Einen schönen guten Morgen zusammen. Herzlich willkommen zur Vorlesung,
Einführung, eine dynamische Systeme.
Das Thema ist Hyperbowl für Abbildung und diesmal erzähle ich etwas
über stabile und instabile Mannchweiligkeiten bei hyperbowlischen Abbildungen und
was das ist
Musik Zunächst etwas zur Motivation. Bei linearen Abbildungen kennen wir
schon stabile Richtungen, wo alles kontrolliert. Instabil, wo
alles expandiert. Und Punkte dazwischen, wo eben, ja,
das Einverhalten für Plus und das andere für ein Negativ für Zeit,
kleiner Null vorherrscht.
Das heißt, im linearen Fall in der Vereinfachung
Passiert folgendes. Also einfachstes Modell. Das sind also lineare Systeme wie folgt,
linear. Zwar sind so ziemlich alle Systeme nicht linear,
aber dies hier taugt schon mal als Motivation für das,
was gleich passieren wird. Wir haben eigentlich bei linearen Systemen,
wie zum Beispiel folgenden, zum Beispiel,
ich mache mal ein System auf dem R hochend,
weil wir uns so leicht um deinen Rand kümmern müssen,
kümmern wir uns um das System,
wo der Vektor X oder P Element R2. Und der wird abgebildet durch die Abbildung F.
Auf einem Matrix-Landa. 0-0. 1 durch Landa.
Landa. Kleine 1. Ein größer Null. Und wenn wir
uns so in der Matrix ansehen, dann wissen wir sofort,
das Falten jedes Orbits. Man kann das gut auflösen.
In der ersten Kompetenz wird kontrolliert mit Kontraktionskomponente, konstante Landa.
Und der zweiten expandiert. Das heißt,
ein typisches Orbit, jedes Punktes sieht so aus
Wenn wir ein Coin-Nachsystem machen, dann haben wir zwei Richtungen.
Das sind jetzt die P1-P2-Koordinaten, die gleich noch in
eine stabile, in eine stabile Richtung heißen werden.
Wir haben also für die eine Richtung, nämlich die X1-Richtung,
haben wir Kontraktion. Das heißt, hier haben wir eine Richtung,
wo alles auf den Urschwung zuläuft. Wir haben also eine Richtung,
wo wir stabiles Verhalten sehen und auf diesen Fixpunkt bei null.
Also das hier ist sozusagen eine stabile Richtung,
ich nenne sie mal, ES oder auch WS.
Das ist die stabile Richtung. Wollte das Verhalten jedes Orbits
ist, jedes Orbit konvergiert gegen diesen Punkt dort.
Also Punkte
Tägigen plus unendlich. Und das ist gerade diese Richtung hier.
Dann haben wir die instabile Richtung. Das ist diese hier
, die Extra-Richtung. Jeder Punkt von 0 Punkt wegläuft.
Also das nennen wir EEEEEEEEEEEEEEU und auch WU,
was mit diesen Wesstätten ES auf sich hat,
das sehen wir gleich noch.
Und das ist das Verhalten, dass jeder Punkt vom Ursprung wegläuft.
Also jeder Punkt. Diese instabilende Richtung.
Die Konvergenz. Für T gegen minus unendlich
Und dann haben wir das andere Falten von allen Punkten dazwischen.
Logischerweise gibt es auch Punkte,
die nicht auf dem einen oder auf dem anderen sind.
Das heißt, ein Punkt, der hier anfängt,
hier zum Beispiel, würde ich mal hier nähern, diesen Ursprung.
Zeigt folgendes Verhalten. Wenn wir in positiver Zeit laufen,
wird diese Ex-Kombinente kontrollieren und die andere größer werden.
Das heißt, dieser Punkt nähert sich,
das Orbit davon nähert sich, der ähnliche Gebiet in Richtung an.
Das wird also hier unten lang laufen. Für negative Zeiten
wird dieser Punkt, wenn er inventierbar war,
was in diesem Fall der Fall ist, der stabilen Richtung annähern.
Das heißt, das Orbit sieht so aus, dass hier Punkte sind,
die sich entweder dem einen oder dem anderen annähern.
Lieber die Abstände über uns größer. Das heißt,
ein typischer Punkt wird gerade so sein, dass ein typisches Orbit,
wenn ich jedes Mal durchgezeichnete Linie zeichne,
das wäre für einen Fluss, der relevante Fall.
Typisches Orbit nähert sich dem einen oder dem anderen oder beiden
an. Für positive oder negative Zeiten.
Das wird für alle Orbit zu Fall sein.
Alle Eurobit sehen so aus,
dass sie hier irgendwo entlang gehen
Wenn wir diese Richtungen kennen, können wir das verhalten von all diesen anderen Orbits.
Im Liebe ist es schon mal gut bestimmen.
Deswegen sind diese stabilen FDB in Richtungen besonders wichtig.
Das ist jetzt ein einfaches Fall und ein lineares System.
Und wie Sie schon wissen,
besteht die Welt nicht nur aus linearen Systemen, lineares Systemen,
sondern zu irgendeinem ganz tovialen Spezialfall, so wie elefantische Zoologie.
Das Elf fanden Sie nur ein Spezialfall von allen möglichen Tieren.
Und deswegen ist die Frage, was passiert,
wenn wir dieses lineare System ersetzen? Durch ein allgemeines,
hyperbolisches oder sonst wie dynamisches System. Und es kam heraus,
so etwas wie diese stabilen Richtungen für das Weitergeben,
Es wird stabile und instabile Richtungen geben.
Die sind nicht notwendigerweise geraden. Klar, von der Manchfähigkeit
wie einer Kugel gibt es ja keine Graden oder so etwas.
Die Kugel vielleicht noch Annäherungen davon, aber allgemein nicht.
Diese Dinge werden also nicht so gerade sein. Die werden eher
krumm sein, gebogen. Aber es wird solche Richtungen geben,
wo wir in positiver Zeit auf der stabilen Manchfähigkeit gegen etwas konvergieren.
Auf der Innenstabilen für eine negative Zeit gegen etwas konvergieren und
alle anderen Punkte dazwischen werden so sein,
dass sie sich positive und negative Zeit entweder der Innenstabilen annähern,
für positive Zeit oder der stabilen für negative Zeit.
Und genau das, was sie hier sehen in diesem einfachen Fall,
das werden wir für wann nicht Fähigkeiten hören,
Dimensionen und nicht lineare Systeme
auch sehen
Falls ihnen das zu simpel ist, dasselbe gibt es auch in anderen Dimensionen.
Also das wäre zum Beispiel so eine Matrix,
Lamde 1, Lamde 2, Lamde 3. Hier,
wir stehen über einen neuen mit null kleiner Lamde 1, kleiner Lamde 2.
Und hier steht dann die Eins, ein Tier steht Lamde 3.
Das kann ich beliebig verallgemeinern. Bis zu drei Dimensionen
kann ich noch auf die Tafel versuchen zu bekommen.
Hier hatten wir jetzt zwei kontrollierende und eine expandierende Richtung.
Und dann würden wir sehen, in diesem Fall würden diese
stabil instabilen Richtungen nicht noch wenn die weise Linien oder Vektoren sein,
sondern die eine wäre einnimmen sollen, die Antwort, zweidimensional.
Eine instabile, zwei stabile Richtung. Wir hatten also
einen analog zu diesem Diagramm hier, den Fall,
dass dies eben noch eindimensional, dies ja eindimensional wäre und dies zweidimensional.
Das heißt, wir hatten einen,
der haben das sehr etwa so aus,
in unseren drei Koordinaten wäre eine Koordinate instabil,
wenn der Nullpunkt hier besonders markiert wird
Von dir. Diese Richtung so, dass wir hier...
Hätte man meinetwegen die Lamde 1 Richtung. Lamde 1. Lamde
2. Und... Ja, vielleicht wäre das besser Lamde 3.
Haben wir 2. Diesmal haben wir jetzt einen zweidimensionalen Unterrum von Kontro hier in der Richtung.
Und diese Ebene hier, die bietet gesamt Die stabile Richtung,
das heißt ES oder WS, wären diesmal ein zweiternationales Objekt
von all diesen Richtungen, die hier drin liegen.
Also all dieses Ding hier. Wäre das ES oder WS? Und das typische Orbit,
das irgendwo im Raum losgeht, nicht nur Renivals auf diesen,
denn auf diesen Räumen, auf dem Raum hier, komm,
wir gehen natürlich gegen unendlich, auf diesem Raum hier,
können wir gehen,
wir gehen diesen Punkt.
Und zwar übrigens so, dass die Land-1-Komponente schneller konvigiert
Ist, die Orbits gehen hier so hinein. Und ein billiger Punkt am Raum,
der nicht auf dieser Ebene liegt und nicht auf dieser Geraden,
der fällt sich eben so, dass sein Orbit,
gegen die sie gerade hier geht,
für positive Zeiten und gegen dies hier für negative.
Also das würde ungefähr so aussehen, dass das Orbit hier gegen kandagiert.
Das heißt, haben wir diese stabilen und elfstgebilen Räume identifiziert,
dann können wir das allgemeine Falten recht gut prognostizieren.
Und deswegen sind solche stabilen und elfstgebilen Richtungen auch wichtig.
Und die Frage ist jetzt,
wie können wir solche stabilen industribilen Richtungen auf Mannigfaltigkeiten,
die gekrümmt sind, die keine Ebenen enthalten, verallgemeinern.
Und es kommt heraus, genau dasselbe wird wieder gehen.
Es wird zumindest kleine Stücke geben,
die verbogene Stücke des R
auch N sind
Und auf diesen wird das Verhalten so sein wie hier.
Konvergenz in positive Richtung oder negativer oder etwas dazwischen,
was in einer Zeitrichtung gegen die eine in anderen Zeittürchen gegen die andere Richtung konvergiert.
Das heißt, wir haben von der Aussage,
und das ist jetzt ein Satz,
der ist recht schwer zu beweisen,
den werde ich mal ohne Beweis angeben.
Satz über stabile
Für Polöcher Der Satz soll lang sein,
der wird einen ganzen Tafel zum Hinschreiben nehmen,
aber die Aussage wird genauso das sein, was ich gesagt habe,
das ist so etwas, was Sie hier sehen.
Etwas verbogen und zumindest in kleinen Stücken. Genauso wie da auftauchen
wird für hybolische Abbildungen Auch meine ich Fähigkeiten. Das heißt,
wir haben die üblichen Voraussetzungen, wir sagen, wir sagen,
wir haben ein hypobolisches System und eine hypopolische Menge.
Und dann wird für den Punkt an der hypobolischen Menge,
solche Richtungen werden vorhanden sein.
Also sei F. U nach M. Eine Abbildung. Und in
der Definition von Hypopolizität, das haben Sie schon gesehen,
da war einiges zu sehen.
Lamda, Teilmenge, U.
Eine hypopolische
Menge für F. Oh, dann Menge M. Offen.
Um uns das Leben einfach zu machen. Und dann war die übliche Bedingung,
dass es F invertierbar und die Ableitung von F auch invertierbar ist,
auf Lamda. Und da war mir dieses Problem Lamdas keine,
manchfaltig halt so irgendeine Menge, wie eine Kantonmenge.
Und da wird dann in der Definition immer so eine Gefalt,
bis es gerade passt. Diesmal stehen in der Devention auf Lamda
, existiert das Inverse von F. Und die Ableitung von F
als Funktion auf U, ist invertierbar auf Lahm da.
Das heißt, F eingeschränkt auf Lahm da.
Ist invertierbar? Und DF. DF auch minus 1.
Existiert. Auf Lamda. Und es ist stetig
Also, Sie denken an die Hufeisenbüroklammer, wo die Abbildung
nicht mal überall definiert war. Trotzdem ist jede Voraussetzung,
dass das Inverse von der Abbildung und der Ableitung davon existiert.
Und das soll auch noch am besten stetig sein.
Das waren jetzt üblichen Voraussetzungen für die Existenz einer hybolischen Menge.
Also, wenn ich das hier nicht hingeschrieben hätte,
dann wäre herauskommen, so eine Lamm da.
So eine Menge Lamm da. Gibt es. Und jetzt
ist die Aussage, dass Auflamm da solche Stücke existieren.
Dann Danke. Für alle Zahlen, Delta, größere Null.
Das ist eine Einschreibung, die sehen wir gleich noch,
wozu sie gut ist. Ends existiert ein C gleich.
See von Delta, klein und endlich.
Und jetzt kommt heraus, was wir hier gesehen haben,
Kontraktion und Expansion
von Abständen
Die Frage ist ja jetzt, von welchen Abständen,
auf welchen Räumen das ein bisschen schwierig zu formulieren.
Deswegen kommt jetzt eine etwas technische Beschreibung von kleinen Stücken von Manchfaltigkeiten,
sogenannten eingebetteten Scheiben, Definition von Einbettung gebe ich nachher grob gesagt,
sagen sie, haben sie ein kleines Stück, akkletischen Raum.
Und sie deformieren das etwas,
dann ist es eine eingebettete Scheibe im R-Hoch größer.
Und für alle X-Element, Flammder, existiert eine Ja.
Oha. X. Die Form meiner Löffensur von Einbettung schreibe ich nachher noch hin,
dass wir halt rauskommen, ein human morphes Bild,
einer kleinen Kreischeibe MR auch K. Sodass die Ableitung dort existiert und vor allem Rang hat.
Grob sagt also ein Ding, was nicht gerade Punkt
allzu sehr zusammentaucht. Ich glaube, die definition nachhängen,
weil der saß ohnehin schon recht lang werden wird.
Boah. Ex. Tangential. An. Oder ich sag mal
, wir haben Zeugscheiben. OX in der stabilen Richtung,
ruhig in die instabilen Richtung. Und ich beschreibe mal die
stabilen zuerst. An ES. Exist. ESX war der
stabile Raum am Punkt X, zu den hyperburgischen Upbellong F.
Und deswegen für das O gleich nochmal ein Index bekommen,
weil ich dasselbe für instabil auch noch sage.
Also ich sag mal, lies es dir.
Stabile Scheibe
Existiert eine. Angebettete Scheibe. Oh. UX. Talential.
An. Rucks, das ist noch nicht die Mannchfaltigkeit,
sondern es sind solche kleinen Stücke von Mannchfaltigkeiten,
die wir nachher zusammensetzen werden zu ganzen Mannigfaltigkeiten.
Und zwar wie
Für die gilt. Und jetzt kommt eine Kontraktionsbedingung.
Und eine Kontraktionsbedingung steht, eine Kontraktionskonstante.
Das wird nicht die konstruktionskonstante Lambda der Abbildung F sein,
sondern es wird eine etwas schlechtere Konstante sein,
nämlich um Delta schlechter, als die auf Lande gegebene Kontraktionskonstante.
Das heißt, wir wissen schon, dies Ding hier hat eine Kontraktionskonstante Lander.
Und es gilt jetzt folgendes, sei Lambda, die Musik
Voll. F. Das heißt, DF, MalV,
die Enteanwendung der Abbildungsmatrix DN, DFAV, ist kleinergleich,
konstante. Die Konstante werde ich diesmal nicht zehn benennen,
weil das DS schon vergeben ist,
mal Land
V für V-Element, ES, N-Element N. Das kennen wir
schon bei einer hyperolischen Abbildung, Konter hier in stabile Richtung,
ES, exponentiell schnell und ähnlich stabile Kontrollieren,
wenn wir eine Rückweigerzeit gehen, auch exponentiell schnell.
DF, hoch minus N mal V, kleiner gleich,
eine konstante eventuell dieselbe, mal Lamdauch N. Norm V für V-Element, EU und N-Element N.
So eine Konstante Namen da, gibt es, das wissen wir schon.
Wir nehmen uns eine daher, also eine Zahl, die nicht,
die kleiner ist als 1-1 und immer noch diese Dämmung erfüllt.
Wir haben das also Element von 0-1. Man kann sie schlechter werden,
das heißt, sie dürfen näher an die 1 rangehen,
dann ist die Aussage immer noch wahr,
allzu sehr in die Null reingehen,
können sie nichts und sonst wird diese Aussage falsch.
Wenn wir also so eine Kontraktionskonstante von Erfahrungen,
zum Beispiel die Beste oder sonst irgendeine, dann Ja,
dann gilt, dass die Punkte in EUU sozusagen mit einer Kontraktionskonzept,
die etwas schlecht ist, wieder konvergieren.
Also dann gilt für alle Y-Y-Element. Oh, XS in der
stabilen Richtung von X. Was erwarten wir für eine stabile Richtung?
Wir warten das in der stabilen Richtung.
Abstände kleiner werben. Am besten exponentiell. Für alle
Element N oder
Dass der Abstand nach endmaliger Anwendung von F, FON,
voll X, FON von Y. Dieser Abstand hier wird kleiner.
So soll er exponentiell kleiner werden. Klar, dann gleich
C, C von Delta, das ist dieses CEO.
Mal. Jetzt würde ich gerne schreiben, Landa hoch N. Deshalb,
wie es hier schon stand und weil es nicht so ganz stimmt,
kommt die neuen Korrekturtem, Landa plus Delta hoch
Hier steht also, Abstände in der stabilen Richtung,
in der kleinen, instabilen Richtung,
werden auch exponentiell gegen Neu gehen mit einer Konstante,
die vielleicht ein wenig schlechter ist als Lander, aber immer noch,
da Delta klein ist, beliebig nah an eins oder beliebig,
blieb ich nah an Lambla und immer noch kleiner als eins.
Dasselbe gilt auch für die Instabilen und...
Also, wir haben es noch im Element.
Oh, WUX. Kein Geld für alle.
An Element
Die von Efo minus N von nix.
Efo minus N von Y. Das heißt, in instabilen Richtungen,
wo wir die Konvergenz in der negativen Zeit erwarten,
würde das so sein, die Konvergenz ist ebenfalls exponentiell schnell.
C von Delta Mahl, Lamda plus Delta.
Auch N. Wieder exponentielle Konvergenz, mit derselben exponentiellen Konstanten.
Das ist eine Aussage über diese kleinen eingebetteten Scheiben.
Es kommen noch ein paar mehr Aussagen. Und das heißt,
wir haben lokale Stücke. Das sind vielleicht keine Stücke,
die aber die Eigenschaft haben,
Punkte darauf verhalten sich wie auf der stabilen Richtung beim
linearen System
Das ist schon eine recht starke Aussage. Ich habe irgendeinen kommenden Raum,
einen Tourus, eine Kugel,
eine Britzefläche oder so etwas und darauf bewegen sich die Punkte irgendwie,
dass man sie nicht vorhersagen kann, aber sie können vorhersagen,
dass wenn die Abbildung hypovolisch ist,
dann gibt es um jeden Punkt kleine Umgebung,
also kleine Scheiben von kleinerer Dimension,
sodass manchen Richtungen Konvegenzen und mancher Divegenz ist.
Und sie wissen auch, weil EU plus ES den gesamten Raum aufspannt,
haben ESX, OSX und OUX hohe Dimension,
nämlich die Dimensionen von beiden zusammen,
das ist genau die Dimension des gesamten Raums.
Das sind also recht hochdimensionale Objekte. Die Defension von Eigendebatterscheibe
kommt immer noch nicht. Und denn davor kommen noch
ein paar Eigenschaften von diesen FC.
Und eine weitere Eigenschaft wird sein, eine stabile Richtung ist was.
Eine stabile Richtung ist eine Richtung, sodass wenn sie voranschreiten,
dann kommen sie nicht weiter von dem Punkt weg.
Also in diesem Bild, das oben ist,
ist die stabile Richtung des Nullpunktes. Alle Punkte, die
darauf zulaufen. Und der Nullpunkt ist ein Fixpunkt.
Was ist jetzt, wenn der Punkt kein Fixpunkt wäre?
Können wir für andere Punkte irgendeinen Punkt auf dieser Ebene,
irgendeinen Punkt auf diesem breit unterhalten Raum
Stabil, endstabile Richtung definieren. Und die Antwort des Jahres können wir.
Das sind genau dieselben. Denn wenn wir sagen,
wir haben einen Punkt, der liegt hier oder dort,
dann ist die stabile Richtung, die Menge aller Punkte,
deren Abstand zu diesem einen Punkt unterm Orbit kleiner wird.
Das heißt, der erste Punkt wandert und der zweite auch
und das ist okay. Hauptsache, die bleiben sozusagen nahe
zusammen. Dann sind sie in dieser stabilen Richtung.
Sowas ähnliches warten wir hier auch und werden das gleich bekommen.
Denn die Eigenschaft wird sein auf OS, sind Punktepaare,
X und Y, sodass die Abstände klein bleiben.
Das heißt, die zweite Charakterisierung ist das Richtung kleinen Weiben
auf diesen Mengen US und OX. Also das gilt also,
also außerdem gilt. Und weil ich dieses formulieren muss,
wo ich eine Art Inviance-Bedingung habe,
weil die eine Scheibe in die andere hinein abgebildet wird und das ist sozusagen eine Voraussetzung für das,
was ich gesagt habe, dass Abstände klein bleiben.
Es gilt also, dass F von Ja, und wie soll das jetzt sein?
Die eine Richtung wird kürzer und die andere länger.
Was wird also inviant sein? Es wird sein,
dass wenn ich die stabile Richtung vorwärts abbilde, also F von OS X,
ich habe eine kleine stabile Umgebung um Punkt X,
die wird dann sein. Am Punkt F von X,
dort die stabile Richtung und weil es kleine Stücke,
sondern die es eventuell kleiner wird,
sie ist eine Teilmenge von dem hier.
Mit anderen Worten, das hier ist,
so wie die Invariante, die Erststabile in der Intribilen Richtung,
aber eine Art Inviance von Mengen.
Hochminus 1 von O-U-U-X wird es dann
eine Teilmenge von O-U. Minus 1. War nix.
Und jetzt kommt diese Inviance-Bedingung. Das ist die Punkte,
die gerade in positiver Zeit immer drin liegen,
gerade in OSX-Legen.
Das Geld
Mengen alle Punkte. Y-Elements. M. Und jetzt gibt es einen Apcelon,
das kommt gleich noch in die Defention hinein,
sodass der Abstand, D von F&N,
X FON von Y immer klein bleiben wird,
weil das heißt,
für alle
ein Element
Diese wird gelten, für geeignetes App-Store gegen eine größere Leute.
Ja. Oh, O-X. Echt menge alle Özelan,
Element M. BF, minus N und von X. Minus N.
Von Apsolon. Das ist ein kleiner Apsolon. Das heißt,
diese Stücke, O-U-S, USX, O-U-X sind gerade die Punkte,
dass die Abstände entweder in positiv oder negative Zeitrichtung beschränkt bleiben.
Hier steht noch nichts von Konvergenz gegen 0, da steht was
von einem Geschenk bleiben, aber das ist fast dasselbe.
So, und das war jetzt schon ein paar ganz gute Aussagen.
Jetzt kommt noch, dass worum es eigentlich geht, diese Stücke hier,
US-OS-X, die kann man sozusagen zusammenfügen zu globalen Manchfaltigkeiten.
Das werden die stabilen Individuen Manchfaltigkeiten sein. Und auf denen
werden schöne Dinge passieren. Bevor ich hiermit die integriere,
kommen noch ein paar mehr Eigenschaften
Nämlich... Also eine... Erstmal muss ich
die Definition nachschieben, die ich schon benutzt habe.
Ja. Dimension. K. In einer Ein dimensionalen.
Weil das Ende jetzt für Arbeit noch schon gehört ist,
nennen wir es N, vielleicht mal M.
Dann ist da und wir auch eine M-dimensionale. Mann,
Qualtigkeit M. Ist, das mache ich mit dieser Eigenwerteentscheibe,
ich habe es gerade schon gesagt,
ein home your morphes Bild von einem offenen Ball im RHK
Sodass die Abbildung differenzierbar ist und die Ableitung vor allem rein hat.
Das Affenen. K-dimensionalen. Einheitsbalz. Das heißt,
die Menge im ROK,
sodass deren Abstand zum Nullpunkt kleiner ist
als als eins
Und zwar so, dass... Und das Bild,
das Bild ist unter einer Abbildung,
nennen wir sie F oder so etwas.
CF. C1 ist... Und DF,
die Ableitung von der Abbildung F,
vollen Rang
Was war heute gleich der Rang? Der Rang ist der Rang einer Matrix.
Das heißt, die Matrix ist halt sozusagen die Eigenschaft,
das Bild von einer offenen Menge, ist eine Menge derselben Dimension.
Es gibt auch mal Tutzen, die stochen alles zusammen,
die Null-Matrix zum Beispiel bildet also einen Punkt ab oder verkleinern allgemeinen Dimensionen,
eine Matrix mit vollem Rang, die Eigenschaft,
dass eine kalte visuale Menge auf eine kaldimensionale Menge abgebildet wird.
Und die hilft jetzt nicht mehr und nicht weniger,
als wir nehmen da so ein Stück,
kalt um so einen Raum und wir verbiegen das ein wenig und sonst nichts.
Wir dürfen ja nicht auf einen kaum minus einzigemensionalen Raum zusammenschlauchen.
Das ist der gesamte Sinn dieser komplizierten Definition
Und wir haben jetzt mit diesem langen Satz,
der noch an der Illustration bedarf, solche Stücke,
die kleine, verbogene Stücke, dass er auch K sind,
in der Mannigfaltigkeit M.
Okay, wie soll es jetzt auch sehen?
Ein paar Illustrationen bei der Hufeisenabbildung, die waren noch einfach.
Da sah es so aus,
so ein Beispiel.
Ruf aus dem Bürokammer, die waren natürlich so,
dass hier ein Quadrat, ich mache es mal etwas größer,
damit ich die stabil instabilen Richtungen dann besser zeigen kann.
Das wird auf sich selbst abgebildet, sodass ein Drittel
davon gestaucht und ein Drittel ebenfalls gestaucht wird und gestreckt,
je nachdem welche Richtung man anguckt.
Also in diesem Objekt hatten wir Teilstöcke,
zum Beispiel
diese beiden hier
Ich meine, mal nur eins von diesen zwei Rechtecken hinein.
Auf diesem Rechteck, das Aktuelle wird auf ein etwas anderes Rechteck,
hat man die Eigenschaft, das war ja,
sah jetzt ungefähr so aus.
Hier haben wir diese beiden Stücke. Irgendwo in diesem Rechteck
ist eine invariante Menge. Ich werde gleich nur genau einzeichnen.
Und auf diese invarianten Menge, da gibt es Punkte,
die die Eigenschaft haben, dass es stabile Instabile richtungen gibt,
kleine Stücke,
die gerade in diese Mannigfaltigkeit
drin liegen
Hier waren also stabile und instabile Stücke drin zu sehen und
stabile, instabile Richtungen. In diesem Fall waren die instabilen
Richtungen gerade die horizontalen, die stabilen, die vertikalen.
Das heißt, wir hatten solche Richtungen, die hier drin liegen.
Das waren die stabilen, dass die instabilen Richtungen.
Und die Frage, die sich noch stellt, wie lang
können wir diese Stücke machen? Denn es ist natürlich wahr,
dass wenn wir einen Punkt hier nehmen und einen Punkt weit,
weit draußen hier oder dort irgendwo,
dann wissen wir nicht,
ob da die Konferenz wirklich so global
der Fall ist
Und wir schränken uns einen auf die invointe Menge.
Die invointe Menge sah so aus, dass wir das Quadrat benommen haben.
Und auf dem ganzen Quadrat. Auf diesem Quadrat,
wo die Abbildung definiert war,
haben wir erst mal eine Kantermenge produziert,
indem wir
mittlere Drittel entfernt haben
Wir haben also gesagt, wir entfernen hier hier ein Drittel, Drittel der Menge.
Und hier auch? Und durch Fortsetzung dieses Prozesses kam dann heraus,
da ergibt ja mal eine Menge, die gerade schöne Eigenschaften hat.
Also diesen Prozess fortsetzen, dann kommt ja eine Kantemenge heraus.
Also hier blieb irgendwann der zweite und ein kanter Staub,
C, Kreuz, C. Und auf diese Menge,
die jetzt Schwereinszeichen ist, weil sie Lebeck Mars 0 hat,
da ist die Behauptung,
es gibt diese stabilen instibilen Richtungen an jeden Punkt.
Die Abbildung ist immer noch differenzierbar,
weil sie ja auf dem ganzen Quadrat differenzierbar war
Und diese stabilen Richtungen werden so sein, dass sie hier kleine Stücke haben,
wo Dinge so konvegieren, wie sie es gern hätten.
Also hier haben wir Stücke WS und Stücke WU.
WS. Wobei in diesem Fall zufällig es gerade so aussieht,
dass die stabilen Endstabilen Mannich-Faltigkeiten, WS-WU und die Stabilen NGB Räume,
EU, Gerade gleich aussehen, weil es gerade Stücke sind.
Ich brauchte eine komplizierte Abbildung, um ihnen verbogene Stücke zu zeigen.
Aber hier sehen wir schon mal, was gemeint ist.
Wir meinen solche Stücke wie hier. Die Fragen,
die sich noch stellen, ist, hören diese Räume irgendwann
auf oder haben sie irgendwelche Ränder oder gehen sie ewig weiter?
Letzteres wird der Fall sein. Und wie groß sind sie
eigentlich? Wie weit gehen sie nach außen?
Und dazu würde es sowas an diese kleinen Stücke.
EU oder OU-OOS. Die werden wir vergrößern auf große Stücke
. Und dann haben wir kein Problem mehr mit Rändern oder
eingebetteten Scheiben oder solchen Wahlen
Das heißt, der Satz, den ich angefangen habe,
der geht weiter mit folgendem Satz.
Das gilt. Die Menge. Nennen wir sie WS
am Punkt
Und das soll sein. Wenn es ein kleines Stück Konto
her in den Raum haben, heißt es,
es ist, wenn sie den Zweit rückwärts gehen,
kommen sie sozusagen an größere Stücke rum.
Wenn sie also vorwärts gehen, an einem Punkt F von
X oder FON von X. Dieses Stück O,
FON von X in der stabilen Richtung nehmen.
Und das dann zurücktransportieren, dann haben sie sozusagen ein größeres
Stück an Punkte X. Das heißt, wenn wir sagen,
sie nehmen Efo-Minus, minus N,
von so einem Stück OS an der Stelle
F-O-N-Von-X. Wir lassen hier noch ein bisschen Platz,
da kommen noch ein Simul rein. Wenn sie sagen,
sie nehmen dieses Stück hier, dann wird dieses im Allgemeinen
größer sein als so ein Stück US an der Stelle X.
Denn sie haben ja so nach vorne gegangen,
haben das zurücktransportiert, mit einer Abbildung,
die in Vorwärtsrichtung kontrolliert, in Rückwärtsrichtung sozusagen expandiert.
Und wenn sie dies machen und das für alle N machen,
das heißt endliebig groß machen, eine Vereinigung davon, ein Element.
N. Dann haben Sie hier eine Mann-Feindlichkeit,
die ist recht groß, der hat sozusagen keinen Rand mehr.
Und dies ist eine schöne Menge,
die heißt dann ist eine stabile Mannigfaltigkeit
Und die ist unabhängig davon,
wie sie dieses OS genau gewählt haben.
Der speziellen Von OS X
für X-Element
Die Menge X, die instabile Mann-Fähigkeit an X,
die ähnlich definiert sein wird,
weil der ähnliche Bein ist es so,
wenn wir in vorwärtige Richtung gehen, dann erwarten wir,
dass Mengen kleiner werden.
Das heißt, wenn wir sagen, wir nehmen F-O-N von
so einer Menge O und mit welchem Punkt sollen wir die nehmen?
Da wird man extra rauskommen. Vermutlich nehmen wir besser F-O-N-N
von X als Basispunkt. Und wenn wir dies machen,
blieb ich oft machen und dann Vereinigung nehmen,
dann haben wir
auch eine Mann-Fähigkeit
Die ist ebenfalls. Ebenso. Ja,
hier ist es eine Aussage, die ist etwas subtil,
denn ich habe vorhin gar nicht gesagt,
wo die speziellen Wahlen bei USX und OUX sind, die speziellen Wahlen sind,
sie können das Ding etwas größer oder etwas kleiner machen,
das macht keinen großen Unterschied.
Denn da rechts oben sehen sie noch in Y,
sie hatten das Apps und durch Apps und Halbe oder zwei Apps und dann ersetzen können.
Und es würde dasselbe rauskommen mit etwas anderen OS-OU,
die würden etwas größer oder etwas kleiner sein,
aber die ist denn hier, ist unabhängig davon,
wie sie vorhin das gewählt haben.
Und deswegen sind diese Dinger,
dieses WS in WU hier, gerade die Richtung Objekte,
die man studieren will
So, jetzt habe ich komplizierte Objekte definiert und denen gar
keinen Namen gegeben. Und das ändert sich jetzt sofort.
Dies hier sind die stabilen und instabilen Mannch-Feiligkeiten.
Und das waren lokale. Ich sabile MCB-Mannch-Feiligkeiten.
Also Definition. WS heißt. Die globale Stabile.
Gestaltigkeit, das S steht oben.
Für die Abbildung F an der Stelle X. Element.
Wie UX.
Globaler. Instabiler
Das Wort global lässt man meist weg,
ist die Nutzunterscheidung von dem, was jetzt noch kam,
nämlich der Lokal-Definition.
Oh, S-X. Das heißt,
lokale.
stabile Mannigfaltigkeit.
Lokale, instabile. So, jetzt haben wir zwei Arten
von Abjecken gesehen, lokalen und globale. Die lokalen,
ja, die sind, die haben irgendwo einen Rand.
Und was wir am Rand machen sollen,
das wissen wir nicht so genau,
aber die Globalen sind besser,
weil sie keinen Rand haben und deswegen
immer weiter fortgehen
Zum Beispiel im R-Hoch-N, wie sie ihn da oben gesehen haben,
können wir sofort instabile Mannschaften, stabile Mannlichkeiten ausreichen.
Das werden gerade die stabilen Instabilen Richtungen. Das heißt,
im linderen Fall würde das Diagramm genauso außen,
wie es da oben schon ist,
wenn wir dieses ES durch WS ersetzen, dann wäre es genau dasselbe.
Wenn wir das EU durch W-Uhr setzen, wäre es genau dasselbe.
Das ist ja im linearen Fall. Kennen wir schon stabile
Endstabile, Mannlich-Faltigkeiten, ganz genau. Die sind genauso,
wie sie da immer aussehen. Und auf gegründenen Räumen würde es jetzt so sein,
dass auf einem beliebigen Raum, der jetzt so aussehen wird,
wenn sie auf so einer Mannigmenge hier Eine hyperbolische Abbildung definieren,
dann wird es so sein, dass irgendwelche Richtungen ausgezeichnet werden,
irgendwelche Richtungen an diesem Punkt hier,
in diesem Punkt P oder X. Wir werden außenzeichnet sein und da wird eine Menge durchgehen und die wird lang sein,
die kommt dann vielleicht hier herum.
Hier geht sie vielleicht hier entlang.
Und das war dann die instabile Richtung sein,
sodass Punkte darauf in positive Zeit auseinandergehen und in rückwärtiger Zeit zusammengehen.
Das heißt, wir haben zwei Mannchfaltigkeiten,
E,
WU und WS von X. Und diese Mannschaft hier,
die können lang sein, die sind auch lang,
die haben keinen Rand, die können auch dicht da herumgehen,
die können sich auch noch eines schneiden,
das ist absolut möglich und die gehen dann irgendwo ihren Weg auf dem Mannigfaltigkeit.
Und die Aussage ist jetzt an jedem Punkt X,
gibt es zwar solche untermalig Faltigkeiten, gekrümmte Unterräume,
deren Dimension sich gerade aufaddiert zur gesamten Dimension der Mannigfaltigkeit,
in diesem Fall eine zwei sonale Fläche.
Es gibt zwei eindimensionale Unterkurven unter Mengen, die an jeden Punkt,
wo sie sich kreuzen, gerade den gesamten Tankzahlraum aufspannen.
Und so, dass,
wenn sie hier zwei Punkte auf der blauen Kurve haben,
dann gehen deren Abstände exvenziell gegen Null.
Das habe ich noch nicht gesagt, das ist die nächste Aussage.
Und auf der roten Kurve gehen zwei Abstände in negative Zeit,
exponentiell gegen Null. Und wenn sich zwei Punkte haben,
wo sich die Mannschaft wieder kreuzend,
dann wird es besonders interessant,
dann können sie nämlich Aussagen machen über die Dynamik des Systems
So, zunächst noch eine Folgerung, das ist nämlich das,
was auf stabilen, innenstabilen Räumen der Fall war,
wieder oben, hat mit Eigenschaft in den stabilen,
instabilen Richtungen, haben wir exponentielle Kontraktionen oder Expansionen,
also Kontraktionen gegen Neu für positive oder für negative Zeit.
Und das wird hier auf diesen Mannigfaltigkeiten auch wieder der Fall sein.
Auf diesen Mannigfaltigkeiten werden die Abstände exponentiell gegen Null gehen,
in positiver oder negative Zeit.
Ja, dazu eine Frage. Kurven geschlossen. Ah,
ich kann gerade fragen, kann diese Kurven geschlossen sein?
Das können sie, also diese Kurven,
Sie waren geschlossen in dem Sinne, dass sie einen Kreis bilden.
Nein, das können sie nicht, diese Kurven oder die
manch Faltigkeiten allgemein, sind Home-Emma für Bildern des Akklitischen Raums.
Das heißt, die sind so wie RHK-Ebenen. Die haben weder einen Rand,
noch sind sie topologisch irgendwie, haben sie irgendeine Topologie.
Das heißt, die kann man mehr oder weniger zusammenziehen.
Diese Mengen werden so sein,
wenn sie nur die rote Menge nehmen zu einem Punkt X,
dann wird das ein Bild, von dem RHK sein,
Karl gleich die.
Ich habe ihre Dimension, sodass sie an einem Punkt alle
Punkte zu sich ziehen könnten und sie mit Zeit 1 erreichen können.
Es gibt also keine Kreise, die man nicht zusammenziehen kann,
sondern das wird so sein wie eine Ebene,
nur eben verbogen
Und die kann sich schon um die Mannchfaltigkeit,
um so einen Henkel, kann die sich mehrmals wickeln.
Das heißt, die kann hier schon ein paar interessante Bewegungen machen.
So etwas ist möglich. Allerdings kommt sie nicht wieder zurück.
Und sie kommt deswegen nicht wieder zurück wegen der Eigenschaft,
die ich ihn gleich anschreiben werde.
Das sind nämlich zwei Punkte darauf. Impossive oder ningery Zeit gegen null
gehen im Abstand. Und wenn sie so etwas hätten,
wäre ein Kreis, das einen nicht driverlesstop logisches Argument.
Können Sie den Kreis nicht so definieren,
dass alle Punkte sozusagen auf einen Punkt zusammengehen,
ohne ihn irgendwo zu zerreißen
Das ist eine Aussage, die ich jetzt nicht beweisen werde.
Das wissen die Leute in der Torpologie. Man kann zum Beispiel
keinen Fluss von einem Einarztkreis oder sonst einer Menge mit nicht-troverle Torpologie
auf einen Punkt angeben, eine sogenannte Retraaktion,
die irgendwie stetig ist und keine zwei Punkte auseinanderreißt.
Und dessen über die Frage, die sie gerade gestellt haben,
kann da ein Kreis enthalten sein in dieser stabilen Mannigfalt.
Ich habe mir deinen beantwortet. Es kann kein Kreis darin sein
. Es kann keine komplett geschlossene Sphäre daran enthalten sein.
Zwei Nationaler Kreis. Es kann keine geschlossene kartemissionale Sphäre enthalten sein.
Und in der Sprache der Torpologie sind alle Homotopiegruppen,
wenn sie wissen, was das ist, trivial.
Also grob gesagt, man kann diese Mengen zusammenziehen.
Sie können eine Man kann Fluss angeben,
seine stetige Abbildung, die da anfängt,
wo das Objekt am Anfang ist und die das Ding kontrolliert,
den Zeit 1, also einen Punkt zusammengezogen hat.
Es geht beim Intervall, es geht beim Kreis nicht.
Noch eine Frage? Dass diese Richtung nicht interessiert. Ja,
genau, diese Richtung, genau, diese Richtung,
die sind sozusagen ohne Rand. Das heißt,
diese Kurven werden typischerweise Bilder vom R auch K sein,
der hat keinen Rand und die hören sozusagen nirgends auf.
Also auf der Mannschaft geht ja,
das geht deswegen immer weiter, wird dich herumschlängeln,
wird vielleicht eine dichte Kurve sein,
das kann vorkommen und wird nicht aufhören
Ich mache gleich mal ein Beispiel dazu,
wenn ich den nächsten Satz angeschrieben habe.
Nämlich das Beispiel ist auf dem zwei Tores,
den sie die Katzenabbildung von Arnald nehmen.
Dann sind diese stabilen Entwicklungen Richtungen gerade graben mit einer ganz bestimmten Steigung.
Der steigt dir in den NGB in den Räumen entspricht.
Und diese Graden, diese Linie, die gehen einfach immer weiter.
Da haben sie eine Linie von Konstanto Steigung und die
ist dicht im Tores. Und die hört nirgends auf.
Und das ist das typische Verhalten von stabilen NGB in Mannich-Faltigkeiten.
Die gehen einfach immer weiter, füllen den ganzen Raum,
vielleicht dicht. Und das ist das, ja,
ist gerade besonders spannend.
Damit kann man
gute schönen Eigenschaften beweisen
Ich zeige gleich mal ein Beispiel, da vorher noch eine
Aussage über die Kontraktion von Abständen auf den stabilen instabilen Richtungen.
Es wird nämlich so sein, dass die Eigenschaften,
die hier stehen,
Kontraktion in positive oder negative Zeit mit Kontraktionskonstanten nahe bei Landa,
die werden auf WS
auch wieder wahr sein
. .
Noch ein Satz,
über die Kontraktion auf stabilen Richtungen
Und der Satz ist genau wie da oben,
für alle älter, gibt es einen C von Delta,
sodass es folgendes gilt.
Sei. Lamda. Kontraktionskonstante. Auf. Und auf einer
Die Wymbolischen Menge Lamda. Für F. Und dann geht's.
Die selbe Aussage gefunden für alle Delta,
so klein sie auch sein mögen,
existiert einen
See von Nidelta. Kleiner, unendlich. Sodass er für
alle Punkte XY in der stabilen Mannchfähigkeit und alle positiven Zeiten sollte das haben.
Also für alle. X-Element Lamda, für alle Y-Elemente.
Wie SX. Und für alle N-Element N, alle ganzen Zahlen,
die positiv sind, gilt das die Abstände, kontrollieren,
exponentiell,
mit konstante Lamda plus Delta
Vorfaktor C von Delta
Heute hier. Mit anderen Worten, wir haben genau dasselbe,
was wir in den stabilen Innenstabilen Richtungen schon gesehen haben.
Jetzt auf globale Abstände ausgedehnt.
Und für alle analog
Ja, kann minus sein. Von x. Wir
haben also wieder diese exponzielle Kontraktion und Expansion.
Jetzt muss ich fragen, warum ist das,
was hier steht,
eigentlich irgendwie besonders
Du hast, du hast fast genau, so wie es hier steht,
stand doch schon da in der Defention von hyperbolischer Menge.
Da standen dieser stabilen instabilen Richtung. Und da ist auch
auch schon etwas kontrolliert und expandiert, auch exponentiell schnell,
sogar mit konstante Lampe, aber ich dachte,
wie hier, Blande plus der Eltern.
Wo ist jetzt der Vorteil von diesen Aussagen? Gegenüber denen,
die wir schon kennen. Was ist besser an stabilen Mannchfaltigkeiten
? Verglichen wir in stabilen Richtungen. Die Antwort ist,
stabile Richtung, das sind nur elinianisierung von stabilen Mannchfaltigkeiten.
Das heißt, das sind Aussagen über Infinithese males Verhalten.
Wenn es alle einen Punkt haben,
sagt er in die Ableitung nur,
dass sie für nahegelegene Punkte sozusagen unendlich nahe,
winzig kleine Abstände vergrößern sich wie DF
das besagt
Also DF sagt mir etwas über ganz winzig kleine Abstände.
Noch nicht im Abstand, sondern Linearisierung von Abständen.
Und hier ist eine Aussage mit dir das echte Ding.
Nicht nur die Linearisierung, sondern die wirklichen Abstände,
Punkte, die weit auseinander liegen. Die konnte hierhin
auch exponentiell. Das heißt, dass das hier steht,
ist eine viel stärkere Aussage als das für Ableitung.
Die Ableitung sagen, hier ist ein Punkt, der wandert.
Und wenn sie sozusagen unendlich nah dran wären,
dann würden sie konterieren und expandieren,
so wie die Ableitung des Markus ihnen das so sagt.
Und was auch immer das bedeutet, unendlich nah dran zu sein,
dann wissen die ja eh schon, was passiert.
Das ist also noch keine so starke Aussage wie das.
Sie sagen, nämlich haben sie zwei Punkte weit auseinander,
aber in derselben stabilen Mannigfaltigkeit
Dann werden die Abstände gegen Null gehen, existenziell schnell.
Haben Sie zwei Punkte in der ähnlichen Limine, meine ich Faltigkeit,
während die Abstände in der Rückwerkerzeit gegen Null gehen, exponentiell schnell.
Und das sind richtig starke Aussagen. Wir haben ja solche Dinge,
wie Sie da oben sehen, solche Teilenmengen und Punkte darauf,
an verschiedenen Enden der Mannchfaltigkeit sind so, dass Sie sagen können,
was passiert mit diesen beiden Punkten für lange Zeiten,
plus oder minus unendlich.
Und das ist schon richtig, richtig gut. So,
das war jetzt die Aussage über die Kontraktoren und Expansionen auf
diesen Mannchfaltigkeiten selbst
Die folgt sozusagen aus der entsprechenden Aussage für die Lindarisierung,
durch etwas nicht lineare Analyse, auf meine ich Faltigkeiten.
Den Satz, den, oder die drei Sätze,
die ich jetzt hier ins 3-10 geschrieben habe,
man kann so einen Einsatz schreiben, die sind recht schwer zu beweisen,
weil sie dann Dinge über manch Faltigkeiten zeigen müssen,
die etwas technisch sind.
Die Idee ist allerdings nicht so furchtbar schwer.
Die Idee ist folgende, wenn sie eine Lindare Abbildung haben,
die in eine Richtung Konto hin einen anderen expandiert und weiter nichts macht.
Dann wissen sie schon, was passiert. Es geht aber noch mehr,
es gilt dann, wenn sie so eine Abbildung haben und
irgendeine Kurve in den Raum stellen würden,
wieso irgendwie schräg sich durchschlagen und durch die Null gehen würde.
Und dann diese Abbildung anwenden, dann würden sie sehen,
dass diese Kurve immer flacher wird.
Sich immer mehr in der NGB in Richtung annähert.
Und so etwas können sie auch hier für Abbildung auf Mannigfaltigkeiten F,
können Sie sagen, wenn ich das mache,
dann wird es so sein, irgendwelche Kurven werden deformiert.
Und wenn sich der instabilen Richtung immer weiter annähern. Wenn Sie das genau hinschreiben,
das dauert dann so ein paar Stunden, ein paar wenige Stunden,
dann kommen Sie auf ein ähnliches Argument, das Ihnen sagt,
ja, dann habe ich solche Richtungen,
wenn ich solche Kurven durch den Nullpunkt deformiere und immer weiter deformiere,
so wie wenn ich Teige knete und immer weiter plattwalze,
Dann bekomme ich so ein Stück.
Das sieht immer mehr aus wie der Tisch. Ganz egal,
wie das Stück vorher war. Das sieht einfach platt aus.
Und so ähnlich geht es auch, wenn der Tisch gekrümmt wäre.
Und ich glaube, dann kommen vielleicht irgendwas platt, Walze.
Dann geht es immer mehr aus wie das Ding,
auf dem ich eigentlich, also mir wie die Unterlage,
auf dem ich den Teig eigentlich knete.
So ähnliche Dinge gehen auch für Kurven auf manche Faltigkeiten.
Wenn ich schon weiß, in Einrichtungen wird immer zumindest linear gestreckt,
in andere Richtungen wird gestaucht. Dann können Sie sagen,
wahrscheinlich wird jedes Objekt, jede Menge, jede Kurve so gestreckt,
dass sie sich immer mehr in der individuellen Richtung annähert.
Das heißt, wenn ich sie iteriere,
wird es wahrscheinlich die intimile Richtung herauskommen
Dieses allgemein, wenn man es genau hinschreibt, das würde jetzt jetzt
ein paar Stunden kosten, deswegen mache ich es nicht.
Aber wenn man es tun würde,
würde dann die Existenz von diesen lokalen instabilen Mannigfaltigkeiten,
EU oder OU, OUX beweisen an Punkt X.
Und wenn man das für FOM Minus 1 macht,
würde es die Existenz von OSX beweisen.
Es gibt detaillierte Beweise davon in verschiedenen Büchern,
zum Beispiel in dem Buch von Hustleblatt Kartock,
dem Buch war ein Kartock-Hastenblatt, ein Buch von Brillan Stock.
Und da können Sie mal reinschauen. Es wird ein paar
Stunden dauern und das alles in allen Details zu absorbieren.
Ich überspringe jetzt den Beweis und komme zu weiteren Aussagen über
diese Dinge hier
Ja, und jetzt stehen hier schon eine ganze Menge Aussagen,
hier stehen Aussagen und Aussagen und die Beispiele sind drar.
Ich habe gerade die Huf-Asenabbildung gezeigt, aber da sieht es so aus,
dass sie ohnehin schon wussten, was rauskommt,
weil die Stabilität nicht über den Richtungen sind,
die einer linearen Abbildung und die kannten sie ohnehin schon.
Jetzt kommt eine Abbildung auf den Tourus,
die ist immer noch nicht so weit von der Lehnarität entfernt,
aber schon mal etwas diffenziler.
Also ein Beispiel für diese Instabilen und stabilen Richtungen.
WS und WU
Und sie kennt das schon,
wenn ich Online X dran schreibe, heißt es am.x,
schreibe ich keinen Punkt extra, heißt es für beliebe.ex.
Das heißt WS ohne X dran,
heißt sozusagen die Menge von allen WSX für X Element M.
Und das Beispiel wird sein, die Katzenabbildung von Arnold.
Das heißt der Punkt XY auf dem Tourist oder genau genommen
dessen Äquivalenzklasse, Mord 1,
alles wird abgebildet auf die Matrix 2,
1,
Malte Punkt. XY. Und davon nehmen wir die Äquivalenzklasse. Was,
wie wir schon wissen, eine wohl definierte Abbildung ist,
eine glatte Abbildung, eine invertierbare Abbildung und eine Abbildung,
die stabile und instabile Eigenräume hat.
Da ist also so, wir haben jetzt...
Hier die Abbildung, hier hat ein fundamentalen Bereich des Tores.
Meinetwegen ist dies jemals die 0-0-Kollen-Narte. Und dann sehen wir,
wir haben auf diesem Tores bestimmte Richtungen, die kontrainieren und expandieren.
Eine Richtung, die geht nach rechts oben, expandiert,
eine Richtung, die geht nach links oben,
die kontrolliert
Und in diesem Fall mache ich mal die eine Richtung.
Das kennen wir also schon. So sah sie aus.
Die war eine Art eigener Raum. Und der Raum ES
sah so aus. Oder EU war das, das war
eine instabile. Und erst war der stabile. ES.
Und das war das Bild, das wir schon kannten.
Wir haben den Tores in einem bestimmten Punkt,
in diesem Fall gerade der Eckpunkt, haben wir zwei Richtungen.
In diesem Beispiel zufällig orthogonal, das muss nicht so sein,
sodass wir Expansionen und Kontraktionen in diesen Richtungen haben
So saß, so sah das Bild aus. Und das
war ein Bild der Länderrasierung, somit ein lokales Bild.
Das heißt, für punktenah beieinander wissen wir schon, was passiert.
Die Abwendung ist zufällig gerade stückweise linear. Das heißt,
die Linearisierung ist gerade das echte Falten auf nicht allzu kleinen Umgebungen.
Und jetzt kommen wir die Frage von vorn aufgreifen.
Sehr gute Frage, die Sie gerade gestellt haben.
Wie sehen diese Kurven eigentlich aus, wenn wir die weit fortsetzen?
Können die sich weder kreisförmig schließen oder was passiert damit?
Oder haben die irgendwie ein Ende, hören die irgendwie auf?
Und die Antwort wird sein, diese Kurven können sich weder schließen.
Noch können sie jemals aufhören. Diese Kurven gehen ewig weiter
. Sie haben halt seine Kopie der reinen Zahlen.
Die liegt hier einfach drin und geht immer weiter um
den Toast herum
In diesem Fall sieht es so aus, dieses lokale Bild,
führt es gleich zu einem globalen Bild fortgesetzt.
Also hier ist ein lokales Bild.
Das Lokalbild ist übrigens nicht nur auf diesen Punkt beschränkt.
Ich könnte einen weiteren Punkt irgendwo anders hineinzeichnen. Hat man
an diesem anderen Punkt, hätte ich auch diese Richtung,
die wären parallel zu den den Folgen.
Und ich hätte hier
solche Counterhirnen und expandierenden Richtungen
Und das kann ich an jedem beliebigen Punkt machen,
an jedem beliebigen Punkt, auf der meine ich Faltigkeit,
bekomme ich ein ähnliches Bild.
Und die Frage, die sich jetzt aufdrängt, ist,
wie sehen dieses Stück eigentlich aus?
Und jeden Punkt habe ich solche kleinen Stücke,
kann man die irgendwie zusammensetzen zu einer gesamten roten Menge,
eine Kurve,
eine gesamten blauen Menge,
blauen Kurve
und wie sieht das Ganze aus
Kommt heraus, es gibt ein globales Bild.
Das sieht dann so aus, in diesem Beispiel.
Klar, wie glauben Sie, kann das passieren?
Dass eine Kurve ewig weitergeht und sich nicht schließt auf diesem Tore.
Das ist jetzt sozusagen kein Platz, die müssen nicht einmal
zurückkommen. Andererseits, die kommen zurück und sie kommen zurück
und verfehlen aber das Original so ein bisschen
Hier geht man hierhin zurück. Und wenn man das immer weitermacht,
dann bekommt man eine Familie von Linien auf dem Tores,
die allesamt die stabile Mannfaltigkeit oder instabile Mannigfaltigkeit desselben Punktes sind.
In diesem Fall bekommt man sogar eine dichte Familie von Linien.
Das heißt, dieses WS, W-Stadt E steht für Mannigfaltigkeit statt Richtung.
Also für diesen Punkt wäre dies die Menge W-U vom Punkt X
für einen belieben Punkt von X zum Beispiel diesen hier.
Hier ist ein Punkt
Und da haben wir diese stabilen enzivilen Richtungen. Analog für die stabile Richtung,
die hätten wir, hier geht es hier raus,
ich male es mal hierhin, weil es dir so richtig ist.
Hier würde ich hier lang gehen und dann hier
den Toros in irgendeiner Form mit parallelen Familien abdecken.
Wenn wir jetzt hier Timing, rot und blaue Timing des Tors,
die sind nicht der gesamte Toros, sondern aber sie sind eine dichte Menge.
Das heißt, die hatten eine dichte Familie von Linien,
in diesem Fall sind es Linien, die alle Parallelen sind,
wo es im Allgemeinen nicht der Fall sein,
die sozusagen immer weitergehen und an den Tores
ganz ausfüllen
Und das ist schon ziemlich spannend. Sie haben da diese
kleinen Stücke. Am Anfang waren es nur so kleine App-Stone-Umgebungen.
Dieses O-SX war eine kleine Apps an Kugel.
Und jetzt haben sie ein dichtes Bild.
Also Beobachtung bei diesem Beispiel.
Die stabilen. Manchfaltigkeit
WSX, diese blaue Kurve hier, das war WSX. Wohl gemerkt,
dass die Kurve zu einem einzigen Punkt, dass sie es nicht,
eine Familie von stabilen Mannigfaltigkeiten für verschiedene Punkte,
sondern es ist eine und dieselbe Kurve für einen einzige Punkt
X. Und diese stabile Mannigfaltigkeit X ist,
unabhängig von X. Also die ist abhängig von X,
aber die folgende Aussage ist unabhängig von X. Also schau mal
für alle
X. Jedes
Dicht. M2 Tores. Das ist eine Aussage speziell über
die Katzenabbildung, die im Allgemeinen nicht gelten muss.
Dass die stabile Mannfähigkeit gleich eine dichte Menge ist.
Ebenso. W. UX. Und das ist doch schon kurios
. Sie haben diese Mengen. Lokal sehen sie aus,
wenn die Stücke gerade. Jetzt drücke auch klitischer Raum.
Aber die globale Struktur, die sieht gar nicht mehr aus
wie ein Stückerei, sondern ist mehr eine dichte Teilmenge.
Die sieht fast aus wie ein Quadrat
Naja, vielen, weil sie wollen. Sie können sich
jetzt die Frage stellen, ist denn da mehr Punkte auf
diese roten Menge oder mehr Punkte neben der roten Menge?
Da kann man jetzt drüber philosophieren. Aber auf jeden Fall haben sie ja eine Menge,
die schon ziemlich dicht ist und die schon ziemlich weit wohin geht.
Okay, und das nutzt uns das Ganze jetzt?
Aus diesen Dingen werden wir Erfolgerungen schließen, zum Beispiel die Zahl von periodischen Punkten.
Es wird ja viele geben. Und über das Verhalten von allgemeinen Punkten,
von diesem Punkt X und dann Punkt Y und der nicht irgendwo hineinzeichnen könnte,
können wir sagen,
wenn dieses Punkt Y auf einer stabilen Menge von X liegt,
da wird Abstand irgendwann gegen null konvergieren.
Wenn auf einer intibilen Menge liegen würde, wird Abstand für
negative Zeiten gegen null konvergieren. Und wenn der WS eine
noch das andere tut, dann wird irgendwas dazwischen erfaltern.
Dann wird wahrscheinlich Abstand früher oder später Geruchs werden,
egal wie kleiner hier war. Das ist eine Frage.
Wie muss man die ersten? Oder schnickt sie zu differenzieren?
Wenn man die jetzt auf einmal zur Zeit nimmt, genauso.
Ja. Ja, mir kam gerade die Frage,
kann man die eigenen einzelnen WSX für verschiedene X differenzieren?
Kann man die unterscheiden? Kann man die verschiedenen WUX unterscheiden?
In diesem Fall ist es so, auf dem Toast,
aber das ist ein Spezialfall, sind alle Kopien voneinander.
Das heißt, wenn ich Ihnen an einen anderen Punkt X,
wenn ich auf diesen roten Mengen draufliege,
das WUX zeichnen würde,
dann wäre es einfach eine Translation mit einem kleinen Translationsvektor
Wenn ich in einen Punkt X gehen würde, der,
oder mit Punkt Y auf WUX,
dann wäre WU Y sogar dasselbe WWUX. Das heißt,
wenn ich einen Punkt auf der stabilen oder instabilen Mannchfaltigkeit nehme und
dann darf man die stabile Anstiebung an die Faltigkeit nehmen,
ist es exakt dasselbe, wie es vorhin war.
Und ansonsten ist es eine, speziell in diesem Fall,
in diesem Spezialfall nur eine Verschiebung.
Im Allgemeinen muss das nicht so sein, es kann Abbildungen geben,
sodass manche stabilen Mengen in bestimmten Teilen der Mannchfaltigkeit sind und andere woanders.
Zum Beispiel diese Fläche da oben,
es könnte theoretisch sein, das wissen wir noch nicht,
dass diese roten Kurven sich in einer Hälfte zurückziehen und
nicht mehr auf den anderen Teil zurückkommen
Von einem Punkt X, auf nein, andere Punkt X, woanders hingehen.
Das ist absolut möglich. Und wir wissen noch nicht,
ob da das passiert. Wir wissen also noch nicht,
ob diese Kurven im Allgemeinen, WOX, für jedes X dasselbe ist.
In diesem Fall, Thores, ist es dasselbe?
Im Allgemeinen können die sehr verschieden sein. Es kann sein,
dass manche stabilen manche Faltigkeiten sich ganz anders verhalten als andere,
die vielleicht gar nicht so weit entfernt sind.
Noch mehr Fragen? Jetzt machst du ein bisschen gereicht.
Gute Frage, hier kam gerade die Frage. Ist es möglich,
dass ein Punkt auf der stabilen und irgend stabilen Einen Punkt
Y hier auf WSX und auf WUX gleichzeitig liegt.
Denn, das klingt ja irgendwie komisch, da müsste er
in positiver Zeit gegen null konvergieren, negative gegen null konvergieren.
Und wie ist es möglich? Und ja, was kommt denn
da heraus? Nehmen wir einen Wetten, einen Punkt?
Auf WSX. Dann würde in der Tat für positive Zeiten
gegen null konvergieren.
Und in der Tat gibt es Punkte Y,
die die Eigenschaft haben, dass sie für positive Zeiten
gegen X kombinieren oder dass der Abstand gegen null geht.
Das muss ja kein Fixpunkt sein. In diesem Fall ist
die 0 Grad ein Fixpunkt. Das ist der Abstand der
negative Zeit gegen null geht. Und dass trotzdem irgendwas Kurioses
zwischendurch passiert. Es kann sein, dass die Mannlich-Faltigkeit,
wie zum Beispiel dieser Torust, topologisch nicht trivial ist.
Dass irgendwelche Kurven gibt, die man nicht zusammenziehen kann.
Ist doch ein Torust eher der Fall. Und in der Tat
ist es dann so, wenn sie so etwas haben,
können sie in der Tat schöne Aussagen haben,
dass ein Punkt konvergiert, positiv und negativ gegen diesen Punkt hier.
Und ist trotzdem nicht dasselbe. Das ist absolut möglich.
Also jetzt haben wir in der Tat ein neues Feature identifiziert
Das im linearen Fall nicht gab. Das Feature,
dass zwei Punkte verschieden sind und in positiver Zeit zueinander laufen,
gab es nicht gegen Null geht, in negativer Zeit auch gegeneinander laufen.
Das ist in der Tat möglich. Und das wird sogar
ganz besonders spannend sein. Es wird sogar so sein,
dass wenn sie so einen Punkt gefunden haben,
so ein paar von Punkten, oder ein Orbit,
das ging den Punkt unvorwärts und negativer Zeit konvergiert,
das ist dasselbe.
Dann haben sie ein besonders interessantes Feature,
was ihnen viele periodische Punkte und eine Art chaotisches Falten garantiert.
Ich werde das noch genau vertiefen.
Das ist ein Thema, das nennt sich homocleane Orbits und
heterocleane Orbits
Also auf einen anderen Punkt zu und auf sich selbst zu.
Und das ist gerade besonders spannend, weil man damit besonders viel Chaos produzieren kann.
Gruppe sagt immer, wenn das der Fall ist,
dann haben sie wahrscheinlich in der Nähe irgendwelchen besonders starken Verbiegungen wie beim Hufeisen.
Und das kann passieren. Also es wird vorkommen,
es wird so einen Ausblick sein,
das ist noch nicht aussagevoll über diese hyborischen Abbildungen.
Aber in der Tat ist es so,
wenn sie eine Abbildung haben, mit Eigenschaft,
das ist ein Orbit hiergegen in positive oder negative Zeit konvergiert,
ist dieses besonders spannend.
Also eine kleine Bemerkung ohne Beweis
Es kann Punktepower. XY Element geben. D. FON von
X. FON von Y. Gegen Null. Für...
Dann gegen Plus unendlich.
Und entgegen
Mindestens endlich gleichzeitig. Also für das eine und das andere.
Einmal. Und das ist insofern spannend, weil nur mal
einen kurzen Ausblick darauf zu geben, was dann so passiert.
Ich stelle sich vor, ja, meinen Punkt,
zum Beispiel einen Fixpunkt desozier. Wir stellen sich weiterhin vor,
wir hatten einen Punkt Y mit der Eigenschaft,
es muss kein Fixpunkt sein,
aber dann kann ich es besser zeichnen.
Das ist Orbit gegen X
konvegiert in diese Richtung
Und gegen X kombiniert in der anderen Richtung.
Stell dich vor, sie hätten diesen Fall. Das heißt,
die Abbildung, die geht so, die meldet Tieren ab.
Und in Rückwärtiger Richtung Hirn. Und so etwas hätten sie
. Das ganze Nemmel, eine Art homocleanes eurer Betrommo-Kleist,
zu sich selbst konvegent. Aber den Namen schreibe ich nicht hin,
weil die haben für das folgende Feature gar nicht so wichtig ist.
Sie haben also diese Richtung, diese stabilen, intividuellen Richtungen.
Das ist vor allem, weil die ähnliche Bilder das,
wo es herausgeht. Das heißt, hier hatten sie
diese rote Kurve, die würde hier lang gehen
Und die Blaue würde hier lang gehen. Wie gesagt,
die müssen nicht senkrecht sein, die sind nur transversal.
Und jetzt haben sie das ganz besonders spannende Feature,
dass wenn sie diese Kurven verfolgen und diese Kreuzung,
die ja auch sein wird, sich genau ansehen,
dann stellen die fest, dass diese Kreuzung,
die hier irgendwo ist, hier sind irgendwelche Kurven,
die es muss sich jetzt irgendwie so malen.
Irgendwie so. Die ist ja dann die spannende Eigenschaft,
dass sie so Kreuzung, wenn sie sie da transportieren,
dann werden sie feststellen, weil eine Richtung Konto hinten expandiert,
dasselbe, was bei Lenian Abbildung auch schon passiert,
dass die Winke sich nämlich so ändern,
dass alles gefaltet wird.
Und die einen Winkel werden klein, die anderen groß.
Das heißt, die würden hier sehen, dass die beiden Kurven,
das Bild ist übrigens nicht so besonders geschickt,
sich immer mehr aufstellen.
Und sie haben dann einen Wink wieder hier größer wird.
Das wäre jetzt nicht
so gut
Musik Hier ist der Versuch eines Bildes, das werden wir im Nachhinein noch genau betrachten.
Und diese Stelle, wo es hier alles durcheinander geht,
die ist besonders spannend. Denn sie würden sehen,
wenn sie an dieser Stelle zwei stabile Richtungen hätten,
das eine ist das WS, das andere das WU, WS und WU.
Und das stellen wir uns zu, irgendwelche stabilen Mann,
ich faltchen sowohl dieses Punktes als auch dieses anderen Punktes dort, zu dem sie konvigieren würde.
Dann stellen sie fest, dass dieses Winkel,
das habe ich nicht begründet, aber es kann sich überlegen,
die stellen sich immer weiter auf und das und das,
was in allen Richtungen sozusagen eine kleine Transvisal ist,
wird in anderen sehr, sehr stark zusammengefaltet.
Und sie hatten da dort in diesem anderen Punkt die Eigenschaft, dass diese,
dieses einfache Kreuz so hier zu einer mehrfachen Kreuzung wird,
mehr von Kreuzung des Roten und mehr von Kreuzung des Blauen,
wo manch, weil ich dann immer weiter gefaltet werde.
Und hier haben sie eine Art Ding, das wird heißen,
homocleanes Gewebe oder homocleanes Gewill, wo diese stabilen instabilen Mannchenfaltigkeit,
die ja lokal sehr schöne, glatte Objekte sind,
so stark gefaltet sind, dass sie in der Umgebung des Punktes unglaublich viele Kreuzungen finden.
Und so ein Argument werden wir benutzen,
das wollen wir noch genau hinschreiben, dass,
wenn so etwas auftritt, dass ein Punkt, die es eingeschafft hat,
wird die Abbildung ganz besonders chaotisch sein, wird,
wie wir sehen, ganz besonders viele periodische Punkte enthalten,
ganz besonders stark sensitives,
abhängig sind die Abhängigkeit von Anfangsdaten und wird besonders starkes,
topologisches Chaos produzieren.
Und zentral für solche Argumente sind diese stabilen instabilen Mannichweitien,
die wir heute gesehen haben.
Ja, und damit endet diese Vorlesung hier.
Danke fürs Zuhören