zum Thema Logik. Wir haben ja gestern uns mit der Relation
der Folgerung beschäftigt. Hier dargestellt, als Relation zwischen Formen,
wo man aus Formen oder sprachlichen Beschreibungen einer Konstellation dann auf neue ergänzende Beschreibungen kommen kann.
Und Folgerung ist halt die Relation, die sagt,
Wie kann ich zu neuen Formeln kommen oder zu welchen neuen Formen kann ich kommen,
von denen ich aber garantieren kann,
dass sie auf den Modellen den möglichen Interpretationen,
die für unsere originalen Beschreibungen in Frage kommen,
auch auf jeden Fall korrekt sind.
Also, wenn ich eine Beschreibung habe eines Weltausschnittes und gehe
über zu Formeln, die ich folgern kann,
dann weiß ich auch,
das sind zutreffende Beschreibungen desselben Weltausschnittes
Bislang haben wir Folgerung, allein charakterisiert oder in der Definition
ist es charakterisiert über die möglichen Interpretationen unserer Formeln.
Nämlich dahingehend, dass eine Formel folgt, wenn sie in allen Interpretationen,
in denen die ursprünglichen Beschreibungen korrekt sind, auch zutrifft.
Das ist sozusagen die Definition. Und ja,
in der Logik ist nun ein wichtiges Thema zu bestimmen,
wie kann man eigentlich Formeln berechnen, bestimmen die Folgerungen sind,
ohne über den Weg der Interpretation zu gehen,
sondern auf anderem Weg.
Und das ist das Thema Deduktion. Also wir wollen irgendwelche Verfahren definieren,
mit denen wir von Formeln oder Formelmengen ausgehend zu neuen Formeln oder Beschreibungen
kommen und auf diesem Weg Mechanismen benutzen, wie auch immer.
Trotzdem wollen wir garantieren, dass das,
was resultiert,
eine korrekte Folgerung ist
Und da gibt es jetzt einen ganzen Wald von Möglichkeiten,
Verfahren, das zu tun. Und die laufen dann unter dem Topic-Beweis-Theorie.
Es gibt drei Typen, würde ich sagen, von Beweisverfahren.
Das erste haben wir im Grunde schon kennengelernt, sogenannte Umformungsverfahren.
Wir hatten ja beispielsweise gesehen,
dass wenn wir eine Formel in disjunktive Normalformen bringen,
dass es dann hinterher relativ einfach ist, zu prüfen,
ob diese Formel eine Kontradiktion ist oder nicht.
Nein, konjunktive Normalform ist es leicht zu prüfen,
ist es eine Tautologie, ist juktive Normalform,
ist es leicht zu prüfen, Kontradiktion.
Ja, das wäre sozusagen eine Möglichkeit.
Wir formen erstmal um und machen dann eine einfache Prüfung.
Die beiden anderen Ansätze oder Typen von Beweisverfahren sind Ableitungsverfahren und Widerlegungsverfahren.
Heute werde ich zunächst mal die Originalidee von Beweisverfahren vorstellen oder Ableitungsverfahren.
Und dann später werden sie mit dem Resolutionsverfahren ein Verfahren kennenlernen,
das ein sogenanntes Wiederlegungsverfahren ist. Gut. Allen diesen Verfahren ist gemeinsam,
dass die Verfahren allein aufgrund der syntaktischen Struktur der Formeln definiert ist.
Letztendlich beruhen sie alle darin,
dass man gewisse syntaktische Muster in dem Material, in den Formeln,
die man hat, auffindet und aufgrund derer Mehrmanipulation machen kann.
Nicht beim Umfangungsverfahren war das ja auch so, man guckte,
welche Verhältnisse bestehen beispielsweise zwischen Negationen und Konjunktionen, sagte,
okay, jetzt wandte ich doch im Organ an.
Und das ist ein reines syntaktische Manipulation eigentlich.
Und genauso ist es bei den anderen Verfahren. Alle Verfahren
beruhen darauf zunächst mal allein aufgrund der syntaktischen Eigenschaften zu agieren.
Aber dann sicherzustellen, dass diese Verfahren eben tatsächlich die Folgerung Beziehung auch abbilden oder respektieren.
Was meine ich jetzt mit so taktischen Mustern?
Einfach so was wie hier habe, wir wissen alle,
wenn wir eine Formel haben, F und Nicht-F,
dann ist das eine Kontradition, eine unerfüllbare Formel.
Diese Formel kann nicht wahr sein. Und das ist unabhängig davon,
was F inhaltlich ist. Es liegt einzig und allein daran,
dass wir hier die Konjunktion haben, die Negation und die Formel Wiederholung.
Das heißt, dass wir sagen,
hier kommt eine Teilformel 2-fach vor in einer bestimmten Konstellation
Und ganz ähnlich im zweiten Fall, die Formel F oder
Nicht F, das ist eine allgemeingültige Formel.
Und auch hier ist es allein dieses syntaktische Muster der Disjunktion,
Negation und Formel Wiederholung aufgrund derer wir das direkt sehen können,
ohne uns groß weiter damit beschäftigen zu müssen,
wofür F eigentlich steht
Also das ist es, was wir hier mit Mustern meinen,
Konfiguration von logischen Operatoren und gegebenenfalls Formelwiederholung, die dann erlauben,
bestimmte Maßnahmen zu treffen, bestimmte Transformationen vorzunehmen.
Der Mechanismus, mit dem sowas wie die Erkennung dieser Muster
hier in der Logik abgebildet ist,
ist die sogenannte Substitution oder ich nenne sie jetzt auch Uniformen,
Formelsubstitutionen, einfach, weil wir verschiedene Verfahren haben zur Formel-Ersetzung.
Wir haben ja bei den Äquivalenzumformungen schon die eine Variante kennengelernt,
wo man äquivalente Formeln durch Äquivalente ersetzen durfte.
Diese Substitution funktioniert ein bisschen anders. Und wir werden später
in der Prädikatenlogik noch eine weitere Form der Ersetzung kennenlernen,
die auch dann Substitutionen heißt,
aber das wird dann
keine Formelsubstitution sein
Gut, ich werde jetzt häufig einfach von Substitutionen reden.
Das liegt daran, dass ich halt in dieser Vorlesung
keinen anderen Typ von Ersetzung oder Substitutionen betrachten werde.
Substitutionen sind rekursiv definierte Funktionen, die Formeln auf Formeln abbilden.
Ja, wir hatten ja schon verschiedene Typen rekursiver Funktionen kennengelernt.
Dieses ist jetzt eine Variante, die Formeln auf Formeln abbildet.
Und weil das eben hier sozusagen allein auf der Ebene
der Formeln aufgrund der syntaktischen Strukturen passiert,
werde ich diese Funktion auch immer blau darstellen,
um gewissermaßen dran zu erinnern.
Wir sind hier immer noch rein auf Ebene der Syntax und
der Formeln und nicht irgendwo bei Wahrheitswerten.
Rekursiv definiert bedeutet, dass wir einerseits sagen müssen,
was wird mit den Atomen gemacht, also den Aussagesymbolen.
Das heißt, Substitutionen,
Substitutionen geben wir immer an,
worauf werden die Aussagesymbole abgebildet
Ohne Substitutionen unterscheiden sich eben auch darin, dass sie unterschiedliche Abbildungsvorschriften hier haben können.
Dann aber ist die Fortsetzung dieser Abbildung auf komplex gebildete Formen wieder einheitlich.
Und zwar dahingehend, dass alles, was an Struktur da ist,
in Bezug auf die Junktoren letztlich erhalten bleibt.
Und das wird dadurch geregelt, dass man sagt,
also wenn wir die Negation einer Formel durch die Substitutionen bearbeiten,
dann tun wir das, indem wir die Formel selber,
die Funktion, Substitution auf die Formel selber anwenden und dann einfach die Negationen wieder davor schreiben.
Ja, also gewissermaßen, wir schaufeln einfach die Negationen nach außen
und wenden dann die Substitutionsfunktionen auf die Formel, auf die eingebettete Formel F an.
Und ganz genauso funktioniert es bei den binären Jungtoren. Also wenn ich die Konjunktion zweierformeln,
F und G habe und darauf die Substitution anwenden soll,
dann tue ich das,
indem ich sie auf F anwende, auf G anwende,
die Konjunktion dazwischen schreibe und die Klamotten wieder außen rum.
Also gewissermaßen erhalte ich alles an Struktur und gehe nur nach innen mit dieser Substitutionsfunktion,
wo ich dann am Ende irgendwann die Aussagensymbole erwische.
Und da passiert es dann wirklich da, wird das getan,
was eben für die Aussagesymbole jeweils geregelt ist.
Und für alle anderen binären Jungtoren ist das genauso.
Die Substitutionsfunktion geht einfach nach innen,
lässt die Struktur bestehen
Wenn wir eine Menge haben von Formeln, dann können wir
natürlich auf jede der Formeln auch die Substitution anwenden.
Und das schreibe ich dann eben entsprechend als Anwendung der Substitution
auf M. Ich mache es typografisch ein bisschen anders,
eben hier mit dem Fett und schwarz, um deutlich zu machen.
Hier sind wir jetzt auf Formel-Ebene. Ja,
durch diese Formel-Substitution wird jede Formel auf eine andere Formel oder auch sich selber,
ja, das kann auch passieren, dass da gar nichts verändert wird.
Aber auf jeden Fall auf eine Formel abgegebildet
Und letztlich passiert nichts anderes, als dass wir jedes Aussagesymbol durch eine entsprechende Formel ersetzen.
Und Uniformität bedeutet dabei, dass wenn dasselbe Aussagesymbol mehrfach vorkommt,
dann wird an jeder Stelle das Gleiche getan.
Die gleiche Funktion angewendet. Und es wird ersetzt.
Wenn Sie zurückblättern irgendwann in Bezug auf diese Ersetzungsregeln,
die wir für Äquivalenzersetzung haben, da war diese Uniformität nicht gefordert.
Da durfte man lokal an einer Stelle was ersetzen.
Hier in der Substitution muss es einheitlich passieren. Ja,
und wenn ich weiß,
wie die Aussagesymbole in einer Obstitution ersetzt werden sollen,
dann ist damit auch die Substitutionsfunktion eindeutig definiert,
da ja auf der Ebene der komplexen Formeln hier eine einheitliche und feste Vorschrift existiert,
was da passieren darf.
Ihr noch mal ein Beispiel oder eine Reihe von Beispielen,
wir haben hier eine Formel F,
das ist C- und D impliziert C, mit diesem Strukturbau,
ja, also die Konjunktion C&D ist eingebettet hier unter der Implikation,
wie das zweite C.
Und wenn wir jetzt drei verschiedene Substitutionen darauf anwenden,
kriegen wir als Resultat auf drei verschiedene Formeln.
Und die Varianten, die ich hier mal dargestellt habe,
ist einerseits das C zu ersetzen durch A oder B
und das D zu ersetzen durch A und B.
Und dann erhalten wir als Formel hier die Formel A oder B und A und B,
impliziert A oder B. Ja,
und das können Sie natürlich ganz gut matchen hier auf die Originalformel,
ja,
überall wo C stand,
steht jetzt A oder B,
überall wo D stand
Ja, und B. Man kann aber natürlich auch in so
einer Substitution verschiedene Symbole, wie das C und das D,
auf ein gemeinsames einheitliches Symbol abbilden. Nämlich hier das A. Ja,
also hier soll C auf A abgebildet werden,
B auf A abgebildet werden und dann erhalten wir die Formel A und B,
E, A und A,
dann A. Oder man kann auch sowas machen wie ein Vertauschen von Aussagesymbolen.
Also hier wird gesagt, C soll auf D
abgebildet werden und D soll auf C abgebildet werden
Und dann halte ich halt als Resultat D und C impliziert D.
Was allen diesen Formeln gemeinsam ist, ist auf der einen Seite
hier die obere Struktur von Implikationen und Konjunktionen im Strukturbaum.
Das Muster haben wir in all diesen Formeln jetzt vorliegen,
weiterhin. Und diese Struktur, die kann auch durch Substitutionen
nie zerstört werden. Was passieren kann, ist,
dass Struktur ergänzt wird
Da die Blätter, die originalen Blätter im Baum,
ja ersetzt werden können durch komplexe Formen, wie hier im ersten Beispiel.
Ja, da wird die Struktur reicher. Aber sie kann
niemals ärmer werden. Weiterhin haben wir hier einheitlich,
dass da, wo in der Originalformel,
eine Formel Wiederholung war, wie dieses C,
das zweimal vorkam,
haben wir auch in dem Resultat
entsprechende Wiederholungen von Teilformel
Aber es kann eben auch passieren,
dass im Resultat Formeln identifiziert werden oder gleiche Teilformeln auftauchen,
wie hier das A in diesen Positionen, die hier alle gleich sind,
die aber im Original noch differenziert waren in C und D.
Ja, wenn wir die Substitution auf Formeln Mengen anwenden,
hier unten nochmal ein Beispiel,
in TLC und die impliziert C, also genau das,
was wir hier oben hatten und zusätzlich noch C und D impliziert D.
Und wenn wir darauf jetzt dieselbe Substitution anwenden, dann erhalten wir halt auch wieder eine Formelmenge.
Aber es kann natürlich passieren, dass wir so einen Effekt erhalten,
wie hier im zweiten Fall, dass nämlich beide Formen auf dieselbe Resultatsformel abgebildet werden.
Einfach der Unterschied war hier vorne ja einfach,
dass bei der einen mal C,
bei der anderen D stand, da wird C und D,
bei der Substitution 2, beide auf A abbilden,
verschwindet dieser Unterschied und wir halten nur noch eine Formel.
Das heißt also, nach so Situationen kann in der Resultatsmenge
können weniger Elemente drin sein als im Original.
Es können nicht mehr werden, weil wir nur eine Substitution anwenden,
aber es können sozusagen Verschmelzungen auftauchen,
dass das Gleiche rauskommt und dann werden es halt unter Umständen weniger.
Gut. Okay, also das ist jetzt das Mittel,
was wir verwenden werden, um Muster zu identifizieren,
in Formelmengen und darauf aufbauend eben Verfahren definieren,
um die Folgerung syntaktisch zu rekonstruieren
Gucken wir uns zunächst mal an, was überhaupt semantisch passiert,
wenn dir so eine Substitution anwenden. Und hier zunächst mal in Bezug auf Formeln,
die semantischen, konstantes Verhalten haben, also insbesondere allgemeingültige Formeln.
Also Formeln, die unter allen Belegungen wahr werden.
Wenn wir so eine Formel haben und darauf eine Substitution anwenden,
Dann können wir feststellen, dass das Resultat auch auf jeden Fall eine allgemeingültige Formel ist. Wenn wir mal zurückgehen,
unser Beispiel, ja, hier haben wir so einen Fall,
A und B, E-A, Entschuldigung,
C und B impliziert C, das ist eine Tautologie,
ja, Benzi gilt und zusätzlich noch, die gilt natürlich C und ja,
das entsprechende gilt dann auch für alle Substitutionen davon,
die Ja, sozusagen weitere Differenzierungen vornehmen können an diesen Positionen,
die hier durch C und Demarkiert sind,
aber eben die obere Struktur erhalten.
Man kann das natürlich auch beweisen, indem man zeigt,
dass wenn man eine beliebige Belegung hat,
die man auf die Substitution von F anwenden möchte,
dass man dann das gewissermaßen gemeinsame Verhalten dieser Belegung und der Substitution simulieren kann,
durch eine andere Substitution A-Strich, die man auf F anwendet.
Und da wir wissen, dass F selber eine allgemeingültige Formel ist,
wissen wir dann auch, dass diese simulierende Belegung auch nur wahr liefern kann.
Und das heißt, dass unsere Belegung angewendet auf die Substitution
dann auch entsprechend den Wahrheitswert eins liefern muss
Für diese Formel. Allerdings gilt die Umkehrung nicht,
also wenn ich eine Substitution anwende auf eine Formel und dann
kriege ich eine Tautologie heraus, dann heißt das nicht unbedingt,
dass die Originalformel schon eine Tautologie war.
Beispiel hier, A oder B ist natürlich nicht allgemeingültig,
die kann falsch werden. Wenn ich jetzt aber A
durch sich selbst ersetze und B durch Nicht-A ersetze,
erhalte ich A oder nicht A und das ist eine
allgemeingültige Formel
Gut. Wie gesagt, interessieren uns Tautologien, naja,
vielleicht auch mal als so ein Beispiel,
aber eigentlich sind wir an anderen,
an interessanten Beschreibungen der Welt interessiert und das machen wir halt nicht mit Tautologien,
aber das, wofür eben jetzt Substitutionen verwendet werden,
ist ja sowas wie Inferenzregeln zu definieren,
Regeln,
mit denen wir schließen können und die das eben aufgrund
rein syntaktischer Muster tun
Inferenzregeln werden dargestellt in dieser Form. Wir haben eine Sequenz von Formeln,
die schreiben wir über einen Strich und da drunter schreiben wir
eine Formel und das steht dann für die Regel, die sagt,
wenn nicht, das muss der F1 bis FN vorliegen,
habe, dann darf ich auf die Formel geh schließen.
Es gibt noch eine andere Notation,
die man vielleicht mal findet, hier mit diesem Drei-Punkt-Symbol,
auch wieder hier die Sequenz F1 bis FN
Das Trennsymbol und geh. Und das ist auch eine alternative Schreibweise
einfach für Regeln. Wir werden aber diese Balkennotation oder Bruchnotation
bevorzugen. Das wichtigste Beispiel, das Sie kennen müssen,
an Inferenzregeln. Das ist der sogenannte Modus Pohnens,
der sagt, wenn ich folgendes Muster vorliegen habe,
ich habe eine Formel A und die Formel A impliziert B,
dann darf ich auf das B schließen
Diese werden wir präferiert als Beispiel immer verwenden, weil sie
eben auch einen besonderen Stellenwert hat letztlich in der Logik.
Inferenzregeln sind keine Formeln, sondern sie sind dafür da, Muster in Formelmengen zu spezifizieren.
Und man kann sie als sowas wie Ableitungs- und Schlussfiguren auffassen.
Wir verwenden hier Formeln als Komponenten in diesen Regeln.
Andere Logiker machen das ein bisschen anders, indem sie Ja,
sozusagen eine zweite Sprache definieren, in denen nicht Aussage,
Symbole auftauchen, sondern eine andere Sorte von Variablensymbolen.
Aber wir haben uns entschlossen, diese Variante zu wählen,
weil wir sozusagen die Inflation der Sprachen, mit denen wir arbeiten, damit eindämmen.
Und es geht eben auch genauso gut mit dieser Variante.
Ja, wenn Sie aber ein anderes Logikbuch gucken,
könnte es mal passieren, dass Sie merken,
jetzt tauchen plötzlich gar nicht Aussagesymbole in den Regeln auf,
sondern andere Symbole.
Ja, das hat keine große Bedeutung,
macht keinen großen Unterschied
Regeln möchte man natürlich anwenden. Und dafür sind es natürlich auch da.
Sie sind eben als Ableitungs- und Schlussfiguren aufzufassen oder Muster,
wie ich es oft gesagt habe. Was heißt es jetzt,
dass ein Muster erkannt werden kann oder ein Muster von Formen in einer Formelmenge vorliegt?
Nun, das ist genau der Punkt, wo wir die Substitutionen einsetzen.
Es geht nicht darum, exakt die Formeln,
die in der Regel drin stehen, wiederzufinden in einer Menge,
sondern Varianten dieser Formen, die wir erhalten,
indem wir die Substitution darauf anwenden, auf die Formeln.
Und wichtig dabei ist, dass wir auf alle Formen,
die in der Regel stehen, immer dieselbe Substitution anwenden.
Gut, also wenn wir so eine Regel haben und eine Substitutionsfunktion,
dann können wir alle diese Formeln abbilden mit der Substitutionsfunktion auf neue Formeln
Und dann können wir prüfen, ist das Resultat dieser Funktionsanwendung
eigentlich Teilmenge unserer Menge M. Und wenn das der Fall ist,
dann können wir sagen, hallo, hier Muster erkannt.
Und tatsächlich die Regel anwenden. Und anwenden der Regel heißt jetzt einfach zu sagen,
wenn ich jetzt die Substitution anwende auf das Gehe,
das hier ja unterm Strich der Regel steht,
dann ist das die Formel,
die ich abgeleitet habe,
die ich erschlossen habe mit dieser Regel
Ja, das ist sozusagen der Mechanismus,
jetzt Muster zu identifizieren, in Formelmengen und daraufhin Formeln abzuleiten.
Wir schreiben diese Ableitung jetzt auch wieder mit so einem Hammersymbol,
ein senkrechter Strich und darin ein waagerechter Strich,
das ist im Gegensatz zu dem Symbol mit zwei waagerechten Strichen,
was ja für Folgerung und Modell und so weiter steht,
das ist jetzt ein Ableitungssymbol und da können wir dann auch
noch die Regel dran notieren und sagen,
mit dieser Regel abgeleitet
Beispiele, ja, unser Modus Polens, hier als die Regel,
die wir jetzt in verschiedenen Situationen anwenden wollen.
Wir haben eine Menge M1, die besteht aus einem A,
dann der Formel A, impliziert B und der Formel A impliziert C.
So, und der einfachste Fall ist nun der,
wo wir die Substitution bilden, die identische Substitution,
die A auf A und B auf B abbildet,
die ist natürlich
auch zulässig
Und wenn wir die anwenden auf das,
was wir hier in den Prämissen haben, unserer Inferenzregel,
dann erhalten wir natürlich auch genau das wieder zurück.
A und A impliziert B. Und das ist jetzt diese Menge
von Formeln, finden wir in M1 tatsächlich vorhanden.
Und dann können wir eben sagen, okay,
dann dürfen wir mit dem Modus Polens von M1
auf die Formel W schließen.
Ja,
das ist sozusagen der allereinfachste Fall
Wir haben aber noch eine andere Möglichkeit. Auch diese Regel anzuwenden in Bezug auf M1,
denn wir haben ja noch eine Formel hier, A,
impliziert C, die auch die Implikation enthält.
Und wir können auch eine Substitution bilden,
die wieder A auf A abbildet,
nun aber das B auf C abbildet,
dann erhalten wir angewendet auf die Prämissen, die Formel A und A impliziert C.
Die sind wieder in M1 enthalten, also dürfen wir
auch auf C schließen mit dem Modus Bohnens
So, und um es ein bisschen komplexer zu machen,
hier nochmal das Beispiel M3. Hier haben wir in unserer Formelmenge
die Formel A und B. Wir haben die Formel A und B impliziert,
nicht C oder D.
Und natürlich können wir auch hier wieder den Modus Punens anwenden.
Wir müssen dafür das A auf A und B abbilden.
Das B auf Nichts sehen oder D abbilden und dann finden wir,
wenn wir das, diese Substitution auf die Prämissen anwenden,
dann finden wir, dass die Resultatsmenge Enthalten ist im M3 oder in diesem Fall sogar gerade unser M3 gibt.
Das heißt, hier dürfen wir auf nicht C oder D schließen.
Mit dem Modus Ponens. Der Modus Ponens ist deshalb
so wichtig, weil er halt in verschiedensten Beweissystemen auftaucht.
Und er taucht insbesondere deshalb drauf. Nicht nur,
aber auch deshalb auch, weil er korrekt ist.
Was heißt korrekt? Korrekt heißt, er kann nichts kaputt machen.
Oder ich sage auch gerne, er macht nichts falsch.
In dem Sinne, dass er eben Keine, ja,
falsch, oder keine Formeln in eine Formelmenge einflügt,
die falsch sind in Konstellationen, wo die anderen wahr sind.
Sprich, wenn wir eine Ableitung machen, also diese Muster,
ah, impliziert B, finden und dann auf B schließen,
dann folgt auch tatsächlich die Formel,
die wir erschlossen haben,
aus den Formeln,
die wir hineingetan haben
Und das kann man hier eben wieder ganz gut an der Wahrheitskafel sehen.
Also das F steht jetzt hier für das,
was sich durch Substitution aus A erzeuge.
Das G steht für das, was ich durch Substitution aus B erzeuge.
Und dann ist natürlich F impliziert geht das,
was ich durch Substitution aus A impliziert B erzeuge.
Und wenn wir jetzt gucken,
in welchen Konstellationen sind F und F impliziert G beide wahr,
dann stellen wir fest,
das ist hier nur in der Zeile 4
der Fall
Und in der Zeitle ist halt auch G wahr.
Das heißt, wenn unsere Prämissen wahr sind,
dann ist auch die Conclusio wahr.
Der Modus Polens kann man sagen, erhält die Wahrheit.
Er macht selber nichts falsch von sich aus.
Und das ist halt eine ganz wichtige Eigenschaft von Inferenzregeln,
die halt von sich aus nichts
kaputt machen sollen
Das kann man dann natürlich auch generell auch formulieren,
also allgemein gesehen nicht nur für den Modus Pohnen,
sondern allgemein gesehen, heißt eine Inferenzregel dann korrekt,
wenn gilt, wann immer ich etwas mit der Regel ableiten kann,
dann ist das auch folgerbar.
Nichts hindert mich daran, eine inkorrekte Inferenzregel hinzuschreiben.
Ja, ich könnte einfach beispielsweise sowas schreiben.
Ja, wenn ich habe,
dann nicht
Niemand sagt, dass dieses inkorrekt formuliert sei oder so.
Nur, das wäre eine Regel, die nicht porrekt ist.
Und deshalb würde sie mir nichts nützen,
wenn ich ein Inferenzsystem bauen will. Gut. Ja,
man kann leicht sehen,
dass wenn man eine korrekte Regel hat und sie anwendet auf allgemeingültige Prämissen,
dann ist das,
was resultiert,
auch wieder allgemeingültig
Ja, das war ja bei der Folgerung auch so.
Wir haben gesagt, aus allgemeingültigen Formen oder Tortologien können wir
nur Tautoluquin folgern. Wenn wir korrekte Regeln haben,
dann heißt, dass eben das, was wir ableiten können,
ist auch folgerbar. Und das zeigt halt auch bei allgemeingültigen,
aus allgemeingültigen Formen können wir nur allgemeingültige Formeln ableiten
Gut. Hier einfach mal eine Sammlung weiterer korrekter Inferenzregeln einfach,
um deutlich zu machen, Modus Polens ist nicht das Einzige.
Ja, es gibt noch beliebig viele Regeln, die man hinschreiben kann,
die auch korrekt sind. Hier habe ich sozusagen eine Auswahl aufgeschrieben,
die auch irgendwann mal Namen gekriegt hat im Verlaufe der Logik-Historie.
Sie dürfen sich gerne auf diese Folie schreiben, nicht auswendig lernen. Ja,
das ist nicht wichtig, die irgendwie alle zu kennen,
aber Ja, man kann sie sich mal eingucken und gucken,
sieht man eigentlich ein, dass das tatsächlich korrekte Inferenzregeln sind.
Die erste Variante, der Modus Tolens, das ist eine,
die noch relativ häufig auch in Beispielen auftaucht, oder der hypothetische Sylogismus,
ja, da ist sowas wie die Transitivität der Implikation,
wird da gewissermaßen thematisiert und so weiter.
Es gibt dann auch so hübsche Namen, wie konstruktives Dilemma,
ja, also wenn aber impliziert und CED impliziert,
dann und A oder C gelten,
dann gilt auch B oder D. Und so weiter.
Also die, es gibt eine ganze Familie von Regeln, als Einführungs- oder Löschungsregeln.
Ich habe hier die Konjunktionslöschung als ein Beispiel und die Konjunktionseinführung,
ja, das spricht eben immer davon, wenn ich ausgehe von Formeln,
eine Formel bilde, in der die Konjunktion dann enthalten ist,
die vorher noch nicht als Symbol da war,
dann ist das eine Einführungsregel
Und bei der Konjunktion muss man dann als Voraussetzung eben haben,
dass A und B beide für sich vorhanden sind,
bei der Disjunktionseinführung, da reicht es,
eine der Komponenten zu haben und dann darf ich eben auch irgendetwas disjunktiv hinzufügen.
Okay, also Message hier,
es gibt noch ganz viele andere korrekte Inferenzregeln und wenn man Ableitungsverfahren definieren will,
dann hat man sozusagen die Qual der Wahl und muss sich entscheiden,
welches ist jetzt eigentlich die geeignete Menge von Regeln,
die das tut,
was wir machen wollen
Korrektheit ist die eine Seite, die schwierigere Seite wird es sein zu sagen.
Und jetzt habe ich tatsächlich genug Regeln. Jetzt kann ich
alles, was ich will, auch kriegen. Ja,
Ableitung haben wir nun zunächst mal als einschrittige Ableitung mit einer
Regel eingeführt. Das macht uns natürlich noch kein System,
sondern da müssen wir natürlich noch mehr machen.
Einerseits kann es eben sein, dass uns eine Regel nicht ausreicht,
dass wir eine ganze Menge von Regeln brauchen,
um unser Ziel zu erreichen.
Und auf der anderen Seite kann es sein,
dass es uns nicht reicht,
einen Schritt zu gehen
Sondern dass wir halt zu unserem Ziel mehrere Schritte machen müssen.
Und deshalb verallgemeinern wir jetzt wieder die Ableitung von der einschrittigen Ableitung zu
der generellen Ableitung, die eben beliebig viele Schritte erlaubt.
Wie ihnen vielleicht aufgefallen ist, haben wir hier wieder die Begrifflichkeit Regelableitung,
die wir ja auch in den Grammatiken hatten,
da haben wir ja auch kontextfreie Grammatiken gehabt,
die hatten Regeln und wir haben Ableitungen gemacht.
Jetzt sind wir in der Logik,
wir haben Wiederregeln und machen Ableitung, aber man sollte aufpassen,
diese Dinge ein bisschen zu trennen,
Die Regeln durchaus von unterschiedlichen Charakter sind.
Und wir auch andere Zielsetzungen haben. Ich gehe nochmal zurück
zu den Regeln von eben. Und sozusagen auf die Unterschiede
auch nochmal aufmerksam zu machen. Und zwar ist charakteristisch für logisch Logikregeln,
dass sie mehr als eine Prämisse haben können, um dann irgendetwas zu erzeugen.
Wenn sie sich die Grammatikregeln in der kontextfreien Grammatik angucken,
dort ist es so, dass das, woraus sie ableiten,
immer ein Non-Terminal-Symbol ist.
Da können sie dann hinterher beliebiges Wort von ableiten, je nach Regel.
Aber die Prämisse ist eben sehr einfach, ein Non-Terminal-Symbol.
Hier ist das anders. Hier haben wir sehr viel komplexere Konstellationen,
nicht beim konstruktiven Dilemma beispielsweise,
eine recht komplexe Konstellation an Voraussetzung,
aus der
wir dann ableiten
Gut, aber ansonsten ist natürlich diese mehrschrittige Ableitung ja durchaus
vergleichbar auch mehrschrittige Ableitung aus den Grammatiken,
wobei wir hier immer auf Ebenen von Mengen reden,
also wir haben eine Menge von Formeln, Leiten,
daraus neue Formeln ab.
In einem Schritt und dürfen dann in nachfolgenden Schritten
zugreifen auf die ursprünglichen Formen oder auf das,
was wir im ersten Schritt abgeleitet haben
Wir akkumulieren gewissermaßen Formeln und dürfen Resultate verschiedener Stadien
der Ableitung in späteren Schritten dann wieder kombinieren. Ja,
und um das Ganze sozusagen zusammenzufassen,
bildet man hier auch wieder sozusagen die Vereinigung über alle Ableitungen,
die man mit endlich vielen Schritten bilden kann,
als die Gesamtmenge der ableitbaren Formen aus einer Menge
Gut,
und wenn wir ausgehend von einer Regelmenge R Ableitung bilden und dabei sicherstellen können,
dass alle Inferenzregeln in dieser Menge R korrekt sind,
dann wird auch durch die Iteration der Ableitung,
durch das Mehrfache Ableiten, die Folgerbarkeit nicht kaputt gemacht werden.
Also dann können wir auch garantieren,
dass das, was wir insgesamt ableiten,
auch folgerbar ist
Regeln sind ein Teil für einen sogenannten Logikalkül,
brauchen wir unter Umständen noch mehr.
Kalküle werden definiert, einerseits immer bezogen auf einer Sprache,
auf eine Sprache, hier unsere Logiksprache, der Aussagenlogik.
Und können dann bestehen, einerseits aus den Regeln,
so wie wir sie eben dargestellt haben.
Und dann kommen unter Umständen noch Aktionen hinzu.
Aktione sind einfach Formeln
Im Idealfall geeignete Formel, richtige Formeln, aber darauf werde ich noch eingehen.
Zunächst will ich definieren, was Ableitung in Bezug auf einen Kalkül heißt.
Wenn ich ein Kalkül habe in der Aussagenlogik und eine Formelmenge,
dann kann ich eine Formel gehe,
ableiten aus der Formelmenge mit dem Kalkül, genau dann,
wenn ich eine endliche Folge von Formeln bilden kann,
Wobei das letzte Glied dieser Formel in dieser Sequenz gerade das G ist,
das wir haben wollen.
Und diese Sequenz dann noch folgenden Kriterien genügt.
Also was vorkommen darf in dieser Sequenz, sind einerseits die
Elemente der Formelmenge. Ich darf aufnehmen aus den Aktionen,
die ich habe in meinem Kalkül, nicht nur die Aktionen selber,
sondern auch wieder Formeln, die ich gewinne,
indem ich Substitutionen auf die Aktion anwende
Und ich kann halt mit den Inferenzregeln schließen, wobei ich hier beachten muss,
dass ich immer nur das verwenden darf, was schon da ist.
Ja, also wenn ich im Schritt K mit einer Regel
eine Formel FK ableiten will, dann muss das Material,
aus dem ich das ableiten kann,
schon in der Sequenz 1 bis K minus 1 drinstecken.
Ich darf nicht vorgreifen bei den Schritten
Gut, und wenn man so eine Sequenz bilden kann,
dann nennt man das auch eine Ableitung von G. Ja,
und diese Sequenzen sind sowas wie eben die direkten Beweise für
die Formel G auf Basis der Menge M. Wir haben,
wir erreichen tatsächlich am Schluss unser G,
das wir hier ableiten wollen.
Hier mal ein Beispiel. Meine Menge M besteht aus
folgenden Formeln oder
A oder B, impliziert C, C impliziert D,
und D, impliziert eh. Und der Kalkül, nun,
ich habe mir mal die Aktionen gespart, das ist einfach die leere Menge.
Und als Regel habe ich auch nur den Modus Pohnens.
Und dann kann man mal gucken, was kann man hier ableiten.
Und ja, so eine Ableitung ist jetzt eine Sequenz von Formeln,
die habe ich hier mit weißem Hintergrund dargestellt.
Das ist jetzt meine Ableitung. Und sozusagen als Dekoration drumherum
habe ich noch ein bisschen was geschrieben,
um jeweils zu begründen, dass es auch tatsächlich korrekt ist,
diese Formel in diesem Schritt, in die Ableitung einzufügen.
Im ersten Schritt habe ich mir einfach eine Formel aus M genommen,
nämlich das A oder B. Das Gleiche habe ich im zweiten Schritt gemacht,
wieder eine Formel aus M, A oder B impliziert C.
Im dritten Schritt habe ich jetzt den Modus Bohnens angewendet,
denn wir sehen ja,
wir haben hier eine Implikation in der zweiten Zeile und das,
was vor dem Fall steht,
Das haben wir auch als eigenständige Formel vorher schon in unserer Ableitung enthalten.
Und dazu notiert ist auch noch die Substitution,
die ich auf den Modus Brunnens anwenden muss,
um tatsächlich die Regel dann entsprechend anzuwenden.
Das Resultat ist dann hier einfach das C. Jetzt kann ich
mir im vierten Schritt wieder eine Formel aus M nehmen.
Das ist jetzt C impliziert D. Und im nächsten Schritt wird wieder mal
der Modus Polens angewendet. Hier natürlich mit einer anderen Substitution,
sodass ich aus C implizierte und, Entschuldigung,
C implizierte und C dann das D erhalte. Naja,
und das kann nicht ganz entsprechend dann mit der Formel deimpliziert eh auch machen,
die ich hier in die Ableitung aufnehmen kann und dann entsprechend
wieder mit dem Modus Polens die beiden kombinieren kann zu eh
Im Endeffekt haben wir also mit unserem Beispiel Kalkül hier gezeigt,
aus der Formelmenge M, kann ich das E ableiten.
Gut, bei diesem Beweis wurde nicht auf Aktionme zurückgegriffen,
weil ich gar keine Aktionme hier in dieser Form,
in diesem Kalkül drin habe.
Ja. Was kann man jetzt feststellen in Bezug auf Eigenschaften
der Ableitbarkeit
Nun zunächst mal die Elemente von M beziehungsweise die Aktion aus
dem Kalkül, die sind natürlich ableitbar.
Und wenn wir Formelmengen haben, M1 und M2,
wobei M1 eine Teilmenge ist von M2,
dann gilt natürlich,
dass wenn ich aus M1 etwas ableiten kann mit dem Kalkül,
dann kann ich es
auch aus M2 ableiten
Denn es ist ja nie sowas gewesen, dass man
gefragt hätte, ist eine Formel nicht enthalten oder so.
Ja, es ist ja immer nur gefragt worden,
ist die Formel enthalten, wenn sie enthalten ist,
darf ich was tun?
Wenn ich mir Formeln zur Verfügung habe, wird das natürlich nicht kaputt gemacht.
Dann kann ich immer noch mit den Formeln arbeiten,
die ich vorher auch hatte.
Das heißt, auch in der Ableitung haben wir ein monotones Verhalten.
Zusätzliche Formeln machen uns nichts kaputt
Ja, und dann war die Definition,
wenn wir nochmal zurückgehen, die sagte ja auch wieder nur,
M ist eine Formelmenge, sagte nichts über Endlichkeit.
Ja, was heißt das jetzt für unendliche Formelmengen?
Nun, bei unendlichen Formelmengen können wir feststellen,
auch da sind die Beweise ja immer endlich lang.
Wir müssen irgendwie immer ein kleines N haben, sodass die Sequenz nur N-Formeln enthält.
Dass wir also unendlich viele Formeln zur Verfügung haben,
tangiert uns an der Stelle gar nicht.
Es kann die Länge des Beweises nicht beeinflussen. Das heißt,
wenn ich unendlich viele Formeln zur Verfügung habe,
sind meine Beweise immer noch endlich. Das heißt,
aus unendlichen Formelmengen kann man auch wieder nichts grundsätzlich anderes machen als bei endlichen.
Da können wir nur sagen, Glück gehabt,
dass das bei der Folgerung nicht anders war,
wäre das bei der Folgerung anders gewesen,
dann könnten wir jetzt schon gleich aufhören und sagen,
damit können wir
nichts anfangen
Weil Ableitbarkeit halt beschränkt ist, darauf immer nur endliche Dinge behandeln zu können.
Da wir aber beim letzten Mal gesehen haben,
grundsätzlich reicht das für die Folgerung aus,
können wir Hoffnung haben zu sagen,
mit solchen syntaktischen Verfahren ist es grundsätzlich möglich,
auch auf der semantischen Ebene oder Berechnung für die semantische Ebene anzustellen.
Gut, kommen wir zum Thema Aktionen. Ja,
das Wort Aktion kommt natürlich aus dem Griechischen,
wie vieles in der Logik
Es bezeichnet einen Satz, der keines Beweises bedarf,
beziehungsweise wie Euklitis formuliert hat, ein logischer Satz, den kein vernünftiger bezweifelt.
In der Aussagenlogik spielen oder generell in der Logik spielen Axiome
im Wesentlichen eine Rolle im Kontext von solchen Beweisverfahren,
nämlich als Basismuster,
die nicht regelhaften Charakter haben,
sondern einfach sozusagen als grundsätzliches Muster
in einer Formel erkannt werden können
Wenn wir uns die Definition der Ableitung angucken,
die er sagt, wir können Aktionen verwenden,
wir können die Elemente einer gegebenen Menge verwenden oder wir können Regeln verwenden,
dann kann man feststellen, naja, wenn man Aktionen zur Verfügung hat,
dann ist es vielleicht gar nicht unbedingt notwendig,
so eine Menge zu haben,
die einem Material gibt für das Schließen.
Das heißt, wir können uns auch mit der Frage beschäftigen,
was heißt es eigentlich aus der leeren Menge abzuleiten
Und für Formeln, die mit einem Kalkül aus der leeren Menge ableitbar sind,
sagen wir auch, sie sind beweisbar in dem Kalkül.
Und naja, dann schenken wir uns gegebenenfalls auch das Aufschreiben
der leeren Menge vor diesem Ableitungssymbol und schreiben es einfach kurz,
sozusagen, geh, ist Beweis bei Imperfül C, mit diesem Ableitungssymbol.
Manchmal bezeichnet man Formeln, die beweisbar sind,
eben ohne, das Rückgriff auf so eine Menge M,
als Theoreme des Kalküls
Ähm... Ja, und die Ableitung,
die eben verwendet werden in solchen Kontexten,
die nur auf Aktionen und Regeln zurückgreifen,
die werden dann als formaler Beweis im Kalkül bezeichnet.
Ja, also da ist die Logik jetzt an dem Punkt,
wo sie sagt, hier haben wir eine Theorie darüber,
wie sind Beweise idealerweise strukturiert.
Ja, über dieses idealerweise können wir gleich noch diskutieren.
Da haben formale Systeme und Menschen
unter Umständen
unterschiedliche Perspektiven drauf
Gut, gucken wir uns doch mal an, wie solche Aktionen aussehen können,
die man in ein Kalkül hineinsteckt und hier als Beispiel, ja, Hilbert-Systemen. Ja,
es ist eigentlich schwierig zu sagen, das Hilbert-System,
weil es sozusagen verschiedene Varianten gibt, Hilbert war ein Logiker,
der es als erstes geschafft hat, überhaupt einen Logikkalkül zu definieren,
allein aufgrund formaler Mittel, von denen gezeigt werden konnte,
dass er korrekt war und nicht nur das,
sondern dass man alles, was man beweisen will,
auch mit diesem Kalkül beweisen kann.
Vollständigkeit. Und das ist sozusagen eine große Tat,
sozusagen in Bezug auf die Logik.
Nichtsdestotrotz sind Hilbert Kalküle für mich nicht gerade die tollsten Beweissysteme.
Und von mir wird es keine Aufgabe geben,
beweisen Sie im Hilbert Kalkül,
weil ich das selber nicht kann
Okay. Trotzdem können wir uns mal angucken, wie so
ein System aussieht. Charakteristisch für Hilbert Beweissysteme ist,
also es sind direkte Verfahren,
wir bauen Sequenzen von Formeln auf und sagen dann am Schluss hier,
wir haben den Beweis für die letzte Formel der Sequenz.
Und typisch ist, dass es nur eine einzige Regel gibt im Hilbert-System.
Und das ist eben gerade der Modus Polens.
Es gibt andere Kalköle, die führen 20 Regeln ein
Herr Kühl des natürlichen Schließens. Es dürfen auch 22 sein.
Ich habe nicht gezählt, ja, aber so viele, viele Regeln.
Auch solche Kalküle gibt es. Hilbert sagt, minimalistisch,
was die Regelmenge angibt, eine einzige Regel, muss sein.
Und dann nehmen wir den Modus Pohnens. Und alles andere
wird über Aktionen geregelt. Und in den Aktionen,
die ich hier aufgelistet habe, gibt es welche,
die allein des Implikationssymbol verwenden.
Und die bilden gewissermaßen das Herzstück des Silbertkalküls
Und dann... Und dann gibt es auch noch solche Aktionen,
die andere Jungtoren verwenden,
wie die Desjunktionen hier die Konjunktion und ja,
die sind nur dann nötig,
wenn man in seiner Sprache eben
auch die entsprechenden Jungtoren dabei hat
Aber sozusagen die wesentliche Arbeit kann man sagen,
werden durch die, mit der Implikation gebildet und Megation,
das ist auch noch entscheidend, hier H5,
das wäre auch noch eins, das wichtig ist.
Denn allein mit der Implikation kommt man halt nie aus in einem Logiksystem,
man braucht wenigstens noch sowas wie die Negation zusätzlich.
Deshalb werden wir uns im Weiteren auch ein bisschen konzentrieren mit der Implikation.
Und wenn Sie mal nach Hilbertsystem googeln, ja,
da werden Sie wahrscheinlich auch zunächst mal nur Aktionen finden,
die Implikation und Negation beinhalten
Es gibt auch dann verschiedene Varianten, die sie finden können,
aber darauf wird es nicht so sehr ankommen. Okay,
wenn wir uns jetzt mal diese Formeln mit der Implikation angucken,
ja, das erste ist, wenn A, dann,
wenn B, dann A, das ist, ja,
eine Formel, von der wir auch relativ leicht feststellen können,
das ist eine Tortologie, ja,
also wenn etwas gilt,
dann gilt es halt unter allen Voraussetzungen,
könnte man sagen.
Das zweite sieht schon recht kompliziert aus hier
Was aber da drin steckt, ist sozusagen eine verallgemeinerte Variante der Transitivität. Ja,
wenn sie sich hier dieses Mittelglied noch mal vereinfacht denken und das A wegdenken hier,
dann hätten sie, wenn A, dann B,
dann auch, wenn B, dann C, dann,
wenn A,
dann C. Und das hier ist jetzt noch mal ein bisschen aufgebläht.
Es macht das sozusagen noch ein bisschen schlagkräftiger, das Ganze,
aber es ist sozusagen vom Kern her so,
als wie die Transitivität.
Die anderen, die die Konjunktionen und Dissuktionen betreffen,
sind auch relativ leicht einzusehen, wenn A, dann,
wenn auf B, dann A und B oder wenn A,
dann A oder B und so weiter.
Okay, eine Reihe von Aktionen. Geil. Das,
wie gesagt, in den Kalkülen verwenden wir Aktionen nicht unbedingt
nur so pur, wie sie da stehen,
sondern genauso wie bei den Regeln dürfen wir Substitutionen verwenden,
um Andere Formeln daraus zu generieren.
Also unsere erste Aktion A impliziert, B impliziert A,
das stellt sich selber bereit für Beweise natürlich.
Aber auch alle möglichen Varianten, die wir bekommen,
indem wir die Aussagesymbole entsprechend substituieren.
Wie gesagt, die Substitutionen sind immer Uniform.
Das heißt, hier kommt das A zweimal vor.
Und bei den Substitutionen wird dann an diesen Positionen immer
das Gleiche eingesetzt
Gut. Aber, ja, man kann sich jetzt schon
leicht vorstellen, dass wir diese Sequenz von Formen,
die bereitgestellt haben, beliebig fortsetzen können.
Letztlich stellt jedes Aktion unendlich viele Formen bereit für einen Beweis,
die wir verwenden können. So, nehmen wir mal
ein Beispiel. Ein Beweis im Hilbert-Kalkül. Ich habe hier
zur Erinnerung nochmal diese beiden Aktione H1 und H2 angeschrieben,
weil wir die gleich auch verwenden werden
Ich gehe jetzt mal davon aus,
dass sie den Modus Polens schon langsam eingebrannt haben,
sozusagen den werden wir auch verwenden natürlich.
Ja, und jetzt können wir uns mal angucken,
diesen Beweis. Gucken wir mal auf die letzte Zeile.
In der letzten Zeile steht ja das drin, was wir beweisen.
Am Schluss kommen wir bei so einem schönen Satz an,
wie wenn die dann D. Ja,
bezweifelt hier sicherlich keiner,
dass das richtig ist
Der Beweis im Hilbert-Kaltül oder einen Beweis muss man sagen,
es gibt natürlich andere Varianten, erfordert fünf Schritte.
Und wir fangen natürlich mit dem kompliziertesten Aktionen an,
das wir zur Verfügung haben. Und substituieren darin für ARD,
für C auch D, für das B,
setzen wir aber ein deimpliziert D. Ja,
und dann kann man feststellen, das,
was hier steht,
haben wir aus dem HR2 gewonnen,
eben genau durch diese Substitutionsvorschrift
Die zweite Formel in unserem Beweis erkennen wir leicht wieder,
hier eine Variante von H1, nur dass wir sowohl für
A und B eben, dass die eingesetzt haben.
Nun, und jetzt können wir sehen,
dass wir tatsächlich auf 1 und 2 den Modus Polens anwenden können,
denn hier haben wir in einzelne Formeln mit der Implikation als Hauptoperator und das,
was vor der Implikation steht,
ist genau das,
was hier in der zweiten Zeile unseres Beweises steht
Das ist ein typischer Fall, wo wir den Modus Brunnens anwenden können.
Und hier ist noch mal aufgeschrieben, wie die Substitution in diesem Fall aussieht,
für das Aal-Modus-Ponent setzen wir diese Formel A&D impliziert,
die impliziert die und für B diesen Komplex möchte ich nicht mehr vorlesen.
Und das ist das, was wir rauskriegen, das steht wieder genau hier. Die vierte Formel,
nicht ganz so leicht zu erkennen, aber hier steht es ja,
auch wieder eine Variante von H1, Nur,
dass wir hier an der Position B,
das kompliziertere D impliziert D eingesetzt haben für A,
haben wir wieder D eingesetzt und wieder finden wir zwischen drei und vier dieses Verhältnis,
dass wir in drei eine Formel haben, Hauptoperator,
Implikation, davor steht eine Formel,
die wir zufällig hier in F4 auch stehen haben,
sodass wir das, was hinterm Fall steht,
in F3 dann ableiten können als vorne,
die wir in die fünfte Zeile schreiben,
de impliziert die
Und, ja, hier ist dann entsprechend wieder die Substitution angegeben,
die wir auf dem Modus Pohnens anwenden müssen, um das zu erhalten.
Ja, interessanterweise ist, dass der kürzeste bekannte Beweis für deimpliziert
D im Hilbert Kalkül. Und es macht vielleicht deutlich,
warum ich das als Beweisverfahren nicht so toll finde und so praktikabel finde,
insbesondere sieht man, dass man auf dem Weg zu so einer Formel,
in dem Ja, ein Aussagensymbol zweimal vorkommt, vorher riesige Formeln aufschreiben muss,
beispielsweise im ersten Fall haben wir das D9 mal stehen.
Plus dann die ganze logischen Zeichen und so weiter. Das heißt,
wenn man genial ist und damit beweisen kann,
ist es vielleicht wunderschön, aber zu zeigen,
dass man irgendetwas auf gar keinen Fall ableiten kann,
ist schon nicht trivial in dem System
Gibt's gut. Auch in heutigen Theorienbeweisern wird das Silber-System nicht eingesetzt.
Da haben sich andere Verfahren etabliert, die ja,
besser in der Lage ist, der Komplexität der Beweise Grenzen zu setzen.
Aber wie gesagt, die Meriten des Hilbert verkürzt sind einfach,
dass man das erste Mal mit so einem Kalkul zeigen konnte,
dass es überhaupt möglich ist,
Beweisverfahren zu definieren, mit denen alle formalen,
mit denen alle folgerbaren Formen auch tatsächlich einen Beweis finden können
Und diesen Schritt zu machen, das ist halt ganz entscheidend gewesen.
Wenn man das einmal gemacht hat, dann kennt man hinterher Prinzipien,
mit denen man es für andere auch machen kann und besser machen kann.
Gut, wenn wir uns jetzt angucken, ja,
wie sieht dieser formale Beweis aus und was wollen wir
als Menschen eigentlich von einem Beweis haben,
dann sehen wir dieser formale Beweis,
der weist eben ungeheure Details aus
Und dadurch, dass er so detailliert ist,
ist er eben beispielsweise auch relativ leicht, algorithmisch prüfbar.
Ja, also die Generierung, das ist halt nicht so einfach.
Aber wenn mir jemand so ein Ding gibt und sagt,
das ist ein Beweis, dann ist es relativ einfach,
nachzuprüfen, ob diese Sequenz von Formen tatsächlich den Bildungsrestriktionen genügt,
die angegeben waren.
Und wenn ich das nachgeprüft habe,
dann kann ich dem Resultat
halt auch vertrauen
Sie ist, auch wenn sie für den Menschen nicht direkt verständlich sind,
ja, also sozusagen, wenn jemand dann sagt, okay,
hier haben wir den Beweis, jetzt vertrauen wir dem Ergebnis auch.
Also, okay, in diesem Fall dempliziert D,
dem vertraue ich sowieso, ja,
aber ein Beweis dieser Form würde mich selten überzeugen davon,
ja, wenn ich mich von dem Tool überzeugt habe und rausgekriegt habe,
ja, es ist bewiesen, dann vertraue ich dem Gesamtsystem,
aber dieser Beweis, wird mein Verständnis nicht verbessern von dem Inhalt.
Ja, und wie gesagt, ich würde sagen, sie verschleiern die Beweisidee.
Ja, man sieht nur noch Details, aber nicht mehr
die große Linie. Normaler Beweis, wie wir ihn schreiben,
entweder auf den Folien der Vorlesung oder auch in den Übungsaufgaben,
der macht ihn durchaus größere Schritte. Er benutzt insbesondere andere Sätze und Hilfssätze,
also wenn sie sich überlegen, wie der Beweis sie definiert ist,
da wird nicht gesagt, wie man sowas wie einen Hilfssatz benutzt,
dass es kein Mechanismus im Hilbertsystem Wir benutzen verschiedene Inferenzregeln und ja,
man kann sagen, menschliche Beweise werden als korrekt angesehen,
wenn es grundsätzlich möglich ist,
die einzelnen Schritte eben als formale Beweise zu rekonstruieren.
Aber insbesondere sollten sie sich halt in der Detaillierung
immer nach dem Ansprechpartner richten und sie sind halt verständlich,
wenn die geeignete Detaillierung gewählt ist.
Gut, und grundsätzlich kam halt zwischen der Beweisidee und deren Ausführung
dann unterschieden werden
Aber solche Beweise, wie wir Menschen sich schreiben, sind nicht unbedingt algorithmisch prüfbar.
Ja, also ich werde nicht irgendwie Software schreiben können,
die mir das Korrigieren der Hausaufgaben erleichtert,
indem sie die von Menschen geschriebenen Beweise überprüft.
Da sind eben häufig Schritte oder werden Schritte gemacht,
die nicht so direkt alles formale Muster erkennbar sind.
Aber sozusagen die Idee, dass wir formale Beweise schreiben können.
Und die algorithmisch prüfen, das ist natürlich auch im Zeitalter
der sozusagen Softwaredistribution übers Internet. Und der Frage,
können wir dem eigentlich vertrauen, durchaus eine interessante Frage.
Da so etwas grundsätzlich möglich ist, ist es auch denkbar,
dass Software, die eben über solche Kanäle verteilt werden,
die nicht so unbedingt zuverlässig sind,
Dass diese Software aber beispielsweise mitten in einer Spezifikation und dem Beweis,
dass die Software der Spezifikation genügt, ausgeliefert werden.
Und dann muss man bei sich nur noch ein Verfahren haben,
das prüft, ob der Beweis eigentlich in Ordnung ist oder ob der irgendwie getürkt ist.
Wenn wir feststellen können, der Beweis,
der hält unserer Prüfung stammt und die Spezifikation ist das,
was wir auch haben wollen.
Das ist die Leistung, die wir haben wollen.
Dann haben wir eine andere Basis, dem Ganzen zu vertrauen,
als wenn einfach nur irgendjemand geschrieben hat,
hier tolle Software
Ja, sodass durchaus wir Divisionen haben können,
dass irgendwann Bibliotheken verifiziert, ausgeliefert werden, inklusive der Beweise.
Und wenn die Beweise dabei sind, dann können wir sie eben selber prüfen.
Oder selber die Software schreiben, die sie prüft.
Ja, ich möchte mich als Menschen nicht hinsetzen,
solche Beweise prüfen, klar.
Aber ich kann eben das auch wieder mit Software machen.
Und das ist viel einfacher als selber irgendwie fremde Software zu versuchen,
zu verifizieren und zu prüfen,
kann ich
einen Beweis finden
Okay, ich hatte es schon angedeutet,
für solche weiß-kalküle gibt es grundsätzlich zwei wichtige Qualitätskriterien.
Das eine ist die Korrektheit und das andere ist die Vollständigkeit.
Also korrekt, Teil teils, wenn ich was ableite,
dann ist das auch in Ordnung, dann ist es auch folgerbar.
Ich habe sie jetzt ein bisschen differenziert mit A und B, A für Ableitung
B für Beweis. Einfach weil man grundsätzlich sagen könnte,
es könnten unterschiedliche Dinge sein in Bezug auf Vollständigkeit werden wir auch sehen,
dass es schon einen Unterschied machen könnte an einer bestimmten Stelle.
Also als Ableitungskorrekt bezeichne ich jetzt etwas,
wo jede ableitbare Formel auch folgerbar ist, als Beweiskorrekt,
hätten wir eine, wo jede aus der leeren Menge ableitbare Formel auch eine Tautologie ist.
Ja, offensichtlich ist, wenn etwas ableitungskorrekt ist,
dann ist es auch Beweis korrekt,
denn wir können ja hier einfach für M die leere Menge einsetzen und wir wissen,
die aus der näheren Menge folgerbaren Formeln sind, gerade die Tautologie.
Korrektheit ist im Allgemeinen relativ einfach, nachzuweisen für einen Kalkül.
Schwieriger ist es, wie gesagt, mit der Vollständigkeit.
Vollständigkeit, hier wieder differenziert in Bezug auf Ableitung und Beweis
. Also ableitungsvollständigkeit gilt, wenn ich immer oder wenn
jede Formel die Folge da ist aus einer Menge M,
auch mit dem Kalkül,
den ich betrachte,
ableitbar ist
Und beweisvollständig soll heißen, ein Kalkül, für den gilt,
dass wir alle Tautologien auch für alle Tautologien einen Beweis finden können.
In Bezug auf Widerlegungssysteme werden wir dann entsprechend angepasste Charakterisierungen auch noch ergänzen.
Ja, die Differenzierung habe ich vor allem deshalb gemacht,
um in Bezug auf den letzten Schritt,
den ich machen will, Deduktionstheorien, deren Stellenwert anzugeben.
Denn, ja, der Stellenwert ist insbesondere, liegt darin,
die Beziehung zwischen B-Korrektheit und A-Korrektheit darzustellen. Also,
wenn ich ein Kalkül habe, von dem weiß ich,
dass er nur Tautologien ableiten lässt und ich möchte jetzt erlauben,
dass sich eben weitere Formen oder eine Formelmenge M ergänze und möchte halt dann sagen,
und dann kriege ich auch nur folgerbare Formeln draus,
aus dieser Menge M folgerbare Formen.
Diesen Schritt zu machen von der B-Korrektheit zur A-Korrektheit.
Dafür kann man eben das Deduktionstheorium verwenden. Ja, das Deduktionstheorium,
das besagt, wenn ich eine Formelmenge habe, und zwei Formeln, F&G.
Und ich kann aus M zusammen mit F, gehe ableiten,
dann kann ich auch die Implikation F impliziert gehen,
aus meiner M-Menge M ableiten. Ja,
also was ähnliches hatten wir ja auch schon für die Folgerung gesehen,
dass man Prämissen von so einer Implikation auch mit in die
Annahmemenge hineinziehen kann oder auch nicht.
Also sozusagen hin und her
schieben kann
der Formel
Und hier gilt das entsprechende eben auch im Hilbert-Kalkül hinsichtlich der Ableitung.
Wenn wir jetzt uns den einfachen Fall nehmen,
dass M die leere Menge ist, dann sagt eben das Deduktionstheorie,
wenn nicht aus der Menge mit der Formel F,
geh ableiten kann,
dann ist F impliziert G
ein Theorie
Dieses Beispiel haben wir auch aufgenommen, um mal zu zeigen,
wie eigentlich Beweise über Beweissysteme aussehen. Und das ist das,
was man in Bezug auf das Silbersystem viel häufiger findet als Beweise im Hilbert-System.
Und zwar dahingehend, dass gesagt wird,
wenn wir eine Aussage über ein Beweissystem beweisen wollen,
dann tun wir das unter Umständen dahingehend,
dass wir ausgehend von Ableitung in dem System zeigen,
dass dann auch andere Ableitungen existieren, die gewisse Eigenschaften haben.
In diesem Fall wird es darum gehen,
ausgehend von einer Ableitung dieser Art,
also M zusammen mit F, daraus können wir G ableiten.
Wenn wir so eine Ableitung haben,
dann eine zweite Ableitung zu konstruieren,
die halt gerade zeigt,
dass F impliziert G
aus M ableitbar ist
Ja. Gut, also wir nehmen an, dass wir eine Ableitung haben.
Geh, wird abgeleitet aus M. zusammen mit F. Und das heißt ja,
wir haben eine Ableitung, deren letzte Position gerade das ist,
was wir ableiten wollen, nämlich das G. Und ja,
was wir dann tun müssen,
ist zu zeigen,
dass wir diese Ableitung umformen können zu einer Ableitung von
Impliziert gehe. Und das machen wir,
indem wir in jedem Schritt oder für jeden Schritt,
den wir in dieser Ableitung haben,
dieses F als Prämisse ergänzen und eine Ableitung konstruieren, wo eben immer solche Implikationen drinstehen.
Und dann ist es halt auch im letzten Schritt so.
Das Ganze passiert über Induktionen, über die Beweislänge. Und wie gesagt,
wir haben einen Beweis oder wir gucken uns jetzt einzeln die Beweisschritte ein an und müssen zeigen,
wenn es im ursprünglichen, der ursprünglichen Ableitung eine Formel drin steht in dieser,
diesem einen Schritt, dann können wir einen Beweis konstruieren,
deren letzter Schritt so eine Implikation ist.
Und wenn wir das gemacht haben,
also den gesamten Beweis, transformiert haben in einen Beweis,
der immer solche Implikationen beinhaltet und dabei zusätzlich eben das F
selber niemals verwendet als Prämisse, dann haben wir gezeigt,
dass man aus M eben F impliziert G ableiten kann.
Diese Transformation erfolgt nun, indem wir einen einzelnen Schritt des Originalbeweises
gegebenenfalls ersetzen durch eine Sequenz von Schritten unseres neuen Beweises.
Und wie man sehen wird, benutzen wir dabei eigentlich nur H1.
Vielleicht mal H2, ja, wir benutzen auch mal
H2 und Modus Ponend und sonst gar nichts
Weil uns ja auch nur die Implikationen interessiert hier.
Gut, gucken wir uns das am Anfang mal an.
Also wir sind jetzt in unserem Beweis an der ersten Stelle
und haben da ein G1 stehen und sollen jetzt zeigen,
dass dann auch F impliziert G1 ableitbar ist.
Da wir an der ersten Stelle sind,
kann es nur zwei Fälle geben,
entweder da steht ein Aktion oder beziehungsweise etwas,
was durch Substitutionen aus dem Aktionen generiert wurde
oder wir haben ein Element von M
dort stehen
Und im Zweiten der Menge. Und im zweiten Fall können wir noch differenzieren,
ist es wirklich M oder ist es das F, was da steht?
Ja, also, dass wir im ersten Schritt unseres Beweises
vielleicht schon das F als Annahme hineingebracht haben.
Okay, wenn wir in Aktionen stehen haben,
geh eins und wollen das dann umbauen zu einem Beweis für F impliziert G1.
Das heißt, wir führen eine unnötige Voraussetzung ein,
dann können wir das eben durch dieses Aktion H1 machen
Ja, das Aktion H1, das war ja A,
impliziert B, impliziert A. Hier eine Substitutionsvariante davon. Und
wenn wir das jetzt kombinieren mit der ersten Zeit, eine G1,
dann erhalten wir dieses F-Inpliziert G1. Wir haben einfach eine unnötige Voraussetzung eingeführt,
aber das erlaubt ja der Hilbert Kalkül.
Gut, der zweite Fall, wir haben ein G1,
das entsteht, oder das haben wir entnommen aus unserer Menge
Und auch hier wollen wir eine unnötige Voraussetzung einführen.
Und auch das machen wir wieder über unser H1,
das ja sagt, wenn etwas wahr ist,
dann können wir beiliebige Voraussetzungen davor stellen.
Und anschließend wird mit dem Modus Polens eben die erste Bedingung hier wieder rausgelöscht.
Und wir erhalten F impliziert G1. Gut. Der dritte Fall ist
unsere Ableitung erhielt, enthielt in erster Position schon das F.
Das F ist ja die Formel, die wir aus unserer Annahmenmenge rauslöschen wollen. Das heißt,
wir wollen jetzt eine Ableitung haben für F impliziert F,
in der wir aber auf gar keinen Fall das F selber verwenden dürfen,
als Annahme, die wir verwenden. Und da können wir sagen,
na super, wir hatten ja schon mal gezeigt,
dass man diese fünfschrittige Ableitung für deimpliziert D machen kann,
Wenn wir es für den machen können,
dann können wir den Beweis natürlich auch nehmen und überall,
wo wir D geschrieben haben, F-Einsetzen.
Und dann kann man sehen, aha, das wird dann
ein Beweis sein für F impliziert F. Das heißt,
wir formen diesen fünfschrittigen Beweis um und setzen hier fünf Zeilen hin.
Die haben sich mehr auf die Folie gepasst.
Ich habe nur noch die fünfte wiederholt hier.
Und dann haben wir einen Beweis für F-Impliziert F. Gut,
wenn wir jetzt im Induktionsschritt Weitere Fälle behandeln wollen,
dann gilt an vielen Stellen ähnliches.
Nur wir müssen noch zusätzlich die Möglichkeit beachten,
dass wir in dem Schritt, den wir betrachten,
vielleicht durch den Modus Ponens eine Formel gewonnen haben.
Das heißt dann, dass wir, ja,
wir haben ein DM,
stehen an einer Position und vorher hatten wir das GI und
die Formel GI infiziert GM in zwei Positionen
vorher stehen
Und in dem Fall wissen wir jetzt, wir haben ja alles schon umgeformt,
eben bis zur Position M minus 1. Und das heißt,
dass wir jetzt in unserem neuen System Beweise haben für F impliziert,
GI und für F impliziert, GI impliziert GM.
Denn der Alte hatte ja GI und GI impliziert GM.
Und jetzt sieht man, warum wir dieses komplizierte Aktion H2 im Hilbert-Kalkül haben.
Denn er ist dieses Aktionen ist jetzt genau geeignet, zu zeigen,
wie man in der neuen Ableitung dann eben eine Ableitung für F-Impliziert-G gewinnt.
Denn durch Substitutionen können wir dieses Aktion H2 genauso anpassen,
dass durch zweifache Anwendung des Modus Pohnens wir diese beiden Prämissen,
Themen können und dann als Resultat genau das überbehalten,
was wir hier brauchen.
Gut, das heißt, man kann zeigen, wenn man in einem Im Hilbert-System.
Aus einer Menge von Annahmen eine Formel ableiten kann,
dann können wir auch eine der Annahmen rausnehmen aus der Menge
und sie als Prämisse vor das zu beweisende stellen.
Und man kann ein Programm schreiben,
das den alten Beweis transformiert in einen neuen Beweis für
diese Formel in dieser Implikationsform
Gut, und das Deduktionstheorien,
das hilft dann auch letztendlich zu zeigen,
dass einerseits das Haar, das Silbersystem korrekt ist,
das heißt, eben nicht nur Beweise korrekt macht,
sondern beliebige Ableitung korrekt macht, egal was man an Material hineinsteckt.
Und dass das System vollständig ist,
dass man tatsächlich alles, was folgerbar ist,
auch beweisen kann mit dem Hilbertsystem
Das heißt, es gibt grundsätzlich Kalküle für die Aussagenlogik,
die allein auf syntaktischer Basis arbeiten und eben alle Folgerungen auch berechnen können.
Wie gesagt, es gibt noch weitere Deduktionssysteme.
Natürliches Schließen hatte ich schon genannt. Dann gibt es Sequenzen,
Kalkül, Gänzen, Kalkül und so weiter.
Also eine ganze Reihe, die in so einem direkten Verfahren arbeiten,
von den Prämissen startend dann irgendwie Sequenzen aufbauen und dann beim Ziel enden.
Und die andere Variante, die es gibt, sind die sogenannten Wiederlebungssysteme,
Dort wird auch allein auf der syntaktischen Struktur gearbeitet,
aber es wird dann überprüft, haben wir in einer Formelmenge ein Problem, eine Inkonsistenz.
Und das wird dann wiederum genutzt oder als Beweis ausgelegt,
je nach Ergebnis. Das werden wir sehen in Bezug auf
das Resolutionssystem, das eben ein Wiederlebungssystem ist.
Und insbesondere in Kontexten wie logischer Programmierung
eine große Rolle spielt
Im Masterstudium gibt es dann noch das Tableau-System,
das Tableau-System ist einer der Ansätze,
der heutzutage in Theorienbeweisern sehr prominent vertreten ist.
Aber das, wie gesagt, machen sie dann in
drei Jahren oder so. Okay, dann sehen wir uns
nächste Woche wieder.
Erst mit Hornlogik dann mit Resolution