dort ungefähr nochmal ein, wo wir beim letzten Mal waren,
also bei PT-Netzen. PT-Netze haben wir motiviert als Faltung von einfachen Netzen.
Das hatte praktisch die Auswirkung, dass wir jetzt mehrfache Marken erlaubt haben auf einem Platz.
Okay, das ist eigentlich mit weniger heil. Dass wir auch Kantengewichte jetzt zulassen müssen,
weil wir Netzbestandteile zusammenfalten, also in dem Beispiel,
das wir hatten, haben wir zwei Rennwagenstränge, nämlich ganz oben,
ganz unten, ist im oberen Netzteil zusammengefaltet, was dazu führte,
dass jetzt nicht eine Marke auf jedem Strang ist,
eines Autos angibt jeweils.
Sondern wir haben gesagt, okay, dann haben wir zweimal
für die zwei Rennwagen stehen. Und um das Ganze formal abzusichern,
haben wir dann gesagt, gut, zu einem normalen,
endlichen Netz mit den Komponenten PT&F. Müssen wir jetzt noch die zwei Komponenten,
Kanten, Gewicht, Weh hinzugeben?
Und wir müssen die Anfangsmarkierung beschreiben als eine Abbildung von den Plätzen,
die natürlichen Zahlen. Also sagen wir zum Beispiel für Kantengewichte,
dass von der Transition T3,
das ist die untere Transition,
eine Kante wegführt zum Platz
Kante ist, mit zwei gewichtet. Es gibt verschiedene Notationsmöglichkeiten für M0,
zum Beispiel, ich definiere die Abbildung explizit,
sage auf dem Platz P1, liegen zwei Marken auf P6,
eine, alle weiteren Plätze sind unmarkiert,
haben also null Marken oder ich kann das Ganze als Vektor darstellen,
wenn ich die Plätze kanonisch durchnummeriere von 1 bis 7,
dann ist die gleiche Markierung eben der Vektor 2,
0-0,
0-1-0 oder besonders einfach als Wort darstellt,
Das ist immer dann angenehm,
wenn ich wenig Marken habe und sehr viele Plätze.
Dann ist die Darstellung als P1 hoch 2 mal P6 auch eine Kodierung.
Gut, was kann ich jetzt damit modellieren? Ich kann
das erzeugen und verbrauchen von Ressourcen beschreiben. Man sieht hier als klassisches Beispiel,
das Erzeuger, Verbraucher,
Probleme oder Szenario auf der linken Seite sieht man also einen Prozess,
der in der Lage ist,
eine Ressource zu produzieren und der puffert sie dann ein,
wobei beim puffern, warum auch immer,
jetzt zwei Plätze belegt werden.
Und wir haben einen anderen Prozess,
der aus dem allgemeinen Ressourcenpool drei Elemente rausnehmen möchte.
Das heißt, du musst warten, bis zweimal produziert wurde,
dann sind vier Ressourcen in der Mitte vorhanden.
Dann kann er einmal entnehmen, eine Ressource bleibt übrig
und dann kann er diese drei einmal verbrauchen.
So, das ist entweder ein Erzeuger,
Verbrauchersystem oder man kann es auch betrachten als Senderempfängersystem
Und was hier modelliert wird erst mal,
ist ein Puffer, der keine Kapazitätsgröße hat.
Das heißt, der mittlere Platz ist erst mal potenziell ohne Schranke.
Ich kann also beliebig viele Ressourcen einpuffern.
Wenn ich das aus physikalischen oder sonstigen Rinnen nicht möchte,
dann fügen wir einen weiteren Platz ein,
mit einem weiteren Platz können wir jetzt darstellen,
dass wir einen beschränkten Puffer haben wollen.
Also zählen wir die Marken mal durch, da liegen zwei,
Nummer drei, Nummer zwei, also sieben Marken drauf.
Damit hat Puffer jetzt eine Kapazität von sieben.
Und man sieht, dass die Kantengewichte so ergänzen müssen,
dass beim Einpuffern zwei Marken aus diesem neu hinzugefügten Platz entnommen werden,
also genauso viele wie ich einlager.
Und bei Entnehmen werden drei wieder zurückgelegt, also genauso viele
Ressourcen entnehmen. Was dazu führt,
dass in der Summe dieser alte Platz in der Mitte und
der neue komplementäre Platz dazu immer konstant viele Marken haben,
in diesem Fall immer konstant sieben Stück.
So, das ist die Standardkonstruktion,
die ich wählen kann, wenn ich modellieren möchte,
dass eine Stelle nur endlich viele Marken aufnehmen kann in
jeder erreichbaren Markierung
Man kann das auch separat definieren, aber das wollen wir
jetzt nicht machen, sondern wenn wir das modellieren wollen,
dann fügen wir eine solche Kapazitätsstelle hinzu in das Modell.
Jetzt weiß ich ungefähr, wie ein solches System funktioniert.
Ich habe eine Vorstellung davon, was es heißt,
was, wenn hier Transitionen schalten, also ich weiß,
wenn die Transition Puffern schaltet,
nimmt sie zwei Marken aus diesem Komplementärplatz und erzeugt zwei Marken auf dem Pufferplatz.
Das muss man jetzt noch irgendwie formal definieren.
Das ist jetzt
nur unsere Intuition
Er schalten hat so verschiedene Eigenschaften, das ist ganz klar,
wenn ich mir diese Situation angucke, eine einzelne Transition,
dann schaue ich mir alle Plätze im Vorbereich an.
Das ist also P8 unten, da soll ich eine Marke abziehen.
P6 Links, da soll ich zwei Marken abziehen und P4
, soll ich drei Marken abziehen.
Und man sieht auf allen diesen drei Plätzen sind mehr Marken
da, als ich abziehen möchte.
Und erzeugt werdenden eine Marke auf P5,
vier Marken auf P7,
zwei Marken auf
Also insbesondere kann man da durchzählen, 3 plus 2 plus 1
sind 6 und erzeugt werden sieben Marken.
Das heißt, an dieser Stelle sieht man auch,
dass da beim Schalten die Balance nicht erhalten bleibt, so erstmal.
So, die Nachfolgesituation ist wie folgt. Ich habe zwei
Marken von P6 weggenommen, 3 von P4, bleibt noch eine übrig.
Und von den zwei Marken auf P8 bleibt noch eine übrig.
Und entsprechend mehr werden hinzugefügt, also auf P5 liegen jetzt
3, auf P7 sind es 4 mehr.
Das sind jetzt eine, da lag 5 und auf P9.
Das war ja vorher leer, liegen jetzt zwei neue Marken
Das Gleiche kann ich mir jetzt überlegen,
was will ich jetzt machen, wenn ich Nebenbedingungen habe?
Also als kleine Variation des Ganzen ist dieser Platz P4 oben jetzt ein Platz geworden,
denn nicht nur drei Marken entnimmt, sondern zwei zurücklehnt.
Das ist jetzt auch möglich. Also wir stellen uns das
so vor, drei Nebenzwei zurücklegen. Das heißt,
in der Bilanz wird der eine weggehen. Das heißt,
von den vier Marken, die ich da vorher liegen habe,
drei weg, zwei hin, führt das dazu,
dass da minus eins gerechnet wird,
also nur noch drei Marken da liegen.
Ansonsten ist das genau gleich geblieben. Das Besondere ist,
ich kann jetzt nicht, ich kann jetzt zwei Dinge in einem Zug modellieren.
Ich kann zum einen sagen, nach dem Schalten möchte ich eine Marke weniger haben.
Das ist das Erste. Und das Zweite,
was ich sagen kann, ich kann trotzdem fordern,
dass mindestens drei Marken da sein müssen.
Das kann ich also auch beliebig anders konfigurieren,
aber durch diese Vorbedingung, dass drei Marken abgezogen werden sollen,
habe ich erzwungen, dass mindestens drei da sind,
selbst wenn ich nur eine in der Netto-Bilanz verbrauche,
weil ich mir gleich wieder zwei neu erzeuge.
So, also im Gegensatz zu den einfachen Netzen,
den Petrinetzen und deren Schaltregel, macht hier eine Nebenbedingung Sinn,
weil ich ja mit Kantengewichten das verrechnen kann.
Es würde sogar Sinn machen, wenn ich einen wegnehme und einen
gleich wieder zurücklege. Das kann man dann gar nicht sehen,
weil sich die Markierung gar nicht verändern würde.
Ist aber auch jetzt möglich von der Schaltregel.
Wollen wir zulassen? Bei Petrinetzen war es ja so,
dass die nachfolgenden Plätze alle leer sein mussten. Das heißt,
Nebenbedingungen, die mussten markiert sein, nachfolgende Plätze mussten aber leer sein,
wenn sich also eine Nebenbedingung, wie in diesem Beispiel habe,
dann Ich kann eine solche Transition nie schalten.
So, wir definieren das genauso wie der zwei Stufen.
Wir definieren zuerst, wann ist eine Transition teaktiv aktiviert?
Und was passiert, wenn sie schaltet? Was ist dann
die Nachfolgemarkierung? So, wir nehmen also an,
wir haben ein PT-Netz in den Standard-Komponenten und wir haben eine Markierung gegeben,
meinetwegen als Vektor M, sodass M für jeden Platz P eine natürliche Zahl ist.
So, und wenn man es mal braucht,
die Menge aller Markierung,
kann ich mit M Index P beschreiben
Und jetzt nenne ich eine Transition Tee,
aktiviert in einer Markierung M, wenn gilt,
dass für alle Plätze P des Vorbereichs von Tee gilt,
dass die aktuelle Markierung von P größer gleich dem Kantengewicht an der Kante,
die von P nach Te ist.
Das heißt, für jeden Platz im Vorbereich sind genügend Marken da.
Unterschreiben wir als M-Pfeil mit Tee drüber. Das heißt,
die Transition ist aktiviert Kammschalten. Für dieses Beispielnetz kann man mal gucken,
die obere Transition Jetzt nehmen wir mal die Markierung auf dem ersten Platz zwei Marken,
auf dem mittleren Platz eine und auf dem dritten Platz Null Marken.
Ist das denn aktiviert? War aber nicht so überraschend.
Wir müssen jetzt einfach nur diese Bedingung für jeden Platz
des Vorbereichs durchtesten. Also wenn wir mit P1 anfangen,
ist die aktuelle Markierung ja zwei und das Kantengewicht,
das lesen wir ab
Da steht nix. Das ist also so gut wie eine Eins.
Und zwei ist größer gleich Eins. Das passt also schon
mal. Und dann hätte ich den nächsten Platz im Vorbereich P2
und da steht dann Eins, ist größer gleich Eins.
Passt also auch. Und jetzt kann man noch ein bisschen
um Notation vereinfachen, indem man sie an einer Stelle verkompliziert.
Denn das Kantengewicht ist ja bislang nur definiert für Kanten.
Das heißt, wo keine Kanten ist, ist auch kein Kantengewicht.
Ich möchte nun aber schreiben, wie mit seiner geschwungenen Welle,
also wie Tilde von PT.
Das mit dem alten Kantengewicht von PT gleich seinenfalls PT eine Kante ist,
also schon in F drin ist.
Und wenn PT keine Kante war in F, dann ist es null.
Das ist eine sinnvolle Definition, weil keine Kante zu haben,
ist mathematisch gesehen genauso gut wie eine Kante mit dem Gewicht null zu haben.
Also eine Kante, die null Marken abzieht und null Marken hinlegt.
Das ist so genau das Äquivalent von keiner Kante
zu haben
Wenn man das nochmal genau sich in der Aktivierungsbedingung anschaut,
da steht ja nur die aktuelle Markierung, soll größer gleich dem Kantengewicht sein.
Wenn ich das Kantengewicht aber sage für eine Kante,
die nicht da ist im Vorbereich, ist es null.
Eine natürliche Zahl ist immer größer, gleich null. Deswegen ist das keine Einschränkung,
wenn ich hier nicht vorhandene Kanten im Vorbereich auf null setze.
Und das Gleiche mache ich auch im Nachbereich, da sage ich,
weht Tilde von TPs, dem alten Kantengewicht von TP gleich,
wenn die Kante schon da war und null sonst.
Das ist konsistent mit unserer Vorstellung, die wir gleich entwickeln,
dass ein Erzeugen von null Marken, genau das ist,
was mit einem Platz passieren würde,
der gar nicht mehr in der Ausgangskante angeschlossen ist.
So, mit dieser Notation kann ich jetzt definieren, wie die Nachfolgemarkierung aussieht,
wenn teeaktiviert ist. Ich schreibe das als M,
schaltet mit Tee zu im Strich, genau dann, wenn gilt,
so, um sicherzugehen, haben wir nochmal hierhin geschrieben,
M von P ist größer wie Tilde P von T,
um das für alle Plätze.
Das heißt, hier steht erstmal das Ganze ist aktiviert
Und dann steht dort die Nachfolgemarkierung im Strich,
ergibt sich für jeden einzelnen Platz P,
in dem ich die aktuelle Markierung M von P betrachte,
dann so viel davon abziehe, wie an einer eventuell vorhandenen Kante,
die von diesem Platz P zu dieser Transition Tee führt.
Also die einlaufende Kante von P, wenn die nicht
da ist, dann ist das per Definition ja null.
Ansonsten ist das irgendwie eine Zahl. Und hingelegt wird
das Kantengewicht der auslaufenden Kante von T nach
Wenn P sowohl einen vor- als auch eine Nachbedingung gibt,
dann sind die beiden Werte ungleich.
Null, dann passiert da tatsächlich irgendwas. Aber wenn ich
nur eine Vorbedingung habe, der letzte Sumant-Null,
wenn ich nur eine Nachbedingung habe, ist der negative Teil null.
Wenn der Platz gar nicht da drin vorkommt, dann sind beide null.
Und wenn ich eine Nebenbedingung habe, dann sind beide ungleich.
So, das ist die Definition für jeden Platz einzeln.
Wenn ich mir nochmal das Beispiel angucke, für diese Stelle,
wie muss ich das rechnen?
Dann ist P dieses P1, T ist meine Transition
Die aktuelle Markierung von PS2, das ist größer als eins,
das haben wir eben schon gesehen.
Und die alte Markierung, ja, was nehme ich weg?
Eins. Und was lege ich hin? Null. Und
wenn ich jetzt mal minus eins plus null rechne,
kommt da eins raus. Gut, weiß ich also,
die Nachfolgemarkierung im Strich für diesen Platz P1 ist eins.
Wenn die Transition schaltet
Jetzt kann ich mich noch fragen, was passiert mit P3?
Da wird ja erstmalig was erzeugt. Dann setze ich P,
gleich P3, T ist immer noch T1,
dann rechne ich das so weiter.
Am Anfang sind da keine Marken. Das macht aber auch nichts,
denn das Kantengewicht ist null. Was schließlich daran liegt,
dass es gar keine Kante von P3 zu T1 gibt.
Und null ist größer gleich null. Deswegen ist sie
aktiviert, gut. Jetzt rechnen wir weiter,
anfangs liegen keine Marken drauf
Ich ziehe auch keine ab, da gibt es keine Kante, aber ich lege drei Marken hin.
0 minus 0 plus 3 bis 3. Das heißt,
die Nachfolgermarkierung für den Platz P3 ist dann 3. Gut,
kann ich auch noch ausrechnen für den Platz P2,
da stelle ich den fest,
die aktuelle Markierung ist eins, ich ziehe einen ab,
lege 0 hinzu, das heißt insgesamt,
das ist die Nachfolgermarkierung für P2 in der Mitte 0. Sondern dann habe ich ausgerechnet die Nachfolgemarkierung ist halt zwei Nee,
ist eins,
0-3.
So, das ist jetzt die eine Möglichkeit, das Ganze zu definieren.
Man kann das ein bisschen kompakter schreiben, weil ja diese
ganzen Additionen und Subtraktionen für jede Komponente einzeln gemacht werden.
Und wenn wir uns eh schon darauf geeinigt haben,
dass wir das Ganze als Vektor schreiben können,
dann können wir auch ein Vektor aufschreiben,
denn den Effekt des Schaltens für alle Plätze auf einmal definiert.
Also wir definieren uns ein neues W, Cola Tee.
Das ist der Vektor, der jetzt aus genauso vielen Komponenten besteht, wie ich Plätze habe.
Ja, oder meinetwegen w.t. Und für jeden,
für jeden, für jede Komponente PI schreibe ich jetzt auf,
wie viel Marken entfernt die Transition Tee von diesem Platz PI.
Also in der ersten Komponente steht, wie Tilde von P1 Tee,
Punkt, Punkt, Punkt bis B,
Tilde P N von Tee, wenn ich N-Plätze habe.
Also ein Vektor, der die Länge hat, entsprechend der Anzahl meiner Plätze.
Das Gleiche kann ich auch für den Nachbereich machen.
Ich kann also sagen, was ist der Effekt,
den eine Transition hat auf alle Plätze.
Da mache ich wieder einen Vektor,
der Längebetrag von P und schreibe dort Vetil der T von P1
bis W. Tilde von T. bis zur letzten, bis zum letzten Platz.
PN. Und wenn ich jetzt sage, okay,
Addition und Subtraktion kennt man auch auf Vektoren,
dann kann ich die letzte Gleicherung schön kompakt schreiben, nämlich,
ich kann sagen, M schaltet mit T zu M Strich,
wenn gilt, dass die Markierung größer gleich w.t ist.
Das ist jetzt ein Vergleich auf Vektoren. Zwei Vektoren haben
typischerweise die Vergleichsoperation größer gleich, wenn man sagt,
komponentenweise gilt das oder punktweise. Also wir haben ausgenutzt,
wir dürfen immer das explizite nennen des Platzes P hier weglassen,
weil wir jetzt zwei Vektoren direkt miteinander vergleichen und das wird
irgendwo hinter den Kulissen zurückgeführt auf einen Vergleich für jeden einzelnen Platz.
Das heißt, die Markierung ist für jeden Platz
größer gleich
Dem Gewicht dieses Punkt T Vectors. Und die Nachfolgemarkierung ergibt sich
ganz analog, ohne dass ich die Plätze nennen muss,
als am Strich ist gleich m-, ja,
der Vorvector w.t plus wt.
Also das, was T entfernt plus dem, was es hinlegt,
das wird verrechnet und gibt die neue Markierung im Strich.
Wenn ich das jetzt für das Beispielnetz einmal komplett aufschreibe,
für T1,
dann lese ich ab
meine aktuelle Markierung ist
Ah. Und die Transition T1, die hat als Vorbereichsvektor 1-1-0,
denn ich nehme von P1 eine Marke weg, von P2.
Und von P3 aus gibt es keine Kante, die zu
T1 führt. Und dann sieht man Komponentenweise im Vergleich,
ja, der erste Vektor ist größer als der zweite.
Und jetzt berechnet sich die neue Markierung, wissen wir ja schon,
die sieht aus 1-0-3,
indem ich den alten Vektor nehme,
2-1-0, die Anfangsmarkierung Das,
was ich weglege, das hatten wir eben schon.
Und das, was ich hinlege, das ist ja
nur dieser eine Platz P3, der davon betroffen ist.
Und wenn ich jetzt die letzten drei Vektoren verrechne,
zwei minus eins plus 0, dann kommt eins raus,
eins minus eins plus 0, kommt null raus,
null minus 0 plus 3, kommt drei raus.
Das heißt, die ganze Rechnung kann man auf einmal für
alle Plätze machen, wenn ich mit Vektoren das Ganze schreibe.
Außerdem werden die Definitionen einen Tick kürzer.
So, ist aber nur letztendlich
eine Notationsvariante
Was kann ich jetzt machen? Jetzt weiß ich,
wann ist eine Transition aktiviert? Und jetzt kann ich mich
fragen, wie sieht das aus mit Sequenzen von Transition?
Das hatten wir bei Transitionssystemen auch. Da hatten wir auch
die Aktionsfolgen und die Schaltfolgen betrachtet. Das machen wir hier
genauso. Läuft völlig analog durch Verkettung. Ich nehme an,
ich habe ein PT-Netz N und ich komme mit einem Wort
weh von M nach M Strich,
wenn weh das leere Wort ist und im Strich ist
Also mit dem leeren Wort verändert sich gar nichts.
Sollen wir nicht jetzt das Wort WT habe,
also ein Schaltwort und an der letzten Position kommt ein Tee vor?
Mit diesem Schaltwort komme ich von der Markierung M zur Markierung am Strich.
Wenn es eine Zwischenmarkierung gibt, im Dreistrich,
sodass gilt, ich komme von M zu M-3-Strich,
mit dem Teilwort Wehen,
da beginnt jetzt eine Rekursion und ich komme mit von M3-Stich
mit Tee direkt zu M-Strich
Das heißt, es gibt also einen Zwischenzustand und
wann man von M3-Strich mit einem Tee zu M-Strich kommt,
das ist die ganz normale Schaltregel,
die wir auf der Folie zuvor hatten.
Dadurch habe ich rekursiv das Schalten erweitert von einer Transition auf
beliebig langen Sequenzen. Und ich spreche jetzt auch davon,
dass eine Transitionsfolge aktiviert ist in M und ich notiere das
auch völlig analog als M-Pfeil-W,
wenn es eine Nachfolgemarkierung M1 gibt,
von M ausgesehen mit dem Schaltwort
Und jetzt kann ich noch sagen, die Menge aller Schaltfolgen,
Firing Sequences of N ist die Menge aller Worte weh,
die die Eigenschaft haben, dass die Anfangsmarkierung M0 sie aktiviert.
Das sind alle möglichen Schaltfolgen. Für dieses Beispielnetz,
aus der Initialmarkierung M0, komme ich mit 210 und dem
leeren Wort natürlich wieder zu 210.
Und das ist auch die einzige Markierung,
die ich mit dem leeren Wort erreichen kann
Und wenn ich jetzt die Transition T1, T2,
T1, die 2, T1 schalte,
also ein paar Mal rundherum im Kreis laufe, was passiert dann?
MRT1 entfernt auf P1 eine Marke und T2 legt wieder eine hin.
Das heißt also, T1, die zweite, 1,
T2, die heben sich im Effekt genau einmal auf,
sodass wir erwarten können,
das gesamte Schaltfolge,
weil da hinten noch ein weiteres T1 kommt,
eigentlich nur in der Nettobilanz
eine Marke von P1 entfernt
So, umgekehrt für P2, was passierte.
Einmal die Einschalten, ist eine Marke auf P2 weg.
T2 schalten, kommt zwei hinzu, also einer mehr.
Das heißt, dieser Blog T1, T2, T1,
C2 müsste also zwei Marken mehr produzieren und T1 eine weg.
Also müsste da auch eine Marke insgesamt mehr kommen.
Und was passiert bei P3?
T1 legt zweimal
drei Marken drauf
Nee, dreimal. Das sind also neun Marken.
Und T2 entfernt. Eine und noch eine.
Das heißt, ich erwarte dort sieben Marken.
Also diese Markierung sollte da auskommen. Und dabei ist es interessant,
wenn ich erst mal vernachlässige, was ich gerade getan habe,
ob diese Markierung, ob diese Schaltfolge tatsächlich aktiviert ist.
Denn es ist gar nicht so wichtig, in welcher Reihenfolge
die Transition vorkommt. Also wir könnten jetzt nochmal nachrechnen,
dass diese Transition aktiviert ist, tatsächlich schalten kann.
Aber wenn das schon mal geklärt ist,
dann kann ich die Nettobilanzen ganz einfach ausrechnen, indem ich sage,
aha, in dieser Schaltfolge schaltet T1 3 mal.
Was ist denn der Effekt von 3 mal T1 schalten?
Ja, bezüglich P3 ist das 3 mal 3,
9. Und 2 mal T2 ist minus 2. Wenn es um den Effekt geht,
dann muss ich einem nur zählen, wie oft eine Transition vorkommt.
Ich muss mich also nicht mehr um die Reihenfolge kümmern.
Das vereinfacht die Sache. So, gucken wir hier nochmal
das Rennmagenbeispiel an
Das hat als Startmarkierung zwei Autos, also zwei Plätze,
zwei Marken auf dem Platz.
P1 und eine Marke auf dem Platz P6. Wenn jetzt Tee einschaltet,
dann flutscht das hier lang, das heißt,
die Marke auf P1 ist weg, die eine,
bleibt noch eine übrig.
Und ich habe jetzt eine Marke auf P2 neu und auf P4
auch eine neue. Das heißt, ich bekomme die zweite
Markierung. Und jetzt kann ich das Spiel so weitertreiben
Ich kann noch mal einen Tee einschalten,
bekommen dann hier diese dargestellte Markierung 0-2,
0-2, 0-1-0. Ja,
das stimmt genau.
Jetzt kann ich T3 schalten, denn es sind beide Autos fertig, vorgefahren.
Das heißt, der Starter kann die Signalfreigabe erteilen.
Zwei Autos dürfen jetzt loslegen. Das ist diese Markierung.
Und jetzt kann T2 schalten einmal für das eine Auto
und dann noch mal für das andere Auto
Und dann erreiche ich erst mal eine Entmarkierung,
weil es da nicht mehr weitergeht. Das ist jetzt
eine Sackgasse. Keine weiteren Transitionen sind aktiviert. So,
was ist jetzt aus theoretischer Sicht ganz interessant bei Petri-Netzen?
Ja, die haben ja nicht nur nette grafische Eigenschaften,
sondern bei Petri-Netzen ist die Scheidregel so formuliert,
dass salopp gesprochen mehr Marken auch nicht schaden.
Ja, was heißt das salopp gesprochen? Diese Schaltfolge,
wenn ich noch fünf Autos mehr am Start gehabt hätte
Denn wir sinngemäß die alte Schaltfolge, T1,
T1 zu 3, T2, T2, immer noch möglich gewesen.
Einfach bedingt durch die Tatsache, dass sich die zusätzlichen Marken
ja hätte ignorieren können. Es ist also nicht so,
dass wenn ich lokal Marken hinzufüge, Verhalten verschwindet.
Es kommt höchstens noch Verhalten hinzu, denn man sieht,
wenn ich fünf Marken noch auf P1 hinzufüge,
dann kann T1 fünfmal öfter schalten als vorher.
Ja, ich verändere natürlich das Verhalten mit mehr Marken.
Aber das Wichtige ist, alles,
was vorher ging,
geht auch weiterhin
Und so ein Verhalten nennt man Monotonie, ja,
monoton, so wie bei Funktionen, größerer Input, ja,
erlaubt mir auch nochmal größere Aktivität und formal kann man das in folgendem Lämmer festhalten.
Wenn ich ein beliebiges PT-Netz habe, dann gilt für jede Schaltfolge weh,
wenn ich von dem 1 nach M3 schalten kann, mit weh.
Dann kann ich jetzt folgendes aussagen für eine beliebige Zusatzmarkierung M,
die ich da jetzt hinzupacke zur M1. Ja,
betrachte ich also die Markierung 1 plus
Das sind ein paar mehr Magen. Dann kann ich
wie immer noch schalten. Das ist das Erste. Und
die Markierung, die ich bekomme, ist M3 plus M.
Das heißt, die alte Markierung plus die Marken,
die ich dazu gepackt habe, die sind also niemals angefasst worden.
Das heißt, wenn ich mehr Marken hinzugepackt habe,
dann geht nicht nur das Alte,
sondern die werden auch brav in Ruhe gelassen.
So, ich hätte jetzt diese Vektoren oder die nennt man auch Multimengen,
die hätte ich jetzt von links oder von rechts addieren können.
Also die Gleichung wird auch gelten, wenn ich schreiben würde,
M plus M1 schaltet zu M plus M3 oder irgendwelche Vertauschen davon.
So, das ist die Monotonie. Ich kann also bei solchen Schaltbeziehungen,
Übergangsbeziehungen einfach eine Markierung auf beiden Seiten hin zu addieren.
Subtrahieren geht natürlich nicht. Wenn ich sage,
ich weiß, ich komme von dem 1 zu M3,
dann darf ich nicht irgendwas da von beiden Seiten abziehen.
Warum? Ich könnte jetzt zum Beispiel auf den Gedanken kommen,
M1 von beiden Seiten abzuziehen.
Dann steht da links null
Und keine Marken, ja nur in den seltensten Fällen für
die ganz komischen Netze aktiviert das noch irgendwas,
wenn ich gar keine Marken habe. Man könnte sich vorstellen,
Transitionen, die gar keine Plätze im Vorbereich haben, ja,
das kann man machen, aber meistens ist das nicht so.
Also ich darf tatsächlich eine Markierung hinzuaddieren und wenn ich sie
von beiden Seiten für abspalten kann,
also wenn ich die rechte Seite zuerst vorfinde,
dann darf ich sie aber nicht einfach wegnehmen.
Das ist nur eine Implikation, von rechts nach links
darf ich das nicht anwenden.
Gut. Könnte man sich mal so selbst beweisen,
wie man das beweist,
man beweist es nämlich per Induktion über die Länge der Schaltfolge
Es ist besonders einfach, wenn das weh die leere Schaltfolge ist.
Und im Induktionsschritt muss ich da die Definition einsetzen, was passiert,
wenn eine Transition Tee schaltet, mit den Marken.
Gut, kann man mal machen, machen wir auch noch sowas in den Übungen.
Aber damit kann man jetzt auf folgende Monotonieeigenschaft schließen. Ja,
das ist eigentlich eine Spezialisierung, so wird das meistens verwendet. Wenn ich weiß,
von M1 komme ich mit dem Schaltwort zu M3,
Und ich habe eine größere Markierung M2, also eine Markierung M2,
die größer ist als meine Startmarkierung, dann weiß ich,
dass sie auch von M2 mit dem Schaltwort W irgendwo hinschalten kann,
mich zu irgendeinem M4. Das heißt, insbesondere W,
diese Schaltfolge ist aktiviert in M2.
Das heißt, größere Markierung. Das sind immer Blauheitenstelle. Ne,
das heißt, das Gleiche, was wir vorhin gesagt haben,
M2 größer gleiche M1, wenn das komponentenweise gilt.
Die Markierungen sind ja Vektoren und Vektoren sind größer gleich,
wenn sie für jeden,
jede Komponente größer gleich sind
So, und das ist, da benutzen wir das Obi-Gilemma,
da setzen wir mich speziell mal ein, als M,
die Differenz von M2 zu M1, da ich weiß,
dass M2 größer gleich M1 ist,
weiß ich, wenn ich das subtrahiere,
dann kommt eine Markierung raus,
weil in jeder Komponente steht ein Wert größer Null.
Das heißt, die Differenz von beiden ist größer,
glaube ich, Null Vektor.
So, wenn ich das jetzt spezialisiere, dieses M,
setze ich mal da oben in die gleichen 1.1 ein
Und ich nehme an, M1 schaltet mit W zu M3
, dann kann ich jetzt M2 ausrechnen.
Das ist ja M1 plus M. M1 plus genau die Differenz,
die da fehlte, SM2.
Da wissen wir, das schaltet mit W zu M3 plus M.
Denn ich darf ja auf beiden Seiten der Gleichung em addieren.
Ja, das gibt mir das obige Lämmer.
Und jetzt kann ich die rechte Seite weiter um vom M3
plus M, weil M ja M2 minus M1 ist
Habe ich rechts einen Ausdruck, das ist,
nenne ich jetzt mal M4 und M4 ist eben M3 plus M2 minus M1.
Das ist auch eine Markierung. Kann ich also insbesondere aus
den ersten drei Markierungen M1 und 2 M3 ausrechnen.
So, das heißt, die Folgemarkierung ist sogar eindeutig festgelegt.
Das nennt man Monotonie oder flapsig gesagt mehr Markenschaden nicht beim Schalten.
Das ist ja etwas, was gilt nicht unbedingt für jeden,
für jedes Verhalten
Also das erste Beispiel, was man so kennenlernt,
ist der Kellerautomat. Ja, so ein Kellerautomat,
der verhält sich schon deutlich anders,
wenn er einen Lernkeller hat, als wenn da irgendwas drauflegt.
Danach unterscheidet er nämlich. Und im Prinzip ist der Keller
ja sowas ähnliches wie der Zustandsspeicher eines Petri-Netzes.
Bei Petri-Netzen ist immer die Aussage,
wenn ich irgendwie was tun kann,
dann kann ich mit mehr auf dem Platz
das auch tun
Beim Kellerautomaten gilt diese Aussage eben gerade nicht. Das liegt daran,
dass beim Kellerautomaten tatsächlich die Reihenfolge natürlich entscheidend ist auf dem Keller.
Während auf so einem Platz ist ja nicht entscheidend,
in welcher Reihenfolge die Marken da drauf liegen,
sondern die liegen da einfach so drin.
Die werden ja nicht verdeckt. Wenn ich also ein paar Marken hinzuaddiere,
dann sind die Alten immer noch genauso sichtbar wie vorher.
Das ist eben der Unterschied in der Betrachtungsweise beim Kellerautomaten,
kann ich etwas überschatten?
Bei Petrinetzen können mehr Marken
nichts überschatten
Und Algebrage liegt das daran, beim Kellerautomaten packe ich oben was drauf,
das ist nicht kombitativ. Während hier bei Petri-Netzen,
bei Vektoren, habe ich ein Plus, das ist kombitativ.
Also das ist die Reihenfolge, in der ich Marken notiere, irrelevant.
Beim Stack ist es eine Sequenz, deren Reihenfolge relevant ist.
Gut, wenn ich jetzt also weiß,
dass es ein Petri-Netz, so schaltet das,
hat auch vielleicht die nette Eigenschaft der Monotonie.
Was kann ich denn machen? Dann kann ich definieren,
was sind denn erreichbare Zustände? Das machen wir ganz analog zu Transitionssystemen.
Wir nehmen also an, wir haben Eine Menge S-0 von Markierung,
dann definieren wir die vom diesen Markierung aus, es ist null erreichbaren Markierung.
Das ist dann die Menge aller M2, die die Eigenschaft haben.
Es gibt ein Schaltwort, weh und eine Startmarkierung M1 S-0,
sodass ich von M1 mit dem Schaltwort weh nach M2 komme.
Also ganz genauso wie bei Transitionssystemen. Und die Erreichbarkeitsmenge,
also die Erreichbarkeitsmenge R von N, ist definiert als alles,
was ich erreichen kann,
wenn ich als Startmenge genau die initiale Markierung M0 wähle
So, und typischerweise wissen wir genau,
um welches Netz es sich handelt,
sodass wir von der Erreichbarkeitsmenge des gerade implizit gegebenen Netze sprechen.
Das heißt, wir schreiben meistens nur R von M
und meinen damit die Erreichbarkeitsmenge N von einem festgelegten Startzustand M.
Denn es ist typischerweise so, dass man eher mal
die Anfangsmarkierung variiert in einer Betrachtung, als das Netz.
Meistens hat man so ein festes Netz pro Betrachtungszeitrahmen
und sagt dann gut, aber könnte für verschiedene Anfangsmarkierungen
spannend sein
Und wenn ich das habe, ich weiß ja jetzt,
welche Markierungen sind erreichbar, dann kann ich damit den Erreichbarkeitsgraf definieren.
Und der Erreichbarkeitsgraf steht aus den Knoten. Die Knotenmenge ist identisch mit
den erreichbaren Markierungen. Und als Kantenmenge nehme ich hinzu,
naja, alle Knoten, MM2, MM2,
die Eigenschaft habe, ich komme mit Tee von M1M2.
Und dann ist eine Kante eben M1,T, Komma M2,
also so ein Triple.
Das ist also ein Kantenbeschriftet der Graf
Wie kann das beispielsweise aussehen? Für unser Beispielsystem des Rennwagens
. Da sieht man, es erreicht das Transitionssystem
den Erreichbarkeitsgrafen auf der linken Seite dargestellt.
Und das läuft jetzt genauso wie hier auf der rechten Seite.
Das haben wir uns schon mal angeguckt, das einfache Netz.
Wenn man das jetzt nicht wie auf der rechten Seite als Bildchen malt,
sondern abstrakt, dann sieht das so aus wie links.
Man startet also links oben in P1, P6, PC.
Das ist gerade die aktuelle Markierung
Und schaltet dann entweder nach rechts mit T1 und landet im P2,
P4, P6, PC oder geht nach unten mit T4?
P1, P6, P8, P11.
Und kann das jeweils andere nachholen und langt dann zu,
ich lese es nochmal vor, P2, P4,
P6, P8, P11 und so weiter und so fort.
Das heißt, diese grafische Darstellung,
die wir schon mal hatten, ist formal,
korrespondierend hier dargestellt in Form eines Transitionssystems und dieses Transitionssystem nennen wir Erreichbarkeitsgraf.
So, da haben wir schon eine Menge geschafft eigentlich
Bei den Netzklassen haben wir jetzt schon die einfachen Netze kennengelernt und die PT-Netze.
Jetzt wollen wir jetzt nicht gleich zu den Kantenkonstanten netzen oder Gefärbtennetzen weitergehen,
sondern wir wollen noch ein bisschen bei den PT-Netzen verharren und wollen jetzt schauen,
wenn ich damit modelliere,
welche Eigenschaften sind denn da spannend und wie kriege ich die raus?
Was sagt, was kann ich jetzt über Modelle,
die ich erstellt habe,
aussagen und welche Eigenschaften gibt es,
die modellübergreifend interessant sind
Sagen wir mal ein paar elementare Systemeigenschaften, die es
da so geben kann. So, die erste Frage,
die uns interessiert, ist, ob ein Netz beschränkt ist.
Also gibt es eine Schranke für die Anzahl der Marken auf den Plätzen,
wenn das der Fall ist, dann weiß ich,
dass der Zustandsraum endlich ist.
Schlichtweg aus kombinatorischen Gründen, wenn auf jedem Platz nur endlich
viele Marken liegen können und nicht nur endlich viele Plätze habe,
dann sind insgesamt nur endlich viele Zustände möglich.
Die zweite Eigenschaft ist Lebendigkeit, das kann man hier
sehr schön studieren. Das bedeutet, dass Im Prinzip,
wo immer ich hinlaufe, mit welchem Zustand auch ich immer einnehme.
Ich habe immer die Möglichkeit, Aktionen noch zum Ausführen zu bringen.
Also eine lebendige Transition kann immer noch mal zum Schalten gebracht werden.
Muss nicht, aber könnte. Ich kann also im Umkehrschluss niemals einen Zustand erreichen,
bei dem es mir nicht mehr möglich ist,
eine Transition noch mal zum Schalten zu bringen.
In dem Sinne potenziell, weil ich es zum Schalten bringen kann.
Also da weißt du, dass ihr letztes Beispiel nicht mehr
möglich wart
Wo wir haben erzählt, die drei Marketplatte in der Nähe
zu starten. Wenn ich irgendwo in einem Zustand bin,
wo es nicht mehr weitergeht,
dann habe ich gar keine Chance mehr, irgendwas zu tun,
dann sind die Transitionen nicht mehr potenziell aktivierbar.
Ja, das ist sogar noch viel schlimmer.
Also so eine Verklemmung, wo gar nichts mehr geht,
das ist noch härter. Ich könnte mich ja sonst fragen,
manchmal gibt es solche Zustände, die sind teilweise verklemmt.
Da kann mich folgendes passieren. Ich kann zwar immer noch
was tun, aber die Transition T-14,
die kann ich jetzt ab jetzt nicht mehr
zum Schalten bringen
Ja, und ich kann mich jetzt fragen, Lebendigkeit vereinzelne Transitionen.
Es kann ja sein, dass mich das interessiert. Also ich möchte,
dass ich die 14 immer zum Schalten wiedergebracht werden kann.
Reversibilität, das bedeutet, dass ich ein System habe,
das immer die Möglichkeit hat, zum Anfangszustand wieder zurückzukehren.
Also hat einen Rücksatzzustand, viele Systeme, die man kennt,
durchlaufen, irgendwie eine ganze Weile und sind dann wieder im Startzustand.
Also zum Beispiel irgendwelche Ablaufprotokolle haben typischerweise die Eigenschaft,
sie werden gestartet, haben Zwischenzustände,
werden beendet und machen dann wieder einen Rücklauf zurück zum Start.
Also ein gewisses zyklisches Verhalten. Und das ist ganz interessant.
Bei manchen Systemen will man das haben und dann ist es
eine gute Frage, gilt das immer. Und dann komme ich,
egal wo ich hingelaufen bin, also wieder nach Hause.
Und wechselseitiger Ausschluss, das gibt es in zwei Varianten. Einen haben wir schon kennengelernt,
also dass es nicht möglich ist,
dass ein gemeinsamer Zustand eingenommen wird,
dass wir dann in unserem Fall ein Pemutex, weil das bedeutet,
dass in einer Markierung gewisse Plätze gleichzeitig markiert werden können,
wechselseitiger Ausschluss von Plätzen würde bedeuten, dass das nicht auftreten kann.
Oder wechselseitiger Ausschluss bei der Transitionsausführung, Themu-Text bedeutet,
wenn die eine schalten kann, dann bitte nicht die andere.
Also zwei Transitionen sind nie gleichzeitig aktiviert,
das nenne ich jetzt wechselseitige Ausschluss von Transitionen.
Wenn sie nicht beide gleichzeitig aktiviert sein können.
Jetzt gucken wir uns mal ein Netz an.
Das Netz A, da steht, es ist unbeschränkt,
nicht lebendig,
nicht reversibel
Jetzt erstmal die spannende Frage. Ich gucke mir das Netz an,
mal so eben, ich schalte mal T-1, T-2,
das ist besser, also die rechte Seite,
dann liegen da auf P3, P4 Marken,
dann schalte ich T4, dann liegt die Marke auf P1,
dann kann ich also T einschalten,
liegt die Marke auf P2, P3,
dann schalte ich T3 und dann habe ich die Situation wieder von vorher.
So, das ist also ein Verhalten,
Da erreiche ich nach dieser Schaltfolge wieder meinen Ausgangszustand.
Wirkt doch ganz reversibel. Es ist auch nicht gerade so,
als wäre es unbeschränkt. Nur bei dieser Schaltfolge habe ich
nichts Unbeschränktes gesehen. Und alle Transitionen konnten doch schalten.
Man steht aber bei A darunter, es sei unbeschränkt,
nicht lebendig und nicht reversibel
Wieso ist es zum einen unbeschränkt? Wenn man so den vielleichten Schaden langweilt,
schaut man. Die rechte Schlaufe, T2, T4,
wenn ich T2 schalte, dann kann ich T4 schalten,
dann habe ich wieder eine Marke auf P1,
aber die Marke auf P3 habe ich als Nettogewinn verbucht,
die ist frei dazugekommen.
Und niemand hindert mich,
das nicht einmal zu machen und mir auf diese Art und
Weise N-Marken auf P3
zu verschaffen
So, und das kann ich für jedes N machen.
Das heißt, der Platz P3 ist schon mal unbeschränkt,
denn egal welche Schranke, wie ihr mir gebt,
ich finde eine Schaltfolge, die dieses Schrank geknackt.
So, in dem Sinne wissen wir sofort, es ist unbeschränkt.
Warum sieht man auch gleich Unbeschränkt heißt, es ist,
nein, Beschränktheit heißt, es ist beschränkt bei der Größtmöglich blöden Schaltfolge.
Das ist für ein paar normale Schaltfolgen beschränkt bleibt,
ist nicht das, was wir meinen, sondern auch,
wenn es dumm läuft, muss es beschränkt sein.
Und dumm laufen heißt immer nur rechts lang gehen,
das ist ja irgendwie so ein bisschen einseitig,
führt aber dazu,
dass ich beliebig
viele Marken anhäufen kann
Wieso ist es nicht lebendig? Sie sind einschaltet davon,
so weit sie gemeint haben, viel zwei getan.
Ja, dann passiert gar nichts mehr, wenn ich dir einschalte.
Dann habe ich eine Verklemmung des Systems, da geht nichts mehr,
also kann ich keine Transition mal wieder zum Schalten bringen.
Deswegen meinte ich vorhin, jetzt fangen wir mal mit T2
an, mit T1 anzufangen, wäre blöd.
Und das zeigt insbesondere auch gleich,
dass es gar nicht reversibel sein kann,
wenn nach einmal T1 schalten, bin ich in einer Markierung,
von der ich garantiert nicht mehr zurückkomme,
denn da komme ich nirgendwo hin
So, diese beiden Punkte sind klar. So,
und jetzt in den großen, freien Block, nachdem wir
das geklärt haben, packen wir mal ein neues Netz.
Das hat so wieder zwei Stränge. Also man sieht,
wie der T1 und T3 auf der linken Seite bildende Schlaufe
und T2, T4 auf der rechten Seite.
Und dazwischen hat man jetzt mehr oder weniger geschickte wechselseitige Ausschlüsse programmiert.
Ja, diese beiden Plätze, P4, P5 bzw. P6
, P7, was machen die? Die erzwingen,
dass wenn ich bei der linken Seite lang laufe,
wie in der Ausgangssituation, erzwungenermaßen der Fall,
dann bin ich bei
Halte ich tief. Und dann habe ich die Schalter genau andersrum gestellt,
nämlich auf P5 P7. Wenn ich jetzt bei P1 bin,
muss ich rechtsrum langlaufen, über T2 und dann weiter über T4.
Und dann sind die Schalter wieder auf den alten Zustand zurückgesetzt. Das heißt,
hier wird durch ein Hin und Her schalten mit diesem Regulationskreis in der Mitte erzwungen,
dass ich einmal die linke Schlaufe durchlaufe, einmal die Rechte,
einmal die linke, einmal die Rechte.
Und dieses Netz ist dann beschränkt,
wenn man sieht sofort, er liegt auf jedem Platz
nur eine Marke
Es ist lebendig, denn die Schaltfolgen, die da möglich sind,
ja, die kann ich euch sogar einmal nennen.
Das ist mich die eine Schaltfolge oder es ist die Menge
aller Schaltfolgen, die Präfixe sind von T1, T3,
T2, T4 in Klammern Hochomnigan.
Ja, alle endlichen Anteile davon, also links,
rechts, links, rechts, nochmal durchlaufen, beliebig lange.
Das sind Schaltfolgen, die möglich sind.
Und offensichtlich kommen da alle Transitionen drin vor. Egal,
in welchen Zustand ich zwischendurch bin, danach kommt wieder links,
rechts, links, rechts.
Und deswegen ist es klar,
ist es lebendig
Reversibel ist es auch, denn nach zwei Durchlaufen, einmal links,
einmal rechts, bin ich wieder im Start zu starten.
Jetzt steht hier unten, das ist zwar für diese Markierung der Fall,
dass es lebendig ist,
aber es ist für eine andere Markierung nicht unbedingt so,
so ein gemeiner Trick, ich lege auf P5 noch eine Marke drauf.
Denn das Regulatorische am Regulationskreis Perdu, dann habe ich mich da oben
die freie Wahl, ob ich T1 oder T2 schalten will.
Und dann kann ich es blöd machen,
dann kann ich erst T2 schalten, also rechts rüber,
Und dann geht nichts mehr, weil da untere Regulationskreis sagt,
nee, nee, ich stehe gerade auf links rum.
Und dann verklemmt das. Das heißt also nichts anderes,
als dass mehr Marken schaden schon. Bei der Lebendigkeit nämlich.
Ja, das ist ein Beispielnetz für die Tatsache,
dass eine Marke mehr eine sehr wünschenswerte Eigenschaft,
nämlich die der Lebendigkeit, zerstört.
Und so ist das auch irgendwie bei anderen Eigenschaften, Beschränktheit.
Na klar, ein Netz kann in einer Markierung beschränkt sein
in einer etwas größeren Markierung
Können plötzlich ganz schlimme Dinge passieren, dann wird es unbeschränkt.
Das ist schon möglich. So, das heißt,
mehr Marken eröffnen wir schon ein neues Verhalten und in diesem Fall sogar dummerweise Deadlocks.
Denn die beiden Regulationskreise hier mit dieser Zusatzmarke,
auch mal jetzt so Illustrationszwecken, zack, das war's dann.
Ja. So, jetzt haben wir ein ganz tolles
Netz,
also sehr einfach
Beschränkt, lebendig, reversibel. Super. Also gucken wir
uns erst mal an, was macht das?
Ich starte in P1, erzeugt mir dann zwei Marken auf P2 P4.
Dann schalte ich B oder C, aber nicht beide.
Ich habe mich in der Mitte den Platz P6,
also Nebenläufigkeit ist da ausgeschlossen.
Was ich aber eh gerade noch im Erreichbarkeitsgraf nicht sehen kann.
Im Erreichbarkeitsgrafen sehe ich immer nur die eine Transition,
die schaltet. Da kann ich nicht so recht erkennen,
ob Nebenläufigkeit möglich ist. Naja, und dann habe ich
die Marken auf P3 P5 und kann D schalten und bin
wieder am Anfang
So, also ich schalte ein P1, P6 wird gar nicht angefasst.
Komm mit einem A zu P2 P4. P6 ist immer noch da.
Kann jetzt, und jetzt sieht man,
ich habe die Möglichkeit, B oder C zu machen.
Aber das ist keine wirkliche Alternative. Denn man sieht,
mit B komme ich in einen Zustand mit 10 in den anderen.
Und hinten dran wird das gleich mit CB wieder zusammengeführt.
Da sieht man also, man hat so eine schöne Rautenstruktur.
Ich verzweige erst, da die in einer beliebigen Permutation möglich sind, die beiden Transitionen.
B und C wird das gleich wieder zusammengeführt auf den gleichen Zustand.
P3, P5. Was man auch noch sieht ist,
während vieler Literatur, die auf Transitionssystemen operieren,
wird diese Rautenstruktur als Indiz dafür genommen.
Wenn ich gleich als Beweis dafür,
dass in diesem Fall B und C nebenläufig sind.
Wenn wir jetzt aber ins Netz links gucken,
dann sehen wir, wir wissen es besser.
B und C sind nicht nebenläufig. Die können mich nicht
gleichzeitig stattfinden, denn der Platz P6 schließt das Ganze
kausal aus
Was wird denn jetzt passieren, wenn ich den Platz P6 streiche?
Also klar, das in Klammern, im Erreichbarkeitsgraf fällt alles weg.
Aber ansonsten passiert da gar nicht viel. Wenn ich
den Erreichbarkeitsgraf, wenn die Schrift da sehr klein ist,
dann hätte die den Unterschied gar nicht gemerkt.
Weil die Struktur, die Optik des Erreichbarkeitsgrafen wird sich
gar nicht verändern. Ich kann immer noch,
wenn ich die Markierung P2 plus P4 erreicht habe,
kann ich
B schalten
Kann auch C schalten. Und wenn ich eins von beiden geschaltet habe,
kann ich immer noch das andere schalten. Und die Tatsache,
dass wenn ich diesen Ausschlussplatz P6 in der Mitte,
wenn ich den gestrichen hätte, dass die beiden jetzt nebenläufig sind,
kann ich überhaupt nicht erkennen, dem Erreichbarkeitsgrafen.
Das heißt, an Erreichbarkeitsgrafen haben wir jetzt uns gerade klargemacht,
es nicht zu erkennen, ob Aktionen nebenläufig sind oder nicht.
Denn das führt in beiden Fällen zu einem völlig strukturidentischen Erreichbarkeitsgrafen.
Wenn ich mich P6 streiche,
dann ist es nebenläufig
Wenn ich P6 Win habe, sieht es genauso aus,
ist aber nicht nebenläufig. So, das ist so das Erste,
der Erreichbarkeitsgraf ist für viele Sachen ganz nett und gut,
aber wir schreiben uns mal für die Hausaufgabenliste auf,
was wir irgendwann nochmal machen müssen, da müssen wir nochmal ran.
Eine Erreichbarkeitsgraf ist nicht gut genug, um Nebenläufigkeit auszudrücken.
Da müssen wir irgendwie nochmal was Besseres finden. Sowas können wir
noch feststellen an diesem Netz, das ist ja aus gutem Grund beschränkt.
Ja, das ist beschränkt, weil ich so gewisse Gleichungen formulieren kann.
Also hier ist ein ganzes Rudel sogar davon.
Was steht denn da? Da steht da,
was einem ziemlich klar ist, dass die Anzahl der Marken
auf P1 plus die Marken auf P2 und P3. Ja,
das ist gewissermaßen das, was dort auf der einen Seite lang läuft.
P1, P2, P3. Gleich dem ist,
was P1, das sieht nicht so sinnvoll aus.
Also es ist richtig, aber wenig erhellend
Gut, streichen wir einfach mal den linken Teil,
machen nur damit weiter und sagen, es ist eine konstante K1 von M0.
Was ja richtig ist, wenn man mal nachzählt, P1,
ja, entweder ist die Marke da oder sie ist auf P2 oder auf P3.
Das heißt, in allen Markierungen kann man jetzt nochmal nachprüfen,
habe ich entweder eine Marke auf P1 oder eine Marke P2 oder eine Marke P3.
Nie gleichzeitig alle drei, sondern immer einen davon.
Das heißt, ich kann sagen,
die Summe der Marken auf den Plätzen P1 P2 ist P3,
die ist konstant
So, und genauso sinngemäß in der unteren Zeile, die Summe,
ach doch, es macht doch Sinn, ich habe den Subskript übersehen.
Ja, M0, in der Mitte steht M0. Das heißt,
links stieg eine beliebige Markierung, in der Mitte steht die Anfangsmarkierung M0.
Und dann steht da M0 auf dem ersten Platz,
M0 auf dem vierten Platz M0 auf dem Platz P5,
also der rechte Strang, da liegt auch immer konstant viele Marken,
nämlich auch eine Marke.
In der Anfangsmarkierung ist es klar,
da liegt mich genau eine Marke auf P1,
aber in jedem Markierung können wir sehen, aha,
entweder auf P1 oder auf P4 oder auf P5,
exklusiv oder
So, das ist also eine Eigenschaft, die man
überprüfen kann, jetzt einmal Reichbarkeitskraft, die gilt tatsächlich.
Die kann man sich auch klar machen, wenn man das
Netz mal ein paar Stunden scharf anschaut oder ähnliche Dinge tut.
Und für den Platz P6 kann man auch sehen,
der hat die Eigenschaft in allen erreichbaren Markierungen, identisch zu sein,
der Anfangsmarkierung, da liegt nämlich genau eine Marke drauf.
Jetzt könnte man sich feststellen, hm,
wird das auch gelten für eine Anfangsmarkierung,
die anders ist als die gezeigte
Da wird vermutlich auch noch gelten. Was kann ich jetzt
machen? Ich kann damit weiterrechnen, wenn ich möchte.
Ich kann also diese drei Gleichungen nehmen und kann da
weiter umformen und kann dann aus den ersten Beinen rauskriegen,
dass die Markierung von dem Platz P1 kleiner gleich ist,
die Minimum dieser beiden Konstanten.
Also eins. Das ist eine obere Schranke.
Für die Plätze P2 und 3 weiß ich,
die Markierungszahl ist immer kleiner als die konstante K1 von dem
Null,
also auch eins
Und für Platz P4 und Platz P5,
ist es kleiner als die zweite Konstante in M05.
Für diese gezeichnete Anfangsmarkierung auch eins. Und der Platz P6 hat die Eigenschaft,
da liegen K3 von M0-Marken drauf, also einem.
Das heißt, die vier Gleichungen, die da oben stehen,
folgen aus den unteren drei Platz in Varianzgleichung, habe ich festgestellt,
dass die Markierung aller Plätze kleiner gleich eins sein muss.
Das heißt, Beschränkung gilt für jeden Platz
Also wenn man jetzt ausrechnet,
mit ein bisschen mehr Tricks, könnte man sogar nachweisen,
dass das gilt, egal welche Anfangsmarkierung ich da drauf packe.
Und dann würde ich feststellen, egal welche Anfangsmarkierung ich da
drauf packe, diese Beziehung gelten, dann immer noch.
Das heißt, egal welche Anfangsmarkierung ich habe, dieses Netz würde immer beschränkt sein.
Denn die Gleicherung, die da oben stehen, sagen,
jeder Platz ist kleiner gleich oder gleich irgendeiner Zahl.
Das heißt, man kann feststellen, dieses Netz ist in
der beliebigen Anfangsmarkierung M0 beschränkt, ohne dass ich seine Erreichbarkeitsgraf kennen muss.
Ja, da steckt ein bisschen Magie hinter,
den gucken wir uns später nochmal an, ein paar Terminen,
aber erstmal, das kann man so mit Netzen machen.
Natürlich, wenn man den Erreichbarkeitsgraf gegeben hat,
dann kann man das überprüfen und dann stellt man sowieso fest,
dass es beschränkt ist. Was heißt das nochmal,
damit wir eine schön formal exakte Definition haben,
wenn keine natürliche Zahl ist,
dann nennen wir einen Platz PEK beschränkt oder im Englischen K booundet,
wenn gilt,
dass für jede erreichbare Markierung gilt,
dass die Anzahl der Marken auf P
kleiner gleich diesem K ist
Woraus insbesondere folgt, wenn ein Platz K beschränkt ist,
ist er auch K plus 1 beschränkt,
Carpus 2 beschränkt und so weiter.
Jede größere Zahl ist auch eine Schranke. Ein Platz heißt beschränkt,
bounded, wenn es irgend so ein K gibt,
das Schranke ist. Es gibt ein Kaso,
das für alle erreichbaren Markierungen die Anzahl der Markenkleinerreichkeit ist.
Das heißt, ein beschränktes Netz ist wohl auch
irgendwie K beschränkt, nur dass ich das gar nicht kenne
Umgekehrt gilt ein k-beschränktes Netz, ist sofort erschränkt.
Ja, da kenne ich sogar die Schranke Carshawn.
In dem Sinne ist Beschränktheit gewissermaßen schwächer. Also wenn ich nur weiß,
nur in Anführungszeichen, dass das Netz beschränkt ist,
da habe ich weniger Informationen, als wenn ich schon weiß,
dass es k-beschränkt ist. Und ein ganzes Netz,
das war jetzt irgendwie für die Plätze formuliert, naja,
das nenne ich K-beschränken beziehungsweise beschränkt, wenn das für alle Plätze gilt.
Wenn alle Plätze k-beschränkt sind, das ist das Netzkabelschränk,
wenn alle Plätze beschränkt sind,
das ist beschränkt
Was haben wir hier? Das ist irgendwie Netz,
das ist unbeschränkt. Kann man auch gucken. Gibt es
da eine Schranke? Gibt es für P1 eine Schranke?
Kann man das irgendwie sehen? Ob der Platz P1
beschränkt ist
Warum nicht? Wenn ich einwandscheide,
dann liegen drei Marvins. Und eins sind die ein,
das ist ganz falsch, nochmal, unter riesigen Ehekaltjahren.
Drei Entscheidungen von drei in meinem Rad,
also für drei Euro
Hier waren wir beeindruckt. Diesmal mit 13 mehr als vorher. Genau,
also T1 Eimer schalten,
dann kann ich dreimal T2 schalten und habe einen reinen Gewinn gemacht von,
auf jeden Fall bei P1 von eine weg, drei dazu,
zwei Marken mehr.
Ja, und auf den anderen Plätzen,
P3 hat dann wieder null Marken und P2 hat sogar zwei Marken.
Nee, ich habe es dreimal geschaltet, sechs,
minus eins,
fünf Marken
Das heißt, ich habe es geschafft, durch einmal diesen Durchlauf,
habe ich mir echt mehr Marken auf P1,
echt mehr Marken auf P2, genauso viele Marken wie auf P3 erzeugt.
Das heißt, das wächst dort unbeschränkt,
weil ich das Verfahren jetzt wieder und wieder wieder starten kann.
Also T11, einmal T2, dreimal schalten,
das kann ich iterieren und erzeugt mir auf den ersten beiden Plätzen beliebig viele Marken.
Und durch dieses Prozedere kann ich auch zeigen,
dass ich auf P3 beliebig viele Marken kriegen kann,
denn wenn ich auf P1 beliebig viele Marken haben kann,
Nehmen wir mal ein Stück, dann kann ich,
weil man sieht, dass P2 dann auch mindestens einen Marken hat,
kann ich dann T1 auch ganz oft schalten.
Ja, dass ich da dreimal N-Marken habe.
Das heißt, auch der Platz P3 ist umgeschränkt.
Was ist jetzt gewissermaßen das kleinste, unbeschränkte Netz?
Steht hier noch als Frage? Das ist ja schon ein
mittelgroßes Netz. Hat ja schon fünf Knoten. Was ist
denn, wie groß ist das kleinste, unbeschränkte Netz,
das man sich vorstellen kann?
Eine Tradition,
ein Platz
Einmal. Sowas ist eine Situation, das ist unbeschränkt,
das erzeugt mir einfach jede Menge Marken.
Wenn mir das nicht gefällt, weil ich sage,
aus ästhetischen Gründen, diese Transition hat keinen Vorbereich.
Lehrervorbereich ist vielleicht hässlich, mag ich nicht,
will ich nicht. Was wäre dann das kleinste Netz?
Also ich mache P1 zu einer Nebenbedingung
Genau. Also die Kante, die jetzt da gemalt ist,
sollte vielleicht das Kantengewicht 2 tragen.
Dann nehme ich eine weg, lege zwei hin.
Und wenn ich dann noch eine Marke initial auf P1 drauflege,
dann kann das Ganze schalten.
Und in jedem Schaltschritt kommt echt eine Marke mehr hinzu.
Wenn mich also das gestört hätte, dass die Transition T1 keinen Vorbereich hat,
also ein Lehren, dann kann ich das auch machen.
Und was wäre das Kleinste, beschränkte Netz?
Je nachdem, wie lachs ich bin, Gar keine Kanten.
Kann zwar Tee immer schalten, bringt aber nichts.
Wenn mich das irgendwie stört und ich eine Kante gerne haben will,
man kann nicht sagen, ja gut,
dann ziehe ich doch einfach mal von diesem Platz was ab,
wenn da nichts liegt, dann tut sich da auch nichts.
Dann ist das verbunden. Dann hat die Transition Tee was
im Vorbereich. Wenn ich nur eine ausgehende Kante haben möchte,
bitte mache ich es zur Nebenbedingung, passiert auch nichts.
Und jetzt spielen wir mal kurz nochmal mit der Definition
da oben
Für alle Plätze. Also ich sage ja beschränkt,
ist, wenn etwas für alle Plätze gilt,
gibt es eine Schranke K, sodass in einen erreichbaren Markierung gilt,
dass diese Markierung auf P kleiner ist als K.
Dass es heißt, dieses Netz ist beschränkt. Beschränkt heißt,
es gibt ein K, also der schwarze Teil,
das für alle M gilt M, kleiner gleich K. Und
wenn ich jetzt noch den roten Teil hinzufüge für alle P,
dann weiß ich,
das Netz ist beschränkt
Das habe ich also nur abgeschrieben. Sowas kann ich jetzt
machen. Ich vertausche mal die Quantoren-Reihenfolge. Was steht dann
da? Warum würdest du das sagen? Naja,
wenn man es über die liegenden Klatz und irgendeine Quartierung von
dem und wir wissen die Parkierung,
es könnte natürlich jetzt sein,
wenn ich noch bei den Aufräumern aufstehe
Ja, oder die Zahl selbst, weil er ja kleiner gleich steht.
Ja, also das ist, da sieht man manchmal,
so als Prüfungsverantwort insbesondere, dann sagen wir immer,
ja, das ist richtig, bringt aber nicht viel.
Denn wenn ich das so sage,
natürlich für jede Markierung gibt es natürlich ein K. Ja,
denn die Markierung selbst ist immer eine Schranke für sich.
Aber ich muss natürlich eine Schranke K finden können,
die unabhängig ist von der Markierung.
Das heißt, der Existenzquantor muss weiter vorne stehen.
Was ich machen kann, ist, das macht keinen großen Unterschied,
ich könnte jetzt den Existenzquante auch noch für das für
alle P ziehen
Also die alte Definition von eben nehmen und sagen,
es gibt ein K,
sodass für alle P und für alle M gilt.
Warum ist das möglich? Ja. Ja, Jan.
Dass ich keinen Rat, Lebensstil, die Kategorie.
Das ist ganz gut
Ja. Also der Unterschied zwischen beiden Formulierungen ist,
in der Aussehungsformulierung hatte ich eine Schranke,
K für jeden Platz, also eine platzspezifische Schranke.
Und wenn ich K ganz nach vorne schiebe, habe ich eine universelle Schrank gekannt.
Wenn ich eine universelle Schranke habe, die für jeden Platz
eine Schranke ist, dann ist das offensichtlich auch eine Platzschrankung.
So, wenn ich aber weiß,
ich habe für jeden Platz eine individuelle Schranke,
dann nehme ich einfach das Maximum von denen.
Dass endlich viele sind, ist das auch ein endlicher Wert.
Und das ist dann die Schranke fürs ganze Netz.
Das heißt, es spielt in den Formulierungen keinen Unterschied,
ob ich sage, ich habe Platz,
individuelle Schrank oder Netz
individuelle Schranken
Das ist völlig das Gleiche. Sowas kann ich jetzt noch machen.
Eine interessante Eigenschaft, die man gerne haben will, ist,
ich habe keine Verklemmung. Also mein Netz N in der Anfangsmarkierung M0,
nenne ich Verklemmungsfrei oder Deadlock Free, falls es gilt,
für alle erreichbaren Markierungen, erreichbares M0 gilt,
mindestens eine Transition ist aktiviert.
Was insbesondere heißt, dass das Netz mindestens eine Transition haben
sollte,
wenn es verklemmungsfrei ist
Netze ohne Transition, da muss man immer aufpassen.
Irgendwann steht da für alle Transitionen, gilt was,
wenn ich keine Transitionen habe, dann ist das merkwürdig.
Nehmen wir mal den Normalfall an,
mindestens einen Platz und mindestens eine Transition ist unserem Netz.
Wenn das weniger ist, das sind, sind ja
nur zwei Netze, die da noch in Frage kommen.
Oder drei, wenn ich sage weder noch.
Also hier sehe ich ein Netzes, Verklemmungsfrei,
das impliziert, weil eine Transition Tee existieren muss,
dass ich mindestens eine Transition Tee habe, die da schalten kann.
Also das Netz hat schon mal einen.
Und das ist eine wünschenswerte Eigenschaft, das heißt,
es geht immer weiter.
Wird schon weitergehen
So, wie ist das bei diesem Netz? Ja,
in dieser Markierung kann es weitergehen, wenn ich schalte,
wissen wir, dann liegen da drei Marken.
Dann ist das da leer. Jetzt habe ich eine Sache
geändert. Ich habe mich die Kantenrichtung bei P2 umgedreht.
Und jetzt sieht man, T2 hätte auch gerne Marke,
aber da ist nichts mehr.
Und jetzt geht es weder vor noch zurück.
Also T1 kann nicht mehr schalten, T2 auch nicht.
Das hätte ich auch vorher sehen können,
denn von dem Platz P2 wollen beide Transitionen nur runternehmen
Es gibt keine Transition, die was rauflegt. Dass es
Transitionen gibt, die das von runternehmen, weiß ich,
diese werden nach endlicher Zeit die Anzahl der Marken auf P2 abgeräumt haben.
Und danach geht da nichts mehr. Das heißt,
wenn man einen Platz sieht, von dem nur runtergeht,
dann weiß man, naja, das wird wohl irgendwann verklemmen,
nämlich dann, wenn dieser Puffer gelehrt ist.
Die einzige Möglichkeit wäre, dass nicht alle Transitionen davon was brauchen,
dann können vielleicht die noch schalten,
aber in diesem Netz brauchen alle Transitionen,
in diesem Fall T1 und T2,
eine Ressource vom Platz P2,
die sie komplett aufbrauchen
Das heißt, dieses Netz ist nicht verklemmungsfrei,
weil jetzt die Nachfolgemarkierung gleich eine Verklemmung ist.
Die nächste Eigenschaft, nennen wir lebendig,
eine Transition heißt lebendig live, wenn gilt.
Für alle erreichbaren Markierungen M gilt, dass sich mit einer
Schaltfolge Sigma Tee wieder zum Schalten bringen kann.
Also M aktiviert Tee, wenn ich davor die
Schaltfolge Sigma schalten lasse und ich erreiche dann dann im Strich
Von jeder erreichbaren Markierung aus habe ich die Möglichkeit, wieder zu schalten.
Also ungefähr so illustriert, ich schalte irgendwie runter durch
die Gegend von M0 aus, komme ich zum M.
Und jetzt interessiert mich die Transition Tee und dann weiß ich,
aha, wenn das Netz lebendig ist, dann muss es so sein,
dass dieser Rote gestrichelte Bereich existieren muss, eine Schaltfolge,
Sig, man muss es geben,
mit der ich dann eine Markierung erreiche, diesen Kuller,
in dem schalte ich dann Tee.
Das heißt, es gibt einen erreichbaren Zustand,
der teaktiviert
So, und ein ganzes Netz nenne ich lebendig,
wenn alle Transitionen da sind. So, was haben wir hier?
Wir haben wieder ein Netz. Was kann da passieren?
Und das kann immer außen rumlaufen. Also schaltet T1,
dann ist die Marke rechts,
dann schaltet T2. Ich habe die Ausgangssituation und dann wieder von vorne.
Was andere kann da gar nicht passieren.
Jetzt können wir gucken,
ist das Netzverklemmungsfrei
Ja, nein, Abbruch. Doch, das ist
der Termin 2. Als Türens, wenn wir dabei sind,
der, wobei er damals hier reingeschaltet hat,
uns keine Wartebedeutung, wenn sie gleich alte Bilder ist.
Es gab mal die Einzelheiten von Zeiten, die drei waren.
Und was neue Male haben, kann ich das jetzt hier
eigentlich nicht, zwei in der einen oder anderen Seite.
Ja. Ich habe eine zwei erreichbare Markierung.
Das ist das erste, was ich feststellen kann.
Die eine Markierung sieht so aus wie dargestellt.
Die zweite Markierung sieht genau komplementär aus
P1 hat keine Marke P3, eine. Und die erreiche
ich eben wechselseitig, das Schalten von T1 und T2.
Das ist alles, was passieren kann. Und offensichtlich,
jede erreichbare Markierung hat eine Nachfolgemarkierung. Weil die im Kreis
laufen. Ist das Netz jetzt lebendig? Nein,
bei T3 ist es Schreibtötter, dann ist es die einzige Welt.
Wie sieht es mit T1 aus? Ja, und T2
auch. Das heißt, das ist ein Beispiel für ein
verklemmungsfreies Netz, das aber nicht lebendig ist
Weil nicht alle seine Transitionen lebendig sind. T3 ist nicht
lebendig. So, was haben wir dennoch? Rücksetzzuständen,
Homestate, also ein Homesweet Homestate,
da komme ich immer wieder zurück, immer zurück nach Hause.
Ein Homestate ist ein Zustand, Amle ist ein Rücksetzzustand,
für den gilt, egal welche Markierung im Strich,
ich von der Startmarkierung im Null aus der Reiche.
Ich habe immer die Möglichkeit, mit einem Schaltwort Sigma von
diesem Strich wieder zurück zur M zu kommen.
Das ist also insbesondere ein erreichbarer Zustand
Klar, M0 ist von M0 erreichbar und dann kann ich
es mit irgendeinem Sigma erreichen.
Überall, wo ich von diesem Zustand wieder hinkomme,
da habe ich die Möglichkeit dann auch wieder zurückzukommen,
wenn ich das mal möchte.
Also immer die Chance, egal wohin ich verlaufe,
ich komme wieder zurück. Und Reversibilität heißt,
ein Netz heißt reversibel,
wenn die Anfangsmarkierung
ein Homestate ist
Egal wo ich von der Anfangsmarkierung M0 hinkomme,
ich komme immer wieder zu M0 zurück.
Das ist also noch spezieller. Die Anfangsmarkierung ist ein Rücksetzzustand
. Ich starte im Homestate, komme irgendwo hin und kann
immer wieder zurückkommen. Dazu mal ein Beispiel,
hat dieses Netz
einen Rücksetzzustand
Die Komponenten kommen uns bekannt vor. Das eine Netz hatten wir
eben. Bei T1 und T2 läuft es im Kreis.
T3 konnte nicht schalten. Und jetzt habe ich noch
eine neue Transition und den Namen davor gebastelt.
Ja, das ist nicht, kurze Frage,
nicht die Gestelle, kann ich nur wieder, wie.
Also es ist nicht reversibel. Also Punkt 8 sagt,
es heißt, ein Netz ist reversibel,
wenn ich die Initialmarkierung wieder erreichen kann
Und nachdem ich einmal die unbenannte Transition geschaltet habe,
ist das nicht der Fall.
Sie wiegt das jetzt aus? Habe ich einen Rücksetzzustand für
dieses Netz? Ja. Also die eine Markierung,
auf der auf P1 nur eine Marke liegt, ist einer.
Und die andere Markierung, wo nur auf P3 eine Marke liegt,
ist auch einer,
weil es dann nur noch im Kreis geht
Also reversibel ist es nicht, weil dazu müsste M0 ja ein Rücksatzzustand sein,
ist es aber nicht. Aber wenigstens wissen wir,
der rechte Teil, wenn wir da erst mal drin sind,
kommen wir da nie wieder raus und laufen nur noch im Kreis.
Das heißt, beide da erreichbare Zustände sind auch Rücksatzzustände. Weiter im Takt,
Ausschluss, neuntens, wechselseitiger Ausschluss für Plätze,
also PI und PJ sind im Markierungsausschluss,
falls es gilt, dass es keine Markierung M,
die erreichbar ist von M0 gibt,
sodass gilt,
PI ist markiert,
also die Markierung von PI ist größer als Null und
die Markierung von PJ ist größer als Null
Heißt schlichtweg, in allen erreichbaren Markierungen gilt,
wenn eins markiert ist, dann ist das andere unmarkiert.
Das ist genau wechselseitiger Ausschluss. Und das Ganze gilt auch für Transitionen,
zwei Transitionen, TI und TJ sind im Schaltausschluss,
falls es gilt, dass es keine erreichbare Markierung gibt,
die größer ist als das, was Teen zum Schalten braucht,
plus das, was TJ zum Schalten braucht.
Also es sind, es kann sein,
dass genügend Marken da sind für TI.
Es kann auch sein, dass genügend Marken
da sind für TJ
Aber es sind nicht genügend Marken da, um beide in
der Summe glücklich zu stellen. Ja, ich,
die sind, diese Notation mit dem Punkt sagt, ja,
ich nehme an, wie viele Marken braucht das eine,
addiert er da die Marken, die vom anderen gebraucht werden, hinzu.
Wenn die Markierung M größer, gleich dem wäre,
dann könnten ja beide auf einmal schalten, wer genügend Marken für beide da.
So, dann wären sie aber nicht im Ausschluss.
Ausschluss heißt, es geht nur für einen.
Und in diesem Beispiel kann man jetzt mal gucken,
wie sich das mit Ausschluss, zum Beispiel die beiden Transitionen,
B&C sind im Ausschluss.
Wechseitigen Ausschluss. Warum? Wenn ich den Vorbereich von B
mit dem Vorbereich von C-Addiere, was kommt da raus?
P2 plus P6 für die Nation B plus P4 plus P6 für C.
Also P2 plus P4 plus zweimal P6. Damit beide Transitionen zusammenschalten können
, bräuchte ich zwei Marken auf P6. Dann könnten die tatsächlich
auch Gleichzeitig nebenläufig scheiden. Das kann aber nie passieren,
weil in dem gesamten System niemals zwei Marken auf P6 liegen.
Das ist also ausgeschlossen. Genauso kann ich feststellen,
dass die Marken P2 und P3 im wechselseitigen Ausschluss sind.
Das ist nicht der Fall, dass P2 und P3 gleichzeitig demmarkiert werden.
Das kann auch nicht auftreten. So, das sind also
die grundlegenden Eigenschaften. Alle diese Eigenschaften sagen,
für alle erreichbaren Markierungen oder für keine erreichbare Markierung gibt es
etwas,
so das
was anderes gibt
Das heißt, bislang hatten wir nur Eigenschaften,
die wir charakterisiert haben mit Hilfe von erreichbaren Markierungen.
Das heißt, wenn wir den Erreichbarkeitsgraf aufmalen konnten,
dann konnten wir das leicht überprüfen.
Das heißt, da lauert irgendwo ein Entscheidungsverfahren irgendein Algorithmus,
überprüft das am Erreichbarkeitsgrab, sofern er endlich ist.
Die spannenden Fragen sind, kann ich das auch machen,
wenn das Netz unbeschränkt ist,
dann wird mir nämlich
der Erreichbarkeitsgraf
unendlich groß
Dann kann ich ihn nicht mehr hinmalen, dann kann ich
auch die Menge der erreichbaren Markierung nicht einfach so überprüfen.
Und endlich viele erreichbare Markierungen, das zum Testverfahren,
das das naiv macht, schlägt schon mal fehl.
Das ist gewissermaßen die erste Herausforderung. Diese Fragen 1 bis 9
zu beantworten, wenn ich unbeschränkte Netze habe. Na gut,
also ein, zwei Fragen sind sehr leicht zu beantworten,
nämlich ob das Netz beschränkt ist,
das geht schon mal leicht, aber fragen,
ob es ein Rücksatzzustand gibt,
das ist schwierig zu beantworten,
wenn die Menge der erreichbaren Zustände
unendlich groß ist
So, und als ob wir damit noch nicht genügend Probleme hätten,
kann man sich jetzt noch was anderes fragen.
Nämlich wir können nach strukturellen Eigenschaften fragen. Wir können jetzt sagen,
wenn ich beim Netz endlich eine Initialmarkierung vorgebe,
sondern die auch noch frei parametrisiere, dann kann ich strukturelle Beschränktheit definieren.
Dann sage ich nämlich, ein Netz heißt strukturell beschränkt,
wenn das Netz das für jede beliebige Anfangsmarkierung M ist.
Und da es unendlich viele Anfangsmarkierungen gibt,
die ich mir ausdenken kann, kann ich das offensichtlich nicht dadurch lösen,
dass ich mir ausprobiere, ob für alle der Erreichbarkeitsgraf,
der da rauskommt,
endlich ist
Also, wenn eine solche Eigenschaft nachgewiesen werden soll,
dann muss das irgendwie cleverer gehen. Für dieses Netz,
das wir auch schon mal hatten,
das einfach nur im Kreis läuft und T3 nicht aktiviert,
da kann schon mal so sein, dass es jetzt beschränkt.
Aber das muss es nicht unbedingt sein.
Egal wie viele Marken verwende, ist es zwar beschränkt,
aber T3 kann ja plötzlich aktiviert werden.
Da müssen wir kurz noch mal nachdenken, was kann denn passieren?
Nichts Schlimmes. Also angenommen, ich packe beliebig viele Marken
auf P1 und beliebig viele auf
Denn werden die nur zwischen P1 und P3 hin und her
geschaufelt. Das heißt, die Anzahl ist durch die Summe
beschränkt und T3 schmeißt höchstens welche weg. Das heißt,
bei diesem Netz kann ich noch argumentieren, dadurch,
dass T1 einfach nur einen nach rechts schiebt, T2 nur nach links,
dass die Summe der beiden immer noch eine Schranke ist,
weil T3 dann diese Markenzahl nur verkleinert.
Wenn ich hier also zwei Marken habe, beispielsweise,
dann wäre das immer noch beschränkt.
Das ist ein strukturell beschränktes Netz
Man sagt also, die Struktur erzwingt Beschränktheit.
Auf der rechten Seite ist das ein bisschen anders.
Da sieht man mich folgenden Fall.
Da habe ich noch so einen kleinen Ast dran gemacht.
Wenn P3 zwei Marken hat, sobald das zwei sind,
kann die neue Transition ja immer wieder schalten.
Solange dann noch zwei liegen, schaltet sie,
schaltet sie, schaltet sie. Für das obige Netz,
in der obigen Anfangsmarkierung ist es der Fall,
dass P3 ja immer maximal eine Marke bekommen kann.
Das heißt, diese Neutransition ist nie aktiviert
Aber sobald ich anfange, es zu schaffen,
das auf der rechten Seite zwei Marken mal liegen können,
also wie eine Unter- und Darstellung,
muss ich ja nur zweimal T1 schalten,
dann liegen dort zwei Marken und dann fängt die neue Transition an,
Dauer zu feuern und hat dann beliebig viele Tokens erzeugt auf dem neuen Platz.
Das heißt, dieses Netz ist nicht in jede Anfangsmarkierung beschränkt.
Das heißt, die Struktur erlaubt,
dass das Netz erlaubt ist nicht, sondern so erzwingt es sogar,
dass es in diesem Fall strukturelle beschränkt hat
Beim nächsten Mal gucken wir uns nochmal einen strukturelle Lebendigkeit an.
Das ist fast genauso nur, dass da steht für mindestens
ein App.
Gucken wir mal da weiter