vorstellen, wir machen irgendeine eigene Aktion und wir sehen,
dass sich da Dinge verändern. Also zum Beispiel sehen wir
für das Auto A ist vorher der Zustand,
dass es sich für den Staat präpariert, also der Zustand P1 ist wahr.
Und hinterher sehen wir, es verändert sich etwas,
P2 und P4 ist mich jetzt neuerdings wahr.
Das heißt, es wartet für den Staat und es ist
ready for sign. Also es wartet auf die Signalfreigabe.
Was sieht man noch? Man sieht da unten beispielsweise,
der Starter ist weiterhin bereit und das Auto B hat sich immer noch präpariert.
Jetzt kann man sich fragen, was ist da passiert?
Also offensichtlich hat es eine Zustandsänderung bezüglich A gegeben.
Aber hat es jetzt auch eine Zustandsänderung bezüglich des Auto Bs gegeben?
Wir sehen nur, naja, vorher ist hinterher,
heißt das einfach nur, da ist eine Veränderung gegeben,
die aber das wieder auf den alten Zustand zurückgesetzt hat oder ist da überhaupt nichts passiert?
Global können wir das nicht beantworten, global sehen wir
nur gewisse Dinge sehen vorher und hinterher genauso aus.
Wir wissen aber nicht, ob die Option T1,
die jetzt eine Veränderung da herbeigebracht hat,
ob die etwas damit zu tun hatte
Also wir können global nicht unterscheiden, ist eine Aktion beschaffen,
dass sie gar nichts verändert, meinetwegen bezüglich PC.
Oder es ist eine Aktion, die PC zwar verändert,
aber wieder auf dem alten Wert am Ende zurücksetzt.
Das können wir so erstmal nicht unterscheiden. Wir können es
jetzt dann unterscheiden, wenn wir statt globaler Zustandsübergänge lokale Zustandsübergänge betrachten.
Also explizit modellieren, dass die Aktionen T1 nur etwas mit
dem Auto A zu tun hat.
Nämlich sagt dieses Prepare in Zustand P1 wird jetzt zu einem
ich warte jetzt nur noch darauf, dass es losgeht,
mit den Zuständen P2 in P4.
In einer solchen Darstellung kann man dann eben sehen,
das hat überhaupt nichts damit zu tun, was das Auto B macht.
In der lokalen Betrachtungsweise erkenne ich jetzt deutlich,
dass es unabhängig von AutoB ist. Was auch unserer Vorstellung entspricht,
dass irgendeine Aktion, das Auto A macht sich gerade fahrbereit,
dass das nichts mit dem Auto B zu tun hat erstmal.
Und das kann man wunderbar als Netz modellieren,
indem man alle Zustände gerade mal als Platz hinmalt
Und jetzt explizit hinschreibt durch Marken auf den Plätzen, was gilt aktuell.
Also das P1 war es, modellieren wir jetzt als die
eine Marke auf P1. Und wenn wir das schalten,
dann verändern wir das und erhalten einen Zustand,
bei dem P1 jetzt nicht mehr markiert ist.
Man beachtet, dass sich ja der gleiche Platz einmal links
vorher gemalt und einmal rechts hinterher gemalt,
soll aber der gleiche Platz sein.
Also bedeutet das, ich ziehe eine Marke von P1
ab und hinterher liegt da keine mehr
Und vorher habe ich keine Marke auf P2
und keine Marke auf P4, ist also leer.
Aber hinterher habe ich eine Marke auf P2 im P4.
Das ist die eine Aktion T1. Und die ist unabhängig von der anderen Aktion TC,
nämlich, wenn das Auto B bereits bereit ist und sich für den Staat klar macht,
dann kann das auch eine Veränderung machen.
Nämlich eine Veränderung, wo es jetzt ready sign für KB
gibt und es KB wartet nur noch für den Staat.
Also es ist da rangerollt, wartet jetzt nur noch auf das Flackenschwenken.
Die grüne Ampel. Und T1 und T4 sieht man,
sind, optisch des Jung, also sie greifen nicht auf gemeinsame Plätze zu,
sie verschwinden, also sie sind in unterschiedlichen Lokalitäten aktiv.
Und wenn sie in dem Sinne unabhängig sind,
dass sie in unterschiedlichen Plätzen operieren, dann sprechen wir davon bei Petrinetzen,
dass die Aktionen T1 und T4 in diesem Beispiel nebenläufig sind.
Das jungte Lokalität. Sondern das haben wir jetzt gesagt,
das können wir jetzt in einigen Prinzipien zusammenfassen, die sind jetzt in diesen Kästen.
Und das wichtigste Prinzip ist, dass wir die ganze Welt dual betrachten wollen.
Wir untergliedern die Welt in zwei Grundelemente, nämlich in P-Elemente,
also zustandsbasierte Elemente, Plätze, Stellen genannt.
Und T-Elemente, Transition. Und die P-Elemente, das sind passive Dinge.
Die modellieren einen Zustand, ein Zustand ist. Und die Transition,
die Telemente sind aktive Dinge, also Ereignisse, die irgendetwas verändern.
Also etwas, was den Zustand verändert. Und diese Zweiteilung,
diese Dichotomie durchzieht jetzt dem Peter als Formalismus,
das war ein bisschen anders,
bei vielen anderen Formalismen gibt es ein vorherrschendes Konzept,
zum Beispiel beim endlichen Automaten ist gewissermaßen der Zustand der Zustandsänderung vorgelagert.
Hier sind die erstmal völlig gleichberechtigt nebeneinander. Und das nächste ist,
das hatten wir in der Grafik eben schon gesehen,
es gibt etwas, das ermöglicht mir Petrin jetzt zuerst malig,
nämlich den lokalen Effekt einer Transition zu beobachten.
Ich kann also das Verhalten an der Transition dadurch erklären,
dass ich schaue, was in ihrer Lokalität so bestimmt.
Und die Lokalität ist die Menge aller Plätze,
die im Vorbereich und im Nachbereich sind,
also alle Eingangselemente und alle Ausgangselemente
Und Elemente, die nicht dazu gehören,
also die nicht mit Kanten da angebunden sind,
die gehören nicht zur Lokalität und was dort passiert,
ist auch egal.
Wer den roten Faden hier sucht, ESA C. Das gilt
für euch nicht. Wenn ich also zwei verschiedene Transitionen mit
unterschiedlicher Lokalität habe, dann haben die keinerlei lokale Beziehung.
Und wenn sie keine lokale Beziehung haben,
dann sagen wir,
ihr Verhalten ist nebenläufig
So, das ist erstmalig möglich, darüber zu sprechen,
weil wir erstmalig über lokale Veränderungen sprechen können.
Jetzt können wir auch sagen, okay,
wenn die das lokale Verhalten nichts miteinander zu tun hat,
mathematisch gesehen, die Lokalitäten sind es jung,
dann findet das Verhalten dieser beiden Aktionen nebenläufig zueinander statt.
So, das sind schon wesentliche Grundprinzipien,
die man jetzt in allen Petrinen als Formalismus-Varianten finden wird.
Was kann man jetzt weiterhin machen? Das Erste,
was man sich anschauen kann, ist,
wenn ich weiß, was es für Aktionen gibt.
Hier sind mexemplarisch zwei aufgemalt.
T1 ist eine Aktion
T4 ist eine Aktion. Dann stelle ich fest,
es gibt noch mehr,
zum Beispiel T2, aber nicht völlig unabhängig davon,
auch wenn ich das so als Bausteine jetzt nebeneinander male.
Es ist so, dass T1 und T2 haben keine desjüngte Lokalität.
Sie haben nämlich, wenn man hinguckt, die Stelle P2 gemeinsam.
Das kommt also als gemeinsame Anschrift in beiden Lokalitäten vor.
Also die Bedeutung ist, dass es jetzt die gleiche Stelle eigentlich P2 da oben.
Wenn ich noch einen neuen Happen habe für T3 vielleicht,
dann habe ich 1 bis 4 schon mal vollständig durch.
Da sieht man, aha, da ist P4 doppelt.
Und P5 gibt es auch schon. Und was noch P8
sehe ich auch. Das heißt, da gibt es gewisse Stellen,
die jetzt mehrfach vorkommen, die ich jetzt also schon mal verschweißen kann.
Also korrespondierende Stellen muss ich ja nicht nebeneinander malen,
sondern in der grafischen Darstellung wäre es sinnvoll, die alle zusammenzumalen.
Das heißt, wenn ich jetzt alles, was gleich beschriftet ist,
auch sage, das ist wirklich das gleiche Element,
dann kommt dieses Netz raus.
Und das beschreibt gewissermaßen die Vogelperspektive, auf die Zusammenfassung der lokalen Aktionen.
Das heißt, aus den Lokalperspektiven bekomme ich wieder eine globale
Sicht auf das Ganze raus und umgekehrt. Aus dieser großen,
zusammengefassten Netzsicht kriege ich natürlich jede einzelne Transition mit ihrer Lokalität auch wieder raus.
Und aus den einzelnen Lokalitäten kann ich durch schlichtes Zusammenkleben oder mathematisch,
ich vereinige die ganzen Mengen, kann ich auch dieses Gesamtnetz übersichtsweise darstellen.
So, und was das jetzt darstellen soll,
man sieht ganz oben ist so ein Strang,
der steht für das Auto A,
ganz unten ist ein symmetrischer Strang für das Auto B und in der Mitte ist Verhalten für den,
er mit der Fahne wedelt, den Starter.
Und was für uns jetzt praktisch einfach ist, ist,
dass sich dieses Verhalten lokal und global grafisch darstellen kann.
Ich kann also das malen und die Konvention ist, dass Plätze,
P-Elemente rund gemalt werden, also als Elipsen und Kreise.
Und dass die Telemente eckig, als rechteckige Varianten,
Quadrate oder irgendwie so etwas dargestellt werden.
Und warum das so ist, da kann man sagen,
Buchstabe, P ist Rundtees eckig,
aber das ist jetzt eine willkürliche Eselsbrücke eher
Eher kann man sagen, bei Zuständen sind wir das vom
endlichen Automaten gewohnt, dass Zustände runde Kreise sein sollen.
Das wäre genauso logisch. Gut, und Kanten,
das sind die Pfeile, die der T- und P-Elemente verbindet,
nämlich genau die der Lokalität.
Und was wichtig ist, es verbindet Team mit P-Elementen.
Niemals Themen, Telemente oder P, mit Pelement. Es gibt also Kanten,
die führen immer nur von der einen Sorte in die andere.
Es ist nie so, dass es Gleichartige Kanten gibt,
die bei einer Transition beginnen oder da enden.
Und was es später noch geben wird,
es gibt noch zusätzliche Beschriftungen, Bezeichner,
Gewichtungen,
Schutzbedingungen,
Guards, das kriegen wir alles noch, aber bislang haben wir das nicht.
Also wenn wir PT und Kanten ganz gut ausgelastet.
Und das Nächste ist, hier ist noch Platz,
da sagen wir Prinzip 5, das sagt zu allem,
was ich malen kann, kann ich auch eine mathematische Schreibweise finden.
Das ist ganz gut, das erleichtert manchmal das Hinschreiben,
insbesondere wenn kein Grafikwerkzeug zur Hand ist.
Okay, also wenn man es nicht nur malen kann,
sondern auch formal mathematisch hinschreiben kann,
loopt ein Tupel schon um die nächste Ecke.
In diesem Fall ist es sogar recht übersichtlich,
es ist ein Triebel, Also das Kürzeste,
was wir bislang so ein Angebot haben für ein Modell.
Es besteht aus Plätzen. Eine Menge P. Eine Menge von Transitionen.
Und diese Menge sollte es jung zu den Plätzen sein.
In der grafischen Darstellung ist es klar, was rund ist,
ist nicht was eckiges. Deswegen muss man das da nicht
so sagen. Das erkennt man. Aber hier,
wenn ich irgendwelche abstrakten Mengen habe, dann muss ich erst mal fordern,
dass die Mengen P und Tedesjung zueinander sind.
Und die Pfeile, das ist jetzt modelliert als Relation,
das heißt Flussrelation,
weil da ja
Marken fließen sollen
Und das ist eben, weil es nur gemischte Kanten gibt,
eine Teilmenge aller möglichen Kanten, alle möglichen Kanten sind,
kannten die von P nach Tee führen, also P-Kreuz Tee,
oder, also vereinigt, kannten die von TenAP fließen,
also die Menge Tee-Kreuz P. Das heißt,
diese Menge P-Kreuz Tee war eigentlich Tee-Kreuz P sind alle möglichen Kanten,
da ich typischerweise aber nicht vollständige Vermaschung habe,
nämlich nur eine Teilmenge davon.
Deswegen ist F eine Teilmenge aller möglichen Kanten. Und nun habe ich nirgends gefordert,
dass P&T endliche Mengen wären, das muss nicht so sein,
Wenn ich das haben will,
dann muss ich das explizit fordern, dann sage ich,
okay, wenn P und T endlich sind,
dann nenne ich das Netz auch endlich.
Ansonsten kann ich auch sagen, das Netz ist unendlich oder ich sage gar nichts.
So, und was sieht man hier unten?
Da sieht man so ein kleines Beispielnetz, eine Transition,
dann sieht man noch ein paar Plätze drumherum und da
kann man sich angucken, eine so in eine Kante.
Das heißt, eine Kante wird modelliert als PA,
P6 T3, das ist diese blaue Kante von dem
entsprechenden Platz zur entsprechenden Transition
Ja, und andere Kanten sind dann eben von T3 hin zu P5.
Das sind andersrum. So, und wir haben jetzt immer die Konventionen,
Plätze mit P zu bezeichnen, oder P im Index und Transition mit Tieren im Index.
So, was jetzt passieren kann, ist,
das wollen wir ja modellieren, ist,
wenn ich eine solche Transition habe, kann sie schalten,
und sie kann schalten, salopp formuliert, wenn alle Eingangskanten,
also Kanten,
die von Plätzen zu dieser Transition führen,
genügend Marken da sind.
Die müssen alle
markiert sein
Und wenn das der Fall ist, nehme ich die Marken
weg und packe in die Ausgangsplätze, jetzt die Marken rein.
Das heißt, wenn ich die Transition T3 schalte,
nehme ich drei Marken weg, verschlucke die und packe drei Marken,
zufälligerweise sind es wieder drei auf die rechte Seite.
Gut, die formale Definition holen wir später noch nach.
Um das nachzuholen, müssen wir nämlich erst ein paar Sachen definieren.
Das erste ist, die Lokalität,
das, was drumherum ist,
um so eine Transition
Und das definieren wir uns jetzt. Wir sagen,
wenn ich ein Netz-N habe, das Triple-PTF,
und ich habe irgendein Element X, das ist ein Platz oder eine Transition.
Denn mit zeichne ich mit Kulla X,
den Vorbereich von X, so wie in der Grafen-Theorie,
in der Grafen-Theorie wird, wenn das Ganze Graf wäre,
würde so, Kulla X, die Menge aller Knoten,
die in einem gerichteten Grafen davor liegen bezeichnen.
Ja, wir haben ja bislang auch einen gerichteten Grafen.
Also ist das sinngemäß genau
das Gleiche hier
Und was davor liegt, das ist die Menge aller Y-Elemente,
die die Eigenschaft haben, Y X ist eine Kante in F.
Also es gibt eine Kante von dem Element Y,
hin zu meinem fixierten Element X. Alle solche Elemente Y,
nenne ich Eingangselemente von X. Und entsprechend,
wenn ich Kanten der Form habe,
von X komme ich zu einem Y,
dann nehme ich die Gesamtheit aller Y mit dieser Eigenschaft
und nenne das die Ausgangselemente von X. X,
ein Kuller
Und diese Notation kann ich auch für Mengen definieren,
wenn ich also eine Menge von Plätzen, Transitionen habe,
also eine Teilmenge irgendwie, dann kann ich sagen,
der Vorbereich einer Menge X ist gleich,
die Vereinigung der Vorbereiche aller Elemente klein X,
die in dieser Menge vorkommen und dann bei Nachbereich ist es genauso,
der Nachbereich einer Menge groß X ist die Vereinigung aller Nachbereiche von Klein X,
die in dieser Menge vorkommt.
Und was kann ich damit machen, damit kann ich insbesondere
die Lokalität eines Platzes oder einer Transition Y definieren?
Das ist nämlich Y selbst gehört dazu.
Also ich selbst bin in meiner Lokalität. Mein Vorbereich ist
in meiner Lokalität und meinen Nachbereich. Also alle Elemente,
die um mich herum sind und ich selbst bilde meine Lokalität.
So, da drunter ist jetzt ein Beispiel lustriert.
Wenn ich also die Menge A-Ansätze mit T1, P5,
P11, also gerade die rot hervorgehobenen Elemente,
dann kann ich jetzt überlegen, was ist der Vorbereich.
Dazu muss ich jetzt Kanten nur rückwärts laufen.
T1, was hat das im Vorbereich?
Genau einen Platz. Das ist der Platz P als
Ist also im Vorbereich drin. Mehr nicht. P5 hat
nur eine einzige Rückkante, die reinläuft und die führt zu,
kommt von der Transition T3. T3 ist also drin.
Und P11 hat auch nur eine einlaufende Kante und die kommt von T4.
Also erhält man, das ist der Vorbereich von A,
genau P1, T3, T4 ist.
Und entsprechend kann ich auch den Nachbereich dieser Menge A berechnen.
Man kann nachgucken, wo gehen da Kanten raus und stellt fest,
bei T1 ist es P2. Und P4,
da sind es mal zwei
Bei P5 ist es nur T2, und bei P11 nur T5. Gut.
Also weiß ich schon mal, Vor- und Nachbereich kann ich
für Mengen ausrechnen. Jetzt kann ich mich noch fragen,
was ist jetzt die Lokalität einer Transition T2?
Ja, alles drumherum. Also dieser Block. Ja,
T2 gehört dazu und alles, was da vor und danach liegt.
So, das sind so die elementaren Notationen, die uns
immer verfolgen werden. Und damit können wir jetzt definieren,
wann eine Transition aktiviert ist und dann sie schalten kann und
wohin sie schalten kann
So, wenn wir ein Petrinnetz N haben,
dann ist jetzt für einfache Netze zumindest, das folgendermaßen,
eine Stelle kann markiert sein oder eben nicht.
In diesem Sinne ist eine Markierung eine Teilmenge aller Plätze,
die markiert sind, packe ich in die Menge Groß M rein,
die die unmarkiert sind, eben nicht.
Das heißt, für das unten angegebene Beispiel ist die Menge
Groß M eine Menge, die aus P1, P2,
P5, P6 und P10 besteht.
Das ist die aktuelle Markierung. Alle Plätze,
die ein Kuller drin haben
Und jetzt definiere ich, dass eine Transition dann aktiviert ist,
und zwar genau dann, wenn, wenn ihr Vorbereich Teilmenge der Markierung ist.
Das heißt, alle Plätze, die davor liegen, haben eine Marke.
Das ist die eine Bedingung. Und die andere Bedingung sagt,
alle Plätze, die hinter der Transition Tee liegen,
also im Nachbereich von Tee sind, die haben die Eigenschaft,
dass die frei sind, dass Platz, um Marken aufzunehmen,
ja, mathematisch bedeutet das Tee und der Nachbereich davon,
Geschnitten mit M ist leer.
Die Markierung und der Nachbereich sind es jugend.
Wenn man das sich für das Beispiel hier mal anguckt,
dann könnte man das mal schalten lassen.
Dann sieht das so aus und wandert hier durch.
Und da hatten wir gerade vorhin die Transition T2.
Da war es eben so, wenn wir nochmal zurückgehen,
die Transition T2,
da ist der Vorbereich markiert auf P2 und P5
liegen nämlich Marken
Und P3 ist frei. Der Nachbereich,
geschnitten mit der aktuellen Markierung ist leer. Das heißt,
T2 ist tatsächlich aktiviert. Und wie wir die Markierung bekommen,
das muss man ja auch irgendwie definieren,
die Nachfolgemarkierung im Strich ist eindeutig definiert.
Und man bekommt sie, indem man aus M erstmal alle Marken des Vorbereichs entfernt.
Also ich nehme von der aktuellen Markierung P2 und P5
weg und packe dann den Nachbereich hin.
Also packe P3 dazu. Das heißt,
ich würde jetzt diese beiden Marken wegnehmen und P3
eine Marke hinlegen
Die beiden wegnehmen, hier einen hinlegen, bei T6 das
Gleiche machen und so weiter und so fort. So,
haben wir also die Situation, wir wissen ja jetzt,
wie das Ganze schaltet, insbesondere im Nachbereich soll leer sein,
damit der Platz ist für die Marke, um sie aufzunehmen.
Also wir drücken uns explizit davor zu definieren,
was es bedeuten sollte, wenn da schon eine Marke liegt.
Also sobald da im Nachbereich eine Marke liegt,
sage ich, die Transition ist nicht aktiviert.
Da müssen wir also nicht überlegen,
ob da zwei Marken hin sollen oder
was anderes passiert
Das heißt also, wir dürfen keine Nebenbedingung haben,
wenn ich so etwas habe, dann habe ich ein Problem erstmal.
Nee, wenn ich so eine Nebenbedingung habe,
also eine Stelle mit einem Fall zu einer Transition und direkten Fall zurück.
Da nenne ich diese Stelle eine Nebenbedingung.
Dann habe ich das Problem, sie ist nicht aktiviert,
weil der Nachbereich nicht leer ist in dem Moment. Ja,
also Nebenbedingungen sind einfach, wenn ich sowas sehe,
dann muss ich entweder sagen, okay,
habe ich nicht so gemeint,
habe ich anders gemeint,
meine ich eigentlich zwei Plätze,
die noch rüberschalten können
So, die eine, der eine Ausweg, den man
da macht, oder man sagt, das verbiete ich.
Solche Netze brauche ich gar nicht zu betrachten. In der Gleichzeit,
ja, in Beleidigung des Tierschalters. Wir hätten gleichzeitig,
also im Sinne von nebenläufig schalten können, oder alternativ.
Wir müssen nicht. Wir haben erstmal definiert, wann eine Transition aktiviert ist.
Und aktivierte Transitionen dürfen wir schalten. Dass gewissermaßen,
wenn ich mir das vorstelle,
als Spielbrett ich setze jetzt auf jede Transition einen Spieler drauf,
dann kann er sich gucken, darf ich, wenn ja,
grapscht er sich alle Marken und legt sie hin.
Aber er kann auch munter einen Mittagsschlaf halten.
Das ist also egal. Das ist eine sehr liberale Notation.
Wir sagen nur, was passieren darf. Erzwingen tun wir
erstmal nichts. Dafür gibt es noch Möglichkeiten zu sagen,
wir finden das langweilig, wenn nichts passiert und machen da irgendwas.
Aber erstmal definieren wir uns da gar nichts Spezielles für.
So, und jetzt kann man, wenn man weiß,
okay, was kann passieren, haben wir ja definiert,
aktivierte Transitionen dürfen schalten
Die Nachfolgemarkierung im Strich. Und jetzt können wir mal überlegen,
was hätte jetzt alles passieren können. Also gewissermaßen das maximal mögliche Verhalten.
Und da können wir uns jetzt so eine Grafik aufmalen.
Wir starten links oben. Und da gibt es jetzt
zwei Transitionen, die rote für den Wagen 1 oder A.
Und die grüne Transition für den Wagen 2.
Und jetzt habe ich zwei Möglichkeiten, was passieren kann.
Zum Beispiel, ich stelle fest, die rote Transition T1.
Die kann ja schalten. Wenn sie das tut,
Dann nehme ich den Fall nach rechts und lande in einer Situation,
die rechts oben dargestellt ist, nachdem T1 geschaltet hat,
ist mich die Nachfolgemarkierung erreicht.
Oder ich gehe nach unten, schalte T4, das ist
die grüne Variante. Dann hat die Rote noch nicht stattgefunden,
aber die Grüne hat schon geschaltet, hat da die Nachfolgemarkierung produziert.
In beiden Fällen kann jeweils andere Farbe noch schalten,
denn die sind ja nebenläufig. Das ist auch eine Eigenschaft,
wenn ich zwei nebenläufige Transitionen habe und eine schaltet,
Denn da kann die andere hinterher immer noch nachziehen.
Und deswegen sieht man, wenn ich erst die Rote schalte,
kann hinterher noch die Grüne nachträglich schalten.
Oder umgekehrt, wenn ich erst die Grüne schalte,
dann kann danach noch die Rote schalten.
Und das ist auch wichtig, es kommt die gleiche Markierung raus.
Das ist nicht zufällig so, sondern bei nebenläufigen Transitionen,
wenn ich die in irgendeiner Reihenfolge schalte,
dann kommen sie immer in die gleiche Markierung am Ende dessen.
Und was jetzt hier noch angedeutet ist, ist dieser graue Pfeil,
der sagt, naja, ich habe zwei Nebenläufige Transitionen.
Wenn Transition nebenläufig sind, macht es keinen Sinn,
davon zu sprechen, welche eigentlich so eher dran wäre.
Ja, wenn ich das nicht sagen kann,
ist so die erste Variante, dass ich als Ablaufsemantik eine Folgensemantik definiere.
Variante 1. Ja, dann sage ich, die dürfen hintereinander
ein beliebiger Permutation vorkommen. Oder, das wäre jetzt eine Schrittsemantik,
die sagt, nein, nein,
nebenläufige Transitionen dürfen tatsächlich
zusammen stattfinden
Das macht keinen Sinn, die auseinanderzunehmen.
Ich komme also von links oben direkt durch das Nebenläufige,
Zusammenschalten von T1 und T4 direkt zu dieser Markierung.
Das ist der diagonal laufende Fall. Gut,
was ich dann mache, was habe ich inhaltlich getan?
Ich habe die beiden Autos mal an die Haltelinie fahren lassen.
Super. Die beiden Autos sind jetzt da.
Und deswegen ist diese blaue Transition aktiviert worden.
Die blaue Transition, die dem Starter sagt,
dass beide Autos jetzt da sind und er gewissermaßen
die Freigabe erteilen kann
Diese Transition kann jetzt stattfinden. Ich schalte also T3.
Und jetzt habe ich sinngemäß ein ähnliches Spiel.
Denn jetzt haben beide Autos die Freigabe. Das heißt,
rot und grün, also das rote und das grüne Auto,
Wagen 1, Wagen 2 fahren an.
Und das können die wieder entweder, ja,
das hat sogar die physikalische Bedeutung, dass das rote Auto zuerst losfährt.
Ja, dann gehe ich mit T2 nach links.
Oder das grüne Auto fährt zuerst los,
dann gehe ich mit T5
nach unten
Und dann kommt das andere Auto vermutlich später nah.
Oder die sind tatsächlich im Rahmen meiner Messgenauigkeit gleich schnell,
kommen gleich schnell vom Staat los.
Das heißt, ich nehme gleich die Diagonalbewegung. Beide sind
gleichzeitig gestartet. Wobei man bei solchen Sprechweisen immer ein bisschen
vorsichtig sein muss, über Gleichzeitigkeit können wir nicht reden.
Warum? Wir können nicht über Zeit reden. Wir haben
hier keinen Zeitbegriff. Wir haben hier nur einen Begriff,
der über kausale Abhängigkeiten spricht. Deswegen ist es eigentlich korrekter,
wenn ich davon sprich spreche, dass sie nebenläufig zusammenschalten.
Also ich nebenläufige Ereignisse gemeinsam hier betrachte. Denn da weiß ich
, was gemeint ist. Nebenläufig heißt es jungte Lokalitäten,
was nichts weiter bedeutet. Sie sind ohne kausale Abhängigkeiten.
Und was ohne kausale Abhängigkeiten geschieht, kann nach gängiger Ansicht
physikalisch in beliebiger Sequenz, aber auch tatsächlich parallel stattfinden.
Fußnote auf, das Ganze hat eine Motivation in der Physik.
Und wer da zumindest spezielle Relativitätstheorie so ein bisschen kennengelernt hat, weiß,
dass Gleichzeitigkeit abhängig ist vom Beobachter. Und die Relativitätstheorie deswegen sagt,
es gibt kein ausgezeichneten Beobachter, was für diese Situation dazu führt,
dass zwei kausal unabhängige Ereignisse, also nebenläufige Ereignisse,
dass es immer einen Beobachter gibt, der sagt, T2 war zuerst,
vor T5, und es gibt einen anderen Beobachter, der sagen würde, T5 war zuerst 4T2.
Ja, das Gleiche kann man auch, wenn man es
ein bisschen physikalischer down to earth betrachtet, auch haben auf dem Netzwerk.
Wenn da zwei Nachrichten auf verschiedenen Kabeln unterwegs sind,
dann kann man schwer sagen, welche denn gerade vor welcher ist.
Wenn die nicht auf dem gleichen Strang laufen,
wenn sie auf dem Leichenstrang laufen, ist klar, welches Netzwerkpaket davor dran ist.
Aber wenn die auf verschiedenen Kabeln unterwegs sind,
dann hängt das eher davon ab,
wie weit man Messinstrument von den Kabeln entfernt ist,
als wirklich, dass ich sagen könnte, welches zuerst ist.
Es hängt also vom Beobachter ab. Und eine Grundmotivation der
Petrinetze war, diese Relativität des Beobachters und die Nebenläufigkeit,
die daraus resultiert, in den Formalismus hineinzunehmen.
Gut, das dazu, das wäre also die zwei Grundsemantiken,
die wir angucken wollen. Eine haben wir schon definiert,
dass Simultane schalten nebenläufiger Transitionen, haben wir noch nicht definiert.
Und es gibt noch eine dritte Semantik,
die True Concurrency oder Prozessemantik,
die machen wir später
Nachdem wir ein paar andere Dinge kennengelernt haben.
Was wir an dieser Stelle aber auf jeden Fall nachziehen wollen,
ist, dann schalten nebenläufige Transitionen.
Und um solch simultanes Schalten zu beschreiben,
definieren wir jetzt, wann es eine Transitionsmenge aktiviert.
Also nicht eine Transition, sondern ein ganzes Rudel davon.
Diese Menge und nehmen wir mal, uh.
U ist eine Timingmenge aller Transitionen, meinetwegen auch alle.
So, und was machen wir jetzt?
Wir haben wieder ein Netz-N und eine Markierung Groß-M.
Und wir nennen die Transitionsmenge U
jetzt aktiviert
In dieser Markierung M. Wenn folgende Bedingungen erfüllt sind, ja,
die ersten beiden sind so, wie man sich das denkt.
Also ich habe genügend Marken für alle.
Der Vorbereich ist also markiert. Das heißt,
wenn ich von U ausgehe und alle Plätze mir anschaue,
die da davor liegen, dann sind die alle in M drin,
also markiert.
Das ist so die erste Sache, die gelten muss,
Marken für alle. Das nächste ist, der Nachbereich ist
leer, da blockiert also nichts.
Also analog formuliert der Nachbereich von U geschnitten mit,
da müsste M stehen,
statt C sehe ich gerade
Er muss die leere Menge sein. Ja, warum C
? Das hat historische Gründe. Man nennt eigentlich die Markierung
eines solchen Netz Case, weil man daran sieht,
ob etwas der Fall ist oder nicht.
Und das C ist mir da reingeflutscht.
Gut. Und die dritte Bedingung ist jetzt tatsächlich neu,
die hatten wir vorher nicht. Wir müssen jetzt beschreiben,
dass alle Transitionen in dieser Menge tatsächlich nebenläufig zueinander sind.
Ja, eine Transition mit sich selbst,
ja, die macht keinen Ärger.
Aber wenn ich zwei Transitionen oder mehrere habe,
dann muss ich dafür sorgen,
dass die sich nicht ins Gehege kommen
Nicht ins Gehege gekommen, heißt formal, sie sollen nebenläufig sein.
Also was fordere ich, wenn ich zwei Transitionen, T&T-Strich habe?
Und es sind zwei verschiedene. Denn fordere ich,
dass deren Lokalitäten, Lok von Tee und Lok von Tischlich,
dass die das jungt sind. Das heißt,
Vor- und Nachbereich sind auf jeden Fall schon mal überlappungsfrei.
Und das gilt für alle Transitionen. Paarweise überlappungsfrei. Das heißt also,
wenn ich mir die Bedingung eins nochmal anschaue und ich weiß,
alle Transitionen sind überlappungsfrei,
insbesondere auch im Vorbereich
Denn haben die nicht nur insgesamt genügend Marken, sondern jeder hat,
weil das disjung ist, tatsächlich auch genügend Marken.
Hätte es einen Überlapp gegeben, dann könnte eine Situation auftreten,
dass ich zwei Transitionen habe.
Sie überlappen sich in einem Platz und wollen jetzt schalten.
Rein formal wäre die erste Bedingung erfüllt. Es gibt für
alle Plätze des Vorbereichs in U Marken. Aber dummerweise,
nicht genug Marken für alle, denn da ist nur eine Marke.
Und wenn das ein Überlapp ist,
dann wollen die eigentlich im gewissen Sinne zwei Marken haben.
Die sind aber nicht da
So, deswegen ist diese dritte Bedingung so wichtig,
damit im Vorbereich tatsächlich auch eine Marke reicht,
um alle Tranditionen glücklich zu machen.
Das heißt, diese eine Marke gehört de facto nur einer Transition.
So, und analog gilt das Gleiche für den Nachbereich,
da will auch keiner, es gibt keine zwei Transitionen,
die auf einem Platz etwas legen wollen und sich deswegen ins Gehege kommen.
Das passiert auch nicht. Es ist immer klar,
wer marken wovon nimmt und wer welche hinlebt.
Das haben die unter sich ausgemacht bei desjugenden Lokalitäten.
Und wenn diese drei Bedingungen erfüllt sind,
dann ist die Nachfolgemarkierung so definiert,
wie auch vorher das eigentlich war
Ich nehme von der aktuellen Markierung den Vorbereich weg,
ohne Vorbereit von U und lege den Nachbereich U da wieder hin, also vereinige das damit.
Sondern sehen wir noch diese Definition, das ist sehr sinnvoll,
denn sie verärgert meinert den sequenziellen Fall, den wir schon hatten,
wenn wir nicht in dieser Definition, uh,
als die einelementige Menge, die nur das Elementee enthält,
setzen, dann stellen wir fest, aha,
die erste Bedingung ist dann Vorbereich von Tees-Teilmenge von M,
also genauso wie vorher.
Und die zweite Bedingung ist dann Nachbereich von Tee
ist leer
Schneide mit der aktuellen Markierung. Und die dritte Bedingung ist gewissermaßen gegenstandslos,
weil, wann nehme ich mir zwei Transitionen aus der Uhr rauspicke,
dann ist die Vorbedingung, sie sollen ungleich sein.
Wenn ich mir aber zwei rauspicke aus einer einelementigen Menge,
dann sind sie offensichtlich gleich. Also die Vorbedingung ist falsch.
Das heißt, Nachbedingung der Implikationen kann sonst was gelten.
Die dritte Bedingung ist also trivialerweise immer erfüllt.
Gut. Also für den elementaren Fall wissen wir jetzt,
was ist ein Netz, wie kann das schalten,
wie bastle ich das zusammen,
wie ist das lokal
Das lokale Verhalten, wie kriege ich das hin?
Was wir uns jetzt angucken wollen, was kann ich mit
so einem Netz noch machen, außer da irgendwie rumschalten?
Und ich kann es verfeinern, vergröbern, was im Prinzip
das Gleiche ist, nur in verschiedene Richtungen, verfeinern und vergröbern.
Ja, wozu ist das gut? Typischerweise ist das gut,
wenn ich ein System entwickeln will,
dann starte ich erst mal mit einem groben Modell des Ganzen.
Und fange an, wenn ich mit dem Grobmodell zufrieden bin,
ist langsam sukzessive zu verfeinern.
Das ist so der Ansatzpunkt, warum man ja eine Verfeindung hätte,
Top-Down-Entwurf, wer das denn in der Softwareentwicklung
Oder was anderes, was man hin und wieder braucht,
wenn man ein sehr komplexes, detailliertes System hat,
dann will man manchmal sagen, okay, von manchen Dingen,
da will ich nur die Grobsicht haben, ich vergröber das mal schnell.
Um einfach sich ein bisschen Überblick zu verschaffen. Oder man sagt,
ich habe so ein komplexes System,
das kann ich jetzt so erstmal gar nicht analysieren,
das wird so lange dauern,
das kriege ich in den Speicher gar nicht rein,
dann vergröber ich das System auch erstmal,
bis ich eine handliche Größe habe, analysiere das dann.
Und dann versuche ich das, was ich vergröbert habe,
nochmal getrennt davon zu analysieren.
Also Verfeindung, Vergröbung ist gut für
die Modellierungs- und den Verifikationsprozess
So, und was ist das jetzt bei Netzen?
Wir haben hier wieder unser Rennwagenbeispiel, ein bisschen länger.
Also man sieht, die fahren da, der Wagen a,
fährt da, munter seine Reihe lang und b auch,
nachdem sie vom Staat in die Mitte die Freigabe bekommen haben.
Und jetzt wollen wir dieses Modell erweitern,
also die Rennpist ist uns zu langweilig,
wir bauen da jetzt eine Schikane ein,
also eine Verengung, ein Autorennen mit Hindernissen,
das ist so schmal, da passt nur eins durch.
Wenn dann nur eins durchpasst,
was heißt das für unser Modell
Wenn wir also sagen, da ist dieser Punkt,
wo die durchmüssten, also zu diesem Zeitpunkt im Rennen,
kann es nicht da sein, der Fall sein,
dass beide Autos in diesem Abschnitt sind.
Was ist das, was wir jetzt definieren?
Wenn es nicht der Fall sein kann,
dass beide Rennautos da drin sind?
Wie nenne ich die Situation?
Wollte ich wissen
Ja, oder was, was wir schon hatten.
Ja, das ist ein kritischer Abschnitt. Und für den kritischen Abschnitt,
also in diesem Fall, war es ein Wort,
so eine kritisch, zumindest für die Gesundheit der Fahrer,
da möchte ich, dass ich wechselseitigen Ausschluss habe.
New to Exclusion, kennen wir, ne? Für zwei
. Das heißt, wir wollen dieses System so modellieren,
dass das tatsächlich auch im Modell abgebildet wird,
dass ich einen wechselseitigen Ausschluss habe.
So. Gut, im Java gibt es da so Möglichkeiten,
da gibt es Syndonize, da weiß ich, aha,
da habe ich auch wechselseitigen Ausschluss.
Wie mache ich das jetzt in meinem Autorennen?
Da muss ich ja
irgendwas tun
Und was ich mache, ich sage, okay,
ich betrachte diesen Engpass gewissermaßen als neue Ressource und modelliere den
kritischen Abschnitt mit einem Platz, stellt eine Ressource dar.
Und in dem Moment,
wo einer in diesen kritischen Bereich rein will,
nimmt der Erste sich die Marke weg von diesem neuen Platz
und gibt sie erst frei, wenn er da durch ist.
Also wenn er den kritischen Bereich wieder verlassen hat.
Wir erzwingen also, dass hier die Aktion des Einfahrens in
diesen kritischen Abschnitt nicht mehr
nebenläufig sind
Bevor ich das Modell erweitert hatte, waren sie nebenläufig.
Jetzt ist es sequenziell nur noch möglich. Ich musste mich warten.
Nehmen wir mal an, das erste Auto fährt rein.
Da muss T-6 und T-7 schalten, damit die Ressource wieder da ist.
Erst dann kann die andere Transition unten schalten.
T-8 und T-9. Was ich also mache, ist,
ich füge einen strukturellen Konfliktplatz, konf in diesem Fall ein.
Und setze jetzt das Verhalten Zweiertransitionen in Konflikt.
In diesem Fall T-6 und T-8,
diese beiden Transitionen streiten sich um die Marke
auf Konf
In dem Sinne sind sie im Verhaltenskonflikt. Und dieser Verhaltenskonflikt,
der realisiert mir jetzt gerade den wechselseitigen Ausschluss am Hindernis.
Das heißt, in einer solchen Situation,
wie man das hier sieht, da habe ich die Möglichkeit,
naja, im Moment ist gerade T8 könnte,
dann ist es ein bisschen vorgeprescht.
Das untere Auto sieht man, ist ein bisschen weitergefahren.
Der zweite ist noch nicht mal los. Der zieht jetzt
ein bisschen nach, ist jetzt auch da.
Und jetzt habe ich die Situation,
dass die beiden nicht mehr gleichzeitig können,
sondern jetzt muss das
irgendwie aufgelöst werden
Die Petrinetz-Semantik sagt jetzt, ja, welche Transitionen sind jetzt aktiviert?
Die ist noch in unserer Tattoos,
wo die Uber und so weiter
Also dass das jetzt sehr lieb essentielle ist mir erstmal die Feststellung,
T6 ist aktiviert und T8, so heißen die.
Ich muss da auch ein bisschen näher treten.
Beide sind aktiviert und es gibt keinen Mechanismus,
der jetzt sagen würde, wenn ich mehrere aktivierte Transitionen habe,
und hier ist die Situation, sie sind nicht beide nebenläufig zueinander.
Also ich kann nicht die Menge ungleich T6 und T8 schalten,
dann gibt es in Petronetzen keinen Mechanismus,
der jetzt entscheiden würde,
welcher zuerst rein darf
Das ist nicht festgelegt, das wird nicht spezifiziert.
Es wird hier keine Reihenfolge, keine Prioritäten modelliert.
Beides könnte jetzt passen. So, da sagen wir,
okay, beide Abläufe glauben wir, sind sinnvoll.
Gut, das ist jetzt vielleicht eine relativ detaillierte Sicht.
Wir haben jetzt ein bisschen verfeinert. Was könnte man jetzt vergröbernder machen? Man sagt,
dass es mir jetzt viel zu viel, wenn ich jemandem erklären will,
was da im Wesentlichen passiert, muss ich das Ganze grober machen.
Dann sage ich, es gibt eine Startphase,
es gibt einen kritischen Abschnitt für das erste Auto,
einen kritischen Abschnitt für das zweite Auto.
Ja, diese drei großen Blöcke habe ich jetzt. Und so gehe ich dann irgendwie,
was weiß ich, in irgendein Meeting und sage,
so ist unser Rennen und vergröbern heißt tatsächlich auch, dass ich das jetzt,
diese groben Blöcke in diesem Spezialfall macht das sogar sehr viel Sinn,
die jetzt als Transition zu betrachten.
Also die gesamte Startphase ist ein Ereignis,
das sinngemäß sagt, naja,
am Anfang stehen die Autos irgendwo und der Staat ist irgendwie
so fertig und danach Sind die Autos beide im Rennen und der Starter hat seinen Job getan.
Das ist die Sichtweise dieser groben Aktionen starten. Die eine
Transition. Ja, und jetzt haben wir die Situation,
das macht in dem Sinne keinen syntaktischen Sinn.
Wir haben ja die Schaltregel mit Nebenbedingungen definiert.
Jetzt haben wir einen Konfliktplatz. Ja, der ist Nebenbedingung
. Also genau die Situation, die wir vorhin haben,
jetzt haben wir eigentlich ein Netz, das gar nicht mehr schalten kann.
Die obere Transition, also kritische Abschnitt für das obere Auto,
sagt jetzt, eine Marke von Konf nehmen und eine hinlegen.
Das ist unsere derzeitigen Schaltbedingungen gar nicht möglich. Gewisser Weise
ist es jetzt aber so, dass wir sagen, naja,
es ist aber auch nicht völlig schwachsinnig, so was hinzumalen.
Insbesondere, wenn man bedenkt, wo das hergekommen ist.
Dieser grobe Block, der bestand ja aus Transitionsstelle, Transition.
Und in dem Sinne ist es doch sinnvoll, solche Nebenbedingungen zuzulassen.
Das können wir jetzt noch nicht betrachten, im Formalismus der einfachen Netze.
Aber wir bemerken uns das schon mal auf unsere mentale Hausaufgabenliste.
Wir hätten gerne einen Formalismus, in dem diese Vergröbung
immer noch Sinn macht
Dazu müssen wir irgendwie ein bisschen was drehen und gewissermaßen erlauben,
eine Marke dann hinzulegen, wenn ich sie mir selber weggenommen habe.
Also solche Nebenbedingungen will ich erlauben. Dann wäre eine
solche Vergröberung auch vom Verhalten sinnvoll. So,
jetzt sollte ich nicht anfangen,
irgendwie mir beliebig Objekte in der Gegend rauszupicken und die zu einem Blog zusammenfassen,
sondern da sollte man irgendwie sinnvoll tun.
Also hier haben wir Glück gehabt, hier haben wir gerade
so einen Bereich erwischt, der eine nette Transition darstellte.
Aber das muss nicht immer
so sein
Gucken wir mal hier. Ja,
hier haben wir einen Bereich von ein paar Knoten,
ein paar Plätzen, ein paar Traditionen.
Was kann ich damit machen?
Kann ich den auch vergröbern? Sinnvoll natürlich ist die Nebenbedingung
Nein. Was soll ich mit dem Block machen,
dem Gestrichelten? Können ihn grau einfärben.
Und dann? Ist das sinnvoll
Ja, also, wenn ich aus diesem Ding eine Transition mache,
zum Beispiel so, dann ist das eine sinnvolle Aktion,
weil, wenn wir den Blog angucken,
alle kannten die da rein und raus gehen,
die kommen von Stellen oder gehen zu stellen.
Das heißt, aus den taktischen Gründen ist das schon mal
sinnvoll, daraus eine Transition zu machen.
Es hätte ja auch die Situation auftreten können,
zum Beispiel, wenn ich den Blog genommen hätte,
den gleichen wie der Gestrichete,
nur ich nehme T2 beispielsweise raus
Da habe ich ein Problem. Wenn ich die zwei rausnehme,
sieht man, es gibt Kanten, die in den Block reingehen,
nämlich welche, die von T2 kommen, die kommen von Transitionen.
Ja, und es gibt welche,
die kommen von einem anderen Bereich oder gehen da raus,
nämlich zu P7 und P6 und das sind Plätze.
Wenn das der Fall wäre,
wenn ich so einen Bereich genommen hätte, dann wäre es nicht sinnvoll,
daraus eine Transition zu machen und es wäre nicht sinnvoll,
daraus einen Platz zu machen.
Denn in beiden Fällen bekäme ich so ein Mischding,
wo ich plötzlich entweder Plätze mit Plätzen verbinde oder Transition
mit Transition
Für die dargestellte, gestrichelte Menge, aber klappt das gerade?
Dass alles, was drin ist, an den Grenzen gewissermaßen wachen nur Transitionen.
Das ist mich nur in die Transition T2 mit der Umgebung verbunden.
Die Transition T3 und T4 auch. Aber die Plätze,
die da drin sind, P3, P4, sind komplett abgeschirmt.
Alle kannten die an P3 und P4 hängen, die landen wieder intern.
Die sieht man also gar nicht. So,
in diesem Sinne, es ist sinnvoll,
diesen Block Art zu vergröbern und die einzige sinnvolle Wahl ist,
es zu vergröbern als Transition
Wenn ich das hier nämlich vergesse, da außen sehe ich dann wunderbar nur Plätze.
Und das Entscheidende war ja, dass es irgendwie an den Außenbereichen
eine Transition sind, das heißt jetzt formal eine transitionsberandete Menge.
Warum am Rand sind nur Transitionen? Das kann man jetzt
formal nachdefinieren und sagen, was ist denn der Rand einer Menge?
Okay, wenn ich jetzt also ein Netz N habe,
wie immer als Triple-PTF, Und ich habe eine Menge X, nee,
eine Menge Y, die ist eine Teilmenge aller Knoten,
P und Tee, also eine gemischte Menge.
Dann kann ich jetzt den Rand definieren, Border von Y,
das ist die Menge aller Y-Knoten, also Knoten in Y,
die die Eigenschaft haben, das ist ein Knoten X außerhalb gibt,
der irgendwie etwas mit der Lokalität von Y zu tun hat.
Also X hat einen Pfeil zu einem Y oder von
einem Y aus dieser Menge geht ein Pfeil zu X.
Irgendwie geht eine Kante über die gestrichelte Grenze hinaus
So, also alle, die über diesen Rand tretenden kannten,
die betrachte ich und nehme alle Elemente,
die an diesen Kanten dranhängen und in der Menge Y drin liegen.
So, das ist die Menge der Elemente, die am Rand liegen.
Der Rand von Y. So, und jetzt gibt es zwei
sinnvolle Situationen, dass die Menge Y Platz berandet ist.
Das ist der Fall, wenn alles, was am Rand liegt,
ein Platz ist oder die Menge ist Transitionsberandet,
so wie in dem Beispiel da drunter,
da sind nämlich alle Transitionen im Rand
Das heißt, T2, T3, T4, das ist eine Teilmenge aller Transitionen.
Das heißt, unsere Beispielsmenge im gestrichelten Bereich, die ist gerade Transitionsberanded,
Transition Borderd. Und das Ganze kann man auch zeigen,
das hat was mit Topologie zu tun, wo es offene und geschlossene Mengen gibt.
Ja, da kann man tief einsteigen,
weil man will, wir lassen das,
aber hier mal genannt, platzberandete Mengen heißen offen,
Transitionsberandete Mengen heißen geschlossen und das hat auch was,
das ist ganz konform mit der topologischen Definition von offenen und geschlossenen Mengen.
So, und Hier haben wir den Extremfall,
es gibt Mengen, die gleichzeitig offen und gleichzeitig geschlossen sind.
Gut, topologisch nicht überraschend. Wenn ich die gesamte Menge
nehme, die ist sowohl oftmals auch geschlossen.
Bei der gesamten Menge gibt es mich keine Elemente außerhalb.
Deswegen gibt es in dem Sinne auch keinen Rand.
Und dann kann ich mir aussuchen, die leere Menge ist
ja Teilmenge von P, Unteilmenge von P gleichermaßen.
In dem Sinne ist sie sowohl oftmals auch geschlossen.
Wenn ich also den gesamten Bereich striche, dann ist es nicht festgelegt,
ob ich den Bereich Y durch einen Platz oder eine Transition ersetze.
Mein gesamtes System kann ich sagen, naja,
das ist was Aktives, tut was.
Da meine Transition raus oder ich sage, naja,
und das hat einen Zustand, dann mache ich einen Platz draus.
Aber das ist jetzt wirklich nur dem Geschmack des Modellierers und
was er ausdrücken will überlassen.
Ja gut, was kann ich damit machen?
Ich kann jetzt diese Operation, ich schnurre das alles,
diesen gesamten Bereich vorausgesetzt erst platt oder transitionsberandet,
aber nicht so eine Mischung
Ja, es gibt ja noch den hässlichen dritten Fall.
Y ist weder Platz noch transitionsberandet, dann kann ich mich
gar nichts damit machen. Aber wenn die guten Fälle eintreten,
dann kann ich jetzt eine elementare Vergröberung definieren.
Nämlich genau eine transitionsberandete Menge zu einer Transition vergröbern.
Rainers definieren wir uns jetzt mal so, wie man sich das denkt.
Ich nehme das Netz PTF und ich nehme an,
ich habe eine Nichtlehre, transitionsberandete Menge Y.
Weil seinen guten Kandidaten zur Vergröberung,
was mache ich
Ich bilde mir ein neues Netz. N, in Bezug
auf Y. Und die Platzmenge in Bezug auf Y,
das ist der Punkt 1, naja, da nehme ich alle Plätze,
ohne die Plätze in Y. Also Plätze im gestrichenen Bereich wegschmeißen.
Das Gleiche mache ich mit den Transitionen, alle Transitionen im gestrichelten Bereich wegschmeißen,
aber noch eine frische Transition, Klein-TY hinzupacken.
So, da habe ich den ganzen Bereich ersetzt durch einen neuen Knoten-TY.
Ja, und bei den Kanten mache ich das,
was man sich so denkt. Also ich packe erstmal
Alle kannten XY hinzu, die die Eigenschaft haben,
sie liegen draußen. Also X ist nicht in Y,
Y ist nicht ein Y und XY war eine Kante vorher.
Alte Kanten, die draußen liegen, sind wieder Kanten. So,
und wenn ich eine Kante habe,
die startet außerhalb in X und endet irgendwo in der Menge Groß Y. Naja,
den Endpunkt in der großen Menge Y,
den gibt es ja nicht mehr,
nachdem ich ihn weggeschmissen habe.
Das ersetzt sich jetzt sinnvollerweise durch den Endpunkt der neuen Transition.
Also für diesen Fall wirklich die Kante X TY hinzu
Und umgekehrt, wenn ich irgendwo in der Menge starte am Rand,
sinnvollerweise, und ich lande außerhalb. Ich habe also ein X,
was außerhalb liegt und ich habe ein Y,
was innerhalb liegt, dann kann Y übrigens nur eine Transition sein,
wenn es eine Transitionsberandete Menge ist.
Naja, dann sage ich, okay,
dieses Y gibt es nicht mehr,
aber es gibt ja noch das neue Element T-Index Y und da lasse ich es dann starten.
So wie man sich das Denken mit den Kanten.
So und dann kriege ich das Netz,
was da oben angedeutet ist
Und die gleiche Definition kann ich auch für eine Platzberandete Menge Y machen.
Das läuft genau analog. Nur, dass ich einen neuen Platz PY
hinzufüge und die Alten in der Menge Y befindlichen Knoten wegschmeiße.
Und halt die Kanten anpasse. So, die beiden Sichten
haben wir. Das ist eine elementare Vergröberung. Wenn ich
eine elementare Vergröbung habe, eine einfache Vergröbung,
dann gibt es auch eine nicht so elementare Vergröbung.
Die bekomme ich, wenn ich das Verfahren iteriere.
Also mehrfach anwende
Ich kann also das Netz in zwei aus N eins erhalten,
wenn ich mehrfach bezüglich der Mengen 1. Y 1,
dann bezüglich der Menge Y 2 bis beim Ende mal bezüglich der Menge Y N vergröbere.
Wenn ich das so machen kann, also immer wieder vergröber nacheinander,
dann bekomme ich ein vergröbertes Netz in 2 raus.
So, das kann ich ganz gut definieren.
Ich kann gut definieren, wann ich etwas vergröbere.
Mathematisch gesehen wäre es viel aufwendiger zu definieren, was eine Verfeinerung ist.
Aber Wir können jetzt einfach einen Trick anwenden,
wenn ich schon weiß, was eine Vergröbung ist.
Das habe ich eben definiert. Und ich weiß,
N2 ist eine Vergröbung von N1. Dann sage ich,
umgekehrt nenne ich das Verfeinerung. Dann sage ich,
N1 ist dann eben eine Verfeinerung von N112. Gut,
für Mathematiker eine einfache Sache.
Konstruktiv ist das noch nicht so praktisch,
weil ich nicht weiß, wie ich eine Verfeindung bekomme.
Aber das ist völlig stringent. Denn Vergröbungen sind eindeutig,
wenn ich so einen Bereich auswähle und es ist mir meinetwegen Transitionsberandete Menge,
Denn ist klar, da kommt die eine Vergröbung raus.
Stellt euch den umgekehrten Fall vor.
Ihr habt eine Transition und ihr wollt sie verfeinern.
Ja, da gibt es nicht die Verfeinerung.
Da könnte jede x-beliebige Menge die Transitionsberandetes reinklatschen. Es gibt
also unendlich viele Verfeinerungen. Und offensichtlich hat der Modellierer hier
die Qual der Wahl. Und weil es so viele verschiedene gibt,
muss man sich als theoretisch definierender gar keine Mühe machen,
das irgendwie anders noch aufzuschreiben.
Da sagt man einfach, eine Verfeinerung ist etwas.
Naja, wenn ich es nochmal genau umgekehrt vergröbere,
kommt wieder das Gleiche raus.
Also die inverse Operation
Und das kann man jetzt hier nochmal gucken.
Ihr erinnert euch, das Beispiel, ich wollte damit ja
die Startphase und die beiden Konflikt, die kritischen Abschnitte nehmen.
Und ganz links dieser große gestrichelte Bereich, der ist tatsächlich transitionsberandet.
Können wir also nochmal gucken. Alle Pfeile,
die rein oder rausgehen, kommen oder gehen zu Transitionen.
Also am Rand sitzen, im linken Block nur Transition.
Und im kritischen Abschnitt, naja,
da geht ein Pfeil rein, ein Fall raus,
beides von uns
zu Transition
Also drei Transitionsberandete Abschnitte. Und wenn ich jetzt dreimal das Elementare vergröbern iteriere,
also erst für den linken großen Block,
dann meinetwegen für den oberen und dann für den unteren Block,
dann kriege ich tatsächlich hier den ersten Block zu TY,
die nächste Transition,
nenne ich dann TY1 und den unteren Block TY2.
Das heißt, so kann ich mehrfach iterativ Vergröbung anwenden.
So, dabei ist jetzt noch etwas anderes zu beachten.
Es gibt noch ein ähnliches Konzept, das nicht wenig wenn
ich weniger hilfreich wäre, nämlich dass der Verschmelzung.
Wenn wir uns diese Grundsituation A und B angucken,
stellen wir fest, da oben im Fall A,
der gestrichelte Bereich ist Platz berandet. Es ist also sinnvoll,
ihn mit einem Platz in der vergröberten Sicht zu modellieren.
Ich kann das zu einem Platz zusammenschnurren lassen.
In B ist eine Situation dargestellt, da sage ich,
da mache ich eine Verschmelzung. Also zum Beispiel,
weil ich mir vorstelle, ich habe links und rechts jeweils zwei Komponenten,
Der eine schreibt in eine Nachricht, Jude, der andere liest davon.
Und jetzt schmeiße ich zwei Teilsysteme zusammen und sage,
okay, ihr partizipiert jetzt am gleichen Nachrichtenkanal.
Das heißt, eine Verschmelzungsoperation. Da,
worauf du schreibst, darauf soll der andere Prozess lesen.
Das wäre das Verschmelzen. Hinterher ist das nicht mehr zu unterscheiden.
Denn Vergröbung sieht so aus und verschmelzen ja letztendlich auch so.
Das heißt, was man da so macht,
das Endergebnis kann ähnlich aussehen,
selbst wenn der Ursprung
ein anderer ist
Bei A ist es halt eine gröbere Sicht auf ein System.
Beim anderen ist es die Komposition Zweier-Systeme. So,
und analog das Ganze eben auch, wenn ich sage,
für Transition. Ich kann natürlich auch sagen, bei E,
ich habe einen Transitionsberandete Menge, oder bei F,
ich habe zwei Aktionen, die ich synchronisieren möchte.
Die finden also gleichzeitig statt. Die Endsituation,
die dann entsteht, G&H jeweils,
sind aber vom Effekt her
genau gleich
Platz, Transition, Platz. Und das ist auch wieder
der Unterschied. Vorher waren es entweder ein System,
das ich vergröbere oder zwei Systeme, die verschmelzt sind, synchronisiere.
Das kann man hier beidermaßen einsetzen. Man kann sich zum Beispiel vorstellen,
dass ich ein Modell habe auf der linken Seite,
dass nur die Startphase modelliert.
Das macht mir Entwicklerteam A. Oder auf der rechten Seite vom Entwickler-Team
B diesen kritischen Abschnitt modelliert habe
Das ist eine ganz andere Herangehensweise,
also mit zwei Entwicklerteams, als ein Entwicklerteam,
das das Ganze mit so einem Top-Down-Prozess gestartet hat,
mit dem ein Modell erstmal grob Startphase und zwei kritische Abschnitte entwickelt wurden.
Und dann hat man drei kleinere Teams gebildet, die das nochmal verfeinert haben.
So, mal Petrin jetzt schon ist beides möglich,
beide Entwicklungsstile, also mir ein kompositionaler Ansatz,
wie oben dargestellt, also mehr so ein Bottom-Up-Ansatz,
verschiedene kleine Bausteine,
füglich zusammen zu einem System
Oder einen Top-Down oder meinetwegen auch bottom-up-Ansatz, Verfeindung, Vergröberung,
meistens ja als Top-Down, wo ich dann verfeinern vorgehe.
Ja, dass man sagt, ich habe hier so verschiedene Bestandteile im Grobmodell,
die ich dann in einer zweiten Entwicklungsphase in meinem Verfeindungsschritt ausarbeite.
Ja, beides wird unterstützt, beides kann man verwenden,
das ist so das Nette, wir werden uns da nicht festlegen wollen.
Das nächste ist jetzt, ein kleiner Ausflug,
wir können das Ganze jetzt,
wir können den Schmerz noch eine Ecke höher drehen und sagen,
eigentlich interessiert uns nicht ein Netz.
Bislang haben wir uns immer so zwei, drei Netze interessiert,
nämlich Eine Netz ist eine Vergröbung von anderen.
Jetzt machen wir es schlimmer, jetzt sagen wir uns,
eigentlich interessieren uns Netze gar nicht mehr,
sondern uns interessieren nur noch Beziehungen zwischen Netzen.
Also wir wollen jetzt Beziehungen zwischen Netzen mit Hilfe von Abbildung
zwischen ihnen studieren. Wir sind fast schon im Exkurscharakter,
aber das gönnen wir uns nochmal. Was ist ein Netz
Morphismus? Das ist irgendwie so eine Struktur erhaltene Abbildung.
Also Morphismen haben wir mal so die Eigenschaft,
sie erhalten ein bisschen was von den Strukturen,
zwischen denen
sie abbilden
Einem Netz, was ist da die Struktur, die da ist?
Naja, was ist so ein Platz,
was ist eine Transition, was ist eine Kante?
Diese Verbindungsstruktur, die will ich irgendwie erhalten wissen.
Wenn ich eine Abbildung fee zwischen den 1 und den 2 habe,
dann ist die Bedingung, die ich formulieren kann,
dass die Kanten irgendwie zusammen abgebildet werden.
Zusammen mit den Plätzen. Was soll das heißen?
Wenn ich so eine Abbildung habe, hätte ich gerne,
wenn ich zwei Knoten habe, X und Y und sie sind mit einer Kante verbunden.
Also X, Y ist in der Flussrelation des ersten Netzes.
Wenn das der Fall ist, Da hätte ich gerne,
dass das Bild von XY eine Kante im zweiten Netz ist.
Also 4x,4Y ist ein Element in F2. Oder die beiden Knoten
werden auf das gleiche Element abgebildet. Mal Lachs formuliert.
Eine Kante wird wieder zu einer Kante. Oder schnurrt auf
das gleiche Element zusammen. Es ist erlaubt allerdings,
ich sage ja nur, Kante wird zur Kante.
Es kann beispielsweise passieren, dass ich eine Kante PT habe
Und das Bild ist jetzt aber eine TP-Kante. Also einmal
geht es vom Platz zur Transition. Im Bild ist es
genau andersrum. Da geht es von der Transition zum Platz.
Denn es ist immer noch eine Kante, also Kante wird
zu einer Kante gemacht, aber ich drehe die Kantenrichtung um.
So, also Vieh von P darf eine Transition sein und Vieh von Tehen Platz.
Ich kann also die Art und Weise, was das für
ein Knoten ist, kannte ich mit dieser Abbildung wechseln.
So, es gibt jetzt spezieller Morphismen,
die gucken uns gleich an,
dass ein solches Umdrehen auch noch verboten
So, ein Netzmofficismus ist also genau das, was wir gesagt haben.
Wenn ich zwei Netze habe, eine Abbildung zwischen den beiden Systemen.
Und wenn ich eine Kante habe, und zwar eine Kante,
die erste Zeile sagt, ich habe eine Kante,
dass X einen Platz und Y eine Transition,
dann sagt die erste Bedingung,
dann ist das Bild dieser Kante auch eine Kante und es ist wieder eine PT-Kante.
Oder die beiden Elemente sind gleich. Also wir verbieten,
dass sich da etwas ändert. Das heißt, insbesondere auch,
wenn ich eine Kante habe, dann wird ein Platz auf
dem Platz abgebildet, eine Transition auf eine Transition.
So, und da drunter das Ganze andersrum,
wenn ich XY habe, und es ist ein Pärchentransition,
Platz, dann wird das genauso eine Transition,
nämlich so eine Kante von Transition nach Platz,
oder die beiden werden auf das gleiche Element abgebildet.
So, und wenn ich dann noch die nette Eigenschaft habe,
dass Plätze immer nur auf Plätze abgebildet werden und Transitionen immer nur auf Transitionen,
Also auch, wo der Fall eintritt, dass 4IX gleich 4Y ist.
Ja, die diese Hintertür erlaubt mir ja, dass ich,
naja, wenn XY eine Kante ist und 4X gleich 4Y ist,
damit offensichtlich eine Transition zum Platz oder umgekehrt.
Ja, wenn X ein Platz ist und Y eine
Transition und das Bild von den beiden ist gleich,
dann ist es ja entweder Platz oder Transition.
Das ist als eins von den beiden wird gemischt geschlechtlich konvertiert.
Wenn das nie der Fall ist,
dann habe ich ein besonders schicken Netzmafismus am Wickler und dem
gebe ich den Namen Faltung
Da werden mich nur Plätze zusammengefeilt, gewissermaßen. Transitionen auch
. Und was ich dann noch machen kann, ist,
ich schränke das noch weiter ein, mich interessieren jetzt sujektive Netzmorphismen.
Warum interessieren mich sujektive Abbildungen? Naja,
wenn ich eine nicht sujektive Abbildung habe,
dann gibt es ja Knoten, die nie getroffen werden.
Eine sujektive Abbildung ist ja eine,
da gibt es im gesamten Bildbereich ein Urbild.
Alle Bilder haben ein Urbild
Wenn ich also eine sujektive Abbildung Vieh habe, dann wird alles,
was ein Knoten ist, im Netz 2, irgendwie auch erreicht.
Das heißt aber nichts anderes, als dass die Abbildung
schon reicht, um alle Netzknoten zu generieren.
Ich muss einfach nur nachgucken, was ist im Bild dieser Abbildung?
Vieh? Und all das sind jetzt die Knoten, die da so umherspringen.
Und was ich gerne noch gerne hätte, ein solchen Netzmafismus,
nenne ich jetzt Epimafismus, Der hätte ich nicht nur gerne,
dass da alle Knoten durch eine suaktive Abbildung erzeugt werden,
sondern ich hätte gerne noch die zweite Bedingung,
die im Kasten steht.
Jede Kante besitzt ein Urbild. Das heißt,
auch Kanten kann ich durch die Abbildung komplett erzeugen.
Also sobald ich die Abbildung Vieh kenne,
weiß ich auch Bescheid, über alle Abbildungen in dem neuen Netz.
Alles, was da NF2 ist, wird auch irgendwie erzeugt.
Eine solch schicke Abbildung, nennen wir Epimoffismus,
da sagt mir die Abbildung,
bereits alles über das neue Netz N2 aus
Ja, was kann ich machen? Ich kann doch einen
ISO-Marfismus definieren, wenn das Inverse auch ein Netzmorphismus ist.
Gut. Warum sind EPEO-Morphismen spannend? Die haben eine nette Eigenschaft,
und das ist jetzt der Rückgriff, und damit endet der Exkurs,
N-2 ist genau dann eine Vergröbung von N-1,
wenn es ein EpiMophismus von N-1 nach R2 gibt.
Das heißt, das, was man formal abstrakt definieren kann,
ist gar nicht so abstrakt, wenn man guckt,
was es macht, wenn ich mich sage,
ich habe einen EPEO-Morphismus von N-1 nach N-2,
dann sage ich ja, ich habe da eine Abbildung,
die komplett in zwei charakterisiert, wenn ich in der Eins gegeben habe.
Und diese Abbildung ist jetzt nicht irgendein mathematisches Artefakt,
sondern es ist unsere gute altbekannte Vergröberung.
Ja, ich vergröbere N1 und bekomme N2 raus.
Und das ist ganz klar eine Vergröberung, ist ja eine Aktion,
bei dem das ganze Netz beschrieben wird, was da rauskommt.
Gut, also das so als kleiner Kurzeinstieg in die Theorie,
in die allgemeine Netztheorie, Ja, und jetzt,
verspreche ich euch, machen wir nur noch die normale Netztheorie.
Also die allgemeine Netztheorie ist die Theorie, die sich mit
den Beziehungen zwischennetzen befasst. Wir gehen jetzt wieder zurück und
betrachten uns nur noch mit den Netzen an sich.
Und die erste Klasse haben wir schon geschafft, einfache Netze.
Bei einfachen Netzen liegt auf dem Platz eine Marke oder nicht?
Und weil wir gesehen haben, das machen,
an ein, zwei Stellen so ein bisschen Ärger.
Zum Beispiel gibt es da Konflikt oder ich muss immer dafür sorgen,
dass der Nachbereich leer ist,
wenn da zwei Transitionen
was reinlegen wollen
Oder es ist nicht ganz klar, wenn zwei Transitionen was
rausnehmen sollen, naja, dann können die nicht gleichzeitig.
Und da hat man sich gedacht, das kann man besser,
auch um diese Nebenbedingungen sinnvoll zu formulieren.
Da hat man gesagt, wunderbar. Dafür finden wir jetzt sogenannte Platz-Transitionsnetze,
wie man schon in diesen kleinen Piktogrammen da sieht.
Da laube ich jetzt mehrfache Marken. Zwei Stück in
diesem Beispiel. Und ich erlaube es auch,
dass über eine Kante nicht nur eine Marke abgezogen oder generiert wird,
sondern mehrfache.
Da stehen dann Zahlen an den Kanten
Aber da rechts ist ja noch Platz für mehr Netzklassen.
Wir werden uns also aber erst gegen Ende der Veranstaltung mit
sogenannten Kanten konstanten Netzen befassen. Da kann ich so etwas sagen,
da liegt nicht einfach nur ein schwarzer Kuller,
sondern da liegt etwas, was eine klare Identität hat.
Also links zum Beispiel habe ich zwei schwarze Kuller und ich
kann jetzt nicht sagen, ja ich kann das zwar sprechen,
so der linke Kuller, aber das hat mathematisch keinen Gehalt.
Weil ein Kuller ist so gut wie der andere auch.
Das einzige, was ich sinnvoll sagen kann bei PT-Netzen
ist,
da liegen zwei Stück
Ich kann aber sinngemäß nicht vom linken oder vom rechten reden.
Denn wenn ihr euch einmal kurz umdreht,
ich drehe die beiden Pokens um, ihr guckt wieder zurück,
sieht die Situation für euch genauso aus.
Das heißt, in dem Sinne von dem linken und dem rechten
zu sprechen ist völliger Humbu.
Allerdings, die Situation bei Kanten, Konstantennetzen ist schon anders.
Da liegt ja ein A drauf und ein B. Wenn ich
euch dann bitte umzudrehen, ich tausche das um,
dann werdet ihr das sehr wohl feststellen, dass ich was verändert habe.
Dann liegt er mich nicht mehr A, B, sondern B-A.
Also man kann erkennen, welche Marke ich da am Wickel
habe und ich kann auch in den Kanten sagen,
welche Marken ich verschieben soll
Also hier in diesem Beispiel steht an der Kante ein A.
Und das heißt, ich soll ein A wegnehmen und in die Ausgangsplätze ein A legen.
Und weil die Vorstellung so ist, die man da hat,
dass man die Marken unterscheiden kann, was ist,
vorher haben wir schwarzen Marken, jetzt haben wir gewissermaßen unterscheidbare Marken.
Man sagt noch, das sind bunte Marken. Die sind gefärbt
. Also A ist meinetwegen rot und B ist grün,
dann kann ich sie unterscheiden, wenn ich sie angemalt habe.
Deswegen der allgemeine Fall, der nennt sich gefärbtes Netz.
Beim gefärbten Netz ist eigentlich fast das Gleiche wie ein Kanten konstantes Netz.
Nur mit der Tatsache, dass ich Variablen verwenden darf.
Also hier habe ich ein einfaches Netz, da steht jetzt
auch AB als Markierung, aber in den Kanten steht jetzt XY.
Und das soll bedeuten, ich kann ein X wegnehmen,
aber was das X ist, das kann ein A sein oder ein B sein.
Aber was ich auf jeden Fall weiß,
wenn ich ein A wegnehme beim X,
also sag X soll jetzt A sein, denn es ist sichergestellt,
dass ich auf dem Platz rechts oben,
auch so ein X, also ein A lege.
Also wir sprechen hier über Variablenbindung und das macht das Ganze
ein bisschen interessanter,
kann da
ein paar Sachen mehr mitmachen
Gut, das ist so gewissermaßen die Petrinetz bezogene Agenda,
wobei wir jetzt PT-Netze sofort machen und die Gefärbnetze später.
PT-Netze jetzt. Wenn wir unser gutes,
altes Starterbeispiel da oben nochmal angucken, wo ich zwei Rennwagen habe,
dann kann ich mir vorstellen, dass ich das so zusammenfasse.
Da unten habe ich ein Netz, das soll
sowas ähnliches beschreiben. Und zwar sieht man da sinngemäß,
ist oben noch der alte Strang erhalten,
aber jetzt liegt auf P1,
liegen plötzlich
zwei Marken
Und was soll das bedeuten? Das soll bedeuten,
dass ich jetzt da den Vorbereitungsplan P1 habe,
aber da sitzen jetzt zwei Rennwagen.
So, das ist ganz nett. Ich kann mich auch
durch Einfaches verändern der Markenzahl, das Modell auf Dreirennwagen erweitern.
Nur eine Marke mehr und plötzlich können drei Autos fahren.
So, das sieht man also, ich habe mehrfach Markierungen,
erlaube ich. Und ich habe sowas wie Kantengewichte. Ja,
mein Starter, der wartet da unten, ja,
mit der ersten Transition T3,
der wartet darauf,
dass zwei Wagen da angerollt sind
Deswegen steht da an der einlaufenden Kante eine 2 und ergibt,
wie er vorgehoben, zweimal die Freigabe,
nämlich für jedes Auto, was da ist.
Da sieht man also, an dieser Stelle müsste ich was drehen,
wenn ich drei Autos im Rennen haben wollte.
Da müsste er nämlich auf drei Autos warten und drei Autos
in die Freigabe gehen. Hier sieht man,
selbst wenn ich drei Autos in P1 zulasse, so von der allgemeinen Vorstellung,
wenn ich eine Marke mehr auf P1 lege, was wird dann passieren?
Der erste Rennwagen fährt los, der zweite Rennwagen fährt los,
der Staat, der denkt sich,
Mensch, sind ja zwei da,
dann kann das Rennen ja beginnen
So, dann geht da los, dann rollt der
dritte Wagen da rein, ist auch in der Vorbereitung.
Jetzt sind zwei Marken auf dem Platz P5. Und das bedeutet,
dass denn zwei Autos auch ins Rennen gehen.
Das dritte wird er verhungern auf dem Platz P2 in der Mitte.
Das wird also da nie weiterkommen. Das heißt,
es reicht nicht, nur einfach neu,
in diesem Beispiel eine Marke mehr zu produzieren.
Wenn ich noch ein paar Rennautos mehr spendiere,
dann kommen die halt nicht zum Zuge,
weil an anderer Stelle des Modells der Staat dann nur zwei Autos,
und das ist fest kodiert,
die Freigabe erteilt
Diese beiden Netze stehen nicht wie zufällig übereinander,
sondern es hat das damit zu tun,
dass ich mir das so vorstelle,
dass ich die Teilbereiche des Netzes übereinanderlege, tatsächlich falte,
auch mathematisch gesehen sowas wie eine Faltung mache.
Das heißt, der mittlere Bereich, der blaue,
der ist hinterher noch da. Und jetzt lege ich die beiden übereinander.
Also die Transition T1 und T4, die verschmelzt sich.
Die Plätze P1 und PC verschmelzt sich. P2 und P1
und immer so weiter, sodass der obere Strang,
die Verschmelzung der beiden Einzelstränge ist
So, das ist das eine. Und gleichzeitig sieht man
dann immer, im mittleren Strang, für den Starter,
da gibt es ja auch die Transition, T3.
Die bekommt ja Marken von P4, also von oben eine,
und eine Marke von unten, P8. So,
wenn ich die beiden jetzt zusammenfalte,
die werden auf einem Platz zusammengefaltet, um das aber zu kompensieren,
wird in dieser Darstellung jetzt einfach gesagt,
okay, von P40 zwei Marken ab,
dann habe ich einen ähnlichen Effekt.
Das heißt, diese Transformation erhält gerade das Verhalten
Liegt daran. Das, was eindeutig ist, Entschuldigung?
Eine Marke, auch in zwei Wochen. Ja. Genau. Nee,
also bei PT-Netzen, wir haben noch nichts definiert,
deswegen können wir bislang nichts falsch machen.
Aber es ist so die Vorstellung, die wir haben,
ist, dass bei dem unteren Netz,
da können so viele Kuller, wie wir wollen,
in den Plätzen liegen.
Was auch ganz praktisch ist auf P1-Linie
schon zwei
So, in dem Sinne sind wir da völlig frei.
Und das ist ja auch gut, weil dieser Platz P2,
der steht ja für gewissermaßen die etwas abstrahierte Sicht.
Im gewissen Sinne steht der ja für die Zusammenfassung der Plätze P2 und PL von oben.
Genauso wie der Platz P1 im unteren Netz für die Zusammenfassung
von P1 und PC steht. Das heißt, lange Rede,
kurzer Sinn, man kann sich das so vorstellen,
dass man da verschiedene Netzteile hat,
aus denen das entstanden ist, durch so ein Zusammenfalten,
übereinanderleben und viel Origami,
ja,
das ist eine Möglichkeit
So, wir können aber auch einfach sagen, ja,
da kommt das her und jetzt definieren wir uns das und
das passt dann schon irgendwie.
Und im Zweifelsfall gilt jetzt diese Definition für das Zukünftige.
Und da steht jetzt, was ist im PT-Netz?
Wäre sowas ähnliches wie vorher, es sind jetzt nur zwei Komponenten hinzugekommen.
Ich hatte vorher PTF, das waren die Komponenten,
die ich schon bei Netzen habe.
Plätze, Transition, Flussrelation. Und deswegen sagt auch
der erste Spiegelstrich, PTF soll ein endliches Netz sein
So, und ein Platz, Transitionsnetz,
N besteht jetzt aus noch zwei weiteren Komponenten.
Das nächste ist nämlich die Gewichtungsfunktion weh.
Und die Gewichtungsfunktion weh, weist jeder kannte eine Zahl zu.
Und es soll eine positive, natürliche Zahl sein.
Also 1, 2, 3 und so weiter.
Was insofern sinnvoll ist, dass wenn ich eine Kante schon male,
dann soll sie bitte nicht schön das Gewicht null haben.
Das wäre blödsinnig. Eine gemalte Kante mit Gewicht null,
da hätte ich sie auch gleich weglassen können.
Also fordere ich explizit mindestens das Gewicht
Und dann erlaube ich, beliebig viele Marken auf einem Platz.
Deswegen habe ich eine Anfangsmarkierung modelliert als Abbildung M0 und M0.
Das ist eine Abbildung, die jeden Platz, eine natürliche Zahl zuweist.
Und das ist dann die Anfangsmarkierung. Das kann null sein,
können ja auch keine Marken draufliegen, eins, zwei, drei.
Beliebig viele. So, und dann gibt es manchmal den Spezialfall.
Also wenn erste Konventionen, wenn ich nichts an die Kanten
male, in Zukunft ist das Kantengewicht eins.
Eins male ich nicht. Denn eine Marke wegnehmen,
das ist so
der Standardfall
Und so ein PT-Netz, dass überall das Kantengewicht eins hat,
das nenne ich jetzt einfaches Netz. Beim einfachen Netz muss ich eigentlich,
das Kantengewicht gar nicht mehr angeben, das ergibt sich implizit aus F.
So, in diesem Beispiel kann man zum Beispiel sehen,
da oben die eine Kante, die von T3 wegführt zu P5,
die ist mit 2. Gewichtet,
also weh von dem Parte 3 P5 bis 2. So,
und was kann ich machen?
Ich kann auch M0 als Vektor schreiben. Das ist dann
ein Vektor, der sämtliche Komponenten in den natürlichen Zahlen hat.
Und es gibt verschiedenste Schreibweisen für alles. Also zum Beispiel kann ich
die Markierung explizit angeben als Abbildung M und sage, naja,
M von P1 ist 2 M von P6 ist 1 und M von PI ist null für I gleich Rest.
Das kodierte die Markierung des Beispielnetz unten rechts. So,
wenn ich mich darauf einige,
dass ich die Plätze So wie man sich das denkt,
durchnummeriert, nämlich sagt, P1 ist der erste,
P2, der zweite, P7 ist der siebte Platz wohl,
dann kann ich das auch als Vektor schreiben.
Das Ganze ist denn 2, 0000, 00,
00, 1-0. Also an den Stellen,
nämlich an P1 steht die 2,
die ich erwarte und bei P6 steht die 1 und sonst überall null.
Ist das gleiche Grün nur anders notiert. Andere Syntax.
Oder wenn ich, manchmal ist es auch ganz praktisch und
sehr kompakt in diesem Fall. Also wenn wenig los ist,
dann kann ich M0 auch als Wort darstellen.
Also P1, mal P1,
Abgekürzt, P1, hoch 2, dann sind zwei Marken auf P1,
mal P6 und ich nehme an,
mal ist jetzt kombutativ, da darf ich beliebig vertauschen.
Ja, das sind so Schreibweisen und man pickt sich das
raus, was am bequemsten ist.
Genau, und damit kann ich jetzt Dinge tun und beim
nächsten Mal tun wir Dinge