Da geht es darum, eine Hypothese zu überprüfen, die der ganze Verteilungsfunktion betrifft.
Nicht wie das, was wir zuvor gemacht hatten,
einzelne Parameter bei einer vorgegebenen Verteilung zu testen,
sondern einen ganzen Verteilungstyp imvesiert zu haben und zu gucken,
ob die Daten in der Tendenz mit einer solchen Verteilung überhaupt verträglich sind.
Das hatten wir unter zwei Gesichtspunkten betrachtet, zunächst mal,
dass die Verteilung vollständig spezifiziert war. Hier haben wir Ein einfaches Beispiel,
die Gleichverteilung anhand des Beispiels eines antiken Würfels uns angesehen und haben dann aber auch gesehen,
wenn wir den Verteilungstyp nur kennen und der Verteilungstyp,
aber bis auf einen Parameter nur bekannt ist,
dann können wir diesen Parameter aus den Daten schätzen und können trotzdem die entsprechende Teststatistik unter Verwendung,
die dieses geschätzten Parameters bestimmen,
müssen allerdings die Zahl der Freiheitskrater
entsprechend justieren
Dieser zweite Aspekt, den sollten wir uns eben in Erinnerung behalten,
gerade bei dem, was wir als nächsten Tests betrachten wollen, den sogenannten Unabhängigkeitstest,
wo wir die Frage der Unabhängigkeit zweier Variablen im Grunde genommen mit dem gleichen Ansatz überprüfen wollen.
Wir wollen als Ausgangsbeispiel ein Forschungsprojekt nehmen, was in Frankfurt
mein mal betrieben worden ist. Da ging es um das Aktionsräumliche Freizeitverhalten Jugendlicher am Frankfurter Stadtrand und es wurde natürlich mehr untersucht als das,
was wir hier im Rahmen dieses Beispiels betrachten,
im Rahmen dieses Beispiels wollen wir eine ganz einfache Teilfrage untersuchen und zwar die Frage nach der sportlichen Aktivität und dem Status des Jugendlichen Status im Sinne,
ob der entsprechende Jugendliche, Lehrling oder Schüler war,
sportartliche Aktivität,
nur unterschieden danach,
ob wir Sport im Freien oder ob der Jugendliche Sport im Freien betrieben hat oder falscher Sport im Freien nicht betrieben hat,
jeweils die beiden Variablen,
Status und Sport mit 0 und 1 kodiert.
Wenn die Frage danach geht, ob diese Sportaktivität bei Schülern und Lehrlingen tendenziell unterschiedlich ausgeprägt ist,
können wir das in diese formale Variante bringen, dass wir untersuchen,
ob die beiden Variablen stochastisch, abhängig oder unabhängig sind.
Abhängig wäre dann gegeben, Abhängigkeit wäre dann gegeben,
wenn eben unterschiedliches Verhalten beobachtet wird, unabhängigkeit ist gleichwertig damit,
dass die Sportaktivitäten bei Schülern und Lehrlingen gleichartig ausgeprägt sind. Sie erinnern sich,
dass Unabhängigkeit natürlich immer in der Weise operationalisiert wird,
dass wir die Wahrscheinlichkeit für und Ereignisse und solch ein Ereignis haben wir hier,
wenn wir uns angucken, dass die Variable X,
der Status einen Wert annimmt, und gleichzeitig die Variable Y,
Sportaktivität im freien Jahr oder Nein, einen anderen Wert,
wenn dann diese Unwahrscheinlichkeit sich als Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten darstellen lässt,
dann haben wir Unabhängigkeit.
Diese Nullhypothese der Unabhängigkeit soll überprüft werden und Basis dafür bildet natürlich eine Beobachtung,
eine Stichprobe, die wir hier in dieser Form gegeben haben.
Wir haben 37 Jugendliche, die aufgeschlüsselt nach Status, also nach Lehrling,
Schüler und nach Sportaktivität eine 2x2-Feldertafel ergeben. Wenn wir uns jetzt überlegen,
wie wir anhand dieser konkreten Daten uns eigentlich vorstellen können,
diese Nullhypothese zu überprüfen, dann ist es sicherlich so,
dass es plausibel ist, zunächst mal diese Wahrscheinlichkeit,
dass X gleich, kleine XI, Groß Y gleich YJ ist,
dass wir diese Wahrscheinlichkeit durch die Zugehörige relative Häufigkeit schätzen,
also durch N-Index-IJ dividiert durch den gesamten Stichprobenumfang.
Diese relative Häufigkeit ist der beste Nährungswert, den wir zur Verfügung haben,
aus der Stichprobe für diese Unbekannte Wahrscheinlichkeit. Und falls diese Nullhypothese gilt,
falls es also tatsächlich richtig ist, dass hier das Gleichheitszeichen gilt,
dann sollte natürlich diese relative Häufigkeit in etwa dem Produkt entsprechen aus den relativen Häufigkeiten für die Randereignisse,
für die Ereignisse, dass X gleich XI ist.
Das ist gerade die erste hier aufgeschriebene,
wahrscheinlich auch relative Häufigkeit auf der rechten Seite, ni.urchn,
multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass Y, gleich Y,
J ist, entsprechend der relativen Häufigkeit,
dass dieses Ereignis beobachtet worden ist.
Wir haben also hier die Übersetzung der Nullyhypothese in eine ungefähre
Gleichheit den relativen Häufigkeiten. Wir werden nicht erwarten können,
dass die relativen Häufigkeiten in gleicher Exaktheit dieser Relation erfüllen.
Deswegen steht hier auch das ungefähr Gleichheitszeichen. Und dass wir
natürlich mit gewissen Zufallsschwankungen rechnen müssen, gewissen Abweichungen ist klar,
dass es bei entsprechenden zufälligen Beobachtungen immer so,
dass das nicht ganz exakt diese Gleichheit widerspiegeln wird.
Was können wir aber in der Tendenz erwarten
Wir können erwarten, dass diese Relationen etwa gilt und
um daraus eine geeignete Prüfgröße zu bilden,
gehen wir ähnlich wie bei dem Anpassungstest zu den erwarteten Häufigkeiten über.
Die erwarteten Häufigkeiten, das bedeutet,
dass wir die Zugehörigen relativen Häufigkeiten einfach mit dem Stichprobenumfang ultiplizieren.
Also wenn wir die linke Seite mit dem Stichprobenumfang entmultiplizieren,
dann erhalten wir einfach die Häufigkeit NEJ
Wenn wir die rechte Seite mit En multiplizieren,
haben wir eine erwartete Häufigkeit, die nicht exakt gegeben ist,
sondern die wir als Näherungswert unter der Nullhypothese ansehen können,
Näherungswert in dem Sinne, dass wir die Wahrscheinlichkeiten,
die hier in der Nullhypothese formuliert sind,
durch diese Schätzungen ersetzt sind, durch die relativen Häufigkeiten,
für die Randwahrscheinlichkeiten, die Multiplikation mit N macht daraus,
die erwartete Häufigkeit
Und hier auf der rechten Seite ist das einfach zusammengefasst worden,
weil wir natürlich zähle und Nenner einmal,
da können wir einmal das N herauskürzen.
Das ist also die Schätzung, der bei erwartet,
bei Unabhängigkeit erwarteten Häufigkeit. Und es ist klar,
wenn wir hier ungefähre Gleichheit haben und jetzt zu den erwarteten Häufigkeiten übergehen,
dann ist die zugehörige Differenz der erwarteten Häufigkeiten ein IJ,
das ist die erwartete Häufigkeit auf linken Seite,
minus dieser erwarteten Häufigkeit
ungefähr null
Und damit haben wir ganz analog zu dem, was wir in der letzten Stunde gesehen haben,
eine Differenz zwischen empirischen Häufigkeiten, hier den NEJ.
Und den erwarteten Häufigkeiten oder genauer den Schätzungen der erwarteten Häufigkeiten unter der Nullhypothese.
Jetzt können wir diese Differenzen in der gleichen Weise zusammenfassen,
wie wir es in der letzten Stunde gemacht haben und erhalten die Zugehörige Skiquadrat-Prüfgröße,
die mit x-Quadrat bezeichnet wird, indem wir einfach alle entsprechenden Differenzen quartrieren,
sie noch durch die zugehörigen,
erwarteten Häufigkeiten dividieren und dann über alle Indexkombinationen aufsummieren.
Damit haben wir eine Prüfgröße, die unter der Null-Hypothese,
abroximativ Chik-Quadrat verteilt ist, ohne der Null-Hypothese heißt,
sofern die Unabhängigkeit tatsächlich gegeben ist und nur unter dieser Null-Hypothese brauchen wir ja diese Verteilungsaussage,
weil wir dann den entsprechenden kritischen Wert aus der Chik-Quadratverteilungstabelle bestimmen können.
Also haben wir hier eine entsprechend approximative Chik-Quadratverteilte Prüfgröße,
die Approximationsvoraussetzung entspricht der Beim Anpassungstest, die erwarteten Häufigkeiten,
die hier durch NNI-Punkt mal N.J. durch N gegeben sind,
müssen größer gleich fünf sein.
Und dann können wir die entsprechende Prüfgröße als Apoximativ-Ski-Quadrat verteilt,
mit iminus 1 mal J minus 1 Freiheitsgraden betrachten und aus
dieser entsprechenden Zahl der Freiheitsgrade die Zugehörige einen kritischen Werde bestimmen
Die Zahl der Freiheitsgrade ergibt sich dabei genau in der gleichen Regel
oder entsprechend der gleichen Regel, wie wir das schon gesehen haben.
Wir gucken nach, wie viele Semanten gehen denn überhaupt in die Prüfgröße ein.
Und wenn ich alle Indexkombinationen berücksichtige und Groß-I-Zeilen und Groß-J. Spalten
habe, sind das Groß-I-Malcros-J-Summanden.
Diese Anzahl von Semanten wird um eins verringert für die Zahl
der Freiheitsgrade. Und dann muss ich natürlich noch gucken,
Wie viele Parameter habe ich denn eigentlich geschätzt?
Und tatsächlich haben wir hier schon gesehen, wir müssen diese
Zugehörigen relativen Häufigkeiten verwenden, als Schätzwerte für die Randwahrscheinlichkeiten.
Also haben wir entsprechend I, groß i-1,
Wahrscheinlichkeiten für die Verteilung von X zu schätzen.
Nur groß i-1, weil die Gesamtsumme dieser Wahrscheinlichkeiten gleich eins beträgt.
Wir brauchen also nicht E-Pahamen zu schätzen,
wenn wir groß i-1 Parameter geschätzt haben,
gibt sich der letzte Parameter aus der Bedingung,
dass die Gesamtsumme gleich eins sein muss.
Analog gilt das für die Y-Variable. Wir müssen hier Groß Y
minus eins Parameter schätzen. Und die Zahl der Freiheitsgrade ergibt
sich dann zu emalj minus 1 minus 1 minusjört minus 1.
Und wenn man das zusammenfassen, kommt gerade eminus 1
maljort minus 1 für die Zahl der Freiheitsgrade raus.
Also Zahl der Zeilen minus 1 mal zahlt der Spalten minus
Wenn wir das haben, können wir jetzt einfach
die Zugehörige Nullhypothese der Unabhängigkeit tatsächlich unter diesem Vorzeichen überprüfen.
Wir haben hier in unserem Ausgangsbeispiel die entsprechende Verteilung nochmal angegeben,
die zugehörige Kreuztabelle, die setzen wir um in eine entsprechende Arbeitstabelle,
die Arbeitstabelle hat die verschiedenen Indexkombinationen in den ersten beiden Spalten zu jeder Zeile,
die zugehörige Spaltennummer, die zugehörigen NEJ als absoluter Häufigkeiten.
Und jetzt müssen wir zugehörig natürlich die entsprechenden erwarteten Häufigkeiten bestimmen.
Die erwarteten Häufigkeiten im ersten Schritt,
da müssen wir die wahrscheinlichen Entscheidungen, die Häufigkeiten,
die Randhäufigkeiten miteinander multiplizieren, also 20 mal 22,
20 mal 15, 17 mal 22, 17 mal 15.
Diese Produkte werden noch durch den Stichprobenumfang in
unserem Fall 37 dividiert
Und das sind dann jetzt schon die erwarteten Häufigkeiten.
Diese erwarteten Häufigkeiten haben wir zu vergleichen mit denen Beobachteten.
Sie sehen natürlich in etwa Stimmen sie überein, nicht exakt.
Und ob diese Abweichungen überzufällig interpretiert als überzufällig interpretiert werden oder
ob wir noch sagen, das sind zufällige Abweichungen,
das wird eben gerade der Test am Ende erweisen,
wenn wir ihnen fertig gerechnet haben.
Zunächst bilden wir die Differenzen,
um die Prüfgröße zu berechnen,
die Differenzen zwischen den Beobachtungen
Beobachteten Häufigkeiten NEJ und den Erwarteten, die wir gerade bestimmt hatten,
diese Differenzen werden quartriert und durch die erwarteten Häufigkeiten dividiert.
Der Wert, der sich als Summe aller dieser quartrierten und
standardisierten Differenzen ergibt,
ist 2,0063 und das ist dann schon
der Wert der Prüfgröße
Dieser Wert ist mit einem kritischen Wert aus der Skiquadratverteilungstabelle zu vergleichen.
Und da wir hier zwei Zeilen und zwei Spalten haben,
also iminus 1 mal J minus 1, gleich 1 beträgt,
haben wir einen Freiheitsgrad für unsere Prüfgröße.
Und der Zugehörige, kritische Wert aus der Verteilungstabelle der Skiquadratverteilung
ergibt 3,84, wenn wir Alpha mit 0,05 uns vorgegeben denken.
Der Vergleich zeigt, berechnete Wert, der Wert der Teststatistik
ist 2,00 und noch was. Der kritische Wert beträgt 3,84.
Der kritische Wert ist also größer als der berechnete,
folglich wird die Nullhypothese nicht abgelehnt und das Ergebnis ist nicht signifikant.
Die Abweichung zwischen den oder das Auseinanderklassen zwischen den empirischen Häufigkeiten
und den unter der Unabhängigkeitsmodell erwarteten Häufigkeiten
sind einfach als zufällige Abweichung interpretieren und nicht als systematische Unterschiede
Gucken wir uns ein zweites, etwas aufwendigeres Beispiel an.
Hier betrachten wir die Unfallneigung von Arbeitern, und zwar Unfallzahlen von Arbeitern,
die als Weichenstelle in Großbritannien gearbeitet haben, in zwei Phasen.
Einmal von 37 bis 42, und dann von 43 bis 47.
Diese beiden Phasen mit jeweils den gleichen Arbeitern führten zu folgender Gesamtverteilung
für die Anzahl der Unfälle pro Arbeiter. Wir sehen,
dass wir hier 21 von den 122 erfahrenen weichen Stellen haben,
die in keiner der beiden Phasen einen Unfall hatte,
13 hatten in der ersten Phase keinen,
aber in der zweiten einen 18 in der ersten Phase ein,
aber in der zweiten keinen 14 in beiden Phasen je ein und so fort.
Hier oben in dem oberen Teil der Tabelle haben wir zum Glück,
kann man sagen, keine großen Besetzungen, dessen hier hauptsächlich null werde.
Wir müssen allerdings bis sieben spalten oder bis zur Spalte sieben Unfälle pro Phase gehen,
weil es Einarbeiter gegeben hat, der in einer Phase ein,
aber in der zweiten Phase 7 Unfälle hatte und entsprechend eine Person mit
einer großen Anzahl von entsprechenden Unfällen im Arbeitsleben in der zweiten Phase,
in der ersten Phase, aber nicht in der zweiten.
Wenn wir uns das angucken, dann sehen wir,
dass wir hier Eine große Zahl von Nullen haben und dementsprechend
die absoluten Häufigkeiten am Rand hier in den oberen Bereichen sehr klein sind.
Um den Ski-Quadrattest anwenden zu können, benötigen wir diese Apoximationsvoraussetzung,
dass die erwarteten Häufigkeiten größer gleich fünf sein sollen.
Die erwarteten Häufigkeiten ergeben sich aber über das Produkt der Randhäufigkeiten
Meinetwegen sechs mal eins, wenn wir diese für diese Zelle,
die erwartete Häufigkeit rechnen wollen, sechs mal eins durch 122.
Diese erwarteten Häufigkeiten sollen alle größer gleich fünf sein und wir sind uns, glaube ich,
einig, dass das von diesem erwarteten Häufigkeiten mit Sicherheit nicht gilt.
Also müssen wir Folgendes machen, um hier den Ski-Quadrat-Test sinnvoll berechnen zu können.
Wir müssen Zeilen und Spalten zusammenfassen, sodass wir sicherstellen, dass diese Approximationsvoraussetzung erfüllt ist. Dazu gehen wir so vor,
dass wir natürlich von den unteren Zeilen nach oben gehen und soweit und so lange die entsprechenden Zeilen zusammenfassen,
wie es nötig ist,
um die zugehörige Approximationsvoraussetzung zu erfüllen und entsprechen von der Zeile, Entschuldigung,
der Spalte mit der größten Anzahl von Unfällen nach links gehen und so lange zusammenfassen,
bis wir auch hier sicherstellen, dass für jede Zelle,
Zugehörige erwartete Häufigkeit dieser Randbedingungen größer gleich fünf zu sein,
erfüllt.
Das führt zu einer zusammengefassten Konnigenztafel, wo wir so weit gehen müssen,
dass wir alle Beobachtungen der zweiten Phase mit zwei und mehr Unfällen zu einer Kategorie zusammenfassen und das zweite,
dass wir auch alle Unfallzahlen zwei und mehr in der ersten Phase zusammenfassen müssen.
Dann haben wir aber sichergestellt, dass diese zugehörige Approximationsbedingungen erfüllt ist. Und das sehen wir auch nochmal in der zugehörigen Arbeitstabelle,
die ich in der kleinen gleichen Weise aufbereitet habe,
die erwarteten Häufigkeiten in der fünften Spalte hier,
sind also jetzt alle so, dass wir sagen können,
die Approximationsvoraussetzungen ist erfüllt und die Berechnung der Prüfgröße läuft dann natürlich in der gleichen Weise,
wenn wir erst einmal die zugehörigen erwarteten Häufigkeiten haben,
brauchen wir nur noch die Differenzen beobachtete minus erwartete Häufigkeiten zu bilden,
diese Differenzen quartieren und durch die erwarteten Häufigkeiten zu dividieren,
die Gesamtsumme, die hier mit 9,290 ergibt,
ist dann der Wert der Prüfgröße.
Für die Bezahl der Bestimmung der Freiheitsgrade ist jetzt natürlich wieder
die reduzierte Tabelle relevant, die gibt ja vor,
wie viele Sumanten überhaupt hier in die Prüfgröße eingehen.
Und wenn wir hier nochmal die reduzierte Tafel uns angucken,
haben wir jetzt insgesamt drei Spalten und drei Zeilen vorzulegen in dieser Tabelle.
Also haben wir iminus 1 mal jörg minus 1,
sprich 2 mal 2, sprich vier Freiheitsgrade.
Bei vier Freiheitsgraden ist der entsprechende kritische Wert zum 5-Prozentniveau
9,488 Und dieser Wert ist noch größer als der entsprechend berechnete aus der Tabelle.
Und damit wird auch in diesem Beispiel die Nullhypothese nicht abgelehnt.
Auf der anderen Seite zeigt sich an diesem Beispiel durchaus eine
Schwäche des Ski-Quadrat-Unabhängigkeitstests. Die Schwäche können Sie daran erkennen,
dass wir hier, wenn wir die Originalverteilung uns angucken,
eine relativ starke Konzentration in diesem Bereich haben. Das heißt,
wir haben doch eine relativ großen Block von Arbeitern,
die in beiden Phasen nur eine geringe Anzahl von Arbeitsunfällen hatten und nur wenige,
die hier rausfallen und dann entsprechend in einer Phase viele und in der anderen weniger Unfälle hatten.
Das deutet darauf hin,
dass wir hier eine Gruppe von Personen haben,
die eben insgesamt recht vorsichtigem Arbeitsleben sind und dementsprechend einen Cluster bilden,
der in diesem Ski-Quadrat Unabhängigkeitstest
natürlich nicht erkannt wird
Die Verwendung von solchen zusätzlichen Informationen, dass wir hier im Grunde
genommen mit den Randzahlen eine Ordnung haben, null Unfälle,
ein Unfall, also eine geringe Zahl versus einer großen Zahl.
Diese Information wird natürlich beim Skiquadrattest nicht verwertet. Da wird ganz elementar die Zellenhäufigkeit,
mit der unter der Nullhypothese erwarteten Häufigkeit verglichen,
ohne irgendwelche Informationen in Bezug auf die Ordnung,
die durch die Realisationsmöglichkeiten der X- oder Y-Variablen gegeben sind, zu berücksichtigen.
Da wird einfach da drüber summiert und diese Information wird nicht ausgewertet.
Deswegen ist der entsprechende Test in der Richtung natürlich nicht,
wie man es nennt, sehr sensitiv.
Er kann also diese Ordnungsstruktur nicht berücksichtigen. Diese Nichtberücksichtigung der Ordnungsstruktur
ist eben eines der Mankos, die in diesem Test enthalten ist,
obwohl er wohl zu dem am meisten verwendeten Tests auf Unabhängigkeit gehört.
Und die Frage ist natürlich jeweils, ob der Einsatz dieses Skiquadrats Unabhängigkeitstests jeweils gerechtfertigt ist. Das heißt,
man muss sich klarmachen, ob die Nullhypothese der Unabhängigkeit tatsächlich die ist,
die man testen wollte und gegebenenfalls ist auch zu berücksichtigen,
dass in Anwendungen bisweilen mehrere Tests gemacht werden mit dem gleichen Daten.
Alles, was wir in unserem Kurs behandelt haben,
ist eigentlich die Betrachtung eines Tests für einen Datensatz und dieser Beschränkung pro Datensatz
nur einen Test zu machen, stellt natürlich sicher, dass wir unser Signifikanzniveau einhalten.
Wenn wir mehrere Inferenzschlüsse bei einem Datensatz machen wollen,
dann brauchen wir fortgeschrittene statistische Fahren,
um auch in solchen Situationen noch sicherzustellen,
dass die Irrtumswahrscheinlichkeiten eingehalten werden, erst einmal könnte man sagen,
wenn wir das blind betreiben würden,
würde diese Irrtumswahrscheinlichkeit verletzt werden und die statistische Theorie wäre nicht adäquat angewendet,
die Behauptung der Signifikanz, dass tatsächlich ein Unterschied existierte,
wäre eben nicht mit dem entsprechenden Alpha abgesichert,
gegebenenfalls wäre das tatsächliche Niveau viel größer und der Vertrauensgrad,
dem wir dieser Aussage zuschreiben,
entsprechend geringer
Wenn wir einen Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit machen,
dann reicht in der Regel nicht für die Testentscheidung schon,
aber für die Betrachtung des Ganzen reicht es in der Regel nicht,
sich einfach diesen P-Wert anzugucken, zu gucken,
ob der Test signifikant ist oder nicht.
Das, was man häufig noch zusätzlich haben möchte,
ist halt zu gucken, wo kommt denn die Unabhängigkeit her,
wo die Unabhängigkeit herkommt,
kann man beispielsweise über die Größe der Einzelnen zum Manten erkennen.
Wir haben hier natürlich schon sehr unterschiedliche Beiträge aus den einzelnen Zellen
der größte Beitrag kommt aus der letzten Zelle und wir sehen,
dass hier die entsprechende Differenz der Beobachteten minus der erwarteten Häufigkeit positiv und relativ groß ist.
Das bedeutet, wir haben mehr Beobachtungen in dieser Kombination,
als wir eigentlich bei Unabhängigkeit erwarten könnten und diese entsprechende Zahl ist also hier noch nicht kritisch,
aber bei einer entsprechenden Signifikanz würden wir analog vorgehen und gucken,
wo ist denn die größte Abweichung und kann ich da eventuell
inhaltlich etwas interpretieren
Das mit der Struktur, hatte ich schon gesagt,
und als letzter Punkt ist natürlich eine Aspekt zu erwähnen,
der hier in den Beispielen nicht so deutlich wird,
aber wo wir das heranziehen können,
was wir in der letzten Woche betrachtet haben, nämlich die Anpassungstests,
Anpassungstests auf die Poison-Verteilung bei dem Beispiel der Durchhufschlag getöteten Kavalleristen,
da hatten wir eine sehr gute Anpassung erzielt,
einen ganz kleinen Wer der Prüfgröße und einen P-Wert,
der ja bei 0,8 oder sogar 0,9 lag.
Analog war das bei dieser Gedächtnisleistung beim Lernen irgendwelcher Silben,
die keinen Sinn ergeben haben. Auch da war die Überprüfung
der Normalverteilung eigentlich hervorragend oder ergab der Überprüfung eine hervorragende Übereinstimmung.
Was wir aber nicht machen dürfen,
ist diese hervorragende Übereinstimmung beim Anpassungstest oder hier eine sehr kleinen
Wert der Prüfgröße beim Testen auf Unabhängigkeit dahingehend zu missverstehen,
dass wir die Unabhängigkeit in diesem Fall nachgewiesen hätten oder die das tatsächliche Vorliegen einer Verteilung beim Anpassungstest.
Nur große Werte führen zur Ablehnung, kleine Werte führen eben dazu,
dass wir von einer guten Übereinspürung sprechen,
aber es ist eben immer noch kein Beweis,
dass diese Daten tatsächlich aus einer solchen Verteilung stammen.
Gut, dann wollen wir uns an einem Beispiel nochmal angucken,
wie die Durchführung eines solchen Tests
tatsächlich läuft
Und hier betrachten wir die Situation,
dass für eine große Zahl von Frauen untersucht worden ist,
ob sie einmal oder mehrmals verheiratet waren und was ihr Ausbildungsstand war,
Ausbildung, entweder hatten sie einen College besucht oder keinen College und es ist die Assoziation zu untersuchen,
das heißt unsere Nullhypothese sagt einfach,
dass Unabhängigkeit vorlegt.
Und die Gegenhypothese sagt natürlich,
dass die unabhängigkeit zwischen diesen beiden Merkmalen Ausbildung und verheirateten Status
nicht vorliegt
Wenn wir hier diese Hypothesen überprüfen wollen,
dann werden wir natürlich die als erstes,
die zugehörige Konnigenztafel entsprechend ergänzen, um die zugehörigen,
erwarteten Häufigkeiten bestimmen zu können.
Das, was wir also machen, sind die Randhäufigkeiten anzugeben,
dass es einmal hier 611.
Hier haben wir
Die Summe dieser beiden Werte gibt tausend, 231 und 205.
Gesamt ist es, wie gesagt, 1436. Wenn wir dieser
Randhäufigkeiten haben, können wir als nächstes für die Berechnung der Prüfgröße
Die Zugehörigen, Produkte bestimmen und die entsprechenden erwarteten Häufigkeiten,
indem wir die Produkte gleich durch den zugehörigen Stichprobenumfang dividieren.
Ich trage das mal hier in der gleichen Struktur auf,
in der die Tabelle vorgegeben ist. Wir haben hier die erwartete Häufigkeit,
500 23,8. Hier haben wir die erwartete Häufigkeit von 87,2. 77,2.
Und hier ist es 117,8. Das sind also die erwarteten Häufigkeiten,
die auch mit EJ abgekürzt sind.
Wenn wir die haben, ist dann natürlich der nächste Schritt
die entsprechenden Differenzen zu betrachten
Und die Differenzen sind hier,
dass es eine Besonderheit der zweimal zwei Feldertafel dadurch gegeben,
dass wir insgesamt nur die Werte 26,2 haben,
allerdings natürlich mit unterschiedlichen Vorzeichen und zwar gerade so,
dass die Zeilensummen und die Spaltensummen
gleich null sind
Dass wir hier praktisch nur einen Wert auflisten,
wie gesagt, mit unterschiedlichen Vorzeichen,
ist eine Besonderheit der zweimal zwei Feldertafel in allgemeineren,
muss es natürlich nicht sein,
aber die Zugehörigen Differenzen sind natürlich für die Bestimmung der Prüfgröße noch durch die erwarteten Häufigkeiten zu dividieren.
Und sie sehen, dass diese Differenz,
die hier in der obersten rechten Zelle steht,
durch 87,2 zu dividieren ist, während die gleich große Differenz,
die wir hier in der zweiten Zeile an der ersten Stelle haben,
durch 707 zu dividieren ist.
Also diese Differenz wird am Ende viel stärker in die Prüfgröße eingehen und dementsprechend berücksichtigt werden.
Was wir natürlich für die Berufskurse noch brauchen,
wir müssen die entsprechenden Differenzen vertrieren, bevor wir sie durch
die erwarteten Häufigkeiten dividieren und wenn wir das in der Weise vornehmen,
dann erhalten wir folgende Werte.
Wir haben 1,3 7,9 0,97 machen wir hier zwei Nachkommastellen.
Und 5,84. Ich habe ihn also jetzt diese Zwischenrechnungen in
der Form aufgeschrieben,
wie die Ausgangstabelle strukturiert war
Und es ist klar, die Gesamtsumme dieser vier Werte
ergibt denn den Wert der Prüfgröße, die Gesamtsumme beträgt,
16,0. Und wenn wir den zugehörigen Wert aus der Skiquadratverteilungstabelle bestimmen wollen,
ist bei einer 2-mal-2-Feldertafel natürlich ein Freiheitsgrad angesagt.
Wir führen den Test wieder zum Niveau 0,05 durch,
große Werte allein ergeben
Ablehnung der Null Hypothese,
also brauchen wir das Operat 0,05 Quantier oder genauer das 0,95 Quantier,
was 3,841 beträgt und sie sehen der Vergleich,
zeigt,
dass der empirische,
berechnete Wert der Prüfgröße größer ist als der kritische Wert,
das heißt
die Null Hypothese wird in diesem Fall abgelehnt
Damit haben wir einen Zusammenhang zwischen dem verheiratenden Status,
also ob die Frauen einmal oder mehrmals verheiratet waren und dem Ausbildungsstatus,
ohne jetzt weitergehende Schlussfolgerungen dann machen zu können, gegebenenfalls,
was Ursache sei und was Folge sei,
das ist natürlich hier jenseits der statistischen Möglichkeiten, das einzige,
was wir mit unserem Test tatsächlich machen können,
ist eben zu sagen, gut, es gibt eine Assoziation,
es gibt einen Zusammenhang, können feststellen, Unabhängigkeit legt nicht vor,
eine weitergehende Interpretation in, wie gesagt,
in Richtung Ursachewirkung, ist allerdings dann erstmal nicht möglich.
Damit haben wir diesen Ski-Quadrattest noch ausgenutzt,
um auch die Zugehörige Frage zu klären,
inwieweit die Abhängigkeit zweier Variablen vorgegeben ist,
anhand des Beispiels der Weichenstelle ist das nochmal deutlich geworden,
dass wir auch hier gegebenenfalls Zeilen und Spalten zusammenfassen müssen,
um dann gegebenenfalls die Voraussetzungen sicherzustellen,
die für die Anwendung des Tests notwendig ist,
nämlich die Approximationsvoraussetzung,
dass die erwarteten Häufigkeiten größer gleich fünf sein müssen
Damit können wir uns dem letzten Teil,
dem letzten inhaltlichen Gebiet unserer Veranstaltung, dieses Semesters zuwenden.
Und des Regressionsproblems noch einmal aufrollen. Regression hatten wir in
Statistik 1 schon etwas kennengelernt. Da ging es in Statistik
1 darum, eine Ausgleichsgrade durch eine Punktwolke zu legen.
Und natürlich werden wir diesen Aspekt hier nicht ganz einfach beiseite lassen,
aber trotzdem wollen wir natürlich Hier weitergehend das Ganze betrachten und zwar weitergehend unter dem Gesichtspunkt,
dass wir das, was wir in diesem Semester gelernt haben,
natürlich jetzt verbinden mit diesem Regressionsansatz und damit die Möglichkeit haben,
weitergehende Untersuchungen, Fragestellungen zu betrachten und entsprechend zu behandeln.
Natürlich ist, wie gesagt, die Sache die,
dass wir über diese einfache Beschreibung hinausgehen wollen. Einer der Möglichkeiten,
warum das von Interesse ist, besteht natürlich darin,
dass wir die Ergebnisse über die Ergebnisse einer Regression,
über den vorhandenen Datensatz hinausgehend extrapolieren wollen, Aussagen machen wollen,
die über die einfache Aussage in diesem konkreten Datensatz stellt sich der Zusammenhang so und so dar, hinausgehen.
Wir wollen gegebenenfalls auf Grundlage von Beobachtung etwas über eine ökonomische Theorie aussagen,
die etwa zu einem solchen Regressionszusammenhang geführt hat.
Wir können eventuell sagen, dass wir auf Basis einer Zufallsstichprobe
das Ergebnis auf die Grundgesamtheit extrapolieren wollen.
Das wären solche Verallgemeinerungen, die von Interesse sind. Eine weitere,
ein weiteres Interesse besteht darin, Prognosen zu erstellen auf der Basis von solchen Ergebnissen.
Auch hier bedeutet natürlich eine Prognose,
dass wir im Grunde genommen über die konkrete Situation hinausgehen und
bei dieser Prognose müssen wir natürlich die entsprechende Annahme über die zugehörige,
über den zugehörigen Zusammenhang über den Beziehung der beiden Variablen unterstellen,
dass der eben nicht nur für den beobachteten Datensatz gilt,
sondern darüber hinaus.
Wir wollen uns für diese beiden Fragestellungen mal angucken,
wie das in konkreten Rahmenbedingungen aussieht. Als ein Beispiel betrachten wir eine Debatte,
die in den 60er Jahren über den Mindestlohn angestellt wurde,
wurde von dem Ökonomen und späteren Nobelpreisträger Friedman vorgeschlagen,
gegebenenfalls statt der staatlichen Wohlfahrtsprogramme ein Mindestlohn einzuführen,
unter der Vorstellung,
dass bei steigenden Löhnen das Arbeitsangebot steigt,
das Arbeitsangebot im Sinne der entsprechend von den arbeitenden Angebotenen und
geleisteten Arbeitsstunden pro Jahr und das würde natürlich tendenziell zur Ankurblung
der Konjunktur führen
Wenn solch ein Vorschlag gemacht wird, ist es sinnvoll,
dass erstmal im Rahmen einer empirischen Untersuchung zu analysieren,
ob man überhaupt sehen kann, dass eine solche ökonomische Vorstellung,
realitätsnah ist, dass das sich nachweisen lässt,
dass in der Richtung tatsächlich mit steigenden Löhnen oder mit höheren Löhnen auch das Arbeitsangebot besser ist.
Dementsprechend wurde eine Studie angestellt, in der damals ein nationaler Survey,
also eine ziemlich große Befragung vorgenommen worden ist,
von in über 6.000 Haushalten,
mit einem männlichen Haushaltsvorstand und einem relativ geringen jährlichen Einkommen.
Und diese entsprechende Untersuchung wurde dann ausgenutzt, um diese Frage auch zu untersuchen.
Wir wollen die durchschnittliche geleistete jährliche Arbeitsstunden als Maß für das Arbeitsangebot
nehmen und den entsprechenden effektiven Stundenlohn in anderer Form als erklärende Variablen betrachten.
Natürlich werden wir nicht den gesamten Datensatz hier in unserem Beispiel verwenden, sondern nur einen kleinen Teildatensatz von 60 Beobachtungen daraus. Natürlich,
wenn wir diesen Zusammenhang untersuchen wollen, legt es nahe,
erstmal eine Regression gerade aufzustellen, eine Regressionsbeziehung,
wobei dieser Regressionsbeziehung natürlich mit den Beobachtungen,
die wir hier zur Verfügung haben, erstmal bestimmt werden kann,
aber das Interesse liegt natürlich nicht bei diesen wenigen Beobachtungen,
auch bei den 6.000 liegt es noch nicht,
sondern es liegt natürlich darin zu sagen,
es gibt überhaupt einen Zusammenhang,
der dann tendenziell von dieser Situation ausgehend führt,
die ganze USA gelten würde.
In Bezug auf die Prognose betrachten wir das Beispiel
der Abhängigkeit des Speiseeiskonsums pro Kopf von der Temperatur.
Auch hier macht es natürlich Sinn zu sagen,
wir gucken uns einen Zusammenhang an,
im Sinne einer Regressionsbeziehung
Und wenn sie sich dieser Regressionsbeziehung,
die erst mal empirisch hier an die Tafel geworfen wurde,
angucken, dann haben wir auf der X-Achse die entsprechenden vier Wochenperioden,
für die diese Daten jeweils vorliegen.
Also für jeweils vier Wochen ist der durchschnittliche Konsum ein Speiseeis hier ermittelt worden.
Und dieser durchschnittliche Konsum für solche vier Wochen Perioden ist dann
entsprechend hier als Punkt aufgetragen worden. Sie sehen,
dass für die Phasen, die hier untersucht worden sind,
ein aufeinanderfolgenden Vier-Wochen-Perioden, entsprechend ein wachsender Konsum zu verzeichnen ist.
Und wenn wir jetzt eine Prognose betreiben wollen, dann bedeutet Prognose nicht nur,
dass wir in die Zukunft prognostizieren, also hier die Linie weiterverfolgen,
sondern dass wir insgesamt für jeden nicht vorliegenden X-Wert,
also für vier Wochen Perioden,
wo wir hier keine Beobachtungspunkte haben, entsprechend sagen,
wir verwenden die Zugehörige Beziehung den zugehörigen Konsum auch an Zwischenpunkten näherungsweise zu ermitteln.
Und wenn wir das machen, dann haben wir, in Anführungsstrichen, ein Problem.
Denn wenn man sich das Ganze genauer anguckt, dann sehen wir,
sie haben wir hier so gewisse Cluster von Punkten,
die insgesamt drei Cluster bilden und dazwischen gibt es immer Lücken.
Die Lücken sind gerade die vier Wochen Perioden, die in die Jahreszeit,
Herbst bis Frühling fallen, also den Winter einschließen.
Und es ist ja relativ bekannt, dass in diesen Phasen
in der Regel jedenfalls der Speiseeiskonsum eher geringer ist.
Das bedeutet, wenn wir jetzt einfach eine Prognose machen würden,
dann würden wir unterstellen, dass die hier rot markierte Beziehung offensichtlich auch für diese Zwischenphasen gilt.
Und diese Unterstellung ist einfach von sachlichen Gegebenheiten her dubios und als nicht richtig anzusehen. Dieses Beispiel soll eben noch mal darauf hindeuten,
dass bei Prognosen auch ganz wesentlich unterstellt wird,
dass wir eben die Beziehung, die wir im Beobachtetenbereich haben,
auch für den Nicht-Beobachtetenbereich, das heißt für X werde,
für Werte der unabhängigen Variablen, die wir nicht kennen,
dass auch da unterstellt wird, dass diese entsprechende Beziehung gilt,
wenn es aus sachlichen Gründen eigentlich nicht Atten gebracht ist,
das zu unterstellen,
dann sollte man auch die Hände Prognosen in dieser Form eben entsprechend lassen.
Insgesamt haben wir also damit zwei Beispiele, die deutlich machen,
dass man auf der einen Seite ein Interesse hat über die konkrete Beschreibung hinauszugehen.
Auf der anderen Seite ist gerade das zweite Beispiel noch geeignet,
um deutlich zu machen,
dass bei einem solchen Interesse trotzdem mit gewisser Vorsicht zu eine gewisse Vorsicht angebracht ist,
wenn man ein solches Modell,
eine solche Unterstellung macht,
um dann eine entsprechende Verallgemeinerung betreiben zu können
Was wir also machen, um diese Fragen adäquat behandeln zu können,
wir unterstellen, dass in der entsprechenden Grundgesamtheit eine geeignete Beziehung gilt.
Wir unterstellen also ein Modell, ein Postulieren,
das die lineare Abhängigkeit der Y werde, von den beobachteten X werden,
über den betrachteten Rahmen hinausgeht und knüpfen Natürlich dann mit dieser
entsprechenden Erstellung an denen durch die empirische Regression gegebenen Rahmen an.
Allerdings gehen wir darüber hinaus in der Weise, dass wir unterstellen,
dass es in der Grundgesamtheit oder durch die Theorie vorgegeben,
eine Ware gerade gibt,
und dass die Servare gerade natürlich von den empirischen Daten nicht hundertprozentig erfasst werden kann.
Wir wissen, dass jede Beobachtung irgendwie gestört ist,
die Y-Werte weichen durch Zufallseinflüsse bedingt,
von dem entsprechenden theoretischen Wert ab und das,
was wir unterstellen,
dass diese Abweichung eben durch zufällige Fehler passiert und dass die Zufallseinflüsse letztlich dafür verantwortlich sind,
dass wir die Ausgangsgerade,
die theoretische Hinterkunftsgrade nicht
exakt finden können
Dementsprechend haben wir mit dieser Vorstellung, dass die Fehler zufällig wirken,
ja auch festgelegt, dass die Y-Werte zufällig von diesen Regressionsbeziehungen abweichen,
dass die Y-Werte selbst wieder zufällig sind und dass wir dann an den verschiedenen gegebenen X-Stellen Zufallsvariablen haben,
die eben von diesem Zentrum abweichen.
Formal wollen wir das in der Weise fassen, dass wir sagen,
die Y-Werte variieren, zufällig abweichend, um die Zugehörigen Regressionslinien.
Und wir verwenden jetzt die entsprechende Symbolik,
die wir für theoretische Parameter schon im anderen Rahmen immer verwenden,
dass wir nämlich die Modellparameter jetzt mit Alpha und Better für den Achsenabschnitt und für die Regressionssteigung bezeichnen,
die Abweichung U, den zufälligen Fehler, unterstellen wir,
dass wir eine Abweichung haben, die bei Null zentriert ist,
also keine systematisch von Null verschiedener Abweichungen und dass dies Ganze eine konstante Varianz hat und natürlich auch,
dass die Fehler unabhängig sind.
Um dieses Modell noch ein bisschen anders hier zu verdeutlichen,
wollen wir uns noch kurz eine Animation angucken?
Die Ausgangsprofilität von unserer Situation
Da bin ich eine Zugreifsauswahl im Moment. Abweichungen interessieren uns mohlen,
die der Witz genommen wichtig ist. Für das Redaktionsmodell sollten
ideale Bezüge mitteln, auch für nicht ich beobachtete Nietzwerte geben.
Für jedes Festpädix solle also die Varianten gelöst werden,
von dem WN-Alpha-Plusmetallic, Zentrierzahlen. Die Anweichungen der empirischen Mittel,
die Ernte von den Befragen berücksichtigen, die in den Modellen als zufälligen Filialen.
Übzelon setzt sich also ein Team aus verschiedenen Komponenten zusammen,
die VNAU seht ja jetzt zu, als alle Jahre lang,
die den Klima in der Nüsse haben,
sozusagen von den BeraterInnen, diese Zugangsmaterialien von diesen VNU-Zetteln,
durch den Einflussverhalten ist es auch so,
dass wir noch eine Zugreifung haben,
der erwartest du ja von Gibs nun im Nachhinein,
an welchen Städtern der befach zu führen.
Formal ausgedrückt nur für dies, der Erwartungsweg von Özilonto,
weitergeht mit Gibs, ist gleich Alpha, als Betteln an uns.
In der Wand können wir ihnen nun um die Beobachtungslage
nichts haben, auch gibt es in uns Aufruhr.
Im Rahmen des Kondens, in dienst du dir an die Zationen,
der an verschiedenen Liebsstellen zu Obern, zum Beispiel als Ariaden ausgenommen hat.
Wenn wir den Bezug zwischen X und Gibs genommen unter der Berücksichtigung des Vielers,
einzelnen Ständigen und demjenigen, lautet der Ansatz, Gibs nun am Pharma,
ist die gleiche Alpha, als Betteln, weil XV-Russuche kommen.
Auch die einzelnen Fielern und Umfauer sind bei Kunde zentriert. Zudem,
der die Fehler von Frauen immer wiederholung, ist zertriert,
zu dem, denen, der die Fem,
der die Fehler von Frauen, die beobachtet wird.
Daher ist es in voll, ist die gleiche Alphal,
alphal, ins Beteln, weil XV ins Beteln in der Uman,
weil XVat, weil XV-R-V-R-Ra, V und Russucht.
Auch, bekommen, auch die ein zent,
die in der Reglös drum und zentrum zert
Gut, dann haben wir dieses Regressionsmodell nochmal in der entsprechenden Form motiviert sehen, gesehen.
Und wenn wir für unser Mindestlohnbeispiel das entsprechende Regressionsmodell aufstellen,
dann haben wir einmal eine abhängige Variable,
die durchschnittliche geleistete, jährliche Arbeitszeit.
Wir haben die effektiven Stundenlöhne als erklärende Variable und die Modellgleichung
können wir natürlich in der Form formulieren, dass wir sagen,
die Arbeitsstunden und jetzt natürlich hier mit dem Index V
Es sind gleich Alpha plus Better mal Stundenlohn mit dem IndexV plus dem entsprechenden Fehler.
Das ist also die konkrete Formulierung. Und auch wenn wir
in der Regel die abhängige Variablen mit Y bezeichnen,
die unabhängige mit X gibt es kein Gesetz,
was uns zwingt, genau in dieser Weise mit den Bezeichnungen umzugehen.
Wir werden das entsprechend je nach Gegebenheit geeignet variieren und sagen,
wenn wir eine konkrete Situation haben, verwenden wir adäquate,
kürze um die abhängige Union
Die unabhängige Variable zu kennzeichnen. Damit haben wir also das Modell erst einmal
und wir machen jetzt eine Viertelstunde Pause und gehen danach weiter.
Wir haben jetzt also das Regressionsmodell kennengelernt. Das Modell postuliert einen Zusammenhang in einer Grundgesamtheit,
es postuliert eine theoretische Beziehung, die über empirische Daten untersucht werden kann,
die mit Hilfe empirische Daten näherungsweise geschätzt und ermittelt werden kann.
Dementsprechend ist die Fragestellung, die jetzt ansteht, die der Parameterschätzung,
eine der Bestimmungen von Nährungswerten für die theoretischen Koevizienten Alpha und Better.
Diese nährungsweise Bestimmung erfolgt natürlich in einer Form,
die auf der einen Seite in Einklang steht mit dem,
was wir unter der Überschrift schätzen von Parametern kennengelernt haben,
aber unter anderem natürlich auch der Form, dass wir sagen, das,
was wir in Statistik 1 im Rahmen der Regressionsrechnung der empirischen Regressionsrechnung gemacht haben,
das brauchen wir nicht einfach alles zu vergessen.
Das, was wir machen werden, ist halt die Methode
der kleinsten Quadrate als Schätzmethode hier zu interpretieren.
Eine Vorgehensweise, um unbekannte Parameter aus empirischen Daten zu schätzen.
Diese der Methode der kleinsten Quadrate ist also unter diesem Vorzeichen neben dem,
was wir schon kennen, der Momentenmethode und der Maxim-Like-Diod-Methode,
eine weitere, ein weiteres Prinzip Umschätzungen zu bestimmen.
Und wenn wir das als ein solches Prinzip betreiben und betrachten,
dann ist klar, wir kommen natürlich von dem Ergebnissen zu den gleichen Werten,
die wir schon in Statistik 1 gemacht haben, festgestellt haben und erhalten haben,
weil wir dieses Prinzip der kleinsten Quartale für die empirische Bestimmung ja schon eingesetzt haben.
Da wird sich hier jetzt nichts anderes ergeben,
wenn wir das gleiche Prinzip als Schätzprinzip betrachten. Dementsprechend,
wenn wir einen konkreten Datensatz nehmen,
mit vorgegebenen X-Werten und den zugehörigen Y werden,
erhalten wir die Regressionskoeffizienten, den Steigungskoeffizienten natürlich wieder über die
empirische Co-Varianz dividiert durch die Varianz der X-Werte den Achsen-Abschnitt entsprechend über Y quer-steigerungskoeffizient mal x quer.
Der Unterschied besteht jetzt darin, dass wir eben sagen,
das ist jetzt ein Schätzwert für, die es unbekannte Wetter,
was theoretisch den Zusammenhang oder die Abhängigkeit der Y-Werte von den x werden beschreibt und analog ist natürlich,
dass hier ein Schätzwert für den theoretischen Achsenabschnitt.
Auf diese Weise haben wir jetzt also einfach eine Neuinterpretation der
entsprechenden Kleinst Quadratebestimmungen in der Richtung, dass wir sagen,
wir haben jetzt Schätzwerte. Und wenn wir berücksichtigen,
dass natürlich die Beobachtung YV-Realisationen von Zufallsvariablen sind,
dann können wir auch sagen,
dass wiederholte Beobachtung in der Tendenz zumindest theoretisch möglich sein sollten.
Und dann haben wir auch unterschiedliche Werte der Regressionsgeraden zu gewärtigen.
Das heißt, wir können das als Zufallsexperiment ansehen,
was gegeben wird
Gegebenenfalls mehrfach durchzuführen ist und wo dieses Zufallsexperiment natürlich auch dazu führt,
dass wir unterschiedliche Ergebnisse jeweils vorfinden werden.
Was wir hier sehen, ist Folgendes. Ich habe ihnen hier erstmal ein solches Regressionsmodell programmiert,
das Regressionsmodell ist durch die Regressionsgerade, die hier blau angegeben ist,
symbolisiert und die Zugehörigen X-Werte, die fest vorgegeben sind,
sind die Werte 2, 4, 6 und 8.
Die Fehler führen dazu, dass die Y-Werte,
die natürlich hier auf das Senkrecht dann eingetragen werden,
dass die zufällig von dieser theoretisch richtigen Regressionsgerade abweichen
Fehler werden mal etwas größer, mal etwas kleiner sein.
Das heißt, nach oben oder nach unten abweichen.
Und ich kriege für jeden X-Wert einen entsprechenden Y-Wert.
Und das ist das, was wir dann beobachten,
das sind diese roten Punkte im ersten Versuch.
Und dazu können wir natürlich die zugehörige Regressionsgerade beobachten und berechnen.
Dieses Experiment können wir jetzt zumindest theoretisch wiederholen und das ist
hier mehrfach gemacht worden
Sie sehen, wir haben hier eine gewisse Anzahl von Wiederholungen.
Das führt dazu, dass die Y-Werte mal mehr,
mal weniger um die entsprechenden, theoretisch zu erwartenden, mittleren Werte schwanken.
Und für jede dieser Serie von Beobachtung mit zugehörigen X-Werten kriegen wir
eine neue Regressionsgerate. Und dieser Regressionsgerate streuen in gewisser Hinsicht,
um die wahre Regressionsgerate. Unser Problem ist jetzt einfach,
dass wir Einen dieser Datensätze nur haben,
also eine Serie von diesen roten Punkten, mit der zugehörigen empirischen Regressionsgeraden.
Und darauf, Entschuldigung, und davon zurückschließen wollen, auf die theoretisch richtige Gerade.
Also sie beobachten beispielsweise diese Gerade, die hier so aussieht,
dass es dann ihre Nährungsgerade für die richtige Regression,
die eigentlich im Modell gilt,
die dazu führt,
dass wir solche
durchaus leicht unterschiedlicher empirischer Regressionsgeraden beobachten
Das ist also das,
was wir als Rahmen haben und wo wir sagen können,
das ist das,
was eben die Zugehörigen Schätzwerte ergibt und wo wir gucken wollen,
wie wir gegebenenfalls auch diese entsprechende Schätzung bewerten,
wie wir da irgendwelche Schlussfolgerungen von den empirischen hier rot eingezeichneten Graden,
wo wir gar nur eine von diesen Linien haben,
nicht eine Vielzahl, wie wir davon ausgehen können und zurückschließen können,
das zugrunde liegende Modell,
was hier am Anfang eben durch die blaue,
etwas stickere Linie gekennzeichnet war.
Das geschieht in der gleichen Weise,
wie wir die gesamte Situation betrachtet haben im Rahmen der Punktschätzung.
Wir gucken uns hier ganz analog die Möglichkeit an,
die durch diese Illustration verdeutlicht werden sollte, dass wir eben ein Modell haben,
was wir in der Regel nicht kennen, was theoretisch richtig ist.
Wir beobachten etwas und unterstellen, dass wir diese Beobachtung mehrfach durchführen können.
Wenn wir die Beobachtung, wie in diesem, dieser Illustration mehrfach durchführen,
dann haben wir natürlich eine ganze Anzahl von Achsenabschnitten, Zugehörigen, Steigungskoeffizienten. Das zeigt,
dass diese Achsenabschnitte diese Steigungskoeffizienten eben Stichprobenfunktionen sind,
die wir aus konkreten Beobachtungen jeweils konkret berechnen,
aber wo wir die Eigenschaften mit Hilfe der Stichprobeneigenschaften,
der Verteilung dieser Stichprobenfunktionen bestimmen, um das zu machen,
setzen wir hier die entsprechenden Formeln in der Weise um,
dass wir sagen,
wir betrachten jetzt nicht mehr nur konkrete Werte für Alphadach und Betterdach,
sondern betrachten Alphadach und Betterdach als Schätzfunktionen und das wird hier dadurch angedeutet,
dass wir hier die Zugehörigen Stichproben-Variablen, Y, IndexV, einsetzen.
Und wenn wir Y groß schreiben, dann gilt die Vereinbarung,
das sind die zugehörigen Stichproben-Variablen, das sind Repräsentanten für Nichtbeobachtete,
zufällige Werde, die wir vorhaben zu beobachten, potenzielle Werde.
Also, dass es das potenzielle arathmetische Mittel,
die X-Werte sind weiterhin kleingeschrieben, weil wir ja unterstellen,
dass diese Werte fest vorgegeben sind, dass die Fehler,
die zufällig sind, nur auf die Y-Werte wirken.
Wir wollen uns diese Eigenschaften der beiden Schätzfunktionen,
Alphadach und Betterdach noch mal in Form einer Illustration,
einer Animation angucken und das in der gleichen Weise wie bei dem entsprechenden Modell betrachten.
Bei der Ressource waren und freuen wir uns dran,
lasst es sich in Regissionskoalifikenten, A,
B,
Mitte der Tudene,
Wir erhalten die agilen, nettem Vater und Niederlage.
Ihm einfach so zu denen, gehen aus dem Redaktionspositionen,
schecksellen für die Modellmarke. Betrachten wir nun die ausgeschütteten Formen,
die beseins bis sechs Enden sind fest vorgegeben gewertet.
Mit diesen Wirken in der Bibel die Größten,
die daher als Feste,
Kolifizierten in die Berechnung der Redaktionskonfliktionen Einnahmen,
die die Eduktionsmädchen sind bei den Realisationen,
der Zug von Sadrian
und die Prostitution 1
ist Prostitution
Verbracht, dann sind da die Realisationen von Funktionen,
die dieser Zufall verbraten. Das Ersetze der Computingen,
die liebsten man Werte, für die Zubehörinnen und Zufall,
zwei Jahre, noch nur 1700. Er gibt da mal die
Festnetzionen vereinsamen. Wir können das verhalten, das ab,
etwa bei den halben Milliarden des Mannes, wie du es verweist,
dass der Psychologie, sofern es verschwende, die Formel vertreten hat.
Dazu bitte kurz auseinanderzurücken,
bei der ersten Sunde wird der Sunde zeichnet von den Wortstädten zu,
die zweite Sunde wird es von uns geschrieben,
so wie der Abweichung der Experte vom alphametischen Begriff,
ist sie neu geworden.
Damit ist Bäcker da, schon als gewichtete Summe der Zufallszeichenlagen,
groß gesund vom Banken. Die so erhandelten Erschützung des Summens verbättern,
wenn nun die Bestimmungsbereiche von Vater das anders sitzen.
Das hat die militische Miete des Materials, eine entsprechende Reflektion auszuführen.
Abschließend fasst du dich rein und verloren zur Sache.
Es hat sich auch im Schützenzug für den ganzen Abschnitt,
ist eingewichtig die Summe.
Der Zusatz war ein Label, eine Sitzung.
Eins ist groß,
dass sie durch ihn
Mit der Gefüge der kleinsten Quadrate, ergebniste sich an seine Erkrankten,
Schätzenzone, die die Relegationsgrünfigkeit in dem Modell,
diese beliebige Aktion zu verzeihen haben, du gibst sie nur umfangbar.
Diese Linearität, die hier nochmal herausgehoben worden ist,
ist natürlich unter statistischen Gesichtspunkten eine ganz wichtige Aussage.
Wir haben ja schon im Rahmen der bisherigen Ausführung immer wieder gesehen,
dass das Leben des Statistikers dann besonders angenehm ist,
wenn wir mit Summen arbeiten dürfen, dann können wir mit Erwartungswerden relativ leicht operieren.
Wir können Varianzen relativ leicht berechnen und so weiter.
Also diese Linearität macht das Leben insgesamt leichter.
Und das werden wir im Folgenden auch sehen. Das macht natürlich
auch das Arbeiten im Rahmen der linearen Regression besonders angenehm.
Zunächst mal noch für unser Beispiel des Mindestlohns. Wir haben
die Schätzfunktionen Alphadach und Betterdach die zu den entsprechenden Chats geraten führen.
Das wäre hier, wenn wir dieses Beispiel konkret umsetzen,
mit den entsprechenden Schätzwerten, die zugehörige Beziehung,
Arbeitsstunden gleich 1.913,01 plus 80,94 mal der entsprechende Stundenlohn.
Das würde inhaltlich bedeuten, dass wir sagen, wenn wir das interpretieren,
einen Stundenlohn einer Erhöhung des Stundenlohns in diesem Zusammenhang um ein Dollar
Würde zu einer Erhöhung der jährlich geleisteten Arbeitsstunden von circa 81 Stunden pro Jahr entsprechend führen.
Das ist die allgemeine Definition im Rahmen der konkreten Umsetzung,
die dann einfach die entsprechenden Formeln auswertet, um die konkreten Schätzungen anzugeben.
Was aber bei den entsprechenden Eigenschaften gerade der Linearität sich noch ergibt,
ist halt etwas, was für uns wichtig ist.
Wir können die Eigenschaften der Schätzfunktionen angucken. Wir können diese
Eigenschaften eben ableiten, ausgeeigneten Voraussetzungen und aus der Linearität.
Und denn die Bedeutung dieser Eigenschaften resultiert daraus,
dass aus den Eigenschaften der Schätzfunktion die Eigenschaften der Schätz geraten,
resultiert und davon hängen alle weiteren Aussagen,
beispielsweise in Bezug auf Prognosemöglichkeiten und Ähnliches ab.
Wenn wir also bei unserem Mindestlohnbeispiel fragen, Wie sieht es mit dem Zusammenhang aus?
Kann daraufhin eine entsprechende Empfehlung an die Politik gegeben werden?
Dann müssten wir diese konkrete Angabe auswerten und sagen,
können wir denn jetzt daraus erkennen, dass diese entsprechende Erhöhung,
um circa 81 Stunden bei einer Dollar,
bei einem Dollar höherem Mindestlohn, wie sicher ist denn diese Aussage?
Ist die tatsächlich signifikant oder ist die etwa durch ein Zufallsergebnis
noch zu erklären. Also müssten wir das entsprechend absichern,
bevor das in dieser Form umgesetzt würde. Auch die Prognosefähigkeit
und die Prognose, Genauigkeit wird natürlich von diesen Ergebnissen mit abhängen.
Gucken wir uns also an, wie diese Eigenschaften aussehen.
Das erste, was man ausrechnen kann, ist halt,
dass die Schätzfunktionen, Alpha, Dach und Betterdach, Erwartungstreu sind.
Das bedeutet, wir schätzen nichts systematisch falsch, wenn wir die Zugehörigenschätzungen durchführen.
Wir landen nicht systematisch zu niedrig oder zu hoch.
Wenn wir hier also uns diese vielen Regressionsgeraden angucken,
dann werden wir bei wiederholter Beobachtung, von solchen Regressionslinien,
so wie in diesem Beispiel auch illustriert, einige geraten haben,
die eine größere Steigung, als sie theoretisch richtiger haben,
einige geraten werden, eine kleinere Steigung haben.
Und im Schnitt wird die Steigung durchaus korrekt geschätzt.
Im Einzelfall werden wir natürlich mal eine etwas zu kleinere oder
zu große Steigung haben und damit einhergehend wird auch der Achsenabschnitt
mal ein bisschen zu hoch und zu niedrig ausfallen.
Aber er wird eben nicht systematisch verfälscht ausfallen.
Wir werden nicht systematisch zu kleinerer Werde bekommen oder systematisch zu
großer Werde
Mittel werden diese Achsenabschnitte und die Steigungskoffizienten richtig geschätzt.
Was sich mit Hilfe der Linearität, wie gesagt,
auch noch bestimmen lässt, sind die Varianzen dieser Schätzfunktionen.
Die Varianzen, das ist ein bisschen Rechnerei,
ergeben sich als Faktoren der Varianz der Fehler,
die Sigmaquadrat ist ja die Varianz des Fehlers oder der Fehler U-Index V,
diese Fehler kommen hier ebenfalls vor und Diese Fehler werden multipliziert mit einem Faktor,
der von den X-Werten abhängt.
Die X-Werte sind keine Zufallswerte, sondern vorgegeben. Trotzdem können wir
natürlich sehen, welche Auswirkungen die Wahl der X-Werte hat.
Wenn wir hier die X-Werte auf der X-Achse so positionieren,
dass wir eine möglichst große Summe der Abweichungsquadrate haben,
das bedeutet, dass wir sie also nicht alle ganz eng gruppieren,
sondern möglichst weit auseinandergezogen,
dann wird natürlich auch die Summe der Abweichungsquadrate groß,
die Summe der quadrierten Abweichung von dem Zentrum der X-Werte wird stark sein und die resultierende Schätzung der Betterwerte,
die Varianz von Betterdach, wird dadurch natürlich klein gemacht.
Wir können also davon ausgehen, wenn die X-Werte sehr unterschiedlich sind,
haben wir eine zuverlässige Schätzung der Steigungskoeffizienten und Tendenz natürlich auch des Achsenabschnittes.
Denn das funktioniert in der gleichen Weise,
weil hier vorne noch der Faktor entsteht und hier etwa gleiche Größen.
Also haben wir hier die Eigenschaft der Regression, je stärker die X-Werte auseinandergezogen werden, desto besser wird natürlich die Schätzungen. Man kann natürlich auch formal sagen,
wenn wir immer mehr Beobachtungen in unsere Regressionsmodell einbeziehen und berücksichtigen,
dass diese Beobachtung auf der X-Achse natürlich zu unterschiedlichen Stellen passieren,
dann erhalten wir auch die Konsistenz der Schätzung,
ein wachsender Stichprobenumfang wird zu immer besseren Schätzungen führen,
die Varianz der Schätzung wird immer kleiner aufgrund der Tatsache,
dass ich mehr Beobachtungen habe,
also ein größerer Aufwand wird sich am Ende auszahlen,
wenn ich beachte,
dass ich eben nicht alle X werde durch einen einzigen Punkt repräsentieren lasse,
sondern dass die X-Werte auch einigermaßen auseinandergezogen sind.
Für insbesondere für die Beurteilung der Regression sind natürlich die Ressiduen von großer Bedeutung,
die Residuen sind die Differenzen zwischen den Beobachteten Y werden und
den entsprechend auf der Regressionsgerade liegenden Zugehörigen, sagen wir,
theoretischen Werten,
die wir mit Y-Dach bezeichnen,
die zu der gleichen X-Wert bestimmt werden
Mit diesen Residien werden wir im Folgenden auch noch die
zugehörigen Modellannahmen überprüfen. Zunächst mal sind sie aber wichtig,
um mit Hilfe dieser Abweichungen die Varianz der Fehler zu schätzen.
Die Varianz der UV, die können wir erwartungstreu schätzen,
wenn wir, wie hier angegeben,
die Summe der quartrierten Residur nehmen,
die Summe der UV-Quadrat,
die automatisch bei Null zentriert sind
Und hier mit dem Faktor 1 durch N minus 2 standardisiert sind.
Diese minus 2 kommt deswegen zustande, weil wir zwei Parameter,
nehme ich Alpha und Better, bestimmen müssen.
Und damit haben wir die erwartungstreue Schätzung für die entsprechende Varianz der Fehler.
Bei der Berechnung diese Varianz ist es nicht nötig,
wie die Ausgangsformel es vielleicht nahelegt,
alle Residuen extra zu berechnen,
also für alle Beobachtungen
Achtungen, die Differenzen, Beobachter der YV-Wert minus dem zugehörigen Wert auf der Regressionsgeraden.
Was wir viel mehr machen können, sind Umrechnungsformeln auszunutzen,
die die Variante Y-Werte und die Co-Varianz benutzen oder die Variante
der Y-Werte und die Variante der X-Werte jeweils geeignet multipliziert mit Betterdach beziehungsweise Betterdach Quadratdach.
Wenn Sie Ihre Folien angucken, sehen Sie,
dass ich in der Zwischenzeit eine Korrektur vorgenommen habe.
Der Faktor muss N durch N-2 sein und das bitte ich
Sie in Ihren ausgedruckten Folien zu korrigieren.
Auf diese Weise kriegen wir also kompakte Formeln für die Berechnung der Entsprechenden Varianz. Und das führt unter anderem dazu,
dass bei entsprechenden Angaben von Regressionsbeziehungen diese Näherung,
diese Schätzung der Varianz mitverwendet wird in der Regel,
in der Form, wie ich ihnen das hier angegeben habe,
dass nicht nur die Regressionsbeziehung angegeben wird,
sondern oft auch in eck kleinen Klammern da drunter gesetzt, die zugehörige Standardabweichung angegeben wird.
Die Standardabweichungen, die hier angegeben werden,
die verwenden diese Schätzung der Varianz, also dieses Sigma-Dach-Quadrat,
aber natürlich verwenden sie dieses Sigma-Dach-Quadrat in Zusammenhang mit den Formeln für die Varianzen der beiden Schätzfunktionen,
also ich setze dann hier das Sigma-Dach-Quadrat ein,
beziehungsweise setzt es hier ein, berechnet die Varianz der Steigung,
berechnet die Varianz des Achsenabschnittes oder der Schätzungsfunktion Alphadach,
beziehungsweise der Schätzfunktion von Betterdach,
bildet die Quadratwurze aus diesen Werten und erhalte auf diese Weise die Zugehörigen,
Standardfehler, die geschätzten Standardfehler für Betterdach und Alphadach.
Das erlaubt eine gewisse Einschätzung der Präzision oder der Genauigkeit
der Schätzungen
Auch für die Schätze gerade insgesamt können wir die Zugehörige Präzision mit Hilfe dieser Standardabweichung angeben.
Wenn wir die gesamte Regressionsgerade bestimmen, dann heißt es,
wir ersetzen ja einfach die Schätzgerade für die theoretischen Parameter.
Die theoretischen Parameter ergeben den Erwartungswert der Regressionslinie an den entsprechenden Stellen X,
wobei ich für X beliebige Stellen aus dem Stützbereich einsetzen kann.
Wenn ich jetzt gucke, wie stark streuen denn die entsprechenden Regressionswerte um diese Geraden,
dann brauche ich hier nur die Zugehörige Varianz der Y-Dachwerte zu bestimmen.
Die Y-Dachwerte ergeben sich ja über Alphadach plus Betterdach mal X und die Varianz
kann ich dann mit Hilfe der Varianz der beiden Schätzfunktionen berechnen.
Diese Varianz ist für einen gegebenen X-Wert hier angegeben und setzt sich zusammen aus den beiden einzelnen Varianzen. Nicht einfach als Summe,
sondern in einer etwas komplizierteren Form, weil natürlich Alpha,
Dach und Betterdach auch zusammenhängen, dass Alphadach und Betterdach zusammenhängen,
können sie nochmal hier dran sehen,
wenn sie den Steigungskoeffizient tendenziell etwas stärker haben,
sehen sie, dass das Alphadach tendenziell etwas kleiner wird,
wenn Betterdach etwas kleiner ist, also die Steigung nicht zu hoch,
wird dann korrespondierend, Alphadach etwas größer sein,
also haben die beide einen gewissen Zusammenhang.
Und dieser Zusammenhang ist natürlich berücksichtigt bei der Bestimmung dieses Faktors von Sigma Quadrat,
wenn wir die Varianz der Y-Dachwerte ausrechnen, Y-Dach als Alphadach plus Betterdach mal entsprechendem X.
Gucken wir uns ein konkretes Beispiel an,
wo dieser verschiedenen Standardabweichungen der Regressionslinie mitbestimmt als Beispiel nehmen wir Diamant-Tringe,
die in Singapur angeboten worden sind,
die Preise in Abhängigkeit vom Gewicht des entsprechenden Diamanten,
der in diesem Ring verarbeitet worden ist.
Und das, was wir für die verschiedenen Werte des Gewichtes,
also für die verschiedenen Karatwerte an Preisen haben,
das sehen Sie hier im Streudiagramm,
eingezeichnet ist ebenfalls die Zugehörige,
empirisch ermittelte Regressionsgerade.
Das ist die Ruderlinie
Und was ich da noch gemacht habe, ich habe für jeden X-Wert,
also für jedes mögliche Gewicht aus diesem Bereich,
die zugehörige Standardabweichung jetzt für die entsprechenden Y-Dachwerte bestimmt,
indem ich einfach die Quadratwurzel aus diesem Ausdruck unter Verwendung des Schätzwertes von Sigmar Dach eingetragen habe.
Was kann man hier erkennen? Hier können Sie vielleicht nicht extrem,
aber doch ausreichend deutlich erkennen,
dass im mittleren Bereich Und zwar gerade dort,
wo die X-Werte ihren Schwerpunkt haben, wo X quer liegt,
dass da offensichtlich diese beiden blauen Linie am Ängsten bei der Hodenregressionsgrade liegen,
an den Rändern sind dagegen die Zugehörigen Standardabweichungen etwas größer,
die blauen Linien etwas weiter von der Regressionslinie entfernt.
Das lässt sich aber auch anhand der Ausgangsformel nachvollziehen.
Wir sehen, dass die Varianz dann am größten ist,
wenn der Zähler im zweiten Ausdruck in der runden Klammer,
der Zähler x-x quer in Klammern zum Quadrat,
am größten ist.
Und je weiter weg ich mich vom Schwerpunkt x bewege,
also je mehr am Rand der X werde ich liege,
desto größer wird der Zugehörige Standardfehler und desto weiter muss natürlich
diese Zugehörige Begrenzungslinie sein
Was wir hier haben, ist eine punktweise Darstellung der Standardfehler.
Also ich habe das zwar hier als Linie gezeichnet,
aber von der Interpretation müssen sie immer berücksichtigen,
das sind die einzelnen Punkte mit ihren zugehörigen Standardfehlern.
Wenn wir ein Band um die Regressionsgerade insgesamt zeichnen sollen,
das insgesamt gilt,
dass die Regressionsgrade in dem entsprechenden Bereich liegt,
dann ist die Zugehörige Bandbreite natürlich größer,
wenn wir das insgesamt berücksichtigen
Auf der anderen Seite ist klar,
dass die Regressionsbeziehung natürlich umso unsicherer ist in der Bewertung,
je weiter ich mich am Rand bewege. Klar ist auch,
dass diese Form der Darstellung plus minus Standardabweichung nicht ausreicht,
um mit einer gewissen Sicherheit zu sagen, was mit der Regressionsgrade los ist.
Wir haben natürlich kein Maß dafür, dass die Regressionsgrade so oder so verläuft.
Was wir dazu brauchen, ist eine Konfidenzaussage und da wissen Sie,
dass man Konfidenzaussagen und Ähnliches nur machen können, wenn wir eine Verteilungsaussage unterstellen.
Dementsprechend unterstellen, dementsprechend werden wir hier auch das Regressionsmodell ergänzen und fordern,
zusätzlich zu dem, was wir bisher betrachtet haben,
was für die Punktschätzung ausreichend war,
aber für die weitergehenden Aussagen nicht mehr ausreicht.
Wir werden unterstellen, dass die Fehler normal verteilt sein sollen
Und das bedeutet natürlich, dass wir wieder die Regressionslinie haben,
mit den entsprechenden Störungen UV, aber jetzt zusätzlich unterstellen,
dass diese Störungen normal verteilt sein sollen,
wie üblich bei null zentriert, das ändert sich nicht.
Das heißt, der Erwartungswert der UV soll weiterhin natürlich null sein.
Die Varianzen sollen konstant sein, gleich Sigmaquadrat.
Auch das ist genauso wie bisher,
zusätzlich ist aber dieses N zu sehen,
dass wir jetzt sagen,
die Normalverteilung soll gelten,
auch die Unabhängigkeit hat mir bisher schon unterstellt
Wenn man dieses Regressionsmodell illustrieren will,
dann kommen wir genau auf diese grafische Darstellung,
die ich schon vorweggenommen habe, wo wir eben sagen,
wir haben eine Regressionsbeziehung zu den vorgegebenen X-Werten,
haben wir dann entsprechende, zufällige Werde von Y,
die zufälligen Werde von Y sind bei der Regressionslinie zentriert und weichen jetzt nur durch die,
durch U-bestimmte Verteilung von ihrem Zentrum ab und die Verteilung,
die wir hier halt haben, ist die Normalverteilung.
Deswegen sind solche Normalverteilungsgedichten eingezeichnet. Wenn wir aber für die Fehler eine Normalverteilung unterstellen,
dann können wir mit dem, was bisher insgesamt erreicht worden ist,
an Ergebnissen auch etwas über die Verteilung der Schätzfunktion sagen.
Die Konsequenz der Normalverteilung, der Fehler ist im ersten Schritt,
dass auch die Y, die ja einfach Alpha plus Better X,
also eine fester Wert, wenn bei wir einen X-Wert gegeben haben,
plus dem Fehler darstellen, sind also auch die Fehler,
Entschuldigung, die Beobachtung Y normal verteilt.
Und wie in der Animation herausgearbeitet, sind dann natürlich
auch Linearkombination, Alphadach, Betterdach wieder normal verteilte Zufallsvariablen.
Also haben wir hier Normalverteilungen und zwar mit der Erwartungstreue der beiden Schätzfunktionen Normalverteilung,
mit dem Erwartungswert Alpha, bei Alphadach mit dem Erwartungswert bei Betterdach und den zugehörigen Varianzen,
die wir ja auch schon zumindest von der Form her kennen.
Wenn wir in der Weise die Normalverteilung haben,
dann können wir, und das ist die Verbindung mit dem,
was wir bisher in diesem Semester im Rahmen der Inferenz gemacht haben,
natürlich jetzt auch sagen,
wir haben automatisch die entsprechenden Formeln für Konfidenzintervalle und für die statistischen Tests in Bezug auf diese Regressionskoeffizienten zur Verfügung.
Denn wenn Sie sich erinnern,
was wir im Zusammenhang mit dem Test auf den Erwartungswert bei einer Normalverteilung kennengelernt haben,
das ist ja nichts anderes als,
dass wir gesagt haben, wir nehmen das Mühe,
betrachten die zugehörige Schätzfunktion X quer und bilden daraus,
zugehörige Konfidenz in der Wahl, die zugehörige Teststatistik.
Hier haben wir zwar nicht Mühe und wir haben nicht
X Quer, aber wir haben die gleiche Korrespondenz.
Wir haben den Erwartungswert Better und die Schätzfunktion Better Dach.
Also können wir in unserem bisherigen Gebilden für den Tee-Test ganz
entsprechend einfach den hypothetischen Wert Better Null-Dach, Entschuldigung Better,
Null einsetzen und für das X Quer das Better Dach um daraus eine Prüfgröße zu konstruieren.
Wir können mit Hilfe der entsprechenden Verteilungseigenschaften auch das Konfidenzinnervall für
den Achsenabschnitt bestimmen und analog natürlich für die Steigung.
Also das, was wir bisher schon mehrmals praktiziert haben,
brauchen wir nicht neu zu entwickeln. Wir müssen nur die
Korrespondierende Situation identifizieren und die Symbole geeignet anpassen und haben mit Hilfe dessen,
was wir bisher schon erarbeitet haben, die Möglichkeit,
das einfach zu übertragen und hier für die Regressionsanalyse nutzbar
zu machen
Die Zugehörigen Konfidenzintervalle ergeben sich auf diese Weise ganz analog zu
den Konfidenzintervallen für Müh. Wir haben einmal diese Konfidenzinnervall für
Alpha. Da nutzen wir diese Verteilungsaussage aus. Für Müh
wird Alpha geschrieben, für X quer wird Alphadach geschrieben.
Und wenn Sie jetzt das Konfidenzinnervall für Müh bei unbekannten Sigmas
sich vorstellen,
dann stand da X quer
Das wollten wir jetzt durch Alphadach ersetzen.
Die Teeverteilung kommt ins Spiel. Die bleibt natürlich auch hier
. Und dann kommt bei dem Konfidenzintervall für Müh,
Sigma Dach durch WhatsApp N. Sigma Dach durch Wurzel N.
ist aber nichts anderes als die Standardabweichung des arathmetischen Mittels.
Und die standen dabei und es arathmetischen Mittels wird jetzt durch
die Standardabweichung genauer durch die geschätzte Standardabweichung von Alphadacher sitzt.
Also die entsprechende Form Es ist eins zu eins übertragen.
Ein Unterschied rein schreibtechnischer Art sei noch angemerkt,
da wir üblicherweise in der Regressionsanalyse den Achsenabschnitt mit Alpha bezeichnen,
ist das Alpha jetzt in Bezug auf das Signifikanzniveau natürlich nicht mehr verwendbar.
Sonst gibt es ja Konfusionen dementsprechend,
verwenden wir jetzt für das Signifikanzniveau das Gamma und bilden das Konfidenzniveau
1-gamma und nehmen dann das entsprechende 1-gamma-halbe Quantil der T-Verteilung mit ein minus zwei Freiheitsgraden.
Analog gilt das Konfidenzintervall für die Steigung. Ebenfalls den Test können wir auch für diese beiden Koevezenten einfach über die Tests für Mühe,
die wir kennen, entsprechend aufstellen, was wir machen, ist einfach schätzwert,
minus hypothetischem Wert durch zugehörige Standardabweichung und haben damit die entsprechende Tätigkeit Teststatistik,
die jetzt allerdings en minus zwei Freiheitsgrade jeweils hat,
entsprechend der Zahl der Parameter, die hier zu bestimmen waren.
Wenn wir unser Mindestlohnbeispiel hier entsprechend angucken und gucken,
ob der Regressionskoffizient größer als null ist,
dann haben wir die entsprechende Null-Lypothese Better gleich null,
gegen die Alternative,
das Better größer als null sei zu überprüfen und Diese Überprüfung folgt,
wenn wir die Teststatistik nochmal betrachten, einfach in der Weise,
dass wir hier, wenn Better Null gleich Null ist,
natürlich den Quotienten betrachten, Schätzwert, dividiert durch Zugehörige,
Standardabweichung oder wie wir es auch nennen, durch den zugehörigen Standardabfehler.
Diesen Standardfehler, den haben wir aber schon ermittelt und haben gesagt,
üblich ist es, Regressionsbereich Beziehungen in der Weise anzugeben,
wenn sie geschätzt sind, dass wir nicht nur die Schätzwerte angeben,
sondern in Klammern da drunter gesetzt, auch die zugehörigen Standardfehler.
Was wir jetzt also für die Durchführung des Tests nur noch
zu machen haben, ist einfach diesen Schätzwert 80,94 zu nehmen.
Diese 80,94 durch den zugehörigen Standardfehler zu dividieren,
also durch 18,83 und damit haben wir den entsprechenden Wert,
der nötig ist, um den Test durchzuführen.
Dieser Wert ist etwas über vier, der, wer der Teststatistik,
den wir hier ermitteln, ist einfach per Überschlagsrechnung ein Wert, der größer als vier ist.
Diesen Wert müssten wir vergleichen mit dem entsprechenden Quantier und da wir nur eine einseitige Alternative haben,
mit dem 1- Gamma-Quantil, der entsprechenden T-Verteilung mit end-minus zwei Freiheitsgraden,
aber weil wir jetzt schon in unsere Überschlagsrechnung gesehen haben,
da kommt ein Wert größer als vier raus,
brauchen wir den Test praktisch nicht mehr durchzuführen.
Wir wissen,
dass die Tiefverteilung relativ ähnlich zur Normalverteilung ist,
dass vier in dem Rahmen ein sehr extremer Wert ist und
dass wir zu praktisch jedem Signifikanzniveau damit
auch eine entsprechende Ablehnung der Nullhypothese erreichen
Hier haben wir das trotzdem noch mal zur Illustration ausgeführt.
Der Wehr der Prüfgröße ist genauer genommen 4,3. Der kritische Wert
der Tiefverteilung bei 46 Freiheitsgraden, 48 Beobachtungen des 1,67. Also
liegen wir weit über mit unserem empirischen Wert.
Wert weit über diesem entsprechenden kritischen Wert und die Nulllypothese
wird abgelehnt. Soweit die Inferenz in Bezug auf diese Parameter
Wenn wir eine Regressionsanalyse machen, ist es allerdings notwendig,
am Ende noch einmal sich das Ganze genauer anzugucken und zu sehen,
wie ist denn gegebenenfalls die Unterstellung des linearen Regressionsmodells zu bewerten.
Die Bewertung der Regression gehört in aller Regel zu den Aufgaben,
die im Bereich der Anpassung eines Regressionsmodells mit anfallen und zum
großen Teil kann diese Bewertung erst im Nachhinein,
nachdem eine entsprechende Regression geschätzt worden ist,
Einmal gibt es natürlich Uni-Variate, Maßzahlen, etwa die geschätzte Varianz der Ressiduen,
die sollte deutlich kleiner sein als die Varianz der Y-Werte.
Wenn wir einer in etwa gleiche Varianz wie die Ausgangs-Y-Werte haben,
dann reicht in der Regel die entsprechende Regression nicht zur Erklärung der Y-Variablen, dann bringt das Regressionsmodell nicht.
Nichts, und das kann nochmal quantifiziert werden mit dem Bestimmtheitsmaß,
in dem da einfach geguckt wird, welcher Anteil der Varianz erklärt wird. Man wünscht sich immer,
dass dieser Anteil groß genug ist und wenn wir etwa,
unser Beispiel des Mindestlohns angucken,
dann haben wir einen Anteil der erklärten Varianz von ein Drittel,
also 0,333 oder 33 Prozent und das ist natürlich nicht gerade sehr viel,
man muss sehen,
dass wir hier natürlich nur einen kleinen Ausschnitt der Daten berücksichtigen,
aber oder berücksichtigt haben, die ursprünglich zur Verfügung standen,
aber klar ist, dass bei einem solchen Bestimmtheitsmaß nicht eine weitergehende Konsequenz wie etwa eine Politikempfehlung resultieren kann,
dass man dieser Mindestlohn anstelle von Wohlfahrtsprogrammen etwa verwenden sollte.
Da müsste der Zusammenhang schon stärker sein. Auf der
anderen Seite ist ein hoher Wert, das ist Bestimmtheitsmaßes,
zwar erstrebenswert, aber dieser hohe Wert des Bestimmtheitsmaßes,
es ist auch nicht alles,
um das nochmal ihnen zu verdeutlichen betrachten wir das Beispiel eines unglücklichen Chemikers.
Der Chemiker hatte eine Regressionsanalyse gerechnet, indem er einen Anteilskoeffizient
in Abhängigkeit des Gehaltes oder des Anteils einer chemischen Substanz in einer Mischung bestimmt hat.
Der das Bestimmtheitsmaß seiner Regression war recht hoch, 0,967.
Der Chemiker war sehr glücklich und hatte gedacht,
jetzt habe ich endlich mal was Vernünftiges raus,
so wie die Statistiker auch zufrieden sind,
aber dann kommt ein Statistiker und guckt sich das Ganze nochmal
an,
wie das aussieht
Das, was sie hier als Linie eingezeichnet sind, sehen es nicht die Regressionsgerade.
Das ist einfach nur Verbindungslinie der beiden extremen Punkte.
Aber diese Verbindungslinie macht deutlich, dass hier ein linearere Regressionsansatz nicht sinnvoll ist.
Denn die Punkte liegen, weiß Gott, nicht auf einer geraten.
Die liegen ja eher auf so einer geschwungenen Eheparabelförmigen Linie.
Und wenn man das aus dem Streudiagramm schon erkennen kann,
sollte man sich hüten, da noch eine Regression tatsächlich zu rechnen,
eine lineare Regression, an der Stelle muss man etwas mehr einsteigen und diese gekrümmte, diesen gekrümmten Verlauf mit berücksichtigen.
Definitiv erst am Ende der ganzen Analyse kann man mithilfe von Residuen diagrammen arbeiten,
um sich da die zugehörigen Streuung anzugucken und zu sehen,
wie sie das gegebenenfalls mit der linearen Abhängigkeit aus,
was wir hier bei dem Mindestlohnbeispiel sehen,
Und was das Bestimmtheitsmaß schon suggeriert hat,
wir haben eine relativ große Streuung,
um die Nulllinie und der Resideln,
um die Nulllinie.
Und das deutet schon darauf hin,
dass eben die entsprechende Regression nicht sehr viel erklärt,
dass die abhängige Variable durchschnittlich jährlich geleistete Arbeitszeit durch die
erklärende Stundenlohn nicht sehr gut ist
Wenn wir die Linearität beurteilen wollen,
dann zeigt sich hier anhand eines Beispiels aus der Biologie,
wofür 25 Bäume, die entsprechende ein Stammdurchmesser ermittelt wurden,
in Abhängigkeit vom Alter der Bäume, dass es einfacher oft ist,
aus dem Residuen der Gramm Modelldefekte zu erkennen,
als im originalen Streudiagramm.
Hier haben wir das originale Streudiagramm und eigentlich könnte man sagen,
es sieht ja gar nicht
so schlecht aus
Residu in Diagramm, was rechts daneben steht, ist aber viel deutlicher,
dass im untersten Bereich und im obersten Bereich hauptsächlich Punkte unterhalb
der Regressionslinie liegen und im mittleren Bereich liegen sie hauptsächlich drüber.
Wenn wir das hier gesehen haben,
kann man es auch wiedererkennen, im linken Diagramm.
Und das deutet ebenfalls darauf hin,
dass eigentlich die Regression eine Nicht-Linearität mit berücksichtigen müsste,
dass ein einfacher linearer Ansatz hier
nicht ohne weiteres
adäquat ist
Ein weiterer möglicher Modelldefekt besteht darin,
dass wir die Varianz nicht konstant über den gesamten Bereich haben.
Das zeigt sich an dem Beispiel, wo eine Wartungsuntersuchung gemacht worden ist.
Es wurde in Wartungen von Geräten zum Teil gebündelt,
das heißt der Mechaniker wurde dann einmal losgeschickt und um gleich
mehrere Geräte zu warten in der Hoffnung, dass darüber Kosten gespart werden könnte.
Und wenn wir die entsprechende Bearbeitungszeit als abhängige die entsprechende Anzahl der Gerede,
die gewartet werden, als unabhängige Variable betrachten, dann sehen sie,
dass mit der Zahl der zu wartenden Geräte auch die Zugehörige Streuung,
um die Regressionsgrade wächst.
Wenn dieses Phänomen beobachtet wird, dann werden Aussagen in Richtung Konfidenzintervalle, Tests verfälscht.
Die Schätzung funktioniert zwar noch, die Regressionsgrade bleibt zuverlässig,
aber wenn sie jetzt die zugehörigen Koeffizienten überprüfen,
dann funktionieren diese statistischen Tests nicht mehr, weil die Varianz nicht konstant ist.
Ein vorletzter Aspekt, der insbesondere von Bedeutung ist,
wenn wir eine Regression haben und dann entsprechend Konfidenz in der Walle und Tests durchführen,
ist die Frage, dürfen wir denn diese Konfidenz in der Walle berechnen,
die statistischen Tests überhaupt durchführen?
Wir dürfen es sicherlich dann machen, wenn die Residuen
normal verteilt sind. Also steht noch eine Überprüfung der Normalverteilung
der Residuen an
Das passiert in der Regel einfach,
indem diese Residuen verwendet werden im Rahmen eines Quantildiagramms und für
unser Beispiel beim Mindestlohn hätten wir hier das Normalverteilungskukudia kam,
was andeutet,
dass hier diese entsprechende Normalverteilung durchaus noch zufriedenstellend funktioniert,
die Abweichung wird nicht
als systematisch bewertet werden
Ein letzter Aspekt sei noch erwähnt, dass es die Autokorrelation,
wir haben ja auch die Unabhängigkeit der Beobachtungen vorausgesetzt und insbesondere,
wenn wir zeitlich ihre Beobachtungen haben, kann es passieren,
dass da eine Autokorrelation vorliegt.
Etwa, wenn sie an das Beispiel mit dem Eiswirkzehr
sich überlegen, dann kann natürlich da eine zeitliche Abhängigkeit vorkommen
Wir nehmen hier als Beispiel die einen Bedarf an Häusern,
die zu bauen sind in den USA,
und zwar von der Mitwestern-Company-Industrie Association,
wurde der Zusammenhang zwischen dem Bedarf an neuen Wohnhäusern und der Bevölkerung,
einem Bevölkerungswachstum untersucht.
Das Ziel war natürlich, die Prognose der Bauaktivitäten,
und dazu wurde einmal die abhängige Variable Neubauvolumen bestimmt,
und zum anderen der Umfang der Gruppe ja 22 bis 44-Jährigen in der Bevölkerung.
Das wurde für verschiedene Jahre festgehalten,
die Regression gerechnet und was sie jetzt hier sehen, ist ein Streudiagramm,
was mit Hilfe der Residien, der dieser Regressionsanalyse erstellt wurde.
Wir haben für die Residien eine natürliche Anordnung durch die Jahre
und jetzt wurden für die Jahre immer ein Punkt ermittelt,
indem ich das Residium des Einjahres und das Residium
Und das zugehörigere Siedlum des anderen Jahres betrachtet habe und
der Zusammenhang ergab dann das entsprechende Streudiagramm.
Und was sie dann sehen, ist ganz eindeutig ein resultierendes Streudiagramm,
was auf eine Korrelation hindeutet. Wenn wir Unabhängigkeit hätten,
dann sollte sich einfach so eine kreisförmige Punktfolge ergeben. Wir haben hier aber eine gestreckte,
mit einem empirischen Korrelationskoeffizienten von 0,68. Und das heißt,
die Residien sind offensichtlich korreliert und dementsprechend haben wir hier eine Verletzung der Unabhängigkeitsannahme,
die gegebenenfalls zu berücksichtigen wäre,
wie das zu geschehen ist, das erfahren sie dann,
wenn sie im nächsten Semester Statistik für Fortgeschrittene belegen,
dort werde ich dann darauf eingehen.
Für heute können wir allerdings sagen,
haben wir den Stoff dieses Semesters damit abgeschlossen und ich möchte noch angeben,
dass wir in der nächsten Stunde nochmal den zweiten Teil
dieses Kurses dort rekapitulieren in der gleichen Form,
wie wir es nach Pfingsten gemacht haben.
Ich werde einfach ein paar Beispielaufgaben zusammenstellen und daran nochmal
den Stoff seit Pfingsten rekapitulieren.
Ich bedanke mich für Ihre Aufmerksamkeit