Gut, dann darf ich Sie zur heutigen Veranstaltung begrüßen.
Und wie Sie sehen, wollen wir uns weiterhin noch mit statistischen Tests beschäftigen.
Wir haben ja in der letzten Woche schon einiges an Parametertests
betrachtet und wir werden noch vier weitere Tests uns angucken.
Statistische Tests laufen ja im Grunde genommen immer nach dem gleichen Schema,
wenn man erst einmal die zugehörige Idee bekommen hat,
dann ist nur noch die Frage,
wie sie im Anwendungsfall die konkrete Problemformulierungen aus wie sieht die Umsetzung in Richtung einer geeigneten Prüfgröße aus,
wie lautet die Verteilung der Prüfgröße unter der Nullhypothese,
das ist halt wichtig um die kritischen Werte,
den Ablehnbereich und den Annahmebereich zu bestimmen.
Je nach Randbedingungen ist das eben das, was unterschiedlich ist und
wo in einer gewissen Form eben einmal für die zugehörige Situation, die entsprechenden Ableitung gemacht werden müssen.
Wenn wir das haben, ist der Rest eigentlich fast trivial. Das ist Standard F,
wenn man so sagen darf, weil es dann nur geht,
wenn man die Situation identifiziert hat, den statistischen Test entsprechend bestimmt hat,
dann geht es darum, diese Größen zu bestimmen,
in die entsprechende Teststatistik die Werte einzusetzen,
auszurechnen und zu gucken, ob der Wert,
der Prüfgröße im Annahme- oder ab den Bereich legt.
Das wollen wir uns noch einmal angucken im Zusammenhang mit dem Vergleich zweier Wahrscheinlichkeiten.
Wir werden im Weiteren die Betrachtung der Niveauunterschiede bei mehr als zwei Strichproben
uns angucken und dann eine etwas allgemeinere Form von Hypothesen angehen.
Nehmen wir also zunächst einmal den Vergleich zweier Wahrscheinlichkeiten. Einen Test auf P,
auf eine Wahrscheinlichkeit bei nur einer Stichprobe,
das haben wir ja kennengelernt,
da können wir auch für kleine Stichprobenumfänge natürlich den entsprechenden Test durchführen,
indem wir einfach die Binomial verteilte Zufallsvariable als Prüfgröße nehmen mit der Bestimmung der kritischen Werte aus der Binomialverteilung.
Bei dem Vergleich Zweieranteile wollen wir uns auf die Situation beschränken,
dass wir nur große Stichproben betrachten. Also nicht direkt auf
die Normaleinteilung Binomialverteilung eingehen, sondern mit der Approximativen Normalverteilung arbeiten.
Es ist ja klar, aus dem,
was wir schon aus dem Zusammenhang mit dem Schätzenwissen Und im Zusammenhang mit den Stichprobenfunktionen,
dass dann die relativen Häufigkeiten natürlich abproximativ normal verteilt sind.
Und zwar in der Form, dass wir sagen können,
die approximative Normalverteilung hat den Erwartungswert P und die Varianz P mal 1 minus P durchennen.
Das gilt für die einzelne relative Häufigkeit. Und wenn wir zwei Wahrscheinlichkeiten,
die wir ja beide nicht kennen,
miteinander vergleichen wollen und fragen, überprüfen wollen,
ob diese eventuell gleich sind oder ob sie ungleich sind,
dann liegt es nahe, die Relation auszunutzen,
die sie eben gesehen haben, dass wir eben sagen,
Pedach hat den Erwartungswert P und abproximativ eine Normalverteilung,
genauso vorzugehen wie bei dem Testvergleich zweier Erwartungswerte bei Normalverteilung,
wo wir die arithmetischen Mittel miteinander verglichen haben,
indem wir die Differenz uns angeguckt haben.
Hier haben wir zwar eine andere Form des Parameters,
wir haben Peter zu stehen, aber wir haben natürlich wieder
ein Parameter, der als Erwartungswert der Normalverteilung auftaucht.
Also nehmen wir die zugehörige Schätzfunktion als entsprechendes Maß,
wie weit dieser Wert tatsächlich vorliegt und betrachten entsprechend zu der Differenz
der atmetischen Mittel bei dem Test auf Mü1 gleich mit zwei,
jetzt die Differenz der Differenz der Anteile.
Diese Differenz ist wiederum aproximativ normal verteilt,
wenn wir unabhängige Stichproben haben, können wir sogar sagen,
dass diese aproximative Normalverteilung Am Ende, sprich erwartungswerten Varianz hat,
die wir leicht bestimmen können.
Der Erwartungswert der Differenz der Anteile, der empirischen Anteile,
dieser Erwartungswert ist einfach die Differenz der Wahrscheinlichkeiten.
Genauso wie die Differenz der beiden arathmetischen Mittel gleich der Differenz der Erwartungswerte war.
Die Varianz bei unabhängigen Stichproben erhalten wir ebenfalls aus den Rechenregeln für die Varianz.
Wir haben P1-Dach ist unabhängig von P2-Dach und daher ist die Varianz von P1
nach minus P2-Dach von dieser Differenz einfach die Summe der einzelnen Varianzen,
also der Varianz von P1-Dach und der Varianz von P2-Dach.
Diese entsprechenden Varianzen haben wir hier oben aber gerade schon gesehen,
ergeben sich zu P1 mal 1 minus P1 durch N. N
ist der Stichprobenumfang der zugehörigen Stichprobe,
P2 mal 1 minus P2 durch M,
wenn M
der Umfang der zweiten Stichprobe ist
Das ist einfach die Rechenregeln, die wir haben.
Und damit können wir natürlich jetzt eine geeignete Teststatistik zum Vergleich dieser beiden Wahrscheinlichkeiten konstruieren.
Und die Basis bildet natürlich die Voraussetzung erst mal wieder,
dass die Null Hypothese so richtig ist, dann sollte die entsprechende Wahrscheinlichkeit gleich sein.
Und wenn diese Wahrscheinlichkeit unter der Null Hypothese tatsächlich gleich ist,
dann können wir ja im Nenner
Eine Standardisierung vornehmen, mit der gemeinsamen, gleichen Wahrscheinlichkeit.
Wir brauchen die Verteilung der Prüfgröße nur unter der Nullenhypothese,
also unter der Voraussetzung, dass beide Wahrscheinlichkeiten gleich sind,
weil wir das verwenden, um den Ablehnbereich und den Ablehnbereich zu bestimmen.
Wenn die Nulllipothese gilt, P1 gleich P2 ist,
haben wir also ein unbekanntes P,
was wir für P1 und P2 hier eingesetzt haben.
Der zweite Ausdruck ist einfach noch eine Umformung,
um nochmal hervorzuheben, dass es jetzt ein gemeinsamer Anteil,
eine gemeinsame Wahrscheinlichkeit gibt, die im Hintergrund vorliegt.
Natürlich ist diese entsprechend standardisierte Prüfgröße unter der Nullhypothese aproximativ normal verteilt,
aber sie hat auch wieder den schon mehrfach anzutreffenden Defekt,
dass wir das entsprechende P,
was hier im Nenner vorkommt,
natürlich nicht kennen
Das heißt, die Prüfgröße ist erst mal so,
wie sie dasteht, in Anführungsstrichen, wertlos,
weil wir unbekannter, einen unbekannten Paramente haben.
Wir gehen wieder so vor, dass wir diesen unbekannten Parameter natürlich schätzen.
Und diese Schätzung nutzt eben aus, dass wir,
wie gesagt, unter einer Hypothese gleiche Wahrscheinlichkeiten haben.
Wenn wir unter dieser Voraussetzung den Parameter P,
die gemeinsame Erfolgswahrscheinlichkeit schätzen wollen, dann können wir die Einzelschätzungen zusammenfassen,
in der Weise, dass wir einfach sagen,
wir nehmen aus beiden Versuchsserien die Gesamtzahl der Erfolge und dividieren die Gesamtzahl der Erfolge durch die Gesamtzahl der Versuche.
Dass wir hier die Gesamtzahl der Versucher im Nenner haben,
das ist klar, N plus M,
aber im Zähler haben wir auch, wenn Sie sich das angucken,
nichts anderes dazustehen, als eben die Gesamtzahl der Erfolge.
Das ist genau das, was hier voll herrscht und was
wir hier beobachten. Dementsprechend haben wir die entsprechende Teststatistik,
wo jetzt im Unterschied zu dem vorhergehenden im Nenner die Schätzung der,
was gemeinsamen Wahrscheinlichkeit steht, der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit, die wir aus dem Zusammenlegen der beiden entsprechenden Versuchsserien gewonnen haben.
Damit können wir den Annahme- und Ablehnbereich entsprechend aus der Normalverteilungstabelle bestimmen. Wir können,
da wir vorausgesetzt haben,
dass der Stichprobenumfang groß sein soll, davon ausgehen,
dass diese Teststatistik unter der Nullhypothese hinreichend gut normal verteilt ist,
hinreichend gut normal verteilt ist, heißt,
wir können den ablehnen und anderen Bereich aus der Normalverteilung bestimmen und brauchen nicht zu berücksichtigen,
dass wir im Nenner diese Erfolgswahrscheinlichkeit p. geschätzt haben,
weil bei genügend großen Stichprobenumfängen die Auswirkung dann vernachlässigt sind,
dass wir vernachlässigbar sind,
dass wir die tatsächliche unbekannter Wahrscheinlichkeit unter Han 0
durch die Schätzung ersetzt haben
Gucken wir uns als Beispiel eine Frage aus der Arbeitsmedizin an.
Wir betrachten zwei Gruppen von Personen, einmal eine Gruppe 1.
Das sind Planierraubenfahrer und eine Vergleichsgruppe von Personen, Männern,
die nicht ständig Vibrationen wie diese Raubenfahrer ausgesetzt waren.
Frage war natürlich, ob die Auswirkungen der Arbeitsbedingungen bei Planierraubenfahrern
deutlich zu messen ist
Und diese Frage wird eben in der Form konkretisiert,
dass wir eine spezifische Rückenerkrankung uns vornehmen und gucken,
wie ist die entsprechende Auftretungsrate einmal unter der Randbedingung,
dass diese Personen als Planierraubenfahrer tätig waren und die Vergleichsgruppe von nicht so stark belasteten Personen.
Das ist also das,
was wir als Basis haben und wir unterstellen natürlich,
dass die Personen jeweils zufällig ausgewählt sind,
sodass wir zwei Zufallsstichproben haben,
auf denen wir
diese Entscheidung basieren wollen
Die Fragestellung wird natürlich in einer Form umgesetzt, dass wir uns angucken,
ob der Anteil der entsprechend erkrankten Personen unter denen,
die dieser Erschütterung haben,
also in der Gruppe 1 sind und dementsprechend stärker belastet sind,
ob der Anteil der Leute mit dieser Art von Rückenbeschwerden größer ist als in der nicht belasteten Vergleichsgruppe,
wenn wir das nachweisen wollen,
müssen wir es wie das mehrfach schon besprochen haben,
in die Gegenhypothese packen, die null Hypothese sagt,
dass die beiden Anteile gleich sind oder sogar P1,
kleiner Gleich, Pizzweigelt.
Das ist die einseitige Fragestellung und wir brauchen jetzt eigentlich
nur noch die empirischen Ergebnisse, die sagen,
dass wir 19 Prozent von 352 Planierraum fahren mit dieser entsprechenden
Form der Rückenbeschwerden haben,
in der Vergleichsgruppe waren es
nur 11,4 Prozent
Damit können wir als erstes die gepulte Anteilsschätzung vornehmen,
die Gesamtzahl der untersuchten Personen ist, im Zähler zu sehen.
Wir haben 322 Planierraumfahrer, 350 Personen aus der Vergleichsgruppe,
19 Prozent von 203 Entschuldigung für 352 waren an Rückenbeschwerden erkrankt, aus der ersten Gruppe.
Das heißt, wir kriegen einfach die Anzahl,
indem wir die 352 mit 19 multiplizieren und entsprechend die Anzahl aus der Vergleichsgruppe,
indem wir die 315, die Anzahl der untersuchten Personen,
mit dem entsprechenden Anteil multiplizieren.
Das Ergebnis sagt, dass im Durchschnitt also über alle 11,
15,4 Prozent erkrankt waren oder der Anteil 0,154 Betrug.
Mit diesem Wert können wir jetzt einfach diese Teststatistik aufbauen,
wir nehmen die beiden Anteile bilden die zugehörige Differenz und standardisieren sie,
wie in der formalen Prüfgröße angegeben,
mit Hilfe der entsprechenden Anteilsschätzung aus der zusammengelegten Stichprobe
und haben dann den entsprechenden Wert der Prüfgröße,
der hier hinten steht,
Wenn wir den Test zum Niveau 0,005 durchführen,
also geringer als das, was wir sonst nehmen,
0,005, das heißt,
weil wir den rechts einseitigen Test nehmen,
da haben wir das zugehörige Quantil 2,576,
dann ist dieser Wert der Prüfgröße immer noch größer als der kritische Wert,
den wir hier bei diesen kleinen Signifikanzniveau haben und das bedeutet natürlich,
dass dieser Unterschied signifikant ist signifikant nachgewiesen würde und wir eine deutliche Erhöhung dieser Art zum Rücken beschwerten bei den entsprechenden Planierraubenfahrern haben.
Gucken wir uns dazu noch eine Beispielaufgabe an,
wie das jeweils zu rechnen ist
Entschuldigung? Wir nehmen uns als Beispiel,
was wir uns angucken wollen. Dieses Beispiel,
was Sie in einem anderen Kontext schon einmal Wir sehen haben,
wir betrachten die Einführung des metrischen Systems in Australien und gucken uns an,
wie sieht es aus mit der Schätzung der Breite eines entsprechenden Hörsals.
Wir haben einmal 44 Personen,
die die Breite des Hörsals in Metern angeben sollten und zum anderen 5,
69, die das in dem bis dahin geltenden Fußsystem,
dem nichtmetrischen System in Australien machen sollten
Wir wollen nur angucken, die Chance, dass, oder die Wahrscheinlichkeit,
dass die wahre Breite zu gering angegeben wird, also unterschätzt wird.
Diese Anzahlen aus den beiden Gruppen, die dieses gemacht haben
, betrugen 17 und 37. Und die Frage ist,
ob sich die beiden Gruppen signifikant unterscheiden. Das heißt,
die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten, die wir hier haben,
wir nennen sie mal PI, ist die Wahrscheinlichkeit,
Das ist die Breite unterschätzt wird.
Und das natürlich, da wir zwei Gruppen von Personen haben,
je nachdem, ob die Breite zu dieser Zeit
in Metern oder in Fuß
angegeben wird
Die Nullhypothese können wir erstmal natürlich so formulieren,
dass wir sagen, die beiden Gruppen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit.
Also die Wahrscheinlichkeit der Unterschätzung der Breite ist in beiden Gruppen gleich groß.
Und die Gegenhypothese, ja, wie formulieren wir die?
Das müssen wir uns noch überlegen. Das ist natürlich so,
dass wir irgendeine Relation, kleiner, größer oder allgemein ungleiche einführen.
Es ist Apriori natürlich überhaupt nicht klar,
ob diese Umstellung auf ein anderes Maßsystem vom bisherigen dazu führt,
dass man etwa eine Überschätzung vornimmt oder eine Unterschätzung.
Das ist also, kann nicht Apriori bekannt sein,
deswegen wollen wir als Gegenhypothese einfach formulieren, dass diese beiden Wahrscheinlichkeiten ungleich seien.
Wenn wir den entsprechenden Test zum Niveau Alpha gleich 0,05 durchführen,
dann müssen wir jetzt die kritischen Werte bestimmen.
Wir gehen davon aus, dass die Stichprobenumfänge groß genug sind,
um die Normal-Approximation zu verwenden,
dass diese hier als kritische Werte das positive und negative Z-Index 1 minus Alpha-Halbe-Quantil sind.
Und das ist natürlich das Quantil zur Wahrscheinlichkeit 0,9 75 bei Alphagleich 0,05.
Dieses Quantil ist 1,96 und der Annahmebereich wäre also
der Bereich zwischen minus und plus 1,96 Werte,
die außerhalb dieses Bereiches liegen,
führen natürlich zur Ablehnung der Nullhypothese
Ja, jetzt brauchen wir noch für die Durchführung des Tests nur die entsprechende Prüfgröße auszurechnen.
Das erste, was wir benötigen, ist unsere gemeinsame Wahrscheinlichkeitlichkeit P-Dach.
P-Dach wird ja aus der zusammengefassten Stichprobe der insgesamt 44 plus 49 die entsprechende Schätzung abgebenden Personen gebildet,
also das ist der Gesamtstichprobenumfang und wir müssen jetzt als Anteil aus dieser Gesamtzahl diejenigen nehmen,
die jeweils zu gering geschätzt haben.
Das ist also, da brauchen wir gar nichts umrechnen,
das sind als Zahlen ja schon gegeben.
Einmal 17 und einmal 37 gewesen. Dieser Wert,
wenn wir den ausrechnen, ergibt also 0,48 und mit dem
entsprechenden Wert können wir jetzt einfach die Prüfgröße konkret bestimmen.
T ist dann natürlich nichts anderes als Der Anteil in der ersten Gruppe,
17 von 44, minus dem entsprechenden Anteil der zweiten Gruppe.
Und das wird dividiert durch die Zugehörige, Standardabweichung,
wo wir das P-Dach entsprechend einsetzen, also 0,48,
mal 1, minus 0,48,
mal eins durch 44 plus 1 durch
Dieser Wert ist ausgerechnet minus 1,55. Und wir sehen,
dass der Wert der Prüfgröße zwischen minus 1,96 und plus 1,96 legt.
Das heißt, die Nullepothese wird nicht abgelehnt
Unterschiedlichkeit, die wir hier einfach empirisch sehen,
die ist noch als zufällig einzuschätzen. Wir haben keine Veranlassung,
da zu vermuten, dass es systematische Unterschiede gibt,
zumindest nicht auf Basis dieser Erhebung in der Richtung,
dass diese Umstellung etwa dazu geführt hätte oder dazu führen würde,
dass die Entfernungen jetzt systematisch im neuen Mahrsystem unterschätzt würden oder überschätzt würden,
mit dem negativen Vorzeichen haben wir eher eine leichte Tendenz zur Unterschätzung.
Aber wie gesagt,
diese Tendenz ist nicht signifikant und wir können mit der Behauptung einfach weiterarbeiten,
dass das zumindest keine systematische Veränderung in Bezug auf die Entfernungsschätzung hatte,
dass wir von dem Ein-Mars-System oder dass da von dem Ein-Mars-System zum anderen gewechselt wurde.
Gut, das war der einfache Parameter-Test,
den wir uns hier Noch angucken wollten und der nächste Bereich,
der jetzt betrachtet werden soll, geht in diese Richtung,
dass wir mehr als zwei Stichproben haben,
um da die entsprechenden Niveaus miteinander zu vergleichen.
Diese Fragestellung trägt den,
auf den ersten Blick paradoxen Titelvarianzanalyse
Varianzanalyse hat, wie ich das gesagt habe, als Ziel,
die unterschiedlichen Niveaus von mehreren Stichproben zu untersuchen und zu gucken,
ob diese Niveaus als unterschiedlich angesehen werden können oder ob sie
noch als gleich anzusehen sind.
Dass unter dem Titel Varianzanalyse,
also wo eher die Varianzen im Vordergrund stehen,
dass das Datrunter fungiert,
werden wir etwas später noch uns genauer angucken und das wird
deutlich werden,
warum dieser Titel hier ins Spiel kommt
Betrachten wir zunächst die Ausgangssituation aus der Marktforschung,
dass in Bezug auf den Kauf eines neuen Fahrzeuges ja durchaus in der Regel
mehrere Faktoren eine Rolle spielen und dann natürlich die Einschätzung der Kunden erstmal eine Rolle spielt,
in Bezug auf das Auto,
was ist für die Einzelnen wichtig,
etwa eine lange Garantiezeit,
eine gute Ausstattung und natürlich ein vernünftiger Preis
Wenn jetzt eine entsprechende Befragung im Rahmen der Marktforschung stattfindet,
dann ist natürlich die Fragestellung erstmal, dass wir versuchen,
diese Erhebung so zu gestalten,
dass wir im Nachhinein gegebenenfalls Gruppen von Personen identifizieren,
die eben in Bezug auf die unterschiedlichen Merkmale,
die so ein Fahrzeug aufweist,
wie Verbrauch,
Garantiedauer und Ausstattung in Bezug auf die einzelnen Käufergruppen haben
Das heißt, ich kann die entsprechenden Marktgruppen oder Käufergruppen potenziellen Käufergruppen nehmen und gucken,
welche sie sich unterscheiden und welche Auswirkungen die Unterschiede der Käufergruppen auf die entsprechende Kaufneigung jeweils hat.
Wir wollen diese Fragestellung, die es im Marketingbereich natürlich relativ komplex angegangen werden kann,
hier nur in einer Recht einfachen Variante betrachten.
Es gibt also nur einen Einstieg und Dieser Einstieg sagt,
wir gucken uns nur eine Unterscheidungsmerkmale der verschiedenen Käufegruppen an und
auch nur eine Zielgröße in Bezug auf eine solche mögliche Kaufentscheidung.
Wir nehmen also als Faktor oder als Ursache,
dass wir verschiedene Stichproben haben, quasi ein Unterscheidungsmerkmal.
In Bezug auf die Messwerte, auf das,
was festgestellt wird, da wollen wir sogar weitergehend unterstellen,
dass die entsprechenden Werde, die erhoben werden in diesen unterschiedlichen Gruppen,
metrisch sind und sogar noch normal verteilt.
Das ist halt natürlich eine Einschränkung, aber die Zugehörigen Erweiterungen,
um auch andere Situationen damit behandeln zu können,
sind viel komplexer, als wenn wir diese Voraussetzung machen.
Und wie gesagt, hier geht es ja nur um einen
Einstieg in dieses Gebiet. Den Rest werden sie tendenziell in Marketingveranstaltungen
noch hören oder wenn sie im Statistikbereich sich weiter interessieren,
kriegen sie das natürlich auch vermittelt
Um diese Frage dann formal genau hinzukriegen,
wollen wir ein geeignetes, statistisches Modell formulieren,
dass es dann erlaubt, eben einen entsprechenden Test auch zu entwickeln,
mit dem wir diese Frage statistisch überprüfen können.
Das ist einer der zentralen Aspekte, die wir hier nochmal haben,
dass eine Umsetzung einer sachlogischen Frage in ein Problem,
was wir mit einem Test behandeln können,
erfordert, dass wir ein statistisches Modell Erst einmal formulieren.
Und ich hatte gerade vorher noch eine Beratung vor der Veranstaltung.
Deswegen hat es auch ein bisschen länger gedauert. Und das Problem war eben genau,
dass ein Test gemacht werden sollte auf einen Unterschied,
aber eben erstmal nicht klar war,
wie sieht denn das mit der Modellformulierung aus?
Das ist eine Bachelorarbeit mit einem empirischen Hintergrund. Und das ist das,
was sie tendenziell natürlich auch an einer geeigneten Stelle,
womit sie konfrontiert sein könnten zumindest.
Und wo sie vielleicht jetzt nochmal die Gelegenheit haben,
sich zu vergegenwärtigen. Und auch das innerlich zu versenken,
dass der Ausgangspunkt einer solchen Überprüfung immer ist,
dass sie in einer geeigneten Form ein entsprechendes Modell aufschreiben.
Das Modell, was wir jetzt haben,
ist etwas aufwendiger als das, was wir bisher hatten.
Wir wollen ja jetzt auch gegebenenfalls mehrere Gruppen von Personen,
die sich zwar nur bezüglich eines Merkmals unterscheiden,
Aber gegebenenfalls eine Einteilung in mehrere Gruppen zulassen, berücksichtigen.
Also brauchen wir ein Modell, was das erlaubt und eine
solche Formulierung haben wir hier. Wir haben die Messwerte,
von denen wir schon gesagt haben, diese Messwerte,
die am Ende erhoben werden,
die irgendwie die entsprechende Beeinflussung widerspiegeln sollen oder die entsprechende Zielgröße widerspiegeln sollen,
die wir hier überhaupt als Basis haben.
Diese wird mit Y-Index iV bezeichnet. Der erste Index i
Soll die zugehörige Gruppe kennzeichnen, also grob 1, 2,
3, 4 oder wie viel wir dann auch immer haben.
Und der Index V ist einfach ein Laufindex,
weil wir in den verschiedenen Gruppen ja mehrere Personen befragen,
mehrere Gruppen, Beobachtungen pro Gruppe haben.
Deswegen haben wir jetzt also zwei Indizes. In der rechten
oder auf der rechten Seite haben wir zunächst den Wert Müh.
Dieser Wert Müh soll der allgemeine Erwartungswert sein über alle Gruppen
Eine gewisse Kaufneigung in Bezug auf ein Fahrzeug,
wenn wir dieses Beispiel als weiteres Beispiel mit hier zugrunde legen,
könnten wir generell unterstellen,
das ist also so eine generelle Kaufneigung in Richtung Kraftfahrzeug.
Jetzt gibt es natürlich in den unterschiedlichen Gruppen möglicherweise unterschiedliche Neigungen,
die vom Gesamt, von der Gesamtneigung systematisch differieren,
entsprechenden Teilgruppen oder in den entsprechenden Untergruppen ist manchmal die Kaufneigung größer,
in anderen Gruppen ist sie kleiner und das soll mit Hilfe dieses Tau-I gekennzeichnet sein.
Da haben wir also in den einzelnen Gruppen oder Stichproben
ein etwas vom Allgemeinen Niveau abweichende Grundeinstellung und diese Unterschiedlichkeit wird mit dem Tau gemessen.
Als letztes haben wir natürlich eine entsprechende Zufallsschwankung zu berücksichtigen,
diese Zufallsschwankung wird als bei null zentriert angenommen da soll wirklich nur noch mal die individuelle,
zufällige Abweichung vom entsprechenden Gruppenniveau gemessen werden.
Eine solche Gruppierung kann etwa dadurch passieren,
dass wir eine Altersaufteilung machen. Wir können natürlich unterstellen,
dass die Kaufneigung in Richtung eines speziellen Fahrzeugtyps unterschiedlich ist bei
jüngeren Personen bis 30 bei den Personen zwischen 30 und 50
und bei den Älteren über 50 Jahren
Dann haben wir schon drei verschiedene Gruppen.
Und die Frage wäre, wie sieht es da aus?
Die Zielgröße, die wir hier als einzige erstmal nehmen,
ist nicht die entsprechende Kaufneigung.
Insgesamt, sondern einfach die zugehörige Präferenz oder den sogenannten Teilnutzen
in Bezug auf die Ausstattung des Fahrzeuges.
Da kann man natürlich davon ausgehen,
dass das auch mit dem Alter variiert,
dass die verschiedenen Altersgruppen da ein unterschiedliches Niveau,
eine unterschiedliche Bewertung insgesamt
in Bezug auf die Ausstattung haben
Das Problem, was wir jetzt bei diesem Modell haben,
ich plättere nochmal zurück, wir haben, wie gesagt,
in unserem Beispiel drei Gruppen und würden jetzt,
wenn wir dieses Modell darauf anwenden, sagen,
es gibt ein allgemeines Niveau in Bezug auf die Einschätzung der Ausstattung und dann für jede der drei Gruppen eine systematische Abweichung,
ein etwas hören wird bei den Älteren beispielsweise,
die Mehrwert auf Ausstattung legen, denen geht es meistens finanziell noch etwas besser.
Das heißt,
in der ältesten Gruppe würde das Niveau die ja Teil nutzen in Bezug auf die Ausschattung über dem Gesamtniveau liegen,
in den anderen beiden Altersgruppen ist es dann nicht mehr so klar,
dass das hohe oder tiefe liegt, aber wir können davon ausgehen,
dass das eben von dem Allgemeinniveau ein bisschen differiert innerhalb der Gruppen und dementsprechend haben wir dann für jede der drei Gruppen einen Parameter,
Tow 1, Tow 2 und Tow 3 und wir haben natürlich noch das allgemeine Niveau.
Da wir nur drei Gruppen haben, aber vier Parameter,
würde das zu einem führen, weil wir nicht mehr eindeutig ein Niveau identifizieren können.
Wir könnten das globale Niveau eben im Grunde genommen modifizieren,
wenn wir in gleicher Form die einzelnen Taus,
die Abweichung vom globalen Niveau modifizieren, würde das Modell immer noch stimmig sein.
Dementsprechend werden wir diese vier Parameter reduzieren müssen. Wir sagen,
zunächst mal, weil das da nicht mehr eindeutig ist,
das Modell sei überparameteressiert und der Ausweg besteht darin, eine sogenannte Reparameterisierungsbedingung einzuführen.
Wir haben zwei Varianten von solchen Reparameterisierungsbedingungen. Die erste Variante sagt einfach,
die Abweichung, die systematischen Abweichungen, Tow 1,
Tow 2, Tow 3, allgemeiner,
die Tow Is I von 1 bis Groß I sollen insgesamt sich zu null addieren.
Das heißt, ich möchte systematisch eben eine Abweichung vom Gesamtniveau
in der Form haben, dass wir wirklich nur Abweichungen haben,
die eben nach oben oder nach unten gehen.
Und wenn ich verlange, dass die Summe null ist,
dann ist klar, wir haben eine adäquate Beschreibung,
dass der Abweichung von einer Mittellinie, die dann tatsächlich das Niveau insgesamt beschreibt.
Wir haben aber noch eine zweite Variante und diese zweite Variante
Die berücksichtigt zusätzlich, dass wir in den einzelnen Gruppen unterschiedliche
Anzahlen von Beobachtungen haben. Diese unterschiedlichen Anzahlen von Beobachtungen führen dazu,
dass wir entsprechend dieser Anzahl diese Abweichung in der Eden-Gruppe berücksichtigen,
mit die Abweichung mit der Anzahl gewichten und sagen,
dass diese gewichtete Summe gleich null sein soll.
Dieser zweite Bedingung berücksichtigt, wie gesagt, die Unterschiedlichkeit der Stichprobenumfänge
Beiden Situationen haben wir über die sogenannte Reparametarisierungsbedingung die Möglichkeit, den letzten Koeffizienten.
In der Regel wird der letzte Koeffizient genommen. Also wir könnten
auch einen anderen wählen, aber der letzte Koeffizient ist der,
der am letzten kommt, der muss dran glauben.
Der wird dann einfach ausgedrückt mit Hilfe der ersten groß-im-1-Koeffizienten.
Wenn die Gesamtsumme wie hier gleich null ist, dann ist natürlich klar,
der letzte Koeffizient, den kann ich einfach stehen lassen,
den Rest auf die andere Seite bringen und wir haben das der letzte Koeffizient,
das Negative der Summe der ersten i-1-Koeffizienten ist.
Entsprechend, wenn wir hier diese Nebenbedingungen nehmen,
dann ist der letzte Koeffizient nicht gleich der Summe der anderen,
sondern natürlich haben wir hier ja diese NIs zu berücksichtigen und das N-Indexkurs Ivas ursprünglich hier vorne stand,
habe hier in den Nenner geschrieben,
sodass da die Zugehörige Reformulierung dieses Effektes,
die Darstellung des Effektes, der Ethan-Gruppe,
mithilfe der Effekte der ersten i-1-Gruppen etwas anders gerät und nicht mehr ganz so einfach darstellbar ist.
Diese Taus, diese Effekte werden also nach diesen beiden Reparametarisierungsbedingungen
unterschiedlich bestimmt und dementsprechend wollen wir uns hier für eine dieser Bedingungen
Auf eine dieser Bedingungen beschränken. Und wir verwenden aus geeigneten Gründen
die zweite Reparameterisierungsbedingung, wenn wir die Effekte tatsächlich bestimmen wollen.
Diese Bestimmung bedeutet nichts anderes als die Schätzung aus einer Stichprobe.
Da wir Normalverteilung unterstellt haben für die Y-Werte,
dann können wir natürlich die Zugehörigen Parameter unter dieser Nebenbedingung dieser Repramatisierungsbedingungen schätzen.
Und ich gebe das nur als Ergebnis an für die zweite Nebenbedingung,
wo wir hier eben sagen, wir nehmen die gewichteten Effekte und die gewichteten Effekte sollen in der Gesamtsumme null sein.
Wenn wir da die Maximum-Leitlotschätzung bestimmen, in der üblichen Vorgehensweise aufschreibender Like-Lot-Funktion,
entsprechend mit diesen Parametern Müh, eins bis taui minus eins,
der letzte Parameter Taui ergibt sich ja schon aus den ersten iminus eins Parametern mithilfe dieser Beziehung,
dann erhalten wir die Schätzungen, die hier angegeben sind,
einmal das Gesamtniveau ist nichts anderes als der Architekt,
das atmetische Mittel aller Beobachtungen.
Das ist ja einigermaßen sinnvoll, dass wir das als Schätzung hier betrachten,
die ersten i-1 Effekte werden über die Differenzen des Gesamtniveaus minus Entführung des Gruppenniveaus der Innengruppe minus dem gesamten Niveau bestimmt.
Also das arathmetische Mittel der Werte in der entsprechenden Gruppe minus Gesamtniveau
und der Effekt in der letzten Gruppe wird entsprechend der Beziehung aus dieser Nebenbedingung berechnet.
Wenn wir Dieser Beispiel Altersgruppen und der Nutzen für die Ausstattung,
hier uns angucken, dann haben wir drei entsprechende Stichproben mit 10, 15 beziehungsweise 20 Beobachtungen.
Also wir haben die Altersgruppe der Jüngeren befragten der Mittleren und der Älteren,
Befragten mit unterschiedlichen Anzahlen von Personen, um die Zugehörigen,
Schätzungen vorzunehmen, betrachten wir die entsprechenden arathmetischen Mittel der drei Gruppen und haben als Gesamtmittel natürlich aus diesen Einzelmitteln entsprechend dem,
was sie schon aus Statistik einscannen,
die Zusammenführung der entsprechenden Stichproben Mittelwerde zu einem Gesamtmittelwert erfolgt so,
dass wir die Mittelwerde nehmen, Sie mit den Zugehörigen Stichprobenumfängen,
multiplizieren und die Summe daraus durch die Gesamtzahl der Beobachtungen dividieren.
Damit ergibt sich in der konkreten Anwendung hier ein Gesamtdurchschnitt von 5,3151.
Das wäre also die Schätzung für das Gesamtniveau in Bezug auf diese Nutzenwerte der Ausstattung.
Die einzelnen Effekte ergeben sich jetzt einfach daraus,
dass sich das Gesamtniveau betrachte und jetzt für die erste und die zweite Gruppe,
nee, die zugehörigen arathmetischen Mittel minus dem Gesamtniveau bestimme
Das für den dritten Effekt, da müssen wir dann allerdings die Nebenbedingungen umsetzen.
Also die einzelnen Effekte, die wir hier berechnet haben,
mit den zugehörigen Stichprobenumfängen, multiplizieren,
noch durch den Umfang des dritten Datensatzes dividieren und dann aufaddieren.
Und das Negative des Ergebnisses ist dann die Schätzung des dritten Effektes.
Also die Nebenbedingung wird einfach verwendet, um diesen Wert tau
3 Dach zu berechnen
Damit haben wir die entsprechenden Schätzungen und sie sehen,
dass wir, wenn wir das Gesamtmittel nehmen,
so landen, dass in der dritten Gruppe der Niveau,
das Niveau insgesamt etwas höher ist,
denn wir werden Mühdach plus Tau 3 bilden und das ist dann ein Wert,
der etwas höher als 5,3 liegt, circa bei 5,4 und das zeigt,
dass in der Gruppe der Nutzen etwas höher eingeschätzt wird in Bezug auf die Ausstattung,
in den ersten beiden Gruppen,
die liegen etwas unter der allgemeinen Tendenz,
also unter dem allgemeinen Niveau,
wobei die zweite Gruppe deutlich drunter liegt und die erste Gruppe nur wenig unter diesem Niveau liegt.
Dass wir hier eine so unterschiedliche Abweichung haben, hängt natürlich
damit zusammen, dass die Stichproben unterschiedlich groß besetzt sind.
Die Gruppe der jüngsten Personen hat nur zehn Beobachtungen,
die der mittleren 15 und die älteste Gruppe hat 20 Beobachtungen,
hier würgen sich natürlich diese Anzahlen direkt aus auf die Bewertung dieser Unterschiedlichkeit.
Das ist der Bereich des Schätzens, wenn man diese Effekte numerisch angeben will,
schätzen will und entsprechend interpretieren will, in welche Richtung die Auswirkung jeweils zu sehen sind. Das,
was ein Hauptanliegen der Varianzanalyse aber ist,
besteht in dem Rahmen der statistischen Überprüfung,
ob wir einen Unterschied tendenziell erkennen können,
einen Unterschied statistisch nachweisen können und die Frage ist natürlich,
ob alle Stichproben das gleiche Niveau haben, was bedeutet,
wenn wir es als Testproblem formulieren,
dass die Effekte alle Nulls wären,
das würde hier unter der Nullhypothese stehen und unter der Alternative steht natürlich,
dass die Niveaus nicht alle gleich sind,
dass zumindest in einer Gruppe das Niveau in der Tendenz von
dem der anderen Gruppen unterschiedlich ist
Und zwar ist das Ziel, nachzuweisen, dass das eben
tatsächlich deutlich ist, sodass der Test zur Ablehnung führt.
Diese Frage kann natürlich zunächst einmal empirisch in der Weise gecheckt werden.
Also es ist keine statistische Überprüfung, sondern erstmal ein reine
visuelle Inspektion, ob überhaupt hier was zu sehen ist.
Und wenn wir das bei unserem einfachen Beispiel betreiben,
könnten wir etwa Boxplots für die drei Gruppen zeichnen,
Und sie sehen hier ganz deutlich,
dass diese drei Boxplots mit den drei Gruppen natürlich eine sehr unterschiedliche Lage aufweisen,
eine Lage in dem Sinne, dass die Werte der dritten Gruppe,
also diejenigen, nutzen der ältesten Personen relativ hoch sind,
die der mittleren Gruppe liegen,
am tiefsten und
die Gruppe der jüngsten Personen liegt irgendwie dazwischen
Das ist jetzt nichts anderes als einfach mal eine visuelle Inspektion
für dieses Beispiel, dass es sich tendenziell lohnt,
einen solchen statistischen Test überhaupt anzugucken.
Und die Frage, ob das statistisch signifikant ist, zu überprüfen.
Wie können wir die geeignete Teststatistik dafür angeben,
wie lautet die, dass wir den Test entsprechend durchführen können
Wir greifen zurück auf ein Ergebnis,
was wir auch schon in Statistik 1 kennengelernt haben.
Eine sogenannte Varianzzerlegung, wenn wir eigentlich einen gesamten Datensatz haben
und diesen Datensatz über die Beobachtung verschiedener Gruppen betrachtet haben.
Dann haben wir gelernt, dass die gesamte Varianz aller Beobachtungen
sich in zwei Teile aufspalten lässt
Wenn ich von Varianz rede, habe ich jetzt natürlich im Augenblick
die Normierung mit dem Faktor 1 durch N mal weggelassen.
Also, dass es jetzt eher im Allgemeinen und übertragenen
Fall oder Sinne gemeint, wenn ich von Varianz rede,
wenn ich es ganz korrekt formulieren müsste,
müsste ich die Abweichungsquadratssummen betrachten.
Und es wird dann von der Beschreibung her leicht etwas aufwendig.
Deswegen lassen Sie mich einfach von Varianz reden,
was nicht ganz korrekt ist.
Aber ich denke, dass klar ist,
was gemeint ist
Also die Gesamtvarianz aller Beobachtungen lässt sich,
wie wir es gesehen haben,
einmal aufteilen in eine sogenannte interne Streuung, was hier steht,
die Y, die Is, das sind die einzelnen Gruppen,
die Y, i. quer,
sind die arathmetischen Mittel der entsprechenden Y werde,
für die einzelnen Gruppen
Also wenn wir hier den entsprechenden Mittelwert aus der ersten,
dem aus der zweiten,
den aus der dritten Gruppe bestimmen,
so wie sie hier unten angegeben sind,
das wären dann also die Zugehörigen,
Mittelwerte,
die hier stehen und dementsprechend habe ich mit der Summe der Werte von 1 bis NI über diesen Ausdruck gerade,
bis auf die Normierung,
die Varianz in der Ethan-Gruppe und die gesamte Ausdruck
ist einfach die Summe dieser Varianzen
Wohlgemerkt wieder ohne die Normierungen. Das heißt nichts anderes,
dass ich ja berücksichtigen muss,
ich habe bei meiner Modellformulierung am Ausgangspunkt ja unterstellt,
dass wir gesagt haben, bei dem Modell kommen hier Fehler vor.
Die Fehler, die natürlich durch Befragung der Personen aus der jeweiligen Gruppe ergeben,
die dann eben auch nicht alle den gleichen nutzen wird oder den gleichen Wert angeben.
Aber wir unterstellen, dass zumindest das Niveau in dieser Gruppe fest ist,
das Niveau in dieser Gruppe wird dich die Summe Müh und Taui.
Genauer durch Müh, Plus Taui festgelegt. Und dann gibt
es pro Person noch eine Abweichung von diesem Gesamtniveau.
Die Streuung Die wird jetzt als insgesamt gleich angesehen. Wir unterstellen,
dass wir nur eine Varianz für die Fehler haben,
dass die Fehlervarianzen in allen Gruppen gleich groß ist.
Wenn das aber gilt, dann ist klar,
wenn ich die Beobachtung zentriere mit dem zugehörigen Niveau,
dann habe ich eine Variable, die eine Varianz hat,
genauso groß wie der zugehörige Fehler.
Und diese Varianz, jeweils zentrierten Variablen ist über alle Beobachtungen
aus allen Gruppen gleich groß. Was ich also habe,
ist bei meiner Varianzzerlegung nichts anderes, als dass ich sagen kann,
diese Abweichungsquadrate, die drücken alle die gleiche Streuung aus.
Ich kann also die Gesamtsumme bilden und wenn ich das geeignet normiere,
habe ich einfach eine Schätzung der Varianz der Epselons,
der Fehler
Das ist also eine Variantschätzung für die Fehler,
die sogenannte innere oder interne Streuung. Der letzte Therm,
den wir hier haben,
der vergleicht die einzelnen arathmetischen Mittel der Gruppen mit dem zugehörigen Gesamtmittel Y,
iquer-y..quer, y.punktwehr soll das gesamte arathmetische Mittel sein.
Also ich gucke nach, wie stark weichen die
einzelnen arathmetischen Mittel vom Gesamtmittel ab
Und es ist klar, wenn diese Abweichung sehr groß ist,
deutet das darauf hin, dass eben die in der entsprechenden Gruppe
das Niveau sich stark vom Gesamtniveau unterscheidet, während wir sonst sagen können,
das Niveau unterscheidet sich eben nicht so stark vom gesamten Niveau.
Was wir also machen können, ist bei der Teststatistik,
diesen letzten Ausdruck als Zähler zu nehmen und wir normieren
diesen Zähler mit dem Zweiten
zu manten
Dieser Quotient ist noch entsprechend modifiziert, indem ich den zähle,
noch einmal durch die Zahl Iminus 1 dividiert habe und den Nenner durch die entsprechende Zahl groß in minusgroßi.
Großi ist die Anzahl der Gruppen. Aber es ist klar,
was wir bei dieser Varianzzerlegung haben,
der TM auf der linken Seite ist fest,
das ist das, was wir einfach bei einer Stichprobe haben,
die Aufteilung in die interne Streuung, in die externe Streuung,
die Dient uns als Maß dafür, ob wir,
und in der Richtung eventuell entscheiden können, dass wir sagen,
es gibt signifikante Unterschiede zwischen den Gruppen.
Diese signifikanten Unterschiede wird es dann geben,
wenn ein Einzelner oder einzelne atmetische Mittel vom Gesamtmittel stark unterschiedlich sind.
Und dementsprechend kommen wir zu dieser Teststatistik
Es ist klar, dass wir im Nenner die Schätzung der Variante der Epsilence haben,
wenn wir uns die Diskussion von eben angucken.
Im Zehner steht ebenfalls eine Varianzschätzung. Dieser Varianz speziell,
sodass als Komponente her im Grunde genommen zwei Varianzschätzungen verglichen werden.
Es ist einsichtig, dass große Werte dieser Teststatistik zur Ablehnung der Nullhypothese führen.
Denn dann haben wir große Werte der externen Streuung im Vergleich
zur internen und das deutet auf Unterschiedlichkeit bei den Niveau sind.
Aber dass wir eine Schätzung oder Zweischätzung der Varianz ins Verhältnis setzen,
die der Externen, der internen Streuung,
das hat zu dem Namen Varianzanalyse geführt.
Nochmal, Ziel der Varianz ist Analyse, ist es
den Vergleich von Niveaus in verschiedenen Gruppen zu überprüfen, durchzuführen.
Der Name Varianzanalyse bezieht sich eher auf den methodischen Aspekt,
dass das geschieht, in dem empirische Varianzen miteinander verglichen werden
Wie gesagt, führen große Werte dieser Teststatistik zur Ablehnung der Null-Lypothese und um zu sagen,
wann groß, groß ist, wann wir also im Ablehnbereich liegen,
dann benötigen wir entsprechend eine Verteilung unter der Null-Lypothese und diese Verteilung wird als F-Verteilung nach dem Engländer Fischer,
der viele statistische Fahrungen entwickelt hat, bezeichnet,
die F-Verteilung hat zwei sogenannte Freiheitsgrade,
also wissen wir, dass wir zwei Parameter
Und liegt Parameter, die hier genannt sind,
imminus einsen, n-i, sind gerade die Werte,
durch die ich den ursprünglichen Zähler dividiere, beziehungsweise den ursprünglichen Nenner dividiere.
Dementsprechend nennt man das auch Freiheitsgrade des Zählers und Freiheitsgrade
des Nenners, die hier von Bedeutung sind.
Ich habe ihn mal einfach zur Illustration ein paar dichte Funktionen der F-Verteilung aufgezeichnet,
die hängt, wie gesagt,
von zwei Parametern ab und je nach Wahl der Parameter
haben wir dann unterschiedliche Formen
Eine Tabellierung dieser Daten ist natürlich jetzt nicht ganz,
oder dieser Verteilung ist nicht ganz leicht.
Und deswegen haben wir hier auch nur eine Tabellierung in der Form,
die letztlich nur die oberen 95 Prozent quantile angeben.
Also nur eine zu einer Wahrscheinlichkeit,
also 0,95 werden für verschiedene Parameter, Das heißt,
Freiheitsgrad des Zählers, das sind diese M1-Werte und Freiheitsgrade des Nenners,
das sind diese M2-Werte, die zugehörigen Quantile angegeben.
Dass wir die 0,95-Quantile haben, hängt natürlich damit zusammen,
dass wir bei unserem statistischen Test nur davon ausgehen,
dass die zugehörigen großen Werte der Teststatistik zur Ablehnung führen.
Wir brauchen also nur einseitiger Ablehnbereiche,
also große Werte für unsere Ablehnung, wir müssen also nur gucken,
unserer Teststatistik größer ist, als dieses entsprechende Quantil.
Und wenn wir das in dieser zugehörigen Tabelle uns angucken,
ist klar, wenn wir beispielsweise zehn Freiheitsgrade des Zählers,
drei Freiheitsgrade des Nenners haben, haben wir das zugehörige Quantil 3,70.
Wenn also unsere Werteteststatistik größer als 3,7 ist,
wird die Nullhypothese zum Niveau 0,05 abgelehnt,
im anderen Fall
wird sie
halt beibehalten
Diese Ergebnisse der Entsprechenden Bestimmung der Teststatistik werden noch zusammengefasst in einer sogenannten Varianzanalysetafel.
Die Varianzanalysetafel gibt einmal die sogenannten Freiheitsgrade, die hier mit
DF abgekürzt sind an, DF als Decrees of Friedam.
Wir haben den Faktor, das ist die externe Streuung,
die auf die Unterschiedlichkeitlichkeit der Stichproben zurückzurückzuführen ist,
die wir hier als externe Streuung bezeichnet haben,
wo wir die Variabilität der arathmetischen Mittel bestimmen.
Wir haben die entsprechende Fehler, Abweichungsquartratsumme mit den Freiheitsgraden, groß n-i.
Hier haben wir die interne Streuung. Diese Abkürzung SS,
die über diese dritten Spalte steht,
die heißt nichts anderes als Abweichungsquartalzimmer auf Deutsch,
auf Englisch Sams of Squares,
also einfach SS
Und das sind die Werte, die in der Varianzanalyse
oder für Zerlegung der gesamten Varianz vorgekommen sind.
Und diese entsprechende Zerlegung haben wir hier noch mal komplettiert,
dass es letztlich die linke Seite der entsprechenden Varianzzerlegungsformel,
die Gesamtvariabilität der Beobachtung, mit dem globalen arathmetischen Mittel als Zentrum.
Wenn wir die Teststatistik bestimmen wollen, die F-Statistik,
dann müssen wir diese Teile, die hier in der Spalte gelistet sind,
betrachten und durch die zugehörige Anzahl von Freiheitsgraden dividieren.
Also dieser Wert, der als SSA hier bezeichnet ist,
dieser Wert wird durch die zugehörige Anzahl von Freiheitsgraden,
Anzahl der Gruppen minus eins dividiert,
die entsprechende Sams ofs Quers des Fehlers oder Errors E
wird genommen für den entsprechenden mittlere Abweichungsquartalssumme und dividiert durch die
zugehörige Zahl von Freiheitsgraden
Die F-Statistik ist dann nichts anderes als der Quotient dieser beiden Werte.
Und damit haben wir im Grunde genommen den gesamten Rahmen für
diesen statistischen Test in dieser Form dargestellt.
Gucken wir uns, dass am Beispiel der Autokäufer an,
wir hatten die entsprechenden Anzahlen der Beobachtung schon mehrmals angegeben, 10, 15 und 20.
Wir hatten die Zugehörigen arathmetischen Mittel berechnet Und hier haben wir noch zusätzlich angegeben,
die Abweichungsquartrat in diesen einzelnen Gruppen,
also einfach für jede Gruppe das zugehörige arathmetische Mittel,
die Differenz der Beobachtung minus zugehörigen arathythmisch Mittel zum Quartrat und die Gesamtsumme dieser Differenzen in den einzelnen Gruppen.
Das sind dieser Werde in der dritten Zeile und damit können wir die entsprechende Varianzanalyse durchführen.
Wir haben erstmal das Gesamtmittel und dieses Gesamtmittel benötigen wir natürlich,
um diese zweite Zeile hinzubekommen und natürlich auch tendenziell,
Entschuldigung, diese erste Teile hinzubekommen, wie zweite Seide,
hat ja die verschiedenen Sams of Squares,
also die verschiedenen Abweichungsquadratssummen einfach benötigt.
Also für die erste Teile brauchen wir das gesamte arathmetische Mittel,
um da die Zugehörigen Differenzen einzelnes arathmetisches Mittel,
massiert steht, minus Gesamtmittel zum Quadrat zu bestimmen.
Für dieses Beispiel sieht dann das entsprechend so aus und
wir haben die entsprechende Abweichungsquadratssumme für die Gruppen
Das heißt, wir haben hier eben die Differenzen der atmetischen Mittel,
Einzelnesmittel-gesamtmittel zum Quadrat, mal zugehörige Stichprobenumfang, Summe über alle drei Gruppen.
Hier haben wir die Summe dieser drei SS-Werte und
entsprechend dividiert durch die Zahl der Freiheitsgrade. Dieser Kurzzen,
da gibt es 22 und dieser Wert 22,
den können wir natürlich auch für unsere Fragestellung angucken,
wie sie das mit der entsprechenden Signifikanz zum Niveau 0,05 aus.
Wir haben 2 und 42 Freiheitsgrade. Also haben wir
zwei Freiheitsgrade des Zählers. Wir müssen in der Tabelle,
in der zweiten Spalte nachgucken, die Freiheitsgrade des Nenners beträgt 42.
Der Wert, den wir aus dieser Tabelle bekommen, ist 3,22.
Das ist also das 0,95-Quantil der F-Verteilung mit 2 und 42 Freiheitsgraden.
Sie sehen, Dieser Wert ist viel größer als der tabellierte Wert,
dementsprechend ist der Test natürlich signifikant. Ich habe hier sogar die Wahrscheinlichkeit berechnet,
dass wir einen noch extremeren Wert haben,
als den tatsächlich beobachteten und dieser noch extremere Wert ist also entsprechend klein
unserer Werteteststatistik ist ja auch viel größer als der tabellierte Wert.
Wenn man jetzt noch nachgucken will, wo die Unterschiede herkommen,
dann können wir einfach nur noch mal gucken,
wie sieht es aus mit dem entsprechenden Boxblot, da wir jetzt gesehen haben,
dass ein Unterschied statistisch signifikant ist, können wir natürlich sagen,
dieser Unterschied ist ganz deutlich zwischen Gruppe 2 und 3,
ob der zwischen Gruppe 1 und 2 auch signifikant ist,
das lässt sich natürlich mit diesem statistischen Globaltest nicht beantworten.
Wir haben nur die Frage beantwortet,
wie weit können wir insgesamt auf eine Unterschiedlichkeit der Niveaus
schließen und wir haben noch nicht die Möglichkeit zu sagen,
wo exakt dieser Unterschiede tatsächlich zu lokalisieren sind.
Die Boxplots helfen zwar eine Einschätzung zu bekommen,
aber mehr können wir natürlich daraus erstmal nicht gewinnen.
Wir wollen aber diesen Bereich der Varianzanalyse an dieser Stelle nicht beliebig weitertreiben,
weil das bedeuten würde,
wir würden also ziemlich weit einsteigen müssen,
das soll einer weiterführenden Statistikveranstaltung entsprechend vorbehalten bleiben
Gut, wir wollen noch eine Beispielaufgabe uns angucken und dann erst in die Pause gehen.
Ich denke, dann fangen wir mit dem nächsten Thema an.
Von daher macht es Sinn, dass wir vielleicht diesmal
die Pause etwas nach hinten schieben.
Wir gucken uns als Beispiel die Preisniveaus in drei CD für Sandhäusern an,
die als Better-Sound und Neoplast gekennzeichnet sind.
Wir haben in allen drei Versandhäusern acht CDs zufällig ausgewählt.
Wir haben die zugehörigen arathmetischen Mittel angegeben, die hier mit 11,75,
12,56 und 15,87 eingegeben sind und für jede Gruppe einzeln
die zugehörigen Abweichungsquadratsummen
Das sind also die Angaben zu den entsprechenden Preisen in Euro und wir unterstellen zudem,
dass die Preise als normal verteilt angesehen werden können.
Die Frage ist, ob in diesen drei Versandhäusern die entsprechenden Preise
als unterschiedlich angesehen werden können oder sogar nachgewiesen werden können.
Also gucken wir die Nullhypothese nach,
die eben auch hier heißt,
dass die Abweichung vom globalen Niveau
generell Null sind
Und die Gegenhypothese, das für mindestens ein Index i,
dieser entsprechende Tendenz oder diese entsprechende Niveauabweichung ungleich null ist.
Um den Test durchzuführen, brauchen wir zunächst die Randbedingungen,
wie sieht es aus mit dem zugehörigen kritischen Wert,
Dazu brauchen wir die Anzahl der Freiheitsgrade des Zählers.
Die Anzahl der Freiheitsgrade des Zählers ist immer groß i minus
1. Groß i ist die Anzahl der Gruppen,
die ich habe,
das sind hier drei für Sandhäuser,
also haben wir hier zwei Freiheitsgrade des Zählers und wir brauchen
noch die Zahl der Freiheitsgrade des Nenners
Die Zahl der Freiheitsgrade des Nenners beträgt groß N,
das ist der Gesamtstichprobenumfang, minus Anzahl der Gruppen,
der Gesamtstichprobenumfang, Sie sehen hier,
wir haben in jeder Gruppe acht Beobachtungen,
also insgesamt sind es 24, minus drei Gruppen,
also 21 Freiheitsgrade.
Das heißt, wir müssen als kritischen Wert aus der Tabelle
mit den entsprechenden Wert bei 2 und 21 Freiheitsgraden bestimmen und
unsere Tabelle gibt ja nur die 0,95 Quantile an.
Also wir können mit der Tabelle nur den Test zum Niveau
0,05 durchführen und der Zugehörige Wert ist hier,
wir haben, wie gesagt, zwei Freiheitsgrade des Zählers.
Also müssen wir in die zweite Spaltetabelle gucken und 21 Freiheitsgrade
des Nenners. Das heißt, wir haben einen
kritischen Wert von
Damit haben wir den kritischen Werten,
was wir jetzt natürlich noch brauchen, ist die Prüfgröße insgesamt.
Um die Prüfgröße zu bestimmen, müssen wir erst einmal das
globale arathmetische Mittel berechnen. Wie bekommen wir das globaler,
das gesamte arathmetische Mittel in unserem Beispiel?
Ich schreibe Ihnen der Vollständigkeit halber nochmal die Formel hin,
aber die benutzen wir nicht direkt zur Berechnung.
Wir müssen die Summe der Beobachtung aus den einzelnen Stichproben ermitteln.
Das heißt, die einzelnen arathmetischen Mittel mit den Stichprobenumfängen multiplizieren
Und das ergibt hier natürlich,
weil wir in allen drei Stichproben die gleichen Anzahlen haben,
die Möglichkeit, einfach die Acht gegen zu kürzen,
aus dem entsprechenden Bereich, sodass wir hier einfach die Angabe haben,
ein Drittel, ich schreibe das nochmal formelmäßig hin,
X1 quer plus X2 quer plus X3 quer,
also nehmen wir einfach das arathmetische Mittel dieser drei Werte,
was eben möglich ist, dadurch,
dass wir die gleiche Anzahl von Beobachtungen haben.
Und wenn wir das ausrechnen, bekommen wir, denen wir 13,4.
Also diese Vereinfachung, wie gesagt,
einfach das arithmetische Mittel zu nehmen, dieser drei Mittelwerte,
geht nur, wenn wir wie hier oben gleiche Stichprobenumfänger haben,
sonst wäre das natürlich nicht korrekt.
Wenn wir dieser Wert bestimmt haben,
Dann müssen wir für die Abweichungsquartalzimmer der Versandhäuser die Zugehörigen Werde bestimmen,
Stichprobenumfang mal einzelnes arathmetisches Mittel minus Gesamtmittelwert.
Und das für alle drei Teilstichproben
Entschuldigung, hier muss ich natürlich auch Nacht draus machen.
Dieser Summe der Abweichungsquadrate ergibt hier
den numerischen Wert
Und für die entsprechende Abweichungsquartalzimmer, des Fehlers,
da brauchen wir jetzt einfach die Summe,
die oben der Werte zu bilden,
die oben angegeben sind,
die einzelnen Abweichungsquartalssummen aus den verschiedenen Stichproben
zu addieren
Und haben dann natürlich die Möglichkeit, damit schon die zugehörige Teststatistik aufzustellen,
bezeichnen wir die Teststatistik, auch mit F,
dann ist diese Teststatistik nichts anderes als 76,396,
dividiert durch die zugehörige Anzahl von Freiheitsgraden,
die hatten wir schon mit zwei erkannt,
dividiert durch die Abweichungsquartalsumme des Fehlers,
wobei diese noch mit der zugehörigen Zahl von Freiheitsgraden 21 zu dividieren ist.
Das heißt, hier kriegen wir einen Wert von 3,7 6,4 heraus.
Der kritische Wert ist 3,47, den haben wir hier gehabt,
der ermittelte Wert ist größer als 3,47.
Das heißt, die Nullhypothese wird abgelehnt
Und damit haben die verschiedenen Versandhäuser einen nachgewiesenermaßen unterschiedliches Niveau in Bezug auf die Preisgestaltung,
die weitere Analyse, wo liegt die Unterschiedlichkeit,
die können wir hier natürlich nicht nachvollziehen,
mit relativ großer Sicherheit können wir natürlich sagen,
das Versandhaus bitter mit dem Durchschnittswert 11,7
Und das für Sandhaus Neoplast mit einem Durchschnittswert von 15,87
sind sicherlich am weitesten voneinander entfernt.
Hier ist es plausibel, dass die beiden sich unterscheiden,
inwieweit noch die anderen sich unterscheiden,
können wir hier nicht erst mal feststellen mit dem globalen Ansatz.
Damit machen wir eine Viertelstunde Pause und pünktlich in 15 Minuten
geht es weiter.
Gut, dann wollen wir wieder mal weitermachen.
Wir haben bisher
sogenannte Parameter-Tests betrachtet
Parameter-Tests bedeutet,
dass wir in einer gewissen Form erstmal die Verteilung vorgegeben haben und dann uns angucken,
ob ein spezieller Wert eines Paarmeters vorliegt,
den haben wir in die Nullhypothese gepackt oder bei den anderen Problemen haben wir Vergleiche,
von Barmetern, uns als Fragestellung genommen,
wo wir zwar nicht wussten,
wie groß der Parameter ist und das war die entscheidende Frage,
aber wir hatten aus verschiedenen Stichproben in gewisser Hinsicht Schätzung und haben diese Schätzung miteinander verglichen und da aus diesem Vergleich die entsprechenden Teststatistik konstruiert.
Weitergehend ist es zu gucken, ob überhaupt eine gewisse Verteilung vorliegt.
Also nicht nur zu fragen, hat die Verteilung einen Parameter,
können wir mithilfe der Stichprobe entscheiden,
ob der Parameterwert vorliegt oder nicht,
sondern zu entscheiden,
ob ein gewisser Verteilungstyp überhaupt angemessen ist
Ich hatte ja häufiger schon gesagt, wir unterstellen beispielsweise Normalverteilung.
Und dann haben wir mit dieser Unterstellung entsprechend weitergearbeitet.
Oft ist es eben auch von Interesse zu untergucken, ob überhaupt die Normalverteilung vorliegt. Wir wollen das im Rahmen eines statistischen Tests machen,
eines sogenannten Anpassungstests, der eben erlaubt,
Verteilungstypen sich statistisch vorzunehmen, zu entscheiden,
ob ein Verteilungstyp einigermaßen gut mit einer gegebenen Stichprobe übereinstimmt oder eine entsprechende Stichprobe aus solchen Verteilungen stammen könnte oder ob wir sagen müssen,
der Unterschied zwischen den Charakteristiker,
der Stichprobe und denen der Verteilung ist so groß,
dass wir schließen müssen,
diese Verteilung wird es nicht gewesen sein,
die die Stichprobe hervorgebracht hat.
Betrachten wir als Ausgangspunkt ein ganz simples Beispiel und zwar hier
einen antiken Würfel,
der etwa um das Jahr 680 v.
Gebastelt wurde, schon von der Gestalt,
wie sie die Würfel, die sie, mein Mensch,
Älgre dich nicht spielt und anderen kennen, hatte,
dass wir also entsprechend sechsgleich große Seiten haben und natürlich rechte Winkel an allen Ecken.
Was sie an dieser Abbildung sehen, so dieses Punkteschema,
ein Punkt 2, 3 bis 6 Punkte,
war zu der Zeit natürlich noch nicht ganz so verbreitet.
Das hat sich erst im Laufe der geschichtlichen Zeit herausgestellt,
aber der Vereinfachung wollen wir im folgenden so tun,
als könnten wir die Seite schon entsprechend unseren Würfeln hier einfach nummerieren und sprechen dann von der Seite mit einer Augenzahl, zwei Augenzahlen und so fort.
Die Frage, die sich jetzt natürlich ergibt,
im Rahmen die Betrachtung eines solchen alten Würfels,
ob der Würfel in unserem Sinne als fair angesehen werden kann,
als fair, das bedeutet,
dass wir natürlich auf allen sechs Seiten, die der Würfel hat,
die gleiche Chance haben, dass dieser Beobachtung vorkommt,
dass dir Würfel auf eine Seite fällt,
sodass die entsprechende betrachtete Seite nach oben zu liegen kommt.
Ein fleißiger Mathematik-Historiker hat sich mal ins Museum gesetzt und
mit dem Würfel Nachmittag lang Versuche angestellt.
Unter anderem hat er 235 Würfe damit durchgeführt. Das Ergebnis
dieses langen Würfelnachmittags sehen Sie hier. Er hat hier also die Seite mit der Eins,
also egal welche Seite das jetzt ein Gewiss sein mag,
wir hatten ja gesagt, wir machen das zur Vereinfachung,
kamen 37 Mal die Seite mit der 217 Mal und so
Frage, wie gesagt, war der Würfel schon fair,
formal umgesetzt würde das heißen, dass jede Seite,
jede Augenzahl, die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, dass sie kommt.
Das heißt, dass diese entsprechende Seite nach oben zeigt beim Würfeln.
Diese Festlegung betrifft also die gesamte Verteilung. Wir haben nicht mehr die einen einzelnen Parameter,
dass wir den wir für eine Verteilung betrachten,
sondern zwar hier eine begrenzte Verteilung, aber eben doch eine Verteilung,
die alle Realisationsmöglichkeiten betrifft und die Wahrscheinlichkeiten aller Realisationsmöglichkeiten.
Bei sechs Wahrscheinlichkeiten haben wir oder Sexualisationsmöglichkeiten, haben wir eben
auch nur sechs Wahrscheinlichkeiten. Wie können wir tendenziell diese Fragestellung,
war der Würfel damals schon fair oder von damals schon fair,
war ja schon so regelmäßig gearbeitet,
dass wir von einer gleichen Wahrscheinlichkeit aller Seiten ausgehen können.
Diese Fragestellung können wir beantworten, wenn es uns gelingt,
eine geeignete Prüfgröße zu konstruieren und dann natürlich noch zusätzlich
die Verteilung dieser Prüfgröße unter der Nullhypothese zu bestimmen.
Der Ausgangspunkt bildet oder ist gegeben durch die Differenz der Beobachtetenhäufigkeit minus der erwarteten Häufigkeit.
Die Beobachte der Häufigkeit an unserem Beispiel Die haben wir hier
unten zu stehen. 37, 37, 17 und so fort.
Das ist also klar, das ist keine Schwierigkeit für die Realisationsmöglichkeiten.
Was sind die erwarteten Häufigkeiten? Die erwarteten Häufigkeiten sind nichts
anderes als die Produkte, Stichprobenumfang oder Anzahl der Beobachtung mal,
der unter der Null-Hypothese festgelegten Wahrscheinlichkeit für diese entsprechende Realisationsmöglichkeit.
Wenn wir überall die Wahrscheinlichkeit ein Sechsel haben, ist diese Wahrscheinlichkeit entsprechend überall einzusetzen.
Wir haben also insgesamt jede einzelne Häufigkeit in unserem Würfelbeispiel
mit dem entsprechenden Wert, 235 Sechsel zu vergleichen.
Das sind die einzelnen Differenzen, auf denen diese Prüfgröße aufbaut.
Natürlich müssen wir jetzt diese Differenzen zusammenfassen, um zu einer Gesamtprüfgröße zu kommen.
Wir wollen ja nicht nur die Abweichung an einer einzelnen Stelle betrachten,
sondern wir wollen die Abweichung insgesamt Zusammenfassend zu einer Prüfgröße.
Wie kann diese Abweichung entsprechend zusammengefasst werden? Nun,
der erste Punkt ist so, dass wir die entsprechenden Differenzen quartieren.
Und das macht natürlich Sinn,
dass wir zu den Quadraten übergehen, einfach schon deswegen,
weil die einzelnen NIs sich natürlich zum Gesamtstichprobenumfang addieren.
Die entsprechenden Ausdrücke N-Mal-P-I oben 0, Die addieren sich auch
insgesamt zu ennen, weil die Einzelwahrscheinlichkeiten sich zu eins addieren.
Das muss so sein, weil wir ja alle Realisationsmöglichkeiten betrachten.
Und wir wissen, die Gesamtwahrscheinlichkeit für die Beobachtung irgendeines Wertes ist eins,
also müssen die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Realisationsmöglichkeiten,
die es um Einsatz geben.
Wir hätten also, wenn wir hier einfach die Summen
bilden würden, am Ende immer den Wert null
Das bedeutet, wir haben einmal negative,
einmal positive Differenzen und um da das Vorzeichen auszuschalten,
ist eine der Standardmöglichkeiten gerade die Quartrierung der Abstände oder der Differenzen.
Das nehmen wir zum einen und zum Zweiten
normieren wir diese quartrierten Differenzen noch und zwar,
indem wir im Nenner
die erwarteten Häufigkeiten schreiben
Diese Normierung macht Sinn, weil natürlich jetzt nicht für unser konkretes Beispiel,
mit dem wir das eingeleitet haben, sondern insgesamt die Effekte passieren können,
dass wir etwa eine Wahrscheinlichkeit oder eine erwartete Häufigkeit mal von 100 bekommen,
dann ist natürlich eine Abweichung von 5 relativ plausibel,
dass wir eine Abweichung bei,
wenn wir einen Wert von 100 erwarten,
dass wir mal 5 zu wenig unter 5 zu viel bekommen,
das würden wir in Anführungsstrichen als nicht so schlimmen finden.
Wenn wir aber nur eine erwartete Häufigkeit von Sex haben,
dann ist eine Abweichung von 5 natürlich ganz schön heftig.
Das ist fast das Gleiche, was wir erwarten,
wenn wir die Abweichung nach oben nehmen,
dann haben wir eventuell mal einen Wert von 11.
Das ist fast das Doppelte
Dadurch wird das natürlich ganz anders ins Gewicht fallen.
Und um das zu berücksichtigen, wird eben hier
auch diese erwartete Häufigkeit im Nenner mit eingebaut.
Darüber bilden wir jetzt die Summe über alle Realisationsmöglichkeiten und haben auf
diese Weise schon unsere Prüfgröße, die wir mit x Quadrat bezeichnen.
Diese Prüfgröße ist also hier das,
was wir verwenden
Und die entsprechenden Texte auf der Folie im folgenden sind das,
was ich Ihnen gerade gesagt habe. Das ist zumindest ein,
so habe ich es versucht zu motivieren, eine sinnvolle Prüfgröße,
insbesondere über die Differenzen im Zähler jeweils, die quartriert sind.
Diese Prüfgröße ist aber nur dann von Wert,
wenn wir die Verteilung unter der Nulllybothese angeben können,
denn nur dann können wir
einen kritischen Wert angeben
Dabei ist klar, dass nur große Werte dieser Prüfgröße zur Ablehnung der Null-Lypothese führen. Große Werte kommen natürlich immer vor,
wenn ich hier entsprechend starke Unterschiede habe,
egal ob die empirischen Häufigkeiten, die beobachten,
Häufigkeiten kleiner sind als die erwarteten oder größer, dadurch,
dass ich die Differenzen quartiere,
lande ich in beiden Fällen bei einer großen quartrierten Differenz bei einem Großen,
entsprechenden Zähler und Insgesamt haben wir also eine Richtung,
wo nur die großen Werte zur Ablehnung der Nullypothesen führen.
Das ist erst mal der andere Punkt, die Festlegung des kritischen Wertes des einen kritischen Wertes.
Dafür brauchen wir jetzt allerdings noch die Verteilung unter deiner Lypothese.
Diese Verteilung ist abgeleitet worden, zwar nicht exakt, aber zumindest näherungsweise oder approximativ. Approximativ heißt,
dass wir einen Stichprobenprobenumfang haben,
der groß genug ist und wird hier noch mal betont,
dadurch, dass wir dieses Verteilungszeichen wieder mit einem Punkt darüber modifizieren,
dieser Punkt darüber soll immer heißen, das gilt nur,
ist nur verwendbar, wenn der Stichprobenumfang groß genug ist.
Diese Aussage heißt jetzt, dass unsere Prüfgröße aproximativ Skiquadrat verteilt ist,
wenn wir gerade die Nullhypothese vorzuliegen haben, wenn die Null Hypothese richtig ist,
wenn die unter der Null Hypothese spezifizierten Wahrscheinlichkeiten,
also gelten diese PEI oben null.
Und dann haben wir eine Skiquartatverteilung mit einer Anzahl von Freiheitsgraden,
die sich als Anzahl der Sumanten minus 1 ergibt.
Die Ermittlung dieser Verteilung ist also nicht gerade simpel,
deswegen wollen wir hier nur das Resultat entsprechend angeben,
aber dann ist klar,
wie der Test durchzuführen ist
Allerdings müssen wir uns noch darüber verständigen,
wie groß muss denn der Stichprobenumfang sein,
damit ich diesen Test verwenden kann,
damit ich den kritischen Wert tatsächlich verwenden darf, unter dem Aspekt,
dass dann die Irrtumswahrscheinlichkeit für den Fehler erster Art eben gleich dem vorgegebenen Wert Alpha ist.
Die Daumenregel, die hier Allgemein akzeptiert es, sagt,
dass die erwartete Häufigkeit größer gleich 5 sein soll,
für jede der Realisationsmöglichkeiten.
Also alle erwarteten Häufigkeiten sollen größer gleich 5 sein.
Dann darf ich dieser Skiquadrat-Verteilungsapproximation verwenden,
dann darf ich den Test mithilfe dieses kritischen Wertes aus
der Skiquadratverteilungstabelle
Wichtig ist dabei, dass es die erwarteten Häufigkeiten sind.
Also selbst wenn ich mal einen Wert von nur eins als absolute Häufigkeit,
Beobachter, also eine beobachtete Häufigkeit habe, von nur eins,
dann ist der Test natürlich durchaus weiter anwendbar,
relevant für die Approximation sind nur die erwarteten Häufigkeiten
Wenn wir noch mal uns klar machen, wie Sie das mit dem Ablehnbereich aus,
dann hatte ich ja gesagt, dass nur die Großen Werte zur Ablehnung der Nullöbothese führen.
Also müssen wir entsprechend das Zugehörige Quantie obere Quantier der Skiquadratverteilung bestimmen, um die einen Ablehnbereich des Testes zu ermitteln. Also es ist eine gewisse Hinsicht,
ein einseitiger Ablehnbereich, wenn wir auf die Prüfgröße gucken,
Aber, was untersucht wird,
sind Abweichungen von der Nulllypothese in jeder Richtung,
ob überhaupt eine Wahrscheinlichkeit, sich von ein Sechsstel unterscheiden,
wenn wir dieses Würfelbeispiel nehmen, unter der Nullypothese haben alle Seiten die Wahrscheinlichkeit,
ein Sechsstel, die Gegenhypothese sagt,
an irgendeiner Stelle weicht eine der Seiten mit seiner Erfolgswahrscheinlichkeit davon ab,
egal ob nach oben oder nach unten und nur,
dass der Test eben für große Werte zur Abbildung führt,
führt auch dazu,
dass man manchmal von einem einseitigen Test spricht von einem einseitigen Abwähnbereich.
Das ist also nur die Richtung, in der die Teststatistik auszuwerten ist.
Nichts in Bezug auf die Richtung der Abweichung in Bezug auf die Verteilung.
Das ist die formale Durchgehensweise und wir wollen uns noch angucken,
welche Bedeutung der Stichprobenumfang für die Teststatistik hat.
Natürlich auf der einen Seite ist klar,
das ist bei allen Apoximativen Aussagen so, wenn ein großer Stichprobenumfang vorliegt,
ist ist die Approximation der verwendeten Verteilung besser.
Je größer der Stichprobenumfang, desto besser stimmt auch die Verteilung
dieser Teststatistik mit der entsprechenden, apoximativen Verteilung überein.
Aber wir haben noch einen weiteren Aspekt, dass nämlich denn
größere Stichprobenumfang bei sonst Gleichverhältnissen eher zur Ablehnung der Nulypothese führt.
Das können wir uns folgendermaßen klar machen. Wir können die Prüfgröße,
so wie wir sie erst einmal kennengelernt haben, Umformen und zwar in einer Weise,
dass wir die absoluten Häufigkeiten durch die relativen ersetzen.
Das bedeutet, ich muss im Zähler den Ausdruck in der Klammer durch endividieren,
dann habe ich einfach die Zugehörige relativ häufig, minus der Wahrscheinlichkeit.
Wenn ich das aber in der Klammer durch endividiere,
muss ich berücksichtigen, dass die Klammer noch quartriert wird.
Ich muss also um das gleich zu haben, Endquadrat,
davor schreiben, das N-Quadrat wird einmal gegen das N gekürzt,
was in Nennern steht.
Und das zweite N ziehe ich vor die Summe.
Wir haben also die Gleichwertigkeit der Prüfgröße mit dem rechtsstehenden Ausdruck Enmalsumme,
quartrierte Differenz, relative häufigkeit-wahrscheinlichkeit zum Quadrat, durch die Wahrscheinlichkeit.
Und da sehen Sie deutlich, dass hier bei immer größerem N
natürlich die Prüfgröße anwächst, auch wenn die relativen Häufigkeiten gleich bleiben.
Wenn ich also einen Stichprobenumfang von 100 habe und gewisse relative Häufigkeiten bei einer Festlegung der Nullhypothese,
der Wahrscheinlichkeiten, dann kann ich den Wert dieser Prüfgröße um das Zehnfache erhöhen,
wenn ich den Stichproben umfange, einfach zehnmal so groß mache.
Dann wächst automatisch die Prüfgröße um den gleichen Betrag,
jetzt natürlich vorausgesetzt, dass die relativen Häufigkeiten sich nicht ändern
Aber damit haben wir ganz eine ganz explizite Abhängigkeit vom Stichprobenumfang und den Effekt,
dass mit einem größeren Stichprobenumfang natürlich eher ein großer Wert der Skiquadrat,
Prüfgröße resultiert und damit natürlich auch eher ein großer Wert zur
Ablehnung der Nulllypothese führt.
Gucken wir uns die Umsetzung für unser Beispiel mit dem
antiken Würfel
Wir haben die Bestimmung des Wertes der Prüfgröße noch vor uns,
um das zu machen,
müssen wir in einer geeigneten Arbeitstabelle erst noch mal die Realisationsmöglichkeiten,
die Zugehörigen absoluten Häufigkeiten mit dem Gesamtstichprobenumfang auflisten,
die entsprechenden erwarteten Häufigkeiten N-N-Dividiert oder multipliziert mit einem Sechsel oder 235 Sechsel jeweils,
das sind die erwarteten Häufigkeiten in der nächsten Spalte sind die Differenzen der beobachteten
minus der erwarteten Häufigkeiten angegeben und in der letzten Spalte schon die quartrierten Differenzen normiert mit den erwarteten Häufigkeiten.
Die Gesamtsumme, die wir dann bekommen, ist hier angegeben
und das ist dann schon der Wert der Prüfgröße.
Der Wert der Prüfgröße wird verwendet, um den Test durchzuführen,
die Skiquadratverteilung, die hier verwendet werden muss,
um den kritischen Wert zu bestimmen, ist wiedergegeben durch Anzahl der Sumanten,
Minus eins, das war die Zugehörige Skiquadratsverteilung.
Wir haben hier sechs Semanten, also die Zahl der Freiheitsgrade,
die Zugehörige Zeile der Tabelle ist bei fünf.
Und wenn wir die Überprüfung noch vornehmen, in Bezug auf die Approximationsvoraussetzung,
ist klar, dass wir in dieser Spalte der Erwarteten Häufigkeiten uns das angucken. Wir haben überall natürlich einen Wert zu stehen,
der größer ist als fünf,
Entsprechend haben wir keine Probleme mit der Anwendung dieses Tests,
die zugehörige, kritische oder zugehörige, kritische Wert beim Signifikanzniveau 0,01 beträgt,
15,09, der beobachtete Wert ist fast doppelt so groß,
also wir haben ein signifikantes Ergebnis,
die Schlussfolgerung heißt also zumindest für diesen Würfel können wir sagen,
der war noch nicht so regulmäßig gearbeitet,
dass er in unserem Sinne als fair zu sehen ist,
die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Seiten sind eben nicht alle gleich ein Sechstel.
Das hätten wir mit diesem Experiment statistisch abgesichert. Wie sieht es aus,
wenn wir bei unserer Verteilung jetzt eben nicht eine Verteilung sowie
in dem Würfelbeispiel in Bezug auf alle Realisationsmöglichkeiten eindeutig spezifizieren,
sondern zusätzlich einfach dem Verteilungstyp haben,
mit einem unbekannten Parameter
Dass wir nur überprüfen wollen, ob ein gewisser Typ vorliegt,
beispielsweise typinomial, typ geometrische Verteilung, Typ Poison-Verteilung.
Dann müssen wir gegebenenfalls das Ganze verändern und eine Modifikation vornehmen,
auch die Überprüfung einer stetigen Verteilung ist in der Tendenz möglich,
wenn wir zu klassierten Daten übergehen,
das wollen wir uns im Folgenden noch an einem Beispiel
für die Normalverteilung angucken
Jetzt hilft eine Modifikation des Satzes, auf dem wir
unsere Prüfgröße oder die Verteilung der Prüfgröße basiert haben weiter.
Diese Modifikation gibt als Ergebnis aus, wenn ich die Prüfgröße von der Form her ganz genauso bilde.
Sie sehen die Bildung der Prüfgröße hat sich fast nicht verändert,
aber wir haben dennoch eine wichtige Abweichung. Die Abweichung,
die wir haben, sagt,
dass wir hier nicht die exakten Wahrscheinlichkeiten zu stehen haben,
sondern jetzt die geschätzten Wahrscheinlichkeiten, die geschätzten Wahrscheinlichkeiten resultieren daraus,
dass wir erst einmal die zugehörigen Parameter der Verteilung aus
der Stichprobe schätzen und dann mit der entsprechend festgelegten Verteilung,
unter Verwendung dieser geschätzten Parameter, die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten bestimmen.
Wenn wir das tun, dann hat diese Prüfgröße eine veränderte Chi-Quadratverteilung
Auch wieder nur für den Fall, dass der Stichprobenumfang groß genug ist.
Die Veränderung besteht darin, dass wir hier die Zahl der Freiheitsgrade
noch einmal reduzieren, um die Anzahl der geschätzten Parameter.
Also im Grunde genommen können wir ganz analog fortfahren,
wie bei der Spezifikation einer vollständigen Verteilung. Das Einzige,
was wir machen müssen,
die zugehörigen Parameter zu schätzen und die Zahl der Freiheitsgrade,
sprich die entsprechende Zeile der Skiquadratverteilung zu adjustieren,
indem wir die Zahl der geschätzten Parameter entsprechend berücksichtigen und die Freiheitsgrade
über Anzahl der somannten minus eins Minusanzahl der geschätzten Parameter betrachten.
Bei Stetigverteilung können wir einfach die Sache diskritisieren,
indem wir eine Klasse bilden.
Gucken wir uns als erstes Beispiel die Anzahl der Kavaloristen der
preußischen Armee an,
die durch Hufschlag getötet worden sind
Das hatten wir als Beispiel schon in Statistik 1 betrachtet bei der Einführung der Porisonverteilung.
Und wir wollen jetzt mal mit Hilfe dieses Instrumentes des Skiquadrat-Anpassungstests
überprüfen, ob unsere damalige Einschätzung tatsächlich stimmt.
Wir hatten da ja uns angeguckt, die Truppen wurden in
zehn Teile aufgeteilt und das Ganze wurde über 20 Jahre betrachtet,
sodass wir 20 mal zehn Beobachtungseinheiten, also 200 Beobachtungseinheiten hatten.
Und die Anzahl der durch Hufschlaggetöteten, die haben wir entsprechend
dieser empirischen Häufigkeitsverteilung eingegeben. Wenn wir jetzt überprüfen wollen,
ob die Puersongverteilung ein geeignetes Modell ist, haben wir natürlich das Problem,
diese Verteilung hängt von einem Parameter, nämlich von Namda ab.
Lamda ist nicht bekannt und wir müssen Lamda für die Ansätze des Viehquadrattests geeignet schätzen.
Wir können den Maximum Like-You-Chat so nehmen, der sagt,
nimm einfach das arathmetische Mittel und das arathmetische Mittel ist 0,61 in diesem Beispiel.
Wir verwenden einfach diesen Parameter-Wert, um die Zugehörigen erwarteten Häufigkeiten zu bestimmen.
Das ist hier in dieser Zugehörigen Arbeitstabelle geschehen.
Ich habe also die Ausgangsverteilung genommen und ergänzt um eine Spalte
wo ich die Wahrscheinlichkeiten für die zugehörigen Realisationsmöglichkeiten bestimmt habe.
Und zwar unter Verwendung einmal natürlich der Poison-Verteilungswahrscheinlichkeitsfunktion.
Das ist ja das, was wir überprüfen wollen.
Aber in dieser Wahrscheinlichkeitsfunktion wurde immer der Nährungswert Lambda gleich 0,61
eingesetzt, damit ich das überhaupt berechnen konnte.
Multipliziert mit 200 haben wir
die Zugehörigen
Entsprechenden, erwarteten Häufigkeiten. Für die Durchführung des Tests haben wir jetzt noch ein Problem.
Dieses Problem sagt, dass die Apoximationsvoraussetzung nicht erfüllt ist,
wir brauchen bei den erwarteten Häufigkeiten mindestens fünf Beobachtungen,
damit wir vertrauensvoll mit diesem Test arbeiten können.
Wir haben eine Beobachtung Eine Organisationsmöglichkeit mit einer Beobachtung und einem Anteil von 0,
einer erwarteten Häufigkeit von 0,6. Das sind die Realisationsmöglichkeit 4 und
natürlich auch noch bei der Realisationsmöglichkeit 3 haben wir auch noch einen Wert,
der unter 5 liegt.
Wie kann man diese Problematik jetzt bereinigen? Nun, das,
was wir machen können, ist einfach das Ganze zusammenzufassen. Wir bleiben bei der Posaunenverteilung betrachten,
aber nicht mehr jede einzelne Realisationsmöglichkeit, sondern sagen,
hier,
wir fügen jetzt einfach diese beiden Realisationsmöglichkeiten zu einer zusammen und haben hier einfach die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass wir einen Wert von drei oder größer beobachten und nehmen dafür
die entsprechende absolut beobachtete absolute Häufigkeit und die entsprechende erwartete Häufigkeit,
die wir für unseren Test verwenden
Das ist also der Ausweg, wenn wir in der Weise
ein Problem haben, dass die Approximationsvoraussetzungen nicht erfüllt ist.
Wir fassen einfach Realisationsmöglichkeiten, so lange zusammen, bis wir das in etwa hingekriegt haben.
Wir wollen jetzt nicht päpstlicher sein als der Papst und sagen,
jetzt sind wir noch immer unter fünf,
wir wollen jetzt mal etwas Großzüge sein und sagen,
4,7 ist schon fast fünf und nicht weiter zusammenfassen.
Das hängt auch damit zusammen, dass natürlich über die weitere Zusammenfassung von Beobachtungen,
um diese Approximationsvoraussetzung zu erreichen,
der Test unter Umständen am Ende gar nichts mehr erkennt,
dass wir Abweichungen von der entsprechenden Nullhypothese gar nicht mehr aufdecken können.
Deswegen lassen wir das an dieser Stelle mal genug sein.
Ja, das, was wir jetzt weitermachen müssen,
ist natürlich genauso wie in dem Beispiel, was wir schon betrachtet haben.
Wir bilden die Differenzen der beobachteten Minus der erwarteten Häufigkeiten
und entsprechend die quasi katrierten Differenzen noch dividiert durch die erwarteten Häufigkeiten.
Der Wert ist 0,29, der sich als Summe aus diesen standardisierten,
differquartrierten Differenzen ergibt und die Zahl der Freiheitsgrade für die Bestimmung des kritischen Wertes,
die berechnet sich jetzt eben aus der Anzahl der Sumanten,
die sich nach Klassenzusammenlegung ergeben hat, denn die vier Sumanten,
die sind es ja, die hier zu dem endgültigen Wert geführt haben.
Also ist unser Anzahl, der Sumanten nur mit K gleich 4 anzugeben,
auch wenn wir ursprünglich fünf Zeilen in unserer Arbeitstabelle hatten.
K ist also gleich 4, die Anzahl 4 wird standardmäßig um eins verringert.
Wir haben zusätzlich einen Parameter geschätzt, sodass wir bei zwei Freiheitsgraden landen. Ich habe jetzt einfach den zugehörigen P-Wert bestimmt,
die Wahrscheinlichkeit, dass unsere Prüfgröße einen Wert einem,
der noch größer ist,
als der tatsächlich beobachtete und dieser P wird,
ist zu groß mit fast 0,9, dass wir sagen können,
wir haben fast immer, also in fast 90 Prozent der Fälle,
auch wenn diese Verteilung vorliegt, eine größere Abweichung,
einen größeren Wert der Teststatistik,
sodass wir hier eher von einer sehr guten Übereinstimmung sprechen können
und kein Gedanke daran,
dass die Personenvorteilung
etwa kein gutes Modell für diese Daten wäre
Gucken wir als letztes noch ein Beispiel in Bezug auf
die Überprüfung einer stetigen, eines stetigen Verteilungsmodells an.
Wir betrachten dazu ein Experiment aus der experimentellen Gedächtnisforschung.
In einer Versuchsserie wurde jeweils die Zeit festgehalten,
die jemand brauchte, um 16 sinnlose Zeilen oder 16 Reihen,
nee,
sechs Reihen von
je 16 Silben
Die keinen Sinn ergeben haben, fehlerfrei herzusagen. Das wurde
also trainiert und entsprechend festgehalten. Dieser Verteilung der Zeiten ist
hier angegeben. Wir haben also Zeitintervalle in Sekunden hier,
jeweils 111616161616160 bis 1140 und so weiter. Die Zahl dieser entsprechenden Versuche,
sodass die Zeitdauer in dieses Intervall jeweils viel ist,
danach angegeben und überprüft werden soll,
Ob die Normalverteilung ein adäquates Modell für diese Landzeiten darstellt.
Wenn wir hier eine Normalverteilung erstellen,
dann ist natürlich klar oder überprüfen wollen,
wir haben bei der Normalverteilung zwei Parameter,
die nicht bekannt sind, Mühe und Sigmaquadrat.
Diese Parameter können wir natürlich schätzen mit dem
arathmetischen Mittel und der Erwartungstreuen, Schätzung,
Diese Schätzung einzusetzen, und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen, gehen wir folgendemaßen vor. Wir nehmen beispielsweise die zweite Klasse,
und jetzt hatte ich hier einen Fehler gemacht,
und zwar die Untergrenze der zweiten Klasse ist natürlich 1116,
nicht 1140, also hier steht es dann richtig,
hier habe ich leider einen Fehler,
und wir bestimmen den Wert der Verteilungsfunktion an der entsprechenden Stelle,
die Verteilungsfunktion an der entsprechenden Stelle, weist einen Wert aus,
dem wir mit Hilfe der Standard-Normalverteilung bestimmen können,
indem wir einfach diese 1016 geeignet standardisieren,
sei es den entsprechenden Wert Mydach,
also x quer abziehen und durch die Standardabweichung,
also durch 65,6 durch die geschätzte Standardweichung dividieren,
dann haben wir eine Wahrscheinlichkeit von 0,0135 an der Obergrenze wo jetzt natürlich dieser 1.140 hingehört.
Also die beiden Zahlen sind einfach vertauscht. Hier sind sie richtig.
Gehen wir entsprechend vor. Wir haben die zugehörige Wahrscheinlichkeit 0,0326.
Und die Differenz ist dann natürlich die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass wir einen Wert aus dem Zugehörigen in der Wahl bekommen.
In der Weise können wir für alle in der Walle
die Zugehörigen Wahrscheinlichkeiten bestimmen.
Das führt dann zu der folgenden Aufgehörigkeit
Bauten, Arbeitstabelle,
ich habe nur die Klassengrenzen jeweils gelistet und die Berücksichtigung der Schätzung in der Weise vorgenommen,
dass wir hier die zugehörige Standardisierung haben,
die Wahrscheinlichkeiten an den Klassengrenzen mithilfe der Normalverteilung bestimmen,
die zugehörigen N-Mal-PI oben 0 Dach sind dann in dieser Spalte gelistet und dass wir und dafür noch eine Extraspalte eingelegt haben,
hängt natürlich damit zusammen, dass wir jetzt gucken müssen,
wie sieht es mit der Approximationsvoraussetzung aus.
Hier haben Sie in der drittletzten Spalte natürlich mehrere Stellen,
wo diese Approximationsvoraussetzung größer gleich 5 nicht erfüllt ist.
Beispielsweise in den ersten 3 Zeilen haben wir Werte,
die kleiner sind als 0,15 und deswegen fassen wir diese 3 zusammen
und haben dann eine erwartete Häufigkeit von 6 und noch etwas Vergleichen diese 6,027 natürlich mit den Zugehörigen,
empirischen Beobachtungszahlen, die für diese zugehörigen Klassen vorgelegen haben.
Entsprechend müssen wir diese beiden Gruppen zusammenlegen und diese beiden und
die letzten drei Gruppen, um diese Approximationsvoraussetzung insgesamt zu erfüllen.
Die Quartrierten und standardisierten Differenzen haben wir dann in der letzten Spalte und die Anzahl,
der hier noch vorkommenden Zeilen gibt,
dann natürlich wieder für die Freiheitsgrade die Anzahl K an,
wie viele Semanten gehen überhaupt in die Prüfgröße ein?
Wir haben einen Wert von 5,5,5,5, 8 und 12 Semanten,
12 wird standardmäßig um eins reduziert,
zwei Parameter haben wir geschätzt, also 12, minus 1,
minus 2, Freiheitsgrade,
das sind insgesamt noch neun in der zugehörigen Tabelle könnten wir entweder
den kritischen Wert bei einem vorgegebenen Niveau bestimmen oder wir können wieder den zugehörigen P-Wert ermitteln,
der hier ebenfalls recht groß ist.
Wir haben eine Chance von 80 Prozent, eine größere Abweichung zu entdecken,
als wir sie tatsächlich bekommen haben. Das heißt,
in der überwiegenden Zahl der Fälle werden wir stärkere Unterschiede feststellen,
auch wenn tatsächlich diese Lernzeiten normal verteilt sind sollten.
Und da wir eher eine große Anzahl von Abweichungen noch oder ein größerer Anteil von Versuchen hätten,
wo wir noch weiter, noch größere Werte bekommen,
können wir Schluss folgern,
dass auch hier ähnlich wie in dem Beispiel mit der Porison-Verteilung
natürlich eine recht gute Übereinstimmung zwischen dem Modell und den Daten
vorliegt.
Damit bedanke ich mich für heute