Okay. Also es sieht so aus,
als wenn ich es von hier probieren muss. Ja,
wir haben ja in der letzten Sitzung am letzten Dienstag die Aussagenlogik kennengelernt,
erst mal rein unter der Perspektive einer formalen Sprache.
Also Zeichenketten, die gewissen Kriterien genügen, die über gewisse Grammatiken generiert werden können.
Heute wird es jetzt darum gehen, wie man Aussagenlogik interpretiert.
Und die Aussagenlogik ist gewissermaßen die formale Sprache, die die
einfachst möglichen Wege wählt, um einer formalen Sprache eine Bedeutung zuzuordnen.
Einfachst möglich, aber dabei so systematisch, dass es hinterher möglich ist,
die Prinzipien, die man dabei verwendet, auch bei sehr viel komplexeren Sprachen anwenden zu können.
Und das Beispiel, was wir hier in der Vorlesung machen werden,
wird die Prädikatenlogik sein, die von der Semantik Alexa ist.
Andere Beispiele sind halt... Sprachen oder auch Datenbanken und Datenbank-Anfragesprachen und so weiter,
bei denen wir ja auch sagen, das,
was wir damit ausdrücken, ist nicht irgendwie Lyrik oder Firlefanz,
sondern wir wollen ja tatsächlich damit etwas Bedeutungstragendes ausdrücken.
Und um das systematisch machen zu können, muss man halt erstmal wissen,
wie kann man überhaupt einer formalen Sprache systematisch eine Bedeutung geben,
sodass man eben auch für einzelne Ausdrücke dann bestimmen kann,
Ja, was sie bedeuten,
unter welchen Bedingungen sie wahr werden oder bei Datenbankanfragesprachen beispielsweise,
was ist die gewünschte Menge von Ergebnissen,
wenn ich eine Anfrage stelle und eine gewisse Datenbank habe?
Gut, das Szenario, in dem wir uns bewegen,
hat auf der einen Seite so was wie einen Weltausschnitt,
den wir modellieren möchten. Eine Menge von Aussagen, die,
oder die sprachliche Beschreibung ist dann eine Menge von Aussagen,
die irgendwie diese Welt beschreibt.
Im Normalfall benutzen wir halt natürliche Sprache,
um Leuten zu erzählen, was passiert ist oder was irgendwie
der Fall ist.
Was ist so komisch
Alles gut. Ja, aber ich dachte, wir können mitlachen.
Wäre ja eine Möglichkeit. Aber worum es uns heute geht,
ist eben zu sehen, ja, was passiert,
wenn wir eine formale Sprache verwenden wollen,
um einen Weltausschnitt zu beschreiben?
Wir können die Beziehung zwischen der Welt und der sprachlichen Beschreibung
in zwei Richtungen sehen. Auf der einen Seite können wir sagen,
wir modellieren die Welt durch die sprachliche Beschreibung.
Wir kodieren oder repräsentieren unsere Beobachtung oder stellen Theorien auf in
einer formalen Sprache
Auf der anderen Seite können wir sagen,
wir haben sprachliche Beschreibungen und wollen die jetzt wieder interpretieren.
Also feststellen, was bedeuten die eigentlich für unseren Weltausschnitt?
Und damit können wir dann gegebenenfalls auch überprüfen,
ist das denn tatsächlich wahr, was wir hier ausgedrückt haben,
bezogen auf das, wie die Welt gestaltet ist?
Ja, Admir-Schreibungen können natürlich korrekt oder inkorrekt sein und
dieser Punkt korrekt halt,
das bezieht sich natürlich immer auf die Korrespondenz zwischen
der Welt und der Beschreibung
Ähm... Die Welt wird für uns hier auch relativ einfach modelliert werden,
nämlich einfach dahingehend, dass wir uns fragen,
ist eine Aussage in dem Ausschnitt wahr oder falsch?
Was genau es bedeutet für eine Aussage wahr oder falsch
zu sein, dass es außerhalb des Rahmens der Aussagenlogik.
In der Prädikatenlogik werden wir dann Mechanismen finden,
auf denen wir klären können,
was bedeutet es jetzt für eine Aussage in einer Welt,
Ausschnitt war oder falsch zu sein.
Jedenfalls wieder bis zu einem bestimmten Level der Abstraktion.
Aber in der Aussagenlogik, da können wir halt nicht weiter differenzieren.
Das heißt, Weltausschnitte können sich daringehend unterscheiden,
ob eine Beschreibung in diesem Weltausschnitt wahr ist oder ob sie falsch ist.
Und das ist halt sozusagen der Basis, der Basismechanismus,
Zuordnung der Wahrheitswerte zu den Beschreibungen, mit denen wir hier die Semantik betreiben.
Obwohl diese Möglichkeit, einfach zwei Wahrheitswerte, den Formeln zuzuordnen,
relativ einfach ist. Einfacher kann es eigentlich nicht mehr sein,
wenn wir nur einen Wahrheitswert hätten,
dann könnten wir ja überhaupt gar keine Differenzierung mehr machen.
Also zwei Wahrheitswerte ist das Mindestmaß, um überhaupt Differenzierung zu machen.
Und wenn wir diese einfachstmögliche Zuordnung machen,
dass wir Aussagen,
den Wahrheitswerten zuordnen,
dann können wir immer noch damit ein gewisses Gebäude aufbauen an Begrifflichkeit und an Theorie,
dass wir dann später wieder nutzen können,
um eben entsprechendes für komplexere Sprachen
zu machen
Ja, im Moment,
oder wir hatten dieses Schema auch schon in der ersten Folge-Sitzung
vorgestellt und im Moment beschäftigen wir uns noch nicht mit dem Punkt der Verarbeitung,
diesen Punkt der Verarbeitung bereiten wir jetzt gewissermaßen vor,
sondern was wir jetzt erst mal machen,
ist alleine uns mit der Beziehung zwischen dem Weltausschnitt hier grün und den Beschreibungen zu beschäftigen.
Und in einem späteren Schritt wird es dann eben darum gehen,
Verarbeitungsschritte zu definieren, von denen wir dann auch wissen,
was sie tun, ins Bett in Bezug darauf,
wie eben die Beschreibung jetzt zur Welt korrespondieren.
Ein einfaches Beispiel, wir nehmen mal hier vier einfache Aussagen.
Harry Potter 7 ist auf Englisch erschienen. Harry Potter 7
ist auf Deutsch erschienen. Kunde 23 kauft englische Bücherkunde 23,
kauft deutsche Bücher. Das sind sozusagen Basisaussagen und die können eben
wahr oder falsch sein. Und wir können jetzt sagen,
dass wir einen Weltausschnitt oder einen Zustand der Welt, eine Situation,
wie auch immer wir es bezeichnen wollen, dadurch beschreiben,
dass wir gucken, welche Aussagen sind wahr, beziehungsweise falsch.
Und in dieser Beschreibung würde nun gelten, Harry Potter ist auf Englisch erschienen.
Es ist auch auf Deutsch erschienen. Kunde 23 kauft deutsche
Bücher, aber er kauft keine englischen Bücher. Ja,
mit diesen vier Formeln, die wir hier gegeben haben,
beschreiben wir eine Situation.
Die Beschreibung dort drunter umfasst die Aussagen. Harry Potter 7
ist auf Englisch erschienen und auf Deutsch erschienen.
Hunde 23 kauft deutsche Bücher,
aber ob er englische Bücher kauft,
darüber haben wir hier
keine Informationen
Die positive Aussage ist in der Menge enthalten, noch die
negative Aussage, wir wissen es einfach nicht. Das heißt,
wenn wir unzureichende Informationen haben und davon können wir eigentlich ausgehen,
dass das in sehr vielen Fällen der Fall ist,
dass wir nicht alles wissen, was der Fall ist,
dann kann man das in der Logik dadurch erfassen,
dass man eine Aussage einfach weglässt und sagt, ja,
ist nicht explizit vorhanden,
wissen wir im Moment nicht
Wahrheitswerte hatte ich bereits gesagt,
benutzen wir für die Erfassung von Bedeutung, für die,
ja, Modellierung der Korrespondenz zwischen Aussagen und Weltausschnitt.
Und wir nehmen hier an, dass es zwei Wahrheitswerte gibt.
Wir werden hier schönigen Folgen 0 und 1 verwenden, um die Wahrheitswerte aufzuschreiben.
Statt 0 sage ich auch meistens falsch oder statt eins sage ich,
Man könnte natürlich auch dieses Strings wahr und falsch und wahr oder FW,
FT verwenden, um die Wahrheitswerte zu beschreiben.
Das ist völlig egal. Wichtig ist nur,
dass es zwei sind, dass sie wohl unterschieden sind.
Und dass klar ist, welcher dafür verwendet wird,
um zu sagen, dass einfach gilt.
Aussagen können jetzt bezüglich einer Interpretation oder auch Belegung
wahr oder falsch sein. Und das entspricht halt dem,
dass wir irgendwie den Wahrheitswert wahr bzw. falsch zuordnen
Die Prinzipien der Aussagen logischen Semantik sind jetzt dazu,
da zu regeln, nicht wie die atomaren Formeln zu ihren Wahrheitswerten kommen,
sondern wie komplexe Formeln zu ihren Wahrheitswerten kommen.
Also diejenigen Formeln, in denen logische Junktoren vorkommen.
Die Bedeutung einer Formel wird dann gut erfasst,
als die Gesamtheit aller Möglichkeiten,
unter denen diese Formel wahr ist,
beziehungsweise über die Differenzierung,
unter welchen Interpretationen sie wahr wird bzw. falsch wird
Ja, wenn wir uns unsere vier Basisfakten von vorhin vornehmen,
dann kann man feststellen,
mit diesen vier Aussagen können wir insgesamt 16 verschiedene mögliche Situationen unterscheiden,
je nachdem, welche der Basisaussagen wir als wahr beziehungsweise falsch ansehen.
Ja, in der ersten Zeile hier sagen wir jede der vier Aussagen ist falsch.
In der nächsten ist Harry Potter Nummer 7 auf Englisch erschienen,
aber die anderen Aussagen sind falsch und so weiter.
Wir haben vier Aussagen, zwei Wahrheitswerte und kombinatorisch ergeben sich damit eben insgesamt 16 Möglichkeiten.
Hierbei in der letzten Zeile haben wir halt die Situation,
dass Harry Potter auf Englisch erschienen ist,
auf Deutsch erschienen ist, Kunde 23,
englische Bücher kauft und auch deutsche Bücher kauft.
Diese verschiedenen Möglichkeiten unseren Aussagesymbolen, die wir hier gewählt haben,
Wahrheitswerte zuzuordnen, nennen wir auch Belegung.
Und wir können sie
auch als Weltzustände auffassen
Ja, und mit diesen vier Bausteinen, die wir haben,
den vier Aussagesymbolen, können wir eben keine feineren Differenzierungen machen,
als das, was hier gegeben ist.
Also beispielsweise die Frage,
ob Harry Potter Nummer 7 auf Französisch erschienen ist,
ist halt mit unseren Aussagen nicht darstellbar im Moment.
Wenn wir feiner differenzieren wollen, weitere Informationen darstellen wollen,
dahingehend bräuchten wir mehr Aussagesymbole.
Aber die vier reichen uns im Weiteren
Neben den Aussagesymbolen gibt es ja noch weitere Aussagen,
logische Formeln, komplexe Formeln, die wir aufbauen,
aus den Aussagesymbolen und den logischen Zeichen, den Jungtoren,
Legation, Konjunktion, Bissunktion,
Implikation und Bi-Implikation.
Hier nochmal wiederholt die Syntaxfolie dazu, wie man eben
Formeln aufbauen kann
Ja, was die logische Semantik zu klären hat, ist jetzt,
wie kommen solche komplexen Ausdrücke, die wir bilden können,
zu ihrem Wahrheitswert gegeben, dass wir für die Basisbausteine,
für die Aussagensymbole eben die Wahrheitswerte kennen.
Und das wird wieder gemäß dem Prinzip der strukturellen Rekursion geregelt,
nämlich indem wir eine Systematik bilden,
wie man die Interpretation der Basisaussagen Nutzt,
um dann in systematischer Weise die Wahrheitswerte von komplexen Aussagen zuzuordnen.
Die Funktion, die dazu genutzt wird, ist hier einmal aufgeschrieben.
Es kommen gleich noch andere Formen, dasselbe hinzuschreiben.
Ja, wir haben gegeben, eine Belegung. Das heißt,
eine Funktion, die für die Aussage Symbole eine Wahrheitswehrzuordnung macht,
also entweder wahr oder falsch zuordnet.
Und die Aufgabe ist jetzt, eine Funktion zu definieren,
die einerseits für die Aussagesymbole genau dasselbe tut, wie unsere gegebene Funktion.
Und andererseits aber für alle komplexen Formen auch Wahrheitswerte zuordnet.
Und das passiert eben durch rekursive Definition hier, in dem gesagt wird,
wenn ich den Wahrheitswert der Negation einer Formel wissen will,
dann gucke ich, welchen Wahrheitswert hat die unnegierte Formel hier F.
Und dann wähle ich genau den anderen Wahrheitswert.
Also wenn F.0 ist,
dann ist Negation von
1 oder wahr und umgekehrt. Bei der Konjunktion,
wenn ich zwei Formeln F&G konjugiere, dann erhält diese Konjunktion den Wahrheitswert wahr.
Genau dann, wenn beide Konjunkte, also F und G,
den Wahrheitswert wahr erhalten haben, sonst null.
Das heißt, wenn einer null ist oder falsch ist,
dann wird auch für die Konjunktion falsch zugeordnet.
Bei der Disjunktion F oder G, da reicht es aus,
dass eine der Formeln F bzw. geht den Wahrheitswert wahr erhält,
damit die Disjunktion wahr wird
Sonst wird es falsch, also wenn beide falsch sind,
dann wird die Dissiunktion falsch.
Und bei der Implikation, da ist die Regelung,
die wird wahr, also F impliziert G wird wahr,
wenn F falsch ist oder geh wahr ist.
Und falsch sonst, also falsch, wenn F wahr ist,
geh aber falsch ist. Inwieweit die Implikation mit dieser Bedeutungszuordnung oder
dieser Rechenvorschrift dass wenn dann der natürlichen Sprache ideal abbildet,
ist lange Thema der Diskussionen auch in einer logischen Philosophie gewesen.
Diese Implikation nennt man auch Materiale Implikation. Es ist halt eine Implikation,
die allein sich Wahrheitswerte anguckt und nichts weiter und entsprechend
auch unter Umständen gewisse Differenzierungen gar nicht ausdrücken kann
Gut. Das sind also die Rechenvorschriften für diese Jungtoren. Jetzt sehe ich gerade für die B-Implikation,
fehlt die Vorschrift hier, jetzt gucke ich, ja,
müsste ich nochmal nachtragen, ist einfach verloren gegangen auf dieser Folie.
Dafür stehst du auf der nächsten Folie jetzt in dieser tabellarischen Übersicht nochmal,
ja, diese Tabelle ist sozusagen eine kompakte Formulierung von dem,
was wir eben auf der Folie haben.
Wir haben hier einerseits die Formel F und G Und die
vier Möglichkeiten wie dem F&G-Wahrheitswerte zugeordnet werden können, als vier verschiedene Interpretationen.
Und dann jeweils eine Spalte für jeden Jungtor,
die dann sagt, wie wird F und G,
welchen Wahrheitswert bekommt F und G in dem Fall,
beziehungsweise F oder G,
F impliziert G oder eben FB impliziert G. Ja,
und hier haben wir also den Fall, den wir eben nicht hatten,
die Bi-Implikation von F und G wird genau dann wahr,
wenn die beiden Wahrheitswerte eh gleich waren.
Also beide null oder beide eins.
Wenn sie verschieden sind, gibt es eine Null.
Es wäre ganz nett, vielleicht die Tür zu schließen,
weil es doch ein bisschen unruhig draußen wird.
Nö, du brauchst nicht rausgehen. Okay. So,
die Berechnung von Wahrheitswerten für eine Formel kann man sich dann auch,
wie Und das entsprechend auch bei anderen Dankeschön.
Bei anderen rekursiven Funktionen funktioniert. Ganz schön an so einem Strukturbaum
der Formel klarmachen. Also wir haben hier die Formel Negation
von A und B oder C. A und B geklammert oder C.
Das hier wäre der Strukturbaum der Formel. Und wenn man
jetzt den Wahrheitswert bestimmen will für die gesamte Formel,
dann kann man an den Blättern beginnen.
Also A, B und C, denen sind Wahrheitswerte zugeordnet.
Hier ist A, die Null zugeordnet, B,
die 1,
C die Null
Dann kann man für die Teilformel A und B den Wahrheitswert bestimmen,
entsprechend der Vorschrift für die Konjunktion, die sagt,
wenn A 0 und B1 ist,
dann ist die Konjunktion auch null, beziehungsweise falsch.
Dann für diesen Teilbaum, wo die Dissiunktion der Hauptoperator ist,
können wir auch den Wahrheitswert bestimmen.
Dieser Teilbaum hatte den Wert null,
das C hat auch den Bereitswert null,
also kriegt die Dissiunktion auch den Wert null
Und das Ganze wird schließlich negiert, das dreht den Wahrheitswert
um und wir erhalten dann für die gesamte Formel den Wahrheitswert eins.
Gut, das war die Variante jetzt für diese eine Interpretation, die hier angegeben ist.
Wenn wir jetzt eine andere wählen, A2 hier,
die ordnet dem A, eins zu oder ein Wahr zu,
A2 ordnet B das falsch zu und C, das war,
dann erhalten wir wieder für die Konjunktion hier unten,
A und B, die Null,
denn B war ja Null
Für die Desjunktion A und B oder C
erhalten wir aber die Eins, weil das C,
den Wert Eins bekommt und die Negation dreht den Wahrheitswert wieder um.
Das heißt, das Ganze kriegt den Wahrheitswert null.
Das heißt, wir haben hier eine Formel,
die je nachdem, wie wir die Aussagensymbole bewerten,
die dort drinnen stehen,
unterschiedliche Wahrheitswerte erhält
Das heißt, diese Formeln ist in der Lage,
gewissermaßen zu differenzieren zwischen den Situationen, in denen die Formel
wahr ist und denen Situationen, wo sie falsch ist.
Ja, und wenn wir jetzt für das A,
B und C gewisse Interpretationen gewählt haben und sagen,
in dieser Situation ist diese Formel wahr,
dann wissen wir, dass die wahrheitswert Zuordnung,
die wir hier stehen haben,
ja,
keine passende oder zutreffende
Wahrheitswertzuordnung für die Aussagesymbole ist
Ja, wir wissen damit, wenn wir nur wissen,
diese Formel ist wahr, wissen wir nicht unbedingt,
ob A oder B oder C wahr ist.
Aber was wir wissen, ist, dass dieses Trippel
von Zuordnung nicht passend ist. Während die erste Variante,
die ich hatte, jetzt wieder zurück hier,
das ist eine, die macht die gesamte Formel wahr.
Also ist das eine Zuordnung, die eine mögliche Zuordnung ist,
wenn nicht eben die Information habe,
diese Formel hier oben ist wahr
Gut, wenn wir uns das gesamte nochmal vor Augen führen,
wie wir jetzt diese Zuordnung gemacht haben von Wahrheitswerten, dann können wir folgendes feststellen.
Wir haben zunächst mal begonnen mit einer sogenannten Belegung,
die den Aussagesymbolen, Wahrheitswerte zugeordnet hat.
Und dann haben wir darauf in eindeutiger Weise eine Funktion basiert hier A genannt,
die jeder Formel F einen eindeutig bestimmten Wahrheitswert zuordnet.
Und da überein Äh, in dem Bereich der Aussagensymbole. Das heißt,
ah, das, was wir hier definiert haben,
diese Funktion ist eine eindeutige Erweiterung von dem,
dieser Funktion, die nur für die Aussagensymbole zuständig war.
Und das im Folgenden recht lästig wäre, wenn wir immer
unterscheiden müssten zwischen diesen beiden Funktionen. Also der Funktion,
die nur für die Aussagensymbole zuständig ist und der Funktion,
die für alle Formeln zuständig ist,
aber das eben systematisch basiert auf den Aussagesymbolen,
Deshalb werden wir im Folgenden das typographisch nicht mehr differenzieren und dann einfach Arsch schreiben,
egal ob wir über Aussagesymbole reden oder beliebige Formeln.
So, das ist der erste Punkt. Dann der zweite Punkt,
wenn wir jetzt zwei Belegungen haben, die den Aussagesymbolen Werte zuordnet.
Wir haben eine Formel F, in der kommen halt gewisse
atomare Aussagen oder Aussagesymbole vor. Und unsere beiden Belegungen,
die wir haben, sind, sich zufällig einig,
was die Aussagesymbole betrifft, die in F vorkommen.
Das heißt, überall da, bei den Aussagesymbolen ordnen sie
halt denselben Wahrheitswert zu. Dann gilt natürlich auch,
dass die Formel, die gesamte Formel F unter beiden Interpretationen
oder beiden Belegungen den gleichen Wahrheitswert erhält. Das heißt,
insbesondere all die Differenzierungen zwischen A und A Strich,
die vielleicht bei den hunderttausend anderen Aussagesymbolen vorliegen oder gemacht werden,
die sind halt völlig irrelevant,
solange wir uns
nur für F interessieren
Und das ist ungemein praktisch, weil das bedeutet,
dass wir bei der Betrachtung der Semantik von F,
all die Aussage, Symbole, DNF nicht vorkommen,
auch überhaupt nicht zu berücksichtigen brauchen.
Das heißt, wenn wir Belegungen spezifizieren, dann ist es häufig so,
dass wir das einfach nur für so ein paar Aussagesymbole machen.
Wie wir es hier gemacht haben, wir haben hier einfach gesagt,
wir reden nur über A, B und C,
und sagen nur, welchen Wahrheitswert die bekommen,
was mit DE oder sonst welchen Aussagesymbolen ist, haben wir hier verschwiegen.
Und das war auch okay, denn es kamen ja
gar keine anderen Aussagen, Symbole vor. Ja,
jetzt hatten wir eine Reihe von Junktoren vorgestellt und für die eben gesagt,
wie sich die Wahrheitswerte berechnen, aufgrund der Eingabewerte für F&G.
Und jetzt kann man natürlich hingehen und sagen,
welche grundsätzlichen Möglichkeiten gibt es denn noch?
Also gibt es
noch irgendwelche Spannen
Möglichkeiten, Wahrheitswerte aufeinander abzubilden, die einfach durch unser Inventar,
dass wir hier uns vorgenommen haben, gar nicht geeignet gewürdigt werden.
Deshalb habe ich hier jetzt mal die 16 Möglichkeiten aufgeführt,
die sich ergeben, wenn man guckt,
wie man jeweils zwei Wahrheitswerte auf Wahrheitswerte abbilden kann.
Ja, also wenn wir zwei Eingabewerte haben und als Resultat auch nur zwei mögliche Werte,
nämlich 0 und 1, ergeben sich insgesamt 16 Möglichkeiten wieder,
welche Ja, Funktionen wird daraus generieren können.
Jetzt habe ich hier sozusagen einige grau unterlegt, sechs Stück genau. Und ja,
die habe ich grau unterlegt, weil man relativ leicht erkennen kann,
dass es wenig Sinn macht für diese Wahrheitswertfunktionen,
eigene Symbole als zweistellige Jungtoren einzuführen.
Ja, wenn wir uns Nummer eins angucken hier,
dort steht, dass egal welcher Eingabe wird über F&G reinkommt,
als Resultat konstant der Wert Null
rausgegeben werden soll
Ja, wenn wir einen zweistelligen Jungstour hätten,
der genau das tut, ja, der verschluckt irgendwie jegliche Informationen,
die hineinkommt und sagt hinterher immer falsch, falsch,
falsch, falsch.
Nein, nein, nein. Ja, dafür brauchen wir
keinen zweistelligen Jungtor, um das zu machen. Ja,
wenn wir sowas brauchen, dann definieren wir uns doch einfach
eine konstante falsch oder bottom oder wie sie auch immer heißen mag,
wie das tut.
Aber ein zweistelliger Jungtor, wo wir dann noch
zwei Formeln reintun müssen,
Und ganz analog hier bei 16, ja,
das ist eine Funktion, die gibt konstant die Eins raus,
egal, was als Eingabewert kommt.
Also das ist der Ja-Sager im Kontrast zu dem Nein-Sager hier vorne.
Auch dafür brauchen wir nicht den syntaktischen Aufwand einer zweistelligen,
eines zweistelligen Jungtors. Gut. Leicht anders, aber
nicht viel anders, sieht das bei den anderen aus.
Nummer vier zum Beispiel, da stellt man fest,
wie liefert hier 0011,
das ist genau dasselbe,
was wir hineingesteckt haben
mit der Formel
Ja, also das Nummer 4 steht für eine zweistellige Funktion,
die man auch als Projektion bezeichnen könnte,
die einfach nur weiterleitet, was F sagt und geh ignoriert.
Auch da können wir sagen, sowas hinzuschreiben,
macht keinen Sinn, dann schreibe mir doch einfacher F,
als eben eine komplexe Formel von der F wieder eine Teilformel ist.
Das heißt,
auch für vier brauchen wir kein eigenes Symbol und Nummer 6,
entsprechend 01, 01,
liefert also genau das,
was wir an der zweiten Position
als Eingabewert hatten
Nummer 11, Nummer 11 ist nochmal anders.
Hier haben wir als Resultat 1-0, 1-0.
Das haben wir hier nicht in der Eingabewerten exakt vorlegen,
aber wir stellen fest, das ist genau die Negation von dem,
was wir hier in der Position G stehen haben.
Auch hier brauchen wir dann eben keinen zweistelligen Jut,
um das zu machen, dann schreiben wir doch einfach nicht G,
wenn wir sowas haben wollen.
Und Nummer 13, ganz entsprechend die Negation von F,
kommt als Ergebnis heraus,
1-
Auch dafür brauchen wir keinen zweistelligen Jungtor. Okay,
also wir haben gesehen von den 16 Möglichkeiten,
können wir gleich feststellen, sechs Möglichkeiten sind so,
dass es keinen Sinn macht, einen zweistelligen Jungtor einzuführen dafür.
Bleiben zehn übrig, von denen haben wir für vier Stück
ein Jungtor eingeführt in unserer Sprache. Naja,
und jetzt könnten wir hingehen und für die restlichen sechs auch
Jungtoren einführen und ich habe hier mal aufgemalt, Symbole,
die dafür durchaus verwendbar sind oder verwendet werden können, verwendet wurden.
Die Implikation ist von den Jungtoren, die wir in unserem Inventar haben,
der einzige Jungtor, der nicht kommutativ ist,
also wo die Reihenfolge der Wahrheitswerte in Rolle spielt,
bei der Bestimmung des Wahrheitswertes.
Und entsprechend gibt es dann das symmetrische Gegenstück dazu.
Das ist hier Nummer 12,
der Wahrheitswertverlauf Nummer
Aber wir können auch sagen,
naja, den können wir uns auch schenken,
weil durch Umdrehen können wir eben die Implikationen immer verwenden,
um das hinzuschreiben, was wir mit dem sozusagen entgegengesetzten Pfeil hätten ihn schreiben können.
Dann habe ich hier drei jungen Turnen noch aufgeschrieben,
sozusagen als mögliche Negation der Pfeile, also Negation,
der Implikation, Negation, des umgedrehten Pfeils und Legation,
der Bi-Implikation,
dieses Ding wird häufig auch als exklusives Oder bezeichnet
Das wird genau dann wahr, wenn genau eine der Eingabewerte wahr wird und der andere nicht.
Naja, und dann gibt es eben noch den Peers-Freie Now,
also den negiert, das legierte Oder,
beziehungsweise den Schäferstrich nennt, die Negation vom Mund.
Ja, aber was man eben auch sehen kann,
ist, dass mit den vier Jungtoren, die wir haben,
plus der Negation hier eigentlich relativ gut in der Lage sind,
auch das jeweils auszudrücken,
werde ich gleich noch zu kommen
So, dass es keine echte Bereicherung wäre,
wenn du diese zusätzlichen Jungtoren in unserer Sprache aufnehmen würden und wir hätten ein bisschen Ballast mitzuschleppen,
weil wir gegebenenfalls bei induktiven Beweisen oder so eben nicht vier Fälle hätten,
bei zwei Jungtoren, sondern eben bis zu zehn.
Gut. Ja, jetzt kann man das Prinzip dieser Tafel,
wie ich sie eben aufgestellt hatte,
für die Jungtoren verallgemeinen als Wahrheitstafel für die Berechnung von Wahrheitswertsverläufen für Formen.
Hier mal an einem Beispiel. Unsere Formel ist,
wenn A und B, dann A oder nichts sehe,
wir haben in dieser Formel drei Aussagesymbol und entsprechend können wir feststellen,
dass es acht mögliche Belegungen gibt, die sich eben unterscheiden,
genau in den Aussagesymbolen DNF vorkommen.
Und jetzt können wir eben Für die Formel, den Wahrheitswertverlauf berechnen,
indem wir uns eben von den atomaren Formeln über Detailformeln
dann zur Gesamtformel durchrechnen in gewissermaßen.
Also die Konjunktion A und B wird wahr,
wenn sowohl A als auch B wahr werden,
das ist genau der Fall bei A7 und A8.
Ansonsten ist immer einer von beiden falsch und entsprechend ist dann
auch der Wahrheitswertverlauf für A und B. Überall null bis auf
die letzten beiden Stellen
Negation von C, dreht den Wahrheitswert von C jeweils um.
Das heißt, wir erhalten auch diese Alternation zwischen Einzelnen und Nullen
, nur eben jeweils Versetzung Eins.
Das heißt, da, wo C die Null hat,
hat nicht C, die Eins und so weiter. A,
oder nicht C, wird wahr, wenn A wahr wird,
dass es bei den letzten Vieren der Fall,
oder wenn nicht C, wahr wird,
das ist hier bei Nummer Eins und Nummer drei
der Fall.
Und entsprechend erhalten wir
diesen Wahrheitswertverlauf
Und jetzt haben wir die Implikation von A und B
impliziert, A oder Nichts sehe.
Die Implikation wird wahr, wenn A und B falsch wird.
Das ist in den ersten vier Fällen hier der Fall.
Oder das, was hinter dem Pfeil steht, wahr wird.
Und so ergibt sich insgesamt, unter allen Bedingungen wird diese
Formel wahr. Wenn man sie fragt,
was ist die Bedeutung einer Aussagen logischen Formel,
so sieht man häufig die Antwort der Wahrheitswert,
stimmt nicht mit meiner Auffassung überein
Die Formel an sich hat als Bedeutung am ehesten noch den Wahrheitswertverlauf.
Also gewissermaßen die Funktion, die die Aussagesymbolinterpretation abbildet,
auf die Wahrheitswerte für die gesamte Formel.
Und in diesem Fall haben wir halt eine Formel,
die unter allen Bedingungen wahr wird.
Das sind Formeln, für die sich die Logik besonders interessiert,
also Logik als Disziplin
Wir werden Ihnen auch Beachtung schenken, aber naja,
was wir auch wissen, ist,
dass diese Formeln uns nicht viel nützen werden,
um darüber Informationen weiterzugeben, wie die Welt eigentlich beschaffen ist.
Die letzte Spalte, wieso jetzt überall die Eins steht?
Die Implikation, ich gehe jetzt mal kurz hier zurück
Die Implikation, bei der ist die Vorschrift zur Berechnung der Wahrheitswerte so.
Also F impliziert G wird dann wahr, wenn es falsch ist oder gehwahr ist.
Also hier in diesem Fall A1 und A2 machen eher falsch
und geh, macht A2 und A4 machen Geber.
Das heißt A1 A2 und A4 sind diejenigen, die wahr werden.
Und nur der einzige Fall, wo die Implikation falsch wird,
das ist der Fall, wenn F wahr ist und geh falsch ist.
Also, wie ich schon gesagt habe,
die Implikation kann in einer gewissen Weise als formale Modellierung von Vendan aufgefasst werden,
macht das aber nur mit, naja,
partieller Übereinstimmung der Bedeutung, würde ich sagen.
Was ausgeschlossen wird, ist, Das eine, wenn-dann-Aussage,
wahr wird, wenn die Voraussetzung war, ist aber die Konsequenz falsch.
Also nehmen wir mal ein Beispiel. Wir haben einen Satz,
wie, wenn die Sonne scheint, ist es warm.
F ist jetzt, die Sonne scheint, G ist,
es ist warm. Und jetzt stellen wir fest,
es gibt Situationen, wie beispielsweise heute, da scheint die Sonne
Also die Sonne scheint, ist wahr.
Es ist warm, stimmt aber nicht. Man zieht sich
doch lieber eine Jacke an und lange draußen sitzen,
tut man auch nicht, weil es einen halt fröstelt.
Also man hat die Situation, es ist,
die Sonne scheint, aber es ist nicht warm.
Und das ist eine Situation, wo man sagen würde,
naja, das ist doch ein Gegenbeispiel für die Aussage,
wenn die Sonne scheint, ist es warm.
Es gibt andere Fälle. Gut. Und jetzt sagt halt
diese Wahrheitsnetzzuordnung, wenn es solche Gegenbeispiele gibt, Dann,
oder dann soll halt auch diese Implikation in den Fällen nicht wahr sein.
Gleich. Ja. Gut. Und für alle anderen Fälle
ist die Modellierung hier mit der Implikation so, dass gesagt wird,
so eine Vendan-Beziehung wird nicht widerlegt durch eine Situation.
Also wenn weder die Sonne scheint, noch ist warm ist,
dann, naja, diese Vendan-Beziehung sagt einfach nichts,
Sonderliches über die Situation und insbesondere können wir das nicht als ein Beleg dafür nehmen,
dass die Implikation nicht gilt.
Oder wenn es warm ist, obwohl die Sonne nicht scheint,
ist das auch kein Gegenbeispiel für, wenn die Sonne scheint, ist es warm.
Und schließlich, wenn die Sonne scheint und es warm ist,
dann ist das auch kein Gegenbeispiel für diese Vendant-Beziehung.
Deshalb hat man sich geeinigt für die Implikation,
diesen Wahrheitswertverlauf anzusetzen und groß schon drüber diskutiert,
Welche Möglichkeiten es vielleicht noch gibt, wenn dann Beziehungen besser abzubilden,
als man es hiermit kann.
Ja, das ist einfach hier eine Festlegung,
die Implikation wird immer wahr, außer in den Fällen,
wo die Prämisse wahr ist, aber das,
was erschlossen werden soll, falsch ist.
Gut, jetzt deine Frage. Ich wollte fragen nach zwei,
wenn es, wenn es so eine nicht Scheinbusiness machen muss.
Das bringt mich auch. Ich kann immer aus den Kontakten,
was so ist, und ich verstehe noch nicht,
wie es im Terrenfunktionier ist
A2. Also wenn,
wenn die Sonne nicht scheint und es trotzdem wahr ist,
dann ist das ja kein Gegenbeleg gegen die Regel,
wenn die Sonne scheint, ist es wahr.
Ist es warm, Entschuldigung. Wenn die Sonne scheint,
ist es warm. Das ist ja die Aussage, mit die
wir reden. Jetzt gehst du raus und stellst fest,
oh, ist schön warm, aber Sonne scheint nicht.
Dann würdest du ja nicht sagen, dann stimmt die Regel nicht.
Boah, heißt es ja, wir sollten die Scheiße sehen.
Eins ist, eins ist,
die Sonne scheint nicht und es ist auch nicht warm
Eins ist keine, wenn dann, aber all das ist die Situation,
es ist nicht warm und die Sonne scheint auch nicht.
Auch das würden wir nicht als Gegenbeleg sehen gegen die Regel,
wenn die Sonne scheint, dann ist es warm.
Aber ich stimme zu, die Implikation ist wahrscheinlich der Fall,
wo man einfach sich hinsetzen muss und sagen muss,
ich akzeptiere es jetzt mal
Eine große Menge von Logikern, Philosophen haben sich damit beschäftigt,
ein besseres Beispiel oder eine bessere Möglichkeit zu finden,
Implikations- oder so eine Wendan-Beziehung zu modellieren und diese besseren Möglichkeiten,
die es vielleicht gibt, brauchen einen viel größeres Werkzeug,
als es die Aussagenlogik uns bietet.
Diese Funktion, die wir hier aufgeschrieben haben,
die sind Wahrheitsfunktional. Das heißt, sie können ihren Ausgabewert
alleine aufgrund des Eingabewahrheitswertes bestimmen
Sie haben keine weitere Möglichkeit, Informationen aus den Formeln rauszuholen.
Ja, und das ist halt eine enorme Einschränkung darüber,
was sie machen können.
Deshalb sind sie einfach und man muss sich vielleicht auch davon verabschieden,
zu sagen, wir übersetzen das mit, wenn dann.
Ja, weil das natürlich sprachliche,
wenn dann vielleicht manchmal anders funktioniert.
Gut. Ja, wenn wir es akzeptiert haben,
dass die Implikation so interpretiert wird,
dass die Formel F impliziert G, als wahr ausgewertet wird,
wenn entweder die Voraussetzungen nicht gelten, also F nicht Geld,
also das falsch ist, was vor dem Pfeil steht.
Oder wenn das, was hinter dem Pfeil steht,
wahr ist,
dann erhält man
diesen Wahrheitswertverlauf
Und das ist eben alleine bestimmt aus dieser Festlegung,
wie wir den Pfeil hier interpretieren.
Solche Wahrheitstafeln kann man natürlich auch für mehrere Formen aufschreiben,
wenn man genug Platz auf dem Papier hat.
Hier beispielsweise habe ich mal den Wahrheitswertverlauf für
die Formel Nicht-A oder B
Nicht A, ist ja der Wahrheitswertverlauf,
ergibt sich genau durch Umdrehen der Werte,
die wir für A hatten jeweils, nicht A oder B,
erhalten wir überall da eine Eins, wo nicht A eine Eins hat.
Oder wo das B in Eins hat. Da kriegen wir auch
eine Eins. Und eine Null kriegen wir nur da,
wo sowohl B als auch nicht A eine Null hat.
Und hier nochmal die Implikation, was wir eben auch hatten,
wie man feststellen kann, ist bei dieser Festlegung,
dieser Festlegung der Wahrheitswertverläufe für die Implikation,
haben wir eine exakte Übereinstimmung für die Formel Nicht-A oder B und A impliziert B.
Die haben also den gleichen Wahrheitswertverlauf. Wer in den schönen reinguckt,
der mag sehen, dass Schöning das zum Anlass nimmt, zu sagen,
naja, dann definieren wir die Implikation einfach als eine Abkürzung dieser Formel.
Diesen Schritt haben wir hier nicht gemacht,
weil ich es irgendwie ein bisschen schwierig finde,
zu sagen, wir machen einerseits eine syntaktische Analyse,
andererseits führen wir sowas wie Abkürzungen ein.
Ja, also für uns ist das eine echte Formel,
keine Abkürzung, aber wir beobachten denselben Wahrheitswertverlauf hier.
Ja, wir haben jetzt also Belegung und Formeln und unter
bestimmten Belegungen werden Formeln wahr oder falsch
Und wir haben auch davon gesprochen, dass wir mit Formen gewissermaßen modellieren wollen.
Und den Modellierungsbegriff, den wir hier haben in der Logik,
ist einer, der sich einfach ergibt aus der Frage,
wie bilden wir ab zwischen der Welt,
den Weltausschnitten und unserer Sprache.
Und entsprechend ist das, was wir als Modell bezeichnen,
hier in der Logik, ist letztlich eine Belegung,
die, die Formel wahrmacht.
Also ein Modell für eine Formel ist eine Belegung oder Interpretation unter der
diese Formel wahr wird. Wenn man in andere Logikbücher hineinguckt,
als den Schöning, dann stellt man fest,
dass hier die Logiker sich nicht unbedingt einig sind mit der Terminologie.
Ja, es könnte sein, dass jemand den Modellbegriff etwas
anderes verwendet, als wir es hier tun.
Also gegebenenfalls, wenn man ein anderes Buch nennt,
genau hingucken,
ist das eigentlich
dieselbe Begrifflichkeit
Für so eine Konstellation, dass eine Belegung, eine Formel wahrmacht,
haben wir aber auch noch andere Ausdrücke, um das zu sagen.
Also wir sagen beispielsweise, A macht F wahr oder A,
erfüllt die Formel F. Es gilt unter der Belegung A. Ja,
das sind alles sprachliche Ausdrücke, die eigentlich dieselbe Konstellation bezeichnen.
Und wenn wir es symbolisch machen wollen,
dann schreiben wir es so, ah,
und jetzt diesen Modellhammer oder wie man es nennen will,
also senkrechter Strich mit zwei vagisch rechten Strichen
dran,
Diese Symbolik steht dafür,
dass diese Formel F durch diese Belegung A wahrgemacht wird.
Schön kompakt, wenn man es kompakt braucht, kann man
das eben so hinschreiben. Natürlich gibt es auch Situationen,
wo eine Belegung eine Formel falsch macht. Ja,
dann sagen wir eben, die Belegung macht die Formel falsch.
Oder auch die Belegung falsifiziert die Formel F. Oder F gilt
nicht unter der Belegung A. Und um es kurz und knackig hinzuschreiben,
streichen wir eben einfach diesen, Dieses Modellierungs- oder Modell-Symbol nochmal durch.
Also senkrechter Strich mit zwei Warnrechtsstrich und das Ganze durchgestrichen,
steht für diese Belegung, macht die Formel nicht wahr.
Dieses Symbol, was ich hier neu eingeführt habe auf der Folie,
dieses Symbol wird in der Logik auch mehrfach verwendet.
Wir werden dem nochmal begegnen in anderer Verwendung.
Nicht überrascht sein, wenn es nochmal anders verwendet wird
Ja, hier habe ich nochmal unsere Sprache mit den vier Symbolen,
Horry Potter und der Kunde 23 mit den jeweiligen Sprachvarianten aufgeführt.
Und hier unten stehen jetzt Formelmengen. Und ja,
manchmal ist es halt auch nützlich,
wenn man nicht nur in Bezug auf eine Formel sagt,
dass die Formel wahrgemacht wird durch eine Interpretation oder Belegung,
sondern dass man entsprechendes über eine Formelmenge sagt
Das hatte ich hier unten auch schon auf der Folie angedeutet,
wenn M eine Formel Menge ist, dann heißt eine Belegung A,
Modell, im Modell für jede Formel aus M ist,
nennen wir auch Modell der Formelmenge.
So, also hier haben wir entsprechende Formelmengen und wenn wir uns das hier angucken,
HP7, also Harry Potter 7 ist auf Englisch erschienen,
Harry Potter 7 ist auf Deutsch erschienen, Kunde 23,
kauf deutsche Bücher, aber er kauft keine englischen Bücher.
Diese Formelmenge, die hat nur ein einziges Modell und das
Ja, die macht alle Formeln, die in der Menge drin sind, wahr.
Wir haben hier einerseits diese drei Aussagesymbole, hier diese drei.
Und ein negiertes Aussagensymbol. Und A12 macht die drei Aussagensymbole,
die drin sind, wahr? Und das letzte falsch,
und das passt halt gerade dazu, dass das jenigiert auftaucht.
Wenn wir uns diese reduzierte Formelmenge im zweiten Beispiel angucken,
Harry Potter 7 ist auf Englisch erschienen,
auf Deutsch erschienen und Kunde 23 kauft deutsche Bücher,
Diese Formelmenge sagt ja überhaupt nichts darüber,
ob Kunde 23 vielleicht auch englische Bücher kauft.
Und entsprechend hat diese Formelmenge zwei Modelle. Nämlich die Variante A12,
wo der Kunde keine englischen Bücher kauft und die Variante A16,
wo er englische Bücher kauft.
Also, Formelmengen können auch mehr als ein Modell haben,
dann sind sie halt nicht maximalspezifisch.
Gut, und hier unten haben wir noch eine Formelmelmenge.
Harry Potter 7 ist auf Englisch oder auf Deutsch erschienen
Und Kunde 23 kauft deutsche Bücher, aber keine englischen Bücher.
Und diese Formel Menge hat dann drei Modelle, A10,
A11 und A12. Ja, wir hatten vorhin gesagt,
die Interpretation oder Modellbildung reguliert,
wie die sprachlichen Beschreibungen zu den Weltausschnitten korrespondieren.
Und ja, wir hatten jetzt gesagt,
ein Modell einer Formel, das ist halt eine Belegung,
die eine Formel wahrmacht
Also, eine Interpretation, die auf einen Weltausschnitt abbildet,
in der die Formel wahr ist.
Nun haben wir gesehen, dass es Situationen gibt,
wo wir sprachliche Beschreibungen haben, aber es gibt verschiedene Möglichkeiten,
wie diese Formeln wahrgemacht werden können.
Das heißt, diese Beschreibungen sind gewissermaßen mehr deutig.
Sie können nur eine Unterscheidung machen zwischen einigen Weltausschnitten,
die gemeint sein könnten und anderen Weltausschnitten,
die auf jeden Fall ausgeschieden werden durch die Beschreibung.
Aber sie können nicht sagen,
genau diese Variante gilt jetzt
Also Formeln und Formelmengen können verschiedene Modelle haben. Und das
ist halt eine Situation, mit der man auch zurechtkommen muss.
Letztlich ist das nicht viel anders,
als dass man ja auch in der Programmierung nicht nur Programme schreibt,
die mit einem Datensatz zurechtkommen müssen,
sondern auch Programme schreiben sollte,
die mit beliebigen Eingaben letztlich zurechtkommen müssen und da
vernünftige Ausgaben liefern
So, jetzt, wenn wir sprachliche Beschreibungen haben,
die eben mehrere Weltausschnitte, Projekt beschreiben, können,
dann interessiert uns vielleicht auch,
welche sprachlichen Beschreibungen sind es eigentlich,
die überhaupt dazu in der Lage sind, zu differenzieren dazwischen,
wie die Welt beschaffen ist und welche sind dazu untauglich.
Dafür habe ich hier diese Bewertungsblase eingeführt ins Bildchen. Ja,
wir wollen irgendwie Terminologie- und Bewertungsmöglichkeiten schaffen, die darüber sprechen,
Wie eigentlich eine sprachliche Beschreibung zu der Welt passt oder auch nicht.
Und das ist die Begrifflichkeit,
die beginnt jetzt mit dem Erfüllbarkeit und Unerfüllbarkeit von Formeln.
Wir hatten ja gesagt, Formeln können Modelle haben.
Grundsätzlich ist es aber auch möglich,
dass eine Formel gar kein Modell hat.
Beispiel hier unten, A und Nicht A. A kann ich
gleichzeitig wahr und falsch sein
Egal, wie ich sozusagen weiter versprachliche oder übersetze.
Es ist unmöglich, dass es gleichzeitig war und falsch ist.
Also die Sonne scheint und die Sonne scheint nicht.
Macht halt keinen Sinn. So kann die Welt eigentlich nicht sein. Gut,
also eine Formel, die unter keiner Interpretation wahr wird,
nennen wir unerfüllbar oder auch Kontradiktion.
Eine Formel, die mindestens unter einer Interpretation wahr wird,
nennen wir erfüllbar
Genauso können wir eben auch sagen, formeln können,
falsifizierbar sein oder auch nicht. Falsifizierbar,
also eine Belegung haben, die die Formel falsch macht.
Gut, ja, jedes Aussagensymbol beispielsweise ist falsifizierbar,
denn ich kann ja jedem Aussagesymbol einfach unter einer Interpretation die Null zuordnen.
Genauso ist das Aussagesymbol auch erfüllbar. Man kann eben
auch die Eins zuordnen
Gut, und diese Erfüllbarkeit, die kann unter Umständen
auch wieder für Formelmengen interessant sein. Entsprechend sagen wir,
eine Formelmenge ist erfüllbar, wenn es ein Modell gibt für die Formelmenge,
unter der dann eben entsprechend alle Formeln,
die eine Menge enthalten sind, auch wahr werden.
Und unerfüllbar ist die Formelmenge,
wenn man keine Interpretation findet,
keine Belegung,
unter der
alle Formeln wahr werden
Ja, entsprechend ist diese Formelmenge hier unten,
die wieder A und nicht A enthält,
aber jetzt als getrennte Formeln nicht explizit mit Konjunktion verknüpft,
aber auch als Formelmenge betrachtet, ist das unerfüllbar.
Obwohl jede einzelne Formel für sich erfüllbar wäre.
Hier sieht man schon, dass eben die Mengenbildung hier
als sowas wie eine implizite Konjunktion aufgefasst werden kann.
Nun gibt es natürlich auch die Möglichkeit, dass eine Formel nicht falsifizierbar ist.
Sprich, unter allen Belegungen wird der Formel auf jeden Fall
wahr zugeordnet. Und solche Formen nennen wir auch allgemeingültig.
Oder kurz gültig. Ja, und auch das Wort Tautologie,
eine Formel, ist eine Tautologie. Das zeichnet genau denselben
Sachverhalt. Die Formel wird unter allen möglichen Interpretationen wahr.
Sie ist halt nicht falsifizierbar, man kann keine Null zuordnen.
Und hier sehen wir dieses Symbol nochmal, was wir vorhin
schon Für die Beziehung, eine Belegung ist ein Modell von F.
Und hier benutzen wir dasselbe Symbol, schreiben einfach F dahinter.
Und das wird standardmäßig als Abkürzung für F ist eine Tautologie verwendet.
Man kann sich das merken, indem man sagt,
naja, es ist halt egal, was man davor schreibt,
welche Belegung auch immer man davor schreibt,
das ist okay,
die Formel wird halt durch jede Belegung wahrgemacht
Gut, jetzt hatten wir den Begriff Tautologie für die Formeln,
die immer wahr werden, Kontradiktion für die Formeln,
die immer falsch werden.
Und dann wollen wir auch noch einen Begriff haben für die Formeln,
die mal wahr werden und mal falsch werden.
Und die werden als Kontingent bezeichnet. Die sind erfüllbar,
sie können also den Waldwirt 1 annehmen und sie sind auch falsifizierbar,
sie können auch den Wahrheitswert null annehmen.
Je nachdem,
wie die Welt halt beschaffen ist,
die sie beschreiben sollen
Gut. Ja, hier habe ich nochmal Kontingente-Formeln als Aussagensymbole,
sind kontingente Formeln, aber auch sowas wie A
oder nicht B ist Kontingent.
Man kann beide Wahrheitswerte bekommen, je nachdem, welche Interpretation man wählt.
Aber A oder nicht A ist ein Beispiel für eine allgemeingültige Formel.
Die Sonne scheint oder sie scheint nicht. Damit habe ich
nicht viel erzählt darüber,
was draußen gerade los ist
Ja, allgemeingültige Formeln und Kontradiktionen sind halt nicht besonders interessant,
wenn man erzählen will, was los ist,
aber für die Logiker sind sie von besonderem Interesse,
weil das hier einfach die logische Struktur ist,
die den Wahrheitswert bestimmt und nicht die Beschaffenheit der Welt.
Ja, und die Logiker interessieren sich eben mehr dafür,
was die Logik macht und nicht, was die Welt macht.
Hier habe ich nochmal versucht, systematisch die Begrifflichkeit zusammenzustellen,
Wir haben also unter den Aussagen logische Formeln und unter semantischen Kriterien einerseits erfüllbare Formeln.
Das sind Formeln, die durch eine Interpretation mindestens wahrgemacht werden.
Wir haben falsifizierbare, das sind welche, die unter
einer Interpretation falsch werden. Die Schnittmenge dieser beiden Mengen,
das sind die Kontingentenformeln, die können eben je nachdem,
wie die Welt beschaffen ist, wahr oder falsch werden.
Und dann haben wir eben die Konstantenformeln.
Einerseits die Tautologien, die sind erfüllbar und konstant,
also immer wahr
Oder die, und auf der anderen Seite die Kontradektion,
die sind unerfüllt, die sind falsifizierbar, konstanten Wahrheitswert, also immer null.
Ja, wie gesagt, allgemeingültige und unerfüllbare Formeln sind logisch interessant,
denn die logische Struktur bestimmt hier in Wahrheitswert,
uns oder epystemisch interessant sind die Kontingentenformeln,
damit können wir die Welt beschreiben.
Gut, also unser eure Blase hier mit den möglichen Bewertungen
von Formen in Bezug darauf, welche Weltausschnitte sie beschreiben können
Können wir jetzt füllen mit diesen Begriffen, erfüllbar,
falsifizierbar, allgemeingültig, Kontingent und unerfüllbar, erfüllbar heißt,
es gibt eine Interpretation, unter der die Formel wahr wird,
falsifizierbar ist, es gibt Interpretationen, unter denen sie falsch werden.
Das heißt, wenn ich damit eine Aussage mache und sage,
diese Aussage ist wahr, dann habe ich Interpretationen ausgeschlossen,
die halt die Formel auf wahr abgebildet hätten.
Allgemeingültige sind wahr in jeder Welt, differenzieren also nicht zwischen unseren Welten,
Kontingent sind welche, ja, erfüllbar, unfallsifizierbar sind.
Also die beschriebenen Weltausschnitte von denen trennen, die nicht beschrieben sind durch die Formel.
Unerfüllbar sind solche, die überhaupt kein Modell haben. Ja,
jetzt kann man sich fragen,
was für Verfahren könnten wir eigentlich einsetzen, um zu sortieren,
unsere Formeln dahingehend, in welche unserer Kästchen,
die wir eben aufgeführt haben, sie gehören.
Und wir werden vielleicht auch noch andere Begrifflichkeit bekommen,
die wir verwenden wollen, um über die Formeln zu reden.
Und auch da wird sich immer wieder die Frage stellen,
ja, wie laufen die Verfahren?
Können wir uns auf das Ergebnis verlassen? Ist das also
korrekt, was die Verfahren tun? Wie viele Verfahren benötigen
wir eigentlich? Also brauchen wir fünf verschiedene Verfahren,
weil wir hier fünf verschiedene Kästchen haben oder können wir
das mit weniger Verfahren erledigen?
Wie aufwendig sind die Verfahren und wie aufwendig ist das
beste Verfahren
Wenn wir uns beispielsweise angucken,
diese Begrifflichkeit, die wir jetzt gerade eingeführt haben,
dann stellen wir fest, dass wir natürlich dann,
wenn wir die Wahrheitstafel für eine Formel haben,
die komplett ausgefüllte und richtig ausgefüllte Wahrheitstafel einer Formel,
dann können wir auf dieser Basis die Sortierung vornehmen.
Um festzustellen, ob die Formel erfüllbar ist,
müssen wir nur nachgucken,
ob eben für die Formel einmal der Wert 1
eingetragen ist
Sie allgemeingültig ist, stellen wir fest, indem wir feststellen,
sind alle Kästchen für diese Formel mit eins ausgefüllt und so weiter.
Das heißt, wenn wir ein Verfahren haben,
das uns systematisch war als Staffeln, bestimmt,
dann können wir darauf relativ einfach Verfahren aufsetzen,
die uns diese Sortierung oder Entscheidung vornimmt.
Das kann man unter Umständen relativ einfach programmieren,
aber unter Umständen kann es sein,
dass in konkreten Fallen solche Tafeln eben
sehr groß werden
Ja, dass wir hier in der Regel mit nicht mehr als vier Aussage-Symbolen hantieren,
das nicht allein an der Beschränktheit von Folien und so.
Wenn man sich vorstellt, eine Datenbank,
in der vielleicht tausende oder Zehntausende von Einträgen,
von einzelnen Fakten abgelegt sind,
die alle für ein eine Aussage stehen.
Und man will dann dafür vielleicht eine Wahrheitstafel aufbauen,
dann kann man sich schon vorstellen,
dass das kaum noch in einen vernünftigen Hauptspeicher passt
Insofern ist die Frage, ja, gibt es vielleicht billigere Verfahren,
wo man nicht die gesamte Wahrheitstafel aufbauen muss und wo man
ja trotzdem die richtige Antwort bekommt.
Die zweite Perspektive ist, dass man feststellen kann,
naja, für einzelne Formen, bei denen wir wissen,
dass ihnen nur endlich viele Aussagesymbole enthalten, ist das machbar.
Aber wir hatten ja auch Formel-Mengen, die wir klassifizieren wollen nach Erfüllbarkeit und Unerfüllbarkeit.
Und die können grundsätzlich auch unendlich viele Formeln enthalten.
Und für den Fall ist dieses Verfahren halt nicht unbedingt anwendbar. Und insbesondere,
wenn man weggeht von dieser einfachen Sprache der Aussagenlogik und zu komplizierteren Logiken kommt,
wie der Prädikatenlogik, dann stellt man dort auch fest,
dass das Wahrheitstafelverfahren nicht mehr so universell funktioniert.
Also für kompliziertere Logiken können wir nicht mehr so einfach Wahrheitstafeln aufstellen.
Und da wir uns ja mit der Aussagenlogik auch deshalb beschäftigen,
weil wir Verfahren haben wollen, die man leicht übertragen kann,
lohnt es sich eben auch in der Aussagenlogik,
noch nach anderen Verfahren zu suchen, als allein in diesem Wahrheitstafelverfahren.
Gut. Was verstehen wir unter einem Verfahren? Nun,
im Wesentlichen das, was wir auch als Algorithmus kennen in der Informatik.
Also ja, endlichen Text, ein endliche Beschreibung,
in dem für einen interpreter, eindeutig festgelegt wird,
wie ein problemlöse Verfahren aus Aktionen zusammengesetzt werden kann,
sodass es schrittweise bearbeitet werden kann.
Und das eben auf sprachlichen Einheiten arbeitet. Und diese sprachlichen Einheiten,
das sind jetzt unsere logischen Ausdrücke. Und wichtig ist halt Termination,
das heißt, wir wollen in der Regel Verarbeitungsverfahren haben,
wo es nicht Glückssache ist,
ob sie irgendwann mal terminieren,
sondern wo wir auch das Generieren garantieren können,
was das Verfahren irgendwann zu einem Ergebnis kommt
Also für beliebige Eingaben soll es nach endlich vielen Verarbeitungsschritten stoppen.
Und natürlich soll es dann auch das richtige Ergebnis liefern.
Also informell können wir ein Verfahren oder ein Algorithmus charakterisieren durch
eine endliche Menge von Instruktionen, die wieder endliche Größe haben.
Es muss einen berechnenden Agenten, Mensch, oder Maschinen existieren,
der aufgrund dieser Instruktion die Berechnung auch durchführen kann.
Also ein Interpreter oder eben der Mensch, es existieren Einrichtungen für
die Durchführung und Speicherung und wieder Abrufen von Berechnungsschritten und Zwischenergebnissen.
Und wenn wir einen Algorithmus haben und einen Agenten,
der diese Berechnung durchführen kann,
dann führt der Agent die Berechnung auf Grundlagesalgorithmus so durch,
dass bei gegebener Eingabe die Berechnung in diskreten Berechnungsschritten erfolgt.
Und Diese Berechnung sollte deterministisch sein. Das heißt,
es besteht keine interne Wahlfreiheit für den Agenten,
zu einem Ergebnis zu kommen, ohne Verwendung von Zufallsmethoden oder Hilfsmitteln.
Und sowas wollen wir eben auch für die Logik haben.
Denn wir wollen ja nicht als Menschen immer irgendwie nur mit diesen Formeln hantieren,
sondern wir wollen das ja als Grundlage dafür nehmen,
mit den Maschinen zu arbeiten.
Meine persönliche Perspektive auf Logik in der Informatik ist immer,
es ist gar nicht so wichtig, Informatiker, Wahrheitstafeln,
selbstständig berechnen können.
Viel wichtiger ist, dass sie das programmieren können,
damit eine Maschine das tut. Menschen sind einfach durchaus ermüdungsgefährdet,
langweilige Jobs langweilen, Menschen. Maschinen sind Gott sei Dank
so geschaffen, dass man sie überhaupt nicht langweilen kann.
Und deshalb kann man in eben solche Jobs auch gut auftragen.
Am liebsten würde ich auch die Aufgaben immer schreiben,
programmieren Sie ein Verfahren, das dies und dies tut,
anstelle zu schreiben, tun Sie das mit dem Verfahren.
Aber das würde die Aufgaben doch zu komplex machen.
Das ist einfacher als einmal per Hand durchzuführen
So, wir werden im Weiteren auch bei den Verfahren von Entscheidungsprozeduren reden,
einfach deshalb, weil wir häufig eine Situation haben,
dass wir einfach als Ergebnis unserer Algorithmen, ja,
nein, Entscheidungen haben wollen.
Also beispielsweise haben wir eine Menge von Formeln P,
der Aussagenlogik und dann wollen wir einen Algorithmus haben,
der einerseits natürlich terminiert und andererseits Auch die richtige Antwort gibt in Bezug auf unsere Menge P. Nämlich dahingehend,
dass er die Antwort Ja gibt.
Wenn die Formel in P drin ist, und wenn,
also er soll die Antwort Ja geben, wenn es drin ist,
und wenn es die Antwort Ja gibt, dann soll es auch drin sein.
Gut, und ja, die Antwort Nein soll halt gegeben werden,
wenn die Formel nicht drin ist in dieser Menge P. Ja,
und wenn wir eben so ein Verfahren haben,
das für eine Menge P genau das liefert,
dann nennen wir das
eine Entscheidungsprozedur für
Ja, P, könnten wir sozusagen die Menge der Tautologien
oder die Menge der Kontradiktion. Ja, das wären dann Entscheidungsprozeduren,
die uns halt die Tautologien oder für den Begriff der Tautologie
oder die Menge der Tautologien beziehungsweise Entscheidungsprozeduren für die Menge der Kontradiktion.
Aber man kann sich eben auch andere oder kann auch zu
anderen Entscheidungsfragen kommen in späteren Stufen.
Okay, nehmen wir uns das Beispiel Allgemeingültigkeit, Unerfüllbarkeit
Eine Formel hatten wir gesagt, das Allgemeingültig, oder eine Tautologie,
wenn sie unter jeder Belegung den Wahrheitswert eins liefert.
Eine Formel ist unerfüllbar, oder eine Kontradiktion,
wenn sie unter jeder Belegung den Wahrheitswert falsch liefert. Ja,
und jetzt kann man feststellen,
dass natürlich wir mit diesen beiden Begriffen Allgemeingültigkeit und Unerfüllbarkeit
auf der einen Seite und der Negation als logischen Jung,
der auf der anderen Seite folgende Gesetzmäßigkeit feststellen können,
eine Formel ist genau dann eine Tautologie,
wenn ihre Negation unerfüllbar ist
Wenn die Formel F unter allen Belegungen wahr wird,
dann wird natürlich die Formel Nicht F unter allen Belegungen falsch und umgekehrt.
Was heißt das jetzt für unsere Aufgabe Entscheidungsprozeduren zu schreiben,
für beispielsweise die Menge der allgemeingültigen Formeln oder die Menge der unerfüllbaren Formeln?
Nun, wenn ein Student ein Verfahren programmiert hat,
dass alle Tautologien korrekt und vollständig identifizieren kann er kriegt als nächste Hausaufgaben eine Prozedur zu schreiben,
die alle unerfüllbaren Formeln korrekt und vollständig identifizieren kann,
dann muss er nicht viel tun,
denn er muss einfach nur einen Schritt vorausschicken,
dem Verfahren, das er hat.
Und die Formel negieren, sie dann in den Tautologieprüfer stecken
und dann das Ergebnis rausgeben als Ergebnis des Prüfers der Unerfüllbarkeit
Das heißt also, solche Gesetzmäßigkeiten sind gewissermaßen Anleitungen zum Arbeitssparen,
dann, wenn man eben entsprechende Verfahren definieren will.
Ja, hier unten nochmal Korrespondenz entsprechender Formeln, ja,
A oder Nicht A ist eine allgemeingültige Formel,
die Negation dazu ist dann eine unerfüllbare Formel
Okay. Soweit zur Klassifikation von Formeln und der semantischen Gesichtspunkten.
Die nächsten Schritte werden dann sein,
dieses Bild dahingehend zu generalisieren, dass wir nicht nur,
dass wir nicht nur einzelne Formeln betrachten,
sondern Relation zwischen Formeln,
also Formelpaare,
wie passen sie zusammen
Und das werden wir zunächst mal morgen unter dem Begriff Äquivalenz tun.
Also der Frage, wann sind Formeln eigentlich gleichwertig, unter semantischer Perspektive?
Und anschließend, dann wird es nächste Woche mit der Folgerung weitergehen.
Ja, und da geht es dann eben gewissermaßen immer um den Vergleich
Zweierspalten in der Wahrheitstafel. Okay,
hier habe ich jetzt nochmal zusammengefasst die wichtigsten Konzepte dieser Folie,
dieser Vorlesung
An der sie sich orientieren können, dahingehend, ja,
was sie eigentlich mitgenommen haben sollten.
Gut, ich bin fünf Minuten früher fertig. Ich könnte jetzt
noch fünf Minuten zum Thema Äquivalenz was vorstellen, wenn sie wollen.
Oder vielleicht gibt es ja noch Fragen. Gut,
dann würde ich vorschlagen, wir machen heute mal fünf Minuten
früher Schluss. Und wenn nicht mal, wann anders,
fünf Minuten überziehe, dann huhen sie mich
nicht gleich aus