Funktion. CES steht für Constant Ilysticity of Substitution.
Bitte nicht verwechseln mit der Cop Douglas Produktionsfunktion.
Die CES-Produktionsfunktion ist allgemeiner und sie hat eine, naja,
vielleicht ein bisschen unhandlich oder kompliziert erscheinende Gestalt.
Wir haben hier die Produktionsfunktion 11 abhängig von Kapitalbestand und Arbeit geschrieben,
als irgendeine konstante A mal K hoch eine Koran-Exponent-Vieh plus 1
minus A mal L hoch ebenfalls derselbe koeffizient Vieh und
das Ganze in Klammern
hoch 1 durch Vieh
Also im Prinzip, wenn Sie das verstehen wollen,
ist es so, dass wir hier eine Art gewichteten Durchschnitt betrachten,
einmal mit dem Gewicht A und das andere Mal mit dem Gewicht
1 minus A zwischen Transformationen des Kapitalbestands und der Arbeit.
Und diese Transformationen sind exponentieller Art und werden mit demselben Koeffizienten,
mit demselben Exponentenvieh vorgenommen. Und dann zieht man eben die
Fiete Wurzel aus dem gesamten Ausdruck. Das A soll,
weil es sich eben hier um ein gewichtetes Mittel handeln soll,
zwischen 0 und 1 liegen und das Vieh soll ein Exponent
kleiner gleich 1 sein,
damit die Funktionen schön konkav ist
Nun, meine Behauptung ist, dass diese Produktionsfunktion hier konstante Skalenerträge hat.
Und das sollen die bitte als Übung mal zeigen.
Gehen Sie einfach auf die Definition zurück. Gucken Sie sich an,
wie konstant das Skalenerträge definiert sind. Und dann zeigen Sie,
dass diese Eigenschaft, die die Definition konstituiert,
dass diese Eigenschaft erfüllt ist für die CES-Produktionsfunktion.
Wir werden normalerweise mit der CES-Produktionsfunktion nicht arbeiten.
Sie wird aber in ein oder zwei anderen Übungen noch auftauchen
und sie taucht natürlich in der wissenschaftlichen Literatur immer wieder auf.
Deshalb ist es ganz hilfreich, sie zu kennen.
Sie ist insofern eine sehr schöne Produktionsfunktion, als sie eigentlich alles zusammenfasst,
was sie vermutlich bislang an Produktionsfunktionen im Laufe ihres Studiums kennengelernt haben.
Nämlich zum einen ist es so, naja, ich gehe vielleicht erstmal auf diese,
auf diesen Fall hier ein, das ist der einfachste Fall,
dass sie hier eine Produktionsfunktion als Spezialfall erzeugen können, die den Fall perfekter Substitute abbildet.
Sie erinnern sich an ihr Grundstudium,
wo man ihnen in der Mikroökonomie, wenn sie Produktionstheorie gemacht haben,
Isoquanten hingemalt hat und irgendwie gesagt hat, naja, wenn sie,
was weiß ich, hier L abtragen und da K abtragen,
dann gibt es einen Fall von Isoquanten,
die verlaufen einfach Das heißt, für jede Kombination von K&L,
die hier auf einem dieser,
auf einer dieser Graden liegt, haben sie dasselbe Produktionsniveau.
Und das wurde ihnen interpretiert als ein Fall perfekter Substitute.
Das heißt, sie können beliebig Kapital gegen Arbeit substituieren oder umgekehrt.
Und zwar in einem bestimmten Substitutionsverhältnis, was gegeben ist durch
die Steigerung dieser Isoquanten. Naja, und den Fall,
also perfekte Substitute, den kriegen sie sofort auf der CES-Produktionsfunktion heraus,
indem sie das Vieh hier auf einsetzen.
Ja, nichts einfacher als das,
dann sehen sie das sofort,
dass diese einfache lineare Produktionstechnologie
darin vorgegeben ist
Zwei andere Fälle sind nicht ganz so leicht zu sehen.
Und zwar sind es diese beiden Fälle. Hier,
ich gehe mal zunächst wieder von unten vor und nehme mir diesen Fall hier vor.
Das ist nämlich sozusagen das genaue Gegenteil von dem,
was bei den perfekten Substituten passiert. Das ist das,
was man ihnen im Grundstudium als Fall perfekter Komplimente erklärt hat.
Die Learn-Tief-Produktionstechnologie, also tragen sie vider L und K hier ab.
Und da gucken sie sich diese Art von ISO-Quante an.
Sie erinnern sich, das war der Fall perfekter Komplimente.
Die haben hier so eine hässliche Ecke,
deshalb kann man die Dinge an der Stelle nicht differenzieren.
Und das ist ein bisschen schwierig,
Maximierungsprobleme damit
Zu lösen, weil sie an der Stelle nicht ableiten können,
aber das ist gerade die Stelle, die man bei der effizienten Produktion eben haben möchte.
Hier ist es also so,
dass sie perfekte Komplimente haben, in dem Sinne,
dass wenn sie beispielsweise hier an einer solchen Stelle produzieren,
dann wissen sie, dass wenn sie einfach nur mehr Arbeit einsetzen,
dann produzieren sie nicht mehr Output.
Beziehungsweise wenn sie nur mehr Kapital einsetzen,
dann produzieren sie auch nicht mehr Output.
Das heißt, sie können zusätzliches Kapital immer nur dann verwenden,
wenn sie auch zusätzliche Arbeit verwenden.
Dann wird mehr Output erzielt und dann springen sie irgendwie auf eine höhere Isoquante,
aber die beiden Produktionsfaktoren sind eben streng zueinander komplimentiert,
der müssen immer gemeinsam miteinander eingesetzt werden
Nun, das war also gerade der konträre Fall zu dem Fall perfekter Substitute.
Und dann hat man ihn als dritten Fall normalerweise den gezeigt,
den man aussucht. Auch so in allgemeinen Grafiken,
typischerweise als den realistischen unterstellt, dass man sagt,
naja, so eine Art Mischung aus diesen beiden Extremen,
dass es eben irgendwie so eine schöne Strengkonwechsel isoquante,
wie das, was sie hier haben.
Und die wird eben unter anderem erzeugt von der Cop Douglas Produktionsfunktion.
In einem gewissen Sinne ist die Cop Takte des Produktionsfunktions
sogar die Funktion, die sozusagen das schönste Substitutionsverhältnis zwischen Kapital
und Arbeit erzeugt
Komplexes Produktionsfunktion, die hat eine Substitutionselastizität genau von eins.
Also wenn der relative Preis von Kapital zu Arbeit sich um ein Prozent verändert,
dann verändert sich auch das Verhältnis des Einsatzes der Produktionsfaktoren,
Kapital und Arbeit, um genau ein Prozent.
Ja, also das ist sozusagen das Schönste an Substitutivität,
was man sich dort vorstellen kann. Und es ist natürlich klar,
dass das sozusagen dieser Streng- und Wechselfall,
den man hier hat, genau das ist,
was zwischen diesen beiden extremen Fällen von perfekter Substituierbarkeit und
perfekten Komplimenten liegt
Nun, genau diese beiden Fälle, die kriegen sie
auch hier und die sagten, ich wollte hiermit beginnen.
Es ist nicht ganz trivial zu zeigen, aber diese CES-Produktionsfunktion,
die strebt gegen die Leontee-Produktionstechnologie, dann,
wenn sie dieses Vieh gegen minus unendlich gehen lassen.
Also ich hatte hier geschrieben, Vieh soll kleiner gleich eins sein,
es ist statthaft, dass das viel negative Werte annimmt.
Und wenn sie Vieh gegen minus unendlich gehen lassen, dann kriegen sie eben raus,
dass diese Produktionsfunktion konvergiert gegen die Produktionsfunktion, Minimum aus K&L.
Und das ist gerade die Produktionsfunktion, die hier,
die Leontee auf ISO-Edelquanten erzeugt
Wie sie das zeigen, ist einfach so, dass sie die Lupital-Regel anwenden.
Also sie kennen das noch aus dem Grundstudium,
aus der Kunststadt zur Mathematik,
dass wenn sie irgendwie eine Ableitung eines Quotienten,
einen Grenzwert eines Quotienten betrachten, wo Zähler und Nenner gegen unendlich gehen,
dann müssen sie sozusagen,
dann wissen sie,
dass dieser Grenzwert dasselbe ist wie der Grenzwert des Quotienten ja aus der Ableitung des Zählers und der Ableitung des Nenners besteht.
Ja, und das müssen sie hier verwenden.
Und genauso müssen sie es auch verwenden,
wenn sie diese Geschichte mit der Kontaktles-Produktionsfunktion zeigen wollen.
Dieser Fall hier, der streng konvexen Isoquanten,
ist nämlich der Fall,
der Kontaktles-Produktionsfunktion und den kriegen sie dann,
wenn das Vieh hier gegen Null geht
Die Hässlichkeit dabei ist das, dass ich hier durch Vieh teilen.
Also in diesem Exponenten hier,
da steht ja eins durch Vieh, das heißt,
für Vieh gleich null ist der Fall gerade nicht definiert.
Deshalb müssen sie hier eben dann das Ding erstmal locker retimieren,
ja, dann können sie das als einen Potienten schreiben und dann können sie gucken,
was diese mit diesem Kotienten passiert,
wenn das Vieh gegen null geht und auch da müssen sie die Regel von lobital anwenden.
Das können sie gerne mal zuhause durchrechnen,
ich wollte ihm das jetzt nicht im Einzelnen vorführen,
aber das stimmt jedenfalls so
Wenn wir diese Annahme der konstanten Skalenerträge machen,
für die ich Ihnen jetzt hier gerade ein Beispiel nochmal für
eine sehr allgemeine Produktionstechnologie gegeben habe, nämlich die CES-Produktionstechnologie,
dann können wir daraus bestimmte Eigenschaften ableiten, die auch ganz interessant sind.
Aber bevor wir das tun, wollen wir noch weitere Annahmen
machen zu den Produktionsverhältnissen, den wettbewerblichen Verhältnissen in unserer Ökonomie.
Und zwar möchte ich jetzt hier kurz sprechen über Grenzproduktivitätsentlohnung,
die Sie im Prinzip auch bereits aus der Produktionstheorie des Grundstudiums kennen.
Da sollten Sie nämlich gelernt haben,
dass in kompetitiven Faktormärkten Produktionsfaktoren nach ihrem Grenzprodukt entlohnt werden.
Ja, das ist gerade das, was aus dem Gewinnmaximierungsverhalten
des Unternehmers folgt. Es lohnt sich für ihn,
einen Produktionsfaktor so lange einzustellen, wie die Kosten,
die ihm durch die Beschäftigung des Produktionsfaktors entstehen,
nicht größer sind, als das Grenzprodukt, was der Produktionsfaktor erwirtschaftet.
Also gerade das sozusagen,
was der letzte Arbeiter an zusätzlichem Output erzeugt oder der die letzte Maschine,
die man kauft, dann zusätzlich im Output erzeugt,
das ist der Wert
Der dem Unternehmer entsteht. Und damit sind es auch die Kosten,
die er gerade noch bereit ist, auf sich zu nehmen,
um diesen letzten Arbeiter oder diesen letzten Produktionsfaktor zu beschäftigen.
Und dementsprechend ist das dann eben entweder der Reallohn oder es
ist sozusagen die Realverzinsung des Kapitals, die durch diese Grenzproduktivität bestimmt wird.
Nun, das habe ich Ihnen hier aufgeschrieben, formal.
Vielleicht fangen wir auch hier mit der unteren Zeile an.
Sie sehen hier DEF nach DEL. Das ist das Grenzprodukt
der Arbeit. Das sagt Ihnen,
wie viel zusätzlicher Output wird erzeugt,
wenn ich die Anzahl der Arbeit
ein klein wenig erhöhe
Das ist also das Grenzprodukt der Herr Arbeit,
das bezeichne ich kurz als F mit Index Groß L,
F-Index Groß L sagt also nichts anderes als die Part,
dass das die Partielle Ableitung von F nach Alice.
Und angesichts der Tatsache, dass wir wissen,
dass dieses Grenzprodukt der Arbeit in kompetitiven Faktormärkten eben gleichzeitig der Reallohn ist,
setzen wir das sozusagen gleich weh für Wage, wie den Reallohn.
Und dasselbe passiert jetzt hier oben in der oberen Gleichung,
da habe ich ihnen das Grenzprodukt des Kapitals hingeschrieben,
DF nach DK, sagt ihnen also,
wie sich der Output für gegebene Menge an Arbeit verändert,
wenn ich ein bisschen mehr Kapital einsetze,
das notiere ich als F-Index Groß
Also einfach wieder nur die partielle Ableitung von F nach K.
Und das sollte die Bruttokapitalentlohnung sein. Und jetzt ist es wichtig,
festzuhalten, dass das die Bruttokapitalentlohnung oder wenn sie so wollen,
die Brutto-Verzinsung des Kapitals aus der Sicht des Kapitaleigenes ist.
Denn hier müssen wir wiederum zwischen Brutto- und Netto unterscheiden.
Wir müssen uns überlegen, was genau muss der Arbeitgeber eigentlich
finanzieren aus diesem Grenzprodukt des Kapitals? Aus dem Grenzprodukt des Kapitals,
also dem Wert, den die letzte Einheit Kapital erwirtschaftet,
muss der Unternehmer genau zweierlei finanzieren.
Zum einen muss er den Kapitaleigentümer entlohnen,
indem er ihm einen Zins zahlt
Diesen Zinswocher als den Netto-Zins bezeichnen. Das ist das,
was der Kapital-Eigentümer, also entweder derjenige,
der eine Aktie kauft oder der irgendwie eine Unternehmensanleihe kauft,
was der als Entschädigung dafür erhält, dass es dem Unternehmen Kapital zur Verfügung stellt.
Darüber hinaus gibt es aber auch noch den Kapitalverschleiß in Form der Abschreibung.
Und der Unternehmer muss aus diesem R hier nicht nur die Netto-Verzinsung zahlen,
die er an den Kapital-Eigentümer überweist, sondern er muss darüber hinaus natürlich auch ersetzen,
was an Kapital verschlissen worden ist im Produktionsprozess. Deshalb ist es eben so,
dass die Bruttoverzinsung des Kapitals groß AR,
gerade er Gerade weil ich kleinen R plus Delta ist,
wobei kleinen R die Netto-Verzinsung darstellt, beziehungsweise umgekehrt, das,
was der Eigentümer einer Kapitaleinheit in Form von Verzinsung oder in Form von Dividende ausgezahlt bekommt,
als Entschädigung dafür, dass sie den Betrieb Kapital zur Verfügung gestellt hat,
das ist gerade die Bruttoverzinsung des Kapitals,
also das Grenzprodukt des Kapitals, abzüglich des Kapitalverzehrs,
der durch Delta beschrieben wird.
Natürlich muss der Unternehmer gucken,
dass der Kapitalbestand zumindest sozusagen gleich bleibt in Bezug auf das,
was ja in der Vorperiode gehabt hat.
Also er muss ersetzen, was an Kapitalverschleiß eingetreten ist.
Andernfalls wurde natürlich der Kapitalbestand langfristig irgendwie gegen null gehen,
das Kapital wurde aufgezehrt werden
In der DDR ist sowas passiert, nicht, dass man
praktisch die Abschreibungen einfach nicht mit berücksichtigt hat bei der Wirtschaftsplanung.
Dann funktioniert der Kapitalmarkt hier sowieso nicht. Es gab gar keinen Kapitalmarkt,
es gab gar keine Zinsen und ähnliches,
aber es ist eben auch einfach in der produktiven Tätigkeit sehr viel aus der Substanz heraus erwirtschaftet worden.
Die Betriebe bekamen irgendwie ihre Vorgaben,
so und so viel müsst ihr erwirtschaften und das wurde dann nach,
so gut es eben ging, wurde das erfüllt,
aber es gab nicht notwendigerweise die Vorgabe, dass das,
was dann an Kosten in Form von Kapitalverschleiß aufgetreten ist,
auch ersetzt werden können,
muss aus den Erlösen der der Produktion.
Man nahm den Kapitalbestand sozusagen im Wesentlichen als gegeben an.
Und ich war einfach jetzt ein bisschen namens als gegeben an und das Ergebnis war dann,
dass nach 40 Jahren DDR in vielen Bereichen der Kapitalbestand
so weit runter gewirtschaftet worden war,
dass ja eigentlich nur noch Schrottfeld hatte.
Gut. Wir wollen also annehmen, dass die Produktivitätsentlohnung,
die Grenzproduktivitätsentlohnung hier gilt, weil wir implizit annehmen,
dass die Märkte alle im Wettbewerb sind und zwar am vollständigen Wettbewerb zueinander sind.
Es würde sich natürlich anders verhalten, wenn wir irgendwie unterstellen,
dass es hier Unternehmen gibt,
die Marktmacht haben und die deshalb imstande sind,
ökonomische Gewinne zu erzielen
Wenn das so wäre, dann würde irgendwo aus dem Erlös
der Produktion auch noch eine Gewinnmarge finanziert werden.
Das ist hier nicht der Fall, wenn die Märkte wettbewerblich sind,
denn der Wettbewerb führt eben gerade dazu, dass sämtliche ökonomischen Gewinne wegkonkurriert werden.
Das dürfen sie jetzt nicht damit verwechseln, dass sie vielleicht denken,
naja, das würde ja dazu führen, dass die Eigentümer eines Betriebes,
also die Anteilseigner, die Leute, denen Aktien gehören,
dass die keine Dividenden mehr bekommen.
So ist es nicht gemeint,
sondern es werden schon noch Dividendenzahlungen in angemessener Höhe ausgeschüttet,
auch dann, wenn wir sagen,
dass keine ökonomischen Gewinne mehr existieren
Also sozusagen das, was im steuerlichen Sinne ein Gewinn ist,
ist auch in diesem Modell durchaus vorhanden.
Das ist nämlich die angemessene Kapitalverzinung, so ein kleinen Erg.
Der Eigentümer einer Aktie erhält genauso viel an Ausschüttung,
an Dividende, wie der Eigentümer einer Unternehmensanleihe an Zinszahlung erhält.
Das ist genau balanciert und die Konsumenten sind im Prinzip völlig indifferent in diesem Modell,
weil es keine Unsicherheit gibt,
ob sie Unternehmensanleihen halten sollen oder ob sie Aktien halten,
Aktien halten sollen,
in beiden Fällen findet eine angemessene Verzinsung statt und im umgangssprachlichen Sinne würde man sagen,
das, was den Anteil eignen, den Aktien Sitzern ausgeschüttet wird,
als R, als Dividende.
Das ist natürlich der Gewinn des Betriebs. Aber das ist sozusagen nur der faire Gewinn.
Das ist der faire Gewinn, den ein Betrieb machen muss,
damit die Anteilseigner genauso entlohnt werden wie die Fremdkapitalgeber.
Wenn ich sage, dass es keine ökonomischen Gewinne gibt,
dann sage ich, es gibt keine Gewinne,
die über diese faire Kapitalentlohnung hinausgehen. Das heißt,
die Tatsache, dass auf den real existierenden Aktienmärkten Dividenden ausgeschüttet werden,
ist kein Beleg dafür, dass diese Wirtschaften nicht im Wesentlichen wettbewerblich organisiert sind.
Man muss sich vielmehr erstmal angucken, ob die Dividenden im Durchschnitt über mehrere Jahre, typischerweise.
Also man sollte da langjährigen Durchschnitt nehmen,
ob diese Dividenden unter Einrechnung von Kursgewinnen der Aktien und pipapo,
mehr sind als das, was jemand erhalten hätte,
der langfristig in festverzinslichen Anleihen angelegt hätte.
Wobei man da in verschiedenen Studien durchaus dazu kommt, dass jemand,
der Aktien gehalten hat, im Schnitt ein bisschen mehr verdient hat.
Und dann sagt man aber immer noch,
also das ist eigentlich auch noch kein Beleg dafür,
dass die Wirtschaft nicht wettbewerblich organisiert ist.
Kein Beleg dafür, dass es wirklich ökonomische Gewinne gibt,
wenn man sagt, natürlich sollte der eigene,
der Eigentümer einer Aktie für dein Risiko entschädigt werden
Ja der Eigentümer einer Unternehmensanleihe, hat hier sehr viel geringeres Risiko,
weil er einen festen Zins erhält, während der Eigentümer einer Anleihe,
einer Aktie mit stärkeren Schwankungen bei der Ausschüttung rechnen muss.
Der kriegt nur dann eine Ausschüttung, wenn noch was übrig
geblieben ist, nachdem man Arbeit und Fremdkapitaleigentümer entschädigt hat.
Also ihr kriegt sozusagen die Resitualgröße ausgeschaltet, ausgeschüttet und dementsprechend
sind da sehr viel größere Schwankungen in der kurzfristigen Betrachtung,
in der Ausschüttung drin.
Und das ist ein gewisses Risiko,
was der trägt und dafür muss er entschädigt werden in Form
einer Risikoprämie,
die Aktienbesitz hat gegenüber dem Besitz von festverzinslichen Anleihen
Echt? Und da versucht man, diese Risikoprämie abzuschätzen und zu gucken,
ob die wohl so ungefähr in einem angemessenen Ausmaß gezahlt wird oder ob das irgendwie exorbitant ist.
Wobei das nicht so ganz einfach ist, festzustellen,
was da das angemessene Ausmaß, ein Risiko prämierst.
Das sind alles Überlegungen, die man anstellen muss,
wenn man sich überlegt, ist eine Wirtschaft im Wesentlichen wettbewerblich organisiert.
Ist also nicht so ganz leicht aus der Tatsache,
dass Unternehmen Dividenden ausschütten und in manchen Perioden sogar sehr hohe Dividenden ausschütten,
aus dieser Tatsache zu schließen,
dass es nicht genügend Wettbewerb gibt und diese Gewinne nicht wegkonkurriert worden sind.
Das kann durchaus sein,
dass das die angemessene Höhe von Gewinnen ist,
die dort erzielt worden ist und ausgeschüttet wird,
jedenfalls im langen E-Fristieren
Durchschnitt, nämlich so viel,
wie es auch der Verzinsung von Fremdkapital entspricht,
plus eines gewissen Aufschlags, der sicherlich für das Risiko,
was mit einer Aktie zusätzlich zu dem Risiko,
was eine Unternehmensanleihe natürlich auch immer hat,
also die hat zwar kein Zinsrisiko, aber die hat eben ein Insolvenzrisiko,
genauso wie die Aktie auch, zusätzlich zu diesem Risiko,
was eben die Unternehmensanleihe ohnehin hat.
Ja, das also nur zur Begrifflichkeit des ökonomischen Gewinns,
der ökonomische Gewinn ist also immer ein Gewinn,
der auf Mangel an Wettbewerblichkeit in Märkten zurückgeht und ein Ausdruck der Tatsache,
dass es Unternehmen gibt,
die Marktmacht haben
Und das ist, was die meisten Ökonomen immer rollen,
ist, dass man keine Marktmacht hat. Also wettbewerbliche,
marktwirtschaftliche Ökonomie ist im Wesentlichen die Aussage darüber,
dass man sagt, wir wollen verhindern,
dass einzelne Agenten Macht haben und das beste Instrument zu verhindern,
das Unternehmen Macht haben oder andere Agenten Macht haben,
ist eben, dass es Wettbewerb gibt,
weil dann diese Macht durch den Wettbewerb,
durch die Drohung,
dass Gewinne wegkonkurriert werden
etc. beschränkt wird
Nur was ich Ihnen jetzt hier zeigen möchte, ist zunächst mal ein mathematisches Theorien,
was in der Mathematik bekannt ist, unter dem Namen des Euler-Theorims.
Da kann man ein bisschen allgemeiner formulieren,
als ich es hier getan habe,
aber uns reicht die folgende Formulierung für eine beliebige,
jetzt habe ich ökonomisch geschrieben, Produktionsfunktion,
aber im Prinzip wurde mathematisch gesehen reichen,
zu schreiben für eine beliebige Funktion mit konstanten Skalenerträgen gilt und jetzt spezifiziere ich diese Funktion wirklich als Produktionsfunktion F von KHL,
dass F von KHL dasselbe ist wie FK,
also die partielle Ableitung von F nach K,
mal K,
plus die partielle Ableitung von F
nach L mal
Das gilt für diese sogenannten linearhomogenen Funktionen, also für die Funktionen, die konstante Skalenerträge haben.
Der Wert der Funktionen an einer bestimmten Stelle lässt sich auch approximieren durch eine,
ja im Wesentlichen ist es ja eine Taylor-Approximation,
durch die Ableitung der Funktion nach K an einer bestimmten Stelle mal K,
plus die Ableitung der Funktion an einer bestimmten Stelle nach L mal L. Ja,
das ist sozusagen Taylor-Approximation, erste Ordnung,
die man dort macht.
Und das ist dann nicht nur eine Approximation,
sondern das ist sogar eine exakte Gleichheit für diese Funktion mit Konstantenskalerträgen
Wenn man das das erste Mal sieht,
wirkt das relativ überraschend, dass diese Eigenschaft gilt.
Es ist aber ziemlich einfach zu beweisen, was man nämlich einfach macht,
ist, dass man sozusagen die Eigenschaft konstanter Skalenerträge ausnutzt.
Ich habe sie hier noch mal hingeschrieben, eine Verlammnderfachung der Inputs K&L.
Ich habe das Tee jetzt von der Notation her unterdrückt.
Eine Verlammterfahrung der Inputs K&L führt zu einer Verlammnderfachung des Outputs.
Verdopplung der Input für zu einer Verdopplung der Outputs.
Das ist die Definition Konstanter Skalenerträge. Das muss immer gelten für alle Lamnder
, haben wir gefordert. Nicht nur für irgendein bestimmtes Lamde,
sondern für alle Werte von Lamda gilt das.
Deshalb kann ich diese Gleichung hier auf beiden Seiten
nach Lamda differenzieren
Und wenn ich das mache,
wenn ich also hier auf der linken Seite,
das ist totale Differenzial dieses Ausdrucks nach Lamda bilde und auf
der rechten Seite nach Lamda differenziere und auf der rechten Seite
bleibt einfach Y stehen und dann die daraus entstehende Gleichung nach Lamda gleich auswerte für den speziellen Vietlamda gleich 1,
dann kriege ich gerade gleich um 8 heraus.
Und dann ist es bewiesen. Nur warum ist das bedeutend,
diese, zunächst mal nur mathematische Eigenschaft, die wie gesagt
auf den Schweizer Euler zurückgeht, die hat eine unmittelbare ökonomische Interpretation.
Und jetzt wollen wir uns jetzt mal angucken.
Also was ist die ökonomische Interpretation dieser Gleichung?
F von KAL ist ja Output, der erzeugt wird
mit Einsatz von Produktionsfunktionsfaktoren
Und hier steht FK, das ist das Grenzprodukt des Kapitals,
das hatten wir gerade gesagt, das ist die Bruttokapitalentlohnung.
FK, Grenzprodukt des Kapitals multipliziert mit K, gibt dann
sozusagen das Bruttokapitaleinkommen. Kapitalentlohnung, mal Anzahl der Maschinen,
die eingesetzt werden. Ich gebe die gesamte Kapitalentlohnung,
und zwar die Bruttokapitalentlohnung unter Einschluss der Abschreibung.
Und hier FL mal, EL ist genau dasselbe.
FL ist das Grenzprodukt der Arbeit, wie wir vorhin definiert haben.
Das Grenzprodukt zunächst mal der Arbeit und damit ist es der Lohnsatz.
Der Lohnsatz der Arbeit wird multipliziert mit der Anteil der Arbeiter,
dann habe ich gerade die Summe des Lohneinkommens in der Ökonomie
Das heißt, was sagt mir die Gleichung? Die sagt
mir, Kapitaleinkommen plus Lohneinkommen ist gerade Wert des Outputs.
Und damit sagt mir die Gleichung, es gibt keine ökonomischen Gewinne. Alles das,
was an Erlös erzielt wird, nämlich hier der Verkauf von Y,
er gibt einen Erlös in dieser gleichen Höhe,
den Preis von Y auf 1 normieren.
Alles, was aus dem Erlös von Y erzielt wird,
ist Kostenkomponente, fließt entweder den Produktionsfaktor Kapital zu oder fließt den Produktionsfaktor Arbeit zu.
Man wird also verwendet einfach für die faire,
grenzproduktivitätenbezogene Entlohnung der beiden Produktionsfaktoren und auf die Abschreibung,
also auf den Ersatz des physischen Kapitalverschleißes.
Und ökonomische Gewinne existieren nicht
Das heißt, mit diesen beiden Annahmen,
dass die Produktionsfunktionskonstante Skalenerträge hat und dass es eine Grenzproduktivitätsentlohnte Faktor,
Grenzproduktivitätsbezogene, Faktorentlohnung gibt,
haben wir gleichzeitig angenommen und hiermit jetzt gezeigt,
dass es keine ökonomischen Gewinne gibt.
Der gesamte Erlös aus Produktion fließt den beiden Produktionsfaktoren zu.
Und das ist genau das, was sie in
einer wettbewerblichen Ökonomie eben auch erwarten würden.
Ökonomische Gewinne sind nicht möglich, weil sie wegkonkurriert werden würden.
Haben Sie
letzte Fragen
Gut, wenn das nicht der Fall ist,
dann möchte ich jetzt noch ein bisschen auf eine spezielle Produktionsfunktion eingehen,
die wir später sehr viel verwenden werden.
Also im Rahmen des soloischen Wachstumsmodells werde ich überwiegend einfach mit
einer allgemeinen Produktionsfunktion F von KL oder manchmal unter Einschluss der
Technologie geschrieben als F von KL und Tee arbeiten.
Aber später wären wir das nicht mehr ganz so allgemein machen,
weil sie es einfach ein bisschen leichter rechnet,
wenn wir in einer wirklich spezielle Funktionsgestalt annehmen,
nämlich die Gestalt der Pop-Dugles-Produktionsfunktion,
die sie bereits aus dem Grundstudium kennen und die ich ihnen
eben auch schon gezeigt hatte als Spezialfall der CES-Produktionsfunktion.
Mit dieser Kompdugles-Produktionsfunktion rechnet sich das einfach
sehr einfach
Aber da mögen sie ja einbinden. Also das ist ja eigentlich
kein guter Grund zu sagen, wir benutzen diese Kommentare des Produktionsfunktions ständig,
nur weil sie es gut mit ihr rechnet.
Denn was wissen wir schon darüber, ob die Realität durch so
eine Kommentare des Produktionsfunktions auch gut beschrieben wird? Nun,
deshalb möchte ich hier diesen kleinen Einschub machen und Ihnen ein Argument liefern,
weshalb es nicht nur aus Gründen der Rechnungsvereinfachung gerechtfertigt erscheinen mag,
mit einer Kompaniklessproduktionsfunktion zu arbeiten.
Nebenbei gemerkt, wenn Sie bemerkt,
wenn Sie heute in die wissenschaftliche Literatur gucken,
im Bereich Wachstum und Konjunktur, werden Sie sehen,
dass die Kompanik des Produktionsfunktionen da sozusagen das Nonplusultra ist.
Also praktisch jedes Papier nimmt eine Koptaik des Produktionsfunktion ein
Und die Leute tun das natürlich mit bestimmten Gründen, ja,
oder das wird so wenig kritisiert, weil es bestimmte Gründe gibt,
die die Kompetenz des Produktionsfunktionen als eine sehr angemessene Modellierung erscheinen lassen.
Jedenfalls dann, wenn man versuchen möchte, Theorie zu betreiben und
sich von bestimmten theoretischen Prämissen leiten lässt. Das Argument,
was ich jetzt jetzt zunächst bringen werde, Sie sehen,
ich habe hier geschrieben zur Bedeutung, da kommt Darkness Produktion,
Römisch 1, es gibt später nochmal ein,
zur Bedeutung der Komplank des Produktionsfunktion Römisch 2, das Argument,
was ich Ihnen hier zunächst bringen werde,
ist das,
dass ich sage,
die Kompdanknessfunktion ist eine Approximation erster Ordnung an eine
beliebige Produktionsfunktion mit konstanten Skalenerträgen
Ja. Also, denken Sie sich die Realität.
Durchdenken Sie meine Argumente von gestern, dass es eine,
dass die Eigenschaft konstanter Skalenerträge eigentlich eine vernünftige Eigenschaft für eine gesamtwirtschaftliche Produktionsfunktion sein sollte.
Aufgrund dieser beiden Tatsachen, dass es einerseits das Kopierargument gibt,
was gegen abnehmende Skalenerträge angeführt werden kann.
Und andererseits die überwiegend wettbewerbliche Struktur unserer Ökonomien eigentlich, es verbietet,
eine Annahme zu machen, die zu natürlichen Monopolen führen würde,
so wie das bei zunehmenden Skalenerträgen der Fall wäre.
Also Konstantiskalenerträge scheinen eigentlich sinnvoll zu sein. Und wenn Sie bereit sind,
das zu schlucken, als Postulat, dass die gesamtwirtschaftliche Produktionsfunktion auch die,
die in der Realität existiert, so ungefähr eine Produktionsfunktion mit Konstanten,
Skalenerträgen sein sollte, dann werde ich Ihnen jetzt zeigen,
dass jede beliebige Produktionsfunktion mit konstanten Skalen erträgen,
in erster Ernährung eine Kondanke des Produktionsfunktions.
In erster Ernährung heißt, dann,
wenn ich Sie approximiere, mit einer Taylor-Approximation erster Ordnung.
Ja, dann ist es eine Condanclus-Produktionsfunktion. Und das bedeutet,
ja, das bedingt die zentrale Bedeutung der Condanclus-Produktionsfunktion.
Und das ist jedenfalls ein Argument dafür.
Nun, wie beweist man das? Sehen Sie,
wir wollen es zunächst mal so machen, dass wir sagen,
wir normieren die Einheiten von Kapital und Arbeit.
Ich unterdrücke wieder das T, weil das im Augenblick
keine Rolle spielt
Die Einheiten von Kapital und Arbeit kann ich im Prinzip beliebig wählen.
Ja, ich kann die geleistete Arbeit in Tagen wählen,
messen oder ich kann sie in Stunden messen oder ich kann
sie in Viertelstunden messen oder ich kann irgendeine andere Form von Einheit mir wählen.
Es kommt überhaupt nicht darauf an, welche Einheit ich wähle.
Deshalb kann ich auch eine Einheit so wählen, dass sozusagen ungefähr gilt,
Alice gleich eins. Und beim Kapitalbestand kann ich dasselbe machen,
die Anzahl der Einheiten oder die Einheiten, in denen der Kapitalbestand gemessen wird,
die kann ich ebenfalls so normieren, dass ich sage,
der Kapitalbestand, den wir jetzt beobachten,
sind wir in einer fiktiven Ökonomie oder in einer realen Ökonomie,
wird es auf einen Wert von ungefähr eins.
Und es gibt da natürlich Schwankungen drumherum und es gibt irgendwelche Schocks oder was auch immer.
Aber so Pi mal Daumen liegen diese beiden Größen jetzt durchgeeignete Einheiten,
weil in der Nähe von eins.
Das ist keinerlei Einschränkung der Allgemeinheit des Arguments. Ja,
das ist völlig unstrittig, dass man solche Normierungen vornehmen kann.
Jetzt komme ich mir in eine Produktionsfunktion an, die nenne ich F.
Und die luggerithmiere ich zunächst mal. Also F von KHL,
von der nehme ich den Logarithmus, dann wird auch der Output,
der mit K&L erzeugt wird, luggerithmiert,
also der Logarithmus des Outputs ist der Logarithmus der Produktionsfunktion
Ich möchte gerne zunächst mal nur in Logarithmen rechnen.
Und deshalb schreibe ich jetzt diese Funktion F um als eine Funktion,
die ich als F-Tilde bezeichne,
die als Funktionsargumente Logarithmus K und Logarithmus El hat.
Na, wie mache ich das? Das klingt komplizierter,
als es eigentlich ist. Sie sehen, es ist doch so,
wenn ich eine Produktionsfunktion habe, F von KL,
dann kann ich das natürlich auch schreiben als F von E-Hoch-Logarithmus K und E-Hoch-Logarithmus L.
Und jetzt kann ich auch sagen,
das kann ich mir genauso gut vorstellen als eine Funktion vom
Logarithmus von K und eine Funktion vom Logarithmus von
Diese Funktion hat eine etwas andere Form, ja,
aber die definiere ich dann eben als FT,
deshalb schreibe ich da jetzt einfach FT Tilde,
weil das eben von der funktionalen Form her etwas anderes ist,
aber wenn ich das dann entsprechend umschreibe,
dann wäre das eine Funktion, die nur noch in den Logarithmen definiert,
ist Logarithmus K und Logarithmus L, ja,
ist also nur eine ganz einfache Transformation.
So, mit dieser Funktion FT, da will ich jetzt
zunächst mal rechnen, indem ich eine Täler-Approximation vornehme.
Denn was ich ja zeigen will, ist, dass eine beliebige Produktionsfunktion,
dieses F von KHL wollen wir jetzt als eine beliebige Produktionsfunktion interpretieren,
dass eine beliebige Produktion Funktionsfunktion, abpropproximativ eine Cop-Douglas-Produktionsfunktion ist,
wenn sie denn konstantes Galen erträgt hat.
Also mache ich jetzt eine Täler-Approximation, erste Ordnung von diesem FT,
die hier und später werde ich Endlogaritmieren und ihnen zeigen,
dass das auf der Cop-Douglas-Funktion hinausläuft. Nun,
an welcher Stelle sollte ich die Taylor-Approximation vornehmen,
da ich gesagt habe, dass durch Einheiten,
weil K und L ungefähr gleich eins sind,
wäre der Logarithmus von K natürlich ungefähr gleich null und der Logarithmus von Alice auch ungefähr gleich null.
Also aproximiere ich an der Stelle VUK,
wo die Logarithmen von K und L ungefähr gleich null sind.
Da würde also folgen, der Logarithmus von Y hier ist
ungefähr gleich und jetzt kommt die Taylor-Approximation von diesem Ding hier
Ist ungefähr gleich dem F-Tilde, ausgewertet an der Stelle 0
-0. Nämlich an den Stellen, an denen ich die Taylor-Entwicklung mache.
Plus die Ableitung von F-Tilde nach seinem Funktionsargument,
das ist Logarhythmus K, mal Logarhythmus K,
plus die Ableitung von F-Tilde nach Logarhythmus L., mal Logarhythmus L.
Das ist die Taylor-Approximation erster Ordnung. Im Prinzip müssen sie
sich ja bei dem Logarhythmus K und Logarhythmus L immer noch minus null rechnen,
nämlich minus den Punkt, an dem sie entwickeln,
aber minus null braucht man natürlich nicht hinzuschreiben.
Also haben wir hier die Taylor-Approximation und die können wir jetzt
ein bisschen umschreiben
Sie sehen also hier dieser, dieser erste Punkt,
an dem ich entwickle, F-Tilde von 0-0,
da bleibt zunächst mal immer unverändert.
Und dann hatte ich stehen als ersten Sumanten,
die Ableitung von F-Tilde nach D-Logarithmus K.
Die breche ich jetzt ein bisschen auf und schreibe so
ein bisschen komplizierter als DF Tilde nach DK, mal DK, nach D-Logarithmus K.
Und es geht natürlich auch. Denn dieses DK,
hier kürzlich ja weg gegen das Dekader.
Und dasselbe mache ich mit der Arbeit,
da hatte ich ja das F-Tilde nach Lugarithmus L abzuleiten.
Da füge ich also auch so ein DEL oben und unten
Naja, was wissen wir? DK nach D-Logarithmus K
ist der Kehrwert von D-Logarithmus K nach DK.
Also der Kehrwert der Ableitung der Logarithmusfunktion. Der Ableitung der Logarithmusfunktion
wäre dann eins durch die Ableitung der Logorithmusfunktion wäre eins durch K.
Also ist das, was da steht,
einfach K. Dieses Ding hier hat den Wert K.
Deshalb steht jetzt da ein K. Und DEL,
nachdem Logarithmus Ellen, ist Ellen.
Nämlich ist der Kehrwert von Logarithmus L differenziert nach Ellen.
Das wäre eins durch L. Kehrwert davon ist L. Also so
kriege ich hier das K und das L mit rein.
Logarithmus K und Logarithmus L bleiben unverändert stehen
Und das andere Ding, was hier steht, DF Tildedach-DK,
das erweitere ich jetzt nochmal, so ähnlich wie ich es eben schon gemacht habe.
Das schreibe ich jetzt nämlich erst als DF Tilde nach DF,
mal DF, dann kürze ich dieses DF wieder weg.
Noch dicker. Ja, das DK stand da vorne,
da oben auch schon. Hier dasselbe,
also hier erweitere ich auch wieder mit diesem DEF-Faktor den Ausdruck,
den ich da oben stehen habe,
DF Tilde nach DL, die F Tilde nach DL.
Okay, worauf mache ich das? Das mache ich deshalb,
weil ich mit DF nach DK, mit dieser Ableitung,
die ich jetzt da reingezaubert habe, also nicht gezaubert,
sondern einfach nur durch Erweiterung erzeugt habe,
mit dieser Ableitung,
hier habe ich das Grenzprodukt des Kapitals
da stehen
Das Grenzprodukt ist, wie Sie wissen, ja Faktorentlohnung.
Also da steht DF nach DK und DF nach DL.
Nun, die F nach DK, das Kennzeichen war auch als FK.
Und DF nach DEL schreiben wir auch als FL.
Das ist einfach nur eine kurze Renotation. Also was steht jetzt da?
Inzwischen sind wir angelangt bei diesem Absolutglied FTilde an der Stelle 00,
plus, ja, das DFTilde nach DF,
das ist einfach eins durch F.
Warum ist das so? Nun gucken wir schnell mal zurück.
Das FTilde hier ist doch nichts anderes als gleich Logarithmus von
Weil wenn ich den Logarithmus von F nach F differenziere,
dann wird daraus eins durch F. Also,
das ist eins durch F, mal FKKK, mal Logarithmuska.
Plus eins durch F, mal FLL, mal Logarithmus L.
Jetzt sind sie was schon soweit, dass wir wieder ökonomisch argumentieren können.
Denn jetzt können wir sagen, was steht hier eigentlich genau?
Nur da steht das Grenzprodukt des Kapitals, mal das Kapital.
Das haben wir uns eben überlegt, ist das gesamte Kapitaleinkommen.
Da unten steht F, etwa die Produktionsfunktion,
das ist also der gesamte Output. Das heißt,
das ist sozusagen das gesamte Einkommen in der Ökonomie.
Also hier steht das Kapitaleinkommen geteilt durch das Gesamteinkommen in der Ökonomie.
Das bezeichnet man als die Kapitaleinkommensquote
Hier dasselbe. Da steht FL mal L, also Grenzprodukte der Arbeit,
mal die Menge an Arbeit, gibt es gesamte Arbeitseinkommen?
Steht also das gesamte Arbeitseinkommen, geteilt durch F,
also durch das gesamte Einkommen der Ökonomie, dann ist das
das Arbeits, ist das die Arbeitseinkommensquote in der Ökonomie.
Nun, diese ganzen Ableitungen, die hier stehen,
die werden ja an einer fixen Stelle,
nämlich an der Stelle Vokar und L gleich 1,
beziehungsweise Logarithmus von K und der Logarithmus von L gleich Null,
sind berechnet.
Das sind also Konstanten. Deshalb kann ich ja einfach
irgendwelche Konstanten schreiben. Ich setze beispielsweise Alpha,
gleich der Kapitaleinkommensquote
Und setze Better, gleich der Lohneinkommensquote. Und jetzt entlogaritmiere ich
dieses F-Tilde von 00 und schreibe das als Logarithmus von F von 1.1,
also ich löse sozusagen diese Logarithmen hier drin wieder auf in die Niveaus und nehme dann wieder die Funktion F,
mache also praktisch diese Operation hier rückgängig,
dann steht da, dass der Logarithmus des Outputs dann,
wenn K und Eldi Wetter 1 und 1 annehmen,
plus einfach mal der Logarithmus Grab,
plus Better
mal der Logarithmus von
Naja, wenn ich das jetzt endlogaritmiere, dass ich eine Gleichung wie überall Logarithmen drin stehen und ferner berücksichtige,
dass Better gleich 1 minus Alpha ist, das folgt aus der Gleichung 8, die die konstanten Skalenerträge ausnutzt.
Ich blätter da nochmal zurück. Hier,
also FKK ist ja Kapitaleinkommen gewesen, FLL war Arbeitseinkommen gewesen,
wenn sie das Teil durch F,
dann steht hier Kapitaleinkommensquote plus Lohneinkommensquote, ist gleich 1,
also teilen sie die ganze Gleichung hier durch SF,
dann steht da Kapitaleinkommensquote plus Lohneinkommensquote ist gleich eins,
also es gilt, dass Better gleich eins minus Alpha ist,
dann kommen sie also darauf, dass Y ungefähr gleich eine Konstante ist,
nämlich der Wert der Produktionsfunktion,
wenn K und L jeweils auf eins liegen,
multipliziert mit K-Hoch-Alpha und L-Hoch-1-Eifer.
Definieren Sie dieses F von 1-1 als eine konstante A
und dann haben Sie die Kompange des Produktionsfunktionen A, mal Karuch-Alpha-L-Hoch-1 minus-Eifer.
Und damit haben wir bewiesen, was zu beweisen war,
eine beliebige Produktionsfunktion mit Konstanten Skalen erträgen,
wird in erster Ernährung beschrieben durch eine Compdugless-Produktionsfunktion
Ja. Wo haben wir das überhaupt verwendet? Das ist
konstantes Skalenerträge gibt. Nur die Eigenschaft konstanter Skalenerträge haben wir hier verwendet,
wo wir gesagt haben, das Wetter ist gleich eins minus Eifer. Das heißt,
wenn Ihnen das nicht passt mit den konstanten Skalenerträgen,
dann können Sie sehr leicht dieses Theorien auch etwas anders formulieren und können sagen,
eine beliebige Produktionsfunktion wird in erster Nähe immer beschrieben durch eine,
durch in erster Ernährung beschrieben, durch eine Funktion A mal K-Hochalpha,
Also auch immer noch eine sehr schöne, einfache Funktion.
Ja, also dann brauchen sie noch nicht mal
die Annahme zu machen, dass man konstant Skalenerträge hat.
Sie müssen eben nur dann wirklich mit Alpha und mit Bitter als
Kapitaleinkommens- und Lohneinkommensquote rechnen. Dann könnte es eben sein,
dass die sich nicht zu eins addieren,
weil es vielleicht irgendwie ökonomische Gewinne gibt oder sowas ähnliches.
Aber auch dann, wenn sie also von der Annahme konstanter Skalenerträge weggehen,
ist es gerechtfertigt mit so einer einfachen exponentiellen Formulierung zu arbeiten,
sofern sie sich darauf beschränken,
die wahre Produktionsfunktion eben durch eine Taylor-Approximation erster Ordnung zu ersetzen.
Haben Sie Fragen zu diesem Beweis
Okay, jetzt gehen wir auf weitere Eigenschaften einer Produktionsfunktion ein
und rechnen zunächst mal wieder oder unterstellen zunächst mal wieder eine allgemeine Produktionsfunktion.
Was ich Ihnen jetzt definiere, sind sehr wesentliche Eigenschaften für
das gesamte Verständnis des Modells.
Und zwar ist das die Definition der Begriffe positiver und abnehmender Grenzerträge.
Die steuern sehr stark sämtliche Eigenschaften des solution Wachstumsmodells.
Nun, was ist die Definition? Die ist eigentlich ziemlich
einfach. Eine Produktionsfunktion Y gleich F und KL und T
führe ich jetzt wieder mit auf
Hat positive Grenzerträge bezüglich der privaten Produktionsinputs,
also bezüglich K&L. Wenn für alle Werte von K&L,
die positiv sind, gilt,
dass das Grenzprodukt des Kapitals positiv ist und dass das Grenzprodukt der Arbeit positiv ist.
Und was sagt das ökonomisch, ganz einfach,
das sagt, wenn sie mehr Kapital einsetzen im Produktionsprozess,
dann produzieren sie auch mehr Output.
Also die F nach DK ist größer als null,
wenn sie mehr Kapital einsetzen,
dann steigt auch die produzierte Menge.
Für eine gegebene Menge an Arbeit
Ja, sie halten die Menge der Arbeiter konstant und die
Menge an Kapital lassen sie steigen und dann sagen sie,
ich kann mehr Output produzieren, wenn ich mehr Maschinen zur Verfügung habe.
Oder umgekehrt, hier würden sie sagen, die Menge an Kapital
halte ich konstant, aber ich erhöhe die Menge an Arbeitern,
die mit den gegebenen Maschinen produzieren sollen.
Und dann soll gelten, wenn ich mehr Arbeiter einsetze in
meinen Betrieb, dann produziere ich auch mehr Output.
Das sind eigentlich sehr plausible und sinnvolle Annahmen. Wir wissen,
dass es einzelne Technologien gibt, extreme Technologien,
die sozusagen in der Grenze diese Eigenschaft nicht erfüllen,
in Sonderheit natürlich hier diese Leontje-Produktionstechnologie, die verstößt gegen diese Annahme positiver Grenzprodukte,
weil hier in bestimmten Situationen das Grenzprodukt eben null ist.
Wenn wir hier sind, ist das Grenzprodukt der Arbeit null,
denn mehr Arbeit führt,
also das sollte hier natürlich eigentlich parallel gehen zur LA-Achse,
mehr Arbeit führt einfach nur, führt nicht zu mehr Output,
weil ich da nicht mehr Kapital habe,
weil ich hier diese strenge Komplimentarität habe.
Und dasselbe gilt eben, wenn ich an dieser Stelle bin,
für mehr Kapital. Aber das ist sozusagen der Grenzfall,
nicht dieser ganz extreme Fall, der erfüllt diese Eigenschaft nicht,
denn da ist DF nach DK gleich null und DF
nach DL ebenfalls gleich null
Künftig annehmen, dass wir positive Grenzerträge der beiden privaten Produktionsinputs haben,
da nehmen wir an, dass wir keine Leon-Dev-Produktionsfunktion vorliegen haben.
Wir können uns sozusagen beliebig nah an eine solche Leon-Dev-Produktionsfunktion herantasten,
wenn wir glauben, dass diese Komplementaritätsbeziehungen sehr groß sind,
aber exakt erreichen dürfen wir sie nicht,
wenn wir die Eigenschaften, die Eigenschaften positiver Grenzerträge aufrechterhalten wollen.
Und das ist, denke ich, etwas,
mit dem man sehr, sehr gut leben kann,
denn diese völlig exakte Komplementarität ist bei den Produktionsfaktoren Kapital
und arbeitet natürlich nicht
sehr plausibel
Die ist plausibel bei ganz anderen Produktionsprozessen. Nämlich, wenn
sie irgendwie über Vorleistungen nachdenken. Über Vorleistungen sprechen wir hier nicht,
weil wir uns immer nur auf die Wertschöpfung beziehen.
Aber wenn sie eine Produktionswertsorientierte Produktionsfunktion unterstellen würden,
bei denen sie neben Kapital und Arbeit, also neben den primären Produktionsfaktoren,
auch noch Vorprodukte berücksichtigen, die in den Produktionsprozessen eingehen,
dann können sie sich da natürlich gut vorstellen,
dass es exakte Komplimentaritäten gibt
Also ich will Ihnen ein triviales Beispiel nennen,
was in der Realität sich so natürlich nicht findet.
Aber stellen Sie sich mal vor, Sie stellen Kochsalz industriell,
chemisch her. Also Sie destillieren es nicht irgendwie aus Meer
oder baggern das aus Gorleben aus oder irgend sowas ähnliches,
sondern Sie stellen es einfach dadurch chemisch her,
dass Sie ein Natrium und Chlor miteinander kombinieren.
Sie wissen, Kochsalz hat die chemische Formel N-A-CL. Das heißt,
Sie brauchen einen Natriumatom und Sie brauchen einen Chloratom und dann
kriegen Sie Kochsalz. Also da ist es ganz offensichtlich,
dass Sie ein ganz festes Verhältnis zwischen Natrium und Chlor haben müssen,
um Kochsalz produzieren zu können.
Wenn man es wirklich so produzieren wollte,
was natürlich in der Realität nicht
der Fall ist
Aber für eine gegebene Menge an Chlor nützt es ihnen nichts,
wenn sie mehr an Natrium zur Verfügung haben,
als eben genau dieselbe Menge an Natrium,
weil das Verhältnis eben einfach eins zu eins sein muss.
Ich bin leider kein Chemiker,
sonst könnte ich ihnen vielleicht realistischere Beispiele geben dafür,
dass sie eben in, sagen wir mal,
chemischen oder pharmazeutischen Prozessen sicherlich die Produktionsinputs in ganz exakt definierten Relationen zueinander einsetzen müssen,
damit sie exakt das Produkt kriegen, was sie auch haben wollen.
Also das ist natürlich sehr, sehr einsichtig,
wenn sie sich einfach nur dieses etwas abstruse Kochsalzbeispiel vorstellen,
sobald sie eben auf chemische Produktionsprozesse abstellen,
ist da so eine exakte Komplementarität sicherlich
eine sinnvolle Annahme
Aber für Kapital und Arbeit gilt das typischerweise nicht.
In einem gewissen Maße können sie normalerweise Kapital und Arbeit
gegeneinander substituieren und das wollen wir dann hier auch unterstellen.
Gut, also das ist die Annahme, positiver Grenzerträge,
positive Grenzerträge heißt also, die Produktionsfunktion ist in beiden Inputs monoton steigend.
Echt? Und jetzt kommt die Annahme oder die Eigenschaft abnehmender Grenzerträge bezüglich der privaten Produktionsinputs,
abnehmender Grenzerträge bedeutet, diese Grenzerträge,
die wir hier haben, dieses FK und FL,
das ist zwar immer positiv,
aber es wird kleiner im Zeitablauf
Ja? Das heißt, die zweite Ableitung von FK,
die schreibe ich als FKK, D-Quadrat F noch D-Kark-Quadrat,
die ist negativ.
Und die zweite Ableitung nach der Arbeit, FLL,
also Weg von Rat 11 nach DL-Quadrat, ist eben ebenfalls negativ.
Nun, am einfachsten stellte sich das vielleicht folgendermaßen vor,
wenn sie sehen, ob ich ja noch eine saubere Tafel habe.
Wenn sie zunächst mal nur von einem Produktionsfaktor ausgehen.
Also halten sie meinetwegen mal die Arbeit konstant,
die ist irgendwie gegeben,
die variieren wir nicht und wir betrachten uns so eine Produktionsfunktion,
jetzt nur aus der Perperspektive des Produktionsinputskapital
Ja? Was wissen wir dann also? Nun,
wir wissen, dass die Produktionsfunktion die Eigenschaft haben soll,
dass sich, wenn ich mehr Kapital einsetze,
dass dann die Produktion starten soll.
Was ist da also möglich? Es könnte sein, dass
die Produktionsfunktion irgendwie so verläuft? Oder es könnte sein,
dass die Produktionsfunktion irgendwie so verläuft? Oder es könnte sein,
dass die Produktionsfunktion, ups, irgendwie so verläuft.
Sie wissen aus der Mathematik, dass diese drei Produktionsfunktionsverläufe,
die ich jetzt hier skizziert habe, dass die bestimmte Namen haben,
nämlich dieses Ding hier, das heißt Concav,
genau genommen Strengkongrav und das hier
wäre linear
Und das Ding wäre Kontext. Ja. Alles das,
alle diese drei möglichen Verläufe von Produktionsfunktionen sind kompatibel mit der Annahme positiver Grenzerträge.
Denn sie sehen alle diese drei Produktionsfunktionen sind monoton steigend.
Wenn ich mehr Kapital einsetze, produziere ich mehr Output.
Aber nur eine von diesen drei Funktionen ist kompatibel mit der Annahme,
Lehrnahme abnehmender Grenzerträge. Nun, was ist der Grenzertrag?
Der Grenzertrag des Kapitals ist ja gerade die Ableitung dieser Funktionen
hier. Also gucken wir uns an,
wie die Ableitung aussieht
Hier trage ich jetzt das Grenzprodukt des Kapitals ab, FK,
und da wissen wir zum Beispiel für den linearen Fall, ist die Ableitung ja konstant.
Das wäre der lineare Fall. Sie sehen also die lineare Produktionstechnologie,
die verstößt gegen die Annahme abnehmender Grenzprodukte denn offensichtlich,
nimmt das Grenzprodukt des Kapitals hier nicht ab, sondern ist immer dasselbe.
Und hier hatte ich aber gesagt,
von abnehmenden Grenzerträgen sprechen wir dann, wenn das eben negativ,
wenn die Ableitung dieser Funktion hier negativ ist,
die Ableitung dieser Funktion, also die zweite Ableitung,
ich habe jetzt hier erst mal die erste Ableitung hingemalt,
die zweite Ableitung wäre null,
die wäre nicht negativ
Nun, dann gucken wir uns die Konvechseproduktionsfunktion an.
So was hier. Stellen sich zum Beispiel vor,
die Produktionsfunktion ist F und K gleich K Quadrat.
Da wissen sie, die Ableitung davon ist 2K. Also,
die Konvechseproduktionsfunktion hätte als erste Ableitung.
Irgendwie sowas. Muss nicht linear sein, ja,
aber steigt jedenfalls. Hier wäre es so,
dass das Grenzprodukt erstens positiv ist und zweitens steigend ist.
Also es nimmt gerade nicht ab.
Es verstößt gegen diese Annahme abnehmender Grenzerträge
Die Annehmnahme abnehmender Grenzerträge, die würde man bekommen bei,
also die Eigenschaft abnehmender Grenzerträge würde man bekommen bei der Konkavenproduktionsfunktion,
stellen sich zum Beispiel vor, diese Produktionsfunktion hier,
die wäre gegeben durch Logarithmus von K.
Da hätten wir hier eine Konkabelfunktion. Die Ableitung des Logarithmus ist eins durch K,
eins durch K wäre irgendwie sowas hier, ja.
Also das ist sozusagen das Grenzprodukt für eine Konkabefunktion.
Ich sage nicht, dass dieses Grenzprodukt Konkaf ist.
Im Gegenteil, das ist jetzt Konvex. Aber das ist
sozusagen das Grenzprodukt, was wir aus der Konkavenproduktionsfunktion ableiten.
Nicht, dass wir es durcheinander bringen
Und hier sehen Sie, jetzt ist das Grenzprodukt,
fallend, das nimmt ab. Das hat jetzt die Eigenschaft,
dass die Ableitung dieser Funktion wiederum negativ wäre.
Denn diese Funktion hier, die fällt. Nun, ich will argumentieren,
dass es vernünftig ist, anzunehmen, dass Grenzprodukte abnehmend sind.
Dass sie positiv sind und dass sie abnehmend sind. Stell sich das vor,
dass sie der Eigentümer eines Copyshops hier auf dem Campus sind
und sie haben als Produktionsfaktoren natürlich ihre Kopiergeräte, Kapital,
ja, aber sie bieten darüber hinaus den Studenten auch noch den Service,
dass die Kopien angefertigt werden von den Beschäftigten ihres Betriebes.
Also die Studenten müssen nicht selber kopieren und dafür beschäftigen
sie irgendwie
Zwei Arbeiter oder sowas, ja. Die nehmen also die Vorlagen
entgegen und dann stellt sich an den Kopierer und dann kopieren sie
das Zeugs durch und dann überreichen das den Kunden und die bezahlen das.
Dann haben sie also eine einfache Produktionstechnologie,
in der sie Kopien als Output haben und diese verkaufen.
Und jetzt nehmen wir mal an, sie haben da zwei
Arbeiter und sie haben zwei Kopiergeräte in ihrem Copyshop stehen.
Damit können sie also bei konstantem Zustrom von Kunden
eine bestimmte Menge an Output pro Zeiteinheit erwirtschaften.
Was sagen jetzt diese Annahmen des positiven Grenzprodukts bzw. des
abnehmenden Grenzprodukts für die Für diese einfache Produktionstechnologie. Nun,
die Annahme des positiven Grenzprodukts des Kapitals sagt ihnen,
wenn sie es für ihre zwei Arbeiter einen dritten Kopierer kaufen,
ein drittes Kopiergerät kaufen, dann können sie mehr Kopien erzeugen.
Was sehr plausibel ist. Also erstens ist es natürlich so,
dass die Arbeiter da manchmal gewisse Lehrzeiten haben,
in denen sie eigentlich nichts zu tun haben,
weil der Kopierer eben gerade kopiert, da steht man einfach nur untätig daneben,
dann könnte man ja vielleicht in der Zeit auch nochmal eine Vorlage auf die dritten Kopierer aufpflegen.
Zweitens haben sie vielleicht manchmal irgendwelche Ausfälle beim Kopierer,
dann hat er gerade einen Kopierstau und sie müssen irgendwie einen Kundenservice kommen lassen,
der in den Papierstau, der hätten den Kunden,
unter der ihnen die Papierstau entfernt, falls sie arbeitet,
dass sie selber können und dann fällt der Kopierer aus.
Und dann können sie halt den dritten Kappekopierer in dieser Zeit bedienen.
Also wenn sie ein drittes Kopiergerät anschaffen, dann werden sie
sicherlich mehr Output erzeugen können. Umgekehrt ist es so,
wenn sie wieder zurückgehen zu der Situation mit zwei Arbeitern und zwei Kopiergeräten und sie sagen,
sie stellen einen dritten Arbeiter ein,
der macht sich vielleicht auch nützlich und erhöht möglicherweise auch die Produktion,
die sie erzielen können in ihrem Kopierladen.
Was weiß ich, wenn das Papier alle ist oder der Toner,
dann kann er rüber ins Lager flitzen und die Sachen holen oder kann es schon machen,
während irgendwie angezeigt wird,
ist demnächst zu Ende und steht dann rechtzeitig mit den Sachen da,
wenn wenn die ausgetauscht werden müssen,
also wenn der Turner ausgetauscht werden muss oder Papier nachgefüllt werden muss und ähnliches und die eigentlichen Arbeiter können die ganze Zeit durchkopieren.
Also es erhöht sicherlich auch irgendwie den Output, den sie haben.
Das wären also alles sozusagen einfache Überlegungen,
die sie zu der Kenntnis kommen lassen, mehr an Produktionsfaktoren,
entweder mehr Kopiergeräte oder mehr Arbeiter, erhöhen den Output in ihrem Copyshop.
Echt? Der Punkt abnehmender Grenzerträge sagt aber,
der dritte Arbeiter, den sie für ihre beiden Kopiergeräte beschäftigen,
also für ihre beiden Kopierer beschäftigen,
gehen wir also wieder von der Ausgangssituation aus, zwei Geräte,
zwei Arbeiter und jetzt beschäftigen sie plötzlich einen dritten.
Der dritte arbeitet, der produziert nicht mehr
so viel
Wie die ersten beiden produzieren. Denn logischerweise kann er ja gar nicht,
weil er nicht einen eigenen Kopierer da stehen hat.
Ja, der kann nur diese Hilfsdienste machen,
der kann ins Lager flitzen und Töner holen und Papier,
wenn das notwendig ist. Aber die beiden anderen Arbeiter,
die produzieren natürlich sehr viel mehr an Output.
Sozusagen die Grenz, das Grenzprodukt des dritten Arbeites ist
relativ niedrig in diesem, in diesem Copyshop.
Ja. Und mit, wenn sie wieder von zwei Jahren
arbeiten und zwei Kopierern ausgehen,
mit einem dritten Kopiergerät wäre das ähnlich
Also ihre beiden Arbeiter haben an den beiden Kopiergeräten einen bestimmten Output pro Stunde,
sagen wir mal, die machen tausend Kopien pro Stunde an jedem Gerät.
Ja, also insgesamt 2000 Kopien. Wenn sie jetzt einen dritten Kopierer machen und so die Arbeiter,
diese Zeiten ausnutzen wollen,
in denen sie gerade an ihren Kopiergeräten nichts zu tun haben,
weil die halt gerade kopieren, dann können sie diesen dritten Kopierer bedienen,
aber es wäre relativ unwahrscheinlich zu erwarten,
dass sie auf dem dritten Kopierer nochmal tausend Kopien in einer Stunde schaffen.
Ja, sondern da schaffen sie vielleicht nochmal 200 oder irgend sowas.
Ja, also es ist weniger, das heißt,
der Output,
der zusätzliche Output nimmt ab
Und jetzt können Sie dieses Argument fortsetzen. Sie können sagen,
also ich habe die zwei Arbeiter und ich habe die drei Kopiergeräte und ich weiß,
das dritte Kopiergerät bringt nicht mehr so viel zusätzlichen Output wie die ersten beiden.
Aber ich überlege jetzt mal noch ein viertes Kopiergerät anzuschaffen.
Und vielleicht macht sich das auch noch irgendwo nützlich.
Vielleicht kann man sogar mit zwei Arbeitern vier Kopiergeräte betreiben,
aber das vierte Kopiergerät wird wahrscheinlich noch mal weniger zusätzlichen Output erzeugen als das dritte.
Das heißt, das Grenzprodukt des vierten Kopiergerätes ist geringer
als das Grenzprodukt des ersten, des dritten Kopiergerätes.
Stellen Sie sich das also so vor,
mit zwei Kopiergeräten, da haben Sie irgendwie diesen zusätzlichen Output
Diesen Output pro Gerät. Wenn sie jetzt ein drittes Kopiergerät einsetzen,
dann, naja, das wären also schon zwei,
dann sind wir ungefähr hier, ja.
Dann haben sie nur noch das an zusätzlichem Output von
dem dritten Kopiergerät und wenn sie einen vierten Kopierer einsetzen,
dann haben sie das an zusätzlichem Output.
Weil die armen Arbeiter natürlich nach einer Zeit gar nicht mehr wissen,
wo ihnen der Kopf steht,
wenn sie so viele verschiedene Kopiergeräte bedienen müssen.
Dann werden die Geräte nicht mehr effizient ausgenutzt. Und dasselbe würde natürlich passieren,
wenn sie für eine gegebene Anzahl von Kopiergeräten zwei Kopierer beispielsweise,
drei Arbeiter, vier Arbeiter,
fünf Arbeiter,
sechs Arbeiter einsetzen würden
Vielleicht kann dann selbst der sechste Arbeiter noch in minimalem Ausmaß
ein bisschen zur Produktionssteigerung mengenmäßig beitragen, aber es wird sehr gering sein,
was der noch dazu beitragen kann,
weil sozusagen der limitierende Faktor dann natürlich die Anzahl der Kopiergeräte ist.
Also das ist das, was durch diese Annahmen hier ausgedrückt werden soll.
Wenn ich nur die Menge eines Produktionsfaktors erhöhe und den anderen
Produktionsfaktor aber konstant halte, dann ist der zusätzliche Output,
der durch die Menge des erhöhten Produktionsfaktors entsteht,
sehr gering.
Oder wird immer kleiner im Zeitablauf
Und das, wenn Sie das jetzt geschluckt haben,
ach so, ja,
das habe ich im Wesentlichen hier schon an der Tafel gezeigt,
das kann man dann noch ein bisschen dahingehend verfeinern, dass man sagt,
jetzt machen wir auch noch eine Annahme über die Grenzerträge,
dann, wenn K, fangen wir hier an,
K ging unendlich oder er ging unendlich geht.
Nämlich, wenn ich zwei Kopiergeräte habe und ich beschäftige
unendlich viele Arbeiter, dann ist der letzte Arbeiter nützlos.
Ja, dann erzeugt er überhaupt keinen Output mehr.
Das Grenzprodukt der Arbeit, das strebt gegen null,
spätestens dann, wenn die Anzahl der Arbeiter unendlich wird,
für eine endliche Menge an Kapital
Und entsprechend das Grenzprodukt des Kapitals, das strebt gegen null,
wenn die Anzahl der Kopierer gegen unendlich geht,
für eine beschränkte Menge an Arbeiten.
Sondern wenn sie der 100 Arbeiter haben und sie stellen denen
eine Million Kopierer dahin, dann nützt der Millionste Kopierer nichts mehr.
Und für diese Grenzannahme hier,
die man als einen Teil der sogenannten Inada-Bedingungen bezeichnet,
gibt es denn das Pendant für den Fall,
dass die Produktionsinputs gegen Null gehen
Und zwar wird das hier ein bisschen übertrieben in der Annahme.
Sie werden später verstehen, warum man das hiermit unendlich bezeichnet. Aber man sagt jetzt,
gut, wenn ich eine bestimmte Menge an Arbeitern habe und
mein Kapitalbestand wird immer kleiner und immer kleiner,
dann wird sozusagen das, was mir an Kapital noch verbleibt,
an Maschinen noch verbleibt, sehr wertvoll.
Ja, und produziert ein sehr hohes Grenzprodukt.
Es ist sehr hoch, das wollen wir umschreiben mit unendlich.
Ja, wir brauchen nicht wirklich unendlich, aber in konkreten
Zahlen werter zu nennen, ist nicht so gut möglich.
Und das Prinzip wird einfach sehr gut erfasst,
wenn wir einfach unendlich annehmen
So willst du dich so verstellen, wenn sie bestimmte Menge
an Arbeitern haben und jetzt haben sie nur ein Kopiergerät,
dann wird dieses Kopiergerät natürlich sehr effizient bedient.
Die stehen da ständig drumherum und rumhegen und pflegen das Kopiergerät,
damit es auch ja nicht auswählt und ständig Papier und Turner in glügender Menge
vorhanden ist und alles wird so gut wie möglich an diesem Kopierer gemacht,
sodass der wirklich an der Effizienzgrenze arbeitet und ziemlich viel Output produziert.
Also wenn die Anzahl der Kapitaleinheiten gegen Null geht,
dann sagen wir, ist das Grenzprodukt dieser ersten Kapitaleinheit,
die man dann hat, das ist ja hoch.
Und dieselbe Annahme, die machen wir für die Arbeit
Wenn sie genügend Kopiergeräte wieder rumstehen haben,
aber nur ganz wenig Arbeiter haben, sagen wir mal nur einen Arbeiter haben,
dann ist dieser Arbeiter natürlich für sie sehr wertvoll. Dadurch,
dass sie den beschäftigen, können sie plötzlich ihre Produktion powert praktisch null,
da die Kopfpiergeräte von alleine nicht kopieren,
auch erstmal einen relativ hohen Wert steigern, weil der Arbeiter eben,
soweit er das überhaupt physisch vermag, jetzt alle Freiheiten hat,
so viele Kopien wieder möglich herzustellen, dass stehen genügend Kopiergeräte da rum.
Das nennt man also die sogenannten Inada-Bedingungen,
die ein bisschen abstrakt sind,
aber denke ich insgesamt so als Modulierung des Grenzverhaltens doch
ganz plausibel sind
Ja, und jetzt haben wir alles beisammen, was wir brauchen,
um zu definieren, dass man unter einer neoklassischen Produktionsfunktion versteht.
Wir wollen also sagen, eine Produktionsfunktion Y,
gleich F von Kapital, Arbeit und technischem Wissen heißt neoklassisch,
wenn sie bezüglich der privaten Inputs K und L, erstens konstantes Galenerträge hat.
Zweitens, positive und abnehmende Grenzerträge aufweist und drittens die Inada-Bedingungen erfüllt. Einfache Definition,
diese drei Eigenschaften muss eine Produktionsfunktion erfüllen,
damit wir sie als neoklassisch bezeichnen und ich habe jetzt eine gewisse Mühe gegeben,
ihn zu motivieren,
warum man diese Annahmen macht und gewisse Mühe gegeben,
zu argumentieren,
dass dieser Annahmen nicht ganz unsinnig sind,
dass die
also vielleicht realen Produktionsprozessen einigermaßen entsprechen
Nun, wir wollen genau diese Setzung dann auch verwenden in der Vorlesung,
wird also öfter von der neoklassischen Produktionsfunktion sprechen und später im Bereich
der inlogien Wachstumstheorie werden wir auch uns mit Produktionsfunktionen befassen,
die nicht neoklassisch sind und uns überlegen,
ob die dann eigentlich Sinn machen.
Ob das eine plausible Modellierung von Produktion ist,
wenn man gegen eine dieser drei Eigenschiften schafft, konstantiskalen Erträge,
positive abnehmende Grenzerträge und die inhaler Bedingungen verstößt.
In manchen Lehrbüchern finden Sie darüber hinaus, vierte Eigenschaft postuliert,
für die neoklassische Produktionsfunktion. Da wird nämlich noch gefordert,
dass jeder Input, also Kapital und Arbeit,
jeder der beiden privaten Inputs essentiell ist. Das heißt,
es wird gesagt, wir brauchen als weitere Eigenschaft der neoklassischen Produktionsfunktion,
dass dann, wenn wir kein Kapital haben,
die Menge an Output zwangsläufig null ist, unabhängig davon,
wie viel Arbeit wir einsetzen.
Und dass dann, wenn wir keine Arbeit haben für eine
gegebene Menge an Kapital und technisches Wissen,
die Produktion ebenfalls null ist.
Das heißt, wir brauchen jeden Produktionsinput in positiven Mengen,
um positiven Output erzeugen zu können
Nun, das, wie gesagt,
wird manchmal postuliert im Zusammenhang mit einer neoklassischen Produktionsfunktion.
Das muss man aber gar nicht postulieren. Denn diese Eigenschaft,
dass jeder Input essentiell ist, die folgt bereits aus
den Eigenschaften 1 bis 3. Das kann man also beweisen,
dass diese Eigenschaft dann ebenfalls erfüllt ist und den Beweis,
den ich ihm jetzt hier nicht bespreche,
finden sie bei Para und Salah Imatin auf Seite 77.
Merken Sie sich das also bitte einfach als Eigenschaft?
Ist mir jetzt nicht so wichtig, dass Sie den Beweis
lesen und verstehen. Aber Sie sollten die Beweise durchgehen,
die ich hier in der Vorlesung mache.
Die sollten Sie
schon verstanden haben
Einzelne Übungen dazu verifizieren Sie bitte mal, dass die Cop Douglas-Produktionsfunktion,
die ich als A mal K-Hoch-Alpha, L-Hoch-1 minus Alpha schreibe,
mit einem Alpha zwischen 0 und 1,
dass das eine neoklassische Produktionsfunktion ist.
Also verifizieren Sie bitte mal diese drei Eigenschaften. B,
untersuchen Sie mal, für welche Parameterwerte von Vieh die CES-Funktion nicht neoklassisch ist.
Der Kopfwerkel des Produktionsfunktions sollte ich noch folgendes sagen.
Sie sehen ja immer dieses A und eben in den Beweis hätte ich Ihnen gezeigt,
das zeigt, das können Sie als die Konstante auffassen,
die man die bei dieser Teleentwicklung entstanden ist.
Ich werde das oft so machen, dass ich bei der Compdantales Produktionsfunktion dieses A mitverwende. Und später werde ich das auch manchmal wachsen lassen,
dass A, nämlich dann, wenn wir technisches Wissen modellieren,
also üblicherweise für eine allgemeine Produktionsfunktion bezeichne ich ja Tee als das technische Wissen für eine Compdantales Produktionsfunktion,
will ich dann aber nicht noch extra ein neues Symbol mitschleppen,
sondern sage ich einfach, naja,
wir haben da ja schon ein Symbol,
was wir eigentlich nicht so richtig brauchen,
nämlich dieses A und dann lasse ich einfach das A wachsen.
Ja, das ist dann sozusagen das technische Wissen.
Das werden sie dann merken, wenn das vorkommt.
Nur, dass sie nicht verwirrt sind,
wenn manchmal A wächst und manchmal Tee
Mit dieser Produktionsfunktion dieser neoklassischen Produktionsfunktion werden wir uns üblicherweise rumschlagen,
wenn wir jetzt das Solo-Modell weiter behandeln.
Also jetzt haben wir nur gewisse Grundlagen gelegt,
die uns helfen werden zu einzuschätzen,
wie die Wachstumsrate des Kapitalbestands oder die Wachstumsrate des Outputs abhängt,
von dem Reichtum oder der Armut einer bestimmten Ökonomie.
Ja, diese Auswertung wird um das dann machen,
aber um sie machen zu können,
braucht man eben diese Eigenschaften, die wir gerade definiert haben.
Jetzt müssen wir noch eine weitere Überlegung anstellen zu der Produktionsfunktion,
die uns einfach helfen wird,
das Modell besser zu verstehen und es analytisch einfacher handhabbar zu machen.
Und diese Eigenschaft Na, die erkläre ich nachher.
Zunächst mal will ich motivieren, warum wir uns auch überhaupt drüber Gedanken machen.
Hier sind wieder mal ein paar empirische Zahlenwerte. Oder diese,
die sich die genau angucken,
sollten sie vielleicht einfach so ihre normale Intuition,
ihre normale Vorstellung zur Geltung kommen lassen, die ihnen wahrscheinlich sagen wird,
wenn sie sich unterschiedliche Länder auf der Welt angucken,
mit ihrem jeweiligen Wohlstand, dann würden sie wahrscheinlich behaupten,
ohne näher auf die Daten zu gucken,
dass Deutschland ein reiches Land ist und Indien ein armes Land ist.
Ja, das ist so die landläufige Vorstellung.
Deutschland ist reich und in jenes Arm
Wenn sie dann einen Blick auf die Daten werfen,
dann werden sie feststellen, dass sie sich da geirrt haben.
Denn Deutschland produziert also ein reales Bib oder hat im Jahre 2001 ein reales Bib,
von 1500 Milliarden internationalen Dollar produziert, Kaufkraftpaaritäten bereinigt.
Und Indien hat schlanke 25 Prozent mehr produziert.
2000 Milliarden internationale Dollar. Also Indien als Land produziert ein
höheres Einkommen als Deutschland. Nun, woran liegt das?
Das liegt natürlich daran, dass Indien viel mehr Beschäftigung hat,
viel mehr Bevölkerung hat
Und natürlich ist unsere Vorstellung, die intuitive Vorstellung,
dass Deutschland Reich und Indien relativ arm ist, eigentlich nicht falsch,
aber sie dürfen sie nicht verknüpfen mit der Höhe des Bruttoinlandsprodukts,
sondern sie müssen sie verknüpfen mit der Höhe des Bruttoinlandsprodukts pro Kopf.
Wenn sie das Bruttoinlandsprodukt in Deutschland teilen durch die deutsche Bevölkerung und das in Indien teilen,
durch die indische Bevölkerung, dann sieht das so aus,
wie wir uns das vorgestellt haben,
nämlich Deutschland ist ungefähr zehnmal so reich,
gemessen am Bruttoinlandsprodukt pro Kopf, wie Indien.
Aber dafür müssen sie diese Transformation eben vornehmen,
dass sie das auf die Köpfe beziehen
Und diese Transformation möchte ich argumentieren, ist doch die maßgebliche. Was uns eigentlich interessiert,
ist ja nicht der absolute Wohlstand eines Landes im Sinne des gesamten Wertes an wahren und Dienstleistungen,
was in dem Land produziert wird,
sondern was uns eigentlich interessiert,
wenn wir Wohlstand oder Wohlfahrt beurteilen, ist,
wie viele Einkommen der einzelne Bürger eines Landes im Schnitt zur Verfügung hat.
Also das pro Kopfeinkommen ist das,
was uns interessiert und nicht die Summe des Einkommens innerhalb eines Landes,
die natürlich in einem Land mit wenig Bevölkerung notwendigerweise relativ klein ist,
verglichen mit einem Land,
mit großer Bevölkerung,
wie das in China oder Indien oder Indonesien oder so der Fall wäre,
die dessen ungeachtet
natürlich relativ niedrige Pokopfeinkommen haben
Das heißt, worauf ich jetzt hinsteuere, ist,
dass ich sie davon überzeugen will,
dass es sinnvoll ist in der Wachstumstheorie,
nicht die Produktionsfunktion so zu betrachten, wie sie sie bislang betrachtet haben,
als Menge des in einer Ökonomie produzierten Outputs,
sondern dass wir eine Pro-Kopf-Produktionsfunktion betrachten müssen, die uns angibt,
wie viel Wert, wie viel Einkommen wird erwirtschaftet pro Kopf der Bevölkerung.
Nun, diese Transformationen, eine pro-Kopf-Produktionsfunktion, die können wir
jetzt ziemlich einfach vornehmen. Ich definiere ihnen hier,
was eine intensive Form ist und sie werden gleich sehen,
dass wir für diese intensive Form,
die uns die Produktionsfunktionen in pro-Kopfeinheiten angeben wird,
dass wir da sehr schön Gebrauch machen können von der Eigenschaft
konstanter Skalenerträge,
die wir uns definiert haben
Bleiben wir also zunächst mal bei der Annahme des Tee,
der Bestand des technischen Wissens konstant ist und definieren uns
als Kleinkar den Kapitalbestand pro Kopf, also K durch L.
Das wird jetzt allgemein mal eine Notation sein,
das kleine Buchstaben pro Kopfgrößenkennzeichnen und große Buchstaben kennzeichnen,
die nicht durch die Bevölkerung geteilten Größen.
Also Kleinkar ist einfach der Kapitalbestand pro Kopf.
Dann kann man jetzt Folgendes machen. Wir können sagen,
wenn die Produktionsfunktion konstante Skalenerträge hat, dann ergibt sich der
Output in Pro-Kopf-Einheiten beziehungsweise das Einkommen pro Kopf der Bevölkerung als folgendes.
Klein Y ist definitionsgemäß Groß Y durch die Bevölkerung,
also das pro Kopf-Einkommen
Nun, das ist nichts anderes als F von Kleink1 und Tee.
Wie kommt das? Nun, das kommt folgendermassen zustande.
Wir haben die Produktionsfunktion Y, ist gerade gleich F von KLT.
Das kennen wir. Wir wissen, diese Produktionsfunktion hat
konstante Skalenerträge. Also es gilt, Lamda,
mal Y ist gerade gleich F von Lamda, Malka,
Lamda mal L und Tee für alle Lamdas
Nun setzen Sie mal das Lamda auf den Wert von eins
durch L. Ist ja zulässiger Wert.
Ja, also eins durch die Bevölkerung. Und wir hatten
diese Gleichung hier aus. Wer lamm da gleich eins durch L ist,
dann steht hier also offenbar Y durch L. Ja,
und das ist dann gerade gleich F von, naja,
Lamda mal K, ist eins durch L mal K,
ist also K durch L. Lamda mal L. ist aber eins durch L,
mal L,
ist also gerade
gleich eins
Und das Tee bleibt unverändert. Naja, der Rest ist einfach,
der steht auf der Folie, Y durch L ist klein,
Y, ja, K durch L ist klein
K. Wann soll ich das hier runterklappen? Kardoch Alice Klein
K. Also gilt der pro Kopf auf Y ist F von Klein K,
einer konstanten, anstelle dessen, was sonst die Arbeit ist,
ja, nämlich sozusagen eins steht hier einfach für einen Arbeiter,
weil wir jetzt pro Kopf rechnen und Tee bleibt unverändert
Da war das Tee als konstant betrachten, kann man jetzt also sagen.
Im Grunde genommen sind von den drei Funktionsargumenten, die wir
hier drin hatten, KL und Tee, zwei verschwunden.
Nämlich das, was früher die Arbeit war,
das ist jetzt einfach eine Konstante, die eins.
Und das Tee haben wir angenommen. Erstmal sei konstant.
Dann ist es also sozusagen nur noch eine Funktion in Abhängigkeit vom Kapitalbestand pro Kopf.
Nur dann kann man das auch so umschreiben und können sagen,
das bezeichnen wir als eine Funktion nur noch vom Kapitalbestand pro Kopf.
Das Einkommen pro Kopf hängt nur ab vom Kapitalbestand pro Kopf,
solange das technische Wissen Tee konstant ist
Diese neue Produktionsfunktion Klein F von Klein K. bezeichnen wir als Produktionsfunktion in
intensiver Form. Und die ist viel interessanter für uns,
als die Produktionsfunktion Großelf, mit der wir bislang uns befasst haben.
Die habt uns also unmittelbar Auskunft darüber,
wie sich der Pro-Kopf-Output verhält, wie sich das pro Kopf Einkommen verhält.
Und das hängt offenbar nur vom Kapitalbestand pro Kopf ab.
Das hat auch ganz schöne, praktische Gründe,
weshalb wir jetzt diese Produktionsfunktion vollziehen werden.
Denn ab und zu wollen wir uns ja auch mal was
grafisch veranschaulichen
Wenn wir die ursprüngliche Produktionsfunktion Groß-F von K und L
betrachtet hätten, dann hätten wir da dreidimensional malen müssen.
Eine Achse für den Output, eine Achse für den Input K,
eine Achse für den Input L. Also ich kann nicht dreidimensional malen,
manche Computerprogramme können das inzwischen ganz schön,
aber es ist immer ein bisschen mühsam,
sich das so einzurichten und es ist auch ein bisschen mühsam,
die Grafiken dann gut interpretieren zu können.
Diese Produktionsfunktionen in intensiver Form hier,
die können wir sehr schön zweidimensional malen.
Denn da haben wir überhaupt nur einen Input und wir haben
einen Output, also ganz normale Funktion,
ist viel einfacher
Als Übung können Sie sich mal überlegen,
ob diese neue Produktionsfunktion in intensiver Form, kleinen F,
ob die konstantes Gralenerträge bezüglich Klein-K hat.
Nun nehmen wir mal an, die Ausgangsproduktionsfunktion Groß-F sei eine neoklassische Produktionsfunktion,
also mit diesen drei Eigenschaften konstante Skalenerträge, positive abnehmende Grenzprodukte und die Inhader-Bedingungen.
Dann gilt für die neue Produktionsfunktion in intensiver Form und deren erste und zweite Ableitung folgendes.
Kann man leicht ausrechnen. F-Strich von kleinen K,
naja, das ist ja Definitionsgemäß, dasselbe,
wenn ich die Produktionsfunktion groß F An der Stelle K1 und Tee
differenziere nach kleinen K. Das ist also einfach FK.
Und wir hatten angenommen, bei einer neoklassischen Produktionsfunktion,
ist das Grenzprodukt des Kapitals für jeden Kapitalbestand positiv,
also ist das größer Null.
Das heißt, wir wissen jetzt, Klein-F-Strich von Klein-K ist positiv.
Wie verhält es sich mit Klein-F2-Strich von K? Nun,
es ist die zweite Ableitung D-Quadrat,
der Produktionsfunktion Groß-F an der Stelle K1 und Tee
nach D-Kquadrat,
also zweimal differenziert nach
Und da haben wir angenommen, das Grenzprodukt von Groß F ist fallend,
denn die Produktionsfunktion hat abnehmende Grenzerträge, also es ist negativ.
Folglich wissen wir, die zweite Ableitung von kleinen F ist negativ.
Oder andersrum, Klein F ist eine streng konkabe Funktion.
So wie ich Ihnen das hier schon hingemalt hatte,
da habe ich sozusagen schon antizipiert,
dass ich dann auf diese Darstellung komme,
können Sie jetzt einfach an diesen beiden Achsen das große F und
das große K ersetzen durch kleines F und kleines Karnich.
Und dann haben Sie mit dieser Konkavenfunktion hier
genau unsere Produktionsfunktion in intensiver Form gemalt
Ja, positive erste Ableitung steigt, monoton steigend,
aber das Grenzprodukt des Kapitals,
das Feld, deshalb ist die Funktion eben Kongraf.
Es ist dann einfach zu zeigen,
ebenfalls aus diesen Eigenschaften der Produktionsfunktion groß F abgeleitet,
dass F-Strich von K gleich unendlich ist und F-Strich von K,
vielleicht soll ich sagen, Kleinf-Strich von Kleink.
unendlich ist, wenn das K gegen 0 geht und Kleinf-Strich von Kleink.
gleich 0 ist, wenn das K gegen unendlich geht.
Das heißt, die Innada-Bedingungen, die übertragen sich ebenfalls analog.
Das können sie sofort nachweisen aus den Eigenschaften von Großef
Und das gebe ich Ihnen hier zur Übung.
Nun hatten wir gesagt, bei der ursprünglichen Produktionsfunktion GroßF ist
die partielle Ableitung nach dem Kapitalbestand, die Bruttokapitalentlohnung.
Gilt das jetzt für die Produktionsfunktion in intensiver Form ebenfalls noch,
wenn ich nach dem Kapitalbestand pro Kopf differenziere?
Nun, erfreulicherweise ist das der Fall.
Das zeige ich Ihnen hier. Wir wissen,
definitionsgemäß ergibt sich der gesamte Output der Ökonomie nicht pro Kopf.
Einfach als L mal der Pro-Kopf-Output der Ökonomie
Oder F von Klein F von Klein K ist Y durch L.
Das ist eine Identität. So,
jetzt wollen wir uns mal angucken, was FK ist,
Groß F abgeleitet nach dem Großkran, nach dem gesamten Kapitalbestand.
Das ist ja definitionsgemäß die partielle Ableitung von F nach K.
Das ist ja dasselbe wie DY nach DK.
Für Y haben wir uns aber gerade überlegt,
können wir schreiben, L mal Klein F von K.
Also das L hängt von K nicht ab,
das kann ich als Wichstfaktor da vorziehen.
Dann ist es also sozusagen einfach DF nach D-Klein K,
mal die Klein K nach D Großkra.
Das ist dieser Ausdruck hier
Nun, DF, die kleinen F nach D-Klein-K,
das ist einfach erstrich von K. Ja,
da haben wir also stehen L mal F-Strich von K und jetzt die kleinen Karnacht,
die Groß-Kia-K differenziert, nun,
der Kleinkarn und Großkarn unterscheiden sich gerade durch den Faktor 1 durch L,
dass die Ableitung also eins durch L. Dann sehen sie kürzlich sehr schön,
dieses L gegen das L weg und es bleibt übrig,
das Grenzprodukt des Kapitals pro Kopf der Produktionsfunktion in intensiver Form.
Das heißt,
nicht nur Groß-F nach Groß-K gibt mir das Grenzprodukt des Kapitals,
sondern auch Klein-F differenziert nach den Kapitalbestand pro Kopf,
gibt mir das Grenzprodukt des Kapitals.
Diese beiden Ausdrücke sind identisch
Jetzt legt es nahe zu vermuten, wenn man nicht ein bisschen nachdenkt,
was das für das Grenzprodukt der Arbeit auch so gilt.
Da blickt man aber falsch, wenn man das glaubt.
Das gilt also, diese Eigenschaft bezüglich des Grenzprodukts gilt nur für den Kapitalbestand.
Für das Grenzprodukt der Arbeit gilt das nicht. D-Y nach DEL
hat keinen analogen Ausdruck in Bezug auf die intensive Produktionsfunktion,
weil ja die Arbeit als Produktionsfaktor in der intensiven Produktionsfunktion
überhaupt nicht mehr auftritt
Vielmehr, und das gebe ich Ihnen hier auch zur Übung auf,
zeigen Sie doch bitte mal, dass D-Y nach DEL dasselbe ist,
wie der Pro-Kopf-Output F&K, minus kamalf-strich von K.
Und versuchen Sie diesen Ausdruck hier als die rechte Seite hier ökonomisch zu interpretieren.
Überlegen Sie sich also, was bedeuten diese Größen,
die da stehen, insbesondere dieses KHF-Strich von Khan,
was passiert, wenn ich das von dem F&K abziehe und so,
was ist das dann?
Dann sollte Ihnen das ganz plausibel sein,
dass die partielle Ableitung von Groß-Y nach L
eben gerade dieser Ausdruck dort ist
Ja, hier ist ein Beispiel für die Cop Douglas Produktionsfunktion.
Da können wir uns das alles mal angucken.
Also A ist irgendwie das Technologieniveau, das halten wir fest.
Alpha ist null, liegt irgendwo zwischen 0 und 1,
die Cop teilende Produktionsfunktion lautet einfach Y,
ist A mal K hoch Alpha L, hoch 1 minus Alpha.
Wenn ich diese Gleichung jetzt auf beiden Seiten durch L teile,
dann kriege ich auf der linken Seite Y durch Elders pro Kopf einkommen raus.
Das ist kleine F&K. Und auf der rechten Seite,
was passiert da? Naja, vielleicht sollte ich Ihnen das
kurz mal zeigen. Also auf der rechten Seite,
da haben wir ja stehen A
mal K
hoch Alpha
L hoch 1 minus Alpha. Und das will ich jetzt
durch L teilen. Am besten sehen sie,
was da passiert, wenn sie sagen,
die Teilerei durch L, die machen sie so,
dass sie teilen durch Ellenhochalpha und Ell hoch 1 minus Alpha.
Denn das hier zusammen, das ist natürlich gerade gleich L.
Die beiden, wenn die hier miteinander multipliziert werden,
dann werden die beiden Exponenten ja addiert. Alpha plus 1
minus Alpha gibt gerade L hoch 1 ist L. Naja,
und dann sehen sie, was passiert,
dass L hoch 1 minus Alpha, das kürzt sich raus.
Und dann bleibt übrig, A, mal K-Hochalpha
durch L-Hochalpha
Und das ist dasselbe wie einmal K durch L in Klammern, Hochalpha.
K durch Alice aber Kleinkar. Ja? Also kriegen wir offenbar heraus,
dass die Produktionsfunktion in intensiver Form nichts anderes ist als A mal Kleinkar Hochalpha.
Und jetzt können wir auch überprüfen, ob das alles stimmt,
was wir uns hergeleitet haben für die Ableitungen.
F-Strich von K ist dann,
wenn ich einfach das Ding hier nach K differenziere,
Alpha mal A mal K Hochalpha minus 1,
das ist natürlich positiv.
Denn Alpha ist positiv, A ist positiv und der Kapitalbestand
K durch L ist ebenfalls positiv.
Hochalpha minus 1 ändert nichts daran,
dass das positiv ist
Wenn ich das zum zweiten Mal differenziere, F2-Strich von K,
dann, naja, dann ist dieser Exponent hier alpha minus eins,
der kommt dann hier vorne hin, wenn ich differenziere,
dann kriege ich Alpha, Alpha, mal alpha minus eins,
mal A, ho mal K,
hoch alpha minus zwei heraus.
Was ist jetzt der Fall? Alpha ist positiv, A ist positiv,
K-Hochalpha minus zwei ist positiv, aber Alpha minus eins ist negativ,
weil wir gesagt haben, Alpha liegt zwischen 0 und 1.
Also ist die zweite Ableitung negativ und dementsprechend ist die Funktion monoton steigend,
ja, weil die erste Ableitung positiv ist,
aber Kongrav, weil die zweite Ableitung negativ ist.
Wenn ich Kongrav sage, meine ich
immer streng Kongrav
Gut, was passiert, wenn das K gegen null geht?
Was passiert da mit dem Grenzprodukt von, ja,
was passiert mit dem Grenzprodukt des kleinen Casts?
Nur das können wir uns angucken. Wir müssen einfach bei
diesem Ausdruck hier das K gegen null gehen lassen.
Naja, hier steht K hochalphaminus 1, das heißt,
das ist K mit einem negativen Exponenten.
Das heißt, eigentlich wird durch K hoch 1 minus Alpha dividiert.
Also ist das oftmal noch dasselbe wie der Grenzwert von Alpha A,
diese beiden Dinger hier, durch K hoch 1 minus Alpha,
Es ist nämlich hier Karl Hochalphaminus 1, aber jetzt eben der Exponent umgekehrt, weil ich dadurch dividiere.
Und diesen Grenzwert will ich haben, wenn Karl gegen Null geht.
Nun, hier steht was Positives, das teile ich gegen was,
was gegen Null geht. Also geht das ganze Ding gegen unendlich.
Damit ist der erste Teil der Inada-Bedingung erfüllt.
Und selbe Argument wird das Karl gegen unendlich geht,
dann sehen Sie natürlich in diesem Ausdruck hier,
der derselbe ist wie der Ausdruck da.
Förder, wenn das K gegen unendlich geht,
diese positive Größe hier durch etwas geteilt wird,
was immer größer wird, also ist der Grenzwert null.
Und wie ich Ihnen gesagt habe, der Input K ist essentiell,
FV0 ist natürlich null,
wenn sich hier für Karl Null einsetzen,
dann kriegen Sie null raus
Also alles das, was er schon theoretisch abgeleitet haben,
finden wir hier auch Felicop Darkleys Produktionsfunktion bestätigt.
Und natürlich verläuft die so, wie ich
es ihnen hier auf der Tafel auch bereits angeschrieben hatte.
Wie sieht es aus mit den Grenzprodukten und den Faktorentlohnungen?
Wir haben mal so eine Komplage des Produktionsfunktionen,
die ich künftig mit CD abkürze, benutzen.
Dann kriegen wir Folgendes raus. Die Bruttokapitalentlohnung R ist,
wie wir wissen, das Grenzprodukt der Produktionsfunktion in intensiver Form.
Das ist also einfach mal A mal K
hoch Alpha minus
In der Übung sollen sie zeigen, dass der Lohnsatz,
nämlich D-Y nach D-Groß-L, dass dieser Lohnsatz W,
gerade gleich F und K, minus K, mal F,
Strich von Kreis, das nehme ich jetzt mal an,
dass sie das gezeigt haben, dann können sie sich schnell überlegen,
dass das dasselbe ist wie Armer K. Hochalpha,
mal eins Minusalpha.
Denn sowohl hier kommt Armer K. Hochalpha drin vor,
als auch in diesem Ausdruck kommt Armer K. Hochalpha vor.
Und wenn sie es dann ausklammern,
dann kommen sie hier auf diesen Ausdruck. Gut,
daraus können wir jetzt die Einbumsquoten von Kapital und Arbeit
für den Konduglas Fall errechnen.
Die Einkommensquote des Kapitals ist R mal K durch
Hier habe ich die großen Buchstaben verwandt, also nicht in Po-Kopf-Einheiten umgerechnet.
Und sehen Sie Folgendes, wenn ich das transformieren möchte,
pro Kopfgrößen, dann muss ich sozusagen im Zähler des Buches
und im Nenner des Bruches einmal durch El teilen.
Naja, dann kriege ich die Prokabgrößen da raus.
Der Faktor 1 durch Ellep Zähler und der Faktor 1 durch Ellem Nenner,
mit dem ich erweitere, der hebt sich ja weg.
Also es ist der, wie er mal,
kein K durch Klein Y. R, wissen wir aber,
habe ich hier ausgerichtet, ist Alpha mal A,
mal K, hoch Alpha, minus 1. Dieser Ausdruck,
dieses R wird jetzt mit K multipliziert,
dann verschwindet die dieses minus 1 im Exponenten.
Es bleibt übrig Alpha,
armer Kauch Alpha
Und Y ist, weil es die Produktionsfunktion intensiver Form ist,
einfach einmal Chaos Alpha. Also kürzliche Zähler und im Nenner
des armer Kauch Alpha weg und es bleibt einfach Alpha übrig,
die Kapitaleinkommensquote ist einfach der Exponent Alpha, der Cop Darkeles Funktion.
Ja, nun wissen wir schon, die Arbeitseinkommensquote ist dann
eins minus Alpha, weil das Gegenstück der Kapitaleinkommensquote ist,
weil sich Kapital- und Arbeitseinkommensquote immer zu eins addieren.
Wir können es uns aber auch schnell ausrechnen.
So wie wir es machen, ist es genau dasselbe Vorgehen
wie mal L durch Y. Naja, was ist das?
L durch Y ist der Kehrwert von Y durch
Y durch L ist aber gerade das kleine Y. Das hier
ist Y durch L. Also das ist selbe wie W durch Y.
Dass wir, das haben wir da oben ausgerechnet,
ist armer Kahoch Alpha, mal eins minus Alpha.
Das schreibe ich jetzt hier so hin. Das Y ist
A mal Kahoch Alpha. Da kürzt sich das arme Kahoch
Alpha wieder weg und es bleibt eins minus Alpha übrig.
Und wir sehen genau das, was wir auch schon wussten,
aber was wir jetzt hier nochmal verifiziert haben,
die Kapitaleinkommensquote und die Lohneinkommensquote, die addieren sich zu eins.
Das Ding will ich jetzt erstmal vielleicht noch nicht machen.
Das hole ich später nach
Und hierfür habe ich nicht mehr so richtig genug Zeit.
Ich versuche es mal, mal sehen, wie weiter noch kommen.
Ich würde diese Fundamentalgleichung noch ganz gerne machen,
weil sie vielleicht dazu schon eine Frage im Problemset bekommen.
Wir gehen zu der Kapital-Akkumulationsgleichung zurück,
die wir in Gleichung sechs beschrieben hatten, also Kapital-Akkumulationsgleichung,
wenn Sie sich erinnern, war die gleiche und die ihr uns gesagt hatte,
K, Punkt ist gerade die Investition, minus Delta mal,
der Kapitalbestand, also minus die Abschreibung.
Netto-Kapitalveränderung ist gerade gleich Protokapital Veränderung, minus Abschreibung.
Die gleiche habe ich Ihnen hier nochmal hingeschrieben. K. Punkt
ist i-delta K. i wissen wir, ist gleich den Ersparnissen.
Also ist das S-Minus Delta K. Es ergibt sich aus einer
konstanten Sparquote mal y-delta K. Y ist F von KL und T.
Die Ersparnis also in S mal F minus Delta K.
Das Ding will ich jetzt in pro Kopf einkommen, in pro Kopf Größen transformieren.
Das heißt, ich muss die ganze Vergleichungskette durch L teilen.
Dann kriege ich auf der linken Seite heraus
K. Punkt durch L und auf der rechten Seite,
naja, das wissen wir,
wenn ich den Output F teile durch L,
dann kommt der pro Kopf Output klein ist.
Dein F heraus
Und wenn ich K-Teile durch L, dann kommt Kleinkaros.
Also auf der rechten Seite steht sein S-Mahl F&K,
Klein F&K, minus Delta mal Kleinkar.
Aber die linke Seite ist hässlich. Denn auf der
linken Seite haben wir jetzt noch das große K-Punkte stehen.
Wir hätten da eigentlich gerne ein kleines K-Punkt stehen,
damit wir die Gleichung vollständig in Form der Kleinen der Pro-Kopf-Größen geschrieben haben.
Ja, können wir uns mal überlegen,
was ist denn dieses kleine K-Punkt eigentlich?
Kriegen wir das da irgendwie rein? Nun, das kleine
K-Punkt ist die Ableitung von K durch L nach der Zeit.
Und Variablen mit dem Punkt drauf ist immer abgeleitet nach
der Zeit
Also muss ich hier einen Quotienten, nämlich gerade durch L
differentisieren nach der Zeit? Oder wenn ich Quotientenriegel an,
das ist dann K. durch L minus K. durch L quadrat
mal L.. Könnte zu Hause nachrechnen, dass das stimmt.
Das ist K. Punkt durch L minus, naja,
K. durch L ist ja Kleink.
Und L. Punkt durch, das andere L,
was hier unten steht, ist die Wachstumsrate der Bevölkerung.
Die Wachstumsrate der Bevölkerung, die bezeichne ich jetzt als N.
Also ist das dasselbe wie K. Punkt durch L minus N
mal K. Mit der Setzung N ist gerade gleich L. durch
Das ist einfach nur eine Abkürzung. Ich unterstelle,
dass das N irgendwie eine konstante, exogene Größe ist.
Wir betrachten nicht, wie und warum die Bevölkerung wächst.
Die wächst einfach mit einer bestimmten Rate.
Wo ist diese Gleichung wichtig, die wir jetzt hier haben?
Sehen Sie auf der vorigen Folie, da störte uns das
hier K-Großkar-Punkt durch L stand.
Und wir wollten gerne das Ding irgendwie ausdrücken in Form von Kleinkar-Punkt.
Das kann man jetzt machen. Diese Gleichung hier können Sie
noch ein bisschen umformen, indem Sie plus N mal K rechnen,
dann verschwindet das hier.
Und auf der anderen Seite steht K-Punkt,
also Kleinkar.plus N mal
Und dann setzen sie, ersetzen sie eben diesen uns störenden Ausdruck Großk.
durch L. Durch Kleink. plus N mal K. In der
vorigen Folie. Dann kriegen sie also raus, Kleink.
Punkt ist erst mal, F&K minus N plus Delta mal K.
Und diese Gleichung bezeichnet man als die Fundamentalgleichung der neoklassischen Wachstumstheorie.
Lassen Sie mich noch zwei Worte zur Interpretation dieser Gleichung sagen.
Ich habe die gleiche Tür nochmal aufgeschrieben
K, Punkt, steht da,
ist erst mal F&K minus N plus Delta Marca.
Also K, Punkt, das sind die Netto-Investitionen pro Kopf.
Das ist also die Veränderung des Kapitalbestands pro Kopf.
Dieses K, Punkt, so sagt uns die Fundamentalgleichung,
setzt sich zusammen aus drei Komponenten.
Nämlich, erstens aus dem S-MAN F&K, das ist der
gesparte Output pro Kopf. F&K ist der Output pro Kopf,
klein S-MAN F&K ist der gesparte Output,
den ein einzelner Mensch erspart.
Das sind also
die Bruttoinvestitionen pro Kopf
Minus Delta K., naja, das ist die erforderliche Gütermenge,
um die Kapitalverschleiß zu ersetzen. Den Kapitalverschleiß pro Kopf
zu ersetzen. Ja, das kennen wir auch schon.
Neu ist dieser Therm hier, minus N-mal K. Der ist jetzt
durch diese Transformation in Pukkopf-Einheiten reingekommen und der hat eine ganz einfache Interpretation.
Wenn ich eine bestimmte Menge an Kapital pro Kopf habe und die Bevölkerung wächst,
dann muss ich der neu hinzutretenden Bevölkerung ja ebenfalls Kapital geben.
Ja, die soll ja auch eine Kapitalausstattung pur Kopf haben.
Das heißt, ich brauche also von dem,
von dem ersparten Output muss ich eine bestimmte Menge wegnehmen,
damit auch die neu hinzukommende Bevölkerung, nämlich gerade N,
einen Kapitalbestand pro Kopf von K hat.
Ja, also dieses Minus-N mal K ist die erforderliche Gütermenge
um der neuen Bevölkerung den gleichen Kapitalbestand pro Kopf zur Verfügung stellen zu können,
wie den, den die alte Bevölkerung bereits hat.
Und diese drei Komponenten zusammen sind dann die Netto-Investitionen.
Pro Kopf, das ist im Wesentlichen das,
was die Fundamentalgleichung der neoklassischen Wachstumstheorie aushängt.
Die werden wir in der folgenden Stunde ausführlich diskutieren und
sehr viele Implikationen aus dieser fundamentalgleichen App letten.
Schönen Dank erstmal für Ihre Aufmerksamkeit.
Bis nächste Woche