bisschen
Nehmen wir mal als gegessen, dass die auch keinen Schnittpunkt haben.
Ja, wer bildet überhaupt jetzt noch einen Fluchtpunkt von den Parallelen zum?
Zu den Hauptachsen des Koordinatensystems. Es gibt die Parallelen zu
dieser Achse hier. Die schneiden sich hier alle in der Horizont-Ebene
und da haben wir einen Fluchtpunkt, dass also eine ein Punktprojektion.
Okay. Der Horizont selbst ist ein bisschen schwierig zu erklären,
die Grafik geben wir uns für das nächste Mal auf,
dann wünsche ich euch eine schöne Mittagspause.