Dann darf ich sie zur heutigen Veranstaltung begrüßen. Also die Alternative zu dem Headset,
was ja offenbar sehr laut eingestellt ist, wäre,
dass sie sich nach vorne setzen und wir ohne Mikrofon arbeiten.
Das ist offensichtlich keine Alternative, die Angst vorm Dozenten ist doch zu groß.
Also müssen sie jetzt sich damit auseinandersetzen, dass sie ständig vom Schlaf gehindert werden.
Wir haben in der letzten Sitzungen uns mit Parameterschätzung beschäftigt,
mit Eigenschaften von Schätzfunktionen, mit der Gewinnung von Schätzfunktionen. Der wichtige Aspekt bei den Schätzfunktionen,
oder der besteht eigentlich darin, dass wir die Eigenschaften auf einer Ebene betrachten,
die eben nicht die konkrete Schätzung betrifft, nicht das konkrete Ergebnis,
was wir aus den Stichproben berechnen und wo dann eben geguckt wird,
wie Kann ich die Zahl, die ich bestimmt habe, beurteilen? Was wir machen,
wenn wir Eigenschaften von Schätzfunktionen betrachten und was ich versucht habe,
in der letzten Sitzung deutlich zu machen, ist,
dass wir das durchschnittliche Verhalten bei wiederholtem Einsatz uns angucken,
wenn also im Grunde genommen noch gar nichts passiert ist,
wenn wir überhaupt gar keine einzige Schätzung gegebenenfalls vorgenommen haben,
wenn wir uns bequem zurücklehnen und sagen,
Das kann passieren und die Statistik hat gerade das zum Subjekt,
das als wesentliches Ziel dieser Regelmäßigkeiten,
die sich in wiederholten Beobachtungen durchsetzen, zu analysieren,
gegebenenfalls damit irgendwelche Aussagen zu treffen und diese Regelmäßigkeiten zu verwenden,
um auch im Einzelfall Handlungsanleitungen zu geben.
Die Handlungsanleitung für den Einzelfall ist immer so zu verstehen,
dass wir hoffen, dass im Einzelfall das sich auch durchsetzt,
was sich bei vielen Wiederholungen durchsetzen wird. Was sich bei vielen Wiederholungen durchsetzen wird,
das ist gerade das, was die Verteilung der Stichprobenfunktionen,
die wir zum Schätzen verwenden, ausmacht und wo wir gucken wollen,
welche entsprechenden Eigenschaften dieser Verteilung sind es, die dann dazu führen,
dass wir sagen, Diese Schätzfunktion oder nimm jene Schätzfunktion,
die Eigenschaften, die sich also bei wiederholtem Durchführen ergeben.
Da haben wir die Eigenschaften der Erwartungstreue kennengelernt,
dass wir bei wiederholter Schätzung keinen systematischen Fehler machen,
dass es etwa gegeben,
wenn wir den Durchschnittswert vereinbaren als Schätzung zu betreiben oder zu nehmen,
dann werden wir diese Schätzfunktion berechnen,
auch wenn wir erst morgen in die Beobachtung eintreten,
können wir heute schon vereinbaren, wir wollen morgen das zugehörige arathmetische Mittel ausrechnen.
Wir können es bei Wiederholungsfall auch noch übermorgen und drei Tage später
in der gleichen Weise durchführen. Und wenn wir das vielfach durchführen,
dann wird sich unabhängig vom Einzelfall in der Gesamtheit der Durchführung ein Erscheinungsbild widerspiegeln,
was ich versucht habe, in der Gegenüberstellung der theoretischen und empirischen Ebene zu verdeutlichen.
Wir haben eine theoretische Verteilung für diese Schätzwerte und was wir in der Empirie sehen werden,
ist halt ein mehr oder weniger getreues Abbild und je mehr wir diese Schätzung durchführen,
je öfter, desto getreuer wird dieses empirische Abbild der theoretischen Verteilung sein.
Also im Durchschnitt oder in der Regel werden wir das sehen,
was diese Verteilung der Schätzfunktion jeweils sich darstellt und wir werden die empirische Verteilung als Abbild haben werden.
Das sind die Eigenschaften, Erwartungstreue als erstes, was inhaltlich bedeutet, dass wir keinen systematischen Fehler machen. Die zweite Eigenschaft,
die wir herausgestellt haben,
war die Eigenschaft der Konsistenz in gewisser Hinsicht die Eigenschaft,
dass wir bei Erhöhung des Stichprobenumfanges in entsprechender Weise entlohnt werden,
dass nämlich die Schätzung besser wird, wenn wir mehr Beobachtungen machen,
dass es nicht selbstverständlich, die Statistik kennt Fälle,
wo das nicht der Fall ist und wo im Grunde genommen die Hinzunahme der Beobachtung keinen Mehrwert bringt,
also wo wir sagen können,
ob der nun zwei oder drei oder 20 oder 30 Beobachtung machst,
der Informationsgehalt wird nicht besser,
wenn man diese Wiederholung betreibt.
Beim arathmedischen Mittel ist es allerdings natürlich der Fall,
das drückt das schwache Gesetz der großen Zahlen auch aus,
dass wir hier natürlich eine sinnvolle Schätzung haben,
die immer besser wird,
je mehr
der Stichprobenumfang wächst
Der dritte Aspekt, den wir bei den Eigenschaften angeguckt haben,
war der, der Konsistenz,
Entschuldigung, der Effizienz und Effizienz bezieht sich darauf,
dass wir Schätzfunktionen miteinander vergleichen und diejenige Schätzfunktion als effizienter ansehen,
die bessere Werte liefert, werdet ihn näher bei wahren Parameter
Wert liegen, auch wieder nur in der Tendenz
als die vergleichbare Schätzfunktion
Diese Eigenschaften kann man natürlich für Schätzfunktionen allgemein formulieren und wir haben
dann im zweiten Teil der Veranstaltung in der letzten Woche uns angeguckt, wie man überhaupt Schätzfunktionen gewinnt.
Wie kommt man überhaupt daran? Wir haben zwei Methoden angesprochen,
die Momentenschätzung, die einfach darauf basiert,
dass wir das arrathmetische Mittel nehmen, das arrathmetische Mittel verwenden,
um den Erwartungswert zu schätzen, die empirische Varianz nehmen,
um die theoretische Varianz zu schätzen.
Und wenn Erwartungswert und Varianz der zugrunde liegenden Verteilung mit dem entsprechenden Parameter zusammenhängen,
dann können wir geeignete Schätzwerte finden oder Schätzfunktionen auf der abstrakteren Ebene,
die eben gerade diese Relation widerspiegeln,
indem wir sie für die empirischen Größen entsprechend verwenden,
wo wir dann einmal den Erwartungswert die theoretische Varianz durch die Entscheidung entsprechenden Größen arathmetisches Mittel,
empirische Varianz ersetzen.
Und auf der anderen Seite der Beziehung natürlich den theoretischen Parameter
durch den Parameter, den wir durch ein Dach ersetzen.
Und wir brauchen dann gegebenenfalls nur noch die Beziehungsgleichung durch diesen
Parameter mit dem Dach, also durch die Chatzschätzung aufzulösen,
um einen expliziten Schätzfunktionen angeben zu können.
Das war der eine Zugang und der andere Zugang ist
der Zugang der Maximum Likely Hotschätzung
Das ist ein etwas schwierigeres Konzept, aber auch ein viel günstigeres Konzept,
ein Konzept, was in der Statistik bevorzugt verwendet wird.
Wir suchen den Parameter als Schätzwert,
bei dem wir im Nachhinein sagen können,
die Stichprobe hatte die größte Chance für diesen Parameter beobachtet zu werden.
Also gucken wir uns verschiedene Modelle an.
Jeder Parameter kennzeichnet ja eigentlich
ein eigenes Modell
Ein Modell, beispielsweise der Normalverteilung, mit unterschiedlichem Erwartungswert,
dann haben wir einen Erwartungswert, meinetwegen fünf,
einen Erwartungswert, 5,5, einen Erwartungswert sechs.
Und wir gucken nach, wie weit die konkrete Stichprobe,
unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten für diese Modelle hatte. Wir haben bei den
stetigen Verteilungen gesehen, wir können das Produkt der Werte,
der dichte Funktion nehmen, jeweils mit einem kleinen Äpzilon,
das ist zumindest eine Näherung für dieses Stichprobenwahrscheinlichkeit.
Und dann bestimmen wir den Parameter,
für den diese Wahrscheinlichkeit am Größten ist
Damit haben wir eine Regel,
wie wir ebenfalls die Zugehörigen, Schätzungen durchführen können,
bestimme das in jedem Einzelfall und wenn wir jeweils einen Wert der Stichprobe bekommen,
können wir daraus auch die zugehörige Schätzfunktion ermitteln.
Das wollen wir uns hier noch einmal im Rahmen einer Beispielaufgabe angucken,
die wir das letzte Mal dann nicht mehr geschafft hatten
Wir haben hier die Situation eines verliebten Studenten, der häufig
viel zu lange auf den Anruf seiner Freundin warten muss.
Die Wartezeit in Tagen hat eine Wahrscheinlichkeitsverteilung,
die der verliebte Student aufgestellt hat,
diese Wahrscheinlichkeitsverteilung ist unser Modell und sie sehen bei diesem Modell,
gibt es eine Unbekannte, das ist die Wahrscheinlichkeit P und diese Wahrscheinlichkeit P müssen wir noch bestimmen.
Konkret haben wir die Stichprobe, die hier angegeben ist,
Also er hat einmal gar keinen Tag warten müssen,
dann zwei, einen 0, 1, 2 und zwei Tage.
Und der erste Punkt, den wir machen können,
ist halt erst einmal einen Maximum Like-Lohood-Chatswert für diese konkrete Stichprobe zu bestimmen.
Dieser Maximum-Liklo-Chatswert geht also so vor,
dass wir uns die konkrete Wahrscheinlichkeit für diese Stichprobe überlegen.
Wir betrachten die konkrete Wahrscheinlichkeit aber in Abhängigkeit von dem Parameter
Das heißt, für unterschiedliche Werte von P,
also für unterschiedliche Konkretisierungen dieses Modelles,
wollen wir die Zugehörigen Wahrscheinlichkeit für die Stichprobe betrachten.
Vereinbarungsgemäß haben wir gesagt, sind die Zugehörigen Stichprobenvariablen unabhängig.
Das heißt, wir haben hier ja entsprechend mehrere Versuche oder
mehrere Durchführungen des Experimentes Warten auf den nächsten Anruf.
Und die entsprechenden Zeiten soll natürlich voneinander unabhängig sein.
Wenn wir die Wahrscheinlichkeit also bestimmen,
können wir die Wahrscheinlichkeiten für die konkreten Werte jeweils bestimmen und
die Zugehörigen Wahrscheinlichkeiten wegen der Unabhängigkeit miteinander multiplizieren,
sodass wir daraus die Gesamtwahrscheinlichkeit für die konkrete Stichprobe bekommen.
Der erste Wert ist null, die zugehörige Wahrscheinlichkeit beträgt P.
Der zweite Wert ist zwei, die zugehörige Wahrscheinlichkeit ist eins
minus P zum Quartat. Der dritte Wert ist eins,
nun haben wir P mal eins minus P.
Der nächste Wert ist wieder null
Dann kommt wieder die Eins und dann kommt zweimal die Zwei.
Das ist also natürlich in Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeit P,
die zugehörige Wahrscheinlichkeit. Die können wir ein bisschen sortieren.
Wir haben zwei Faktoren, ein Faktor P,
ein Faktor 1-p und können jetzt einfach nachgucken,
wie oft tauchen denn die Faktoren in dieser Wahrscheinlichkeit auf.
Wir haben hier einmal, zweimal, dreimal,
viermal,
also steht hier
Und hier haben wir den Faktor 1-p hoch 2,
also zweimal, dreimal, viermal. Das kommt insgesamt achtmal
vor. Wenn wir jetzt entsprechen der Idee der Maximum-Like-Lotschätzung vorgehen,
dann suchen wir dies konkreter Modell für jedes P haben wir ja ein anderes Modell eigentlich.
Das konkrete Modell, die konkrete Ausformulierung der Abstrakten, allgemeinen Formulierungen,
die hier mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion in Abhängigkeit vom Parameter gegeben ist,
für die Diese konkrete Wahrscheinlichkeit am größten ist.
Wir brauchen jetzt also nur noch zu gucken, wo ist,
welches P ist so, dass dieser Wert maximal ist.
Das ist aber eine Aufgabe,
die jetzt rein von der Mathematik her über die Maximierung einer Funktion läuft,
um das zu machen, werden wir erst einmal zur Logorithmus übergehen,
eine technische Variante, ein technischer Aspekt,
den wir das letzte Mal kennengelernt haben,
dass das vielfach einfacher wird und der Logorithmus dieses Ausdruck
ist einfach viermal Logorithmus von
Plus achtmal Lockerhythmus von 1-p.
Wir differenzieren diese sogenannte Lock-Like-Leod-Funktion nach dem
zu bestimmenden Parameter
Logorithmus von P, abgeleitet,
gibt einfach eins durch P, Logorithmus von 1-p abgeleitet,
gibt eins durch 1-p, mal der inneren Ableitung minus 1.
Im nächsten Schritt setzen wir das Ergebnis null und die Serviet,
bei dem dieses Ergebnis gleich null ist, das ist natürlich gerade
Der Wert, den wir suchen, das ist die tendenzielle Maximalstelle.
Diese minus eins in der Klammern, die setze ich gleich nach vorne.
Das heißt also, hier haben wir einfach acht durch eins
minus Pedach, gleich null. Ja,
wenn wir das jetzt umstellen und den entsprechenden Nenner einfach auflösen,
dann erhalten wir vier Minus-P-Dach ist gleich achtmal P-Dach.
Oder Entschuldigung, hier habe ich die vier vergessen,
viermal, vier minus viermal P-Dach.
Also kommt hier zwölf Pedach. Gleich vier oder Pedach.
Gleich ein Drittel. Das ist also die maximalstelle und
damit haben wir einfach unseren Schätzwert bestimmt
In der Weise können wir für eine konkrete Stichprobe den Zugehörigen Maximum Like-Lyro-Chatswert des Parameters ermitteln.
Interessanter ist jetzt natürlich zu fragen, in dieser Situation,
wie sie denn in die Zugehörige Maximum Like-Lyro-Chats-Funktion aus.
Das heißt, die Vorschrift, die sagt,
wenn du eine solche Situation hast,
wenn du also ständig auf den Anruf deiner Freundin oder deines Freundes wartest,
naturgemäß dieses Wahrscheinlichkeitsmodell aufstellst, konkrete Werte beobachtest.
Wie solltest du dann jeweils vorgehen? Und da macht es natürlich nicht
so sehr viel Sinn, wenn man immer diese Ableitung neu macht,
sondern sich einmal überlegt, wie das insgesamt zu betreiben wäre.
Das heißt also, wie könnten wir generell die Zugehörige,
Maximum-Likehold-Schätzung durchführen, indem wir,
wie wir das nennen,
die zugehörige eigly Hood-Schätzfunktion bestimmen
Da gucken wir uns nach an, wie das wohl aussehen mag,
mit der Like-Lewood-Funktion im allgemeinen Fall,
wenn wir nicht nur konkrete Werte haben, sondern davon ausgehen,
dass wir hier eben beliebige Werte beobachten, in beliebiger Reihenfolge,
beliebige Werte ist natürlich jetzt etwas allgemein formuliert,
es geht natürlich um Werte, die überhaupt möglich sind,
das heißt also andere Werte als Null entsprechend hier die Null,
die Eins und die Zwei,
die können natürlich gar nicht vorkommen.
Aber in dieser Konstellation können die beliebig oft,
wenn wir genügend viele Stichprobenzüge machen,
Wiederholungen des Zufallsexperimentes auftauchen und natürlich auch die Zugehörige Anzahl kann im Einzelfall variieren
Wie können wir da die zugehörige Like-Load-Funktion aufstellen? Nun,
wir gucken uns an, wie die Like-Load-Funktion aufgebaut ist,
so wie ich Ihnen das hier formuliert habe,
haben wir ja nichts anderes gemacht, als eben zu gucken,
was war an der ersten Stelle los?
Da hatten wir den Wert Null beobachtet,
an der zweiten Stelle den zwei und so fort.
Und jeweils haben wir die zugehörige Wahrscheinlichkeit hingeschrieben und das Ganze als Produkt angegeben.
Für die Like-Load-Funktion selbst können wir das also so machen,
dass wir einfach sagen, wenn wir den Wert Null beobachten,
dann kommt immer die Wahrscheinlichkeit P hin.
Und das passiert so oft, wie wir den zugehörigen Wert
null beobachten. Wenn wir den Wert 1 beobachten,
dann müssen wir jeweils P mal 1 minus P hinschreiben.
Und das geschieht ebenfalls so oft,
wie wir diesen Wert 1 beobachten und entsprechend für den WR2
Dann müssen wir 1-p zum Quadrat hinschreiben. Und das machen wir
so oft, wie wir den WR2 beobachten. Also N-Index 0,
N-Index 1 und N-Index 2 sind immer die Anzahlen,
wie oft wir den Wert null, den Wert 1 beziehungsweise den Wert 2 beobachten.
Diese Like-Load-Funktion können wir jetzt natürlich in der gleichen Weise vereinfachen.
Wir haben einfach die Wahrscheinlichkeit P hoch N-0 plus
Und die Wahrscheinlichkeit eins Minus-P. Und der Exponent dafür ist N1
plus zweimal in zwei. Der Rest geht jetzt ganz entsprechend
zu dem, was wir für die konkrete Stichprobe gemacht haben.
Wir nehmen die locker rottmierte Leiklehood-Funktion. Entschuldigung,
ich habe das akustisch nicht verstanden
Ja, klar. Ich hoffe, Sie waren letzte Woche
da in der Vorlesung und haben versucht zuzuhören und haben
auch im Anschluss sich das entsprechend versucht, nochmal klarzumachen.
Ich kann schlecht die relativ langen Ausführungen, die ich in
der letzten Woche dazu gemacht habe, hier kurz wiederholen.
Also das ist schon der Punkt, wissen Sie,
Fragen, es sind okay, wenn Sie solche Verständnisfragen haben,
wo ich die Ein Viertel der Veranstaltung darauf verwendet habe,
ihnen das zu erklären, kann ich das jetzt nicht mit zwei Worten sagen?
Ich habe etwas kurz im Einsatz verurteilt. Das Thema Schalke.
Es ist die Like-Jode-Funktionen sind Wahrscheinlichkeiten, aber in Abhängigkeit vom Parameterwert.
Und das Konzept dazu müssten sie schon sich nochmal selber versuchen, genauer durchzulesen.
Die Statistikveranstaltungen basiert nicht darauf, dass sie hier sich reinsetzen,
nach Hause gehen können, nächste Woche wiederkommen.
Sie müssen zwischendurch sich die Sachen tatsächlich selber nochmal angucken,
damit wir darauf aufbauen können
Gut, das, was wir im Weiteren machen,
ist also ganz entsprechend zu dem, was wir eben für die konkrete Situation betrieben haben.
Und das Nullsetzen Der Ableitung ergibt an verließend,
dass wir als Schätzung bekommen,
dass wir nach einigen Umformungen das Ergebnis haben,
die Schätzfunktion ist der gesamte Stichprobenumfang,
minus der Beobachtung, die gleich zwei sind,
dividiert durch N plus N1 plus
Das ist also etwas, was dann über diese reine rechnerische Bestimmung sich ergibt.
Diese Schätzfunktion ist in einer gewissen Form also allgemeiner als die konkrete Stichvorbe oder als die konkrete Schätzung,
die konkrete Schätzung erhalten sie eben daraus,
dass sie sich die Stichpumpfunktion hernehmen und die konkreten Werte,
die im Einzelfall vorlegen, einfach einsetzen.
Das führt dazu, dass das natürlich Die Konkretion ist,
die Realisation dieser Schätzfunktion und in gewisser Hinsicht natürlich einfacher zu verstehen ist.
Wenn wir diese Schätzfunktion abgeleitet haben, können wir sagen,
immer wenn wir von diesem Modell ausgehen,
werden wir die zugehörigen Parameter in den konkreten Fällen über diese Formel bestimmen,
die Schätzwerte für die Parameter und haben damit eine Möglichkeit,
die konkreten Stichproben, über die wir als Information noch gar nicht verfügen,
die wir vielleicht in der nächsten Woche beobachten werden,
diese konkret auszuwerten.
Was ist denn also Auswertungsvorschriften für zukünftige Fälle,
wenn wir das so wollen
In der Form haben wir also diese Maximum-Leike-Hotschätzung betrieben und hatten da
verschiedene Beispiele uns angeguckt. Was wir heute machen wollen,
ist ein neues Kapitel aufzuschlagen und wegzugehen von den Punktschätzern und uns anzugucken,
wie eine andere Art von Schätzung aussieht, eine Art von Schätzung,
die gewisse Aspekte der Punktschätzung versucht zu verbessern oder eine Variante dazu bereitzustellen.
Denn Punktschwätzschätzer haben eine gewisse Problematik. Gewisse Formen von Schwächen,
die auch bei erwartungstreuen Schätzern zutage tritt,
denn auch erwartungstreue Schätzfunktionen liefern in der Regel Schätzwerte,
die im Einzelfall eben nicht mit dem wahren Parameterwert übereinstimmen.
Sie stimmen zwar im längerfristigen Durchschnitt mit dem Parameterwert überein,
aber nur in dem Sinne, dass es sich um diesen wahren Parameterwert gruppieren.
In gewisser Hinsicht gleichen solche Punktschätzungen dem Versuch eine Fliege mit einer Stecknadel zu erwischen.
Das ist das, was wir bei der Punktschätzung machen.
Und sie werden zugeben, dass dazu natürlich ziemlich viel Geschicke
hört, wenn man das erreichen will.
Die Funkschätzung, die wir bisher betrachten haben und die man
generell auch in der Form verwendet, die zeichnet sich dann
In der Regel dadurch aus, dass wir eine Pseudogenauigkeit haben,
dass wir möglicherweise ziemlich dicht bei dem Objekt landen,
was wir treffen wollen, etwa mit unserer Stecknadel, bei der Fliege,
mit unserem Punktschätzer, bei dem zu schätzenden Parameter wird.
Aber, dass wir eben in Anführungsstrichen meistens doch vorbeischätzen.
Gucken wir uns zu dieser Pseudogenauigkeit noch ein konkretes Beispiel an.
Wir gehen von tausend Stichproben aus,
jeweils vom Stichprobenumfang 25 und gucken uns an,
wie wir die mittlere Dauer von Telefongesprächen schätzen.
Wenn wir die mittlere Dauer in der Grundgesamtheit schätzen wollen,
ist das eigentlich der Erwartungswert. Und wir haben gesehen,
da macht es Sinn, einfach den Mittelwert aus der Stichprobe zu bestimmen.
Wenn wir tausend Stichproben haben, haben wir also entsprechend tausend Mittelwerte.
Und wenn wir uns das als Punktdiagramm hier beispielsweise auf einer Skala angucken,
könnte das etwa so aussehen,
wenn wir den Mittelwert von 0,5 haben,
dass die konkreten Schätzungen sich um diesen Wert gruppieren werden
Wenn wir aber die Skala etwas besser auflösen,
etwas feiner wählen, sehen Sie,
dass diese enge Gruppierung nur eine scheinbare ist,
dass wir bei genauerem hinsehen,
denn das erlaubt ja Karate, die Feinerung der Skala,
dass wir eben doch relativ um diesen Wert streuen und eine noch weitere Verfeinerung zeigt,
dass wir natürlich den wahren Parameterwert in keinem Fall getroffen haben,
unsere Beobachtungswerte,
unsere arathmedischen Mittel,
die wir als Schätzwerte berechnet haben,
liegen links und rechts
vom zu schätzenden Parameter
Dieser Pseudogenauigkeit zeigt eben, dass wir unsere Flieger,
sprich den Parameterwert, kein einziges Mal genau getroffen haben.
Die Fliege konnte immer davon fliegen. Wir sind zwar zum Teil
relativ nah herangekommen, aber erlegt haben wir das Biest nicht.
Was wir sinnvollerweise machen, wenn sie sich um eine Fliege handelt,
wir bewaffnen uns mit einer Fliegenpatsche oder Fliegenklatsche und hauen dann
zu und wissen mit so einem Gerät,
haben wir doch wesentlich größere Chancen, den entsprechenden Erfolg zu verzeichnen.
Das ist also etwas, was wir auch im Bereich der Statistik machen können.
Natürlich übersetzt mir das hier in den Kontext der Schätzung und im Kontext der Schätzung bedeutet dies,
dass wir statt des einzelnen Punktes besser ein Intervall bestimmen,
dann haben wir eine größere Chance, den unbekannten Parameter wert,
in diesen Intervallgrenzen einzuschließen.
Das wollen wir in der heutigen Sitzung an der konkreten Situation,
Schätzung des Erwartungswertes zunächst mal für die Situation der Normalverteilung
uns angucken
Wir wollen ein Intervall bestimmen,
also brauchen wir ein Zugehörige, Untergrenze,
eine zugehörige Obergrenze und da das Arathmetische Mittel,
eine sinnvolle Schätzfunktion für den Erwartungswert ist,
werden wir unser Intervall so wählen,
wie es hier angegeben ist,
nämlich einfach als Zentrum das Arathmetische Mittel und wegen der Symmetrie
der Normalverteilung gleichweit nach unten und nach oben gehen
Wir wollen uns jetzt angucken, wie diese Zugehörige Schätzung dann
aussehen könnte oder diese Bestimmung der Intervalle jeweils konkret sich darstellt.
Diese Darstellung, die wir jetzt uns angucken wollen,
orientiert sich an dem, was wir in der letzten Woche gesehen haben,
in Bezug auf die Gegenüberstellung bei der Punktschätzung zwischen dem theoretischen und dem empirischen Aspekt.
Wir hatten bei der Punktschätzung die Vorstellung, dass wir
eine Grundgesamtheit haben und aus der Grundgesamtheit entsprechend Stichproben gewinnen.
Die Grundgesamtheit war in der Grafik der letzten Woche oben links angeordnet
und ich habe hier auf diese Wolke mit dem Begriff Grundgesamtheit von der Grafik mal verzichtet.
Sie können sich einfach jetzt die Grundgesamtheit hier oben links jeweils vorstellen.
Gut, wenn wir uns diese Grundgesamtheit Entsprechend vorstellen,
dann ziehen wir aus der Grundgesamtheit jeweils Stichproben und sehen,
dass wir aus den Stichproben diese Zugehörigen intervalle x Quer-C und x Quer plus C gewinnen.
Diese konstante C ist hier so eingestellt,
dass wir den Wert 1,5 nehmen, der zugehörige theoretische Erwartungswert soll gleich zwei sein
Und die zugehörigen Intervalle, die wir bestimmen,
habe ich aus optischen Gründen jetzt nicht einfach mit der zugehörigen X-Achse verschmolzen,
sondern staple sie hier an der entsprechenden Stelle übereinander,
um deutlich zu machen, dass wir eben eine gewisse Anzahl von Intervallen bestimmen.
Und das, was wir erhalten, ist halt so,
wie hier angegeben, eine ganze Serie von Intervallen,
von dem wir sagen können,
Oder 86 Prozent der Intervalle überdecken den wahren Parameter wert, nämlich den WR2.
Das bedeutet auch, 14 Prozent tun es nicht.
Und dementsprechend sind die hier mit rot markierten Intervalle so gelagert,
dass entweder die ganze Intervalle entweder rechts liegen,
also hier in der Richtung ausgefallen sind oder links.
Diese Entsprechenden Intervalle sind also hier so, dass wir sagen können,
wir haben einfach diesen WRC mit 1,5 festgelegt und das ist das, was wir erhalten haben.
Wenn wir den WRC beispielsweise mit zwei festlegen,
das ist ja uns erstmal unbenommen,
dann können wir das Ganze ja nochmal machen und sie sehen,
dass die Intervalle jetzt breiter geworden sind.
Die Konsequenz wird natürlich sein, dass wir mit einer breiteren Fliegenpatsche ausgestattet,
häufiger das Biest erlegen werden, also auf die Fliege treffen und sie sehen,
dass diese Erwartungen offenbar auch sich einigermaßen realistisch niederschlägt.
Wir haben hier schon eine ganze Serie von Intervallen und noch keins
ist rot markiert, also keins, jetzt ist es eins,
was ganz weit weg liegt und die Zugehörigen Anteile
Es sind jetzt so, dass wir 92 Prozent der Intervalle haben,
die den Parameterwert überdecken und nur noch 8 Prozent, die das nicht tun.
Also die Verbreiterung der Intervalle haben zu einem entsprechend größeren Anteil geführt,
der diese ein Parameterwert überdeckt. Wir können also sagen,
wenn wir von der Punktschätzung zu einem Intervall übergehen,
haben wir zumindest eine gewisse Vorstellung,
und das sollte diese Illustration vermitteln, Dass wir sagen können,
die zugehörigen Intervalle werden den entsprechenden Parameterwert überdecken.
Und die Frage bleibt natürlich, wie sollen wir jetzt diese Grenze zerwählen?
Sollen wir sie beispielsweise 1,5 setzen? Sollen wir sie zwei setzen?
Oder sollen wir sie gar noch breiter wählen? Der Ansatz,
den die Statistik gewählt hat, der besteht darin zu sagen,
wir wählen sie so, dass die Chance,
dass dieses Intervall den entsprechenden Wert einschließt, eine vorgegebene Wahrscheinlichkeit hat.
Wir geben also die Wahrscheinlichkeit vor,
sodass diese Grenze exquer minus C X-Quer plus C,
dass diese beiden Grenzen den Parameterwert einschließen.
Üblich ist natürlich, dass wir diese Wahrscheinlichkeit, die hier
als vorgegebene Wahrscheinlichkeit angesetzt ist, recht groß gewählt wird.
Wir wollen ja möglichst diesen Wert einschließen.
Also ist es üblich, eine große Wahrscheinlichkeit vorzugeben,
um das zu erreichen
Wenn wir jetzt in Abhängigkeit von der vorgegebenen Wahrscheinlichkeit
die Grenze bestimmen wollen, dann haben wir einmal zu berücksichtigen,
dass natürlich die Wahrscheinlichkeit von der Verteilung abhängt.
Und diese Wahrscheinlichkeit ist bei der Normalverteilung so,
dass wir sagen können, wenn wir von der Normalverteilung ausgehen,
hat auch das arathmetische Mittel eine Normalverteilung mit den hier angegebenen Größen,
Erwartungswert und Varianz.
Das haben wir uns schon bei der Punktschätzung angesehen
Dementsprechend ist die Standardessierte Prüfgröße exquer minus müh, dividiert durch Sigmar durch WhatsAlN,
standardnormal verteilt. Wahrscheinlichkeitsaussagen mit der Standard-Normalverteilung sind natürlich simpel,
wenn wir den zugehörigen VRZ bestimmen, sodass die standardisierte Prüfstandardissierte größer standard,
das ist ja der Stichprobenfunktion zwischen minus und plus Z ist und das gleich einer Wahrscheinlichkeit,
die mit 1-Alpha normalerweise gekennzeichnet wird.
Alpha ist relativ klein. Insgesamt soll die Wahrscheinlichkeit ja recht groß sein.
Dann können wir auch über die entsprechende Umformung sagen,
dass Intervall, was sich aus dieser standardisierten Relation bekomme,
hat jetzt gerade die Form, dass wir unsere konstante C,
Wiedersehen, aber jetzt in der Weise, dass C ersetzt worden ist durch Z mal Sigma durch Wurzel N.
Also die konstante hängt ab von diesen Größen und wir müssen
in Abhängigkeit von der vorgegebenen Wahrscheinlichkeit natürlich das entsprechende Quantil Z bestimmen.
Aber wir sehen, dass auch noch die Standardabweichung und der
Stichprobenumfang eine Rolle spielen
Wenn wir in dieser Weise die Grenzen bestimmen,
sprechen wir von einem symmetrischen Konfidenzintervall für den Erwartungswert Mühe bei einer Normalverteilung,
wenn die Varianz bekannt ist,
dass die Varianz als bekannt vorausgesetzt wird,
ermöglicht uns die entsprechende Grenze in Abhängigkeit von der Standardabweichung der Wurzel aus der Varianz aufzuschreiben,
wenn wir das nicht raussetzen, dann ist das natürlich nicht praktikabel,
dann könnten wir die zugehörigen Grenzen ja nicht berechnen.
So ist tatsächlich das einzige, was bei diesem Intervall vom
Zufall abhängt, natürlich das arathmetische Mittel. Diese Größen,
die hängen ab von dem bekannten, als bekannten,
unterstellten Parameter Sigma, also von der Populationsvarianz oder Verteilungsvarianz,
vom Stichprobenumfang und von dem QuantilZ,
was mit der vorgegebenen Wahrscheinlichkeit bestimmt wird
Und das Z muss natürlich so bestimmt werden,
dass mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit 1-alpha das Müh eingeschlossen wird.
Das ist gerade hier in dieser Folie nochmal die Relation,
die mittlerer Ausdruck ist, die Standardnummer verteilte Zufallsvariabler,
wenn ich 1-alpha als Wahrscheinlichkeit kenne,
kann ich natürlich das Zugehörige Z als entsprechendes Quantil bestimmen
Die Bestimmung von Z geschieht dabei natürlich so, dass wir ja auf beiden Seiten die entsprechende Wahrscheinlichkeit brauchen.
Ich habe das jetzt nochmal zurückübersetzt vom Konfidenzintervall, was Sie hier haben,
die Zurückübersetzung in die entsprechende Form der Standard-Normalverteilung und damit sehen Sie,
dass wir hier natürlich folgende Idee haben,
wir wollen ein entsprechendes Quantil haben, sodass Die Zugehörige Wahrscheinlichkeit.
Gerade in der Weise sich ergibt, dass wir bei der Normalverteilungsdichte,
bei der Standardnormalverteilungsdichte im mittleren Bereich die Wahrscheinlichkeit 1 minus Alpha haben.
Und dann haben wir hier natürlich jeweils die Hälfte dieser Wahrscheinlichkeit. Wenn wir dieses Quantil jetzt bestimmen,
dann ist klar, links von diesem Quantil ist die gesamtwahrscheinlichkeit,
die hier natürlich liegt,
so dass wir nur noch alphahalbe Wahrscheinlichkeit rechts haben,
also haben wir das Quantil 1 minus alphahalbe zu bestimmen,
als gesamtwahrscheinlichkeit links von diesem TED-Wert, als Flächeninhalt unter der Normalverteilungsdichte,
liegt also die Wahrscheinlichkeit 1 minus alpha und noch diese Wahrscheinlichkeit dazu,
zusammen die Wahrscheinlichkeit 1 minus alphahalbe.
Das ist also der entsprechende Weg, wie das zugehörige Quantil der Standard-Normalverteilung sich ergibt.
Mit diesem Quantil können wir bei vorgegebenem Wahrscheinlichkeit 1-alpha,
also erreichen, dass wir die Grenzen bestimmen,
in der Weise, dass eben genau die Wahrscheinlichkeit für die Aussage,
die Grenzen werden, den unbekannten Parameter-Wert einschließen,
die einen vorgegebenen Wert 1-alpha hat
Diese Wahrscheinlichkeit wird als Konfidenzniveau bezeichnet,
als Konfidenzniveau des Konfidenzintervallers Konfidenzintervall werde ich in Zukunft häufig mit K-I abkürzen,
gerade beim Schreiben, weil es sonst immer zu aufwendig wird.
Damit haben wir diese konkrete Situation und wir haben für diese
konkrete Situation das entsprechende Konfidenzintervall.
Wichtig ist, wie können wir ein solches Konfidenzintervall interpretieren
Ziel war, wie gesagt,
dass wir ausgegangen sind von der Punktschätzung und gesagt haben,
wenn wir die Punktschätzung genauer betrachten, ist das Einzige,
auch bei einer wartungstreue Schätzung, was relativ sicher ist,
dass wir den Unbekannten Parameterwert eben nicht treffen.
Bei dem Konfidenzintervall wollen wir entsprechend jetzt einer Verbesserung haben,
in dem Sinne,
dass wir zwar einen breiteren Bereich angeben,
aber eben erreichen wollen,
dass dieser Parameterwert zwischen der Unte und der Obergrenze liegt
Wie ist das, wie gesagt, tatsächlich zu interpretieren?
Wichtig ist jetzt wieder, ähnlich wie bei den Punktschätzungen,
solange wir noch nichts beobachtet haben, dann können wir sagen,
dass die Stichprobenfunktion X Quer einer Zufallsvariable ist.
Wir können uns also tendenziell über dich Hang zu unterhalten,
wenn sie morgen in die Beobachtung einsteigen,
einen Stich provozieren werden,
wie groß ihre Chance dann ist,
den entsprechenden Paar mit der Wert mit dem Konfidenzintervall
zu überdecken
Solange noch nichts passiert ist, gibt es eine Chance,
sodass das passieren wird, was wir letztlich,
worüber wir uns unterhalten,
solange es sie eben Lotto spielen und die Kugeln noch nicht gezogen sind,
haben sie noch eine Chance, sechs Richtige zu bekommen,
wenn sie sich angeguckt haben, wie die Ziehung war,
dann sind sie entweder reich,
ohne die Chance ist eben halt vorbei,
aber über Wahrscheinlichkeiten für die Situation können sie nicht mehr reden,
sie können dann höchstens auf das nächste Mal hoffen und dann wieder sagen,
im nächsten Mal habe ich ja wieder nicht Hangs,
da können wir
es ja
nochmal probieren
Also auch hier haben wir dann keinen konkreten Wert,
den wir einsetzen können, sondern stellen uns vor,
dass wir einen Wert berechnen werden, einen Wert ermitteln werden.
Wir haben also eine Zufallsvariable. Und dann können wir sagen,
diese Zufallsvariable X quer wird einen Wert annehmen,
sodass die zugehörigen Grenzen X quer minus Z mal Sigmar durch Wotslen,
X quer plus Z mal Sigmar durch Wurzeln,
als Zufallsvariablen den entsprechenden Wert des Parameters einschließen werden.
Wenn sie die konkrete Stichprobe haben, ist der Zufall vorbei.
Dann können sie nur noch sagen, sie haben einen konkreten Wert,
den sie ausrechnen können. Und die entsprechenden Grenzen,
die sie damit berechnen konnten, sind ebenfalls konkrete Zahlen.
Dann haben sie zwei Zahlen, die ein Intervall ergeben.
Und wenn auch vor der Beobachtung sie eine gewisse Chance hatten,
genau die Chance 1 minus Alpha,
dass ihr Intervall den Parameterwert einschließen wird,
ist diese Chance als Chance als Wahrscheinlichkeit vorbei.
Es ist das einzige, was sie jetzt sagen können,
mein Intervall überdeckt, den Parama der Wert oder mein Intervall tut es nicht.
Eins von beiden muss jetzt sein, weil sie ja eine konkrete Situation haben.
Die Statistik hat das Problem, dass sie den Parameterwert nicht kennen,
Und natürlich jetzt nicht genau sagen können, was ist richtig.
Dieses Konfidenzniveau gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der das zukünftig passieren wird.
Dementsprechend können wir sagen, in einem gewissen Prozentsatz von Zugehörigen,
Aussagen und Zugehörigen, Behauptungen, dass das Konfidenzintervall den Parameter überdeckt,
werden sie Recht haben.
Sie werden, wenn sie immer einfach Cass behaupten,
mein Konfidenzintervall, mein konkretes,
berechnetes,
konfidenzintervall enthält den Parameter
Dann werden sie in eins-alpha mal 100 Prozent der Fälle.
Also eins minus Alpha soll eine Zahl in der Nähe von eins sein, soll ja groß sein.
Also beispielsweise in 95 Prozent oder 99 Prozent der Fälle werden sie Recht haben,
wenn sie immer behaupten, in diesem Fall überdeckt,
dass Konfidenz in der Wald in Parametern.
Ob das tatsächlich der Fall ist, wissen sie nicht. Sie behaupten es aber. Am Ende,
nachdem sie das hundertmal in die Welt gesetzt haben,
können sie nur konstatieren,
bei ihren hundert Behauptungen werden sie in der Tendenz fünfmal oder einmal, je nachdem,
ob sie das Konfidenzniveau mit 95 Prozent oder mit 99 Prozent festgelegt haben,
werden sie eben fünfmal oder einmal Unrecht gehabt haben.
Von diesen hundert Behauptungen können sie nicht sagen,
an welcher Stelle sie die Behauptung fälschlich getan haben.
Das einzige, was sie machen können, sie können sagen,
na gut, an irgendeiner Stelle habe ich mal einen Fehler gemacht.
Oder ich habe auch fünfmal einen Fehler gemacht im Schnitt.
An welchen Stellen wissen Sie nicht? Aber dadurch,
dass Sie in einem großen, überwiegenden Teil,
nämlich in 95 Prozent, also 99 Prozent der Fälle Recht hatten,
können Sie immer darauf hoffen,
dass Sie auch im vorliegenden Einzelfall in konkreten der konkreten Anwendung auf der richtigen Seite liegen,
unter der Vorstellung,
dass wir auch im Einzelfall eher den üblichen Fall haben
als den seltenen
In der Form ist das also als Interpretation möglich,
als eine Art Zuvertrauen oder Zuversicht, Vertrauensgrad,
mit der die entsprechende Aufsage, das Intervall überdeckte Parameter gemacht wird.
Und auch wenn wir so vorgehen,
dass wir im Einzelfall die entsprechende Behauptung machen,
wissen wir doch, das wird nicht immer hundertprozentig richtig sein,
sondern in Einzelfall auch mal daneben gegangen sein.
Welches der Einzelfall war, wo es daneben gegangen ist,
werden wir in Anführungsstrichen
wohl nie erfahren
Gucken wir uns dann ein konkretes Beispiel an. Wir nehmen einen Hersteller von
Spiegelreflex- und Kleinbildkameras, der das Marktsegment höherwertiger Detailkameras besetzen will.
Wir haben eine recht hohe Preiserlastizzität und letztlich ist natürlich die Frage,
wie da ein Preis, ein Endverbraucherpreis festzulegen ist,
sodass er dann auch durchgesetzt werden kann.
Eine Möglichkeit, um da ranzukommen, besteht in der Vor-Ort darin,
dass wir die Endverbraucherpreise beispielsweise eines Konkurrenzproduktes analysieren und Dazu wurde eine Stichprobe gezogen aus der entsprechenden Liste von über 2000 Einzelhändlern.
Wir gucken uns nur 50 von diesen über 2000 an und
betrachten jeweils die Preise aus dem zugehörigen Bereich der Stichprobe.
Wir wählen ein Konfidenzniveau von 95 Prozent oder von 0,95,
wenn wir es konkret mit Wahrscheinlichkeiten ausdrücken wollen
Also ein relativ hohes, aber nicht zu hohes Konfidenzniveau.
Und unterstellen erst einmal,
dass die Standardabweichung über den gesamten Bereich aller Geschäfte für dieses Produkt
einen Wert von 100 Geld eingehalten hat.
Von dieser Stichprobe vom Umfang, endgleich 50,
erhalten wir einen entsprechenden Durchschnittspreis, der hier mit 796.1.6 angegeben ist.
Und damit können wir jetzt schon in diese konkrete Berechnung
des Konfidenzen der Walds einsteigen.
Wir brauchen jetzt nur das arithmetische Mittel zu nehmen
Das zugehörige Quantil der Standard-Normalverteilung, wenn eins-alpha 0,95 ist,
dann ist klar, Alpha ist die Hälfte vom Rest zu eins,
also ist das 0,05,
alpha halbe als Hälfte davon ist 0,02,5 und eins-alpha halbe Ja.
Natürlich 0,975. Wenn wir das Zugehörige Quantil aus der Standard-Normalverteilungstabelle bestimmen,
erhalten wir dem Wert 1,96.
Und der ist hier entsprechend eingesetzt
Dieses Quantil wird multipliziert mit dem Quotienten Standardabweichung, dividiert durch Wurzeln.
Die Obergrenze hat einfach diese entsprechende, konstante mit dem Pluszeichen.
Und wir erhalten für das konkrete Intervall 768 und 824.
Das ist das konkrete Ergebnis und für das konkrete Ergebnis können wir jetzt,
und das ist einer der ganz wichtigen Punkte bei diesen Konfidenzen,
natürlich keine Wahrscheinlichkeit mehr angeben.
Also wenn Sie an irgendeiner Stelle mal So etwas aufschreiben sollten.
Dann kriegen Sie es mit mir zu tun.
Diese Wahrscheinlichkeitsaussage ist einfach Unsinn. Innerhalb der Wahrscheinlichkeitsklammer haben Sie
drei konkrete Zahlen zu stehen
Eine Zahl kennen Sie dabei leider nicht,
aber es ist ja auch ein konkreter Wert.
Es ist ein Durchschnittspreis in der gesamten Menge der entsprechenden Geschäfte.
Irgendein Durchschnittspreis, den sie, wenn sie viel Arbeit reinstecken,
alle Geschäfte befragen, auch berechnen könnten.
Wir haben aber nur 50 von den über 2000 befragt,
haben also nur eine Stichprobe.
Deswegen kennen wir diesen Wert nicht. Aber der Wert ist irgendwo
im Hintergrund ein fester Wert. Dann damit können wir sagen,
die Relation, so wie sie aufgeschrieben ist,
ist entweder richtig
Wenn der Durchschnittspreis eben diese Bedingungen erfüllt, oder die Relation ist falsch.
Aber eine Wahrscheinlichkeit für die Relation ist einfach nicht angebbar.
Das ist einfach eine logische Kurzschluss, ein logischer Unsinn.
Also Wahrscheinlichkeiten für konkrete Konfedenzinnovalle gibt es nicht mehr.
Es gibt nur die Behauptung, die wir natürlich in
die Welt setzen.
Unser Parameterwert liegt zwischen den Grenzen
Und wir wissen, wenn wir diese Behauptung in 100 Fällen machen,
bei 100 Konfidenzen der Wallen,
zum Konfidenzniveau 0,95, müssen wir davon ausgehen,
dass in 95 Prozent der Fälle die Aussage korrekt war,
aber leider in 5 Prozent der Fällen war die Aussage wahrscheinlich nicht korrekt.
Dementsprechend haben wir fünfmal eine Behauptung aufgestellt,
die nicht sinnvoll war oder nicht richtig war,
aber da wir nicht wissen, welche Behauptung das von den 100 waren,
machen wir einfach so weiter und vertrauen darauf jeweils im Einzelfall,
dass wir Im Einzelfall gerade mal recht haben.
Gucken wir uns dieses Intervall nochmal etwas genauer an,
in Bezug auf die Breite können wir natürlich sagen,
dass die Breite des Konfidenzintervalls eine Präzision ausdrückt,
je breiter das Intervall ist, desto weniger präzise ist es natürlich.
Das heißt also, wir haben dann zwar tendenziell eine größere Sicherheit,
das hat die Illustration gezeigt und das zeigen die Analysen jetzt gleich nochmal,
aber die Präzision wird natürlich dann eher geringer.
Je breiter, also die es in der Wall ist,
desto unpräziser wird die Konvidenzschätzung und die Breite des Intervalls ist natürlich simpel,
dass es einfach die Differenz, Obergrenze minus Untergrenze.
Ich habe Ihnen das hier aufgeschrieben und Sie sehen,
dass natürlich bei der Obergrenze und der Untergrenze das arathmetische Mittel
sich weghebt und einfach zweimal Z-Index 1 minus Alpha-Halbe,
mal Sigmar durch Wurzeln, sich als länger des Intervalls hier konkret ergibt.
Diese Breite hängt offenbar von drei Größen ab,
vom der Standardabweichung der Grundgesamtheit,
vom Stichprobenumfang und natürlich vom Konfidenzniveau
Die Standardabweichung Sigma geht als proportionale, konstante
in diesen Bereich ein. Ich habe das hier versucht,
in der Weise deutlich zu machen,
dass ich einfach das Sigma nach vorne geschrieben habe und hinten eine Faktor,
der im Augenblick einfach mal als konstant angesehen wird.
Natürlich, je größer die Standardabweichung in der Grundgesamtheit ist,
desto größer wird auch die Breite.
Der Zusammenhang ist, wie man das nennt, direkt proportional.
Der Punkt ist nur, dass wir natürlich sagen müssen,
Parameter Sigmar ist in der Grundgesamtheit vorgegeben, den können wir nicht beeinflussen.
Wir können nur konstatieren, dass mit einer größeren Standardabweichung in
der Grundgesamtheit das Intervall entsprechend größer wird.
Das ist einfach so und je größer die Standardweichung ist,
desto unpräziser wird halt das Intervall.
Da können wir nichts dran ändern. Wir können allerdings natürlich
als Anwender das Konfidenzniveau wählen,
also dem Wert 1 minus Alpha
Und ich habe hier mal für unsere Situation geguckt,
wie ergibt sich das in dieser Relation in Bezug auf die Länge.
Wenn wir eins minus Alpha 0,9,
0,95 oder 0,99 wählen,
dann müssen wir immer zunächst um das Zugehörige Quantil zu bestimmen,
eins minus Alpha halber ausrechnen und dann aus der Normalverteilungstabelle
den zugehörigen Wert bestimmen,
das Zugehörige Quantil bestimmen
Und sie sehen, das Quantill wird natürlich umso größer,
je größer das Konfidenzniveau ist. Die Konsequenz,
weil natürlich hier auch das Z 1 minus Alpha,
halber Quantil als proportionaler Faktor in diese Form eingeht,
wenn wir eine größeren Vertrauensgrad haben,
wird dies zugehörige Konfidenzen der Wahl ebenfalls breiter und dementsprechend haben wir die Situation,
dass wir mit einem höheren Vertrauen natürlich eine geringere Präzision bekommen.
Vertrauensgrad und Präzision sind gegenläufig. Je größer unser Vertrauen darin sein soll,
dass die Aussage richtig ist, dass Konfidenzintervall schließt den Parameterwert ein,
desto weniger präzise ist es und das ist aber auch relativ einsichtig.
Wie sieht es aus mit dem Stichprobenumfang und der Präzision?
Hier habe ich jetzt entsprechend den Faktor 1 durch Wurzel N,
bei dem der Stichprobenumfang direkt eingeht, nach vorne geschrieben und
sie sehen Eins durch Wurzel N, das N steht im Nenner.
Je größer das N wird, desto schmaler wird das Konfidenzintervall,
desto kleiner wird die Länge. Also können wir erreichen,
dass wir mit einem größeren Stichprobenumfang eben ein schmaleres, ein präziseres Konfidenzintervall bekommen.
Allerdings steht der Parameter N, der Stichprobenumfang unter der Quadratwurzel. Das heißt,
wir werden nicht einfach den Stichprobeumfang,
um ein gewisses Maß vergrößern und im gleichen Maß die Verkürzung des Intervalls erreichen,
wenn wir beispielsweise die Halbierung der Länge haben wollen,
müssen wir eine Vervierfachung des Stichprobenumfanges betreiben,
um das mal konkret zu machen,
wenn wir etwa 300 Beobachtungen machen,
etwa in Form von Interviews,
dann bedeutet eine Vervierfachung des Stichprobenumfanges,
dass wir
1200 Interviews stattdessen machen wollen müssen
Also die Vervierfachung einer Stichprobe bedeutet in der konkreten Umsetzung tatsächlich
einen erheblichen Mehraufwand im Vergleich zum anderen, zum Ausgangspunkt.
Und die Erhöhung ist natürlich etwas, was in der konkreten Umsetzung jeweils Geld kostet.
Und die Frage, sie stellt sich natürlich dann schon,
wie breit darf mein Konfidenzintervallen sein im Vergleich zu den Kosten,
die das Ganze macht.
Wenn wir also diese Frage haben und da konkret mit der Situation konfrontiert sind,
dass wir bei einem entsprechenden Stichprobenumfang eine gewisse Konkretion oder Entschuldigung,
dass wir bei einer gegebenen Präzision gucken wollen,
wie viele Beobachtungen müssen wir denn überhaupt anstellen,
dann können wir die Zugehörige Umsetzung anhand
der Beziehung zwischen Stichprobenumfang und Länge des Konfidenten
und weil es bestimmen
Ziel wird natürlich in der Regel sein, dass wir eine hohe Sicherheit haben wollen,
sprich also eine hohes Konfidenzniveau und ein kurzes Intervall. Das Ziel,
hohe Sicherheit, kurzes Intervall,
ist aber ein nicht gleichzeitig zu erfüllendes und dementsprechend werden wir das in der Weise angehen,
dass wir sagen, bei einer vorgegebenen Länge können wir nur gucken,
wie viele Beobachtungen müssen wir denn mindestens anstellen,
um bei einem ebenfalls vorgegebenem Konfidenzniveau die zugehörige Länge nicht über den vorgegebenen Wert wachsen zu lassen.
Als Formel gegeben ist also die maximale Länge,
gegeben ist das Konfidenzniveau,
Sigma als Parameter der Grundgesamtheit liegt natürlich auch vor und die Frage ist jetzt,
wie groß muss das eng gewählt werden,
damit die tatsächliche Länge des Intervalls die hier gegeben ist,
die vorgegebene Länge nicht überschreitet,
dass die tatsächliche Hehlänge L kleinergleich der vorgegebenen Länge L.0 ist.
Das ist natürlich keine so schwierige Aufgabe. Wir haben als
einzige Unbekannte den entsprechenden Parameter N, also den Stichprobenumfang.
Wir können das nach N auflösen und sehen,
dass N größer gleich sein muss,
der in dem entsprechenden Ausdruck 2 Z-Sigma durch L.0 Klammern zum Vertrat.
Das ergibt die einfache Umstellung, der oben stehenden Beziehungen.
Wenn wir also das machen, dann haben wir erreicht oder dann erreichen wir,
dass die Länge des Intervalls diese vorgegebene Länge L0 nicht übersteigt.
Gucken wir uns ein Beispiel dazu an,
nehmen wir die Körpergröße von männlichen Studierenden. Wir wissen,
Körpergröße sind in der Regel normal verteilt und wir wollen unterstellen,
dass die Standardabweichung fünf Zentimeter sei
Der Erwartungswert, den wollen wir jetzt mit einem Konfidenzintervall zum Niveau
0,95 schätzen und wollen eine Breite des Intervalls von zwei Zentimetern zulassen.
Frage, wie viele männliche Studierende müssten wir vermessen, um ein entsprechendes Konfidenzintervall zu bestimmen?
Zunächst haben wir wieder mit dem vorgegebenen Konfidenzniveau,
das entsprechende Quantil der Standard-Normalverteilung zu bestimmen,
bei 0,95 haben wir wie wir es vorhin schon gesehen haben,
dass Zugehörige 0,975 Quantil zu bestimmen,
das ist 1,996. Damit können wir direkt in diese Formel für die Länge einsteigen.
Das heißt, wir brauchen jetzt nur noch die Zugehörigen,
Größen in diesen Bereich einzusetzen.
Wir haben den Faktor 2, das ist das Quantil,
was wir eben bestimmt haben.
Wir haben die vorgegebene Länge des Konvidenten
Das, nee, Entschuldigung, die vorgegebene Standardabweichung und hier
im Nenner steht einfach die vorgegebene Länge von zwei Zentimetern.
Wenn wir das ausrechnen, sehen wir, wir brauchen eine Stichprobenumfang,
der größer gleich 96,04 ist und da natürlich Stichproben nur ganze Zahlen,
Stichproben, Umfänge,
nur ganze Zahlen sein können,
haben wir ein größer gleich 97 zu wählen
Das ist der kleinste Stichprobenumfang, also 97,
bei dem die Zugehörige Intervalllänge den entsprechenden Wert von zwei Zentimeter,
der vorgegeben war, nicht übersteigt. Wegen der etwas größeren Zahl,
wir landen ja nicht gerade bei genau bei 96,04,
landen wir auch mit unserer konkreten Länge etwas unter den zwei Zentimetern,
aber da wir nur mit N indiskreten sprüngen,
operieren können,
sind wir hier an der As,
zum ersten Mal
unterhalb dieser entsprechenden Grenze
Gut, dann denke ich, machen wir bis Viertel vor einer Pause.
Gut, dann wollen wir uns die Umsetzung dessen,
was wir vor der Pause gemacht haben, nochmal angucken,
anhand einer Beispielaufgabe. Wir betrachten die Situation einer Abfüllung von
Bierflaschen und betrachten da die entsprechende Abfüllung, Apfelmengen.
Wir unterstellen die Apfelmenge, soll normal verteilt sein.
Wir haben eine Standardabweichung von 0,01 Lieder. Und die Frage ist,
offensichtlich, wie viele, also wie groß muss der Strichprobenumfang sein,
um ein Konfidenzintervall für die durchschnittliche Abfüllmenge zu bekommen,
Wäre es nicht breiter, als die halbe Standardabweichung ist.
Das Konfidenzniveau ist mit 95 Prozent vorgegeben. Wir wissen,
dass die Länge des Konfidenzen der Walds ja nichts anderes ist,
als zweimal Z, mal Sigma dividiert durch Wurzeln,
in Klammern,
ja,
gar nichts in Klammern
Voll der Länge ist gesagt, sie soll nicht breiter sein als die halbe Standardabweichung.
Das ist also gerade unser L0 und da können wir gleich
das entsprechend einsetzen, L0 ist zigmal halbe. Der WRZ,
das Quantil, da hatten wir schon mehrfach gesehen,
wenn wir für das Konvidenz Niveau,
dem Wert 0,95 Einsätzen, ergibt sich das zugehörige Quantil,
einer Stelle 0,999995 zu 1,96. Und wir wissen,
dass dann entsprechend die Formel jetzt einfach ansetzbar oder anwendbar ist.
Die Besonderheit in dieser Aufgabe,
warum ich das auch in dieser Form erst nochmal rekapituliert habe,
besteht jetzt darin, dass sie natürlich auch sehen,
dass Sigmar Kommt hier in dieser Beziehung vor und in der entsprechenden Beziehung.
Wenn wir also zweimal Z mal Zigma durch Wurzeln,
kleiner, gleich Sigma, halber hinschreiben,
dann können wir das gegenseitig wegkürzen.
Dementsprechend wissen wir Wurzel aus N,
muss größer gleich viermal Z sein oder ein größer
gleich viermal Z in Klammern
zum Quadrat
Z hatten wir eben bestimmt, dass es 1,96. Haben wir
also viermal 1,96 in Klammern zum Quadrat zu rechnen.
Und da ergibt sich einfach ein Wert von 61,47.
Das heißt, N muss größer gleich,
62 sein
Wir haben jetzt so viel schon mit diesem, dieser Situation gerechnet,
dass wir einfach gesagt haben, dass Konfidenzniveau soll 0,95 sein.
Wie verändert sich denn unser konkretes Ergebnis, wenn wir jetzt mal als Variante,
dass Konfidenzniveau 0,99 einsetzen? Wenn wir das machen,
dann ändert sich natürlich unser Z-Wert und wir müssen das 0,995 Quantil bestimmen,
um Dieser entsprechende Länge zu sicherzustellen, das heißt,
wir haben den Wert 2,5776 aus der Tabelle abgelesen und können jetzt einfach sagen,
gut, N muss größer gleich, viermal 2,5576 in Klammern zum Quartal sein.
Und dieser Wert ist aber 100 und 6,17,
das heißt, in diesem Fall muss in Größe
gleich 107 sein
Sie sehen, dass die Erhöhung des Vertrauensgrates, des Konfidenzniveaus dazu führt,
dass wir bei gleicher vorgegebener Länge natürlich einen größeren Stichprobenumfang brauchen,
um eine gleiche Präzision von der heilen Standardabweichung zu erreichen.
Wir können insbesondere also mit einer Erhöhung des Stichprobenumfanges
die Und den Effekt neutralisieren, dass das Konfidenzniveau,
wenn wir es höher wählen, auch ein breiteres Intervall ergibt.
Wir müssen dann einfach den Stichprobenumfang noch größer wählen,
um auch dieser Erhöhung der Breite wieder zu neutralisieren.
Wir wollen an dieser Stelle jetzt allgemein definieren,
was wir unter einem Konfidenzintervalpe verstehen,
weil wir ja Konfidenz in der Weile nicht nur für diese betrachtete,
konkrete Situation uns angucken wollen,
sondern eben doch weitergehend
Bis jetzt haben wir symmetrische Konfidenzintervalle für Mühe bei Normalverteilung und mit
bekannter Varianz betrachtet. Wenn wir es allgemein machen wollen,
dann nehmen wir natürlich das, was wir bisher kennengelernt haben
und gucken nach, was sind die wichtigen Aspekte.
Die wichtigen Aspekte sind einmal, dass die Grenzen der Intervalle
zufällig sind. Das sind Werte von Stichprobenfunktionen oder gar Stichprobenfunktionen
selbst. Schon die haben wir als Intervalle bezeichnet,
obwohl erst, wenn wir es konkret ausgerechnet haben,
konkreter Intervalle resultieren
Dementsprechend wollen wir allgemein unter einem Konvidenzintervall ein paar von Stichprobenfunktionen
hier kennzeichnen, die wir mit U und V bezeichnen.
Und natürlich macht das Ganze nur Sinn,
wenn U als Untergrenzer immer kleiner gleich V als Obergrenze ist.
Sonst kommen wir ja in Schwierigkeiten. Und das ist
nur Punkt eins nochmal angegeben, dass eben die Untergrenze,
wie das bei einem normalen Intervall immer der Fall ist,
kleiner gleich der Obergrenze ist
Der wichtige Punkt ist dann, der unter zweitens genannte,
dass wir eben sagen können,
die beiden Stichpurmfunktionen sollen mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit den Unbekannten Parameter Wert einschließen,
und da wir eine allgemeine Definition haben,
ist der Parameter Wert jetzt entsprechend einfach mit dem Täter gekennzeichnet,
und die wichtige andere Seite ist halt,
dass wir hier sagen, diese Wahrscheinlichkeit 1-alpha, das Konvidenzniveau,
Das darf nicht unterschritten werden, aber wir lassen zu,
dass wir die richtige Wahrscheinlichkeit größer gleich diesem Konsidenzniveau haben.
Wir werden an späterer Stelle sehen, dass das Sinn macht,
hier zuzulassen, dass wir eine größere Wahrscheinlichkeit als 1-1-Alpha haben.
Relevant ist aber, dass diese Wahrscheinlichkeit 1 minus Alpha vom Konfidenzintervall nicht unterschritten wird.
Also es darf keinesfalls die entsprechende kleinere Lation gelten,
weil wir diesen Vertrauensgrad, mit dem wir unsere Aussage machen,
Die wollen wir auf alle Fälle einhalten.
Wir wollen sicher gehen, dass eben in einem relevanten Anteil von wiederholten Aussagen
der Anteil der richtigen auch nicht kleiner ist als vorgegeben.
Wenn das insgesamt gegeben ist, sprechen wir einfach von einem entsprechenden Konvidenzintervall,
um einen Sonderfall gleich einzuführen,
dass wir uns beispielsweise nur für eine Grenze interessieren.
Hier gucken wir uns als Beispiel
die sogenannte Füllmengenverordnung an
Sie wissen, wir leben in einem Staat und in einem Land, wo alles verordnet, geordnet ist. Und da gibt es auch eine sogenannte Füllmengenverordnung,
die eben festlegt, wenn ein Hersteller sagt,
es ist in der Verpackung eine gewisse Menge eines Inhaltes,
beispielsweise so und so viel Joghurt im Joghurtbecher,
so und so viel Mehl in der Mehltüte und so weiter,
dann sollte diese angegebene Menge nicht unterschritten werden,
dem Hersteller und ist es natürlich unbenommen,
Joghurtbecher so zu gestalten, dass der Kunde den Eindruck hat,
da ist viel mehr Joghurt drin und unten ist einfach nur Luft,
aber wenn obendrauf irgendwo an der Seite angebracht ist,
da ist mindestens, sagen wir mal,
ein Viertel Pfund drin,
dann sollte auch ein Viertel Pfund drin sein.
Diese Menge darf ein bisschen unterschritten werden. Der Artikel,
den ich hier aus der Welt online mal eindeutungsweise rauskopiert habe,
war anlässlich der Feststellung, dass sehr,
sehr viele Hersteller, die entsprechende Mengen, Ordnung,
Verordnung unterlaufen, einfach weniger abfüllen,
als sie es angeben und damit natürlich eine Art Extra-Profit-Einfahrung.
Hier ist es noch relativ harmlos, bezeichnet als Schummeln.
Diese Füllmengenverordnung wird tendenziell natürlich auch überwacht, das heißt,
es werden Stichproben gezogen von verschiedenen Produkten,
dann wird nachgeguckt,
wie sie denn das mit der zugehörigen Menge aus,
die da entsprechend enthalten ist
In solch einem Fall ist natürlich nur von Interesse,
dass wir eine Art Untergrenze für die Apfelmenge haben,
in einem Myrgottbecher von, nehmen wir einen großen,
von 500 Gramm, da ist einfach aufgrund der Dimensionierung klar,
da kann ich beliebig viel drin sein und wenn mehr drin wäre,
würde es den Kunden ja auch nicht stören,
wenn er 500 Gramm bezahlt.
Also es ist nur wichtig,
dass es nicht unerfüllt wird und dementsprechend brauchen wir eigentlich nur eine Aussage,
Füllmenge ist mindestens so groß wie,
und zwar nicht die einzelne Füllmenge, sondern die durchschnittliche Füllmenge insgesamt.
Also im Einzelfall kann es aufgrund von Zufallsschwankungen schon mal passieren,
dass eine Füllmenge etwas geringer ausfällt,
aber im Durchschnitt sollte es ja eigentlich nicht passieren.
Dementsprechend brauchen wir Konfidenzintervalle der Form Untergrenze, ist kleiner gleich dem Unbekannten.
Parameterwert, Müll der Unbekannten tatsächlichen Füllmenge und wir könnten insgeheim
für uns ergänzen, die Obergrenze ist nicht relevant,
kann beispielsweise der Wert unendlich beliebig viel darf schon drin sein.
Es darf eben nur nicht zu wenig drin sein.
Das wäre eine solche Situation, wo eine einseitige Konfidenzgrenze,
eine Untergrenze von Interesse ist. Eine andere Situation wäre etwa,
wenn es um die Präzision einer Messung geht, die Präzision,
wird in der Regel über die Varianz gemessen oder über die Standardabweichung,
also möchte man Konfidenzintervalle für die Varianz haben
Zigmal Quadrat, die theoretische Varianz, sollte dann natürlich
höchstens so groß sein, wie ein vorgegebener Wert.
Das heißt, wir wollen eine gewisse Zuverlässigkeit bei der Herstellung,
bei der Präzision haben, stellen Sie sich vor,
Sie sind begeisterter Hobbysportler und betreiben dann die Sportart Fallschirm springen.
Im Durchschnitt mögen die Fallschirmseite natürlich ganz in Ordnung sein,
sodass sie ihr Gewicht aushalten. Aber wenn da schlampig produziert würde,
mit einer großen Standardabweichung beispielsweise bei der Dicke, dann wäre das natürlich auch fatal.
Die Streuung bei der Dicke der Seile sollte also eine gewisse Grenze nicht übersteigen,
damit sie ihre Sportart noch möglichst lange ausüben können.
Was wir also brauchen, sind Konfidenzintervalle,
die einseitig sind, eine obere Konfidenzschranke, die gewährleistet,
dass die Streuung einfach nicht zu groß ist.
Es ist klar, Varianzen sind immer größer,
gleich null, die Untergrenze ist sowieso gegeben,
was interessant sein würde,
wäre halt
eine entsprechende Obergrenze
Das sind einfach zwei Beispiele, um deutlich zu machen,
dass in Anwendungen bisweilen eben wirklich nur die Obergrenze oder nur
die Untergrenze von Interesse ist.
Gucken wir uns eine konkrete Umsetzung für die Fragestellung,
Konfidenzintervall, für Müh bei Bekannten der Varianz an.
Wir wollen also eine Untergrenze für Mühbestimmen, und zwar so,
dass diese Wahrscheinlichkeit,
dass die Untergrenze tatsächlich unterhalb dem theoretischen Parameterwert zu liegen kommt,
gleich 1
minus Alpha ist
Wir haben zweiseitige, symmetrische Intervalle kennengelernt. Jetzt macht es natürlich Sinn,
zu sagen, wenn wir einfach noch die Untergrenze nur bestimmen wollen,
dann nehmen wir einfach die Untergrenze des Zweiseitigen Intervalls und unterstellen
dann die Form der Untergrenze, soll sich nicht ändern.
Das, was ich tendenziell aber natürlich ändert, ist der Z-Wert. Alles andere ist ja gleich,
das Arathmetische Mittel minus Z, mal sieht man durch Wurzel N,
aber wie müssen wir jetzt dieses Z bestimmen,
damit jetzt im einseitigen Fall sichergestellt ist, die Wahrscheinlichkeit,
dass diese Untergrenze kleiner gleich Mühe ist, ist gleich 1 minus Alpha.
Nun, diese zugehörige Aussage können wir natürlich jetzt einfach wieder in unsere Form bringen,
dass wir das Übersetzen in einer Wahrscheinlichkeitsaussage mit Hilfe einer Standard-Normalverteilten,
Zufallsvariablen,
das habe ich hier in zwei Schritten gemacht,
erst einmal den Parameter-Wert Müh auf die linke Seite gebracht und
den Wert auf die Rechte und das Ganze
dann noch durch Sigmar durch Wurzeln dividiert
Wenn wir in dieser Weise die entsprechende Gleichung sehen,
sehen Sie natürlich auch, wie der Wert Z,
wie das Quantil zu bestimmen ist.
Diese Wahrscheinlichkeit soll 1 minus Alpha sein,
also brauchen wir auch das 1 minus Alpha-Quantil und damit
sind wir bei der Bestimmung der einseitigen Grenze schon am Ziel.
Beim Symmetrischen Intervall brauchen wir das Quantil 1 minus Alpha-Halbe,
also Z-Index 1 minus Alpha-Halbe.
Jetzt nehme einfach das 1 minus Alpha-Quantil und haben damit
die Zugehörige Untergrenze
Das Konkrete, einseitiger Intervall, hat dann also die Form Obuchgrenze,
schreibe ich einfach unendlich hin, die interessiert gar nicht.
Die Untergrenze ist das entsprechend, was wir eben bestimmt haben.
In dieser Form können wir also die Zugehörigen Intervalle dann bestimmen und
wir wollen uns auch hier angucken, wie die Umsetzung aussieht.
Wir gehen in unserer Beispiel der Abfüllung, wo wir den
Welt-Online-Artikel auch herhaben und haben hier eine Stichprobe von entsprechenden Lagerfettdosen.
Etwas, was nicht ganz so attraktiv ist,
aber natürlich auch unter diese Füllmengenverordnung fällt. Dass Konfidenzniveau soll
0,99 sein und die Standardabweichung ist mit 3 Milliliter angegeben.
Das atmetische Mittel ist angegeben mit dem zugehörigen Wert 1,23,
Stichprobenumfang ist ebenfalls angegeben, das sind 50.
Also wir haben Stichprobenumfang, 50, 1 minus Alpha,
gleich 0,9 und da können wir gleich für diese zugehörige Untergrenze das Zugehörige Quantil bestimmen.
Wir brauchen nur aus der Normalverteilungstabelle das 0,99 Quantil zu ermitteln und da lesen wir einfach 2, 3, 2, 6, 3 ab. Ja,
damit haben wir schon alle Angaben,
arathmetisches Mittel steht hier und wir können die Untergrenze jetzt einfach in der Weise bestimmen,
dass wir eben sagen, gut, arathmetisches Mittel,
minus Z, mal Sigma durch Wurzel N,
ist gleich 100, 23,5 minus 2,3, 2, 6,
3 mal Sigma ist 3 Milliliter und Stichprobenumfang ist 50,
die Werte brauchen wir einfach einzusetzen und erhalten dann nach Auszeichnen einfach den Wert, 122,22,513.
Die Aussage, die wir daraufhin machen werden,
ist einfach die mittlere Füllmenge Jetzt der gesamten Abfüllung Nicht nur
in der Stichprobe Ist größer oder gleich dieser Untergrenze 122,513.
Das ist also die Konsequenz, die wir aus dieser
konkreten Stichprobe ziehen
Das Konfidenzniveau von 0,99 sagt jetzt,
wenn ich jetzt beispielsweise 100 verschiedene Stichproben betrachte und jeweils die Zugehörige untere Konfidenzgrenze berechne,
dann werde ich mit meiner Behauptung jeweils ist der wahre durchschnittliche
Wert der Produktion oder der Abfüllung größer gleich der bestimmten aus
der Stichprobe bestimmten unteren Grenze,
da werde ich 100 von 100 Aussagen 99 mal
recht haben und einmal werde ich
Unrecht haben
Dementsprechend haben wir einen gewissen Vertrauensgrad in unserer Aussage,
auch wenn wir die Aussage jeweils erneut machen und
die Wahrscheinlichkeit ist in jedem einzelnen Fall natürlich vorbei.
Die Wahrscheinlichkeit sagt nur,
wenn wir eben in vielen Situationen diese Größe berechnen,
dann erhalten wir eben die Chance,
dass in zukünftigen hundert Fällen 99 mal das Ganze
richtig behauptet wird,
in einem Fall hätten wir Unrecht
Bis jetzt haben wir uns immer um die Situation gekümmert,
dass die Eigenschaft der Grundgesamtheit bekannt ist oder diese Größe der Grundgesamtheit bekannt ist,
dass die Varianz oder Standardabweichung verwendbar ist.
Wie sieht es aus, wenn die Varianz nicht bekannt ist? Es ist natürlich von dem,
was wir über die Schätzung in der letzten Stunde kennengelernt haben,
naheliegend zu sagen, wir nehmen das Konfidenzen der Wahl bei bekanntem Signalquadrat.
Auch wenn diese Annahme erstmal nicht realistisch ist,
aber wir können doch einfach Folgendes machen,
dass wir den bekannten Wert von Sigma Quadrat ersetzen durch die Schätzung.
Also bekommen wir dann die Zugehörige Intervalle, wo Sigma Dach Physikma steht.
Tatsächlich geht dieser Weg nicht so ohne Weiteres,
das einfache Ersetzen funktioniert nicht, wenn wir das nämlich machen würden,
dann würde Folgendes passieren, dass hier die Zugehörige,
Beziehung, diese Wahrscheinlichkeitsgleichheitszeichen, dass das nicht mehr gilt.
Wenn wir also unten einfach das Sigma Dach einsetzen,
dann stimmt die Wahrscheinlichkeit nicht mehr mit der Wahrscheinlichkeit überein,
die eigentlich vorgegeben ist.
Der Vertrauensgrad wird zerstört und wir wissen eigentlich über die Wahrscheinlichkeit,
dass dieser Größe tatsächlich funktioniert, gar nichts.
Wir wollen uns angucken, dass tatsächlich diese Eigenschaft,
dass die Wahrscheinlichkeit gleich 1 minus Alpha beträgt, hier nicht mehr gilt.
Was habe ich gemacht? Ich habe wieder eine Simulationsexperiment durchgeführt
und habe die Zugehörige standardisierte Größe genommen, die hier jeweils im Mittelpunkt,
der ist Intervalls von minus Z bis Plus Z liegt.
Einmal habe ich das Ganze mit dem theoretisch richtigen Parameter standardisiert,
also mit Sigma und einmal mit der Schätzung Sigma Dach
Jetzt stellen wir mal fest,
wie viele Beobachtungen von denen, die wir insgesamt machen,
wir machen insgesamt tausend Beobachtungen von Stichproben der Länge 5,
wir unterstellen ein entsprechendes Niveau von 95 Prozent,
dementsprechend ist der zugehörige Z-Wert gleich 1,96 und haben folgendes Ergebnis,
wenn wir mit der richtigen Standardabweichung standardisieren,
dann haben wir hier einen Anteil von 0,039 von Werten,
die außerhalb dieser Grenzen liegen,
also im linken oder im rechten Teil der Flanke,
liegt ein Anteil der Werte von 3,9 Prozent.
Im unteren Teil, wenn wir mit Sigma Dach standardisieren,
haben wir
11,5 Prozent
Ziel ist es, wie gesagt, unsere Konfidenzen dabei zu bestimmen.
Hier haben wir das Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau 1 minus Alpha,
0,95 mit dem richtigen Sigma und die Wahrscheinlichkeiten,
die hier jeweils eine Rolle spielen,
führen zu dieser Größe Tee, die in der Mitte steht.
Wenn wir das wiederholen, dann sehen Sie,
natürlich kriegen wir eine gewisse Zufallsschwankung bei diesem Anteil,
aber hier sind wir bei 0,48. Hier sind wir jetzt bei
13 Prozent
Hier sind wir genau bei 5 Prozent, hier sind wir
bei 12 Prozent. Also wenn wir das Experiment mehrmals durchführen,
ist es immer so im unteren Fall,
ist der Anteil der Werte einfach zu groß,
die zugehörige Gleichheit stimmt nicht und dementsprechend können wir jetzt nicht
einfach über diese Zurückumformung hier an diesen Stellen das Sigmardach einsetzen,
das wird eine Zerstörung der Gleichheit bedeuten,
dass hier der Wert 1 Minus Alpha steht
Also ganz so simpel geht es offenbar nicht. Dementsprechend müssen
wir uns überlegen, wie kommen wir trotzdem ans Ziel?
Eins Ziel kommt man über diese Weise, dass man die
Stichprobenverteilung der Stichprobenfunktion x quer-müh durch Sigmadach durch Wurzel-N bestimmt.
Das ist gelungen, die Verteilung heißt Teeverteilung mit N-minus-1-Freiheitsgraden.
Diese Tieferteilung Können wir uns von der Dichte einmal hier angucken?
Und sie sehen die rote Kurve, das ist die Standard-Normal-Verteilungsdichte.
Die blaue Kurve ist die tiefe Teilung und da kommen die
sogenannten Freiheitsgrade hier mit dem Wert 2 zum Tragen.
Dementsprechend haben wir bei der T-Verteilung breitere Flanken.
Diese schattierte Fläche soll gerade die gleiche Wahrscheinlichkeit signalisieren,
wie die zugehörige Fläche,
die bei der Standardnormalverteilung außerhalb des Intervalls von minus Z bis Plus Z liegt,
also gerade hier links minus 0,05 halbe und rechts 0,05 halbe.
Allerdings ändert sich die Tiefverteilung mit dem Stichprobenumfang, wenn ich die sogenannten Freiheitsgrade verändere.
Ich setze mal hier beispielsweise den Wert 5 ein, dann sehen Sie,
rutscht die Tee-Verteilung ein bisschen mehr in die Nähe der Standardnormalverteilung.
Die Quantile rutschen mehr in dieses Zentrum,
die beiden dichte Funktionen stimmen besser überein und ich kann hier das noch weiter erhöhen,
beispielsweise einer größeren Stichprobenumfang eine größere Zahl von Freiheitsgraden,
wenn wir 10 für die Freiheitsgrade nehmen,
stimmen die Verteilung noch besser überein,
wenn wir 20 nehmen,
stimmt sie nochmal besser überein
Mal gucken, wie weit wir gehen können bei 30.
Da ist es schon recht ordentlich und ich glaube,
wir können aber nicht viel weitergehen. Das heißt, hier
könnte man auch schieben. Wir können bis 40 gehen und
da stimmt es schon dann recht ordentlich mit den dichten Funktionen überein,
obwohl hier an den Stellen noch kleiner Unterschiede existieren.
Diese Tiefverteilung ist also das, was Für diese standardisierte Größe,
wenn wir hier im Nenner die Schätzung einsetzen, resultiert.
Und dementsprechend erhalten wir ein gleiches Bild,
wenn wir hier in unserem Fall den Stichprobenumfang vergrößern.
Da haben wir eben gesehen, dass die Dichte der Tieferteilung
besser mit der Normalverteilung übereinstimmt. Also macht es weniger aus,
wenn wir dann die Standardisierung mit Sigma Dach statt mit Sigma vornehmen und sie sehen tatsächlich,
dass hier In diesem Fall die Zugehörige,
einen Anteil außerhalb des zentralen Devals, sich nur noch wenig unterscheiden,
dass wir dann in diesem Fall auch tendenziell unterhalb oder zumindest in der Nähe der zugelassenen Grenze von 0,05 liegen.
Also haben wir hier eine andere Verteilung, die sogenannte Teeverteilung,
die dichte Funktion, die ich ihnen versucht habe,
in diesem Applet zu illustrieren, natürlich ganz entsprechend zur Standard-Normalverteilung, symmetrisch um null.
Das heißt, die Quantile der T-Verteilung liegen symmetrisch,
wir haben die Relation,
dass das Alpha-Halbe-Quantil gleich dem 1-Alpha-Halbe-Quantil mal minus 1 ist,
die Abhängigkeit von der sogenannten Freiheitsgraden wird in der Regel hier
bei dem Quantil noch extra angegeben,
indem die Zahl der Freiheitsgrade als erste Index mit verwendet wird,
dann kommt ein Synikole und
dann wird die Zugehörige Wahrscheinlichkeit angegeben
Ich hatte versucht, ihnen anhand dieses Applets zu illustrieren,
das mit wachsendem Zahl von Freiheitsgraden eben diese Teeverteilung in die Standard-Normalverteilung übergeht.
Formal bedeutet das,
dass wir hier eben die Quantile der Tieferteilung für oder ersetzen
können durch die Quantile der Standard-Normalverteilung,
wenn der Stichprobenumfang groß ist
Die übliche Frage, die schwierig, konkret zu beantworten ist,
wann können die Quantile der Tiefverteilung durch die Quantile der Normalverteilung ersetzt werden?
Wann ist groß, groß genug, um diese Ersetzung vornehmen zu können?
Nun, die Antwort gibt ihnen seit langen Zeiten immer die
Zugehörige Perbellierung der Werde. Die Tabellierung der Tiefverteilung Sagt jetzt,
dass wir hier die entsprechenden Quantile jeweils für die unterschiedlichen Freiheitsgrade auflisten.
Und zwar nur die Quantile, die zu den Wahrscheinlichkeit 0,6,
0,7, 0,8, 0,9, 0,95, 0,975 und 0,99,
0,995. Für diese quantile benötigen wir die entsprechenden Werte,
für diese Wahrscheinlichkeiten benötigen wir die Quantile.
Und wir müssen sie in Abhängigkeit für einen Freiheitsgraden abgeben und sie sehen nochmal in der anderen Folie,
relevant ist für uns, dass die Freiheitsgrade mit dem Stichprobenumfang natürlich zusammenhängen,
Stichprobenumfang minus eins, ergibt den Zugehörigen,
Wert des Freiheitsgrades, die Zugehörige Zeile der Tabelle,
in der wir das nachgucken müssen.
Ja, und wie weit geht diese Tabelle,
die geht bis 50 und dann hört sie auf.
Und die Antwort auf die Frage, die wir eben hatten,
Ab wann darf ich denn die Quantile der Tee-Verteilung durch die Quantile der Normalverteilung ersetzen,
resultiert einfach aus der vorhandenen Tabelle, wenn die Tabelle nicht mehr weitergehen,
nehmen wir die Quantile der Normalverteilung.
Natürlich gibt es die Möglichkeiten,
ich habe es Ihnen bei den Diskretenverteilungen mehrfach vorgeführt,
mit Hilfe von Programmen, die konkreten Quantile der Tee-Verteilung zu berechnen,
aber die Tabelle gibt es da nicht mehr her.
Also wenn wir hier erstmal mit der Tabelle arbeiten,
dann halten wir uns an diese Regel, die ich eben gesagt habe.
Und damit müssen wir dann einfach auskommen. Das sollte aber kein so großes Problem sein,
wenn wir diese Vereinbarung treffen und damit haben wir die Praktikgehable umgehensweise.
Wenn wir diese Werte aus der T-Verteilungstabelle verwenden und die Zugehörigen quantiler einsetzen,
dann können wir jetzt natürlich auch sagen,
die entsprechenden Intervalle, die wir damit erhalten,
basieren auf der Tee-Verteilung nicht mehr auf der Normalverteilung,
aber die Zugehörige Wahrscheinlichkeitsaussage ist bei Verwendung dieser quantile wiederum korrekt.
Dementsprechend können wir die Konfidenzintervalle und der Verwendung dieser tiefverteilungsquantile
wieder verwenden, auch wenn die Varianz der Ausgangsverteilung
nicht bekannt ist
Dass Intervall, was fast genauso aussieht,
wie das Intervall für Müh bei bekannten Sigma,
an zwei Stellen ergeben sich Modifikationen.
Einmal ersetzen wir die unbekannte Standardabweichung durch die Schätzung und wir
ersetzen das Quantil der Normalverteilung durch das zugehörige Quantil der T-Verteilung.
Ansonsten ist die Form und Gestalt gleich. Aber durch diese
Ersetzungen erhalten wir Intervalle, Konfidenz in der Walle,
wieder zum vorgegebenen Kompetenzniveau 1-alpha,
die wir
jetzt verwenden können
Die Konsequenz ist natürlich in der Regel, dass wir etwas
breitere Intervalle bekommen. Gucken wir uns als Umsetzung ein Beispiel,
Marktpotenzial einer Produktinnovation an,
ein Lebensmittelkonzern will neue Biomilchprodukt einführen und dazu wird auf einem Testmarkt ein Marketingmix nachgebildet,
beobachtet werden, die Verkaufszahlen,
zusätzlich werden natürlich Personen ausgewählt,
zu befragt und zu dem Produkt befragt
Diese Antworten führen dann zu sogenannten Scoring-Werten, also einer Verarbeitung
der entsprechenden Einschätzungen und die entsprechende Einschätzung ist insgesamt positiv.
Allerdings soll noch einmal ein Konfidenzintervall dafür bestimmt werden.
Die Scoring-Werte von 100 Befragungen führen zu einem Histogramm,
wie sie es hier sehen,
dass es also ausreichend normal verteilt,
dass wir mit der zugrunde liegenden Normalverteilung keine Schwierigkeiten haben.
Wir wollen ein Konfidenzintervall zum Niveau
0,095 bestimmen
Sigma-Quadrat ist natürlich unbekannt. Wir können aber von der Normalverteilung ausgehen.
Das ist der erste Aspekt, das Konfidenzniveau beträgt 0,95.
Der Stichprobenumfang ist 100, entsprechend unser ebenvereinbarten Konvention würden wir jetzt sagen,
wenn wir mit der Tabelle arbeiten, nehmen wir einfach das Normalverteilungsquantil.
Da ich das natürlich zu Hause vorbereitet habe,
konnte ich dann einfach den Rechner noch mal kurz anschmeißen und mir das Quantil genauer ausgeben.
Sie sehen, das Quantil Wenn man das genauer macht,
ist 1,98, dass Normalverteidigungsquantil wäre, 1,96.
Also der Unterschied ist nicht mehr gewaltig. Im dritten Punkt
der Aufstellung dieses Intervalls bestimmen wir das Zugehörige arathmetische Mittel.
Die Schätzung der Varianz, die wir ja für die Standardabweichung brauchen,
und im letzten Punkt können wir dann einfach das Konfidenzintervall aufschreiben,
genauer das realisierte Konfidenz in der Wahl.
Tatsächlich ist es ja so, dass nachdem sie hier
das Konfidenzintervall einmal eingeführt bekommen haben.
Können Sie für diese konkrete Situation sich natürlich immer darauf beziehen,
Konfidenz in der Weile bei Normalverteilung für Mühe mit unbekannter Varianz,
wenn Sie symmetrisch sind, sehen immer so aus.
Sie brauchen diese Ableitung natürlich nicht noch einmal nachzuvollziehen.
Sie brauchen das nur in der Form umzusetzen,
wie sie es hier aussehen.
Einfach das konsequente Arbeiten von Punkt 1 bis 4.
Erst einmal nochmal nachgucken,
welche Situation war es denn genau
Wir werden natürlich für noch weitere Konfidenzen in der Weile bestimmen,
dementsprechend ist dieser erste Punkt nicht unrelevant.
Wir haben ja auch schon Konfidenzen in der Weile für Mühe,
bei bekanntem Sigmaquadrat. Und wir haben auch einseitige Konfidenzintervalle bestimmen.
Also ist zuerst einmal festzustellen, um welche Art von Konfidenzen
eine Weile es sich handelt, wie die Ausgangssituation ist.
Im zweiten Punkt ist nochmal zu gucken,
welcher das Konfidenzniveau, wie ist das Zugehörige Quantier,
das Zugehörige Vantil ergibt sich aus dem ersten Punkt,
wenn wir Sigmar Quadrat unbekannt haben, brauchen wir in dieser Situation die Tee-Verteilung.
Im dritten Punkt sammeln wir einfach die Gesamtinformation, um schon
die Vorbereitung zu haben, die Werte einfach einsetzen zu können.
Im letzten Punkt brauchen wir jetzt nur noch das Entsprechen Intervall aufzustellen.
Das heißt, wenn wir einfach das entsprechende Intervall nehmen,
brauchen wir die Werte nur noch einzusetzen und die Grenzen
zu berechnen
Die Konsequenz ist dann wieder ein realisiertes Konfidenzintervall und
wir gehen jetzt in die Welt und schreien laut hinaus.
Unser Konfidenzintervall geht von 40,2 bis 46 und dazwischen liegt der
Erwartungswert und das behaupten wir einfach steif und fest,
wohlwissend, dass wir in 100 Fällen,
wenn wir das entsprechend tun, fünfmal etwas Falsches behaupten,
aber wir hoffen,
dass es diesem Mal gerade einer der 95 richtigen Fälle ist
Und entsprechend wird dann eine Folgerung für die konkrete Anwendung laufen,
in Bezug auf die Einführung dieses Produktes.
Wie sieht es mit der Breite von Konfidenzen in der Wallen
in diesem Zusammenhang aus? Wenn wir das Sigma unbekannt haben,
dann wird er hier natürlich die Länge,
sich in der gleichen Weise als Differenz, Obergrenze-Untergrenze ergeben,
aber sie sehen, dass in dieser Länge eine Stichprobenfunktion Sigmar Dach auftaucht.
Die können wir im Vorhinein natürlich nicht bestimmen.
Dazu müssen wir erst unsere Stichprobe haben. Wir wissen zwar,
dass der Erwartungswert gleich der entsprechenden theoretischen Varianz ist und der
Erwartungswert von Sigmar Dach ist dann in etwa gleich der theoretischen Standardabweichung.
Aber es bleibt natürlich dabei,
die Länge ist eine Funktion von Sigmar Dach,
eine Stichpomfunktion und wir können höchstens sagen,
wir erwarten eine Länge von zweimal Tee mal Sigmar durch Wutzen.
Problem dabei ist natürlich,
dass in dieser Situation das Sigmar nicht bekannt ist und von daher
können wir in Bezug auf die Bestimmung des Stichprobenumfanges dieser Relation
natürlich nicht ausnutzen
Einseitige Intervalle sind in der gleichen Weise zu bestimmen wie bei
bekanntem Standardabweichung oder Varianz und wir brauchen jetzt natürlich nur die Zugehörigen,
Teeverteilungsquantile einzusetzen und entsprechend die Standardabweichung Sigmar Dach,
die empirische Standardabweichung oder die Schätzung zu verwenden und haben sonst
die gleichen Formeln wie bei der bekannten Standardabweichung.
Wir wollen Und hier, also vielleicht machen wir zur Sicherheit
erst nochmal den folgenden Teil und gehen gegebenenfalls für diese Beispielaufgabe nochmal zurück.
Denn das, was ich gerne noch auf alle Fälle heute besprechen möchte,
sind die letzten Formen von Konfidenzinnovallen für den Erwartungswert.
Und zwar, wenn wir jetzt die Voraussetzung der Normalverteilung
beiseite lassen. Wir haben bisher immer Umformungen vorgenommen,
die eben auf der Normalverteilung basieren
Und konnten dann eben mit der Länge operieren. Wir konnten einfach
mit der Normalververteilungstabelle und im zweiten Schritt tendenziell mit der Tiefverteilungstabelle operieren.
Wenn wir die Ausgangsverteilung nicht kennen, dann können wir mit diesen ganzen Wahrscheinlichkeitsrechnereien nichts anfangen.
Zunächst einmal. Wir können ja nicht einfach die Normalverteilungstabelle verwenden,
wenn die Ausgangsverteilung beispielsweise eine Gleichverteilung oder eine Exponentialverteilung ist.
Dann ist zunächst einmal die Tabelle Normalverteilungstabelle nicht hilfreich.
Aber wir haben ja ein Aussage kennengelernt,
nehme ich den zentralen Grenzwertsatz, der es uns ermöglicht,
in gewissen Situationen trotzdem zur Konfedenz in der Wallen für den Erwartungswert von Mühe zu kommen.
Der zentrale Grenzwertsatz sagt aus, dass die Summe von unabhängigen Zufallsvariablen
näherungsweise normal verteilt ist. Für unsere Situation können wir sagen,
entsprechende Standardisierte, Größe exquer-müh durch Sigmar, durch Wurzel N,
ist näherungsweise normal verteilt, wenn der Stichprobenumfang groß genug ist.
Diese Verteilung gilt, egal ob die Ausgangsverteilung eine Gleichverteilung ist,
eine Exponentialverteilung oder irgendeine andere. Diese Aussage ist für wichtig,
weil wir bei genügend großen Stichprobenumfang damit eben wieder mit der Normalverteilungstabelle arbeiten können.
Wir können eben sagen,
dass auch für Nicht-Normal verteilte Zufallsvariablen diese entsprechende Relation gilt,
dass die standardisierte Größe zwischen den Grenzen von minus Z bis Plus Z liegt,
ist nicht mehr genau gleich eins minus Alpha, aber näherungsweise.
Und das Z, was hier steht,
das ist wieder das zugehörige Quantil aus der Standard-Normalverteilung.
Das gilt auf alle Fälle,
wenn unser Stichprobenumfahren groß genug ist
Dann können wir natürlich unsere häufig schon vorgeführte Umforhungen machen und
wir haben dementsprechend ein Konfidenzintervall für Müh,
auch bei einer anderen Verteilung als der Normalverteilung.
Das Konfidenzintervall hat das gleiche Aussehen, was wir schon kennen,
gilt aber nur approposimativ und hat natürlich zunächst einmal,
wie Sie das hier nochmal sehen, den Bekannten Wert für Sigma, eingesetzt.
Wenn wir davon ausgehen, dass wir eine andere Verteilung haben,
müssen wir in der Regel natürlich auch unterstellen,
dass in der normalerweise das Sigma-Quadrat nicht bekannt ist,
die theoretische Varianz.
Was machen wir also? Wir ersetzen dann diese entsprechende,
unbekannte Varianz durch die Schätzung. Das wird,
so haben wir es eben bei der Tiefverteilung kennengelernt,
wird dazu führen,
dass wir
die Tiefverteilung verwenden müssen
Aber wir unterstellen ja sowieso, damit wir überhaupt zu diesem Konfidenzen
eine Weile kommen, dass wir einen großen Stichprobenumfang haben.
Und für große Stichprobenumfänge gilt ja, dass die entsprechenden Quantile der Tiefverteilung,
Näherungsweise gleich denen der Normalverteilung sind, dass wir also die Quantile der Normalverteilung verwenden dürfen.
Dementsprechend können wir einfach auch die Normalverteilungsquantile verwenden,
wenn wir zusätzlich Sigma Dach statt Sigma einsetzen Voraussetzung ist für beides,
sowohl für die Verwendung von diesen Normalverteilungsquantien, als auch,
dass wir überhaupt diese Form von Konfidenzen der Wallen haben,
dass wir einen großen Stichprobenumfang haben.
Diese große Stichprobenumfang ist sicherlich gegeben, wenn der Stich,
wenn wir eine Beobachtungsumfang von 100 oder mehr haben.
Also ein größer gleich 100 statt größer 100 Säule sicherstellen,
dass wir auch in dieser Situation sagen können,
Wir haben ein adäquates Konfidenzintervall für den Erwartungswert,
jetzt auch ohne, dass wir die Normalverteilung unterstellen.
Die Normalverteilung brauchen wir bei kleinen Stichprobenumfängen. Da funktioniert natürlich
dieser Ansatz nicht. Und wenn wir unbekannte Varianz haben,
müssen wir dann natürlich auch noch unterstellen, dass wir bei der Normalverteilung entsprechend die Teevertabelle verwenden.
Wenn wir unsere Beispiel von der Einführung der Biomilchprodukte angucken,
wenn sie Zweifel haben an der Normalverteilung aufgrund des Histogramms,
können wir jetzt natürlich immer noch sagen, das,
was wir gemacht haben, war trotzdem sinnvoll. Wir haben 100 Beobachtungen,
also eine große Anzahl und dementsprechend ist das zugehörige Konfindenzintervall,
möglicherweise nicht ganz korrekt, aber zumindest ist es aproximativ gültig,
aproximativ gültig heißt, die Wahrscheinlichkeitsaussage ist vielleicht zwei Stellen nach dem Komma,
vielleicht nicht mehr ganz stimmig, aber nicht ganz falsch,
sodass wir das richtige Konfidenzniveau auch halten,
wenn wir das entsprechenden Davall auf dieser Basis bestimmen.
Damit haben wir für diese Situationen, die zugehörigen Konfidenzintervalle insgesamt,
also diesen Bereich Konfidenzintervalle für den Erwartungswert,
den haben wir untergliedert in verschiedenen Situationen,
dass wir Normalverteilung haben, einmal Sigma unbekannt,
einmal Sigma unbekannt,
haben auch für große Stichproben sogar ohne Normalverteilung die Konfidenz in der Walle kennengelernt.
Damit sei die heutige Veranstaltung beendet und ich wünsche Ihnen
eine angenehme Woche