Ja, guten Morgen, meine Damen und Herren.
Ich will sie herzlich begrüßen zu der Vorlesung.
Und ihnen auch gleich eine wichtige Mitteilung machen. Vielleicht haben
sie es schon gesehen, die neuen Studienleistungen sind da.
Ja, vor allen Dingen geben sie sie rechtzeitig ab.
Wir haben das Abgabe pro Zedere. Ich habe es ihnen
ja schon angekündigt. Wir haben gelernt aus dem letzten Mal.
Also haben wir das Abgabeprozedere geändert. Und zwar dürfen jetzt Studienleistungen nicht
in der Vorlesung abgegeben werden. Also schauen Sie nach,
Wie das Prozedere ist, wir haben drei festgelegte Zeiten,
da werden die in den Büros abgegeben, steht auch dran,
in welchen Büros.
Und die letzte Möglichkeit ist der 28., das ist ein Montag.
Aber hier werden absolut keine Studienleistungen entgegengenommen,
weil das einfach zu schade ist,
wenn dann einfach eine Vorlesung dabei flach fällt.
Ja, gut. Das war die Sache.
Sind Fragen da
Nein, gut, dann würde ich fortfahren im Stoff.
Können Sie jetzt bitte zur Ruhe kommen?
Es fängt an. Wir haben letztes Mal gesprochen,
haben wir begonnen über die Angebotsseite zu sprechen und wir haben hergeleitet,
dass die Gewinnmaximierung ein bei Sicherheit ein sinnvolles Kriterium ist für
ein Unternehmen oder für einen Unternehmer.
Wir haben auch schon hergeleitet,
wie das geht
Heute lernen Sie noch ein anderes Verfahren kennen,
wie man letztendlich zur Gewinnmaximierung kommt,
aber wir machen heute nur den ersten Schritt,
nämlich die Kostenminimierung.
Wir teilen also das Gewinnmaximierungsproblem in zwei Teile auf.
Und diesen ersten Teil, den machen wir heute,
das ist die Minimierung der Kosten
bei gegebenem Output
Ja, und das will ich noch dazu sagen.
Und dann in der nächsten Vorlesungsstunde, also nächsten Freitag,
da werden wir uns dann damit beschäftigen,
wie man dann, wenn man die minimalen Kosten hat,
zum Gewinn maximalen Output-Niveau kommt.
Ja, was bedeutet Kostenminimierung? Wie funktioniert das? Ich habe
letztes Mal schon an vielen Stellen Sie darauf aufmerksam gemacht.
Das ist eine sehr große Analogie gibt zur Nutzentheorie.
Und das werden Sie jetzt auch gleich hier feststellen,
wenn wir kostenbinimierung betreiben
Wir haben also zwei Produktionsfaktoren gegeben und die sind in den
Mengen X1 und X2 vorhanden und die Preise sind wie 1 und W2.
Wir haben eine beliebige Produktionsfunktion, F von X1, X2.
Mit der wir ein bestimmtes Output-Niveau erzielen können und wir fragen uns jetzt,
was ist die Kostenminimale Einsatzmenge an Produktionsfaktoren,
um jetzt ein bestimmtes Output-Niveau zu erzielen
Also, wie sieht das? Optimierungsproblem aus? Wir wollen jetzt etwas minimieren,
also die Zielfunktion, ist eine Minimierung,
nämlich die Kosten wollen wir minimieren und die Kosten sind die
Kosten des einen Faktors und die Kosten des anderen Faktors.
Und das Ganze soll unter einer Nebenbedingung geschehen,
nämlich unter der Nebenbedingung der Produktionsfunktion, die beschränkt unsere Möglichkeiten,
weil wir eine bestimmte Kombination brauchen von Produktionsfaktoren,
um diesen Output zu erzielen.
Also, die Produktionsfunktion ist die Nebenbedingung
Wir wollen das erst mal mit der grafischen Lösung an das Problem herangehen.
Was, diese grafischen Lösungen, die haben ja immer zwei Teile.
Das eine ist hier jetzt die ISO-Kosten gerade.
Mit einer solchen ISO-Kosten gerade, stellt man alle Input-Kombinationen dar,
die ein bestimmtes Kostenniveau C haben.
Also, das ist meine ISO-Kosten gerade. Ich gucke,
wie ich diese Produktionsfaktoren kombinieren kann,
damit ich immer das Kostenniveau C habe
Und das löse ich jetzt auf, nach X2.
Also nach dem Produktionsfaktor 2, dann hat das diese Form.
Also, welche Kombination dieser beiden Inputs führt, wenn ich
ein bestimmtes iPut-Niveau erreichen will, zu den minimalen Kosten.
Ich habe jetzt hier meine ISO-Kosten gerade. Hier ist eine
andere ISO-Kosten gerade, also mit einem anderen Kostenniveau verbunden.
Und diese ISO-Kosten gerade, das haben wir ja gerade gesehen,
als wir nach X2 aufgelöst haben.
Die hat die Steigung wie eins durch
Also das Feld ist praktisch der Faktorpreise. Und das ist
hier meine Isoquante und mit dieser Isoquante kann ich ein bestimmtes
Outpit-Niveau Y erzielen. Und die Frage ist jetzt,
wo ist das Optimale Einsatzverhältnis der beiden Produktionsfaktoren,
X1 und X2 und was ist Ihre Vermutung?
Ja, bitteschön. Genau, im Tank ins Zeitpunkt,
nämlich was ist in diesem Tankenzahlpunkt der Fall?
Was stimmt da,
was passt da zusammen
Ja, bitteschön. Genau, richtig. Die passen zusammen,
also das Preisverhältnis entspricht, jetzt sage ich noch dazu,
dem Betrag der technischen Rate der Substitution,
nämlich die technische Rate der Substitution ist natürlich negativ,
weil ein Faktor gegen den anderen ausgetauscht wird,
wenn man das gleiche Output-Niveau erhalten will,
deswegen muss man dazu sagen,
Das Preisverhältnis ist gleich dem Betrag der technischen Rate der Substitution.
Das müsse sie bei sich noch ergänzen in den Unterlagen.
Ich habe das hier schon gemacht. Also ergänzen Sie hier noch,
dass es auf den Betrag der technischen Rate,
der Substitution ankommt, die gleich sein muss, dem Faktor Preisverhältnis.
Und was war das Analogum in der Nutzentheorie?
Was haben wir
da gemacht
Was war das entsprechende Problem? In der Nutzentheorie hatten wir ja sowas ähnliches gemacht.
Was war das? Einfach, dass sie nochmal reflektieren,
wo Sachen unterschiedlich sind, wo Sachen gleich sind.
Zwischen diesen beiden Fächern. Ja, bitteschön. Genau,
da war das, und also das ist sozusagen die Gemeinsamkeit,
diese Optimalitätsbedingungen, einen gewissen Unterschied, werden wir nachher noch herausarbeiten.
Vielen Dank
Wir wollen jetzt natürlich auch, nachdem wir uns das
so grafisch hergeleitet haben, das Algebraisch herleiten.
Und hier ist es wieder wie in der Nutzen-Theorie,
es gibt zwei Lösungsansätze, es ist einfach hier ein Optimierungsproblem, Unternehmensbedingungen.
Auch hier, man kann entweder die Nebenbedingungen in die Zielfunktion
einsetzen, wann ist das aber nur praktisch?
Das ist natürlich dann nur praktisch, wenn man die funktionale
Form der Produktionsfunktion kennt. Dann der andere Ansatz,
den wir auch schon kennen,
das ist der Lagrange-Ansatz
Und ich will das jetzt mal allgemein,
weil wir eben die funktionale Form der Produktionsfunktion jetzt nicht kennen,
mit dem Lagrange-Ansatz, ihnen zeigen, wie ging der nochmal?
Also, man muss die Lagrange-Funktion aufstellen, die Lagrange-Funktion,
ist die Zielfunktion, minus Lampta,
das ist der Lagrange-Multiplaplikator, mal der Nebenbedingungen.
Und wenn man diese Lagrange-Funktion hat,
dann leitet man nach allen Variablen ab
Welches sind das hier? Das sind die Inputfaktoren,
X-1 und X-2 und der Lagrange Multiplikator.
Und wenn Sie hier die erste Ableitung bilden,
also die Bedingungen erster Ordnung, ableiten,
dann haben Sie B1. Also wenn ich hier nach X-1 ableite,
minus Lampta, und jetzt muss ich die Produktionsfunktion nach X-1 ableiten.
Und so mache ich das auch mit X-2 und ebenfalls muss ich
nach dem Lagrange Multiplikator ableiten. Und wenn ich nach dem ableite,
Die erste Ableitung ist nichts anderes als die Nebenbedingungen selbst.
Dann können wir die erste und die zweite Bedingung
durcheinander dividieren und dann sehen wir hier im Optimum,
muss das Faktorpreisverhältnis den Grenzraten, den Grenzprodukten der Faktoren entsprechen.
Also MP1 ist ja Das Grenzprodukt des Faktors 1 und MP2
ist das Grenzprodukt des Faktors 2. Oder man kann auch formulieren,
dass Grenzprodukt dividiert durch den Faktorpreis,
muss bei allen Faktoren gleich sein.
Und warum ist das jetzt sinnvoll? Wenn das Grenzprodukt des
einen Faktors im Verhältnis zu seinem Preis höher wäre als beim anderen Faktor,
dann wäre es natürlich sinnvoll für ein Unternehmen
von dem Faktor mehr einzusetzen
Und zwar sollte er dann so lange von dem Faktor mehr einsetzen,
bis dieses Verhältnis wieder gegeben ist. Also sie können sich vorstellen,
wenn sie eine Produktion haben und es geht um Arbeit und Kapital,
solange die Arbeit ein höheres Grenzprodukt hat im Vergleich zu ihrer Entlohnung,
werden sie mehr Arbeit einsetzen und erst dann haben sie das Optimum erreicht,
wenn gerade das Grenzprodukt im Verhältnis zu dem Preis,
den sie diesem Faktor zahlen müssen,
bei allen Faktoren
gleich ist
Also, wir können formulieren, wenn man ein Gegebenes,
Output-Niveau anstrebt, dann ist der Faktor-Einsatz, kosten wir normal bei dem,
das Verhältnis der Grenzprodukte, dem Faktor Preisverhältnis entspricht.
Oder das Verhältnis von Grenzprodukt- und Faktorpreis, bei allen Faktoren gleich ist.
Und die dritte Art, diese Optimalitätsbedingungen zu formulieren.
Wir wissen, das haben wir letztes Mal hergeleitet,
was die technische Rate der Substitution ist.
Nämlich die Steigung der Isoquante. Und wir haben ausgerechnet die Steigung
der Isoquante ist immer gleich dem Verhältnis der Grenzprodukte gleich dem negativen Verhältnis der Grenzprodukte.
Wenn wir das wissen,
dann können wir als dritte Formulierung diese verwenden,
dass wir sagen, gerade eben haben wir ja hergeleitet,
dass das Verhältnis der Grenzprodukte den Faktor de facto Preisverhältnis entsprechen muss.
Also können wir hier jetzt das Faktor Preisverhältnis einsetzen.
Und dann das Minus beseitigen, indem wir hier den Trag nehmen.
Also erhalten wir hier die Bedingung, der Betrag,
der technischen Rate der Substitution muss dem Faktor Preisverhältnis entsprechen.
Und das ist nicht überraschend, denn das haben wir ja
gerade auch grafisch hergeleitet. Das war ja nichts anderes,
das ist die Steigung der ISO-Kosten gerade und das ist die Steigung,
den Betrag nach der ISO-Quante
Also, bei gegegnetem Output-Niveau ist der Faktor Einsatz kostenminimal,
bei dem das Faktorpreisverhältnis, dem Betrag der Grenzrate,
dem Trag der Technischen Rate der Substitution entspricht.
Sie haben schon
die Gemeinsamkeit zum Nutzen-Maximierungsproblem
Gesagt und erkannt, jetzt, was ist der Unterschied eigentlich?
Und gibt es ein, bei dem Nutzen-Naximierungsproblem,
da war die Budget gerade, die Nebenbedingungen.
Und man hat jetzt auf der Budget gerade,
jeder muss sich an sein Budget halten,
den Punkt gesucht, der Nutzen maximal ist.
Also man hat sich auf der Budget gerade bewegt und hat
dort nach dem Nutzen maximalen Punkt gesucht.
Also die Zielfunktion war die Nutzenfunktion
Und hier, es ist jetzt in die beste Weise gerade umgekehrt,
die Isoquante, also die Produktionsfunktion, ist die technische Beschränkung,
also die Nebenbedingungen und auf der sucht man den kostenminimalen Punkt.
Also die Zielfunktion ist hier jetzt die ISO-Kosten gerade.
Sieht nach einem gewissen Unterschied aus, aber wir haben ja eigentlich schon gesehen,
dass die Optimalitätsbedingungen in gleicher Weise formuliert werden,
der Nutzentheorie und in der Produktions- und Kostentheorie.
Und das wird sozusagen zusammengefasst, zusammengeführt durch, weil man,
weil es die sogenannte Dualität gibt in der Konsumtheorie einerseits und
der Produktions- und der Kostentheorie andererseits.
Wenn man sich nämlich genau überlegt, haben diese Entscheidungsprobleme einen dualen Charakter.
Also in der Nutzentheorie fangen wir damit an. Es ist nämlich
gleichbültig. Sie können das vielleicht an sich selber sozusagen überlegen.
Es ist gleichgültig, ob ein Konsument entweder nach dem höchsten
Nutzniveau sucht und das mit einem gegebenen Budget zu realisieren, versucht.
Oder ob er nach dem niedrigsten Budget sucht,
mit dem er ein bestimmtes Nutzniveau realisieren kann.
Also, Dualität heißt es eigentlich gleich, ob man
dieses Entscheidungsproblem in ein Maximierungsproblem umwandelt oder in ein Minimierungsproblem.
Und üblicherweise formuliert man, es in der Nutzentheorie
eben als Maximierungsproblem
Und in der Produktions- und Kostentheorie ist genau die gleiche Dualität da.
Also es ergibt sich das Gleiche, optimale Einsatzverhältnis. Egal,
ob jetzt das Unternehmen, die minimalen Kosten ermittelt,
um ein bestimmtes Output-Niveau zu erreichen oder ob es den Output maximiert,
bei einem gegebenen Kosten-Niveau. Also auch hier ist es gleichgültig,
ob man es Das Entscheidungsproblem in ein Minimierungsproblem oder ein Maximierungsproblem umwandelt.
Das Ergebnis ist das Gleiche. In der Produktions- und Kostentheorie
geht man üblicherweise mit der Minimierung vor. Aber wir sehen,
es gibt diese beiden Möglichkeiten und deswegen ist es jetzt auch
nicht überraschend, dass eben das Optimalitätskriterium das Gleiche ist.
Das, was wir in der Nutzentheorie abgeleitet hatten für das Nutzenoptimum und das,
was wir jetzt hier gerade abgeleitet haben, für die Kostenminimierung.
Also es muss eben immer der Betrag Der technischen Reiter der Sublidution
gleicht dem. Faktor Preisverhältnis sein oder in der Nutzentheorie,
der Betrag der Grenzrate der Substitution, gleich den Güterpreisen.
Ja, wir haben jetzt gerade hergeleitet, wie man
das optimale Einsatzverhältnis dieser Produktionsfaktoren bestimmt. Und je nachdem,
was sie jetzt da rausbekommen, Wo,
wie viel Kapitaleinsatz optimal ist oder wie viel Arbeitseinsatz optimal ist,
je nachdem, fragen Sie auf dem Arbeitsmarkt Arbeitskräfte nach oder Sie kaufen Maschinen.
Das heißt, aus dieser Lösung, die wir ermittelt haben,
ergeben sich jetzt Fachpups, ergeben sich jetzt Faktor, Nachfragefunktion?
Hören Sie mich doch alle? Gut. Ups. Etwas
instabil heute. Ja, je nachdem, ergeben sich bedingte Faktor Nachfragefunktionen.
Warum sind sie bedingt? Sie sind eben bedingt,
weil sie davon ausgehen, dass ein bestimmtes Output-Niveau realisiert werden soll.
Also, es ist anders, als die Faktor Nachfragefunktionen,
die wir letztes Mal ausgerechnet haben, bei der Gewinnmaximierung,
bei der direkten Gewinnmaximierung. Da haben wir direkt von dem Ziel,
die Gewinn zu maximieren, Eine Faktor Nachfragefunktion abgeleitet.
Und jetzt gehen wir ja den Umweg. Wir optimieren erstmal
bei einem gegebenen Output-Niveau und daraus ergeben sich bedingte Faktor Nachfragefunktionen.
Bei dem, was wir letztes Mal gemacht haben,
bei der Gewinnmaximierenden Faktor Nachfrage, da war der Output-Preis sozusagen die unabhängige Variable.
Man hat also eine Faktornachfrage gehabt, in Abhängigkeit direkt von dem Faktor Preis.
Von dem Output-Preis, Entschuldigung. Wir gucken uns jetzt mal
die Kostenminimierung an bei besonderen Technologien, sind wieder die gleichen Tisch,
besonderen Technologien, die sie auch schon kennen.
Also zum Beispiel eben perfekte Komplimente. Wir hatten das letztes
Mal schon, wie sieht eine solche Technologie aus,
wenn wir perfekte Komplimente haben
Dann zählt sozusagen für den Output immer nur der Beschränkten de facto,
also immer nur das Minimum von dem,
was die beiden Faktoren erreichen, zählt,
weil sie eben immer zusammen eingesetzt werden müssen.
Was bedeutet das? Das bedeutet, wenn man Y,
Output-Einheiten produzieren möchte bei dieser Produktionsfunktion,
dann braucht man Y, geteilt durch A,
mal A,
Einheiten von dem Faktor
Also sie können ja hier für Y schreiben,
dann steht hier A und hier A, X-Eis.
Also braucht man Y durch A, GroßA und KleinA-Einheiten von Faktor 1.
Und, das ist jetzt ganz wichtig,
hier kommt es auf das Und an,
denn die beiden Faktoren müssen ja zusammen eingesetzt werden.
Man braucht von dem Faktor 2 Y geteilt durch GroßA mal
Klein B-Einheiten
Und das sind ja jetzt nichts anderes als bedingte Faktor-Nachfrage-Funktionen.
Ich weiß jetzt, wie groß meine Faktor-Nachfrage nach X1 ist.
Das ist dieses Jahr. Und wie groß die Faktor,
wie bedingt de facto Nachfrage, nach X2 ist.
Und wenn ich jetzt weiß, wie hoch meine Faktor-Nachfrage ist,
dann kann ich die Kosten auch ausrechnen.
Dann setze ich die Faktor-Nachfragen in die Kostenfunktion ein
Und erhalte dieses hier, das ist also eine Kostenfunktion,
die ist abhängig von den Preisen der Inputfaktoren und von meinem Output-Niveau.
Wir hatten das Beispiel der Hosenproduktion als eine Produktion,
wo man Arbeit und Kapital braucht und wie war das Beispiel?
Wir hätten gesagt, man braucht immer zwei Arbeiter und
eine Nähmaschine dafür
Und wenn man das hat, dann kriegt man zwei Hosen.
Also jetzt gucken wir mal, ob das stimmt.
Wenn man zwei Arbeiter hat und eine Nähmaschine,
dann ist hier das, steht beides mal zwei.
Zwei mal zwei, nein, dann hat man also vier Hosen.
So musste die Aufgabe heißen. Wenn man zwei Arbeiter hat
und eine Maschine, dann ist der Output vier Hosen.
Genau, da steht es ja auch.
Wie sieht nun
die Kostenfunktion aus
Also, das Output-Niveau ist gegeben, nämlich vier Hosen.
Für vier Hosen braucht man zwei Arbeiter.
Also die Faktor-Nachfrage nach dem Produktionsfaktor Arbeit ist zwei.
Und man braucht eine Maschine, also die Faktor-Nachfrage ist eins.
Also kann ich das leicht in meine Kostenfunktion einsetzen
und ich weiß jetzt, bei dem Output-Niveau vier habe ich
diese Kostenfunktion
Die Kostenfunktion besteht eben aus beiden, Produktionsfaktoren,
da tauchen beide Produktionsfaktoren auf,
weil wir ja diese komplementäre Beziehung haben in der Produktionsfunktion.
Die andere spezielle Produktionsfunktion, die wir hatten, waren perfekte Substitute.
Da ist es gerade so, dass die Produktionsfaktoren vollkommen gegeneinander ausgetauscht werden.
Also man kann Arbeit vollkommen gegen die Maschinen austauschen und umgekehrt.
Also, wie sieht es hier aus mit den bedingten Faktornachfragen?
Wie viel brauche ich für X1? Ich brauche so viel
von Faktor 1, dass ich den Output produzieren kann.
Also muss ich Y geteilt durch A mal A berechnen.
Das ist also meine bedingte Faktornachfrage nach dem Faktor
Und jetzt ist es wichtig. Oder dieses oder,
nämlich bei perfekten Substituten, kann ich ja den Output entweder
mit dem einen Faktor oder mit dem anderen Faktor produzieren.
Also oder ich brauche etwas von Faktor 2 oder nämlich wie viel?
Y, geteilt durch Groß-A mal B. Einfach die Produktionsfunktion nach
X2 aufgelöst. Und zu was für einer Kostenfunktion
führt das dann
Welchen Faktor werden Sie einsetzen, wenn Sie die Wahl haben,
zwischen zwei Faktoren? Die sind beide gleich gut in der
Produktion eines Outputs, also welchen werden Sie denn einsetzen?
Von was werden Sie das abhängig machen? Bitte? Genau,
von welchem Preis? Also vom Faktorpreis, genau. Also
die Unternehmen werden die billigere Variante nehmen, sie werden die Variante nehmen,
bei der der Faktorpreis niedriger ist und wie formulieren wir das jetzt wieder?
Wir formulieren das wieder als eine solche Minimierung?
Die Kostenfunktion wird so sein, dass die Kosten gleich sind,
dem, was man für den ersten Faktor ausgibt oder dem,
was man für Kapital ausgeben müsste.
Und je nachdem, was das Minimum ist, das zählt
sozusagen für die Kostenfunktion. Und das können wir uns jetzt
auch wieder am Beispiel veranschaulichen, was wir dann letztes Mal hatten.
Und zwar war das die Traubenernte,
sagte bei der Traubenernte, kann man entweder selber pflücken,
also das kann man mit Arbeitern machen,
früher eben mit Schülern oder man macht das heute mit einer Erntemaschine.
Und das, was 20 Personen an einem Tag ernteten,
das kann heute eine Maschine und ich hatte gesagt,
das sollen jetzt mal 20 Zentner sein.
Wie sieht dann die Kostenfunktion des Weinbauern aus? Also wann wird er
sich für Arbeit entscheiden und wann wird er sich für Kapital entscheiden?
Er guckt sich die bedingten Nachfrage, Funktionen an, einmal nach.
Faktor 1, also das ist 20, das ist der Output,
geteilt durch das große A und das kleine A.
Und hier die bedingte Faktornachfrage nach Faktor 2 ist wieder Y
geteilt durch das große A und das kleine B. Also,
ihr wird das wählen, was billiger ist.
Entweder den Preis der Arbeit, also der Lohn mal 20,
denn er müsste ja dann 20 Arbeite einsetzen oder
den Preis für die Miete,
wie seine Erntemaschine
Und das sind dann seine Kosten der Produktion.
Das, soweit klar? Dann kommen wir zur dritten,
speziellen Produktionsfunktion. Das ist wieder unsere Cop-Duclas.
Produktionsfunktion. In ihrer typischen Form X1 hoch A,
mal X2 hoch B.
Wie formulieren wir
das Kostenminimierungsproblem
Also, die Kosten werden minimiert unter der Nebenbedingung der Produktionsfunktion.
Jetzt gibt es wieder die beiden Möglichkeiten. Jetzt ist uns
ja die funktionale Form gegeben, der Produktionsfunktion.
Ich könnte also auch die Einsetzungsmethode verwenden. Also die Nebenbedingungen
um die Zielfunktion einsetzen. Ich habe es jetzt hier
mit Lagrange gemacht und das möchte ich Ihnen kurz vorführen.
Also wiederum, man bildet die Lagrange-Funktion mit der Zielfunktion und
plus oder minus dem Lagrosh-Multiplikator mal der Nebenbedingung.
Dann leitet man, bildet man die Bedingung erster Ordnung,
indem man nach allen Variablen ableitet.
Und teilt die erste und zweite Bedingung durcheinander und erhält diese Bedingung,
dass Faktor Preisverhältnis muss gleich sein,
dem Quotienten aus A mal X2 und B
Was steckt jetzt eigentlich dahinter? Was muss das jetzt sein,
dieser Ausdruck? Dieser Kotient? Wir hatten ja vorhin die
Bedingung allgemein hergeleitet, von was ist das jetzt Ausdruck?
Das muss, ja, das Verhältnis der Grenzprodukte sein,
dieser beiden Faktoren. So hatten wir das ja vorhin
ganz allgemein hergeleitet
Und jetzt bei dieser speziellen Produktionsfunktion haben wir eben eine ganz ähnliche Bedingung.
Und das kann man jetzt nach X2 auflösen.
Und Sie können das jetzt auch mal angucken, diese Optimalitätsbedingungen.
Wann setzen Sie also viel von dem Produktionsfaktor 2 ein?
Sie setzen dann viel von dem Produktionsfaktor ein,
wenn er billig ist
Und sie setzen dann viel von Produktionsfaktor ein, wenn der andere teuer ist.
Ja, also diese Bedingungen machen auch Sinn.
Und sie setzen dann viel von dem Produktionsfaktor ein,
wenn er einen hohen Output generiert, also das B hoch ist.
Und umgekehrt, sie setzen dann viel von ihm ein,
wenn der andere Faktor eben eher eine niedrigen Output generiert.
Und das können sie jetzt in die dritte Bedingung einsetzen,
also sozusagen in die Nebenbedingungen.
Das war ja die Produktionsfunktion. Und da halten sie
diesen Ausdruck
Jetzt haben Sie eine Funktion hier von Y,
was gegeben ist und X1. Das heißt,
daraus können Sie jetzt die bedingte Faktornachfrage ableiten,
nämlich indem Sie nach X1 auflösen.
Ja, Sie isolieren das X1,
dann steht hier X1 hoch A plus B,
dann müssen Sie das Hoch A plus B noch wegbekommen.
Das heißt, Sie potenzieren mit eins durch A hoch
B Und das ist dann hier. Sie müssen eigentlich
vor allen Dingen verstehen, wie man dahin kommt.
Sie müssen sich das jetzt nicht als Formel merken.
Wichtig ist, dass Sie sehen, das ist eine bedingte Faktornachfrage.
Das heißt, eine Faktorn bedingte Nachfrage ist abhängig von
dem Output-Niveau und den Preisen der Faktoren.
Und natürlich kann man die bedingte Faktornachfrage nach X-2
genauso berechnen
Also haben wir diese beiden bedingten Faktornachfragen und wenn Sie sich
die angucken, das gibt auch immer Sinn.
Also natürlich, je höher Y ist,
desto mehr muss ich nach beiden Faktoren nachfragen.
Je mehr Output ich erzeugen möchte, desto mehr muss ich
einsetzen, diese Produktionsfaktoren. Die Faktordachfrage nach X1 steigt,
wenn der Lohn bei Faktor 2 hoch ist.
So können Sie sich eigentlich dieses Ergebnis in vielerlei Hinsicht
plausibel machen
Jetzt zählt es noch ein Schritt komplizierter aus, aber es ist eigentlich nur Einsätzerei.
Und zwar müssen Sie jetzt diese bedingten Faktor nachfragen,
so wie wir das vorhin auch gemacht haben,
bei den perfekten Komplimenten und den perfekten Substituten in die Kostenfunktion einsetzen.
Und was erhält man dann? Ich habe das hier jetzt
schon in aufgelöster Form dargestellt. Man erhält eine Funktion,
eine Kostenfunktion. Das, was hier in der eckigen Klammer
ist, ist Ein fester Parameter.
Da sind ja nur die As und Bs, tauchen darin auf.
Und dann ist die Kostenfunktion abhängig von den Faktorpreisen.
Und sie ist abhängig vom Output-Niveau. Also natürlich,
die Kosten steigen, je höher die Faktorpreise sind und die Kosten steigen,
je höher der Output sein soll, den ich erzeugen möchte.
Was können Sie Was könnt ihr noch sagen?
In welchem Ausmaß steigen die Kosten? Können Sie jetzt vielleicht
nochmal still sein, ist sonst ein allgemeines Gemurmel?
Das ist nicht schön. In welchem Ausmaß steigen denn die
Kosten in Abhängigkeit von A plus B? Wir wissen ja,
A plus B, das sind die Exponenten in der Produktionsfunktion.
Wir haben auch schon mal kennengelernt letztes Mal, was Sie für eine Bedeutung haben.
Wenn Sie hier diese Kostenfunktion sich anschauen,
Und verschiedene Werte für A und B einsetzen, was sehen Sie dann?
Wie verändern sich dann Ihre Kosten? Wer hat da eine
Idee? Für was ist dieses A und B ausschlaggebend
Ja, bitteschön. Ja, genau. Und
wie ist das? Setzen Sie mal zwei Werte ein,
möglichst, dass die Summe mal erkannt ist,
welche Summe ist immer markant für A und B?
Die eins, ja. Setzen wir mal für A und B
einfach 0,5 ein, dann sind Sie zusammen eins.
Was steht dann da? Dann steht hier einfach Y
hoch eins
Also heißt das, wenn ich Y,
um den Faktor Tee erhöhen möchte, dann steigen auch meine Faktor,
meine Kosten um den Faktor Tee.
Und jetzt, in welchem Zusammenhang hatten wir über dieses A
und B gesprochen, über dieses kleine A und B gesprochen.
Für was ist das Ausschlaggeben bei Produktionsfunktionen?
Das ist schön. Genau für die Skalenerträge. Ja,
und können Sie mir auch sagen,
in welcher Weise
Genau. Das ist ausschlaggebend dafür, ob wir steigende,
fallende oder konstante Skalenerträge haben. Wenn A plus
B1 ist, haben wir konstante Skalenerträge. Das heißt,
wenn der Faktor Einsatz, um den Faktor Tee erhöht wird,
erhöht sich auch der Output um den Faktor Tee.
Und dann ist es natürlich auch logisch,
dass die Kosten sich um den Faktor Tee erhöhen.
Ja? Also, wenn A plus B gleich 1 ist,
haben wir konstant Eskalerträge, konsequenterweise steigen auch dann die Kosten,
linear mit dem Output
Wenn wir steigende Skalenerträge haben, das heißt,
wenn wir den Output verdoppeln können und den Einsatz der Produktionsfaktoren aber
nicht verdoppeln müssen dafür, sondern weniger als verdoppeln müssen,
dann ist es ganz klar,
dass die Kosten unterlinear mit dem Output steigen.
Denn ich muss ja weniger proportional weniger einsetzen an Faktoren.
Das heißt, die Faktoren sind ja für die Kosten verantwortlich,
meine Faktoren,
meine Kosten steigen weniger als linear mit dem Output
Und wie ist das bei Fallenden Skalerträgen? Auch wieder natürlich,
klar, aber sagen Sie es ruhig, dann formulieren Sie es.
Können Sie noch mal lauter sein? Genau,
weil ich ja dann um den Output zum Beispiel zu verdoppeln,
muss ich den Faktoreinsatz mehr als verdoppeln,
Darm steigen,
die Kosten mehr als linear
mit dem Output
Das haben wir jetzt also gerade sehr schön für die Cop Douglas Produktionsfunktion
hergeleitet und das gilt aber natürlich auch für andere Kostenfunktionen bei Technologien mit konstanten,
steigenden oder fallenden Skalen erträgen.
Es müssen also, es gibt natürlich noch eine große Vielfalt von Produktionsfunktionen,
die auch steigende Skalenerträge sind, haben,
aber eben nicht Cop Douglas Produktionsfunktionen sind
Und wie sieht das aus? Die Beziehung zwischen Output und Kosten,
bei Konstanten, Skalenerträgen, haben wir gesagt,
ein Linearzusammenhang bei steigenden Skalenerträgen, steigen die Kosten weniger als linear.
Und bei fallenden Skalenerträgen steigen die Kosten mehr als linear.
Also, was haben wir jetzt gemacht? Wir haben in diesem Schritt
jetzt von der Produktionsfunktion oder aus eine Produktionsfunktion eine Kostenfunktion her geleitet.
Sie sehen also jede Kostenfunktion, mit der sie umgehen,
ist eigentlich, was dahinter steckt, ist eine Optimierung.
Eine Optimierung, minimale Kosten zu erreichen bei gegebenen technologischen Beschränkungen.
Wir haben letztes Mal schon über langfristige und kurzfristige Kosten gesprochen
oder lang und kurzfristige Produktions Faktoren und weil es diesen Unterschied gibt,
gibt es eben auch langfristige und kurzfristige Kosten.
Und dem wenden wir uns heute zu. Die Kostenfunktion,
das hatten wir schon, festgestellt,
gibt die minimalen Kosten zur Erzählung eines bestimmten Outputs an.
Ist also das Ergebnis einer Optimierung. Die kurzfristige Kostenfunktion macht das Gleiche. Also gibt auch,
die minimalen Kosten an zur Erziehung eines bestimmten Outputs,
aber jetzt können nur die kurzfristig Variablen Produktzugsfaktoren angepasst werden,
um diese Kosten, um dieses Kostenminimum zu erzielen.
Und bei der langfristigen Kostenfunktion,
da können eben alle Faktoren so variiert werden,
dass das Kostenminimum,
das ein Kostenminimum erreicht wird
Wir kommen zuerst zum, Kurzfrist, zu kurzfristigen Kostenfunktionen.
Also, kurzfristige Kostenfunktion ist eine Kostenfunktion,
bei der nicht alle Faktoren variabel sind.
Wir haben ja letztes Mal, als kurz zufristig definiert,
bei der mindestens ein Produktionsfaktor gegeben ist.
Und das kommt eben auf die Problemstellung darauf an,
wie lange kurzfristig ist.
Aber wir sehen das, dieser Produktionsfaktor.
X2 ist dieser
kurzfristig fixe Faktor
Und jetzt soll diese Kostenfunktion minimiert werden unter der Nebenbedingung,
der Produktionsfunktion, aber auch in der Produktionsfunktion ist jetzt der Faktor 2 eben fix.
Also, nicht mehr bei den Faktoren sind barriabel,
so wäre das gerade eben, hatten,
als wir die Kostenminimierung betrieben haben,
sondern jetzt ist der Faktor 2 Tix.
Dieses Minimierungsproblem ist natürlich
ganz einfach
Wenn man nur einen Variablen Faktor hat,
aber es kann dann kompliziert werden, wenn man mehrere Variablen,
Variable Faktoren hat.
Wie sieht es aus? Können Sie vielleicht da hinten mal
still sein? Dankeschön. Also, wir leiten wieder aus
diesem Optimierungsproblem die bedingten Faktornachfragen her.
Und diese bedingten Faktornachfrage ist nur eine kurzfristige Faktornachfrage,
deswegen hier
Man kann nämlich jetzt nur X1 variieren. X2 steht ja fest.
Y ist auch gegeben. Und diese bedingte facto Nachfrage wird
ebenfalls, wie vorher auch, von den Faktorpreisen abhängen.
Also, wenn wir eine solche kurzfristige Kostenfunktion suchen,
weil nur ein Faktor variabel ist, dann haben wir eine bedingte Faktornachfrage.
Das variablen Faktors und die ist abhängig Je nachdem,
wie der Faktor 2 eingesetzt ist, also der fixe Faktor und
wie viel Output man erzielen möchte und wie die Faktorpreise sind.
Stellen wir uns ein Beispiel vor. Sie haben eine Fabrik gebaut
und diese Größe des Fabrikgebäudes, die steht jetzt natürlich erst mal fest.
Also das ist unser X2 quer. Und jetzt können Sie nur darüber entscheiden,
wie viel Arbeiter in diesem Fabrikgebäude sinnvollerweise arbeiten können.
Und das ist das. Und dann entscheiden Sie,
sagen Sie meinetwegen 100, das ist dann Ihre bedingten Faktornachfrage.
Je nachdem, wie viel Output sie erzielen möchten, mit diesem einen Fabrikgebäude.
Oder die Entscheidung über Maschinen ist gefallen. Also sie haben
zehn Nähmaschinen angeschafft. Wenn die Entscheidung über die Anzahl der Nähmaschinen
gefallen ist, dann können sie nur noch entscheiden,
wie viel näher oder näherinnen, setzen sie an diese Maschinen.
Und das wird eben davon abhängen,
wie viele Hosen sie erzeugen wollen, das wird davon abhängen,
wie teuer die Nähmaschinen waren und wie teuer die näher oder
näherinnen sind
Ja, und schließlich wird es natürlich davon abhängen,
wie viel Näh marschieren sie in diesem ersten Anlauf gekauft haben.
Und über den fixen Faktor haben sie in dem Moment keine Entscheidungsmöglichkeit.
Der ist eben ja fix. Also, wie sieht dann
Ihre kurzfristige Kostenfunktion aus? Sie setzen die bedingten Nachfragen ein,
in die Kostenfunktion, dann haben sie hier einen Ausdruck,
der von Y abhängt und hier haben sie einen festen Wert
Also, machen wir noch mal ein Beispiel, an dem wir es wirklich durchrechnen.
Wir haben ein neu gegründetes Unternehmen und das hat jetzt
eine Produktionsfunktion von Y, gleich K mal 11 Quadrat.
K ist die eingesetzte Menge an Kapital, L-Quadrat ist die Menge an Arbeit.
Und Sie wissen, der Preis für das Kapital ist 10,
der Zinssatz und der Preis für die Arbeit,
der Lohn also ist 15 Euro.
Und jetzt hat sich dieses Unternehmen aber für das erste Jahr,
für einen Kapitaleinsatz von neun Einheiten entschieden
Und jetzt ist also die Frage, was das Unternehmen lösen muss.
Wie viel Arbeit soll es einsetzen, um Kosten minimal zu produzieren?
Ich habe gesagt, bei einem variablen Faktor ist eigentlich
das Problem ganz einfach. Was ist dann kostenminimal?
Bei einer Produktionsfunktion, wo man nur zwei Faktoren hat.
Und der eine schon festgelegt ist.
Was ist dann optimal für den anderen
Optimal für den anderen ist, wir haben ja letzte Stunde gelernt,
die Produktionsfunktion erfasst die maximalen Möglichkeiten,
die mit einem gegebenen Einsatz von Produktionsfaktoren erreicht werden kann,
den maximalen Output.
Also setzt man, wenn Kapital schon gegeben ist,
muss man immer so viel von Arbeit einsetzen,
dass man dieses Output-Niveau,
was man erreichen möchte,
gerade erzielt
Wir sehen, diese Produktionsfunktion, wenn Kapital auf neun gesetzt ist,
vereinfacht sich einfach auf Y gleich neunmal elf Quadrat.
Und jetzt ist einfach der Einsatz von L kosten mir da
mal, bei dem jeweils das gewünschte Y produziert wird.
Also hier müssen wir gar nichts groß minimieren,
denn wir können ja nur noch über L entscheiden.
Und Y ist vorgegeben, also wissen wir sofort aus der Produktionsfunktion,
welches L man braucht für jedes Y. Also,
haben wir hier als kurzfristige, bedingte Faktor-Nachfragefunktion diesen Ausdruck.
Also, kurzfristige Kostenfunktion gibt die Kosten an.
Bei Kosten minimalem Einsatz des Faktor Arbeits und dem festgelegten Einsatz
von Kapital
Kurzfristige Arbeitsnachfragefunktion, die setzen wir wieder in die Kostenfunktion ein.
Und danach erhalten wir diesen Ausdruck. 90 plus 5
Y hoch, 1,5. Wenn Sie sich diese Kostenfunktion anschauen,
was wissen Sie dann alles?
Was können Sie über die Kosten jetzt sagen?
Wie sieht die aus,
diese Kostenfunktion
Was würden Sie sagen? Gucken Sie sich ein bisschen an?
Haben Sie einen Anhaltspunkt dafür, wie diese Kostenfunktion aussieht?
Wenn Sie sie in Abhängigkeit von Y darstellen, also in Abhängigkeit vom Output,
das ist ja die Frage, dass sie diese interessiert,
verändern sich meine Kosten, wenn ich meinen Output variiere.
Das Unternehmen Dass ich jetzt im ersten Jahr auf neuen Output-Einheiten fest,
auf neuen Kapitaleinheiten festgelegt hat,
steht ja nun in diesem Jahr vor der Entscheidung,
wie viel Output soll es produzieren?
Das hängt natürlich von den Marktverhältnissen ab. Und es will nun wissen,
bei jedem Output, wie sehen meine Kosten aus?
Und wie entwickeln sich die Kosten im Verhältnis zum Output bei dieser Kostenfunktion?
Sie müssen wieder diesen Exponenten angucken. Dieser Exponent,
ja, wollen die
es sagen
Meine Meinung. Die Kosten, die steigen, genau,
da müssen sie aufpassen, die Kosten steigen weniger als linear.
Das heißt, wir haben steigendes Gehalterträge. Und stimmt das
mit der Produktionsfunktion? Hatten wir denn bei der Produktionsfunktion
steigende Skalenerträge oder nicht? Woran stellen Sie das fest?
Wie können Sie feststellen, ob Sie steigende Skalenerträge haben bei
einer Produktionsfunktion
Bitteschön. Genau, und was war die Summe?
Genau, also es war größer eins. Wir haben also
steigende Skalenerträge. Das heißt, bei einer Vervielfältigung der Inputs
steigt der Output um mehr als diesen Faktor.
Das heißt, man muss für einen bestimmten Output weniger Faktoren einsetzen.
Und wenn wir weniger Faktoren einsetzen, das führt dann dazu,
dass auch unsere Kosten nur weniger als linear steigen.
Also passt alles insofern erstmal zusammen,
was wir errechnet haben
Das war die kurzfristige Kostenfunktion. Nun, die langfristige Kostenfunktion
. Bei der langfristigen Kosten, das langfristige Kostenmaximierungsproblem,
ist das, was wir heute am Anfang schon hatten,
nämlich es wird eine,
die Kostenfunktion wird minimiert und jetzt sind wieder beide Faktoren variabel.
Unter der Nebenbedingung der Produktionsfunktion und In diesem Fall hat sich
das Unternehmen also noch nicht auf eine bestimmte Menge bei einem der Faktoren festgelegt.
Also, dann sehen die optimalen Faktor Nachfragefunktionen so aus.
Das hatten wir vorhin schon, als wir das bei der Cop-Duglas-Produktionsfunktion hergeleitet hatten.
Die optimalen, also die bedingten Faktor Nachfragefunktionen,
die sind jetzt abhängig vom Output-Diveau, das ist natürlich klar.
Und von den Faktor Preisen Sie sind jetzt natürlich nicht mehr
von der jeweiligen Menge des anderen Faktors abhängig,
weil ja beide Faktoren optimiert werden.
Weil nach beiden Faktoren optimiert wird. Und jetzt setzen wir
diese bedingten Nachfragefunktionen wieder in die Kostenfunktion ein.
Also immer das Gleiche, Prozedere. Man optimiert,
also Minimierung unter der Nebenbedingung der Produktionsfunktion.
Daraus ergeben sich die bedingten Faktornachfragen. Wie setzt man in
die Kostenfunktion ein? Und so entsteht eine Kostenfunktion in
einem Unternehmen
Und wir machen, ich will das wieder zeigen,
an diesem Beispiel der Produktionsfunktion, ein paar L-Quadrat,
gleich Y und jetzt heißt diese Zielfunktion, 10 mal K,
plus 15 Mail, beide Faktoren sind variabel einsetzbar.
Also wir müssen uns vorstellen, die Situation ist,
dieses neu gegründe Unternehmen hat gesehen, der Markt ist gut,
die Kosten steigen ja nur unterproportional,
also es stellt fest,
auf lange Frist möchte es
seine Produktion ausdehnen
Und jetzt macht es also einen Plan darüber, meinetwegen,
wie es jetzt in Fünf-Jahres-Frist aussehen möchte,
wenn es eben dann ein neues Fabrikgebäude planen kann,
sich neue Maschinen aussuchen kann und so weiter.
Ja? Ah, natürlich, natürlich haben Sie recht.
Das sollte sie, ja, genau,
ändern Sie das bitte, das ist natürlich Unsinn.
Vielen Dank
Hier wird es jetzt auch wieder ein Kostminimierungsproblem.
Genau. Man geht also wieder, wo,
ich habe es jetzt diesmal mit dem Einsetzungsverfahren gemacht,
also Einsätzen der Nebenbedingungen in die Kostenfunktion und dann ableiten nach dem Produktionsfaktor Arbeit.
Wenn man das macht, erhält man diese Bedingung.
Also, die Produktionsfunktion hier oben eingesetzt und dann
nach L abgeleitet
Dann erhält man die Bedingten, kostenminimalen Faktor, Nachfragefunktionen.
Einmal ist die Faktor Nachfrage nach dem Produktionsfaktor Arbeit diese und die Produktion,
die Faktor-Nachfrage nach dem Produktionsfaktor Kapital ist diese hier.
Und die sind wiederum abhängig vom Output Y und
den Faktor Preisen der Faktoren.
Und was können Sie jetzt
hier sagen
Eins, weiter will ich diese Frage stellen. Die,
jetzt, wir setzen, weil wir diese bedingten Faktoren nachfragen,
wieder in die Kostenfunktion ein.
Und dann halten wir diese Kostenfunktion. Das hier in der eckigen Klammer
ist einfach ein Wert, den habe ich nicht weiter ausgerechnet.
Mal Y hoch, ein Drittel. Und was wissen Sie
jetzt wieder über diese Kostenfunktion? Was sagt in dieser Kostenfunktion
? Wie wird die Entwicklung sein bei diesem Unternehmen?
Der langfristigen Kosten
Sollte das Unternehmen seine Produktion ausdehnen. Also sein Faktor
Einsatz ausdehnen. Wenn man nur das hier erstmal anschaut.
Was stellen Sie fest? Zeigen Sie mir,
ob Sie es verstanden haben.
Ja, bitteschön
Jetzt müsst ihr aufpassen, der Ansatz ist richtig,
das ist ein Drittel, was steigt jetzt also weniger als linear,
die Kosten steigen weniger als linear, also haben wir nicht fallende Steigenerträge,
Skalneträge, sondern steigende, haben sie gesagt.
Oder vielleicht habe ich es jetzt gerade, haben sie vorhin gesagt,
genau, da muss man sehr aufpassen,
dass man es sozusagen umdreht, es sind steigende Skalerträge,
die Kosten, die steigen unterproportional weil wir eben steigende Skalerträge haben.
Und jetzt vergleichen wir, habe ich das hier nochmal?
Ah ja, genau, das will ich Ihnen noch zeigen.
Jetzt vergleichen wir mal dieses langfristige Ergebnis mit dem kurzfristigen Ergebnis.
Bei der kurzfristigen Produktionsfunktion, ich weiß gar nicht,
ob ich das noch eingefügt habe oder ob sie das in den,
sie haben das nicht, genau, mir fielen das gestern auf,
dass das noch ein guter Vergleich wäre.
Vergleichen wir die kurzfristige und die langfristige Kostenfunktion.
Was lernen wir daraus? Die kurzfristige Kostenfunktion ist diese hier
. Sie haben sie aber in ihren Unterlagen, ja,
zwei Seiten vorher
Die langfristige Kostenfunktion ist diese ja. Was erkennen Sie daraus
? Über die Kostenentwicklung. Wie können Sie das interpretieren?
Sie müssen immer, wenn Sie dann solche Formeln haben,
die sehen ja eigentlich abschreckend aus,
aber eigentlich haben Sie eben immer einen ökonomischen Gehalt.
Und deswegen versuchen Sie immer
den ökonomischen Gehalt daraus zu ziehen
Was sagt Ihnen diese Kostenfunktion? Wo steigen denn die Kosten
schneller? Bei der kurzfristigen oder bei der langfristigen?
Im Abhängigkeit vom Output. Oh. Genau,
und warum ist es bei der kurzfristigen Born steigt,
ist da stärker?
Was ist,
was kommt da noch hinzu
Genau, und das ist ganz richtig. Also,
wir haben zum einen eben eine Funktion mit steigenden Skalenerträgen.
Das ist der eine Punkt. Und warum ist es bei dem kurzfristigen sozusagen,
steigt es trotzdem stärker als bei dem langfristigen, was kommt da noch hinzu?
Sie haben ja schon gesagt, es ist eben ein,
der eine Faktor ist fest, wenn der eine Faktor fest ist,
dann führt das zu einem abnehmenden Grenzprodukt des anderen Faktors.
Und wenn wir ein abnehmendes Grenzproduktes an allen Faktors haben,
das heißt, Wir müssen ihn stärker einsetzen.
Dann steigen die Kosten stärker. Also sind hier zwei Phänomene, die zusammenkommen.
Langfristig, da ist es immer eine Frage der Skalenerträge.
Und wir haben hier steigende Skalerträge. Das heißt, die Kosten steigen
weniger als linear mit dem Output. Kurzfristig kommt noch hinzu,
dass wenn sie jetzt zum Beispiel dieses Unternehmen,
hat sich, ich bin wieder bei den Nähmaschinen,
hat sich für neun E-Maschinen festgelegt in diesem ersten Jahr
Jetzt wollen sie den Output erhöhen und erhöhen die Anzahl der Arbeiter,
dann treten irgendwann die Arbeiter sich auf die Füße.
Und dadurch werden sie weniger produktiv, aber das Unternehmen muss sie natürlich bezahlen.
In gleicher Weise, in der sie vorher die Produktivenarbeiter bezahlt hat.
Das heißt, wir haben in der kurzen Frist kommt das Problem,
der abnehmenden Grenzproduktivität oder das Abnehmen Grenzprodukt hinzu.
Das heißt, das ist der Grund,
warum hier mit dem Output eine größere,
Wom hier mit dem Output die Kosten stärker steigen, als hier unten.
In beiden Fällen steigen sie weniger als linear.
Aber hier steigen sie stärker, als hier unten.
Ja, ist das klar geworden? Eigentlich ist das ein
ganz wichtiger Teil, auch dessen, was jetzt gleich kommen wird,
um das zu verstehen.
Was? Wir haben schon über diese Beziehung zwischen langfristigen Kosten,
zwischen langfristigen und kurzfristigen,
kurzfristigen Kosten
gerade gesprochen
Aber wir machen das heute eben noch. Wir vertiefen das
noch. Was wäre sinnvoll aus dem, was wir
jetzt gerade schon gesehen haben? Sinnvoll wäre es natürlich,
den Faktor 2, also sagen wir mal, das Kapital,
genau auf dem Niveau festzulegen, also kurzfristig auf dem Niveau festzulegen,
dass man auch langfristig als Kostenminimal erachtet.
Also wenn man sich schon kurzfristig dieses Diese Menge an Kapital auswählt,
die dann langfristig optimal wäre, das wäre sozusagen die erstbeste Lösung.
Denn wenn man dieses Niveau findet, dann ist schon
die kurzfristige optimale Menge des variablen Faktors, die langfristige.
Ja, wir haben letztes Mal gesprochen um Fixe und
quasi fixe Produktionsfaktoren. Entsprechend kommen heute die Fixen und die
quasi fixen Kosten
Was sind fixe Kosten? Die entstehen unabhängig vom Output-Niveau
und müssen eben auch unabhängig davon bezahlt werden.
Ups. Da hat sich wohl die Klammer gedreht.
Also, wir haben hier die fixen Kosten. Und hier
haben wir die Variablenkosten. Fixekosten sind unabhängig vom Output-Niveau.
Das sehen wir ja hier. Welche sind das bei Unternehmen
? Das ist eben die Kosten für das Fabrikgebäude.
Die Kosten zum Beispiel, wenn man Maschinen liest oder wenn
man einen Fuhrpark liest bei einem Logistikunternehmen.
Das sind fixe Kosten
Aber fixe Kosten können auch sein, wenn ein Arbeiter fest
eingestellt ist, wenn also sein Vertrag eine Mindestlaufzeit hat.
Auch das sind dann fixe Kosten. Und Variablekosten sind vom Output abhängig.
Quasi fixe Kosten sind solche, die durch quasi fixe Faktoren entstehen.
Und quasi fixe Faktoren haben wir letztes Mal als solche definiert,
die jetzt keinen Ausschlag geben, keinen Ausschlag haben auf das Output-Niveau,
aber immer in einer positiven Menge eingesetzt werden müssen,
wenn Ein positiver Output da ist.
Also zum Beispiel die Heizung in einem Fabrikgebäude. Sobald sie
, da irgendjemand arbeiten lassen, muss eben geheizt werden.
Aber die Heizung hat jetzt eben keinen Einfluss auf das Output-Niveau in ihrem Produktionsprozess.
Dann gibt es verlorene Kosten. Was sind verlorene Kosten?
Sie müssen bei den fixen Kosten unterscheiden in solche,
die versunken sind und solche,
die widerbringlich sind
Also, versunkene Kosten sind zum Beispiel die Mietkosten für ein Fabrikgebäude.
Wenn Sie einen Mietvertrag abgeschlossen haben,
bei über ein Jahr, eines Fabrikgebäudes,
dann müssen Sie das Fabrikgebäude ein Jahr behalten und diesen Preis dafür bezahlen,
unabhängig davon, ob Sie jetzt in der Fabrik tatsächlich produziert haben oder nicht.
Also, das sind verlorene Kosten. Was sind wiederbringliche Fakten
Kosten. Zum Beispiel gerade jetzt bei diesem Problem. Wenn
jetzt das Unternehmen ein Fabrikgebäude geweetet hat, hat Maschinen,
die gekauft und jetzt stellt es nach einem Jahr fest,
war doch nichts. Die Miete ist sozusagen verloren,
das sind verlorene Kosten, aber die Maschinen,
die kann es ja wieder verkaufen auf dem Gebrauchtmarkt.
Also die Differenz zwischen dem Neupreis und nur die Differenz zwischen
dem Neupreis und dem Wiederverkaufspreis, das sind verlorene Kosten,
aber in Höhe des Wiederverkaufspreis hat das Unternehmen Wiederbringliche Kosten.
Und was entscheidet normalerweise über den Wiederverkaufswert bei Maschinen?
Was würden Sie sagen? Was ist da ein Maßstab?
Ja? Genau, die Abnutzung, die dann in
der Abschreibung Niederschlag findet. Also die Höhe der Abschreibung erfassen
die Abnutzungen und die geben eben über den Wertverlust einer Maschine
über die Zeit Auskunft
Und insofern ist das die Höhe der Abschreibung,
ein guter, einige geeignete Größe, nämlich eine Stromgröße,
die die versunkenen Kosten bei Maschinen erfasst.
Wir hatten bisher die Kostenfunktion hergeleitet,
sozusagen die Gesamtkostenfunktion
Behergeleitet aus der Produktionsfunktion. Und jetzt wollten,
jetzt wollen wir aus dieser Gesamtkostenfunktion noch andere Kostenfunktionen ableiten.
Und die fasse ich jetzt, und das kann man eben
wiederum machen, getrennt, nach kurzfristig und langfristig.
Und jetzt will ich das erstmal für die kurzfristige Kostenfunktion zeigen.
Eine interessante, eine wichtige Kostenfunktion ist die Durchschnittskostenfunktion
Was misst die Durchschnittskostenfunktion? Sie misst die Kosten,
je Output-Einheit. Eine andere wichtige Funktion ist die Funktion der
Durchschnittlichen Variablen Kosten. Ich kürze jetzt mit A,
VC ab und dem ist die Variablen Kosten, je Output-Einheit.
Dann haben wir noch eine Funktion. Das ist die Funktion
der durchschnittlichen Fixenkosten. Also A, FC.
Da werden die Fixkosten
Pro Output-Einheit gemessen. Also, bisher hatten wir die Gesamtkostenfunktion
und jetzt gucken wir uns die Durchschnittskostenfunktion dazu an.
Also, wir hatten bisher das C hergeleitet.
Jetzt teilen wir das C durch den Output,
dann erhalten wir die Durchschnittskosten oder das können wir getrennt machen für die variablen Kosten.
Dann haben wir die durchschnittlichen Variablenkosten und für die fixen Kosten,
dann haben wir die durchschnittlichen fixen Kosten
Also, die gesamte Durchschnittskostenfunktion ist die Summe aus den variablen Durchschnittskosten und den fixen Durchschnittskosten.
Und wie sieht das aus? Wir haben,
als durchschnittliche Fixkostenfunktion, dieses Bild, warum ist das so?
Das ist so, weil wir eine Fixkostendegression haben. Also,
meinetwegen, die Maschine, die gekauft worden ist,
die produziert eben nicht nur, also die wird umso billiger,
je mehr man auf ihr produziert,
also bei höherem Output steigt
Die Durchschnitt sinken die durchschnittlichen Fixkosten. Das ist die durchschnittliche Variable Kostenfunktion.
Ja. Und warum sieht die jetzt so aus? Also,
dieser Ast, dieser Feindeast, der muss nicht unbedingt da sein,
ist aber eben manchmal der Fall,
weil es zu Effizienzsteigerungen kommen kann,
wenn man den Output erhöht.
Also,
was steckt da dahinter
Wenn man den Output erhöht, kann es dazu kommen,
dass sie die Arbeiter, wie Arbeiter,
dass die Arbeiter, die Arbeit effizienter aufteilen können.
Sie können sich in gewisser Weise spezialisieren. Es muss nicht mehr
jeden Handgriff können, sondern sie teilen sich das auf.
Deswegen kann es hier zu Effizienzgewinnen kommen. Muss aber nicht
so sein. Jedenfalls ist es auf jeden Fall so,
dass die durchschnittlichen bariablen Kosten zeigt mit steigenden,
nicht mit der Zeit,
sondern mit steigenden Output steigen
Weil man wieder Effizienzverluste hat. Aufgrund der fixen Faktoren.
Wir sind ja bei den kurzfristigen Kostenfunktionen im Moment.
Das heißt, wieder ein Faktor ist fix.
Und dann weist der variable Faktor eben ein sinkendes Grenzprodukt auf.
Und wenn wir jetzt diese beiden Funktionen zusammenfügen,
erhalten wir ungefähr dieses Bild.
Hier spielt die Fixkostdegression eine Rolle und ab hier dann
das sinkende Grenzprodukt des Variablen Faktors
Deswegen wird die durchschnittliche Kostenfunktion. Einen. Die durchschnittliche,
kurzfristige Kostenfunktion, einen teilhaben, in dem sie singt,
einen Abschnitt haben, in dem sie singt und dann
einen Abschnitt haben, in dem sie steigt.
Eine andere, wichtige Funktion ist die Grenzkostenfunktion. Die Grenzkostenfunktion misst
die Änderung der Kosten für eine gegebene Änderung des Outputs.
Also ich habe das gleiche Differenzialschreibweise geschrieben. Das ist also
die Ableitung der Kostenfunktion. Nach dem Output. Wie ändert sich,
wer ändert sich die Kosten bei einer gegebenen Änderung des Outputs.
Und ich kann, um die Grenzkosten zu bestimmen,
nicht nur die Gesamtkostenfunktion ableiten nach Y,
sondern ich kann natürlich auch einfach die Variable Kostenfunktion ableiten nach
Es geht ja nur darum,
wie ändern sich die Kosten bei einer Fändung des Outputs,
wo die Fixkosten sind ja unabhängig vom Output.
Also, da ändert sich dann auch nichts, wenn sich
der Output ändert. Also, die Grenzkosten erhalte ich,
indem ich entweder die Gesamtkostenfunktion ableite oder die Variablen.
Kosten ableite. Nach dem Output. Was sind die Eigenschaften der Grenzkostengrube?
Bei einem unteilbaren Gut Sind die Grenzkosten der Produktion von Y-Einheiten?
Natürlich gerade die Kosten, wenn ich Y-Einheiten produziere,
abzüglich den Kosten, wenn ich nur Y, minus eins Einheiten produziere.
Also eine Einheit weniger produziere. Ich will ja nur nach
den zusätzlichen Kosten Fragen bei einer zusätzlichen Einheit von Y. Das heißt,
was heißt das für die Grenzkosten für die erste Einheit
Dass sie die Variablen kosten für die erste Einheit?
Plus die Fixkosten für die Ersteinheit? Minus den Variablen kosten
, wenn ich gar nichts produziere? Minus den Fixkosten,
wenn ich nichts produziere. Was bleibt über, die Grenzkosten
der ersten Einheit sind gleich den Variablenkosten, der ersten Einheit?
Und das ist nichts anderes als die durchschnittlichen Varianen,
durchschnittlichen Variablenkosten der ersten Einheit
Und das heißt, die Grenzkostenkurve hat den gleichen Achselabschnitt,
wie die Kurve der durchschnittlichen Variablen kosten.
Also, das habe ich hergeleitet,
der Achsenabschnitt dieser beiden Kurve ist gleich.
Ein sehr wichtiger Zusammenhang ist der folgende.
Auch wieder wird das Verhältnis zwischen Durchschnittskosten und Grenzkosten
Die Behauptung ist die, solange die Durchschnittskosten, solange die
durchschnittlichen Variablen Kosten fallen, müsste die Grenzkosten niedriger sein.
Als die durchschnittlichen Variablen Kosten. Warum ist das so?
Wenn Sie einen Durchschnitt haben, aus einer bestimmten Menge von Zahlen.
Und Sie wollen jetzt diesen Durchschnitt senken. Also nehmen Sie meinetwegen Noten,
wenn Sie einen Durchschnitt haben,
der ist jetzt weiter zwei und sie wollen den jetzt senken,
also verbessern sozusagen, dann müssen sie noch eine Arbeit schreiben,
die besser ist als zwei.
Ja, sonst können sie den Durchschnitt nicht senken.
Das heißt, diese Arbeit, die besser ist als zwei,
das ist sozusagen die Grenzarbeit, ja?
Also, wenn die durchschnittlichen Variablen Kosten fallen,
also wenn man den Durchschnitt senken will,
dann muss man etwas dazu tun,
was kleiner ist als der Durchschnitt
Das heißt, dann müssen die Grenzkosten niedriger sein, als die Durchschnittskosten.
Umgekehrt gilt natürlich das Analoge. Wenn die Durchschnittlichen Variablen Kosten steigen,
dann können wir schließen, dass die Grenzkosten höher sind,
als die durchschnittlichen Variablen Kosten. Genau das gleiche Beispiel,
wenn sie bisher Durchschnitt haben von zwei und schreiben jetzt sozusagen
als Grenzarbeit eine drei, dann haben sie den Durchschnitt gehoben,
also in dem Fall verschlechtert.
Das heißt, dann sind ihre durchschnittlichen Variablen Kosten gestiegen.
Und wieder an dem Beispiel der Noten,
wenn sie im Durchschnitt des Semesters nur zwei,
also ein Noten geschrieben haben und der Durchschnitt ergibt zwei und
nur eine Arbeit steht noch aus und sie schreiben auch in
dieser Arbeit wieder eine zwei,
dann bleibt ihr Durchschnitt bei zwei
Weil die Grenzarbeit gerade dem Durchschnitt entsprochen hat,
bleibt der Durchschnitt konstant. Er verändert sich also nicht.
Und was ist es, wenn sich etwas nicht verändert,
wenn sich etwas nicht verändert, haben wir immer einen Optimalwert.
Wir können also sagen, dort, wo die Grenzkosten,
den durchschnittlichen variablen Kosten entsprechen,
ändern sich die durchschnittlichen Variablenkosten nicht
Das heißt, dort ist der Extrem wert, der Durchschnittlichen variablen Kosten.
Wir haben gesehen, bei den durchschnittlichen Variablenkosten,
die haben einen fallenden Ast und sie haben einen steigenden Ast.
Und gerade, wo das ineinander Überkreue geht,
ist der Extrem wert, dieser durchschnittlichen variablen Kosten. Also,
gerade im Schnittpunkt der Grenzkostenkurve mit der Kurve der durchschnittlichen,
mit der Kurve der variablen Durchschnittskosten, ist das Minimum der Variablen Durchschnittskosten erreicht.
Das ist ein sehr wichtiger Satz. Wir werden das gleich noch sehen.
Ich schlage vor, wir machen jetzt aber Pause bis um zwölf.
Ja, meine Damen und Herren, lassen Sie uns fortfahren?
Ich möchte noch zu dem Ergebnis der Studienleistungen sagen,
also ich habe das gestern da eingegeben, aber ich weiß nicht,
wie das eigentlich für Sie aussieht, diese Seite jetzt.
Und da können Sie also entweder experimentieren oder mir wurde gerade gesagt,
die Liste mit allen, die nicht bestanden haben,
die finden sie auch auf der Institutseite von Frau Professor Gerber.
Unter Sommersilmester 2010 Mikro. Also da können Sie das
auch noch feststellen. Ja, gut. Soweit dazu.
Wir waren dabei kurzfristige Kostenfunktionen zu analysieren,
Ihre Gestalt festzustellen
Und hier habe ich sie nun abgebildet. Sind sie vielleicht
jetzt einfach wieder still? Auch in den hinteren Rängen?
Ja, wir haben schon zwei Eigenschaften eigentlich abgeleitet. Das eine war die Eigenschaft,
dass die Grenzkosten und die Variablen Durchschnittskosten den gleichen Achsenabschnitt haben.
Das ist also hier. Dann haben wir als zweites Kennzeichen festgestellt,
dass die Grenzkosten Fall, also dass sie Grenzkosten niedriger sind,
als die variablen Durchschnittskosten, wenn die variablen Durchschnittskosten fallen.
Also hier fallen die Variablen Durchschnittskosten, also sind die Grenzkosten niedriger,
als die variablen Durchschnittskosten. Das Argument war eben,
wenn sie einen durch, die können einen Durchschnitt nur senken,
ein Durchschnitt kann nur fallen, wenn sie das,
was sie da zutun, kleiner ist als der Durchschnitt.
Umgekehrt ist es ab hier, hier liegen die Grenzkosten über den bariablen Durchschnittskosten
Aber die Variablen Durchschnittskosten steigen. Sie können eigentlich einen Durchschnitt nur erhöhen,
wenn das, was sie da zutun zum Durchschnitt,
höher ist als der Durchschnitt.
Deswegen verlaufen die Grenzkosten über den Variablen Durchschnittskosten. Und dort,
wo variable Durchschnittskosten und Grenzkosten sich schneiden, wo also das,
was dazukommt, genau den Durchschnitt entspricht,
ist folglich,
das Minimum der Variablen Durchschnittskosten
Und sie sehen eben die Grenzkostenkurve,
schneidet die variable Durchschnittskostenkurve gerade in dem Minimum.
Und die gleiche Argumentation trifft natürlich zu für die gesamten Durchschnittskosten.
Also auch hier die galanten Durchschnittskosten fallen,
solange die Grenzkosten niedriger sind, als die Durchschnittskosten.
Und die Durchschnittskosten steigen, sobald die Grenzkosten höher sind,
als die Durchschnittskosten.
Das heißt, sie schneiden sich gerade im Minimum.
Ist das
dieser Zusammenhang allen
klar geworden
Dann noch eine dritte Eigenschaft. Die wichtig ist,
wird zu tun mit den Grenzkosten und den Variablen Kosten.
Und zwar die Fläche unter der Grenzkostenkurve bis zu Y gemessen,
gibt die Variablen Kosten der Erzeugung von Y, Output-Einheiten an.
Warum ist das so? Die Grenzkosten messen ja die Kosten
der Produktion jeder zusätzlichen Output-Einheit. Wenn wir jetzt also die Produktionskosten,
alle dieser zusätzlichen Einheiten addieren, erhalten wir die gesamten Produktionskosten.
Aber natürlich nicht die Fixkosten. Denn die haben ja nichts
damit zu tun, dass die Produktion erhöht wird.
Also, wenn wir diese einzelnen Grenzkosten alle aufaddieren,
bekommen wir die Variablenkosten. Wir wollen das auch beweisen,
zum einen im Fall von unteilbaren Gütern
Das ist einfach erst mal eine Umformung. Sie sehen auf der rechten Seite
stehen die Variablen Kosten und auf der linken Seite oder umgekehrt.
Das ist links und das ist rechts, stehen die Variablen Kosten.
Und dazwischen? Was steht immer dazwischen? Hier,
in diesem Glied stehen die Variablen Kosten, der Y,
also von Y Outputeinheiten, minus den Variablenkosten von Y minus 1 Output einhalten.
Und hier stehen die Variablenkosten von Y minus 1 Outputeinheiten,
minus den Variablenkosten von Y minus 2 Outputeinheiten. Das heißt,
Sie sehen diese Mittelglieder, die lassen sich immer gegenseitig wegstreichen,
sodass am Schluss hieß es hier, stehen bleibt.
Also jetzt habe ich ihn erst mal gezeigt,
dass diese Seite mit dieser übereinstimmt.
Und jetzt gucken wir, was steckt ökonomisch dahinter?
Was steckt ökonomisch hinter diesen Thermen in den eckigen Klammern?
Diese Thermen in eckigen Klammern sind nichts anderes als die Grenzkosten
Denn wir hatten ja vorhin gesehen,
die Grenzkosten sind die zusätzlichen Kosten einer zusätzlichen Einheit.
Also das sind die Grenzkosten der Y-Output-Einheit.
Das sind die Grenzkosten der Y minus 1. Output-Einheit.
Das heißt, wenn man die Grenzkosten aller Einheiten aufeinander aufaddiert,
kommt man zu den Variablen Kosten
Also, die einzelnen Sumanten sind die Grenzkosten der verschiedenen Output-Niveaus.
Wir können das, also dieses lange hier, können wir
einfach schreiben als die Summe der Grenzkosten der verschiedenen Output-Niveaus.
Und das ist gleich den Variablen Kosten.
Im Fall von Teilbahngütern ist das eigentlich auch sehr einfach darzustellen
Die Grenzkosten haben wir, als wir die Grenzkostenfunktionen vorgestellt haben,
habe ich gesagt, die Grenzkosten kann man entweder dadurch errechnen,
dass man die Kostenfunktion ableitet nach Y oder dass man
die Funktion der Variablen Kosten nach Y ableitet.
Also, das hatten wir vorhin schon festgestellt. Folglich muss
die Fläche unter dieser Kurve, also die Fläche unter der Grenzkostenkurve,
dieser Fläche entsprechen, also dem Integral der Variablen.
Kostenfunktion. Und wenn wir das integrieren, dann haben wir
diesen Ausdruck und das ist nichts anderes als die Funktion der Variablen Kosten.
Und jetzt setzen wir die Grenzen ein,
dann steht hier die Variable Kostenfunktion. Also dadurch,
dass wir die Grenzkosten als Ableitung der Variablen Kosten erhalten,
ist es umgekehrt so, dass die Fläche unter den variablen Kosten die Grenzkosten darstellen.
Jetzt habe ich es gerade, glaube ich, falsch rum gesagt.
Also, die Fläche, wir haben ja integriert,
wir haben ja MC integriert, die Fläche unter der Grenzkostenkurve,
das sind die variablen Kosten.
Ja, also die Fläche hier unter der Grenzkostenkurve ist,
sind gleich den variablen Kosten. Das sehen wir auch hier. Also,
und die Variablen Kosten zu bestimmen, Muss man nur bei
der relevanten Y-Einheit bis zu den Grenzkosten gehen und die Fläche darunter,
das sind dann die Variablen Kosten.
Wir wollen uns diese verschiedenen Kostenfunktionen mal angucken, anhand eines Beispiels.
Das Beispiel ist Y, Quadrat plus 1. Rechnen,
gucken wir uns mal diese verschiedenen Kostenfunktionen an
Wenn die Kostenfunktion heißt Y Quadrat plus 1. Eine Frage,
was steckt da eigentlich für eine Produktionsfunktion dahinter?
Oder was sieht man jetzt erst mal hier an dieser Kostenfunktion?
Wie verhalten sich die Kosten im Vergleich zum Output?
So genau wissen wir, dass noch nicht,
was wir wissen ist,
dass die Kosten überproportional steigen
Im Vergleich zum Output. Das kann unterschiedliche Ursachen haben bei
einer kurzfristigen Kostenfunktion. Es kann entweder daran liegen,
dass wir fallendes geile Träger haben oder dass das Grenzprodukt des variablen Faktors sehr stark fällt,
weil man eben den fixen Faktor festgelegt hat.
Ja, gehen wir das jetzt aber durch.
Bei dieser Kostenfunktion, was sind meine variablen Kosten?
Das sind einfach die Fort Y und abhängigen Kosten,
also Y Quadrat
Die Fixkosten sind die Kosten, die nicht von Y abhängen,
also eins. Die durchschnittlichen variablen Kosten, die errechnet man,
indem man die Variablen Kosten durch Y teilt.
Also Y-Quadrat, geteilt durch Y, ist gleich Y.
Die durchschnittlichen Fixenkosten sind die fixen Kosten durch den Output geteilt,
also eins durch Y. Und wir sehen,
dass da sich dann die Fixkosten der Regasition auswirkt,
je größer Y ist,
desto geringer sind die durchschließlichen Fixkosten
Und dann haben wir die Durchschnittskosten. Insgesamt,
das sind die durchschnittlichen Variablenkosten und die durchschnittlichen fixen Kosten,
aufeinander aufaddiert. Und schließlich die Grenzkosten,
das ist die Ableitung der Kostenfunktion auch Y oder der Variablenkosten nach Y.
Wie sieht diese Funktion aus
Was? Welche Punkte dieser Kostenfunktion können Sie jetzt bestimmen?
Wenn Sie jetzt hier mal eine Gubenbeschreibung machen,
auf was muss man achten im Verhältnis dieser Kurven?
Wo sind gemeinsame Punkte? Wo sind Schnickpunkte?
Gucken Sie sich diese Funktion mal an
Mehr kann da mir etwas von dem sagen, was wir
wohnen hatten. Also wo sind hier gemeinsame wichtige Punkte,
sagen wir mal. Bitteschön. Genau, die haben
den gleichen Ordinatenanschnitt,
nämlich null
Für die Average-Kosts? Wenn die Average-Kosts... Achso.
Aber das sind die Average-A-V-Zeld in die Average Varible Costs.
Genau. Wichtig? Das ist das Minimum,
weil sie sich dort schneiden. Das ist genau richtig.
Zum einen haben sie immer den gleichen Ordinatenabschnitt.
Zum anderen ist dort, wo sie sich schneiden,
Grenzkosten und variable Durchschnittskosten, auch das Minimum der Variablen-Durchschnittskosten.
Genau, das war sehr richtig beobachtet. Das heißt,
Die war variablen Durchschnittskosten. Sie haben gar keinen fallenden Ast,
sondern sie haben nur einen steigenden Ast. Das heißt,
wie muss die Grenzkostenkurve liegen im Vergleich zur variablen Durchschnittskostenkurve?
Wenn die Variable Durchschnittskostenkurve nur einen steigenden Ast hat
Die durch die Grenzkosten müssen überall, über den varianten Durchschnittskosten liegen.
Denn die Variablen Durchschnittskosten könnten nicht steigen, wenn nicht das,
was dazukommt, immer größer ist als der Durchschnitt.
Oder sehen wir ja auch hier,
die Grenzkosten liegen im gesamten Bereich über den Variablen Durchschnittskosten.
Und was könnt ihr noch sagen zum Verhältnis zwischen Grenzkosten und
total Durchschnittskosten?
Was ist da noch
ein wichtiger Punkt
Was, auf was muss man hier achten,
wenn man das zeichnet? Die, jetzt genauso,
die gleiche Argumentation, wie bei den variablen Durchschnittskosten,
die Grenzkosten müssen die totalen Durchschnittskosten in deren Minimum schneiden
Und das kann man auch errechnen,
und das liegt gerade bei Y gleich 1,
dann ist der Wert für die Grenzkosten und die totalen Durchschnittskosten 2. Eine,
sozusagen praktische Frage der Anwendung,
ein praktisches Beispiel dieser Kostenkoben ist folgende Frage.
Ein Unternehmen hat zwei Betriebe
Und überlegt sich, wie teilt es jetzt seine Produktion?
Günstigerweise auf diese zwei Betriebe auf. Also ein Fall,
der durchaus oft vorkommt. Ihnen fehlt nur die Überschrift.
Sonst ist das das Gleiche, was sie in ihren Unterlagen haben.
Also, wie lautet das Optimierungsproblem? Sie wollen,
das Unternehmen will die Kosten minimieren in diesen beiden Betrieben.
Aber es hat die Vorstellung,
in diesen beiden Betrieben einen bestimmten Output zu erzeugen,
nämlich Y. Und Y ist dann der Output in diesen
beiden Betrieben
Jetzt, was kommt dabei raus? Wir setzen wieder,
wie wir das immer machen, bei einem Optimierungsproblem, mit einer Nebenbedingung.
Die Nebenbedingungen in die Zielfunktion ein. Dann haben wir folgende Zielfunktion.
Und die Zielfunktion leiten wir jetzt nach dem Y1 ab,
also nach dem Output in dem einen Betrieb.
Was ergibt sich, wenn wir das ableiten?
Den ersten Faktor abgeleitet, geben sozusagen die Grenzkosten im
ersten Betrieb
Wenn wir den zweiten Faktor ableiten, müssen wir äußere Ableitung,
mal innere Ableitung, also die Kettenregel anwenden.
Und wir haben als Optimalitätsbedingung also die Grenzkosten in dem
einen Betrieb, müssen den Grenzkosten im anderen Betrieb entsprechen.
Also ein Unternehmer soll die Produktion so auf diese beiden Betriebe aufteilen,
dass die Grenzkosten im gleichen Betrieb in beiden Betrieben gleich hoch sind.
Und ist das sinnvoll? Kann man sich das vorstellen,
dass das Das Optimum ist, ja,
denn sie müssen sich vorstellen, wenn die Grenzkosten,
also die Kosten der zuletzt produzierten Einheit in einem der Betriebe höher wäre als im anderen Betrieb,
dann wäre es natürlich sinnvoll, sie von dem Betrieb zu verlagern,
auf zu dem Betrieb, wo die Grenzkosten niedriger sind.
Das heißt, der Unternehmer wird so lange die Produktion von
allen Betrieb zum anderen hin und her schieben,
bis er eben erreicht hat, dass die Grenzkosten,
die Kosten der zuletzt produzierten Einheit in beiden Betrieben
gleich hoch sind
Also die optimale Aufteilung der Produktion ist, dann erreicht,
wenn die Grenzkosten in den beiden Fabriken gleich groß sind.
Wie sieht das aus? Also man kann,
sie können durchaus unterschiedliche Kostenfunktionen haben, die beiden Betriebe.
Also das eine zum Beispiel könnte der eine Betrieb in einer Stadt
sein und dadurch sind die Kosten für das Gebäude viel höher,
die Bietkosten sind höher und der andere Betrieb ist auf der
grünen Wiese und hat sehr niedrige Mietkosten.
Oder auch in dem einen, also das werden ja jetzt sozusagen die Fixkosten,
die ich gerade beschrieben habe, die können unterschiedlich sein,
aber es können auch sozusagen die variablen Kosten unterschiedlich sein.
Es kann in manchen strukturschwachen Gebieten, sind die Löhne niedriger,
als wenn sie jetzt nach München gehen.
Also das heißt auch, das wäre jetzt ein Unternehmen,
was meinetwegen eine Fabrik hatte in München und eine Fabrik hat in Görlitz.
Da sind sicherlich auch die Lohnkosten sehr unterschiedlich, dann wäre das die Fabrik in München
Und hier mit der geringeren Scheigung die Fabrik in Görlitz.
Wie teilt der Unternehmer die Produktion auf, diese beiden Fabriken auf?
In beiden Fabriken müssen die Grenzkosten gleich sein. Wie geht
man vor? Man guckt also nach hier an der Ordinate,
stehen die Grenzkosten, wo sind die Grenzkosten gleich? Und dort,
wo die Grenzkosten gleich sind, da ist das Optimale Y2,
der Fabrik in München und der Fabrik in Görlitz,
Also, wenn wir diese Output-Menge produzieren wollen,
dann müssen wir die Produktion in dieser Weise aufteilen.
Eben, so aufteilen, dass die Grenzkosten gleich sind.
Also die gesamte Grenzkostenkurve ist die horizontale Summe der Grenzkostenkurven der beiden Fabriken.
Wir haben einfach horizontal die Mengen aufeinander aufvadiert.
Und das heißt, wenn wir das jetzt interpretieren,
ist Y, hier, wenn das die Fabrik in Gorlitz ist,
die Fabrik in Gorlitz, die kann mehr, Output,
die soll mehr Output erzeugen,
weil eben bei ihr die Grenzkosten weniger schnell ansteigen.
Das waren jetzt die ganzen kurzfristigen Kostenfunktionen. Jetzt kommen die
langfristigen Kostenfunktionen. Also, die haben wir abgeleitet aus der langfristigen Kostenminimierung.
Also der Kostenminimierung, wo alle Produktionsfaktoren variabel sind.
Da gibt es wieder die gleichen wichtigen Funktionen, nämlich die langfristigen Durchschnittskosten.
Was sind das? Langfristig haben wir gesagt, gibt es
keine fixen Kosten. Und zwar in dem Sinne,
dass man natürlich jedes Unternehmen schließen kann in der langen Frist.
Man macht einfach zu. Und dann löst den Mietvertrag auf
und so weiter. Also langfristig gibt es keine fixen Kosten,
Wir nehmen jetzt mal an bei einem Unternehmen, sei die,
sei das Fabrikgebäude, K, der kurzfristig fixe Faktor.
Und dann ist die kurzfristige Kostenkurve dieses Unternehmens eben abhängig vom Output,
den es erzeugen will und von diesem,
von der Größe dieses Fabrikgebäudes
Und sie können sich jetzt vorstellen, für jeden Output,
dass ein Unternehmen produzieren möchte, gibt es eine optimale Fabrikgebäudegröße.
Also, man erhält sozusagen eine Funktion K von Y.
Die Nachfrage nach der Größe von Fabrikgebäuden.
Das ist die bedingte Faktor-Nachfragefunktion des Unternehmens nach Fabrikgebäude.
Nach der Größe eines Fabrikgebäudes
Und wenn das Unternehmen, also kurzfristig immer optimiert,
immer schon die Fabrik, die Fabrikgebäudegröße wählt,
die optimal ist in Abhängigkeit von Y,
dann wird die kurzfristige Kostenfunktion
auch die langfristige Kostenfunktion sein
Wenn das unter denen kurzfristig schon das Optimale an Fabrikgebäudegröße wählt,
was auch langfristig optimal ist, dann entspricht die kurzfristige Kostenfunktion der langfristigen Kostenfunktion.
Also, wenn jetzt ein Unternehmen bei einem willkürdig gewählten Output
festgestellt hat, bei diesem Output ist Karl Sternchen.
Meine optimale Gebäudegröße Dann ist es so,
wenn es genau langfristig auch diesen Output,
den wir jetzt erstmal willkürlich gewählt haben,
wenn es langfristig genau diesen Output erzeugen möchte,
dann ist die langfristige Kostenkurve gleich der kurzfristigen Kostenkurve.
Also, hier haben wir festgestellt,
wenn das Unternehmen diesen Output erzeugen will und optimiert die Fabrikgebäude,
Größe, entsprechend diesem Output,
dann ist das
die kurzfristige Kostenfunktion
Und wenn jetzt aber den Output,
den es langfristig generieren möchte, genau der ist,
von dem es kurzfristig auch schon ausgegangen ist,
dann ist die langfristige größten Funktionen,
weil ich der kurzfristigen Kostenfunktion und das steht in dieser Gleichung.
Ist das klar geworden? Jetzt noch einen Schritt. Also,
wir haben gesagt, wenn, dass kurzfristig Auge gefasste Y-Ständchen.
Das ist, was auch langfristig,
man ins Auge fasst, dann ist die langfristige Kurzfunktion.
Gleich der kurzfristigen Funktion. Wenn aber ein anderes Output-Niveau langfristig angestrebt wird,
dann werden die langfristigen Kosten höchstens so groß sein wie die kurzfristigen Kosten.
Nämlich langfristig kann das Unternehmen immer seine Fabrikgebräude, Größe optimieren.
Und kurzfristig kann es das nicht. Also wenn die beiden Kostenkurve nicht übereinstimmen,
wird es eh immer so sein,
dass die kurzfristigen Kosten größer sind, als die langfristigen Kosten,
weil man eben kurzfristig eine Option weniger hat, als langfristig.
Und das heißt, das hier, also bei jedem anderen Y,
wenn man also die Gebäudegröße nach Y Stern ausgewählt hat,
aber jetzt gar nicht Y Stern produziert, sondern ein anderes Y,
für das die Fabrikgebäudegröße gar nicht optimal ist,
dann werden die langfristigen Kosten Höchstens genauso groß sein,
wie die kurzfristigen Kosten.
Und das gilt nicht nur für die Kosten,
sondern es gilt auch für die Durchschnittskosten, Kurvin.
Also, was sagt das hier aus? Entweder,
kurzfristig, ich habe ein Y-Sternchen ins Auge gefasst,
also einen bestimmten Output hat ein Unternehmen ins Auge gefasst und
es hat entsprechend dieses Outputs seine Gebäudegröße gewählt,
also K-Sternchen
Und wenn jetzt tatsächlich sogar in der Langfrist dieses optimale,
dieses Output-Niveau sich als das Optimale erweist, dann ist die langfristige Durchschnittskostenkurve gleich der durchschnittlichen Kostenkurve. Wenn es jetzt aber so ist,
dass das Unternehmen merkt, schon in der kurzen Frist,
ich habe mich zwar festgelegt auf eine bestimmte Fabrikgebäudegröße,
aber ich will viel mehr Output produzieren, als ich,
als ich dachte, also das Y ist nicht,
also ist nicht dasjenige, für das die Gebäudegröße optimiert worden ist,
Und dann werden die kurzfristigen Durchschnittskosten höher sein,
als die Durchschnittlichen Kosten,
wenn ich dann für dieses Y langfristig mir die optimale Fabrikgebäudegröße aussuchen kann.
Also, die Kosten sind höchst die langfristigen Kosten sind höchstens
so groß, wie die durch, wie die kurzfristigen.
Das heißt, die beiden Kurven berühren sich.
Und wie sieht das dann aus
Also, was wir schon kennengelernt haben, ist diese kurzfristige Durchschnittskostenkurve.
Das ist einfach die Durchschnittskostenkurve hier,
spielt die Fixkostendegression eine Rolle und hier das abnehmende Grenzprodukt.
Die hatten wir schon behandelt. Und jetzt haben wir gesagt,
die langfristigen Durchschnittskosten, die sind immer gleich den kurzfristigen Durchschnittskosten genau in einem Punkt,
nämlich dann, wenn das, wenn dieses Output-Niveau realisiert wird,
wofür man schon kurzfristig die Fabrikgebäude, Größe festgelegt wird.
Also in dem Punkt sind die beiden Kostenkurven gleich und in
allen anderen Punkten liegt die langfristige Durchschnittskostenkurve darunter,
weil man eben da die Möglichkeit hat, die Gebäudegröße anzupassen.
Also bei anderen allen Ys,
bei allen anderen Output-Niveaus sind die langfristigen Durchschnittskosten geringer,
weil man sich eben je nach Y passende Gebäudegröße wählen kann und nicht,
wie kurzfristigen Fall jetzt mit dem K-Sternchen da sitzt.
Ist das klar geworden? Wenn man das jetzt weiter treibt,
also sich überlegt, dass man für jedes Outpit-Niveau erstmal eine kurzfristige Kostenfunktion zeichnet,
dann hat man eben diese ganz vielen kurzfristigen Kostenfunktionen
Und jede dieser Kostenfunktionen berührt die langfristige Kostenfunktion genau in einem Punkt.
Nämlich genau in dem Punkt, bei dem man kurzfristig,
sozusagen vom selben Output-Niveau ausgegangen ist, wie man dann hinterher langfristig haben möchte.
Und so bildet sich die langfristige Durchschnittskostengrube. Also die langfristige
Durchschnittskostengrube ist sozusagen nichts anderes als eine Zusammenfassung all dieser Berührungspunkte.
Und man sagt, langfristige Durchschnittskostenkurve ist die untere,
weil sie immer unten darunter liegt.
Die untere, umhüllende, der kurzfristigen Durchschnittskostenkurven.
Oft wird man natürlich diskrete Fabrikgrößen haben. Das heißt,
ein Unternehmen kann sich zum Beispiel zwischen zwei Fabrikgrößen entscheiden
Und zwar ist das dann der Fall, wenn zum Beispiel
Grundstücke parzelliert sind, was ja oft der Fall ist.
Dann kann man also die Pabrikgebäudegröße nicht beliebig unterteilen, sondern hat,
ich habe jetzt hier mal angenommen, einfach drei Möglichkeiten.
Die Fabrikgebäudegröße zu wählen. Wie sieht das dann aus?
Also hier zum Beispiel das Unternehmen hat eine kurzfristige Durchschnittskostenkove
bei wenn es die Fabrikgebäudegröße eins wählt.
Also das ist noch ein relativ kleines Gebäude. Das sehen wir daran,
also der optimal, also das Kostenminimum ist schon bei einem
sehr niedrigen Output und dann steigt es sehr schnell an.
Also das ist ein sehr kleines Gebäude. Und diese Gebäudegröße wird
das Unternehmen nur wählen, wenn es sieht, naja,
mein Output, der wird irgendwie in diesem Bereich liegen.
Mehr lässt der Markt nicht zu. Oder es hat folgende Möglichkeit,
Es wählt diese langfristige Kostenkurve. Das ist der Fall.
Wenn es also ein größeres Gebäude wählt, sodass es
mehr Output produzieren kann. Oder es wählt die größte Gebäudegröße.
Weil das sozusagen die größte Gebäudegröße wählt,
dann hat es hier die Fixkostendegression, spürt es doch.
Das war ja sicher sehr teuer, das Gebäude.
Und dann erst bei einem sehr hohen Outpit-Niveau fangen dann die Durchschnittskosten anzusteigen.
Wie sieht das nun? Langfristig aus. Wenn das Unternehmen
gleich langfristig optimieren würde, was würde es dann anstreben?
Es würde, es hätte folgende, langfristige Durchschnittskostenkurve.
Die ist zunächst auf der kurzfristigen Durchschnittskostenkurve, aber springt hier eben,
sobald die So sozusagen die zweite Fabrikgebäudegröße ins Spiel kommt,
kann das unternehmen. Also wenn das Unternehmen einen Output plant,
der hier ist in diesem Bereich,
wird es eben gleich die zweite Fabrikgebäudegröße wählen.
Kurzfristig kann es das nicht. Da steckt es sozusagen fest
mit einer Gebäudegröße. Aber langfristig kann es gleich gucken,
welches ist die beste Fabrikgebäudegröße für meinen langfristig geplanten Output.
Und wenn es langfristig einen Output plant in diesem Bereich,
dann wird es eben gleich die größte Fabrikgebäudegröße wählen
Das heißt, die langfristigen Durchschnittskosten, die sind immer mindestens
genauso gut wie die kurzfristigen Möglichkeiten und Durchschnittskosten.
Genauso wollen wir jetzt vorgehen bei den langfristigen Grenzkosten.
Und zwar erstmal für den Fall Diskreta, Fabrikgrößen.
Also, wir haben wieder die verschiedenen Wahlmöglichkeiten an Unternehmensgröße,
klein,
mittelgroß und groß
Und wir wissen, das ist die langfristige Kosten, Durchschnittskostenkurve.
Da kann das Unternehmen langfristig wählen.
Wie sieht es mit den Grenzkosten aus? Wir wissen,
die kurz, die kurzfristigen Grenzkosten schneiden, die du,
die kurzfristigen Durchschnittskosten komen genau in dem Minimum.
Auch hier, die Grenzkosten schneiden die Durchschnittskosten im Minimum
und auch hier
Wozu führt, ja? Das sind erstmal noch sozusagen die kurzfristigen.
Das sind noch die kurzfristigen Grenzkosten, sozusagen für jede,
für jede dieser hellblauen Kurven hat man jetzt Grenzkostenkurven.
Und wozu führt das jetzt langfristig? Langfristig wissen wir,
wenn das Unternehmen ein Output in dem Bereich plant,
dann wird es sich für diesen Ast der langfristigen Durchschnittskostenkurve entscheiden.
Also diese Fabrikgebäude, Größe wählen, sozusagen die kleinste Fabrikgebäude, Größe wählen.
Und dann hat es Grenzkosten, die so ansteigen.
Aber sie hören in diesem Punkt auf. Denn langfristig weiß das Unternehmen,
wenn ich diesen Punkt überschreite, dieses Y,
dann wähle ich lieber gleich die nächst höhere Fabrik für Gebäudegröße.
Und dann sind meine Grenzkosten wieder hier. Also an diesem Punkt,
an diesem Y weiß langfristig das Unternehmen,
ich wähle die Fabrikgebäudegröße 2 und dann sind die Grenzkosten
hier unten
Und wenn es dann das Y erhöht, dann steigen die Grenzkosten wieder.
Aber die steigen nur bis zu diesem Punkt.
Und langfristig kann eben das Unternehmen wiederum sagen,
wenn ich ein Y produziere, was hier liegt,
dann werde ich von vornherein die größte Fabrikgebäudegröße.
Das heißt, langfristig kann das Unternehmen verhindern,
in diesem ziemlich schlechten Bereich der Grenzkostenkurve zu produzieren.
Dann wählt es eben einfach, die nächstgrößere Fabrikfabrikgebäudegröße.
Also dieses dunkle Grüne, das sind die langfristigen Grenzkosten
Ist das klar geworden? Okay,
dann nur noch eine letzte Folie und zwar,
wie das aussieht, wenn die Faktoren stetig gewählt werden können.
Also wenn die Fabrikgebäude, Grüße eine stetige Variable ist,
dann haben wir wieder hier eine kurzfristige Durchschnittskostenkurve,
so wie wir das bisher hatten.
Und eine Grenze, eine kurzfristige Grenzkostenkurve,
wieder die typische Eigenschaft,
die Grenzkostenkurve schneidet,
die Durchschnittskostenkurve in deren Minimum
Wir wissen schon, die langfristige Durchschnittskostenkurve ist die untere Umhüllende.
Der Durchschnittsfristigen Kostenkurven. Also wir müssen uns jetzt wieder vorstellen,
da liegen ganz viele kurzfristige Durchschnittskostenkurven in dieser langfristigen Durchschnittskostenkurve.
Wie sieht die langfristige Grenzkostenkurve aus? Die langfristige Grenzkostenkurve sieht
so aus. Das heißt, welche Punkte erkennen wir?
Die langfristige Grenzkostengruppe schneidet die langfristige Durchschnittskostenkurve in deren Minimum
Also die gleiche Eigenschaft, die wir auch an diesem Punkt haben.
Ja, ist ja auch die gleiche Argumentation.
Solange der Durchschnitt kann nur fallen, solange die Grenzkosten niedriger sind
als der Durchschnitt. Und die Durchschnittskosten können nur steigen,
solange wenn die Grenzkosten über den Durchschnittskosten liegen.
Und noch ein wichtiger Punkt, lassen Sie mir stehen,
vielleicht noch zu Ende führen.
Es gibt hier einen Schnittpunkt zwischen den kurzfristigen und den
langfristigen Grenzkosten
Und das ist genau dort, wo kurzfristig schon die optimale Gebäudegröße gewählt worden ist.
Nämlich, wenn man kurzfristig schon die optimale Gebäudegröße wählt,
dann bedeutet es ja, dass man langfristig gar nichts mehr verbessern kann.
Das heißt, dass dann die langfristigen Grenzkosten,
die entstehen ja zum einen, dass man mehr Output produziert und zum anderen,
dass man die Fabrikgebäudegröße ändert.
Und wenn man die gar nicht mehr verändern will,
weil man es gar nicht mehr besser machen kann,
Dann müssen diese beiden Punkte eben auch zusammenfallen.
Da sind die kurzfristigen Grenzkosten gleich den langfristigen Grenzkosten.
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit und ein schönes Wochenende