Ich begrüße Sie wieder zur Vorlesung. Ich möchte Sie demnächst
noch gerne etwas früher begrüßen. Und zwar möchte ich Sie bitten,
dass wir die Vorlesung immer um 10 Uhr Punkt anfangen lassen können.
Wer hat denn alles Übung? Also doch eine Menge.
Oh, okay, dann lassen wir es bei Viertel nach.
Ja, dann ist das klar. Ja,
gut, als Bleib bei Viertel nach
Wie bisher auch. Gab es oder gibt es Fragen zu
dem, was wir letzte Stunde gemacht haben? Okay,
jetzt war ja auch schon die erste Übung und da haben sie
also das schon mal, noch mal ein bisschen praktiziert,
was wir letztes Mal gemacht haben.
Ich will noch mal ganz kurz in die heutige Stunde
oder in die heutigen Stunden einleiten.
Was haben wir letztes Mal gemacht? Letztes Mal haben wir
uns um die Budgetmenge gekümmert. Wir haben uns also gefragt,
was kann man
sich leisten
Was ein Einkommen gegeben ist und mit dem, was angesichts
bestimmter Preise realisierbar ist. Das ist also das eine.
Was kann man sich leisten? Und das andere ist,
und das ist das, was uns heute eben auch noch interessiert,
wir haben letztes Mal schon damit angefangen,
was möchte man als Individuum?
Was hat man also für Präferenzen? Und wir gucken uns
jetzt eben an, wie man Präferenzen darstellen kann.
Wir hatten letztes Mal schon besondere Präferenzen.
Was waren das für Präferenzen
Wir hatten schon einige außergewöhnliche besprochen. Was waren das für
welche? Wie waren die Güter? Welches Verhältnis hat denn
da die Güter zueinander? Was würden die sagen? Oder
was erinnern sie? Also wir hatten, als bevor,
ich möchte das eigentlich, ich wiederhole das eben,
damit sie es sich auch wieder in Erinnerung rufen,
denn das zieht sich durch die ganze Vorlesung.
Immer wieder diese speziellen Präferenzen, an denen lernen wir
diese ganzen Konzepte kennen, die sie brauchen.
Also das sind zum einen,
ja bitteschön
Das ist der Gast. Genau, und was war das?
Was ist das? Orangensaft, Apfelsaftbeispiel, wie sind da
die Präferenzen? Wie nennt man die dann?
Ja, sagen Sie es? Genau,
wenn man da indifferent ist zwischenbei, dann sind das perfekte Substitute,
ja,
und was wollten Sie noch sagen
Ja, also genau die andere besondere Präferenzordnung sind eben perfekte Komplimente.
Und das war das Beispiel mit Kaffee und Zucker.
Jetzt kommen wir hier heute zu ganz normalen Referenzen.
Und wir haben letztes Mal schon kennengelernt,
welche Eigenschaften müssen diese sogenannten normalen Präferenzen erfüllen.
Wie sehen die, wie müssen die aussehen?
Es sind zwei ganz wichtige Eigenschaften,
die möchte ich auch
nochmal von Ihnen hören
Ja, bitteschön. Das ist, ja,
vollständig und transitiv, das müssen sogar sozusagen Präferenzen immer sein.
Das müssen auch, also Substitute und Komplimente sein,
aber noch zwei Annahmen für die normalen.
Also man schränkt unter diesen ganzen möglichen Präferenzen,
die gegeben sind, durch Vollständigkeit und Transitivität nochmal ein,
wie es aussieht,
bei normalen Präferenzen.
Und welche Annahmen sind das
Welche Annahmen braucht man für normale Präferenzen? Da braucht man die Monotonie und die strikte Konverexität
Monotonie führt dazu, dass die Indifferenzkurven negativ geneigt sind.
Also das heißt, dass immer mehr, auch als besser bewertet wird.
Und das bedeutet, dass eben die Indifferenzkurve negativ geneigt ist,
alles auf der Indifferenzkurve wird ja gleich gut bewertet.
Und das andere Wichtige ist, die strikte Komplexität,
das bedeutet, dass man lieber Durchschnitte hat,
also man hat lieber von allem ein bisschen,
als von einer Sache ganz viel.
Und das heißt, dass die in Differenzkurve diese Wiegung hat,
wie wir es hier sehen. Das ist die strikte Konvexität,
wenn wir also eine Durchschnitt hier bilden,
dann wird das immer besser bewertet als Diese Bünde,
die auf der Kurve liegen.
Das bedeutet strikte Konlexität. Und nun haben wir eben hier
gerade ein deutsches Beispiel einer normalen Indifferenzkurve. Und das sind,
das ist sozusagen der Prototyp, das sind die Cop-Dugglas-Präferenzen.
Also hier könnt ihr sich vorstellen, ja,
was sind das für, was sind das für Güter?
Zum Beispiel das eine Bekleidung und das andere Nahrung.
Sie wollen eben immer beides. Sie können nicht vollkommen
auf Nahrung verzichten. Und die können auch nicht,
oder sie wollen auch nicht vollkommen auf Kleidung verzichten.
Das bedeutet das
Und bei diesem besonderen Beispiel jetzt, der Cop Douglas-Präferenz,
also die Cop Douglas-Präferenz, die ist immer gekennzeichnet dadurch,
dass die Güter multiplikativ verbunden sind.
Das sehen sie jetzt, also wenn sie irgendwie für X10
einsetzen, dann ist der Nutzen null.
Das heißt, wenn sie von einem Gut nichts haben,
dann haben sie überhaupt keinen Nutzen. Sie brauchen eben beides.
Kleidung und Lebensmittel. Und bei dieser jetzt gibt es diese Exponenten,
C&D und die sind beide gleich eineinhalb,
also die Güter, die ich jetzt hier betrachte,
sind ihnen auch
gleich wichtig
Also haben das gleiche Gewicht in der Nutzenfunktion. Das muss aber
nicht so sein. Also die Cop-Dugglas-Präferenz zeichnet sich nur da
durchaus, dass die Güter eben multiplikativ miteinander verbunden sind.
Das heißt, sie sind begrenzt substitutiv. Sie überlegen in
einer Woche und naja, jetzt will ich mir eine neue Hose kaufen.
Also bin ich ein bisschen bescheidener beim Essen. Also es ist
ein substitutiver Zusammenhang zwischen den Gütern da, aber eben nicht vollständig.
Sie wollen auf keins von beidem vollkommen verzichten.
Und hier werden die Güter bei dieser Präferenzordnung sind sie gleichgewichtig.
Ein anderes Beispiel, das ich hier jetzt auch noch extra aufhöre.
Deshalb, weil es im Buch von Barrion ganz anders darstellt ist,
aber das ist ein bisschen schlampig dargestellt.
Deswegen habe ich das hier nochmal abgebildet, indem ich einfach
auch Zahlen eingesetzt habe. Wichtig ist, dass bei diesem Cop-Ducless-Präferenzen,
dass an beiden Seiten hier gegen unendlich geht,
aber nicht die Achsen berührt.
Das heißt ja eben, man möchte nicht auf eine Sache verzichten.
Also auch mir ist es nicht ganz gelungen,
dass ganz schön so Zeichen,
die Achsen dürfen nicht
berührt werden
Es geht gegen unendlich. Und was ist das?
Wie können Sie jetzt diese Nutzenfunktion beschreiben?
Sie sieht ja so schief aus, was bedeutet das?
Wie werden die Güter bewertet bei dieser Funktion? Kann mir
das jemand sagen? Sie sehen also die Exponenten,
der Exponent von Gut 2 ist 4 Fünftel,
der Exponent von Gut 1
ist ein Fünftel
Das heißt, es gut zwei, das gibt eine viel,
hat einen viel stärkeren, positiven Nutzeneffekt, als das gut eins. Ja,
und das sehen Sie auch, wenn Sie diese,
dieses Deltas X-2 sich angucken oder das Delta X-1,
wenn Sie auf eine höhere Indifferenzgrube wollen,
nämlich auf die Indifferenzgrube mit dem Dutzen U3,
das ist hier, die sind Differenzgrube,
dann müssen Sie ob, das ist offenbar,
da mache ich es doch lieber hiermit.
Dann müssen Sie hier nur so viel von X-2 dazubekommen und
schon haben Sie diesen höheren Nutzen von U3,
während Sie von X-1 müssten Sie unendlich viel.
Ich konnte dich gar nicht mehr aufzeichnen, dazubekommen,
um auf dieses höhere Nutzen, die wir zu kommen.
Das heißt eben, das Gewicht des Gutes 2 ist
viel größer in der Nutzenfunktion. Also diese Nutzenfunktion,
diese Cop Douglas Nutzen, Funktion werden uns noch sehr beschäftigen
Und wir haben letztes Mal gehört, sie haben letztes Mal gehört,
dass wir ja nutzen nur original messen können.
Das heißt, wir können nur sagen,
der Nutzen ist höher, aber wir können nicht sagen,
wie viel der Nutzen höher ist als ein anderer.
Und das führt dazu, dass jede monotone Transformation einer Nutzenfunktion
die gleichen Präferenzen darstellt.
Das wollen wir uns heute mal genauer angucken
Gerade hatte ich in den Nutzenfunktionen vorgestellt, oh,
gleich X1 hoch C, mal X2 hoch.de.
Und nun wird diese Nutzenfunktion monoton transformiert, indem ich,
dass diese monotone Transformation mit dem natürlichen Lockerrhythmus durchführe.
Und das ist sehr praktisch, nämlich der natürliche Logorithmus erlaubt mir dann,
aus dieser multiplikativen Verknüpfung eine additive Verknüpfung zu machen.
Und das ist oft sehr viel einfacher.
Also ich kann dann schreiben, das ist gleich zäh,
mal LNX1,
plus D,
Jetzt wollen wir aber prüfen, war es auch wirklich eine monotone Transformation.
Diese Transformation mit dem natürlichen Logarhythmus. Wie sieht denn der
natürliche Logarhythmus aus? Der natürliche Logarhythmus, Sie sehen das
für U größer Null, ist das eine monoton steigende Funktion.
Und das ist eben wichtig, praktisch für eine monotone Transformation,
dass man diese Transformation mit einem monoton steigenden Funktion macht.
Ich habe die Bedingung nochmal hingeschrieben,
was bedeutet monotone Transformation oder monoton steigende Funktion. Das bedeutet,
dass das U2. Wenn U2 größer ist als U1,
dass dann auch das F von U2 größer ist als F von U1 oder mit der Ableitung formuliert,
dass das eben die erste Ableitung größer Null ist.
Also, das zeigt,
der natürliche Locker-Rhythmus ist eine monoton ansteigende Funktion und wir können
also damit eine monotone Transformation einer beliebigen Nutzenfunktion durchführen
Da fällt mir gerade noch was ein. Ich wollte heute bitten,
auch besonders gut aufzupassen, denn ich habe manche Folien noch
ein bisschen erweitert und auch noch zum Teil was verbessert.
Also ich denke aber, das ist vielleicht ganz gut,
weil es wirklich sie nochmal anregt, sehr aufzupassen.
Ja, also deswegen kann man sagen, die Präferenzen,
die von X1 hoch C, mal X2 hoch D,
abgebildet werden, sind die gleichen,
die durch Ellen von X1 hoch C mal X2 hoch,
die abgebildet werden
Ein anderes Beispiel,
was eben auch sehr oft genutzt wird und das deswegen sehr praktisch ist,
wenn sie das wissen, ist wieder,
wir haben die Cop Douglas-Nutzenfunktion und diesmal wird sie in einer anderen Weise monoton transformiert,
nämlich so transformiert, dass man praktisch die Summe der Exponenten als Nenner nimmt,
einer weiteren X, ja, einer weiteren Potenzierung.
Und was bedeutet das?
Das führt dann dazu
Wenn Sie das sehen hier? Diese beiden Faktoren,
wenn Sie deren Exponenten addieren, was kommt dann raus?
Wenn Sie die beiden Exponenten addieren, was haben wir dann?
Eins. Und das ist eben diese sehr praktische Eigenschaft.
Das heißt, wenn das jetzt eine monethode Transformation ist,
gucken wir uns gleich an,
dann können Sie jede Korb-Douglas nutzen, Funktionen so transformieren,
so monoton transformieren, dass die Exponenten eins ergeben.
Und das ist eben
sehr praktisch
Dann hat man folgende Nutzenfunktion,
wenn wir dann praktisch C durch C plus D ersetzen durch A,
hat man diese Nutzenfunktion und die ist eben einfacher,
weil man nur noch eine Unbekannte hat,
nämlich das A. Aber jetzt prüfen wir, was,
auch wirklich eine monotone Transformation.
Wie sieht das aus? Also,
wenn wir eine exponente Zahlfunktion bilden, zum Beispiel U,
Hocheinhalb, Sie sehen, das ist wieder eine monoton ansteigende Funktion,
wir können also mit diesem Mit dieser Transformation können wir eine Nutzenfunktion transformieren,
denn sie ist monoton und bildet,
deshalb bildet also auch die neue Nutzenfunktion die gleichen Präferenzen ab.
Ja, gut, dann lernen wir ein weiteres Konzept kennen,
nämlich der Grenznutzen, was ist der Grenznutzen?
Der Grenznutzen, Mist, die aus dem Konsum einer
zusätzlichen Einheit eines Gutes Erwachsene,
zusätzliche Befriedigung
Ja, also das ist das, was man an zusätzlichen Nutzen hat,
wenn man eine zusätzliche Einheit eines Gutes bekommt.
Und wie kann man das darstellen? Das kann man darstellen als Grenzwert. Also,
wie verändert sich der Nutzen,
wenn ich eine winzig kleine Einheit, also Delta X1,
wobei X1 gegen 0 geht, von einem Gut dazu bekomme,
aber nur von dem einen Gut, also bei einem Güterbündel,
von mehreren Gütern, wird nur die Menge eines Gutes erhöht.
Das ist der Grenznutzen. Und das ist dann Mathematisch gesprochen,
nichts anderes als die erste Ableitung der Nutzenfunktion,
nach dem Gut, dass dessen Menge verändert worden ist.
Also, das ist die partielle Ableitung, partiell,
weil ja die Nutzenfunktion verschiedener Argumente hat und wir leiten eben
nur nach einem Argument ab.
Die partielle Ableitung der Nutzenfunktion nach dem Gut,
dessen Menge verändert wird. Wobei die Mengen der anderen Güter
eben alle
konstant gehalten werden
Ob es, jetzt bin ich falsch rumgegangen.
Na, habe ich da eine Folie falsch rum rein?
Okay, jetzt bin ich wieder am richtigen Ort.
Worauf müssen wir aufpassen beim Grenznutzen? Der Grenznutzen hängt ja vom Nutzen
ab und deshalb erfährt auch der Grenznutzen durch eine monotone Transformation eine neue Skalierung.
Das heißt, der Wert des Grenznutzens, sowie der Wert
des Nutzens, Hat gar keine Bedeutung an sich.
Das ist auch hier nur eine Skalierung. Also sie können
den Wert, wenn sie den Grenz nutzen, ausrechnen,
sie können den Wert nicht interpretieren.
Das Vorzeichen können sie interpretieren. Also ob ihr Nutzen gestiegen
ist oder gesunken ist, das ist sozusagen, das hat Aussagegehalt.
Aber ob nun ein Grenznutzen von vier rauskommt oder ein Grenznutzen
von zehn, das hat keine Bedeutung.
Aus dem Gleichen, eben aufgrund dieser ordinalen Nutzenmessung,
die wir ja auch schon bei den Nutzenfunktionen kennengelernt haben
Ja, also gucken wir uns wieder unsere Nutzenfunktionen an, X1 mal X2.
Und was ist also jetzt der Grenznutzen? Zum einen,
also beim ersten Mal, der Grenznutzen von X,
da leiten wir also diese Dutzenfunktion partiell nach X ab.
Und was ist das? Das ist einfach X2.
Und dann leiten wir diese Nutzenfunktion nach X2 ab.
Wir gucken also, wie verändert sich der Nutzen,
wenn die Menge an U2 sich ändert.
Und das ist dann
Und jetzt habe ich mal das,
und ich habe ja gesagt, dieser Grenznutzen,
dieser Wert des Grenznutzens ist, hat keine Bedeutung.
Jetzt habe ich mal das Verhältnis gebildet dieser beiden Grenznutzen.
Und das ist dann X2 durch X1. Und das will ich
erstmal so im Raum stehen lassen.
Das wird uns gleich noch oft begegnen.
Dieses Verhältnis der Grenznutzen. Wir wollen eine monotone Transformation dieser
Nutzenfunktion. X1 mal X2 angucken. Wie sieht das da
mit dem Grenznutzen aus? Also habe ich den Grenznutzen gebildet,
das Gute ist X1, bei dieser Nutzenfunktion, also die erste Ableitung.
Und sie sehen, das sieht schon relativ kompliziert aus,
aber einfach nur abgeleitet.
Und dann habe ich das Gleiche mit dem Gut X2 gemacht.
Ich habe also wieder die erste Ableitung gebildet,
aber jetzt nach gut
Zwei. Das heißt, gut eins ist konstant gehalten.
Ist ein ähnlich komplizierter Ausdruck. Und jetzt habe ich wieder
das Verhältnis dieser beiden Grenznutzen gebildet. Und was ist das Ergebnis
? Was sehen Sie? Können Sie das jetzt interpretieren,
was Sie vorher gesehen haben bei dem Beispiel, oh,
gleich X-1, mal X-2 und diesem Beispiel?
Was ist das Verhältnis der Grenznutzen
Es ist das Gleiche. Also wiederum ist das Verhältnis der
Grenznutzen X2 durch X1. Was wollte ich Ihnen also damit zeigen?
Ich wollte Ihnen damit zeigen, dass diese Transformation der Nutzenfunktion,
die wir ja durchgeführt haben, V von X1X2,
ist einfach eine monotone Transformation von U, gleich X1 mal X2.
Dass man da zu ganz unterschiedlichen Grenznutzen kommt.
Sie haben ja gesehen, hier ist es viel komplizierter
als bei der Funktion
Uh, gleich X-1, mal X-2,
aber das Verhältnis der Grenznutzen ist das Gleiche.
Und das ist ein sehr wichtiges Ergebnis. Das Verhältnis der Grenznutzen ist also
sozusagen eine originale Eigenschaft, eine Eigenschaft, die Bedeutung hat.
Während der Grenznutzen an sich keine Bedeutung hat. Wir haben gesehen,
bei einem und derselben Nutzenfunktion, denn,
oder bei ein und denselben Präferenzen, nur einmal,
die sich nur durch eine monotone Transformation unterscheiden,
unterscheiden sich auch die Grenznutzen
Aber die Verhältnisse der Grenznutzen unterscheiden sich eben nicht.
Ist das klar geworden? Unterbrechen Sie mich jederzeit,
wir, es ist so entscheidend, dass ich gerne möchte,
dass Sie das alle verstehen.
Ja. Sie meinen jetzt dieses C und D oder welcher,
ich meine, nee, das kann auch unterschiedlich sein.
Wir hatten ja vorhin das Beispiel, was hatten wir?
Ein Fünftel und Vierfünftel.
Das spielt keine Rolle
Könnt jede beliebige Nutzenfunktion monoton transformieren. Eben,
wenn sie eine monoton steigende Funktion dafür verwenden und dementsprechend ändern sie sich auch die Grenz nutzen,
die sind sozusagen ja dann auch transformiert,
aber das Verhältnis der Grenznutzen ist gleich.
Also das Verhältnis der Grenznutzen ist unabhängig von der gewählten Nutzenfunktion.
Es ist eine beobachtbare Größe Und welche Größe ist es?
Es ist die, die wir letztes Mal schon ein bisschen
kennengelernt haben, nämlich die Grenzrate der Substitution.
Und das will ich Ihnen jetzt zeigen. Wie Grenznutzen und Grenzrate
der Substitution zusammenhängen. Wir haben letztes Mal schon definiert,
die Grenzrate der Substitution misst die Rate,
zu der der Konsument bereit ist.
Das eine gut für das andere zu substituieren.
Ohne dass sich eine Änderung des Gesamtnutzens ergibt
Das ist die Definition der Grenzrate der Substitution.
Also die Frage ist, auf wie viel Apfelsärft verzichten Sie,
um eine Einheit mehr Orangensaft zu bekommen?
Das ist die Grenzrate der Substitution. Oder auf wie viel Bekleidung
verzichten Sie, um eine Einheit mehr Lebensmittel kaufen zu können?
Deshalb können wir also schreiben, die Grenzrate der Substitution
Auf der soll der Gesamtnutzen null sein. Das heißt also,
die Veränderung des Gesamtnutzens soll null sein. Wie müssen sich
die Veränderung des Nutzens aufgrund einer Änderung von X1 verhalten im
Vergleich zur Änderung des Nutzens bei einer Veränderung von X2?
Also, das ist hier die Nutzenzunahme aufgrund einer kleinen Mengenänderung,
bei dem Gut1, eben die erste Ableitung,
das ist ja hier
der Grenznutzen
Und hier, das ist die Nutzenzunahme,
aufgrund einer kleinen Mengenänderung bei gut zwei. Aber diese beiden,
somannten, soll null sein, ein Moment, ja.
Diese beiden Dominanten sollen null sein, das heißt,
das eine muss eine Nutzenzusamme sein und das andere muss eine Nutzenabnahme sein.
Ja, was war Ihre Frage? Das war Ihre Frage.
Okay, ja. Genau. Also, hier muss dann
eine Zunahme stehen und hier muss dann eine Abnahme stehen.
Sonst wird es ja nicht null ergeben
Wir bewegen uns also auf einer Indifferenzkurve. Auf eine Indifferenzkurve
ist ja dadurch definiert, dass da die Nutzenänderung null ist.
Und das ist ja genau das, was wir hier haben.
Die Nutzenänderung soll null sein. Ja,
und wenn wir das jetzt,
wenn wir diesen Ausdruck jetzt ein bisschen umformulieren,
auf der einen Seite steht ja null,
dann bekommen wir
diesen Ausdruck
Ja, wir haben also jetzt nach den absoluten Änderungen DX2
durch DX1 sortiert und haben dann hier auf dieser Seite,
auf der rechten Seite, also die Grenz nutzen.
Einmal der Grenzdutzen, des Gutes X1,
durch den Grenzdutzen des Gutes X2. Und weil es ja entgegengesetzt
gerichtet sein muss, haben wir das Minuszeichen.
Ja, also ich muss, damit mein Nutzen gleich bleibt,
bei dem einen Gut auf etwas verzichten,
um von dem anderen Gut etwas dazu zu bekommen.
Deswegen haben wir das Minuszeichen. Ja,
und hier auf der linken Seite, dieser Kozent,
DX2 durch DX1, den Korn verbal, so ausdrücken.
Das ist das, worauf ich an X2 zu verzichten bereit bin,
um eine Einheit von X1 dazu zu bekommen.
Das ist die Grenzrate der Substitution, DX2 durch DX1.
Und die ist eben immer negativ und das möchte ich sie
besonders noch drauf hinweisen
Manchmal wird das in den Büchern ein bisschen Lachs gehandhabt.
Und da wird einfach das Minuszeichen weggelassen. Weil es sowieso jeder weiß,
dass man nur von dem einen gut was mehr bekommen kann,
wenn man aufs andere gut verzichtet.
Wir wollen aber hier immer darauf achten, dass das Minuszeichen dasteht.
Also Grenzraten der Substitution haben immer ein negatives Vorzeichen.
Ja, und kennen Sie diesen Ausdruck also?
Das ist ja der Grenzdutzen, das Gute ist X1,
durch den Grenzdutzen das gute X2. Ich habe es hier auch schon hingeschrieben.
Das ist ja das, was wir vorhin uns
schon angeguckt haben
Also die Grenzrate der Substitution ist gleich dem Verhältnis der Grenznutzen.
Und bitte das Minuszeichen aber nicht vergessen.
Wie kann man das interpretieren, jetzt nochmal verbal?
Je mehr Nutzen eine zusätzliche Einheit von Gut 1 stiftet.
Also je größer das MU1 ist. Im Verhältnis zu dem
Verlust an Nutzen Durch eine Einheit weniger von gut zwei.
Ich muss ja auf gut zwei verzichten,
um mehr von gut eins zu bekommen.
Desto eher wird ein Konsument bereit sein, X2 aufzugeben,
zugunsten von X1, also von gut eins.
Also je mehr sie ein Gut schätzen im Vergleich zu einem anderen,
desto weniger werden sie bereit sein.
Dieses Gut aufzugeben,
zugunsten des anderen
Und jetzt wollen wir das wieder an diesen ganzen Präferenzen,
die wir kennengelernt haben, durchmachen.
Was ergibt sich dabei? Also wir haben diese perfekten Substitute,
das war das Beispiel, mit der Getränke,
mit dem Getränkepulver für Apfelsaft, Apfelsaft,
Getränkepulver und dem richtigen Original Apfelsaft.
Oder auch Apfelsaft und Orangensaft. Beide Beispiele hatten wir schon
. Was ist die Grenzrate der Substitution?
In welchem Maß sind sie bereit
Bei vollständig substitutiven Gütern auf das eine zu verzichten,
zugunsten des anderen. Berechnen wir die Grenzer,
berechnen wir die Grenznutzen dieser beiden Güter,
also der Grenznutzen des Gutes XI, was ist das?
Was ist der Grenznutzen des Gutes? Eins? Höre ich
es schon irgendwo, vielleicht bitte laut?
Bilden Sie mal einfach die erste Ableitung,
Genau, aber sagen Sie mir jetzt einfach den Wert bei
dieser Funktion, was ist das dann? Der Grenznotzen,
das Gutes X1. Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion.
Nach X1. Was ist das dann? Ja, bitteschön.
Genau, das ist das A. Und was ist der Grenznutzen des Gutes X2?
Das ist das B, genau. Deswegen ist die Grenzrate der Substitution A,
geteilt durch B, aber minus A, geteilt durch B,
weil man ja auf das eine gut verzichten muss,
um das andere gut zu bekommen.
Ja, also einfach, es macht das Errechnen,
der Grenzrat der Subsituation relativ einfach,
weil man einfach die Grenznutzen der beiden Güter durcheinander dividiert.
Jetzt wollen wir gucken, ob das auch irgendwie an
dem Beispiel mit dem Getränkepulver und dem Saft Sinn macht.
Also das Getränkepulver ist X1 und der Apfelsaft ist X2 und wir hatten gesagt,
man kann mit einer Packung Getränkepulver 10 Liter Saft herstellen und
Man sei zwischen diesen beiden Alternativen in Lieferent.
Das war diese Nutzenfunktion. 10, X1 plus X2. Wie
sieht es also da aus mit der Grenzrate der Substitution?
Was ist die Grenzrate der Substitution? DX2 durch DX1?
Sie haben es natürlich in ihren Unterlagen,
aber bitte denken Sie einfach noch mal mit.
Die Unterlagen verleiten natürlich, dass man dazu,
dass man einfach abliest.
Genau, die, die Grenzrate ist dann einfach minus zehn,
nämlich der Grenzdutzen des Gutes eins, durch den Grenzdutzen des Gutes zwei.
Und das ist dann, und eben das Minus nicht vergessen, also minus zehn.
Genau, vielen Dank. Und was heißt das also?
Bei solchen vollständigen Substituten ist die Grenzrate der Substitution unabhängig davon,
wie viel man von dem einen gut Und von dem anderen Gut schon hat.
Sie hängt nur von dem Substitutionsverhältnis zwischen den beiden Gütern ab.
Und das war ja hier eben zehn. Nämlich eine Packung,
Getränkepulver ist so gut wie zehn Liter Apfelsaft.
Ja. Das A, also das A ist zehn,
genau, und das B ist eins.
Und weil es eben aber entgegengesetzt gerichtet ist,
ist es minus zehn.
Ja, genau
Ja, also der Konsument ist bereit,
auf 10 Liter Apfelsaft zu verzichten.
Das ist das DX2. Wenn er dafür eine Packung Getränkepulver bekommt.
Wie sieht das aus bei perfekten Komplimenten?
Das war das Beispiel Kaffee und Zuckerstücke. Und ich habe
ihnen hier nochmal die Nutzenfunktion hingeschrieben,
damit sie nicht so viel
blättern müssen
Also, wie sieht es hier aus? Auch das,
auch ist es gut, wenn da uns nochmal die Grafik veranschaulichen.
Ja, welche Schwierigkeit taucht jetzt auf? Wenn sie sich
die Grafik angucken und sie sollen die Grenzrate der Substitution errechnen.
Welches Problem taucht auf? Wie wollen sie
die Grenzrate der Substitution
hier errechnen
Als Verhältnis der Grenz nutzen. Wenn Sie die Grafik anschauen,
ja, wollen Sie was sagen oder?
Nee, okay. Wenn Sie die Grafik anschauen,
dann sehen Sie, diese Funktion ist nicht differenzierbar,
weil sie ja diesen Knick hat.
Also kommen wir hier so nicht weiter.
Wie sieht das aus mit den Grenzraten der Substitution bei Perfekten?
Komplimenten. Da muss man abschnittsweise vorgehen. Für diesen Ast
? X1, X2, größer als 2X1.
Na, wo ist es jetzt
Also, das ist die Falsche. Für diesen Ast,
was ist da der Fall? Da habe ich so viel Würfelzucker,
meinetwegen fünf Stück Würfelzucker, aber ich habe nur zwei Tassen Tee.
Das heißt, dieses letzte Würfelstücker-Zuck-Würfel-Zuckerstück nützt mir überhaupt nichts.
Das heißt, ich bin bereit, es aufzugeben,
ohne was dafür haben zu wollen.
Das heißt, die Grenzrate der Substitution in diesem Bereich
ist minus unendlich
Mich definiert ist die Grenzrate der Substitution für diese Ecken.
Also für zwei X-1 gleich X-2 ist die Grenzrate der Substitution nicht definiert,
weil es eben an dieser Stelle ist die Funktion nicht differenzierbar.
Und was passiert hier? Hier habe ich ziemlich viel Kaffee,
aber der ist nicht genießbar, dadurch,
dass viel zu wenig Zucker dabei ist.
Und was bedeutet, dass, warum ist hier
die Grenzrate der Substitution null
Weil ich die Zuckerstücke, die ich jetzt habe,
auf keinen Fall hier gebe, egal wie viel Kaffee man mir bietet,
ich habe schon jetzt viel zu wenig Zucker.
Also den Zucker, den ich habe, den gebe ich auf
keinen Fall auf, um noch mehr Kaffee zu bekommen.
Deswegen ist die Grenzrate der Substitution hier null.
Und da wollte ich sie eben noch darauf hinweisen,
dass ich es nicht vergesse.
Letztes Mal habe ich das Minuszeichen bei dem Unendlich vergessen.
Also bitte ergänzen Sie das noch.
Grenzraten der Substitution sind negativ
Dann haben wir noch eine andere Präferenzordnung kennengelernt.
Und zwar waren das die quasi linearen Präferenzen.
Diese Präferenzen sind einfach mathematisch sehr gut handhabar.
Wenn sie vielleicht auch nicht so realistisch sind,
aber vielleicht hilft es ihnen, sich vorzustellen,
dass das X-2 Orangensaft ist und das X-1 ist Campari.
Wenn sie sich das so vielleicht als Bild vorstellen, dann bedeutet diese Präferenzordnung
Sie mögen ganz gerne Campari zum Orangensaft. Aber sie sind
auch bereit, völlig auf den Campari zu verzichten.
Und nur Orangensaft zu trinken. Das heißt, das sind
dann diese Punkte. Aber sie sind nicht bereit,
auf den Orangensaft völlig zu verzichten.
Das heißt, hier wird die Achse nicht geschnitten.
Sie wollen also immer ein bisschen Orangensaft haben, egal,
wie viel Campari sie haben.
Das sind also quasi lineare Präferenzen und wir wollen jetzt
hier uns auch die Grenzrate der Substitution angucken
Wir haben gesehen, quasi Lena Präferenzen haben solche Nutzenfunktionen.
Also ein lineares, also der Nutzen ist linear in einem gut.
Hier ist der Nutzen linear in Good X2 und der Nutzen von X1
ist eine beliebige Funktion V von X1. Was passiert,
wenn ich hier jetzt die Grenzrate der Substitution errechne?
Was ist der Grenznutzen? Das Gutes X1? Der Grenznutzen
des Gutes X1 ist einfach Delta V von X1 nach Delta Exiles.
Erstmal allgemein hingeschrieben, aber Minus, Delta V von X1,
durch X1. Was ist der Grenznutzen des Gutes X2?
Was der Grenznutzen des Gutes X2? Wir müssen ja
die beiden Grenzen nutzen, ins Verhältnis setzen, ja?
Oh, das ist das, das können Sie jetzt sogar
sagen, die Zahl? Was ist das für eine Zahl
in dem Fall
Nee, also leiten Sie einfach mal diese Funktion nach X-2 ab.
Was ist es? Eins, genau. Das ist das Schöne.
Also deswegen fällt das dann hier die Eins im Männerfeld dann einfach weg.
Ja? Also für die Grenzrate der Subsition,
bei den quasi linearen Präferenzen, spielt eben nur der Grenznutzen
des nicht linearen Gutes eine Rolle.
Wir nehmen mal
ein Beispiel
Und wollen hier die Grenzrate der Substitution berechnen. Was ist
der Grenzdutzen des Gutes X1? Willt Sie mal die Ableitung,
die erste Ableitung? Was ist der Grenznutzen nach dem Gut X1
? Wie bilden Sie Dadi erste Ableitung? Das ist ja
die Wurzel X1 ist ja nichts anderes als X hocheinhalb.
Dann ist die erste Ableitung eineinhalb mal X hohe auch minus eineinhalb.
Und dann kann ich das minus eineinhalb durch das minus eineinhalb,
kann ich das X1 dann in den Denner bringen.
Also das ist der Grenznutzen nach dem Bud X1
und was ist wiederum der Grenznutzen nach dem Good X2?
Oder grenzdutzend, des Gutes X2? Das ist wieder eins.
Fällt also wieder weg. Also die Grenzreite der Substitution bei
quasi linearen Präferenzen hängt eben nur von dem nicht linearen Gut ab.
Und das bedeutet, in der Grafik Die Grenzrate der Substitution
ist ja die Steigung der Indifferenzkurve, in jedem Punkt.
Und das heißt also, egal, wo ich mich befinde,
auf dieser X2-Achse, also egal, wie viel ich habe,
von dem Gut X2 oder von dem Gut 2,
die Grenzrate der Substitution ist immer gleich.
Also entlang einer vertikalen Linie ist die Grenzrate der Substitution bei
quasi linearen Präferenzen immer gleich.
Eben nur abhängig von
Ja. Und das ist eine sehr schöne Eigenschaft,
die uns bei vielen Dingen nützlich sein wird.
Ja, also die Grenzrate der Substitution hängt nicht von
dem Gut ab, in dem die Präferenzen linear sind.
Eben hier nicht von X2. Und dadurch haben die in
der Ferenzkurve entlang einer Vertikalen immer die gleiche Steigung
Jetzt kommen wir und zu unseren Korp-Daklas-Präferenzen. Wie sieht das
da aus mit der Grenzrate der Substitution? Auch hier,
jetzt wird es ein bisschen komplizierter, bilden da einfach die erste Ableitung.
Wir wollen, wir errechnen also wieder die Grenzrate der Substitution,
indem wir das Verhältnis der Grenznutzen bilden.
Also erstmal der Grenzdutzen des Gutes X1,
die erste Ableitung gebildet und der Grenznutzen des Gutes X2
Auch das erhalten wir, indem wir die erste Ableitung bilden.
Jetzt sitzen wir das ins Verhältnis,
um die Grenzrate der Substitution zu errechnen,
und schreiben wieder das Minuszeichen davor, und bekommen diesen Ausdruck minus A,
mal X2, durch 1 minus A, mal X1.
Was bedeutet jetzt dieser Ausdruck? Ich habe gesagt, vorhin,
die Grenzdutzen alleine, deren Wert kann man nicht interpretieren,
aber das Verhältnis der Grenzdutzen,
der Wert ist durchaus interpretierbar.
Und wie ist der interpretierbar
Je höher das Gewicht von Gut1 im Verhältnis von Gut2 in der Nutzenfunktion ist,
also je höher A ist, desto niedriger ist eins minus A.
Und je mehr man schon hat von dem Gut2 im Vergleich zu Gut1.
Also je mehr man von diesem Gut schon hat im Vergleich zu dem Gut X1,
desto mehr ist man bereit von dem Gut X2 aufzugeben,
um eine zusätzliche Einheit von Gut1 zu bekommen.
Überlegen wir uns nochmal,
was das heißt
Also, das erste heißt, dieses A und das 1 minus A,
das ist die Gewichtung der Güter in der Nutzenfunktion.
Und je höher die Gewichtung des Gutes X1 ist,
je höher... Je mehr Nutzen ihnen entsteht,
aus dem Guteins, desto leichter sind sie bereit,
es ist etwas von Gut-2 aufzugeben, um gut eins zu bekommen.
Das ist dieses hier. Und das hier sagt eben,
dieses Verhältnis sagt, je mehr sie schon haben,
von dem Gut-2, desto eher sind sie bereit,
etwas davon abzugeben
Aufgrund welcher Annahme von Indifferenzkurven, von normalen Indifferenzkurven?
Aus welcher Annahme resultiert dieses Ergebnis? An was erinnert Sie das,
wenn ich sage, je mehr Sie schon haben,
von Goodsweilen, desto leichter, desto eher sind Sie bereit,
etwas von Good 2 aufzugeben?
Aus welcher Annahme? Ja, bitteschön. Nicht direkt aus
der Sättigung eigentlich, sondern aus der strikten Konvexität,
dass Sie eben Durchschnitte extremen bevorzugen.
Ja, genau
Ja, und jetzt haben wir also bisher kennengelernt,
auf der einen Seite die Budgetmenge, das ist das,
die Restiktion, der sie unterlegen,
unterliegen und auf der anderen Seite haben wir die Präferenzen kennengelernt.
Das ist das, also was sie, was sie wollen,
was sie, welche Güter sie wie hoch einschätzen.
Und jetzt gucken wir, wie kriegen sie beides zusammen.
Wie treffen sie angesichts ihrer Zwänge und dem,
was sie wollen,
ihre Entscheidung
Wir haben darüber schon mal in Kapitel 2, 2,
5 gesprochen. Und zwar haben wir da festgestellt,
dass Konsumenten kein Bedürfnis haben nach Änderungen.
Wenn ihnen ein Tauschverhältnis zwischen gut 1 und gut 2
angeboten wird, dass gerade der Grenzrate der Substitution entspricht.
Wenn Sie das wissen, dann können Sie weiterfolgern,
wenn also am Markt durch P1 und durch P2,
also die Preise der Güter,
genau das Tauschverhältnis gegeben ist
Dann befindet sich der Konsument im Optimum. Optimum heißt,
nämlich immer, dass sie zufrieden sind mit der Situation,
wie sie ist. Dass sie sich nicht verändern wollen,
das ist das Kennzeichen eines Optimums. Und wenn also das
genau diese Preise am Markt angeboten sind, werden,
bei denen sie auch persönlich die Güter so zusammengestellt haben,
wie sie es am besten finden,
dann befinden sie sich im Optimum
Grafisch ist das auch sehr anschaulich. Sie haben hier ihre Budgetrestriktion,
also sie können nur sich Güterbündel leisten innerhalb dieses grauen Dreiecks.
Und dann haben sie ihre Indifferenzkurve,
die Ausdruck ihrer Präferenzen ist, und das sagt,
alles, was oberhalb, also rechts oberhalb dieser Indifferenzkurve ist,
haben sie lieber, also bevorzugen sie,
gegenüber Punkten auf dieser Indifferenzkurve und schon gar Punkten,
die darunter liegen
Wo ist also das Optimum? Das Optimum ist gerade dort,
wo sich die Budgetrestiktion und die in der Frenzgrube tangieren,
wo sie sich berühren. Und sie sehen, das ist das
bei einer Strickkonvexen in Differenzkurve, ist das genau ein Punkt.
Ja, das ist also die grafische Veranschaulichung ihrer optimalen Entscheidung.
Wenn Sie also dieser Budgetrestriktion unterliegen, Dann ist ja dieser
Punkt gerade für sie realisierbar und es ist der Punkt,
der angesichts dieses Budgets ihnen den höchsten Nutzen stiftet.
Ja, also wenn dann hier noch eine Indifferenzkurve ist,
die stiftet ihnen natürlich weniger Nutzen.
Deswegen wählen sie da keinen Punkt auf dieser Indifferenzkurve auf,
sondern sie wählen die höchst gelegene Indifferenzkurve aus.
Jetzt haben wir das von der ökonomischen Intuition,
ist uns klar, was das Optimum ist.
Wir haben es auch grafisch veranschaulicht,
aber jetzt wollen wir das
da noch ausrechnen
Und dafür wollen wir uns viel Zeit nehmen und das ist,
natürlich ist das wirklich das Zentrale auch und wenn sie da
nicht einen Punkt verstehen, dann müssen sie bitte unterbrechen.
Also was ist das mathematische Problem, was wir haben,
um das Optimum zu finden? Wir haben eine Nutzenfunktion,
X1, X2 und wir wollen den Nutzen maximieren.
Aber wir unterliegen der Budgetrestriktion, P1,
X1 plus P2,
X2,
Also, wir wollen maximieren unter einer Nebenbedingung. Und wie können wir
das machen? Wir wollen in hier zwei Verfahren vorstellen.
Und zunächst mal das erste, da wird das Optimum hergeleitet,
indem man diese Budgetbeschränkung in den Nutzenfunktionen einsetzt.
Wie geht man dabei vor? Man löst die Budgetbeschränkung nach
X1 oder X2 auf, also wie es ihnen passt.
Ich mache es
immer nach
Denn das haben wir ja auch schon gemacht,
als wird die Budgetbeschränkung gezeichnet haben, in einem X-1X-2-Koordinatensystem.
Also wir haben die Budgetbeschränkung aufgelöst hier nach X-2.
Sie ist also jetzt eine Funktion von X-1.
Und jetzt Substituieren wir in der Nutzenfunktion,
die hat ja die Argumente X-1 und X-2 und anstelle von X-2
in der Nutzenfunktion setzen wir nun
diesen Ausdruck hier ein
Also, wir setzen also in diese Nutzungsfunktion,
anstelle von X2 setzen wir diese umgeformte Budgetbeschränkung.
Wir haben also aus diesem Maximierungsproblem unter Nebenbedingungen ein einfaches Maximierungsproblem gemacht,
ein unbeschränktes, sogenanntes, unbeschränktes Maximierungsproblem und das ist jetzt
nur noch von X1 abhängig.
Also wir haben die Schwierigkeit erheblich reduziert durch dieses Verfahren.
Denn jetzt haben wir also einfach
eine Nutzenfunktion
Von I know, abhängig von einer Variable X1. Und wir
maximieren nach dir, indem wir die erste Ableitung berechnen.
Also wir differenzieren einfach nach X1 und setzen dann das Ergebnis
gleich null. Was ist also diese Funktion?
Wie bildet man die erste Ableitung? Hier, das ist
einfach die Ableitung
erstmal nach
Die partielle Ableitung nach X1. Und das ist hier die partielle Ableitung nach X2,
aber X2 ist ja jetzt selber abhängig von X1. Und
da müssen wir also hier nochmal die innere Ableitung bilden.
Das ist also einfach die Anwendung der Produktregel und der Kettenregel.
Der Differenzation. Und wenn wir das gleich null setzen,
was bekommt man dann?
Wir wissen schon etwas über dieses DX2 durch DX1.
Wir wissen nämlich aus der Budgetbeschränkung,
dass das minus P1 durch P2 ist
Also, die Steigerung der Budget gerade, dann können wir das also einsetzen,
können wir dieses hier da oben einsetzen und haben diesen Ausdruck.
Also, was? Gucken wir uns diesen Ausdruck nochmal an?
Dieser Ausdruck hier oben im Zähler sagt uns,
dass im Optimum der Grenzdutzen des Gutes X1 durch den Grenznutzen
des Gutes X2 im Optimum gleich sein muss, dem Preisverhältnis.
Und das ist ein sehr wichtiges Ergebnis. Also,
das Verhältnis der Grenzlotzen im Optimum muss dem Preisverhältnis entsprechen.
Oder man kann es auch so rumschreiben,
was bedeutet das jetzt, wenn wir das so uns angucken?
Das heißt, für jedes Gut muss gelten im Optimum,
dass der Grenznutzen dieses Gutes dividiert durch den Preis,
eben das Gleiche ist bei jedem Gut.
Was bedeutet das jetzt, wenn man das sich ökonomisch vorstellt?
Das heißt, Was ist, wenn diese Gleichung nicht erfüllt ist?
Dann würde es es ja bedeuten, dass ein Gut ihnen noch einen Grenznutzen gibt.
Wer höher ist im Vergleich zu dem Preis,
als bei einem anderen Gut. Und wenn das so ist,
dass sie von einem Gut im Optimum noch einen größeren Nutzen haben,
im Vergleich zum Preis, als von einem anderen Gut,
dann müssten sie sich überlegen, dass Güterbündel zu verändern.
Dann sollten sie nämlich von dem Gut,
was noch einen höheren Nutzenstift stiftet,
wenn sie von dem noch mehr dazu kaufen,
dann sollten sie von dem auch noch mehr
dazu kaufen
So lange sollten sie von einem Gut noch etwas dazu kaufen,
bis auch bei diesem Gut Grenz nutzen,
geht halt durch Preis, so hoch ist,
wie bei allen anderen Gütern.
Ist das klar geworden? Ja? Sonst,
bitte fragen Sie, wenn das nicht klar ist.
Was kann man noch mit dem Ergebnis machen?
Diese Ergebnisse sind jetzt alle sehr entscheidend.
Wir wissen schon
von Seite
Dass die Grenzharte der Substitution dem negativen Verhältnis der Grenznutzen entsprechen muss.
So haben wir gelernt, so rechnet man die Grenzrate der Substitution aus.
Wenn das so ist, was gilt dann auch?
Wenn das so ist, dann gilt,
dass im Optimum die Grenzrate der Substitution gleich dem negativen Preisverhältnis ist,
oder man kann auch,
da muss man das negativ nicht immer dazu sagen,
der Betrag der Grenzrate der Substitution
ist gleich
dem Preisverhältnis
Und das ist das,
was wir vorhin bei der Intuition angesprochen haben,
bei der ökonomischen Intuition, haben wir gesagt,
wenn man, wenn das Preisverhältnis realisiert ist,
bei dem man gerade nicht mehr tauschen möchte,
dann befindet man sich im Optimum.
Also im Optimum muss der Betrag der Grenzrate der Substitution zwischen
den beiden Gütern
gleich dem Preisverhältnis sein
Das heißt, im Optimum ist die Steigung der Indifferenzkurve,
die steigen oder indifferenzkurve, ist ja nichts anderes als die Grenzrate der Substitutionen.
Die muss gleich der Steigung der Budget gerade sein,
die Steigung der Budget gerade,
ist ja nichts anderes als P1 durch P2, also das Preisverhältnis.
Also, das ist ein ganz entscheidendes Ergebnis.
Im Optimum gilt die Grenzrate der Subsition oder der Betrag
der Grenzrate der Substitution, muss gleich dem Preisverhältnis sein.
Haben Sie
die Ableitungen verstanden
Diese Methode, die Optimierung durch Einsetzen in der Budgetbeschränkung in
die Nutzenfunktion, die funktioniert aber nur bei zwei Gütern.
Das ist der Nachteil. Der Vorteil ist, dass es
relativ einfach ist. Jetzt kommt noch eine Sache dazu.
Sie wissen, dass die erste Ableitung ihnen immer nur sagt,
ob ein Extremwert da ist. Aber die erste Ableitung sagt
noch nicht, ob es ein Maximum oder ein Minimum ist.
Dafür brauchen sie die zweite Ableitung. Also sie müssten im Allgemeinen immer noch prüfen,
wenn sie den Wenn Sie die erste Ableitung gebildet haben und
ein Extremwert gefunden haben, ist dieser Extremwert ein,
ob ein Maximum oder ein Minimum.
Und das stellen Sie fest, indem Sie die zweite Ableitung bilden.
Wenn die zweite Ableitung negativ ist, haben Sie ein Maximum,
wenn die zweite Ableitung positiv ist, haben Sie ein Minimum.
Und jetzt kann es ja vorkommen,
dass denken Sie an perfekte Substitute,
dass Sie
kein Extremwert finden
Größer Null. Das heißt, es gibt eine Randlösung.
Irgendwo ist das Optimum auf den Achsen.
Und was müssen Sie dann machen bei dieser Methode?
Sie prüfen eben, hat ihre innere Lösung. Ist das
ein Minimum oder ist das ein Maximum, wenn Sie feststellen,
es ist ein Maximum, dann können Sie zufrieden sein.
Wenn Sie aber feststellen, ist es ein Minimum,
dann sollten Sie prüfen, ob durch eine Antlösung ein höherer Nutzen realisiert wird.
Randlösung heißt ja, das eine gut ist die Menge des
einen Gutes ist Null.
Und insofern können Sie dann schnell den Nutzen ausrechnen
Wir gucken uns das aber auch gleich noch weiter an.
Die zweite Möglichkeit ist die Herleitung des Optimums mit Hilfe von Lagrange, Multiplikatoren.
Das ist auch ein Verfahren, was ihn immer wieder nützlich
sein wird. Deswegen wollen wir das hier auch vorstellen.
Und es gibt auch noch viel kompliziertere Verfahren.
Und die ersparen wir ihn aber. Also Lagrange,
da ist ein End zu viel, sehe ich gerade.
Hier, das End müssen sie streicheln
Wie funktioniert die Optimierung mit Lagrange? Wir formulieren eine Hilfsfunktion.
Es ist dann die sogenannte Lagrange-Funktion. Und was ist die Lagrange-Funktion?
Die Lagrange-Funktion ist einfach eine, da wird die Nutzenfunktion,
die gegeben ist, ergänzt um einen weiteren Teil.
Und zwar wird die Budgetbeschränkung genommen und der Lagrange-Multiplikator Lampter davor gesetzt
Und man bildet nun eine zusammengesetzte Funktion. Also die Lagrange-Funktion
ist eine zusammengesetzte Funktion aus der Nutzenfunktion und der Budgetbeschränkung.
Die variable Lamtter wird Lagrange-Multiplikator genannt,
weil sie eben multiplikativ mit der Budgetbeschränkung verbunden ist.
Und durch das Bilden der Lagrange-Funktion haben sie jetzt eben auch wieder
die Nutzenfunktion auf der einen Seite und die Budgetbeschränkung auf der anderen Seite zusammengeführt.
Das ist es ja, was wir bei der Optimierung machen wollen.
Wir müssen diese zwei Teile, die Zielfunktion, die Nutzenfunktion,
das also, was wir wollen und die Restriktion,
der wir unterliegen,
die müssen wir zusammenführen
Und wie geht man nun vor bei dieser, ja,
bei dieser Optimierung? Diese Funktion, leitet man nur nach
all ihren Variablen ab und bildet die Bedingung erster Ordnung.
Also man leitet sie nach der Variable X1 ab,
nach der Variable X2. Und nach dem Lampdar,
was man eingeführt hat, also nach diesem Lagrange-Multiplikator
. Wie sieht das aus? Man leitet also partiell ab
. Man leitet also
die Nutzenfunktion
Nach dem ersten Argument ab, nach X1. Und man darf
jetzt nicht vergessen, das ist ja noch die,
in der Zielfunktion steht ja noch Lampda, mal der Zielfunktion,
lampt da mal der Budgetbeschränkung.
Deswegen haben wir hier noch diesen Term. Bei der ersten Ableitung,
und das setzt man gleich null, genauso ist das hier.
Das ist die Ableitung der Nutzenfunktion nach X2.
Und das ist die Ableitung der Budgetbeschränkung,
der mit Lampda multiplizierten Budgetbeschränkungen nach
Und wenn wir nach Lampta ableiten, ich zeige Ihnen das nochmal hier,
wenn wir hier nach Lampta ableiten, was bleibt über?
Einfach die Budgetbeschränkung. Also, wie geht man vor,
wenn man nach dieser Optimierung nach Lagrange vornimmt,
man bildet die Lagrange-Funktion, indem man die Nutzenfunktion und die Budgetbeschränkung
zusammenführt mithilfe des Lagrange-Multiplikatus und dann bildet man die Bedingungen erster Ordnungen.
Das heißt, die ersten Ableitungen,
die setzt man
gleich null
Und was können wir nun machen? Mit dieser Dreigleichung, mit drei Unbekannten.
Ups, wir setzen die erste und die zweite Bedingung,
die teilen wir durcheinander und dann haben wir folgenden Ausdruck.
Hier, der Grenztutzen im Optimum, nach Gut 1 und
der Grenztutzen des Gutes X2 im Optimum, muss dem Preisverhältnis entsprechen.
Und was ist das wieder? Das ist genau das,
was wir vorhin auch schon bei der Optimierung durch Einsätzen herausbekommen haben.
Also auch hier haben wir wieder das Ergebnis,
musste ja so sein, sind ja nur zwei verschiedene Lösungsansätze.
Der Betrag der Grenzrate, der Substitution muss dem Preisverhältnis entsprechen.
Das sind die beiden Möglichkeiten, wie sie eine solche Zielfunktion
unter einer Nebenbedingung, wie sie eine Lösung dafür finden.
Was sind auch hier Vorteile und Nachteile
Diese Optimierung mit Lagrange, die funktioniert auch bei mehreren Gütern.
Dann müssen sie halt nach mehreren Gütern die erste Ableitung bilden.
Also es ist kein Problem. Allerdings ist es hier jetzt
ein bisschen schwieriger festzustellen, ob das Optimum,
was sie rausgekriegt haben, ein Maximum oder ein Minimum ist.
Auch hier müssten sie eigentlich die zweite Ableitung bilden.
Aber das ist eben ein bisschen komplizierter,
weil es ja eine Funktion ist, mit mehreren veränderlichen.
Und das sozusagen, das wollen wir ihnen ersparen.
Aber trotzdem müssen sie einen ganz praktischen Weg wissen, wie sie das,
wie sie prüfen, ob sie ein Maximum gefunden haben.
Und im Zwei-Güter-Fall gibt es dann einen Ausweg,
sie nehmen wir an, sie haben eine Lösung gefunden mit Lagrange,
eine Lösung für X1 und X2,
dann können sie die Lösung ja die Nutzenfunktion einsetzen, kriegen sie raus,
welchen Nutzen, welcher Nutzen gestiftet wird, durch diese Mengenkombination.
Und jetzt prüfen sie, ob sie, ob diese,
dieser Nutzen größer ist oder kleiner ist, als der Nutzen an den Rändern,
also wenn sie nur Entweder X1 oder X2 konsumieren.
Und wenn das der Fall ist, also,
dass das Innere, das innere Optimum größer ist als das,
was sie an den Rändern erhalten,
dann haben sie tatsächlich ein Maximum gefunden.
Aber wenn sie feststellen, an den Rändern ist der Nutzen höher,
dann haben sie oben offenbar nur ein Minimum im Inneren gefunden.
So können sie sich also behelfen. Ja,
jetzt muss ich mal rechnen. Wir haben da auch eine
Viertelstunde Zeit und dann machen wir die Viertelstunde Pause.
Genau. Sind diese beiden Wege soweit klar geworden
Ja, also wenn Sie Fragen haben,
bitte fragen Sie nicht, dass Sie dann später feststellen,
dass Sie es nicht verstanden haben.
Wir wollen aber auch Beispiele dazu rechnen, damit das eben wirklich sitzt.
Nehmen wir an, wir haben die Cop-Duglas-Nutzen-Funktion,
X1 hoch C, mal X2 hoch D,
also eine ganz allgemeine Cop-Duglas-Nutzen-Funktion und wir haben die Budgetbeschränkung,
die lassen wir jetzt einfach
auch ganz allgemein
Aber wir wollen es uns ein bisschen einfacher machen.
Wir wissen ja, die Nutzenfunktion, da kann man monotone
Transformation durchführen und dann werden sie unter Umständen leichter handhabbar.
Wir wollen also nun die Nutzenfunktion, in der lokal rhythmierten Variante verwenden.
Wir haben ja gesehen, das ist eben möglich,
weil der natürliche Lokorhythmus eine monotone Transformation ist.
Wir wollen also jetzt diese Nutzenfunktion unter der Nebenbedingung,
unter der Budgetbeschränkung maximieren und ich will Ihnen das
nun an diesem Lagrance verfahren darstellen
Also die Lagronsfunktion, wie heißt sie? Das ist praktisch
die Zusammensetzung aus der Nutzenfunktion und der mit dem Minus Lampter multiziplizierten Budgetbeschränkungen.
Und was ist der zweite Schritt? Was müssen Sie
nun machen? Sie können das ein bisschen,
also es gibt komplizierte Beweise, dass Logrange funktioniert.
Wir wollen das mehr ein bisschen praktisch handhaben.
Was ist der zweite Schritt, den Sie gehen müssen,
um das Optimum zu finden,
Zwei. Genau. Das machen wir jetzt. Also wir bilden
die Partiellen Ableitungen. Nach X-A1, X-2 und Lampda.
Also nach X-1 abgeleitet. Was ist die Ableitung von LNX?
Das ist eins durch X. Dann bleibt das C einfach stehen.
Und hier die Budgetbeschränkung nach X-1 abgeleitet ist eben minus Lampda P1.
Genauso leiten wir die Lagrange-Funktion nach X-2 ab.
Das ist dann D mal eins durch X-2 eben.
Ellen abgeleitet ist eins durch
Und die Budgetbeschränkung, wieder abgeleitet, nach X2 ist minus Lampter, mal P2.
Und was passiert, wenn man die Lagrance-Funktionen nach Lampter ableitet,
dann bleibt wieder die Budgetbeschränkung einfach über.
Das ist die Budgetbeschränkung. Die Bedingung,
die ersten Ableitungen gleich null gesetzt und die erste,
oh die zweite gleichgesetzt oder durcheinander dividiert, was ergibt das?
Das ergibt diesen Ausdruck, soll sein, gleich dem Preisverhältnis.
Und was ist dieser Ausdruck wieder
Was haben wir also hier? Was muss das sein?
In ihren Worten, in ihre Worte gefasst. Also hier steht ja
das Preisverhältnis und was muss das Preisverhältnis sein im Optimum?
Wie muss das entsprechen? Welcher Größe? Dem Verhältnis der Grenz
nutzen. Wir haben ja hier die ersten Ableitungen gebildet.
Das ist ja nichts anderes als der Grenz nutzen.
Also Das ist der Grenznutzen nach dem Guteins,
und das ist ja ganz so zunach gut zwei.
Und die durcheinander dividiert. Das, also das Verhältnis der Grenznutzen,
muss dem Preisverhältnis entsprechen. Das ist ja auch das Ergebnis,
was wir fohlen, ganz allgemein herausbekommen haben.
Was folgt nun aus der ersten und zweiten Bedingung?
Im Optimum entspricht das Verhältnis der Grenznutzen der beiden Güter
ihrem Preisverhältnis
Oder man kann auch sagen, wenn man das jetzt umstellt,
ist nichts anderes als umgestellt.
Im Optimum wird umso mehr von gut zwei konsumiert.
Je niedriger sein Preis ist, also man will umso mehr
von X2 haben, je niedriger der Preis ist.
Und je wichtiger dem Konsumenten das Gut zwei ist,
also je wichtiger das Gut zwei ist,
desto mehr.
Deswegen steht das D oben
Und natürlich umgekehrt für gut X1. Und jetzt kann man,
jetzt wissen wir, das Verhältnis von Good X2 und gut X1 im Optimum.
Wir wissen also, in welchem Verhältnis diese beiden Güter stehen müssen.
Jetzt wollen wir sie aber noch tatsächlich ausrechnen.
Und das machen wir, indem wir das, indem wir
diese beiden optimalen X1 und X2-Werte in die dritte Bedingung einsetzen.
Und wenn wir das machen, was kriegen wir dann raus,
in die dritte Bedingung eingesetzt, das Optimale,
die optimale Menge von Good 1 ist C durch C plus D,
Durch P1. Also von was hängt die optimale Menge ab?
Gucken Sie sich einfach mal die Variablen an?
Wie ist das jetzt in Worte zu fassen?
Wie sieht Ihre optimale Menge von X1 aus?
Von was hängt die optimale Menge von X1 ab?
Ja, bitteschön
Mehr tief. Je größer, sagen Sie es neu gegrüßt?
Ja, genau. Also je niedriger oder,
also jetzt, wir sind, je niedriger.
Genau. Jenil, na der Preis des Gutes ist,
desto mehr wollen sie konsumieren. Und ja, was?
Genau, das ist auch richtig. Es hängt vom Budget
ab, also von M. Je größer IM ist,
desto mehr können sie auch an X1 kaufen im Optimum,
also desto Mehr wollen Sie im Optimon von X1
kaufen und das ist nochmal C durch C plus D.
Was ist das für ein Faktor? Wo kommt der her
? Ja, bitteschön. Wie bitte? Genau,
aber wo ist der in der Nutzenfunktion drin?
Das ist praktisch das Gewicht mit dem,
das gut X1 in die Nutzenfunktion eingegangen ist.
Also je höher das Gewicht ist, mit dem die Nutzenfunktion,
mit dem das gut in die Nutzenfunktion eingeht,
desto mehr wollen sie auch
davon konsumieren
Umgekehrt ist das also bei X2, weil ja jetzt, ja genau.
Also das optimale Güterbündel beinhaltet umso mehr von dem Hut von dem Gut 1.
Je niedriger sein Preis ist und je höher das Einkommen ist.
Und je wichtiger dem Konsumenten das Gut 1 im Vergleich zum Gut 2
ist. Und das entsprechende gilt für das Gut 2.
Gucken wir uns das nochmal an. Wie sieht jetzt
das Optimum aus? Wie sieht nun Das,
was sie im Optimum für das Gut eins aufwenden.
Im Vergleich zu ihrem Budget, wie viel ist das?
Also P. 1, mal x1 Sternchen, ist ja die Geldmenge,
die sie für den Konsum von dem Gut 1 aufwenden.
Und das setzen sie ins Verhältnis zu ihrem gesamten Einkommen.
Und wie hoch ist, also das ist sozusagen der Ausgabenanteil
des Gutes eins, welchen Wert nimmt dieser Ausgaben
einen Teil an
Der Ausgabenanteil ist erstmal wichtig. Er ist immer konstant.
Und von was hängt der nur ab?
Von was hängt der Ausgabenanteil bei einer Cop Douglas-Nutzen-Funktion ab?
Er hängt nur ab von dem Gewicht,
mit dem das gut eins in die Nutzenfunktion eingegangen ist.
Also zäh durch C plus D. Das war ja das Gewicht,
mit dem das gut eins in die Nutzenfunktion eingegangen ist.
Und nur davon hängt der Ausgabenanteil im Optimum ab
Zweckmäßig, das hatten wir vorhin schon mal,
setzt man jetzt dieses C durch Zyplus D gleich A,
sodass man dann den Ausgabenanteil für das Gut 2 im Optimum auch ganz leicht bestimmen kann.
Das ist dann eben ergänzend, 1 minus A. Für gut,
wenn man nur zwei Güter angucken,
ist der Ausgabenanteil für das Gut 1a und der Ausgabenanteil für
das Gut 2 1 minus A. Deswegen ist es so praktisch,
wenn wir diese monotonen Transformationen von Nutzenfunktionen so durchführen,
dass die Exponenten sich zu 1 addieren.
Dann hat man eben Ganz einfach, einmal 1 minus A als ein Exponent.
Und A ist der andere Exponent. Und dann hat man eigentlich auch,
ohne dass man groß rechnet, die Ausgabenanteile im Optimum.
Denn die sind konstant. Also der Cop Douglas Konsument gibt
immer einen konstanten Anteil seines Einkommens für jedes Gut aus.
Und dieser Anteil ist eben nur bestimmt durch die Exponenten
der Cop Douglas Funktion
Jetzt wollen wir uns mal die optimale Entscheidung angucken und auch wieder bei verschiedenen Präferenzordnungen.
Gehen wir erst mal wieder die extremen Präferenzordnungen durch.
Da hatten wir perfekte Substitute. Gucken wir uns das erst
mal einfach nur grafisch an. Wir haben die Differenzkurven,
das sind Edi, hellblauen und die Budget gerade.
Das ist das Schwarze. Und jetzt beschreiben Sie mal
die Lösung
Wie sieht das im Fall von perfekten Substituten aus mit der optimalen Entscheidung?
Wo sitzt die? Oder wann sitzt sie wo?
Einfach, wenn sie bald diese Funktion sich angucken.
Zu welchem Ergebnis kommen sie dann? Welche Lösung können Sie
sich vorstellen? Weil Sie sich das einfach jetzt nur mal
angucken?
Ja, bitteschön
1, 2, 3, 4. Ich habe, seit Katrin
hat sich einfach nochmal lauter sagen. Ja, 3, 4. Ja. Genau,
also, so wie ich das hier eingezeichnet habe,
konsumiert der Konsument, wenn wir jetzt Apfelsaft X1 ist,
Orangensaft und X-Price Apfelsaft, was würde er also nur konsumieren?
Nur Orangensaft. Also, Wir haben eine sogenannte Randlösung eben hier.
Der Konsument entscheidet sich, entscheidet sich nur für einen Gut.
Und hier entscheidet er sich für X1. Und genau wie Sie gesagt haben,
auf der anderen Achse, also beim Apfelsaft,
da schneidet die Budget gerade eine niedrigere Indifferenzkurve.
Also dieser Punkt ist eben nicht so attraktiv wie dieser Punkt,
weil bei diesem Punkt, das heißt nur Orangensaft,
kommt der Konsument auf eine höhere Indifferenzkurve als bei nur Apfelsaft.
Und wenn Sie sich das jetzt noch angucken,
Wenn die Preise sich jetzt ein bisschen ändern, also die Budgetgerade,
die haben ja gehört, in der letzten Stunde,
die Budgetgerade dreht sich, wenn die Preise sich ändern,
welche Lösungen können Sie sich denn noch vorstellen?
Wenn Sie die Budgetgerade ein bisschen drehen.
Einfach nur von der Anschauung jetzt, was kann passieren?
Der Orangensaft wird teurer. Sagen wir, der Orangensaft wird
ein bisschen teurer. Was passiert dann?
Wie bitte
Hat jemand einen Vorschlag, was passiert? Ja? Genau,
also das kann passieren, dass die Budgetparade sich so dreht,
dass sie so verläuft und dann will ich nur Apfelsaft haben und keinen Orangensaft.
Und was ist, wenn die Budgetparade sich so dreht,
dass sie hier liegt, genau auf der Indifferenzgrube,
dann sind sie sozusagen, ist es beliebig,
welches Verhältnis von Apfelsaft und Orangensaft ziewählen, sind alle gleich gut.
Ja, also wenn sie, das ist eben sozusagen,
wenn sie Zwei Güte betrachten, die wirklich,
zwischen denen sie indifferent sind,
die für sie perfekte Substitute sind, heißt das,
sie müssen ziemlich genau aufpassen, wie die Preise sich ändern.
Das kann nämlich dann zu großen Konsumänderungen führen. Eine kleine
Preisänderung kann dazu führen, dass sie anstatt Apfelsaft nur Orangensaft kaufen.
Oder anstatt anstatt Orangensaft nur Apfelsaft. Also das kann es
schnell hin und her springen bei auch nur geringen Preisänderungen,
weil sie eben vollständig in Differenz sind zwischen diesen beiden Dingen
Gut, dann machen wir erst mal an dieser Stelle
Schluss und in einer Viertelstunde geht's weiter.
Ja, meine Damen und Herren, es geht weiter zum
Endspurt für diese Woche. Hups. Ja, vielen Dank.
Das ist schon ruhig geworden ist. Wir waren dabei,
die perfekten Substitute anzugucken
Wie dort die optimale Entscheidung aussieht. Also,
wenn sie zwei Güter haben, die perfekte Substitute sind,
wie teilen sie IBD, nutzen optimal auf.
Und wir haben einfach das uns erst mal angeguckt und haben gesehen,
es gibt verschiedene Möglichkeiten. Entweder sie nehmen nur X1 oder
sie nehmen nur X2 oder die Budgetgerade und die Indifferenzkurve
liegen aufeinander, dann ist es sozusagen beliebig.
Da haben sie ganz viele Möglichkeiten und sind immer im Optimum
Das müssen wir natürlich jetzt auch formal aufschreiben können.
Und wie sieht das dann aus? Also, das sieht folgendermaßen aus.
Mein X1, ich suche erst mal nur das optimale X1.
Das optimale X1 ist M durch P1. M durch B1
ist praktisch mein Einkommen dividiert durch den Preis des Gutes
1. Also in diesem ersten Fall, da konsumiere ich
nur das Gut X1. Und dann komme ich hierhin.
Und das ist dann optimal, wenn der Preis von P1
Kleiner ist als A durch B mal P2.
Was bedeutet das? Man kann es auch umsortieren,
vielleicht sehen Sie es dann auch sehr gut.
Wenn Sie das P2 von hier nach da rüber bringen,
dann heißt das, also P1 durch P2 muss eben dem Austauschverhältnis entsprechen.
Also, wir hatten ja vorhin das Beispiel bei perfekten Substituten mit den Getränken,
also mit dem Getränkepulver und dem Apfelsaft und eine Packung der Tränkepulver
ist so gut wie 10,
Vita Apfelsaft
Dann werde ich mich immer für Getränke, Pulver entscheiden,
wenn das Getränkepulver, wenn eine Packung Getränkepulver billiger ist,
als 10 Liter Apfelsaft.
Das ist dann dieser Fall. Es ist egal,
was ich konsumiere, Getränkepulver oder Apfelsaft,
wenn das Getränkepulver gerade genauso teuer ist wie 10 Liter Apfelsaft.
Ich würde sagen, dann habe ich ganz viele Lösungsmöglichkeiten.
Dann kann ich mich Für alle Punkte auf der Budgetgerade
entscheiden, sie sind alle optimal. Wenn das Getränkepulver,
die Packung Getränkepulver, aber noch teurer ist,
als 10 Liter Apfelsaft, dann werde ich mich für Apfelsaft entscheiden.
Das ist dann dieser Fall. Dann konsumiere ich kein bisschen Getränkepulver,
also kein bisschen X-1,
0. Wenn der Preis des Getränkepulvers größer ist als 10 Liter Apfelsaft.
Ja, genau, so rum. Okay,
so sieht also die Optimale Lösung aus bei perfekten Substituten
Ups. Wie sieht das aus bei perfekten Komplimenten?
Also bei dem Beispiel Kaffee und Zucker.
Jetzt möchte ich es aber einfacher machen und wir haben nur
noch eine Tasse Kaffee und einen Löffel Zucker.
Da müssen wir mit dem A und B nicht zu viel überlegen.
So reicht das erstmal. An Kompliziertheit. Wie sieht die
optimale Entscheidung aus? Wir sehen das schon an der Grafik
. Wo sitzt das Optimum immer? Wo sitzt das Optimum
immer bei perfekten Komplimenten
Es sitzt immer an der Ecke, immer gerade am Knick.
Dort, wo wir nicht differenzieren können. Wie sieht die
optimale Entscheidung aus, wenn wir das formal darstellen? Eigentlich,
wenn wir sagen, dass wir immer einen Löffel Zucker brauchen
für eine Tasse Kaffee, dann ist es relativ einfach.
Dann teile ich mein Budget eben gleichmäßig auf, auf Kaffee und Zucker.
Und insofern ist dann X1 im Optimum gleich X2 im Optimum
und das Budget wird gleichmäßig aufgeteilt auf die beiden Güter.
Ob der Zucker doppelt so teuer ist, wie der Kaffee.
Ich brauche trotzdem eben immer eine Tasse Kaffee und einen Löffel Zucker.
Wie sieht das bei den quasi linearen Präferenzen aus mit dem Optimum?
Also das waren, welche Präferenzen, wir sehen nochmal,
was ist das Besondere an den quasi linearen Präferenzen?
Haben Sie das noch in Erinnerung?
Da ist die Grenzrate der Substitution entlang einer vertikal
immer gleich
An diesem Punkt ist die Grenzreiter der Substitution
die gleiche wie hier und die gleiche wie hier.
Wie seht ihr das Optimum aus? Die optimale Entscheidung lautet ja wieder,
das Verhältnis der Grenzdutzen muss dem Preisverhältnis entsprechen im Optimum.
Also was ist das Verhältnis der Grenznutzen? Das Verhältnis der
Grenznutzen reduziert sich auf die, praktisch auf den Grenznutzen,
das Gute ist eins,
weil der Grenznutzen,
das Gut ist zwei,
haben wir
ja gesagt
Das hier ableiten? Wenn wir diese Funktion nach X2 ableiten,
ist der Grenznutz, na gut, X2, Jahr 1.
Also wird das ja das Verhältnis der Grenznutzen, wird dadurch relativ einfach,
nämlich es reduziert sich auf den Grenznutzen des Gutes X1.
Und das muss gleich dem Preisverhältnis sein. Wenn wir uns
das Beispiel angucken, wieder das gleiche Beispiel wie vorher,
Wurzel aus X1 plus X2, dann haben wir,
wenn wir die erste Ableitung bilden, wieder,
das hatten wir vorhin schon mal errechnet.
Eins durch zwei Wurzel aus X1. Diesen Wert muss das Preisverhältnis,
muss dem Preisverhältnis entsprechen. Was bedeutet das für das
optimale X1? Wenn Sie sich das jetzt angucken,
ist ja nur umgestellt, diese Gleichung umgestellt, ergibt dies.
Das ist also das X1 im Optimum. Wie du,
inwiefern unterscheidet sich jetzt dieses Ergebnis von dem Ergebnis,
was wir bei der Cop Douglas
Nutzenfunktion hatten
Von was ist hier die optimale Menge von X1 abhängig?
Und warum ist es, also was ist jetzt hier anders?
Als bei den, bei der Cop-Duglas-Sutzen-Funktion. Ja, bitteschön.
Genau, das Budget kommt nicht vor. Also das heißt,
das Optimum ist eben nicht vom Budget abhängig.
Bei quasi linaren Präferenzen hängt die optimale Menge des Gutes,
in dem die Nutzenfunktionen nicht linear ist,
nicht von dem Budget ab,
sondern nur von was hängt die optimale Menge ab,
das nicht linearen Gutes
Es hängt nur vom Preisverhältnis der beiden Güter ab.
Und wir hatten ganz am Anfang in der letzten Stunde mal gesagt,
dass man oft so vorgeht, dass man sagt,
PI, also das Gut 1, ist das gut,
was einen wirklich interessiert,
über das man was wissen will.
Und gut 2 ist die Summe aller anderen Güter.
Und die Summe aller anderen Güter,
für die braucht man
bestimmte Geldmenge
Der Preis dieses Zusammengesetzten Gutes, was in Geld gemessen wird
, ist eins. Also, wir setzen den Preis von
Gut 2, gerne gleich eins. Und Sie sehen,
wenn wir jetzt auch noch hier den Preis P2 gleich einsetzen,
haben wir eine sehr einfache Nachfragefunktion.
Wir haben also die Nachfrage im Optimum,
nach Gut 1 wäre, wenn der P2 gleich einsetzen,
einfach nur abhängig von im eigenen Preis
Und das ist eben eigentlich das Schöne an den quasi linearen Nutzenfunktionen,
dass die Nachfragefunktion nur von dem eigenen Preis abhängig gemacht werden kann.
Mit dieser Interpretation, die ich Ihnen gerade gegeben habe.
Sie ist eben nicht wie bei den Cop-Duglas-Nutzensfunktionen vom Budget abhängig.
Und das macht es sehr viel einfacher. Ist das
klar geworden? Das ist das Attraktive daran und deswegen
werden wir ganz viele Sachen eben anhand der quasi linearen Präferenzen
uns erstmal klar machen
Ja, was ich noch dazu sagen wollte, ist eben,
wenn wir hier dieses Optimale, die optimale Menge von gut
eins ausrennen oder die optimale Menge von gut zwei ausrechnen.
Das haben wir auch ja bei der Cop Douglas Funktion gemacht.
Was ist das? Das ist nichts anderes als
die Nachfragefunktion in einem Markt. Ich gehe da vielleicht auch
nochmal zurück
Hier, hier haben wir, wenn Sie sich erinnern,
das war die optimalen Mengen von Gut 1 und Gut 2
bei der Cop Douglas nutzen Funktion.
Das ist nichts anderes als eine Nachfragefunktion in einem Markt.
Also ihre persönliche Nachfrage nach Lebensmitteln. Ihre persönliche Nachfrage nach Bekleidung
. Also die optimalen Mengen, die wir hier ausrechnen,
sind dann eben Funktionen vom Budget von M und vom Preis
Und das ist ja nichts anderes als seine Nachfragefunktion.
Sie haben natürlich in ihrem Studium auch schon Nachfrage sicherlich mit
Nachfragefunktionen gearbeitet. Und dann wurde einfach gesagt, ja,
die Menge, die nachgefragte Menge ist abhängig vom Preis.
Jetzt haben sie das eben ausgerechnet. Wie die nachgefragte Menge
vom Preis abhängt. Und dieses, wie sie abhängt vom
Preis, das ist also das Ergebnis eines Optimierungsprozesses.
Das ist nicht irgendwie Natur gegeben,
wie die Menge vom Preis abhängt, sondern das ist ihre persönliche Optimierung,
die dazu geführt hat,
dass sie jetzt
eine solche Nachfragefunktion haben
So, hier waren wir. Und die Nachfragefunktion eben bei Quasilinearen Präferenzen ist besonders einfach,
weil sie nur nicht vom Einkorb abhängig ist und man kann sie auch so interpretieren,
dass sie nur vom eigenen Preis abhängig ist.
Und wenn ich das jetzt dieses optimale Ergebnis für Gut 1 in die Budgetbeschrankung einsetze,
dann bekomme ich das optimale Ergebnis für Gut 2,
das ist ja das lineare Gut in unseren,
in unserem Fall, dann sehen wir,
sozusagen die Nachfragefunktion, die optimale Menge von Good 2,
die hängt schon von dem Einkommen ab und sie hängt von den beiden Preisen ab.
Also die Besonderheit liegt vor bei dem nicht-linearen Gut.
Bei dem Gut X1 in unserem Beispiel. Ist das klar?
Ja, was bedeutet diese Bedingung, dass der Betrag,
der Grenzrate der Substitution gleich dem Preisverhältnis sein muss?
Das heißt, Auf Wettbewerbsmerken steht ja jeder von Ihnen den
gleichen Preisen gegenüber. Jeder kauft seine Milch für 49 Cent.
59 Cent vielleicht. Und das Brot, weiß nicht,
für 1,60. Wenn das,
wenn Sie also den gleichen Brote oder die gleiche Sorte Milch kaufen,
dann steht jeder von Ihnen den gleichen Preisen gegenüber.
Hier habe ich das Milch. Habe ich das Beispiel mit
Milch und Butter gewählt. Und das heißt,
dass jeder, obwohl sie alle verschieden sind,
im Optimum die gleiche Grenzrate der Substitution haben
Also im Optimum, in ihrem persönlichen Optimum, ist jeder von Ihnen.
In gleicher Weise bereit, X2 für X1 herzugeben. Ja,
also wenn Sie ein Preisverhältnis beobachten auf einem Markt,
meinetwegen zwischen Milch und Butter,
dann gibt dieses Preisverhältnis Auskunft über die Grenzrate der Substitution aller Konsumenten.
Und das ist eben ein interessantes Ergebnis.
Wir wollen uns das nochmal angucken
Gerade zum Beispiel bei Butter und Milch und ich habe jetzt mal angenommen,
um es einfacher zu machen, beides kostet ein Euro.
Ein Pfund Butter und ein Liter Wilch. Und die haben
hier den Konsumenten 1. Was ist das für ein Konsument?
Wie sehen dessen Präferenzen bezüglich Milch und Butter aus?
Was würden Sie sagen, wenn Sie diese Präferenzen sehen,
was ist das für ein Konsument?
Ja, bitteschön
Genau, es ist ein Kontument, der will gerne
viel Milch haben und Butter ist ihm nicht so wichtig.
Genau. Also dieser Konsument hat, ich habe jetzt gleich,
sehen Sie es im Vergleich zum anderen Bild,
der hat ein geringes Einkommen und er hat,
er braucht viel Milch, meinetwegen.
Es ist eine Familie mit vielen Kindern,
braucht also viel Milch und Milch ist viel wichtiger als Butter.
Wenn jetzt Milch am Markt gleich teuer ist wie Butter,
kauft er viel mehr Milch als Butter.
Das sehen wir eben, dass Ergebnis, hier seid Optimum,
ist, im Optimum kauft er viel mehr Milch als Butter.
Wenn wir jetzt den Konsumenten hier dagegen stellen,
was ist das also für ein Konsument?
Dieser Konsument hat ein hohes Einkommen. Braucht nicht viel Milch,
also meinetwegen, das ist ein Single-Haushalt mit hohem Einkommen,
aber Milch ist unnötig.
Dafür will man gerne Butter haben aufs Brot. Und dieser
Konsument steht genau den gleichen Preisen auf dem Markt gegenüber,
wie der andere Konsument. Also beides kostet ein Euro.
Und dieser Konsument Hat also ein Optimum,
bei dem er viel mehr Butter kauft als Milch.
Aber seine Grenzrate der Substitution ist in diesem Punkt genau die gleiche wie hier.
Denn die Grenzrate der Substitution muss ja im Optimum gleich dem Preisverhältnis sein. Also,
der Konsument hier ist bereit, an dieser Stelle,
weil er schon so viel Butter hat, ist er an dieser Stelle bereit,
ein bestimmtes Maß an Butter aufzugeben im Vergleich zugunsten von Milch.
Milch hat er ja in dem Moment noch sehr wenig.
Und dieser Konsument, Ist an dieser Stelle bereit,
weil ihr mir nicht so wichtig ist und obwohl er schon wenig Butter hat, ist er bereit,
genau die gleiche Menge an Butter aufzugeben für die Milch,
wie der an dieser Stelle.
Also, das ist eben, das zeigt,
die Marktpreise, die sagen, dediktieren sie ihn sozusagen,
wo das Optimum ist und je nachdem, was sie für Präferenzen haben,
ist das eben an einer ganz unterschiedlichen Stelle.
Bei dem, der Butter präferiert,
Ist die Grenzrate der Substitution gleich dem Preisverhältnis bei einem hohen Butteranteil und bei dem der Milch präferiert,
ist die Grenzrate der Substitution gleich dem Preisverhältnis, bei einem hohen Milchanteil.
Ist das klar geworden? Ja, ähm, genau,
das hatten wir. Ja, jetzt haben wir also,
ähm, von ganz unterschiedlichen Seiten beleuchtet,
wie die optimale Entscheidung zustande kommt,
wie sie ihre optimale individuelle Nachfrage bestimmen und Das nützt schon ziemlich viel.
Also da haben sie schon sehr viel gelernt. Da haben sie auch schon gelernt,
etwas, was uns, was dann weiterhilft bei der Frage,
was ist eigentlich günstiger, eine Bengensteuer oder eine Einkommensteuer?
Wir haben schon letztes Mal Mengensteuer und Einkommensteuer praktisch angesprochen,
und zwar im Zusammenhang mit der Budgetrestriktion.
Die haben gesagt, die Mengensteuer, wozu führtende Mengensteuer?
Also zum Beispiel eine Hundesteuer oder die Mineralölsteuer,
was macht die Mengensteuer praktisch mit der Budget gerade
Ja, bitteschön. Genau, die dreht sie. Und
die Einkommenssteuer, was macht die mit der Budget gerade?
Ja, bitteschön. Genau, die Einkommenssteuer verschiebt die Budget gerade.
Und jetzt können wir heute noch weiter weiteres im Verhältnis dieser beiden Steuern feststellen.
Also, genau wie Sie es gesagt haben,
eine Mengensteuer macht das gut, das besteuert wird einfach teurer.
Der Preis steigt einfach um den Betrag Tee
Und sie müssen trotzdem dem Budget genügen. Das heißt eben
, dass die Budget gerade sich nach innen dreht.
Und was sind dann die Steuereinnahmen? Das ist das,
was den Staat interessiert. Das ist einfach Tee,
mal die Menge des Gutes X1. Und jetzt wollen wir also wissen, was ist besser?
Eine Mengensteuer oder eine Einkommensteuer, wenn die Bedingung ist,
dass der Staat Gleich viel Steuereinnahmen daraus haben möchte.
Oder gibt es einen Unterschied überhaupt für Sie als Konsumenten? Eine Einkornsteuer,
das haben Sie gesagt, wie verändert die die Budget gerade,
die Einkommensteuer, verändert die Budget gerade einfach,
indem sie parallel zu einer parallelen Verschiebung führt,
praktisch nach innen.
Deswegen um den Betrag dieser Einkommensteuer R-Sternchen wird die Budget
gerade nach innen verschoben
Ja, und jetzt vergleiche ich also diese erste Gleichung,
das gilt ja für die Einkommenssteuer mit dieser Gleichung, für die Mengensteuer.
Und jetzt kann man zeigen, dass im Optimum die Mengensteuer
und die Mengensteuer und die Einkommensteuer sich gerade schneiden.
Also wir müssen uns überlegen, wie hoch muss die Einkommensteuer sein,
damit sie genauso viel Steuerertrag bringt, wie die Mengen Steuer.
Und da hilft es uns, dass wir wissen,
die Einkommenssteuer und die Mengensteuer, da entschneidet sich die Budget gerade im Optimum.
Und das können sie eben feststellen, indem sie sich diese Gleichung nochmal angucken.
Also das ist ja die Gleichung für die Einkommenssteuer.
Und im Optimum, wenn wir jetzt nochmal zurückgehen zur Wegensteuer,
wenn sie jetzt dieses TX1 auf die andere Seite bringen,
Dann kommen sie genau zu dieser Gleiche.
Und jetzt ist es so, im Optimum schneiden sich eben
gerade diese beiden Budgetbeschränkungen. Das können sie dadurch zeigen,
sodass sie dann das auch als neue Gleichung haben für die Einkommenssteuer.
Das wollen wir uns jetzt angucken. Wir haben hier also
eine Budget gerade und eine beliebige Nutzen,
also beliebige Indifferenzkurve
Und jetzt kommt eine Mengensteuer. Wir lösen das jetzt erstmal.
Wir lösen das hier jetzt nur grafisch. Die Menschsteuer hat dazu geführt,
dass die Budget gerade nach innen gedreht worden ist.
Ja, das ist gut. X1 ist ja teurer geworden.
Das Optimum. Also der Tankdenzialpunkt von Indifferenzkurve und Budget gerade
ist also nun bei A. Und jetzt haben wir gesagt,
den gleichen Steuerertrag erhält der Staat, wenn der Mengensteuer,
die Budget gerade auch durch den Punkt A geht.
Also so, so hoch müsste die Einkommenssteuer sein,
damit sie den gleichen Ertrag bringt,
wie diese Mengensteuer auf X1. Und wo ist denn hier nun das Optimum des Konsumenten?
Wenn sie sich jetzt noch in Differenzen,
in Differenzkurven dazu denken, wo ist das Optimum?
Wo müsste man
sich das vorstellen
Ist das Optimum immer noch bei A?
Warum ist das Optimum nicht mehr bei A?
Wollte ich sagen? Das modelt ja jetzt erreicht.
Genau, das ist ganz richtig. Es gibt Indifferenzgruppen,
die höher liegen, als die Indifferenzkurve, die durch A geht.
Und diese Indifferenzkurven sind nun durch diese Budget gerade bei
der Einkommenssteuer erreichbar. Also zum Beispiel diese Budget,
äh diese Indifferenzkurve
Und dann ergibt sich also der Punkt B rechts von A
als Optimum. Und was sagt uns nun dieses Ergebnis?
Was ist nun besser? Was ist schlechter?
Wenn sie diese beiden,
ja bitteschön
Genau, die Einkommensteuer ist nach dieser Darstellung eben die bessere Steuerung.
Steuer. Sie gibt dem Staat den gleichen Steuerertrag,
aber der Konsument kommt auf ein höheres oder verliert nicht so viel Nutzen.
Ja, also singt nicht so tief in seinem Nutzenniveau,
wie wenn eine Menge Steuer eingeführt wird.
Ja, und das ist auch immer eine Überlegung,
wenn über eine Steuerreform nachgedacht wird, dann ist genau sowas auch eine Überlegung.
Erhöht man lieber
eine Mengensteuer
Oder erhöht man die Einkommenssteuer? Ja, genau,
das war das bei einem gleichen Steuerertrag, lässt sich also
mit der Einkommenssteuer ein Höhersitzeniveau realisieren als bei der Mengensteuer.
Jetzt sollen sie aber noch nicht einpacken, denn wir haben noch Zeit.
Und zwar möchte ich die gerne nutzen. Ich wurde vorhin auch darauf angesprochen,
auf diese erste Ableitung bei der Optimierung mit dem Einsetzungsverfahren.
Und da habe ich mir gerade eine Aufgabe ausgedacht.
Haben wir hier einen Schwamm? Ja, vielleicht. So,
einfach zu ihrer Übung, damit das nochmal klar wird,
mit dem Einsetzungsverfahren.
Wir haben eine Nutzenfunktion,
X1,
Und die lautet X1 ins Quadrat, plus X2 ins Quadrat.
Und wir haben eine Budgetgerade. Ja, die können dir
eigentlich die Budgetgerade diktieren. Wie heißt sie Budget gerade?
Budgetrestriktion? Willst du jemand mir sagen? Also ich denke,
das ist einfach jetzt nochmal eine gute Übung.
Das, was wir heute gelernt haben nochmal zu reflektieren
Genau, P1 mal X1 plus P2 mal X2. Und wie
geht man nun vor bei dieser Optimierung durch das Einsetzungsverfahren?
Wie gehen wir vor? Was setzen wir ein?
Was rechtfertigt diesen Namen? Was wollen sie einsetzen
Wir formulieren einfach erstmal diese Budget gerade um und stellen
X-2 als Funktion von X-1 da.
Und das ist dann, was ist das?
Versuchen Sie es einfach mit, gedanklich mitzulösen.
Nicht, dass ich Ihnen das hier nur vorrechne.
Kann man das schieben? Nee. Ja,
bitteschön,
wollen Sie
P1. Mai ist eins. Wie machen Sie das? Durch
M? Nee. Gut, nicht. Ich verstehe es
nicht richtig. Können Sie es noch mal laut sagen?
Das war 3,50 m. Das war 3,50
Die zwei. Wenn die nach X2 hier auflösen,
dann können sie ja das erstmal,
bringen sie diesen Term auf die andere Seite und teilen durch P2. Ja,
dann müsste das M durch P2 geben,
minus P1 durch P2, mal X1. Klar.
Oh. Okay. Und jetzt können sie das einsetzen in
diese Nutzenfunktion. Also, was haben sie dann?
Dann haben sie jetzt eine Nutzenfunktion,
die aussieht
Praktisch nur noch von X1 abhängig ist. Und das ist
6-1 ins Quadrat. Plus, können Sie
das lesen? Komisch, jetzt Kreide ist das hier.
Ja. Also ich diktiere es dazu. Also das ist
dann X-1 ins Quadrat. Plus, diesen Ausdruck hier.
M. Durch P2. Minus P1, durch P2 mal X-1.
Und das Ganze ins Quadrat
Und diese Funktion möchte ich nun maximieren.
Und die Budgetbeschränkung, die steckt jetzt sozusagen drin.
Also ich muss jetzt nur noch nach X1 maximieren.
Das macht das Maximierungsproblem eben relativ einfach.
Also ich bilde jetzt die EU von X1 einfach nach X1.
Und was ist das? Was ist die EU von X1
nach X1? Diese Funktion nach X1 abgeleitet?
Was gibt es
Also, das ist hier ganz schön, weil sie,
weil es ja additiv verknüpft ist,
wenn das hier jetzt multiplikativ verknüpft wäre,
dann müssten sie auch noch die Produktregel anwenden.
Aber hier ist es relativ einfach. Das ist also
zwei X1. Und hier müssen sie einfach die Kettenregel anwenden,
also äußere Ableitung, mal innere Ableitung.
Die äußere Ableitung ist zweimal alles das,
was in der Klammer steht
Und was ist die innere Ableitung? Die innere Ableitung nach X1?
Die innere Ableitung nach X1 ist, mal minus P1 durch P2.
Das ist das, was wir vorhin auch hatten in unserem,
was sie jetzt in ihren Aufzeichnungen haben,
das ist ja nichts anderes als DX2 durch
Und jetzt, was ist der nächste Schritt?
Der nächste Schritt ist, dass sie das gleich null setzen.
Jetzt müssen wir wieder Platz schaffen. Also,
setzen wir das gleich null, dann ist das hier zwei,
X1,
Minus, wenn wir das zwei Minuszeichen nach vorne nehmen,
zwei durch P1, P2. Aber, also wir setzen es
gleich null und dann bringen wir das eine auf die andere Seite.
Dann verschwindet hier das Minuszeichen. Dann haben wir hier
diesen Term durch. P. Zwei, minus P1,
durch P2 mal
Okay. Und hier ist das Gleichheitszeichen. Soweit alles klar,
konnten alle soweit folgen. Hier, das lese ich vor,
ja. Das heißt, 2X1 ist gleich zwei durch,
nee, zweimal P1 durch P2. Mal, Klammer auf,
M durch P2, minus P1, mal X1 durch P2.
Also das in der Klammer ist praktisch wieder
die Budgetbeschränkung
Und ich will ja jetzt das optimale X1 rauskriegen,
also löse ich nach X1 auf, dann könnte ich die Zweien hier wegstreichen.
Dann habe ich hier X1 stehen, ist gleich,
jetzt löse ich das hier auch auf,
die Klammer, ist B1 durch P2,
mal M durch P2,
minus P1 durch
Mal, P1, durch P2, X1. So,
jetzt habe ich noch,
muss ich die X1 auf die gleiche Seite bringen,
dann habe ich X1, plus P1,
ins Quadrat durch P2 ins Quadrat, mal X1,
ist gleich P1 mal M.
Durch P2 ins Quadrat. Jetzt kann ich das mal hier wegwischen.
So, jetzt löse ich endgültig nach X1 auf.
Machen wir es noch in zwei Schritten. Das ist eins
plus X1, in Klammer auf, eins plus P1,
ins Quadrat,
P2 ins Quadrat
Ist gleich dem, was auf der anderen Seite steht,
P1 mal M, durch P2 ins Quadrat.
Und jetzt können wir das auf die andere Seite bringen.
Das können Sie jetzt nochmal alleine machen,
was mir jetzt wichtig war, noch nicht zu Ende,
was mir jetzt noch wichtig ist,
was ich unbedingt noch vor Viertel vor Ihnen sagen möchte,
ist, dass Sie jetzt mal die zweite Ableitung bilden dieser Funktion.
Jetzt habe ich Sie leider weggewischt,
die erste Ableitung
Sagen Sie mir mal die zweite Ableitung.
Die erste Ableitung bestand ja aus zwei Teilen.
Leiten Sie das jetzt nochmal nach X1 ab?
Was ist das abgeleitet? Sie haben alle die erste Ableitung
bei sich stehen. Leiten Sie es nochmal ab.
Was gibt es
Jetzt gucke ich auf meinen Zettel. Da steht es auch
. Okay, also die zweite Ableitung. Platz reicht der
Platz. Nehme ich mal hier das weg. So,
bei der zweiten Ableitung muss ich also bilden,
die U. Und zweimal nach X abgeleitet,
also zwei X1 ins Quadrat praktisch.
Und jetzt fällt der erste Term weg
Beziehungsweise 2 X1, das ist abgeleitet, einfach nach X1.
2. Plus. Und jetzt habe ich in der Klammer,
das muss ich mir jetzt nochmal angucken, das war dieses hier.
Plus 2. Jetzt können Sie das, ich hätte das doch noch stehen lassen sollen.
Wenn Sie das Wenn Sie das jetzt nochmal ableiten,
dann werden Sie eben merken, dass die zweite Ableitung größer Null ist.
Machen Sie das mal. Wir können es an den nächsten Stände zu Ende führen.
Die zweite Ableitung wird größer Null sein. Das heißt,
die ganze Mühe, die Sie sich gemacht haben mit der
ersten Ableitung, die hat nur zum Minimum geführt.
Also nicht das, was Sie eigentlich haben wollten.
Und dann müssen Sie eben nach einer Randlösung suchen.
Da machen wir aber nächste Stunde weiter und ich wünsche Ihnen
erstmal ein schönes Wochenende.