Okay, schönen guten Morgen zusammen. Herzlich willkommen zur Vorlesung,
Einführung, dynamische Systeme. Das Thema der heutigen Veranstaltung ist Entropie,
das ist eine Art Konzept von Ordnomen und Unordnung.
Und das werde ich Ihnen genauer erklären.
Also es geht um diesen Begriff. Ja, zunächst mal
, was soll Entropie sein? Das Wort ist schon ein
altes Ort und wurde in der theoretischen Physik schon sehr
lange verwendet
Grob gesagt, unterscheidet Entry P. Ordnung und Unordnung.
Ich dachte, als motivierendes Beispiel, ich überlege,
ob ich in ein Foto von meinem Büro präsentieren soll.
Zum Beispiel für Ordnung natürlich. Nicht, dass sie das andere denken. Und dann fiel mir auf,
der Begriff von Ordnung mit Unordnung ist recht schwierig und viel schwerer als das,
was ich ihm jetzt gleich präsentieren werde,
weil man da diverse subjektiven Faktoren hat,
das eine seiner Ordnung ist das andere, seine Unordnung.
De facto kommt jetzt ein sehr präziser Begriff.
Etwas, was ganz unsubjektiv und allgemeingültig ist.
Grob gesagt, gibt es mehrere von Entry P.
Es gibt topologische, machst theoretische Informations-Entropie und noch weitere.
Ich präsentiere hier die topologische Entropie, die zu dem passt,
was wir bisher gesehen haben, an topologischer Dynamik.
Also wir fangen an mit einem metrischen Raum. Es gibt
verschiedene Typen von. Es gibt also die topologische Die toplogische Enthopie,
die funktioniert dort in Räumen, wo es eine Topologie gibt,
zum Beispiel eine Abstandsfunktion, also einen metrischen Räumen.
Dann gibt es die Mars theoretisch Endopie. Und wie
der Name schon sagt, funktioniert das in Räumen,
wo ein Mars existiert
Ein Raum mit einem Mars drauf,
muss keine Metik haben, muss keine Torpologie haben.
Umgekehrt muss ein Raum mit einer Torpologie erst einmal noch kein Mars haben,
beziehungsweise er kann Master haben, aber kann viele Maße haben.
Und die sind also ganz verschiedene Begriffe. Und wenn er einen Raum,
sowohl Torpologie-Abstandsfunktionen als auch Mars hat, dann sind diese Entropean nicht zwangsläufig dasselbe.
Dann gibt es noch Informationen. Informationsentropean. Und dann gibt
es auch noch Weitere. Ich schaue einfach mal USW,
denn wie, wenn Sie nachher dieses Konzept verstanden haben,
von der einen entrope, die ich ihn präsentiere, dann werden Sie sehen,
dass man mit recht ähnlichen Methoden andere Konzepte definieren kann.
Wir kommen uns also um die topologische,
weil die zu den Arten von Räumen passt,
die wir schon kennen, weil die am leichtesten zu definieren ist.
Und am klarsten in der Struktur. Also hier können wir
uns also um die topologisch haben.
Wir fangen an mit deinem Maßraum, sei Ex-D. Ein,
oder fang an mit deinem Raum mit Abstandsfunktionen
drauf.
Der soll am besten kompakt sein
Mit der Schraube. Von X nach X. Jetzt brauche ich eine Abbildung.
Wir kümmern uns in der dynamischen Systemetheorie immer darum,
dass allgemeine Abbildungen oder Flüsse einen Raum in sich selbst abbilden,
Punkte verändern, Punkte auf neue Punkte abbilden.
Und dazu nehmen wir eine Abbildung von diesem metrischen Raum in
sich selbst und am besten solche, die die Struktur hält,
was die metrische Struktur,
das ist die Topologie,
sprich offene Mengen
Diese Abbildung sollte also im folgenden ersten Normal tätig sein und
am besten soll sie ein Hommelmorphismus sein.
Das wird zwar bei den meisten Dingen, die nachher noch kommen,
nicht so richtig nötig sein, aber das ist die Idee.
Und wenn sie sich irgendwas vorstellen sollen,
stellen sich immer, holen wir mal Fifthmans vor,
also Abbildung, die stetig sind und die Umkehrung widerstetig.
So ist wohl für die Defention nicht nötig.
Deswegen schreibe ich es hier nicht hinein,
aber das ist das, was wir uns später denken sollen.
Also die ist jetzt erst mal nur eine stetige Abbildung.
Und also eventuell, weil es oft vorkommen wird,
holen wir auch mal Fismus
All dieses lange Worte heißt nichts anderes, das Inverse auch städtig ist.
So, jetzt war ich als erstes die Metrik auf diesem
Raum verändern mit Appelung F und eine neue Metrik schaffen,
die misst, wie sehr sich Punkte unterscheiden lassen,
wenn ich ein bisschen warte und Punktepaare folge.
Die erste Definition ist folgende
Also sei für euch. Das ist die folgende Metrik, die folgende Metrik.de.
Und ein N und Open F. Die wird gebildet aus der alten Metrik D,
aus diesem NXN und der Transformation, die wir haben,
von zwei Punkten, X und Y,
ist jetzt per Definition, wir folgen diesen Punktebau,
wir nehmen den Abstand von X und Y.
Also wir sagen,
wir nehmen D von XY
Dann sagen wir, wir untersuchen,
wie sich der Abstand nach einer Iteration von F verändert.
Das heißt, wir untersuchen den Abstand von F und X,
F von Y, was ich mit all diesen Tagen mache,
das sehen Sie nachher noch.
Und verschiedene von diesen Termen, die werde ich allesamt vergleichen
und ich nehme das Maximum von all diesen Termen.
Bis die Erfuch, N-minus 1 von X,
Erfuch N-minus 1 von
Dieser Endtherme für i gleich 9 bis N minus 1,
FOHI von X, FOI von Y,
die vielleicht alles am vergleichen und den größten davon,
als mal einen neuen Abstand, DFVN definieren.
Also ich nehme das Maximum von diesen hier. Okay.
Dieses, das überhaupt hier erstmal eine Metrik, eine Abstandsfunktion.
Dieses, also D. Unten N. OMF ist eine Ja,
und das ist recht leicht nachzurechnen. Sie müssen zum Beispiel Nachrichten,
dass DFN von XY gleich 0 ist, dann auch nur dann,
wenn X gleich Y ist. Und Sie würden sagen,
wenn X gleich Y ist, dann ist ganz klar,
es ist jede einzelne von diesen Thermen 0, somit das Maximum.
Umgekehrt, wenn das Maximum 0 ist,
ist auch jeder einzelne von diesen Thermen 0. Und so würden Sie
die Eigenschaft DF einen von X gleich XY gleich 0,
genau, dann wird X gleich Y-List nachweisen.
Die Drecksung gleichen folgt aus der Thermenweisen,
Drecksung gleichen in jedem einzelnen von diesen Thermen
Und die Symmetrie ebenfalls aus dieser der Symmetrie, in jede von
diesen einzelnen Thermen. Also ich könnte mal als Überblick hinschreiben,
aber es ist eine gute Übung, die sollten sie selbst machen können,
in wenigen Minuten zu überprüfen, dass die seine Abstandsfunktion lässt.
Und die NF VX VX Öbsland gleichen Null,
ist Äquivalent dazu, dass das Maximum gleich Null ist
Das ist ein Appellant dazu, das.
Also equalent dazu, dass X gleich Y ist,
weil es für den ersten Term genauso der Fall ist.
So, also das war die erste von diesem Bereich Ongleichung.
Und die anderen beiden Symmetrie folgt aus der Symmetrie Termweise
Und... Da ist jeder Term.
Die FVIX FVI Y. Symmetrisch ist.
Und... Drecksumgleichung
Und die drei zum gleichen folgt ebenfalls teilweise,
jede einzelne von diesen internen Fürth-Dreiecks-Umgleichung. Das heißt,
wenn ich XY, ihr seid durch Y, Z,
dann habe ich jedes Mal die dreiecks und gleichen hier drin.
Und für das Maximum gilt, dass das Maximum von zwei
Tagen gerade kleiner, gleichdem Maximum des R ein,
du hast dem anderen Wachstum des anderen ist,
im Gegensatz zum Minimum.
Deswegen ist das auch hier eben wieder der Fall.
Also D NF von XY ist dieses Maximum D NF von
die RVI von X,
FOI von Y. Und in jeden von diesen Tarmen
gilt eben die Draxumgleichung bereits.
Also kleine gleich
Max, ich hoffe es mal auf die,
nach oben, damit wir auch Platz haben.
Hör einfach ein.
Das hier ist jetzt die tragsungleichen Thermenweise angewendet und
nun gilt für das Maximum angeminiere Weise,
das ist das Maximum von zwei Thermen oder von der Summezeit haben.
Kleine gleiche Maximum des ersten Thermen plus Maximum des zweiten Therms
Und wohl jeweils das Maximum in dieser Menge eh gleich,
eins bis N-minus eins. Okay. Fragen dazu?
Hab ich verstanden. Hab ich verschrieben. Ah,
und sie haben natürlich recht hier. Hier habe ich
die gleiche jetzt bedingt X-Log-Apps anstehen. Dankeschön. Okay,
wir haben also eine Abstandsfunktion auf dem Raum X.
Direkt ab von einem Parameter N und Abbildung NF,
die wir schon kennen
Das Ganze bekommt einen Namen. Das heißt, die Bohnenabstandsfunktionen
hat Bohnenmetrik auf X. Also ein Name. Avex.
Diese Bohnenmetrik ist benannt nach dem großen mathematischer Rufus Bohn,
einer der Gründer und Pioniere der Theorie dynamischer Systeme.
Genau genau, das ist eine ganze Familie von Metriken,
selbst wenn er fest ist,
nämlich für jedes
Aus dem folgenden Studieren werden, ist, wie verhält sich dieses DNF und die Zulagen,
Abstände und Bälle und so weiter für N-Groß.
Gibt es eine Art Liebes davon? Zum Beispiel könnte es sein,
dass der Abstand immer gleich bleibt, wenn sie eine Isymmetrie haben,
eine Abbildung, die die Abstände nicht verändert,
dann wird DFN,
immer gleich im originalen D sein und es wird sich nichts ändern und es könnte andere Umstände geben und es wird sie auch geben,
wo wir für jedes N dieses D immer größer wird und deswegen die Kugeln mit Radios 1 oder so etwas oder Radios Äpston immer kleiner werden.
Und das ist ein gutes Konzept, was man studieren kann,
weil man eine Art expenzielles Wachstum von solchen Kugeln
Da habe ich Rumpfunk von solchen Kugeln,
was dasselbe ist mit einem Vorzeichen, kann man messen,
wenn du präzisweise dich gleich definieren werde.
Und diese exponentielle Schrumpfung oder Wachstum, das wird sein,
die Entropie unserer Abbildung F. Also zunächst mal, bevor wir loslegen,
werde ich jetzt offene Bälle in dieser Metrik DFN betrachten.
Und dann werde ich sehen, was passiert,
wenn wir das End vergrößern,
brauchen wir mehr oder weniger Bälle,
um den Raum zu überdecken.
Ja, Alexander
Ich will nicht nach D3x zum Gleichen benutzen.
Ich brauche also hier in der Tat ein Plus.
Das Plus kommt daher, diese Konkretfrage,
ob ich nicht, ich nehme Plus ein Cover meinen.
Ich meine das so. Ich will die Drecks und gleichen
zeigen, ich will zeigen, dass diese Therm hier.
Kleine, gleich dem Thermen ist mit XZ und Y Cent.
Ich kann es mal hinschreiben, gleich.
D NFXZ plus DNF-Z Y. Das, was hier stellt,
ist die Dreiecks und Gleichen. Dieser Therm her soll so
die Behauptung kleiner sein als die Summe,
diese Thermik
Alle gleich. Und ich bin Martin von meiner Zeit.
Was ist die Frage? Ganz vor der Zeit ist gepoxen
von einer Zeit insgesamt. Ja, hieß dir das Maximum
? Das Maximum, wo ich, über die Summe,
diese beiden Therme? Frage erklärt? Gut. Okay,
also aus nächstes kommt das Konzept der Überdeckung
Und wie viele Bälle?
Von Radios. R,
beziehungsweise Apsuan
Hier stellt eine allgemeine Frage, die noch keine präzise Antwort hat,
weil die Frage noch zu allgemein ist,
aber die genau die Motivation ist für alles,
was wir im Folgenden machen werden.
Wir stellen uns vor, wir haben ja an diesen Raum.
Es ist, wie gesagt, ein kompakter metrischer Raum.
Die Kompaktheit heißt aus jeder Überdeckung, sagen wir mal,
mit Bällen von Radios 1 oder Radios Ebston.
Können wir eine endliche Teilüberdeckung auswählen? Wir können also sagen,
der Raum ist mit endlich vielen Kugeln überdeckt.
Kugeln, Bälle, alles dasselbe. Abstandsmengen,
die Abstand keiner gleich, die sozusagen hier haben.
Wir können also für jedes App-Song endlich viele solche Mengen auswählen.
Allerdings wird das für jedes App-Song eine andere Zahl sein.
Für kleine App-Songbrauch eventuell größere Mengen, um das zu tun
Und das messen wir jetzt präzise. Also wir sagen,
die Zahl der minimalen Mengen, die wir brauchen,
um das zu bedecken, ist jetzt die Art,
eine wichtige Größe zu sein.
Eine weitere Definition. Wir sagen, N von. Das
wird abhängig von allem, was da steht, von einem Radius,
von der Abbildung F und von N. N und Epstilon.
Soll sein. Die minimale Anzahl von Bällen,
die man braucht, um X zu bedecken mit Bällen von
Atralios Apps lang
Ja, Bällen. In der DFN. Metrik. Die
Großex überdecken. Diese Zahl ist wohl definiert und endlich,
denn wenn Sie endlich viele Mengen herauswählen,
haben Sie schon mal
eine endliche Zahl
Hier steht ein Minimum, statt in Firmum, weil es
eine ganz zahlige Größe ist. Dann kannst du alle Größen,
die Größe gleich null sind, größer gleich eins in diesem Fall,
vernichten der Räume, haben immer ein Minimum.
Und es ist auch klar, dass dieses Minimum existiert,
auch wenn die Menge der Überdeckung, die ist überabsehbar und kompliziert.
Aber wenn sie schon mal eine Überdeckung genommen haben,
dann haben sie, können sie eine ähnliche Teilüberdeckung auswählen wegen einer Kompaktheit,
haben das nämlich schon mal eine ganze Zahl gefunden und müssen im Folgenden minimieren,
nur die Überdeckungen überprüfen, die weniger Elemente haben als diese.
Was also nicht so furchtbar schwer ist. So,
die ist jetzt eine Anzahl, eine Art Kapazität des Raumes
Und wir werden nur prüfen, wie diese Größe sich ändert.
Was soll passieren? Typischerweise würdest du sein, dass wenn
ein N größer wird? Wird es ein DEFN, auch größer?
Abstände werden also größer. Und wenn Abstände größer werden,
heißt das, dass die Einheitskugeln kleiner werden oder die Kugeln für jeden Radius Öpselon.
Denn je größer der Abstand, desto kleiner die Menge von Punkten,
die Abstand kleiner gleich eins haben oder kleine gleiche Appselon für jedes konkrete Öpselon.
Und das heißt, wenn wir dieses Appson verkleinern,
wird diese Menge N oder wird diese Zahl N,
weil über der Kunde Menge,
die wird größer
Und wir werden das Wachstum dieser Menge studieren. Wenn diese
Menge so wachsen wird wie eh hoch, 7T,
wenn wir sagen, 7 ist die Entropie, diese Abbildung F.
Und das müssen wir jetzt formal hinschreiben.
So, also wir sagen jetzt, zweitere Definition.
Erstmal kommt eine Größe Haar, haben wir jetzt später die Entropie.
Und April wird diese Größe noch abhängen von diesem Radius.
Und von F. Y von
Ich nehme deinen lieben Supp. Was hier stellt,
ist die exponentielle Wachstumsrate, der Größe auf der rechten Seite.
Das ist immer ein typisches Vorgehen, wenn Sie die lindere Wachstumsrate nehmen,
dann würden Sie durch Ex-Teilen oder durch Endteilen,
wenn Sie die exponentielle Wachstumsrate nehmen wollen,
nehmen Sie Astrologismus und dann teilen Sie durch ein.
Das heißt, die nehmen die, das lindere Wachstum,
das leere Logo organisierten Größe. Und hier stehen wir eh
hoch AT, wird diese Größe hier A zurückliefern.
Und wenn sie nicht so schön so angenehm ist,
dann wird der lieben Supp eben die größte Teilwachstumsrate davon ermitteln.
So, das ist die größte, die wir für
das Studium der Entropie brauchen und jetzt die Entropie selbst,
ist diese Größe Haar von F.
Das definiere ich als der Limes Öpselon gegen null
von Öpselon von
Und diese Größe hängt, genauso wie diese Größe hier,
April-Rüh noch von der Metrik D-App,
die nicht hier in Dorf steht,
die Metrik D auf dem Raum X, die ist erstmal fest.
So, und die ist hier, diese Größe,
die hier steht, ist fast dasselbe wie die Größe,
die da durch Ruhe steht, immer noch die Wachstumsrate,
allerdings für kleine Kugeln
Y. Und das heißt,
die top-logische Entropie.
Von F heißt
Von F. Okay, bevor wir diese Größe im Detail studieren,
noch ein paar Bemerkungen zur Definition.
Hier steht zum Beispiel ein Liebes,
warum existiert ein Liebes und was soll Liebes überhaupt sein?
Also zwei Bemerkungen. Erstens war das H. Apslon und
H. Mist
Hallo. Exponentielle Wachstumsrate. Von dieser Zahl Gerus N. Der
Zahl N mit den drei Argumenten. Das zweite Argument,
zweiter Punkt ist, dass H. Ybstilon,
was ich hier im Liemers Apps und gegen Neu betrachte,
das heißt H oder dieser Liemers, Erbston gegen null.
Herr Apcelon von F. Wenn ich schreibe, Lima,
Stadtlieben Suppe oder Lieben Info, dann muss ich argumentieren,
dass diese Liebe auch existiert. Hier muss ich das nicht,
denn der Liebe ist Supperio, der existiert immer,
potenziell unendlich, was in diesem Fall zugelassen ist.
Beim Leben ist, muss ich sagen, warum er existiert.
Übrigens, lasse ich in diesem Fall unendlich zu.
Und ich werde jetzt daran existiert, ja.
Also dieses Liebe ist existiert. In null. Unendlich
Das heißt, der rechte Rand ist erlaubt.
Wobei, ja. Und warum ist das so?
Warum existiert dieser Limes? Der existiert deswegen, weil die
Größe, die hier steht, monoton ist in Appslon.
Betrachten die diese Zahl N? Dann stellen die fest,
N, Gruß N ist monoton in kleinen Appslon.
Je kleiner die, der Rat ist der Überdeckung der Bälle ist,
desto mehr brauchen sie es zum Beispiel bei Decken.
Sie brauchen nicht weniger
Und weil N, Monoton von Apps und abhängt,
also je kleine Apps und das, desto größer, groß N.
Deswegen gilt auch diese Monotonie an dieser Stelle,
die größer ist ebenfalls Monotonen, Monotonen, fallen in diesem Fall.
Weil N, von FN, Y. Und damit...
Auch, H, App Stilon, Monoton.
In App Stilon ist
Und nur das hörende Funktionen haben immer ein Limes.
Potenziell kann er plus minus unendlich sein.
In diesem Fall ist das eine fallende Funktion.
Und da wir von rechts gegen null konvergieren, heißt das,
wir bekommen nur größere Thermen von Apps und kleiner wird.
Der Limes ist also Element null unendlich.
Ja, und damit haben wir H-Aps-Lon schon definiert.
Also H, Y kann ebenfalls.
Unendlich sein
April haben wir doch keine Aussage,
dass diese Größen nicht schneller wachsen wird als exponentiell,
obwohl in den Beispielen, die wir sehen werden,
wird zumindest diese Themen, nichts exponentiell steigen.
Gut, das ist jetzt die Top-Logik Entrophie, dann...
Man ist so entfallen in diesem Fall,
im Monotonen steigend für fallendes Apselon, das ist das selbe,
das im Monotonen fallend. Grupp gesagt, wir betrachten,
kleine werden Apselon, die aber größer sind als null.
Apselon größer null, im Folgenden ist aber so,
weil ich hier das App-Store so angesetzt habe,
dass es positiv sein muss.
Kann ich genauso gut sagen,
App-Store soll positiv sein
Also da, wir konvergieren von rechts gegen null.
Und diese Größe ist so, dass je kleine Apps und wird
, desto größer wird diese Thermen.
Das ist, also ich habe extra nicht geschrieben,
momentan steigend unterfallen, wenn sie die Präzisionsantwort wollen,
diese größere Monotonen fallend in App zu läuten.
Was für uns heißt, dass sie steigt,
wenn wir das Apps und Verkleiner.
Gut, ein paar Beispiele sind jetzt angebracht. Erstens,
passt, überlegen wir uns. Dazu überlegen wir uns,
was passiert, wenn die Abbildung F,
die Abstände D
überhaupt nicht ändert
Eine Isymmetrie ist, dann können wir ganz leicht ausreichen,
was passiert. Zum Beispiel. Zum Beispiel eins erwähnen.
F eine. Isymmetrie ist. Isomatrie, altes Wort,
für gleich, gleicher Abstand.
Das heißt, für alle XY Element X gilt.
Das Nacheinwendung von F, F und X, F und Y.
Dass dieser Abstand danach geleichest im Abstand davor.
Ja, was kommt jetzt heraus? Jetzt versuchen wir
die Entropee zu bestimmen von einer beliebigen Isymmetrie.
Wir brauchen auch gar nicht mehr darüber zu wissen,
als was hier schon steht.
Und dann ist so die Behauptung H von F,
die Topologische Entropee,
eine Isymmetrie,
gleich null
Das ist meine erste Behauptung. Warum soll die so sein
? Vor allem nämlich diese Größen DNF, die Bohnenabstände mit
dem Pyramide N. Die hängen nicht von N ab,
wenn sie denn... Dann ist diese Größe DNF,
FS Fest, N ist variabel.
Und wenn ich das jetzt als Funktion von N betrachte,
sie ist unabhängig von
Wenn du diese Definition von Bohnenmetik, die da oben steht,
sehen sie N mal genau derselben Term.
Sie nehmen das maximal über denselben Term,
ist also derselbe Term, wie es vorher war.
Und weil die Metris sich nicht ändert,
gilt auch für diese Größe Groß N.
Die Zahl der Bälle, die sie brauchen, zu mal beidecken.
Sie werden einmal für ein bestimmtes App Store in eine Zahl.
Die hängt dann im Folgenden nicht mehr vom N ab.
Das Großen hängt nicht mehr vom kleinen Endup.
Deswegen gilt dasselbe als auch.
Auch ist. Auch
Für alle Äpfel dann größer, null. N von FNY
. Und eine Bank. Von Enden. Ja,
und wenn sie eine Größe haben,
die unabhängig von Ende ist und dann diesen Demes betrachten,
eins durch einen Maloghorhythmus dieses Terms,
dann kommt natürlich ein konstanter Term raus,
eins durch einmal im konstanter Term,
kongreedom limes.
Limesop gegen null.
Also. Gleich null
Und wenn sie jetzt den Liebes-Apps und gegen Endlichen von Null nehmen,
ist natürlich, kommt dann natürlich auch Null heraus.
So, weiter. Half-Life. Gleich neu. Das heißt,
Isymmetrien, leichte Abbildung, gleich zu verstehen,
aber die haben noch keine End-OP,
die haben noch kein kompliziertes Verhalten, was man damit unterscheiden kann.
Ja, versuchen wir es mal mit etwas anderen Abbildungen,
wo sich die Mäße in jedem Schritt ändert.
Zum Beispiel können wir sagen, auf einem Kreis können wir zum Beispiel überlegen,
dass die Abstände sich in jedem Schritt verdoppeln können.
Wir nehmen die Appelludi in den Kreis oder das eine,
das in den Wahl nimmt und auf Länge zwei
streckt und dann wieder um sich über das Selbst
du überfaltet
Das jetzt nicht invertierbar und wird auch im Folgenden etwas irritierend sein,
aber das ist eine schöne Abbildung, die alle Abstände verdoppelt in jedem Schritt.
Und die können wir euch studieren. Zweitens,
die Abbildung, die zum Beispiel so aussieht,
F geht von X nach X und sagt,
für X gleich, der 1 Tores, T1,
gleich S1 gleich, sozusagen 01, Mard Tilde mit Null,
Tilde 1, das heißt die Ecke Lensgalation,
heftet die Endpunkte vom eines Intervall an sich selbst an.
Ist ganz egal, läuft das eine, das sind zwei Leute, was anderes nehme.
Ich habe es nur deswegen hin, damit wir wissen,
dass wir über eins reden, stellt über zwei P.
Und die Abbildung geht so, dass X wird abgebildet auf
2X. Mord 1. Schreibweise für auf den Toast auf sich selbst abbilden,
beziehungsweise wie bei den X-Up auf die Äquivalenzklasse von 2xX.
So, die Abbildung, die kann man uns leicht vorstellen,
die Abbildung geht so, dass wenn wir sie als Graf sehen,
von 0-1, in sich selbst, dann ist der Graf so,
dass er eben zweimal das Intervall auf sich selbst auffaltet,
dass ihr es die Appel langt.
Die Abbildung F. Und diese Appelung, er verlaufen sich, die Eigenschaften,
dass alle Abstände, zumindest ganz kleine Abstände, verdoppelt werden.
Große Abstände werden nicht verdoppelt, weil der maximale Abstand
eins ist und der kann nicht überschritten werden. Ja,
und ich behaupte jetzt, wenn wir dies betrachten,
wird dies verdoppeln in jedem Schritt,
das werden wir in der Entropie wiedersehen und die Entropie wird eine Art Expansionsrate,
diesmal das verdoppeln
Gerade widerspiegeln. Ja, machen wir uns ans Werk
und versuchen für diese Abbildung, mal etwas auszurechnen.
Da müssen wir uns schon ein wenig durch die Definitionen durchhangeln.
Es gilt jedenfalls für kleine Größen von Äpzilon,
für einen kleinen Abstände vergrößert und große Abstände bleiben so groß,
wie sie eben sind.
Ja, was müssen wir tun, um die Entrepy auszurechnen?
Wir müssen diese Limitees betrachten. Fangen wir mal an mit
dem DNF von Y. Also
dann gilt
Für XY. Nahe. Beieinander. Ja, und das
sollte ich vielleicht quantifizieren, wie Namen über die sie haben.
Ich will sie haben, so dass ein D von XY
kleiner ist als zwei hochka. Plus eins. Dann gilt,
dass im ersten Shirt der Abstand verdoppelt wird,
im zweiten wird er nochmal verdoppelt und so weiter,
bis zum Kartenschritt und dann geht es nicht mehr weiter
Für ein kleiner Gleichk. Das, der Abstand in der
Bohnenmetrik. Sich in jedem Schritt, vergrüßend. So,
jetzt hatte ich gesagt, wenn Abstand der Größe werden,
sind die Einheitsbälle kleiner
Deswegen die Zahl der Einheitswellen, die man braucht,
um etwas zu bedecken, auch größer.
Grob gesagt, so wie die Abstände ihre Größe werden,
wird auch die Zahl von Einheitswellen, die man braucht,
um irgendetwas zu überdecken, größer werden.
Also das heißt, der Ball von Radius,
wie viele Bälle von Radius?
Eins in dieser Programmetik oder App Stone brauchen nur noch,
um das zu überdecken.
X,
damit die DEMF Wellen von Radius
Äpsterant zu überdecken. Benötigen wir. Ja, wie viele Wochen überhaupt?
Vergesst mal kurz das DNF und überlegen uns in der ganz
normalen Standardmetrik. Wie viele App-Stone-Bälle braucht oder App-Sonante Walle?
Wochen, um einen Intervall der Länge 1 zu überdecken.
Nun ungefähr eins durch Y und viele. Das heißt,
wir brauchen typischerweise eins durch Apstelon mal Länge des Raums.
Und in diesem Fall wird das Apstel und jetzt durch diese Vergrößerung
der Metrik mit dem Faktor 2 auf dem NSN mal spliziert.
Das heißt, wir brauchen jetzt 2 hoch
N mal so viele
Um das zu überdecken. Also wir brauchen eine Konstante,
also sagen wir mentestens. Zwei hoch. N mal 1
durch Y. Viel und weil es keine ganze Zahl ist,
drohen wir vielleicht mal ab.
Ja, und jetzt ist das noch eine Abschätzung.
Bei N steht eine genaue Definition. Ich muss also
die genaue minimale Anzahl einsetzen. Das heißt,
die Oberabschätzung gibt es uns nur eine einseitige Abschätzung.
Deswegen sage ich mal, höchstens brauchen wir so und so
viele, heute zwar höchstens doppelt so viele
Und höchstens... Sagen wir mal, zweimal 2 Uhr N,
also zwar auch N plus 1, mal einzig Y.
Und das ganze Runden wie meinetwegen auf, statt ab,
was nicht viel ausmacht.
Dann haben wir also so und so viele Bälle.
Jetzt habe ich in Groß N von FN Appson nicht präzise angeben,
sondern nur bis auf einen Faktor 2.
Das muss nicht weiter stören, denn bei diesem lieben Sub
fällt der Faktor 2 oder so etwas ohnehin wieder heraus
Es ist 2 auf Caplos 1 nicht ziemlich groß, auf Verzeihung.
Hier muss natürlich ein Miner stehen. Ja, ich höre
natürlich von kleinen Punkten. So, die Anzahl der Bälle
wächst also auf jeden Fall exonentiell mit Wachstumsrate Log 2 mit N.
Also es ist, ohne dass ich einen genauer kenne,
ich kenne es besonders an Faktor 2,
was gut genug ist,
Liam Sub
Eins durch Anne. Log. Anne von FN Y. Ja,
und hier werdet ihr jetzt stehen 2 Hoch N,
mal konstant eventuell, konstant fallen weg,
weil sie macht nach dem Logorithmus zu einem additiven Termin werden,
der Richter ist eins durch N,
vernichtet wird.
Und die ist erst dann gleich der Wachstumsrate, Limes.
In diesem Fall ist Berlin subgleich ein Limes.
10 N. Log.
2 Hoch N. Und das ist also Log
Da sind wir auch ein generelles Prinzip. Immer wenn ein exponentielles Wachstum haben,
sodass in jedem Schritt Abstand mit dem Faktor K oder J oder Alpha,
in diesem Fall Alphagleich, zwei multipliziert werden,
ist die Endope, Logorithmus von Alpha.
Also ich könnte das genau dieselbe Abbildung,
die hier steht, nochmal hinschreiben mit zwei ersetzt durch A.
Das wäre in diesem Fall keine stetige Abbildung mehr,
weil sie am Rand irgendwie nicht den letzten Punkt auf den ersten abbilden würde.
Aber wenn wir hier A hinschreiben würden und irgendwie uns mit der Unständigkeit abfinden würden,
würde genau dasselbe Argument hier durchgehen mit deinem kleinen Korrektur bei
der Unständigkeitsstelle.
Und hier käme wir heraus, locker
Das heißt, grob gesagt, immer wenn wir Expansionen haben,
in eine Richtung, Expansionsratgeschwindigkeit, A, kommt heraus,
locker ist die Endopie.
Später finden wir heraus, was passiert,
wenn wir mehr in Richtung expandieren, wenn wir sagen,
wir in eine X-Richtung, Abstände verdoppeln, Y-Richtung für Dreifachen.
Das kommt dann raus. Und es wird dann seinen Lock
von der gesamten Expansion, also Lock,
6 wird die Endopie von so einer höherdimensionalen Abbildung sein.
Ja, bevor wir noch weitere Beispiele betrachten,
ein paar Eigenschaften von der Endopie allgemein
Musik Ja. Warum brauchen wir absagen, Bälle?
Okay. Ich kam gerade die Frage, warum braucht man
einzig Apps an Bälle, um das zu überdecken?
Also wo kommt diese Therm 1 durch Apps dann her?
Also ich stelle ihnen vor,
sie haben ein Intervalle der Länge 1 und Intervalle,
Sub mittlerweile der Länge Apcedon und fragen sich,
wie viele davon brauchen sie?
Oder Sub eine Wahl der Länge, Better. Also mit
dem ersten Intervalle überdecken sie ein Stück der Länge Apcedon,
mit dem zweiten wieder ein Stück der Länge Apcedon,
mit dem dritten und
so weiter
Und wie viel brauchen Sie insgesamt? Sie brauchen,
dass die Anzahl groß N, mal Y. Soll sein,
die gesamte Länge. Großende mal Äpfel und gleich eins.
Ist das VN gleich eins durch Äpfel noch? Und nur
diese Überdeckung müssen wir noch etwas aufpassen. Jetzt habe ich genau gesagt,
finde ich, gesagt, ich stelle die anderen nebeneinander.
Ob das ein Punkt ist noch dazwischen, den muss man
noch mitnehmen. Aber die kleinste Anzahl von Ölbedeckung,
die man braucht, ist mindestens die Zahl der Intervalle,
die ich hineintun kann, so ein Stück ein Stück.
Und wenn ich sage, das war noch keine richtige Überdeckung,
sondern da sind noch Punkte dazwischen,
ich musste etwas überlappen lassen,
brauche ich ein bisschen mehr.
Und zum Beispiel
doppelt so viel oder so
Also ich glaube, zu vieles schon reichlich übertrieben,
aber ich habe ja gesagt, das ist auch ein Faktor 2,
der so nicht mehr ankommt.
Aber einzig Apps, sondern es ist auf jeden Fall eine Unterabschätzung,
mit weniger als einzig Apps, dann kann ich es nicht machen.
Und mit zweimal 10 Apps, dann kann ich es auf jeden Fall machen.
Und deswegen ist die rechte Zahl wohl irgendwo dazwischen.
Irgendwo dazwischen einzig Apps und zweimal 10 Apps waren geeignet gerundet.
Und das reicht auch schon für dieses Argument. Gießen wir
uns ein weiterer typische Methode, eine Berechnung von Entropien.
Typischerweise kann man das groß enden,
nicht so exakt ausrechnen, aber wir sagen,
wir brauchen es gar nicht exakt auszurechnen,
weil wir ohne eine exponzielle Wachstumsraten bestimmen
Das heißt, wenn wir das zu groß einbestimmen,
ein bisschen was Faktor 2 oder 10 oder eine konstante Rate oder sogar irgendeinen Term,
der nicht schneller wächst als exponentiell,
dann sind wir auch gut genug dabei.
Okay, jetzt hat dieser Entropie folgende Eigenschaften. Also,
wir haben schon mal gesehen, Isometrien haben keine Entropie, haben N-tropie
0. Exponentielles Wachstum hat irgendwelche Logorithmen von den Wachstumsraten als Entropie.
Was passiert, wenn wir zum Beispiel die Abbildung F iterieren?
Wenn wir statt F-Quadrat betrachten, also jedem Schritt
doppelt so schnell voranschreiten
Dann werden wir sehen, naja, hier gucken wir uns an,
nee, wann würden die Abbildung F ersetzt haben durch F-Quadrat
und F-Hoch 3 oder die Namen gewöhnen.
F ersetzt haben durch die dreifache Anwendung von F.
Nennt man Expansionen nicht mit Faktor 2,
sondern 2 mal 2 mal 2, in diesem Fall also 8.
Dann hätten die dem Schritt eine Vergrößerung mit dem Faktor 8.
Das käme also rechts so aus Loghythmus von 8 oder 3 mal Log 2.
Und da sehen wir intuitiv, dass die Karma die Anwendung
von F, wahrscheinlich kam er so viel entropeiert.
Vielleicht noch nicht, das müssen wir noch genau überprüfen.
Also als Eigenschaften von N2P
Der alles. Ja, dann. Was haben wir so schon gesehen?
Was wir schon gesehen haben, Isymmetrien haben keine Entropie.
Die Identität hat auch keine Entropie. Also,
wenn wir sagen, Identität, und davon bilden wir Haar,
dann kommt natürlich heraus, null,
weil die Identität ist eine Astranaisometrie, sogar die beste Eisometrie,
die es gibt,
die alle Punkte da ist,
wo sie sind
Dann sehen wir als Weitereigenschaft das Haar von Karma-Anwende von F. Oder
ich schaue mal M mal, weil das kam,
habe ich in diesem Beweis schon vergeben.
Gleich M mal. H von F für Element N.
Das ist jetzt eine Behauptung,
die habe ich am Beispiel gezeigt und für dieses Beispiel stimmt sie,
dass sie allgemein zeigt, welchen noch beweisen lassen.
Der weiß,
er vor allem auch nur etwas Arbeit
Dann habe ich gesagt, F soll potenziell ein Homöophismus sein,
also Invertierer. Dieser hier ist nicht Invertierbar.
X geht nach Zweigs, kann man nicht invertieren.
Es gibt auch Abbildungen, die man invertieren kann.
Und dann ist die Frage, was kommt dort heraus?
Kommt das Inversum vielleicht mehr oder weniger Entropie als die originale Ableitung?
Also dies hier wird eines Satzes gleich noch formuliert werden.
Der Satz, das Geld. Also wenn F invertierbar ist, Ach, von.
Inversus von F gleich. Ja, von F. An den Worten,
wenn sie in eine Richtung strecken und an einen anderen stauchen,
sagen wir mal, sie verdoppeln den Abstand in eine Richtung
und halbieren in den anderen.
Denn wo die Inverse-Abbildung irgendwie das angemachte und in der Stauchungsrichtung
strecken, in der Streckungsrichtung stauchen.
Ja, generell kann man diese Eigenschaften zusammenfassen, die hier stehen.
Nämlich, dass wenn F inventierbar ist,
dann gilt sogar zusammengefasst
Das ist die Entopie von der ehemaligen Anwendung von F,
gleich die M-Betragmale-Anwendung von FO1 ist.
Für Homöo
So, das sind jetzt drei Mächte. Die Eigenschaften,
die angeben, was passiert, wenn sie die Abbildung mehrmals oder auch inverse betrachten.
Bevor ich das so weise, an anderer Struktureller Satz,
der aber leichtes zu zeigen ist und den ich auch brauche für den Rest.
Nämlich, wir stellen uns vor, wir haben einen anderen Raum,
einen anderen Raum, der eine andere Metrik hat und untersuchen,
was dort die Appellonk F, die per Kontinuation dorthin übertragen wird,
so tut.
Das heißt, wir stellen uns vor,
wir konrigieren die Abbildung F,
mit einer Abbildung G auf einem anderen Raum,
Und untersuchen dort die Endrope. Das heißt, wenn.
F. X nach X. Und G. Y nach Y. Zueinander kondriert sind.
Konzept der Kongigation heißt einfach,
es gibt eine Abbildung von dem einen Raum in den anderen und zurück,
sodass die Abbildung F in den einen Kongornaten und die einmal G,
in den anderen Koordinaten übereingestemmt
Das heißt... Hackst du hier deine Abbildung?
Ha, will ich sie nicht nennen? Irgendeine Abbildung,
Vieh von, nix nach Y oder,
wie nennen wir den Abbildung,
Großvieh ist gut?
Die ein Homöophismus ist
Mit. Mit Eigenschaft, dass dies Diagramm X nach X,
Y nach Y kommentiert. Hier ist die Abbildung Großvieh.
Wenn es so etwas gibt wie hier,
dann kommt heraus, dass,
wenn also die Verkehrtung rechts rum an links rum dasselbe ist,
also mit anderen Worten,
wie nach F gleich
Okay. Ach, Vieh. In allen Worten,
wenn sie diese Kurdnachenwechsel ignorieren, würden einfach stehen, F gleich gehen.
Also wenn dies die Bedingung für die Konnegation von FCG.
Und wenn dies der Fall ist,
dann haben F und G
dieselbe topologische Entropie
So, und um das Ganze formulieren zu können,
muss noch ein anderer strukturellerer Satz gezeigt werden,
nämlich ich rede hier von top logischen Räumen und hole mir auch mal Wismen.
Ich habe noch nicht gesagt,
was die Metrik auf X und Y sein soll.
X und Y sollen beliebige, kompakte, metrische Räume sein.
Also X und Y sollen.
Kompakt und mit Metrik
Und hier steht nicht da irgendwas, sondern in einer speziellen Metrik,
das gilt für jede Mete, die da so daherkommt,
um diese Aussage formulieren zu können.
Soll ich genau genau genau noch sagen,
dass wenn ich die Metrik ändere auf deinem Raum X,
dann ändert sich die toklogische Entropie nicht.
Als weitere wichtige Eigenschaft. Die Tropi-H. Es ist unabhängig
Metrik.de. Was soll ich erstaunlich ist, denn eine Definition
von haben, da steht ja die Metrik D explizit drin.
Es steht die Metrik D stehen in der Defension von DNF und DNF
wird benutzt für N-F-N-Apcelon und N-F-N-F-N-F-N-F-N-F wird benutzt für H-Apps longled für H.
Trotzdem ist nicht hier die Behauptung,
die ist ganz schmeckt auch leer,
dass wenn ich eine andere Mete nehme,
dann kommt dasselbe heraus
Ja, allerdings sollte ich erst mal begründen. Ich fange mal mit dem Letzten an,
dass die Endropeer nicht unabhängig sind von der Metrik,
also mit anderen Worten,
wenn ich eine andere Metrik auf demselben kompaktmetrischen Raum habe,
dann soll dasselbe herauskommen.
Grundsätzlich gilt, wenn... Die Strich,
eine... Innere Metrik.
Auf XS
Dann ändern sich... Eventuell DNF. Und N. FIN Y.
Hier steht, dass D nicht als Argument drin,
aber es ist implizit dazu benutzt.
Jedoch nicht
Nicht habe
Tschüss. Ja, so viele Behauptungen brauchen jetzt
ein wenig Beweis. Und damit fange ich mal an.
Fangen wir an mit der letzten Behauptung,
dass nämlich die Mete keinen großen Einfluss hat.
Wir stellen uns also vor,
wir haben eine andere Metrik
Wir stellen uns erst mal vor, wir haben eine Uniform
äquivalente Metrik. Also sein. Und dann,
wenn die Mete in Uniform äquivalent ist, dann nennen sich
sozusagen das Gruß-D nur das Kleindeal nur seinen Faktor der Konstante.
Und das wird dann folgende bei der exponentiellen Wachstumsrate wieder herausfallen.
Das wird das Argument sein. Also sei ein D-Strich,
eine andere Metrik. Auf X. Dann gilt es erst mal
wegen der Kompaktheit, dass diese andere Metequalität das zur ersten.
Das heißt, so war eine Konstante, kommt dasselbe heraus.
Keine Regen. Gäste. D zu D-Strich.
Uniform. Äquivalent. Also, mit anderen Worten DH.
Es existiert eine Konstante
Kleiner Unendlich mit,
also das für alle XY Element X gilt,
dass die Abstand in einer Metrik,
die XY höchstens zehnmal den Abständen in anderen Metriist XY und genauso mit D&D-Strich vertauscht.
Der Strich von XY, Kleine gleich zehnmal.
Ple von XY
Okay, mit anderen Worten, das erste,
was wir sehen, und dazu ist doch der erste Punkt,
wo wir die Kompakte des Raumes wirklich brauchen.
Also genau genommen der zweite, weil bei
der Endlichkeit von Gruß N haben wir sie schon benutzt.
An dieser Stelle können wir sagen, wenn wir Kompaktheit haben,
dann sind D&D-äquivalent. Und wenn die Metiken jetzt äquivalent sind,
dann welchen zeigen, dass die Wachstumsrat von solchen Bällen nicht von der Konstanten C abhängt.
Okay, wir stellen also vor, wir hatten ja eine
Menge von Bällen hier. Und wir stellen uns jetzt vor,
wir hätten für alle App-Stone und alle kleinen N,
die Zahl der Überdeckung, bestimmte, die wir brauchen,
mit Bällen von Radios Appson.
Also dann gilt... Das ist die Zahl N für FN Appstellon.
Und im Folgenden mache ich etwas, was ich bis jetzt
nicht gemacht habe und auch im Folgenden nach diesem Beweis wieder weglassen werde.
Und ich werde das B in das N erstmal dran schreiben.
Ich habe bei dir einen D hin,
das ist eine temporäre Notation, denn wir werden folgende sehen,
dass es Gruß endet, das den ich wirklich bedarf.
Also zumindest werde ich es unabhängig davon sein, weil wir,
und erst die nicht mehr so reden werden, Dies ist also,
kleiner gleich, dem N bezüglich der anderen MetikD-Strich.
Das heißt, die Zahlen der Überdeckung,
die wir brauchen, um den Raum X zu bedecken,
mit DNF-Bällen von Radios Y, ist höchstens die Zeit,
die wir brauchen,
um es überdecken mit DNF-Bällen von Radios oder D-Strich-NF-Bällen von Radios Y durch C,
ich sage mal, C soll mal Größe eins sein,
damit ich hier im folgenden die Notation nicht,
nicht allzu sehr für kompliziere
Dann habe ich also, und wenn ich jetzt
das App Stone verkleinere, bekomme ich mehr Bälle.
Also ich schreibe hier App Stone durch C und habe dann diese Ungleichung.
Und es gilt in beiden Richtungen. Und N-D-Strich von FN
App Stone ist ebenso ein Größer als ND.
App Stone durch C. So,
wenn ich jetzt für ein konkretes Äpfelon die Wachstumsraten durchstimme und
nachher das App Stone gegen 0 gehen lasse,
könnte ich natürlich genauso gut,
dass App Stone durch C
gegen 0 gehen lassen
Das heißt, die Wachstumsrate hiervon ist höchstens die Wachstumsrate dort,
wenn ich das App, sondern mit deinem Faktor C,
vorher für sie und umgekehrt.
Also ist... H, Apcelon, Weltzüchtermeter D, also von F.
Das D schreibe ich mal hier oben hin, das wird
im folgenden wieder verschwinden. Das kann ich abschätzen durch die Wachstumsrate,
durch den Strich von F mit dem Parameter Epselon durch.
Durch C und... Höchstrich von F. A. D. Epselon
durch C von F. Und wie dem auch sei,
ich nehme jedenfalls den Limes und dann das Limes Epselon gegen Null
ist dasselbe wie der Limes Apps und durch C gegen Null.
Und deswegen kommt er raus dabei.
Das ist meistens dasselbe
Am züglich D gleich bezüglich D-Strich. Wobei diese Notation an der Temporärnotation besagt,
die Entropie bezüglich D von F, Entropie bezüglich D-Strich von F.
Damit haben wir also die letzte Behauptung gezeigt,
dass wenn sie die Metrik D ändert,
in der beliebigen Andrometik, dann kommt derselbe Wert heraus.
Das ist auch der Grund für diese Bezeichnung toponologischer Entropie,
statt metrische Entopie, statt Metrik, D-Abhängige Entropie,
weil sie letztendlich nur von der sogenannten Topologie,
also der Äquivalenzklasse von Metriken in diese Uniform und Äquivalenz
Es gibt zwar andere Metriken, die zur Ursprungsmädchen nicht Äquivalent sind,
zum Beispiel die diskrete Maze und alle Abstände eins und so etwas.
Und da kommt etwas anderes daraus. Aber immer,
wenn sie an der Äquivalenz nehmen, die die Topologie nicht ändert,
bekommen sie dasselbe. Okay, weil dies so ist,
können sie auch diese letzte Behauptung, die davor steht,
leicht zeigen, das mit der Konnigation.
Wenn wir jetzt zeigen wollen, für X und Y,
berechnen wir Entropien, dann können wir nach dieser Aussage beliebige Metriken einsetzen.
Wir können die Metrik zum Beispiel auf Y beliebig ändern,
wie es uns gerade passt.
Und das tun wir auch. Und wir zeigen in einer
geeigneten Metrik auf Y
kommt das Richtige heraus
So. Das ist jetzt die Behauptung der Aussage hier drüben.
Also, beweist zu. Ha, von F-Bleich, HVG
, für FG koordiniert. Also auf Y können wir eine
Metrik, unserer Wahl, definieren. Denn wie gesagt,
die Berechnung hängt ja nicht von der Metrik ab.
Welche Metrik sollen wir nehmen? Welche Metrik auf Y
nehmen wir? Weil wir haben einen Raum X,
wir haben eine Metrik auf X,
wir haben eine Abbildung F auf X, eine Applung G auf Y.
Und wir haben dieses Abbildung Vieh von X nach Y.
Und jetzt wollen wir die Entropie von G bestimmen
In irgendeiner Metrik, die uns am besten passt.
Welche passt uns am besten? Mit welche können wir am leichtesten arbeiten?
Nehmen wir doch so eine, wo alle Abstände exakt so sind,
wie die Abstände von F im Raum X. Das heißt,
wir transportieren konstant die Metrik von 11 nach Y.
Alle Abstände sind also so wie vorher. Der Raum von zwei Punkten in Y ist,
dass der Raum von zwei Urbildern in NX,
dann wissen wir schon, die Metrik auf Y ist genau gleich,
die Idee auf X, abgesehen von dieser Abbildung Großvieh.
Und dann wird alles genau gleich sein.
Also wir setzen setzen D auf Y oder die Schlange.
Strich, ich dann für eine Metik auf demselben Raum.
Strange steht jetzt zu einer Metik auf dem anderen Raum,
die aber ähnlich sein wird. Die Schlange von Y1,
Y22. Bis jetzt habe ich die Punkte XY genannt,
aber jetzt benenne ich sie mal nach dem Raum,
in dem sie sind. Gleich der Metik D,
D war die Metik auf X von 4 und minus
1. Y1,
4,
ruminus 1 von
Das definiert wegen der Stätigkeit von Gruß 4, der Homeomorphie-Eigenschaft,
die in, weiß ich auch nicht, stetig, eine Metrik.
Also dann, und das hat die Eigenschaft,
dass Punkte X X1 X2, denselben Abstand haben wie 4 von X,
FIFA 4 von X1, 4 von X2.
Also dann... Für alle X1,
X2 für Matt im Raum X oder X Metimatical D,
wobei dies, die, was hier steht,
dasselbe D ist wie das D,
was Dorf steht
Lassen die vorhanden. Das 1X2, gleich. D von
die Schlange. Die ist also auf X und die
ist auf Y. Pinguard Metrik in X.
Die Systemetrik in Y. Und wir haben jetzt zwei Metriken,
die wir eingeschafft haben, dass Punktepaare genau dieselben Abstände haben.
Und wenn Punktepaare immer dieselben Abstände haben,
dann sind auch offene Kugeln,
offene Kugeln
Überdeckung sind Überdeckung. Und eine Überdeckung mit K-Elementen,
sondern Überdeckung mit K-Elementen nach dem Transport. Und deswegen ist
es auch das Wachstum, die exponentielle Wachstumsrate von Überdeckung,
dieselbe exponentielle Wachstumsrate von Überdeckung im anderen Raum.
Deswegen das. Das Bild einer Überdeckung
Eine das Fee-Bild sozusagen?
K. Wellen. Eine Überdeckung. Mit derselben Anzahl Bellen
In Y. Ja, und alles ist gleich.
Alle Abstände sind gleich. Alle Kugeln sind gleich,
die Zahlen von Kugeln in der Überdeckung ist gleich.
Und deswegen ist natürlich auch das Wachsen,
die exozelle Wachstumsrate von solchen Überdeckungen ebenfalls gleich.
Und weil die so ist, ist dann also deswegen...
Also geht's, dass diese Zahl, Gruß N,
von FN, Y. Und diesmal muss ich die Metrik D
noch zuschreiben,
sich der Metrik D in
Dieses D ist, wie hier, temporär dazugefügt,
um die Mete noch zu charakterisieren. Also ND von F
in Y ist dasselbe wie die Zahl der Bälle in der Metrik,
die Schlange, die wir gerade kunstvoll definiert haben, auf Y.
In der Abbildung G, züglich N und App Store.
Und weil wir diese gleichen haben, dann ist sofort klar,
dass auch die existenzielle Wachstumsrate davon gleich wird.
Ah, von F. Gleich. Hafen G. Entropinen sind gleich
. So, das war der Weiß von Aufsage 2.
Was sage ich 2, wurde jetzt gesehen.
Und jetzt kommen wir zu den Aussagen,
die am Anfang stehen, nämlich das mit dem Inversen.
Und das mit dem Verketten von Abbildungen kam man hintereinander.
Und der Beweis gibt es dann rückwärts,
wir fangen mit den tätesten Aussagen an,
weil wir die für die anderen benötigen
. . .
Okay, also das Nächste kommt die Frage, was passiert,
wenn F invertierbar ist und wir das F rückwärts anwenden können?
Die Behauptung ist, dass die Entropie dieselbe ist.
Wenn einfach ein Home-Emorphismus ist, steht ich in beiden Richtungen,
dann ist die Entropie von F von minus eins,
das selbe wie die Entropie von F.
Und alle Worten, wir nehmen dieselbe Anzahl von Wellen.
Und das selbe noch für die Überdeckung,
da ist auch so ein ähnliches Argument gelten.
Ja, dann schauen wir mal, wie wir das beweisen.
Also wir stellen das vor, wir haben eine Überdeckung mit
Apps an Kugeln und gucken uns an, was da passiert.
Und wir gucken uns an,
wir haben eine Überdeckung mit Kugeln für die Abbildung F-H-N,
die Entepotenz
Ja, soll etwas Interessantes gelten. Und dann sehen wir
mal, was passiert. Beweisfahren. A von FOM.
Gleich M mal H von F. Mit anderen Worten,
die einfach Verkettung von F,
dass man noch nicht invertierbar sein muss,
soll M mal die Entopie sein für alle ein Element N.
Das ist also ein Teil der Aussage,
die da oben steht, ist noch ein Detail für Linken,
Tafeln nicht auf der mittleren Spalte
Ja, für diesen Beweis brauchen wir ein paar technische Vorbereitungen,
weil wir nämlich diese Anzahl Groß-N,
die hängt dann wenig von diesem Indizes ab,
dann schauen wir mal, was das mit der Bohnenmetri ist.
Also das gilt. Wir müssen uns ja jetzt
diese Bohnenmetrik DNF ansehen für die Karfache Potenz.
Also sagen wir, dass die Bohnenmetrik D für die
Ämtepotenz RVM
Von XY. Und dies würde ich gerne in Verbindung setzen
mit der Metrik D, MLN von F von XY.
Das ist hier jetzt gleich ein Maximum. Über Therme.
BXY. D. Jetzt bedeutet die erste Iteration von dem,
was oben steht, also FON benutzt.
FOMX. FOMY
Bis zu dem Thermenwurst M mal N da steht.
Und die letzte Situation wird es genau genau motiviert mit N-minus 1.
Das heißt, hier steht Erfurcht mal N-minus 1 von X.
Von Absolut Ordnung. So, dies werde ich abschätzen durch den Therm,
wo ich die zwischen ihm kamen, weil die steht nicht
DEO FOH 1, sondern das erste Times FOM.
Ich werde, dass die fehlende Therme einfügen,
deswegen habe ich da eine Abschätzung. Das ist also kleiner,
gleich dem Maximum von allen Thermen, die von XY,
D von RVX, F von Y. Bis zum Thermen D von RVH,
M mal N,
minus 1
Porn Öfcelon. Und schön sozusagen mehr Therme, aber jeder
Therme, der oben steht, steht unten auch nochmal.
Deswegen ist sie ab, ich habe es in diese Richtung
auf jeden Fall korrekt. Und deswegen ist dies hier,
Kleine gleich, in diesem Fall sogar gleich, der Abstand,
Funktion D, erfuch, eins, mal MN.
XY. Also um dir das zu zeigen,
hier muss ich sozusagen zeigen,
wie verändert sich die Wachstumsrate von Überbedeckung bezüglich Erfuch,
Groß,
F auch der NXMA FOM
Für dich mit den Index-Mengen und der Zahl davon für Erfurch
1. Und hier sage ich erst mal,
ich fange an mit der Bohnenmete und mache diese Abschätzung und ich stelle fest,
wenn ich die Metrik besuche, FOM benutze,
wird sie ungefähr so groß wie dem, wie das,
was hier steht.
Und hier wird ein Faktor M dazukommen. Und
wenn eine Wachstumsrate sozusagen M, also viele Indizes braucht,
dann ist die M mal so langsam und M mal so schnell.
So, im nächsten Schritt brauche ich noch ein Argument,
um das Ganze umdrehen zu können.
Ich brauche auch noch ein Argument oder ich hätte gerne ein Argument,
das besagt, dass der Abstand hier,
kleiner gleiches dem Abstand dort, klappt jetzt so nicht,
weil es nicht der Fall ist und deswegen brauche ich einen mehr komplizierteres Argument für die Zahlenüberdeckung.
Dann fangen wir mal mit Groß N. Also deswegen gilt...
Die Zahl der, ja. Überdeckung, Groß N von
Erfurch in Emstilon. Ich nehme, die will ich
vergleichen mit der Zahl von Überdeckungen für Hervoruch
FM Y. Zwischen diesen beiden Großen hätte ich gerne eine Beziehung,
eine Gleichung, eine Ungleichung oder so etwas, was da so herauskommen kann.
Und ich sehe jetzt in diesem Shirt,
wenn ich das F MLN so oft anwende,
ist das ungefähr dasselbe wie das, was hier herauskommt.
Jeder Ball bezüglich der FOM, wo ein Metrik,
der mit berahmter N, ist Kleine gleich am Ball hier.
Wenn hier die Abstände Größe sind, sind die Bälle kleiner. Das heißt,
ich habe, bis heute kann ich noch einen Zwischenschuss schreiben,
einen Ball von Radius Ähm, Ähm, Ähm,
um diesen Punkt, das ist sozusagen klein, also.
Ich kann sozusagen Zwischenschutz sagen. Deswegen gilt der Ball für jeden Radius Y,
wenn sie so wollen, in der Metrik bezüglich Efforch M.
Den würde ich vergleichen, um irgendeinen Punkt
X. Mit dem Ball von Radius
Naja, vielleicht schaue ich mal in die Medik D-Expliziten.
Sie müssen jetzt viele kleine Indizes lesen. Der Ball bezüglich
der Medik B erforcht M und N. Ich entschuldige mich für
diese kleinen Indizes, das geht sozusagen nicht besser.
Wenn Sie diesen Ball vergleichen mit dem Ball, in der Metrik Erforcht
1. Und M mal N. Das Ganze mit Parameter Epston
um 1.x. Wenn die hier stehen, zweimal Appstone-Bälle in
zwei leicht verschiedenen Metriken. Einmal die Metik, die Bohnmetrik
für FOM
Mit Parameter N, haben wir die One-Mate für F
hoch 1 mit Prime, haben M mal N.
Wenn sie diese Bälle vergleichen, dann sehen sie,
weil die unten die Abstände größer sind, sind die Bälle kleiner.
Das heißt, der Ball hier rechts, ist eine Teilmenge des Balls links.
Genau, das Prinzip, Abstände ungleichen für Abstände,
liefern als Inklusion für Einheitskugeln oder Kugeln von bliebenden Radios.
Für jedes Apps ist ein größer Null.
Für jeden Mittelpunkt und für jeden Punkt Apcedon,
für jeden Radius von Apps und denen
wir auswählen können
Soweit es so ist, sind sozusagen die Kugeln rechts,
sind immer klein, als die Kugeln links.
Wir brauchen also auf der rechten Seite immer mehr Kugeln, um zu bedecken als links.
Wenn wir das jetzt hier anwenden, heißt das,
dass wenn wir hier den Emporrament der N mit M multiplizieren,
dann haben wir Kugeln, weil die Kugeln kleiner sind,
brauchen wir mehr.
Wir haben also die Ungleiche in diese Richtung.
Für alle Y größer neuen. Das heißt,
wir haben damals schon gezeigt,
dass die eine Wachstumsrate kleiner gleich M
mal der anderen Wachstumsrate ist
Das kann ich noch mal ins Expliziten schreiben.
Deswegen. Ach von. F. Okay,
für die Umkehrung muss man halt Argument benutzen,
dass etwas drückreich ist, weil man nämlich nicht sagen kann,
die eine Metri und die andere kann man uns leicht vergleichen.
Aber es ist so ein Wohnball,
findet es immer einen kleinen Deltaball in sich selbst drin.
Und wenn wir das benutzen,
können wir genau genommen
das aufschreiben
Umgekehrt, Geld. Für jeder. Nenn mal B. In
dieser Metrik D NF. Oh mein Punkt X. Wie entschuldige ich
mich für die vielen Indizes, aber das muss in diesem Fall sein.
Jeder Bohnenball um einen Punkt X enthält Er enthält nicht an Apps on Wall um X,
denn die MetikD ist ja größer und deswegen waren die Bälle kleiner,
aber enthält einen anderen Ball mit vielleicht Radios Delta,
Delta Clanners Y, komplett und einen offenen Ball.
Einen Delta. Weil B bezüglich D, nicht der Bohnmix,
sondern der normalen Metrik, mit Größe Delta, um X.
Und die Stelta von dem Allgemeinen von X ereigen.
Allerdings war deswegen der Kompaktheit vielleicht nicht allzu Stimm von X abhängig.
Jedenfalls haben wir solche Werte Delta, die wir finden können.
Und damit können wir zumindest andere Bälle, nicht die,
die wir wollen, aber solche Aufstände damit benutzen.
Und jetzt können wir uns daran erinnern, dass Bohnenbälle,
das war so ein Maximum von Abständen,
deswegen ist ein Bohnenball ein Durchschnitt von einem Ball und dem Eterierten und dessen Eterierten und so weiter jeweils zurückgetragen.
Und das können wir benutzen, um dies irgendwann noch zum Funktionieren zu bringen.
Also er ist... Da ist der Ball,
diese komplizierte Objekt, was ich hier noch mit so vielen
NDCs hinschreiben musste
B. Bezüglich DNF von AppStone,
der Ball von Mytrales Apps, dann bezüglich dieser Metrik,
die dann auch schon wieder drei Buchstaben hat.
Um den Punkt X, das ist was,
das ist der normale Ball, ohne das N.
Und ein Durchschnitt von solchen Dingen. Also das ist
der Ball von Radios Apselon. Um X geschnitten,
dem Ball von Radios Y, um F von X.
Und das Ganze mit F von Milan 1
Okay. Und so weiter. Bis ich enttern zusammen habe.
Das hier ist eine topologische Beschränkung mit Durchschnitten von dem,
was ich vorhin mit der Metrik definiert habe.
Hier steht grob gesagt, ein Punkt ist in der Bohnenmetrik.
Apps on weiter am Punkt Y ist Apps Anwalt von X entfernt.
Wenn er Apps on World von X entfernt ist in der normalen Metrik,
wenn das Bild R von X, und das Bild R von Y,
Apps und weit entfernt sind und so weiter bis zum N-minus-ersten Bild davon.
Das heißt, hier steht so,
das Maximum ist kleiner gleich Y. Und weil dir so ist,
habe ich diesen Ball geschrieben als so einen Durchschnitt.
Und wenn sie jetzt so eine Inklusion haben, ein Delta,
weil es unterhalten ja in so einem Ball,
dann gilt auch per Fortzung des Arguments,
dass so eine Ungleichung sich umkehren lässt.
Das heißt, dass sie in solchen Thermen hier
auch den einen Thermen durch den anderen setzen wollen.
Denn hier haben wir jetzt gesagt,
dass Bohnenwelle mit diesem Parameter in Bohnen,
mit diesen Parametern sich einwetten lassen und Umkehr und gilt dann auch mit diesem Argument.
Ja, und jetzt die Zeit gerade zu Ende.
Im nächsten Schritt werde ich noch zeigen, dass die verbleibenden
Argumente für die Umkehrung stimmen. Also in den Nächten,
vor allem die Staltung, führe ich noch diesen Beweis schnell
zu Ende für die Iteration und für das Inverse.
Und rechne noch ein paar Beispiele von topologischer Endrope aus.
Vielen Dank fürs Zuhören