Guten Morgen, meine Damen und Herren. Ich lasse nämlich
Ihnen zunächst mal ein glückliches und erfolgreiches neues Jahr wünschen.
Ich möchte Sie fragen, ob Sie Fragen zur Vorlesung haben.
Die letzte Vorlesung ist ja schon ein bisschen her,
deshalb will ich das noch mal kurz zusammenfassen, wo wir stehen geblieben sind,
mitten in einer relativ technischen Analyse des Ramsation-Wachstumsmodells, wie Sie sich erinnern.
Das wird uns auch heute noch im Wesentlichen in der Vorlesung beschäftigen.
Wir wollen diese Analyse heute abschließen und Vergleiche dann anstellen zum Solution-Wachstumsmodell sehen,
wo das Ramsische Wachstumsmodell andere Ergebnisse liefert und wo es ähnliche oder dieselben Ergebnisse liefert,
wie der Solution-Wachstumsmodell. Nun, wenn Sie sich erinnern,
das, was wir gemacht haben, war im Wesentlichen,
dass wir eine Nutzung und dann explizit das Prinzip der Nutzenmaximierung eingeführt hatten,
in ein Wachstumsmodell, was ansonsten eigentlich durch ähnliche Gegebenheiten gekennzeichnet gewesen ist,
wie das Soloship-Wachstumsmodell, mit der vielleicht ein wenig verwirrenden Änderung,
dass wir uns im Augenblick auf die Betrachtungsweise des repräsentativen Haushalts konzentrieren und deshalb den Vermögensbestanden nicht so sehr in Kapitalbestand betrachten.
Ich hatte Ihnen aber bereits gesagt, dass im Kapitalmarkt Gleichgewicht natürlich gelten muss,
dass die Veränderung des Vermögens gleich der Veränderung des Kapitalbestands ist,
weil die Veränderung des Vermögens,
die Ersparnis ist und diese Ersparnis eben zur Finanzierung von Bruttoinvestitionen verwendet wird,
sodass das, was wir hier als A-Asset-Vermögen betrachten,
letzten Endes nur die Kehrseite des Kapitalbestands,
ist alles Kapital, ist Vermögen.
Nun, die Nutzenfunktion war eine interdeporale Nutzenfunktion,
die sich daraus ergab, dass wir eine sogenannte momentane Nutzenfunktion Klein-U,
die nur von C abhängig sein sollte, intertemporal aggregiert haben,
und zwar im Wesentlichen durch eine Summation,
dadurch,
dass wir Zeit kontinuierlich arbeiten,
ist die Summation
nichts anderes als ein Integralzeichen
Das heißt, wir haben diese ganzen U von CETs aggregiert über die Zeit und noch gewichtet,
nämlich einerseits gewichtet mit der Bevölkerung, dieses U von CET lesen wir,
also als Nutzen eines Repräsentativen Agenten,
multipliziert mit der Anzahl der Agenten in der Ökonomie e-hoch-NT,
ist gleich L,
also die Bevölkerung in der Ökonomie gibt mir dann den Gesamtnutzen,
der jeweils zum Zeitpunkt T lebenden Population und dies wird abdiskutiert mit einer subjektiven Diskontrate von Roh
Das heißt, mit einem Diskutierungsfaktor von E-Hoch minus Rote und ich hatte ihnen gesagt,
dass sie dieses E-Hoch-Minus-Routine auffassen können, als eins durch eins plus Roh, Hoch Tee in einer Diskretenbetrachtung.
Sodass ich insgesamt also für den Lebenszeitnutzen Groß-U ergibt das Integral über Klein-U,
mal e-Hoch-N-Rote, die Tee und damit dieses Integral hier,
weil es von null bis unendlich geht,
ist ja ein uneigentliches Integral, damit es konvergiert,
müssen wir unterstellen, dass das N größer ist als das,
Entschuldigung, dass das Roh größer ist als das N,
damit wir hier also einen negativen Exponenten in dieser E-Funktion haben,
sonst wurde ja die E-Funktion gegen unendlich gehen mit
wachsendem Tee und das ganze Integral würde nicht konvergieren
Zu maximieren ist dieser Nutzen jetzt durch eine geeignete Wahl der Ersparnis.
Denn das ist ja der eigentliche Punkt bei dem Ramsation Wachstumsmodell,
dass wir gesagt haben, wir wollen jetzt endogen bestimmen,
was eigentlich die optimale Höhe der Ersparnis ist.
Wir wollen nicht mehr mechanisch unterstellen,
dass ein fester Bestandteil des Einkommens gespart wird,
egal ob man nun bereits viel Kapital aufgebaut hat oder erst wenig,
sondern wir wollen den Konsumenten selbst darüber entscheiden,
dass was er oder sie für richtig hält,
wie viel zu sparen ist
Dieser Ersparnis, wie gesagt, ist die Veränderung des Vermögens,
A, Punkt, diese Veränderung des Vermögens, die wird folgendermaßen bestimmt.
Einerseits hat der Konsument bestimmte Einnahmen, nämlich aus Arbeit und aus Kapitalvermögen. Die Arbeitszeit ist auf eins begrenzt,
deshalb ist das Arbeitseinkommen einfach der Lohnsatz weh,
mal Arbeitszeit eins, plus R mal A,
ist das Kapitaleinkommen, was an den Konsumenten ausgezahlt wird,
also die Verzinsung seines Vermögens, abzüglich der Konsumausgaben,
abzüglich derjenigen Ausgaben, die erforderlich sind,
um neue Bevölkerung mit Vermögen auszustatten,
da bleibt dann entweder etwas übrig oder es ist zu wenig.
Das heißt, das A-Punkt ist entweder positiv oder negativ.
Wir haben entweder positive oder negative Ersparnis. Und diese Veränderung des Vermögens,
diese positive oder negative Ersparnis,
hängt eben jetzt im Wesentlichen davon ab, was der Konsument sagt,
wie viel er sparen will zu einem Zeitpunkt,
wie viel er konsumieren will zu einem Zeitpunkt Team.
Nun, gegeben ist ein bestimmter Vermögensbestand zum Zeitpunkt 0 und
dann haben wir hier noch eine No-Poncy-Game-Bedingung,
die also solche Spielchen,
wie sie Bernhard Manoff beispielsweise gemacht hat oder in den 20er
Jahren Charles Ponzi verhindert,
dass man sich einfach
immer mehr Geld leiht
Um alte Schulden finanzieren zu können. Das wollen wir verhindern,
durch eine solche Bedingung, also asymptotisch, darf man keine Schulden hinterlassen.
Und das ist unser Analyseram, dieses Modell, das haben wir im Einzelnen analysiert.
Dafür haben wir hier diese Hamilton-Funktion aufgestellt und die Bedingungen erster Ordnung
bestimmt und bekamen dann die Ramsay-Regel heraus. Die haben,
wie ich glaube, in der letzten Vorlesungsstunde diskutiert,
die Ramsay-Regel sagt uns,
dass die Wachstumsrate des Konsums abhängig sein muss von der Differenz zwischen dem Zinssatz Erd,
also dem Marktzinssatz subjektiven Diskontrate roh geteilt durch Täter von C und Täter von C war in etwas eigentümliches Konzept,
auf das ich jetzt gleich noch mal ein bisschen eingehen möchte.
Das war nämlich der Absolutbetracht der Konsum-Elastizität des momentanen Grenznutzens des Konsums.
Also ein Konzept, ja, was nicht so richtig griffig ist.
Und dazu hatte ich Ihnen schon gesagt, dieses Ding,
der Absolutbetracht der Konsum-Elastizität ist momentan Grenzlüpfen des Konsums,
das kann man auch invers betrachten und dann bezeichne ich das,
was ich hier als Täter von C bezeichnet habe,
also das invertiere ich und multipliziere es mit minus eins,
dann bezeichne ich das mit Sigma von C und das heißt,
denn die intertemporale Substitutionselastizität des Konsums?
Das ist ein Konzept, was ein bisschen greifbarer ist.
Und das wollte ich Ihnen heute noch mal erklären,
weil diese intertemporale Substitutionselastizität sozusagen der Schlüsselparameter des Ramsession Wachstumsmodells ist ja im Wesentlichen
die Dynamik des Modells und die Anpassungsgeschwindigkeiten und Ähnliches treibt.
Also wenn Sie einen Artikel lesen,
in der wissenschaftlichen Literatur, die das Ramsession Wachstumsmodell behandeln,
dann werden Sie immer wieder den Begriff der temporalen Substitutionselastizität des Konsums
oder manchmal lässt man die Spezifizierung des Konsums auch weg und spricht einfach nur von der intertemporalen Substitutionselastizität.
Auf diese wird sie immer wieder treffen und werden feststellen,
dass die Diskussion des Modells sich sehr stark fokussiert,
eben auf die Eigenschaften dieser Substitutionselastizität
Nun, ich habe das auf den Folien nicht ausgearbeitet,
weil das im Grunde genommen eher ein Bestandteil einer Mikrovorlesung ist,
sie mit diesem Konzept vertraut zu machen,
aber da ich mir jetzt nicht so ganz im Klaren bin,
ob sie das im Mikro gelernt haben,
wollte ich es ihnen doch noch mal kurz erklären,
was eine intertemporale Substitutionsillestizität ist,
das Konzept selbst stammt von Arrow, dem Nobelpreisträger Arrow,
der Arrow de Brü, Theorien und Ähnliches bewiesen hat,
und beinhaltet im Wesentlichen die Frage,
wie sich eine relative Mengen Nachfrage verändert,
wenn sich der relative Preis verändert.
Insbesondere, wenn es sich um eine intertemporale Substitutionsilastizität handelt,
dann werden zwei Mengen in unterschiedlichen Zeitperioden verglichen.
Bei uns also beispielsweise der Konsum in einer Periode T
plus 1 mit dem Konsum in einer Periode T.
Also was man macht, ist im Wesentlichen, dass man sagt,
wir betrachten uns mal, wir gehen jetzt mal zur diskreten Zeit.
Damit kann man das sich vielleicht klarer machen,
als in der kontinuierlichen Zeit, in der wir das Ramsage-Wachstumsmodell besprochen haben.
Wir betrachten mal den Konsum von morgen,
also in der Periode T plus 1,
relativ zum Konsum von heute in der Periode T.,
also CT plus 1 geteilt durch CT
Und was wir wissen wollen, ist, wie sich der Konsum,
der relative Konsum verändert, wenn sich der relative Preis dieses Konsums verändert.
Allgemein könnte man das so schreiben, dass man sagt,
wir betrachten das relativ zur Veränderung PT plus 1 zu PPT,
wobei ich ihm gleich nur sagen werde,
was ich in diesem Modell die Preise des Konsums in der
Periode T plus 1 beziehungsweise in der Periode,
die sind, nicht?
Wenn das jetzt als Elestizität ausgedrückt werden soll,
dann wollen wir also fragen, wie verändert sich,
um wie viel Prozent verändert sich der relative Konsum wenn sich
der relative Preis des Konsums um ein Prozent verändert.
Ja, das ist das Konzept einer Substitutionsilastizität. Relative Preis sollte ich
um ein Prozent verändern und wie stark verändern sich denn die Menge?
Das heißt, wie stark verändert sich die relative Menge?
Um wie viel Prozent verändert die sich? Nun,
Sie wissen, der Ilastizität, die ist so definiert,
dass man dann in diesem Fall, also zunächst einmal die Ableitung betrachtet,
also praktisch DCT plus 1 nach D,
PT plus 1 durch PT und das wird dann multipliziert mit dem Kehrwert,
also PT plus 1 durch PT, geteilt durch CT plus 1,
geteilt durch CT.
Ja, das ist das übliche Konzept einer einer Elastizität,
was hier verwendet wird. Und sie wissen auch,
dass man so etwas lokerithmisch ausdrücken kann.
Das ist nämlich dasselbe wie die Logarithmus-CT plus 1 durch CT,
nach die Logarithmus-PT plus 1 durch PT.
Ja, das ist eine etwas kompaktere Schreibweise,
wenn sie es in Dogerithmen ausdrücken,
dann ist es einfach die Ableitung der Logarithmen nacheinander.
Also ebenfalls die intertemporale Substitutionselastizität
So, dieses Ding ist das,
was uns hier im Augenblick interessiert und ich behaupte eben,
dass dieses eins durch Täter von C oder genau genommen minus eins durch Täter von C,
was ich jetzt Sigmar von C betrachte,
dass das in dieser Formel hier,
dieser Formel 92, die intertemporale Substitutionselastizität ist.
Nun, das wollen wir uns zunächst mal versuchen,
klarzumachen, warum das so ist. Und dazu schreiben wir
vielleicht das Ding hier noch mal ein bisschen um,
indem wir nämlich festhalten, der Logarithmus von CT plus eins durch CT,
das ist ja die Differenz der Logarithmen.
Dafür können wir auch schreiben, die Logarithmus CT plus eins
minus Logarithmus CT
Ja. Und jetzt wollen wir uns überlegen, was denn eigentlich
die Preise sind, von denen ich hier gesprochen habe.
PT plus 1 und PT. Fangen wir mal an mit
dem Preis des Konsums heute. PT. Was ist in
unserem Ramsation Wachstumsmodell der Preis des Konsums? Komisch, nicht
? Da haben sie noch gar nicht drüber nachgedacht,
dass der Konsum auch einen Preis hat.
Also der Preis ist eins. Ja, das ist
einfach normiert. Wir haben hier nur einen Gut und deshalb
haben wir den Preis nie explizit irgendwie gekennzeichnet.
PT ist einfach eins
Der Preis des Konsums ist bei uns normiert auf eins.
Und deshalb haben wir den nie explizit ausgewiesen.
Wir können so eine Normierung natürlich immer vonnehmen,
indem wir einfach die Mengeneinheiten des Konsums entsprechend festsetzen.
Wenn wir aber sagen, dass der Preis des Konsums heute
eins ist, was ist der Preis des Konsums morgen?
Nein, warum sollte es zwei sein?
Zwei ist falsch. Also genau, ich sollte vielleicht
noch mal präzisieren. Der heutige Preis einer Konsumeinheit morgen,
wie viel ist das
Überlegen Sie, morgen kostet natürlich der Konsum wieder eins,
weil der Preis auf eins normiert ist.
Was muss ich dann heute sozusagen zahlen für eine Konsumeinheit morgen?
Wie viel Geld muss ich heute zur Seite legen,
damit ich morgen eine Einheit Konsum finanzieren kann?
Nee, nicht eins. Ah, genau,
da kommen wir so in die richtige Richtung.
Sie sagen minus dieses Kontrat, das ist zwar nicht
richtig,
aber was
Wir müssen es. Diskontieren, ja, richtig, genau.
Und wir wollen es mal diskontieren mit dem Zinssatz. Ja,
also der Preis für eine Konsumeinheit morgens eins durch eins plus
R. Ich muss heute eine,
eins durch eins plus R-Geldeinheiten zur Seite legen,
denn die verzinsen sich ja mit dem Faktor 1 plus R,
damit ich in der nächsten Periode
genau eine Geldeinheit habe und die würde mir einer Einheit
Konsum finanzieren
Also für unsere spezielle Anwendung jetzt auf den Konsum,
wo der Preis des Konsums in jeder Periode auf eins normiert ist,
ist es klar,
dass der Preis in der nächsten Periode eins durch eins plus R ist.
Das bedeutet also, was hier steht,
ist eins durch eins plus R, geteilt durch eins.
Das ist also der Logarithmus von 1 durch 1 plus R.
Durch eins brauche ich ja nicht
nochmal zu teilen
So, und was machen wir jetzt damit? Naja,
das können wir auch schreiben, als die Delta-Lugarithmus-CT plus 1 nach.
Ja, und jetzt müssen wir uns überlegen,
der Logarithmus von 1 durch 1 plus R,
das ist dasselbe wie Minus, der Logarithmus von 1 plus R. Also,
geteilt durch, machen wir das hier.
So, dass ich hier Platz habe für ein negatives Vorzeichen,
D-Lugarithmus 1 plus R. Ja, ist ja klar,
wenn Sie teilen durch 1 plus R,
dann ist das dasselbe wie Minus der Logarithmus von 1 plus
So, und das machen wir damit. Nun, bald
achten Sie Folgendes. Hier steht also entweder hier oder da
mit diesem Delta geschrieben, steht die Wachstumsrate des Konsums.
Die Veränderung, die Veränderung eines Lugarithmus ist die Wachstumsrate.
Das ist die momentane Wachstumsrate. Nun sehen Sie,
genau das haben wir hier stehen auf der linken Seite der Ramsey-Regel,
da steht C. durch C, das ist die Wachstumsrate des Konsums.
In Diskreta schreibtweise, ist das die Differenz der Logarithmen,
die Delta-Lugarithmus-CT plus 1,
also das D bezeichnet die Ableitung der Wachstumsrate und das Delta-Lugarithmus-CT
plus 1,
das hier ist die Wachstumsrate
Das hier ist die Wachstumsrate des Konsums. Okay,
das können wir also so stehen lassen, denn das ist
genau das, was wir brauchen, die Delta-Logarithmus-CC-T plus 1.
Und das hier unten, das können wir noch ein bisschen vereinfachen,
denn was ist der Logarithmus von 1 plus R?
R ist hier eine kleine Zahl normalerweise,
wie können sie einen Logarithmus von 1 plus R apoximieren?
Was ist das ungefähr
Diese Sachen sollten die so langsam wissen,
also der Logarithmus von 1 plus R. Ist ungefähr gleich was?
So ungefähr gleich R, ja. Nicht bei einer Zahl in der Nähe von 1,
wenn sie von der den Logarithmus nehmen,
dann ist das immer die Zahl minus 1. Ja, das ist praktisch ein Taylor-Approximation.
Also Logarithmus von 1 plus R ist ungefähr gleich R,
das heißt, wir können hier hinschreiben,
das ist gerade gleich DR und dann wird Ihnen aufgefallen sein,
dass ich das negative Vorteilchen hier gerade noch verschlampt habe,
das gehört natürlich noch davor.
Also minus D, Dächer-Logarithmus CT plus 1 nach DR,
das ist unsere intertemperale Substitutionselastizität
Naja, und jetzt gucken Sie sich das an,
hier in unserer Ramsay-Regel. Also was aus dieser Ausdruck hier sagt,
ist, ich muss die Wachstumsrate des Konsums ableiten nach R.
Und mit minus eins multiplizieren. Dann habe ich die intertemperale Substitutionselestizität.
Die Ramsay-Regel dachte mir, die Wachstumsrate des Konsums ist gerade r-roh durch Täter.
Wenn Sie also jetzt die rechte Seite hier differenzieren nach R,
dann kriegen Sie doch offenbar gerade Täter heraus.
Eins durch Täter heraus. Zusammen mit dem negativen Vorzeichen
ist es also minus eins durch Täter.
Und das ist gerade Sigma
Nicht, also das soll ihnen zeigen, dass die,
dieses Sigma hier,
im Augenblick habe ich das noch als Sigma von C gekennzeichnet,
definiert als minus eins durch Zetter,
also das Negative und Inverse von dieser Konsum-Elastizität des momentanen Grenznutzens,
dass das in der Tat sinnvoll interpretiert werden kann als intertemporale Substitutionselastizität des Konsums.
Das heißt, das drückt ihnen aus,
wie bereitwillig ist ein Konsument,
Konsum entlang der Zeitachse zu verschieben,
wenn sich der relative Preis des Konsums spricht,
der Zinssatz ändert
Und das mag unterschiedlich sein. Also es mag Konsumenten geben,
die haben ein sehr hohes Interesse daran,
dass sie ein möglichst gleichmäßigen Konsumstrom haben und die sind auch
bei starken Zinsänderungen nicht bereit, sehr viel Ersparnis zu leisten.
Wir sind nicht bereit,
beispielsweise stark auf Konsum zu verzichten oder momentan mehr zu konsumieren,
wenn die Zinsen beispielsweise sehr niedrig sind.
Die reagieren darauf einfach nicht sehr stark. Und
andere Konsumenten haben da möglicherweise andere Präferenzen. Diese Bereitschaft,
Änderungen des Konsumverhaltens hinzunehmen, wenn sich der Zinssatz ändert.
Diese Bereitschaft wird in unserem Modell eben durch dieses Signal ausgedrückt
Und was wir dann gemacht haben,
weil das Signal eben an so entscheidender Parameter ist,
ist, dass wir eine spezielle Nutzenfunktion genommen haben,
die sehr oft in der Wachstumstheorie verwendet wird,
eine Nutzenfunktion mit sogenannter Konstanter, relativer Risikoaversion.
Die wurde geschrieben als C-Hoch-1-minus Täter minus 1 durch 1-Täter,
wobei Täter einfach ein positiver Parameter ist.
Und dass ich hier Täter verwendet habe, hat seinen Grund,
denn dieses Täter ist nichts anderes als das Täter von C
auf der vorigen Folie.
Das heißt, wir haben hier eine Nutzenfunktion verwendet,
wo die Konsumelastizität des Grenznutzens
konstant ist und zwar gleich minus Täter ist
Das heißt, wir wissen in dieser Formulierung hier auch sofort,
was die Substitutions-Evestizität ist, nämlich die Substitutionselastizität ist dann einfach eins durchdätter.
Ja, und dann haben wir das Modell unter dieser Nutzenfunktion eben analysiert,
sind da nochmal durch die Gleichungen durchgegangen. Wichtig war,
insbesondere die Kapitaler Kumulationsgleichung, die sehen Sie hier,
die hat eine etwas andere Gestalt als die,
die wir aus dem soloischen Wachstumsmodell kennen,
weil wir jetzt nicht mehr eine konstante Sparneigung haben,
statt zu schreiben, K, Punkt,
ist essmal F&K, minus die bekannten Korrekturtherme,
schreiben wir jetzt,
Denn F&K minus C ist ja Y-C, ist also output minus Konsum.
Das heißt, das Ganze hier ist die Ersparnis. Das ist also sachlich dasselbe,
aber das C ist eben jetzt eine endogene Größe,
die ja irgendwie bestimmt werden muss aus dem Nutzen Maximierungsproblem.
Das heißt, die Ersparnis wird jetzt endogen bestimmt und
nicht mehr exogen als fester Anteil am Output.
Die Kapitalmarktgleichgewichtsbedingung hatten wir in Beständen formuliert, also A ist gleich K.
Das heißt, der Anfangskapitalbestand K von 0 ist einfach durch A von 0 gegeben.
Und dann haben wir noch die übliche Transformation vorgenommen,
dass wir in effektiven pro Kopfeinheiten rechnen, Das heißt,
wir haben diese Dachgrößen wieder eingeführt,
die sich ergeben als die normalen Niveaugrößen geteilt,
durch die Bevölkerung und geteilt, durch das Niveau des Technischen Wissens.
Dadurch kamen dann auch die Wachstumsrate des technischen Wissens hier noch mit hinein.
Dieses K und wir erhielten dann ein Gleichungssystem 99 und 100,
was wir jetzt des Öfteren noch betrachten werden,
weil wir das analysieren wollen.
Was besteht aus zwei Gleichungen und im Wesentlichen zwei Unbekannten?
Dieses Gleichungssystem passt uns also das gesamte Modell zusammen.
Die beiden Unbekannten sind der Konsum und der Kapitalbestand.
Andere Unbekannte tauchen hierrin nicht auf, denn alles andere,
was hier drin ist,
sind irgendwie feste
Aber das Problem besteht eben darin, dass das Differenzialgleichungen sind. Das heißt,
wir haben nicht nur die Niveaus von C und K,
C-Dach und K-Dach hier drin auftauchen,
sondern wir haben auch gleichzeitig noch deren Veränderungen in der Zeit.
Hier habe ich es schon so geschrieben,
dass die Veränderungen in der Zeit immer auf der linken Seite der Gleichung
stehen und rechts stehen dann Ausdrücke nur noch in den Niveaus von Zedach.
Und Kardach. Und wir müssen uns eben überlegen,
wie wir die Lösung finden für dieses Differenzialgleichungssystem.
Wenn wir Anfangsbestände sowohl für das K als auch für das C hätten,
für Kardach und für C-Dach hätten,
dann wäre es leicht,
die Lösung rauszurechnen
Denn dann könnten wir ja sagen, naja,
wenn wir Kardach und C-Dach zu einem Zeitpunkt null kennen,
dann folgt daraus ja auch die Veränderung von dem Kardach.
Und dann brauchen wir das nur in den Rechner zu stecken und der rechnet uns aus,
wie sich das Kardach in der Zeit verhält und dasselbe Viertel für das Ziehdach auch gelten.
Aber wir haben in unseren Modellen nur eine sinnvolle Hypothese machen
können über das Kardach null, weil wir gesagt haben,
gut, also irgendein Kapitalbestand liegt halt vor.
Während das C-Dach null eine endogene Entscheidung des Konsumenten ist.
Der Konsument ist vollständig frei, dass C-Dach null
sein Anfangskonsum und damit auch seine Anfangsersparnis irgendwie festzusetzen.
Ja, das ist seine Entscheidung,
die ist nicht irgendwie anfangs gegeben,
gesetzt durch irgendwas
Sondern der Konsument trifft diese Entscheidung eben. Und wir wissen
noch nicht so richtig, wie er die trifft,
beziehungsweise wie wir das feststellen, wie diese Entscheidung getroffen wird.
Das heißt, wir müssen dieses C-Dach-0 bestimmen. Nun,
in einem solchen Differenzialergleichungssystem braucht man normalerweise um eine eindeutige Lösung zu haben,
genauso viele Anfangsbedingungen, wie man Gleichungen hat.
Oder wenn einem einfaches Bedingungen fehlen, da braucht man Endbedingungen.
Wir haben hier eine Anfangsbedingung, wir bräuchten aber eigentlich zwei.
Und die zweite Anfangsbedingung können wir ökonomisch gesehen sinnvoll nicht verhängen,
weil das C-Dach-0 endogen ist
Stattdessen wissen wir allerdings etwas über die Endpunkte des Systems,
nämlich über diese Transversalitätsbedingung. Wissen wir,
dass nach erfolgreicher Konvergenz gelten muss,
dass das Produkt aus Grenzdutzendes Konsums und Kapital oder Vermögensbestand,
dass dieses Produkt gegen Null konvergieren muss.
Diese Transversalitätsbedingung wird uns also sozusagen die fehlende Grenzbedingung oder die
fehlende Anfangsbedingung ersetzen
Naja, und dann hatten wir uns das eben im Einzelnen überlegt und festgehalten,
dass wir beispielsweise zu einer solchen Gleichung hier aus der Kapital-Akkumulationsgleichung,
ne, Entschuldigung, aus der, das war das,
was den Ramseygleichung zugrunde lag, nicht diese Gleichung, 98 Kiel,
aus dieser Gleichung, die uns sozusagen die Ramsey-Regel hier reflektierte,
Wachstumsrate des Konsums ist, Grenzprodukt des Kapitals minus diese Korrekturfaktoren,
geteilt durch das Täter, also multipliziert in der temporalen Substitution,
Selestizität, aus dieser Gleichung hatten wir ableiten können,
Eine Beziehung für die Wattumsraten.
Wir hatten die nämlich betrachtet im Steady State und dann gesagt,
gut, also im Steady State können wir die Gleichung so schreiben,
dass alles das, was hier links steht, ja konstant ist,
weil nimmst du dir die Staty Wachstumsrate von Gama C. Dach,
weil die Wachstumsrate Gama C dachte oder eben konstant sein muss.
Das ist Definition des Steady States. Alles andere hier sind
feste Parameter. Auf der rechten Seite steht F-Strich von Kardach.
Nun, wenn die linke Seite konstante Sibst Steady State,
dann muss die rechte Seite auch konstant sein im Steady State.
Und wenn die rechte Seite in Modustrialität konstant ist,
dann folgt offenbar daraus, dass Kardach im Steady State
nicht mehr wächst
Also, wenn das hier konstant ist, das F-Strich von Kardach,
dann darf das Kardach nicht mehr wachsen.
Folglich folgt das Gamma von Gamma Kardach im City State,
deshalb mit Stern, gleich null ist.
Nun, dann konnten wir die gleiche um 100 verwenden,
die uns sagt, dass Gamma C-Dach Stern ebenfalls gleich null ist.
Ich will diese Gleichung 99 und 100,
weil wir die jetzt noch öfter mal brauchen,
mal auf die Tafel schreiben,
damit wir die immer präsent haben
Die lauten also C-Dach. C-Dach-Punkt ist gerade C-Dach durch Tetter
, multipliziert mit F-Strich von Kadach, minus roh-delta-tetter-max.
Das ist gleich und
Und dann haben wir gleich um 100, cardach.
ist gerade gleich vonkadach-c-dach. Minus x plus N plus Delta
Makrada. Plus Delta, AK dachte, das ist ja
einfach die Kapital-Akkumulationsgleichung, die wir dort stehen hatten.
Ja, diese beiden Gleichungen werden wir jetzt also des Öfteren verwenden,
weil die uns sozusagen das Modell insgesamt charakterisieren
Nun, unsere Argumentation war jetzt die,
dass wenn wir aus dieser Gleichung hier sehen,
dass das Gamma-Kar-Dach-Stern gleich null ist, naja,
dann können wir uns natürlich schnell überlegen,
dass das C-Dach auch nicht wegwachsen darf.
Denn nehmen Sie diese Gleichung 100 hier, teilen die durch Kar-Dach.
Dann kriegen Sie auf der linken Seite der Gleichung hier die
Wachstumsrate von Kar-Dach im Setty State, ist diese Wachstumsrate gleich null.
Nun, das heißt, die ist insbesondere konstant. Wir wissen,
dass Kar-Dach wächst nicht, das heißt,
F&K-Dach ist ebenfalls eine Konstante im Steady-State,
X plus N plus Delta hier ist konstant,
also muss das C-Dach dann im City State auch konstant sein,
also ist die Wachstumsrate von C-Dach im Staty State
ebenfalls gleich null
Ja, also das erfolgt aus der gleichen Junghundert unmittelbar,
dass im Steady State wieder das C-Dach wächst,
noch das K-Dach wächst. Naja,
und das bedeutet natürlich für die eigentlichen Niveaugrößen C und K,
weil C-Dach ja nichts anderes ist als das große C geteilt durch Bevölkerung und technisches Wissen,
dass das C mit Exogenerate X plus N wegwachsen muss.
Und das K ebenfalls mit exogener Berater X plus N wachsen muss. Das heißt,
wir haben hier dasselbe Ergebnis wie im Solution Wachstumsmodell,
auch im Ramsation Wachstumsmodell ist die Wachstumsrate im Steady State
vollständig exogen gegeben durch die Wachstumsrate des technischen Wissens und
die Wachstumsrate der Bevölkerung
So, dann können wir den Steady State ausrechnen.
Wir wir hatten jetzt diese Gleichung, 99 und 100 aus
unter der Annahme, dass wir uns Steady State sind.
Das heißt, dass das C-Dachpunkt und das K-Dachpunkt gerade gleich null ist.
Das heißt, die linken Seiten dieser beiden Gleichungen hier sind gleich null.
Naja, dann kann ich durch diesen Faktor hier teilen,
der kürzt sich dann also raus und es bleibt letzten Endes einfach übrig,
dass F-Strich von K-Dach gleich roh plus Delta plus Teta X sein muss.
Das ist Gleichung 101 Und hier würden wir erhalten,
dass das C-Dach, der Konsum im Steady-State, gerade dasselbe sein muss,
wie F&K-Dach minus x plus 1 plus Delta, mal Kadach.
Wobei diese Sache hier sehr schön zu interpretieren ist im Grunde genommen,
denn das sagt uns ja nichts anderes als das Tech-Konsum,
gerade gleich der Output ist, minus die Break-Even-Investition.
Nun, in dem Steady-State wird natürlich gerade diese Break-Even-Investition
auch geleistet. Also diese Investition, die nötig ist,
um den Kapitalbestand gerade konstant zu halten. Das heißt,
diese gleichen Kunden halt zwei, hier sagt nichts anderes,
als das C, gerade gleich y-i im Steady-State ist.
Konsum ist output-investitionen im Steady-State
Und die Gleichung sagt mir etwas aus über die Grenzproduktivität des Kapitals im Steady State.
Diese Grenzproduktivität des Kapitals, wo es nämlich gleich roh plus Delta
plus Täter X sei im Steady State. Insbesondere folgt daraus,
dass die C-Dach punktgleich null Kurve eine Senkrechte im K-Dach-C-Dach-Raum ist,
weil diese Bedingung hier erfüllt es unabhängig davon,
welcher wird von C, von C-Dach gerade vorliegt.
Also an einer ganz bestimmten Stelle gibt es einen Kapitalbestand,
der ein Grenzprodukt von Rohe plus Delta plus Täter Heekix hat,
unabhängig davon,
wie viel
dort gerade konsumiert wird
Während diese Kurve hier, diese K-Dach-.gleich-Null-Kurve in einer Kurve ist,
die dir so interpretieren können, dass wir sagen,
das C-Dach ist zunächst eine steigende und dann eine fallende Funktion von Kardach.
Das wissen wir, weil dieses FONK-Dach, die Produktionsfunktion,
ja zunächst eine sehr starke Steigung hat in K,
und die sich dann langsam abschwächt,
während die Steigung hier von X plus 8 plus Delta-Mann
Kardach ja bekanntlich eine Lineare ist, die sich nicht verändert,
sodass also für kleine Kapitalbeständige zunächst einmal eine positive Steigung in Kardach
resultiert und dann für sehr große Kapitalbestände die Steigerung der Produktionsfunktion
sehr klein wird aufgrund abnehmender Grenzerträge,
sodass dieser zweite Therm hier dominiert und die Ableitung insgesamt negativ wird.
Und dann kommen wir hier zu diesem Diagramm
Ja, hier haben wir also die Senkrechte. Bei diesem
Punkt K-Dach-Stern, also Stanley Stick, Kapitalbestand, gilt,
dass das Grenzprodukt des Kapitals gerade gleich roh plus Delta plus Delta X ist.
An dieser Stelle haben wir also das im Steady State
erforderliche Grenzprodukt des Kapitals vorliegen, unabhängig von dem Konsumniveau.
Und hier haben wir dann C-Dach dargestellt,
als eine zugiest steigende und dann fallende Funktion des Kapitalbestands.
Und wir wissen, entlang dieser Kurve ist K-Dach,
Punktgleich 0, da verändert sich der Kapitalbestand also nicht
Soweit waren wir gekommen vor den Ferien. Und jetzt wollen wir uns angucken,
was das Modell uns eigentlich liefert und wo die Unterschiede im
Ramsetation-Wachstumsmodell gegenüber dem Solution-Wachstumsmodell sind, beziehungsweise wo weitere Gemeinsamkeiten auftauchen.
Dazu wollen wir jetzt zunächst einmal uns der Frage zuwenden,
wie das mit der goldenen Regel ist.
Wir hatten uns ja im Solution Wachstumsmodell überlegt,
dass es ein Kapitalbestand der goldenen Regel gibt,
wobei die goldene Regel und sagte,
wir wählen denjenigen Kapitalbestand aus,
der den langfristigen pro Kopfkonsum maximiert
Und dieselbe Fragestellung können wir uns ja jetzt im Ramsage-Wachstumsmodell auch stehen.
Wir können uns fragen, wie groß ist der Kapitalbestand,
der es uns ermöglicht, langfristig unseren Pro-Kopf-Konsum zu maximieren.
Und dieses Langfristigkeitskonzept ersetzen wir durch den Gedanken des Steady States.
Das heißt, durch ein Konsumniveau,
was im Steady State eben sich langfristig aufrechterhalten lässt.
Nun, dazu müssen wir lediglich die Gleichung 102,
die im Wesentlichen dieselbe Gleichung ist, wie die Gleichung 100,
hier nur geschrieben, nur geschrieben, ja, in effektiven Einheiten.
Also es ist im Wesentlichen gleich um 100. Wir lösen die
ein bisschen auf, indem wir das T,
das technische Wissen explizit machen
Also, gleich um 100 im Steady State würde ja bedeuten,
das K8 Punkt ist gleich null,
und das C-Dach bringen wir auf die andere Seite.
Nun, C-Dach ist dasselbe wie pro Kopfkonsum, Kleinzieh, geteilt durch technisches Wissen. Also,
es hieß immer noch C-Dach, was da steht,
nur dass ich den Einfluss des technischen Wissens hier explizit mache,
weil ich ja im Augenblick auf dem Pro-Kopf-Konsum raus will und nicht auf den effektiven Pro-Kopfkonsum.
Der Pro-Kopfkonsum im Steady State ist also,
oder Kopfkonsum geteilt durch Tee im Steady State, ist F von K-Dach,
Mainz, minus X plus N plus Delta, mal Kardach,
wobei ich das Kardach jetzt auch wieder schreibe als Kardach T.
Also K ist pro Kopf Kapitalbestand.
Diese ganze Gleichung hier kann ich einfach mit Tee multiplizieren,
dann kürzt sich das Tee hier raus und daraus.
Und hier würde ich den haben Tee mal,
der pro Kopf Output, nämlich F von,
nein schon im Thema,
der effektive Prokopf für Output,
nämlich F von Kardach und eins
Sodass ich dann die Ableitung bilden kann. Ich differenziere jetzt
, ziehe nach K. Nun, das ist natürlich einfach,
wenn ich das C differenziere nach K,
dann sehen Sie, hier steht ja ebenfalls das K,
das C ist weggefallen durch die Multiplikation,
dann kriege ich also einfach x plus N plus Delta.
Und hier würde ich als Ableitung nach K herauskriegen,
F-Strich von diesem Ausdruck hier von K-Dach, F-Strich von K-Dach,
mal die innere Ableitung, die innere Ableitung ist eins durch Tee.
Das ganze Ding wurde aber mit Tee multipliziert,
sodass das 1 durch Tee und das Tee sich wegkotzt.
Es läuft einfach übrig auf Strich von K-Dach,
minus x plus N plus Delta
ist gleich null
Wir haben also, soll gleich null sein,
damit wir einen langfristigen Konsum maximieren können. Nun,
wenn das gleich null sein soll, dann bedeutet das oftmals,
dass das Grenzprodukt des Kapitals gleich X plus 1 plus Delta sein muss.
Und das sollte Ihnen bekannt vorkommen,
denn das ist genau dieselbe Formel wie die,
die wir im Solution Wachstumsmodell ebenfalls als goldene Regel gehabt haben,
der langfristig pro Kopfkonsum wird maximal,
wenn das Grenzprodukt des Kapitals gerade gleich X plus 1 plus Delta ist,
ist also exakt derselbe Ausdruck wie im solution Wachstumsmodell,
gleich um 15,
wenn Sie zurückblättern wollen
Das, was anders ist im Solution-Achstumsmodell, ist nun folgendes.
Wir haben eben gezeigt, dass im Steady State das Grenzprodukt
des Kapitals nicht notwendigerweise gleich X plus M plus Delta ist.
Sondern wir haben eben gezeigt, in unserer Gleichung 101,
dass F-Strich von Kardach gleich roh plus Delta plus Täter X ist.
Das heißt, im Steady State sind wir keineswegs notwendigerweise da,
wo die goldene Regel uns haben will.
Ja, Steady State und goldene Regel fallen in der Regel
nicht zusammen im solution Wachstumsmodell.
Es wären zu, im Ramsation-Wachstumsmodell. Das wäre ein Zufall
, wenn das der Fall wäre
Auch im soloischen Wachstumsmodell war das ja so,
dass nicht jedes Teddy's Date die goldene Regel erfüllt hat.
Sondern es gab einen ganz speziellen Steady's Date,
der die goldene Regel erfüllt hat,
nämlich eben der Steady's Date der goldenen Regel,
den wir da machen, den wir manchmal mit zwei Sternen gekennzeichnet haben.
Nun, was können wir daraus schließen? Also wir sehen jetzt,
wir haben zwei Ausdrücke für das Grenzprodukt des Kapitals.
Einmal nämlich den Ausdruck des Grenzprodukts des Kapitals,
der im Steady's Date erfüllt sein muss,
nämlich Roh plus Delta plus Tedta X. Andererseits den Ausdruck,
den die goldene Riegel fordert,
nämlich X plus N plus Delta
Während diesem sonorischen Wachstumsmodell nun so war,
dass wir sehr vieles der die States hatten und wir durch das,
durch die Wahl einer geeigneten Sparneigung denjenigen,
der dieses Date herausgreifen konnten, der die goldene Regel erfüllte,
ist das im Ramsation Wachstumsmodell nicht mehr der Fall.
Denn jeder Steady State im Ramsation Wachstumsmodell erfüllt die Tatsache,
dass F-Strich von Kardach, das Grenzprodukt des Kapitals,
gleich roh plus der Eltern plus Täter X ist.
Und es könnte nun eben sein,
dass das was anderes ist als X plus End plus Delta,
oder es ist sogar sehr wahrscheinlich,
dass das was anderes ist als X plus End plus Delta.
Das Delta, wie Sie sehen, ist in beiden Ausdrücken dasselbe.
Die entscheidende Frage ist also, ob X plus N
die Steady State Wachstumsrate der Nicht-Pruckhoff-bereinigten Größen.
Ob das etwas anderes ist als roh, plus hätte er mal X.
Und sie sehen X plus N,
das sind im Wesentlichen irgendwelche Parameter, die setzt die Natur.
Die sind uns irgendwie gegeben, Wachstumsrate des technischen Wissens und Wachstumsrate der Bevölkerung.
Während das hier Präferenzparameter sind, roh und Täter,
nämlich die subjektive Discontrate und das Inverse der Substitutions-Elastizität. Das heißt,
in der Regel wird es nicht so sein,
dass wir dann, wenn wir uns im Staties Date befinden,
uns auch gleichzeitig in dem Statistat befinden,
in dem die goldene Regel,
in dem die goldene Regel erfüllt ist
Nun gucken wir uns das noch ein bisschen weiter an.
Wir wissen, F-Strich von Kardach ist ja dasselbe wie die Bruttoverzinsung
des Kapitals, also Nettoverzinsung R plus Abschreibungsrate. Das heißt,
wir können jetzt diese Stady-State-Bedingung hier auch so schreiben,
dass wir sagen, im Stady-State muss gelten,
dass die Nettoverzinsung des Kapitals R gerade gleich roh plus TETA X ist,
beziehungsweise der Zinssatz R,
der sich auf den Märkten ergibt,
der ergibt sich eben als eine Funktion dieser Präferenzparameter Roh und TETA
sowie als eine Funktion von diesem X hier
Am einfachsten versteht man das dann, wenn man sich nochmal überlegt,
was wäre, wenn wir keinen technischen Fortschritt hätten.
Wenn wir keinen technischen Fortschritt hätten, dann wäre das X hier gleich null.
Da wurde dort also einfach stehen, der Zinssatz,
der sich auf den Märkten ergibt, ist gleich der Subjektiven des Kondrate.
Ruh. Nun, nichts ist logischer als das,
denn die Subjektive des Kondrate sagt ihm ja gerade,
was die Gegenwartspräferenz des repräsentativen Individuums ist.
Da ist in dieser Ökonomie überhaupt nur Individuen gibt,
die alle sozusagen repräsentativ sind,
die alle dieselben Präferenzen haben, ist es klar,
dass ich auf den Märkten dann einen Zinssatz ergibt,
der gerade so hoch ist,
wie die Gegenwartspräferenz der Individuen ausgedrückt durch dieses Ruh ist.
Wenn der technische Fortschritt eben
gleich null ist
Nun, wenn aber der technische Fortschritt positiv ist,
wenn das X hier positiv ist, dann stellen wir also fest,
dass der Zinssatz auf den Märkten größer ist, als die Subjektive des Kontrate.
Und zwar in dem Maße größer ist, wie das dieses Titter hier zulässt.
Echt? Nun, es ist ja jetzt klar, dass Titter ist,
das ist die intertemporale Substitutionsela, ist das inverse der intertemporalen Substitutionselastizität des Konsums.
Also wir könnten das hier uns auch vorstellen,
als eins durch Sigma mal X. Nehmen Sie also beispielsweise mal den Fall,
dass die intertemporale Substitutionselastizität sehr gering ist,
ein Konsument nicht gerne, Konsum entlang der Zeitachse verschiebt.
Das heißt, der Sigma wäre in der Nähe von null
und damit wäre das Täter dann sehr, sehr groß.
Wenn das Täter sehr groß ist, würde das bedeuten,
wenn die Konsumenten also nicht bereit sind oder nicht sehr bereit sind,
nicht sehr bereitwillig Konsum entlang der Zeitachse zu verschieben,
dann erfordert das einen großen Zinssatz,
um sie doch dazu zu bewegen,
Investitionen zu ermöglichen oder vielleicht größere Investitionen zu ermöglichen,
die den Konsumenten in die Lage versetzen,
von dem wachsenden technischen Wissen in den nächsten Perioden
auch angemessen Gebrauch zu machen
Während, wenn die intertemporale Substitutionselastizität sehr groß ist,
wenn also eine Ökonomie sehr breitwillig Konsum auch entlang der Zeitachse verschiebt,
insbesondere möglicherweise heutzutage auf Konsum zu verzichten bereit ist,
um weit in zukünftigen Perioden mehr Konsum zu haben,
dadurch, dass man Kapital aufgebaut hat,
wenn also die hinter dem Radio Substitutionselastizität hoch ist, dann ist das Täter klein.
Und wenn das Täter klein ist, dann bedeutet das also,
das ist der Zinssatz, der erforderlich ist,
um die Märkte auszugleichen im Steady State,
irgendwo in der Nähe von der Subjektiven des Kontrate liegt,
dass man also nicht sehr viel Prämie zahlen muss,
um Konsumenten dazu zu bewegen, auch mehr als das,
was im Steady State einer Spanis normalerweise erforderlich ist,
zu ersparen, um eben Vorteile zu ziehen aus dem technischen Wissen.
Also dem Wachstum des technischen Wissens. Mit dieser Interpretation sagen wir,
dass das Roh plus Tetter mal X die effektive Subjektive des Kondrates ist.
Also Roh ist eigentlich die subjektive Discontrate. Und die effektive
Subjektive des Kondrate übersteigt jetzt das Roh um den Betrag,
Tetter mal X. Wobei das Tetter eben gerade ausdrückt,
wie stark der Grenznutzen abnimmt,
wenn das C mit Rate X wächst
Ist ja klar, wenn X wächst, also wenn,
nein, Entschuldigung, wenn das,
wenn wir technisches Wachstum, wenn wir wachstumstechnischen Wissens haben,
wenn das X also positiv ist, dann bedeutet das ja,
dass wir im Zeitablauf ein höheres Konsumniveau haben werden.
Und wenn wir ein höheres Konsumniveau abhaben werden,
dann werden wir einen abnehmenden Grenznutzen des Konsums haben,
weil je stärker der Konsum wächst natürlich,
der Grenznutzen des Konsums dann fällt.
Und dieses Fallen des Grenznutzens, das wird eben gerade durch dieses Täter ausgedrückt,
denn das war ja gerade die Konsumillustizität des Grenznutzens.
Das wäre also die Interpretation für diese effektive Subjektive des Kontrat
Jetzt wollen wir uns überlegen, wie sich der Steady seht,
Kapitalbestand nun zum Kapitalbestand der goldenen Riege verhält.
Denn wir haben uns schon überlegt, dass die normalerweise unterschiedlich sind.
Nun nehmen wir mal an, dass wir Konvergenz zum Steady State haben.
Das haben wir noch nicht gezeigt, dass das im Ramsation-Wachstumsmodell
der Fall ist. Das werden wir uns aber nachher überlegen,
dass es eine Konvergenz hin zum Steady State gibt.
Und wir wollen das Ergebnis dieser Überlegung erstmal vorwegnehmen und unterstellen,
dass die Ökonomie in der Tat Team konvergiert zum Steady State.
Was folgt da? Dann folgt doch,
dass der durchschnittliche Zins letzten Endes gerade gleich F-Strich von Kardach-Stern
minus Delta
sein wird
Warum ist das der Fall? Nun ja, dann,
wenn die Konvergenz praktisch abgeschlossen ist,
also in immer noch unendlich vielen Zeitpunkten oder in den meisten Zeitpunkten,
die wir überhaupt betrachten, weil wir dann eben irgendwie in der Unendlichkeit sind,
da muss natürlich gelten,
dass im Steady's Date das R plus das Data gerade gleich das Protogrenzprodukt des Kapitals ist.
Das heißt, umgekehrt muss gelten, dass der Zinssatz,
den wir durchschnittlich haben,
dass der konvergiert hin zu der Differenz zwischen Grenzproduktprotogrenz,
wo du des Kapitals und Abschreibungsrate.
Nun, dann können wir aber die Transversalitätsbedingung umschreiben.
Ich blätter hier nochmal zurück zur Transversalitätsbedingung,
damit Sie das sehen
Das war hier gleich um 95. Das war die Transversalitätsbedingung.
Vermögen, multipliziert mit E hoch, ehoch-n-erquer mal Tee,
muss konvergieren gegen null. Nun, wir wissen jetzt,
wohin dieses R quer hier konvergiert, wenn wir,
wenn wir Konvergenz zum Steady State haben.
Das heißt, für R quer können wir hier auch schreiben,
F-Strich von kadach-stern-delta.
Das machen wir jetzt
Und schreiben deshalb jetzt hierhin, wir kriegen hier,
also minus F-Strich von Kader stern, minus Delta wird zu einem Plus-Delta,
wir weiter noch um das technische Wissen,
weil wir jetzt K-Dach betrachten und nicht mehr A,
nicht mehr die pro Kopfgröße A, sondern sozusagen A-Dach,
beziehungsweise Kadach.
Deshalb kommt noch der Faktor E hoch X da mit dazu.
Und dann haben wir eh hoch X plus N plus Delta,
minus F-Strich von Kadach mal Tee.
Dieser Term hier multipliziert mit K-Dach soll konvergieren gegen Null,
das ist die Transfersalitätsbedingung
Warum schreiben wir das hin? Nun,
weil wir wissen, diese Transversalitätsbedingungen ist nur dann erfüllbar,
wenn der Exponent in dieser E-Funktion hier negativ ist.
Das heißt, die Transversalitätsbedingung ist nur dann erfüllbar,
wenn das Grenzprodukt des Kapitals, auf Strich von Kardach,
größer ist als X plus N plus Delta.
Ja? Nun, was ist das hier aber für eine Bedingung?
F-Strich von K-Dach ist größer als X plus N plus Delta.
Das ist gerade eine Bedingung, die uns sagt,
dass wir nicht im Kapitalbestand der goldenen Regel sind.
Denn der Kapitalbestand der goldenen Regel verlangte,
dass das Grenzprodukt des Kapitals gleich X plus N
plus älter ist
Wir wissen jetzt aber im Steady State muss gelten,
dass das Grenzprodukt des Kapitals größer ist als X plus N plus Delta.
Das heißt, wir wissen, wir sind immer,
wenn wir im Steady State sind,
immer in einer Ökonomie, die weniger Kapital hat,
als der Kapitalbestand der goldenen Regel das verlangen würde.
Oder andersrum gesprochen, wenn wir hier nützen,
optimierende Agenten haben, dann realisieren die nicht den Maximalen pro Kopfkonsum.
Und in dieser Formulierung merken sie vielleicht, dass die ganze
Betrachtung der goldenen Regel hier im Grunde genommen falsch aufgesetzt ist.
Denn wir haben hier ein Verhalten unterstellt,
was im Widerspruch zu den Grundannahmen des Ramsation Wachstumsmodells steht
Die Grundannahme des Ramstation-Wachstumsmodells ist eben nicht,
dass die Konsumenten ihren langfristigen pro Kopfkonsum maximieren wollen.
Sondern die Grundannahme des ramstationischen Wachstumsmodells ist,
dass die Konsumenten ihren Nutzen maximieren wollen.
Beides geht nicht. Müssen sich entscheiden, wollen Sie nicht
langfristig pro Kopfkonsum maximieren oder wollen Sie den nutzen, maximieren?
Im zörnischen Wachstumsmodell haben wir die Agenten,
den langfristigen pro Kopfkonsum maximieren lassen, weil wir keine Nutzenfunktion hatten.
Das war so eine Behelfskonstruktion, die wir da benutzt haben.
Aber hier haben wir jetzt eine explizite Nutzen-theoretische Formulierung und
die Annahme ist eben die,
dass die Konsumenten einen möglichst hohen Nutzen haben wollen
In diesem Nutzenkonzept ist eingebaut, das Konsum in späteren Perioden nicht so wertvoll ist wie Konsum heute.
Weshalb es also gar nicht unbedingt darum gehen kann,
den langfristigen pro Kopfkonsum zu maximieren, weil man nicht unbedingt
ein Interesse daran hat, in jeder Periode denselben Konsum zu haben.
Denn zukünftig der Konsum ist heutzutage weniger wert als Konsum heute.
Der Nutzen des zukünftigen Konsums derotär diskutiert. Also,
warum maximieren die Individuen nicht den zukünftigen,
nicht den langfristigen pro Kopfkonsum, das tun sie deshalb nicht,
weil sie am Nutzen orientiert sind mal diese Orientierung am Nutzen,
dadurch, die Konsequenz hat das Individuum in einem gewissen Maße ungeduldig sind,
also zukünftige Nutzen mit roh diskontieren.
Sodass es nicht unbedingt Nutzen optimal ist in jeder Periode, denselben Konsum zu haben.
Darüber hinaus aber auch der Grenznutzen des Konsums sinkt,
wenn das C aufgrund Wachstums des technischen Wissens wächst.
Und das drückt dieser Tetter mal x Term aus,
dass wir diesen Effekt des abnehmenden Grenznutzens des Konsums haben
Nun, das sind also die Gründe dafür,
weshalb in diesem Modell der langfristige Konsum nicht maximiert wird,
sondern der Nutzen maximiert wird und wir deshalb zu einer Allokation kommen,
in der weniger Kapital gehalten wird,
als das, was kompatibel mit der langfristigen Konsummaximierung wäre.
Die angenehme Folgerung daraus ist, dass es keine dynamisch in effizienten Situationen im Ramsation Wachstumsmodell geben kann.
Erinnern Sie sich im Serlogischen Wachstumsmodell, konnten wir das nicht ausschließen. Und da hätte es ja sein können,
dass wir in einer dynamisch in effizienten Situation gewesen sind,
in der wir zu viel Kapital gehalten hätten,
sodass eine Verminderung der Ersparnis automatisch zu einer Erhöhung des langfristigen pro Kopfkonsums geführt hätte,
weil man einerseits den überschüssigen Kapitalbestand hätte aufessen können und andererseits weniger sparen musste,
als zuvor.
Und insofern die Konsummöglichkeiten sich ebenfalls erhöhten.
Diese dynamisch in effizienten Situationen sind im Ram-Sision-Wachstumsmodell nicht möglich und
das ist eine wesentliche Änderung gegenüber dem Solution Wachstumsmodell.
Vielmehr ist es also so, dass der Kapitalbestand stets
kleiner ist als der der goldenen Riegel.
Und nun denken Sie zurück an die empirischen Auswertungen,
die wir beim Solution Wachstumsmodell vorgenommen haben.
Da hatte ich ihm ja Daten für die Bundesrepublik Deutschland gezeigt.
Da hat man so ein bisschen rumkalibriert und ich hatte argumentiert,
dass die Daten für die Bundesrepublik Deutschland zeigen,
dass die Bundesrepublik Deutschland unterkapitalisiert ist,
gemessen an den Anforderungen der goldenen Regel
An, wir hatten das in zwei verschiedenen Formen ausgewertet und beide Auswertungen führten zu demselben Ergebnis.
Der Kapitalbestand in der Bundesrepublik Deutschland war kleiner als der,
der von der goldenen Regel verlangt wird. Das heißt,
ich hatte gesagt, wir maximieren augenscheinlich in der Bundesrepublik Deutschland
nicht den langfristigen pro Kopfkonsum und die Maximierung des langfristigen pro Kopfkonsums selbst würde verlangen,
dass wir mehr sparen und mehr Kapital aufbauen.
Nun, jetzt können wir plötzlich sagen,
das ist zwar alles richtig,
was wir da gemacht haben, aber es zeigt auch,
dass wir möglicherweise die falsche Zielvorstellung gehabt haben,
denn wir haben unterstellt,
dass es erstrebenswert sei,
den langfristigen pro Kopfkonsum
zu maximieren
Wenn wir aber nutzen, theoretisch argumentieren,
dann würden wir sagen, das ist gar nicht unbedingt erstrebenswert.
Also jedenfalls für die heutige Generation,
selbst wenn sie am Wohlbefinden aller zukünftigen Generationen interessiert ist,
so wie das hier bei einem unendlich langer lebenden, repräsentativen Agenten unterstellt wird.
Selbst wenn die heutige Generation also an dem Wohlbefinden künftiger Generationen interessiert ist,
ist es doch immer noch nicht so,
dass es Nutzen optimal ist, den langfristigen Pro-Kopf-Konsum zu maximieren.
Das heißt, es kann durchaus sein, dass der Kapitalbestand,
den wir heute in der Bundesrepublik Deutschland vorhalten,
der also niedriger ist als der goldenen Regel,
dass der nützen optimal ist.
Dass er also kompatibel ist mit dem,
was das Ramsische Wachstumsmodell uns impliziert
Ja, so ist das also. Echt? Wir wissen jetzt,
der Kapitalbestand im Steady State Kardachstern ist kleiner als der Kapitalbestand der goldenen Riegel.
Ich hatte es schon vorher so gezeichnet,
in dem anderen Diagramm hat er aber dann noch nicht darauf hingewiesen,
ja, auch hier hatte ich die Senkrechte schon so gezeichnet,
dass sie diese Kardachpunktgleich-Null-Kurve ihm aufstrebenden Ast dieser Kurve schneidet,
dass also der Punkt, wo der langfristige pro Kopfkonsum maximiert wird,
sie sehen den Punkt ja sofort hier,
dass dieser Punkt zur Rechten des Steady States liegt
Dieser Punkt hier ist der goldene, ja,
es ist der Kapitalbestand der goldenen Regel, beziehungsweise der Konsum der goldenen Regel.
Hier würden sie den langfristig maximalen Konsum im Steady State haben können.
Aber das wollen wir gar nicht. Oder ist das rempetitische Wachstumsmodell impliziert uns,
dass wir, wenn wir Nutzenmaximierung anstreben,
eben nicht an dieser Stelle uns befinden,
sondern dass der Steady State des Modells hier liegt,
wo sich die C8 punktgleich nutzt und die Kardach punktgleich 0 Kurve schneiden.
Und wo der Kapitalbestand im Steady State niedriger ist als der goldene Kapitalbestand.
Und das ist immer so. Ja, also wie gesagt,
die dynamisch ineffizienten Situationen sozusagen eine senkrechte hier,
die sind nicht möglich
Jetzt wollen wir uns die Dynamik dieses Modells klarmachen.
Also jetzt, wir haben uns jetzt den Steady State angeguckt
und bestimmte Eigenschaften des Steady States entwickelt.
Jetzt wollen wir uns die Dynamik dieses Modells angucken,
indem wir ein Phasendiagramm darstellen. Genau genommen ein sogenanntes Phasenporträt.
Erinnern Sie sich im Cirlosion Wachstumsmodell, war das relativ einfach,
dieses Phasendiagramm. Da hatten wir nämlich gesagt, naja,
wir tragen ab, K-Dach, Punkt, gegen Kardach.
Und dann hat man gesagt, das sieht irgendwie so aus.
Und hier war das Steady State
Also die Veränderung des Kapitalbestands war für kleine Kapitalbestände positiv.
Und für große Kapitalbestände negativ. Und da hatten wir gesagt,
klar, es gibt immer eine Konvergenz hierhin zum Cedi State.
Ja, das war unser Phasendiagramm,
wo wir die Veränderung von K abgetragen hatten
gegen das Niveau von K und dann gezeigt hatten,
im Wesentlichen gibt es Konvergenz hin, zu einem positiven Steady State-Wert.
Hier, es gab einen zweiten Steady State an
dieser Stelle,
der nicht interessant war
Jetzt im Ramsation-Wachstumsmodell ist die Sache ein bisschen komplizierter,
denn wir haben jetzt nicht nur K-Dach, als sich verändernde Variable,
sondern wir haben auch noch das C-Dach, als sich verändernde Variable,
wäre das Kardach ungefähr derselben Gleichung folgt, wie die,
die ich hier schon dargestellt habe,
hatten wir diese Gleichung 99, also die Ramsy-Regel,
zuvor nicht.
Die ist neu, diese Differenzialgleichung hier. Und deshalb müssen
wir uns jetzt eine etwas andere Darstellung überlegen,
oder wir sind eigentlich schon dabei, wir haben schon angefangen,
uns diese andere Darstellung zu überlegen,
die wir nicht mehr als Phasendiagramm,
sondern als Phasenporträt bezeichnet
Ja, das hier ist das Phasendiagramm gewesen. Und jetzt machen wir ein sogenanntes Phasenporträt,
das Phasenporträt zeichnet sich dadurch aus,
dass wir nicht mehr mehr K-Dachpunkt oder C-Dachpunkt zeichnen,
sondern an den Achsen, also unverändert, unten steht K-Dach-T,
so wie das hier auch der Fall gewesen ist,
aber entlang der Ordinate habe ich jetzt die andere Niveau-Variable,
nämlich C-Dach-T abgetragen,
nicht mehr
eine Veränderung wie
Sondern die zweite Niveauvariable Cdach. Tee habe ich
dort abgetragen. Und statt jetzt dieses K-Dach-Punkt selbst darzustellen,
das mal positiv ist und mal negativ ist und dann an einer ganz bestimmten Stelle null,
tragen wir jetzt nur noch ab, an welchen Stellen,
an welchen Kombinationen von C und K,
das K-Dach-Punkt gerade gleich null ist.
Das ist diese Linie hier. Oder das C-Dach-Punkt gerade
gleich null ist. Das bezeichnet man dann als Phasenporträt.
Also Hiros leiten wir ab,
das Phasenporträt
Kardachpunkt ist gleich 0 und C-Dach, Punkt.
Ist gleich 0. Nun, und in diesem Phasenporträt können wir
uns aber auch überlegen, wann ist denn C-Dachpunkt positiv?
Oder wann ist es negativ? Nun, das machen wir
folgendermaßen. Wenn wir uns diese Gleichung 99 hier angucken,
dann haben wir ja aus der abgeleitet, wann Ziedach punktgleich null ist,
als wir uns in CD State angeguckt hatten.
Da haben wir gesagt, gut,
C-Dach, Punkt ist gleich null, wenn diese Runde,
Klammer hier,
wenn die gleiche Null ist
Und jetzt ist es ganz einfach, sich zu überlegen,
wann denn das C-Dach-Punkt positiv ist.
Wann wächst der Konsum? Der Konsum wächst offenbar,
wenn diese Runde, Klammer, hier positiv ist.
Denn dieser Faktor hier ist ja positiv. Teter ist positiv,
Tedach ist positiv. Also C-Dach-Punkt ist positiv, das heißt C-Dach wächst.
Genau dann, wenn diese Runde, Klammer hier positiv ist.
Nun, wann ist diese Runde, Klammer, positiv?
Dann doch, wenn das Grenzprodukt des Kapitals größer ist
als roh plus Delta plus Tedta X.
Nun, im Steady State wissen wir,
ist das Grenzprodukt des Kapitals gerade gleich roh plus Delta plus Tedta X.
Das ist die Definition des Steady States
Wann ist das Grenzprodukt des Kapitals größer als im Steady State?
Nur offenbar dann, wenn der Kapitalbestand kleiner ist als im Steady State.
Das heißt, das C-Dach-Punkt, das wächst genau dann,
wenn Kardach kleiner ist als Kardach Stern.
Denn wenn das Kardach kleiner ist als Kaderstern,
ist das Grenzprodukt von Kardach größer als das Grenzprodukt von Kardach Stern.
Ja? Das heißt, wir wissen jetzt also,
dass das C-Dach-Punkt wächst, wenn Kardach kleiner ist als Kardach Stern.
Und wir wissen, dass der Konsum fällt,
wenn das Kardach größer ist als Kardach Stern, logischerweise.
Ja, was bedeutet das in unserem Diagramm?
Sehen Sie sich das hier an
Das hier ist die Scheiderlinie, wo cdach.gleichnull ist. Wir haben jetzt gesagt,
wenn das K kleiner ist, als das Kaderach-Stern,
wenn wir also hier sind, dann wächst der Konsum.
Das heißt, immer in diesem Bereich hier,
links von dieser Senkrechten, da haben wir wachsenden Konsum und
rechts von dieser Senkrechten hier haben wir überall fallenden Konsum.
Nun, jetzt machen wir dieselbe Überlegung für die Gleichung 100,
die wir hier stehen haben. Bei der Gleichung 100 hatten
wir bereits gesagt, Kdach, Punkt ist gleich null.
Naja, wenn die rechte Seite dieser Gleichung hier gleich null ist.
Das heißt dann, wenn das C-Dach hier gerade Gerade gleich
F von K-Dach minus x plus N plus Delta
Marikadaches. Das heißt, wenn der Konsum gerade gleich output-break-even-investition ist.
Und jetzt können wir uns überlegen, wann ist das K-Dach-Punkt positiv?
Das Pokal-Dach-Punkt ist doch dann positiv,
wenn Output minus Break-even-Investition größer ist als der Konsum, Entschuldigung.
Wenn Output output-break-even-investition größer ist als der Konsum.
Also wächst Kardach, K-Dach-Punkt ist positiv, Kardach wächst,
wenn der Konsum kleiner ist als Output minus Break-even-Investition
Beziehungsweise Kardach fällt, wenn der Konsum größer ist als Output minus Break-Even-Investitionen.
Denn da wird ja zu viel konsumiert. Dann wird so viel konsumiert,
dass wir noch nicht mehr so viel investieren können,
wie nötig ist, um den Kapitalbestand aufrechtzuerhalten.
Ich habe Sie nochmal in Form von Investitionen selbst hingeschrieben,
dann sieht man es noch ein bisschen deutlicher.
Kardach wächst dann, wenn die Investition größer ist als die Break-Even-Investition,
beziehungsweise es fällt, also gerade auch fällt,
wenn IDAC kleiner ist als die Break-Even-Investition.
Naja, und was bedeutet das in unserem Diagramm hier
Entlang dieser Linie, hier haben wir uns überlegt,
ist das K-Dachpunkt gerade gleich null. Nun wissen wir,
wenn weniger konsumiert wird, als das, was durch diese Punkte
auf dieser Linie hier beschrieben wird, dann wächst der Kapitalbestand.
Das heißt, wann immer wir uns unterhalb dieser Kurve befinden,
dann konsumieren wir ja offenbar weniger als das,
was wir konsumieren, wenn wir auf der Kurve sind.
Das heißt, dann wird mehr investiert. Das heißt,
unterhalb der Kurve hier wächst der Kapitalbestand und oberhalb der Kurve
fällt der Kapitalbestand
Diese Überlegungen fassen wir jetzt zusammen. Was haben wir gesagt
? Zunächst, bleiben wir vielleicht nochmal beim Kapitalbestand,
weil wir es gerade für den gesagt haben.
Wann immer wir unterhalb der Kurve hier sind, wächst der Kapitalbestand.
Das Zeichnen, das wird durch diese peinlich hier kennzeichnet, nicht wahr?
Dieser Pfeil, hier ist ja ein Pfeil entlang der Kapitalbestandsachse.
Das heißt, wenn wir uns in einem Punkt befinden,
der sich unterhalb der Kadach.gleich null Kurve befindet,
dann wissen wir, dass der Kapitalbestand wächst hier oder da.
Ja, da geht der waagerechte Pfeil eben nach rechts
Wenn wir uns oberhalb der K8. gleich null Kurve befinden,
dann geht der waagerechte Pfeil nach links.
Weil da der Kapitalbestand schrumpft. Kapitalbestand schrumpft dann. Wie verhält es
sich mit dem Konsum? Beim Konsum haben wir gesagt,
der Konsum wächst dann, C-Dach-Punkt ist größer als null.
Wenn wir einen kleinen Kapitalbestand haben, kleiner als im Steady State.
Das sehen Sie jetzt an den senkrechten Pfeilen hier.
Dieser Pfeil hier zeigt nach oben, genauso wie der Pfeil nach oben zeigt.
Denn wir befinden uns links der C-Dach.gleich null Kurve.
Das heißt, hier wächst der Konsum entlang dieser Achse hier
, wachsen wir
Wenn wir uns rechts dieser Senkrechten befinden, die den Ort beschreibt,
wo der Konsum sich gerade nicht verändert, dann haben wir C-Dach.
Kleiner als Null, das heißt der Konsumfeld,
dann gehen die senkrechten Pfeile nach unten weg,
bezeichnen also eine Bewegung auf der Ordinate nach unten,
der Konsum fällt.
So müssen sie also diese Kräfteparallelogramme jetzt hier lesen. Wir wissen jetzt,
wir haben hier so etwas wie vier verschiedene Quadranten,
in denen sich unterschiedliche Dynamiken von Konsum und Kapitalbestand ergeben
Nehmen wir diesen Quadranten hier den ersten Quadranten. Ja,
so wie man das üblicherweise macht,
wenn diese Kurve hier irgendwie wirklich eine parallele Achse wären,
ich war die irgendwie hier durchginge,
dann wäre ja sozusagen, dass der erste Quadrante,
sie wissen, man zählt die gegen den Urkopfzeigersinn.
Erster Quadrant, zweiter Quadrant, dritter Quadrant, vierter Quadrant.
Schreiben Sie es, es ist rein,
vielleicht werde ich gleich diese Quadrantennummerierung beibehalten werde.
Haben wir jetzt also hier vier Quadranten und wir können uns
so ein bisschen jetzt mal angucken,
was in diesen Quadranten der Fall ist und Opfer wohl hinkonvergieren zum Steady State.
Da ist ja der Steady Data, wollen wir gerne hin.
Und dann sehen wir jetzt zunächst etwas,
von dem wir denken könnten, dass das ein bisschen alarmierend ist.
Dann stellen Sie sich mal vor,
wir sind in diesem zweiten Quadranten hier
Ja, an irgendeinem Punkt beispielsweise, an diesem Punkt hier im zweiten Quadranten.
Was sagt uns dieser Punkt? Der Punkt sagt uns,
dass wir nicht hinkonvergieren zum Stevie State. Denn wenn wir
in diesem Punkt sind, dann wächst der Konsum und es schrumpft der Kapitalbestand.
Und wir kommen zu irgendeinem anderen Punkt beispielsweise dorthin,
das wäre die Resultierende, dieses Kräfteparallelogramms,
nur an dem Punkt gilt natürlich genau dasselbe.
Das heißt, der Konsum wird weiter erwachsen, der Kapitalbestand wird fallen.
Das heißt, dieses Kräfteparallelogramm sagt uns,
wann immer wir hier irgendwo in diesem zweiten Quadranten sind,
bewegen wir uns ganz bestimmt nicht hin zum Steady State.
Selbst wenn wir anfangs wirklich sehr in der Nähe des Steady State sind,
beispielsweise hier, dann bewegen wir uns weg vom Steady State.
Das heißt, dieser zweite Quadrant hier, der macht uns irgendwie kummern.
Also der führt nicht dazu, dass wir ihn konvergieren zum Steady State.
Wie verhält er sich mit diesem vierten Quadranten hier unten?
Nun dasselbe, offensichtlich. Wenn wir beispielsweise in diesem Punkt sind,
dann sehen Sie, dann wächst der Kapitalbestand und der Konsum fällt.
Gut, dann kommen wir also irgendwo beispielsweise hierhin.
Das wäre die Resultierende des Kräfteparallelogramms. Und da ist
die Situation genau dieselbe. Das heißt,
in diesem Quadranten ist es irgendwie so,
dass wir uns in diese Richtung bewegen,
weg vom Steady State
Besser sieht es aus im Quadranten 3 und im Quadranten 1.
Da sehen Sie, weisen die Kräfte Parallelogramme zunächst mal in die richtige Richtung.
Da könnte man sich vorstellen, dass man vielleicht zum Steady Stating kommt.
Sicher ist das auch nicht. Stellen Sie sich zum Beispiel
mal vor, dass wir irgendwo hier sind.
Wenn wir diesen Punkt hier hätten in dem dritten Quadranten,
was wäre denn der Fall?
Welche Dynamik müssten wir erwarten? Wir müssten doch erwarten,
dass wir irgendwie ein gewisses Wachstum des Kapitalbestands haben und dass
wir ein gewisses Wachstum des Konsums haben.
Nun, das Wachstum des Konsums wird aber relativ gering sein.
Warum wird das Wachstum des Konsums gering sein?
Wir sind ja schon in der Nähe von C-Dach.gleich
Also an diesem Punkt wird wahrscheinlich der Konsum nicht mehr
sehr stark wachsen. Denn wir wissen, der Konsum,
der wächst ja überall, wo wir hier sind,
aber das Wachstum des Konsums wird schwächer,
denn hier ist das Wachstum des Konsums null.
Und ab da ist das Wachstum des Konsums sogar negativ.
Wenn wir also hier in der Nähe der C8.
gleich null Kurve sind, was würden wir dann erwarten?
Nun, wir würden erwarten, der Kapitalbestand, der wächst,
ja, und der Konsum wächst nicht sehr stark.
Also die Entwicklung in der senkrechten Richtung ist nicht sehr stark.
Das heißt, wir kommen irgendwie auf diese Linie.
Wir treffen zum Beispiel auf diese Linie hier.
Und was wäre an der Stelle? An der Stelle
wurde der Konsum nicht mehr wachsen.
Der Kapitalbestand wurde aber weiter wachsen
Das heißt, wir kommen hier rüber in den Quadranten Nummer 4.
Und wenn wir an einem Quadranten Nummer 4 sind,
dann bewegen wir uns irgendwo in diese Richtung und nicht hin zum Steady State.
Das heißt, es ist alles andere als ausgemacht,
dass wir von jedem Punkt in diesem dritten Quadranten beispielsweise zum Steady State konvergieren würden.
Im Gegenteil, es ist gut vorstellbar,
dass es viele Punkte gibt im dritten Quadranten,
bei denen wir ebenfalls nicht zum Steady State konvergieren.
Dasselbe Argument gilt für den ersten Quadranten. Dasselbe Argument gilt übrigens
auch, wenn wir uns beispielsweise im dritten Quadranten befinden,
in der Nähe der K-Dachpunktgleichnullkurve.
Denn was müssten wir dann erwarten? Nun,
hier würden wir erwarten, dass der Konsum wächst.
Also es gibt eine Kraft in diese Richtung
Der Kapitalbestand wird aber nicht sehr stark wachsen, weil wir
schon in der Nähe der K8 Punkt gleich null Kurve sind.
Also wächst vielleicht noch ein bisschen. Aber wahrscheinlich ist die Entwicklung,
es ist die Resultierende des Kräfteparallelelogramms hier so,
dass wir irgendwie auf diese Kurve kommen.
Und sobald wir auf dieser Kurve drauf sind,
dann wächst der Kapitalbestand ja gar nicht mehr.
Der Konsum wächst aber weiter, zack, sind wir hier
im zweiten Quadranten und dann geht es ab in diese Richtung.
Also die Stabilitätseigenschaften dieses Staty States hier,
die sind zunächst mal völlig unklar.
Wir haben gar keine gar keinen vernünftigen Grund im Augenblick zu glauben,
dass wir in diesem Ramsation-Wachstumsmodell
wirklich in den Steady State konvergieren würden
Ich habe Ihnen eben schon gesagt, wir tun das,
ja, also das Modell wird das ergeben,
dass wir hin konvergieren in den Steadies Date,
aber aus der reinen Analyse dieses Phasenportraits heraus ist das alles andere als klar.
Man würde sagen, eigentlich sehen wir viel mehr Evidenz dafür,
dass das Modell deveragiert, dass es sich wegbewegt vom Steadies Date,
als dass wir Evidenz dafür sehen,
dass wir hinkonvergieren zum Steadies Date.
Haben Sie das zu fragen? So, nun kann man
allerdings zeigen, dass genau das doch der Fall ist.
Und das will ich versuchen, Ihnen jetzt zu erklären,
warum das der Fall ist.
Das folgt nämlich aus der Nutzenmaximierung.
Ich werde aber mal ein bisschen Hier
die Jalousien runterlassen
Um das zu verstehen, warum wir jetzt doch in den
Steadies Date rein konvergieren, müssen wir folgendes uns überlegen.
Nehmen wir mal an, wir befinden uns an irgendwie einem solchen Punkt hier.
Dann habe ich ja hier dieses Kräfteparallelogramm gemalt und dieses Kräfteparallelogramm,
das habe ich bekommen aus der Auswertung dieser Gleichung 99 und 100.
Wenn Sie sich erinnern, diese Gleichung 99 und 100,
die kommen aus unserem Nutzenmaximierungsproblem.
Das heißt, das waren die notwendigen Bedingungen unseres,
oder ich sollte genauer sagen,
ein Teil der notwendigen Bedingungen unseres Nutzenmaximierungsproblems
Das heißt, wir haben, wenn wir uns jetzt,
sagen wir mal, in diesem Punkt befinden und feststellen,
naja, damit konvergieren wir irgendwo so hier in diese Richtung,
dann könnten sie jetzt erstaunt sagen,
aber das scheint sogar nutzen, maximal zu sein.
Das ist doch das, was aus dem Nutzen Maximierungsproblem folgt,
denn wir verhalten uns dann genauso,
wie es uns diese Gleichung 99 und 100 hier vorschreiben.
Denn diese Gleichung 99 und 100 sind genau die,
die diese Kräfteparallelogramme hier definiert haben.
Wir erfüllen gerade die notwendigen Bedingungen des Nutzen Maximierungsproblems.
Nun, meine Behauptung ist,
wir erfüllen sie nicht
Wenn wir, stellen Sie sich mal gedanklich irgendwie eine sogenannte Trajektorie vor,
also einen Anpassungspfad, der irgendwie hier runtergeht,
so wie es dieses Kräfteparallelogramm vorschreibt. Was ich behaupte,
ist, diese Trajektorie, die sich hier ergibt, oder meinetwegen,
die sich da ergibt, die ist nicht nutzen maximal,
die verletzt eine wichtige Bedingung des Nutzenmaximierungsproblems.
Und das wollen wir uns jetzt zunächst mal für diese Trajektorie
hier unten überlegen. Nun, zunächst mal ist klar,
wenn wir von diesem Punkt starten und auf einer solchen Trajektorie sind,
dann ist sowohl die Gleichung 99 erfüllt als auch die gleiche 100 erfüllt,
denn diese beiden Gleichungen,
die haben uns dieses Kräfteparallelogramm hier gegeben.
Ja, und dem folgen wir einfach immer
Irgendetwas anderes muss nicht erfüllt sein. Und das andere,
was nicht erfüllt ist, das ist die Transversalitätsbedingung.
Ja? Wenn wir auf einem Lösungspfad auf einer Dreiektorik sind,
die in diesem vierten Quadranten endet,
von dem ich gerade gesprochen habe,
dann sind die Gleichung 99 und 102 erfüllt.
Aber der Lösungspfad verletzt die Transversalitätsbedingung. Denn der Kapitalbestand Kardach
, der übersteigt ja schließlich den goldenen Kapitalbestand.
Ja, warum ist das der Fall?
Nur der goldene Kapitalbestand, der ist hier. Da wo
das Maximum dieser Kurve ist. Wenn wir in diesem Quadranten sind,
dann übersteigen wir sicherlich irgendwann
den goldenen Kapitalbestand
Wenn wir den goldenen Kapitalbestand übersteigen, dann wissen wir,
dass wir einen Kapitalbestand haben, dessen Grenzprodukt kleiner ist als X-Plus-N plus Data.
Der goldene Kapitalbestand hatte gerade die Eigenschaft des F-Strich von Kardach
gleich X-Plus-N plus älter war. Das heißt,
wenn wir also auf einen solchen Lösungspart sind,
dann werden wir schließlich zu einem Kapitalbestand kommen, der so groß ist,
dass ein Grenzprodukt kleiner ist als X-Plus-N plus Delta.
Nun, das verletzt aber die Transversalitätsbedingung,
die hier in Gleichung 105 war,
wenn das Grenzprodukt des Kapitals kleiner wird als X-Plus-N plus Delta,
dann haben wir hier eh hoch was Positives mal Tee
Dieses Ding, das explodiert dann. Ja, das geht gegen unendlich.
Kar, Dach von Tees, aber sicherlich was Positives.
Der Kapitalbestand ist immer positiv. Auch asymptotisch, Hauptsache,
wo bin ich? Auch asymptotisch werden wir immer die Eigenschaft haben,
dass der Grenz, dass das Kapital positiv ist.
Also positives Kapital multipliziert mit einem Faktor,
der gegen unendlich geht, kann nicht gegen null konvergieren.
Das heißt, diese Bedingung 105 hier, die ist verletzt.
Ja, die ist verletzt,
wenn wir uns auf einem Lösungspfad befinden,
der diese Kräfte Parallelogramm folgt
Das heißt, als er Nutzen maximierender Konsumenten müssen wir sicherstellen,
dass wir nie auf diesen Punkt hier kommen.
Dass wir überhaupt nie irgendwie in diesen vierten Quadranten hineinkommen.
Denn wenn wir in den vierten Quadranten hineinkommen,
dann kommen wir zwangsläufig irgendwo in diese Richtung hier und verletzen
die Transversalitätsbedingungen, es kann nicht nutzen maximal sein.
Sie sehen also, dass diese Transversalitätsbedingungen plötzlich ganz wichtig wird,
denn die charakterisiert bestimmte Nutzen,
maximale Lösungen und scheidet andere Lösungen aus,
die zwar die Gleichung 99 und 100 erfüllen,
die aber offensichtlich nicht nutzen maximal sind
Nun versuchen sich das mal versuchen,
sich das mal nicht technisch klar zu machen,
dass dieser Lösungspfad, der sich hier ergibt,
nicht nutzen maximal sein kann.
Überlegen Sie sich mal gerade, einfach jetzt völlig untechnisch,
warum kann ein solcher Lösungspfad nicht nutzen maximal sein?
Was passiert auf einem solchen Lösungspfad mit dem Konsum
Ja. Genau, der geht, ist noch nicht null,
aber er wird immer kleiner und er geht gegen null.
Der Konsum, der konvergiert gegen null. Irgendwo kommen wir
dann mal hierhin und genau genommen werden wir dorthin kommen.
Kommen wir zu einem Punkt, wo wir nicht mehr konsumieren,
bis in alle Ewigkeit hinein nicht mehr konsumieren.
Das kann nicht nutzen maximal sein. Wir würden dann sehr viel Kapital halten,
viel mehr Kapital als die goldene Regel eigentlich vorschreibt.
Ein riesiger Kapitalbestand würden nicht konsumieren. Das kann ja wohl
nicht nutzen maximal sein. Das heißt, die Transversalitätsbedingungen drückt
hier etwas ganz Essentielles aus über das Nutzen Maximierungsproblem.
Und die Transversalitätsbedingungen muss erfüllt sein, damit wir nutzen Maximum haben.
Dieser Fahrt hier kann nicht nutzen, maximal sein.
Das heißt, der Konsument muss aufpassen wie ein Schießhund,
dass er nicht in diesen Quadranten hier reinkommt.
Ich werde gleich sagen, wie der Konsument das macht,
nämlich durch geeignete Wahl des Anfangskonsums
Jetzt gucken wir uns diesen zweiten Quadranten hier an.
Da werden wir das selbe Argument machen, dass eine Trajektorie,
die beispielsweise durch diesen Punkt geht und sich dann ja irgendwie in diese Richtung bewegt,
dass die nicht nutzen maximal sein kann.
Überlegen Sie sich das zunächst mal jetzt ökonomisch,
indem Sie dieses Diagramm interpretieren? Warum kann eine Trajektorie,
die durch diesen Punkt geht, nicht nutzen maximal sein?
Was passiert da? Beachten, ja gut, okay,
machen Sie erstmal ökonomisch. Was würde hier passieren,
wenn wir durch diesen Punkt durchgehen?
Und uns in diese Richtung bewegen
Genau, dann geht der Kapitalbestand gegen Null.
Ist das schlimm? Warum? Ja, warum wollen wir
was investieren? Werden wir doch konsumieren. Ich meine,
der Konsum, der geht hier schön hoch.
Nein. Wofür brauchen wir denn das Kapital? Meine Damen und
Herren, wofür brauchen wir das Kapital in diesem Modell?
Warum haben sie denn die ganze Zeit gespannt?
Was machen sie mit dem Kapital? Hätten sie vielleicht auch
ständig auf das Kapital verzichten können und nur konsumieren können
Ja, Kapitalbestand ist zukünftiger Kondom, aber sie können es
noch viel direkter sagen. Mit dem Kapital produzieren sie,
wenn sie keinen Kapitalbestand mehr haben, dann können sie nichts mehr produzieren.
Wie viel können sie noch konsumieren, wenn sie nichts mehr produzieren können?
Gar nichts. Ja, gar nichts. Also das Problem ist,
auf dieser Trajektorie hier erhöhen sie zwar ständig ihren Konsum,
aber sie tun das, indem sie viel zu viel Kapital aufessen.
Sie reduzieren ihren Kapitalbestand, essen das Kapital auf, ja,
konsumieren sozusagen aus dem Kapitalbestand draußen. Das ist das,
was die DDR gemacht hat, ja, vernachlässigen den Aufbau des Kapitalbestands.
Tatsächlich wird das Produktivkapital halt immer weniger, damit man ein
gewisses Konsum-Niveau der Bevölkerung aufrechterhalten kann. Das ist das,
was in der DDR unter den sozialistischen Volkswirtschaften passiert ist,
dass man nicht genügend investiert hat und dann irgendwann zu der Situation gekommen ist,
wo man festgestellt hat, wir können unser Konsumniveau nicht mehr aufrechterhalten,
weil unser Kapitalbestand, unsere Produktionsstruktur,
das gar nicht mehr hergibt.
Also was hier passieren würde, ist,
der Konsum wird erhöht zulasten des Kapitalbestands,
aber irgendwann kommen wir an diesen Punkt, da ist der Kapitalbestand null.
Und was passiert dann mit dem Konsum?
Konsum springt hier runter, ebenfalls noch null.
Wenn sie kein Kapital mehr haben,
dann können sie auch nichts mehr konsumieren
Jetzt wollen wir uns überlegen, was technisch hier falsch läuft.
Wenn wir uns hier auf diesem Lösungspfad befinden, dann ist
die Gleichung 99 und die Gleichung 100 ebenfalls überall erfüllt.
Liegt es also wieder an der Transfersalitätsbedingung, die nicht erfüllt ist?
Gucken Sie sich das mal an. Hier ist die Transfersalitätsbedingung
. Wer war diese Trajektorie in dem zweiten Quadranten haben,
gilt dann, dass die Transfersalitätsbedingung nicht erfüllt ist?
Was passiert hier asymptotisch? Wenn das Tee gegen unendlich geht,
was passiert mit Kfonti und was passiert mit E,
mit hoch diesem Exponenten
Ist die Transportualitätsbedingung erfüllt? Also, was habe ich
eben gesagt? Was passiert mit Kra von Tee?
Wenn Tee gegen unendlich geht, auf dieser Trajektorie,
im zweiten Quadranten. Geht gegen null. Schauen Sie,
wenn K von Tee gleich null ist,
kann dann der Grenzwert von null mal eh
hoch irgendwas gleich null sein?
Dann sagen Sie es
Ja, genau, die Transportalitätsbedingung ist erfüllt. Und kein
Problem. 99 ist offenbar erfüllt, 100 ist erfüllt,
die Transfersalitätsbedingung ist auch erfüllt. Denn null mal irgendwas ist null. Ja,
es sei denn, dass das irgendwas unendlich ist,
aber das ist nicht der Fall, denn das Grenzprodukt des Kapitals,
das wird ja hier sehr, sehr groß.
Und ich weiß, also sicherlich größer als X plus End plus Delta,
das heißt, dieses E hoch, ja,
Exponent mal Tee, da ist der Exponent negativ,
das geht also auch gegen null.
Das ist überhaupt kein Problem, die Transfersalitätsbedingungen spielt hier keine Rolle,
die ist erfüllt in diesem Fall. Warum also ist jetzt
Warum haben wir jetzt hier trotzdem einen Verstoß gegen die Nutzenmaximierung?
Nun, der Punkt ist der, bei dieser Trajektorie,
die ich Ihnen eben skizziert habe, haben wir so einen Sprung.
Also wir gehen irgendwie von hier dorthin und dann,
während der Kapitalbestand aufgezehrt ist,
dann stürzen wir ab auf ein Konsumniveau von null.
Nun, das verletzt an dieser Stelle und nur an dieser Stelle
die Gleichung 99. Die Gleichung 99 sagt uns nämlich eigentlich,
dass die Veränderung des Konsums immer irgendwie endlich sein muss.
Das muss ich hier aus diesem Ausdruck ergeben
Aber das ist nicht der Fall an der Stelle.
Und er ist da. An der Stelle wird gleich um 99 verletzt,
weil wir plötzlich eine diskrete Änderung im Konsum haben,
keine kontinuierliche Änderung mehr im Konsum.
Wir haben eine Stelle, wo das Ding nicht differenzierbar ist,
wo also das C-Dach-Punkt eigentlich gar nicht mehr existiert.
Das heißt, gleich um 99 ist an dieser Stelle verletzt.
Alle Lösungspfade, die irgendwie im zweiten Quadranten enden,
erfüllen sowohl gleich um 100 als auch die Transversalitätsbedingungen,
verletzen 99, aber dann, wenn das Kardach aufgezählt ist.
Und erst dann. Denn dann springt das C-Dach auf null und damit ist,
ja, im Grunde genommen hätte ich hier schreiben können,
ist C-Dach-Punkt gar nicht mehr gegeben, gibt es nicht mehr.
Ja, es ist keine Ableitung mehr möglich,
weil wir da
eine Unschädigkeitsstelle haben
Wenn sie sich für Technik interessieren, ist die sogenannte Weyersch,
das erdmannische Eckenbedingung, die an dieser Stelle verletzt ist.
So, jetzt haben wir folgendes Bild. Jetzt sehen Sie mal so
ein paar Trihetorien in unserem Diagramm. Sie sehen zum Beispiel,
wir haben bestimmte Trajektorien hier in diesen zweiten Quadranten, die gehen dahin,
oder meinetwegen auch von hier aus kommt, irgendwo dahin.
Hier für diese Trajektorie habe ich es bis zum Ende aufgezeichnet,
das soll eine runde Klammer hier sein. Das soll sagen,
diese Trajektorie geht bis fast dran an die Achse,
aber dann, wenn die Achse eigentlich erreicht wäre,
dann springt das runter auf diesen Punkt.
Das ist diese Unstätigkeit
Andere Trajektorien beispielsweise, diese Trajektorie hier, gehen hier unten zu diesem Punkt.
Beachten Sie zum Beispiel, wenn wir, also ich bin
jetzt davon ausgegangen, dass wir einen Anfangskapitalbestand K0-Dach haben.
Jetzt sehen wir folgendes, nehmen wir mal an,
der Konsument wählt aus irgendeinem Grunde diesen Anfangskonsum 10-0-2-Strich.
Ich hatte Ihnen ja gesagt, der Konsument ist frei,
sein Anfangskonsum zu wählen. Wenn er das tut,
dann sagt meine Dreijektorik hier,
zunächst mal geht es irgendwie in die richtige Richtung,
nämlich Konsum- und Kapitalbestand
wachsen beide
Aber offenbar wächst der Konsum nicht schnell genug, nicht wahr?
Wir kommen nämlich hier an den Punkt,
wo der Konsum kaum noch wächst, aber der Kapitalbestand wächst.
Das heißt, an dieser Stelle selbst muss die Trajektorie eine Musikkodrajektorie
horizontal werden lokal, also eine Ableitung von Null haben.
Und von da ab sinkt der Konsum,
der Kapitalbestand wächst weiter und wir gehen dahin,
wir wissen, dieser Pfad ist nicht nutzend optimal,
weil die Transfersalitätsbedingungen verletzt ist, weil wir hier sehr,
sehr viel Kapital und keinen Konsum mehr hätten.
Nun, das heißt, der Konsument überlegt sich,
wenn er seinen Anfangskonsum bestimmt, diesen Anfangskonsum hier,
den sollte ich nicht wählen,
der kann nicht nutzen maximal sein.
Das ist nicht richtig, diesen Anfangskonsum zu wählen
Also sollte der Konsumiert einen höheren Anfangskonsum wählen? Nehmen wir mal an,
der Konsument wählt diesen hohen Anfangskonsum 10-0-Dach-Strich.
Nun, was passiert jetzt? Wie Sie sehen,
sind wir jetzt bei einem Punkt, wofür gegebenen Kapitalbestand,
wir schon relativ nah sind an der K-Dach.gleich 0 Kurve.
Den Fall hatte ich Ihnen eben schon diskutiert. Das heißt,
hier steigt der Konsum schneller als der Kapitalbestand steigt.
Und irgendwann schneiden wir hier die K-Dach.gleich 0 Kurve und kommen
in diesen unseligen zweiten Quadranten rein.
Hier ist die Ableitung der Dreieckdol gerade senkrecht an dieser Stelle,
denn an der Stelle wächst der Kapitalbestand ja gerade nicht.
Davor ist er noch gewachsen, danach schrumpft er.
Der Konsum aber steigt
Ne,
und dann sind wir am zweiten Quadranten und wir wissen jetzt,
hier kommen wir zu der Stelle,
wo letzten Endes die gleiche um 9,99 nicht mehr erfüllt ist,
weil die Konsumänderung hier nicht mehr differenzierbar ist und wir auf einen Konsum von null abstürzen.
Das heißt, der Konsument überlegt sich diesen Anfangskonsum darf ich auch nicht nehmen,
da wähle ich zu viel Konsum, ja,
da konsumiere ich zu viel und folglich kann ich nicht genügend Kapital aufbauen.
Und wenn das der Fall ist,
dass ich nicht genügend Kapital aufbaue und ich diesem Konsumfahrt hier folge,
dann komme ich zu einem nicht nutzen maximierenden Ergebnis.
Aber jetzt kommt der Punkt. Wir wissen also,
es gibt einen Anfangskonsum, der ist zu niedrig und führt
uns hierhin
Und es gibt einen Anfangskonsum, der ist zu hoch und führt uns dahin,
in beide Richtungen wollen, weil ich will der Konsument nicht.
Es muss irgendwo zwischen 1002-Strich und 100-Strich einen Konsum geben,
den ich als 100-Dach hier kennzeichne,
der gerade sozusagen die Balance hält,
zwischen diesem Unerwünschten nicht nutzen maximalen Pfad und diesem unerwünschten nicht mehr zu nutzen maximalen Pfad.
Es gibt in der Tat nur einen solchen Punkt.
Jede kleine Abweichung nach oben oder nach unten
würde uns in den unerwünschten vierten oder zweiten Quadranten hineinführen.
Aber diesen einen Punkt gibt es und der führt dazu,
dass wir uns auf einem Lösungspfad befinden,
der genau in den Staty State hineinführt
Einen und nur einen solchen Anfangskonsum gibt es. Und das
ist die einzige Nutzen maximale Lösung, die wir finden.
Diesen Konsumfahrten nennt man deshalb Sattelpfad stabil. Sehr anschauliches Bild
, ein Sattelpfaden. Ich war dann nach beiden Richtungen,
würden sie abstützen. Wenn sie einen tritt,
einen Schritt in die falsche Richtung machen,
dann stürzen sie ab und kommen entweder auf einen Lösungsfahrt
in diese Richtung oder auf einen Lösungsfahrt in diese Richtung.
Aber solange sie auf diesem Sattelpfad hier sind,
konvergieren sie rein in den Steady State.
Und genau das ist das Ergebnis der Nutzenmaximierung,
dass der Konsument sich sagt, diesen Anfangskonsum hier muss ich wählen,
dann bin ich Nutzen maximal und nur dann bin ich Nutzen maximal.
Das heißt, es ist ein eindeutiger Lösungspfad,
der reinführt in den Steady State
Dieselbe Überlegung könnte man von da oben machen,
wenn man anfangen würde mit einem Kapitalbestand der Größe ist,
als der Steady State Kapital bestand.
Nicht, dann gäbe es ebenfalls drei Hektorien,
die irgendwie nicht nutzen maximal sind,
weil sie im zweiten oder im vierten Quadranten ändern, enden.
Und dann gibt es einen Sattelpfad, der von oben
da reinführt. Das ist aber empirisch nicht so relevant,
weil wir normalerweise nicht davon ausgehen, dass wir einen Anfangskapitalbestand haben,
der höher ist als der Endkapitalbestand.
In Klammern gesprochen, kann relevant sein für rohstoffreiche Staaten.
Darauf kommen wir später nochmal zu sprechen. Staaten,
die irgendwie eine begrenzte Menge an erschöpfbaren Rohstoffen haben,
können temporär einen Kapitalbestand haben,
der größer ist als ihr Steady State Kapitalbestand.
Dann konvergieren die von oben
Hier rein. Ja, das ist aber ein Sonderfall,
auf den wir später noch zu sprechen kommen, wenn wir über erschöpfbare Ressourcen sprechen.
Im Augenblick stehen wir hier und sind bei der Erkenntnis,
dass der Konsument also mit erheblichen mathematischen Fähigkeiten ausgestattet sein muss,
damit er seinen Sattelpfad ausrechnen kann und dorthin kommt.
Jetzt können Sie sagen, was soll das Ganze eigentlich? Ich meine,
man kann realistischerweise natürlich nicht unterstellen, dass irgendein Konsument imstande ist,
ein solches Problem hier zu lösen oder jedenfalls die meisten Konsumenten
sind dazu nicht im Stande, das zu lösen,
werden sicherlich ihre Konsumentscheidungen nicht nach einer Hamilton-Funktion irgendwie berechnen können.
Die ökonomische Ratio, die dahinter steht,
ist eine andere
Wir wissen aus den Aerodybrüh-Theorien, also aus der allgemeinen Gleichgewichtstheorie,
dass ein Marktwirtschaftliches System immer zu Pareto-optimalen Allokationen führt. Das heißt,
in einem marktwirtschaftlichen System passen sich die Preise immer so an,
dass sie die tatsächlichen Knappheiten widerspiegeln und die Konsumenten,
die sich an diesen Preisen orientieren,
mit ihrer Nachfrage und gegebenenfalls ihrem Angebot, maximieren ihren Nutzen,
indem sie eben sich an diesen Preisen orientieren.
Das heißt, der marktwirtschaftliche Mechanismus führt automatisch immer dazu,
dass der Nutzen maximiert wird,
zumindest im Sinne einer Pareto-optimalen Adlokation
Das ist das marktwirtschaftliche Gleichgewicht, das war rasianische Gleichgewicht,
das lehrt uns die mikroökonomische Theorie,
führt immer zu einer Pareto-optimalen, sprich der Nutzen maximalen Allokation.
Denn das Pareto-Optimum ist ja, ergibt sich ja aus der Nutzenmaximierung.
Pareto-Optimum sagt ja gerade, es ist nicht mehr möglich,
eine weitere Erhöhung des Nutzens für alle Konsumenten durchzuführen.
In dieser Ökonomie hier, wo alle Konsumenten gleich sind,
bedeutet es also einfach, alle Konsumenten sind in ihrem Nutzen Maximum.
Da braucht der Konsument überhaupt nicht irgendwie einen Hamilton-Ansatz für zu lösen.
Der Konsument muss sich lediglich an den Preisen orientieren,
die sich in dem freien System der Marktkräfte ergeben,
dann ist ja automatisch immer auf diesem Sattelpfad
Während also zunächst mal in diesem Diagramm das so wirkt,
als dieser Sattelpfadchen da ausgesprochen wackelige Angelegenheit und ein Tritt in die falsche Richtung,
würde bedeuten, dass wir abstürzen und zu Situationen kommen,
die letzten Endes darauf hinauslaufen,
dass da keinen Konsum mehr dauerhaft finanzieren können,
ist die ökonomische Interpretation gerade eine andere.
Solange die realen Knappheiten der Ressourcen angemessen durch Preise widergespiegelt werden,
wissen wir, dass das Marktgeschehen dazu führt,
dass Konsumenten stets ihren Nutzen maximieren.
Das heißt, dass sie stets auf diesen Sattelpfad hier sein
werden und dort sich in den Stady-State hinein bewegen werden können.
Und alles andere hier sind keine marktwirtschaftlichen Prozesse
Konsumenten, die sich an marktwirtschaftlichen Gegebenheiten orientieren, würden nie und nimmer
auf die Idee kommen, solchen Trajektorien hier zu folgen.
Echt? Sondern man ist immer hier auf diesen Sattelpfaden,
kommt dann hier in den Steady State hinein.
Ja, kleine Übung dazu. Im soloischen Wachstumsmodell hatten wir ja
zwei Steady States, wie sich erinnern. Der hier,
der irgendwo relevant war und der da, der irrelevant war.
Im Ramsation Wachstumsmodell haben wir sogar drei Steady States,
aber zwei davon sind nicht nutzen maximal und deshalb nicht relevant.
Sie können sich mal bitte überlegen, welche diese zwei
nicht nutzen maximal Steady States sind.
Das ist ziemlich einfach
Nun, was haben wir hier jetzt gemacht?
Wir haben das Modell gelöst und haben diesen Sattelpfad bestimmt.
Man kann das auch numerisch im Computer machen,
dann kriegt man irgendwie einen funktionalen Ausdruck raus.
Der interessiert uns im Augenblick nicht so sehr. Es reicht,
dass wir das jetzt qualitativ im Rahmen dieses Phasenporträts gelöst haben und festgestellt haben,
es gibt einen Nutzen maximalen Anfangskonsum und den findet der Konsument,
in dem er sich an den Preisen in einer Ökonomie orientiert.
Den findet ihr automatisch, da braucht er gar nicht viel
zu machen. Der folgt einfach sozusagen deiner ökonomischen Intuition,
die durch die Preise gesteuert wird und dann kommt er
dort rein
Dieser Nutzen maximaler Anfangskonsum, der hängt offenbar ab davon,
was der anfängliche Kapitalbestand ist. Genau genommen,
sie können diesen Sattelpfad so interpretieren, dass sie sagen,
wann immer ein bestimmter Kapitalbestand gegeben ist,
hier oder da oder da.
Gibt es dann einen entsprechenden Konsum, den ich wählen muss,
damit ich hier auf diesem Sattelpfad bin?
Und dieser Konsum wird mir eben durch die Preise vorgegeben.
Das heißt, wir haben hier eine Abhängigkeit des Konsums vom Kapitalbestand.
Wir können den Konsum schreiben als eine Funktion des Kapitalbestands,
als eine relativ einfache Funktion des Kapitalbestands.
Normalerweise eine monoton steigende Funktion des Kapitalbestands.
Je höher der gegebene Kapitalbestand ist,
desto höher ist der Konsum
Diese Funktion, diese Abhängigkeit des Konsums vom Kapitalbestand nennt man die sogenannte Politikfunktion.
Ja, das ist sozusagen die Politik, der der Konsument folgt,
wenn er weiß, er hat einen bestimmten Kapitalbestand gegeben.
Eine bessere deutsche Bezeichnung dafür,
für den Begriff Policy Function im Englischen, wäre,
dass man sagt, das ist die Verhaltensfunktion des Konsumenten,
die sozusagen nutzen maximale Verhaltensfunktionen des Konsumenten,
aber man hatte den englischen Ausdruck eingedeutscht und spricht von Politikfunktion
Nur diese Politikfunktion, die ist natürlich parameterabhängig.
Darüber will ich dann in der nächsten Stunde sprechen.
Ich zeige Ihnen nur noch, worauf das hinausläuft.
Einer der entscheidenden Parameter wird das Täter sein,
beziehungsweise die intertemperale Substitutionsilestizität des Konsums, mit der ich ja hier begonnen habe.
Je nachdem, ob das Täter groß ist oder ob
das Täter klein ist, werden wir unterschiedliche Politikfunktionen bekommen.
Hier sehen Sie jetzt beispielsweise mal zwei Sattelpfade,
die für unterschiedliche Werte von Täter gezeichnet sind.
Und hin konvergieren auch zu unterschiedlichen Steady States,
denn auch der Steady State Kapitalbestand hängt von dem Täter ab
Ja, für ein großes Täter, also eine kleine intertemporale Substitutionselastizität,
ist der Steady State niedriger als für eine Große intertemporale Substitutionselastizität.
Und das hat ganz schöne Implikationen für Transformationsökonomien,
über die wir dann eben nächste Woche Dienstag sprechen werden.
Schönen Dank erstmal für Ihre Aufmerksamkeit und bis nächste Woche