Gut, dann darf ich Sie zur heutigen Veranstaltung begrüßen.
Sie sehen schon, dass wir uns heute weiterhin mit Konfidenzintervallen beschäftigen wollen.
Und das war ja das Thema unserer letzten Sitzung.
Wenn Sie noch mal drüber nachdenken, wir haben in der
letzten Sitzung unterschiedliche Situationen betrachtet für Konfidenzschätzungen für den Erwartungswert.
Einmal war vorausgesetzt worden,
dass wir eine Normalverteilung mit Bekannte Varianz haben,
Als zweites haben wir die Voraussetzung der Bekannten Varianz aufgegeben.
Und im dritten Schritt haben wir auch die Voraussetzung der Normalverteilung aufgegeben.
Mussten allerdings dafür voraussetzen, dass der Stichprobenumfang groß ist.
Denn dann konnten wir mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes argumentieren,
dass zumindest das arathmetische Mittelaproximativ
normal verteilt ist
Und das ist ja der Entscheidende Aspekt. Wir brauchen Wahrscheinlichkeitsaussagen
in Bezug auf den Mittelwert. Diese Wahrscheinlichkeitsaussagen haben es nötig gemacht,
dass wir die Situation bekannte, unbekannte Varianz unterschieden haben,
einfach aufgrund der Tatsache, dass wir sonst nicht sicherstellen konnten,
dass das Konfidenzniveau die Wahrscheinlichkeit, dass das zu berechnende Intervall ausfallen wird,
dass es den den entsprechenden unbekannten Mehrt tatsächlich mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit einschließt.
Diese Wahrscheinlichkeit, dass ein Intervall einen unbekannten Barmmeterwert einschließt,
hat hoffentlich jedenfalls, zumindest von der Ausführung her, die Intention deutlich gemacht,
dass die Interpretation der Intervalle nur sinnvoll ist in Bezug auf Wahrscheinlichkeiten,
bevor wir irgendetwas beobachtet haben.
Sobald wir das Intervall berechnet haben, Wird das Intervall so ausgefallen sein,
dass es den unbekannten Parameter wert einschließt oder wenn wir Pech haben,
würde es den Parameter wert nicht einschließen.
Da wir diesen Wert nicht kennen, können wir im Einzelfall auch nicht sagen,
welche der beiden Situationen eingetroffen ist. Das einzige,
was wir wissen, ist halt, und das gewährleistet,
das Konfidenzniveau, dass wir bei wiederholter Bestimmung solcher Intervalle davon ausgehen können,
dass ein entsprechender Anteil der Intervalle Zugehörigen, paar Meter Welt einschließt.
Wir werden also in jedem Einzelfall behaupten, der Parameter wert,
wird von diesen konkreten Zahlen den konkreten Grenzen,
die wir berechnet haben aus der Stichprobe eingeschlossen werden,
aber wir müssen uns darüber klar sein,
dass wir diese Behauptung in 95 oder 99 Prozent der Fälle zwar zurecht machen,
aber eben auch in fünf oder im einen Fall zu Unrecht bei 100 Wiederholungen, je nachdem, wie wir unser Konfidenzniveau gewählt haben.
Also Im Einzelfall gibt es dann keine Wahrscheinlichkeit mehr,
wenn wir die Intervalle berechnet haben, dann gibt es eben
nur noch einen Vertrauensgrad und deswegen auch Konfidenz, Intervall, Vertrauensintervall auf Deutsch.
Heute wollen wir uns um zwei weitere Situationen kümmern und dafür Konfidenzintervalle kennenlernen.
Einmal wie hier schon an der Tafel zu sehen,
dass Konfidenzintervall für einen Anteilswert oder einer Wahrscheinlichkeit, diese Situation ist dadurch charakterisiert,
dass die zugrunde liegende Variable Anzahl der Erfolge Anzahl der Ereignisse, die uns interessieren, bei entsprechender Wiederholter Beobachtung binomial verteilt ist. Diese Binomialverteilung,
das haben wir im Zusammenhang mit der Einführung der Binomialverteilung kennengelernt,
können wir auch verwenden,
wenn ganz streng genommen die Versuchswiederholungen nicht unabhängig sind,
sondern wenn das Ziehen, wie wir es sagen,
mit nicht mit zurücklegen, sondern ohne Zurücklegen passiert,
sofern nur die Grundgesamtheit sehr groß ist,
nehmen wir etwa die gesamte Bevölkerung der Bundesrepublik,
die Wahlberechtigte ist und wir nur wenige Personen auswählen,
denken wir daran, dass wir vielleicht 100,
200 mal einetwegen tausend Personen auswählen,
dann haben wir zwar bei der Befragung, Auswahl aus der Grundgesamtheit,
wenn wir die Einschätzung in Bezug auf eine Wahlpräferenz machen,
keine exakte Unabhängigkeit der entsprechenden Stichprobenzüge,
weil die Entnahme einer einzelnen Person zum Zwecksinterview natürlich eigentlich das Ganze beeinflusst,
aber der Effekt ist so gering,
dass wir ihn vernachlässigen können.
Dementsprechend können wir auch in dieser Situation davon ausgehen,
dass die Bindung mehr Verteilung gilt. Also das formal ist der Ausgangspunkt,
wir haben eine Bindung mehr verteilte Zufallsvariable,
Klein-N wiederholte Beobachtung und interessieren uns für die Anzahl des Eintreffens einers bestimmten Ereignisses und zählen nur,
wie oft dieses Ereignis eingetreten ist.
Die Frage, um die es geht, ist halt,
ein Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit P oder den zugrunde liegenden Anteil P zu bestimmen.
Bei der Venuumialverteilung haben wir natürlich einige Informationen aus dem Abschnitt über Verteilungen. Wir wissen,
dass der Erwartungswert von X dann gegeben ist Aufgrund der Eigenschaft,
das ist Penomial verteilt, ist, dass Evan X gleich NBP ist,
dass die Varianz von XN mal P,
mal 1 minus P ist und auch das X asymptodisch normal verteilt ist.
Das haben wir im Zusammenhang mit der Approximation der Penomialverteilung durch die Normalverteilung
ausführlich besprochen. Wir haben also auch hier die Möglichkeit,
approximativ Wahrscheinlichkeiten mit der Penomialverteilung
zu bestimmen
Wenn wir jetzt einen Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit bestimmen wollen,
dann denken wir natürlich,
dass wir erst mal eine adäquate Punktschätzung uns überlegen könnten.
Und das hatten wir ja in diesem Abschnitt über Schätzung von Parametern betrieben,
die adäquate Punktschätzung ist der Anteil X durch N der Erfolge bei den N-Versuchen der Erwartungswert.
Wir haben eine Erwartungstreueschätzung von X durch N,
ist gleich P die Varianz,
ist P
mal 1-P durch
Zur Erinnerung, das war der Hintergrund dafür,
dass wir gesagt haben, die Punktschätzung ist konsistent.
Das heißt, dass die Varianz gegen Müll geht und
der Schätzwert bei wachsendem N die Tendenz aufweisen wird,
immer näher beim zu schätzenden Parameterwert zu liegen.
Natürlich gilt auch, dass der Anteil groß X
durch N näherungsweise normal verteilt ist.
Wenn das für die Binomialverteilte zufallsvariable X gilt,
dann unterscheidet sich ja der Anteil X durch N
nur durch den Faktor 1 durch N
Wenn wir eine Zufallsvariable haben,
die Binomial verteilt ist und diese Zufallsvariable mit einem Faktor multiplizieren,
hier mit eins durch N, dann bleibt die Zufallsvariable nach der Transformation Binomial verteilt,
hat natürlich einen anderen Erwartungswerten eine andere Varianz und Erwartungswerten Varianz von X durch N,
sind ja in dieser Zeile zuvor gerade angegeben.
Aber wir können weiterhin mit der Pinomial, Entschuldigung,
mit der asymptodischen Normalverteiltheit dieses Anteils arbeiten und wenn wir Die zugehörige Confidenzschätzung ableiten wollen,
können wir uns daran erinnern, was wir in der letzten Woche gemacht haben.
Da haben wir eine standardisierte Version des arathmetischen Mittels betrachtet,
haben diese zugehörige Beziehung, die standardisierte Version des arathmetischen Mittels,
ist entweder bei der Normalverteilung exakt normal verteilt oder wir hatten apoximative Normalverteilung,
hatten dann die entsprechende Wahrscheinlichkeitsaussage für diese standardisierte Variable genutzt,
über eine Umstellung des entsprechenden Ausdruckes zum Konfidenz in der Wahl zu kommen.
Auch hier liegt es nahe, in der gleichen Weise fortzufahren und zu sagen,
gucken wir uns die standardisierte Zufallsvariable Z an,
die hier gegeben ist über P-Dach-Zugehörige Erwartungswert, dividiert durch zugehörige Standardabweichung,
die ist Standard-Normal verteilt und wir können jetzt natürlich in der gleichen Weise,
wie in der letzten Woche,
Ansätzen sagen, wenn wir von dieser Aproximativen Normalverteilung ausgehen,
können wir die entsprechenden quantiler aus der Normalverteilungstabelle nehmen,
minus Z minus 1 minus Alphahalb, 1 minus Alphahalb,
bis Z 1 minus Alphahalbe und die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass unsere Standardisierte Zufallsvariable in diesem zentralen Bereich liegt,
ist natürlich eins minus Alpha.
Das minus Z und Plus Z mit gleichem Index
auftauchen hängt eben an der Symmetrie der Normalverteilung
Das war auch unser Ausgangspunkt in der letzten Woche und wir haben dann einfach
die Umstellung vorgenommen, die wir hier ganz genauso machen.
Deswegen habe ich das jetzt einfach in der Form als Resultat hingeschrieben.
Wir multiplizieren die Standardabweichung, also die Quadratwurzel nach links und
rechts nach oben und stellen die Beziehungsgleiche um,
um und haben dann die entsprechende Aussage für die zugehörigen Konfidenzintervalle.
Das P Der Parameter, für den wir das Intervall bestimmen wollen,
steht in der Mitte, wie wir das auch gerne haben wollten,
weil wir ja die Grenzen als Stichpumpfunktionen haben wollen.
Und in der Mitte soll der unbekannte Parameter stehen.
Trotzdem ist der Ansatz hier nicht hundertprozentig erfolgreich. Das Problem,
was wir haben, ist halt, dass auch in den Grenzen,
nämlich unter der Quadratwurzel, die unbekannte Größe P auftaucht.
Wir haben eben die Abhängigkeit auch der Standardabweichung von dem Parameter
Deswegen können wir nicht ganz so einfach vorgehen, wie bei
der Normalverteilung, wo die Standardabweichung praktisch ein Extra-Pahameter war.
Hier kommt das P eben auch daher an den Grenzen vor
und damit haben wir eben keinen Konfidenzintervall in der Form,
wie wir es haben wollten.
Also müssen wir zurückgehen. Was machen wir nun?
Wir hatten ja eine ähnliches Problem bei dem Konfidenzintervall für Mühe
als Sigma
Die Standardabweichung nicht bekannt war. Dann haben wir einfach
eine Schätzung eingesetzt und hier liegt es nahe zu sagen,
setzen wir doch auch hier eine entsprechende Schätzung ein.
Diese Schätzung bedeutet, dass wir im Nenner unter der Quadratwurzel
einfach das P auch durch die zugehörige Schätzung Peterch ersetzen.
Dann ist Pedach mal 1-pdach durch N eine Schätzung der Varianz,
der es entsprechenden Anteils Wir werden uns natürlich hüten und auf
keinen Fall auch im Zähler die entsprechende Schätzung einzusetzen.
Wir wollen ja letztlich die Möglichkeit haben,
ein Konfidenz in der Wahl für P zu bestimmen und
wir brauchen das P natürlich mindestens einer Stelle als Parameter,
sonst kommen die entsprechende Umstellung nicht zum Ziel.
Aber wir können diese Ersetzung vornehmen, ganz ähnlich wie bei der Normalverteilung,
aber auch nur in dem Fall, dass der Stichprobenumfang die Zahl der Beobachtungen groß genug ist.
Das ist also hier durchaus relevant, dass wir hier sagen,
N soll groß sein, dann haben wir die Möglichkeit,
die entsprechende Ersetzung vorzunehmen und können nun das entsprechende,
die entsprechende Umformungen vornehmen und haben die Grenzen,
die sich dann ergeben, in einer Form, wo wir sagen können,
diese Grenzen sind entweder aus der konkreten Stichprobe zu bestimmen,
das ist das P-Dach oder mithilfe des vorgegebenen Konfedenzniveaus zu bestimmen,
das ist das Qualität der Standard-Normalverteilung bei vorgegebenem Konfidenzniveau 1-alpha.
Und dann müssen wir natürlich, wie groß unser Stichprobenumfang ist, der ist ja auch bekannt.
Also haben wir in den Grenzen nur entweder aufgrund der Randbedingungen vorgegebene Werte,
Randbedingungen 1-alpha, sprich Konfidenzniveau oder Stichprobenumfang, oder Werte,
die wir aus der Stichprobe selbst bestimmen können, nämlich das Bedach.
Damit haben wir tatsächlich ein Konfidenzintervall und können sagen,
die Wahrscheinlichkeit, dafür,
dass die zugehörige untere Grenze Pedach-Z mal Wurzel aus 1-P mal 1-P durch N und Pedach plus Z mal entsprechender Quadratwurzel,
dass diese beiden Stichprobenfunktionen, den unbekannten Parameterwert einschließen,
ist jetzt nicht mehr ganz exakt,
hier steht kein Gleichheitszeichen mehr, sondern ist abproximativ 1-Alva.
Diese Approximation wird in aller Regel ausreichen,
wenn unsere Stichprobenumfang groß genug ist, wir können davon ausgehen,
dass die Wahrscheinlichkeit in etwa zwei, drei Nachkommastellen genau ist.
Spätere Nachkommastellen mögen sich von der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit etwas von dem vorgegebenen Wert unterscheiden.
Aber das sollte nicht mehr relevant sein. Wir haben also
auf diese Weise ein Approximatives Konvedenzinnerval für eine Wahrscheinlichkeit bestimmt.
Die Approximation wird üblicherweise verwendet, wenn der Stichprobenumfang 100 oder größer ist.
Also wir können hier durch Aussagen ein größer,
gleich 100 für diesen Fall können wir das Intervall verwenden.
Ich möchte noch erwähnen, dass wir auch die Möglichkeit zumindest theoretisch haben,
für kleinere Stichprobenumfänge, Konfidenzintervalle für solche Anteile und Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen,
diese Konfidenzintervalle sind aber wesentlich aufwendiger und deswegen begnügen wir uns in diese Veranstaltung mit dem asymptotischen Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit.
Gucken wir uns ein Beispiel an. Wir fragen uns nach einem Konfidenzintervall im Rahmen einer Wahlprognose eine Partei verfolge,
das Ziel mindestens 18 Prozent der Stimmen auf sich zu vereinigen und wir wollen sehen,
ob anhand einer vorab durchgeführten Befragung das Ziel als erreichbar eingeschätzt wird,
gegebenenfalls muss die Partei einfach noch einiges in Bezug auf Mobilisierung,
potenzieller Veder dazulegen
Wir unterstellen, dass eine Befragung von tausend Personen stattfindet und
dass 157 Personen, die zugehörige Wahlpartei auch wählen würden.
Und wie gesagt, die übliche Frage dabei ist ja,
welche Partei würden sie wählen, wenn am nächsten Tag,
Entschuldigung, am nächsten Sonntag, Bundestagswahl wäre.
Und wir gucken uns nur die Antworten für die entsprechende Partei
Und Frage, wie weit das Ergebnis, was wir haben,
um 157 von den tausend Befragten, würden die Partei wählen,
wie weit dieses angestrebte Ziel über das Ergebnis in Frage gestellt
wird oder ob dann die entsprechende Partei hoffnungsvoll auf die nächste Wahl gucken kann.
Wenn wir das Convidenz in der Wahl bestimmen wollen,
um mithilfe des Konvidenzinnevals diese zugehörige Frage zu beantworten,
dann müssen wir natürlich aller Randbedingungen kennen.
Eine der Randbedingungen haben wir schon,
wir haben einen Stichprobenumfang vorgegeben,
die zweite Randbedingung betrifft das Konfidenzniveau und üblich in der Sozialforschung
ist das Konfidenzniveaus mit 0,95 oder sogar bei schwerwiegenden Aspekten und Fragen 0,99 zu wählen.
Wir zählen das mal als nicht ganz so schwerwiegend
an und wählen das Konfidenzniveau von 95 Prozent
Damit haben wir also alle notwendigen Informationen, um das Konfidenzen
in der Wahl zu bestimmen. Wir haben den Stichprobenumfang,
wir haben das Konfidenzniveau und die können dann aus der Normalverteilungstabelle
die Zugehörigen quantile bestimmen, das Konfidenzniveau beträgt 0,95.
Das Quantil, was ihr bestimmen müssen, ist das 1-minus-alpha-halbe-Quantil.
Alpha ist 0,05, Alpha-halbe 0,025,
1-alpha-halbe,
Das Quantil kann man aus der Tabelle ablesen, ist 1,96.
Damit und mit dem entsprechenden Stichprobenwert von 157 durch 1000,
gleich 0,157, haben wir alles,
um jetzt einfach diese Größen in das Konfidenzintervall einzusetzen und erhalten,
dass sogenannte realisierte Konfidenzintervall,
das realisierte Konfidenzintervall ist dann einfach schätzwert,
minus Z mal Quadratwurzel aus Peter
Tag mal 1 minus Pedach, also Schätzwert mal 1 minus
Schätzwert durch N und Obergrenze mit dem Pluszeichen von der entsprechenden zweiten Themen.
Wir halten das Konvidenzen der Wahl zu 0,1 3 4 5 0,1 7 9 5. Ich habe versucht,
das kurz nochmal bei der Wiederholung zu sagen,
wenn wir jetzt ein solches realisiertes Konfidenzintervall haben,
eine entsprechendes Intervall, was hier einfach aus zwei Zahlen besteht,
dann können wir jetzt natürlich nicht mehr sagen, mit Wahrscheinlichkeit 0,9 liegt
Der WRTB zwischen den Grenzen. Diese Aussage wäre Unsinn. Das,
was wir viel mehr machen, wir sagen, unser unbekannter Parameterwert,
unsere Wahrscheinlichkeit, dass diese Partei gewählt ist, wird,
liegt zwischen den beiden Grenzen, also zwischen 13,45 Prozent und 17,95 Prozent.
Und wir wissen, wenn wir 100 Wahlprognosen dieser Art
erstellen würden und jedes Mal behaupten, der Parameterwert,
der Anteil liegt zwischen den Grenzen
Dann behaupten wir, dass 200 Mal,
aber von den 100 Behauptungen werden es circa 95 richtig sein.
Leider 5 werden auch falsch sein. Welche das dann sind,
das können wir natürlich nicht sagen. Das ist leider nicht mehr möglich.
Das Einzige, was wir festhalten können, ist halt,
wir tun so, als würde das korrekt sein.
Wir hoffen einen im konkreten Einzelfall, hoffen wir jeweils,
dass wir einen der vielen Fälle haben,
einen der 95 Fälle und nicht einen der Sonderfälle,
die selten vorkommen,
die eben in 5 von 100 Situationen auftreten
Das ist also der Sinn des Ausdruckes, Konfidenzniveau,
das in diesem Sinne ein gewisses Vertrauen in die Einzelaussage gesteckt wird.
Die Breite des Intervalls ist natürlich nicht gerade ganz klein. Sie sehen,
dass wir diese Schätzung nur bis auf einige Prozent genau gemacht haben und natürlich,
dass wir diese 18 Prozent knapp verfehlen, dementsprechend kann man sagen,
dass diese 18 Prozent aufgrund dieses Ergebnisses noch nicht zur Sicherheit erscheinen,
die Partei sollte also ihre Anstrengung im Zweifelsfalle durchaus noch intensivieren.
Diese Breite des Intervalls ist auch hier eine wichtige Aspekt,
zum Teil auch ein Aspekt, der natürlich die Frage offenlegt,
hätte ich denn eine präzisere Aussage bekommen und eine zuverlässigere Aussage Vielleicht sogar eine Aussage,
über deren Präzision ich vorab etwas sagen könnte,
wenn ich einen größeren Stichprobenumfang gewählt habe, hätte.
Und wir sehen auch wieder hier die Länge des Konfidenz in der Wahls,
hängt natürlich wieder in der gleichen Weise vom Konfidenzniveau ab,
wie bei dem Konfidenzintervall für den Erwartungswert.
Je größer das Konfidenzniveau, desto breiter wird das in der Wahl sein.
Das ist der ganz gleiche Effekt wie beim Konfidenzen der Wahl für Mühe.
Und wir sehen auch, dass natürlich unser Stichprobenumfang im Nenner
vorkommt, wenn auch unter der Quadratwurzel.
Auch dieses ist analog zum Konfidenzintervall für den Erwartungswert.
Wir haben also auch hier die Möglichkeit zu sagen,
mit Erhöhung des Stichprobenumfanges können wir die Länge des Konfidenzintervalls beeinflussen.
Je größer der Stichprobenumfang wird, desto kürzer wird es intervall. Problem ist allerdings,
dass wir hier im Zähler unter der Quadratwurze den unbekannten Wert P-Dach zu stehen haben,
ein Wert, den wir erst bestimmen können,
wenn wir unsere Beobachtung gemacht haben und wo wir vorab eben erstmal nicht sagen können,
wie groß der Wert tatsächlich ist.
Das heißt, die konkrete Länge des Intervalls können wir erst angeben,
wenn wir unsere Stichprobe haben. Wenn wir jetzt trotzdem die Vorstellung haben,
dass die Länge des Intervalls höchstens einen gewissen Wert hier mit L-Index null bezeichnet haben soll,
dann stellt sich die Frage, kann ich denn erreichen,
dass dieser Ausdruck unterhalb der entsprechenden Grenze L-0 liegt?
Diese Grenze ist tatsächlich zu erreichen, und zwar wegen einer Eigenschaft,
die hier bei dem Produkt von Pedach mal 1-pedach
zum Tragen kommt
Wenn wir nämlich diesen Wert von Pedachum mal 1-pedach
in Abhängigkeit des Wertes auftragen, dann ist klar,
wenn wir einen Wert von Pedach haben, der null ist,
dann ist der Ausdruck natürlich gleich null.
Wenn wir einen Wert haben, der gleich eins ist,
dann ist der Wert
auch null
Einfach, weil der zweite Faktor null wird. Wenn wir
P-Dach gleich 0,1 haben, dann haben wir 0,1 mal 0,9.
Das ist also 0,09. Und wenn wir den Wert P-Dach
gleich 0,9 haben, dann ist es auch 0,09.
Denn aufgrund dieser Produktbildung wird das Ganze symmetrisch.
Wenn wir für P-Dach den Wert ein Drittel einsetzen,
dann haben wir ein Drittel mal zwei Drittel,
also zwei Neuntel
Das ist also ungefähr 0,290, 2 durch 9, ist also ungefähr 0,2.
Und wenn wir das Ganze als Funktion zeichnen,
dann kriegen wir in etwa diesen Verlauf und den Größenwert erhalten
wir in der Mitte, wenn PDAC gleich 0,5 ist,
dann haben wir hier 0,255 ein Viertel für dieses Produkt.
Das heißt, wir können davon ausgehen, egal welchen Wert Für Pedach,
wir in unsere Stichprobe bekommen, das Produkt ist immer das Produkt Pedach,
mal 1-pedach, ist immer kleiner oder gleich ein Viertel.
Das ist der größte Wert, der bei diesem Produkt überhaupt vorkommen kann.
Also können wir diesen Wert als Obergrenze nehmen und dann in der Weise vorgehen,
dass wir sagen, dieser Ausdruck,
der die tatsächliche Länge des Konfidenzen der Walds angibt, Die tatsächliche Länge,
die wir eben auch erst nach Beobachtung des Wertes P-Dach nach Beobachtung der Stichprobe tatsächlich ermitteln können,
diese Länge wird immer kleiner gleich sein,
dem entsprechenden Ausdruck, wenn ich für Pedachmann 1-Pedach
den Wert ein Viertel einsetze, weil dieses Produkt immer kleiner
gleich ein Viertel ist, wie wir eben gesehen haben.
Also wird die Länge des Konfidenzen in der Walds immer kleiner gleich sein,
Zweimal dem Quantil Z mal der Quadratwurzel ein Viertel durch N.
Wenn ich also jetzt meinen Stichprobenumfang so bestimme, dass der obere Teil,
der zweite Ausdruck, kleiner gleich dieser entsprechenden Länge ist,
dann stelle ich natürlich auch sicher, dass die konkrete Länge,
die ich im Einzelfall bekommen werde,
auch kleiner gleich der vorgegebenen Länge ist.
Also Wähle ich tendenziell meinen Stichproben-Umfang N so,
dass diese Relation erfüllt ist und habe damit auch sichergestellt,
dass die konkrete Länge des Innervals auf keinen Fall größer ist als die vorgegebene Länge Großel-Index 0.
Die Umstellung dieser Beziehung in dem Sinne,
dass wir das nach N auflösen, führt dazu,
dass N größer gleich dem Ausdruck gewählt werden muss,
der sich nach Vereinfachung simplererweise ergibt zu Z durch vorgegebene Länge.
Z ist das Quantil der Normalverteilung, was natürlich beeinflusst wird durch das Konfidenzniveau.
Und dieser Konzent wird noch ins Quadrat erhoben.
Wenn ich in dir weise meinen Stichprobenumfang bestimme,
dann kann ich davon ausgehen,
dass meine konkrete Länge natürlich kleiner gleich sein wird,
der vorgegebene Länge
Nehmen wir unser Wahlbeispiel vor und frage,
wie viele Wähler müssten denn befragt werden,
damit bei dem 95-prozentigen Konfidenzen Devall das Konfidenzin Devall nicht breiter ist als 0,02,
also eine Abweichung von plus minus einem Prozent vom Schätzwert aufweist.
Die Bestimmung des Stichprobenumfanges mit Hilfe der eben erhaltenen Formel ist
natürlich leicht. Wir wissen, Bei Alpha gleich 0,05,
1 minus Alpha gleich 0,95, ist das zugehörige 1-alpha-quantie 1,96.
Dieser ist 1,96 ist einfach noch durch die vorgegebene Länge
zu dividieren und der Quotient noch zu quartrieren.
Wir halten also 9.600 und 4 für den entsprechenden Wert.
Wir hatten in unserem Ausgangspunkt einen entsprechenden Wert von 1.000 Beobachtungen
und natürlich auch ein viel breiteres Intervall, wenn wir das entsprechenden Intervall,
also klein genug haben wollen, müssen wir unseren Stichprobenumfang entsprechend vergrößern.
Wir können uns natürlich trotzdem mal fragen,
so wie dieses Beispiel aufgebaut ist, können wir ja davon ausgehen,
dass diese 18 Prozent ein angepeiltes Ziel sind und Parteien peilen,
das Ziel ja immer in der Weise an,
dass sie möglichst viel Wähler bekommen wollen und nicht,
dass sie von oben nach unten absacken wollen.
Das kann zwar in der Realität passieren, aber es wird natürlich nicht angepeilt.
Wir können also unterstellen, dass die Partei in der Tendenz
eher ein bisschen unter diesen 18 Prozent legt.
Wenn wir dieses Ziel als ehrgeiziges Kommen zu realisieren,
das Ziel interpretieren, dann haben wir natürlich noch die Möglichkeit zu sagen,
wenn beispielsweise dieses Ziel mit 0,18 vorgegeben ist und wir jetzt unterstellen,
dass der wahre Parameter wehrt,
das heißt der wahre Wähleranteil irgendwo in dem Bereich unter diesen 0,18 legt,
dann ist doch klar, wir können jetzt einfach mal sagen,
Und wenn das tatsächlich der Fall ist,
dann wird er an dieser Stelle der zugehörige Ausdruck 0,18 mal 1 minus
0,18 schon eine Obergrenze für den zu erwartenden Wert, wenn wir den konkreten Ausschuss, Entschuldigung, konkreten Wähleranteil einsetzen darstellen. Das heißt,
wir haben hiermit eine Vorinformation,
dass der tatsächliche Anteil unterhalb der entsprechenden Grenze liegt und damit liegt auch P. Dach mal 1-p-dach,
unterhalb der entsprechenden Grenze,
von 0,18 mal 1 minus 0,18. Wenn wir jetzt diese Grenze verwenden wollen,
dann müssen wir natürlich zurückgehen,
dann können wir nicht mehr diese vereinfachte Formel verwenden,
die darauf basiert, dass wir den obersten Grenzwert von ein Viertel,
Entschuldigung, eineinhalbmal, eineinhalb dafür einsetzen,
sondern wir müssen natürlich zurückgehen zu dem entsprechenden Wert,
den wir hier bekommen, wenn wir, Entschuldigung,
den wir hier oben bekommen,
wenn wir für diesen Wert P-Dach entsprechend den Grenzwert 0,18 einsetzen und müssen dann das Ganze auflösen.
Das führt natürlich dazu,
dass wir hier in dem unteren Bereich Stadt dieses Wertes ein Viertel
einfach den Wert 0,18 mal 1 minus 0,18 einsetzen für unser
konkretes Beispiel und damit eine Untergrenze für unseren Stichprobenumfang haben und dann entsprechend mit dieser Untergrenze bestimmen können,
wie groß der Stichprobenumfang sein soll.
Wenn wir das in dieser Form machen, dann sehen Sie,
ist der Zugehörige Stichprobenumfang die Anzahl der Personen, die befragt werden müssen,
dramatisch kleiner, als wenn wir den größtmöglichen Wert,
der sich bei 0,5 ergibt, lassen.
Wir brauchen noch natürlich ein bisschen mehr als die Hälfte,
aber es sind doch circa 4000 Personen weniger, die befragt werden müssen.
Und das ist ein deutliche Verringerung des Aufwandes,
wo wir davon ausgehen können, dass wir die gleiche Präzision haben,
also auch ein Konfidenzintervall,
das eben nicht länger als 0,02 ist.
Zu diesem kleineren Wert kommen wir,
wenn wir diese Zusatzinformationen verwerten,
dass eben der tatsächliche Anteil
höchstens 0,18 ist
Ohne solch eine Zusatzinformation müssen wir in Anführungsstrichen mit dem Worst Case arbeiten,
der Worst Case, der schlimmste Fall für die Präzision,
ist eben der Fall, dass P-Dach gleich 0,5 ist,
wenn es in den linken Rand verdrängt wird,
können wir eine dochaus geringeren Aufwand betreiben und die gleiche Präzision erhalten.
Gucken wir uns eine Beispielaufgabe an,
wie das tendenziell
umgesetzt werden kann
In dieser Beispielaufgabe geht es um Kundenbeschwerden über die Nicht-Einhaltung der
angegebenen Lieferzeiträume und da soll der Anteil oder für den Anteil,
der nicht fristgerechten Lieferungen ein Konfedenz in der Wahl bestimmt werden.
Wir haben die Information,
dass das Konfedenzniveau 0,95 ist also 1 minus Alpha,
gleich 0,95. Wir haben an die Information,
dass der Stichprobenumfang 100 beträgt, dieser Stichprobenumfang stellt,
insbesondere aus sicher, dass wir mit dem Aproximativen Konfidenzintervall rechnen können.
Und wir haben den Anteil der nicht frischsgerechten Lieferungen mit PDAC
gleich 0,03 angegeben
Damit können wir schon das Zugehörige Konfidenz in der Wahl einfach bestimmen.
Und genauso wie wir das in den letzten Wochen gesehen haben,
die Bestimmung eines Konfidenz in der Walds,
ist Naha mehr oder weniger eine Aufgabe,
die eine Art Schema F darstellt.
Also die Berechnung selbst ist eigentlich nicht großartig aufwendig.
Wir schreiben das Konfidenz in der Wald zur Erinnerung nochmal hin.
PDACH minus Z, mal Wurzel,
PDACH 1-P-DACH
Durch N. P-Dach plus Z, mal Quadratwurze, P-Dach 1-P-Dach. Durch N,
das ist alles, das einzige, was wir noch nicht haben,
was wir aber mit dem Konfidenzniveau bekommen, ist natürlich,
das zugehörige Quantil der Standard-Normalverteilung,
1-alpha-halbe ist 0,975 und das zugehörige Quantil 1,96.
Also können wir jetzt einfach die zugehörigen Werte alle einsetzen
Und erhalten das realisierte Konfidenzintervall mit den Grenzen null Komma 2
-1, 0-2 als Untergrenze Null Komma.
3, 8, 9, 8 als Obergrenze.
Das ist also einfach dann einsetzen und ausrechnen. Die wichtige
Aspekt ist halt eher die Interpretation auf der einen Seite,
die ich versucht habe, in der letzten Stunde ausführlich ihnen zu vermitteln und heute an verschiedenen Stellen,
wo ich einfach nochmal gesagt habe,
wie gehen wir mit diesem Konfidenzen in der Wahl um?
Wir sagen einfach, der Anteil,
der nicht fristgerechten Lieferungen liegt in diesem Bereich zwischen 0,21 und 0,39,
die Sicherheit, mit der wir diese Aussage machen, beträgt 95 Prozent.
Das heißt, wenn wir wiederholt vor dieser Situation stehen,
solche Intervalle zu erstellen, werden wir in jedem Einzelfall sagen,
dass in diesen Grenzen liegt der Wert,
in 95 Prozent der Behauptungen wird es auch korrekt sein, in 5 Prozent bei diesem Konfidenzniveau wird es nicht korrekt sein. Das zweite,
oder zweite Teil dieser Aufgabe, da wird gefragt,
wie groß müsse die Stichproben um sein,
um eine Länge von höchstens zehn Prozent zu garantieren, unser L0,
die vorgegebene Länge ist also 0,1 und da wir keine Vorinformationen haben,
müssen wir einfach mit der Würst-Case-Situation rechnen, das ist natürlich die Vereinfachung,
dass wir jetzt einfach die Formel verwenden können,
das Quantil durch die vorgegebene Länge dividiert wird,
das Ganze quartriert wird,
das heißt 1,96 durch 0,1 zum Quadrat und das gibt,
den wir 30084,16,
das heißt N müsste größer gleich 315 sein,
um zu gewährleisten,
dass das Intervall in jedem Fall höchstens die Länge von
10% oder von 0,1 aufweist
Damit haben wir diese Konfidenzintervalle für Wahrscheinlichkeiten schon im Griff,
wie gesagt,
wir haben nur die Situation hier betrachtet,
dass die Zugehörigen Konfidenzintervalle bei großen Stichproben betrachtet und berechnet werden,
große Stichproben,
die mindestens vom Umfang her auf einer Beobachtungsserie der Länge 100 basieren,
für kürzere Stichproben haben wir
die Zugehörigenintervalle nicht besprochen
Wir wollen uns noch für einen weiteren Parameter das Zugehörige Konfidenz in der Wahl angucken,
nehme ich für den Parameter Sigma-Quadrat für die Varianz,
wenn wir wiederum die Normalverteilung voraussetzen.
Das ist also der zweite Parameter der Normalverteilung,
der natürlich von Interesse ist und auch hier werden wir versuchen,
in der gleichen Weise vorzugehen und das in der Wald zu bestimmen,
wie wir es bisher gemacht haben.
Das heißt, wir gehen erstmal davon aus,
dass wir uns die Zugehörige Schätzfunktion angucken und wieder versuchen,
eine Wahrscheinlichkeitsaussage zu formulieren,
der Wert der Schätzfunktion sollte zwischen zwei Grenzen liegen und hoffentlich,
damit dann die Umstellung erfolgreich wird,
kommt auch der Unbekannte Parameter ins Spiel.
Das Dumme ist, dass die Verteilung der Schätzfunktion in dieser Form
erstmal nicht bekannt ist. Da können wir also erstmal nichts machen,
aber wir können für folgende Situation, die Wahrscheinlichkeitsverteilung bestimmen,
dass wir nämlich unabhängige Standardnormalverteilte, Zufallsfachjablen haben X1, X2 bis XN.
Und wenn wir dann die Summe dieser Standardnormalverteilten, Zufallsvariablen bilden,
und zwar nicht der Variablen selbst, sondern ihre Quadrate,
dann ist die Verteilung, die man erhält, bekannt.
Ich habe das als Satz formuliert und etwas umständlicher als im Rahmen der Einführung.
Aber wenn wir von einer allgemeinen Normalverteilung ausgehen, mit Mühe und Sigmaquadrat
Und hier in diesen runden Klammern, die entsprechende Größe xi-müh durch Sigma bilden,
dann ist das ja gerade so, dass wir das Ganze standardisieren.
Das habe ich deswegen gemacht,
weil das für unsere Umwendungsumsetzung auch im Zusammenhang mit Konfidenzen,
weil natürlich wesentlich ist, dass wir für diese Größen am Ende die entsprechende Verteilung kennen,
dass ähnelt zumindest unseren empirischen Varianzausdruck viel mehr,
als wenn wir einfach die Standard- dissierte Zufallsvariable Z hier reinschreiben würden.
Wenn wir die Summe dieser standardisierten und quadrierten Zufallsvariablen betrachten,
können wir als erstes den Wert 1 durch Sigma-Quadrat nach vorne schreiben,
also das Sigma,
was in den einzelnen Sumantenvorkommen einfach nach vorne ziehen und haben dann
eine zentrierte Variable XI-Mü in Klammern zum Quadrat jeweils noch hier über die wir summieren müssen.
Die resultierende Verteilung, wie gesagt,
ist bekannt und es ist eine sogenannte Ski-Quadratverteilung,
die vom Symbol her immer mit dem griechischen Buchstaben,
kleines Ski bezeichnet wird.
Diese Ski-Quadratverteilung wird noch mit einem Index bezeichnet,
dieser Index N in unserem Fall gibt,
ähnlich wie bei der Tiefverteilung die Zahl der Freiheitsgrade an,
hat also etwas mit der Anzahl der Sumanten
Genauer mit einer Anzahl der Unabhängigen zu meinen zu tun.
Ich habe ihnen hier einfach mal die dichte Funktion oder einige
dichte Funktionen der Skiquadratverteilung aufgezeichnet. Und es ist natürlich einsichtig,
wir haben Summen von quartrierten, normal verteilten Zufallsvariablen.
Über die Quadrate erlauben wir natürlich der Zufallsvariablen,
erlauben wir dem Endprodukt der Summe der quartrierten Werte nicht, dass es negativ wird.
Über die Quadrate müssen wir oder erreichen wir, dass wir nur positive Werte bekommen.
Wenn die Was hier ja über die Zentrierung gestehen ist,
ursprünglich bei null zentriert waren,
dann haben wir bei der Normalverteilung viele Werte in der Nähe von Null und das führt dazu,
dass wir im unteren Bereich entsprechend eine hohe Werte,
dichte Funktion, eine große Fläche unter der dichte Funktion bekommen.
Das bedeutet, wir kriegen eher in der Tendenz kleine Werte,
aber es kann eben auch vorkommen,
dass wir mit nicht zu kleiner Wahrscheinlichkeit auch mal große Werte bekommen.
Wir haben rechtsschiefe Verteilungen. Je weiter oder je mehr,
sumant mir berücksichtigen, desto flacher wird die Kurve und verschiebt sich immer weiter nach rechts.
Das ist einsichtig, dann haben wir viele Sumanten und
dementsprechend werden die Sumanten natürlich auch etwas zur Gesamtsumme beitragen.
Die Gesamtsumme wird Zeltner sehr kleine Werte haben.
Das ist also nur eine Illustration, Zugehörigen,
dichte Funktionen und da die Ski-Quartalsverteilung für die Anwendung natürlich von großer Bedeutung ist,
ist sie für die Verwendung tabelliert und die Tabelle ist ähnlich aufgebaut wie die Tabelle der Tieferteilung.
Wir haben Für vorgegebene Wahrscheinlichkeiten,
die Zugehörigen quantile hier in der Tabelle aufgelistet und zwar in
Abhängigkeit und das ist jeweils die Zeile von den zugehörigen Freiheitsgraden.
Damit können wir natürlich in Bezug auf die Einteilung der Wahrscheinlichkeit
nicht sehr fein vorgeben und haben nur die am meisten
gebrauchten Quantile,
nämlich zu den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten
0,05, 0,0100,025 und so fort angegeben. Sie sehen,
die Tabelle geht bis 0,5, aber die Tabelle,
und das wird ja deutlich anhand der entsprechenden dichte Funktion,
kann bei 0,5 als oberstem Wert für die Wahrscheinlichkeit nicht aufhören.
Wir haben ja hier keine Symmetrie,
bei der Tiefverteilung hat es ausgereicht, eine Hälfte zu tabellieren,
rebellieren, weil wir argumentieren konnten, wird der Symmetrie,
sind die anderen Quantile einfach die negativen Werte gespiegelt an der Nullstelle.
Hier haben wir ganz offensichtlich keine symmetrische Verteilung, dementsprechend,
na. Dementsprechend müssen wir für die oberen Quantile,
die Skiquadratverteilung ebenfalls tabellieren und das ist im zweiten Teil der Tabelle hier aufgelistet.
Das heißt, hier geht es weiter bei dem Quantil für 0,
für die Wahrscheinlichkeit 0,5, 0,6 und im Opernbereich etwas feiner angegeben.
Also damit haben wir die Möglichkeit, die Zugehörigen, Werde aus der Tabelle zu bestimmen.
Wollen wir uns jetzt angucken, Wie die Zugehörigen Größen aussehen,
sodass wir am Ende zu unserem Konfidenzintervall für die Varianz kommen.
Das Erste, was natürlich gegeben ist,
dass wir hier in den Anwendungen den Parameter Müh,
der noch zunächst auftaucht und der für die Verteilungsaussage natürlich relevant ist,
in der Regel genauso wenig kennen wie die Varianz.
Dementsprechend brauchen wir noch einen weiteren Ergebnis und da ergibt sich,
dass die Ersetzung des theoretischen Erwartungswertes Müh in dem entsprechenden,
in der entsprechenden Summe dequatrierten Abweichungen durch die Zugehört,
durch das Zugehörige arithmetische Mittel, ebenfalls wieder zu einer Skiquadratverteilung führt,
aber jetzt mit N-1-Freiheitsgraden die Zahl der Freiheitsgrade reduziert sich um eins.
Das ist ähnlich wie bei der Tiefverteilung, wo wir bei
einem Stichprobenumfang von N auch nur Stichprobenumfang, minus eins Freiheitskater hatten.
Das ist hier also ganz analog bei der Skiquadratverteilung.
Damit haben wir aber jetzt die Möglichkeit,
wir brauchen ja nur in einer anderen Zeile der Tabelle,
die zugehörigen Quantile zu bestimmen, das zugehörige Konfidenzintervall zu ermitteln.
Wir schreiben einfach ähnlich, wie wir das bisher gemacht haben,
für diesen zugehörigen Ausdruck, die entsprechende Statistik, die wir,
für die wir hier diese Verteilung angegeben haben, in die Mitte.
Hier wissen wir, dass wir eine Skiquadratverteilung haben und die zugehörigen quantile,
schreiben wir, entsprechend an die beiden Stellen,
das kleinere Quantil, das Alpha, halbe Quantil,
kommt natürlich an die untere Stelle, das 1-alpha-halbe Quantil an die obere Stelle.
Wenn wir das machen, haben wir natürlich die Wahrscheinlichkeit,
1-alpha dass die entsprechend der Größe,
die wir hier in der Mitte zu stehen haben,
einen Wert annimmt, der zwischen der unteren und der oberen Grenze liegt.
Wenn wir das haben, brauchen wir jetzt nur noch unseren Ausdruck so umzustellen,
dass wir das Sigma-Quadrat, was ja im mittleren Ausdruck noch vorkommt,
allein in der Mitte steht.
Das Umstellen habe ich jetzt nicht in Einzelschritten durchgeführt,
das sollte leicht sein, wenn sie das selbst nachvollziehen wollen
Wir brauchen nur einmal zum Kehrwert überzugehen und die entsprechende Ungleichungskette zu berücksichtigen,
dass über die Kehrweltbildung sich die Größe Gleichzeichen gerade umdrehen.
Was ich noch gemacht habe, ist halt eine Ersetzung,
die Summe, die sie hier in der Mitte sehen,
die Summe der Quartrierten Abweichungen ximinus x quer zum Quadrat,
das ist ja nichts anderes als das Gleiche,
was wir hier jetzt im Zähler zu stehen haben,
nämlich N minus 1 mal Sigma Dachquadrat.
Beide Ausdrücke sind vollkommen identisch, denn Sigma Dachquadrat ist
gerade eins durch N minus 1 mal dieser entsprechenden Summe.
Also N minus 1 mal Sigma Dachquadrat ist gleich diese Summe
. Ich habe das deswegen hier in der Form aufgeschrieben,
weil es viel übersichtlicher ist,
als wenn ich die Summe jetzt noch mal in der
entsprechenden ursprünglichen Weise eingetragen hätte
Das, was noch zu berücksichtigen ist,
was sich über diese Umstellung ergibt, ist halt,
dass hier das obere Quantil steht, aber dadurch,
dass wir zu den Kehrwerten übergegangen sind,
haben sich diese Größe Gleichzeichen umgedreht und wir landen dabei,
dass dieses Quantil hier im unteren Bereich in Nenne zu stehen kommt.
Also erhalten wir die mit n-1 multiplizierte Schätzung der Varianz,
dividiert durch das obere Quartil,
Entschuldigung Quantil,
das Overquantil ist ja auch das Größere,
das ist die untere Grenze und n-1 mal Variantenschätzung dividiert durch
das untere Quantil ist die obere Grenze und das ist natürlich sinnvoll,
damit diese Untergrenze stets kleiner gleich
der Operngrenze ist
Und damit haben wir natürlich jetzt unsere Konfidenz in der Wahl
auch schon im Christ. Wir haben das Konfidenzsünder,
weil für die Varianz bei einer normal verteilten Zufallsvariablen,
wir brauchen nur die entsprechenden Grenzen zu bestimmen und können dann sagen,
in der üblichen Weise der Interpretation können wir in dieser Weise mit dem Intervall umgehen.
Es ist als Nebenprodukt natürlich auch gleich noch möglich,
dass Konfidenzintervall für die Standardabweichung Für Sigma selbst mit anzugeben,
die Standardabweichung erhalten wir einfach durch die Quadratwurzel und da diese Quadratwurzelbildung eine monotone Transformation ist,
brauchen wir für das Konfidenzinter,
weil für die Standardabweichung nur die Quadratwurzeln aus den Grenzen zu
bilden und können mit der gleichen Vertrauenswahrscheinlichkeit mit dem gleichen Vertrauensgrad
dann jeweils sagen,
unsere Wahrscheinlichkeit oder unser Intervall
enthält dann die zugehörige Standardabweichung
Gucken wir uns ein konkretes Beispiel an. Hier geht es
um die Reproduktionsproduzierbarkeit einer Messung, und zwar einer sogenannten Schallpegel mindernden Bebauung.
Bevor unsere Autobahnen mehr oder weniger in Art Tunnel verwandelt worden sind,
links und rechts so Schutzmauern aufgerichtet worden sind, war natürlich der Hintergrund,
dass das untersucht worden ist, wie viel es bringt.
Das ist also auch solch einer Schallmindernde Bebauungsgeschichte,
erste Messungen in diesem Bereich,
die haben natürlich jetzt nicht gleich diese Autobahnwände betrachtet,
sondern überhaupt geguckt, wie weit haben auch Häuser und andere Gebäude eine schallmindernde Wirkung.
Hier ist bei einer solchen Messserie von fünf Messungen als Interessepunkt
nicht im Zentrum gestanden, wie stark wird der Schall gemindert,
sondern wie gut lässt sich eine solche Messung reproduzieren.
Die Reproduzierbarkeit einer Messung wird über die Variabilität der Messwerte festgehalten
unter möglichst gleichen Randbedingungen, aber auch schon in diesem Rahmen
Es gibt es durchaus leichte Schwankungen. Wir erhalten nicht stets
den gleichen Wert. Und bei fünf Messungen haben wir unterschiedliche Dezibelwerte erhalten.
Es wird unterstellt, dass dieser Messwerte normal verteilt sind.
Und wir wollen ein zweiseitiges Konfidenzintervall für die Varianz bestimmen. Was wir also machen müssen,
ist erstmal die Summe der quatrierten Abweichungen zu bilden bzw. wenn wir über die Schätzung,
die Erwartungstreue, Schätzung der Variante verfügen, über Sigma Dachquadrat,
dieses Sigma Dachquadrat mit dem Faktor N-minus 1 zu multiplizieren,
also bei fünf Messungen einfach mit dem Faktor 4.
Das ist hier der Wert 3,248, die Zugehörigen,
Werde für das Konfidenzintervall zum Niveau 0,95 erhalten wir aus der Tabelle der Skiquadratverteilung.
Wir müssen jetzt bei fünf Beobachtungen in die Zeile 4 gehen.
Also die Zahl der Freiheitskarte ist 4. Unsere Konfidenzniveau ist
0,95. Alpha ist also 0,05. Alpha halbe ist entsprechend 0,05.
025. Also bei 4 haben wir das zugehörige Quantil 0,4884.
Und das obere Quantil ist bei 4 Freiheitskarten Bei 0,975,
das ist 1 minus Alphahalbe, entsprechend der Wert
11,143. Diese beiden Werte sind hier entsprechend angegeben. Die sind
also aus der Hii-Quadrat-Verteilungstabelle bestimmt. Und jetzt brauchen wir diese Größen
nur noch in die Zugehörige Formel für das Intervall einzusetzen.
Das heißt, wir kriegen einfach die Quotienten 3,248 durch 11,14,
3,248 durch
4, 8, 4 und haben damit
das realisierte Konfidenzen der Wahl 0,29 in 2,92 und 6,711.
Als Nebenprodukt des Konfidenzintervall für Sigma einfach über die Quadratwurzeln zu 0,54 und 2,59.
Damit haben wir unsere Konfidenzen der Weile für die zugehörige Varianz
und natürlich ist bei der Varianz klar,
dass man in aller Regel eine möglichst kleine Varianz haben möchte
Je kleiner die Varianz, desto zuverlässiger ist die Messung.
Und dann ist es eigentlich so,
dass einen die untere Grenze gar nicht interessiert und wir eigentlich
nur noch eine Angabe für die obere Grenze haben möchten.
Wenn wir in dieser Weise das betrachten wollen,
dann macht es Sinn, einfach zu sagen, gut,
wie sieht es denn aus mit einem Konvedenzschranke für die Varianz,
bei der nur die obere Grenze angegeben wird,
im unteren Bereich,
wie gesagt,
interessiert das Ganze nicht
Wir können ja mal das so machen, dass wir einfach
uns den Ausdruck angucken, den wir eben hatten.
Wir nehmen einfach das Konfidenzintervall und lassen in diesem Konfedenz
einfach in der Wahl einfach mal die untere Grenze weg.
Was passiert dann? Dann können wir ja sagen,
die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die entsprechende Größe,
die wir hier haben, größer gleich Sigma ist,
also dass die obere Grenze größer gleich dementsprechend wer Sigma ist,
gibt dich geradezu 1- Alpha, wenn wir innerhalb des Wahrscheinlichkeitsausdruckes das Ganze umstellen,
nämlich so,
dass wir hier den Nenner nach links multiplizieren und das Sigma-Quadrat nach rechts in den Nenner bringen.
Dann haben wir rechts gerade die zugehörige Stichprobenfunktion, die Chi-Quadrat verteilt ist.
Wir haben links das Alpha-Halbe-Quantil und die Wahrscheinlichkeit,
dass wir größer, einen größeren Wert beobachten,
als dieses Alpha-Halbe-Quantil,
die Wahrscheinlichkeit ist also 1 minus Alpha-Halbe
Ja, jetzt wollen wir natürlich unserem Vertrauensgrad wiederum mit Alpha festlegen.
Es liegt also nah, dass Alpha halbe in diesem Fall
einfach durch Alpha zu ersetzen und damit ist unter Verwendung des
unteren Alpha-Qualentils des einfachen Alpha-Qualentils die einseitige Konfidenzschranke auch schon bestimmt.
Wir haben konkret den entsprechenden Wert des unteren Alpha-Quantiers des 0,05-Quantils
bei 4 Freiheitskarten zu 0,71072. Die Konvidenzschranke ist also einfach beobachteter Wert
der Summe der quatrierten Abweichung 3,228 durch dieses Quantil, also 4,5557.
Und wenn wir das vergleichen mit dem zweiseitigen Intervall, dann sehen wir,
dass eben tatsächlich die Konfidenzschranke weiter nach links gerutscht ist,
der Preis, den wir dafür zu zahlen hatten, ist halt,
dass wir im unteren Bereich jetzt natürlich bis null gehen,
während wir beim zweiseitigen Intervall einen Unterschranke von 0,292 hatten.
Also dieser Bereich entsprechend wurde gegenüber dem zweiseitigen Intervall verbreitet,
aber die Präzision nach oben des Intervalls ist eben doch
um einiges bedeutsam und ist in vielen Anwendungen eigentlich das,
was interessiert, weil wie gesagt,
kleinere Varianzen häufig als eher besser angesehen werden und nur die Frage einer zuverlässigen Schätzung einer Oberen könnte wieder ins Schranke existiert.
Damit möchte ich in die Pause gehen. Wir sehen uns
um Viertel vor wieder. Dann würde ich gerne weitermachen.
Wir haben jetzt verschiedene Konfedenzintervalle kennengelernt und das ist der
zweite Punkt gewesen der sogenannten statistischen Inferenz des Rückschlusses von Stichproben
auf Grundgrundgesamtheiten oder auf zugrunde liegende Parameter.
Neben der Punktschätzung, die wir zuerst behandelt haben,
also diese sogenannte Convidenceschätzung
Der dritte wichtige Bereich, um den es bei uns geht,
sind sogenannte statistische Tests.
Und diese Frage der Inferenz bezieht sich darauf,
dass Angaben oder Vermutungen über Parameter vorliegen, die man überprüfen möchte.
Und natürlich, wo man diese Angaben auf der Basis von
Stichproben letztlich beurteilen will
Gucken wir uns ein Beispiel an. Ein Beispiel,
was im Hintergrund, oder wo es im Hintergrund um eine
ganze Menge Geld geht. Es ist nämlich bekannt,
dass Molkereien, die zu viel Butter produzieren,
diese Butter in Brüssel absetzen können oder nach Puzzle bringen können,
wenn sie auf dem freien Markt nicht absetzbar ist,
überschüssige Butter kann also da abgeliefert werden,
dass manchmal führte das zu Butterbergen oder analog zu Milch sehen
Und natürlich ist es so, dass diese Butter nur dann abgenommen wird,
wenn sie Mindestanforderungen in Bezug auf Qualität erfüllen. Eine dieser Qualitätsanforderungen besteht darin,
dass der Wassergehalt der Butter nicht höher sein darf als 16 Prozent,
dass man mit Wasser punchen kann,
das werden sie sicherlich alle schon selber mitgekriegt haben,
beispielsweise sind manche Fleischer, bisweilen in entsprechenden Zeiten dazu Übergang,
saftige Steaks zu verkaufen, wenn sie dann gebraten haben,
hatten sie ein verdammt kleines Stück Fleisch am Ende in der Pfanne und haben sich gewundert,
eigentlich habe ich doch ein recht großes Stück gekauft,
war zumindest ziemlich schwer,
aber irgendwo ist das dann einfach zusammengeschnurrt und da kann man eben auch in diesem Rahmen mit Wasser dem Gewicht nachhelfen.
Auch bei der Butter ist das tatsächlich möglich und die Buttereien haben
die Technik in Anführungsstrichen nicht beliebig viel Wasser in die Butter zu packen,
aber doch die Butter relativ stark zu verwässern.
Und dann geht es darum, diese Verwässerung eben möglichst nicht zu akzeptieren.
Puzzle will eben nicht einfach in einem neuen Meer versinken,
was dann eventuell die Chance wäre,
wenn sie das ganze Geld nur für Wasser ausgeben würden.
Also das ist die Qualitätsanforderung,
die wir hier uns angucken wollen,
andere Qualitätsanforderungen wollen wir
hier erstmal draußen vorlassen
Wenn so eine Forderung aufgestellt wird, muss sie natürlich auch überprüft werden.
Und die Frage ist, wie kann die Einhaltung dieser Anforderungen tatsächlich überprüft werden?
Wenn wir konkret dem Wassergeheil in der Butter bestimmen wollen,
dann brauchen wir in etwa pro Probe 25 Gramm.
25 Gramm benötigt ein Chemiker, der hat dann eine sogenannte zerstörende Prüfung,
der macht dann eine chinemische Analyse und danach ist natürlich von
den 25 Gramm auch nichts mehr da.
Also das können sie dann nicht mehr aufs Brot streichen,
was der Chemiker übrig hat, dass es dann hinüber und
von daher guckt er natürlich nicht die gesamte Wagenladung an,
sondern nur eine Probe aus der entsprechenden kleinen Menge.
Jetzt steht diese 25 Gramm einer Lieferung gegenüber, das sind
etwa vielleicht 25 Tonnen. Und da ist ganz offensichtlich,
sie können nicht mit 25 Gramm beurteilen, ob eine 25 Tonnenlieferung diese Qualitätsanforderungen einhält.
Das, was sie also machen, sie müssen sich
die Lieferung etwas genauer angucken. Nicht nur von außen,
und das ist natürlich zum Glück so,
dass die 25 Tonnen nicht als ein Block da angeliefert werden,
die werden schon in kleinere Stücke gepackt.
Nicht gerade diese 250 Gramm Packung, die sie kennen,
sondern vielleicht so in Blöcken A 25 Kilogramm,
um irgendwas zu sagen.
Selbst das ist natürlich so, dass wir nur zur Erinnerung
25 Gramm prüfen können.
Was machen wir nun
Wenn wir nur einen dieser Blöcke nehmen würden, nicht? Und da sagen würden,
nehmen wir vielleicht davon mehrere Proben, mehrere 25 Proproproben,
das kratzt noch nicht so sehr viel,
aber wir haben vielleicht die Möglichkeit,
zuverlässiger etwas zu sagen, als mit nur einer Messung,
dann müssen wir allerdings auch zugeben, dass das nicht ausreichen wird,
denn diese entsprechenden Werde werden weiterhin streuen.
Wir müssen also aus der gesamten Lieferung aus den verschiedenen Blöcken
müssen wir verschiedene Proben nehmen und werden, und davon müssen wir ausgehen,
innerhalb der Proben unterschiedliche Anteile Wasser finden, einfach aus zwei Ursachen.
Zum einen ist die Butter nicht ganz homogen. Es ist natürlich nicht so,
dass die Technik so weit fortgeschritten ist,
dass der Wasseranteil an allen Stellen gleich groß ist,
wenn wir unterschiedliche Proben haben, ist also der Wasseranteil pro Probe unterschiedlich.
Und als zweites ist es natürlich auch so,
dass der Messvorgang selbst eine gewisse Verunsicherung oder Unsicherheit ins Spiel bringt,
zu einer leichten Abweichung führen mag.
Es ist nicht 100 Prozent genau, was dann jeweils ermittelt wird.
Also haben wir verschiedene Ursachen dafür, dass Messwerte unterschiedlich ausfallen werden.
Wenn wir also zufällig einige 25 Gramm Proben nehmen,
müssen wir davon ausgehen, die zugehörigen Messwerte,
die wir ermitteln, in Bezug auf dem Wassergehalt werden,
unterschiedlich sein und der naheliegende Vorgang ist dann zu sagen,
na gut, dann nehmen wir einfach den Durchschnittswert und versuchen,
diesen Durchschnittswert zu beurteilen
Die Butter wird akzeptiert in der Tendenz,
wenn dieser Durchschnittswert nicht zu groß ist. Nehmen wir also,
um das in die reine Statistik zu übersetzen,
den entsprechenden, die entsprechende Zufallsvariable, die wir beobachten,
das ist der gemessene Prozentanteil des Wassers in einer Probe.
Wir unterstellen jetzt der Einfachheit halbe, dass dieser entsprechende Gehalt
normal verteilt sein soll und zur weiteren Vereinfachung wollen wir voraussetzen,
dass die Varianz bekannt sein soll.
Das ist eine Vereinfachung, die für uns im Augenblick zweckmäßig ist.
Wir machen das ähnlich wie bei den Konfidenzen in der Wallen,
dass wir uns natürlich an späterer Stelle von dieser Voraussetzung auch wieder lösen.
Jetzt haben wir also als Aufgabe vor diesem formalen Rahmen
eine Aussage in Bezug auf den Erwartungswert zu machen oder genauer
Die Angabe zu überprüfen, dass der Erwartungswert des entsprechenden Zufallsvariable
höchstens 16 sein soll, dass es der zugelassene Wassergehalt in Prozent.
Diese Angabe wird als Hypothese oder genauer als Nullhypothese bezeichnet,
diese Nullhypothese gilt es
zu überprüfen
Andere Möglichkeiten, die wir natürlich in Betracht ziehen müssen,
die in Bezug auf den Parameter-Wert vorliegen können, ist,
dass geschummelt wird und der Wassergehalt tatsächlich höher ist als 16 Prozent,
dementsprechend, dass der Erwartungswert größer als 16 ist.
Diese Alternativmöglichkeit wird entsprechend als Gegen- oder Alternativhypothese bezeichnet.
Die Entscheidung für die eine oder andere Richtung, die Frage
der Entscheidung wird als Testproblem bezeichnet. Ein Testproblem Bedeutet also,
wir sollten uns in Bezug auf die Aufteilung in Richtung des Erwartungswertes
entweder kleiner gleich 16 oder größer als 16 auf der Basis einer Stichprobe entscheiden und die Frage,
die hier eben erst mal zu verhandeln ist,
wie kommen wir zu einer adäquaten Entscheidung?
Das Naheliegende ist natürlich, dass wir unser arathmetisches Mittel mit dem
noch erlaubten Wert 16 vergleichen. Das Problem Weil diesen Vergleich besteht darin,
wenn 16 als noch erlaubter Wert tatsächlich vorliegt, wird,
wie wir das von der Wahrscheinlichkeitsrechnung her kennen,
das arrhythmetische Mittel in der Hälfte der Fälle einen Wert annehmen,
der kleiner ist als 16, denn das ist das Zentrum der Normalverteilung.
Und in der anderen Hälfte der Fälle wird das arthmetische Mittel einen Wert annehmen,
der größer ist als 16. Das ist einfach die Zugehörige,
Also das Resultat aus der zugehörigen Verteilung der Normalverteilung mit dem Erwartungswert 16.
Ich habe hier also das so eingestellt,
dass wir diese Verteilung des atmedischen Mittels uns angucken und jetzt natürlich hier den Zugehörigen Wert 16 als Erwartungswert haben.
Das Problem ist, dass 16 damit sicherlich kein guter Vergleichsmaßstab ist.
Also wir können nicht direkt den Wert 16, obwohl das die oberste Grenze ist,
nehmen, um dann zu sagen, wir gucken uns an,
ob im Einzelfall die zugehörige Messung tatsächlich die Messungen im Durchschnitt größer als dieser Grenzwert sind oder kleiner.
Wir brauchen irgendwo eine Alternative und diese Alternative liegt natürlich nahe. Das,
was wir machen können, ist zu sagen,
auch wenn 16 tendenziell der zugelassene Höchstwert ist,
können wir beispielsweise eine etwas höhere Grenze einsetzen und sagen,
wir gucken einfach nach, was passiert denn,
wenn wir als Grenze, die wir noch akzeptieren für den Durchschnittswert,
beispielsweise 17 Einsätzen, dann sehen wir,
wenn 16 der richtige Wert ist, der ist ja noch zugelassen,
dann werden wir immer noch ein paar Werte bekommen,
die größer sind als diese obere Grenze, aber diesen dicken Bereich,
der jetzt in diesem Fall zwischen 16 und 17 und mit C bezeichnet und Obergrenze legt,
den haben wir dann natürlich nicht als kritisch angesehen,
sondern da wird er von der Prüfung her das entsprechend akzeptiert werden.
Die Tendenz ist also zu sagen, erst wenn das arathmetische Mittel
sehr viel größer ist als 16, wird die Butter abgelehnt.
Wenn wir diese Grenze sehr weit nach oben setzen.
Die Frage ist natürlich dann, wie weit wollen wir gehen?
Wir haben hier in unserer Illustration die Grenze bei 17 gesetzt.
Was passiert denn, wenn wir die Grenze bei 18 setzen
Dann sehen wir die Chance, einen noch größeren Wert
zu beobachten, der diese Chance ist, relativ klein.
Und wir könnten jetzt immer weitergehen und einfach sagen, gut,
in der Tendenz gehen wir einfach und setzen die Grenze dann vielleicht bei 18,5 oder 19.
Die Frage ist, nach welchem Kriterium wollen wir das entsprechend festlegen?
Und hier wird ähnlich vorgegangen, wie bei den Konvidenzen der Wallen.
Wir geben uns eine Wahrscheinlichkeit vor, sodass wir sagen können,
mit dieser vorgegebenen Wahrscheinlichkeit soll ein gewisses Ereignis eintreten.
Vorgegeben wird in der Regel die Wahrscheinlichkeit einen noch größeren Wert zu bekommen,
also die Wahrscheinlichkeit, die in unsere Grafik Methode mit einer hohen Fläche gekennzeichnet ist.
Dafür geben wir die Wahrscheinlichkeit vor und sagen,
wir bestimmen die Grenze gerade so, dass diese zugehörige Wahrscheinlichkeit eingehalten wird,
für den Fall, dass die Butter gerade noch die Norm erfüllt.
Denn dann haben wir die Randbedingungen erfüllt,
dass wir einmal eine enorm gerechte oder den Qualitätsansprüchen genügende Butter vorzulegen haben und zum anderen haben wir dann,
wenn wir diese Wahrscheinlichkeit klein genug wählen, eine nur geringe Chance,
einen sehr großen Wert zu bekommen und diesen Wert eben in Verbindung mit der entsprechenden, normgerechten Butter beobachten.
Wie üblich unterstellen wir natürlich auch hier,
dass wir im Einzelfall etwas beobachten, was zum Regelfall gehört,
was häufig vorkommt. Wir beurteilen die Beobachtung eines Wertes,
der im oberen Bereich liegt, als das,
was selten passieren wird,
wenn die Butter,
wie gesagt,
die Norm erfüllt
Wenn die Butter sogar die Norm in noch besserer Weise erfüllt,
wenn die meinetwegen nicht diese noch erlaubte grenzwahrscheinliche,
diesen Grenzanteil von 16 Prozent Wasser hat,
sondern beispielsweise einen Grenzanteil von 15 oder einer durchschnittlichen Wassergehalt von 15 Prozent hat,
dann sehen Sie, ist die Zugehörige Wahrscheinlichkeit eine solch extrem mehr zu bekommen,
noch viel kleiner.
Die Fläche hat nochmal ganz schön abgenommen und wir sind nur für diese Situation
Im Grunde genommen ausgegangen, dass wir auf alle Fälle alle Möglichkeiten,
die überhaupt denkbar sind in Bezug auf eingehaltene Wassermenge, da,
dass wir da sicher sind, diese entsprechende Beobachtung sehr selten zu machen.
Wir gehen davon aus, wenn wir einen solchen Wert beobachten,
dann ist das eben ein Vorkommnis,
was nicht zu den Seltenen Vorkommnissen gehört,
die mal passieren könnten, wenn die Butonom gerecht ist,
sondern dass auch in diesem Fall ein häufiger zu beobachtendes Ergebnis vorliegt und häufiger zu beobachten,
ist dieses Ergebnis aber nur, wenn das Zentrum,
wenn der durchschnittliche Wassergehalt in der Lieferung über dem entsprechenden Wert,
der noch akzeptiert wird, liegt.
Und ich habe jetzt einfach unseren durchschnittlichen Wasser,
unseren durchschnittlichen Wassergehalt mal nach oben gesetzt und dann sehen sie,
dass wir dann natürlich eine viel größere Wahrscheinlichkeit für
einen solchen Extremwert haben
Ja, auch Umkehrschluss, den wir machen, ist halt,
dass wir sagen, wir beobachten jetzt irgendwo einen Wert aus diesem Bereich.
Dieser Wert gehört, und das ist die Vorstellung der Statistik,
zu den Werten, die wir häufiger beobachten,
nicht zu dem Werden, die selten vorkommen.
Häufiger beobachten tun wir das, wenn das tatsächliche Mühe,
der tatsächliche Wassergehalt über dem zugelassenen 16 Prozent liegt.
Selten ist dieses Ereignis Wenn es eben 16 oder gar noch wenige
Prozent Wasser in der Butter sind und dementsprechend sagt unser Rückschluss,
wir gehen eher davon aus,
dass bei einem solchen Wert das Müh tatsächlich größer ist als zugelassen
und würden tendenziell die Butter dann nicht akzeptieren,
den Fahrer mit seiner Ladung wieder nach Hause schicken.
Wenn wir in der Weise das festlegen wollen, dann ist klar,
wie das technisch umzusetzen ist. Wir brauchen einfach mit unseren Kenntnissen der Normalverteilung zu sagen,
wenn x quer größer als z sein soll,
Mühe 16, Sigma-Quadrat ist als bekannt vorausgesetzt,
dann muss C natürlich gerade gleich dem 1-alpha-halbe-Quantil sein und das 1-minus-alpha-Quantil,
das haben wir bei der Normalverteilung kennengelernt,
ergibt sich mit dem entsprechenden Quantil der Standardnormalverteilung
zu 16 plus Z,
mal Sigma durch WhatsApp
Damit haben wir also die Regel,
die diesen Test kennzeichnet, wir lehnen die Nullhypothese ab,
in der Praxis schicken wir den Lastwagen wieder nach Hause,
wenn der Wert aus diesen Proben tatsächlich dazu führt,
der Durchschnittswert aller Einzelproben, dass das Arathmedische Mittel größer ist,
als das entsprechende Quantil oder wenn wir es mit der standardisierten Größe ausdrücken,
wenn die standardisierte Größe XY quer minus 16 durch Sigma,
durch Wurzeln größer ist, als das Quantil der Standard-Normalverteilung,
Z-Index 1 minus Alpha.
Diese Entscheidung führt also zur Ablehnung von der Nullhypothese,
da ist uns die Abweichung von dem,
was wir unter der Nullhypothese erwarten, einfach zu groß.
Wenn unser Wert der sogenannten Statistik oder der hier verwendeten Statistik Unterhalb der entsprechenden Grenze liegt,
die hier angegeben ist, dann behalten wir die Null Hypothese bei.
Das bedeutet, wir akzeptieren die Mutter als normgerecht,
die Butter wird aufgekauft und dementsprechend haben wir eine Entscheidung,
es regeln, die wir jeweils anwenden können,
ob die Butter unter diesem Gesichtspunkten jedenfalls in Brüssel akzeptiert wird oder nicht.
Diese Entscheidungsregel wird als Gaustest bezeichnet und basiert natürlich darauf,
dass wir die Voraussetzungen, die wir hier gemacht haben, jeweils verwenden. Die Voraussetzung,
dass wir eine Normalverteilung haben, dass wir die Varianz als bekannt voraussetzen,
dann ist dieser zugehörige Teststatistik, die hier angegeben ist,
zu verwenden und der entsprechende QRC, der diese beiden Entscheidungen trennt,
einmal führt sie zu der Entscheidung, der führt der Wert zu der Entscheidung,
dass wir Die Buddha ablehnen zum anderen Mal, dass sie akzeptiert wird.
Dieser Wert wird dann entsprechend mit der Normalverteilungstabelle bestimmt,
weil unter der Voraussetzung,
dass dieser hypothetische Wert minull der entsprechende äußere Grenzwert für die erlaubte Wassermenge
in der Butter 16 in unserem Beispiel eben als richtig unterstellt wird und dann mit der Normalverteilung gearbeitet werden kann.
Das, was wir für die weitere Betrachtung brauchen und
die weitere Besprechung dieser Vorgehensweisen ist etwas Terminologie,
was wir zum Teil auch schon mitverwendet haben.
Wir haben einmal schon von Hypothesen gesprochen,
wir haben eine Nullhypothese und eine Alternativhypothese,
die Nullhypothese ist in der Regel das,
was angegeben wird und was überprüft werden soll,
die Alternative ist einfach das,
was mit dem Parameter eventuell sonst sein kann
Wir haben auch eine Wahrscheinlichkeit uns vorgegeben,
die in einer gewissen Form dazu dienen soll,
möglichst wenig Fehlentscheidungen zu treffen, aber tatsächlich ist es so,
wie diese Grafik nochmal verdeutlicht hat,
wir können bei einem sogenannten Inferenzschluss bei einem Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit nie ganz ausschließen,
dass es nicht doch zu einer Fehlentscheidung kommt.
Wir können beim Konfidenzintervall nicht ausschließen, dass es einzelne Konfidenzen in der Wald,
den Parameter-Wert nicht enthält, auch wenn wir das hundertmal beobachten, ein gewisser Anteil von Fehlern wird vorkommen.
Beim Konfidenzen in der Wahl von Fehlern bei der Aussage,
der Parameter-Wert liegt zwischen der Unter- und der Obergrenze,
bei einem statistischen Test wird hier natürlich der Fehler in einer anderen Form zum Tragen kommen,
wenn wir das konkret in Bezug auf unsere Stichprobensituation bei der Butter angucken,
wird das hier dazu führen,
dass wir vielleicht doch einmal einen dieser seltenen Fälle beobachten,
Auch wenn die Buttonorm gerecht ist und die Qualitätsanforderungen,
mit diesen 16 Prozent nochmal erfüllt.
Das kann passieren, das können wir nicht ganz ausschließen,
aber das, was dann passiert, ist,
dass die Butter trotzdem weggeschickt wird.
Dann kann sich der Lieferant möglicherweise ärgern,
aber das hilft mehr oder weniger nichts.
In anderen Situationen, die ähnlich gelagert sind,
für das regelmäßig zu Gerichtsverfahren
Gleicherweise gibt es natürlich auch andere Qualitätsüberprüfungen. Beispielsweise,
wenn Eisenerz aus Nordschweden nach Europa oder nach Deutschland gelandet wird,
dann wird natürlich auch eine gewisse Qualität von Eisenerz garantiert.
Dann handelt es sich aber um ganze Züge, ganze Züge,
Eisenbahnzüge mit vielen Waggons, um eine Lieferung.
Was wird dann gemacht? Dann gehen Arbeiter auf die Waggons,
nehmen eine Stichprobe und dann wird eben geguckt
Gott, das Eisenerz, das gelieferte Ärzt,
die entsprechenden Qualitätsanforderungen erfüllt. Und wenn Sie dann finden,
dass das nicht der Fall ist,
dass hauptsächlich Steine geliefert worden sind ohne Erz,
dann wird sich die entsprechende Firma aus der Stahlbranche sagen,
also das nehmen wir nicht.
Die Schweden sagen, auf der anderen Seite, unsere Qualitätsmerkmale
sind erfüllt. Also treffen wir uns vor Gericht wieder.
Was macht das Gericht? Das Gericht beauftragt einen unabhängigen Statistiker
mal zu diesem Zug zu gehen und verschiedene Proben zu nehmen,
das nochmal zu überprüfen
In ganz analoger Weise gibt es also bei den unterschiedlichsten Ebenen,
die ganz gleichartige Fragestellung. Es kann auch bei der Wolle sein,
die aus Australien nach Deutschland oder Neuseeland, nach Deutschland geliefert wird.
Das sind riesige Ballen. Und wenn Sie sich mal
überlegt haben, warum wolle es sich so angenehm trägt?
Das ist unter anderem deswegen,
weil Wolle bis zu 30 Prozent des Eigengewichtes an Masse aufnehmen
kann,
bevor es
überhaupt schwürbar ist
Jetzt liegt es natürlich nahe bei der Lieferung von Wolle,
Wasser reinzupumpen in diese Ballen, dann werden die schwerer,
die Wolle wird nach Gewicht gekauft. Und die Frage ist,
muss der Empfänger jetzt hauptsächlich das Geld für Wasser hinlegen oder kriegt er wirklich Wolle dafür?
Auch hier ist diese Problematik des Wassergehaltes natürlich gegeben.
Aber gehen wir zurück zu unserem statistischen Teil. Das,
was wir haben, ist also eine gewisse Wahrscheinlichkeit durchaus normgerechte Qualitätserfahrung füllende Butter zurückzuschicken,
die Wahrscheinlichkeit dafür, die haben wir mit diesem Wert Alpha vorgegeben,
diese Wahrscheinlichkeit soll eher klein sein, das ist die entsprechende Forderung und wird als Irrtumswahrscheinlichkeit oder als Niveau des Tests bezeichnet.
Wir haben eine Testfunktion oder Prüfgröße,
das ist in der Regel die standardisierte Version,
die wir im Ursprung betrachtet haben,
die standardisierte Version des aratmetischen Mittels in unserem Fall und den sogenannten Ablehnbereich- und Annahmebereich,
das ist relativ plausibel, Ablehnbereich,
wir lehnen die null Hypothese ab, wir sagen,
dass die Behauptung, die unter der Nullhypothese formuliert ist,
nicht gilt, Annahmebereich,
wir behalten die Behauptung bei und die Beobachtung eines Wertes im Ablehnbereich,
wenn wir also einen Wert der Teststatistik beobachten,
der größer ist als das zugehörige Quantile,
dann ist natürlich die Konsequenz automatisch so,
dass dann eine Aktion folgt.
Also diese Aktion schicke die Lesswagen zurück und die Beobachtung eines
Werdes im Ablehnbereich, da wollen wir gar nicht mehr unterscheiden.
Diese Aktion ist quasi automatisch in Gang gesetzt durch die Beobachtung
dieses Wertes. Es reicht uns also zu sagen,
wir haben einen Wert im Ablehnbereich beobachtet, der Rest,
dass wir dann die Nullhypothese ablehnen,
ist dann selbst erklärend.
Das soll also sich dann von selbst verstehen
Ich habe ihn diese entsprechenden Größen nochmal aufgezeichnet. Und das,
was hier noch nicht steht, der Wert, bei dem die beiden zusammenstoßen,
dieses Quantil, der wird noch als kritischer Wert bezeichnet.
Der kritische Wert ist also die Grenze, bei der der
Annahmebereich in den Ablehnenbereich übergeht. Ich habe ihn versucht,
diese Basisstruktur eines statistischen Tests anhand eines konkreten Beispiels zu verdeutlichen.
Wir kennen natürlich durchaus unterschiedliche Situationen unterschiedliche Situationen,
können auch zu unterschiedlichen Hypotheseformen führen. Das,
was wir bisher betrachtet haben, war die rechtzeitige Alternative, die Nullhypothese linksseitig.
Wir können da in einer anderen Situation das natürlich gerade andersherum haben. Beispielsweise,
wenn es um Füllmengenkontrollen geht, da haben wir ja gesehen,
dass das auch durchaus problematisch sein kann,
dass in verschiedenen Verpackungen zu wenig abgefüllt wird, wenn man nachweisen will,
dass eben zu wenig drin ist, dass die Angabe,
die durchschnittliche Packungsmenge oder verpackte Menge ist eben laut Angabe mindestens so groß wie eine entsprechender Wert Mynull,
wenn wir dann nachweisen wollt, es ist eigentlich nicht so,
es ist weniger drin, dann würde sich das entsprechender linksseitige Testproblem,
die null Hypothese ist rechtzeitig, die Alternative linksseitig anbieten.
Es gibt auch zweiseitige Fragestellungen, wo man um einen speziellen Wert
sich nur kümmerten guckt, ob der vorliegt oder nicht.
Um das zu illustrieren, wollen wir uns eine Fragestellung aus dem Bereich der Arbeitsmedizin angucken.
Da ging es bei der Erforschung der Arbeitsbelastung in der Glasindustrie darum,
ob die Belastung zu Beginn einer Schicht und am Ende einer Schicht unterschiedlich sind,
die Frage, wie operanalisiert sie operationalisiert man das,
der Indikator wird einfach die durchschnittliche Arbeitspulsfrequenz genommen,
einmal zu Beginn einmal am Ende und dann wurde die Differenz gebildet.
Die Frage war dann, ob es überhaupt Unterschiede gibt und
die Interpretation eines Unterschiedes wäre dann natürlich den Arbeitsmedizinern überlassen.
Ich hatte Ihnen schon anhand dieses Ablehnbereichs hier deutlich gemacht,
das ist tendenziell dazu führen kann oder eine Beobachtung dazu führen kann,
dass man ungerechte Weise eine Ablehnung einer Lieferung entscheidet,
obwohl die Lieferung eigentlich korrekt wäre
Insgesamt kann man bei einem statistischen Test tatsächlich unterschiedliche mögliche Fehler machen.
Wir haben zwei mögliche Situationen in der Realität, die sind hier oben angegeben.
In der Wirklichkeit kann die Nullhypothese wahr sein.
Sie kann aber auch falsch sein. Wir wollen nur diese
beiden Möglichkeiten hier betrachten. Und es kann natürlich sein,
dass wir uns für die Nullhypothese oder für die Gegenhypothese entscheiden.
In einem Fall ist das alles nicht problematisch oder genauer
in Zweifeln
Wenn nämlich die Null-Hypothese in der Realität wahr ist und wir
entscheiden auch so, dann ist das alles eine Beeinstimmung.
Auch wenn in der Gegenüberthese Entscheidungen in der Realität,
die Gegenhypothese wahr ist und wir entscheiden auch so,
dann ist das auch in Ordnung.
Das heißt, wenn eben zu viel Wasser in der Butter
ist und wir sehen das und schicken den Lastwagen zurück,
dann ist das eine korrekte Entscheidung und die Molgerei kann sich natürlich eigentlich nicht beschweren.
Wenn sie normgerecht arbeitet, wir nehmen die Butter in Brüssel an,
ist es auch korrekt. Aber wir haben noch zwei offene Felder,
zwei andere Möglichkeiten. Wir haben den Fehler erster Art,
der vieler erster Art, kennzeichnet die Situation,
die wir ja als Möglichkeit bisher schon betrachtet haben,
nämlich die Entscheidung für die Gegenhypothese, obwohl die Nulypothese richtig ist.
Diese Möglichkeit ist gegeben, das ist das,
was wir als Problematik hier ja auch thematisiert haben und die andere Möglichkeit,
die wir bisher noch gar nicht problematisiert haben,
Das wäre ein Fehler, zweiter Art,
die Entscheidung für die Nullhypothese, obwohl die Gegenhypothese richtig ist.
Hier ist es natürlich von Bedeutung, sich anzugucken,
mit welcher Wahrscheinlichkeit können denn diese Fehler gemacht werden.
Diese Wahrscheinlichkeiten kennen wir für den ersten Fehler erster Art
schon in gewisser Hinsicht.
Wir haben nämlich mit unserem Alpha vorgegeben,
wie groß diese Wahrscheinlichkeit
überhaupt sein darf
Es ist so, dass über diese Konstruktion festgelegt wird,
die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erste Art ist, höchstens gleich Alpha,
also wenn wir Alpha 0,05, 0,01 fehlen, ist diese Wahrscheinlichkeit relativ klein.
Das bedeutet, eine Entscheidung für die Gegenhypothese,
eine Entscheidung innerhalb dieser Zeile ist entweder korrekt,
dann ist es sowieso alles super oder wir haben die Situation,
die hier vorliegt, dass wir einen Fehler erster Art machen,
aber diese Möglichkeit ist relativ unwahrscheinlich,
weil wir unser Alpha als Wert klein gewählt haben,
somit können wir eine Aussage in der Richtung,
Entscheidungen für die Gegenüberthese in Entscheidungen
Richtung H1 als Recht zuverlässiger Vertrauensbildender,
Wahrscheinlichkeits- oder Entscheidungen ansehen
In der oberen Zeile dieser Tafel kommen der Fehler zweite Art vor.
Die Wahrscheinlichkeit dafür wird häufig mit Better bezeichnet. Natürlich möchte man
auch diese Wahrscheinlichkeit möglichst klein halten. Aber wir werden gleich sehen,
diese Wahrscheinlichkeit ist leider nicht unter unserer direkten Kontrolle.
Und wir wollen dazu nicht die Wahrscheinlichkeit für den Fehler
zweiter Art angucken, sondern die Chance eins Minusbetter.
Das ist die Chance für eine richtige Entscheidung unter der Gegenübothese.
Das ist das, was man üblicherweise betrachtet.
Diese Chance sollte natürlich möglichst auch groß sein
Insgesamt können wir jetzt schon festhalten,
wenn diese Fehlerwahrscheinlichkeit für einen Fehler zweite Art tendenziell groß sein kann,
aber nicht unsere Kontrolle ist,
haben wir auch Probleme mit einer Entscheidung in der oberen Zeile.
Wir können nicht sagen, ob die Entscheidung korrekt ist,
weil die Entscheidung auch auf der Basis des Fehlers 2 das Art passieren kann.
Und wenn wir diese Wahrscheinlichkeit nicht klein kriegen, ist,
dass eben nicht sehr zuverlässig, wenn wir in diese Entscheidungszeile kommen.
Ich möchte Ihnen diese Situation,
dass wir an der Stelle auf der einen Seite eine sichere,
auf der anderen Seite keine sichere Entscheidung haben,
anhand eines nicht statistischen Beispiels illustrieren.
Nehmen wir die Aussage, alle Raben sind schwarz.
Wir sind jetzt lang genug im Kurs hier zusammen.
Sie wissen, Statistiker versuchen, solche Aussagen mithilfe von Beobachtung
zu überprüfen. Wir stellen uns also vor,
wir gehen jetzt alle in die Landschaft und gucken uns
Raben an
Wenn jeder einen Raben mit hier reinbringt und alle Raben,
die wir so gefunden haben, sind schwarz,
dann ist das natürlich wunderbar,
dann bestätigt das in einer gewissen Form unsere Voreinstellung,
aber wenn wir genau hingucken, ist es ja noch kein Beweis.
Es ist ja die Aussage, alle Raben seien schwarz,
wir müssen also beliebig viele Raben finden und selbst dann müssen wir nicht,
haben wir alle Raben und sind wirklich alle Raben schwarz.
Also wir werden vielleicht in unserer Vorstellung bestärkt,
aber richtig belegt
haben wir nichts
Das ist die Situation, dass wir in der Richtung Beobachtung machen.
Nehmen wir jetzt an, einer von Ihnen findet einen weißen Raben.
Damit ist aber alles klar. Ein Gegenbeispiel schlägt die Behauptung aus dem Feld.
Es ist klar, ein nicht schwarzer Rabe, ein weißer Rabe,
wird dazu ausreichend zu sagen, die Behauptung gilt nicht.
Wir haben im Bereich der Statistik leider nichts ganz so schlagender
dafür unser Gegenbeispiele. Aber wir interpretieren eine Beobachtung,
die zu einem Wert der Teststatistik in Ablehnung führt,
als eine Beobachtung, die eben ausreicht, um zu sagen,
wir zweifeln an der Behauptung.
Wir sind nicht hundertprozentig sicher, wie in diesem Beispiel,
aber wir haben genügend Evidenz,
eine derartige Beobachtung wird so selten unter der Situation der Nullhypothese beobachtet,
dass wir sagen können,
wir lehnen die Nullhypothese ab
Der Umkehrung bei der Beobachtung der Schwarzen haben,
haben wir eine ähnliche Situation wie eigentlich bei der Beobachtung einer schwerdeste Teststatistik,
die im Annahmebereich liegt. Das ist ein Wert,
der, wie wir uns das gleich nur angucken wollen,
eben auch passieren kann, wenn die Gegenhypothese gilt,
die Bestätigung mithilfe eines Beobachtungen wird halt
nicht leicht geschehen
Das wollen wir uns hier anhand der Gütefunktion eines Beispiels nochmal angucken.
Die Gütefunktion ist gerade die Wahrscheinlichkeit, sich für die Alternative
zu entscheiden, 1-better haben wir es genannt.
Und das wollen wir auch anhand eines Beispieles uns angucken.
Wir betrachten einen kleinen Zulieferbetrieb für die Automobilpranche,
der Betrieb stellt ein spezielles Teil her, was eben in diesen Kraftfahrzeugen eingebaut wird.
Und diese Style wird im Rahmen eines komplizierten Pressvorganges produziert,
sodass bei diesem Vorgang ein großer Prozentsatz, ein Ausschuss existiert,
sagen wir beispielsweise 30 Prozent. Das ist also durchaus üblich,
wie mir ein entsprechender Mensch, ein Meister aus einem solchen Betrieb,
dass Autoteile für Ford in Köln produzierte, erklärt hat.
Natürlich sind 30 Prozent Ausschuss eine ganze Menge. Es gibt daher Bemühungen,
das zu reduzieren und eine der Möglichkeiten, um diesen Ausschuss zu reduzieren,
besteht darin, ein qualitativ höherwertiges Blech für die Produktion zu verwenden
Und das wurde dann auch entsprechend versucht, als statistisches Testproblem,
würde das dazu führen, dass man sagt,
gucken wir uns jetzt dieses neue Blech an,
produzieren damit entsprechend diese Autoteile.
Und die Frage ist jetzt natürlich, hat sich der Ausschussteilanteil
verändert oder ist er auf dem alten Stand geblieben?
Auch wenn wir jetzt das neue Blech verwenden. Die Übersetzung sagt,
Die Nullhypothese ist erst mal, die wir überprüfen wollen.
Der Ausschussanteil ist auch unter Verwendung dieses neuen Materials bei 30 Prozent.
Und die Gegenüberthese wäre dann, dieser Ausschussanteil ist gesunken,
ist kleiner als 30 Prozent.
Da wir nicht ganz so strikt auf diese 30 Prozent beharren,
haben wir hier die Nullhypothese P. Größe gleich 0,3 formuliert.
In dieser Fragestellung können wir einfach die Anzahl der Ausschussstücke
als Prüfgröße nehmen
Natürlich ist klar, wenn Sie eine gewisse Anzahl von Produkten fertigen,
also von solchen Teilen fertigen,
dann werden Sie einen Anteil von 30 Prozent in der Stichprobe erwarten,
unter der Voraussetzung, dass P 0,3 ist,
wenn P noch größer wäre als 0,3,
würden Sie entsprechend einen noch höheren Anteil erwarten.
Wenn Sie aber tatsächlich unter der Gegenüberthese sich vorstellen,
dass der Ausschussanteil gesunken ist, dann erwartet man natürlich auch,
dass die Stichprobe vom Umfang 20 oder größer.
Weniger Ausschussstücke produziert, dass der Anteil in der Stichprobe entsprechend klein ist.
Unter H1 erwarten wir kleine Werte der Anzahlen von Ausschussstücken.
Dementsprechend werden wir auch hier sagen, der zugehörige Ablehnbereich,
der Bereich, bei dem wir am Ende sagen,
wir entscheiden in Richtung der Gegenhypothese.
Das ist eher ein Indikator dafür,
dass der wahre Parameter WRP kleiner ist als 0,3.
Das sind die kleinen
Werte von Ausschussstücken in unsere Beobachtungsserien. Wenn
die entsprechenden Anzahlen von Ausschussstücken in der Beobachtungsserie groß sind,
dann werden wir eher sagen, das gehört zur Nulllybothese.
Also den Ablehnbereich werden wir in diesem Anwendungsfall so wählen,
dass die Kleinsten Werte dazu führen,
dass wir die Nullybothese ablehnen und eher sagen, die Gegenüberthese gilt.
Hier ist die Gegenhypothese natürlich das Erfreuliche,
dass der Der Übergang zu dem qualitativ höherwertigen Material,
zu dem höherwertigen Blech eine entsprechende positive Auswirkung hätte.
Wie können wir jetzt die entsprechende Grenze festlegen,
den Wert, den wir als kritischen Wert kennenzeichnet haben,
sodass die Wahrscheinlichkeit,
dass unsere Anzahl von Ausschussstücken noch kleiner ist als dieses C,
tatsächlich kleiner gleich dem vorgegebenen Wert Alpha beträgt
Wird, muss bestückt werden unter der Voraussetzung,
dass die Nullhybüthese noch gilt. Wir unterstellen also,
dass P gleich 0,3 wäre und bestimmen das C so,
dass eben unter dieser Voraussetzung P gleich 0,3,
also diese Grenze der Nullhypothese,
dass diese Wahrscheinlichkeit für einen noch kleineren Wert
eben durch die Irrtumswahrscheinlichkeit Alpha
begrenzt ist
Das Beispiel ist deswegen so attraktiv, weil wir wissen,
in diesem Fall haben wir einfach eine Binumialverteilung, wenn wir endgleich 20 vorgeben,
können wir einfach die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten mit der Verteilungstabelle der Binumialverteilung bestimmen.
Und wenn wir Alpha gleich 0,05 wählen,
können wir natürlich diese zugehörigen Wahrscheinlichkeiten ganz elementar aus der Binumialverteilungstabelle bestimmen,
die Wahrscheinlichkeit, dass Tee-Anteil der Ausschussstücke kleiner als drei ist,
also 0-1 oder zwei,
vorausgesetzt der Anteil ist 0,3, beträgt 0,0355,
die Wahrscheinlichkeit, dass Tee kleiner als vier ist,
als 0-1, 2 oder 3,
diese Wahrscheinlichkeit beträgt 0,107. Ein ganz wichtiger Aspekt bei den statistischen Tests ist es,
dass die vorgegebene Irrtumswahrscheinlichkeit für den Fehler aster Art nicht verletzt werden darf.
Also wenn wir mit einem Alpha vor 0,05 In unserem Test gehen,
dann heißt es, diese Irrtumswahrscheinlichkeit darf nicht überschritten werden.
Nur dann können wir entsprechende Konsequenzen aus unseren Entscheidungen mit gutem Gewissen oder einigermaßen gutem Gefühl vertreten.
Und das führt natürlich in diesem Beispiel dazu,
dass wir hier sagen müssen,
auch wenn wir noch nicht bei 0,05 sind,
sondern erst bei 0,0355,
also noch einiges unter 0,05,
müssen wir trotzdem sein
Unser Ablehnenbereich wird durch die obere Beziehung festgelegt,
der besteht also darin, dass wir sagen,
im Fall,
dass 0-1 oder 2 Ausschussstücke eine Stichprobe auftauchen,
dann wird die null Hypothese abgelehnt, dann wird gesagt,
die Verwendung des neuen Bleches bringt tatsächlich eine Verbesserung der Qualitätsmerkmale im Sinne,
dass wir weniger Ausschuss produzieren.
Wenn wir zwei Außenstücke also beobachten,
dann wird die null Hypothese abgelehnt
Wenn wir jetzt mal genauer angucken wollen,
was passiert denn in Bezug auf die Wahrscheinlichkeit,
sich für die Gegenhypothese zu entscheiden,
dann wollen wir diese Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit vom tatsächlichen Ausschussanteil,
den wir ja nicht kennen, mal angucken und einfach die Möglichkeiten ausrechnen,
wie groß diese Wahrscheinlichkeiten sind.
Wenn wir etwa P gleich 0,15 einsetzen,
dann können wir mit der Zugehörigen Pinomialververteilungstabelle ja auch die Zugehörige Wahrscheinlichkeit bestimmen,
dass wir dann einen Wert bekommen für unsere Ausschussanzahlen,
der kleiner ist als drei.
Diese Wahrscheinlichkeit ist 0,4 049. Wenn Peg gleich 0,1 ist,
haben wir eine Wahrscheinlichkeit von 0,67. Wenn Peg gleich 0,05 ist von
0,92445. Wir können das also für jeden P-Wert ausrechnen und haben dann einen Verlauf der Wahrscheinlichkeiten,
sich korrekt für die Gegenhypothese zu entscheiden, der hier angegeben ist.
Sie sehen, wenn wir ganz kleine Werte von Ausschussstücken haben,
das heißt, das neue Material bei unserer Produktion ist so super,
dass wir fast keinen Ausschuss mehr produzieren,
dann merken wir das auch, wenn wir aber einen Ausschussanteil haben,
der hier in der Nähe liegt, dann haben wir noch Probleme,
diese Qualitätsveränderung als Verbesserung zu sehen,
die Chance tatsächlich zu sehen,
dass wir besser wegkommen,
ist in diesem Bereich noch gar nicht
so dramatisch hoch
Wenn wir also etwa mal uns den Wert 0,25 angucken,
dann haben wir einen Wert von 0,09 für die Gütefunktion,
für die Wahrscheinlichkeit, sich für die Gegenüberthese zu entscheiden.
Jetzt, weil die Gegenüberthese sagt, P ist deiner
als 0,3, richtigerweise für die Gegenüberthese zu entscheiden.
Das bedeutet, in 9 von 100 Fällen
bei dieser Wahrscheinlichkeit entdecken wir
die Verbesserung
Anders formuliert, können wir sagen, in 91 von 100
Fällen entdecken wir die Verbesserung noch nicht. Das heißt,
wir kriegen tatsächlich eine Verbesserung, aber sehen diese Verbesserung nicht,
weil sie in der Tendenz nicht dramatisch genug ausfällt,
um sicherzustellen, dass wir sagen, wir lehnen die Nulllypothese ab.
Das heißt, in praktisch 90 Prozent der Fällen behalten wir
die Nullypothese bei, obwohl sie falsch ist.
Sie sehen Null Hypothese beizubehalten, obwohl sie falsch ist,
obwohl die Gegenüberthese gilt, kann unter Umständen ein sehr große Fehlerwahrscheinlichkeit haben.
Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art kann 90 Prozent und größer sein,
das macht nochmal deutlich, dass wir hier eine Entscheidung letztlich nur in Richtung der Gegenüberthese als zuverlässige Entscheidung interpretieren können,
die Entscheidung für die Nullhypothese kann natürlich richtig sein,
aber als mögliche Fehlentscheidung ist das auch mit einer so großen Wahrscheinlichkeit möglich,
dass wir uns nicht darauf verlassen können,
in diesem Fall eine korrekte Entscheidung gefällt zu haben.
Die Konsequenz wird immer sein,
dass bei Anwendung eines statistischen Tests letztlich das, was man beweisen möchte,
als Gegenüberthese formuliert wird und diese Wahl ist eben dadurch bedingt,
dass wir sagen können,
der Richtung der Entscheidung gegen Hypothese haben wir eine relativ sichere Entscheidung in der anderen Richtung,
ist sie leider vollkommen unsicher und dementsprechend ist diese naheliegende Wahl zu treffen.
Damit bedanke ich mich für heute und wünsche Ihnen angenehme Pfingstferien.
Entschuldigen Sie, ich habe noch eine Ansage. Nach den Pfingstferien
werden wir in der ersten Sitzung eine Wiederholungssession machen und zwar einfach anhand von Aufgaben den Stoff,
den wir bisher betrachtet haben, nochmal rekapitulieren,
um zu sehen, dass da die entsprechenden Kenntnisstand,
der entsprechenden Kenntnis stand,
wieder aktuell auf dem Stand ist.
Und erst dann werden wir mit dem Stoff weitergehen.
Also bis dahin dann
fröhliche Pfingsten