machen Zyklus, also B, C-Sternchen, wie der A,
B, da bin ich auch da.
Also in der großen Klammer stehen die Varianten,
ich bleibe in meinen S2, das ist die einfachste Art und Weise,
unendlich auf den einen Endzustand zu geraten.
Einfach in einem zu bleiben. Oder man wählt den Umweg
über S0 und S1 und kommt dann wieder zum Endzustand zurück.
Also ich betrachte einen Präfix, der mich in einen Endzustand führt.
Alle Worte, die mich nach S2 führen,
haben halt die Form 10. Stern A,
B. Und dann in der Klammer,
selbst die Alternative von Endzustand wieder zurück in den Endzustand zu kommen.
Und das iteriere ich unendlich häufig. Also B-Plus oder B-C-Sternchen
A-B, das wird jetzt unendlich auch iteriert.
Weil das für diesen Automaten sieht man noch sehr leicht, diesen Ausdruck.
Die Frage, kriegt man das jetzt für jeden Automaten hin?
Also A geht das prinzipiell. Und wenn es prinzipiell geht,
kann ich konstruktiv vom Automaten ablesen,
wie der Ausdruck aussehen muss
Und hier steht, ja, das muss irgendwie gehen.
Also Omega-reguläre Ausdrücke beschreiben exakt das, was Büchi-Automaten machen.
Also Omega-reguläre Sprache. Das ist eine
genaue Analogie zur Äquivalenz von regulären Ausdrücken und endlichen Automaten.
Haben hier die gleiche Beziehung zwischen Büchi-Automaten und Omega-regulären Ausdrücken.
Ja, wenn man das als... Satz formuliert,
heißt es denn. Die Familie der Omega-regulären Sprachen ist genau
die Familie der durch Omega-reguläre Ausdrücke beschriebenen Sprache
Und wie zeigt man das? Das ist sehr ähnlich zu dem Beweis,
wie wir ihn schon für reguläre Sprachen geführt haben.
In der Einrichtung, nehmen wir an, wir hätten einen Omega-Regulären Ausdruck.
Und zu jedem Omega-Regulären Ausdruck. Form hat einer endlichen Summe von AI,
EI, Omega. Da kriegen wir also zu jedem da
drin vorkommenden regulären Ausdruck AI, DI, ein NFA.
So, und wir wissen... Mit den Lämmerta,
die wir zuvor hatten, dass die gemischte Konkretimation,
die Vereinigung und der Omegaabschluss,
dass diese drei Abschlusseigenschaften sind und hätten wir den Beweis geführt,
dann hätten wir dort gesehen, dass man das macht über den Büchi-Automaten.
Man nimmt an, ich habe bei der Vereinigung beispielsweise einen Büchi-Automaten der U akzeptiert und einen Büchi-Automaten,
der die Omega-Sprache V akzeptiert und aus denen die beiden Büchi-Automaten konstruiert,
einen neuen Büchi-Automaten, der jetzt U-Vereinigt V konstruiert.
So, damit ihr das glaubt,
macht ihr das auf dem zweiten Übungszweck
Da ich weiß, dass ich zu all diesen Operationen,
Vereinigung, omnige Abschluss, Konkartonationen, also Ausbüchi-Automaten,
neue Büchi-Automaten konstruieren kann, kann ich induktiv über die Struktur,
den Aufbau dieses Ausdrucks jetzt einen großen Büchi-Automaten konstruieren,
der genau diese Menge akzeptiert.
Das ist exakt die gleiche Idee, die wir auch hatten,
als wir Omega-reguläre Ausdrücke auch rekonsiv über den Formelaufbau.
Da haben wir auch angefangen bei den Atomen und sind dann weitergegangen.
Dass wir komplexe Ausdrücke aus dem kleinen Automaten zu größern machen.
Jetzt also die umgekehrte Richtung. Da stellen wir uns vor,
wir haben ein Pi-Automaten-Arc gegeben. Und wenn wir uns erinnern,
die Klinikkonstruktion liefert uns hier ein Verfahren,
die wir von einem beliebigen Zustand P und einem beliebigen anderen Zustand Kuh,
die Wortmenge bestimmen können, also RPKU,
von allen Worten, die ich lesen kann,
wenn ich den Zustand P beginne und den Zustand QM nehme.
Für die Klinikkonstruktion interessierten uns da die Wortmengen RIJK mit dem Exponenten K,
mit PQ meine ich dann natürlich, ich komme von P
nach Kuh, da darf zwischendurch genüge andere Zielstände verwenden.
So, also mit diesem Verfahren wissen wir,
wie wir genau RPK berechnen und wir wissen auch, durch den Beweis von Klini,
das was da rauskommt, ist regulär. Und jetzt überlegen wir uns,
wenn dieser Bücherautomat A ein Wort akzeptiert,
dann muss es ja mindestens Das heisst,
ich zerlege jetzt gedanklich das Wort, weil Anfang Stücken,
wenn ich ein Anfangsstück,
das irgendwie sagt, ich komme zu den Kugeln,
dann gibt es eine etliche Menge von Worten,
vielleicht noch eine unendliche, wenn ich Darstellpreise laufen kann,
auf jeden Fall eine regiere Menge,
die mich vom Staatsgestatt hin zu dem fixierten Existatten führt.
Und dann kann ich überlegen, Welche Worte kann ich dazwischen Kuh und Kuh akzeptieren?
Da muss ich nur die Menge Gerd Kunku aus. Das heißt,
insgesamt sage ich, Kuh muss erreichbar sein und ich komme
also von einem Staat zu Stadt P zu diesem Endzustand Team.
Also betrachte ich dieser Form in der Gerd Kuh.
Und dann betrachte ich die Menge Ehre. Und das hobbyga
detaillierte. Ja, das ist genau die Möglichkeit,
nicht einfach überworben in diesem Haltwahl akzeptieren zu können.
Und das mir ich jetzt auch über alle möglichen Staatszustände,
P, also für jedes P, Kunol gibt es einzumachen.
Und für jeden Endzustand, Purs F. Ja,
da ich mir endlich vieles darzustellen habe und endlich viele Endzustände,
führt das dazu, dass ich nur endlich viel gewandt habe.
Was da rauskommt, also die Summen über RP2,
mal Berg und Kuh, Omega, ist dann eine Ecke gedruckelt.
Und diese endliche Summe hat insbesondere die Darstellung,
die vielleicht auch mega digulär draußen gefordert war.
Also habe ich es geschafft, aus dem Zustandstdiagramm ein
die Xalenten, auch inga digulären Ausdruck zu konstruieren.
So die Idee ist wieder sehr verwandt für der Klinikonstitution,
die wir schon erhälten. Also müssen wir jetzt die Konstruktion geben,
die beide Richtung, außer auf das Autobad, machen es aus.
Können wir jetzt also verwenden, wie wir lustig sind.
Wir können jetzt länglich beides charakterisieren
Ist Omega-Ring. Golär können wir uns immer vorstellen,
je nachdem, was wir brauchen, dass wir entweder so
einen Ausdruck dafür bekommen können, nach Definition oder ein Büchi-Automaten.
Denn das ist genau die Bedeutung von, eine Menge ist homiger regulär.
Jetzt haben wir schon eine ganze Menge. Jetzt interessiert uns nochmal
diese Produktautomatenkonstruktion. Ich erinnere, Produktautomatenkonstruktion waren die Konstruktionen,
die uns halt den Schnitt Zweier regulärer Sprachen zu charakterisieren.
Das haben wir gemacht, indem wir statt Den Zuständen des
einen und den Zuständen des anderen Automates betrachten, hatten wir Paare von Zuständen.
Erste Komponente, Zustand A, zweite Komponente, Zustand B.
Und das haben wir genutzt, um zu sagen, naja,
wenn ich im Zustand P.Q bin und beide können einen Übergang machen,
P nach Pistrich, Kuh-Naku-Strich, beide mit dem gleichen Zeichen,
A, dann bin ich halt im Pärchen P, Strich-Kuh-Strich.
Und das war ausreichend, um festzustellen, ob beide ein
Wort akzeptieren. Und jetzt ist die Frage,
geht das
so ähnlich
Können wir also damit zeigen, dass Omega regulieren
bezüglich Durchschnitt abgeschlossen sind? Also wir wissen ja schon,
ordentlicher reguläre Mengen sind bezüglich Durchschnitt abgeschlossen. Das wissen wir,
weil wir wissen, sie sind bezüglich Vereinigung im Kompliment abgeschlossen.
Da ist halt der Wehrmutstropfen Komplimentbildung ist zu teuer in
der Konstruktionsgröße. Jetzt stellen wir fest, naja,
die Produktautomatenkonstruktion ist für NFA ganz gut,
aber hier reicht sie nicht aus
Denn wenn ich sie so naiv anwende, also dem Produktautomaten,
von der 1 und der 2, kannst du ihre.
Und das sei denn A3? Und jetzt die Omega-Sprache anschaue,
dann stelle ich fest, die Omega-Sprache von A3 ist nicht exakt
der Durchschnitt der Omega-Sprache von der 1 und der 2,
sondern nur eine Teilmenge.
L von A3, die Omega-Sprache ist eine Teilmenge des Durchschnitts.
Es werden also zu wenig Worte akzeptiert im Zweifelsfall
So, worum liegt das, dass das wenigstens Metallmängel ist?
Ich könnte auch gar nichts damit zu tun haben,
beweisen erst mal diesen einfachen Fall, dass es nur eine Talmenge ist.
Ich nehme also an, ich habe wieder meine beiden Automaten,
A1 und A2 gegeben als bekanntes Tupel.
Und jetzt nehme ich an, ich habe ein Omega-Wort,
sieht man, das in der Omega-Sprache von A3 liegt.
Das heißt ja, nach Definitionen,
dass sich solch eine Sequenz durchlaufen von Paaren,
also ich komme von S0, R0, einem Startzustand,
Hinzu, S1, R1, weiter zuerst.
Zwei, R2 und so weiter. Und an unendlich vielen
Stellen, also unendlich vielen Indizes, ist S-I-R-I-Endzustand.
Ja, also S-I-R-I ist Element aus F1, Kreuz-App 2.
Das heißt ja aber nichts anderes als, dass beide Zustände
jeweils für sich betrachten, im Originalautomaten 13 zuständig waren.
Wenn ich also nur schaue, was der erste Automat
gemacht hätte, Denn hätte der folgendes gemacht.
Von S-0 nach S-1, nach S-2 gegangen mit diesem Wort.
Und hätte dabei an den genau den gleichen Stellen,
wo auch dieser Automat A3 unendlich auf die Endzustände durchläuft,
genau da hätte auch der seine Endzustände gehabt.
Analoges gilt für A2. Das heißt, wann immer A3,
also durch Endzustände endlich aufgeht, tut das auch A3. Tut das jeweils A1 oder 2 auch.
Also beweise ich, das Wort ist sowohl in der Omegasprache
von A1,
als auch in der Omegasprache von
Was nichts anderes heißt, es ist im Durchschnitt der beiden Omega-Sprachen. So,
insgesamt haben wir also gezeigt,
wenn ein Wort in der Omega-Sprache von 3 ist,
dann ist es auch ein Durchschnitt der Omega-Sprachen von der 1
und der 2. Also genau die Mengen,
von die ich haben wollte.
Fertig. So, was ist jetzt das Problem an dieser Stelle,
wenn ich die Umkehrung versuche? Weil das muss ja irgendwie eines mengen,
sonst hätte ich hier nicht beschrieben, ist Teilmenge von,
sondern hätte ich gleich gleich schreiben können.
Und das Problem ist, dass es ja möglich ist,
dass die beiden Worte akzeptiert werden. Beide Worte,
also in den jeweiligen Automaten und endlich auch durch Endzustände gehen.
Sieht das aber dummerweise nicht zum gleichen Zeitpunkt tun.
Also zum Beispiel sieht man hier einen Automaten. S0, S2,
SN, bei S0 und R0 stimmt es noch überein.
Bes 2, aber ist R2 kein Endzustand und immer so weiter.
Also munter verpassen die beiden einander
So, und da möchte ich jetzt irgendwie was machen,
um trotzdem hinzukriegen, dass ich beweisen kann,
es gibt eine Konstruktion, Vorschrift,
die diesen Produktautomaten sehr ähnlich kommt, aber nicht diesen Komplexitätsaufbläne.
Jetzt gucken wir uns erstmal nochmal an,
warum ist das so und was heißt diese Teilmenge im Extremfall?
Also hier mal zu merken, ich habe hier zwei
sehr einfache Automaten, eine 1 und eine 2,
die sind eigentlich fast identisch.
Der einzige Unterschied zwischen den beiden Automaten
ist die Wahl der Endzustände
Beim Automaten A1 ist er null der Endzustand.
Also der linke? Bei R2 ist es der rechte Zustand,
der Endzustand ist. Das ist,
da man ja sowieso nur... Immer zwischen dem linken und
dem rechten Zustand hin und her wechseln kann,
wenn ich das unendlich oft mache, ist das egal.
Wenn ich immer unendlich oft hin und her wechsle, alternierend.
Und einer von den beiden Zuständen ist Endzustand. Da habe ich
gar keine Chance, als... Ein Endzustand unendlich oft durchzulaufen.
Und was durchlaufe ich bei beiden Automaten?
A, B,
A,
Das heißt, die beiden Automaten haben die gleiche Omega-Sprache.
A, B, in Klammern noch Omega.
Und dann gilt offensichtlich, wenn ich den Schnitt der beiden
Sprachen mache, zwei gleiche Mengen schneiden bedeutet es.
Kommt die Menge wieder raus. Das heißt, der Schnitt
der beiden Automaten ist wieder A. B, in Klammern und Omega.
Jetzt konstruieren wir mal den Produktautomaten der beiden.
Ja, das ist A3. Und da passiert dummerweise Folgendes.
Wir bilden R0S-0 und kommen mit einem A zu
Und wieder gleich zurück. Was nicht verwunderlich ist,
weil die beiden Automaten die gleiche Struktur haben,
führt das dazu, dass das Produktautomat wieder diese Struktur ist.
Die können nur nicht, wenn sie gleich sind,
schön Synchronschalten. So, jetzt frage ich mich,
wie war das beim Produktautomaten, was sind dessen Endzustände?
Seine Endzustände sind die, wo beide Elemente entzustanden sind.
So, da kommt in unserem Fall gar nichts raus,
wenn R0 ist. Zwei Endzustand, aber S-0 nicht,
genau umgekehrt, R1 ist kein Endzustand, aber Das heißt,
beide Zustände, die ich hier habe, sind keine Endzustände.
Das wird dazu. So, ich kriege einen Automaten,
der gar keine Endzustände hat,
was beim Büchi-Automaten auch genauso wie beim endlichen Automaten dazu führt,
dass die akzeptierte Sprache leer ist.
Die Omi ersprach von A3 ist leer.
So, das ist so der Extremfall von Inklusion.
Mehrere Menge ist Teilmenge von irgendwas. In dem Fall A
, die Omi
Was sehen wir? Sehen die Produktautomatenkonzeption, ist ein bisschen zu harsch.
Sie fordert nämlich, dass... Exakt gleichzeitig erreichen.
Deines Endzustandes. Aber das brauchen wir ja gar nicht.
Wir müssen ja nur sicherstellen, dass beide unendlich auch von der Endzustand kommen.
Wir kommen aber nicht gleichzeitig. Wir müssen uns also merken,
wenn der erste automatisch in Endzustand kommt, dann können wir Folgendes machen.
Dann schauen wir mal an, was der zweite Automat macht.
Wenn der in einen Endzustand kommt,
Dann simulieren wir gewissermaßen an der Stelle weiter im ersten Automaten.
Von springen gewissermaßen immer hin und her. Das heißt
eine Zeit lang. Erster Automat, eine Zeit lang.
Zweiter. Immer wenn wir einen Endzustand haben, switchen wir.
In der Betrachtung. Und wenn wir uns endlich oft
hin und her springen können, dann wissen wir genug.
Dann wissen wir, mit jeder von beiden kommt unendlich auf
deren Endzustand. Wir müssen jetzt also dieses Hin und Her
springen irgendwie formalisieren
Ja, wenn wir das schaffen,
dann kriegen wir hier diese Konstruktions-Aussage,
dass sich aus zwei Büchie-Automaten eine 1002, algorithmisch,
das heißt effektiv, ein Büchie-Automaten-A4 konstruieren kann.
Der heißt jetzt A4, weil eben der Automat A3 hieß, der da...
Reine Produktautomat war. Und dieser Automat ist so,
dass er genau den Durchschnitt der Omega-Sprache konstruiert.
Also die Omega-Sprache von Night 4 ist genau der Durchschnitt
der Omega-Sprache von der
So, wie funktioniert das? Er hat ja gesagt,
wir springen immer hin und her in der Betrachtung.
Dieses Hin- und Herspringen, das müssen wir jetzt irgendwie
ins merken können, wie können wir uns das merken,
dekodieren das in den Zustand hinein.
Wir machen also folgendes, wir betrachten nicht nur das Zustandspaar SR,
sondern wir fügen noch eine dritte Komponente ihm hinzu.
Und mit dieser Komponente können wir das erzwingen,
dass wir unendlich auf deinen Endzustand besuchen.
Denn diese dritte Komponente gibt an, wessen Endzustand wir gerade sehnsüchtig erwarten?
Also welchen von beiden wir jetzt intensiv betrachten wollen. Das heißt,
die dritte Komponente, weil wir nur zwei Automaten haben,
kann entweder eins oder zwei sein.
Und wenn ich das Triebel esse... Das ist der eins habe,
als Zustand, dann hat das ungefähr folgende Bedeutung.
Ich bin im Zustand SM... Ja, ja.
Und ich warte zusätzlich in A4 darauf,
dass der erste Automat mal wieder... Nein,
Endzustand kommt
Und wenn ich den tatsächlich mal zu fassen kriege,
den Bandzustand, dann setze ich diese Komponente auf zwei.
Dann ist der andere dran. Und Gondor umgekehrt,
wenn ich eine zwei habe,
dann warte ich eben im zweiten Automaten auf den Endzustand,
wenn ich den bekomme, setze ich den Wert auf eins zurück.
Wenn ich jetzt ein Wort wie habe, das in der Omega-Sprache.
Und von der eins ist. Und es in
der Omega-Sprache von A2 ist, dann weiß ich ja,
Für jede einzelne Komponente, also für die Zustandsfolge mit S.
Und für die Zustandsfolge mit den Rs. Damit immer wieder
mal ein Endzustand eingenommen. Das heißt, wenn ich
das so akzeptieren kann, dann gibt es genügend Endzustände.
Wir sind beide. Das heißt, ein Wort,
das von beiden akzeptiert wird, führt dazu,
dass wenn ich ihn mit dem Zustand SR1 darauf warte,
dass A1 in einem Endzustand mal wieder kommt,
dass der Endzustand tatsächlich auch irgendwann mal vorbeikommen wird
Und was machen wir jetzt? Wir definieren die Endzustandsmenge so,
dass wir Zustände SRI betrachten, und zwar es soll ein Endzustand sein,
er soll ein Endzustand sein, und I soll eins sein.
Das heißt, ich muss unendlich oft den Automaten A1 betrachten,
also ich muss unendlich oft darauf warten,
dass der Automate eins dann an Endzustand gibt.
Nun ist es aber so,
wann immer der Automat A1 in einen Endzustand gerät,
wechsle ich ja das I von eins
auf zwei
Das heißt, was wir rückwärts Schluss folgen konnten,
wenn unendlich oft A1 seinen Endzustand einnimmt, das ist nur möglich,
wenn auch unendlich oft von A2 auf eins zurückgeging zurückgeschaltet wird.
Zurückgeschaltet wird aber nur, wenn A2 auch unendlich oft durch einen Endzustand kommt.
Also erzwinge ich mit der Wahl dieser Endzustände,
dass unendlich heutige Wechsel in der Betrachtung der beiden Automaten.
Das heißt, ich weiß, Wenn beide Automaten...
Jeweils für mich genommen das Wort weh akzeptieren,
dann wird das Wort auch von A4 akzeptiert.
Also habe ich schon mal gezeigt,
der Durchschnitt der beiden Sprachen ist Teilmenge von A4. So,
das kann man jetzt formal noch nachziehen. Das,
was wir eben erzählt haben, dann schreibe ich auf,
Q4 ist eben die Menge aller Triebel, SRI,
sodass SR schon in Q3 gewesen ist,
also im normalen Produkt,
Automaten und I
ist entweder 1 oder
Und die Übergänge sind genauso definiert, wie ich das eben erzählt habe.
SRI wird mit einem A-CS-Strich-R-Strich-I-Strich, genau dann, wenn Folgendes gilt,
in diesem normalen Produktautomaten geht schon mal SR-Synchron zu S-Strich-R-Strich.
Und wie sprich, jetzt muss ich dieses Wechseln der Betrachtung annehmen,
wenn I gerade gleich eins ist,
und ich komme gerade mit S in Den Zustand,
ein Endzustand des Ersten, also das Kuh,
sollte ja eine E sein.
Also ich komme für den ersten Automaten,
einen Endzustand aus S1F, dann endet das Ganze.
Dadurch, dass ich jetzt E auf zwei setze,
E-Strich wird dann zwei. Genau andersrum,
wenn E jetzt zwei ist und ich komme in einen Endzustand des zweiten Automaten,
dann setze ich es aufs Eins und wenn beides
nicht zutrifft,
dann lasse ich es einfach so
Das ist also genau das Wechseln der Betrachteten, Automatenspur.
Die Startzustände, neue Starte in allen,
tritt den SR1, wenn es er S&R jeweils Startzustände waren.
Und ich hatte gesagt, SR1,
nehme ich als Endbestände, wobei Essen,
Endzustand und Ehren
Endzustand sein soll
Die umgekehrte Richtung muss ich ja prinzipiell auch noch zeigen.
Also wie bei i3 schon, wenn ich ein Wort weh habe,
das von diesem neuen Produktautomaten... Ja, viel akzeptiert wird.
Dass es dann immer noch in beiden akzeptiert wird.
Aber das ist eigentlich klar, wenn A4 akzeptiert...
Dann weiß ich, es macht unendlich oft einen Wechsel.
Wenn es unendlich oft einen Wechsel macht,
kommt es unendlich oft in beiden Automaten jeweils durch Endzustände.
Nur so kann ich unendlich auf Wechsel.
Also weiß ich auch alles, was der Automat A4 kann.
Das liegt auch im Schnitt der beiden Sprachen.
So, also beide Inklusionen habe ich gezeigt
Insgesamt folgt. Damit,
dass die Omega-Sprache von A4 gleich dem Schnitt von... Der Omega-Sprache,
102. Und das ist ein wirksames Tool, dass wir den Schnitt,
das wird sich noch als Algorithmus wichtig,
zur Analyse von Systemen herausstellen, dass wir den,
sagen wir mal, halbwegs akzeptabel in der Größe hinkriegen,
denn A4 wird gar nicht mal so schlimm groß.
Wie können wir das abschätzen? Naja,
Anzahl der Zielstände des einen, mal Anzahl der Zielstände
des anderen mal
Das heißt, wenn beide Zustandsmengen weniger als M-Elemente haben,
habe ich zweimal Endquadratviele. Das ist noch ein sehr kleines Pulli.
Und so ein sehr kleines Polynom ist eben wichtig,
sobald ich ein ernsthaftes System damit analysieren möchte.
Jetzt kann ich noch folgende praktische Verallgemeinung machen,
genauso wie wir es bei endlichen Automaten auch schon mal hatten.
Da gab es ja auch den Verallgemeinen.
Man verallgemeinert immer so,
dass es zum Arbeiten praktisch ist und zeigt hinterher,
dass es aber an einer akzeptierten Mengenfamilie nichts ändert.
Also wir definieren jetzt den sogenannten Verallgemeinerten durch die Automaten
und werden später feststellen, dass wir den simulieren können.
Durch den speziellen Budget-Automaten, den wir schon kennen.
So ein verallgemeinerter Budget-Automat, der wird fast genauso aus wie
... Normaler Budget-Automat, ich ersetze nur die letzte Komponente.
Also dort, wo die Endzustandsmenge war,
ersetze ich jetzt durch eine Menge
Von Endzustandsmengen. Und die Akzeptierungsbedingung ist jetzt folgendermaßen,
wenn ich ein Omega-Wort-Sigma habe, und ich habe einen Pfad,
der dieses Wort entlang der Zustände ist, null ist 1S2 und so weiter,
akzeptiert, dann muss er für jede Menge,
die in dieser Mengenfamilie enthalten ist, mindestens einen Endzustand unendlich durchlaufen.
Das heißt, für alle App, aus Kaligafief gilt,
Sequenz kommt mindestens ein Endzustand aus F, unendlich häufig vor.
Der Schnitt mit F ist nicht mehr. So,
man sieht, das ist wirklich eine Verallgemeinerung,
das ist eine Meinung, die Automaten,
denn die Akzeptierungsbedingungen, die ist exakt so wie vorher,
wenn ich hier nur die Menge F1 habe,
also wenn dieses K für die Anzahl der Endzustandsmengen gleich eins ist,
dann habe ich gar nichts verändert.
Dann ist nämlich die Aussage für jede Menge F aus Kalligrafie F
, Die bedeutet dann ja genau für diese eine Menge.
Und dann steht da das Gleiche, was wir schon mal hatten,
dass die unendlich häufig vorkommenden Zustände geschnitten mit F nicht leer sein müssen.
Das heißt, diese Bedingung ist stärker als das, was wir vorher hatten.
Ich fordere also nicht nur das aus der ersten Endzustandsmenge F1,
einer unendlich vorkommt, sondern aus der zweiten muss auch einer vorkommen,
aus der dritten auch und immer so weiter.
Das heißt, ich kann mit einer schärferen Akzeptierungsdefinition vielleicht
das Ganze ein bisschen feiner machen
Ist aber nicht so, wir werden feststellen,
dass die Sprachen, die solche verallgemeinerten Automaten akzeptieren.
Wieder die Omega regulären Sprachen sind. Nur die Mengen F1
bis FK, die sind irgendwelche Mengen.
Also die müssen nicht jung sein.
Das sind verschiedene
Nee, es ist schon ein Unterschied. Nehmen wir mal das Beispiel,
in der ersten Menge F1 ist nur der Zustand P.
Und in der zweiten Menge F2 ist nur der Zustand Kuh.
Wann akzeptiere ich ein Wort? Die Definition sagt,
jeder dieser Mengen muss mindestens einen Zustand unendlich oft enthalten.
Also ich habe jetzt Einzelmengen enthalten. Das heißt,
eine solche Sequenz muss sowohl den Zustand P unendlich oft enthalten,
als auch den Zustand Kuh unendlich oft.
Und bislang konnte ich sowas nicht ausdrücken.
Konnte immer nur sagen, ich schreibe zum Beispiel die Menge
PQ hin
Dann kann ich haben, dass nur der Zustand P
unendlich häufig vorkommt oder nur der Zustand guckt oder beide.
Aber so kann ich ja zwingen, dass tatsächlich beide unendlich häufig vorkommen.
So, in dem Sinne kann stärkere Bedingungen an die Akzeptanz kommen.
So. Diese Folie sagt jetzt, ja,
das ist vielleicht jetzt stärker im Sinne von dem,
was man jetzt aufschreiben kann, aber man kann das simulieren.
Also zu jedem für allgemeinerten durch die Automaten A
existiert ein Büchi-Automat A-Strich,
also ein normaler
Der die gleiche Sprache akzeptiert. Das heißt,
die Omega-Sprache von A ist gleich der Omega-Sprache von A-Strich.
Mit den jeweiligen Akzeptanzbedingungen. A hat ja die stärkere Akzeptanzbedingungen
für den Verallgemeinerten, durch die Automaten und A-Strich,
halt die Akzeptanzbedingungen für den einfachen Bücherautomaten.
Und hier wollen wir den Beweis eher skizzierenden als ganz fein durchdefinieren.
Wir nehmen also an, wir haben die Familie der Endzustandsmengen,
F1 bis FN
Und jetzt machen wir für jedes, diese Innenzustandmengen machen wir eine Kopie.
Das heißt, wir haben hier Endzustandsmengen. Wir machen also
Endkopien des Automaten A. Legen den also sinngemäß Endmalen ineinander.
Und wir starten in der ersten Kopie.
Und lassen gewissermaßen dort loslaufen. Und jetzt passiert Folgendes,
wenn der Automat A,
gerade in der Itenkopie ist,
man kommt jetzt in einen Endzustand aus
Also die Etekopie ist genau für die Ipo.
Menge aus Kaligafie F zuständig. Das heißt,
erwischt einen solchen Endzustand, für den ich... Ja,
zuständig bin, dann springe ich in die nächste Kopie.
Also plus eins Modul in. Das heißt,
wenn ich schon bei der Entenkopie bin,
dann springe ich wieder zum Anfang zurück.
So, ein Alt-Kennzustandsmenge wähle ich jetzt, nur meinetwegen F1.
Und jetzt passiert Folgendes,
wenn A-Strich ein Omega-Wort Sigma akzeptiert
Dann weiß ich, in jeder Endzustandsmenge, F1 bis FN.
Kommt ja mindestens ein Endzustand und endlich häufig vor.
Das führt dazu, dass sich ein Arschstrich, munter von
Kopie zu Kopie spricht. Ja, dann die Annahmen,
ich würde irgendwo stecken bleiben, hieß sie ja,
dass dieser Automat nur endlich häufig diesen Endzustand einnimmt.
Also angenommen, ich bleibe in der Itenkopie hängen,
dann habe ich dort keine Chance offensichtlich mehr in einem Endzustand
aus FI
zu kommen
Ja, es kann aber nicht sein, weil ich angenommen habe,
dass ich unendlich häufig in einen Endzustand aus FD komme,
denn das Wort wird ja akzeptiert.
Also du musst das nach Definition unendlich häufig bestehen,
dass ich hier einen Endzustand einnehme.
Also kann ich munter immer zum nächsten Automaten hüpfen?
Zur nächsten Kopie. Durchlaufe also auch immer wieder diesen Kopierzyklus,
also komm vom ersten, zweiten, dritten wieder zum Anfang.
Wenn ich unendlich häufig den Anfang durchlaufe,
dann durchlaufe ich auch jetzt den A-Strich unendlich häufig
ein Endzustand
Also weiß ich, wenn A, das Wort akzeptierte noch am Strich.
Und umgekehrt, wenn A, Strich ein Wort akzeptiert,
weil sich umgekehrt ja ganz genau,
dass ich immer wieder zur ersten Kopie zurück muss.
Ich kann aber nicht in der ersten Kopie einfach bleiben,
sondern sobald die erste Kopie in einen Endesstand gerät,
springt sie in die zweite.
Und die einzige Chance, wieder zuerst die Kopie zurückzugelangen,
ist, einmal die gesamte Kaskade zu laufen,
um dann von der letzten Kopie
wieder zuerst zurückzulaufen
Was aber nur möglich ist, wenn ich in jeder Kopie
durch Endzustand leide. So, also hätte,
weiß ich auch, hätte das Wort akzeptiert.
An solchen Automaten kann man durchaus mal gebrauchen.
Bislang ist sie erst mal nur bequem. Für uns.
Und der Konstruktionsaufwand ist, sagen wir, noch mal erträglich,
denn er steigt...
Nur mit der Anzahl der verschiedenen Endzustandsmengen
Was uns jetzt für die Analyse noch brennend interessiert,
ist die Frage, kann ich jetzt über die Sprachen,
diese Automaten Dinge aussagen?
Und ganz in Analogie zum endlichen Automaten sind das wieder
die Frage nach dem Mehrheitsproblem, Universitätsproblem und Äquivalenzproblem.
Also ich möchte gerne wissen, ist die Omega-Sprache eines Büchie-Automaten A,
den ich konkret gegeben habe, ist die leer.
Oder in der zweiten Zeile ist sie gleich Sigma auch Omega.
Also Sternchen sollte das ein Omega sein,
wir haben ja
ein Büchie-Auto
Alle Omega-Worten. Oder wenn ich zwei Bücherautomaten gegeben habe,
sind sie ihr Talent. Das heißt, sind ihre Omega-Sprachen
gleich. Wir wussten bereits, haben wir gesehen,
für endliche Automaten sind all diese drei Probleme entscheidbar.
Und das ist auch für Bücher. Die Automaten der Fall
. Also Lehrheitsproblem ist entscheidbar. Kann man sich überlegen,
wie? Da gibt es einen relativ einfachen Algorithmus.
Und da wir wissen, wir können komplementieren,
ist damit auch das Universalitätsproblem entscheidbar
Und Äquivalenzproblemen, das konnte man schon beim endlichen Automaten darauf zurückführen,
dass sich Äquivalenz, also Mengengleichheit, Ausdrücke durch zwei Inklusionen und Mengen.
Inklusionen kann ich zurückführen auf Schnitt und Komplimentbildung und Mehrheitstest.
Und das sind alles effektive Prozeduren. Schnitt, Kompliment,
Lehrheitsfest, kann man alles algorithmisch sparen. Von dieser Kaskade
sieht man schon, das Mehrheitsproblem ist von den dreien,
das elementarste, denn ich brauche das in dem Beweis für
die Entscheidbarkeit von Universalität und den Qualenzliedern
Geht auch andersrum, aber so ist das am einfassen. So das Mehrheitsproblem,
wie man das entscheidet, das ist auch nicht zu schwer,
das haben wir im Prinzip uns schon gedacht,
als wir die Charakterisierung von Omega-Regulären Sprachen betrachtet haben.
Da haben wir festgestellt, so ein Büchi-Automat,
man akzeptierte ein Wort, der akzeptiert ein Wort,
wenn ich es schaffe,
zu einem Endzustand zu kommen und von dem Endzustand in einer Schleife wieder zurückkommen kann.
Wenn das der Fall ist, dann gibt es ein Wort,
auf dem Pfad hin zu diesem Endzustand Kuh.
Und es gibt ein Wort an der Schleife.
Und wenn ich das jetzt kombiniere, Anfangsstück und dieses Schleifenwort,
Omega häufig, dann weiß ich... Dieses Wort UV-Omega,
das wird akzeptiert.
Das heißt, das Vorliegen dieser Konstellation. Endzustand ist erreichbar
und hat eine Schleife, ist ein Indiz dafür.
Dann kann schon mal die Sprache nicht leer sein.
Umgekehrt weiß ich aber auch, dass das notwendig und hinreichend
Ja, also sobald die Konstellation vorliegt, ist es nicht leer.
Und wenn es leer ist, dann ist es nicht möglich,
einen Endzustand wieder zu erreichen von einer Endzustandards.
Also diese Bedingung ist notwendig und hinreichend. Und vor
allen Dingen, sie ist algorithmisch sehr leicht zu überprüfen.
Naja, ob ein Knoten in einem Grafen,
in einem endlichen Grafen sich selbst wieder erreichen kann.
Naja, da lassen wir Breiten oder Tiefensuche kauflos.
AD lässt grüßen. Also ein einfacher Grafalgorithmus
Und damit haben wir schon das, was wir über Büchi-Automaten wissen sollten.
Wir wissen jetzt, wie man Omega-Wörter mit Büchi-Automaten akzeptiert.
Wir wissen jetzt, Büchi-Automaten akzeptieren nach Definition Omega-fuläre Sprachen.
Wir haben gesehen, dass für diese Sprachfamilie der Omega-regulären Sprachen.
Deterministus und nicht Determinismus auseinanderfällt.
Determinismus ist im Zweifelsfall
immer schwächer
Höchstens gleich stark. Hier haben wir gesehen, es ist
echt schwächer. Also es gibt Sprachen, die kann ich
nicht deterministisch akzeptieren, aber deterministisch geht es leider nicht.
So eine ähnliche Situation wie beim Kellerautomaten. Da hatten wir
auch ein Modell, das deterministisch schwächer war als nicht die Termins.
Wir haben dann noch gesehen,
Omega-reguläre Ausdrücke wurden ganz analog zu Omega,
zu normalen regulären Ausdrücken definiert und wir konnten dann zeigen,
dass die Ausdrücke die gleiche Sprachfamilie charakterisieren,
wie das
die Bücherautomaten tun
Und dann haben wir noch Abschlusseigenschaften betrachtet. Wir haben also
den Schnittcharakter bewiren können. Und wir konnten ihn sogar nicht nur als Abschlusseigenschaften
sehr schwach charakterisieren, in dem Sinne ist, eine Abschlusseigenschaft.
Wir konnten mir da ein Büchi-Automaten effektiv konstruieren,
der uns den Mengen Durchschnittsweier komikerregulären Sprachen charakterisiert.
Das war dieser Produktautomat A4, der mit den beiden Spuren.
Und als wichtiges Problem haben wir festgestellt,
das Lehrheitsproblem ist entscheidbar
Das ist sogar algorithmisch sehr einfach zu entscheiden. Und auf der Tatsache,
dass ich den Abschluss mit Schnitt bilden kann und das Lehrheitsproblem,
algorithmisch einfach zu entscheiden ist, beruhen übrigens auch heutige Programmanalyse-Tools.
Wir werden uns das,
wenn wir die entsprechende Logik zur Verfügung haben, nochmal ansehen,
wie wir mit Hilfe von solchen Büchi-Automaten Programmeigenschaften tatsächlich verifizieren können.
Dazu werden wir dann eine Temporallogik heranziehen,
die sich gut durch Büchi-Automaten charakterisieren lässt.
Es wird sich mir herausstellen, dass all die Abfolgen,
die eine konkrete Formel im Linear-Temporallog beschreibt,
dass es dazu immer
einen Büchi-Automaten gibt
Der exakt. Die Abläufe, die diese Formel beschreibt,
auch akzeptieren würde. Und dann ist es ganz praktisch,
festzustellen, ob ein System... Irgendwie Mengen, inklusionstechnisch,
wie wir das schon gesehen haben,
genau diese Abläufe hat oder weniger.
Oder mehr, das wäre dann ein Fehlerfall.
Das möchte man herausfinden. Und deswegen ist gerade das Lehrheitsproblem
algorithmisch interessant, weil ich mir erlaubt Programme zu verifizieren.
So, jetzt machen wir einen nächsten Schritt.
Wir wollen auf den Begriff des Traditionssystems kommen
Ein Transaktionssystem kommt an allen Ecken und Enden vor.
Wir haben in einem Transitionssystem Zustände und Übergänge, die wir
auch Transitionen nennen. Wir sind da allerdings sehr entspannt.
Wir erlauben unendlich viele Zustände und unendlich viele Transitionen.
Ansonsten sieht das Ding gleich, wenn wir feststellen,
genauso aus wie ein endlicher Automat.
Das ist doch das unendlich. Also gewissermaßen,
man könnte auch zu einem Transitionssystem unendlicher Automat sagen
Ja, das macht man aber nicht, weil Automaten immer
etwas von diesem endlichen haben. Also, wir bleiben bei
der Bezeichnung Transitionssystem. Und wir kennen eine Menge Transitionssysteme schon,
also wir hatten so ein Beispiel in FG1,
Konfigurationen einer Turing-Maschine definiert und wir hatten definiert,
wann komme ich von einer Konfiguration zu einer Nachfolgen-Konfiguration.
Ja, mit diesem liegenden Tee,
das war dann Konfiguration K wird zur Konfiguration K-Strich,
wenn ich das alles zusammenwürfel,
Konfigurationen sind dann die Zuzustände und die Übergänge
sind die Transition
Oder wenn ich ein Java-Programm modellieren möchte durch Zustände,
also der aktuelle Zustand aller Variablen und dem Stack,
einen Programmschritt ausführen, liefert mir denn einen neuen Zustand,
das gibt Augentransitionssystem.
Wir haben das später in dieser Vorlesung noch Prozessalgebra betrachten,
auch Prozessalgebra bekommt eine Semantik durch solche Traditionssysteme
und der Erreichbarkeitsgraf von Petrinetzen,
Pekinger Telekom
auch noch
Für die bekommen auch eine Semantik durch ein Tranditionssystem. Das heißt,
ein Erreichbarkeitsgraf, aber das ist eigentlich nichts anderes als ein Tranditionssystem.
Und alles, was da so Zustände hat und
Übergänge zwischen ihnen erlaubt, ist ein Traditionssystem.
So ein Transitionssystem TS, da haben wir so ähnliche Konzepte,
die wir am endlichen Automaten, also im folgenden.
Wir haben eine Menge S von Zuständen.
Endlich, unendlich, egal. Wir haben eine Menge A
von Aktionen
Auch Transitionen, das sind die Dinge,
die an den Kanten dranstehen werden im folgenden.
Wir malen das wieder als Graf. Und die Kanten werden
definiert durch eine Traditionsrelation. Eine Traditionsrelation sagt, trü,
ist eine Teilmenge von S-Kreuz A-Kreuz S. Also von Zustand
komme ich mit einem Symbol A zu einem Nachfolgezustand.
Solche Triebe. Also das, was man als Kante einzeichnen
würde in einem solchen. Grafen. Und wieder zeichnen wir
eine Teilmenge der Zustände als Anfangszustände aus
Und SF sind ein paar interessante Endzustände. Können jetzt auch
unendlich viele sein. Und ein Transitionssystem nenne ich endlich,
falls sowohl Zustände als auch Aktionsmengen endlich sind.
Und dann gibt es noch so ein paar Einbarungen,
wenn ich nur einen Staatszustand S-0 habe,
dann kann ich auch manchmal nur S-0 streiben in dieser Tubel-Notation
an der Menge, die nur S-0 enthält,
Ich lasse auch die Endzustandsmenge in der Tupel-Notation weg.
Das heißt, wenn dann die letzte Komponente fehlt,
dann bedeutet es implizit, alle Zustände sind Endzustände.
Das ist manchmal praktisch. Aber letztendlich male ich ein Transitionssystem wieder als Kantenbeschriftetengrafen.
Im Allgemeinenfall unendlich groß ist, muss ich manchmal vielleicht Punkt,
Punkt, Punkt, Notation zu Hilfe nehmen.
Aber wenn es endlich ist und ich das aufmale,
sieht das exakt aus, wie unendliche Automaten.
Also ein endlicher Automat ist bis auf syntaktische Schreibweisen,
das Gleiche wie ein endliches Transitionssystem. Und auch hier interessieren mich wieder Fade,
und zwar unendliche Fade im Wesentlichen, manchmal auch endliche.
Und das ist so eine solche Sequenz vorne,
ich komme vom Staatszustand mit einem 0 zu S1,
mit A1 zu A2, mit A2 zu S ran.
Also so ähnlich wie wir das bei Duchi Automaten auch hatten,
mit dem kleinen, aber feinen Unterschied,
beim Bücherautomaten wusste ich, und habe das auch manchmal ausgenutzt,
dass bei einer unendlichen Sequenz,
aber nur endlich viel zur Verfügung stehenden Zuständen,
sich mal
was wiederholen muss
Wenn ich unendlich viele Zustände habe, muss ich da nicht unbedingt
was wiederholen. Also das ist so der einzige Unterschied.
Was kann ich jetzt machen? Ich kann analysieren,
was bedeutet denn dieses System? Und die Bedeutung,
das kann ich auf verschiedenen Ebenen festlegen, also die Semantik eines Transitionssystems,
das beschreibe ich durch seine Transitions- oder Aktionsvollen.
Oder durch die Erreichbaren Zustände, das ist der erste Kasten.
Er, The Reachable States, er,
in ein Transitionssystem,
starte ich
meine Menge
Und jetzt sage ich, wenn ein Wort weh,
ein endliches Wort weh akzeptiert,
sodass ich von einem Zustand S1 aus der vorgegebenen Menge,
Großes S1, mit dem Wort weh,
ein Zustand S erreichen kann, dann ist dieser Zustand auch erreichbar.
Also hier steht alles, was ich mit weh erreichen kann,
mit irgendeinem weh, das ist dann auch eine erreichbare Zustand.
Logisch. Und wenn wir nur sagen,
von den erreichbaren Zuständen eines Transitions sprechen,
dann meinen wir alle von der Staatszustandsmenge aus Erreichbaren zustimmen.
Das heißt, R von TS ist R von TS
von S0 aus betrachtet. Das wären also die Zustände,
die relevant sind, die anderen wären ja nicht erreichbar.
Und jetzt betrachte ich, was sind mögliche Aktionsfolgen? Also Action-Sequences,
und das ist ganz analog definiert, wenn ich die Möglichkeit habe,
mit einem Wort weh, von einem Zustand S1,
mit den Worten, die irgendwo hinzukommen, also zu einem S1-Strich.
Ja, dann ist das Wort weh wohl irgendwie so ein Kantenzug.
Also ist das eine Beschriftung dieser Übergänge?
Das ist dann eine Aktionsfolge. Also wenn ich das,
was an den Kanten dran stehe, aufsammle,
entlang eines begehbaren Fahrdes, dann ist das eine Aktionsfolge.
Und die Aktionsfolgenmenge des Transitionssystems sind all die Folgen weh,
die ich von der Staatszustandsmenge auserreiche. Wenn ich möchte,
kann ich das jetzt noch einschränken und sage,
ich betrachte jetzt nicht ein gemübiges Wort, nee,
das mich irgendwo hinführt, sondern ich fordere zusätzlich,
dass ich nicht nur im Staatszustand S1 starte,
sondern ich muss zusätzlich auch die Bedingungen erfüllen,
dass ich S1-Strich als Endzustand habe.
Also nicht irgendeinen Zustand,
sondern ein Endzustand
Nachts e. Das kann ich also hier entlanglaufen.
Ich lande dann im Zustand S3, das ist kein Endzustoppt.
Einmal hier lasse ich das Ganze loslaufen. Und wenn ich das
ein bisschen anders laufen lasse, dann sehe ich hier E-A-C-G-A-B.de-F. Ja,
mit dem letzten F lande ich wieder in S0.
Und er ist 0 ist auch ein Endzustand.
Das heißt, dass wir in der Sprache enthalten.
Also eine terminale Nationsfolge
Jetzt kann ich noch ein, zwei offensichtliche Feststellungen treffen.
Wenn ich ein Transitionssystem habe, dann sind die terminalen Aktionsfolgen auch offensichtlich immer Aktionsfolgen.
Und die Gleichheit gilt dieser Inklusion, falls alle Zustände Endzustände nimmt.
Okay, nicht so schwierig. So, was wir
noch definieren können, sind State-Sequences. Das heißt,
wenn ich einen unendlichen Pfad habe, also S0,
geht mit Arnold CS1, mit A1 und immer so weiter,
Und ich starte in einen Zustand, ist 0 aus S1.
Dann betrachte ich die Menge aller Zustandssequenzen, Zustandsvollen,
die ich hier haben kann. Also S0 ist 1 ist
2. Und natürlich interessiere mich besonders die Folgen,
die ich vom Staat zustand aus erreichen kann.
Das sind in diesem Fall interessanterweise aus diesem Block die Zustände,
weil der Zustand S7 und S6 die Eigenschaft hat.
Man kommt zwar von dort in diesen Block hinein,
aber nicht wieder raus.
So, kommt also nicht in unendlichen Folgen vor
Das heißt, wenn ich diese Zustandsfolgen,
die unendlichen betrachte, bleibe ich innerhalb dieses rotumrandenden Bereiches.
So, bislang kam also noch mit viel,
was wir beim nächsten Mal dann machen werden.
Wir wollen Äquivalenz von solchen Systemen studieren.
Und da brauchen wir jetzt vielleicht einen neuen Begriff.
Weil wir auch unendliche Systeme zulassen. Und wir brauchen ein Konzept,
das ein bisschen stärker ist als das, was wir bislang kennen.
Bis langsam werden zwei Systeme, sind ihr Qualent.
Wenn du die gleiche Sprache sprechen. Wir werden sehen,
das ist nicht der Weisheit letzter Schluss.
Wir wollen auch ein anderes Konzept raus.
Und das wird Prisimilarität heißen. Und da schauen wir uns
in der nächsten Woche an