lösen, aber es geht leider nicht anders.
Jetzt haben sie 20 Minuten warten müssen,
es tut mir auch leid, aber ich gehe davon aus,
sie haben das ein oder andere tun können,
wahrscheinlich schon vorbereitet, das Skript durchgelesen.
Ja. Das ist ja jetzt für mich die erste Vorlesung,
vor sie ist es die zweite, Mathematik 2, vorlesen.
Und ich hoffe, sie hat ein paar angenehme Wochen in diesem Meisterfilm
und dass sie auf auch sich ein bisschen spannend konnten,
eine schöne Zeit hatten, auch wenn sie vielleicht einige Klausuren schreiben mussten.
Ich hoffe auch, dass sie die meisten bestanden haben,
sodass sie sich auf diese Vorlesung zum großen Teil
konzentrieren können und keine Altlasten mit sich rumtragen müssen
Ganz allgemein noch etwas zu meiner Matik 2-Vorleisung. In dieser Vorleisung,
das haben Sie sicherlich schon gesehen, Sie haben ja auch
schon ein Tor mir gehabt, Ben Hoyohans letzte Woche,
und die haben bestimmt auch schon ein Skript reingeschaut.
Da werden wir uns mit Analysis beschäftigen. Also verglichen mit
der Mathematik 1-Vorlesung ist der Stoff deutlich enger gesteckt. Das heißt,
wir haben jetzt nicht verschiedene Themengebiete, wie das letzte Semester war,
da hatten wir ja quasi Grundlagen der Mathematik,
da haben wir mit Logik angefangen, da ein bisschen Mengentheorie und so weiter.
Dann war es in Abbildungen, Relationen,
dann haben wir Linare Algebra gemacht, die haben gelernt,
was ist ein Vektor, was ist da auch noch ein,
was ist der akritische Vektorraum,
Linealerklärungssystem im Adritzen und so weiter.
Also es war auch so ein ganzes Sammelsurium von Konzepten
und Methoden, die sie da kennengelernt haben
Dieses Semester ist es relativ eng umgrenzbar, wir machen,
wir machen einfach ein, alles ist.
Alles, was dazugehört. Und zwar wird Ihnen einiges bekannt
vorkommen, nämlich aus Ihrem Schulunterricht. Das heißt also,
Sie werden sehen, was wieder nochmal Stätigkeit, Durchrenzierbarkeit.
Aber natürlich in einem etwas formaleren Rahmen.
Und das mache ich nicht deswegen, weil ich glaube,
dass das dazu geeignet ist, um zu verhindern,
als ich die Klausur dann nicht bestehen.
Nein, der Grund ist der, wir brauchen das,
weil wir das Ganze allgemeiner möchten.
Wir möchten dann später das Ganze für En-Variablen machen.
Das heißt also, Optimierung mit invariablen Kurvendiskussionen, wenn Sie En-Unbekannte haben.
Und das heißt, wir müssen die ganzen Konzepte,
die Sie da vielleicht schon kennen aus der Schule,
zum großen Teil übertragen,
Deswegen müssen wir dadurch das Ganze auf ein solides Fundament stellen.
Die Vorleistung ist wahrscheinlich ein bisschen anspruchsvoller als Marty 1,
obwohl viel wahrscheinlich zum großen Teil bessere Vorkenntnisse haben.
Viele von ihnen haben Linare Algeparke Happen der Schule,
manche vielleicht doch nicht so in diesem Maße, aber Analysis haben alle gehabt.
Deswegen glaube ich, dass die Vorkenntnisse über diese Vorleistung
besser sind, aber der Stoff ist auch schwieriger.
Also Analysis stellt einfach höhere Anforderungen als den Jahre Algepar.
Die Konzepte sind auch, ja, weiter ausgereift, in dem Sinne,
dass sie quasi mehr mit Methodenwissen benötigen, asylinare Algeparke.
Das wissen sie, wenn sie da wissen,
wie man lineare Klägungssystem löst, können sie das,
was wir gemacht haben,
in der Vorleistung
relativ gut bearbeiten
Natürlich gibt es auch kompliziertere Fragestellungen, aber das, was wir gemacht haben,
können sie, wenn sie den gosen Algorithmus beherrschen, relativ einfach lösen. Deshalb,
also die haben alle bessere Vorkenntnisse oder sollte sie jetzt nicht dazu verleiten,
zu glauben, dass sie da jetzt nicht so aufpassen müssen,
vielleicht auch nicht so regelmäßig in die Vorleistung gehen müssen,
weil das Ganze wird in einem etwas abstrakten Rahmen erfolgen und dann kommt später die Allgemeinungen und es hat die Vergangenheit gezeigt,
dass die Studierende damit nicht so einfach tun.
Deswegen streng die sich an, aber dann,
wenn sie gute Vorkenntnisse aus der Schule haben,
hat ihnen auch vieles sehr bekannt vorkommen, auch relativ leicht fallen.
Also es ist schon ein Vorteil,
wenn sie in der Schule sich in Analysis leicht getan haben,
aber das bedeutet nicht, wenn sie da Probleme hatten,
dass sie jetzt keine Chance haben,
also wenn sie jetzt hier gut aufpassen,
dann werden sie feststellen, dass sie alles nur einmal mache.
Natürlich in kürzerer Zeit. Ich kann jetzt mich nicht mit Städtigkeit oder Differenzierbarkeit,
wie man es vielleicht in der Schule macht, ja,
beschäftigen, das geht nicht.
Bei mir wird das dann erfolgen in zwei, drei Wochen.
Dann haben die alles das gelernt, was sie da brauchen,
was sie in der Schule gemacht haben und sicherlich noch ein bisschen mehr.
Aber es ist alles das dabei,
dass quasi Self-Contained ist als das, was sie brauchen,
was ich mache, aus dem herauszustehen können, was ich behandle.
Also rein theoretisch brauchen sie keine Vorkenntnisse,
aber sie tun sich natürlich mit guten Vorkenntnissen deutlich leichter.
So viel vorab, dann fangen wir an, ich wiederhole,
so wie ich es letztes im ersten gemacht habe,
immer wieder die letzte Vorlesung ein bisschen
Dass wir wissen, über was wir da genau sprechen.
Sie haben begonnen mit Folgen. Folgen sind sehr wichtig,
wahrscheinlich mit der wichtigste Begriff, dieser kompletten Vorlesung,
vielleicht sogar allgemeiner Analysis. Und was ist eine Folge?
Das ist was ganz Einfaches. Das ist einfach eine Abfolge
von realen Zahlen. Nicht mehr und nicht weniger.
Ganz einfach. Zum Beispiel 1, 2, 3,
4, 5, 6 und so weiter.
Wer eine Folge von realen Zahlen. Aber damit kann man
natürlich nicht so einfach arbeiten. Wir müssen das formalisieren.
Und die Definition lautet dann so,
dass eine Folge nichts anderes ist
als eine Abbildung
Von der Menge der natürlichen Zahl, inklusive der Null, in die mengeteriellen Zahlen.
Nichts anderes. Einfach eine Abbildung von der Menge der natürlichen
Zahlen, inklusive der Null in die reellen Zahlen.
Und diese Funktionswerte hier A von N waren dann oft so geschrieben,
A, Index N. Da sind dann die sogenannten Folgenglieder.
Und all diese Folgenglieder zusammen, also alle Funktionswerte,
wenn sie so wollen, bilden dann quasi die Folge A 0,
A1, A2, A3.
Und diese A 0, A1, A2 können irgendwie irrelle Zahlen sein.
Und die werden sehen, dass die komplette Analyse ist.
Das ist wirklich keine Übertreibung auf diesen Folgenbegriff passiert.
Wir werden Stetigkeit, Differenzierbarkeit,
Integrierbarkeit über Folgen
Ist es sinnvoll, dass man sich natürlich vorab damit beschäftigt.
Und die werden spät in anderen Vorlesungen. Immer wieder
Folgen haben. Sie werden Grenzübergänge betrachten. Was passiert,
wenn N gegen unendlich geht, mit dies und dieser Folge?
Konvergiert die Gegend irgendeine feste reelle Zahl und so weiter?
Oder nicht? Also das, was Sie sehr häufig haben.
Deshalb, das ist ein ganz wichtiger Begriff. Es gibt
auch endlichen Folgen. Das heißt, die bricht irgendwann mal ab.
Aber für uns sind viel wichtiger, hier diese unendlichen Folgen.
Es kann auch sein, dass Sie eine Folge haben,
die nicht mit N 0 beginnt,
also wo quasi endlich nur die erste Zahl ist
Durch eins, in gleich Zwahl,
die da eingesetzt wird, in die Abbildung auch,
sondern erst endlich eins oder erst ab endlich zwei.
Also ich habe hier stehen, das war der Definitionsbereich,
die Menge dann natürlich in Zahl, inklusive der Null ist,
das können aber auch genauso gut die Menge der natürlichen Zahlen sein.
Nur irgendwas muss ich ja hinschreiben und ich habe mich jetzt
hier für die Menge natürlichen Zahlen inklusive der Null entschieden.
Gut, dann hier ein paar Beispiele für Folgen,
die haben Sie ja alle schon gesandt,
zum Beispiel, aber kurze Wiederholung.
Hier zum Beispiel die Folge 5, 5, 5,
5 und so weiter. Unendlich geht es so weiter.
Das ist eine ganz einfache Zahnfolge. Oder hier haben Sie
eine sogenannte alturnierende Zahlenfolge. 1, minus 1,
1, minus 1 und so geht das
immer weiter
Alto nie und deshalb, weil es sich positiv und negative Werte abwechseln.
Eine andere Folge wäre das hier, das ist die sogenannte harmonische Folge,
eins durch N ist sie definiert, die einzelnen Folgenglieder,
das heißt, wenn sie in eins einsetzen,
dann haben sie eins, wenn sie in zwei einsätzen,
haben sie in halb und so weiter,
dann bekommt sie diese Folge hier.
Wenn sie das Ganze noch versähen mit diesem Faktor minus eins hoch N,
dann bekommt sie die sogenannte altonierende harmonische Folge und dann
haben sie quasi im Prinzip hier die gleiche Folge,
nur halt mit einem abwechselnden Vorzeichen.
So kann das auch sein,
es gibt noch eine ganze Reihe von anderen Folgen,
es gibt
unendlich viele Folgen
Und übernetzt, oder das haben sie ja schon gemacht,
sehen, wie kann man diese Folgen untersuchen auf ihre Eigenschaften.
Da gibt es so eingeschaffene Beschränktheit. Gibt es dann
die Obrischranke, keine Unterschranke für diese Folge.
Oder nähert sich diese Folge einen bestimmten Wert ein?
Konvergiert diese Folge, sagt man da, gegen eine festreelle Zahl?
Oder tut sie das nicht? Divergiert sie, wenn sie devogiert?
Divergiert sie gegen minus in endlich oder gegen plus unendlich?
Oder ist es so, dass sie gar keinen Wert irgendwie,
oder dass sie quasi hin und her schwankt zwischen bestimmten Werten,
zum Beispiel diese hier, eins, minus eins, eins,
minus eins und so weiter, die nimmt nur zwei verschiedene Werte ein, aber das abwechselnd.
Also die konvergiert nicht, die nähert sich nicht nur einer
Zahl an, sondern die schwankt,
die ostselliert zwischen eins und minus eins
Gut, dann gibt es explizit und rekrusive Definition.
Da gehe ich jetzt nicht weiter drauf ein.
Das haben sie ja, wie gesagt, schon alles gehabt.
Von Nacci-Zahlen ist eine ganz bekannte Folge. Dann die aratmetische
und geometrische Folge spielt in den Nutschaswissenschaften eine große Rolle,
vor allem die geometrische Folge.
Schauen wir uns mal speziell die geometrische Folge noch einmal an.
Die ist einfach dadurch definiert, dass man sagt,
dass folgende Eigenschaft erfüllt sein muss für die Folgenglieder.
Nämlich, dass der Kurt Hint zweier Nacheinander folgender Folgenglieder
eine konstante Zahl Kuh ist. Das heißt immer,
wenn sie von allen Folgen, die zum Nächsten gehen,
müssen sie mit der gleichen Zahl Kuh multiplizieren.
Und diese Einschaft erfüllt, sagt man,
das ist eine geometrische Folge
Und sie wurden dann später in dem einen oder anderen Beispiel
sehen, dass man da zum Beispiel unter Finanzmathematik braucht.
Wenn man einen Zins, Zinseffekte berechnen möchte, dann hat man das,
oder hat man dann das gewöhnlich mit solchen gemetrischen Folgen zu tun? Gut. Hier zum Beispiel. Sancieda ist hier,
wenn Sie ein Startkapital von K0 haben zum 2.0,
sagen wir 1.000 Euro und Sie interessieren sich dafür,
was sind diese 1.000 Euro in einem Jahr wert,
wenn Sie P, sagen wir PSA 7,
7 Prozent, also das ist mittlerweile so hochgegriffen,
sagen wir, 3 Prozent bekommen, also PSA 3,
dann hätten Sie quasi ein Jahr später,
also K1 des Kapitals in 2.1 wäre dann K0,
mal Klammer auf,
1 plus P geteilt durch 100 und P ist dann 3,
dann wird quasi K0 mit 1,03 multipliziert.
Dann haben Sie also
ein Jahr später
1.30 Euro
Haben, Tinten bekommen. Noch einmal ein Jahr später passiert genau dasselbe.
Sie dürfen quasi K.1 auch noch mal mit dieser Klammer hier multiplizieren.
Eins plus P, geteilt durch 100. Dann bekommt die quasi hier,
das könnt ihr auch so schreiben,
diesen Wert noch mal mit 1,03 multipliziert und haben sie noch
ein bisschen mehr Geld und so weiter.
Also könnt ihr das Ganze machen für Endzeitpunkte. Und wenn sie das dann so darstellen,
stellen sie fest, sie haben hier eine geometrische Folge,
weil zwei nacheinander folgende Folgenglieder, unterstallen sie nur durch einen Faktor Q.
Nehmen Sie mal hier zwei raus, die hintereinander kommen und dividieren Sie die.
Dann stellen Sie fest, dass der Unterschied nur einmal
dieser Faktor ist, nämlich die gäbe durch diese Klammer.
Dieses Kuh hier, Ja. Ist dann nichts anderes als
diese Klammer You 1 plus P geteilt
100. Das ist eine geometrische Folge, wenn sie quasi da
die Zinsen berechnen möchten. Man könnte sich jetzt fragen,
das sollen wir uns heute noch genau anschauen,
was passiert eigentlich, wenn ich nicht nur einmal im Jahr,
als am Ende des Jahres Zinsen bekomme, sondern kontinuierlich zu jedem Zeitpunkt.
Hier bei dieser Bereichnung ist es so,
dass sie quasi das Geld anlegen,
gelben aus der Bank und dann wurde das erste am Jahresende verzinst.
Dann rechnen die ihn quasi aus,
am Ende des Jahres haben sie 1000 Euro,
okay,
dafür kriegen sie jetzt
3%
Es wäre doch für sie viel schöner und so ist dann auch die Realität, dass,
wenn sie dieses Geld kontinuierlich einzahlen über das Jahr hinweg,
in dem Moment, wo sie es einzahlen,
schon Zinsen bekommen und für die Zinsen,
die sie bekommen haben,
auch wieder Zinsen bekommen und für diese Zinsen auch wieder Zinsen und so weiter,
also diese Zinseszinseffekte.
Und das kann man auch mit diesem Folgenbegriff ja realisieren.
Da müssen wir dann einen Grenzübergang bilden. Das führt uns danach
unter anderem zur eulerischen Zahl eh, wie sie es erinnern.
So, kommen wir zu ein paar Eigenschaften, beschränkt und monotoni folgen.
Das sind ganz einfache Begriffe, was ist wohl eine beschränkte Folge?
Nun, ganz einfach, da gilt,
dass die vollen Glieder betragsmäßig klarer sind als eine Konstante.
Also, Haben wir das hier beschränkt? Hier,
das wäre eh, die Folgenglieder sind betragsmäßig durch eine konstante M beschränkt.
Alle Folgenglieder sind vom Betrag her klar und gleicher als,
klar und gleicher als eine konstante M.
Oder was heißt monoton wachsend? Dann gilt, da ist
diese Folgenglieder nicht kleiner werden. Strengmonoton wachsen, da sie
sogar echt größer werden. Dann gilt hier keine Gleichheit mehr,
sondern muss hier ein echtes Ungleichheitszeichen geilen und so weiter.
Also diese Begriffe, monoton fahlen, streng monoton fahlen und
so weiter, sind sehr intuitiv definiert.
Das verdient dann später Abelfunktion wieder begegnen.
Genau die gleichen Definitionen dann für Funktionen
Ein ganz wichtiger Begriff, auf den ich noch eingehen möchte,
ist der, und der ist sicherlich neu für sie,
des Infimums und des Supremums.
Das wollen wir später noch brauchen.
Was ist das? Wenn Sie sich eine Folge anschauen,
dann hat die unter Umständen eine Schranke.
In der Regel hat sie sogar mehrere, sogar unendlich viele.
Ich zeige Ihnen mal eine Folge auf. Ich habe das im Kognatensystem
hier. Wir haben jetzt hier die einzelnen vollen Glieder,
die sich irgendwie hier zu einer Geraden hier ernähren.
Also das kann ich
euch durchziehen,
So. Diese Folge hier, die nähert dich.
Diese Konstanten, nehmen wir die Emi an.
Aber erreicht sie nicht. M ist eine obere Schranke.
Es gibt aber auch noch andere Oberschranken. Jede Zahl,
oberhalb vom M ist auch wieder eine Oberschranke.
Emblues 1 oder M halbe und so weiter. Jede Zahl,
die oberhalb von M liegt, ist eine Oberschranke.
Aber manchmal interessiert man sich von der ganz speziellen Oberschranke,
nämlich die kleinste Oberschranke
Also nicht diese Oberschranke oder diese, diese, diese,
sondern so weit wie möglich runtergehen.
Und das heißt also, sie gehen so weit runter,
dass sie gerade noch oberhalb dieser Punkte liegen.
Oder maximal gleich dieser Punkte. Also die kleinste Oberschrank ist
das sogenannte Subpremium einer Folge. Das Ganze können sie machen
auf Unterschranken. Wenn sie zum Beispiel eine Folge haben,
die nach unten beschränkt ist.
So, hier.
Die nährte hier
Ich muss größer zeichnen, von der geföhnt. So. Also,
diese Folge hier nähert dich,
dieser Konstantin, ich nenne sie auch wieder M an,
aber erreicht sie vielleicht sogar gar nicht.
Du kannst ja auch erreichen, das spielt hier keine Rolle,
aber geht auf jeden Fall nicht unter diese Konstante hier.
Diese konstante M ist eine untere Schranke, es gibt aber weitere untere Schranken.
Ich könnte auch hier, das hier, wäre auch eine Unterschranke.
All das, was unterhalb von M liegt, ist ein weiterer Unterschranke.
Manchmal interessieren sie sich für die größte Unterschranke,
in das wäre in diesem Fall halt einfach im.
Und die größte Unterschranke, das ist das Infimum
Einer Folge. Und das ist das,
was ich hier habe auf der Folie, da hast du Premium,
ist die kleinste Opo-Schranke, das ist die Schreibweise dafür.
Und das Intimum ist die größte Unterschranke. Und jetzt könnte
man sich fragen, wieso brauche ich das Ganze überhaupt?
Kann ich da nicht einfach mit Minimum und Marktimum hantieren?
Das können sie nicht, warum nicht? Warum kann nicht einfach
Minimum im Maximum hernehmen? Warum brauche ich zwei neue Begriffe?
Minimum marktimum wie uns hier aus der Schule wahrscheinlich schon kennen?
Warum brauche ich zwei neue Begriffe? Intimum und zu Premium
? Nun, der Grund ist relativ einfach,
dass Das sind unterschiedliche Begriffe. Eine Minimum und Maximum,
sie gewinnen später noch von mir die genaue Definition,
aber die haben sie wahrscheinlich in der Schule schon gehabt und wenn sie in ihren Schulunterlagen nachschauen,
werden sie feststellen, ein Minimum oder Maximum wird immer angenommen.
Also eine Folge und eine Funktion hat das Minimum 3,
wenn der kleinste Funktionswert 3 ist oder die kleinste Folge
wer 3 ist, also dieser Wert wird angenommen.
Das muss er aber bei einem Infinumum zum Beispiel nicht sein.
Hier, ich habe ja gesagt,
dass hier sich diese Folge annähert und eventuell im Reich,
aber es kann auch sein,
dass es nicht erreicht
Wenn sie zum Beispiel hergehen und sie bilden die Folge eins durch N,
eins durch in, also eins, einhalb,
ein Drittel, ein Viertel, ein Fünftel, ein Sechsel.
Diese Folgen wieder waren immer kleiner,
die nähern sich immer mehr und null an.
Aber die Null wird nie erreicht. Eintausend still,
ein Millionen still, ein Milliardschill und so weiter.
Das wird immer kleiner, aber null werden sie nie erreichen.
Sie können da nicht sagen, das Minimum ist null,
weil null wird gar nicht angenommen.
Es gibt, also Pferd null wird von dieser Folge nicht angenommen.
Sie können aber sagen, da ist Infimumum ist null.
Die größte untere Schranke ist null
Auch minus eins, minus zwei sind unterschranken,
aber die größte Unterschranke der Folge eins noch in, das ist null.
Genauso beim Supremum. Wenn Sie zum Beispiel eine solche Folge hier haben,
hier, die sich M ernährt,
dann könnt ihr jetzt nicht sagen, M ist das Maximum,
weil diese Folge erreicht eben nie.
Es gibt keinen, keine Stelle, wo diese Folge
den Wert immer nimmt. Deswegen ist das Maximum nicht M.
Das Maximum ist ein bisschen kleiner als im.
Das könnt ihr aber gar nicht so einfach angeben,
weil wie viel ist es denn weniger als eben?
Das könnte nicht so einfach beantworten. Aber Sie können
sehr schnell sagen, was ist die größte,
die kleinste Oberschranke
Und das ist hier, diese hier, das ist die kleinste obere Schranke,
sobald sie noch weiter runtergehen würden, würden sie irgendwann einmal unter,
also wenn sie nur weit genug nach rechts gehen,
irgendwann einmal unterhalb dieser Folgen wiederlegen.
Also, Supremum und Maximum,
auf der einen Seite und Enfimum und Minimum, das sind unterschiedliche Begriffe,
aber trotzdem haben sie was gemeinsam und es gilt,
das kommt später noch einmal, ein Infimum,
das angenommen wird,
ist automatisch auch ein Minimum und ein Supremum,
das angenommen wird,
ist automatisch
ein Maximum
Gut, hier ein paar Beispiele dazu. Das ist im Prinzip das,
was ich an der Tafel gemacht habe, nur vielleicht andere Folgen.
Schauen Sie sich das nochmal gut an mit dem Hintergrundwissen,
das ich Ihnen jetzt gerade gegeben habe und versuchen,
die das ein bisschen zu verinnerlichen.
Sie waren mit Entführung und zu Bremen relativ häufig konfrontiert.
Nicht nur diese Vorlesung. Sie waren auch andere Vorlesungen,
haben muss sie das benötigen. So, eine ganze Reihe
von Beispielen. Also diese Beispiele sind ja zahlreich,
das weiß ich, dass wir Ihnen einfach helfen,
mit diesen Begriffen vertraut zu werden
Und man sieht auch in diesen Beispielen, abends so habe ich auch
etwas kompliziertere Beispiele dabei, um mir auch zu zeigen,
dass es nicht immer so einfach zu brechen ist.
Das soll sie jetzt nicht beunruhigen in dem Sinne,
dass sie glauben, das wäre jetzt eine typische Klausuraufgabe.
Sie haben selber gesehen in der letzten Klausur hoffe ich,
also zumindest hoffe ich, dass sie dieses Empfinden hatten,
da ist die Aufgabe nicht so schwer waren.
Ich hatte sicherlich das ein oder andere Beispiel im Skript,
das deutlich schwerer war, als alle Klausurkamen, die sie da bearbeitet haben.
War das Zustimmung? Okay. Also hier sieht es dann ähnlich aus,
hier sind auch einige Beispiele dabei, Ein bisschen komplizierter sind, ein bisschen aufwendiger sind.
Die sollen nicht einfach helfen, ihnen zu zeigen,
dass man da auch nicht, nicht nur triviale Beispiele bearbeiten kann,
sondern dass das relativ schnell auch ein bisschen kompliziert werden kann.
Sie waren aber in den Übungen zum großen Teil und
vor allem dann in der Klo-Sue mit den einfachen Fällen konfrontiert.
Also damit wir nicht einfach sagen, wieder einen Ofen behalten,
wenn was kommt, was ein bisschen komplizierter ist,
versuchen, das zu verstehen, möglichst viel mitzunehmen,
dann sind sie dann auch später in der Lage,
die einfachen Klaus-Ofgaben zu bewältigen.
So, vielleicht hier noch dazu was.
Diese Folge hier, die ist
ganz arg wichtig
Hier, diese Folge, die ist definiert, wie folgt,
dass die einzelnen Folgenglieder, das Folgenglied zum Index in,
ist gegeben durch Klammer auf 1,
plus 1 durch N, Klammer zu hoch in.
Das ist eine ganz wichtige Folge. Vielleicht die
wichtigste Folge überhaben der Mathematik. Was passiert denn da?
Setzen Sie mal vor endlich eins ein hier.
Und hier, an zwei Stellen müssen Sie das einsetzen.
Haben Sie in der Klammer eins plus eins, ist zwei,
hoch eins, ist zwei. Sollten Sie als nächstes ein,
zwei, dann haben Sie hier eins plus eine halb,
ist 1,5, das Ganze hoch zwei ist 2,25 und
so weiter
Und dann könnt ihr drei einsetzen und so weiter. Ja,
und für diese Folge gilt jetzt, was dort hier in diesem Teil bewiesen,
später kommt der zweite Teil zu diesem Beispiel.
In diesem Beispiel wurde es hier bewiesen, dass diese Folge beschränkt ist.
Und zwar durch eins nach unten und durch drei nach oben,
die alle vollen Glieder liegen zwischen eins und drei.
Die werden sogar noch mehr sehen über den Zehen,
diese Folge, das sage ich ihnen gleich,
das kommt das gleiche in der Wiederholung wieder,
konvergiert gegen eine festreelle Zahl.
Und diese Zahl liegt dann zwischen eins und drei
Genauer gefragt, es ist ein 2,728 und so weiter.
Diese Zahl. Und diese Zahl wird dann die eulerische Zahl eh sein.
Die bekommt einen Namen, weil es so wichtig ist. Also,
heilen Sie als erstes mal fest, diese Folge hier,
wo die Folgen wieder so aussehen, ist ganz arg wichtig.
Hier in diesem Beispiel wird gezeigt,
dass diese Folge beschränkt ist, nach oben und nach unten,
nach unten durch eins und nach oben durch drei.
Aber eins, das kann man relativ leicht überprüfen,
eins ist tatsächlich das Infimum, die größte Unterschranke,
es gibt keine größere Unterschranke mehr,
das interessieren sich schon daran,
dass das erste Folgenglied ja eins ist
Wenn sie auf N01 sitzen hier, nee, N dürfen sie nur nicht einsetzen,
warum habe ich, ich hätte auch zwei machen können?
Also zwei ist auch eine Unterschranke. Also einzig eine Unterschranke und das Endführung,
die größte Unterschranke ist zwei, so kann ich sagen.
Weil wenn sie hier in N1 einsitzen,
dann haben sie hier in der Klammer eins plus eins,
ist zwei, hoch eins,
ist zwei und dann könnte ich relativ leicht überlegen,
dass diese Folge wieder nur noch größer werden.
Also ist die größte Unterschranke zwei, aber,
und das ist der Hauptteil dieser Aufgabe dieses Beispiels,
die Folgenglieder werden zwar größer,
aber nicht größer als drei,
die sind durch drei
nach oben beschränkt
So, und jetzt kommen wir zum Begriff der Konvogenz
und dann können wir uns genau auch damit beschäftigen,
was passiert mit dieser Folge, die ich da gerade hatte.
Gegen was konvogiert die? Welche reelle Zahl nimmt die ein
oder nähert sich diese Folge an?
Und da brauchen wir also die Begriffe Konvogenz und Divergenz.
Diese Konzepte konvogenz und Divergenz sind sehr wichtig und ich hoffe,
es wird bei dem einen oder anderen sich das Gefühl einstellen,
dass das, die Ergänze, die sie da jetzt kennenlernen,
ja auch sehr fundamental sind und keine Selbstverständlichkeit.
Also diese Konzepte, Konvogenz und Divergenz sind relativ neu
Also die sind so, wie ich sie Ihnen vorstelle,
dass man sich damit so beschäftigt und auch das Verständnis so dafür hat, 250 Jahre.
Jetzt denken Sie, das ist ja schon wahnsinnig alt.
In der Mathematik ist das aber noch relativ jung. Also viele Ergebnisse,
die Sie so kennengelernt haben in der Schule und auch im
ersten Teil der Vorleistung, sind viel, viel älter.
Also dieses Ergebnis ist relativ neu und ich wollte Ihnen dann
auch ein Beispiel geben, wie Gelehrte vor 2000 Jahren,
sich mit Problemen beschäftigt haben,
wo sie armscheinlich zu Widersprüchen gekommen sind.
Ich war in dieses Beispiel mit Achilles und der Schildkröte bringen,
das wollte ich Ihnen dann zeigen,
dann wollen Sie zu mir sagen,
ja,
ich durfte Achilles
die Schildkröte nie einholen
Und ich werde ihn zeigen, doch und war nicht begründen,
wieso Achilles die Schildkröte einholt, aber ich werde ihnen eine Argumentation liefen,
die von zehn und ist einem bekannten Philosophen,
der auf 450 Jahre von Kriegsfuss gelebt hat,
dass es eigentlich rein theoretisch so sein müsste,
da ist Achilles die Schildkröte nie einholt bei diesem Wettrennen.
Aber das liegt daran, diese Begründung,
die er hat, da macht er einen fundamentalen Fehler,
der wird ihnen aber erst gar nicht so auffallen.
Und ich werde ihn begründen, wo dieser Fehler liegt,
und bis vor 400, 500 Jahren hätte man auch nicht erkannt, wo die Sofa legt.
Aber das wird jetzt möglich mit Tiefe dieser Konzepte, Konvergenz und Divergenz,
und die werden wir benötigen für all das, was kommt.
Sie wissen vielleicht aus der Schule noch,
dass die Ableitung nichts anderes ist,
als der Grenzwert einer Folge von Differenz und Kurt hinten,
oder das Riemenintegral, ist nicht anders als ein Grenzwert von Riemenssumen,
also all diese Begriffe ableihen,
integrieren,
basieren auf der Konvergenz von Folgen
Also, was heisst Kundenbeginn? Konlogenz heißt einfach nichts anderes als,
sie haben eine Folge und die nähert sich immer näher,
also beliebig nahe einem Punkt A, also einer Zahl A an.
Beliebig genau. Das kann sein, die ersten Folgenglieder sind relativ weit weg von diesem Grenzwert,
aber wenn sie dann weitergehen in dieser Folge, wenn En größer wird,
dann nähern sich diese Folgen, die da beliebig nahe dieser Zahl an. So,
das ist jetzt eine verbale Erklärung von Konvergenz,
jetzt müssen wir das natürlich noch in Mathematik fassen,
dass man damit arbeiten kann und die Definition lautet befolgt,
eine Folge A in heißt Konvergent mit dem Grenzwert oder man sagt auch Lehmis A,
wenn es zu jedem Apps und Größer Null Also es darf ein ganz beliebiges Äpfeln sein,
aber es muss größer sein als null, einen Index N-0 gibt,
sodass für jede natürliche Zahl N größer gleich diesem Index N-0 gilt,
da ist der Abstand des vollen Gliedes zu dieser Realenzahl A,
kleiner, ist als dieses Äpfelon.
Das hört sich jetzt 20 nicht technisch an, aber das bedeutet nur folgendes. Egal,
wie klein sie dieses Apps und Van,
wenn sie nur weit genug in dieser Folge nach rechts gehen,
also weit nach hinten in dieser Folge,
dann haben sie den Pfahl,
dass ab einer bestimmten Stelle alle vollen Glieder von A weniger als Äpstun entfernt sind.
Und da Apps für eine beliebig kleine Zahl sein darf,
größer als null, heißt es nichts anderes als,
da ist sie beliebig,
diese vollen Glieder der Folgenglieder,
dieser Rennteil A,
beliebig nahe kommen
Aber das muss man halt formalisieren, dass wir damit arbeiten können.
Und das ist die formale Definition. Und dann,
wenn das gilt, dann schreiben sie das,
was sie sicherlich das ein oder andere Mal schon gesehen haben,
dass der Limes, der Folge A endlich A ist.
Oder manchmal sieht man auch diese Schreibweise,
dass AN gegen A konvergiert, wenn entgegen nun endlich geht.
Oder auch diese Schreibweise hier, AN geht gegen A,
also gegen die Realital A, Grins hört A,
Limes A, wenn sie so wollen,
wenn N gegen unendlich geht.
Das sind drei Schreibweisen für ein oder dasselbe.
Nämlich, dass sich die vollen Glieder diesem Grenzort A
beliebig ernähren
Wichtig ist auch das hier,
die sogenannte Äpfelumgebung einer Rennzahl, die ist so definiert,
das ist nichts anderes als eine Menge, von Zahlen,
Y, eventuellen Zahlen, und zwar all die Elbcilons,
all die Y, die von A weniger als Epstein entfernt sind,
also diese Äpstelumgebung, um eine Zahl A,
ist nichts anderes als all die Rennzahlen,
die von A weniger als Epstein entfernt sind.
Also nichts anderes als Dissoffen in der Wahl.
Da liegen all diese Zahlen, realen Zahlen drin,
die von A weniger als Epstein entfernt sind.
Nach rechts oder nach links, spür keine Rolle,
aber weniger als Epstein entfernt
So, und mit Hilfe dieser Äpfel und Gelbung können Sie
das jetzt auch den Begriff der Konvergenz nochmal anders auffassen.
Bei einer konvoketen Folge mit dem Grenzwert A liegen in jeder Äpfel-Umgebung,
also für jedes beliebige Apps und größere Null,
fast alle Folgenglieder in dieser Apps und Gelbung.
Was heißt fast alles? Jetzt denken Sie,
das ist ein beliebiger Begriff, der ist sehr allgemein gehalten,
fast alles an der Mathematik, eine ganz genaue Definition.
Wenn eine Mathematik von verfasst alles spricht,
dann hat er eine ganz genaue Forschung, was das bedeutet.
Fast alles bedeutet, alle bis auf endlich viele
Alle bis auf endlich viele. Also, hier, wenn Sie das sich anschauen,
mal die Definition von der Konlogenz, können Sie denn Zoo fassen?
Eine Folge ist genau dann konvogent gegen den Grenzwert A.
Wenn für jedes Apps und Größere Null gilt, dass alle vollen Glieder,
fast alle vollen Glieder in dieser Apps und Gelben liegen.
Sie müssen nur weit genug nach rechts gehen und dann gibt
es irgendwann einen Index. Ey, Null ist so,
dass alle vollen Glieder in dieser Apps und Gelben drin liegen.
Hier zum Beispiel habe ich so ein Bildchen,
der Grenzwert ist A. Das ist einzige,
es gibt ein paar Folgenglieder hier, hier, hier,
hier, die liegen außerhalb dieses Intervalls,
wenn sie aber dann weitergehen in der Index dieser Folgen,
die da größer wird,
sind sie irgendwann einmal im in der Wahl und
dann bleiben sie auch in diesem Intervall
Hier ist dieser Index relativ klein, glaube ich,
drei oder vier und dann liegen sie schon drinnen in der Wahl.
Es kann auch sein, es passiert erst ab 1000
oder ab einer Million und so weiter.
Aber es sind immer nur endlich viele, die außerhalb liegen.
Das können sehr, sehr viele sein,
aber es sind immer nur endlich viele.
Ja. Gut, dass ich das auch erfahre.
34 bis 43. Also sie möchten, dass sie jetzt hier
aufhören. Ja, was hier jetzt kommt,
sind Rechnungen,
Da hat er nicht ganz Unrecht. Denn das, was
ich ihnen erklärt habe, ist sehr wichtig. Also Konvogenz,
zu Divergenz ist mir das Wichtigste, was sie so brauchen.
Nicht nur diese Vorleistung in vielen anderen Vorleistungen.
Nur was jetzt kommt in den nächsten Beispielen ist,
ganz formal für eine Folge, wenn sie noch keine Hilfsmittel haben,
nachzuweisen, ob sie konvogiert oder divergiert.
Aber sie werden ja später Hilfsmittel bekommen,
wo sie richtig rechnen können mit Folgen.
Die zeichnen auch, welche Rechenregeln da sind.
Mit denen geht es viel einfacher. Deswegen waren sie später,
wenn sie eine Klausuraufgabe haben und sie müssen zeigen oder begrenztwert
einer Folge ausreichen,
das nicht machen ohne Hilfsmittel
Und dann quasi so eine ganz einfache Folge,
die eins durch in, eins durch in,
das ist relativ klar, gegen was es konnotiert,
setzt jetzt mal ein paar Werte ein, eins durch in,
also eins, eineinhalb, ein Drittel, ein Viertel,
ein Viertel, ein Fünfel, eins sechs,
gegen was wird sich diese Folge überall ernähren?
Die konnotiert doch offensichtlich gegen null. So,
dass Uncharlie irgendwie ganz klar, wenn sie da Werte einsetzen,
was da passiert. Aber wenn sie es formal nachweisen wollen,
diese Definition, dass die erfüllt ist, nachweisen wollen,
dann müssen sie schon für diese einfache Folge eine ganze Vorjähre verschwenden.
Und so während sie das in der Klausur dann nicht nachweisen,
da dürfen sie sogar einfach hinschreiben, eins durch ihn,
konnotiert offensichtlich gegen null.
Oder eins durch ein Quadrat oder eins durch ein Hoch drei.
Klar, die konnotieren alle gegen null
Und dann kriegen sie jetzt nur ein paar Rechenregeln geliefert,
mit denen könnt ihr dann für andere kompliziertere Folgen das Ganze einfach ausrechnen.
Dann müssen sie das nicht so formal machen mit tieferer Definition.
Deswegen sind diese Folien, wo das passiert, nicht klausurrelevant.
Deswegen überspringe ich die hier auch, als ich nicht ganz fuck.
Keine Angst, ich mache keine zu viel.
Schauen wir mal. Mario Hentenkriterium. Auch das hier,
genau. Okay. Also sie haben jetzt gelernt,
was ist eine Folge? Was heißt beschränkt? Was heißt
monoton wachsend und so weiter? So, und jetzt bescheidigen
wir uns damit
Wie können wir denn relativ elegant nachweisen, ob eine Folge konvergiert oder nicht?
Und wenn sie konvergiert, gegen welchen Wert?
Oftmals geht das relativ einfach. Es gibt aber auch Beispiele,
aber bei uns keine Angst haben,
das wird auch wieder nicht Gegenstand von irgendwelchen Klosaufgaben sein,
wo das relativ aufwendig ist.
Sie waren zäh bei dieser Folge, die gegen die eulische Zahl eh konvergiert,
ich freue ihnen da gezeigt habe, ist das relativ aufwendig.
So, aber es gibt ein paar Dinge,
die kann man relativ schnell einsehen.
Zum Beispiel dieses Ergeheimnis hier. Konvergenz impliziert Beschränktheit,
also auch der Folge.
Jede konvergente Folge ist beschränkt
Das heißt also, die Werte, die sie annimmt,
liegen um in einem Bereich, in einem Zahnbereich im Intervall.
Der Beweis haben sie hier, den erspare ich ihn,
ich war den einen oder anderen Beweis auslassen jetzt in dieser Vorlesung.
Letzte Vorlesung habe ich deutlich mehr Beweise gemacht,
weil da ja auch die Beweise und Gegenstand der Vorlesung war.
Jetzt gehe ich einfach davon aus, dass ich genügend Beweise gesehen haben,
sodass sie auch den einen oder anderen Beweis zur Hose
einfach mal in Ruhe selber nachvollziehen können.
Der Beweis ist nicht schwer. Also, aber morgens ist
sie auf jeden Fall, bin eine Folge konnogent sein soll,
dann muss sie auf jeden Fall auch beschränkt sein.
Wen sie also im Umkehrschluss von einer Folge wissen,
da sie nicht beschränkt ist, unbeschränkt ist,
dann kann sie auch nicht konnogieren.
Zum Beispiel die Folge 2 hoch
Also wenn sie in Zahlen einsetzen, beginnen bei null
und dann ein, zwei, drei und so weiter.
Und die kommt ja also zwei hoch null, ist eins.
Zwei hoch eins ist zwei, zwei hoch zwei ist vier,
dann bekommt sie acht, 16, 32,
64, 128 und so weiter.
Diese vollen Twitter werden offensichtlich immer größer,
weil die waren ja immer verdoppelt von Schritt zu Schritt.
Diese Folge ist nach oben nicht beschränkt, die explodiert ihn.
Die können also auch gar nicht konvergieren gegen eine religal.
Also oftmals kann es sein, bei irgendso oft kamen oder Claus Hof kam,
dass es ganz einfach ist, auf Konvergenz zu untersuchen.
Sie müssen nur sich die Erfolge scharf anschauen und dann stellen
sie fest, die ist ja schon nicht mal beschränkt.
Also können sie auch gar nicht konvergieren
Hier habe ich dieses Beispiel. Dann das zweite Beispiel,
das haben sie auch schon gehabt, das ist ja ein Übersprungs.
Ein weiterer wichtiger Begriff ist der eines Häufungspunktes.
Sie wissen, was ein Grenzwert ist. Also was
ist jetzt so ein Häufungspunkt? Hört sich Fahrt um,
ist schon so ein Winkel, als wäre es etwas,
was mit dem Grenzwert zu tun hat.
Häufungspunkt, da häuft sich irgendetwas. Also ein Häufungspunkt ist
Fastengrenzwert. Wie müssen Sie sich das vorstellen? Zum Beispiel
die Folge minus 1, 1, minus 1,
1, minus 1, 1, minus 1,
1 und so weiter.
Die konvergiert nicht.
Wieso konvergiert die nicht
Weil sie sich nicht einer feschen-realen Zahl ernährt.
Wenn die Situation Y wählen, das klein ist als eins,
dann liegen sie nicht immer in dieser Äbsel-Umgebung, um einer bestimmten Zahl.
Zum Beispiel ist klar, die Folge minus eins,
minus 1-1, wenn die konnoigiert,
kann es nur eine dieser beiden Zahlen sein,
minus eins oder eins.
Aber es ist nicht minus eins, es ist ja auch nicht eins,
weil ich sie ja alterniert zische, bringt immer hin und her.
Und wenn es hier zum Beispiel als Äbsel und Mehlen ein Zehntel,
und sie schauen sich mal minus eins an,
die Äbsel-Umgebung um minus eins,
dann liegen sie nicht immer im Intervall von
minus 0,9 bis minus
Weil sie nehmen ja wieder Werte ein Eins.
Und das ist mehr, das ist weiterhin Front als 0,1.
Also sie gehen immer raus aus diesem Apps und Intervall.
Genauso, wenn sie eins wählen. Und sie werden als Apps
zum Beispiel 0,9, 0,1 einfach nur relativ groß ist.
Dann müssen alle ihre Werte ab einem bestimmten Index
in der Wahl von 0,1 bis 0,9 bis 1,1 liegen.
Das ist aber auch nicht der Fall,
weil ihre Folgenglieder ja immer hin und her ostillieren zwischen minus 1 und 1.
Und diese minus 1 liegt nicht in diesem Intervall.
Also die konnogiert nicht. Aber sie hat zwei Häufungspunkte.
Nämlich minus 1 und 1, Häufungspunkte liegen vor,
wenn gilt
Dass zu jedem Apps und Größer null unendlich viele vollen Glieder in der Apps und Umgebung liegen.
Und das gilt vor eins und minus eins.
Sie haben bei dieser Folge minus eins, eins,
eins, minus eins, eins und so weiter, gegeben,
dass, egal wie klein sie diese Apps und wählen,
es muss größer sein als null.
Sie haben das unendlich viele vollen Glieder dann in dieser Apps-Umgebung liegen,
weil ja die minus eins selber unendlich oft angenommen wird und
auch eins wird unendlich oft angenommen.
Also die liegen dann immer in diesem Apps in der Wahl.
Also es liegen unendlich viele, erfolgen während diesen Intervallen.
Also auch minus 1 und 1 sind Teufungspunkte,
aber es ist kein Grenzwert jeweils
Beim Grenzwert, morgen sie sich das, muss es so sein,
dass fast alle vollen Glieder in der Öffnungsgebung liegen.
Fast alle heißt, alle bis auf endlich viele und bei einem Häufungspunkt reicht es,
wenn es nur, in Anführungszeichen, unendlich viele sind.
Es müssen aber nicht fast alle sein.
Fast alles mehr als unendlich viele. Fast alle heißt,
alle bis auf endlich viele. Und unendlich viel heißt,
unendlich viel, aber da kann auch sein,
dass auch unendlich viele nicht drin liegen.
Also, sie sehen schon an dieser Begriffe,
muss man sich gewöhnen, aber irgendwann wird ihnen,
hoffe ich,
relativ leicht fallen
Hier, dieser Satz, enthält weitere Charakterisierungen für die Konvergenz
oder für Häufungspunkte, die relativ wichtig sind?
Ich möchte Ihnen da vor allem die ersten beiden Nahlingen,
die sind ganz arg wichtig. Hier zum Beispiel die Aussage A,
die würden wir brauchen auf der einen oder anderen Stelle.
Es gilt nämlich, wenn Sie eine Folge haben, die beschränkt ist.
Und monoton wachsend oder fallende Spiel keine Rolle.
Sie muss nur monoton sein. Entweder steigt sie,
die vollen Glieder aus dem Monoton wachsend oder fallend
Und wenn sie dann zuseitig noch beschränkt ist, dann muss die konvogieren.
Ich glaube, das ist intuitiv verständlich. Wenn sie von
der Folge wissen, dass sie zum Beispiel Monitoren wächst.
Also die Werte maximal, also nur gleich sind oder größer werden.
Sie wissen aber auch, dass die nach oben beschränkt ist.
Dann musst du ja irgendwo konvogieren. Die muss ja,
die wird irgendwo eingeklemmt. Sie wissen, die steigt,
die Folgenglieder bleiben gleich oder werden maximal ein bisschen größer.
Aber sie ist nach oben beschränkt. Da muss irgendwo
ein Wert sein, wo sich diese Folgenglieder dann tummeln.
Wo dann diese Folge dann konvogiert
Also intuitiv ist dieses Ergebnis, denke ich, verständlich.
Du weißt, es ist nicht so einfach.
Deswegen habe ich den nicht einmal auf den Folien drauf.
Das zu beweisen ist durchaus mit einem gewissen Aufwand verbunden.
Aber morgens ist sich einfach diesen Satz, monotone,
beschränkt, die Folgen sind konvergent. Also wenn sie
moneton ist und beschränkt, dann ist er auch konvergent.
Ist sie nur beschränkt? Also nicht monoton,
gilt nur die eine Einschaft, dass sie beschränkt ist,
dann wissen sie, dass sie den Häufungspunkt besitzen muss.
Zum Beispiel diese Folge, die ich vorher genannt habe,
minus 1, 1, minus 1, 1,
minus 1, 1. Diese Folge ist offensichtlich beschränkt.
Nach oben nach unten. Der kleinste Werte angenommen wird,
ist minus 1 und der größte ist
Beschränkt und sie besitzt da auch einen Häufungspunkt,
sie bis jetzt sogar zwei, nämlich minus 1 und 1. Gut,
hier wieder ein paar Beispiele, die sie alle schon hatten.
So, und jetzt kommen diese Rechenregeln,
vor denen ich vorher gesprochen habe, mit denen sie dann,
wenn sie irgendwo einmal einen Grenzwert ausrechnen sollen,
dann relativ leicht das tun können, zumindest die Aufgaben,
die wir entstellen.
Es gibt auch andere, wo das nicht so einfach ist,
aber mit denen waren sie sicherlich nicht in irgendeinen Übungsaufgaben und Klausuraufgaben konfrontiert.
Und ich zeige ihnen gleich anschließend,
wie sie
sich damit rechnen können
Aber schauen wir uns als erstes mal diesen Satz an,
war es der da beinhaltet? Also, wenn Sie
zwei Folgen haben, A in und B in.
Und Sie wissen von beiden Folgen, dass Sie konvogieren.
Die eine Folge konvogiert gegen eine Zahl A und die andere Folge gegen eine Zahl B.
Dann wissen Sie automatisch aufgrund dieses Satzes jetzt dann für die Zukunft,
dass auch diese neue Folge,
wo Sie die Eisen vollen Lieder mit einer konstanten C modifizieren,
dass diese neue Folge auch konvogiert und in Grenzwert können Sie ganz einfach ausrechnen,
Sie gehen einfach her und dann gilt,
da ist der Grenzwert von dieser neuen Folge also
Dieser Grenzwert hier. Wie kommen Sie,
indem Sie den Grenzwert der Folge A einbilden und dann diese Zahl,
die da rauskommt, einfach mit der Zahl 10 multifizieren?
Es gilt also Grenzwerter einen Folge,
multiziert mit dieser Zahl C. Oder wenn Sie aus diesen beiden
Folgen AN und B in eine neue Folge Bar stellen,
indem Sie die Folgenglieder Pawais addieren.
Also A1 plus B1, A2 plus B2,
A3 plus B3, es gibt Ihnen eine neue Folge,
nämlich die ist so mit der beiden Einzelfolgen.
Und wenn Sie sich jetzt von den Grenzwert dieser Folge interessieren,
dann sagt dieser Satz aus,
wenn AN und BN jeweils einzeln konvergieren,
dann konvergiert auch die Summenfolge.
Und den Grenzwert bekommt sie ganz einfach, indem sie
Die Grenzwerte der Einzelfolgen addieren. Genauso für die Differenz.
Da müssen sie halt dann die Grenzwerte der Einzelfolgen subbrahieren.
Das Ganze gilt auch für die Multiplikation. Wenn sie zwei Folgen haben,
von denen sie wissen, da sie jeweils konvergieren,
dann konvergiert auch das Produkt dieser Bahn folgen.
Und den Grenzwert bekommen sie, indem sie einfach die Grenzwerte
dabei in Einzelfolgen miteinander mulplizieren.
Dann gilt auch, wenn sie hergehen und die vollen Glieder
der einen Folge AN potentieren mit einer Zahl
Dann haben sie solche neue Folgenglieder. Und diese neue Folge hier,
oder hier oben steht sie, diese neue Folge,
wo sie die einzelnen Folgen, die der A in,
hoch einer Zahl C nehmen.
Diese neue Folge konnogiert auch und den Grenzjahr bekommt sie einfach,
indem sie den Grenzwerter Folge A inhernehmen und den hoch 10 nehmen.
Genauso umgekehrt, wenn sie eine konstant die C haben und
jetzt die vollen Glieder, die hoch da sind.
Das ist also gerade die umgekehrte Fragestellung. Hier steht die
Folgen, die Folgen widerstehen hier oben, als Hochzahl.
Und hier ist es quasi die Basis. So,
dann gilt auch, dass sie quasi hier von dieser Folge
den Grenzsatz ganz einfach ausreinen, indem sie C hoch A rechnen.
Also C, hoch dem Grenzwerter Folge
Folge 1. Und zu guter Letzt noch, sie können
zwei Folgen auch dividieren. Er bekommt in eine neue Folge
und der Grenzwert dieser neuen Folge bekommen sie einfach,
an dem sie argital-trope rechnen, also Grinz für der einen Folge,
Gitarre durch den Grinz oder der anderen Folge.
Vorausgesetzt natürlich, dass der Grenzwert der unteren Folge BN nicht null ist,
weil sonst hätten sie unten null stehende Nenner.
Das darf natürlich nicht sein. Also sie müssen hier noch
voraussetzen, dass diese BN hier nicht gegen null konvergieren.
Also am besten sie haben, dass diese BN alle
ungleich null sind
So, und dann gilt Guiden hier diese Ungleichung, die,
denke ich, auch relativ klar sind, wenn sie haben,
dass sie wissen, dass wir die eine Folge,
Folge mit den Folgen Glieder AN,
die folgt wieder immer klein und gleich sind,
als die Folgenglieder auf der anderen Folge BN,
dann gilt diese ungleichen auch für die Grenzwerte,
die bleibt erhalten.
Also wenn die Folgenglieder der Einfolge immer klein und gleichend,
wie die Folgenglieder der anderen Folge,
dann gilt das auch für die Grenzwerte.
Der Grenzwert A ist klein und gleich dem Grenzwert B.
Nur eine Sache müssen sie beachten. Das ist das einzige,
was sie sich morgen müssen an dieser Stelle,
weil ich denke,
das ist relativ
Offensichtlich, dass das gelten muss. Bin, sie haben echte Ungleichheit,
dass die ANs alle echt kleiner sind als die BNs.
Da muss das nicht von den Grenzwert gelten. Da kann sein,
trotzdem noch, dass hier Gleichheit gilt. Wenn Grenzwerten. Da ist A,
der Grenzwerter Folge 1, gleich dem Grenzwerter Folge BN ist,
obwohl jede einzelne, jetzt eine Folgenglied von der Folge AN,
echt klarer ist, als die Folgenglieder der Folge BN.
Und das können sie sich relativ schnell klar machen,
zum Beispiel schauen sie sich mal die Folge an, 0,
0, 0 und so weiter, immer nur null.
Gegen was, gegen welche Teil,
wo diese Folge wohl konvergieren,
gegen null
Nimm du. Klar, in dem Fall ganz einfach,
die konnogiert gegen die Zahl 0, die nimmt nur
die Werte 0 an, also konnogiert auch gegen Detail 0.
So, und jetzt schauen sie sich mal die Folge an, 1 durch N.
Das sind alle Folgenglieder, sind größer als 0,
also 1,5, ein Drittel, ein Viertel und so weiter.
Also paarweise sind die vollen Glieder, der einen Folge echt größer,
als die Folgenglieder der Folge bestehen neues Nullen.
Trotzdem hat auch diese Folge hier eins durch N als Grenzwert
0. Für den Grenzwert gilt das, der auch null ist.
Also gleich dem Grenzwert von der anderen Folge. Also hier sich morgen,
dass hier, obwohl hier echte Ungleichheit gilt,
beim Grenzwert Tor ausgleichheitlich einstellen kann.
Muss nicht so sein,
aber kann sein
So, und dann die letzte Eigenschaft noch. Wenn Sie wissen,
von einer Folge CN, das hier beschränkt ist,
die nimmt nur Werte ein in einem Endlichen in der Wahl.
Die hat einen Wert, also mag die größten Werten und
Gleiselwerte in einem bestimmten Intervall liegt, einem endlichen Intervall.
Und dann haben wir eine weitere Folge, die eine Null-Folge ist.
Was ist das nochmal? Das ist eine Folge,
die gegen Null konvergiert. Denn gilt für das Produkt dieser
beiden Folgen, dass das auch eine Null-Folge ist.
Auch das, denke ich, ist klar,
wenn sie von einer Folge wissen,
dass sie nur endliche Werte einnimmt
Und dann willen sie da das Produkt mit einer anderen Folge,
wo sie wissen, da ist sie gegen nur konvergiert.
Da musst du auch das Produkt gegen null konvergieren.
Weil wenn sie diese vollen Glieder,
die gegen eine endliche Zahl konvergieren, mit einem Zahlen mullizieren,
die immer klein wurde gegen null geht, dann ist klar,
dass diese Produkte auch gegen null konvergieren.
So, und jetzt sagen wir mal, wie man damit rechnet,
dass sie sehen, das ist alles halb so wild.
Wie so oft ist die Theorie,
kompliziert oder auch schwäger als dann das eigentliche Rechnen?
Zum Beispiel
diese Folge hier
Die sieht schon ein bisschen kompliziert aus, als die meisten,
die ich ihnen gezeigt habe. Trotzdem kam er relativ leicht
auf Konvergenz untersuchen. Machen wir das ganze Mal. Also,
wenn Sie diese Folge hätten, jetzt in der Klausuraufgabenstellung ist,
berechnet Sie den Grenzwert, wenn er existiert.
Was machen Sie dann? Dann wäre das Erste, was Sie tun.
Sie schauen, ob Sie da irgendwie etwas kotzen können.
Und was machen wir hier? Ich gehe her und klammere im Zähler
und dem Nenner jeweils Endquadrat aus. Wenn ich das mache,
hier oben im Täler, in Quadrat, also ausklammern,
dann habe ich in der Klammer nur noch stehen,
drei plus zwei durch N,
plus ein zu in Quadrat
Hier steht, eigentlich rein theoretisch noch endquadrat.
Das habe ich aber schon rausgekürzt mit unten. Hier steht
auch normalerweise noch Endquadrat, das habe ich schon rausgekürzt,
weil im Ländern mache ich genau dasselbe.
Ich kürze hier auch, oder ich glaube auch, Nenner in Quadratos.
Dann bekommt sie diese Klammer hier. Und das Endquadrat,
was ich ausgeklammert habe, habe ich schon gekürzt.
Und dann sind sie hier angekommen. Und jetzt sind sie
fast schon fertig. Weil jetzt schauen sie mal, was
passiert. Jetzt können sie doch vom Zähler sich anschauen,
was passiert, wenn N immer größer wird.
Und aufgrund dieser reichen Regel hier können sie sich anschauen,
was passiert mit den einzelnen Sumanten dieser Folge,
die so zusammengesetzt sind, dieser Summe hier.
Sie schauen sich an, was passiert mit dieser Folge hier,
wenn Endgegen und Endig geht. Und was passiert mit der zweiten?
Also hier Bilden Sie mal den Grenzübergang von drei.
Bin N gegen Unendlich geht, da passiert gar nichts,
weil drei hängt ja nicht von N ab.
Da kommt drei, drei, drei, drei, es bleibt immer drei.
Also da kommen drei heraus. Wenn jetzt hier den Grenzübergang
bei der Folge zwei durch N bilden, Enkel ging unendlich,
was passiert, dann geht zwei durch N gegen Null.
Genauso eins durch N-Quadrat. Geht erst recht gegen Null.
Da sind die Nieren ja noch größer, geht noch schneller gegen unendlich.
Also geht eins durch N-Quadrat auch gegen Null.
Also haben sie da, oben eine Summe stehend von Grenzwerden,
drei plus null plus null.
Also der Zähler geht gegen drei. Beim Nenner bekommt sie
mit der gleichen Argumentation, dass der gegen fünf geht
Also kommt da am Schluss raus, drei Fünftel.
Der Grenzwert dieser Folge ist drei Fünftel. Wenn sie die
Party plotten, die Folgenglieder dieser Folge waren sie sehen,
da sie sich tatsächlich gegen 35 leise 0,6 ernährt.
Ja, also das kommt immer drauf an. Erstmal hängt es
von der Folge ab. Und wenn sie es falsch machen,
es bedeutet also nicht die optimale Lösung werden, heißt es jetzt nicht,
dass sie nicht nach dem Schluss das richtige Gelbnishaus bekommen.
Sie müssen dann halt vielleicht an einer Stelle noch ein bisschen
mehr rechnen. Aber ich würde immer so machen,
dass ich den Größten gemeinsamen Faktor ausklammere.
Vom Tele unten hin und den Größten gemeinsam.
Und hier ist es ein Quadrat, deswegen habe ich
ein Quadrat ausgeklammert
Also, man kann es so oder so machen.
Es ist ja nicht zum Beispiel gerade im nächsten Beispiel habe ich
es so gemacht, dass ich nur Endquadrat ausgeklammert habe.
Man hätte aber auch eh einen Hochdreh ausklammern können,
wir hätten genau das gleiche Games bekommen.
Die Argumentation ist dann ein bisschen eine andere. Also hier,
wo zum Beispiel das Endquadrat ausgeklammert. Sie haben diese Folge hier,
das sind ihre Folgenglieder, da sollen sie den Grenzwert berechnen.
Jetzt gehen wir her und klammern im Zähler und dem Länder
in Quadrat aus. Dann bleibt hier noch stehen,
dreimal in, plus 15 Gitator in Quadrat,
vor dieser Klammer würde jetzt wieder Endquadrat stehen und dem Nenner klammere ich auch in Quadrat aus.
Dann stehen diese Klammer 2 plus 33 durch N, 27 durch ein Quadrat.
Und dieses Endquadrat war es außerhalb der Klamobus steht, habe ich gekürzte Stunden.
Das erinnern sie hier gar nicht mehr. So,
und jetzt können sie wieder genau mit der gleichen Argumentation wie
vorher den Grenzwert berechnen. Sie sehen nämlich,
dass hier, das geht gegen unnendlich, dreimal in,
wenn N immer größer wird, das gibt ihnen unendlich.
Und dafür geht gegen null. Also der Zähler geht gegen
Plus unendlich. Und der Nenner geht gegen zwei,
weil das geht gegen null, das geht gegen null, das bleibt Kunststein
2. Also haben sie, Täler geht gegen Plus und endlich,
Nenner geht gegen zwei, was ist das?
Unendlich getan durch zwei, ist unendlich. Geht gegen unendlich
. Also von dieser Folge würde man sagen,
dass sie divergiert
Sie konvergiert nicht gegen eine feste reelle Tal. Sie geht gegen unendlich,
sie divergiert gegen Blues in endlich. Dieses Beispiel völlig analog,
deshalb überspringen wir das hier. Eine andere Art von Beispiel,
wo sie ein bisschen mehr rechnen müssen, dass sie sehen,
also da muss man manchmal auch ein bisschen,
ja, ein geschultes Auge haben,
das vielleicht einmal oder zweimal schon gemacht haben,
dass man sieht, wie man so ein Problem lösen kann.
Zum Beispiel bei dieser Folge hier ist erst einmal nicht klar,
was da rauskommt. Die Folgenglieder hier sich anschauen,
da könnt ihr nicht so ohne weitere sagen,
da kommt das oder das raus
So, da müssen sie schon ein bisschen rechnen.
Und jetzt zeige ich ihnen, wie sie bei solchen Differenzen,
hier haben sie ja eine Differenz von zwei Wurzelausdrücken,
oftmals den Grenzwert ausrechnen können.
Und das war ich im Prinzip auf die Anwendung der binomischen Formeln hinaus.
Was machen wir nämlich? Ich gehe einfach her und multipliziere
hier diese Folgenglieder, hier mit eins,
die sehr in der Zähle und der Nenner, stimmt ja überein.
Das darf ich machen, dadurch verändert sich quasi,
die Folgenglieder verändern sich nicht.
Das hier ist eins dieser Faktor,
weil im Zählen und dem Nenner
Gnade dasselbe steht
Also kann ich das ja einfach hinmultifizieren, aber es hat
einen Vorteil. Weil ich habe das bewusst so gewählt,
dass das quasi das hier ist, was auch hier links steht,
nur dass hier jetzt ein Plus steht.
Also könnte die binomische Formel anwenden. Die dritte binomische Formel,
sie haben hier quasi A, hier haben sie B,
getrennt ist das durch einen Minus und die haben sie auch A, Plus B.
Also was kommt da raus, wenn sie das anwenden?
A, Quadrat-B-Quadrat. Also, wenn sie das ausrennen,
kriegen sie dafür raus, lasst ein Quadrat,
das ist ein Quadrat plus eins, minus das hier im Quadrat,
das ist das hier.
Einfach die Wurzeln gehen da weg
Und der Nenner, da könnt ihr erstmal nichts machen.
Da bleibt einfach so stehen. Jetzt haben sie aber oben einen Täler,
die schöne Situation, dass diese Wurzeln verschwunden sind.
Und jetzt können sie quasi da einiges rauskürzen.
Dieses Endquadrat verschwindet zum Beispiel. Und diese eins und hier,
minus eins, und da steht auch minus davor,
also könnt ihr zusammenfassen, das gibt plus zwei.
Und dann haben sie hier minus zwei in,
und das Ganze nochmal mit minus eins mobiliziert, das gibt plus zwei in.
Also so zieht ihr Zähler jetzt aus. So,
und jetzt gehen sie wieder her und klammern im Zähler In-Out.
Dann bekommen sie diese Klammer hier und davor steht eigentlich noch das N,
aber das steht auch wieder nicht da, weil ich schon gekürzt habe.
Und hier von diesen beiden Wurzeln klammern sie ein Quadrat aus.
Hier innen drin. Endquadratausklammern. Und hier auch,
wenn sie das dann rausziehen, auszuwurzeln oder aus diesem Endquadrat auch ein N.
Und das kann ich quasi mit dem N aus dem Zähle kotzen.
Und dann steht quasi hier unten im Nenner diese Wurzeln hier.
Und jetzt können sie relativ leicht ablesen, was da als Grenzwert rauskommt.
Weil wenn jetzt Endgänge nun endlich geht, säen sie der Zähler,
geht gegen zwei, das geht nämlich gegen null,
dann bleiben nur die zwei stehen.
Und in der Wurzel, hier un, geht das gegen null,
dann steht da Wurzel von eins, es ist eins.
Und hier steht, Zweimal eins durch Ende, das geht also gegen Null hier.
Und minus Einzug in Quadrat geht auch gegen Null.
A, sie steht hier unten nur eins.
Also haben sie hier eins, plus eins,
das ist zwei, im Tele gibt es auch gegen zwei,
also haben sie zwei geteilt durch zwei.
Das Ganze ist gleich eins, was da rauskommt. Gut,
das machen wir noch, bevor sie dann ihre wohlverdiente Pause bekommen.
Ich habe ihnen ja vorher schon gesagt,
Dass diese Folge eins plus eins durch ein und das Ganze
in Klammern hoch eng eine wichtige Folge ist.
Vielleicht die wichtigste überhaupt in der Mathematik.
Und da habe ich Ihnen da dieses Beispiel schon angekämt,
wo nachgewiesen wird, dass diese Folge beschränkt ist.
Nach unten, durch eins und nach oben durch drei,
das wird da ganz explizit ausgereiht in diesem Beispiel.
Das habe ich übersprungen, weil das drei,
vier Folien waren und das gar nicht so einfach ist, das nachzuweisen.
So, also Sie wissen jetzt, diese Folge ist beschränkt. Wenn Sie jetzt noch nachweisen,
dass Sie monoton ist, nämlich monoton wachsend,
Dann wissen Sie, dass diese Folge konvergiert,
weil dieser eine Satz, den ich vorher da hatte,
wo ich sie darauf hingewiesen habe, dass sie die Aussagen so wichtig sind,
das war Teil A hier, der sagt aus,
wenn eine Folge beschränkt ist und sie monoton ist,
also wachsen oder fallen, spielt keine Rolle,
dann ist ja auch konvergent.
Und für diese Folge, wo ich gerade eben da gezeigt habe,
wissen Sie ja schon mal, dass sie beschränkt ist.
Jetzt müssen sie nur noch zeigen, dass sie monoton ist,
in diesem Fall, die ist monoton wachsen,
die Folgenlieder waren immer größer, also muss sie konvergieren.
Und das wird hier in diesem Ergebnis, dass sie angegämmt ist,
wo das bewiesen in diesem Satz, hier,
hier wird bewiesen quasi, dass diese Folge monoton wachsen ist.
Und dann haben sie diese Aussage dieses Satzes,
dass diese Folge konvergiert
Diese Folge konvergiert. Das heißt also, man kann Folgendes tun.
Man kann ihr einen Grenzwert zuweisen. Die konvergiert gegen eine reelle Zahl.
Wir wissen noch nicht, wie diese reelle Zahl aussieht.
Wir wissen nur, dass sie gegen eine realital konvergiert.
Und diese reelle Zahl, die können sie ausrechnen,
wenn sie wollen, zum Beispiel mit Hilfe eines Computers.
Sie rechnen einfach diese vollen Glieder aus und dann wollen sie
sehen, dass sie sich immer mehr einer Zahl ernähren.
Und wenn sie zum Beispiel die ersten 20 Nachkommastellen genau haben möchten,
rechnen sie so viele Folgen wieder aus mit dem Computer,
bis sie säen, dass sich die bis zur 20. Nachkommastelle nichts mehr verändert.
Und wenn sie die ersten 100 wollen,
dann machen sie die halt noch ein bisschen länger oder die
ersten 1000 und so weiter
Also das kann man ausreichen, was da rauskommt mit Hilfe des Computers.
Da ist sie einfach konnogiert. Und deshalb macht es Sinn,
dieser Folge einen Wert zuzuweisen, den man ausreinen kann.
Und man kommt dann zu dieser Definition hier. Man sagt,
der Grenzwert, dieser Folge, dass der mit der Zahl
eh bezeichnet wird, in der Zahl eh.
Und da ist sich die sogenannte eurerische Zahl,
die sie schon aus der Schule kennen.
So ist die eurerische Zahl definiert. Die eurerische Zahl eh
ist definierter als der Grenzwert der Folge 1,
plus 1 durch N in Klammer
hoch in
Und wenn sie das dann ein bisschen ausreihen mithilfe des Taschenrenner,
stellen sie fest, dass zum Beispiel die Zahl so anfängt,
2,7, 1,8, 2, 8,1, 8,2 und so weiter.
Das ist eine irrationale Zahl. Was heißt das nun mal
? irrationale Zahl? Diese Zahl bricht nie ab.
Die ist auch nicht periodisch. Die hat unendlich viele Nachkomma-Stillen,
die sich nicht irgendwie wiederholen in dem Sinne,
dass da irgendeine Gesetzmäßigkeit da ist.
Diese Zahl kann nicht geschrieben werden als Quotienne 2 und Gönze
zahlen. Die bricht nicht ab. Also das bedeutet,
die bricht nicht ab. Und die hat auch keine Periodität
in den Dezimaltalen,
in den Dezimalstillen
Also, so sieht die eurische Zahl eher aus. Morgens ist sich das,
die eurliche Zahl eh ist definiert als Grenzwert dieser Folge.
Und dass so ein Wert hier rauskommt, 2,71,
sollte sich nicht verwundern,
weil sie haben ja in diesem einen Beispiel gesehen,
dass die Folge beschränkt ist, nach unten durch zwei oder eins,
je nachdem, was sie da wollen, also doch beide noch unbeschränkt.
Und nach oben durch drei Jahre, also es muss
eine Zahl sein, die zwischen zwei und drei liegt.
Und die sagt, die Zahl, die da rauskommt,
ist diese hier. Zumindest die ersten 15 oder 20
Nahkommastillen habe ich
ihn angegeben
Gut, und jetzt kann man noch zeigen,
dass man das auch ein bisschen verallgemeinern kann.
Und dann kommen sie sogenannt Echtfinzialfunktionen. Wenn sie hier
anstelle von eins eine betliebige Zahl X-1 einsetzen,
eine relle Zahl X, dann bekommen sie diese Folge hier.
Die unterscheidet sich von dieser hier nur das anstelle von X,
von eins, jetzt X steht.
Und von der Zahl oder von dieser Folge kann man zeigen,
dass sie gegen E hoch X konvergiert.
Setzen sie für X-1 ein, dann sind sie in dieser Welt
hier und dann haben sie diese Folge und die konvergiert gegen E hoch 1, also gegen E.
Aber ganz allgemein gilt, wenn sie zum Beispiel zwei einsetzen hier,
X2, also die Folge haben 1,
plus 2 durch N, das Ganze hochenden, dann korrigiert,
das kann man zeigen dann gegen Ehoch 2.
Und so haben sie dann quasi für alle reellen Zahlen X, Ehoch X definiert.
Das ist quasi das, was sie als Exponentialfunktion schon kennen.
Und die Funktion, Exponentialfunktion ist mit wahrscheinlich auch die wichtigste Funktion,
die es da so gibt. Weil die ganz besondere Eigenschaften hat,
die sie aus der Schule schon kennen,
sie haben gelernt zum Beispiel, da ist die E-Funktion,
die schöne Eigenschaft besitzt,
dass ihre Ableitung mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt.
Man kann zeigen, da ist die E-Funktion bis auf einen Faktor,
die einzige Funktion ist mit dieser Eigenschaft.
Und das hat weitreichende Konsequenzen,
in vielen Anwendungen
Gut, ich habe hier nur noch was angegeben. Also,
wenn sie sich interessieren und wenn sie da ein bisschen nachschauen im Internet,
wann sie feststellen, dachten,
mittlerweile, also in NittleVelle haben ja das Jahr 2012,
wahrscheinlich schon mehr als 200 Milliarden Nachkommastellen der eurischen Zahl berechnet hat,
mit Hilfe des Computers.
Also, sie sehen, man kennt die relativ genau,
die euroische Zahl. Es geht jetzt weiter mit einem Beispiel,
da ist die vor Augen schon einmal angesprochen habe,
nämlich, wie sie mit Hilfe dieser Konzepte,
die sie da jetzt kennengelernt haben,
nämlich Folgen und Konvergenz von Folgen,
zum Beispiel Zinseszinsen ausreichen können
Also wir bedrachen das folgende Beispiel hier.
Also Ausgangssituation ist ähnlich wie in dem einen Beispiel,
das wir ja schon hatten, zu Dozentsisberechnung. Wir haben dort gelernt,
wenn wir ein Kapital K0 haben und wir interessieren uns dafür,
was haben wir denn ein Jahr später, ein Kapital,
bezeichnet hier mit KN, wenn wir P Prozent Zinsen bekommen.
Also P, sage ich zum Beispiel, drei oder vier,
wenn wir drei Prozent Zinsen bekommen, ist P3.
Da würde das bedeuten, dass quasi von Jahr zu Jahr das Kapital,
das ich habe, mit dem Faktor eins plus Pedo 100 mullifiziert wird.
Also zum Beispiel ein Prozentsatz von drei, sodass bedeuten,
von Jahr zu Jahr wird mein Kapital, das ich habe,
mit 1,03 mullifiziert. Dadurch wächst es natürlich ein,
wurde für ein Jahr zu Jahr um drei Prozent größer.
Nun, jetzt ist es aber so,
dass sie zu Recht Anspruch auch haben,
dass sie quasi Zinsen bekommen auf ihre Zinsen
Also, wenn sie quasi zum Beispiel kontinuierlich Geld einzahlen,
eine Bank, Geldgame,
zum Beispiel monatlich oder wöchentlich oder täglich oder wenn sie so wollen,
stündlich, minütlich, dass quasi dieses Geld,
sobald es ja die Bank hat, kann es mit dem Geld wirtschaften,
bekommt Zinsen und sie haben natürlich Anspruch darauf,
dass ihnen diese Zinsen gut geschrieben werden.
Und diese Zinsen sind da, die ja bei der Bank bleiben,
auch wieder selber Zinsen tragen,
auch auf diese Zinsen wieder Tinsen bekommen und so weiter.
Also, dass ich das Ganze aufaddiert.
Und wie kann man
sowas berechnen
Nun, das möchte ich Ihnen jetzt zeigen,
das ist eigentlich relativ einfach. Man möchte also Folgendes haben,
man möchte eine unterjährige Verzindung, nennt man das.
Also nicht nur zum Ende eines vollen Jahres,
sondern zum Beispiel schon nach einem Monat oder nach einer Woche oder nach einem Tag,
nach einer Stunde, nach einer Minute und so weiter.
Also was machen wir? Wir gehen davon aus,
dass quasi mein Zeit in der Wahl in M
gleich lange Teilintervalle unterteilt ist. Das heißt also,
ich habe für meine Periode von null bis n Jahre zum Beispiel
und unterteile ich jedes Jahr in M Teilen der Weile.
Das könnte zum Beispiel Monate sein oder Wochen.
Und dann bekomme ich
folgende Zurlegung
Von null bis ein M wäre das erste Teil in der Wahl,
dann von einem M, eins durch M bis zwei durch M
wäre das zweite Teil in der Wahl und so weiter.
Und dann ganz am Schluss hier komme ich dann auf
die Art und Weise bei N, nach ein Jahren.
Also ich unterteile quasi meine Enjahre jeweils in M Thailand der Valley.
Und dann überlege ich mir,
was bekomme ich dann in einen solchen Teil in der Wahl
an Zinsen und überlege dann im nächsten Schritt, was passiert,
wenn dieses M immer größer wird?
Also wenn ich quasi mein Ja immer feiner zerlege,
nicht nur jeden Monat quasi Zinsen abbrechen ist,
sondern jede Woche jeden Tag, jede Stunde,
jede Minute,
jede Sekunde
Jede hundertstel Sekunde und so weiter. Wenn einem gegen unendlich
geht, das ist genau die Fragestellung. Was passiert da,
wenn ich dann immer quasi in meine Zinse schon gut geschrieben bekomme?
Und das ist quasi das, was eigentlich auch in der Praxis basiert.
Sie bekommen nämlich Zinse Zinsen. Gut geschrieben, auf ihrem
Bankkonto. Also wie kann man das machen? Nun,
das geht wie folgt. Nun, wenn Sie das unterteilen,
das Jahr in einem Teil in der Weile,
dann bekommt sie natürlich in einem solchen Teil in der Wahl nicht nur P-Prozent Zinsen,
sondern auch nur den Entenanteil.
Sie bekommen dann quasi in so einem Teil in der Wahl
P durch M-Prozent Zinsen.
Und dann haben sie Folgendes
Dann gilt für euer Kapital im Zeitpunkt in, nach in Jahren,
wenn die jedes Jahr in M Teil in der Walle unterlegen,
zu teilen, diese Formel hier, die ist relativ simpel aufgebaut,
ist im Prinzip das Analog und zu dem hier,
sie müssen jetzt statt P, P durch M einsetzen,
weil sie natürlich nur den Anteil für dieses Teilen der Wahl ein Zinsel bekommen und sie haben dann ja nicht mehr Enperioden,
sondern sie haben dann ja, weil es ja jedes Jahr unterteilt haben,
in M Teil und der Weile,
in MalM-Teil in der Weile, also in MalM-Perioden,
deswegen ist hier der Index oben nicht mehr in,
sondern in MalM.
So, und jetzt reichen wir aus,
was passiert mit dieser Folge hier,
wenn M
immer größer wird
Zum Beispiel tausend ist so 10.000 oder eine Million.
Das würde ja bedeuten, dass ich meine, Intervall,
mein Jahr immer feiner zu legen, immer mehr teilen in der Walle.
Und da schauen wir mal an, was da passiert.
Gibt es da einen Grenzwert? Konnogiert das gegen irgendeine Zahl
? Und das ist von 10, das ist so.
Gut, und dann wollen wir uns ja absehen,
warum die eurische Zahl so wichtig ist.
Rechnen wir das mal aus, um das,
ein bisschen effizienter schreiben zu können, führe ich ein paar Abkürzungen ein.
Ich nenne diese Zahl hier 100 mal M, geteilt durch P,
bezeichne ich als K. Und wenn sie das dann umformen,
dann ist M nichts anderes als K, mal P geteilte Hunde.
Das ist einfach ungeformt hier. Also K,
definiere ich so. Und dann formt sie das um
Lösen sie es nach ihrem Augen, bekommt sie das hier.
Und jetzt setze ich das mal da ein,
also das ist hier nur abgeschrieben, das ist diese Formel hier,
die möchte ich ausrechnen, den Grenzwert.
Wenn M gegen du in endlich geht. Jetzt setze ich
hier quasi ein, wenn sie das sich anschauen,
ist das nichts anderes als der Kehrwert von K,
also kann ich hier schreiben, eins durch K,
von diesem Ausdruck hier.
Und das M hier habe ich dann gesehen,
das ist nichts anderes als K, mal P,
geteilt durch 100, das setze ich hier ein,
dann sind sie hier angekommen.
Einfach eingesetzt. Dann, der nächste Schritt ist zu sagen,
okay, rechnen mit Potenzen.
Ich darf hier,
das hier
Dieses P mal Pilgetat durch 100 darf ich auch hochziehen.
Ich darf das quasi in diese Hochzeit hier schreiben.
Das liegt daran. Rechnen gesetzlich vor Potenzen aus der Schule
, wenn sie eine Zahl ickt haben. Hoch einer Zahl
auch. Und das Ganze noch einmal hoch P nehmen.
Es wird nichts anderes als x hoch P mal auch.
Oder wenn sie so wollen, x hoch,
oh mal P, die Reihenfolge spielt da keine Rolle.
Oder wir ihn auch schreiben können, x hoch,
P und das Ganze hoch auch.
Es kommt immer das Gleiche raus. Deswegen kann ich
das hier so schreiben,
hier angegeben
So, und jetzt, warum habe ich das gemacht?
Sehr ensy folgendes, hier innen drin, in der Klammer.
Steht etwas, das erinnert sich doch schon an diese Folge von
der eurischen Zahl eh. Hier. Wenn wir jetzt Folgendes machen,
wenn wir jetzt uns vorstellen, dass wir immer mehr Intervalley M haben,
also die Unterteilung immer feiner wird, also M gegen unendlich geht,
was passiert dann, wenn M gegen unendlich geht?
Hier, dann geht auch K gegen unendlich,
schauen Sie sich mal den Zusammenhang zwischen K und eben an,
wenn M gegen unendlich geht, dann geht auch K gegen unendlich.
Also, wenn ich es gleichbedeutend sage, ich mache immer feinere Intervalle,
dann bedeutet das oder ist das Äquivalent dazu zu sagen,
K geht gegen unendlich.
Also schaue ich mir an, was passiert,
wenn K gegen unendlich geht mit diesem Ausdruck hier.
Als ich rechne das jetzt aus. Als erstes mal lasse
ich eben gegen unendlich gehen. Sie wollen gleich sehen,
dann mache ich den Übergang zu K.
Hier lasse ich eben gegen unendlich gehen, das heißt,
ich setze das hier ein, was ich da habe.
Das habe ich aber so umgeformt, da kommt das hier raus.
Das setze ich hier ein, da sind wir hier.
Dann habe ich das hier umgeformt, was habe ich hier gemacht?
Ja, ich habe das K0 rausgezogen, diesen Faktor,
den durften sie rausziehen. Das ist ja auch eins dieser Rechengesetze,
dass ich ihnen vorher gezeigt habe,
ist noch eine Konstante, die könnte rausziehen.
Also sie vor die Lime schreiben, vor den Grenzübergang.
Und jetzt im Gegen unendliches Äquivalent dazu, dass K-Ging unendlich geht.
Das ist das, was sie vorher gesagt haben,
hier aufgrund dieses Zusammenhangs. Also könnte ja auch K-Ging
unendlich gehen lassen, dann kommt es gleich raus.
Und jetzt zählen sie, dass hier, da ist innen drin,
gegen eh konvogiert, gegen die eurische Zahl eh.
Und deshalb kommt das hier raus. Dieser Ausdruck hier.
Wenn sie also wissen möchten, wie viel Geld die haben nach Njahren,
wenn ihr Geld immer sofort verzinst wird,
man sagt stetig vor Zins und kontinuierlich verzinselt,
In dem Moment, wo es da ist. Und dann in dem Moment,
wo sofort da auch die Zintinnen fallen, die wieder verzinst werden und so weiter.
Wenn sie diese Zinszinseffekte berücksichtigen möchten, dann gehen sie einfach her,
multiplizieren ihr Stadtkapital K0 mit E hoch in Malpe,
ähnlich die Anzahl der Jahre, P ist doch der Satz,
den sie bekommen, zum Beispiel drei,
wenn sie drei Prozent bekommen und das Ganze geteilt durch hunderte um.
Und dann könnt ihr es ausrechnen. Wenn sie da mal rechnen,
wenn sie feststellen, wie stark dieser Zinszinseffekt ist.
Wenn sie zum Beispiel vor 2012 Jahren, also du kriegst die Geburt,
einen Cent eingelegt hätten, einen Cent nur,
das ist ja nicht viel Geld und hätten den auf der Bank gelassen.
Nicht abgehoben,
2012 Jahre
Und hätten das Ganze verzinst zu, sagen wir, 5 Prozent. Mittlerweile wäre das viel,
so viel kriegen sie eigentlich bei Festo zinslich in Anlagen,
nicht nur so einfach,
aber vor ein paar Jahren wäre das noch relativ wenig gewesen,
da war auch deutlich mehr drin.
Also 5, denke ich, sind ein relativ guter Durchschnittswert für die letzten Jahre.
Wie die das machen und das mal ausreichen,
mit dieser Formel, mal mit dem Taschenrechner, N,
setzen sie 2012 ein, 4P, setzen sie 5 ein,
5 Prozent, dann kriegen sie, glaube ich,
in die Zahl mit 41 Stillen.
Mit 41 Stillen sind sie 1 Cent angelegt, sind vor 2012 Jahren.
Mist, dass das niemand für sie gemacht hat.
Wenn sie mit einem Prozent rechnen, mit einem Prozent,
Das ist natürlich fast nichts. Und dann vor 212 Jahren,
du kriegst die Geburt ein Cent angelegt hätten,
dann hätten sie, glaube ich, jetzt um die 5 Millionen.
Nicht nur ganz so viel wie eine Zahl mit 41 Stellen,
beträchtlich weniger, aber immerhin.
Also sie sehen, diese Zinseszinseffekte sind wahnsinnig stark.
Weil sich diese Zinsen, die sie bekommen,
immer mehr aufartieren und auch wieder verzinst werden und so weiter.
Hier noch so ein Beispiel mit konkreten Zahlen.
Also da habe ich jetzt nicht N2012 gewählt, sondern da
habe ich endlich 20 gewählt und da ein bisschen gerechnet.
Das können Sie sich mal anschauen. Das ist relativ simpel
Gut, kommt ihr zu Reihen. Ah, ich müssen
Sie da gar nichts Neues lernen. Das eigentlich stört sie
wahrscheinlich. Und die Folien, die ich habe.
Warum müssen Sie da eigentlich eigentlich nichts Neues lernen?
Nun, Reihen sind nichts anderes als Folgen.
Spezielle Folgen. Aber im Prinzip sind nichts anderes als Folgen.
Sie können all das, was wir gemacht haben,
deshalb auch auf Reihen übertragen
Trotzdem waren sie Serien, gibt es da das eine oder andere,
was man noch neu lernen kann und was wir auch brauchen.
Warum sind Reihen so wichtig? Zum Beispiel brauchen sie Reihen dann,
wenn wir uns damit beschäftigen, wie man das integral,
integral definiert. Dann zum Beispiel waren sie später feststellen,
dass viele Funktionen, die sie aus der Schule herrschen,
erkennen, am besten untersucht werden können,
also die Eigenschaften am besten analysiert werden können,
wenn man die sogenannte Reihendarstellung wählt, als unenthiereise darstellt.
Sie waren dann zum Beispiel sehr hinter,
dass man den Zinus, den Cosnus,
die E-Funktion und so weiter als unendliche Reihe darstellt und nur mit
dieser reinen Darstellung ist man eigentlich überhaupt in der Lage,
diese Funktion vollständig zu verstehen
Und dann ist es keine Black Box mehr,
sondern dann kann man daraus sofort die Eigenschaften ableihen.
Oder sie brauchen uns bei sogenannten Differenzen und Differenzialgleichungen,
je nachdem, welche Vorleistung sie dann hören,
wo das dann ein Thema sei.
Also reinspülen in verschiedenen Bereichen eine große Rolle.
Das zur Motivation. Gut, jetzt zur Definition.
Was ist eine Reihe? Sie haben eine Folge,
bezeichnet wieder mit AN eine ganz beliebige Folge.
Und jetzt könnt ihr hergehen,
hergehen und können diese vollen Lieder sukzessive addieren
Ah, also sie können diese sogenannten Partialsummen hier bilden,
bezahlen mit S in.
S-N ist die Partialsumme von A0 bis A in,
da wurde also A0 bis A1 und so weiter, bis A in addiert.
Zum Beispiel wäre also S-0 gleich A0. S-1 ist A-0 plus
A1. S-2 ist A-0 bis A-1 plus A2 und so weiter.
So bekommen sie dann quasi eine Folge von Summen.
Diese S-N zusammen bilden also eine Folge und diese Folge wurde A3,
oder wenn sie so wollen,
auch manchmal auch als unendliche Reihe bezeichnet
Und wenn die Folge einen Grenzwert besitzt,
also wenn SN einen Grenzwert besitzt, setzen sie für SN die Summendarstellung ein,
also wenn diese Summe hier einen Grenzwert besitzt,
wenn N gegen und endlich geht, da eine feste reelle Zahl rauskommt,
dann schreibt man oft auch dieses Symbol und sagt, die Reihe konvergiert.
Dieses Symbol, also da dürfen sie nicht ganz so streng sein,
das wollte ich auch öfters benutzen, obwohl eigentlich noch gar nicht feststellt,
ob die Reihe konvergiert oder nicht,
das waren sie auch in Büchern zu sein,
man nimmt dieses Symbol oftmals auch für rein,
wo eigentlich keine endliche Zahl rauskommt, sondern unendlich,
oder wo vielleicht gar keine,
wo ostselliert,
wo die Reihe quasi Werte einnimmt
Also hin und her rscht man zwischen verschiedenen Werten.
Das wollen sie jetzt gleich sehen, was ich damit meine.
Also da geht man relativ großzügig um mit diesem Typol.
Also was ist eine Reihe? Sie nehmen die Folge her und addieren sukzessive
diese Folgenglieder. Bilden diese Parzaalsummen und die Folge der Parzaalsummen,
das ist dann die Reihe. Also S-0 ist A-0,
S-1 ist A-0 bis A-1 und so weiter und so
bekommt sie diese Parzaalsummen und die Parzaalsummen bilden ihre Reihe.
Diese Reihen sind gar nicht so einfach und ich werde ihn,
also das hört sich jetzt sehr gewagt an und das meinen,
dürfen die das nicht wörtlich nehmen.
Ich werde ihnen
einen Gottesbeweis damit liefern
Also der ist nicht von mir, sondern man hat im Mittelalter dann gedacht,
dass da eigentlich ein Beweis und die Existenz Gott ist.
Das Problem ist nur mit diesem Beweis,
dass der auf falschen Annahmen beruht, wenn man quasi gedacht hat,
man könnte mit reinrechnen, wie mit endlichen Summen.
Und dann hat man die Gewöhnlichen und Rechengesetze angeweint und hat dann gezeigt,
auf gewisse Art und Weise, dass alles aus Nichts entstehen kann.
Und dann hat man gesagt, dann ist es aber nur möglich,
dass Gott quasi aus dem Nichts die Welt erschaffen hat,
also muss Gott leben und so weiter.
Das war irgendwie so die Argumentationskette. Sie waren aber gleich sehr an,
worum das Problem oder wo da das Problem liegt.
Und ich wollte Ihnen dann auch dieses Beispiel,
das wollen wir gleich bekommen, mit Zehen, also von Zehen,
das Rennen zwischen Achilles und der Schulkröte, das sie vielleicht kennen,
wo quasi Achilles war da, schnell still läuft oder Antike.
Und der hat ein Wettrennen gemacht gegen eine Schildkröte.
Und da waren sie dann zähnen, wie man da entsprechend argumentiert.
Da kann man sehr schlüssig argumentieren, dass es eigentlich nicht
möglich ist, dass zehn nun diese Schildkröte jemals einholt.
Aber sie wissen aus ihrer eigenen Anschauung heraus,
wenn sie schneller sind als eine Schildkröte,
und davon gehe ich aus, dass sie die immer einholen.
Oder wenn sie schneller sind als sie auch bekannter,
den sie da einholen möchten, weil er vielleicht irgendwie was vergessen hat,
dann werden sie den auch einholen in endlicher Zeit und so weiter.
Aber sie wollen jetzt gleich sehen, wie wir da entsprechend argumentieren.
Und sie waren wahrscheinlich den Fehler nicht erkennen, dass man dann
das Gefühl hat, nein, das ist nicht möglich.
Man kann die Person, wenn die von rausläuft,
auch wenn man schneller ist,
nie einholen
Und das Problem ist, den Fehler, den man da macht,
der beruht darauf, dass man quasi nun nicht so weiß,
so richtig, wie man eigentlich mit Reihen umzugehen hat.
Dass man da Dinge tut, unbewusst,
das mag man gar nicht, die eigentlich falsch sind.
Das sollte ich ihnen gleich zeigen, was du mit gemeint hast.
Und aufgrund dieser scheinbaren Widersprüche hat dann der bekannte Mathematiker Nils Henrik Abel,
ist nicht der alt geworden, nur 37 Jahre,
aber hat das Potenzial gehabt, einer der größten Mathematiker,
Alozaien zu werden, ist auch einer der Größten,
aber hätte noch viel mehr Potenzial gehabt,
von diesen Reihen gesagt, dass die Teufelswolk sind,
weil die relativ schnell zu ganz kuriosen Erkenntnissen führen.
Das ist möglich, aber nur dann,
wenn man falsche Schlussfolgerung zieht
Und was falsch ist und was nicht falsch ist,
dass wir in Zelon diese Vorlesung,
und die Ergebnisse sind relativ neu für die Mathematik.
Auch nur 150 bis 200 Jahre alt. Also die Dinge, die sie da lohnen,
die haben Mathematiker zum Teil vor 200 Jahren noch nicht gewusst.
Und deshalb haben die diese Fälle gemacht und gedacht,
mit rein, das ist ja, da ist ja alles möglich,
das macht ja alles gar keinen Sinn und so weiter,
das ist das Teufelszeug.
Ich kehre ihnen da meine erste Kursprobe. Schauen Sie sich mal diese Reihe an,
da geht man her und nimmt die Zahl minus eins
hoch ein und zu mir da ist dann sukzessive auf.
Zum Beispiel, wenn ich null ist, minus 1 hoch 0
gibt 1. Deswegen haben sie da als erste, ersten Zumanden
1. Wenn sie dann für i1 einsetzen,
haben sie minus 1 hoch 1, es gibt minus 1.
Also ist die nächste Teil minus 1. Wenn ich 2 weiß,
hier der Laufindex, dann haben sie minus 1 hoch 2,
das ist wieder eins und so weiter.
Sie bekommen quasi hier so abwechselnd 1, minus 1,
1, minus 1 und so weiter.
So, was kommt da raus als Zahl? Was ist
diese Summe? Was kommt da raus? Weißt du,
euch davon wert zuordnen? Und da war es dann in der Vergangenheit so,
also im Mittelalter, vor ein paar hundert Jahren,
dass man abwechselnd gesagt hat und mit guter Begründung jeweils,
also die eine Sorte von Mathematikern oder Wissenschaften und dann gesagt,
da kommt null heraus und die anderen haben gesagt,
da kommt eins raus
Man kann auch nur andere Begründungen finden, dass das
eine Zahl zwischen 0 und 1 ist und so weiter.
Ich habe ihnen aber nur mal die zwei hier ausgewählt,
wie man da argumentieren könnte. Zum Beispiel,
wenn sie sagen, da kommt null raus,
könnten sie befolgt argumentieren, sie könnten sagen, okay,
ich gehe einfach her und fahre sie immer zwei nacheinander, folgende Reihenglieder zusammen.
Eins und minus eins, eins und minus eins,
alte minus eins, die addieren sich doch immer zu null auf.
Also bekomme ich null bis null bis null bis null
bis null, da kommt null heraus.
Gut, also null ist das Ergebnis, hört sich plausibel an.
Der Nächste könnt ihr aber jetzt herkommen und sagen,
nun, ich mache das so,
ich lasse die erste einstehen und fasse dann quasi das immer zusammen,
paarweise minus eins und eins,
minus eins und eins und so weiter, also habe ich eins,
plus null, plus null,
plus null,
da kommt eins heraus
Was ist jetzt richtig? 1 oder 0? So,
und damit wurde dann, also, die gleiche Idee,
oder der gleiche Fehler, muss man sagen, liegt dann Gottesbewältigen zugrunde.
Also, man hat dann eine Mittelart wie vollt argumentiert.
Zum Beispiel hat gesagt, null ist doch das Gleiche wie null,
bis null, bis null, bis null,
also so, und so weiter. Aber null jeweils,
es tut das Gleiche wie 1, minus 1,
also ich ersetze hier die 0 durch 1, minus 1,
diese 0 auch durch 1, minus 1 und so weiter,
dann bin ich in die so.
Gleichung hier in dieser Zeile sind sie nur einverstanden.
Jetzt gehe ich her und klammere hier einfach ein bisschen anders,
also ich fasse hier die minus 1 und die 1 zusammen,
diese minus 1 mit dieser 1 und so weiter,
dann bekommt sie hier das
Und dann haben sie auch hier wieder,
also mein Beamer oder hier mein Pointer, versagt langsam,
hier steht eins, dann null, plus null und so weiter.
Also da kommt dann eins heraus. Und jetzt haben sie
die folgende Gleichung, null, gleich eins.
Null gleich eins. Wir haben offensichtlich, also ich weiß nicht,
vielleicht Sancies, du eigentlich nur Dinge gemacht,
die eigentlich plausibel und schlüssig sind.
Unser Geiles ist nur gleich eins. Jetzt war die Argumentation,
wenn das möglich ist, und das scheint ja möglich zu sein,
das waren alles logisch richtige Schlüsse, angeblich.
Also ist es doch auch möglich,
dass Gott die Welt aus nichts erschaffen hat.
Wenn es möglich ist,
aus 0-1
zu schaffen
Weil dann mit der gleichen Argumentation können sie
aus 0 auch 2 erschaffen und 3 und so weiter.
Und dann ist der nächste Schritt zu sagen,
ich kann ja eigentlich alles aus Nuller schaffen.
Also aus nichts, die komplette Welt. Was ist hier
der Fehler? Nur der Fair ist ja simpel.
Hier wird mit diesen Reihen gerechnet wie mit endlichen Summen.
Ich bin nämlich hier davon ausgegangen und auch hier oben,
wo ich einmal eins und einmal null bekommen habe,
dass ich beliebig klammern darf.
Ich habe hier nämlich einfach gesagt, hier zum Beispiel,
ich klammere mal so und dann klammere ich mal so.
Und von Summen sind sie gewohnt, dass das erlaubt ist.
Assoziativgesetz, Summation des Adierens, die dürfen Klammern beliebig setzen
Aber wenn sie sich diese Definition immer anschauen, diese Gesetze,
da haben sie immer zwei, drei Summenten. A,
bloß, also dann haben sie dann hier,
wir haben das ja auch im Skript, Mathe 1,
dann steht dann so da, dass A, Blues B,
Plus C, und da hier Klammer, um A,
B, das Gleiche ist VR, Blues Glamm auf,
B, plus C und haben das Ganze assoziativ gesetzt,
das Summation genannt.
Das ist da auch richtig, aber ich habe hier
nur drei Summenten. Endlich viele Summenten,
wenn ich unendlich viele habe, wie bei einer unendlichen Reihe,
dann darf ich diese Retten,
Rechengesetze nicht mehr
so einfach anminden
Die Frage, gibt es Reihen, wo ich noch so rechnen darf?
Mit diesen Rechengesetzen von endlichen Zoomen? Oder gilt das
so alle? Und die Antwort lautet, ja,
es gibt rein, das sind sogenannte absolut konnogente Reihen,
da dürfen sie so rechnen, sie dürfen beliebig klammern und so weiter.
Da haben sie diese Probleme nicht. Aber bei allen anderen
dürfen sie es nicht. Da kringen sie ganz komische Resultate
raus. Gut, also das mal als erste Vorwarnung.
Aber wir waren uns mit relativ harmlosen Folgen beschäftigen.
Also die Folgen, die folgen. Die Reihen,
die sie so haben,
waren zum großen Teil hier in dieser Vorleistung und so weiter,
die haben die schöne Eigenschaft,
dass sie mit denen so rechnen können wie mit endlichen Zoomen.
Aber das gilt nicht für jede Reihe
Kommen wir mal zu den Begriffen, arithmetische und geometrische Reihe.
Was ist das? Nun, das sind spezielle Reihen,
wo sie einfach die arithmetische Folge hernehmen,
beziehungsweise die geometrische Folge und die folgendlieder aufaddieren.
Und dann bekommen sie die quasi zugehörigen Reihen.
Und die eine Reihe heißt dann halt arithmetische Reihen,
die andere geometrische Reihe. Also, die Technition lautet wie folgt.
Sie haben eine arithmetische Folge. Das heißt,
wie du dir die Definition einer Art menschen Folge,
wenn sie das vergleichen, und wenn sie dann hergehen,
und sie bilden die zugehörige Reihe.
Sie bilden einfach die Partialsummen,
so wie hier angekehrter Definition
Dann ist diese entstehende Folge die sogenannte arethmedische Reihe.
Sie können genau das Gleiche auch machen für die geometrische Folge.
Und diese Folgenglieder hernehmen eine Reihe Böhnen, dann haben sie
die sogenannte geometrische Reihe. Und diese beiden Reihen sind deswegen
so interessant, weil sie in den Notschauswissenschaften ständig vorkommen,
vor allem die geometrische Reihe kommt ständig vor.
Auch zum Beispiel wieder der Finanzmarkt, Mathematik und Finanzwirtschaft,
aber auch in anderen Bereichen.
Und das weitere Schöne ist noch, man kann den Grenzwert,
die Zahl gegen den, diese Reihe konnogiert,
sehr einfach ausrechnen.
Was bei den meisten Reihen nicht
so einfach ist
Also selbst dann, wenn eine Reihe ging,
ein Fest die Zahl konvergiert gegen eine endliche Zahl,
ist es in den allermeisten Fällen sehr schwierig, diesen Grenzwert auszurechnen.
Sie werden von uns keine Übungsaufgaben bekommen, auch keine Globushofgaben,
wo sie da diesen Grenzwert explizit berechnen müssen.
Sie müssen maximal sich mal überlegen, konvergiert diese Reihe oder nicht?
Aber wir wollen sie nicht fragen, gegen welchen Wert?
Höchstens, es ist nicht aratmetisch oder eine geometrische Reihe,
weil da geht es sehr einfach,
weil sie bekommen auch gleich die Formen,
wie man das ausrechnen kann.
Also es gilt zum Beispiel dieser Satz hier,
wir sind ja eine aratmetische Folge haben und dann
die zugehörige aratmetische Reihe bilden,
dann gilt für die Endepartialsumme
diese Darstellung
Das heißt also, sie nehmen einfach das erste Vollglied der argnetischen Folge her. Und dann,
die ist einfach die Differenz zwischen zwei hintereinander folgenden Folgenglieder,
mulvifizieren das mit der Zahl N, dividieren das durch zwei und multifizieren
das Ganze mit dem Faktor Embrus 1. Und dann bekommt ihr als Zahl die Entepartialsumme.
So sieht das aus. Und dann können sie ja auch
relativ schnell überlegen, wann diese Folge hier konvogiert,
wann konvogiert SN gegen eine endliche Zahl,
wenn N immer größer wird, das sieht man sehr schnell.
Das kann nur dann gelten, wenn A 0 und D
0 beide gleich null sind. Weil wenn hier etwas steht,
war es nicht null ist, hier in dieser Klammer,
dann wurde ihnen das Ganze abhauen,
weil ja N gegen unendlich geht
Wir sagen A, null und die müssen jeweils null sein,
nur dann kann diese arragmetische Folge konnogieren.
In allen anderen Fällen divergiert sie. Für die geometrische Reihe bekommt sie
ein ähnliches Ergebnis. Wenn sie eine geometrische Folge hernehmen und bilden die Zugehörigerei,
dann gilt für die Entepatialsumme diese Darstellung,
ist Kuh ungleiche eins, dann bekommt sie das,
die Entepatialsumme durch die obere Zeile und ist Kugleich eins,
dann durch die Untere.
Den Beweis habe ich ihn hier angegeben jeweils,
das sind anderthalb Folien, das sieht jetzt schlimmer aus,
als es ist,
das ist einfach ausrechnen
Gut, und vor allem jetzt die letzte Formel hier,
da waren sie Serien, die waren mir sehr oft benutzt.
Deswegen steht die auch hier, weil ich bei bestimmten Ergäbnissen dann,
oder nicht beweisen habe, wenn die irgendwas ausrechnen, oftmals quasi,
dass auf eine geometrische Reihe zurückführen und dann quasi hier diesen Grenzwert benötige.
Auch dieses Beispiel mit Achilles und der Schulkröte, das wir gleich besprechen werden,
benötige ich dieses Ergebnis. Aber erstmal noch ein anderes Beispiel,
dass sie Serien, wie man das Ganze anwenden kann,
in den Wirtschaftswissenschaften ist ein sehr simples Beispiel, aber dass sie sehen,
wie schnell man da auf arythmetische Reihen oder geometrisch reinstößt,
Die betrachten uns mal ein Unternehmen,
das aktuell 100 Einheiten eines Produktes produziert.
Und es beabsichtigt in den kommenden Jahren seine Produktionsmenge von
20 Einheiten pro Jahr zu erhöhen.
Und jetzt möchte die Geschäftsführung wissen, wie viele Jahre dauert es,
bis ein jährliches Produktionsniveau von 300 Produkten erreicht ist.
Und B, wie hoch ist die Gesternproduktion in den kommenden 20 Jahren?
Also die Annahme ist, wir produzieren aktuell 100 Einheiten und wir
wissen, pro Jahr kommen 20 Einheiten dazu.
Also im nächsten Jahr sind schon 120,
dann im übernächsten Jahr 140
und so weiter
Produktionsmenge steigt von Jahr zu Jahr, um eine fechte Zahl,
nämlich 20. Und das ist eine arathmetische Folge dann,
die da zugrunde liegt. Weil arathmetische Folge hat die Eigenschaft,
dass die Differenz zwischen zwei hintereinander folgenden Folgen während konstant ist.
Und das ist hier 20, die Differenz,
der Produktionsmenge von Yards war, ist immer 20. So,
wenn ich jetzt ausreihen möchte oder berechnen möchte,
die Fragestellung A, wie viele Jahre dauert es,
bis ein jährliches Produktionsniveau von 300 Produkten erreicht ist,
dann muss ich folgende Gleichung lösen.
Am Anfang habe ich schon 100. Und jetzt kommt jedes Jahr
20 dazu. Also, ich frage mich,
wann gilt das 100 plus 20, mal endlich 300 ist?
Also, wie viele Jahre dauert es,
bis hier dann mein Produktionsniveau 300 erreicht hat pro Jahr?
Lösen Sie das Ganze nach N auf,
dann kommt 10 raus
Dann haben sie schon A gelöst. Dann die Fragestellung B,
wie hoch ist die Gesamtproduktion in den kommenden 20 Jahren?
Das heißt also, wenn ich das,
was ich produziert habe, im ersten Jahr addiere mit dem,
was ich im zweiten Jahr produziert habe und so weiter,
in den ersten 20 Jahren, wann hat das,
oder wie hoch ist diese Gesamtproduktion nach 20 Jahren?
Also ich muss quasi die Partialsumme zum Index 20 berechnen.
Die Summe der Produktionsmengen der ersten 20 Jahre. Ich muss also hier
das aufaddieren. Und da können wir Und die wollen,
wir können es zerlegen hier, in zwei einzelne Summen.
Wir sind ja noch ähnliche Zoom, das hängt auch wie das Wahnsinn,
keine Reihen in dem Sinne, dass hier der Index unendlich ist.
Ich habe hier nur endlich viele Summen, könnt ihr das aufsparen,
dann sieht das so aus. Und wenn sie jetzt ausreichen,
100 addieren sie von eh gleich 0 bis 20 auf,
die sahen, 100 hängt gar nicht von ihr ab, dann assi,
sie addieren immer 100, 100, 100 und so weiter.
Für jedes eh einmal. Sie haben aber 21 East,
nämlich eh läuft von 0 bis 20,
also haben sie 21 mal 100, das gibt 2100.
Und hier das können sie ausrechnen, da haben sie eine Formel,
das haben wir klein noch Ghost genannt, letztes Semester.
Wenn sie die ersten natürlichen Zahlen addieren möchten,
dann ist das die Formel N plus 1, mal in plus 2 geteilt.
Nee, die ersten eh natürlichen Zahlen ist die Formel N,
mal N plus 1, geteilt durch 2.
Die haben auch bewiesen mit vollständigen Induktionen.
Und das ist genau das für diese Summe hier,
ist die Summe der ersten 20 Zahlen. Und da kommt raus dann,
N plus, also 20 plus 1 ist 21,
mal 20 Gitato 2. Schauen Sie einfach mal ein Skript von Marty 1,
dann kriegen Sie das hier raus.
Und wenn Sie das jetzt addieren, kommt text 1300,
ich weiß jetzt nicht, worum ich dann ungefähr Zeichen habe,
also das ist schon das exakte Erkebnis.
Dieses ungefähr können Sie zugleich machen. Gut,
das war für die arithmetische Reihe. Das macht das Ganze
für die geometrische
Die atmetische Reihe ist nicht so wirklichkeitsnah.
Weil in der Regel wird es nicht so sein,
dass für ein Jahr zu Jahr die Produktionsmenge um eine feste Zahl ansteckt,
um eine absolute Zahl.
Sondern es wird eher so sein, dass es um einen bestimmten Faktor ansteckt.
Und dann kommen sie zu einer geometrischen Reihe oder zu einer geometrischen Folge erst einmal.
Also, das Unternehmen des Beispiels zuvor produziert wird aktuell 100 Einheiten.
Und es beabsichtigt nun in den kommenden Jahren eine Produktionsmenge,
um 10 Prozent pro Jahr zu erhöhen.
Das ist eher das, was in der Praxis sogar haben.
Und jetzt möchte die Geschäftsführung wieder diese beiden Fragestellungen von AM,
beantwortet haben, wie viele Jahre dauert es,
bis ein Produktionsniveau von 300 Produkten erreicht ist.
Und wie hoch ist die Gesamtproduktion in den kommenden 20 Jahren?
Also, erst die Fragestellung bedeutet, wann gilt,
dass 100 mal 1,1 hoch N gleich 300 ist,
weil die Produktionsmenge höht sich ja von Jahr zu Jahr um 10 Prozent.
Das heißt also, nach einem Jahr habe ich nicht mehr 100,
sondern 100 mal 1,1, dann nochmal ein Jahr später
das Ganze nochmal 1,1 und dann nochmal ein Jahr später und nochmal 1,1.
Also nach innen Jahren hätte ich dann
100 mal 1,1 hoch in. Und wann ist das hier
das erste Mal 300
Diese gleichen muss ich lösen. Das einzige Problem,
aber das ist kein größtes Problem, ist, dass jetzt hier die Variable,
die mich interessiert, nämlich N, als Hochteil auftaucht.
Wie bekomme ich die jetzt heraus? Nun,
der erste Schritt ist, ich dividiere beide Seiten hier durch 100,
dann steht hier links 1,1 hoch N und auf der rechten Seite
steht 3. Und jetzt wählen sie den Loga Rhythmus an,
weil der Loga Rhythmus hat die schöne Eigenschaft, dass sie damit Hochzahlen runterbekommt.
Also rechnen mit Loga Rhythmen, da gibt es drei Gesetze,
die haben sie, glaube ich, letztes Semester schon kennengelernt,
aber steht, glaube ich, auch hier irgendwo noch einmal.
Also das Ergebnis, oder das Rechengesetz,
das wir hier zu benötigen, ist das folgende,
wen sie haben, den LN,
ein Notal,
X,
Und ich gehe davon aus, dass es X-Roch auch größer ist als 0,
weil sonst wäre der LN gar nicht dafür definiert. So,
wenn sie das haben, dann ist das das Gleiche wie,
oh, mal LN von X. Das heißt auch,
sie dürfen diese Hochzahl hier vornehmen, vorziehen,
aus dem LN heraus.
Und das ist genau das, was wir hier haben.
Ich habe ja hier, da hatte ich 1,1,
hoch N, gleich 3 lösen möchte.
Und diese Zahl, ihnen interessiert mich, jetzt gehe ich her.
Und wenn die auf beiden Seiten den L-Innern,
dann haben sie hier L-In,
von 1,1 hoch in und auf der rechten Seite muss ich natürlich auch den L-In anwenden.
Und jetzt dürfen sie diese Zahl in,
gemäß diesem Gesetz hier,
So, und diese Gleichung sieht schon viel angenehmer aus.
Jetzt kennt sie nämlich einfach her und dvidieren beide sein durch
den L-In von 1,1. Und dann steht da,
N ist gleich L-In von 3, gitarr durch L-In von 1,1.
Und das käme sie den Taschenrechner ein,
sie könnten L-In von 3 ausrechnen, den L-In von 1,1,
dividieren das und dann bekommen sie vor Ende Zahl.
Und das ist in diesem Fall hier 11,5267. Das ist jetzt
keine ganze Zahl mehr. Also nach 11,5267, das ist
jetzt keine ganze Zahl mehr. Also nach 11,52 Jahren ungefähr
hat man das erste Mal ein Produktionsniveau von 300 erreicht.
Und danach liegt man drüber
So, und wenn Sie die zweite Fragestellung beantworten möchten,
nämlich, wie viel in den ersten 20 Jahren produziert wird,
müssen Sie wieder hergehen und müssen quasi das Ganze aufaddieren.
Das ist, glaube ich, die falsche Form, falsche Folie. Ja. Also,
wir müssen hergehen und müssen diese Produktionsmengen für die einzelnen Jahre alle aufaddieren,
von eh gleich 0 bis 20. Und dann können Sie diese 100 hier rausziehen,
jetzt müssen Sie das hier ausreichen und jetzt sagen Sie,
hier, was Sie haben.
Sie haben hier 1,1 hoch i. Das ist,
das sind Folgenglieder einer geometrischen Folge
Hier, das hier. Und das hier auszurechnen,
da habe ich Ihnen ja die Formel angekämmt, das war in diesem Satz hier.
Hier wurde es ausgerechnet. Also geschahen Sie,
hier haben wir solche Summen hier und den Beweis,
dass ich genau diese Bauart, die ich habe,
das 1-0, können Sie vorziehen wie hier.
Und das Q ist jetzt in meinem Beispiel 1,1. Und da
sagt dieser Satz aus, wenn Kuh ungleich eins ist,
und das ist ja der bei unser Fall,
Kuh ist nämlich 1,1, dann gilt diese Formel hier,
die kann ich einwenden hier.
Also, wenn wir das hier machen,
an dieser Stelle hier, dass ihr eingesetzt für Q1,1,
das könnt ihr jetzt ausrechnen hier.
Und da kommt eine Zahl raus,
die ist ungefähr
Gut. So, jetzt kommen wir zu diesem Beispiel von Achilles und
der Schildkröte. Also nochmal ein bisschen zum Hintergrund dazu.
Tenon war ein sehr bekannter Philosoph, ein großer Kopf,
etwa 450 Jahre vor Christus. Und er hat sich mit gewissen,
ja, widersprüchen beschäftigt und zehn und hat behauptet,
dass bei einem Wettlauf zwischen Achilles,
dem schnellsten Läuf oder Antike und einer Schildkröte,
Achilles die Schildkröte niemals einholen wird
Wenn die Schildkröte zu Beginn einen Vorsprung bekommt,
also sie bekommt einen Vorsprung und dann sagt quasi 100,
dass Achilles diese Schildkröte nie mehr einholen wird.
Und die Argumentation ist relativ bestechend,
als man hat das Gefühl, der Mann hat recht.
Also 100 Argumentationen ist die folgende. Es sei angenommen,
dass Achilles mit einer Geschwindigkeit von 10 Meter pro Sekunde läuft.
Das können auch andere teilnehmen. Aber das würde schön rechnen können,
habe ich ihr zahlen genommen, wo das schön aufgeht.
Schön rechnen können, schöne Runde, einigermaßen runde Zahlen rauskommen,
10 Meter pro Sekunde läuft und damit zehnmal so schnell ist,
wie die Schildkröte.
Also das heißt, die läuft nur 1 Meter pro Sekunde.
Und die Schildkröte bekommt einen Vorsprung von 100 Metern
Jetzt sagt quasi, 10 Uhr,
dann muss Achilles nach dem Start zunächst einmal den Punkt erreichen,
in dem die Schildkröte gestartet ist, also 100 Meter im Voraus.
Das heißt, er muss erst mal 100 Meter zurücklegen.
Aber in dieser Zeit, wo quasi Achilles dann läuft,
diese 100 Meter, hat die Schildkröte zehn Meter zurückgelegt.
Wenn Achilles 100 Meter läuft, dann läuft die Schildkröte,
entzähnelt darf und weil es ja nur ein Zähntel der Geschwindigkeit hat, zehn Meter.
Dann ist also, Achilles angekommen an der Stelle,
wovor ja die Schildkröte stand und die Schildkröte ist schon wieder zehn Meter weitergelaufen.
Okay, jetzt schließt er auf, läuft diese zehn Meter,
dann ist da aber die Schildkröte wieder weitergelaufen,
nämlich ein Zehntel darf in einem Meter.
Ate läuft da wieder diesen Meter und dann ist die Schildkröte
nochmal zehn Zentimeter weitergelaufen. Da ist Abstand von Achilles und
der Schildkröte wurde also immer kleiner, aber immer positiv,
aber immer positiv bleiben.
Immer ein Zehntel von dem,
was er vorher war
Ah, jetzt haben wir heute das Gefühl, ach,
Hille, so diese Schildkröte nie einholen.
Wo ist jetzt hier der Fehler? Und Tenon und auch andere Philosophen
waren sich so sicher, dass diese Argumentation richtig ist.
Oder zählen sie irgendwo einen Fehler? Dass diese Argumentation so richtig ist,
dass sie eigentlich dann angefangen haben zu zwölfen,
dass das Konzept der Bewegung, das man so hat, dass das stimmt.
Man hat dann angefangen, dran zu zweifeln,
ob wir uns überhaupt in dem Sinne bewegen, wie wir es glauben.
Vielleicht ist das ja einfach nur eine Vorstellung.
Und wir bewegen uns gar nicht. Aber sie wissen aus ihrer eigenen Anschauung,
dass vielleicht nicht Achilles, aber sie selbst oder ein anderer schneller Läufer,
eine Schildkröte, die nur Fehler eine Geschwindigkeit hat, einholen wird.
Also sie wissen aus ihrer eigenen Einschauung,
dass das so nicht stimmt, was 10 und da so hat.
Also wo liegt da das Problem? Wo ist da der Widerspruch?
Und das sollen wir jetzt mal aufschlüsseln. Und das Problem liegt darin,
dass Achilles und auch wir in unsere Gedankenkette einen Fehler gemacht haben,
an einer Stelle versteckt. Ich bin nämlich in meiner Argumentation,
genauso wie 10 und davon ausgegangen, wenn man Zahlen overdiert,
unendlich viele, dass da auch eine unendlich große Zahl rauskommt.
Wenn man unendlich viele positive Zahlen overdiert,
alle größer als 0, dass da auch was Unentliches rauskommt.
An welcher Stelle habe ich das benutzt? Ich habe gesagt,
nämlich, okay, dann braucht Achilles wieder,
also wenn er gelaufen ist,
diese 100 Meter dann die Stelle der Schildkröte erreicht hat,
dann ist die Schildkröte wieder zehn Meter weitergelaufen,
dann brauchen wir wieder eine gewisse Zeit,
bis so diese Differenz geschlossen hat,
dann ist die Schildkröte wiedergelaufen und dann brauchen wir dann eine gewisse Zeit und so weiter.
Und dass sich das unendlich oft wiederholt, das ist richtig.
Und das ist dann also immer wieder eine gewisse Zeit dauert,
also dass es unendlich lange dauert.
Er wird sie nie einholen, ist gleichbedeutend damit.
Er wird sie nie einholen, es tot unendlich lange.
Und das ist der Fehler. Sie wollen gleich sein,
dass es möglich ist, dass man unendlich viele positive Zahlen
aufartiert und trotzdem was Ähnliches herausfug bekommt.
Sie waren zehn, dass Achilles die Schildkröte nach
etwa 11,1 Sekunden einholt
Es ist zwar so, dass es immer wieder,
also er muss unendlich viel, unendlich oft quasi diese Lücken schließen,
aber das dauert immer weniger an Zeit und die Gesamttumme an Zeit ist eine ähnliche Zahl.
Und das ist der Fehler, den 10 nun gemacht hat,
aber man kann ihm das gar nicht angreifen,
weil das Konzept der Konvogenz war 450 Jahre vor Christus absolut
unbekannt und das war auch noch ein Problem im Mittelalter.
Auch dort konnten viele Gelehrte dieses Problem nicht entschlüsseln.
Die haben auch gesagt, es scheint alles so logisch und
korrekt richtig zu sein
Wir verstehen nicht, warum das nicht mit unseren Eintagen übereinstimmt, dass Achilles diese Schubritte einholt.
Also hier ein Bildchen, wo das Ganze nochmal vereinschallicht.
Hier, Startpunkt, Differenz, also Vorsprung der Schildkröte,
100 Meter, dann sind es nur noch 10 Meter,
nur noch 1 Meter und so weiter.
Also ich denke, das ist klar.
Gut, das habe ich ja auch schon alles erzählt.
So, und jetzt versuchen wir das Ganze zu entschlüsseln.
Wann erfolgen denn diese Zeitmessungen? Also,
zu welchem Zeitpunkt ist Tee nun hier bei 100 Metern,
wann ist er bei 110 Meter, wann ist er bei 111 Meter,
wann ist er bei 111 Meter, 1 und so weiter.
Zu welchen Zeitpunkten passiert denn das? Nun, das kann man relativ leicht sich überlegen. Da er 10 Meter pro Sekunde läuft,
ist er nach 10 Sekunden, also ich habe nur 10 geschrieben,
also Zelteinheit 10, 10 Zeiteinheiten quasi bei 100 Metern,
dann ist quasi Schildkröte wieder einen, wieder 10 Meter weitergelaufen,
das bedeutet, er braucht wieder eine Sekunde zusätzlich,
um auch an dieser Stelle zu sein, also an der zweiten Stelle,
da ist er dann nach T1 ist 10,
also 11 Sekunden, dann,
dass er quasi noch einmal den nächsten Meter überbrückt.
Da braucht er dann ein Zehntelzeit und so weiter.
So geht das. Dann für die nächsten 10 Zentimeter braucht er
dann nur mal 0-1 Zeit und so weiter.
So sehen die verschiedenen Zeitpunkte aus. Wenn er immer wieder
diese Etappenziel erreicht hat. So, und wenn wir uns jetzt dafür interessieren,
wie lange dauert denn es, um all diese Zeitpunkte aufzuaddieren?
Also, wenn ich wissen möchte, wie lange dauert es,
bis er, ja, Die ganze Strecke gerannt ist,
bis er die Schildkröte erreicht hat oder möglichst nahe gekommen ist.
Dann heißt das, all diese Zeitpunkte aufaddieren. Ich muss
diese Summe hier ausrechnen. Und entgegen unendlich laufen lassen,
weil wir ja festgestellt haben, das wiederholt sich unendlich oft, dass die Schildkröte wieder einen Vorsprung hat.
Also ich muss quasi das hier ausrechnen. Das ist jetzt der Ancy. Diese,
so Mann hier, die können sich so darstellen,
wie ich es hier gemacht habe,
könnt ihr einfach mal für ihr einsetzen, wenn sie für ihn null einsetzen,
dann haben sie hier einen Zehntel hoch, null,
das gibt eins, zehn mal eins, ist zehn,
das gibt hier in diese Zahl T1. Wenn sie dann hergehen,
Und sitzen hier eins ein,
dann haben sie quasi hier ein Zähntel mal zehn.
Das gibt eins. Also das ist hier dann dieser so mein Tier.
T1 plus eins. Also wenn sie quasi die ersten beiden zum Mann,
hier rechnen für eh gleich null und eh gleich eins,
dann bekommt sie quasi das hier und so weiter.
Also das ist hier, diese Darstellung hier stimmt mit dieser
rekrussiven Darstellung, nimmt man das überein.
So, und jetzt treffen wir das hier mal aus,
erzählen Sie hier, das ist hier eine geometrische Folge,
wo ich die Reihe bilde.
Das ist genau die Struktur einer geometrischen Folge.
Und da weiß ich ja, wie man den Grenzwert
ausrechnen kann
Die Formel sagt hier in diesem Satz,
wenn ich einen Kuh habe,
dass, also ich kann erst mal das einsetzen,
ungleich eins ist, dann kann ich quasi diese Summe,
diese Endetailsumme hier so ausrechnen.
Also machen wir das an dieser Stelle? Ich habe diese
Formel eingesetzt und dieses Kuh ist gegamed durch eins durch zehn.
Ein Zehntel. Einfach dieses Formel eingesetzt an dieser Stelle,
da sind sie hier angekommen.
So, und jetzt lassen sie entgegen und endlich laufen.
Das wiederholt sich ja unendlich oft,
dass die Schildkötter wieder weg ist und zehn um Achilles muss
ja noch eine Strecke laufen und so weiter.
Ah, also Enkel ging unendlich.
Was passiert denn dann
Schauen Sie mal, nur dieser Teil hier hängt von innen ab.
Eins durch in, hoch in, plus eins.
Das geht gegen null. Wenn Sie einen Zehntel immer wieder mit sich multiplizieren,
dann wird es immer kleiner, immer, kleiner, immer kleiner.
Sie können sich es auch so vorstellen, eins hoch in plus eins,
gibt eins und zehn hoch in plus eins, das wird immer größer.
Alter, der Nenner wird immer größer und der Zähler bleibt
immer eins, hier von diesem Tom hier oben.
Also es gibt gegen null. Also für Enggegen
unendlich können Sie hier an dieser Stelle null einsetzen,
also kommt dieser Grenzwort hier raus.
Und wenn Sie das ausrechnen, kommt 11,111 raus.
Also Achille, so diese Schildkröte,
nach 11,11 Sekunden erreichen
Also der Fehler, der gemacht worden ist,
war der, zu glauben, dass sich diese Zeitperioden,
die immer wieder dazukommen, zwar immer kleiner werden,
da die sich zu einer unendlichen Zahl overaddieren.
Nein, das ist nicht so. Da kommt trotzdem eine ähnliche Zarus.
Null Folgenkriterium. Das ist eine notwendige Bedingung dafür, dass
eine Reihe überhaupt konnogieren kann. Eine notwendige Bedingung. Also,
wenn sie eine Reihe haben, dann muss gelten, dass die Folge,
über die sie die Reihe bilden, Eine Null-Folge ist.
Das ist, den Beweis habe ich hier angehen,
aber das denke ich auch so plausibel,
stellen Sie sich mal vor, Sie haben eine Reihe,
wo die Sumanten die Eigenschaft haben, dass sie nicht immer kleiner werden.
Zum Beispiel gegen eins konnogieren, dann würde ja mindestens bei jeder,
bin jedem nächsten zum Mann eins dazukommen.
Und wenn Sie dann quasi die Reihe bilden,
wo Sie unendlich viele Summen haben, klar,
das kann nie eine ähnliche Zahl sein.
Also, die notwendige Bedingung ist da auf jeden Fall,
dass diese Folgenglieder, über die Sie die Reihe bin,
immer kleiner werden, also quasi gegen Null konnogieren.
Aber das ist nur kein hinreihendes Kriterium. Es gibt Folgen,
also es gibt Reihen über Folgen, die die Eigenschaft haben,
dass da eine unendliche Zahl rauskommt,
obwohl die Folgenglieder immer kleiner waren,
sogar gegen Null gehen
So eine Reihe waren sie gleich bekommen,
das ist die sogenannte harmonische Reihe als Beispiel.
Dieses Beispiel überspringe ich mal, da wird ausgerechnet,
dass diese Reihe hier, dass da als Grenzwert eins herauskommt.
Wenn sie da mal einsetzen für eglich eins, die Zahlen,
dann bekommt sie für eglich eins und halb,
für eglich zwei bekommt sie eins Sechsel,
für ihn gleich drei bekommt sie eins Zwölftel.
Wenn sie all diese Zahlen overaddieren, da kommt nachher heraus,
das und ihr gezeichnet Beispiel eins.
Sie sehen auch, dass diese Folgen wieder immer kleiner waren,
die gehen wie null, gehen gegen null.
So, jetzt gäbe ich in ein anderes Beispiel
Wo das nicht so ist. Auch dieses Beispiel,
vielleicht noch wichtig kurz, aber sie sehen,
da muss man relativ viel rächnen, deswegen mache ich das nicht.
Ich bringe ihnen erstmal das andere Beispiel, bevor ich auf
dieses Beispiel nochmal zurückkomme. Hier, das ist eine wichtige
Reihe. Das soll ihnen quasi ein Beispiel liefern,
dass es nur eine notwendige Bedingung ist,
dass die Folgenglieder gegen Null gehen, aber keine hinreichende.
Schaut sie sich mal diese Reihe hier an.
Da säen sie die einzelnen zum Manden 1 durch I.
Die waren immer kleiner, wenn ich größer wurde.
Der erste ist, du meintest 1. Der zweite ist eine
halb. Da tritt ihr ein Drittel. Der vierte
ein Viertel und so weiter
Ist so, Mann gehen gegen Null. In diesem Beispiel
hier wird gezeigt, dass aber diese Reihe divergiert.
Gegen unendlich geht. Sie können ja mal mit dem Taschenreih
noch ein bisschen rumspielen und mal die Zahlen aufaddieren, die ersten 100.
Und da werden sie sich feststellen, die Zahlen waren,
die Summe wird immer größer.
Und dazu wachse ich zwar sehr, sehr klein.
Aber die ist unbeschränkt, diese Reihe,
die beliebig große Werte an die geht gegen Plus und endlich.
Obwohl die Eisentrumenten relativ schnell gegen Null gehen.
Aber halt nicht schnell genug
Nicht schnell genug. Bis dann kommt hier eine unentliche Zahl raus.
Also morgen sie sich. Es ist eine notwendige Bedingung für eine Reihe,
da ist die vollen Glieder überdissomiert wird, gegen null konvergieren.
Aber keine hinreine Bedingung. So eine ähnliche, ähnliches Kriterium hatten wir
bei Folgen. Da habe ich ihnen gesagt, nee.
Folge kann nur dann konvergieren, wenn die beschränkt ist.
War auch eine Beschränktheit, die ist eine notwendige Bedingung für
Konvergenz und Folgen, aber auch keine hinreichende.
Jetzt nochmal zurück zu diesem Beispiel hier. Das ist wahrscheinlich
mit die wichtigste Reihe, die es in der Mathematik gibt.
Wenn sie hergehen und sie addieren diese Fakultäten hier auf,
eins,
geteilt durch E-Fakultät
Wenn sie das machen, setzen sie mal für eh null ein.
Null Fargo Tate ist eins, es ist einfach so definiert.
Namen sie eins und eins, also eins. Dann setzen sie
für eh eins ein. Eins, Farkultät ist auch eins.
Also haben sie wieder eins und eins. Es gibt nummer
eine eins. Dann setzen sie für eh zwei ein.
Zwei Fakultät hier gibt zwei, also eins durch zwei,
es gibt einen Halb. Dann setzen sie vor e3 ein,
3 Fakultät die 6, also haben sie einen Sechstel und so weiter.
Sie bekommen diese Reihe hier. Und jetzt ist die Frage
, gegen was konnogiert das? Man kann zeigen,
dass diese Reihe konvogiert und zwar, und das ist das Schöne,
Da kommt raus, diese Reihe konnogiert gegen die Zahl E,
gegen die eurische Zahl E.
Das heißt, die haben jetzt zwei verschiedene Darstellungen.
Der eurische Zahl E. Sie haben hier die Darstellung als Folge
. Und sie haben die Darstellung als Unenthirai. Und die
Darstellung als Unenthierai ist viel besser. Wieso? Weil die
viel schneller konvogiert. Hier in dieser Tabelle habe ich ihn
mal gezeigt für die ersten vierte ersten fünf Werte,
wie schnell die Folge konvogiert gegen die eurische Zahl und wie schnell die Reihe.
Und sie sehen, dass sie hier Bei der Reihe schon,
wenn sie nur die Partials und mir für N5 bilden,
schon bei 2,7167 sind.
Das ist schon relativ nahe bei der eurischen Zahl.
Da sind sie bei der Folge noch relativ weit weg.
Deswegen macht das jeder Computer und jeder Taschenrechner so,
wenn er ihnen quasi die Unterschiedszahl eh angeben soll.
Zum Beispiel die ersten 10 oder 15, 20 Nachkomma stellen,
dann wurde das immer über die Reihendarstellung berechnet.
Nie über die Folgendarstellung, weil die einfach schneller konvergiert.
So, und man kann auch hier ganz allgemein wieder zeigen,
wenn sie hier anstelle der 1X einsetzen, dann bekommt sie eh hoch X.
Ähnlich war sie hier, wenn sie hier für eins X eingesetzt haben,
hat das hier diese Folge in dieser Grenze,
die hat eh auch X ergeben.
Und das gilt auf rein, es gilt allgemein, diese Darstellung.
Und diese Darstellung, die wird noch später in der Vorlesung
noch weiter untersuchen. Gut, ich denke,
das letzte Beispiel überlasse ich Ihnen als Hausesgabe.
Wir sehen uns dann
nächste Woche wieder