Heute, wie gesagt, wird es um das Thema Äquivalenz und Normalformen
gehen. Diese beiden Themen muss man nicht miteinander kombinieren,
aber ich finde, es bietet sich an,
denn um Normalformen zu bilden, ist es eben häufig sinnvoll,
Äquivalenzumformungen zu machen und auch die Definition der Normalform greift auf den Äquivalenzbegriff zurück.
Die Grund, das Grundproblem ist,
dass algorithmische Verfahren zur Prüfung von semantischen Einordnungen im Allgemeinen
relativ aufwendig sein können
Wir wissen, wir existieren, wir können immer Wahrheitstafeln bilden,
aber wenn wir in einer Formel viele verschiedene Aussagesymbole haben,
dann werden diese Tafeln eben unglaublich komplex unter Umständen.
Und entsprechend stellt sich die Frage,
ob man mit anderen Verfahren vielleicht die gleichen Ergebnisse erzielen kann.
Und ich hatte ja auch schon gesagt,
wenn wir zu anderen Logiken übergehen,
dann ist das Wahrheitstafelverfahren nicht mehr ohne weiteres einsetzbar oder Wahrheitstafeln
sind in dem Sinne nicht definiert als endliche Strukturen
Eine Idee, die man haben kann, ist,
dass man ausgehend von einer Formel guckt,
zu welchen Formeln ist die Formel, die ich habe, äquivalent.
Also gleichbedeutend, wir werden gleich noch genau sehen,
wie es hier definiert ist. Und können wir vielleicht dadurch,
dass wir die Formel, die wir haben,
überführen in eine Formel, von der wir wissen,
dass sie das Gleiche bedeutet, aber die eine wohldefinierte Struktur hat,
uns dadurch das Problem vereinfachen
Und wir werden sehen, in einer gewissen Weise geht das.
Also, wenn wir normal Form bilden, dann können wir
gewisse Sachen einfacher testen. Nur, was schade ist,
Normalform zu bilden, ist im schlimmsten Fall wieder unglaublich aufwendig.
Gut, aber im Versuch ist es mal wert.
Und auch an anderen Stellen findet man Normalform.
Und ja, deshalb werden wir es jetzt mal einführen.
Teilweise ist es auch, kann man sagen, Vorverarbeitungsschritt,
dass man in Normalform bildet,
bevor man dann mit anderen Methoden weiterarbeitet
Ja, Normalformen sind Formeln, die in der Syntax eingeschränkt sind,
also bei derem Aufbau, andere Regeln oder weniger Regeln verwendet werden
oder wo man auch sozusagen die Reihenfolge der Regelanwendungen beschränkt.
Und eine Möglichkeit, wie gesagt, ist über Ersetzungsregeln dann Normalformbildung zu definieren. Gut,
das Ausgangsbild, das wir ja letztes Mal schon hatten,
ist, dass wir sprachliche Beschreibungen haben,
die wir in Bezug auf Ihre Möglichkeit interpretiert zu werden, bewerten wollen.
Wir hatten die Begriffe Erfüllbarkeit, Unerfüllbarkeit,
das unterscheidet die sprachlichen Ausdrücke, die überhaupt eine Interpretation haben,
unter der sie wahr werden, von denen, die grundsätzlich falsch sind.
Gültigkeit bezeichnet Ausdrücke, die unter allen Interpretationen wahr sind.
Und ja, Kontingent sind voll formeln,
die mal wahr sind, mal falsch sind.
Und ja, das sind Bewertungen, wie ich es genannt
habe,
von diesen sprachlichen Beschreibungen
Jetzt können wir dieses Bild etwas aufblehnen noch dahin,
dass wir sagen, naja,
wir haben aber unter Umständen mehrere sprachliche Beschreibungen, mehrere Formen.
Und die wollen wir irgendwie vergleichen können.
Wieder unter der Perspektive, ihrer möglichen Bezüge auf Weltausschnitte.
Also, beschreiben die eigentlich dasselbe oder beschreiben die was Verschiedenes?
Woran erkenne ich das an der syntaktischen Form unter Umständen?
Und eine der, eine der Vergleichsmöglichkeiten,
die wir heute betrachten werden,
ist die Äquivalenz,
bedeuten sie
das Gleiche
Und im nächsten Schritt werden wir uns dann mit Folgerung beschäftigen.
Das ist auch eine Möglichkeit, Formeln oder Formelmengen zu vergleichen.
Heute aber erstmal Äquivalenz. Wir nennen in der Logik zwei
Formeln Äquivalent. Man könnte auch sagen, logisch oder semantisch
äquivalent, wenn sie unter jeder Belegung denselben Wahrheitswert liefern.
Also dieselbe Belegung ausgewertet an zwei verschiedenen Formen,
wenn unabhängig davon welche Belegung ich gewählt habe,
auf jeden Fall derselbe Wert rauskommt,
dann nenne ich die beiden Formeln Äquivalent
Wenn wir uns, das mit anderen Begriffen sagen wollen,
können wir auch sagen, Formeln sind genau dann äquivalent,
wenn sie denselben Wahrheitswertverlauf haben.
Oder da wir ja in einer zweiwertigen Logik sind,
könnten wir auch sagen, zwei Formeln sind genau dann äquivalent,
wenn sie exakt dieselben Modelle haben.
Also Modell, das heißt, eine Belegung,
unter der die Formel wahr wird.
Also wenn die Formel unter genau denselben Belegungen wahr werden,
dann sind sie auch äquivalent,
weil sie dann eben auch unter genau denselben Belegungen falsch werden.
Wir haben ja
keine dritte Alternative
Und ein Beispiel, das wir auch schon mal hatten,
wo wir die wahrzwerte Läufe uns angeguckt haben,
waren diese Formeln nicht A oder B und A impliziert B.
Die haben denselben Wahrheitswertverlauf und sind entsprechend äquivalent.
Den Äquivalenzbegriff können wir jetzt natürlich wieder in Beziehung setzen zu
den anderen Begriffen, die wir schon hatten.
Also beispielsweise Tautologien, wie verhalten sich eigentlich Tautologien unter Äquivalenz?
Und da kann man dann feststellen, naja,
Tautologie heißt ja, die Formel hat dem konstant Waren Wahrheitswertverlauf.
Und da Äquivalenz heißt, denselben Wahrheitswertverlauf haben, können wir feststellen,
naja, Tautologien haben ja alle den gleichen Wahrheitswertverlauf.
Also sind auch die Tautologien alle Äquivalent. Und umgekehrt,
wenn eine Formel Äquivalent mit einer Tautologie ist,
dann hat sie den konstant wahren Wahrheitswertverlauf.
Also ist es auch eine Tautologie. Ja,
also man kann sagen, der Tautologiebegriff ist Innenvariant unter Äquivalenz.
Also Wenn man zu einer äquivalenten Formel übergeht, dann verändert sich nichts.
Dann hat man wieder eine Äquivalente, eine Tautologie. Gut,
entsprechendes gilt dann auch hier im Bereich der Kontradition, also Formeln,
die grundsätzlich falsch werden unter allen möglichen Interpretationen falsch sind.
Auch die haben ja einen konstanten Wahrheitswertverlauf und ja,
wenn zwei Formeln beide den konstant falschen Wahrheitswertverlauf haben,
sind sie dann entsprechend auch äquivalent
Anders sieht das in diesem Bereich der Kontingentenformeln aus,
wenn wir Formeln haben, die mal wahr,
mal falsch sind, ja, dann können wir verschiedene Formeln haben,
die unter unterschiedlichen Bedingungen wahr werden, beziehungsweise falsch werden.
Dort können wir nicht garantieren, dass Kontingente Formeln immer äquivalent sind. Das heißt,
dann, wenn wir uns mit diesen Kontingenten Formeln beschäftigen,
dann wird es eigentlich erst spannend mit der Äquivalenz,
ja, solange wir in den Tautologien oder Kontradiktionen sind,
ist das alles relativ simpel.
Bei den Kontingentenformeln,
da wird es interessant
Gut, für das Äquivalenz,
für die Äquivalenz hatte ich diesen Symbol mit den drei Balken eingeführt,
zur Abgrenzung sowohl gegenüber den Gleichheitszeichen, mit zwei Zeichen.
Ja, Gleichheit hatten wir gesagt, soll Buchstäbliche Übereinstimmung sein.
Äquivalenz bezieht sich jetzt auf den gleichen semantischen Wert,
unter allen Bedingungen den gleichen semantischen Wert.
Und dann haben wir ja noch dieses Symbol Bi-Implikation,
den Jungtor unserer Logiksprache, Und ja,
es ist wichtig zu sehen, dass das verschiedene Dinge sind.
Einerseits, der Jungtor ist eben ein Ausdruck oder ein Zeichen,
das wir verwenden können, um Formeln aufzubauen.
Die Äquivalenz. Das ist aber eine Relation zwischen Formeln.
Ja, zwei Formeln sind äquivalent oder nicht. Und mit dem Symbol,
dass ich eben aus diesem Grund auch schwarz mache,
hier können wir keine Formeln aufbauen,
sondern wir bewährten Formeln,
vergleichen sie
Trotzdem haben Äquivalenz und dieser Jungturbi-Implikation etwas miteinander zu tun.
Und zwar dahingehend, dass wenn ich zwei Formeln habe,
F und G, die Äquivalent sind,
und ich baue dann die Formel F-B-Implikation G,
dann wird diese Formel auch unter allen Bewertungen den Wahrheitswert wahrliefern.
Das heißt, das ist dann eine allgemeingültige oder Formel
oder Tautologie
Umgekehrt genauso, wenn ich weiß, FB-Implikation, geh,
wird unter allen Belegungen wahr, dann gilt auch,
dass diese Formeln äquivalent sind. Ja, also,
wir haben sehr verwandte Begriffe,
die aber auf unterschiedlichen Ebenen ansetzen,
die Biimplikation ist Teil unserer Sprache,
mit der dürfen wir Formeln bauen und wir dürfen sie auch einschachteln an beliebigen Stellen,
die Äquivalenz,
das ist eine binäre Relation zwischen Formeln,
mit der können wir dann aber
keine weiteren Formeln bauen
Gut. Ja, es gibt viele Äquivalenzen. Ja,
man kann diverseste Formeln bauen und feststellen, sie sind äquivalent.
Hier habe ich mal eine Reihe zusammengestellt, die auch teilweise Gesetzescharakter haben.
Also als Gesetz bezeichnet werden. Und die sind an
verschiedensten Stellen nützlich. Deshalb ist es auch ganz nützlich,
mal sie auf einer Tafel zusammengestellt zu haben,
damit man nicht groß suchen muss,
wenn man mal nachgucken will,
wie war das jetzt
Noch, genau. Ein Teil davon wird insbesondere dann nützlich sein,
wenn wir diese Normalform bilden wollen, weil diese Äquivalenzen dann
sozusagen auch uns Methoden liefern, um Umformungen zu machen.
Und bei den ersten beiden oder ersten drei Äquivalenzen,
die hier stehen, da sieht man schon am Namen,
dass sie so suggerieren, hiermit wollen wir was tun,
nämlich etwas eliminieren.
Also die ersten beiden heißen Illimination,
der Bi-Implikation
Warum heißen sie, diese beiden Regeln so? Nun,
sie sagen, wenn ich eine Formel habe,
in der der Hauptoperator eine Biimplikation ist,
dann gibt es eine andere Formel,
die äquivalent ist zu dieser Formel, also exakt denselben Wahrheitswertverlauf hat,
in der aber andere Symbole verwendet werden.
Also natürlich kann es sein,
dass innerhalb von F und G wieder Biimplikationen vorkommen,
aber gewissermaßen dieses Symbol auf der obersten Ebene ist getilbt,
hier einmal durch die Konjunktion und die Implikation
und einmal durch Disjunktion,
Konjunktion und Negation
Und entsprechend Elimination der Implikation. Auch hier sehen wir eine Äquivalenz,
die hatten wir schon vorher mal auf der Folie.
Und auf der einen Seite ist das Implikationszeichen noch da und auf
der anderen Seite nicht mehr. Auf dieser Ebene sichtbar. Ja,
da sieht man schon am Namen, was man damit tun will,
wenn man sich jetzt noch mal genauer anguckt,
was sind das für Äquivalenzen, die hier gesagt werden?
Im ersten Fall, wie Mutation G ist,
Äquivalent zu F-Implikation G und Information F,
naja, das zeigt Wie das Symbol auch schon suggeriert,
eine symmetrische Wahrnte ist von dem einfachen Pfeil hier, der Implikation.
Man könnte es auch eben natürlich sprachlich ausdrücken,
F genau dann, wenn G gilt, genau dann,
wenn F. Wenn F, dann G und wenn G,
dann F. Die zweite Variante kommt ganz ohne Pfeil aus,
auch ohne Implikation und sagt,
die Bi-Implikation von F und G Valent zu F und G oder Nicht-G und Nicht-F. Ja,
also beide war oder beide falsch.
Das ist, das heißt eben, wie Implikationen zwischen den Formen.
Gut. Eine Regel, die, denke ich,
jeder auch schon länger beherrscht, die doppelte Negation.
Also, wenn wir eine Formel zweimal legieren,
dann erhalten wir eine Formel, die exakt denselben Wahrheitswertscherlauf hätten,
hat,
als wenn wir nicht negiert hätten
Also doppelte Negation von F ist Äquivalent zu F. Das kann man auch sehr einfach nachprüfen.
Dann haben wir assoziativ Gesetze für die Konjunktion und Negation,
also assoziativ, hat was mit Assoziation zu tun. Ja,
und man kann es sich vielleicht so merken,
dass assoziativ Gesetz sagt, wenn wir solche drei Formeln konjunktiv verknüpfen,
dann ist es egal, wem wir das Mittelglied zuschlagen,
mit welchem, welcher Formel wir es zunächst assoziieren,
ob mit Der ersten oder ob mit der zweiten.
Ja, beide Varianten der Assoziationsstruktur innerhalb der Formel sind gleichwertig.
Das gilt für die Konjunktion und für die Dissunktion,
für andere gilt es nicht. Dann haben wir das Distributivgesetz,
Distribution, Verteilung, Distributivgesetz kennt man ja auch aus Rechenregeln,
genauso wie das Assoziativgesetz,
Multiplikation und Addition
sind auch assoziativ
Das Distributivgesetz gilt hier in zwei Varianten, die für uns wesentlich sind.
Und sie sagen etwas über die, ja,
das Verhältnis der Konjunktion und Dysjunktion zueinander. Ja,
wenn ich die Konjunktion von F und gehe oder Haar bilde,
dann ist das dasselbe,
als wenn ich erst die Konjunktion von F und G bilde und
das in Distruktion setze mit der Konjunktion von F und H. Ja,
das F kann sich also verteilen auf diese beiden Glieder der Dysjunktion
Ja, das kennen wir auch vom Verhältnis von Multiplikation und Addition.
Da gilt ja sowas ähnliches. Was hier aber
ein bisschen anders ist als bei unseren traditionellen Rechenregeln,
ist, dass hier die Distributivität auch gilt,
wenn ich jetzt Konjunktion und Disjunktion vertausche.
Also auch bei der Disjunktion F oder G&H
kann ich dieses F-Oder verteilen auf die beiden Glieder der Konjunktion
Ja, da ist einfach die mathematische Struktur,
die hier in der Logik zugrunde liegt, ein bisschen anders als das,
was wir von den Rechenregeln in der Mathematik kennen.
Gut, das sind die Hauptdrehen, die wir benutzen werden,
später in den Umformungen zusammen mit der sogenannten Kommutativität.
Kommutativität, ja, Kommutieren vertauschen, sagt etwas darüber,
dass man Ja, Konjunktion und bei der Disjunktion,
die beiden Glieder jeweils vertauschen kann.
Gilt natürlich auch für die Bi-Implikation, ja,
habe ich jetzt hier nicht mit aufgeschrieben, weil,
naja, die eliminieren wir immer so schnell,
das merken wir gar nicht, dass wir auch mal vertauschen könnten.
Könnte man sagen. Für die Implikation gilt es natürlich nicht.
Gut, dann die Demorganische Regeln, ja,
sind zwei,
die morgen schon regeln
Sagen, wieder etwas über das Verhältnis der Negation zu Konjunktionen
und Desjunktionen. Und ja, es ist nicht unüblich,
diese Gesetzmäßigkeit hier auch als Dualität von Konjunktionen des Junktionen zu bezeichnen.
Ja, das ist der Morgansche Gesetz sagt,
wenn ich die Konjunktion von F und G legiere,
dann ist das dasselbe, als wenn ich die Disjunktion bilde,
der Negation von F und der Negation von G.
Hier haben wir die Negation einmal außen einer Formel und dann,
und dann in hier an den Teilformeln, ja,
und dabei vertauschen sich die beiden Jungtoren, Konjunktionen und Desjunktionen.
Und solche Verhältnisse, dass wir innere und äußere Negationen in Bezug auf Operatoren vergleichen können,
das wird man ab und zu mal auch in anderen Kontexten treffen.
Und dafür gibt es dann sozusagen den allgemeineren Begriff Dualität
In der Prädikatenlogik werden wir es vergleichbar mit den Quanturen sehen.
Modallogiken kennen das auch und so weiter.
Hier ist der erste Fall Konjunktion und Desjunktion.
Gut. Den ersten Fall hatte ich genannt. Jetzt der
zweite Fall. Negation von der Disjunktion FOAG ist entsprechend dasselbe
wie Konjunktion der Negation von F und der Negation von G. Gut
Was man daran sieht, ist,
dass es uns möglich sein wird,
wenn wir eine Formel haben,
in der irgendwo die Negation auftaucht und sonst beispielsweise nur Konjunktion und Dysjunktion,
dann werden wir in der Lage seinen Formeln zu finden,
in denen die Negation nur noch an den Atomen auftaucht und nicht mehr weiter oben im Strukturbaum.
Und das wird uns dann sehr nützlich sein. Gut,
es gibt weitere Regeln, die insbesondere etwas sagen über Vereinfachungsmöglichkeiten,
Beispielsweise dann, wenn ich Duplikate habe von einer Formel,
die ich mehrfach verwendet habe, im Aufbau von einer komplexen Formel.
Also hier beispielsweise F und F oder G. Ja,
das ist eine sehr komplizierte Art F zu sagen.
Und entsprechend F oder F und G ist auch einfach
eine komplizierte Art F zu sagen. Ja,
diese komplexeren Formeln haben einfach genau denselben Wahrheitswertverlauf wie dieses F.
Und dann kann man sich eben auch die Sache einfacher machen
und gleich das einfachere benutzen
Edenpotenz, noch einfacher F&F, ist natürlich dasselbe wie F
beziehungsweise F- oder F ist auch dasselbe wie F. Naja,
und dann mag es Situationen geben, wo wir wissen,
dass eine formelnde Tautologie ist beispielsweise hier F.
Wenn wir wissen, F ist eine Tautologie und wir bilden dann
F und G, dann ist das natürlich gleichwertig mit G.
Wenn ich aber F- oder G sage und F ist eine Tautologie,
dann ist, weil sich ja Wahrheit bei der Disjunktion immer durchsetzt.
Auch das Resultat, eine Tautologie, also äquivalent zu F.
Und analog dann mit der Unerfüllbarkeit, wenn ich weiß,
dass F unerfüllbar ist und dann konjugiere mit einer beliebigen Formel G,
da sich bei der Konjunktion eben immer falsch durchsetzt,
erhalte ich wieder eine unerfüllbare Formel.
Also eine, die äquivalent ist zu F. Und letztlich dann
die unerfüllbare Formel in Disjunktion mit G Die liefert dann genau dasselbe, wie geh.
Gut. Also hier eine Reihe von Formeln oder von Formel-Paren,
von denen wir jetzt uns motiviert haben, sage ich mal,
die Äquivalenz, die kann man natürlich alle überprüfen,
ob sie tatsächlich äquivalent sind und eine einfache Möglichkeit,
das zu tun.
Einfach deshalb, weil diese Formeln ja noch relativ klein sind,
ist natürlich wieder die Wahrheitstafelmethode.
Und hier habe ich es jetzt für den einen Fall
der Istributivität und eine Tautologie-Regel
mal vorgeführt
Um die Äquivalenz zu sich von der Äquivalenz zu überzeugen oder
die Äquivalenz nachzuweisen, muss man für die Formeln,
für die beiden Formeln jeweils dann den Wahrheitswertverlauf bestimmen und dann eben überprüfen,
ob diese Wahrheitswertverläufe dieselben sind.
Hier in dem Fall acht Zeilen, das passt noch auf
eine Folie, können wir hier mal schnell machen.
Wenn wir aber, wie gesagt,
sehr viel größere Formen hätten,
wäre dieses Verfahren
auch entsprechend aufwendiger
Hier unten, das Beispiel Tautologie-Regel. Ja, wir hatten gesagt,
F sei eine Tautologie und dementsprechend ist halt in dieser Wahrheitstafel
bei F immer nur eine Eins eingetragen. Ja,
aus gutem Grund wähle ich hier immer F und G und nicht A,
B, C. Denn A, B,
C verwende ich ja eigentlich ausschließlich für Aussage, Symbole,
F und G, aber für beliebige Formeln.
Ja, da können eben beliebig komplexe Strukturen noch dahinter stecken.
Also kann F auch eine Tautologie sein.
Aussagesymbole sind nie Tautologien
Aussagesymbole können grundsätzlich beide Wahrheitswerte annehmen. Gut,
aber hier wollen wir ja nur prüfen, ja,
wie sich ausgehend von den Werten von F&G,
dann die Werte für F&G beziehungsweise F-O oder G entwickeln.
Und da habe ich entsprechend nur diese beiden Zeilen,
wo F-Con jeweils eins ist und gehe,
die beiden Wahrheitswerte 0 und eins annimmt.
Und dann können wir sehen, naja,
wenn wir F, die Konjunktionen bilden F und G,
kriegen wir dasselbe WG raus.
Wenn wir aber F-O oder G bilden,
kriegen wir
dasselbe TF raus
Somit sehen wir die beiden Tautologie-Regeln,
dass die eben auch tatsächlich gelten. Gut. Also,
wie gesagt, Äquivalenzregeln können der den taktischen Vereinfachung dienen.
Beispiel dafür sind gerade die Idem-Potenz und die Absorption. Ja,
da können wir uns vorstellen, dass es häufig Sinn macht,
sie von links nach rechts in Umformungsregeln auszunutzen,
in die andere Richtung werden wir es wahrscheinlich seltener brauchen.
Ja, also wenn wir erfahren und dann sagen,
ach, lass uns das doch mal ein bisschen komplizierter sagen,
F und F, ja,
das wird,
werden wir selten Gelegenheit haben,
das sinnvoll anzuwenden
Entsprechend die Tautologieregeln sind auch Regeln, bei denen wir schon sehen,
wie wir von komplexen Formeln zu einfacheren kommen.
Anders ist es bei der, beim Distributivgesetz,
da wird es uns häufig vorkommen,
dass wir tatsächlich von einer einfacheren Formel eine komplexere Formel
bilden wollen
So,
Assoziativgesetz hatten wir angesprochen für Konjunktion und Desjunktion und wir hatten gesagt,
was den semantischen Wert angeht, ist es egal,
welche dieser beiden Strukturen vorliegt,
wenn wir drei Formen konjunktiv verknüpfen und aus dem Grunde können wir uns unter Umständen mal sparen,
diese zusätzlichen Klammern zu schreiben.
Das heißt, wir können sagen,
wir lassen einfach mal so ein Klammerpaar weg,
wenn es uns sowieso
nur um die Bedeutung geht
Unsere Grammatikregeln sagen eigentlich, das ist keine Formel. Ja,
aber wir können uns auch einigen zu sagen, naja,
wenn wir das schreiben, dann meinen wir immer die Formel,
wo hier vorne geklammert ist oder so.
Ja, aber gerade wir Menschen sind eher mal irritiert,
wenn zu viele Formeln, zu viele Klammern in einer Formel
drinschicken und entsprechend können wir es dann auch mal weglassen,
die Klammern.
Aber bei der Implikation und B-Implikation,
da wollen wir das nicht,
da eben dort
auch die Assoziativität nicht gilt
Gut. Okay, Äquivalenz von Formeln ist ja schön und
gut. Aber gerade wenn wir Umformung machen wollen,
dann müssen wir auch wissen,
wie sich eigentlich Äquivalenz im Inneren von Formeln oder ja von Teilformen,
die vorkommen in Formeln auswirken auf den Wert der gesamten Formel.
Und als Hilfsmittel dafür brauchen wir Ersetzungsbegriffe
Und wir führen hier den ersten ein. Ersetzung von Formeln.
Und wir werden in einer späteren Vorlesung noch einen anderen einführen.
Das heißt dann Substitution. Ich möchte gleich vorformen,
dass das zwei verschiedene Fälle sind. Wir fangen hier mit
der Ersetzung an. Und zwar mit dem Fall,
dass wir an einer Stelle in der Formel eine Teilformel durch eine andere ersetzen.
Und diese Form der Ersetzung ist relativ Ich möchte dich mal sagen,
dahingehend, dass man beliebige Teilformeln ersetzen darf und man auch
nicht gezwungen ist, bei mehrfachem Vorkommen alle Varianten zu ersetzen.
Ja, also, nehmen wir an, wir haben zwei Formeln,
F und G und H sei eine Formel,
in der F als Teilformel vorkommt.
Unter Strich ist jetzt auch eine Formel,
in der kommt G als Teilformel vor
So, und wenn der einzige Unterschied zwischen Haar und Haar strich,
darin besteht, dass eben an einer oder mehrerer Position,
an denen in HF vorkommt, in Haarstrich des G steht.
Und sonst ist alles identisch. Dann sagen wir auch Haarstrich
ist durch Ersetzung von F durch G aus Haar hervorgegangen.
Ja, also beispielsweise, wir haben hier eine Formel,
das ist unser Haar,
nicht A und D
impliziert nicht A oder
Ja, das ist unser, unsere Formel H. Unsere Formel F
sei nicht A, nicht A, kommt zweimal vor.
Hier vorne einmal, da hinten einmal. Und unser G
sei die Formel B oder C. Dann kann ich jetzt
mir eine Position aussuchen, an dem nicht A steht.
Und an der Position B oder C einsetzen.
Das hier ist der erste Fall
Ansonsten lasse ich alles gleich. Oder ich wähle die zweite Position
nicht auch vorkommt und erhalte dann hier die zweite Formel.
Hier an der ersten Stelle steht wieder nicht A und ja,
außer der einen, wo wir es halt ausgetauscht haben mit allen Positionen,
ist alles gleich, wie es war.
Die dritte Variante, da haben wir tatsächlich beide Fälle von
Nicht-A ausgetauscht durch B oder C. Man kann sich das vielleicht
auch am Strukturbaum ganz gut klar machen, was da passiert.
Hier habe ich den Strukturbaum meiner Formel H aufgeschrieben
Und die Ersetzung besteht nun einfach darin,
dass wir so einen Teilbaum nehmen, wie dieses Nicht-A,
wegstreichen und dafür diesen Teilbaum B oder C einfügen an dieser Stelle.
Das können wir natürlich genauso an dieser Stelle machen.
Eine rein syntaktische Geschichte, ja, man kann sowas im Text-Editor
machen letztendlich, mit dem Suche ändere Modus oder sowas.
Ja, aber dieser Ersetzungsbegriff, der erlaubt es eben auch,
dass man nicht konsequent alles ersetzt,
sondern nur an einzelnen Positionen
das macht
Wenn wir uns diese Formel hier unten angucken,
die hat ja auch eine gewisse Verwandtschaft mit dem F,
Entschuldigung, mit dem Haar.
Hier haben wir aber an der Stelle, wo allein
das A stand, jetzt nicht B oder C eingesetzt.
Ja, das ist jetzt eine andere Form von Manipulation,
als das, was hier in der Definition beschrieben ist
Auch wenn man sagen kann, das ist doch sozusagen
ein Verwandter, semantischer Effekt, den wir damit erzielen.
Dieses ist kein Fall, wo wir sagen, dass die Formel
durch Ersetzung von F durch G aus Haar hervorgegangen ist.
Gut. Okay. Dass Ersetzbarkeitstheorien, das zu diesem Ersetzungsbegriff
gehört, besagt nun das folgende. Wenn nicht zwei Formeln
F und G habe und diese Formeln sind äquivalent.
Und ich habe eine Formel
In der F als Teilformel vorkommt. Unterstrich ist eine Formel,
die aus Ha, eben gerade dadurch hervorgegangen ist,
dass ich an einer Position oder mehrerer F durchgeersetzt habe.
Dann sind Haar unterstrich äquivalent. Entscheidend ist natürlich,
dass ich hier oben F&G als äquivalente Formeln voraussetze,
damit dieser Effekt entsteht. Bei dem Beispiel,
was ich eben hatte, wo ich gesagt habe,
ich ersetze nicht A durch B oder C, Ja,
das sind eben nicht äquivalente Formeln, die ich hier ersetze.
Es sind zwar Textmanipulationen, die ich im Editor durchführen kann,
aber mit der Bedeutung hat das nicht viel zu tun.
Das Theorien sagt jetzt,
wenn ich mich beschränke bei solchem Austausch auf Fälle,
wo ich äquivalente Formeln durch Äquivalente ersetze,
dann verändere ich auch im Wahrheitswertverlauf der Formel nichts,
beziehungsweise die Ursprungsformel und die Resultierende Formel haben dann
auch denselben Wahrheitswertverlauf
Das kann man natürlich wieder mit dem Prinzip der strukturellen Induktion zeigen,
da wir uns hier ja auch wieder mit dem Aufbau
der Formeln mehr oder weniger beschäftigen.
Und entsprechend habe ich das hier nochmal als Beispiel ausformuliert.
Hier sieht man auch, es wird schon ein bisschen haarig,
weil wir ja mit relativ vielen Formeln gleichzeitig umgehen müssen und
das eben systematisch jetzt immer auseinanderhalten.
Die Induktion läuft in diesem Fall
über die Formel
Denn über die Struktur von F&G will ich ja gar nicht viel sagen.
Da habe ich einfach gesagt, das sind äquivalente Formeln.
Und H ist jetzt eine Formel, wo ich die Ersetzung durchführe.
Und das kann natürlich dieses Harden auch wieder beliebig komplex werden.
Und entsprechend läuft diese Induktion jetzt über die Formel H. Gut,
wenn H eine atomare Formel ist und H Strich ist
durch Ersetzung von F,
aus H hervorgegangen,
wie kann das
überhaupt sein
Wir hatten gesagt, F muss ja vorkommen,
in Haar als Teilformel, wenn Haar atomar ist,
dann kann das eigentlich nur der Fall sein,
wenn F auch atomar ist und das Gleiche ist wie Haar.
So, und wenn F und Haar das Gleiche sind,
unter Strich, ist dadurch aus Haar hervorgegangen,
dass ich F durch G ersetzt habe,
dann ist natürlich auch Haarstrich und G dasselbe.
Wir sind hier ja in diesem einfachsten Fall
nur eine atomare Formel, einmal ersetzen.
Naja, dann kommt genau das rein, das raus,
was ich hier halt ersetze für das
Gut, und dann gilt die Äquivalenz natürlich,
weil F und G äquivalent waren, das hatten wir vorausgesetzt. Gut,
Induktionsannahme ist, es seien H1 und hat zwei Formeln,
für die gilt, für jede Formel H1 Strich bzw. H2 Strich,
die aus H1 bzw. H2 durch Ersetzung von F durch die hervorgegangen ist,
gilt,
H ist äquivalent zu H1 Strich,
H1 das Äquivalent zu H1 Strich bzw. H2
zu H2 Strich
Ja, wir nehmen an, Flacher 1, H2,
wissen wir, diese Ersetzung macht nichts kaputt, hält den Wahrheitswertverlauf.
Dann müssen wir im Induktionsschritt Folgendes zeigen, dass jede Formel H,
die wir bilden können aus diesen Komponenten,
H1 und H2, durch Kombination mit einem Jungtor,
dass für diese Formeln auch alle gilt,
wenn Haarstrich eine Formel ist,
die durch Ersetzung von F durch G hervorgegangen ist,
dann sind Haar unterstrich äquivalent
Gut. Jetzt nehmen wir also an, H ist eine
dieser Formeln. Und jetzt können wir wieder zwei Fälle unterscheiden,
nämlich der einfache Fall ist, F ist gleicher.
Dann gilt, wie beim Induktionsanfang,
die Ersetzung von F durch G liefert eben genau G.
Und da wussten wir ja, F und G sind Äquivalent.
Also müssen wir uns jetzt nun noch damit beschäftigen,
dass F eine echte Teilformel ist von
Und können jetzt wieder unterscheiden nach den verschiedenen Varianten,
was Haar alles sein kann. Erstmal die Negation von H1.
Wenn F eine Teilformel ist von der Negation von H1,
aber eben eine echte Teilformel ist, dann,
und meine H1,
mein Haarstrich ist dadurch aus Haar hervorgegangen,
dass ich
einmal F ersetzt habe
Dann muss es ja so sein,
dass dieses Haarstrich auch die Negation hier oben hat als Operator.
Und dann habe ich irgendwo innen einen Teilbaum ersetzt.
Einen Teilbaum F ersetzt durch einen Teilbaum G. Das heißt,
es gibt jetzt ein H1-Strich, das ist gewissermaßen das,
was überbleibt, wenn ich vorne die Negation wegstreiche.
Und die ist eben durch Ersetzung von F-Durch-G aus H1 hervorgegangen.
Ja, und mein Haarstrich ist nicht,
harscht eins Strich
Nach Induktionsannahme weiß ich, naja, dann müssen H1 und
H1-Strich Äquivalent sein. Und dann weiß ich natürlich auch,
wenn ich dann die Negationen davor setze,
dass dann die Resultate auch äquivalent sind. Gut,
und das ganz entsprechend kann man das auch aufdröseln bei den
zweistelligen Jungtouren hier nochmal für die Dissunktion gemacht,
wo wir jetzt eben wieder noch komplexer mit einer weiteren Teilformel
agieren müssen
Ja, also wir haben wieder den Fall,
Haar ist gebildet als H1 oder H2 und F
ist eine Teilformel von Haar, eine echte Teilformel von Haar.
Und das heißt dann, das muss auch entweder
eine echte Teilformel von H1 sein oder von H2 sein.
Und es gibt dann entsprechend Formeln H1-Strich und H2-Strich,
die durch Ersetzung von F durch G aus H1 bzw. H2
hervorgegangen sind
Oder mit einer von beiden identisch sind. Es kann ja sein,
dass ich nur in H1 ersetzt habe und nicht in H2. Ja,
dann nehme ich sozusagen einmal das H1-Strich,
wo die Ersetzung stattgefunden hat und dann einmal das H2,
wo es nicht stattgefunden hat.
Ja, und auch dann habe ich wieder meinen Haarstrich,
dass ich eben wieder bildet,
strukturell genauso wie Haar oben bei dem obersten Jungtor,
die Desjunktion.
Und darunter ist im Teilbaum
irgendwas passiert durch Ersetzung
Naja, und dann kann man auch wieder feststellen,
nach Induktionsannahme sind H1 und H1 Strich beziehungsweise H2 und H2 Strich Äquivalent.
Und wenn ich dann jeweils die Disjunktion bilde,
dann kriege ich natürlich auch äquivalente Resultatsformeln. Naja,
und das können wir jetzt noch fünfmal aufschreiben oder wir lassen es sein.
Ja, es läuft natürlich für die anderen Jungtoren ganz genauso.
Okay, also wir haben gesehen,
wenn wir am einzelnen Stellen in Formen äquivalente Formen durch Äquivalente ersetzen,
dann erhalten wir auch wieder Äquivalente Formen zur Ursprungsformel.
So, und das können wir jetzt an verschiedenen Stellen nutzen.
Beispielsweise, um Symbole zu eliminieren. Hier jetzt für
die Bi-Implikation hatte ich ja schon angekündigt,
also das Gesetz hieß ja schon Illimination der Bi-Implikation.
Und dieser Satz sagt jetzt zu jeder Formel,
gibt es eine Äquivalente Formel,
in der
dieser Jungturbi-Implikation nicht vorkommt
Dazu nutzen wir eben genau diese Sätze. Hier haben wir das Beispiel genommen,
wo wir Bi-Implikationen durch zweimal Implikationen ersetzen und können dann eingekleidet in einen Induktionsbeweis zeigen,
dass man sukzessive die Bi-Implikation ersetzen kann oder Formen,
in denen die Bi-Implikationen vorkommen,
essen kann,
durch Formen,
in denen sie nicht vorkommt und dann zu einem Resultat kommt,
in dem
die Bi-Implikation nicht mehr vorkommt
Ja, die kleine Schwierigkeit,
auf die man ein bisschen achten muss an der Stelle,
ist, wenn wir so eine Ersetzung vornehmen, ja,
FBImplikation G wird ersetzt durch F-Implikation G und G-Implikation F,
dann könnte es ja theoretisch sein,
dass sowohl in F als auch in G wie der Bi-Implikationen vorkommen.
Das heißt, an dieser Stelle könnte es sein,
dass wir von einer Formel ausgehend eine Formel bilden,
in der noch mehr Bi-Implikationen stehen als vorher,
da wir ja F und G
jeweils dupliziert haben
Ja, aber wie man an dem Beweis sehen kann,
ist es so,
dass wenn man vom Strukturbaum betrachtet von unten nach oben geht und
sozusagen immer die am tiefsten eingebetteten wie Implikationen zuerst eliminiert,
dass dann auch ganz offensichtlich ist,
dass da nichts schief gehen kann und man tatsächlich alle loswerden kann.
Gut, die Äquivalenzen können wir betrachten auf der einen Seite
rein statisch. Wir haben zwei Formen gegeben.
Wir vergleichen, sind sie äquivalent oder nicht
Oder wir können sie eben sehen als etwas,
was uns auch eine Anleitung zum Bauen von Formeln gibt.
Also zur Übersetzung oder Umformung von Formeln.
Sodass wir ausgehend von einer Beschreibung des Weltausschnittes kommen,
zu einer Beschreibung, die gleichwertig ist.
Aber aus anderen Gründen sind taktisch angenehmere Eigenschaften hat. Beispielsweise könnte man sagen,
naja, wenn der Mensch irgendwas formulieren will,
dann will er es so sagen, wie es ihm am nächsten liegt.
Das heißt, er will vielleicht
viele Jungtore nutzen
Sich dabei nicht einschränken. Er will beliebige Schachtelungen der jungen Toren
zulassen und so weiter. Wenn die Maschine es verarbeiten soll,
dann ist sie vielleicht, kann man vielleicht feststellen, naja,
wenn wir uns sehr eingeschränkt haben, beispielsweise auf die Normalformstruktur,
dann können wir damit schneller und besser arbeiten.
Ja, und dann kann man sagen, okay,
setzen wir doch einen Vorverarbeitungsprozess davor,
der einfach eine Umformung macht von diesem ausdrucksreichen Inventar in eine einfachere Sprache,
die dann einfacher zu verarbeiten ist
Ich hatte auch schon diese Tafel der verschiedenen Wahrheitswertverläufe für mögliche Jungtoren vorgestellt und hatte motiviert,
ja, dass diejenigen,
die wir uns ausgewählt haben für unsere Sprache,
erst mal ausreichend ist, um das zu sagen,
was wir wollen und die,
die hier nicht in unserer Sprache aufgenommen sind,
die können wir gewissermaßen ausdrücken durch Kombinationen von Jungtoren und Demnegation
Aber man kann natürlich auch fragen, ja,
was brauchen wir überhaupt, wie viele Jungtoren sind überhaupt nötig.
Beispielsweise haben wir ja gerade festgestellt, die B-Implikation,
die ist gar nicht nötig.
Die brauchen wir nicht in unserem Inventar. Wir können es
auch alles ohne sie sagen. Und entsprechend kann man eben
auch die einfache Implikation einfach eliminieren, indem man jeweils F impliziert G.
Er setzt durch Nicht-F oder
Das heißt, diese Jungtoren, Implikationen und Biimplikationen sind durch Konjunktionen,
Desjunktionen und Negation ausdrückbar. Gut, dann kann man feststellen,
natürlich ist auch die Konjunktion durch Negation und Disjunktion ausdrückbar.
Das war der Inhalt des Demorganischen Gesetzes oder der Dualität,
der Konjunktion und Disjunktion, beziehungsweise man kann die Disjunktion durch Negation und Konjunktion darstellen.
Naja, und dann kann man auch noch die Übung machen,
dass man Alle Jungtoren und Delegation auch durch das Nant beziehungsweise durch das Nor ausdrücken kann.
Ja, das werden dann Ausdrücke, die sehen irgendwie lustig aus.
Ein Mensch würde niemals logische Ausdrücke in der Form schreiben. Ja,
aber diejenigen, die irgendwie Schaltkreise bauen und feststellen,
dass sie dann nur noch nennt,
Schaltkreise bauen müssen oder nur noch Nor, ja,
die sind darüber unter Umständen glücklich.
Aber solche Umformungen würde ich sagen,
das überlässt man dann am besten der Maschine.
Damit wollen wir Menschen uns
nicht rumschlagen
Es gilt sogar, dass wenn man jetzt sagt, okay,
wir könnten ja auch dreistellige, vierstellige oder fünfstellige Jungtoren uns ausdenken.
Und dann kann man feststellen, naja, können wir,
müssen wir aber nicht. Denn alles, was wir damit sagen könnten,
können wir auch zusammenbasteln aus unserem Inventar mit den zweistelligen Jungtoren.
Dieses Phänomen nennt man funktionale Vollständigkeit. Also man hat einen beschränkten Satz von Jungtoren,
Kann aber damit jeden Wahrheitswertverlauf, den man möchte, aufbauen.
Und das haben wir hier in der Aussagenlogik,
in der zweiwertigen Aussagenlogik, eben schon,
wenn wir nur das nennen, oder das No nehmen,
beziehungsweise die Disjunktion und Negation oder Disjunktion und Konjunktion.
Wenn man zu mehrwertigen Logiken geht,
dann ist funktionale Vollständigkeit nicht mehr so einfach zu erhalten.
Ja, das ist so ein Punkt,
wo einfach zweiwertige Logik schön einfach und sauber ist,
da können wir
das alles wunderbar machen
Jetzt wollen wir uns aber bei den Normalformen nicht beschränken,
unbedingt auf ein minimales Inventar von Junktoren,
sondern wir wollen noch eine weitere Form von Beschränkung einführen,
nämlich eine strukturelle Beschränkung.
Dahingehend, dass gewisse Junktoren nur in gewissen Positionen der Struktur
auftauchen können. Wir machen eine grammatische Einschränkung. Ja,
wenn wir uns beschränken in der Anzahl der Junktoren beispielsweise sagen,
nur Negation und Konjunktion,
dann dürfen wir uns in der Grammatik nicht
weiter einschränken
Hier bei den konjunktiven und disjunktiven Normalformen,
denen wir einen anderen Weg, da sagen wir,
wir lassen drei Jungtoren zu, nämlich Konjunktion, Disjunktion und Negation.
Aber beschränken uns in der Struktur, dahingehend,
dass die Negation nur noch unten an den Atomen vorkommen darf,
nicht mehr weiter oben im Strukturbaum.
Und dann, dass auch sozusagen Ordnung herrscht in Bezug auf
Konjunktion und Disjunktion. Und was jetzt heißt, Ordnung herrscht,
Das unterscheidet sich halt bei konjunktiver und disjunktiver Normalform. Hier,
das Beispiel konjunktive Normalform, die hat ihren Namen daher,
dass die Konjunktion als die oberste Ebene auftauchen darf,
unterhalb der Konjunktion dürfen Disjunktionen kommen und dann Negationen und dann Aussagesymbole.
Es heißt nicht, dass eine Konjunktion vorkommen muss.
Es gibt auch konjunktive Normalformen, in denen keine Konjunktion auftaucht.
Muss man akzeptieren
Bei der disjunktiven Normalform, da ist das hierarchische Verhältnis hier genau umgekehrt,
da tauchen oben, wenn sie da sind,
die Disjunktionen auf und da drunter erst die Konjunktion.
Gut, also die Einschränkungen sehen so aus jetzt,
was die Hierarchie angeht, kein Legationsknoten steht oberhalb eines Jungdorknotens,
also auch doppelte Negationen sind nicht erlaubt.
Kein Diss in der konjunktiven Normalform
steht keinem Disjunktionsknoten
Oberhalb eines Konjunktionsknotens und in der disjunktiven Normalform steht kein Konjunktionsknoten, oberhalb eines Disjunktionsknoten. Ja,
mit der Negation in der Formulierung vielleicht nicht ideal,
aber sozusagen korrekt, ja,
denn ich hatte ja gesagt, es könnte ja vorkommen,
dass auch gar keine Disjunktion oder Konjunktion vorkommt in den Normalformen.
So, jetzt sozusagen die formellere Variante der Definition,
das war sozusagen die Informelle.
Dafür brauchen wir so
ein bisschen Begrifflichkeit wieder
Und zwar ist es manchmal nützlich,
einen Begriff zu haben, wo die Aussage,
Symbole oder atomaren Formeln und deren Negation in eine Gruppe gepackt werden.
Und diese Gruppe heißt Literale. Also literale sind
entweder Aussagensymbole oder Negationen von Aussagen, Symbole.
Die Aussagensymbole selber nennen wir auch mal positive Literale.
Wenn es wichtig ist, die negierten Aussagesymbole,
negative Literale
Keine Literale sind dieses hier, ne?
Negation von Negation von A ist kein Literal. Oder auch
, wenn ein Binärer Jungdorf vorkommt, ist kein Literal.
Ja. Positives und negatives Literal können wir bilden bezüglich desselben Aussagesymbols.
Und in dem Fall sprechen wir auch von Komplementären Literalen.
Also Negation von A ist komplementär zu A, A ist komplementär zur Negation von A.
Und wir benutzen diese Balken-Notation beispielsweise Balken über dem A,
um jeweils das Komplementäre literal zu nennen. Ja,
also es ist so ähnlich wie die Negation,
aber es ist kein Jungtor, sondern es ist halt eine Funktion,
die Literale auf Literale abbildet und dabei eben Negation auch mal löschen kann.
Ja. Okay. Das ist die unterste Ebene von
unserem konjunktiven und desjunktiven Normalformen, nicht nochmal hier sozusagen,
das ist die Ebene bis hier,
ja,
da stehen Literale
So, jetzt kommen wir zur nächsten Ebene. Auf der
nächsten Ebene bilden wir bei der disjunktiven Normalform erst mal die Konjunktion.
Und bei der konjunktiven Normalform erst mal die Disjunktion.
Und da können wir beliebig viele, endlich viele, aber
beliebig viele Literale miteinander kombinieren. Und um dieses hinschreiben zu können,
ohne immer so Pünktchen, Pünktchen, Pünktchen machen zu müssen,
verwenden wir hier so eine generalisierte Form von Konjunktion und Desjunktion zum Aufschreiben.
Ja, funktioniert so ähnlich wie halt das generalisierte Summenzeichen
oder so
Also N, literale Konjunktiv verknüpft,
das können wir hier mit dieser Symbolik schreiben,
als Abkürzung für solch eine Kette von N, Konjunkt.
Und entsprechend mit der Disjunktion. Auch hier zu beachten,
wenn ich nur ein Glied konjunktiv verknüpfe und es dann sozusagen ausschreibe,
dann ist da gar kein Konjunktionssymbol mehr oder entsprechend
bei der Disjunktion
So, als Klausel werden jetzt solche Distunktionen von Literalen bezeichnet.
Ja, also ausgehend von einer endlichen Menge von literalen
bilde ich eine Disjunktion und das Ding nennt man Klausel.
Ja, hör zu den Vokabeln, die zu lernen sind
, dem wird man auch später wieder begegnen.
Insbesondere wäre irgendwie die logische Programmierung macht pro Log,
da wird man auch viel mit Klauseln arbeiten
Ja, Klauseln sind Disjunktionen von Literaren. Was haben die für
semantische Eigenschaften? Naja, wenn man sich zunächst mal überlegt,
literale, literale sind Aussagesymbole oder eben Negationen von Aussagensymbolen,
das sind alles kontingente Formeln.
Ja, die können wahr oder falsch sein. Das sind
erfüllbar und falsifizierbar. Wenn ich die jetzt disjunktiv verknüpfe,
ja, dann bei der Disjunktion setzt sich ja immer das Wahr durch.
Das heißt, Klauseln sind auch auf jeden Fall erfüllbar
Ja, da ist mindestens ein Literal drin.
Das Literal ist erfüllbar. Und wenn das halt wahr wird
, wird auch die Klausel wahr.
Also, jede nicht leere Klausel ist erfüllbar. Ja,
wie sieht es jetzt aus in Bezug auf die Möglichkeit,
dass sie vielleicht konstant den wahren Wahrheitswertverlauf haben?
Also, wir wissen, einmal kommt,
war auf jeden Fall im Bereitswertverlauf vor.
Kann es sein, dass sie eben allgemeingültig sind?
Und da kann man feststellen, naja,
wenn wir ein Paar von komplementären Literalen in der Dissunktion
haben,
also A oder nicht
Und dann noch, oder, oder irgendwas anderes. Ja,
dann wird die Klausel natürlich allgemeingültig. Und man kann auch feststellen,
dass die Umkehrung auch gilt, sie ist nur dann allgemeingültig,
wenn so ein Paar von Komplementären literalen vorkommt.
Das heißt, wenn mir jemand eine Klausel gibt und sagt,
stell doch mal fest, ob die allgemeingültig ist,
dann brauche ich wirklich nicht viel zu tun.
Ja, ich muss einmal sortieren, die Aussage ist,
die Literale, die drin vorkommen,
nach den Aussagesymbolen und dann feststellen,
ist da so ein komplementäres Paar oder nicht und
dann bin ich fertig
Ja, das ist also relativ billig.
Wenn ich schon weiß, das ist eine Klausel,
dann ist das Verfahren wirklich einfach zu programmieren.
Und wir brauchen nie eine Wahrheitstafel aufzubauen dafür. Ja,
selbst wenn da 100 Literale und 100 Aussagesymbole vorkommen,
keine Wahrheitstafel nötig, man checkt das einfach durch.
Ja, insofern ist das gut,
wenn man eine Klausel prüfen will auf Allgemeingültigkeit. Ja,
anstelle der Dissiunktion kann ich natürlich auch die Konjunktion verwenden,
um die Literale zu kombinieren.
Und dann spricht man von Dualenklauseln
Duale Klauseln, ja,
man sieht hier, dass wieder der Begriff Dualität vorkommt,
eben im Innenbezug auf die Operatorenkonjunktion und Desjunktion,
Dualenklauseln begegnet man in der logischen Programmierung beispielsweise nicht unbedingt.
Aber es ist halt eine ganz analoge Formation, die wir hier haben.
Gut, und wenn wir uns hier bei der Konjunktion von
Literalen wieder nach den semantischen Eigenschaften fragen,
dann wissen wir,
Literale sind grundsätzlich falsifizierbar
Die werden konjunktiv erknüpft und bei Konjunktionen setzt sich ja immer das falsch durch.
Das heißt dann auch, dass die dualen Klauseln entsprechend falsifizierbar sind.
Also duale Klauseln können grundsätzlich nicht allgemeingültig sein oder Tautologien sein.
Sie sind immer falsifizierbar. Sie können natürlich unerfüllbar sein.
Und zwar gilt hier auch wieder ganz analog,
dass sie genau dann unerfüllbar sind,
wenn ein paar komplementärer Literale vorkommt
Ja. Klar, wenn da steht, A und nicht A und,
und, und, und, und, irgendwas,
dann wissen wir, naja, da ist ein Widerspruch.
Diese Formel kann nicht wahr werden unter keinen Umständen.
A und nicht A geht einfach nicht. Das ist die eine Richtung,
ja, wenn ein paar komplementärer Literale vorkommt, ist sie unerfüllbar.
Und auch hier gilt die Umkehrung, wenn es nicht vorkommt,
dann finden wir auch eine erfüllende Belegung.
Gut, auch hier gilt also,
wenn mir jemand eine duale Plause gibt und sagt,
prüf doch mal auf Erfüllbarkeit,
sage ich ja,
super Job,
mache ich
ganz schnell
Okay. So, jetzt, jetzt,
ich gehe noch mal kurz zurück zu unserem Baum,
ja, konjunktive Normalform. Wir hatten jetzt die Klauseln gegangen,
das ist gewissermaßen dieser untere Teil bei den konjunktiven Normalformen,
Disjunktionen von literalen, die nennen wir Klauseln.
Ja, das sind also diese Einheiten hier, die es
dann bei der konjunktiven Normalform jetzt konjunktiv zu verknüpfen gibt.
Also eine Formel F ist genau dann konjunktiver Normalform,
wenn kein Jungtor aus der Konjunktion Dysjunktion und Negation vorkommt,
jede Teilformel von F mit Hauptoperator,
Negation, als echte Teilformel genau eine atomare Formel hat,
also ein Literal ist und keine Teilformel von F mit Hauptoperator oder eine Konjunktion enthält.
Man kann auch sagen, eine Formel F ist im KNF,
wenn sie diese Form hat, die verallgemeinerte Konjunktion von verallgemeinerten Dysjunktionen von Literalen.
Wobei man eben beachten sollte, dass dieses N und das
MI unter Umständen auch mal eins sein können
So. Man sagt auch, konjunktive Normalformen sind Konjunktionen von Klauseln,
ja, aber bitte eben mit einem Körnchen Salz nehmen,
der eine Konjunktion muss gar nicht vorkommen.
Auch eine Klausel selber, eine Klausel alleine ist schon inkonjunktiver Normalphone.
So, hier nochmal Beispiele für konjunktive Normalformen am Strukturbaum.
Man sieht Negation unten, dann die Ebene der Dissunktion,
oben die Konjunktion.
Ja, und als kleinstmögliche konjunktive Normalform einfach ein Aussagesymbol.
Auch das ist ein konjunktiver Normalform
Ja, ich brauche jetzt nicht groß irgendwie Desjunktionen und Konjunktionen
einzuführen, um das in konjunktive Normalform zu bringen.
Das ist schon in konjunktiver Normalform. Desjunktive Normalform,
dann Dual zur konjunktiven Normalform. Wir gehen aus von den
dualen Klauseln und erlauben diese dann disjunktiv zu verknüpfen.
Und erhalten dann eine allgemeine Form, Disjunktion von dualen Klauseln
Ja, aber auch hier gilt wieder,
wir müssen keine Disjunktion bilden, wenn wir nicht wollen.
Eine duale Klausel alleine ist schon in disjunktiver Normalform.
Auch wenn keine Disjunktion vorkommt. Gut,
wir könnten jetzt das natürlich auch in der Grammatik aufschreiben.
Ja, sozusagen eine kontextfreie Grammatik für konjunktive Normalform.
Und was sozusagen die Hauptmessage an dieser Stelle sein soll,
dieses nicht auswendig zu lernen oder so,
sondern die Hauptmessage soll sein,
wenn wir solche grammatischen Beschränkungen machen,
dann führt das in der Regel dazu,
dass die Grammatik komplizierter aussieht
Ja, wir führen mehr nicht terminal Symbole ein,
ja, hier sogar vier Stück. In der ersten Grammatik,
die wir hatten für unsere Logiksprache, hatten wir ein einziges Nicht-Terminal-Symbol.
Und wofür führen wir sie ein? Nun im Wesentlichen um
verschiedene Ebenen zu identifizieren, der Formelbildung eben entsprechend dem,
welchen Jungtor darf ich denn als Nächsten einführen und welcher ist ab jetzt verboten.
All das hatten wir in unserer allgemeinen Syntags nicht,
ja, da kann man guter Bund eben Formeln bilden
Gut. Ja, jetzt hatten wir uns in Bezug auf
die Klauseln schon gefragt, wie sehen die semantisch aus?
Welche möglichen Werte können wir dort zuordnen? Und das Entsprechende
kann man natürlich jetzt auch, weil konjunktiver und disjunktiver Normalform gucken.
Also wenn ich schon weiß, eine Formel ist in konjunktiver Normalform.
Ist es dann leicht festzustellen,
ob sie gültig ist oder ist es leicht festzustellen,
ob sie erfüllbar oder unerfüllbar ist
Und da kann man halt das folgende feststellen. Wir hatten gesagt,
konjunktive Normal von basieren ja auf den dualen Klauseln,
also den Dissiunktionen. Da hatten wir gesagt, naja,
die Dissiunktion, die dualen, die Klauseln werden allgemeingültig,
wenn man da diese Paare komplementärer klauseln findet.
Wenn ich jetzt Konjunktionen von diesen Dingern bilde,
ja, eine Konjunktion von Formen,
wann wird die allgemeingültig
Naja, die Konjunktion, bei der Konjunktion setzt sich ja das Falsche immer durch.
Um allgemeingültig zu sein, darf aber nie was Falsches auftauchen.
Das heißt, eine Konjunktion ist allgemeingültig,
wenn jeweils das, was ich hineinstecke, die Konjunkte,
wenn die alle schon allgemeingültig sind.
Ja, und bei der konjunktiven Normalform wird sich das natürlich entsprechend aus.
Eine KNF ist genau dann gültig, wenn alle ihre Klauseln
gültig sind. Gut, und wir hatten gesagt,
bei Klauseln ist es einfach zu prüfen,
ob sie gültig sind.
Da müssen wir einfach
nur diese komplementären Paare finden
Das heißt, wenn nicht schon eine konjunktive Normalform habe,
dann ist es relativ einfach zu prüfen, ob die gültig ist.
Ich muss nur Pattern-Matching machen. Gar nichts anderes mehr tun
. Analog zur DNF, aber hier ist es halt nicht
die Gültigkeitsprüfung, sondern die Erfüllbarkeitsprüfung, die billig wird.
Bei einer Disjunktion setzen sich ja die Einzen immer durch oder
die Wahrheit setzt sich durch
Damit eine disjunktive Normalform unter allen Bedingungen das falsch liefert,
müssen auch wieder die Sachen, die ich reingesteckt haben,
die ich disjunktiv verknüpft habe.
Unter allen Bedingungen das Falsche liefern. Das heißt,
eine DNF ist genau dann unerfüllbar, wenn alle hiere Dualen klauseln unerfüllbar sind.
Und dann war es bei den dualen Klauseln,
das sind ja Konjunktionen, wieder billig zu prüfen,
sind das jetzt eigentlich unerfüllbare Formeln oder nicht
Gut, also bei konjunktiven Normalformen ist die Gültigkeitsprüfung billig,
bei disjunktiver Normalform ist die Erfüllbarkeitsprüfung oder Unerfüllbarkeitsprüfung billig.
Schade ist nur, dass die Umformung einer konjunktiven Normalform
in eine disjunktive Normalform unter Umständen höllisch aufwendig ist.
Ja, das heißt, bevor man sowas macht,
sollte man wissen, wo man hin will.
Wenn man eben eine billige Prüfung auf Gültigkeit will,
dann sollte man gleich die konjunktive Normalform bauen
Ist auch nicht unbedingt einfach, ja, aber wenn wir
sie erst mal haben, dann sind wir froh.
Gut, konjunktive und desjunktive Normalform sind auch an anderen Stellen
nützlich, beispielsweise werden wir später das sogenannte Resolutionsverfahren kennenlernen.
Das ist sozusagen die logische Basis von Prolog.
Und die basiert auf konjunktiven Normalformen. Ja,
da geht es eben los, dass man sagt,
wir bauen erst mal die konjunktive Normalform und dann
wollen wir versuchen,
Erfüllbarkeitsprüfung zu machen
Ja, nicht Gültigkeitsprüfung, sondern Erfüllbarkeitsprüfung. Und dazu benutzen wir dann
dieses Resolutionsverfahren. Werden wir später kennenlernen. Aber Basis dafür
ist eben erst mal konjunktive Normalform. Die desjunktive Normalform,
die taucht in etwas anderen Versionen in sogenannten Tableau-Verfahren auf.
Das sind maschinelle Beweisverfahren, die sind letztlich abkürzende Versionen,
desjunktive Normalformen zu bilden.
Wenn wir es auf Aussagenlogik beschränken
Ja, das ist das, was in FG3 im Masterstudium
im Wesentlichen gemacht wird. Das klammern wir hier aus.
Nur, ich wollte mal sagen, ja,
desjunktive Normal vom Tauchen auch woanders nochmal auf. Gut,
wir hatten jetzt die Normalform erstmal charakterisiert über eine bestimmte Form der Formel und ja,
was wir aber haben wollen, ist nicht nur,
dass wir prüfen können, hier gegeben eine Formel.
Ist das eine konjunktive Normalform,
sondern wir wollen auch die Möglichkeit haben,
ausgehend von einer Formel eine äquivalente Formel in konjunktiver beziehungsweise
destinktiver Normalform
zu bilden
Und deshalb benutzen wir diesen Begriff konjunktive Normalform,
auch relational, also nicht nur zum Klassifizieren von Formeln,
sondern auch als Relation zwischen Formeln und sagen,
F-Strich ist ponjunktive Normalform zu einer Formel F,
wenn es erstens inkonjunktiver Normalform ist und zweitens Äquivalent zu F.
Und analog zög bei der disjunktiven Normalform.
Gut. Glücklicherweise gibt es auch zu jeder Formel
eine Formel inkonjunktiver Normalform und indesjunktiver Normalform
Ja. Das Theorien dazu, also zu jeder Formel,
gibt es eine Formel in konjunktiver Normalform und indysjunktiver Normalform.
Den Beweis habe ich hier nochmal ausbuchstabiert,
weil es ein Beispiel ist dafür, dass es manchmal einfacher sein kann,
zwei Theorien gleichzeitig zu beweisen, als sie nacheinander zu beweisen.
Und das hier ist so ein Beispiel dafür,
dass es keinen Sinn macht zu sagen,
wir zeigen erstmal,
dass es zu jeder Formel eine konjunktive Normalform gibt und dann zeigen wir,
dass es
zu jeder Formel disjunktive Normalform gibt
Weil man auf dem Weg, ja, wo man die Konjunktur,
das konjunktive Normalformtheorien beweist, man schon gerne zurückgreift darauf,
dass es die desinktive Normalform gibt.
Gut, deshalb hier nochmal den Beweis in voller Schönheit zu zeigen,
also für jede Formel gibt es eine konjunktive und eine disinktive Normalform.
Gut, der Induktionsanfang ist wie gewohnt sehr einfach.
Was müssen wir zeigen? Für atomare Formeln gibt es
äquivalente, konjunktive und disinktive Normalform
Nichts leichter als das. Denn wir hatten ja gesagt,
die Atome selber sind ja schon inkonjunktiver und desjuktiver Normalform.
Die erfüllen alle Constraints. Okay. Kommen wir zur Induktionsannahme
. Wir nehmen an, geh und hase ein Formeln,
zu denen ist Konjunktive und disjuktive Normalform gibt.
Und wir geben den Kindern auch gleich Namen.
Also GK ist die konjunktive Normalform zu G. HK zu H. Entsprechend
geh die disjuktive Normalform zu G. Und HD,
die disjuktive Normalform zu haben
Und jetzt müssen wir zeigen, dass es dann auch zu den Negationen von G,
der Dissiunktion von G und H und der Konjunktion von G und H
konjunktive und disjunktive Normalformen gibt.
Gut, an dieser Stelle fällt mir auf,
dass ich doch zu schnell über dieses Fordere hinweggesprungen bin,
denn dort habe ich schon mal festgestellt, naja,
ich gehe mal davon aus, dass Bi-Implikation und Implikation nicht vorkommen,
weil dich eben gemäß Elimentationstheorien schon eliminiert wurden.
Das heißt, man hat die ursprünglichen Formeln schon so umgeformt,
dass diese gar nicht mehr vorkommen
Sonst würden wir einfach im Beweis gleich nochmal zwei Schritte mehr machen müssen.
Gut, der Induktionsschrift, jetzt müssen wir zeigen,
dass es zur Negation von G eine konjunktive, nein,
eine disjunktive Normalform gibt. So,
und hier sieht man schon, dass es praktisch ist,
dass unsere Induktionsalarme auch schon darüber geredet hat,
dass es eine konjunktive Normalform gibt für G,
denn auf diese greifen wir jetzt zu
Von der wissen wir ja, welche Form sie hat,
Konjunktion von Disziption, von Literalen. Wenn wir die jetzt negieren,
die konjunktive Normalform zu gehen, negieren,
dann können wir die Negation anschließend nach innen ziehen und entsprechend
dem den morganischen Gesetz drehen sich ja dann die Konjunktionen und Deszinktionen jeweils um,
sodass, wenn wir am Schluss auch noch die doppelten Legationen im Inneren zusammengezogen haben,
wir Zu einer Formel kommen, die eine Disjunktion von Konjunktionen,
von Literalen ist.
Und das ist gerade die Form, die wir für Disjunktive Normalform,
als disjunktive Normalform ausgezeichnet haben. Ja, das heißt,
um eine Disjunktive Normalform zu G zu finden,
ist zur Negation von G zu finden,
nämlich die konjunktive Normalform von G und drehe die Jungtoren um,
also Konjunktionen,
Disjunktionen,
Disjunktionen in Konjunktionen und negiere
in die Literale
Führe dann entsprechend gegebenenfalls doppelte Negationen zusammen. Okay. Entsprechend natürlich,
wenn ich eine konjunktive Normalform zur Negation von G bilden will,
mache ich das analoge, nur dass ich dann erstmal die disjunktive Normalform nehme und sie dann umbaue.
Gut. Gucken wir uns an, was machen wir,
wenn wir die konjunktive Normalform zu G und H bilden wollen,
naja, da müssen wir nicht viel machen, ja,
denn wir können zurückgreifen darauf,
dass es eine konjunktive Normalform zu G gibt und eine zu H,
Geh unter, ist dann äquivalent zur Konjunktion von GK und HK.
Und dann bleibt uns nur noch unter Umständen ein Unnummerieren dieser Konjüngste vorzunehmen,
denn strukturell ist ja alles noch in Ordnung.
Ja, wir haben nur eine Konjunktion oben auf den Baum
aufgesetzt, wo oben die Konjunktionen erlaubt waren. Ja,
also damit haben wir die richtige Form und wir können jetzt noch zeigen durch Unnummerieren,
das ist tatsächlich die richtige Form ist,
aber das können wir eigentlich auch schon an dieser Stelle sehen
Ja, also das ist nicht schwierig. Jetzt bleibt nur
der Fall, dass ich eine konjunktive Normalform bilden will,
von einer Formel, wo oben die Dissiunktion als Operator steht.
Und die steht ja dann an der falschen Stelle in der Hierarchie.
Ja, das heißt,
ich kann zwar wieder die konjunktive Normalform von G und H
nehmen und die dann ein bisschen tiefer knüpfen,
habe damit wieder eine äquivalente Formel zu G oder H.
Aber die erfüllt jetzt noch nicht
unsere strukturellen Bedingungen
Wir müssen es irgendwie schaffen, diese Negation,
die als Oberste dasteht, irgendwie nach unten zu drücken.
Und das tun wir mit Hilfe des Distributivgesetzes.
Das war das Gesetz, was uns darüber Auskunft gibt,
wie wir die hierarchischen Beziehungen zwischen Konjunktion und Dissunktion verschieben können.
Und dabei müssen wir jedes der Konjunkte auf dieser Seite mit jedem,
der Konjunkte auf der anderen Seite dann disjunktiv verbinden.
Ja, und das ist sozusagen ein Ausmultiplizieren,
was hier passiert,
was die Formel
enorm aufblähen kann
Ja, also das,
was wir hier so hübsch kurz hinschreiben können durch unsere verallgemeinerte Notation, ist etwas,
was nicht ein Strich plus in zwei Strich Lieder hat,
wie das hier oben,
sondern das sind jetzt ein Strich mal in zwei Strich Lieder,
die wir da haben.
Ja, das sind, unter Umständen enorm viel mehr.
Viel Schreibarbeit, viel Möglichkeit, sich zu verschreiben,
wenn man es per Hand machen muss.
Ja, deshalb programmiert es lieber, schreibt es nicht
per Hand.
Aber sozusagen die Gesetzmäßigkeit gilt halt und so können wir grundsätzlich prinzipiell ebenso eine Umformung vornehmen. So,
und dann müssen wir eventuell diese Disjunktionen,
hier werden jetzt zwei Klauseln disjunktiv verknüpft, das ist okay,
ja, die Klauseln sind ja Disjunktionen,
jetzt machen wir nochmal eine Disjunktion mit einer anderen Disjunktion,
bleibt immer noch eine Disjunktion,
naja,
gegebenenfalls können wir es hier nochmal umnummerieren,
aber das ist dann wirklich nur noch
der Form halber
Der wichtige Schritt ist zu sehen, hier kommt das Distrimotivitätsgesetz
zur Anwendung und das kann sehr aufwendig sein.
Aber die Hauptmessage ist erstmal, es geht im Prinzip so
eine konjunktive Normalform bzw. desinktive Normalform zu bilden.
Wenn ich nicht eine konjunktive Normalform bilden will,
sondern eine distrinktive,
dann ist natürlich der Schritt hier bei der Disjunktion der einfache und der Schritt bei der Konjunktion,
der wird dann entsprechend schwierig und erfordert,
das Distributivgesetz
Aber das habe ich nicht nochmal aufgeschrieben,
dass wir einfach langweilig, das nochmal zu machen. Gut,
aus diesem Beweis heraus kann man jetzt auch ein Verfahren destillieren,
das sagt, wie geht es grundsätzlich, wenn man eben gezwungen wird,
eine konjunktive Malform oder eine disjunktive Normalform zu erzeugen.
Als erstes sollte man diese Pfeile eliminieren durch die entsprechenden Gesetze.
Dann die Negation nach innen treiben zu den Atomdoppeltelegationen vernichten
Und ansonsten die Morgan, beziehungsweise die Dualität ausnutzen,
um die Negation nach innen zu bringen.
Und dann muss man sich entscheiden,
KNF oder DNF und entsprechend gegebenenfalls mit dem Distributivgesetz,
die hierarchischen Verhältnisse so einrichten, wie man sie haben will.
Beliebter Fehler dabei ist, irgendwie in Zyklen zu geraten,
mal in eine Richtung, mal in eine andere Richtung.
Wenn man es programmiert, kann man es einrichten,
dass man solche Zyklengefahr der entkommt
Und damit ist man dann auch fertig und hat die entsprechenden disjunktiven und konjunktiven Normalformen,
die sind unter Umständen noch unnötig komplex. Ja,
wir hatten in der Liste vorhin noch solche Gesetze wie Absorption und Idempotenz,
ja, es könnte durchaus vorkommen, dass die nützlich sind,
wenn man eben nicht so viel Zinte verschwenden will,
die auszunutzen, aber es ist nicht nötig,
ja,
denn unsere Strukturbeschreibung für konjunktive und desinktive Normalformen sagte nichts darüber,
möglichst kurz zu sein
Davon stand nichts drin. Also man darf auch unnötig komplex
formeln, hinschreiben, solange die hierarchische Struktur stimmt.
So, zum Abschluss jetzt nochmal ein einfaches Beispiel für so eine Bildung.
Hier haben wir die Formel A und D impliziert C, impliziert D.
Erster Schritt Implikation ersetzen durch Negation und Dissunktion. Zweiter Schritt,
nochmal die Implikation ersetzen, entsprechend durch Regation und Desjuktion.
Dann die Negation nach innen treiben, Dualität oder Demorgan.
Also hier, die Konjunktion wird umgedreht zur Desjuktion, Negation nach innen.
Dann haben wir hier nochmal so einen Fall, wo wir
die Negation weiter nach innen treiben können über die Bissunktion.
Dann erhalten wir hier die Konjunktion und verteilen die Negation entsprechend.
Doppelte Negation können wir dann löschen. Und dann müssen wir
nur noch die hierarchischen Verhältnisse zwischen Desjuktion und Konjunktion geeignet,
Regeln, hier sollen wir die konjunktive Normalform erstellen.
Also stört uns diese Disjuktion hier oben
Die müssen wir auflösen durch das Distributivgesetz. Dann haben wir
hier noch so eine Dissunktion. Müssen wir auch nach innen
bringen und haben dann schließlich hier tatsächlich eine konjunktive Normalform.
Okay, die weitere Evaluation des Verfahrens werde ich dann beim nächsten Mal machen.
Also, dass das tatsächlich in Ordnung ist und dass es auch terminiert.
Und dann werde ich auch noch ein zweites Verfahren vorstellen,
wie man Normalform gewinnen kann,
nämlich indem man von den Wahrheitstafeln ausgeht und dann eine Formel erzeugt.
Okay, dann wünsche ich noch einen angenehmen Tag und
wir sehen uns nächste Woche Montag wieder