Größen, wir ist ein bisschen Verzögerung, aber ja,
die Technik ist manchmal doch etwas schwieriger zu handhaben.
Wir haben in der letzten Sitzung und mit Paranur der Stichprobenumfang
groß genug ist. Bei kleineren Stichproben gibt es ein Problem,
wenn wir eben nicht die Normalverteilung voraussetzen und haben deswegen den
Test auf den Median betrachtet, den Zeichentest genauer gesagt,
der es eben erlaubt, auch eine Lageuntersuchung durchzuführen,
ohne die Normalverteilung und ohne die Voraussetzung einer großen Stichprobe.
Bei kleineren Stichproben funktioniert das entsprechend. Also mit einem
anderen Parameter. Damit haben wir die Fragestellung leicht geändert,
aber in der Situation haben wir wenigstens einen Ausweg gefunden,
um überhaupt die etwas allgemeinere Frage nach dem Niveau untersuchen zu können.
Wir wollen zunächst noch einen weiteren Test bei Univarianten,
Stichproben oder zwei Tests auf bei Unvarianten,
Stichproben betrachten und dann heute weitere Fragen,
die auf unabhängige Stichproben zielen, untersuchen.
Der erste der beiden Tests für Univariante,
Stichproben untersucht die Fragen in Bezug auf die Varianz
und hier setzen wir wieder
die Normalverteilung voraus
Normalverteilte Varianz, da haben wir ja schon einiges an Vorarbeit geleistet,
auf die wir zurückgreifen können. Wir haben schon gesehen,
dass die erwartungstreue Schätzfunktion für die Varianz gegeben ist durch Sigma-Dach-Quadrat.
Das ist ja nichts anderes als die entsprechende Summe der Quartrierten
Abweichungen, also x-i-x-queer in Klammern zu Quadratsumme darüber.
Und dann multipliziert mit dem Faktor eins durch N
minus eins
Der Faktor, den haben wir gesehen, den brauchen wir, wenn wir erwartungstreue sicherstellen wollen.
Das war der eine Aspekt und bei einem Zusammenhang mit den Konfidenzen der Wallen haben wir weitergesehen,
dass der Quotient Summe der quartrierten Abweichungen vom Arithmetischen Mittel,
das ist gerade das, was hier im Zähler steht,
dieser Sigmar-Dach-Quadrat, mal N-minus 1, ist ja nichts anderes,
als dass ich den Faktor bei der erwartungstreuen Schätzung wieder neutralisiere,
den wir für die Schätzung ran multipliziert haben,
den bekomme ich gerade durch die Multiplikation mit N-1 wieder beseitigt.
Also haben wir im Zähler nichts anderes zu stehen,
als die Summe der Quartrierten Abweichungen x-i-x-x quer zum Vertrag.
Wenn wir diese Summe durch die theoretisch richtige Varianz dividieren,
durch Sigma-Quadrat, dann haben wir vorausgesetzt,
wir haben eine normal verteilte Stichprobe, eine Ski-Quadrat verteilte Stichprobenfunktion.
Das Problem auf der einen Seite ist natürlich,
dass das Sigma-Quadrat nicht bekannt ist, Das ist also eher ein theoretisches Resultat,
was ja ganz hübsch ist, aber nicht direkt umsetzbar.
Auf der anderen Seite haben wir schon bei den Konfidenzen in der Wahlen gesehen,
dass dieses Auftauchen, diese Benötigung dieser theoretischen Varianz auf Vorteile hat.
Wir haben nämlich aufgrund dieser Aussage, dass dieser Quotient Chihquadrat verteilt ist,
die Möglichkeit bekommen, daraus ein Konfidenzintervall zu konstruieren,
in dem das Unbekannte Sigma in der Mitte steht und links
und rechts nur noch von der Stichprobe abhängige Größen beziehungsweise geeignete Konstanten,
die eben vom Konfidenzniveau abhängen.
Auch für die statistischen Tests ist diese Aussage natürlich durchaus nutzbar und die Abhängigkeit von der theoretischen Varianz,
die können wir auch bei einem entsprechenden Test ausnutzen,
wenn wir eine geeignete Prüfgröße konstruieren wollen.
Das ist die Basis also. Und wenn wir als null Hypothese einfach erst mal betrachten,
dass eine spezielle Varianz vorliegt, dann können wir natürlich sagen,
dass je nachdem, wie das mit der Alternative aussieht,
die entsprechende Statistik größer oder kleiner ist.
Wenn wir den wahren Wert der Varianz, Sigma Quadrat.
Tatsächlich Größe haben als den hypothetischen Wert. Dann ist klar,
dann wird die Schätzung tendenziell größer als der hypothetische Wert sein,
die Schätzfunktion ist ja erwartungstreu,
sie wird gewissermaßen zu dem richtigen Parameter hingezogen,
wenn der richtige Parameter größer ist als der hypothetische,
wird es eine, wird die Schätzfunktion in einen Wert,
zu einem Wert gezogen, der größer ist.
Wenn der wahre Wert kleiner ist,
wird es natürlich umgekehrt in eine Richtung gezogen,
die kleiner als Sigma Null
Quadrat ist
Was wir also machen können,
wir können die entsprechende Prüfgröße so bilden,
dass wir den hypothetischen Wert in den Nenner schreiben,
den hypothetischen Wert der Varianz und die Summe der quartrierten Abweichungen in den Zähler,
die so mit der quartrierten Abweichung ist,
aber wie wir eben nochmal rekapituliert haben,
nichts anderes als ein Faktor multipliziert mit der Erwartungstreuungschätzung
Das, was ich eben noch einmal formuliert hatte,
in Bezug auf die Tendenz, die unsere Schätzung ergibt,
wenn der wahre Wert größer bzw. kleiner ist als Sigmar-0-Quadrat,
das Gleiche gilt dann natürlich auch für die Prüfgröße.
Wenn wir einen tatsächlichen, eine tatsächliche Varianz haben,
wie von der hypothetischen verschieden ist,
wird die Prüfgröße ganz entsprechend zum Zähler größer als eins sein,
wenn der wahre Parameter wird größer als Sigmanull-Quadrat ist und kleiner als eins im umgekehrten Fall.
Wenn wir also das Testproblem zweiseitig formulieren, Sigmar, Quadrat,
Gleichsigmanull-Quadrat gegen die Alternative, dass die tatsächliche Variante von der hypothetischen verschieden ist,
dann ist klar, Abweichungen nach unten bzw. nach oben sind beide Indikatoren dafür, dass die Nullhypothese nicht gilt.
Der Ablehnbereich wird jetzt ganz entsprechend festgelegt,
wie wir das schon bei dem Test für Denn Erwartungswert hatten,
wir nehmen zu kleine Werte, gerade so, dass wir sagen,
wir gucken uns die Verteilung der Prüfgröße unter der Olympothese an und unter der Nullhypothese,
also unter der Voraussetzung, das Sigmanull-Quadrat richtig ist,
dann hatten wir eben noch mal gesehen,
dass die Prüfgröße Skiquadrat verteilt ist.
Wir können also den unteren Teil des Ablehnbereiches,
den linken Teil, dadurch festlegen, dass wir sagen,
wir nehmen das Alpha halbe Quantier der entsprechenden Skiquadratverteilung mit N-1-Freiheitskarten.
Und werde der Teststatistik, die kleiner sind, als dieses Quantil,
die deuten darauf hin, dass wir einen systematischen Effekt haben.
Und ganz entsprechend zu große werdete Teststatistik und auch im rechten Teil des Ablehnbereiches sagen wir,
die zugehörige Wahrscheinlichkeit soll alphahalbe sein,
dass wir einen extrem großen Werteteststatistik bekommen,
wenn wir einen Wert in der Richtung haben,
der größer ist als das 1-minus-alpha-halbe Quantil urteilen mir die Situation so,
dass wir sagen,
wir glauben nicht mehr an eine zufällige Abweichung von dem Wert 1,
sondern sehen das so an,
dass er der entsprechende Effekt systematischer Art ist,
dass es eher zurückzuführen ist,
darauf,
dass der wahre Parameter wert,
eben größer
als der hypothetische Sigmoniequadrat ist
Wie wird das Ganze umgesetzt? Das ist natürlich jetzt,
nachdem wir wissen, wie statistische Tests funktionieren, eigentlich der leichte Part,
nachdem wir wissen, wie die Prüfgröße aussieht, dann können wir uns das relativ simpel angucken.
Wir wollen eine Überlegung in Bezug auf die Präzision von Feinwagen machen. Wir haben einen Typ,
bei dem gesagt wird,
dass die Standardabweichung der Messungen nicht nur adäquat oder dass die Messungen nicht nur adäquat im Mittel das Richtige messen,
sondern auch die Präzision messen mit Hilfe der Standardabweichung,
so ist, dass diese Standardabweichung,
wenn wir also immer das gleiche Gewicht drauflegen,
dann ist klar, aufgrund von gewissen Temperatureinflüssen,
anderen Einflüssen wird bei einer Feinwaage,
nicht immer exakt der gleiche Wert resultieren,
aber die Standardabweichung dieser Unsicherheit bei der Messung soll
höchstens eine Standardabweichung von 0,005 Kamm haben
Diese Angabe gilt es zu überprüfen. Und natürlich ist an
dieser Stelle es nicht von Interesse einen zweiseitigen Test zu machen,
zu große Abweichungen, zu große Standardabweichungen sind das,
was natürlich in der Tendenz unerwünscht ist.
Das, was wir gegebenenfalls wirklich aufdecken wollen,
wo eventuell auch eine Aktion resultiert, wenn die Waage nicht präzise genug arbeitet,
müssen wir sie unter den Arm klemmen und beim Hersteller überholen lassen.
Wenn sie aber einer entsprechende Standabweichung von höchstens 5 Gramm aufweist,
ist mehr oder weniger alles in Ordnung.
Dann haben wir keinen Anlass, irgendwo was mit der Marke
zu tun, sondern wir können einfach sie weiter benutzen.
Dementsprechend wählen wir hier die Null und die Alternativhypothese. Ich hatte Ihnen gesagt,
das, was man nachweisen möchte,
packen wir in die Alternative und nachgewiesenermaßen oder das,
was man hier nachweisen möchte,
ist es natürlich nur von Interesse ab, Zweichung nach oben festzustellen,
wenn es zu kleine Varianzen sind oder kleinere Varianzen,
dann ist das natürlich ohne Probleme.
Ich hatte eben von Varianzen gesprochen und das ist natürlich klar,
dass beide Formulierungen vollkommen gleichwertig sind. Auch wenn die Ausgangsfrage
sich in die Richtung der Standardabweichungen bewegt, können wir sagen,
dass die entsprechende Umformulierung in Bezug auf die Varianzen genau das Gleiche beinhaltet
Und diese Umformulierung habe ich deswegen hier nochmal vorgenommen,
weil wir ja unseren Test erstmal für die Varianzen formuliert haben.
Und wenn wir die entsprechende Umformulierung für die Varianzen in die eine oder andere Richtung entscheiden,
haben wir natürlich gleichwertig damit die Entscheidung für die Ausgangsfrage formuliert.
Unterstellt wird hier ein Signifikanzniveau, wie sie am Ende
sehen,
Wir haben zehn Messungen und unterstellen, dass die Messwerte normal verteilt sind.
Der Schätzwert, der sich aus diesen zehn Messungen ergeben hat,
für die Standardabweichung ist 0,007 und den Test jetzt durchzuführen, ist natürlich leicht.
Wir brauchen diesen Wert nur in die Prüfgröße einzusetzen. N ist 10,
also N minus 1, entsprechend 9,
neunmal die Schätzung für die Varianz, die Schätzung für die Varianz,
wir haben hier die Schätzung für die Standardabweichung, ist also 0,07 zum Quadrat.
Im Nenner haben wir die hypothetische Varianz, 0,05 zum Quadrat,
der Wert der Teststatistik ist 17,6 und mit diesem Wert müssen wir
jetzt oder diesen Wert müssen wir jetzt mit dem kritischen Wert vergleichen.
Der kritische Wert für das einseitige Problem, wir haben,
wie Sie ja hier sehen, Null und Gegenhypothese in Bezug auf die Varianzen.
Der einseitige Wirt sagt also, weil unter der Gegenhypothese
nur die Alternative Sigma-Quadrat ist größer als 0,005 zum Quadrat.
Dann werden also auch nur große Werte der Teststatistik zur Ablehnung
führen und der kritische Wert ist entsprechend so festzulegen,
dass wir aus der Ski-Quadratverteilungstabelle mit neuen Freiheitsgraden das obere 0,
neun, fünf Quantil bestimmen oder eins- Alpha-Quantil 0,95.
Das können wir aus der Tabelle ablesen und gucken,
ob unser Wert entsprechend zur Ablehnung führt. Wir können aber auch anders vorgehen,
wir können wieder mit dem P-Wert arbeiten,
in Anführungsstrichen das Ganze in einem Computer eingeben und uns fragen,
was gibt er uns aus, die entsprechende Wahrscheinlichkeit, einen Wert zu bekommen,
der kleiner gleich 17,64 ist bei einer Chiquadratverteilung mit neuen Freiheitskarten.
Diese Wahrscheinlichkeit kleiner gleich 16,64 ist 0,96,
da wir aber für den P-Wert, die Chance brauchen,
eine noch extremeren, in unserem Fall noch größeren Wert zu bekommen,
müssen wir natürlich das Kompliment zu eins bilden und das ist gerade 0,04.
Damit haben wir den P-Wert und da dieser P-Wert kleiner ist,
als das Vorgegebnis Signifikanzniveau,
wissen wir,
wir werden zur Ablehnung der Nullhypothese kommen
Das wird also, diese Nullhypothese wird verworfen, die wahrgearbeitet,
nicht so präzise wie angegeben, was bedeutet,
dass die Streuung der Messung eben größer sind als eigentlich vorgegeben und eigentlich garantiert dementsprechend müssen wir sehen,
was wir mit dem Gerät machen,
möglicherweise muss ich heute Abend dann zum Hersteller marschieren und ihm die Waage vorbeibringen.
Diese Umsetzung des statistischen Tests ist also auf der einen Seite relativ leicht,
auf der anderen Seite ist der Hauptpunkt,
wenn wir uns das nochmal angucken,
bei jedem statistischen Test eben der Punkt,
was wähle ich als Gegenhypothese und was wähle ich als null Hypothese.
An dieser Stelle ist eigentlich der Hauptteil der Arbeit zu leisten,
das zu entscheiden. Und die Frage,
was sind die weitergehenden Konsequenzen und in welche Richtung habe ich das festzulegen,
das ist das,
was also die entscheidende Frage bei einem statistischen Test ist und der
werden wir uns natürlich in den verschiedenen Beispielen hier
entsprechend stark widmen
Wie sieht es aus, wenn wir uns angucken,
dass das konkret umgesetzt wird?
Und wir wollen hier einfach eine Beispielaufgabe uns angucken,
die erlaubt, das Ganze noch einmal vielleicht konkret zu betrachten
Wir gucken uns die Situation der sogenannten statistischen Qualitätskontrolle an.
Statistische Qualitätskontrolle hat unterschiedliche Fragen. Gemeinsam ist natürlich dem Gesamtgebiet,
dass es darum geht, ein Produktionsprozess so zu kontrollieren,
dass die Produktion immer normgerechte Produkte liefert und ein Teil der
Überprüfung oder eine Form der Überprüfung geht dann immer so,
dass wir sagen,
wir brauchen natürlich Messwerte bei gewissen Produkten und diese Messwerte sollen einmal vom Niveau sicherstellen,
dass das entsprechende Niveau eingehalten wird.
Ein zweiter Aspekt ist natürlich auch wieder, dass die neben dem Niveau
auch die Streuung um dieses Niveau nicht zu groß sein darf.
Bei den Qualitätskontrollen wird dementsprechend mit sogenannten Qualitätskontrollkarten gearbeitet.
Das sind einfach grafische Blätter, wo die entsprechenden Messwerte von Produkten,
die aus so laufenden Produktionen genommen werden.
Es werden immer in der Regel nur wenige genommen,
beispielsweise drei oder fünf. Davon werden statistische Kennzahlen ausgerechnet,
die Kennzahlen werden in dieser Regelkarte eingezeichnet und entsprechend geguckt,
ob diese Zugehörige Grenzen, die dann schon angegeben sind,
eingehalten werden oder nicht.
Ich habe ihn jetzt hier nicht das Ganze als Grafik einer solchen Regelkarte vorgezeigt geben,
sondern wir betrachten die sogenannte Schuhat-Qualitätsregelkarte, bei der die Standardabweichung betrachtet wird.
Und wir haben aus einer Vorinformation einer sogenannten Grunderhebung den entsprechenden Wert,
der als akzeptabel gilt von 0,295 für die entsprechende Standardabweichung.
Das ist das, was der weitere Prozess nicht verletzen sollte
und wenn wir uns jetzt hier angucken, sehen wir,
wir haben eine entsprechende Messserie von drei Beobachtungen und diese drei Beobachtungen sollen
Die entsprechende Stichprobe seien, da soll geguckt werden,
ob dieser entsprechende Grundwert noch eingehalten wird oder ob das verletzt wird.
Der Niveau, das habe ich hier nicht angegeben,
bei dem das Ganze untersucht wird, sei 0,05.
Was müssen wir machen? Nationärisch müssen wir den
Zugehörigen Mittelwert bestimmen
Und damit natürlich die entsprechende Schätzung für die Varianz,
da wir diese Schätzung noch mit dem Faktor N-1 multiplizieren müssen,
brauchen wir eigentlich nur die Summe der quartrierten Abweichungen in
unserem Fall bei diesen drei Beobachtungen
Diese Summe der quadrierten Abweichung ergibt sich hier zu 0,2275.
Und dieser entsprechende Wert wird dann verglichen mit dem entsprechenden Wert,
den wir hier als Grundwert nehmen aus der Grunderhebung 0,295 zum Quadrat.
Hier oben ist ja die entsprechende Standardabweichung angegeben. Das ist also schon der Wert der Prüfgröße,
der wer der Prüfgröße ist, 2, Fünf,
wenn wir das entsprechend runden und natürlich ist auch hier die Frage so,
dass wir nur zu große Standardabweichungen,
zu große Varianzen als kritisch empfinden,
wenn die Streuung der Werte kleiner ist, ist das nicht schlimm,
jedenfalls unter dem Blickwinkel der Streuung und das Niveau lassen wir hier bei dieser Qualitätsregelkarte,
die sich nur auf die Standardabweichung bezieht, natürlich weg.
Und der kritische Wert, den wir dann bekommen,
Ist natürlich der entsprechende Wert aus der Skiquadratverteilungstabelle.
Wir brauchen hier die entsprechende Verteilung mit zwei Freiheitskarten.
Wir haben drei Beobachtungen, ein minus eins ist also gleich zwei.
Und nehmen nur große Standardabweichungen beziehungsweise Varianzen als Hinweis,
dass irgendwelche Eingriffe stattfinden müssen.
Wir nehmen also das obere 0,95-Quantil.
Das ist hier
der Wert
9,1 und sie sehen, dass wir hier haben,
dass die Nullhypothese nicht verworfen wird. Das bedeutet,
an dieser Stelle brauchen wir also nicht in den Produktionsprozess einzugreifen,
eine Sekunde,
gegebenenfalls wird er also dieser entsprechende Produktion weiterlaufen können und
dem entsprechend festgelegten Zeitinnervall würde dann,
also dann die entsprechende nächste Stichprobe gezogen werden und
in der gleichen Weise das Ganze untersucht werden
Gut, soweit der Test auf die Varianz, der letzte Test für Uni-Variate,
Stichproben widmet sich der Frage des Tests auf eine Wahrscheinlichkeit und
auch hier haben wir ja schon einiges an Vorarbeit geleistet.
Wir wissen, wie ein Test funktioniert, sollte also das Ganze entsprechend leicht sein,
die Zugehörigen Test auf Teststatistik aufzustellen und das Ganze weiter zu betrachten.
Was wir aber machen wollen,
ist nicht ganz so trivial vorgehen, wieder ein Test konstruieren,
nochmal das gleiche Schema F. Wir wollen uns dem entsprechenden Problem,
mit dem wir überhaupt die Binomialverteilung eingeführt haben oder wir haben die Normalverteilung mit dem Problem,
eingeführt über die Binomialverteilung widmen und die Frage nochmal betrachten,
die seinerzeit aufgeworfen wurde,
dass eben gesagt wird,
der Euro sei nicht fair
Wir wollen diese Frage jetzt in der Weise angehen,
dass wir gucken,
dass wir mit einem Test zum Niveau Alpha gleich 0,05 untersuchen wollen,
ob die Zahlseite eine geringere Chance hat als 0,5. Also,
wir betrachten das Problem einseitig, wir gucken nicht nach,
ob sie Wahrscheinlichkeit von 0,05 größer ist,
sondern gehen nur in der Richtung vor,
dass wir untersuchen wollen,
ob diese Chance kleiner als 0,05 ist
Genauer wollen wir uns also den Test erst mal angucken und
dann werden wir diese Fragestellung noch etwas weiter spezifizieren.
Wir haben für diese Wahrscheinlichkeiten schon Schätzungen, die Schätzfunktionen kennengelernt und
auch wie wir Konfidenz in der Weile entsprechend konstruieren können.
Ausgangspunkt ist einfach die Anzahl der Zahlzeiten bei entsprechend häufigen Werfen,
wenn wir das Münzbeispiel nehmen, im allgemeinen Fall beim Test
auf eine Wahrscheinlichkeit ohne spezifische Anwendungen gucken wir uns einfach an,
wie groß ist die Anzahl der Erfolge bei insgesamt kleinen Enden
Durchführungen eines Zufallsexperimentes. Diese Anzahl ist ja binomial verteilt mit den paar,
mit den N&P, wie wir das uns mehrfach überlegt haben.
Und auch hier ist es natürlich so,
dass wir sagen können, wenn dieser Erfolgswahrscheinlichkeit groß ist,
werden wir
viele Erfolge erwarten
Und wenn P klein ist, werden wir natürlich eine
geringere Anzahl von Erfolgen in einer Versuchsserie vorgegebene Länge erwarten.
Wenn also die entsprechende Statistik betrachtet wird,
können wir schon sagen, Abweichung nach oben bedeuten,
bei einem Test mit einem hypothetischen Parameter P0,
das der wahre Wert größer ist, Abweichung nach unten bedeutet,
dass der entsprechende Wareparameter tendenziell kleiner ist.
Und es ist einsichtig, dass es egal ist,
ob wir die tatsächliche Anzahl von Erfolgen nehmen oder ob wir
die entsprechende relative Häufigkeit betrachten, den Anteil der Erfolge,
auch hier gilt natürlich die gleiche Richtung.
Und das N ist ja vorgegeben, also in der Richtung
, ändert sich erstmal nichts. Der Vorteil ist halt,
dass wir jetzt in einem etwas überschaubaren Rahmen bleiben,
gerade wenn wir viele Versuche durchführen.
Diese relative Häufigkeit, das hatten wir uns im Zusammenhang mit
dem Schätzen überlegt, ist apoximativ normal verteilt.
Das heißt, bei genügend großem Stichprobenumfang hat Pedach
Die relative Häufigkeit, eine Normalverteilung. Und zwar mit dem
Erwartungswert T und der Varianz P mal 1 minus B durch N.
Das können wir nun im Wesentlichen verwenden,
um die zugehörige Schätzung oder die zugehörige Stichprobenfunktion aufzustellen,
die wir dann als Test oder Testfunktion oder Prüfkurse verwenden.
Sie sehen, hier kommt P als Erwartungswert vor,
das führt dazu, dass wir im Zähler unserer Prüfgröße entsprechend zum Test auf Mühe,
die Differenz betrachten des Schätzwertes Minus dem hypothethetischen Wert.
Das ist ganz analog zu der Differenz X quer minus dem hypothetischen Münol.
Diese Differenz wird jetzt standardisiert und an dieser Stelle machen wir
etwas anderes als beim Konfidenzintervall
Unter der Nullhypothese wird ja irgendein Parameterwert, P0 festgelegt. Wir brauchen eine Normierung,
nur dafür, dass wir unter der Nullhypothese genauer bei Gültigkeit dieses Parameterwertes P0 sagen können,
dass eine Abweichung über die kritischen Werte hinaus höchstens mit der Wahrscheinlichkeit Alpha passiert.
Also wir müssen nur die Verteilung der Prüfgröße unter der Nullhypothese kennen. Was ich ihnen hier oben gesagt,
aufgeschrieben habe, wenn P groß ist, erwarten wir mehr Erfolge,
wenn P klein ist, weniger Erfolge,
das führt natürlich auch dazu, dass Pedach entweder größer ist als P0,
wenn der wahre Parameter wehrt, die wahre Wahrscheinlichkeit größer ist,
oder wenn die wahre Wahrscheinlichkeit kleiner ist, wird Pedach minus Penul eben klein sein.
Die Normierung, die wir hier haben,
die brauchen wir nur für den Fall, dass die Nullhypothese gilt,
und deswegen können wir da einfach den hypothetischen Wert P0 verwenden,
für die Standardabweichung,
also die Quadratwurzel aus P0 mal 1 minus P0 durch N. Wir brauchen nicht für alle möglichen unbekannten Pestes einzusetzen,
sondern nur für diese hypothetische Situation, weil wir dann sagen können,
falls diese spezielle Situation gilt, dann werden wir extreme Werte,
sehr kleiner oder sehr große,
nur mit entsprechenden Wahrscheinlichkeiten haben und diese Wahrscheinlichkeiten können wir mithilfe
der Normalverteilungstabelle bestimmen
Das ist also die Idee des Tests. Und Sie sehen,
dass wir, wie gesagt,
hier im Unterschied zu der Konstruktion von Konfidenz in der Wallen
einfach diesen hypothetischen Wert bei der Prüfgröße verwenden können.
Gehen wir jetzt zu der Ausgangsfrage zurück. Wie sieht es aus mit einem,
mit der Frage, ob der Euro fair ist?
Natürlich hat mir uns schon im Laufe dieses Kurses an zwei Stellen überlegt,
dass eine entsprechende Abweichung relativ schwierig zu entdecken ist.
Eine Frage, die dann sich stellt, ist natürlich,
wie chancenreich oder ist es überhaupt eine kleine Abweichung zu entdecken und welche ein Stichprobenumfang brauche ich dafür.
Im Zusammenhang mit statistischen Tests kann man natürlich diese Chancen auch dadurch bestimmen,
dass man sagt, gut, wir nehmen gerade den Wert der Gütefunktion,
die Gütefunktion gibt ja die Wahrscheinlichkeit an,
sich für die Alternative zu entscheiden,
so wie wir dieses Beispiel angefangen haben, haben mir gesagt,
wir gucken uns nur Abweichungen nach unten an.
Und dann fragen wir nach der Wahrscheinlichkeit eine solche Abweichung tatsächlich zu entdecken.
Wir wissen, aus der Betrachtung der Gütefunktion im Zusammenhang mit
dem Beispiel der Qualitätskontrolle oder des entsprechenden der Qualitätsmerkmals eines Autoteils,
was in einer kleinen Werkstatt hergestellt worden ist,
dass die Güte natürlich vom Stichprobenumfang abhängt.
Und dann können wir natürlich auch fragen, Viele Beobachtungen brauchen wir,
um eine Abweichung von ein Prozent nach unten mit einer vorgegebenen Güte,
sprich mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit zu entdecken.
Wir verlangen also, dass eine Abweichung von ein Prozent nach unten,
das bedeutet,
bei einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 eine Abweichung in Bezug auf
ein Prozent ergibt dann eine tatsächliche Wahrscheinlichkeit von
Also diese Abweichung von 0,5 auf 0,495, die wollen wir entdecken.
Ganz zuverlässig wird man das nicht hinkriegen, aber wir können verlangen,
dass der Zugehörige Test den Wert der Gütefunktion an dieser Stelle von 0,9 hat. Wenn wir diese Fragestellung formal umsetzen,
heißt das nichts anderes, als dass wir unsere Teststatistik nehmen,
der hypothetische Wert ist 0,5,
das wäre die Fairness der Münze und der Ablehnbereich Ist natürlich so,
dass wir zu kleine Werte zur Ablehnung der Nullhypothese beobachten müssen,
nur kleine Werte, Abweichungen nach unten sind relevant,
also haben wir eine Ablehnung der Nullhypothese,
in dem Fall, dass die Prüfgröße einen Wert annimmt,
der kleiner ist als Z-Index Alpha,
Alpha war mit 0,05 vorgegeben,
also das entsprechende Quantil der Standardnormalverteilung
Das wäre der entsprechende Ablehnbereich und die Frage ist jetzt,
wie groß muss unser Stichprobenumfang sein? Dieser Stichprobenumfang ist nicht vorgegeben,
sondern dem wollen wir bestimmen, sodass die entsprechende Wahrscheinlichkeit 0,9 beträgt,
dass es hier oben vorgegeben und zwar,
wenn wir gerade eine Abweichung von 1 Prozent nach unten haben,
eine Abweichung von 1 Prozent nach unten bedeutet,
wir unterstellen,
der wahre Parameterwert beträgt
Diese Beziehung hat eine Unbekannte und das ist der Stichprobenumfang und den wollen wir aus dieser Beziehung bestimmen.
Um das hinzubekommen, müssen wir jetzt genauso vorgehen,
wie wir es bereits mehrmals durchexerziert haben. Sie wissen,
dass dieser letzte Teil nach dem denkrechten Strich gerade bedeutet,
wir gucken uns die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis an unter der Voraussetzung,
dass der wahre Parameterwert eben nicht mehr 0,5 ist,
sondern dass der etwas nach unten abweicht, nur noch 0,495 beträgt.
Wenn wir dieses Voraussetzen, dann ist klar, diese Stichprobenfunktion ist nicht mehr standardnormal verteilt,
die ist nur unter der Nullhypothese und bei Gültigkeit von P gleich 0,5 standardnormal verteilt.
Was wir also machen, ist ganz entsprechend zu dem,
was wir schon häufiger gemacht haben, wir müssen diese Prüfkurse neu standardisieren,
wieder mit der Normalverteilungstabelle arbeiten zu können.
Neu standardisieren, sie gucken am besten jetzt nur diese beiden Größen an. Sie sehen, hier haben wir die Standardisierung unter der Lypothese. Hier haben wir eine Veränderung und gesagt,
jetzt mit dem neuen, entsprechenden P von 0,495,
das ist offensichtlich das, was wir brauchen,
wenn wir unterstellen, dass 0,945 der wahre Parameter wert ist,
ist das eben auch gerade Standard-Normal verteilt und wir können wieder Wahrscheinlichkeiten mithilfe dieser Standard-Normalverteilungstabelle bestimmen und deswegen müssen wir das in dieser Form umfirmen,
die ja die Schritte für die Umformungen laufen so,
dass ich einfach das den Nenner auf die andere Seite bringe,
das heißt also Z mal diese entsprechende Quadratwurzel,
dann 0,5 noch auf die Seite bringe, auf die rechte Seite,
dann kommt dieses 0,5 IDT4 dazu und wenn ich das geschafft habe,
muss ich entsprechend auf beiden Seiten 0,495 abziehen und das durch die zugehörige Quadratwurzel dividieren,
was wir dann erhalten,
Ist in der untersten Zeile hier auf der Folie gerade der Ausdruck,
wo wir jetzt sagen können, diesen linken Teil,
den haben wir jetzt so zurecht gelegt,
dass wir den Ausdruck einfach durch eine entsprechende Zufallsvariable,
beispielsweise durch Großz ersetzen können.
Wir können sagen, das ist eine Standard-Normalverteilte Zufallsvariable,
wenn Eben 0,495, der wahre Parameter-Wert-P ist,
dann ist das standardnormal verteilt, nicht exakt,
aber bei entsprechend großen Stichprobenumfang ist das apoximativ gültig.
Wir wissen, wir suchen die Wahrscheinlichkeit oder haben die Wahrscheinlichkeit vorgegeben, die soll 0,9 sein.
Dementsprechend, da hier eine äquivalente Umformung vorgenommen worden ist,
ist die Wahrscheinlichkeit für diese Beziehung insgesamt,
die in der letzten Teile steht, gleich
Die Wahrscheinlichkeit ist gleich 0,9 zu setzen. Das heißt aber nichts anderes,
als dass dieser komplizierte Ausdruck, der sich auf der rechten Seite gegeben hat,
gerade das 0,9-Quantil der Standard-Normalverteilung sein muss.
Und damit haben wir eine entsprechende Relation. Wir setzen diesen Ausdruck
gleich dem 0,9-Quantil, der Standard-Normalverteilung und können dann das Ganze nach dem Stichprobenumfang auflösen. Ich habe ihn hier Das entsprechende Quantil,
den kritischen Wert für das Niveau 0,05 direkt eingesetzt, das ein 0,9 Quantil,
der gesamte Ausdruck soll ja gleich diesem 0,9 Quantil sein,
ist 1,2816 und wir brauchen diese Beziehung nur noch nach dem Stichprobenumfang aufzulösen und haben die entsprechende Aussage,
dass wir einen Stichprobenumfang brauchen, der mindestens 85.640,27 Beobachtung umfasst,
da wir nur ganzzahlige Beobachtungen haben,
sind es also 85.641 Beobachtungen, brauchen wir mindestens,
wenn wir eine derartige Abweichung mit einer Chance von 90 Prozent aufdecken wollen.
Es ist also keine Sicherheit, dass wir das aufdecken,
wir können nur sagen, zu 90 Prozent werden wir es aufdecken,
aber diese 90 Prozent haben wir auch schon ganz schön teuer zu bezahlen,
wenn wir die Zeit umsetzen,
bis wir entsprechend viele Münzwürfe durchgeführt haben,
knapp ab 90.000 oder gut 86.000 Würfe,
das ist nichts, was man nebenbei macht.
Da ist man ganz schön lange zugange, um diese entsprechende Beobachtung durchzuführen.
Und auch dann haben wir natürlich nur eine Chance von 90
Prozent, mehr können wir nicht erwarten. Das heißt,
wenn wir mehrmals diese langen Serien betreiben würden,
dann könnten wir davon ausgehen,
dass wir eben doch von 100 solcher Serien 90 zur Ablehnung bringen,
vorausgesetzt der Wareparameter wert,
ist tatsächlich so groß
wie hier unterstellt
Insgesamt sieht man, dass solche Abweichungen,
relativ kleine Abweichungen bei Wahrscheinlichkeiten ganz offensichtlich doch recht große Stichprobenumfänge benötigen und
diese kleinen Abweichungen sind natürlich in vielen Anwendungen nicht so relevant.
Man erlaubt dann tendenziell etwas größere Abweichungen,
aber sie können sich vorstellen,
dass beispielsweise bei Medikamentenprüfungen es schon einen Unterschied macht,
ob man ein Medikament mit einer Erfolgsquote von 80 Nur 75 Prozent
auf den Markt bringen will und dass da 5 Prozent Erfolgsquote natürlich schon einen Unterschied machen.
Und in diesem Fall würde eine ähnliche Untersuchung durchaus angezeigt sein
und findet in der Regel bei Medikamentenprüfungen auch statt.
Wie sieht es hier aus,
wenn wir entsprechend die Zugehörige Frage uns angucken und da
die Umsetzung eines statistischen Tests in diesem Fall betrachten
Wir wollen hier eine Situation uns angucken, wo wir sagen,
dass wir eine Gruppe von Tierversuchsgegnern haben und diese angibt,
dass wir mindestens 30 Prozent der Bevölkerung haben,
die für die Abschaffung von Tierversuchung sei.
Es werden 200 Personen zufällig ausgewählt und befragt,
von denen sich dann allerdings nur 55 für die Abschaffung aussprachen
Widerlegt dieses Stichprobenergebnis bei einem Signifikanzniveau für 5 Prozent
die Behauptung der Tierversuchsgegner. Das heißt,
hier soll also eine Hypothese überprüft werden,
die in eine Richtung geht,
dass eine Wahrscheinlichkeit in einer gewissen Relation zu einem Anteil von
30 Prozent steht
Ich hatte Ihnen ja schon gesagt,
der entscheidende Aspekt bei den statistischen Tests ist, im Wesentlichen,
wie wähle ich die Null und wie wähle ich die Gegenhypothese.
Und das ist natürlich auch hier die wesentliche Frage.
Was von der Formulierung der Aufgabe her ist denn hier
der Aspekt,
der nachgewiesen werden soll
Also, wenn ich es richtig verstanden habe, das,
was nachgewiesen werden soll, ist,
dass tatsächlich hier Anteil größer ist als 0,3. Wenn sie tiefer Suchsgegner sind,
dann ist natürlich klar,
sie haben ein Interesse zu sagen,
sie befinden sich in Übereinstimmung mit einem großen Teil der Bevölkerung
Dann würden Sie tatsächlich so argumentieren, dass Sie sagen,
Sie möchten nachweisen, dass ein relevanter Teil,
sprich 30 Prozent oder mehr, tatsächlich Gegentierversuche ist.
Wichtig ist, wenn wir das in der Weise auffassen,
dass wir dann sagen, das,
was wir nachweisen wollen, packen wir in die Gegenhypothese,
also P größer als 0,3 wird mir in die Gegenhypothese packen.
Die Gleichheit, hatte ich Ihnen gesagt, die müssen wir
Leiter aus technischen Gründen immer zu 0 Hypothese schlagen.
Das ist also ein kleiner Schönheitseffekt, defekt, aber damit müssen wir leben.
Aber das trifft nicht die Frage, die hier an der Tafel steht.
Die Frage steht, widerlegt dieses Stichprobenergebnis die Behauptung der Tierversuchsgegner.
Also im Grunde genommen ist hier jemand,
der auf der anderen Seite steht und er sagt,
die Tierversuchsgegner, die behaupten das zwar,
aber eigentlich stimmt es gar nicht.
Das, was versucht wird, ist diese Behauptung zu widerlegen.
Und damit ist in der Gegenhypothese natürlich zu formulieren,
dass wir hier sagen,
unter der Gegenhypothese steht gerade das kleine Zeichen und hier steht
das größere Gleichzeichen
Diese Aufgabenstellung zeigt noch einmal ganz deutlich, dass natürlich das Aufstellen
der beiden Hypothesen durchaus vom Blickwinkel des Interessenten aus mitgeschehen kann.
Es hängt, ist einfach ein Unterschied,
ob ich von Seiten der Tiervorsuchsgegner nachweisen möchte,
dass dieser Anteil größer ist als 0,3 oder ob ob ich
von einem Widersacher eben sagen möchte oder als Widersacher sagen möchte,
ich möchte denen nachweisen, dass dieser Anteil tatsächlich eben geringer ist.
Diese Frage kann man also in der einen oder anderen Weise aufstellen,
dass es Interessen gebunden, so wie hier die Frage,
erstmal formuliert ist, ist das korrekter,
aufstellender Hypothesen in der Richtung, wie ich es ihnen hier angeschrieben habe.
Wenn wir diese Frage geklärt haben, ist der Rest natürlich einfach.
Wir können sofort die Prüfgröße aufschreiben,
die Prüfgröße haben wir ja schon gesehen,
das ist P-Dach minus
Dividiert durch Wurzel aus, 0,3 mal 0,7,
dividiert durch den Stichprobenumfang.
Das ist 200.
Pedach ist 55 durch
Und der Wert, den wir bekommen, ist minus 0,7 7.
Der kritische Wert. Wir haben unter der Gegenhypothese,
dass die wahre Wahrscheinlichkeit kleiner ist als 0,3,
also werden nur kleine Werte zur Ablehnung der Lypothese führen und
wir müssen einfach das Z-0 0,05 Quantil nehmen. Sie sehen,
das Niveau ist ja hier gerade 0,05 oder 5 Prozent,
das 0,05 Quantil ist aber bei der Normalverteilung,
wenn Sie nachgucken, minus 1,6445 und wir sehen,
dass der Wert der Prüfgröße nicht kleiner ist,
das heißt,
dass die Nullhypothese
nicht abgelehnt wird
Das ist also einfach eine Standarddurchführung des entsprechenden Tests,
so wie wir das gewohnt sind,
auch hier zeigt sich wieder,
dass der Hauptpunkt der Hauptaspekt,
die Aufstellung der Hypothesen ist,
das Beispiel ist so gewählt,
dass eben diese Frage der Hypothese ein bisschen diffiziler ist und
die Sichtweise des entsprechenden den Testdurchführenden durchaus hiermit
eine Rolle spielt
Gut, an dieser Stelle, denke ich,
machen wir eine Viertelstunde Pause und machen dann im Anschluss mit
dem Parametervergleichen bei unabhängigen Stichproben weiter.
Gut, dann würde ich Sie bitten, wieder ruhig zu sein.
Ich bedanke mich und wir wollen damit dann mit dem
sogenannten Parameter vergleichen,
bei unabhängigen Stichproben weitermachen
Wir betrachten jetzt die Situation, dass wir zwei Stichproben haben und in Bezug auf diese beiden Stichproben,
Parameter vorliegen, wir einen Vergleich der Parameter anstellen wollen,
aber natürlich die zugrunde liegenden Parameter in beiden Stichproben nicht kennen.
Die erste Situation ist die der Lage, dazu unterstellen wir,
dass die Stichproben, die wir mit Y,
mit X1 bis XN und Y 1 bis Y M kennzeichnen,
aus zwei unabhängigen Beobachtungsserien stammen und die entsprechenden Variablen Y Index V,
Entschuldigung, X in XV Y Index V,
ebenfalls als Stichpum-Mariablen unabhängig sind.
Also haben wir insgesamt eine Situation aller Beobachtungen,
sowohl aus der einen als auch der anderen,
als auch zwischen den Stichproben,
sind unabhängig
Diese Voraussetzung wird zunächst noch weiter spezifiziert in der Richtung,
dass wir unterstellen, die beiden Stichproben stammen aus einer Normalverteilung
und wir wollen hier den Vergleich der Lage dieser beiden Stichproben untersuchen.
Wir werden in diesem Rahmen die Streuung nicht betrachten,
ein Streuungsvergleich, zweier unabhängige Stichproben ist eine relativ schwierige Angelegenheit
und die entsprechende Details wollen wir uns hier nicht antun.
Das ist also etwas, was tatsächlich auf der einen Seite gar nicht so schwierig aussieht.
Auf der anderen Seite nur im Rahmen der exakten Normalverteilung,
also wenn diese Voraussetzung vollständig erfüllt und gut erfüllt ist, funktioniert.
Wir begrenzen das Ganze auf den Vergleich der Lage und wir werden sehen,
dass das schon durchaus eine Vielzahl von Detailaspekten mit sich bringt.
Wenn wir die Normalverteilung unterstellen, die Lage natürlich durch die Erwartungswerte,
die Lage der zugrunde liegenden Verteilungen, durch die Erwartungswerte beschrieben.
Die Hypothesen sind also, dass wir einmal haben,
dass die beiden Erwartungswerte gleich sein und Möglichkeiten der Abweichung können
etwas sein, dass die beiden Erwartungswerte ungleich sind.
Ganz einfach ist es natürlich auch zu gucken, dass der
eine Erwartungswert größer gleicht dem anderen oder kleiner dem anderen ist.
Also einseitige Hypothesen in dieser Frage zu formulieren,
wir nehmen erst einmal die zweiseitige Hypothese,
das heißt Mü1 gleich oder myxgleich mit Y gegen die Alternative,
dass die beiden Erwartungswerte verschieden seien.
Das ist etwa der Fall, wenn wir eine Untersuchung von
Intelligenz anstellen in unterschiedlichen sozialen Schichten.
Hier würden die Beobachtungen an je hundert Kindern vorgenommen,
einmal aus der Unterschicht,
die zugehörige Stichprobe sei unsere X-Stichprobe,
die Beobachtung bei Kindern aus der Mittelschicht
sei die Y-Stichprobe
Intelligenz wird in der Regel mithilfe eines entsprechenden psychologischen Tests gemessen
und das führt eigentlich zu einem Intelligenzquotienten.
Intelligenzquotienten kann man sagen, sind immer normal verteilt.
Schon deswegen, weil die entsprechenden psychologischen Voraussetzungen so sind,
dass die Tests Werte hervorbringen, die der Normalverteilung folgen.
Also selbst wenn man über Intelligenz eigentlich gar nichts sagen kann,
sind die Tests so konstruiert,
dass diese IQ-Werte
diese Eigenschaft aufweisen
Diese Frage ist natürlich dann, gibt es Unterschiede im
mittleren Niveau der Intelligenz entsprechend in den unterschiedlichen sozialen Schichten?
Das ist also das, was wir betrachten. Und um
diese Frage zu untersuchen, wird jetzt eine geeignete Teststatistik benötigt.
Wir wissen schon, wie wir das machen können.
Und zwar, wenn Sie sich erinnern,
haben wir bei der Einführung der Tests schon einen entsprechenden Vergleich
mal angestellt
Allerdings noch unter der Voraussetzung, dass die Varianzen bekannt seien,
da ging es bei dem Vergleich um die Reaktionszeiten auf entsprechende Signale,
einmal akustischer,
einmal optischer Art und auch dort hatten wir Normalverteilung unterstellt,
der Vergleich führte dazu, dass wir einfach gesagt haben,
wir betrachten die Differenz der mittleren Zeiten und genauso betrachten wir jetzt die Differenz der beiden arathmetischen Mittel die einmal für die mittlere Intelligenz in der einen,
beziehungsweise in der anderen Gruppe stehen.
Als Differenz können wir natürlich sagen, dass der Erwartungswert ja aufgrund der Rechenregel nichts anderes ist, als die Differenz der Erwartungspferde. Das führt dazu,
dass wir natürlich auch hier wieder sagen können,
wenn die Differenz sehr groß ist, einen sehr großen Wert aufweist,
also x-quer entsprechend größer ist als Y quer,
dann schließen wir darauf zurück,
dass MyX größer ist als im Y. Umgekehrt,
wenn X quer kleiner als Y quer ist,
schließen wir natürlich in der Tendenz darauf, dass MyX kleiner ist als MyY.
Also Abweichungen, die wir, oder Unterschiede,
die wir bei den arathmetischen Mitteln sehen, führen wir,
wenn sie zu extrem sind,
auf Ex entsprechende Abweichungen bei dem Erwartungswerden zurück.
Um zu sagen, wann ist denn das wieder zu extrem, benötigen wir ganz entsprechend
Die Zugehörigen, Standardisierung. Natürlich haben wir wieder zu berücksichtigen,
ob die Varianzen bekannt sind oder unbekannt. Und wir hatten,
wie gesagt, für bekannte Varianzen schon einen Ansatz gesehen.
Den wollen wir gleich rekapitulieren. Hier wollen wir aber
an der Stelle noch festhalten, was auf uns zukommt,
nämlich, dass wir auch mit einer Situation konfrontiert sein können,
dass die Varianzen Unbekannt und verschieden sind.
Und wir werden sehen, dass das natürlich Probleme bereitet.
Die Situation bekannte Varianzen ist die einfachste. Wir gehen davon
aus, dass Normalverteilung ist. Das führt natürlich automatisch dazu,
dass auch die archäthmetischen Mittel normal verteilt sind.
Wir haben ja insgesamt Unabhängigkeit. Und die zugehörige Differenz,
x-quer-y-quer, ist dann natürlich normal verteilt mit dem entsprechenden Erwartungswert,
myx-my-y und einer Varianz, Das hatten wir schon gesehen,
die sich einfach aus der Summe der Varianz von X-Quer plus der Variante von Y quergibt.
Die Varianz des atmetischen Mittels ist aber Ausgangsvarianz devidiert durch Stichprobenumfang.
Varianz von X-Quer ist also Sigma X-Quadrat durch zugehörigen Stichprobenumfang N.
Die Varianz von Y quer, Sigma Y Quadrat durch zugehörigen Stichprobenumfang M.
Die Summe ist die gemeinsame Varianz dieser Differenz.
Und damit sind wir natürlich bei unserer standardisierten Prüfgröße.
Wir können wieder die kritischen Werte aus der Normalverteilungstabelle bestimmen
Das war die idealisierte Situation bekannter Varianzen, die wir schon einmal betrachtet hatten.
Und diese idealisierte Situation müssen wir jetzt in verschiedener Form modifizieren,
sodass wir sagen können,
sie wird realitätsgerechter in dem Sinne,
dass wir eine adäquate Berücksichtigung haben bei unbekannten Varianzen
Wenn wir die Varianzen nicht als bekannt voraussetzen,
wenn wir sagen, sie sind unbekannt,
dann können wir natürlich in einer Situation uns relativ leicht aus der Patsche helfen.
Und das ist die Situation, dass die Zugehörigen Stichprobenumfänge groß sind.
Wir nehmen dann nämlich die zugehörigen Schätzungen, Sigma X,
Dach, Quadrat und Sigma Y-Dach-Quadrat,
also die zugehörigen Varianzschätzungen der Erwartungstrollen
Und verwenden diese Schätzungen einfach bei der Standardisierung. Die Prüfgröße,
die wir dann bekommen, ist also ganz entsprechend zu der, die wir eben gesehen hatten.
Diese Prüfgröße bei bekannter Varianz wird entsprechend modifiziert und wir bekommen einfach durch Ersetzen der theoretischen,
unbekannten Varianzen mithilfe der Schätzungen eine neue Prüfgröße und können jetzt sagen,
dass aufgrund der Tatsache, dass die Stichprobenumfänge groß sind,
wenn wir das voraussetzen, können wir trotzdem,
auch wenn es nicht ganz exakt gilt,
aber es gilt zumindest approximativ, das heißt näherungsweise,
dass diese so standardisierte Prüfgröße unter der Nullhypothese wohlgemerkt näherungsweise standardnormal verteilt ist.
Also wenn das Tatsächlich, oder wenn tatsächlich die Nullhypothese gilt,
der Erwartungswerte Differenz Null ist,
dann haben wir auch hier eine Standardnormalverteilte, Zufallsvariable,
zumindest in guter Näherung.
Und damit können wir unseren Test durchführen. Wir haben unter
der Nullhypothese gerade Mü1, Gleichmüh2. Und damit ist das der entsprechende Fall,
der hier vorliegt.
Wir können die kritischen Werte einfach aus der Standardnormalverteilungstabelle bestimmen
Wenn wir normal verteilte Ausgangsvariablen haben, dann können in aller Regel
diese entsprechenden Approximationen als erfüllt angesehen werden, wenn beide Stichprobenumfänge mindestens 20 betragen.
Wir müssen uns klar sein, auch wenn wir normal verteilte Ausgangsvariablen haben,
dann haben wir ja durch die Ersetzung von Sigma Dach von
der theoretisch richtigen Varianz mit Hilfe von Sigmar X Quadrat,
ich sag mal, Dach X Quadrat, Sigmar Y Quadrat,
eine Näherung vorgenommen.
Wir haben eben keine exakte Normalverteilung mehr für die Prüfgröße,
aber wenn der Stichprobenumfang, wie gesagt,
groß genug ist,
beide mindestens 20 betragen,
dann können wir auf diese Approximative
Eigenschaft zurückgreifen
Dieser Hintergrund dafür ist natürlich wieder die entsprechende Aussage des zentralen Grenzwertsatzes.
Und die führt noch weiter. Die Aussage des zentralen Grenzwertsatzes führt zu weit,
dass wir sagen können, wenn wir einen genügend großen Stichprobenumfang haben,
gilt die Verteilungsaussage für diese Prüfgröße,
auch wenn die Ausgangsverteilung nicht Normalverteilung ist.
Also bei beliebiger Verteilung können wir trotzdem diesen Test durchführen,
allerdings nur dann, wenn wir einen genügenden Anzahl von Beobachtungen
jeweils haben, dann funktioniert das auch in dem Fall.
Somit haben wir die Situation unbekannter Varianzen bei großen Stichprobenumfängen
sogar für den Fall,
dass wir keine normal verteilte Ausgangssituation haben und haben einen
entsprechenden Test
Wenn wir Intelligenzquotientenvergleiche durchführen, dann können wir sagen,
okay, die sind, wie gesagt, so geartet,
dass Perkonstruktion davon ausgegangen werden kann, dass Intelligenzquotienten normal verteilt sind,
wenn wir die entsprechende Frage als Testproblem umsetzen,
ist es zu berücksichtigen,
dass Intelligenzquotienten in aller Regel so konstruiert werden,
dass diese IQ-Werte oder die entsprechenden Tests eigentlich auf Mittelschichten orientiert sind und diese entsprechende soziale Orientierung in gewisser Hinsicht bevorzogen.
Wenn Sie sich in die Geschichte von Intelligenztests einarbeiten,
werden Sie sehen, dass sogar mit dem Ziel,
in der Richtung eine Diskriminationskriterium zu erhalten,
diese Tests seinerzeit entwickelt worden sind.
Man wollte in gewisser Hinsicht von vornherein nachweisen,
dass Mittelschichtkinder intelligenter sind und dass Das führte natürlich dazu,
dass die Fragen so entwickelt wurden, dass das auch in gewisser Hinsicht herauskam.
Wenn wir moderne Intelligenztests angucken, können wir natürlich uns angucken,
wie das aussieht und ob das immer noch so gilt,
dass diese Orientierung in Richtung der Eigenschaften und Fähigkeiten der Mittelschicht
tatsächlich gegeben ist und diese IQ-Werte für Mittelschichtkinder tendenziell größer sind als für die entsprechenden Unterschichtkinder.
Wenn wir das nachweisen wollen,
dann müssen wir es wieder in die Gegenhypothese packen
Und haben unter der Alternative also die einseitige Fragestellung.
Unter dieser Vorzeichen macht es nicht viel Sinn,
bei der Nullhypothese zu sagen, MyX ist größer gleich wie Y,
tendenziell ist also nur die Gleichheit unter deiner Lypothese zu spezifizieren,
dass es sogar größer sei, ist ziemlich unplausibel.
Wenn wir den entsprechenden Test uns dann angucken, nehmen wir
die Prüfgröße x-quer-y quer durch die zugehörige Schätzung der Varianz.
Und es ist klar, wenn wir im Zähler x-quer-y queren haben,
unter der Gegenhypothese, ist formuliert, MyX ist kleiner als im Y.
Wir erwarten unter der Gegenhypothese, also, dass wir Werde
des arathmetischen Mittels x quer bekommen, die kleiner sind als die Y quer Werde.
Die Differenzen sind also negativ Kleine Werte der Prüfgröße sind das,
was wir unter der Gegenhypothese erwarten,
entsprechend legen wir den Ablehnbereich weg fest,
zu kleine Werte deuten eine entsprechende,
systematische Richtung an und diese systematische Abweichung in dieser Form führt dazu,
dass wir den Ablehnenbereich, in der entsprechenden Weise festlegen,
zu kleine Werte,
Werte kleiner als das Normalverteilungsquantil zum vorgegebenen Niveau Alpha führen
zur Ablehnung
Wenn wir den Test anwenden, brauchen wir die konkrete Umsetzung. Wir müssen,
müssen, wie groß das arathmetische Mittel der X-Werte,
der Y-Werte ist,
die Zugehörigen Varianzschätzung bzw. Schätzung der Standardabweichungen und können diese Werte dann einfach in diese Prüfkurse einsetzen,
dass es hier geschehen, die konkrete Prüfgröße hat dann den Wert,
minus 0,87 und wenn wir unser Signifikanzniveau von 0,05 nehmen,
dann ist es natürlich nicht signifikant,
der Wert der Prüfgröße ist rechts vom Wert der,
als kritischer Wert aus der Tabelle abgelesen wird und damit könnte man natürlich sagen,
ist ein Unterschied bei weitem nicht nachgewiesen,
zumindest nicht auf Basis dieser Stichprobe
Das ist jetzt die einfache Situation, dass wir von großen Stichproben umfängen,
ausgehen können. Hier hatten wir sogar diesen Sonderfall,
dass wir sagen konnten, die Ausgangsverteilung ist recht gut,
eine Normalverteilung, aber auch ohne dieser Ausgangsbedingungen könnten wir sagen,
Stichprobenumfänge der Größe 100 sind sicherlich groß genug,
um diesen Test auch als approximativen Test durchzuzuführen.
Wir bräuchten die Ausgangsverteilung gar nicht und würden diesen Test dann
mit der Begründung entsprechend ganz gleichartig durchführen, dass wir sagen,
die Stichprobenumfänge sind groß genug, um das zu rechtfertigen.
Was passiert nun, wenn der Stichprobenumfang nicht so groß ist,
dass wir einfach mit dieser näherungsweisen Normalverteilung argumentieren können?
Wenn die Varianz nicht bekannt sind und die Stichproben klein sind. Der wichtige Aspekt dabei ist dann,
dass die Schätzungen selbst natürlich variieren und wir hatten das im Zusammenhang mit dem Einstichprobenproblem gesehen,
als wir entsprechende Konfidenzen in der Weile für den Erwartungswert gebildet haben und wir hatten gesehen,
dass dann die zugehörige Standardisierung eben stärker streut,
als wenn wir die richtige Varianz einsetzen würden.
Wir können also diese Varianz,
also Variabilität der entsprechenden Varianzschätzungen nicht mehr ignorieren,
wir müssen die irgendwo berücksichtigen
Wenn wir diese Prüfgröße in der entsprechenden Form aufstellen,
können wir einfach nicht mehr sagen, das ist normal verteilt.
Jetzt gibt es aber noch die zusätzliche Koks, dass wir
zwei Situationen unterscheiden müssen. Einmal ist dann die Möglichkeit,
dass die Varianzen gleich sind oder dass sie verschieden sind.
Das heißt, dass der Kozent der beiden Varianzen
eine Rolle spielt, ist der Kozent gleich eins.
Das heißt, sind die beiden Varianzen gleich
Gehen wir anders vor, als im Fall, dass dieser Koozien von eins verschieden oder die Varianzen unterschiedlich sind.
Die einfachere Variante betrifft, dass wir unterstellen können, die Varianzen seien gleich. Diese Variante führt als erstes dazu,
dass wir unterstellen, dass wir sagen,
die gemeinsame Varianz, die wir natürlich Voraussetzung nicht kennen,
das ist die praktisch relevante Situation,
die können wir aber aus den beiden Stichproben gemeinsam schätzen,
was sie hier sehen, für die Schätzung der unbekannten Marianz,
ist halt einmal die Summe der quartrierten Abweichungen aus der ersten Stichprobe,
aus der X-Stichprobe und die Summe der quartrierten Abweichungen aus der Y-Stichprobe.
Diese quartrierten Abweichungen sind in gewisser Hinsicht gleichartig,
da ich das zugehörige Niveau jeweils verwende,
bei der X-Stichprobe verwenden wir das Niveau X quer,
bei der Y-Stichprobe, die entsprechenden Niveauschätzung Y quer.
Da haben wir über diese Differenzenbildung die unterschiedlichen Niveaus ausgeschaltet und wir betrachten ja
gerade die Situation, dass die Abweichungen vom Lageparameter gleich ist.
Wir können also einfach die gesamten Abweichungen zusammenfügen zu einer großen Schätzung für die Unbekannte Varianz.
Die Abweichungen, wie gesagt, die Differenzen, die sollen alle gleichartig sein.
Und wenn wir sie in Quartierreform zusammenfügen, haben wir N plus M,
Sumanten, die wir für unsere Varianzschätzung verwenden können,
nämlich die XV-x-Quer zum Quadrat werde und die YW-Y-Quer zum Quadrat werde.
Insgesamt also N plus M Und normieren müssen wir das für
eine Erwartungstreue Schätzung entsprechend mit dem Ausdruck N plus M,
aber jetzt minus 2, die Zahl der Freiheitsgrade berücksichtigt,
hier die entsprechende Zentrierung einmal mit den X werden und dann entsprechend mit dem Y Querwert.
Da wir zwei Lageparameter schätzen müssen,
reduziert sich das Ganze also um den wir zwei und wir haben eine entsprechende Varianzschätzung,
wie sie jetzt hier steht, eins durch n plus m minus zwei und dann die Summen der quartrierten Abweichung aus beiden Stichproben.
Mit dieser zugehörigen sogenannten gepolten Varianzschätzung, die nach Voraussetzung die unbekannte Varianz,
die ja gleich sein soll, erwartungsteu schätzt,
können wir jetzt in unsere Teststatistik gehen und sie sehen,
die Teststatistik ist ganz gleich zu der,
nur haben wir jetzt an diesen beiden Stellen,
wo wir die unbekannte Varianz zu stehen hatten, beide Male,
die entsprechende Sigma-Dach-Quadratschätzung eingesetzt, weil wir ja unterstellen,
dass die Varianzen gleich sind.
Also können wir auch diese Gesamtschätzung hier jeweils einsetzen. Diese Teststatistik ist jetzt allerdings,
weil wir die Situation einer nicht sehr großen Stichprobe oder von zwei nicht sehr großen Stichproben haben,
nicht mehr abproximativ nochmal oder nicht mehr normal verteilt,
sondern wir bekommen,
dass sie unter der Nullhypothese MyX gleich mit Y tieferteilt ist
und die Zahl der Freiheitsrate entspricht gerade dem Nenner des Faktors hier,
also N plus m minus 2.
Das ist die Situation,
dass wir von gleichen Varianzen ausgehen können und die einen Vorteil haben,
dass wir bei gleichen Varianzen die entsprechende Standardisierung unter einer Gesamtschätzung
hier durchführen können
Wie sieht es aus, wenn wir diese Voraussetzungen gleiche Varianzen nicht haben?
Dann kommen wir zu dem sogenannten Welttest, der die gleiche
Prüfgröße verwendet, wie die entsprechenden Tests bei großen Stichproben.
Wir nehmen also wieder die geeignete Standardisierung mit den unterschiedlichen Varianzschätzungen.
Es macht ja jetzt keinen Sinn, diese Varianzschätzung zusammenzufügen,
weil wir unterstellen, dass wir verschiedene Varianzen haben.
Das Problem ist, dass wir eigentlich keine exakte Tiefverteilung mehr haben.
Aber das ist der Verdienst des Herrn Welsch,
der dann auch Namensgeber für diesen Test ist,
wir approximieren die Verteilung durch eine T-Verteilung.
Das ist zwar nicht ganz korrekt, aber wir haben schon häufig gesehen,
dass solche Approximationen in der Statistik vorgenommen werden und es ist vielfach geprüft,
dass diese Approximation auch in diesem Fall vernünftig arbeitet.
Was machen wir, wenn wir das mit der Tiefverteilung apoximieren?
Wir haben eine entsprechende Teeverteilung und die Zahl von Freiheitsgraden,
die wir nehmen, die wird erst aus der Stichprobe oder genauer aus beiden Stichproben berechnet.
Also wir können, bevor wir die Beobachtung angestellt haben,
noch nichts sagen, welche Zeile der T-Verteilungstabelle.
Welche Zahl von Freiheitsgraden wir wohl verwenden werden. Das wird
mit Hilfe von Größen, die wir aus den Beobachtungen ermitteln
, erst noch bestimmt.
Und in dem Sinne wird also das Ganze als Abroximation bezeichnet.
Wir können eben zwar mit der T-Verteilungstabelle arbeiten,
wissen aber eben noch Nicht im Vornherein, welche konkrete Tierverteilung es ist.
Wir wissen noch nicht, welche Zahl von Freiheitsgraden zu verwenden ist.
Die Zahl von Freiheitsgraden, die basiert darauf,
dass wir erst einmal eine Hilfsgröße groß R ausrechnen.
Das sind gerade die Varianzen, jeweils dividiert durch ihre Stichprobenumfänge und ins Verhältnis gesetzt.
Also Sigma, x Dachquadrat durch N-Sigma dividiert durch Sigma Y-Dachquadrat durch M.
Diese Hilfsgröße wird dann genommen, Und in die Berechnungsformel,
die hier in der Mitte angegeben wird, eingesetzt.
Also ich muss da mit dieser Größe 1 plus R in Klammern
zum Vertrag dividiert durch Aquatat, durch N-Minus 1 plus 1 durch M-11 berechnen.
Wenn ich das mache, habe ich die entsprechende Zahl von Freiheitsgraden.
Natürlich müssen wir davon ausgehen, dass das Ergebnis der Reihen
formalen Berechnung keine ganze Zahl ergibt
Dementsprechend müssen wir als letztes festlegen, dass das, was wir hier ausrechnen,
für die Verwendung der entsprechenden Verteilung immer abgerundet werden muss,
um dann zu dem geeigneten Test zu kommen.
Gucken wir uns ein konkretes Beispiel dafür an.
Wir betrachten die Situation von Autofahrern und hier diejenigen,
die etwas wilder durch die Stadt fahren und unterstellen mal,
das ist nicht das wilde Fahren an sich,
das Interesse ist,
sondern dass das eigentlich ein Versuch ist,
schneller ans Ziel
zu kommen
Die Frage ist, ob mit dieser etwas wilderen Fahrweise
das Ganze dann tatsächlich auch erreicht wird.
Bringt diese Fahrweise in der Stadt tatsächlich einen Zeitgewinn? Wir nehmen an,
dass die entsprechenden Fahrzeiten als normal verteilt angesehen werden und
können und der Unterschied zur normalen Fahrweise zum Niveau null Alpha
gleich 0,05 überprüft werden soll
Wir haben also in Bezug auf die normale und auf die wilde Fahrweise
Durchschnittsliche Zeiten bei den entsprechenden Fahrweisen und die Frage ist,
ob die Zeit bei normale Fahrweise tatsächlich größer ist oder anders formuliert,
bei wilder Fahrweise tatsächlich kleiner ist,
als die bei normaler
Das ist also wieder ein einseitiges Testproblem und der Vergleich Zweier unterschiedlicher Stichproben.
Wir gehen erst einmal davon aus, dass die Varianzen verschieden sind.
Das heißt, wir müssen in dem Fall den Welchtest anwenden.
Die Messungen bei verschiedenen Personen,
die entsprechend der einen oder anderen Fahrweiße pflegen,
haben wir einmal für eine entsprechende Distanz,
die durchschnittliche Zeit von 45 beziehungsweise von 40 bei wilden Fahrern
die Varianz,
Entschuldigung,
Standardabweichung ist einmal 8 beziehungsweise
Die Prüfgröße machen wir so, dass wir sagen,
wir bilden die Differenz durchschnittliche Zeit bei normaler minusdurchschnittlicher Zeit bei wilder Fahrweise.
Wir könnten das rein formal natürlich auch andersherum formulieren.
Also wir könnten die durchschnittliche Zeit bei wilder Fahrweise minus der
bei normaler Fahrzeitweise betrachten, der Unterschied,
den das macht, ist natürlich nachher in der Betrachtung,
was ist eigentlich
der Ablehnenbereich
So herum, wie ich Ihnen das hier aufgeschrieben habe,
also durchschnittswert normal-minus-mild, ist klar, zur Ablehnung der Null-Lipothese
führt an dieser Stelle ein Großer Wert der Prüfgröße.
Wir haben ja x-quer-y-quer im Zähler zu stehen,
also diese entsprechende Differenz, Myx-minus-my-y wird tendenziell geschätzt.
Und wenn MyY tatsächlich deutlich kleiner ist als MyX,
Die durchschnittliche Zeit bei wilder Fahrweise deutlich geringer, dann wird diese Differenz auch größer sein.
Und dementsprechend sind große Werte, diejenigen, die bei dieser Formulierung
zur Ablehnung führen. Wenn ich den Nenner, Entschuldigung,
den Zähler andersherum formuliert hätte, y quer minus x quer,
hätte ich gerade auch im Entsprechenden Ablehnfall eher kleine Werte und
der Test würde zur Ablehnung führen,
wenn diese Differenz dann entsprechend klein ausfällt.
So herum werden also die zugehörigen großen Werte zur Ablehnung der Nullhypothese führen.
Wenn wir erst einmal die Prüfgröße haben, dann ist das
relativ simpel. Wir nehmen die Differenz der arathmetischen Mittel,
dividiert durch Varianz der einen Größe dividiert durch zugehörigen Stichprobenumfang plus
Varianz der zweiten Stichprobe durch Stichprobenumfang und brauchen diesen Wert
nur auszurechnen
Was wir allerdings für die Durchführung des Tests jetzt noch brauchen,
wenn wir unterschiedliche Varianzen halt voraussetzen, dann müssen wir noch
die beiden Varianzschätzungen jeweils dividiert durch ihren Stichprobenumfang ins Verhältnis setzen.
Also dieses hilfsgröße R ausrechnen und mit dieser Hilfsgröße
die Zahl der Freiheitskräuter entsprechen,
der angegebenen Formel bestimmen
Diese angegebene Formel 1 plus R, in Klammern zum Quadrat,
dividiert durch R-Quadrat, dividiert durch N-1 plus 1 durch minus 1.
Das ergibt hier den Wert 32,6. Ich hatte Ihnen ja gesagt,
dieser Wert ist abzurunden um die Zeit der Freiheitsgrade, endgültig zu bestimmen.
Wir haben also als kritischen Wert den entsprechenden Wert aus der T-Verteilungstabelle zu bestimmen,
bei 32 Freiheitsgraden. Große Werte werden zur Ablehnung der Nulypothese führen,
also haben wir hier das 0,95 Quantil zu bestimmen,
bei 32 Freiheitsgraden und aus der Tabelle abgelesen, ist das der Wert 1,6939.
Der empirische Wert, dem wir bei unserer Prüfgröße bekommen haben,
von 1,4 und noch etwas,
der ist kleiner als der kritische Wert,
die Null-Lypothese wird also nicht abgelehnt, die Konsequenz ist,
dass der Zeitgewinn bei wilder Fahrweise damit nicht nachgewiesen ist,
die Nullhypothese beide fahrweisen benötigen, im Schnitt die gleiche Zeit.
Diese Nullhypothese kann nicht widerlegt werden und die Empfehlung,
die daraus resultiert, ist natürlich,
dass sie besser als dich der normalen Fahrweise bedienen sollten oder diese pflegen sollten,
als dass sie entsprechend wild durch die Stadt pesen,
um möglichst schnell ans Ziel zu kommen.
Es ist fraglich,
ob sie mehr erreichen als etwa ein Strafmandat
Einfach aus der Varianz heraus, Variation heraus,
wollen wir uns nochmal angucken, was würde denn sein,
wenn wir für dieses Beispiel die Varianzen als gleich unterstellen würden?
Würde sich das denn stark unterscheiden, ohne dass wir das hier tatsächlich als gegeben annehmen müssen?
Wenn wir die Varianzen als gleich unterstellen und dann unterschiedliche Erwartungswerte miteinander vergleichen wollen,
brauchen wir die gemeinsame Schätzung,
die gemeinsame Varianzschätzung, die ergibt sich hier,
indem wir die entsprechenden Einzelschätzungen für die Varianz nehmen,
sie mit dem Faktor in minus eins bzw. minus eins milliplizieren und damit haben wir gerade wieder die Summe der Abweichungsquadrate.
Dieses Ergebnis wird mit dem vorne stehenden Faktor multipliziert und wir halten als gemeinsame Varianzschätzung bewährt 110,06,
Dieser Wert wird dann an beiden Stellen zur Standardisierung verwendet. Das heißt,
ich habe das hier zwar rausgezogen, aber es ist klar,
wir nehmen diese 110,06, dividieren sie durch 15 plus 110,6,
dividiert durch 20 und erhalten einen Wert der Prüfgröße von 1,395,
die zugehörige Zahl von Freiheitsgraden ist einfach Stichgesamtstichprobenumfang N plus M,
also 15 plus 20 minus 2,
gerade gleich diesem entsprechenden Ausdruck,
der hier bei der gepolten Varianzschätzung vorne zu stehen kommt.
Es ist also kein großer Unterschied zu dem Wert,
den mir aus der entsprechenden Formel des Welttestes gewonnen haben.
Die Entscheidung ist auch gleich, denn der entsprechende Wert,
der beobachtet ist,
bei dieser zugehörigen Teststatistik ist ebenfalls kleiner als der kritische Wert
der entsprechenden Teeverteilung
Wir halten also die gleiche Entscheidung. Die Frage bleibt jetzt,
wann kann ich denn in Anwendungen,
gegebenenfalls den einen und wann muss ich den anderen Test anwenden?
Wann kann ich in einen Test anwenden,
richtet sich natürlich in die weiße oder richtet sich darauf,
dass wir uns angucken, wann kann ich denn gleiche Varianzen
unterstellen und wann muss ich mit ungleichen Varianzen arbeiten?
Diese Frage ist nicht sehr leicht zu beantworten.
In der Regel wird man gleiche Varianzen nur in Ausnahmefällen verwenden,
weil das natürlich eine Voraussetzung ist,
die ohne Zusatzwissen eigentlich nicht so schnell tatsächlich zu unterstellen ist.
Im Fall der Intelligenzvergleiche der beiden sozialen Gruppen oder Schichten
haben wir da noch am ehesten die Möglichkeit zu sagen,
wir könnten gegebenenfalls gleiche Varianzen unterstellen,
weil die Intelligenzquotiententests eben tatsächlich so konstruiert sind,
dass die IQs eine gewisse Verteilung einen gewissen Durchschnittswert und auch eine gewisse Streuung jeweils haben.
Und diese Werte sind tatsächlich so weit normiert,
dass bei diesen Tests die Streuung doch über verschiedene Teilgruppen recht konstant ist.
Aber das ist eine Zusatzinformation, die man aus den
entsprechenden Anwendungen der psychologischen Testtheorie und der Testanwendung gewonnen hat.
In vielen anderen Fällen ist es nicht bekannt, ob man
gleiche Varianzen hat. An denen bei diesen Fällen ist es natürlich
Die sichere Schiene zu sagen, wir unterstellen eben nicht,
dass die Varianzen gleich sind, sondern gehen so froh,
dass wir den Welttest anwenden und erlauben zumindest den Varianzen,
dass sie verschieden sind.
Das ist die, in Anführungsstrichen, sichere Seite.
Wir setzen weniger voraus, müssen gegebenenfalls dann auch damit rechnen,
dass wir nicht so schnell zur Ablehnung der Nullöbothese kommen,
aber wenn wir es schaffen,
dann wissen wir auch,
dass das Niveau sicher eingehalten wird
Ich möchte mit Ihnen noch ein weiteres Problem betrachten,
ganz analog zum Einstichprobenfall und zwar das Problem, das wir haben,
wenn wir den Vergleich des Niveaus zweier Stichproben haben,
wo wir nicht von der Normalverteilung ausgehen können,
aber trotzdem tendenziell keine sehr großen Stichproben vorliegen.
Diese Vergleich der beiden Lageparameter führt wieder dazu,
dass wir dann ähnlich wie bei dem Einstichprobenfall uns in die Richtung bewegen, dass wir Mediane miteinander vergleichen.
Der Vergleich der beiden Medianer ist dann möglich,
wenn wir davon ausgehen können, dass die beiden Stichproben,
die Beobachtungen, die wir wieder mit X und Y bezeichnen,
praktisch den gleichen Typ haben, aber dass die gegeneinander verschoben sind,
dass wir also einfach ein unterschiedliches Niveau haben,
und die sonstigen Charakteristika der Verteilung weitgehend gleich sind.
Das ist also eine Erweiterung. Wir brauchen nicht mehr die
Normalverteilung, aber wir können nicht beliebige Verteilung miteinander vergleichen.
Wir brauchen zumindest einen gleichen Typ ohne die Normalverteilung,
also eine Erweiterung, aber nicht in eine beliebige Richtung.
Ich habe das so formuliert, dass ich mir sage,
wir wollen höchstens einen Unterschied bezüglich der Lage zulassen
Was wir dann benötigen, ist eine Teststatistik, deren Verteilung
unter der Nullhypothese nicht von der Form der Verteilung abhängt.
Also wir können nicht mehr auf die Normalverteilung bauen und darauf,
dass wir beispielsweise atmetische Mittel nehmen. Wir wollen auch zulassen,
dass wir eben noch keine so großen Stichprobenumfänge haben,
dass wir aproximativ den Normalverteilung wieder für den Test verwenden können
Der Ausweg besteht darin, dass wir zu rang werden, übergehen.
Also nur die Platznummern der Stichproben verwenden und darauf eine geeignete Teststatistik aufbauen.
Nur die Ordnungsrelation, wenn wir Platznummern statt der Werte nehmen,
ist es also, was dann verwendet wird.
Überlegen wir uns zunächst, was in Bezug auf diese Rangwerte
auf diese Platznummern passiert, wenn die Nullhypothese gilt.
Wenn die Nullhypothese gilt und die entsprechenden Beobachtungen aus den beiden Stichproben betrachtet werden,
dann können wir sagen, da die Nullhypothese festlegt,
es gibt keine Verschiebung und wir auch gesagt haben,
es gibt aber höchstens bezüglich der Lage einen Unterschied,
dann sind unter der Nullhypothese alle Beobachtungen aus der gleichen Verteilung stammend.
Also können wir sagen, wir haben eine große Stichprobe vorzulegen
Wir können also die Stichprobe zusammenlegen oder wie man auch sagt,
poolen und betrachten dann die Ränge aus dieser zusammengelegten Stichprobe.
Gucken wir uns an, wie das in einem Beispiel aussieht.
Ich habe hier zwei Gruppen von Unternehmen. Einmal die Gruppe,
eine Gruppe, die einen kapitalen Finanzbewegungsrechnung einsetzt. Das seien unsere X-Werte,
eine zweite Gruppe, die eine solche Rechnung nicht einsetzt.
Das seien unsere Y-Werte. Die Fragestellung ist dann,
ob sich die beiden Gruppen in Bezug auf die Größe des
Unternehmens unterscheiden, die Größe des Unternehmens wird über die Bilanzsumme
Gemessen. Wenn wir, wie gesagt, unterstellen,
dass beide sich nicht unterscheiden,
dann haben beide die gleiche, unbekannte Verteilung,
die aber sonst identisch ist und wir können die entsprechenden Beobachtungen in der Form betrachten,
dass wir sagen, gut, wir packen sie zu einer einzigen Stichprobe zusammen.
Wir haben hier zwei Zufallsstichproben von entsprechenden Unternehmen,
Und ich habe die beiden Zufallsstichproben in der Form hier angegeben,
dass wir sagen, okay, die X-Stichprobe,
das waren die Mitfinanzbewegungsrechnungen,
habe ich der Größe in Bezug auf die Blanzsumme angeordnet und hier entsprechend dann die zweite Stichprobe ohne diese Finanzbewegungsrechnung der Größe nach.
Auch wenn die jetzt in sich geordnet sind,
fassen wir sie als eine Stichprobe auf und verteilen die Rangwerte oder Platznummern aus dem gesamten Rahmen.
Wir gucken also nach, an welcher Stelle steht der kleinste Wertebilanzsumme überhaupt. Der kleinste Wert ist 19,
dieses Unternehmen kriegt also die Rang Nummer 1,
der zweitkleinste Wert ist 36, das Unternehmen kriegt die Rang Nummer 2,
das nächste mit 50 kriegt die Rang Nummer 3,
das nächste Unternehmen hat die Bilanzsumme von 52,
da vergeben wir die Rang Nummer 4, der nächstgrößere Wert,
wir brauchen ja immer nur hin und her zu gucken,
gibt es einen 5 und 6, 7,
18 dann wieder hier und so fort, der größte Wert ist dann der,
den wir hier hinten haben, dass die Rangwert 48 für diese Bilanzsumme von 39.204. Das sind natürlich abgekürzte Daten.
In der Form verteilen wir also die Rangwerte und überlegen uns,
dass wir Netz natürlich noch über brauchen eine geeignete Prüfgröße,
um die Hypothese, beide Mediane seien gleich, überprüfen zu können.
Die Idee ist, dass wir sagen,
unter der Nullhypothese sind die X und die Y-Werte gut durchmischt.
Also sollten die X-Werte geeignet viele kleine und große Rangwerte aufweisen,
die gesamtsumme aller Rangwerde der Beobachtung der X-Stichprobe,
die sollten dementsprechend einen mittlere Größe haben, gemessen an der Gesamtsumme aller Rangwerte.
Tatsächlich kann ich aus der kombinierten Stichprobe aller Ränge bestimmen und nehme dann nur diese Summe der Rangwerte,
die zur X-Stichprobe gehören und erhalte den sogenannten Rangsummentest von Willkoxen
und man kann die Verteilung bei kleineren Stichprobenumfängen direkt tabellieren und
es ist auch passiert und das kriegen sie auch zur Verfügung gestellt
Die Idee ist, dass zu kleine Werte darauf hinweisen,
dass Mühe X-Schlange als der Media, der X-Stichprobe,
kleiner ist als der Media in der Y-Stichprobe,
zu große Werte weisen natürlich auf die umgekehrte Richtung hin und
wir können entsprechend auch den Test zweiseitig durchführen,
dann muss an jeder Hälfte einfach die Wahrscheinlichkeit alphahalbe stehen.
Wenn wir kleinere Gesamtstichprobenumfänge haben, Dann können wir
das Ganze mithilfe der einer geeigneten Tabelle entsprechend durchführen.
Und sie sehen hier,
dass wir für Gesamtstichprobenumfang Groß-N und den Stichprobenumfang Kleinende der ersten Stichprobe
diese zugehörigen Quantile für die Niveau ist 0,00. 1,0,05 bis 0,5 hier angegeben haben.
Das geht bis zum entsprechenden Gesamtstichprobenumfang
Von insgesamt 14 hier, und danach hört es allerdings auf.
Das heißt, wir haben hier die entsprechenden Werte für diese Situation.
Die Verteilung ist symmetrisch, das heißt,
wir brauchen nur den unteren Teil der Verteilung für die oberen Quantile,
kann man das aus den entsprechenden Spiegelungen bestimmen
Beziehungsweise wir können einfach so vorgehen,
dass wir dann die beiden Stichproben umbenennen und sagen, gut,
gucken wir uns den entsprechenden Wert der Rangwerte aus der anderen Stichprobe
an und damit können wir wieder hier in diesem Bereich einsteigen.
Also für kleine Stichprobenumfänge bis insgesamt 20 gibt es hier entsprechende Tabellen.
Das ist natürlich auch nicht so groß und wir hatten ja gesagt,
wir wollen einen Test haben,
der geeignet ist insgesamt bei nicht zu großen Stichprobenumfängen
Allerdings ist ein Gesamtstichprobenumfang von N-Großen gleich 20 schon ausreichend, um diese Approximation, die hier angegeben ist, zu verwenden.
Erstaunlicherweise führt bei diesem Rahmen schon der Stichprobenumfang von zusammen 20 zu einer sehr guten Annäherung mit Hilfe der Standard-Normalverteilung,
wenn ich den unter der Nullhypothese erwarteten Wert der Prüfgröße dividiert durch die zugehörige Standardabweichung,
die man formal ausrechnen kann,
die aber eben hier einfach von den Stichprobenumfängen abhängt und so von sonst nichts angeben kann,
dass wir nur die Stichprobenumfänge hier sehen und sonst nichts für die Varianz,
hängt damit zusammen, dass die Rangtransformation,
die Originalwerte ja einfach transformiert in die Zahlen 1,
2, 3 und so fort,
bis Gesamtzahl der Beobachtung,
dann habe ich also von vornherein eine Serie von Beobachtung,
die in Anführungsstrichen bekannt ist.
Ich weiß von vornherein die Werte,
es sind einfach die ganzen Zahlen von 1 bis groß N,
groß endgleich Summe der beiden Einsatzstichprobenumfänge.
Wenn ich diese Werte habe, kann ich einführen mal allemal
die Zugehörige Varianz ausrechnen bzw. die Zugehörige durchschnittlichen Wert und sie sehen,
das sind gerade die Werte, die hier auftauchen.
Also bei einem Gesamtstichprobenumfang von insgesamt 20 oder insgesamt mehr als 20
Beobachtungen können wir schon diesen Test mit Hilfe der Normalverteilung wieder durchführen.
Und wenn wir das für unser Beispiel der Finanzbewegungsrechnung machen,
dann nehmen wir also hier Folgendes vor.
Ich habe ihnen die Bilanzsumme jetzt insgesamt der Größe nach Krank geordnet und immer dazu geschrieben,
ob wir einen Wert aus der Y oder aus der X-Stichprobe haben.
Für die Prüfgröße des Willkoxen Rangsummen-Tests verwenden wir nur die Rangwerte,
die hier auch angegeben sind, die zu einem Wert der X-Stichprobe gehören.
Und die Gesamtsumme dieser Werte ist dann zu ermitteln,
dass es hier 761, wir können,
weil wir insgesamt mehr als 20 Beobachtungen haben,
den Test approximativ durchführen und haben dann den entsprechenden Wert der Prüfgröße 1,903. Der P-Wert,
den ermitteln wir einfach mit Hilfe dieser Approximation.
Wir wissen, dass die Prüfgröße näherungsweise Mal verteilt,
ist unter der Nullhypothese, also können wir aus der Standard-Normalverteilung bestimmen,
wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, einen Wert der Prüfgröße zu bekommen,
der noch extremer ist, als dieses 1,999903.
Und diese Wahrscheinlichkeit ist hier 0,0285, dementsprechend können wir sagen,
der entsprechende Test führt zur Ablehnung,
der P-Wert ist kleiner als 0,05 und damit haben wir zwei unterschiedliche Gruppen
Diese unterscheiden sich signifikant in Bezug auf die Bilanzsummen und die eine Gruppe,
die setzt das entsprechend ein und die andere Gruppe,
die mit den kleineren Bilanzsummen, ist eher diejenige,
die das nicht einsetzt.
Damit bedanke ich mich für Ihre Aufmerksamkeit und wünsche Ihnen
eine angenehme Woche