Einen schönen guten Tag zur Vorlesung FG2. Es geht um formale Grundlagen der Informatik 2.
Viele von Ihnen könnt mich aus formalen Grundlagen der Informatik 1
kennen. Und wie auch in formale Grundlagen der Informatik 1
haben wir diesmal eine Aufzeichnung des Ganzen.
Sie finden also wieder bei Lecture to go die Vorlesung als Mitschnitt.
Das, was ich hier erzähle, nochmal zum Nachhören.
Ich werde ganz grob den Anfang des Semesters machen,
ungefähr bis zu Jahreshälfte
Und danach wird Herr Molt übernehmen und wird dann
weitere Teile der praktischen Anwendung der Vorlesungsinhalte präsentieren.
Ich möchte ungefähr eine folgende Grobliederung schon mal festlegen,
was wir machen werden. Im Gegensatz zu FG1,
wo wir so dieses grundlegende Handwerkszeug mit Automaten und Grammatiken kennengelernt haben,
wollen wir in dieser Veranstaltung unter anderem auch Wert darauf legen,
den Inhalt aus FG1,
Automatenmodelle und Logik,
auch innerhalb von FG1,
noch stärker miteinander zu verbinden
Und eine sehr schöne Verbindung sieht man beim sogenannten Model-Checking,
also der Analyse von Systemen, meist versteht man beim Model-Checking
darunter die Analyse des Modells, also des Zustandsraums eines Systems.
Und das macht man typischerweise dadurch, dass man auf Ebene der Logik beschreibt,
was man gerne hätte und mit Hilfe von Automaten,
den algorithmischen Nachweis führen kann, dass eine gewünschte Eigenschaft gilt.
Und diese Automaten, die für die uns interessieren,
eine Logik interessant ist, also es gibt immer einen typischerweise eine Paarung,
eine spezielle Logik gehört zu einem speziellen Automatmodell.
Die Logik, die uns interessieren wird,
das ist der dritte Unterpunkt, Temporallogik ist das,
LTL und CTL, das sind zwei Logiken, die uns erlauben,
über die Dynamik eines Systems irgendwelche Aussagen zu treffen.
Also ich kann sagen, irgendwann liefert dieses Programm mal ein vernünftiges Ergebnis.
Oder immer gilt, dass es in einem sicheren Zustand sich befindet.
Das können wir so einfach mit Aussagenlogik nicht und auch mit Predikatenlogik
nur indirekt ausdrücken, eine spezialisierte Logik dafür ist Temporallogik
Und zu dieser Logik gibt es denn das Korrespondierende Automatenmodell.
Das Automatmodell wird hier eingesetzt, um festzustellen, gilt diese Formel,
er gilt sie nicht und man kann Automaten so charakterisieren,
dass sie genau das ausdrücken, was eine Formel ausdrückt.
Da man mit Automaten algorithmisch dann Dinge tun kann, ist der Nachweis,
ob Eigenschaften gelten, anhand von Automaten leichter oder machbar,
historisch gesehen war das sogar der Weg,
nachzuweisen, dass gewisse Dinge entscheidbar sind,
ging dann über den Umweg von Automatenmodellen, das Automatenmodell,
das uns für Temporallogik speziell interessiert, ist,
das ist das Büchi-Automaten.
Das werden wir uns denn in den folgenden Veranstaltungen das ansehen.
Das ist so der erste große Komplex,
also eine Verbindung einer Logik mit einem Automatenmodell.
Man kann das noch viel genereller machen, aber wir wollen
uns hier speziell auf Temporallogik beschränken. Das nächste ist,
ein großer Schritt, ein großer Block, nebenläufige parallele Systeme.
NevG1 hatten wir endliche Automaten, Kellerautomaten, Turingmaschinen,
das waren alles Abarbeitungsmodelle oder Berechnungsmodelle die die Eigenschaft hatten,
dass sie sequentiell arbeiteten.
Ein Schritt nach dem anderen. Und selbst bei den nicht-deterministischen Modellen
hatte ich im Prinzip mehrere Möglichkeiten, dies oder jenes zu tun,
aber es war eine starke Sequentialität in der Formalismusbeschreibung drin.
Nun weiß jeder, der einen Mehrkernprozessor hat,
dem ist nicht so, oder im praktischen System wird das anders gemacht,
auch in Netzwerken ist es nicht so, da sind mehrere Rechner vernetzt, die miteinander interagieren.
Also wäre es vernünftig, auf formaler Ebene sich damit zu beschäftigen,
wie sich Parallelität oder noch ein wenig allgemeiner Nebenläufigkeit im Sinne von dem Fehlen kausaler Beziehung jetzt irgendwie formal abbilden lässt.
Und offensichtlich ist ein rein sequenzielles Modell nicht sonderlich gut geeignet,
dieses Konzept abzubilden. Also brauchen wir etwas Neues. Und
da gibt es in der Literatur mehrere sehr etablierte Modelle.
Und die beiden Größten sind die der Petrinetze.
Ein Hamburger Forschungsgebiet. Das wird ein größeren Teil der Veranstaltung
ausmachen. Und das gibt der Prozess Algebra
Wo es auch genuin um Nebenläufigkeit geht. Wir werden
das Phänomen der Nebenläufigkeit dann auch noch mal festmachen,
am Beispiel der verteilten Algorithmen, wo es um Nachrichtenordnung geht.
Also Nachrichten, die in einem verteilten System hin und her
geschickt werden, welche logischen Beziehungen gibt es zwischen diesen Nachrichten?
Die sind auf unterschiedlich lang, Kupfer- oder Glasfaserkabel unterwegs,
je nach Netzwerkprotokoll können sich Nachrichten überholen.
Das heißt, auch da ist nicht ganz trivial,
in welcher Reihenfolge Dinge mit den Nachrichten passieren
Ja, das Einzige, woran man sich da verlassen kann,
ist die Eigenschaft, dass eine Nachricht typischerweise später ankommt,
als dass man die losgesendet hat.
Aber vielmehr weiß man auch nicht. Und dann
noch ein Berechnungsmodell, das sehr nah am Parallelrechner ist.
Es ist eine parallele Registermaschine. Ja, Dart wird explizit ausgegangen,
dass ich ein Parallelrechner habe mit einem synchronen Takt für alle Parallelrechner.
Das ist so der größere Block, der sich um diese zwei theoretischen,
komplexe, automatende Logik einerseits Nebenläufigkeit, Parallelität andererseits dreht.
Und dann haben wir einen dritteren,
größeren Block
Der im Wesentlichen von der Molt vorgetragen wird,
da beschäftigen wir uns damit, wie kann man tatsächlich
diese theoretische Konzeption mit Modelchecking, höheren Netzen etc. nutzen?
Also wie kann ich die formalen Konzepte jetzt für mein
tägliches Leben als Softwareentwickler auch einsetzen?
Wo wird das eingesetzt? Wie wird das eingesetzt?
Welchen Nutzen hat das? Welche Werkzeuge gibt es da?
Und so weiter und so fort. Gut, das ist
die Grobgliederung auf einer Folie, was wir machen werden.
Was gibt es noch zu sagen? Ja,
mein Übungsbetrieb hat ja auch schon angefangen.
Also die erste Übungswoche haben wir schon
Der Koordinator der Übungsgruppen ist Michael Douvinho. Wenn es also Fragen gibt,
organisatorischer Natur, zu den Übungen oder übergreifenden Dingen,
kann man ihn ansprechen, wenn es Detailfragen gibt zu den Aufgabenzetteln,
ist der Übungsgruppenleiter natürlich weiterhin auch noch der Ansprechpartner.
Wenn man den gerade verpasst, Übungen vorbei,
man hat noch eine Frage,
dann kann man sich auch vertrauensvoll an Herrn Douvinho wenden.
Also besser ihn rechtzeitig fragen,
als dass man irgendwie bei den Hausaufgaben am Wochenende nicht weiter weiß,
was es denn für uns beim Korrigieren und für euch
beim Erstellen der Aufgaben
wenig erfreulich ist
Zu den Übungen, was sie dazu sagen,
wir hatten ursprünglich den ganzen Montag mit Übungen vollgepflastert,
10, 12, 14, 16 Uhr.
Und dann festzustellen,
dass AD GDB wohl parallel liegt zu der 14 bis 16. Übung,
wo durch die Nachfrage sich dort in Grenzen hält.
Diese Übungsgruppe haben wir da aufgelöst. Die dreieinhalb Leute,
die das betrifft, die sich da angemeldet haben,
bitten wir doch dringend
in einen der umliegenden Termine auszuweichen
Das Skript müsste jetzt eigentlich in den Übungsgruppen schon verteilt worden sein,
wenn nicht, kann man das nachholen,
vielleicht auch dahin ein Dovinion wenden oder ist auf der Homepage runterladen in der Zwischenzeit.
Das ist auch eine Möglichkeit. Die Scheinkriterien sind in der Übung
erklärt worden, wer will, kann sie auch noch nachlesen.
Dazu gibt es diese Homepage, auf den Informatikseiten unter TG,
unter Punkt Lehre findet man dort den Kleinkram.
Dass die Hausaufgaben in Übung abgegeben werden,
sollte auch schon
bekannt sein
Und wir bemühen uns,
damit ihr nicht völlig unvorbereitet in die Übungsgruppe stolpern müsst.
Den Aufgabenzettel immer schon freitags zur Verfügung zu stellen.
Und zwar auf der Webseite. Das heißt,
da kann man nachgucken, da wird es die Aufgabenzettel geben.
Dort wird es auch zu den Präsenzaufgaben zeitnah immer Präsenzaufgabenlösungen geben.
Das heißt, zeitnah heißt, wenn die Übungen durch sind,
also jetzt ungefähr werden die Präsenzlösungen eingestellt.
Und wenn wir dann durch sind mit dem Aufgabenzettel,
dann kommen auch die Musterlösungen auch ins Netz.
Mit einer kleinen Verzögerung
Was gibt es dennoch? In FG1 gab es das auch
schon, eine Art Hausaufgabenbetreuung, nennen wir das.
Herr Dovino bietet in seinem Büro, im Haus C-Raum 202
an. Wenn ihr beim lösende Hausaufgaben nicht mehr weiterkommt,
das euch hilft, das macht er immer montags.
Genau, naja, wann er das genau macht,
spielt sich so ein bisschen nach Nachfrage ein.
Ich habe jetzt erst mal 10 bis 16 Uhr grob hingeschrieben.
Ja, das wird wohl so eine Kernzeit sein.
Vielleicht auch 9 Uhr bis 17 Uhr oder was weiß ich,
was da rauskommt
Wenn es andere Termine gibt, die groß nachgefragt sind,
weil da viele Leute immer hinkommen, dann werden wir auch das machen.
Hausaufgabenbetreuung heißt ungefähr folgendes. Wenn ihr irgendwas
nicht verstanden habt oder irgendwie an irgendeiner Stelle etwas hakt,
dann könnt ihr zu ihm gehen und euch vielleicht nochmal erklären lassen,
was da haken könnte.
Ihr solltet aber schon wissen,
was ihr so machen wollt oder klar benennen können,
was jetzt das Problem ist,
warum ihr nicht weiterkommt
Also zu Michael zu gehen und sagen,
erkläre mir mal die Aufgabe oder noch schöner,
erkläre mir mal, wie ich das machen muss.
Das ist irgendwie nicht Sinn der Sache. Also man sollte schon
irgendwie was Konkretes mitbringen, wenn man zu ihm hat.
Gut. Was gibt es noch? Wir haben
ein Zusatzangebot auf freiwilliger Basis, nennen wir eine Saalübung.
Das findet donnerstags vor der Vorlesung statt,
und zwar am Campus, im regionalen Rechenzentrum im Seminarraum
1. Da wird so ein bisschen je nach Wunsch der Anwesenden,
zum Beispiel die Lösung nachbesprochene Hausaufgaben oder der Stoff nochmal nachbearbeitet,
wenn da Unklarheiten sind oder einfach nochmal Teile intensiviert, besprochen.
Das ist jetzt ein rein freiwilliges Angebot. Es soll auch
im Prinzip nicht notwendig sein, dass sie da hingeht,
denn schließlich haben wir die Vorlesung und die Übung als Primärsachen.
Aber wer konkrete Fragen hat oder nochmal was nachbearbeiten möchte,
ist dort genau an der richtigen Stelle. Ja,
das Einzige ist jetzt, Die Plätze sind ganz natürlich durch
die Raumgröße im Seminarraum 1, im regionalen Rechenzentrum begrenzt.
Deswegen empfiehlt es sich bei Michael anzumelden. Also ein Stine wäre
jetzt schön gewesen. Per E-Mail kann man sowas vielleicht auch machen.
Dann wird einfach gesagt, first come first surft,
aber da wird ja erst ein Problem, wenn das zu viele nachfragen.
Das ist das, was wir laufend haben,
also zur Vorlesung, den Übungsbetrieb, die Hausaufgabenbetreuung,
die Saalübung und auch noch in Lecture to Go,
die Aufzeichnung,
die man sich noch ansehen kann
Plus Skript und die Folien, die ich hier vortrage,
finden sich auch auf der Homepage.
Dann, was es noch gibt, ist auch ein Angebot,
wir bieten eine Blog-Veranstaltung an, kompakt vor der Klausur.
Wann genau, müssen wir noch mal sehen,
dass das sich möglichst nicht überschneidet mit anderen Klausur- und Klausur-Vorbereitungsterminen.
Es wird vermutlich eine dreitägige Blog-Veranstaltung werden. Und es heißt
Repetitorium, das heißt, es wird etwas repetiert,
also etwas wiederholt
In drei Tagen kann man die Vorlesung nicht nochmal machen.
Es ist also kein Ersatz der Vorlesung. Man kann also wissen,
dass man schon hat, dort nochmal festigen, konsolidieren.
Aber es ersetzt irgendwie nicht den kontinuierlichen Betrieb dieser Vorlesung samt Übungsbetrieb.
Und das will es auch gar nicht. Also wenn man
das dann versucht, ist das vielleicht auch ein bisschen zu spät.
So, auf der Homepage des Studienbüros habe ich diese beiden Klausurterminen gefunden.
Wir schreiben also den ersten Klausurtermin A21. Februar,
10.30 Uhr
Und den zweiten am 30. März. Das sind die beiden
Termine für die Vorlesung. Wenn nichts dazwischen kommt. So,
für das Repetitorium gilt, ähnlich wie für die Saalübung auch,
First Come, First Surfware, also da einen Platz haben möchte,
melde sich auch bitte per E-Mail an.
In diesem Fall per E-Mail Bayern, Dovinion.
Das wäre soweit das Organisatorische von mir.
Und bevor wir zum Inhalt der Veranstaltung kommen,
machen wir mal einen kleinen Exkurs.
How to prove it
Denn, worum geht es hier,
handwerklich gesehen an vielen Ecken und Enden der Vorlesung und auch natürlich im Übungsbetrieb,
wir wollen etwas beweisen, beweisen heißt etwas,
nachvollziehbar darstellen, nachvollziehbar darstellen,
sodass es der intendierte Leserkreis auch wirklich als Beweis anerkennt und da auch was versteht.
Und viele Aussagen, die man da beweisen muss oder will,
als Zwischenschritt oder als Kernaussage, haben die Form einer Wenn-Dann-Aussage.
Das heißt, sie haben das Muster,
wenn A gilt,
dann gilt auch
Und wie man so etwas beweisen kann, da gibt es
verschiedene Beweistechniken, die möchte ich hier noch mal kurz besprechen.
Im einfachen Fall ist das nämlich der direkte Beweis.
Der indirekte Beweis, der genau andersrum verläuft und einen Beweis durch Widerspruch.
Das sind so drei Beweismuster. Und vielleicht ist es gar nicht so schlecht,
wenn man so etwas beweisen will,
dass man nicht nur sagt, Beweisdoppelpunkt, sondern vielleicht,
wenn man mal eine Hausaufgabenabgabe macht,
dass man sagt,
Beweis durch Widerspruch,
Ja, dann hat man mich schon den ersten Schritt getan.
Man hat sich Gedanken darüber gemacht, wie die Beweisstruktur aussehen soll.
Und das erleichtert dem Korrektur oder dem Leser dann das Verständnis enorm.
Und diese drei Beweistypen wollen wir anhand von einfachen Beispielen
uns mal ansehen, wie die so funktionieren. So,
der direkte Beweis einer Wendern-Aussage hat immer die Struktur,
wenn A, dann B, das will ich direkt zeigen,
und dann mache ich Folgendes, ich nehme mal an,
A, würde gelten.
Und dann beweise ich munter vor mich hin,
Und stelle denn fest, ich gelange zur Aussage B.
Auf der linken Seite der Folie steht das,
da sieht man ja A, dann viele Punkte und dann
komme ich zu B. Dann mache ich einen Strich drunter,
um anzudeuten, aha, was habe ich jetzt?
Ich habe jetzt bewiesen, A, impliziert B,
was ja nichts weiter ist, als eine kurze Notation für,
wenn A, dann B. A, impliziert B,
kann man ja auch umgangssprachlich formulieren, als wenn A, dann B.
Und wenn man es noch ein bisschen formaler betreibt,
das nur am Rande, dann sagt man, okay,
dadurch ist ja meine Hypothese A hinfällig geworden.
Ich habe mal angenommen, dass A gilt,
Aber damit habe ich dann B bewiesen.
Und dann habe ich es zu einer Ven-Done-Aussage gemacht.
Damit ist gewissermaßen Hypothese weg. Und um anzudeuten,
dass die Hypothese weg ist,
ich starre also nichts mehr in der Luft hängen habe,
könnte ich das A jetzt durchstreichen und aus historischen Gründen war durchstreichen auf einer Schreibmaschine oder so blöd.
Also hat man es in eckige Klammern gesetzt, um anzudeuten,
die Hypothesen sind jetzt nicht mehr aktuell gültig. So,
und auf der rechten Seite steht jetzt ein einfacher Satz,
die konkrete Aussage ist völlig irrelevant. Wenn ich M&N habe,
zwei ganze Zahlen, Wenn Baidoon gerade sind,
dann ist auch ihre Summe M plus N gerade.
Gut. Also nicht zu tiefsinnig,
aber es ist offensichtlich eine Aussage der Form A impliziert B.
Denn die Aussage A ist, die Zahl M&N aus Z
sind beide ungerade. Und die Aussage B ist,
die Zahl M plus N ist gerade.
Also eine Wenn-Dann-Aussage. Und wenn wir einen direkten Beweis machen,
dann nehmen wir jetzt erstmal die Aussage A an.
Wir tun so, als wüssten wir schon,
dass sie gilt
Also ich weiß, die Zahlen M&N sind gerade.
Was heißt es für, und gerade? Was heißt es
für zwei Zahlen ungerade zu sein? Das heißt,
dass es Zahlen K&L geben muss, sodass ich M&N anders schreiben kann.
Ich kann mich M schreiben als zweimal dieses K plus 1. Ja,
das ist gerade die Form einer ungeraden Zahl.
Und N kann ich schreiben als zweimal L plus 1.
So, also nichts weiter als mathematisch umformuliert,
was es heißt, um gerade zu sein.
Gut, wenn ich das jetzt benutze,
dann kann ich natürlich damit weiterrechnen und ausrechnen,
was ist M plus
Das setzt sich ein. Das ist dann 2K plus 1
plus 2 L plus 1. Und wenn ich jetzt ein bisschen ausklammere,
dann stelle ich fest, dass es zweimal,
Klammer auf, K plus L plus 1. Das heißt,
die Summe ist zweimal irgendwas und zweimal irgendwas ist eine gerade Zahl.
Also M plus Ende ist gerade, das ist gerade die
Aussage B. So, was habe ich jetzt also gehabt?
Einen kleinen Beweis unter der Annahme von A konnte ich B zeigen. So,
und mit dieser Schlussregel, wie sie da ganz links am Rande steht,
weiß ich, wenn ich unter der Annahme von A,
B zeigen kann, Dann habe ich A impliziert B,
also die Wenn, dann Aussage gezeigt.
So, das ist der direkte Beweis, wenn man es
ganz penibel macht, wenn man später ein bisschen länger das betreibt.
Dann fängt man mal an, vielleicht den letzten Satz schon
mal wegzulassen. Oder man lässt den letzten Unterpunkt,
also konnte unter der Annahme von A auch B gezeigt werden.
Diesen Unterpunkt kann man dann vielleicht mal weglassen,
weil das irgendwie das textuell ja nur aufbläht und verlängert.
Aber wenn man sich da ran tastet, ist es gut erstmal,
Genau sklavisch nach diesem Schema vorzugehen und sich da so dran abzuarbeiten.
Da macht man zumindest schon mal nichts falsch. Und mit
viel Übung kriegt man dann vielleicht auch das Bauchgefühl dafür,
was jetzt immer wieder und wieder kommt und man das deswegen so gewohnt ist,
dass man es dann weglassen darf.
Gut, das ist also straightforward direkt von A auf B schließen.
Jetzt das andere Beweismuster ist der indirekte Beweis.
Ich will eigentlich zeigen, irgendeine Aussage,
ich bin bis zu einem Beweis von A impliziert B gekommen,
steht jetzt ganz links
Als Teilbeweis. Also aus A folgt B. Das heißt aber
logisch gesehen nichts anderes auch, als wenn nicht B gilt,
dann konnten auch nicht A gegolten haben.
Denn wenn nicht B gilt und A, hätte gegolten,
aus A folgt ja B, das kann nicht sein.
Also weiß ich immer, wenn ich eine Situation habe,
in der nicht B gilt, muss auch nicht A gelten.
Das heißt, ich darf also,
wenn ich auf beiden Seiten negiere,
die Implikationsrichtung umdrehen
Ja, aus Afrik B und aus Nicht-B folgt nicht A.
Das ist jetzt gewissermaßen andersrum argumentiert, deswegen indirekter Beweis.
Und das gucken wir uns auch mal an diesem ganz kleinen Beispielsatz an.
Wir nehmen an, wir haben eine ganze Zahl N.
Und wir wissen Endquadrat ist eine gerade Zahl,
dass ich dann auch weiß, dass N selbst eine gerade Zahl ist.
Gut, könnte man vielleicht auch mit der direkten Beweistechnik beweisen.
Machen wir es jetzt mal indirekt. Wir wollen jetzt also
zeigen, A impliziert B Und die Aussage A ist,
ich habe eine Zahl, ein Quadrat und sie ist gerade.
Und die Aussage B im Satz ist die Zahl N selbst ist gerade.
Gut, was machen wir jetzt? Wir nehmen das Gegenteil
an von dem, was wir zeigen wollen,
also nicht B. Was heißt nicht B?
Wenn B die Aussage ist, die Zahl ist gerade,
dann ist die Negation davon, die Zahl ist ungral.
Gut, das nehme ich jetzt an. N sei eine
ungerade Zahl. Da müssen wir eine ungerade Zahl,
dann gibt es ein K,
sodass ich N darstellen kann
als zweimal K plus
Gut. Dann quadriere ich ein Quadrat,
was ja 2K plus 1 quadriert ist.
Wenn ich das ausmultipliziere, kriege ich 4K-Quadrat bis 2K plus 1.
Das kann ich jetzt umarrangieren, also die zwei ausklammern.
Da habe ich zweimal, es bleibt üblich,
2K-Quadrat plus K und eine 1 separat.
Da steht also etwas von der Form zweimal irgendwas plus 1.
Und wir wissen zweimal irgendwas plus 1 ist ungerade.
Also Endquadrat ist ungerade
Ein Quadrat des Ungrades ist ja nun gerade die Negation der Aussage A.
Denn die Aussage A ist Endquadrat sei gerade. Und jetzt wissen wir
also insgesamt, diesen ersten fünf Schritten haben wir gezeigt,
unter der Annahme von Nicht B konnten wir nicht A zeigen.
Also wissen wir, nicht B impliziert nicht A.
So mit der obigen Schlussregel folgt dann,
wenn ich beides negiere und die Implikationsumrichtung umdrehe,
das dann galten muss,
A impliziert
Also habe ich die Ven-Dan-Aussage bewiesen. Damit ist der Beweis
zu Ende. Gut, das ist gewissermaßen einmal andersrum.
Das ist der indirekte Beweis. Das nächste ist dann ein Widerspruchsbeweis.
Ich will eine Aussage der Form A impliziert B beweisen.
Wenn ich es zeigen kann,
dass die Annahme von A und der Negation von B zu einem Widerspruch führt,
in dieser schematischen Darstellung ganz links mit diesem Blitz angedeutet,
Ja, A und nicht B ist widersprüchlich.
Wenn ich das herleiten kann, dann kann ich gewiss sein,
dass A impliziert B eine richtige Aussage ist.
So funktioniert ein Widerspruchsbeweis. Das ist ganz praktisch,
weil ich jetzt zwei Hypothesen annehmen darf. Ich habe einmal
die Hypothese A und einmal die Hypothese nicht A. Nicht B.
Also gleich zwei Dinge, die ich verwenden darf beim Schließen.
Bei dem anderen habe ich ja immer eine Hypothese gehabt,
beim direkten Beweis hatte ich A als Hypothese,
beim indirekten Nicht
Und hier nehme ich jetzt beides als Hypothese auf, A und Nicht-B.
Gut, was steht dort oben? Da steht im Prinzip
die Aussage, die wir alle kennen, Wurzel 2 ist irrational.
Es ist ein bisschen anders aufgeschrieben. Hier steht da,
wenn A aus R Plus, also eine positive reelle Zahl,
eine Lösung der Gleichung x-Quadrat minus 2 gleich 0 ist, dann ist A irrational.
Ja, aus Elementarmathematik wissen wir, die Lösung dieser Gleichung,
x Quadrat, mir ist 2 gleich 0,
ist ja nichts weiter als die Vergleichung x Quadrat gleich zwei.
Und diese Zahl nennen wir gemeinhin Wurzel 2. So,
aber in diesem Satz wird erst mal so getan,
jetzt wüssten wir gar nicht, wie viele Lösungen es da gibt,
sondern sagen, wenn ich eine Lösung dieser gleichen hätte,
dann weiß ich auf jeden Fall,
sie ist irrer zu machen.
Also eine Wenn-Dann-Aussage, wobei A jetzt ist,
die Aussage A heißt Klein A ist Lösung der Gleichung,
x Quadratmes 2 gleich 0.
Und es ist positiv reell. Und die Aussage B
ist dann Klein A ist irrational
Und jetzt nehmen wir eben an,
A und nicht B, also wir nehmen an A,
sei doch rational, also die Negation der Aussage B.
Und sie ist Lösung der Gleichung, also arg, Quadrat gleich zwei.
Und was das kommt, ist dieser Klassiker, mit dem man zeigt,
wozu zwei ist, eben nicht als Bruchdarstellbar. Denn man weiß,
ja, wenn ich eine rationale Zahl hätte,
jede rationale Zahl lässt sich als Bruch darstellen,
nämlich als Bruch, Zweierzahlen, in diesem Fall,
da ich weiß, dass A ja eine positive Zahl ist,
lässt sie sich als Bruch zweier natürlicher zahlen, M&N schreiben,
Also A ist gleich M geteilt durch N,
wobei N bitteschön nicht null sein sollen.
Klar. So, das ist genau äquivalente Formulierung zu A
ist rational. Und wir können dabei voraussetzen,
dass M&M gekürzt darliegen, also kein gemeinsamen Teiler mehr haben.
Wenn es schon einen hätte, dann hätte ich so lange
gekürzt, bis keiner mehr da ist.
Und jetzt rechnen wir weiter und setzen das einfach mal ein,
denn wir wissen ja, arg Quadrat ist zwei.
Also zwei ist A-Quadrat, das ist gleich,
da fehlt ein gleicher Zeichen,
M durch N-Quadrat
Also M-Quadrat durch End-Quadrat. Das kann ich umstellen,
Umformen zu M-Quadrat ist gleich zweimal Endquadrat, indem ich einfach mit Endquadrat multipliziere.
Bis dahin nur ein bisschen Zahlen schubsen. Was ich
daraus schließen kann, ist jetzt M-Quadrat ist zweimal irgendwas,
also es ist insbesondere eine gerade Zahl.
Naja, wie kann das nur sein?
Wir hatten es mal festgestellt, wenn eine Quadratzahl gerade ist,
dann muss auch M gerade sein.
Also das können wir hier einpflegen,
diese Erkenntnis
M-Quadrat. Gerade bedeutet auch M selbst ist gerade,
also M ist irgendwie darstellbar als zweimal K.
Das setze ich wieder ein in diese Darstellung,
zweimal M-Quadrat ist gleich M-Quadrat, also zweimal K quadriert,
also 4K-Quadrat. Und da stelle ich jetzt fest,
na gut, beide Seiten teile ich durch zwei,
ergibt Endquadrat ist zweimal K-Quadrat.
Jetzt habe ich die gleiche Argumentation nochmal für N. Endquadrat ist gerade.
Und deswegen ist N auch gerade,
also hat die Form zweimal
Was habe ich dann aber insgesamt? Ich stelle fest,
A, ist ja M durch N. M ist 2K, N ist 2L.
Das hat ja den gemeinsamen Teiler 2. Lag also gar nicht gekürzt vor.
Also bekomme ich jetzt an dieser Stelle einen Widerspruch zu meiner Annahme,
dass ich eine Darstellung M durch N habe ohne gemeinsamen Teiler.
Und daraus schließe ich jetzt mit meiner Schlussfigur,
dass meine Annahme falsch gewesen sein muss.
Also nicht B, kann nicht gelten.
Deswegen weiß ich,
aus A folgt
Das heißt, wenn ich eine Lösung der Gleichung habe, dann ist die Irrazimmer.
So, das sind diese drei klassischen Schlussfiguren. Es gibt noch
ein paar andere, aber das sind im Wesentlichen allem,
den man in so einem normalen Textbuch leben oder Vorlesungsleben auskommt.
Wenn man noch irgendetwas über Rekursionen macht,
dann kommt nochmal eine Induktion daher geflattert,
aber das ist jetzt nicht unbedingt eine Wenn-Dann-Aussage.
Genauso wie das Umformen von Thermen, also Gleichungsketten berechnen,
ja auch keine Wenn-Dann-Aussagen ist.
Aber immer, wenn man eine Wenn-Dann-Aussage hat,
dann kommt man typischerweise mit diesen drei Techniken
herrlich zurecht
Und welche man nimmt, das ist ganz einfach.
Das entscheidet man folgendermaßen. Man macht einen,
versucht einen Beweis mit jederlei Techniken und nimmt dann den schönsten.
Meist den kürzesten oder den elegantesten. Ja, das macht Sinn,
wenn man Mathematik-Professor ist und viel Zeit hat, wenn man Student hat,
entscheidet man sich aus dem Bauch heraus Vereins und hofft,
dass es klappt.
Und wenn es klappt, ist gut.
Und wenn nicht, dann nimmt man das Nächste.
Mit dieser Euristik spart man ein bisschen Zeit.
Mit nicht unbedingt der schönste und der kürzeste Beweis,
aber klappt vielleicht in weniger Zeitaufwand
So, damit genug zu, wenn dann, Aussagen und Beweistechniken.
Und wir starten die Veranstaltung, der es ja um spezielle
neuere Automatenmodelle gehen soll mit einem alten Bekannten, dem endlichen Automaten.
Denn eine endliche Automat und seine Variation begegnen zu einem folgenden doch häufiger,
sodass es mal nützlich ist, das Handwerkszeug da nochmal zu wiederholen,
damit man auch sehen kann,
was ändert sich im Folgenden eigentlich alles.
An Eigenschaften, an Notationen und so weiter.
Und wir können gleichzeitig so ein bisschen die Darstellung einüben,
die wir nachher dann gewissermaßen immer wieder recyceln wollen
Und wir gewöhnen uns an einem bekannten Objekt, also nochmal an Notation.
Warum machen wir das? Worum geht es beim Model-Chatting?
Es geht ganz grob darum, ein System zu verifizieren.
Ein System zu verifizieren bedeutet ungefähr nachzuweisen,
dass das konkrete Systemverhalten von der Systemspezifikation erlaubt ist.
Also das Verhalten bewegt sich im Rahmen der Spezifikation.
Wie kann man
so etwas nachweisen
Und der Ansatz, der sich anbietet, wenn man eh
gerade im Bereich der Automatentheorie unterwegs ist, ist folgender.
Ich betrachte mal das Systemverhalten, habe also ein Transitionssystem,
das ist so eine Art Automat.
Und dieses Transitionssystem beschreibt mein Systemverhalten und ich betrachte jetzt das,
was dort generiert oder akzeptiert wird,
also das, was wir als Sprache eines Automaten kennen.
Und das Gleiche kann ich machen, auch auf der Seite der Spezifikation.
Ich kann also mich fragen, diese Spezifikation,
was beschreibst du
eigentlich an
Abfolgen an Zeichenketten. Also was ist da erlaubt? Das ist auch
eine Sprache. Irgendwelche Sequenzen von Aktionsfolgen erlaube ich dort.
Und was heißt das jetzt, das Verhalten erfüllt die Spezifikation?
Das ist jetzt besonders einfach. Ja, das kann ich
durch Mengenklusionen beschreiben. Ich möchte ausdrücken, dass jedes Verhalten,
also jedes Element aus der Sprache des Systems,
auch enthalten ist in der Sprache der Spezifikation.
Also alles, was passiert, ist auch erlaubt.
Vielleicht ist mehr erlaubt, als was konkret passieren könnte
Eine Spezifikation betreibt typischerweise nur den Rahmen dessen, was da
möglich ist. Gut, und wenn wir uns vorstellen,
dass wir die Systemspezifikation vielleicht durch einen regulären Ausdruck formalisieren wollen und das Systemverhalten durch einen endlichen Automaten,
dann müssen wir also uns fragen, ja,
das sind beides reguläre Mengen, okay,
das passt schon mal.
Und dann muss ich irgendwie herausfinden, wie kann ich beschreiben,
dass das eine Teilmenge vom anderen ist.
Und um solche Dinge geht es. Und jetzt wiederholen wir erstmal,
um warm zu werden, Irgendwann möchten wir an diese Fragestellung der Teilmengenbeziehung ran,
aber jetzt wiederholen wir erst mal, was überhaupt ein endlicher Automat.
Und da wieder, ja, holen wir gleich die nicht-diterministischen,
endlichen Automaten aus FG1, den wir als Fünfer-Tupel dargestellt haben.
Der hat die folgenden Komponenten. Wir haben erst mal eine
endliche Menge von Zuständen. Und daher kommt das Wort endliche Automat.
Dann habe ich einen Eingabealphabet. Also die Zeichen,
die an den Kanten dranstehen dürfen. Ja,
und da muss ich die Kanten beschreiben,
die Kanten beschreibe ich mathematisch
Als Relation Delta. Und eine Relation ist ja immer eine Teilmenge,
in diesem Fall eine Teilmenge von Kuhkreuz, Sigmar, Kreuz, Kuh.
Also sind in dieser Relation Triebel enthalten aus Zustand,
Eingabesymbol und noch ein Zustand.
Also Startsustand, Kantenbeschriftung, Endzustand. Also das,
was im Diagramm als Kante auftaucht, von einem zu einem anderen Zustand.
Das steht unter dem Kasten anstelle von einer Tubel-Notation,
P, Komma, Q,
ist in Delta,
schreibt man das meistens intuitiver als
Pfeil, auf dem ein A steht zu Fu.
Also von P nach Kuh mit einem A. Das ist eine hilfreiche Notation.
Und dann, weil das Ganze ja dynamisch sein soll,
zeichnet man dann aus, wo man starten kann und wo man enden kann.
Also ich habe eine Menge Q0, Teilmenge der Zustände,
das sind die Startzustände. Und eine Menge F,
das ist auch eine Teilmenge von Kuh.
Das sind die Menge der Endzuständen. Und was haben wir
damit gemacht? Damit haben wir definiert,
was jetzt die Sprache eines NFAs sein soll,
eines Non-Deterministic Final Atomity
Und da haben wir uns erstmal eine Hilfsnotation eingeführt.
Wir haben ja die Notation P, geht über zur Kuh
mit einem A. Das ist jetzt der Übergang mit einem Zeichen.
Das erweitern wir jetzt auf eine Sequenz von Zeichen, also auf Worte.
P kommt zur Kuh mit einem Wort weh.
Und ein Wort ist ein Element aus Sigma Stern.
Und wie definieren wir das? Das definieren wir rekursiv.
Der einfachste Fall ist, dieses Wort W ist das leere Wort Epsilon.
Und da definiert man mathematisch konsistent Wenn ich nichts tue,
komme ich auch nicht weg. Also von P komme ich
mit dem leeren Wort zu P. Ansonsten nirgendwohin.
Und dann mache ich das rekursiv so weiter.
Ich komme von P mit dem Wort W,
auf das noch ein Zeichen A folgt, zum Zustand R.
Wenn ich einen Zwischenzustand Kuh habe, sodass ich das zerlegen kann.
Ich komme von P mit einem W zu Kuh.
Und ich komme von Kuh weiter mit einem Zeichen A zu
Das ist also eine rekursive Zerlegung, wo ich das letzte Zeichen A abgespalten habe.
Und so zerlegt sich das rekursiv immer weiter,
bis ich bei dem Fall ankommen bin, dass W,
das leere Wort Äpzilan ist. Wenn ich diese Notation habe,
dann kann ich auch sagen, was die Sprache ist.
Ich definiere einfach die Sprache als die Menge aller Worte
wie aus Sigmar Stern, mit der Eigenschaft,
dass es einen Staatszustand P gibt und einen Endzustand Q,
sodass das Wort B mich von P
nach Q führt
Also, ich komme vom Staat zustande, zum Endzustand mit dem Wort Vedern,
es ist in der Sprache und nur dann.
Das war die akzeptierte Sprache eines NFAs. So,
und beim NFA bleiben wir erst mal,
man kann das Ganze noch deterministisch machen, wissen wir ja.
Was kann man damit jetzt beschreiben? So ein klassisches Beispiel ist
der Getränkeautomat und uns interessieren Automaten jetzt ganz besonders, also solche,
die ein Innenleben haben, das wir aber nicht sehen.
Wir sehen also nur vorne an der Front so ein paar Knöpfe.
Auf einem steht Tee, in der steht Kaffee und dann
gibt es da noch
einen Einwurfsschlitz
Und in der Mitte, naja,
das ist so ein Entnahmefach, der kommunizierte Automater mit uns,
indem er hoffentlich einen Becher mit einem Heißgetränk auswirft.
So, das ist also der Getränkeautomat. Jetzt kann man
sich überlegen, wie es der Innen gestaltet. Ja,
vielleicht sieht dessen Spezifikation so aus,
dass er hier seine 1, 2, 3,
4, 5, 6 Zustände hat.
Und beim Startzustand S0 ganz oben in der Mitte kann ich
erstmal mit dem Automaten interagieren, indem ich einen Euro einwerfe.
Da war ich
ein Zustandsübergang
Gelange ich also in Zustand S1. Und das soll jetzt
die Möglichkeit erlauben zwischen Tee und Café auszuwählen,
dann wird was gekocht und dann wird es auch eingefüllt.
Was ich jetzt noch machen kann, ich kann aus Bequemlichkeitsgründen
und weil es später vielleicht noch mal nützlich sein wird,
sagen, S0 ist auch der Endzustand.
Dann beschreibe ich mich ein Systemverhalten, das sagt, okay,
wenn ich einmal diesen Zyklus Geld einwerfen und was vielleicht einen Kaffee kochen,
wenn ich das einmal durchlaufen habe,
dann bin ich ja wieder im gleichen Zustand wie vorher oder
fast demgleichen
Das ist also mein Endzustand. Und da kann ich auch gleich wieder
neu starren. Und wie funktioniert das? Und so ungefähr,
wie ich es schon skizziert habe, wenn ich mir also vorstelle,
ich bin im Staatszustand, ich werfe einen Euro ein,
ich drücke auf den Knopf Kaffee,
dann wird intern die Aktion Kaffee kochen gestartet und ich gelang wieder zurück.
Ja, so einen Automaten stellen wir uns vor,
so können wir damit Systeme beschreiben in dieser Vorstellung.
Wir wollen ja nicht nur die schönen Sprachen, oder B-Sternchen akzeptieren,
sondern wir wollen ja auch Systemmodellierung mit endlichen Automaten betreiben können. Ja,
und das Ganze kann dann so ein bisschen aufwendiger werden,
das ist fast das gleiche Beispiel, da sind jetzt noch zwei Zustände hinzugewandert,
ein paar andere Möglichkeiten, wenn ich mir angucke,
was da passiert, die Sprache kann ich auch rauskriegen,
also entweder denke ich da lange drüber nach oder ich benutze das Cleanie-Verfahren und bekomme dann einen komplexeren Ausdruck raus,
wir kennen ja unsere regulären Ausdrücke,
und kommen dann mehrfach geschachtelt.
A, BD, E, die Sternchen F oder CG,
HG-Sternchen I und das Ganze beliebig iteriert.
Und das äußere Sternchen, das kommt eben daran,
dass ich so eine größere, äußere Schleife habe,
also immer wieder zurück zu meinem Startzustand kommen kann.
Also ich kann das Verhalten des Automaten immer wieder von vorne starten.
Und die inneren Schleifen, also ED und HG,
das sind diese kurzen Wechselspiele an den Seiten.
Also solche Sachen kann ich damit beschreiben und dann endlich
einen Automaten
Gut, das haben wir dann,
oder eigentlich haben wir es andersrum gemacht,
wir fingen erst in der Frie 1 mit dem deterministischen Automaten an.
Aber meistens modelliert man ja irgendwas und es ist dann doch
ein nicht deterministischer Automat. Und von daher ist es jetzt interessant,
ich möchte das Ganze determinisieren, denn typischerweise ist die Hardware,
die ich zur Verfügung habe, deterministisch.
Da ist der nächste Schritt, der passieren wird, genau festgelegt.
Das heißt, wenn ich es modelliert habe,
es ist nicht deterministisch,
da muss ich noch einen Zwischenschritt einfügen,
der mir
das Ganze Hardware kompatibel gestaltet
Und wir wissen, dafür gibt es eine Konstruktionsvorschrift,
nämlich die Konstruktionsvorschrift, die mit den Potenzautomaten generiert.
Hatten wir auch schon eine Übung, Leslie. Ja,
und deterministisch ist der Automat dann,
das kann man jetzt rückwärts so definieren,
wenn ich keine doppelten Kanten habe für ein festgelegtes Symbol.
Also, was ich nicht darf, vorfinden darf,
dass ich eine Kante habe der Form P-A-Q1 und P-A-Q2. Ja,
wenn das der Fall ist,
dann gibt es höchstens die mathematische Hintertür,
das Q1
gleich Q2 ist
Ja, dann ist das eigentlich die gleiche Kante. Wenn das der Fall ist,
also ich immer sicher feststellen kann, was der Nachfolgezustand ist,
wenn es überhaupt eingibt, dann kann ich das Ganze auch funktional notieren.
Ich muss es also nicht mehr als Kantenrelationen aufschreiben,
sondern kann Delta plötzlich als Funktion begreifen,
die mit zu dem aktuellen Zustand aus Großkuh und dem Eingabeelement aus Großsigma den Nachfolgezustand liefert.
So, und da ich manchmal so Sackgassen habe,
aus denen ich nicht rauskomme, Das heißt,
es gibt für einen Kuh und einen A, gar keinen definierten Nachfolgezustand mit Delta,
keine totale Funktion im Allgemeinen sein, sondern eine partielle Funktion.
So, und da wir eh schon wissen,
dass Determinismus bis auf syntaktische Feinheiten ja das Gleiche ist wie nicht Determinismus,
jeder deterministische, endliche automatisch sein,
nicht deterministischer und wir mit der Potenzautomatenkonstruktion auch die Umkehrung zeigen können,
aus jedem nicht deterministischen Krieg einen deterministischen konstruiert,
kann ich jetzt den Satz formulieren, dass beide Varianten Äquivalent zueinander sind,
also deterministische und nicht diterministisch endlich Automaten sind zueinander äquivalent.
Wobei der Äquivalenzbegriff, den wir hatten, war, sie können die gleiche Sprache akzeptieren.
Und das kriegen wir mit diesen Konstruktionen immer hin. So,
das heißt, insbesondere auch die Sprachfamilie,
die ich damit definiere, für endliche Automaten,
waren es die Regulären, dass ich diese Sprachfamilie nicht verändert,
wenn ich das Automatenmodell von deterministisch zu nicht deterministisch variiere oder umgekehrt.
Es bleiben die Regulären,
die können einander jeweils simulieren
Was gibt es dann noch als nettes Konzept?
Hommamafismen. Hommamafismen, das klingt jetzt hochtrabend,
sagt eigentlich nur sehr gutartige Umbenennungen. Ein bisschen formaler,
wir benennen jetzt Zeichen aus dem Alphabet Sigma,
um ein Zeichen oder Zeichenketten aus dem Alphabet Gamma.
Oder ein Hommafismus ist jetzt eine Abbildung H,
die Worte über Sigma,
also Element aus Sigma Stern,
auf solche
über Gamma abbildet
Und ein Homeomer Fismus ist jetzt nicht irgendeine Abbildung,
sondern eine besonders nette, eine gutartige, gutartig heißt,
sie erhält die Monoid-Struktur.
Und das drückt sich aus in so einer kleinen Klammerschubserei.
Also wenn ich den Homer Moffismus anwende auf U-Konkardiniert mit V,
also einem zusammengesetzten Wort UV, dann ist das das Gleiche,
als würde ich den Homer Moffismus auf das eine Teilwort anwenden.
Und auf das andere.
Und wird die Ergebnisse konkatinieren
Das Bild einer Sequenz ist gleich der Sequenz der Bildern.
Ich kann also die Operationen in ihrer Reihenfolge austauschen. Linie Algebra lässt grüßen,
da sind lineare Abbildungen genau durch so eine Beziehung charakterisiert.
Das Bild einer Summe von Vektoren ist gleich der Summe der Bilder der Lektoren.
Das haben wir auch hier, und das deutet immer auf nette mathematische Eigenschaften hin.
Und eine Eigenschaft, die man hat, ist,
dass jeder Hormonorphismus hat bereits eindeutig dadurch festgelegt ist,
wenn wir wissen, Wie verhält sich Haar auf einem einzelnen Zeichen A?
Wenn ich das für jedes Zeichen A weiß,
dann ist es komplett festgelegt für alle Zeichen Ketten.
Denn für eine Zeichenkette, wie gilt ja,
wenn weh die Form A1 bis AN hat,
dann ist das Bild dieser Zeichenkette wegen der gleichen,
die darüber steht,
ja gleich den Bildern auf A1 und dem Bild von HA2 und dem Bild von AN,
also der Sequenz der Bilder.
Das heißt,
um herauszukennen, was das Bild von W ist,
muss ich nur die Bilder von der A1
bis er einkennen
Ja, und das sind ja höchstens die Elemente aus der Alphabetmenge aus Sigmar.
Und jetzt gilt folgendes, das ist ja erstmal
eine Konstruktionsvorschrift auf Mengen. Und jetzt kann ich gucken,
wenn ich weiß, ich habe eine reguläre Menge,
die wird ja eine Teilmenge von Sigmar Stern sein,
dann wird die auch auf eine Teilmenge von Gamma-Stern abgebildet.
Wenn ich den Hammer-Marfismus auf jedes einzelne Element loslasse.
Was da rauskommt, genau will ich es gar nicht wissen,
aber mich würde schon interessieren, wenn ich mit einer regulären Menge starte,
kommt da wieder eine reguläre Menge raus
Und da gilt, ja, das ist so.
Wenn ich eine reguläre Menge R habe,
und ich habe einen Hormonomaoffismus H, irgendeinen,
dann ist auch das homomorphe Bild dieser regulären Menge unter H,
also H von Groß R, wieder regulär.
Und H von Groß, er ist elementweise definiert,
als die Menge, die alle H von W mit W-Element ernte.
Also das ist ja jetzt mal überraschend für eine normale Abbildung
, wird sowas nicht gelten.
Da kann ich in irgendeine Menge das abbilden.
Aber hier ist es eben so, reguläre Mengen,
wenn ich da
einen Hormonoffismus drauf loslasse
Dann kommt auch wieder was Reguläres raus.
Und wie zeigt man das? Zeigt man im Wesentlichen so,
dass man sich vorstellt, wenn ich eine reguläre Menge habe,
dann habe ich ja auch einen deterministischen, endlichen Automaten A,
der diese Menge akzeptieren kann.
Wissen wir, kann ich immer bekommen oder ist es teilweise sogar so definiert?
Und wenn ich jetzt Folgendes mache in der Darstellung von A als Transitionsdiagramm,
ersetzt sich einfach jede Kante,
an der ein A dran steht,
er setzt sich das A durch das homorphe Bild H von
Und was ich jetzt bekomme, ist nicht mehr so ein normaler,
endlicher Automat, sondern da dürfen wir jetzt,
Haar von A ist ja ein Wort.
Aber dafür hatten wir den GFA, den Generalized Final Atomitan,
bei dem ich auch ganze Worte an die Kanten schreiben dürfte.
Und von dem wissen wir, ja,
zu jedem GFA kriege ich auch wieder einen NFA.
Das heißt, das verändert auch nichts. Kann ich umkonstruieren.
Und dieser Automat hat offensichtlich die Eigenschaft, wenn ich einen Kantenzug betrachte,
der gerade ein Element weh aus R gibt,
Und den gleichen Kantenzug jetzt betrachte mit den homomorphen Bildern.
Und dann bekomme ich das homomorphe Bild von weh. Das heißt,
einmal, die Kanten, die vorher mit den As durchlaufen hätte,
hier einerseits. Und das wird jetzt zu solchen Kantenzügen,
wo die Homomorphen Bilder dranstehen. Das Zusammengesetz ergibt genau,
wenn ich das über alle Kantenzüge betrachte, mein Abbild,
das homomorphen Bild H von R. Gut, also,
was, das sind so Dinge,
die wir uns angeguckt haben, Abschlusseigenschaften.
Das hier heißt, auch Abschluss unter homomorphen Abbildung
Es gibt noch mehr Abschlusseigenschaften und besonders haben uns die Abschlusseigenschaften,
die was mit Mengenoperationen zu tun hatten, interessiert.
Und da haben wir gezeigt, wenn ich schon zwei reguläre Mengen habe,
L1 und L2, nämlich, dann gilt Folgendes.
Die Vereinigung L1 vereinigt L2 ist regulär.
Schnitt ist regulär. Das Kompliment dieser Menge ist wieder regulär.
Und der Cleanie-Abschluss, also beliebiges Wiederholen von Worten,
also hintereinander hängen von Worten aus
Beliebig lange. Das ist auch wieder eine reguläre Menge.
Wir haben ja das gezeigt. Noch eine Erinnerung,
wie wir das in FG1 gezeigt haben,
dass das so ist.
Wir haben
eine Frau akzeptiert
Ja, wir haben meinen Automaten konstruiert, der jeweils Vereinigungsschnittkomplimentabschluss akzeptiert.
Wie haben wir das gemacht, genauer? Achso, das ist einfach soweit. Ich meine,
also Kinderabschluss zum Beispiel, das ist das,
glaube ich, wenn man mit einzelnen Fällen jeweils,
da kommt es durch, so Stadtverstand wieder.
Also der Gag war, wir haben angenommen L112,
wenn die regulär sind, dann muss es da doch irgendwie
auch endliche Automaten für geben.
Die haben wir denn A1 und A2 genannt.
Und dann haben wir angefangen, Bildchen zu malen und
haben gebastelt
Und haben gezeigt, unter der Annahme, dass wir die automaten
schon haben, dann können wir einen neuen Automaten basteln.
Zum Beispiel einen Automaten, der dann die Vereinigung akzeptiert. Also,
diese Abschlusseigenschaften, das ist ja so was Heeres,
Mathematisches, war konkret etwas ganz Algorithmisches, nämlich,
wie kriege ich aus allen paar einfachen Automaten komplexere Automaten.
Ja, ein gutes Bausteinprinzip hatten wir. Und da gab
es dann verschiedene Varianten, wie man das machen könnte.
Reguläre Ausdrücke profitierten massiv von diesem Bausteincharakter
Jetzt kann man sich so ein paar Sachen fragen.
Die sind so an sich vielleicht schon mal ganz nett,
aber gerade im Kontext vom Moneychecking-Problem werden, sie brennend interessant.
Und das sind drei Fragen, nämlich Lehrheitsproblem, Universitalitätsprobleme und Äquivalenzproblem.
Und da stelle ich mir folgende Fragen. Beim Lehrheitsproblem frage ich angenommen,
ich habe ein NFA A gegeben als Tabelle oder als Zustandsdiagramm.
Gilt jetzt, dass die Sprache dieses Automaten leer ist?
Ja oder nein
Da hätte ich gern einen Algorithmus dafür, der mir sagt,
so ist das. Und vielleicht interessiere ich mich auch noch,
wie groß eine Komplexität ist, also wie schnell das geht.
Universalitätsproblem ist genau die komplementäre Frage. Da frage ich mich,
akzeptiert dieser Automat A, vergesst das eins, akzeptiert der alles.
Jedes Wort, ganz nickmaßstern. So,
das sind also zwei relativ ähnliche Fragen. Äqualenzproblem,
da gebe ich zwei Automaten eins und A2 vor und frage mich,
naja, die sind vielleicht anders aus.
Aber sind sie zu einer Äquivalent in dem Sinn,
dass sie die gleiche Sprache akzeptieren
Denn die syntaktische Repräsentation einer Menge oder einer Sprache ist ja oftmals gar nicht spannend.
Interessant ist ja nur, die akzeptierte Menge von Automaten.
So, und da wissen wir, das Lehrheitsproblem ist entscheidbar.
Liegt im Wesentlichen daran, dass ich so eine Tiefensuche machen kann.
Und wenn bei einer tiefen Suche durch meinen Zustandsdiagramm
ein Endzustand auftaucht, dann akzeptiere ich ein Wort.
Und wenn kein Endzustand auffindbar ist, erreichbar ist,
dann kann ich auch kein Wort akzeptieren. Also genau dann,
wenn Ich mindestens einen Endzustand erreichen kann durch Tiefensuche oder Breitensuche
, dann ist die Sprache nicht leer.
Also kann ich so das Lehrheitsproblem entscheiden.
Und jetzt wissen wir auch schon ein Verfahren,
wie man zu einem gegebenen NFA ein NFA konstruieren kann,
der das Kompliment einer Sprache akzeptiert.
Und wenn ich mich frage, akzeptierst du ganz dick mal Stern,
du Automat A,
dann kann ich genauso gut den Automaten B konstruieren,
der das Kompliment akzeptiert
Und fragen, ob der nichts akzeptiert. Wenn A,
alles akzeptiert, dann müssten sein Komplimentautomat ja nichts akzeptieren. So,
das sind also relativ ähnliche Probleme,
dass Äquivalenzproblem ist auch entscheidbar, mit ähnlichen Techniken,
da macht man mich folgendes, da müsste ja gelten,
wenn die Sprachen gleich sind, was zeigt man da,
man fragt sich, kann ich vielleicht zeigen,
dass die eine Sprache in anderen Halten ist?
Also frage ich mich,
kann ich
das Inklusionsproblem lösen
Ja, gut, kann ich mir einen Algorithmus ausdenken.
Aber wenn ich Inklusion berechnen will, dann könnte ich auch Folgendes machen.
Ich kann mich fragen, ich nehme die Sprache des einen Automaten
und schneide sie mit dem Kompliment der Sprache des anderen Automaten.
Und mit elementarer Mengenallgebra, weiß ich, aha,
A ist Teilmenge von B, wenn A geschnitten Kompliment leer ist.
Ich hoffe, ich habe das jetzt richtig rumgesagt.
Das heißt, ich brauche gar nicht Teilmenge zu analysieren,
sondern ich nehme Kompliment, Schnitt und teste auf Lehrheit.
Das sind alles Konstruktionen,
die ich schon kenne
Ja, in eine Komplimentkonstruktion hatten wir, Schnitt kriege ich
auch hin, indem ich mich Vereinigung und Schnitt nehme.
Vereinigung hatten wir auch. Und den Lehrheitstest haben wir auch.
So kriege ich einen Inklusionstest und zwei Inklusionstests, ergeben mir einen Niqualenztest.
Sei mal dahingestellt, ob das ein sehr effizientes Verfahren ist,
aber es ist auf jeden Fall ein Verfahren,
mit dem ich wenig Ärger habe und wenig Arbeit.
Denn ich nehme nur bereits bestandene Algorithmenbestandteile aus dem Baukasten.
Gut, also mit diesen Techniken kann ich sehr leicht
für die endlichen Automaten
die Fragen stellen
Die ich gern hätte. Lehrheit und eine Verbalität, Äquivalenz.
Wir hatten ja gesehen, das ist nicht die einzige Möglichkeit,
reguläre Mengen zu charakterisieren. Eine andere Möglichkeit, reguläre Mengen zu charakterisieren,
war der, das Ganze syntaktisch über Ausdrücke zu tun.
Und wer hat gesagt, Ausdrücke, man könnte vielleicht auch Formeln dazu sagen.
Also ihr habt mich die Menge aller Formeln aller wohlgeformten Ausdrücke,
die ich jetzt reguläre Ausdrücke nennen will.
Erstens, die leere Menge ist ein regulärer Ausdruck und
wie interpretiere ich das
Also die Menge, die ich damit meine,
schreibe ich immer als M und Index, der Ausdruck.
Also die Menge M mit dem Ausdruck leere Menge steht für die leere Menge.
Weil es nur nicht zu kreativ, aber es erleichtert das Erinnern ganz gut.
Und jedes kleinen A aus Sigma soll auch ein reguläre Ausdruck sein.
Und der beschreibt, also die Menge, die A beschreibt,
ist jetzt gleich die Menge, die nur A enthält.
Ähnlich tiefsinnig. Und wenn die schon zwei reguläre Ausdrücke habe,
Dennis, deren Summe A plus B,
der Produkt A mal B, und die Sternchenvariante A,
Sternchen, das sind dann auch reguläre Ausdrücke.
Und sie beschreiben, erstens, MA vereinigt MB,
also die Vereinigung der beiden Bedeutung, oder das Komplexprodukt,
also jedes Wort aus MA,
konkatiniert mit irgendeinem anderen Wort aus MB,
jeder mit jedem.
Oder A, Sternchen soll genau die Menge MA,
dessen Kliniabschluss bedeuten
So, also bis auf die Tatsache,
dass Plus interpretiert wird durch Vereinigung, ist da syntaxgleich Semantik.
Kein großer Unterschied. So, und das sollen,
das sagt der vierte Punkt, alle Ausdrücke seien,
die ich so bilden kann, nur die mit ersten,
zweiten, dritten, erzeugten Ausdrücken sollen noch reguläre Ausdrücke genannt werden.
Ja, und da hat man dann gezeigt,
dass das, was ich hiermit beschreiben kann,
obwohl ich damit keinen Schnitt definieren kann und auch kein Kompliment.
Und wir wissen, Schnitt und Kompliment
sind Abschlusseigenschaften
Ja, obwohl mir das hier fehlt,
kann ich reguläre Mengen auf diese Art und Weise charakterisieren.
Also interessanterweise nur durch Vereinigung. Produkt und Iteration mit Cleanie-Abschluss.
Und wie haben wir das gezeigt? In die eine Richtung,
relativ straight forward, wir haben uns induktiv an der Struktur
des Ausdrucks entlang gehangelt. Und haben dann gesagt, okay,
wenn ich so für einen Teilausdruck das schon weiß, also zum Beispiel,
ich weiß, Ich kriege für den Ausdruck Klein A,
ganz links oben, da kann ich ein NFA angeben,
der diese Menge beschreibt.
Und genauso gut für Klein B kann ich das auch machen.
Ein B-Sternchen, dafür hatten wir auch mal so was.
Dann kann ich mir das langsam immer bausteinhaft zusammenbasteln.
Dann kriege ich einen größeren Automaten. Zum Beispiel für A oder B.
Rechts in der Mitte, das ist ein Automat,
der verzweigt einfach in die Kopien für einen Automat von A
und einen von B. Oder A,
B,
Sternchen ist erst ein Automat,
der A kann
Dann ein Äpzodon-Übergang und dann ein Automat der B-Sternchen kam. Wenn ich die beiden Automaten nochmal zusammensetze,
erst A plus B und dann A, B,
Sternchen, dann kriege ich dort ganz unten einen Automaten,
der jetzt genau die Menge akzeptiert,
die durch den regulären Ausdruck A, plus B,
gefolgt von A, B, Sternchen beschrieben wird.
Das heißt, einfach indem ich mich über den Formelaufbau so durchhange und das für die elementaren,
regulären Ausdrücke schon weiß und es weiß, für Plus,
für Mal und für Sternchen, weil sie auch,
wie ich die Automaten konstruiere, weiß ich sofort,
wie sieht ein Automat aus, einen beliebigen Ausdruck.
So, und in die andere Richtung war es schon
ein bisschen komplizierter. Ja, um jetzt zu zeigen,
dass auch jeder von einem Automaten akzeptierbare, von jedem Automaten akzeptierbare Menge,
dass die auch durch einen Ausdruck beschrieben werden kann,
da muss ich jetzt die Konstruktion von Cleany zu Hilfe nehmen.
Ja, und die war halbwegs trickreich,
da habe ich nämlich eine Rekursionsformel aufgestellt,
die in dem unteren Kasten Und im Rekursionsschritt konnte ich zeigen,
okay, ich will jetzt Mengen-RIJK charakterisieren.
Das waren alle Worte, die von Zustand QI nach QJ führten.
Wobei ich zwischendurch nur die Zustände Q0, Q1,
Q2 bis QK benutzen darf.
Und wenn ich K bis zu dem maximalen Zustand weitertreibe,
dann beschreibt das offenbar alle Worte zwischen I und J.
Und was da besonders war, ist,
diese Rekursionsformel für den Rekursionsschritt hier unten, die benutzt nur Operationen,
die auch in regulären Ausdrücken erlaubt sind.
Also nur mal Vereinigung und Sternchen
Also nur die ganz harmlosen Operationen, da kommt kein Schnitt vor,
kein Kompliment, sondern nur die Sachen, die eh passend sind.
Und so haben wir gezeigt, okay, wenn ich einen Automaten habe,
dann kann ich mir sukzessive diese ganzen Mengen ausrechnen,
alle Mengen R-I-J-K, setzt die munter ineinander ein.
Wenn ich zu viel Zeit habe, vereinfache ich zwischendurch noch,
muss aber gar nicht sein. Und was da rauskommt,
ist in einem, im Zweifelsfall ein ziemlich großer Ausdruck,
aber ein Ausdruck, der A, die Eigenschaft hat,
genau die Sprache zu beschreiben, die der Automat akzeptiert.
Und zweitens, auskommt mit genau den Operationen,
die mir erlaubt sind für reguläre Ausdrücke.
Ja, wenn ich das also in diese Richtung mache,
kriege ich aus jedem Automaten einen regulären Ausdruck.
Und auf der Folie eben habe ich genau das Umgekehrte gesehen,
dass ich zu jedem Ausdruck auch einen Automaten bekomme.
Also weiß ich, das steht jetzt im Kasten als Satz,
die Menge, die durch einen endlichen Automaten akzeptierbar akzeptierte Sprache,
das ist genau die Menge,
die durch regulären Ausdrücken über Sigma beschreibbaren Sprachen entspricht.
Das ist also egal,
wie ich das definiere
So, bis hierhin hatten wir schon alles. Jetzt kommt eine klitzekleine Erweiterung,
nicht so sehr, dass wir jetzt was Neues kennenlernen,
sondern wir lernen es mal anders kennen.
Wir wissen nämlich bereits schon, dass reguläre Mengen abgeschlossen sind
unter Durchschnittsbildung. Das haben wir in FG1 kennengelernt und wir
haben uns da elegant aus der Fähre gezogen.
Wir wussten, Vereinigung und Kompliment, dafür wussten wir Konstruktionen.
Vereinigung war sehr einfach, Kompliment hatten wir auch gemacht,
indem wir einfach beim Deterministischen Automaten,
der bitte schön vollständig ist,
Endzustände und nicht Endzustände
vertauscht haben
Und dann haben wir The Morgan benutzt, also A, geschnitten
B, ist ja gleich dem Kompliment von Kompliment von A,
vereinigt Kompliment von B. In diesem Sinne reicht es also,
Vereinigung Kompliment zu haben und sofort weiß ich auch,
dass Schnitt einen Abschlusseigenschaft ist.
Das ist aber nun relativ indirekt das Ganze und das ist,
sagen wir mal, algorithmisch auch nicht sehr effizient.
Und deswegen suchen wir nach einer neuen Konstruktion,
die uns das direkt erlaubt und auch das Ganze nicht
so aufbläht
Was meine ich mit Aufblähen? Wieso ist das Algorithmus schlecht
, eine Konstruktion mit Vereinigung Kompliment? Das liegt daran,
dass bei der Komplimentkonstruktion nicht ein DFA braucht, ein deterministischen Automat.
Dann haben wir mal gesehen, dass man relativ schnell,
wenn man die Potenzautomatenkonstruktion benutzt, einen Automaten bekommt, der sich exponentiell aufbläht.
Das liegt daran, wir benutzen Potenzmengen und wir haben sogar gezeigt,
das ist gar nicht mal so düsselig, denn es gibt Sprachen,
die kann ich nicht deterministisch mit N plus 1 Zuständen akzeptieren,
Wir konnten beweisen, es gibt keinen deterministischen Automaten,
der ist mit weniger als 2OM-Zuständen scheint.
Das heißt also, diese exponentielle Aufblähen bei der Komplimentbildung,
das ist manchmal nicht ganz vermeidbar.
So, von daher führt jeder Ansatz,
der einen Durchschnitt mit Feine und Kompliment berechnet dazu,
dass sich zwischendurch der Speicherplatz bedarf exponentiell auch aufblickt.
Und das ist nicht so lecker. So,
und die Produktautomatenkonstruktion ist jetzt eine, die das vermeidet,
sondern direkt auf den NFAs operiert
Und dementsprechend in der Originalgröße im Wesentlichen bleibt.
Und das ist natürlich, wenn ich Modelchecking betreiben will,
da muss ich zumindest mit den Basisalgorithmen die Automaten ja im Speicher repräsentieren.
Und da habe ich ein großes Interesse daran,
dass alle Konstruktionsteile das Ganze nicht zu sehr aufblähen,
sondern das Ganze so klein bleibt wie nur irgendwie möglich,
damit ich die Modelle, die ich noch analysieren kann,
nicht auf Spielzeugbeispiele beschränkt sind,
sondern mal ein bisschen was Größeres sind.
So,
was ist jetzt
die Produktautomatenkonstruktion
Ja, das ist jetzt etwas Aufgeblähtes, aber gar nicht mal so schlimm.
Wir nehmen an, wir haben zwei Automaten.
A1 und A2. Hier jetzt mal in der Form gegeben,
AI mit den Komponenten Zustände, Alphabet, haben wir das gleiche Alphabet,
haben ihre eigene Übergangsfunktion, Delta-I, QI0 und FI.
So, zwei Automaten sind also gegeben. Und jetzt sagt dieser Satz,
aus diesen beiden Automaten 1 und A2 kann ich effektiv
einen Automaten A3 konstruieren, effektiv heißt,
es gibt ihn nicht nur,
sondern ich kann ihn mit einem Algorithmus
auch ausrechnen
Im Morgen setzt sich das zu. Hinzustellt, da weißt
du ja. Beide Autobahnen. Für mindestens einer vom Verein
sagt, oh mein Gott, die Worte kaputt.
Gar nicht mehr in Zustand. Über Komma gar nicht.
Auf jeden Fall. Einer sagt, das ist jetzt beim
Enzystapher nicht mehr. Zwischen Standardzitti, die Autobahn, nicht
mit anderen akzeptieren. Da wir sie auch zum Durchschnitt.
Und genau das steht hier, dass man sie verliert,
ein Wort habe
Da setzt er den Schnitt der beiden Sprachen.
Er hat überweisen, jetzt bleiben die Tassionen.
Sie überlegen uns das Recht von Korbs Beschlechthaber.
Das ist das Korb von dem Neuen Vertrag dann weiter zitiert.
So, wie soll er jetzt eine Frau haben,
aber eins und zwei ist ein Recht.
Wenn es einen Schnitt drüber gibt, dann weiß er,
ja, es gibt die ersten Automatensequenzen und Zuständen und es
ist Grün und es ist eins bis zwei und so,
wo man langsam zwei verhält.
Und das akzeptiert wird,
muss er in letzter Zustand des Rennen,
die kein Netzsicherheit ist
Das macht er so dieses Wort in jedem Arbeits.
Die ganz analog, die zwei Tage warten.
Kommen wir von R. 0, 8, 2, 1,
2, 3, 2, 1, bis er hält.
Du bist der Elf, wo es ebenfalls ein Elfsbeschätzer ist.
Was macht der Hoffnung heute weiter? Nehmen wir jetzt den Boden
komplett nicht fürs Leben erholt, dass er einen Staatsgeschlag hat.
Das ist doch Definition, über ein paar einzelne Zustand der
seins Jahres
Und was du da genau, eine Möglichkeit ist übergänglich.
Die vollkommen beendet wird, ist auch am Ende die allerseite definitiv.
Ja. Und so geht das immer weiter. Denn GPS
als R1, und danach putzt du so ein Rest 1,
und A2 mit der Arbeitung. Er als Rest und Bar
, das neue Bauern, macht dann ein Stückchen.
Und dann kommt ganz gut, dieses Sprechen ist auch,
dass man hört so viel damit zu haben.
Das ist nicht so wichtig. Wo lag ich?
Ich lag hier in den Sändern. Und das ist es
In der Konstruktion eine Grenzenstadt. Bei Innenzuständen sind alle,
wir beide kommen erwirken, einzuschätzen. So,
lasst euch Jesus nach dem nächsten Jahr gleich wissen,
dass das Wort geht, übersprach das Autobahn 3. So.
Der umgekehrte Schluss, wenn ich werde für jedenfalls nicht,
das wird nicht dabei, was dann passiert,
dass auch mindestens eine der formulenten Akzepten.
Das war hallo. Und das ist eine Konstruktion,
das Produkt Mottomat, weil seine Zustände,
das Chathesische Produkt dazugestellt sind
Und was jetzt auch so macht, ist, mit jetzt Autobahnen und Hotelsblättern benutzen.
So heißt das hier, Produktautomat, weil dann Produkte von Zugständen.
Athentisch betroffen. Gut. Was habe ich jetzt also?
Ich weiß jetzt, bei etlichen Autos kann ich gestalten. Der,
der nicht nur formale Strafen, die ganzen Tiere,
weil die Offenbarung haben sie, der, der denkt,
das war so ein Konzept vom Täter mit Diskussionen,
das ist nicht Italienismus.
Es gibt auch Atomöglichkeiten, die das außertreten, im Diego hier im Ausdruck.
Es gibt doch mehrere, vielleicht Sachen, die einseitig milliarde Informatiken
Und es ist praktisch so ein bisschen, dass es Abschlusseigenschaften gibt.
Zum Beispiel, wenn ich schon weiß, Vereinigung,
Komplement ist in Haftgewaltschaft, die wird auch schlimm.
Solche Dinge kann man älter formieren. Wir hatten das gerechtliche Einzelne eingesetzt,
um zu zeigen, dass manche sprach nicht mehr,
wie viel da sind, von denen wir sie in der Eier hätten.
Wir schnitten zwar einiges und sonst was inhaltlich erklärt haben,
dass irgendjemand im Takt immer mal vorzutreiben.
Oder zu zeigen, dass dann auch in EU endete
Aber er geht übrigens eh an Schritt für Eigenschaften gewissermaßen als Werbesorger, als Tool,
in der Offensive Beweise zu vereinfachen und noch eine neue Automat,
zu konstruieren. Und wir entscheiden uns im Befehl,
machen wir es je, eine entscheidende Probleme,
etwas damit zu tun, was später Markenschätzung gemacht wird.
Und dann gibt es total Alkohol pünktlich, braucht auch nicht
ein Leben, das die Sprache hat, dieses Automatilien.
Wenn das ist, man hat eine gewisse Ausbildung,
auch vorne Geld unterdrückt, dass wir nichts sind.
Und jetzt hat die uns das rechtliche Automat
Kommt zu einem neuen Aufwachten. Sie fassen genauso aus.
Dass der Bücher auch kommt. Der Bücher auch dabei.
Er fasst genau für die Einheit. Er hat schon
die ganze Zeit vollziehende Sätze. Omnigarat, akzeptieren.
Was ist das? Naja, bis dahin. Die fahren
alle unsere Worte, die wir haben. Endlich klar.
Ein Problem bei Wort. Ich habe besteht vor mir,
dass es endlich war. Ich suche jetzt also erst
mal dich
Eine Möglichkeit, ein Automarkt würde ein Gelesen und endlich lang
laut ins Wort zu beschreiben. Das habt ihr bislang nicht betrachtet.
Das ist aber zum Beispiel da auch viel interessanter und zu zweit,
was im Mittelsystem, wir sind jetzt Eigenschaften,
an deinem Typen, es geht um die Eigenschaft.
Also Ministerium wird ja nicht. Es gibt ja nicht Tag,
die sind voll laufen, laufen. Und da gibt es
noch ähnliche Eigenschaften und es gibt auch andere Eckigungen,
wo man es gerne hätte.
Aber auf einmal, wenn man da erstmal anfängt,
dann muss man etwas beschreiben.
Dessen laufen Länder, da akzeptieren es
ähnliche Schränke
So, dann kann man jetzt,
das bleiben wir auch tun, genau alleine von dem,
wie wir leben, Automat, könnte man das akzeptiert,
sondern Menge von Megabord an, genau,
kann man machen, kann man sich was ausrechnen.
Und wenn man da so ewig vor ihnen von der endlichen Automaten,
aber fast wenigstens ausgeglüht in ihre Menge,
dann gibt es die Verfolgung.
Und auch da haben wir ja von uns, dieser Mensch vermietet.
Man kann auch so was Ähnliches machen, wie dem,
wo ihr rausgeht. Das ist auch nicht mehr,
wenn ihr hier rauskommt.
Und wieder kann man
haftes Eigenschaften
Ziehen. Und besonders interessiert für uns jeder Schritt.
Aber wir fragen uns, muss ich das aus?
Habe ich da ein Fotokrutomarke-Komposition gefunden? Und kann auch feststellen,
ob das mehr als ein Problem der Bescheidheit ist,
lernt der eine, welche Techniken das ist.
Wir werden feststellen, das macht alles ähnlich.
Das ist aber doch noch anders. Also zum Beispiel,
Edel hat das noch wunderschön bei dem Compomaten.
Bei diesem Automaten fällt Determiniskus und wichtig zur Musik auseinander.
Es war ja weit weg in den Autobahnen
nicht der Fall
Aber offensichtlich kann hier nicht etwas mit dem Prozess haben.
Es war eine Konstruktion, nicht ganz gehalten,
denn sonst hätten wir ja eine Verhandlung verletzt.
Also sollten ruhiger Sprache geben. Wir sagen, wir haben
über ähnliche Gesetze getracht. Also lauter, geh auf
das Pepersterbenstein. Und jetzt wollen wir unbestellte Ablage führen,
für das wir noch mehr Wörter bringen.
Und definiert, hilft und heute überraschen. Teilen,
teilen, teilen, alle dann rühren,
teilen in aller Ordnung
Dann wieder möchte ich sagen, das ist ein interessantes Hobby dabei,
dann geht es nicht. Das ist wie bei der Emuella
auch schon, dass das endlich große Menge geht.
Also wenn alle anderen endlich laufen, auch Läufe.
Das bedenkt nicht groß. Wenn das ein Satz kommt,
recht häufig und endlich vor.
Und es geht auch wieder unendlich viele von diesen Hobbyleitern.
Und jetzt muss ich von der Informatik wieder ein erhebliches Konstrukt finden,
dass gesagt, Stück ist drin und du brauchst bloß nicht.
Auch das ist der Sinneszweck eines den Automatenmodells,
eine endliche Darstellung zu finden
Eine unendliche Welt zu machen. Okay, das wissen die Daten sind Autobahnen.
Da jetzt die nächsten Fragen, wie akzeptiere ich jetzt?
Ein Wort ist kein Mensch geführt. Das kann ich ja
nicht sagen, wenn du dann ähnliche Stadt findest.
Deswegen ist es sinnvoll. Weil es ja nicht aufruft.
Also muss ich ja auch etwas Neues ausdenken.
Den lasse ich auch noch mal sterben.
Er ist nicht potenziell wirklich das, sondern nicht geschenkt.
Jedes Wort, aus dem wir sterben,
hat eine endliche Testament
Nur die längere. Aber jedes einzelne Wort ist endlich lang.
Weil diese Wort ist der Fall, jedes Wort.
Es ist ein paar Stärken, es ist jedes Wort,
endlich. Es kann genau kommen. Die, die kommen
, einfach gar nicht mehr. Die akzeptiert eine beliebige Lage
des Invents aus Bars. Er ist der beliebteste Denkfehler.
Wir arbeiten hart, als die einzelne Dame rauszukriegen.
Jedes Mal, dass wir es verstärken,
ethische Länge
Führte Menge, A, Stärke. Dann führt das nicht so,
dass da immer noch endlich lange vorne als eine Tüte.
Nur die haben länger getötet. Ich verdirte mal auf.
Das Konzept beliebe ich damit für die Autobahn, zum Glauben,
um die zu tragen. Da müssen wir jetzt lachen.
Erstmal, bis lang haben wir immer gesagt, hier,
liebe Leute, bitte auf Matthias, war ein Wort,
ist jetzt mal sterben.
Das ist drinnen wie klar. Wie gesagt, vom Hunderttaus
, nach endlichen Sachen. Da ist aber das Problem,
jetzt können wir nicht mehr definieren,
wo er leiden wird.
Er ladet nötig
Sondern genau läuft da runter, die Lutzensturm.
So, was macht man jetzt? Also erst mal,
ja, tötetes Gesundheits. Eine Menge, aller einiger Blauer
in der Möglichkeit haben wir die Seele immer bezeichnet.
Gut, haben wir davon. Ich habe es nicht verstärkt,
dass das Ganze jetzt nicht wahrgenommen wird.
Ich habe keinen Kollegen davor, schreibe mir bereits.
Ich habe jetzt versucht, immer da zu arbeiten.
Omega-Board, seit leider tötet es mich.
Einige Seele war zu schreiben, in einem kleinen Simmer,
also alle Sequenz,
A01,
Vers formal, rotieren möchte,
das ist eine Abbildung von den natürlichen Saal der Seenkunden.
Und jetzt kann man folgenden Treten, der volle Variante wird,
gucken wir jetzt gerade, welche Zeichen.
Da kommt die Besinnung endlich auf die Tür.
Also gehen wir in Sequenz, gebe ich vor.
Ich habe also untätig lange Abfolge von Dingen,
was auch immer es ist. Du bringst zwei Leute,
die Dinge, die endlich noch vorkommen.
Also komm nur mal in einen Antausch
vor und danach
nicht wieder
Was gewissermaßen die alte Sorte wird. Und die
andere Sorte ist die, die immer mal wieder vorkommt.
Also endlich mal. Was immer mal wieder vorkommt,
kommt endlich langsam die letztens unendlich.
So, und das unterscheiden wir. Ich finde,
wir halten die Insequenzen all diejenigen raus. Weil die in
die kleine Pastinente kommen. Dass wir in die Fallerei kommen sehen.
Okay, das ist jetzt ein Teil von Grusel.
Und jetzt könnte ich eine Menge, eine teilige Form
Das sieht man, wie der Pami da ist, als Sprache,
Herr Christian. Also ist halt ein ganz ruhiger Sprach.
Wie mache ich das? Also muss ich hier wieder rangehen,
das Ganze paranoisieren, nicht automatisch. Aber du kommst voll,
was im Leben erreicht, wie viel channimistischen, täglichen Automaten.
Und in das ganze Gesicht jetzt Küchenauto. Also bis hierhin
ist eine Küche einfach auch nichts anderes als ein Penner.
Ich habe den Blauen vielleicht auf das Komponent.
Habt ihr, hätte ich viele Zustände,
Alter,
Überall, die Hundertjäger, Staat zu steuern, die haben eine Präzistation.
So, also bis hierher, per unterschiedlich,
das Personal da, das ist eine wichtige Autobahn.
Da sieht man erstmal nicht, dass das ein Ende baut.
Was Gott erwähnt, wie drauf achten,
wie ich mich definiere, da machen wir auch konzeptieren.
Das muss jetzt anders sein. Dass wir das Wort des Dienst
zu ändern, also kann ich schon mal nicht sagen,
es kommt in der ätzen Stadt, mach Freundes.
Ich gucke mir jetzt einen Tag an,
also ich nehme meinen Vater, das zu spazieren,
fahre das null kommt von Adam,
das ist das Heils,
das ist das
Wir gehen also in einen Sternensinn statt und neun Karten protäglich machen.
Bei den Kampeln hat man also jetzt einige. Der Zweite.
Dieser Omnika war von null am eigenen Zweiten pro Punkt.
Jetzt möchte ich definieren, akzeptiere ich das?
Jawohl nein. Und ich dieniere das Freuen dermaßen.
Ich gucke jetzt mit diesem Kontext an und sage,
das wäre auch ein 031, der 2,
das ist immer unreal.
Das wird von diesem Büdiautomaten akzeptiert
In dieser Sequenz von Zuständen ist nur noch das Eis, weil das ist wahr.
Mindestens ist kein Inselstadt, bedreht dich auf die Orte.
Also formal betrachte die Sequenzen der Zustände,
es null ist, 1 ist 2 und so weiter.
Und rechnen wir es aus. Zumindest konzeptionell. Welche Vielstände
kommen jetzt da, bedreht dich aufs Ohr?
Kolonzefragen ist ein Inselstadt dabei. Vielleicht wollen wir sich schneiden
, ist in der ganzen Stadt eine Gewährung.
Ja, kommt dabei, pass raus.
Also ist der Schritt nicht leer
Das heißt, ich habe zweimal als AMN-Zustand,
auch in der Zustandsabfolge und endlich häufig vor.
Also mein Akzeptanzkriterium ist jetzt nicht mehr länger,
ich lande am Ende im Endzustand.
Nein, es ist, mache ich durch den Glauben,
das für ein Ei und Geld zu standen und endlich weiter.
So, und jetzt definiert man ganz Katalog. Alle Worte,
die akzeptiert werden, also alle Opinger bauen die letzten vier Jahre.
Das ist jetzt, den akzeptiere ich gerade,
der Fell, der Komiker von den Haaren.
Soweit hart,
was Bücher aufbauen
Das heißt, es ist in jedem Automaten haben.
Da müssen wir uns fragen, was ist deine Sprachwort, deine endliche Sprache?
Und was ist deine ruhiger Sprache? Und wenn ich mich nur,
auch wieder schon mal zitiere, dann werde ich das dritte Briefenautomat,
da haben wir uns gleich gesagt, wenn ich von der Sprache,
die die Automaten rede, der Meinung in der Seite,
omniversche war, also Elo-Pomming jetzt.
Du machst da rauskommt, wenn mädliche Automaten regulieren und Sprachen akzeptieren,
dann sprechen wir jetzt davon,
dass alle büchige Automaten zusammen genau die Sprachfamilie, homegaregulären Sprachen.
Und ihren Eigenschaften vorzumachen, wesentlich wieder da ist,
anschaut und sehen sich das weiter