Es ist Viertel nach und damit beginne ich hier mit der FGI-Vorlesung und ja,
was wir heute auf dem Plan haben, ist zunächst mal ein Rest,
der letztes Mal übergeblieben ist zum Thema Normalform.
Und anschließend werde ich das Thema Folgerung in der Logik einführen und
sozusagen im ersten Schritt behandeln hier. Was letztes Mal übergeblieben ist,
zum Thema Normalform ist der Punkt,
dass es natürlich nicht nur eine Möglichkeit gibt,
Formen in konjunktiver oder disjunktiver Normalform zu bilden,
und zwar auf systematischem Weg, sondern dass es da verschiedene Ansätze gibt,
die für verschiedene Situationen geeignet sind.
Das Verfahren, was wir letztes Mal behandelt hatten, war ein Umformungsverfahren.
Das besagte, wie man ausgehend von einer Formel
eine äquivalente Formel in konjunktiver bzw. dysjunktiver Normalform bilden kann.
Nochmal zur Erinnerung, was waren die Konjunktiven und desjunktiven Normalformen?
Das sind Formeln, die grundsätzlich so ein Strukturaufbau haben,
dass wir auf der einen Seite ausgehen von Aussagesymbolen dann Negationen
von Aussagesymbolen bilden können oder auch nicht.
Diese beispielsweise in Dysjunktiv-Dystunktionen zusammenfügen bei der konjunktiven Normalform
diese Disjunktion wurden auch als Klauseln bezeichnet
Und diese Klauseln dürfen dann wieder konjunktiv miteinander verknüpft werden.
Dürfen müssen nicht unbedingt. Ja, das gibt auch sehr einfache,
konjunktive Normalformen, in denen keine Konjunktion vorkommt oder auch keine Desjunktion.
Das soll nicht ausgeschlossen sein. Solche Strukturbeschränkungen in Bezug auf
die Formeln können an vielen Stellen hilfreich sein. Und ja,
deshalb hatten wir eben auch schon ein Verfahren kennengelernt,
um ausgehend von einer Formel eben eine konjunktive Normalform
zu bilden oder eine disjunktive Normalform
Es gibt aber auch Situationen, wo man andere Voraussetzungen hat.
Da hat man nicht unbedingt schon eine Formel vorliegen,
sondern man weiß unter Umständen nur, ich möchte eine Formel
bilden und dieses soll der Wahrheitswertverlauf sein für die Formel.
Gegeben, diese Belegung der drei Aussage, sowohl A,
B und C, soll dieses hier rauskommen.
Das ist eine typische Aufgabe beispielsweise im Schaltkreisentwurf
Dass man eine Situation hat, wo man eine
bestimmte Komponente bauen will, die genau dieses Output-Verhalten hat.
Also, hier gehen wir davon aus, wir haben den
Wahrheitswertverlauf gegeben für die Formel, die wir finden wollen.
Und jetzt wollen wir zusätzlich nicht nur irgendeine Formel finden,
sondern eine Formel in konjunktiver oder disjuktiver Normalform.
Ich fange hier mal mit dem Fall disjuktiver Normalform an,
weil der vielleicht noch ein bisschen offensichtlicher ist.
Und dann kann man sehen, der konjunktive Fall verläuft ganz analog.
Also, gegeben, wir haben einen kompletten Wahrheitswertverlauf.
Wie können wir jetzt eine Formel konstruieren, die exakt diesen Wahrheitswertverlauf hat? Die Idee,
die diesen Verfahren zugrunde liegt, ist zu sagen, naja,
wenn wir Formeln haben, die in ihrem Wahrheitswahrheitswertverlauf das Verhalten haben,
genau an einer Position eins zu sein und an allen anderen Positionen null zu sein,
dann können wir ja relativ einfach durch Disjuktionen einfach die geeigneten Formeln uns rausbicken,
die das Jugendtiefer knüpfen und haben dann unsere Formel F.
In dieser Formel haben wir bei A1, bei A5 und bei A6 die Forderung,
dass eine eins sein soll, sonst soll immer eine null sein.
Naja, und dann nehmen wir halt die Formeln F1,
F5 und F6, die eben genau in diesen Positionen die eins haben.
Gut, schön, aber wie sehen Ich F1 bis F8
aus und ist es überhaupt möglich, Formen zu bilden,
die diesen Wahrheitswertverlauf haben und außerdem die Formen dualer Klauseln haben,
das heißt Konjunktion von Literalen sind.
Und in der Tat, das kann man relativ einfach machen,
so eine Formel zu bilden, Moment,
nehmen wir mal den Fall F2 hier als Beispiel einfach,
also wir wollen jetzt eine Formel bilden,
die in der zweiten Position hier oder bei A2,
die eins liefert und sonst null.
Und die können wir erzeugen, indem wir uns angucken,
wie sieht die Belegung für die jeweiligen Aussagesymbole aus.
Und wenn dort steht eins, wie hier bei C,
C ist eins,
dann wissen wir, wenn wir das C konjunktiv verknüpfen,
dann macht wenigstens das C nicht kaputt,
das an dieser Position
eine Eins steht
Entsprechend bei B steht hier die Null. Das heißt,
wenn wir die Negation von B konjunktiv verknüpfen,
mit dem, was wir sonst so noch generieren,
dann wird auch diese Negation von B in dieser Position halt nicht kaputt machen,
dass wir eine Eins kriegen.
Und entsprechend bei A steht wieder die Null. Also machen
wir es wie bei B. Wir nehmen die negierte Form.
Und wenn wir uns jetzt diese gebildete Formel angucken,
nicht A und nicht B und C, Dann stellen wir fest,
in der Position 2, hier bei der Belegung 2, liefert die tatsächlich eine 1.
Und in allen anderen Positionen hat eine oder die andere diese Literale,
die hier vorkommen, liefert eine Null und damit eben auch die Konjunktion.
Das heißt, tatsächlich gelingt es uns, solche Formeln zu bilden,
die an genau einer Position eine Eins aufweisen und ansonsten immer die Null,
indem wir geeignet eben die Belegung uns angucken und sagen,
okay,
das sind die literale,
die genau diesen Werten hier entsprechen
Das Entsprechende können wir jetzt natürlich auch für die Position machen,
die hier für unser F, das wir als Zielformel haben,
tatsächlich relevant sind. Das war die Position 1,
5 und 6. Position 1, da sind alle Aussagesymbole null.
Das heißt, um da eine Eins hinzukriegen,
müssen wir alle Aussagesymbole negieren und konjunktiv verknüpfen.
Bei A5 ist aber, B und C sind null.
Entsprechend nehmen wir A in einer positiven Form auf,
B und C entsprechend in der negativen Form und erhalten so für diese Position eine Eins.
Und A6, ganz analog. Hier ist nur im Unterschied
zu A5, halt an der Position C.
Die Eins. Entsprechend muss es hier positiv aufgenommen werden.
Wenn wir jetzt diese drei gebildeten Dualen klauseln,
disjunktiv miteinander verknüpfen, haben wir zunächst mal eine Formel,
die von der Struktur unseren Anforderungen genügt,
also eine disjunktive Normalform ist,
aber eben auch vom Wahrheitswertverlauf genau das leistet,
was wir gefordert hatten
Gut, also nebenbei haben wir damit auch gezeigt,
dass unsere Logik überhaupt funktional vollständig ist. Das heißt,
dass wir jeden Wahrheitswertverlauf, wie auch immer er gestaltet ist,
tatsächlich durch eine entsprechende Formel abbilden können.
Sogar mit dem Spezialfall disjunktive Normalform.
Hier nochmal
Die Folie, auf der das Verfahren nochmal beschrieben ist,
also ausgehend von einem Wahrheitswertverlauf für die gewünschte Formel,
konstruieren wir zu jeder Zeile der Wahrheitstafel, wo der Wert 1 auftaucht,
in diesem Wahrheitswertverlauf eine duale Klauseln wie folgt.
Wir gucken uns an, welchen Wert die Aussagesymbole haben,
wenn das Aussagesymbol den Wert 1 hat,
so nehmen wir das positive Literal,
also das Aussagesymbol in die Konjunktionen auf.
Ansonsten nehmen wir das negierte Aussagesymbol,
das negative Literal in die Konjunktionen auf
Und ja, für alle Zeilen, die in denen,
die eins auftaucht, bilden wir so eine duale Klausel und
die verknüpfen wir dann wieder disjobtiv.
So, jetzt müssen wir noch den Fall beachten,
dass unser Wahrheitswertverlauf konstant null ist.
Das heißt, wir sollen eine Kontradition konstruieren.
Naja, das können wir auch relativ leicht machen.
A und nicht A, ist eine Kontradiktion,
ist auch ein disjunktiver Normalform.
Also nehmen wir das einfach
Dann brauchen wir uns gar nicht sonst viel Mühe zu machen.
Okay, soweit zum Verfahren für die disjunktive Normalform bei der konjunktiven Normalform.
Ja, kann man ganz analog verfahren. Allerdings ist es
ja hier so, dass wir Konjunktionen von Klauseln bilden sollen.
Bei der Konjunktion wissen wir, es setzt sich immer
die Null durch oder das Falsche. Das heißt,
wenn wir die Konjunktion, diese Klauseln konjunktiv verknüpfen,
Dann müssen wir aufpassen, dass nicht ungewollte Nullen sich irgendwie durchsetzen.
Das heißt, dass wir hier Klauseln suchen,
die jeweils in einer Position nur die Null haben und in allen anderen Positionen die Eins.
Wenn wir solche Klauseln haben,
können wir die wieder geeignet konjunktiv verknüpfen,
um eben all die Positionen den Wert Null zuzuordnen,
die wir haben wollen und den anderen nicht
Gut, wenn man sich jetzt fragt,
beispielsweise wieder im zweiten Fall,
wie kriegen wir es denn hin, eine Klausel zu bilden,
die nur an einer bestimmten Stelle eine Null aufweist und an allen anderen Stellen eine Eins,
dann können wir auch wieder ein ganz analoges Verfahren machen,
wie eben.
Nämlich, indem wir uns angucken, ja,
was sind denn die Belegungen der Aussagensymbole in diesem Fall?
Hier ist A 0,
B 0,
Wenn wir Formeln dyssymptiv verknüpfen, wissen wir ja,
es setzt sich immer die Eins durch. Das heißt,
wir suchen jetzt nach einer Formel bestehend aus literalen,
die alle null liefern unter dieser Belegung.
A liefert selber null. B liefert auch selber null.
Also können wir A und B beide aufnehmen. C liefert die Eins,
also müssen wir hier C c negiert aufnehmen in unsere Formel.
Und hier können wir wieder feststellen,
diese Klausel hat genau den Wahrheitswertverlauf, den wir für G2 brauchen,
nämlich nur in der Position null,
die hier durch A2 bezeichnet ist und in allen anderen Positionen liefert sie die Eins.
Gut, und wenn wir dann diese entsprechenden Formeln,
diese entsprechenden Klauseln bis konjunktiv verknüpfen, dann erhalten wir eben auch die konjunktive Normalform.
Es ist vielleicht ein bisschen weniger intuitiv,
da wir hier ich bei den Nullen eben das positive Literal aufnehmen,
bei den Einzelnen das negative Literal.
Aber Hauptsache, es funktioniert und das tut es halt. Gut,
das heißt, das Verfahren für die konjunktive Normalform sieht jetzt so aus,
dass wir ausgehen von den Zeilen im Wahrheitswertverlauf,
wo der Wert Null rauskommen soll, jeweils eine Klausel bilden.
Und zwar so, dass wir gucken, was sind die Aussagesymbole,
welchen Wert haben die Und wenn eine Null auftaucht,
dann nehmen wir das entsprechende Aussagensymbol, das positive Literal auf.
Ansonsten das Negative literal. Jetzt müssen wir auch noch den Fall berücksichtigen.
Es könnte ja sein, dass gar keine Null auftaucht.
Dann haben wir die leere Formeln, leere Formeln,
haben wir eigentlich gar nicht definiert in unserer Sprache.
Also müssen wir den Fall noch abdecken durch einen Sonderfall.
Also wenn hier gar keine Null auftaucht,
dann heißt das ja, dass wir eine Tautologie konstruieren sollen.
Und das können wir auch wieder einfach machen,
indem wir schreiben,
a oder nicht
Ist in konjunktiver Normalform, nehmen wir einfach die.
Okay, also soweit zum Thema Normalform. Das zweite Verfahren,
Bildung direkt aus Wahrheitstafeln. Wie gesagt, das Verfahren bietet sich dann an,
wenn wir eben eine Aufgabenstellung haben, wo wir den Wahrheitswertverlauf schon kennen.
Wenn wir eine komplexe Formel haben,
zu der wir eine konjunktive oder desjuktive Normalform bilden wollen,
Dann wird es in der Regel nicht so sein,
dass man erst mal die Wahrheitstafel aufstellt und dann dieses Verfahren anwendet,
weil einerseits die Tafel viel zu groß werden könnte und andererseits man dann vermutlich eine grundsätzliche Aufgabenstellung hat,
die man dann auch gleich mit der Wahrheitstafel bearbeiten könnte und wo man gar nicht die normale Form braucht.
Okay, also nochmal zusammenfassend zu dem Thema der letzten Sitzung
und dem Rest, den ich heute noch nachgeholt habe
Wir hatten uns mit den beiden Themen Äquivalenz und Normalform beschäftigt.
Und bei den Normalformen eben insbesondere konjunktive und disjunktive Normalformen.
Man kann natürlich noch andere Typen von Normalformen betrachten.
Und das werden wir im späteren Verlauf auch nochmal mit bestimmten Einschränkungen.
Für Äquivalenz ist wichtig, Formeln sind Äquivalenz,
wenn sie unter allen Belegungen denselben Wahrheitswert liefern.
Das heißt, sie haben exakt die gleichen Wahrheitswertverläufe.
Und unter den Bedingungen verhalten sie sich halt unter allen
semantischen Fragestellungen gleich
Und unter syntaktischen Fragestellungen können aber Unterschiede bestehen.
Die eine kann riesengroß sein, die andere ist winzig klein.
Aber unter semantischen Fragestellungen verhalten sie sich gleich. Und da
in der Logik eben häufig auch die Semantik der wesentliche Punkt ist,
können wir dann eben die geeignete Form oder eine geeignete Äquivalente Formel unter Umständen nutzen,
die von der Struktur her anders aussieht als das,
was wir als Eingabe haben
Die Normalform, insbesondere konjunktive und disjunktive Normalform,
was haben wir da gesehen an Einschränkungen in Bezug auf die Sprache?
Zunächst mal war das Junktoren-Inventar eingeschränkt. Wir haben nur noch Konjunktion,
Disjunktion und Negation verwendet,
aber auch die Bildungsregeln waren eingestrengt dahingehend,
dass wir gesagt haben,
wir wollen bestimmte hierarchische Verhältnisse haben zwischen den Konjunktionen und
den Desjunktionen
Andererseits konnten wir feststellen, zu jeder Formel gibt es
eine Äquivalente Formel in konjunktiver Normalform. Das heißt,
wenn wir beispielsweise irgendwelche Verarbeitungen machen wollen,
dann kann es geeignet sein, zu sagen,
machen wir doch einen Vorverarbeitungsschritt, wo wir die konjunktive Normalform bilden.
Und dann kann der Nachfolgende Schritt sich darauf verlassen,
dass eben bestimmte strukturelle Bedingungen gelten.
Ja, aber es kann unter Umständen auch sein,
dass diese Formeln relativ groß werden.
Das ist der eine Nachteil
Und man sollte auch berücksichtigen,
dass dieses Wort Normalform nicht so verstanden werden sollte,
als dass es immer nur eine Formel gibt,
die diese Struktur hat und Äquivalent zu einer gegebenen Formel.
Also es gibt unter Umständen beliebig viele Formeln inkonjunktiver Normalformen,
die syntaktisch immer noch verschieden sind,
aber trotzdem äquivalent
Ja, das heißt, es reicht nicht,
die Formeln in konjunktiver Normalform zu bringen und dann zu gucken,
sind sie buchstäblich, stimmen sie buchstäblich überein,
um beispielsweise Äquivalenz zu entscheiden.
Das reicht nicht, da muss man dann immer noch was anderes tun.
Okay. Jetzt kommen wir zum Thema Folgebarkeit, Folgerung,
dem eigentlichen Thema heute und Folgerung ist eine Relation,
die sozusagen zwei Varianten kennt.
Einerseits, wie kann man sie wie die Äquivalenz als Relation
zwischen zwei Formeln
Das wird aber relativ selten gemacht, weil es sozusagen nicht
der allgemeine Fall ist. Der allgemeine Fall ist,
dass man eine Menge von Formeln hat, aus denen man dann Folgerungen zieht.
Das heißt, Folgerung betrachtet als Relation zwischen Formelmengen und Formeln
. Ja, im Extremfall eben der Fall,
wir haben eine einer Menge und eine Formel und das
ist dann der Fall, wo wir auch sagen können,
da ist es eine Relation zwischen Formeln
Während die Äquivalenz, wie der Name so schön sagt,
eine Äquivalenz-Relation ist, ist die Folgerung sowas wie eine Ordnungsrelation.
Eine partielle Ordnung. Siehst du, wie folgt definiert?
Eine Formel G folgt genau dann aus einer Formelmenge M,
wenn für jede Belegung gilt, wenn die Belegung Modell der Formelmenge ist,
dann ist die Belegung auch Modell für die Formel G.
Wenn wir uns in so einem ven-artigen Diagramm die ganzen möglichen Belegungen aufschreiben,
Dann ist die Menge der Modelle von G eine Teilmenge davon.
Ja, das sind diejenigen, Belegungen, die halt Gehwar machen.
Und im Falle der Folgerung, wenn also G,
folgt aus M, dann bedeutet das,
dass die Menge der Modelle für die Menge M doch eine Teilmenge sind von den Modellen von G. Ja,
es kann also sein, dass man Modelle für G hat,
die Nicht-Modelle von M sind,
aber das andere darf nicht passieren
Wenn ich ein Modell für M habe,
dann ist das automatisch auch ein Modell für G. Diese Konstellation
in Bezug auf die Modelle für die Formelmenge M und die
Modelle für die Formel G. Diese Konstellation bezeichnen wir als Folgerung.
Ja, wir haben auch hier wieder verschiedene Sprechweisen.
Also wir sagen, geh folgt aus M. Wir können auch sagen,
geh ist folgerbar aus M oder geh ist eine Folgerung der Formeln aus M.
Ja, das soll alles immer
das Gleiche bedeuten
Und wenn wir es hinschreiben, dann benutzen wir dieses Symbol,
das wir auch schon an anderer Stelle benutzt haben.
Hier, also der senkrechte Strich mit den zwei vagestrechten Strichen oder
auch der Folgerungshammer. Dieses Symbolen hatten wir ja auch benutzt,
um auszudrücken, dass eine Belegung Modell einer Formel ist.
Dann haben wir hier vor, das Symbol eben die
entsprechende Belegung geschrieben
Hier schreiben wir eine Formelmenge vor,
das Symbol und in dem Moment interpretieren wir es als Folgerung.
Die Formel G folgt aus der Menge M. Ja,
man kann das so interpretieren, dass halt diese Menge M
der Formeln indirekt die Menge aller Modelle charakterisiert,
eben die Modelle von M.
Und diese indirekt spezifizierten Modelle von M
machen also alle
das Geber
Wie schon gesagt,
wir schreiben auch mal sowas wie aus F, folgt G,
ohne Mengen, Klammern, einfach in dem Fall,
wo wir es ansonsten mit einer einelementigen Menge zu tun hätten.
Und insofern kann man es eben auch als Relation zwischen zwei
Formeln bebrachten. Aber auch hier ist wieder wichtig,
dieses Folgerungssymbol ist kein Jungtor,
sondern eine Relation zwischen Formelmengen und Formeln
oder beziehungsweise eine Relation zwischen zwei Formeln
Mal Beispiele,
wir haben hier die Formel A und B und die Formel A oder B.
Und hier oben steht jetzt die Behauptung aus A und B,
folgt A oder B. Immer, wenn A und B wahr ist,
ist auch A oder Beva.
Das können wir natürlich relativ einfach wieder mit Wahrheitstafeln überprüfen.
Ja, hier sind die Wahrheitstafeln für A und B und
A oder B eingetragen. Und was wir feststellen,
ist genau unter einer Belegung wird A und B wahr
Und unter dieser Belegung wird auch A oder Ba.
UA oder B war. Also alle Belegungen, die A
und B war machen, machen auch A oder B wahr.
Hier ein zweites Beispiel, wo wir eine Folgerung aus
zwei Formeln oder einer Menge mit zwei Formeln haben.
A oder B, zusammen mit Nicht-B. Daraus folgt A,
ist hier die Behauptung. Gucken wir uns das wieder in
der Wahrheitstafel an
Dazu müssen wir gucken, bei den Formeln nicht,
B und A oder B. Welches sind die gemeinsamen Modelle dieser beiden Formeln?
Und wir stellen fest, nicht BH2-Modelle oder BH3-Modelle,
aber es gibt nur einen einzigen Fall,
nur eine Belegung, die Modell von beiden Formeln ist.
Das ist hier A3. Und dann können wir feststellen,
okay, bei A3 wird tatsächlich auch A aber,
und damit ist die Behauptung korrekt, Jede Belegung,
die Nicht-B und A oder B wahrmacht,
macht auch A wahr.
Ja, auch im Fall unseres Beispiels hier mit Harry Potter 7,
das auf Englisch erschienen sein könnte oder auf Deutsch erschienen sein könnte,
könnten wir in der Wissensbasis die Informationen haben.
Also wenn Harry Potter 7 auf Deutsch erschienen ist,
dann ist es auch auf Englisch erschienen.
Und es ist auf Deutsch erschienen.
Es liegt im Buchladen aus.
Wir sehen das
Nun und was wir daraus schließen können, ist,
dass unter diesen Bedingungen, wenn diese Behauptungen,
die hier in unserer Wissensbasis stehen, tatsächlich wahr sind,
dass dann eben auch Harry Potter 7 auf Englisch erschienen sein muss.
Das können wir wieder an dieser Wahrheitstafel überprüfen,
hier alle Belegungen für die beiden Atome,
Harry Potter 7 ist auf Englisch erschienen,
Harry Potter 7 ist auf Deutsch erschienen, die Implikation diesen Wahrheitswertverlauf.
Und wir haben jetzt zu prüfen, welches sind die Interpretationen,
unter denen diese Implikationen wahr wird.
Aber auch Harry Potter 7 ist auf Deutsch erschienen.
Wieder gibt es nur einen Fall. A4 und tatsächlich hier
ist auch der Wahrheitswert von Harry Potter 7 ist auf Englisch erschienen.
Eins. Okay. Soweit zum Beispiel für die Folgerung. Ja,
hier eine ergänzende Folie, die Sie noch nicht in den Unterlagen finden,
die Sie aber dann auf der Webseite finden, um nochmal zu versuchen,
deutlich zu machen, warum man sich eigentlich mit Folgerung beschäftigt.
Wenn wir sagen, eigentlich benutzen wir ja die formale Sprache,
um irgendetwas zu modellieren, zu kodieren in einem System,
dann haben wir irgendwelche Fakten in Bezug auf den zum modellierenden Weltausschnitt,
die wir sozusagen sammeln wollen und kodieren wollen.
Und darunter können sein solche atomaren Aussagen,
wie eben dieses Harry Potter 7 ist auf Deutsch erschienen.
Oder auch komplexe Aussagen, wenn Harry Potter auf Deutsch erschienen ist,
dann ist Harry Potter 7 auch schon auf Englisch erschienen
Wir können auch Tautologien finden. Die sind ja immer wahr,
also auch in unserem Weltausschnitt. Und wir werden später feststellen,
dass das aber nicht nützlich ist, die zu sammeln.
Erspart uns auch viel Arbeit, wenn wir die weglassen.
Aber was wir nicht finden können, sind Kontradiktionen.
Denn wir haben ja einen Weltausschnitt und wir gucken nach
den Fakten, die wahr sind in dem Weltausschnitt.
Und Kontradiktionen sind ja unter gar keinem in Umständen wahr.
Also die werden wir
nicht finden
So, um jetzt die Sachen zu kodieren, müssen wir sowas wie einen Übersetzungsschlüssel definieren.
Ja, also Harry Potter 7 ist auf Deutsch erschienen.
Das kodieren wir jetzt als HP7 unterstrich D beispielsweise.
Und dann können wir unsere Fakten mit diesem Übersetzungsschritt eben kodieren.
Und erhalten so eine Menge von Formeln. Diese Faktenmenge,
die wir kriegen, ist auf jeden Fall erfüllt,
weil wir haben ja unseren Weltausschnitt, den wir beschreiben.
Und der stellt ja ein Modell dar. Aber Wir können
davon ausgehen, dass unser Weltausschnitt nur unvollständig beschrieben wird.
Denn wir werden nicht unbedingt alle Fakten tatsächlich hineinschreiben können.
Entweder weil wir nicht dran gedacht haben oder weil uns die Informationen fehlen und so weiter.
Aber es gibt nun weitere Aussagen, eben die Aussagen,
die wir folgern können aus unserer Beschreibung und von denen wissen wir,
dass sie In allen Modellen der Faktenbasis wahr sind,
das heißt, sie sind insbesondere auch in unserem Weltausschnitt,
den wir motiviert haben, war.
Ja, und das wären solche Aussagen wie Harry Potter,
sie müssen auf Englisch erschienen, oder auch Harry Potter 7
ist auf Englisch erschienen, und auf Deutsch erschienen.
Die stehen nicht explizit drin in unserer Faktenbasis, aber sie
sind Folgerungen daraus. Und in dem Sinne können wir sagen,
ja, diese Fakten sind auch kodiert in unserer Wissensbasis,
halt nicht explizit oder direkt,
sondern nur indirekt
Aber wir können sie halt extrahieren, wenn wir uns die Folgerung angucken.
So, und die Logik ist gewissermaßen daran interessiert,
herauszufinden, in welchen Konstellationen godieren wir Informationen implizit,
zusätzlich zu dem,
was wir
halt direkt oder explizit
hingeschrieben haben
So, und das ist das, was uns eben die Folgerung primär liefert.
Und weshalb sie eben in der Logik auch so
einen großen Stellenwert hat, weil das die Relation ist,
mit der wir eben diese indirekte Kodierung erfassen können formal.
Ja, wie eben schon gesagt, dieses Symbol,
den Folgerungshammer oder wie auch immer man ihn bezeichnen möchte,
verwendet man in der Logik vielfach in verschiedenen Kontexten
Und ich habe es hier jetzt nochmal aufgelistet,
die verschiedenen Varianten, einfach, damit sie sehen,
dass es nicht immer nur die erste Variante ist,
die sie kennengelernt haben, sondern auch noch die unterschiedlichen Varianten gibt.
Und dass man durchaus erkennen kann, was jeweils gemeint ist,
nämlich, je nachdem, was halt vor dem Symbol steht.
Und entsprechend könnte man auch sagen, naja,
die leere Menge, das ist ja auch,
die enthalten ja nur Tautologien.
Ja, zeige ich mir ein Gegenbeispiel.
Kannst du nicht, kann man nicht finden
Also entsprechend gilt Volkerbarkeit aus der leeren Menge ist das Gleiche wie Volkerbarkeit aus Tautologiemengen.
Das heißt, auch da gilt nur Tautologien sind aus der leeren Menge folgerbar.
Natürlich hat Völkerung auch viel mit der logischen Äquivalenz zu tun.
Und zwar dahingehend, dass die logische Äquivalenz für den Fall
dass wir uns mit Folgerung als Relation zwischen zwei Formeln beschäftigen.
Sowas wie der symmetrische Anteil dieser Ordnungsrelation folgerung ist.
Also zwei Formeln sind genau dann äquivalent, wenn die eine aus der anderen folgt und umgekehrt. Der Fall,
dass wir äquivalente Formeln haben, können wir entsprechend,
als wenn der Gramm so darstellen,
wir haben die Menge aller Belegung und da drin haben wir eine Teilmenge,
das sind die Modelle für G,
Aber gleichzeitig ist dieselbe Menge eben die Menge der Modelle für F. G&F haben ja dieselben Modelle,
wenn sie Äquivalent sind.
Und das ist natürlich dann auch ein Spezialfall davon,
dass die Modelle von G in der Menge der Modelle von F
enthalten sind und umgekehrt.
Okay, also ja, Äquivalenz eben genau als symmetrischen Anteil
der Folgerung hier
Wir hatten ja bei der Äquivalenz gesagt,
die Äquivalenz ist eng mit der Bi-Implikation verwandt,
wobei B-Implikationen eben Teil unserer Logiksprache ist und entsprechend finden wir
auch für die Folgerung einen Jungtor,
der eine enge Verwandtschaft aufweist mit der Folgerung,
aber eben einen Teil unserer Logiksprache ist,
während des Folgerungssymbols selber ja nicht Teil unserer Logiksprache ist.
Und das ist natürlich
die Implikation
Die wir ja auch immer wieder, als wenn dann,
übersetzen, genauso wie wir die Folgerung sehr häufig natürlich sprachlich, als wenn dann formulieren.
Und was hier steht, ist die Biimplikation F,
Entschuldigung, die Implikation, F impliziert G, ist allgemeingültig,
genau dann, wenn B aus F folgt.
Ja, das ist die Verwandtschaft zwischen diesen beiden,
ja, wenn ich wissen will, ob G aus Erfolg,
kann ich genauso gut fragen,
ist denn F impliziert G eine Tautologie
Ja, und das heißt jetzt wieder, okay,
wenn ich irgendwie ein Programm habe, dass mir alle Tautologien identifiziert.
Und ich habe aber so eine Frage nach Folgerung,
dann muss ich nur die Eingabe geeignet konvertieren und kann
den Tautologieprüfer nutzen, um die Folgerung zu entscheiden.
Und gegebenenfalls auch umgekehrt. Wenn ich also einen tollen Folgerungsprüfer habe,
dann könnt, und ich will eine Implikation prüfen,
könnte ich es auch so zerlegen.
Macht nicht unbedingt so viel Sinn,
aber das ist eine wichtige Beziehung hier
Gut, also, dieser Satz zeigt, wie wir fragen,
der Folgerung zwischenformeln auf Fragen der Allgemeingültigkeit reduzieren können.
Allerdings muss man das eben auch gleich sagen,
dass das nur eingeschränkt hilfreich ist, denn unsere Folgerung,
die war ja allgemeiner definiert,
also dieses Folgerung zwischen Formeln ist ja nur ein Spezialfall und
auf der anderen Seite kann es ja sein,
dass hier eine ganze Menge von Formeln steht und für
die Menge von Formeln hilft uns dieses noch nicht so direkt
Es gibt aber auch noch eine andere Art und Weise,
wie wir eine entsprechende Reduktion durchführen können.
Und zwar zwischen Folgerung und Erfüllbarkeit beziehungsweise Unerfüllbarkeit. Also,
es könnte ja auch sein,
dass wir nicht einen Tautologieprüfer haben als Programm,
das gut funktioniert, sondern wir haben ein Kontradiktionsprüfer.
Ja, dem schmeißen wir irgendwie eine Formel vor
und der kann relativ schnell sagen,
ist erfüllbar oder nicht
Ja, auch den können wir nutzen,
wenn wir so eine Folgerungsbeziehung zwischen zwei Formeln prüfen wollen.
Denn was wir ihm als Eingabe geben müssen in dem Fall,
also wenn wir prüfen wollen, ob aus FG folgt,
dann müssen wir hineingeben, F und Nicht-G. Ja, wenn F,
wenn aus FG folgt, dann kann es ja nicht sein,
das F gilt aber gleichzeitig nicht gegelt.
So war ja unsere Folgerung definiert, dass das ausgeschlossen ist. Ja,
das heißt, wir formen unsere Fragestellung um und fragen,
kann es denn sein,
dass F und
nicht gegelt
Und wenn der Unerführbarkeitsprüfer dann sagt, nee,
das kann nicht sein, dann bedeutet das automatisch,
dass dann die Folgerungsbeziehung gilt. Wenn der sagt,
das kann sein, ich kann dir ein Beispiel geben,
wo es der Fall ist, aber geh nicht der Fall ist,
dann wissen wir, dann gilt auch diese Folgerung nicht.
So, auch hier kann man sagen,
ist ja ganz schön, aber nur eingeschränkt hilfreich,
weil wir ja unter Umständen in dieser Position von F
nicht nur eine Formel haben,
sondern eine ganze Formelmenge.
Und was sollen wir dann
damit anfangen
Ja. Aber was hier unten steht,
ist eine Verallgemeinerung von dem hier oben.
Nämlich dahingehend, dass wir einen vergleichbaren Schritt machen können,
wenn wir Folgerung aus einer Formel Menge prüfen wollen.
Also wir wollen prüfen, ob G aus M folgt.
Und das können wir tun, indem wir die Menge,
die entsteht, werden wir M zusammenfassen mit der Menge,
die nur Nicht-G enthält.
Wenn wir die auf Unerfüllbarkeit prüfen
Ja, das setzt natürlich voraus, dass wir hier ein Unerfüllbarkeitsprüfer haben,
der auch mit Mengen umgehen kann. Das werden wir sehen,
ist auch unproblematisch, solange unsere Menge M endlich ist.
Und was wir heute auch noch ansprechen werden, ist,
dass der Fall, dass unsere Formelmenge unendlich ist,
zwar unangenehm ist, aber nicht so viel anders als alles,
was wir sonst machen
Okay, nochmal zusammengefasst, sozusagen die verschiedenen semantischen Begriffe,
die wir bislang kennengelernt haben und sozusagen die Idee,
wie man sie beispielsweise mit Wahrheitstafeln überprüfen kann.
Zunächst hatten wir diese Begriffe, die einfach Formeln klassifizieren,
Erfüllbarkeit, Unerfüllbarkeit, allgemeingültigkeit, also eine Formel ist erfüllbar,
wenn mindestens eine Belegung den Wahrheitswert eins hat, die ist allgemeingültig,
wenn alle Belegungen den Wahrheitswert eins haben und sie ist unerfüllbar,
wenn keine Belegung den Wahrheitswert eins hat.
Das heißt, wenn wir eine komplette Wahrheitstafel für eine Formel
aufschreiben können, dann können wir das natürlich prüfen.
Wenn wir nur unvollständige Tafeln aufstellen können, naja,
dann können wir vielleicht was zur Erfüllbarkeit sagen,
aber Allgemeingültigkeit würden wir mit unerfüllt, mit unvollständigen Tafeln natürlich nicht belegen können,
weil da steht ja alle Belegungen, da müssen wir schon vollständig arbeiten.
Wir hatten aber, ach so, und bei der Äquivalenz und Folgerung
, da haben wir es ja mit Relation zu tun
Zwei Formeln sind äquivalent, wenn sie denselben Wahrheitswertverlauf haben.
Auch da, wenn wir die Tafeln aufschreiben können,
wenn wir die Wahrheitswertverläufe endlich darstellen können,
ist das auch kein Problem, das zu prüfen.
Und bei der Folgerung, da müssen wir nur prüfen,
ob alle Belegungen die F-Bahn machen, auch Gehwahr machen,
um zu prüfen, ob Gehaus erfolgt.
Geht natürlich auch leicht, wenn wir die Tafel haben.
Aber grundsätzlich gilt, dass halt die Wahrheitstafel zwar für unsere Spielformeln,
die wir hier verwenden, mehr als drei oder vier Aussagesymbolen,
auch in vernünftiger Zeit aufzuschreiben sind.
Aber im allgemeinen Fall einen enormen Aufwand darstellen. Und wenn sie
halt tausend oder tausende von atomaren Formeln als Basis haben,
dann ist das fast unmöglich. Das heißt, ja,
grundsätzlich wäre es günstig, auch Alternativverfahren zu haben.
Das gilt umso mehr, wenn wir uns eben die Begriffe angucken,
die sich mit Formelmengen beschäftigen und eben einbeziehen,
dass diese Formelmengen unter Umständen auch nicht endlich sind
Ja. Was hatten wir da an Begrifflichkeit zum Beispiel?
Eine Formelmenge ist erfüllbar, wenn es mindestens eine Belegung gibt,
die den Wahrheitssatz 1 für alle Elemente von M gibt.
Wie man sieht, da steht nichts von Endlichkeit oder Nicht-Endlichkeit.
Das ist eine Definition, die passt auch für unendliche Formelmengen.
M ist unerfüllbar, falls jede Belegung den Wahrheitswert null für
mindestens ein Element ergibt.
Ganz analog. Und der Folgerungsbegriff eben war eine weitere Variante,
wo wir mit Mengen gearbeitet haben,
also eine Menge,
eine Formel F folgt aus
Falls alle Belegungen, die für die Form aus M
den Wahrheitswert eins liefern, auch für F den Wahrheitswert eins liefern.
Gut, also wenn wir jetzt den Fall betrachten,
dass M vielleicht nicht endlich ist,
dann haben wir schon mal ein Problem mit der Wahrheitstafelmethode,
weil die Tafeln dann eben auch unendlich würden.
Und naja, jetzt kann man sagen,
in der Realität tauchen unendliche Formelmengen ja sowieso nicht auf.
Naja, das stimmt schon, wenn wir Unsere Aussagen,
die wir so aufsammeln über Harry Potter 7 oder so,
direkt in Aussagenlogik kodieren.
Aber unter Umständen machen wir das ja gar nicht selber,
sondern arbeiten mit einer höheren Sprache beispielsweise der Prädikatenlogik und erfinden dann Mechanismen,
wie wir die Prädikatenlogik in die Aussagenlogik übersetzen.
Und dann kann es passieren, dass wir eben
unendliche Formelmengen bekommen
Gut, und deshalb ist es für die Logik zunächst mal wichtig,
überhaupt in Erwägung zu ziehen, dass diese Formelmengen unendlich sind und zu gucken,
ob dann irgendwie die Katastrophen hereinbrechen und das ganze System zusammenbricht oder ob man sagen kann,
naja, ist nicht schön,
mit unendlichen Mengen zu arbeiten, wissen wir alle,
aber grundsätzlich ist das eben nicht viel anders als bei den Endlichen.
Und Gott sei Dank, für die Logik kann man sagen,
ist die Antwort die zweite, also keine Katastrophen,
eigentlich läuft alles wie gehabt.
Und das ist eben sozusagen auch ein wichtiger Punkt für
die Logik
Ja. Gucken wir uns nochmal so ein bisschen an,
wie diese Mengen funktionieren. Und zwar jetzt unter der Folgerung
. Ja, wenn wir eine Formelmenge M haben,
dann folgt ein Formel G, genau dann,
wenn jedes Modell von M auch Modell von F ist.
Und jedes Modell von M heißt, jedes,
jede Belegung, die alle Elemente von M wahrmacht
Gut, und das heißt ja, nichts anderes,
als dass die Formen, die in so einer Menge drin sind,
aus der wir folgern, dass die eigentlich implizit konjunktiv verknüpft sind.
Und das ist sozusagen die Aussage dieses Satzes,
dass es eigentlich egal ist,
ob ich zwei Formeln getrennt reinstecke in eine Menge,
aus der ich folgere.
Oder ob ich
sie konjunktiv verknüpft reinstecke
Beide Darstellungsformen sind semantisch gleichwertig, dahingehend, dass ich genau dieselberen Folgerungen rausziehen kann.
Das haben natürlich alle schon geahnt, dass man hier anstelle
des Kommers bei den Mengen auch immer die Konjunktion schreiben kann.
Und jetzt könnte man sagen, super,
wir haben doch unser Problem gelöst.
Wir können doch einfach jetzt alle Formeln aus M durch Konjunktion
verbinden und dann müssen wir uns mit den Mengen
gar nicht mehr rumschlagen
Das geht leider nicht, weil unsere Definition der Sprache
immer nur endliche Formeln generieren lässt.
Und wenn wir halt eine unendliche Menge haben,
dann gibt es nicht die eine Formel,
die all das an Informationen beinhaltet, die in der Formelmenge drin wäre.
Für endliche Formeln für endliche Formelmengen gilt das durchaus.
Wenn ich also hier irgendwie 17 Formeln habe,
aus denen ich irgendwas folgern will,
dann kann ich die Konjunktion dieser 17 Formeln bilden und das
als Relation zwischen zwei Formeln betrachten
Kein Problem. Aber ja, wenn es unendlich viele sind,
haben wir unser Problem noch nicht gelöst damit.
Das, was ich hier zur Folgerung gesagt habe,
gilt entsprechend auch bei der Erfüllbarkeit. Also,
wenn ich in eine Menge zwei Formeln F1 und F2
hinein tue und dann auf Unerfüllbarkeit prüfe,
dann ist das genau dasselbe,
als wenn ich sie konjunktiv erknüpft hineintue und dann das Resultat auf Unerfüllbarkeit prüfe.
Gut, also Bildung von Formelmengen hier an dieser Stelle
entspricht sowas wie einer impliziten Konjunktion
Ja, und wir hatten ja schon im Rahmen der Normalform
auch eine verallgemeinerte Notation eingeführt, um allgemeine Konjunktionen und Desjunktionen darzustellen.
Und mit dieser Notation können wir dann auch entsprechend sagen,
also die Folgerung aus einer Menge FF1 bis FN
ist genau dasselbe wie eine Folgerung aus der Konjunktion der FII
von 1
So, das kann man natürlich relativ leicht zeigen,
ausgehend von dem, was wir eben für den binären Fall hatten.
Ja, aber wie gesagt, das hilft uns nur bei
endlichen Formelmengen weiter. Gut, gucken wir jetzt mal einfach
allgemein auf Formelmengen und deren Verhalten in Bezug auf die Modelle.
Formelmengen, wie man weiß, können Teilmengen voneinander sein.
Ja, gucken wir mal
Uns den Fall an. Wir haben zwei Mengen,
M und M Strich, M ist Teilmenge von M Strich.
So, was bedeutet das jetzt für die Modelle? Naja,
die Modelle von M Strich, das sind ja Belegungen,
die alle Elemente von einem Strich wahrmachen.
Und damit sind die Modelle von einem Strich auch automatisch Modelle von M.
Ja, also die Modelle, so könnte man sagen,
werden von einer Obermenge an die Teilmengen weitergegeben
Gut. Andererseits ist es so, oder es ist sozusagen dann,
ja, die zweite Seite dieser Medaille, wenn M,
das heißt die Teilmenge, schon unerfüllbar ist,
also kein Modell hat,
dann kann auch am Strich kein Modell haben.
Ja, denn die Modelle von M Strich werden ja auch Modelle von M. Ja,
umgekehrt, wenn im Strich,
also die Obermenge erfüllbar ist,
ist automatisch
auch M erfüllbar
Und den Bezug auf die Folgerung heißt das,
wenn eine Form MLF aus M, also der Teilmenge folgt,
dann folgt er auch aus einem Strich.
Dieses bezeichnet man auch als Monotonie der Folgerung.
Also Folgerungen werden nur angereichert, wenn wir Fakten sammeln.
Sie können nicht mehr verloren gehen.
Aber die Umkehrung gelten halt nicht unbedingt. Gut,
auf der anderen Seite können wir uns ja auch angucken,
was passiert, wenn wir eine Formelmenge M haben und eine Formel,
die aus dieser Menge M folgt.
Also G folgt jetzt aus
Was passiert mit den Modellen? Wenn wir jetzt sowas machen,
wie die Vereinigung von M mit der einer Menge von G bilden.
Und da kann man feststellen, die Modellmenge wird dadurch nicht verändert.
Alle Modelle von M sind ja Modelle von G. Wenn ich gehe,
hinzunehme, kommen keine zusätzlichen Randbedingungen hinein,
die irgendwelche Belegungen ausschließen würden.
Also Ergänzung von folgerbaren Formen zu einer Menge verändert nichts
in Bezug auf die Modellmenge
Entsprechend ist M genau dann unerfüllbar, wenn M vereinigt,
mit der einer Menge von G unerfüllbar ist, beziehungsweise dasselbe mit Erfüllbarkeit.
Und auch in Bezug auf die Folgerung, eine Formel F
folgt genau dann aus M, wenn sie aus M vereinigt,
der einer Menge von G folgt. Gut, das heißt,
letztlich, wenn wir eine Formelmenge haben und eine Formel,
die daraus folgt, Dann ist es egal,
ob ich die Formelmenge selbst oder die Vereinigung mit einer Menge von G betrachte,
wenn ich mich umfragen, wie Erfüllbarkeit und Folgerung kümmere.
Die semantischen Eigenschaften werden nicht verändert, wenn ich solche Formeln ergänze.
Okay. Jetzt können wir ja auch betrachten,
gegeben eine Formelmenge
Die Menge aller Folgerungen, die ich ziehen kann aus dieser Menge M.
Also, die Mailinge aller Formeln, die aus M folgen,
werde ich im folgenden als die Folgerung von M, FOL,
von M beschreiben. Und man kann sich dann angucken,
wie verhalten sich eben diese Mengen von Formen unter bestimmten Bedingungen.
Insbesondere, oder eine besondere Menge ist auch die Menge der Tautologien.
Das ist, die bezeichnet,
ich MW im folgenden als Taut Bezug auf ARL,
einfach weil ich gleich eine Kürze brauche,
um mich einfach auf die Tautologien beziehen zu können.
Wir hatten vorhin die Monotonie schon angesprochen und die können wir jetzt kurz fassend so schreiben,
wenn M eine Teilmenge von einem Strich ist,
dann sind auch die Folgerungen von M eine Teilmenge der Folgerung von M Strich.
Also wenn ich was zu einer Formelmenge hinzu tu,
dann kann ich hinterher vielleicht mehr folgern,
aber auf gar keinen Fall weniger
Wir hatten auch schon gesagt, dass die Tautologien,
gerade die Folgerungen aus der leeren Menge sind,
beziehungsweise gerade die Folgerungen aus Tautologiemengen sind.
Ja, also die Tautologien,
wie gesagt, sind die Folgerungen aus sich selbst gewissermaßen.
Also die Menge der Tautologien ist Unterfolgerung abgeschlossen,
sagt man auch, wenn wir sozusagen Folgerungen hinzunehmen wollen,
dann kriegen wir aber nichts Neues,
sondern nur genau das,
von dem
wir ausgegangen sind
Und es ist auch die kleinste Unterfolgerung abgeschlossene Formelmenge. Also,
wenn wir überhaupt eine Menge haben, die Unterfolgerung abgeschlossen ist,
dann ist die Menge der Tautologien immer eine Teilmenge davon.
Ja, und jetzt kann man feststellen,
das Verhältnis zwischen einer Menge und der Menge der zugehörigen Folgerungen
sieht so aus, dass die Menge Teilmenge ihrer Folgerung ist.
Zudem sind die Tautologien Teilmenge jeder Folgerungsmenge,
egal was
mein M ist
Die Menge aller Erfolgerungen enthält die Tautologien und auch,
was wir feststellen können, doppelte Anwendung dieses Folgerungsoperators bringt nichts.
Wenn man einmal die Folgerungen bestimmt hat,
ist man fertig, ein weiteres Mal Folgerungen zu bestimmen,
bringt uns genau wieder dahin, wo wir eben waren.
Ja, und wenn wir zu unserer Menge,
aus der wir folgern wollen, irgendwie noch alle Tautologien dazutun,
dann bringt das auch nichts.
Die Folgerungen, die wir kriegen,
sind wieder genau dieselben Folgerungen,
die wir
auch aus M haben
Ja, und sozusagen noch als Randbemerkung, wenn wir eine unerfüllbare Formelmenge haben,
dann ist das ja eine Menge, die kein Modell hat.
Und der Folgerungsbegriff bewirkt nun, dass in dem Fall alle
Formeln folgerungen sind. Denn es gibt ja kein Modell,
dass irgendwie ein Ausschluss bewirken könnte einer Formel. Das heißt,
in dem Moment, wo wir eine unerfüllbare Formelmenge haben,
ist die Menge der Folgerung gleich die gesamte Sprache,
die Menge aller Formeln
Okay. Ja, das Letzte,
worauf ich heute noch eingehen möchte, ist der sogenannte Endlichkeitssatz,
der Endlichkeitssatz, das ist eben der Satz, der sagt,
naja, grundsätzlich haben wir die Apparatur dafür ausgerichtet,
dass wir auch mit unendlichen Formelmengen arbeiten können,
aber dabei passiert eigentlich nichts Kritisches.
Und zwar Ja. Kann man es sich auch so vorstellen,
dass wenn man in einer unendlichen Formelmenge,
wo auch immer man sie hier haben mag,
wenn es da drin einen Widerspruch gibt,
dann manifestiert sich dieser Widerspruch bereits in einer endlichen Teilmenge.
Also durch die Bildung unendlicher Mengen kriegen wir nicht neue Widersprüche,
die wir nicht auch endlich charakterisieren könnten.
Das könnte man sagen, ist die Hauptaussage des Endlichkeitssatzes
Das ist eine ganz wichtige Grundlage für überhaupt den Ansatz maschinell etwas beweisen zu wollen,
weil wir halt mit maschinellen Verfahren immer nur endliche Fälle behandeln können.
Und dieser Satz gibt uns Hoffnung zu sagen, naja,
und das wird uns auch tatsächlich helfen, auch in sehr komplexen Fällen.
Gut, die Aussage formal gesehen des Endlichkeitssatzes ist eine
Eine Formelmenge M ist genau dann erfüllbar,
wenn jede endliche Teilmenge von M erfüllbar ist.
Für endliche Mengen ist das natürlich selbstverständlich. Ja,
da ja die Menge M selber dann auch eine endliche Teilmenge von sich ist,
dann ist das einfach, ja, eine Tautologie,
die da steht.
Wenn wir uns beschränken auf endliche Mengen.
Für den Fall unendlicher Mengen ist das aber durchaus
eine interessante Aussage
Diese Endlichkeitssatz wird teilweise auch als Kompaktheitstheorien bezeichnet.
Das hat sozusagen Tradition in anderen mathematischen Strukturen,
wo man ähnliche Sätze kennt und hat was damit zu tun,
dass wir gewissermaßen die unendliche Menge beschreiben können,
durch eine Überdeckung mit endlichen Mengen.
Also als Zusammenfassung von endlichen Mengen. Und hier wird gesagt,
naja, und diese Betrachtung der endlichen Mengen reicht uns
im Prinzip aus
Gut, also, die Bedeutung ist,
dass wenn wir die Eigenschaften der endlichen Teilmengen kennen,
dann können wir auf die unendliche Formelmenge schließen.
Wenn er unerfüllbar ist, dann gibt es eben auch eine endliche Teilmenge,
nennen wir sie mal, im Stern von M, die unerfüllbar ist.
Das ist das, was ich meine,
mit Widersprüche manifestieren sich im Endlichen, ja,
da gibt es sozusagen einen endlichen Verursacher für einen Widerspruch,
wenn wir einen Widerspruch in einer unendlichen Menge haben
Und ja, die Aussage, der Endlichkeitssatz besagt,
beim Übergang von Endlichen zu unendlichen Formelmengen passiert eigentlich nichts Neues.
Nichts grundlegend anderes. Gut, und das wird dann wichtig,
wenn wir ausgehend von der Prädikatenlogik, Aussagenlogik nutzen wollen,
um gewisse Probleme zu lösen.
Dann generieren wir nämlich gerade
unendliche Mengen
Ich werde den Beweis hier nicht in allen Einzelheiten durchgehen.
Ich glaube, das macht nicht so viel Sinn.
Es ist in den Unterlagen zum Selbststudium für diejenigen Leute,
die es interessiert, drin. Aber wie versprochen, ja,
das werden wir nicht in der Klausur hinterher abfragen oder so.
Wichtig sind vielmehr diese beiden Folien.
Diese Folie, die sagt, was soll das Ganze?
Und diese Folie, die ein bisschen eine Idee gibt,
wie kann denn so ein Beweis strukturiert sein?
Ja, das ist nicht der volle Beweis und sah aus
gutem Grund
Es macht keinen Sinn, dass hier jetzt zu versuchen,
alles im Detail nachzuvollziehen. Okay. Was muss man grundsätzlich tun?
Wenn man sich mit so einem Übergang zu beschäftigen will,
zwischen den endlichen Strukturen auf der einen Seite und den unendlichen auf der anderen.
Zunächst mal können wir sagen,
unsere Grundaussage können wir ja wieder in zwei Richtungen betrachten
Ja, das war eine Aussage, genau dann,
wenn, und da können wir wieder beide Richtung betrachten,
zunächst mal den Teil, wenn M erfüllbar ist,
dann ist jede endliche Teilmenge von M erfüllbar.
Und dann den zweiten Teil, wenn jede endliche Teilmenge vom
M erfüllbar ist, dann ist auch M erfüllbar.
Okay, gucken wir uns den ersten Teil an,
wenn M erfüllbar ist, dann ist jede endliche Teilmenge erfüllbar.
Naja, gut, dazu brauchen wir eigentlich gar nicht viel zu sagen,
denn das hatten wir vor zwei Folien ungefähr schon aufgeschrieben, Moment, nee.
Da hatten wir ja gesagt, wenn wir zwei Formeln haben,
M und M Strich, M ist Teilmenge von M Strich,
dann gilt, wenn die Obermenge M Strich erfüllbar ist,
dann ist auch M erfüllbar.
Und hier haben wir ja nie eine Einschränkung gemacht,
die irgendwie sagt, das gilt nur für endliche M-Strich.
Das gilt ja hier für alle Formelmengen. Und diese Zusatzinfo,
die wir hier haben, Also hier steht,
M ist erfüllbar und wir haben jetzt,
gucken uns jetzt die endliche Teilmengen an.
Dann können wir sagen, naja, die endlichen Teilmengen sind natürlich Teilmengen.
Wenn die Obermenge erfüllbar ist, sind natürlich die Teilmengen erfüllbar.
Das ist wieder die triviale Richtung. Da muss man eigentlich nichts machen.
Das steht eigentlich nur mit anderen Worten sowieso schon da.
Schwierig ist der zweite Teil. Wenn jede endliche Teilmenge von
M erfüllbar ist, dann ist auch M erfüllbar.
Wie kann man sowas überhaupt angehen
Und das ist sozusagen ein Weg,
den man gehen kann, um sowas zu zeigen.
Und das ist eben noch dann aus buchstabiert in den ergänzenden Folien.
Also, was man braucht, ist gewissermaßen eine Sequenz endlicher Repräsentation unserer Formelmenge M.
Und diese Sequenz endlicher Repräsentation kann man dadurch bilden,
dass man Teilmengen bildet von der Menge M,
die sich immer weiter aufbauen.
Also man nimmt
immer mehr Formeln dazu
Und orientiert sich dabei in der Regel an den Aussagesymbolen.
Ja, wir nehmen beispielsweise erstmal nur die Formeln, in denen nur A vorkommt.
Dann im nächsten Schritt nehmen wir noch die Formeln dazu,
wo neben dem A auch noch das B vorkommen kann.
Und im dritten Schritt nehmen wir noch die Formeln dazu,
wo außer A und B auch noch C vorkommen kann.
Ja, und so weiter. So bauen wir unser M auf,
aus Formeln, MI, aus Formelmengen, MI,
die eben so eingeschränkt sind. Und Dabei können wir sicher sein,
dass jede Formel, die in M vorkommt,
auch in unendlich vielen diese MI vorkommt,
einfach weil ja jede Formel endlich ist und wir irgendwann,
nennen wir sie dazu genommen haben,
wir sie nicht mehr verlieren werden bei den weiteren Hinzufügungen von Formeln.
Wenn wir eine Formel einmal dabei haben,
dann haben wir sie auch anschließend immer dabei
So, diese Formelmengen MI können nun immer noch unendlich sein.
Ja, man kann eben auch ziemlich ungeschickt kodieren,
seine Informationen. Und das könnte halt sein,
dass man da reingeschrieben hat, ah, A und A,
A und A und A und so weiter.
Und gar nicht aufgehört hat, ja, unendlich viele Formeln
nur aus eigentlich. Also wir können nicht sicher sein,
dass unser MI endlich ist. Das heißt,
wir müssen die Informationen, die da drin steckt,
jetzt nochmal kondensieren und endlich repräsentieren.
Auch das ist möglich, will ich jetzt nicht ins Detail gehen,
wieso es möglich ist, aber das ist eben ein wichtiger Schritt,
dann zu sagen, naja,
das, was wir hier in diesen MI drin haben,
das können wir auch endlich repräsentieren.
Das heißt, wir gehen von MI zu Mengen MI-Strich über,
die genau dieselben Modelle haben.
Gut, und dann war ja unsere Voraussetzung,
dass alle endlichen Teilmengen von M
erfüllbar sind
Und diese MI-Strich, das sind jetzt endliche Teilmengen unserer ursprünglichen Menge M.
Das heißt, es gibt also für jedes dieser MI-Strich auch ein Modell.
Eine Belegung, die alle Formeln da drin wahrmacht.
Nur können sich diese Belegung in den verschiedenen Stufen auch grotesk voneinander unterscheiden.
Ja, da ist noch kein Grund anzunehmen,
dass die eigentlich dieselbe Meinung haben,
was die Aussagesymbole angeht
Das heißt, man muss dann aus diesen Belegungen eine neue Belegung bilden,
die das Moment für M ist. Und das macht man,
indem man ein gewisses Abstimmungsverhalten installiert,
wo man ausgehend von diesem Ausgangsbelegung immer wieder überprüft,
jetzt mal im ideellen Sinne,
wir behandeln hier immer noch unendlich viele Belegungen,
Man lässt abstimmen und sagt, wer ist für die eine Variante,
wer ist für die andere und die Mehrheit siegt.
Und auf dem Weg kann man dann eine Belegung konstruieren,
die letztendlich Modell für M ist. Gut. Also,
man sieht viele Details sind nötig, um so einen Beweis durchzuziehen.
Man muss endliche Repräsentationen des Inhalts von M erstmal schaffen,
der immer weiter oder eine Sequenz von solchen endlichen Repräsentationen,
die sich immer mehr annähert,
an den tatsächlichen Inhalt von M,
das ist ja
sehr detailreich sein kann anscheinend
Und muss dann auf der Ebene der Belegung
eingeeignetes Modell herausdestillieren über so ein Abstimmungsverhalten,
um dann zu einem Modell von M zu kommen.
Aber letztendlich kann man halt das Modell konstruieren.
Gut. Ja. Ich habe
ein paar falsche Besserstattungen
Okay, also die Frage war,
wenn jetzt unser M, unsere Menge M,
die Formel A und die Formel nicht A enthält,
dann ist es ja so, dass die jeweiligen Einermengen,
die Menge mit dem A und die Menge mit dem Nicht A,
diese jede für sich erfüllbar, aber die Gesamtmenge ist nicht erfüllbar.
Warum ist das hier kein Problem? Es ist deshalb kein Problem,
weil die Annahme hier sehr stark ist. Hier steht,
wenn jede endliche Teilmenge von M erfüllbar ist,
Wenn diese beiden Elemente drin sind in M,
dann ist ja auch die Zweiermenge bestehend aus A und nicht A eine endliche Teilmenge von M.
Und die ist nicht erfüllbar, ja, und deshalb muss auch M nicht erfüllbar sein.
Ja, das ist, das ist gute Beobachtung.
Das ist eben eine ganz starke, ganz starke Behauptung.
Das sagt nicht einfach nur, ich finde,
eine Zerlegung in endliche Teilmengen, die erfüllbar sind,
sondern das ist sehr viel stärker,
dass man dann eben diese endlichen auch noch durch Vereinigung kriegt,
mal wieder endliche und die müssen auch
erfüllbar sein
Und, ja, natürlich sind wir das Unendlichkeitsproblem jetzt nicht wirklich los.
Denn wir wissen ja, wenn M unendlich ist,
dann gibt es auch unendlich viele endliche Teilmengen von M.
Das heißt, jetzt könnte man sagen, man hat doch
überhaupt nichts gewonnen. Wir sind ausgegangen von einer unendlichen Menge
, wollten wissen, ist die erfüllbar.
Jetzt sagst du mir, prüft doch einfach alle endlichen Teilmengen.
Das sind auch unendlich viele. Wir haben das Problem doch
nur vergrößert und nicht verkleinert
Ja. Das ist durchaus ein berechtigter Einwand,
aber ich möchte nur zeigen, dass es grundsätzlich auch Fälle gibt,
wo man sagen kann, naja, wir können,
wenn wir sozusagen diesen Ideen folgen,
auch für gewisse unendliche Mengen dann entsprechend Modelle konstruieren bzw. Erfüllbarkeit zeigen.
Also hier habe ich mal als ein Beispiel,
Als ein Beispiel eine Formelmenge hingeschrieben, da sind unendlich viele Formeln.
Wenn man jetzt zeigen will, dass die erfüllbar ist,
diese Menge, dann kann man sich durchaus auch das Endlichkeitssatzes bedienen,
indem man zeigt, jede endliche Teilmenge dieser Menge ist erfüllbar.
Wie ist diese Menge aufgebaut? Wir haben hier A1 oder
Dann haben wir nicht A1 oder nicht A2 oder nicht A3.
Dann wieder A2 oder A3. Nicht A2 oder Nicht A3 oder
nicht A4. Ja, und das können wir entsprechend fortschreiben.
Immer sozusagen die Disjunktion von zwei positiven Aussagesymbolen oder positive Literalen.
Und dann die Disjunktion von drei negierten Varianten. Und ja,
grundsätzlich ist die Frage, wenn man solche Formelmengen aufbaut,
die ja eine recht regelhafte Struktur haben, Wie ist das eigentlich?
Also die erste Menge hier vorne könnten wir natürlich wahrmachen,
indem wir alle Aussagensymbole wahrmachen, die hier hinten,
wenn wir alle Aussagensymbole falsch machen, wenn wir sie aber zusammentun,
dann können wir nicht beide Prinzipien gleichzeitig wirksam werden.
Also müssen sich Wahrheitswerte irgendwie abwechseln zwischen den Aussagesymbolen.
Wie kann das passieren? Und mit dem Endlichkeitssatz kann man eben jetzt zeigen,
wie man eine entsprechende Interpretation finden kann, die tatsächlich dann
alle endlichen Teilmengen wahrmacht und damit dann auch die Gesamtmenge wahrmacht.
Also in diesem Fall geht es beispielsweise dadurch,
dass man ja die Wahrheitswerte alterniert. Das heißt,
die mit Ungraden Index beispielsweise alle auf eins abbildet,
die mit geraden Index alle auf null abbildet und damit erhält man dann eine Interpretation,
die tatsächlich alle Formeln,
die hier angegeben sind,
Gut. Aber ich gebe zu, diese Aufgaben wird man
in seinem Leben nicht teurig treffen. Wichtig waren nur die Message mitzubekommen,
dass die grundsätzliche Möglichkeit, auch über unendliche Mengen zu reden,
nicht fatal ist für die Logik, sondern einfach etwas ist,
was mit den normalen Mechanismen mitläuft in diesem Zusammenhang. Okay,
also in Bezug auf heutige Sitzung haben wir die Folgerung eingeführt und die Beziehung Allgemeingültigkeit,
Un Erfüllbarkeit, Äquivalenz behandeln und schließlich auch Endlichkeitssatz,
beziehungsweise Kompaktheit, die Idee behandelt und im nächsten,
in der nächsten Sitzung wird es,
wird es dann um sogenannte Deduktionsverfahren gehen, das heißt,
alternative Verfahren zum Wahrheitstafelverfahren, um Folgerungen zu bestimmen.
Okay, dann sehen wir uns morgen in aller Früh
wieder dann im anderen Hörsein