Ja, schönen guten Morgen zusammen, herzlich willkommen zur Vorlesung,
Einführung in den anderen schönen Systeme.
Letztes Mal hatten wir uns angefangen über hyperbolische Abbildungen zu unterhalten.
Diesmal geht das Thema hyperbolische Abbildung weiter mit der präzisen Definition,
also mit dem Ende. Wir waren letztes Mal fast fertig
und mit ein paar Beispielen und ein paar Eigenschaften und alternativen Charakterisierungen,
alternativen Definitionen. Was wir letztes Mal gemacht hatten,
ist uns abbildend angesehen, es geht um das Thema
hyperbolische Dynamik
Wir hatten uns angesehen,
Abbildung F, entweder von einer Mannigfaltigkeit in sich selbst,
beziehungsweise, das war eine fortgeschrittene Version F von U.
Nach M, U, Time M,
M. Und insbesondere interessieren wir uns für offene Teilmengen.
Eine Mannigfaltigkeit M mit Strukturen,
die wir gleich noch sehen werden, zum Beispiel einer Norm,
sodass wir
Längen von Vektoren
betrachten können
Mannchfaltigkeit. Und die Differenzierbarkeit ist zwar nicht wichtig,
aber einmal defensiv, aber brauchen wir auf jeden Fall.
Also soll das auf jeden Fall mindestens C1 oder glatt sein.
C1 endlich stört auch nicht. Und wir brauchen am Folgen
noch eine Struktur drauf mit Norm.
Und die Norm soll halbwegs stetig sein. Das heißt,
wenn ich eine stetige Familie von Vektoren in TM habe,
soll da die Norm
eine stille Funktion sein
So wie, wir haben jetzt eine Mannchfaltigkeit,
die ist F-Wertung und wir folgen dann differenzieren.
Das soll also mindestens C-C-1 sein.
Und am besten sollte F auch noch invertierbar sein,
weil wir dann noch die Onkel-Abmeldung betrachten können.
Also, der Satz geht gleich weit,
aber hier wird gleich noch mal etwa rausgesetzt.
Das nämlich DF und die FV
minus 1 sollen existieren und seien stetig
Was uns an dieser Stelle gleich mal ein Problem bereiten wird,
weil die inverse Abbildung existieren muss.
Ich sage gleich noch etwas dazu, was passiert,
wenn das nicht der Fall ist. Diese Abbildung hier,
unter dieser Abbildung hier, die besitzt eine sogenannte hypopolische Menge,
wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
Also besitzt
Musik Erstmal Bedingungen an die Menge Lamda selbst,
das soll eine kompakte Teilmenge von M sein.
Also das soll gelten, das Lamda.
Timing M ist Kompakt und im Falle dann will ich es
auch noch
invariant haben
Ken Variante, was bei Invertierbaren Abbildungen bedeutet, vorwärts und
rückwärts in Variante. Und jetzt eigentliche Bedingungen an F. F
soll expandieren und kontrollieren. Und wo expandieren und kontrollieren,
das ist Kontrolledo und expandiert, auf bestimmten Unterräumen, genannt
ES und EU, sodass dort bestimmte Bedingungen gelten.
Also es gibt, es existiert eine Spaltung.
T gleich
ES. Plus EU, das ist schon mal ausgeschrieben,
das tangenziale Bündel spaltet sich in zwei Teile,
in zwei Unterbündel, das stabile und das instabile Unterbündel.
Und weil jetzt hier keine Punkte daran stehen, sage ich
noch mal genau, was das bedeutet. Das heißt,
für alle, P-Element M gilt, TPM, der Tangenzialraum,
am.p, an die Mannlich-Faltigkeit selbst, doysierende,
sich an irgendeine Mannlich-Faltigkeit, sieht der tangenzialen Raum,
lokal aus,
wie ein Stück akklitischer Raum an jedem Punkt,
dass wir Vektoren drin haben und über die Länge diese
Vektoren,
deren Änderung werde ich jetzt etwas sagen
Also TPM an jedem Punkt P, die Tangentzahl,
der Zahlenraum zu M an Punkt P,
es schaltet sich auf in zwei Unterräume, ESP plus EU
P. Das heißt, an jedem Punkt weiß ich,
ein Werkdauraum spaltet sich als direkte Summe von zwei anderen Werkeräumen.
Das soll für jeden Punkt P gelten und das ist diese Kurzschraubweise,
dass das gesamte Tangenzialbündel sich aufspaltet in diese zwei Teile.
Das TPM ist nicht weiter als alle TPMs zusammen und
er ist nichts weiter als alle ESP zusammen.
EU ist nichts als alle EUP zusammen. So diese Spaltung,
die soll nicht nur exilen, sie soll eine weitere Eigenschaften
So, das. Ja, die Reihenfolge der folgenden Axom ist nicht wichtig.
Ich habe diesmal zuerst so das ES und EU in Bayern sind. Unter DF,
somit auch unter DF von minus 1, also Das heißt,
ich will insbesondere das, wenn ich den Raum ES nehme,
darauf den Apparator DF anwende, das heißt DF,
mal ES an einem Punkt P, dann kommt heraus,
F-Bitted AP auf den Punkt F und P und er ist von P,
soll in den Raum ES.
Punkt F von P
abgebildet werden
Und falls dies an der Inventierababbildung ist, kann man das
sogar in beiden Richtungen machen, aber dies ist die wichtige Rechnung.
DF will dies ab. Und insbesondere bildet die F von minus eins
den Instabilenraum EU, ab in den ähnlich stabilen Raum.
Urwelt für alle. B. Elemente. So, dass die Invarenzbedingungen,
jetzt geht's los mit den eigentlichen Kontraktions- und Exvensionsbedingungen.
Und so, dass dass zwei Zahlen existieren, eine Kontraktionskonstante,
lahmende Kleine 1. Es existiert eine Zahl Lamda.
C. Kleiner. Unendlich. Und eine Schranke für die,
den Fehler bei der Kontraktion, sodass für alle V-Element.
S. Ein Vektor kann sowohl Teil des Raumes ESP sein,
als auch Teil des Bündels ES. Das heißt einfach,
der ist an einem bestimmten Punkt P. angeheftet,
den ich hier nicht dazu schreibe
Und für alle natürlichen Zahlen? Element N oder N0?
Gilt das die Norm? Nach endmaliger Anwendung von DF?
Höchstens, zehnmal lande auch N. So groß ist, wie
die Norm vorher war. Das heißt, hier steht,
in der stabilen Richtung NES werden Vactor & V
unter Anwendung von DF exponentiell kontrolliert,
und zwar mit Kontraktionskonstante Lander
Hier steht noch ein weiterer Termin, eine Art Fehlertherm,
der besorgt, dass die Kontraktion nicht sofort losgehen muss,
sondern vielleicht erst noch einigen Schritten.
Genau dieselbe Bedingung steht vor. EU noch da und für alle V-Elements.
EU, mit anderen Worten, es gibt ein Peso,
das vor allem mit EUP ist und alle N-Element
N gilt DF, minus N, von V. Kleiner
Gleich,
Ich glaub noch erst mal. Nordfaul. Diese Bedingung garantiert,
dass wir in vorwärtige Richtung,
in der stabilen Richtung kontoieren und in der unstabilen Richtung,
wir würden ja jetzt gern sagen, wir expandieren,
aber diese Bedingung ist präzise, wir sagen,
wenn wir rückwärts gehen, kontrollieren wir auch.
Es ist ein kleiner,
aber wichtiger Unterschied zwischen Expandieren beim Vorwärtsgehen und Konto hier beim Rückwärtsgehen,
denn die Norm von so einer Abbildung kann hoch sein,
auch wenn es manche kontrollieren in Richtungen gibt,
Aber die Norm an Abbildung ist nur dann klein,
wenn jede Richtung auf einmal kontrolliert.
Das heißt, diese Bedingung hier garantiert, dass wir sozusagen
in jede Richtung expandieren und nicht nur in manchen.
Das ist wichtig für den Fall, dass wir expandieren konnten,
gleichzeitig, weil dann dies garantiert, dass auf EU nur Expansionen stattfindet.
Gut, und jetzt ist hier implizit in der ganzen Notation
hier und dort die Norm.
Die Norm soll von Punkten abhängen. Es gibt einen enormen
an jeden Punkt. Und da soll irgendeine Stätigkeit vorhanden sein.
Und über die Stätigkeit der Normen haben wir uns schon überhalten.
Die Stätigkeit von ES und EU
Da hatte ich letztes Mal angefangen, etwas zu erzählen.
Und ich hätte ihm gesagt, wie man zum Beispiel Stettigkeit von
so einer Distribution, eine Familie von Vektoräumen definieren kann.
Ich hätte ihm gesagt, man kann eine bestimmte Metrik nehmen.
Und diese Metrik will ich nur noch genauer vorstellen.
Und dann sage ich noch etwas zu äquivalenten Charakterisierungen von diesem hypobolischen Mengen.
Die ist eine hypobolische Menge, Lamda, einer Mannlich-Faltigkeit unter einer Abbildung F.
Und für den Spezialfall, dass die gesamte Mannlich-Faltigkeit M,
eine hypobolische Menge für EFA, hatten wir ein Spezialwort,
da sagen wir, der ist nicht überwohlt durch Abbildung,
ein Knows of Noch so eine Abbildung oder ein Noth of
Deform Offismus ist.
In diesem Fall war es so, wenn wir differenzieren können,
vorwärts und rückwärts, kommen wir gleich von Deform Officement reden.
Also wenn. F. M nach M. Defio,
kurz vor Deform Offismus ist.
Und ganz M eine epopolische Menge
Für F, dann heißt I know soft.
Die Firma Festmos. Das ist also ein Spezialfall, sogar
ein wichtiger dazu. Zum Beispiel bei den hypobolischen Toresautomatismen,
hatten wir schon gesehen, da ist die gesamte Menge hypobolischen.
Wir haben auf der gesamten Menge Expansion und Kontraktionen
So, jetzt ein paar Bemerkungen zur
bestätigen Abhängigkeit von Vektoräumen vom Basispunkt.
Ein paar Bemerkungen
Ich entkürze einen Satz vorstellen, der besagt,
diese Räume sind stetig als Funktion des Basispunktes.
Und um das formulieren zu können, brauche ich zunächst einmal
eine Art Abstandsfunktion auf der Menge von solchen Wegzuräumen oder solche Dinge.
Ich brauche irgendein Konzept der stetigen Abhängigkeit.
Also es gilt oder vielmehr das Wirt gelten.
ES, also die Funktion ESP.
Gefahren, P. ist stetig. Das ist noch keine Behauptung,
weil noch nicht klar ist, was ich mit dieser Stetigkeit meine.
Ich war auf dem metrischen Räumen, kenne das Konzept der Stetigkeit,
auf topologischen Räumen können wir das Konzept der Stetigkeit und um
auf solchen Räumen von Vektoräumen eine Stetigkeit definieren zu können,
brauchen wir eine Art Abstandsfunktion von solchen Dingen.
Ich muss sagen, habe ich hier einen Raum und hier einen anderen,
dann ist der Abstand zwischen diesen beiden Räumen gegeben durch irgendetwas Konkretes.
Und dazu kommt jetzt eine konkrete Abstandsfunktion auf kompakten Untermengen einer
kompakten Menge
Doch, in welcher... Metrik.
Können wir... Zwei Räume. Wir stellen uns vor,
wir haben ESP. Und dann den stabilen Raum ES-Q mit
PQ-Element M. Vergleichen
Deswegen stelle ich jetzt vor, eine Metrik für Beliebe,
kompakte Teilmengen, eine Kompaktmenge, wie zum Beispiel M.
Also mit anderen Worten,
wie messen wir den Abstand von Mengen
Und es kommt heraus, es gibt einen Abstand von Mengen.
Wir können eine Art Metrik auf der Menge von Teilmenge von X definieren.
Allerdings nicht auf allen, sondern nur auf den Kompakten,
weil nur da kommt ein sinnvolles Konzept zustande.
Ja, und bevor es losgeht, überlegen wir uns erstmal,
wie würden wir so einen Abstand von Mengen realisieren?
Wir haben zwei Mengen, stellen sich beide kompakt vor und sie wollen
einen Abstand definieren. Denn es gibt schon einen Abstand,
den sie übt, den man auch benutzt. Man sagt,
man nimmt das Infimum mit Abstände von dem einen zum anderen,
dann kommt aber heraus, wenn die Mengen sich irgendwie kreuzen,
ist der Abstand automatisch null.
Und für eine Abstandsfunktion wollen sie,
dass nur ein neu herauskommt,
wenn zweimal
dasselbe Ding hineinstecken
Das heißt, es ist nicht zweckmäßig zu sagen,
der Abstand zwischen den Mengen A und B ist das Infimum,
der Abstand der X und Y für X-Element A,
ich glaube so ein Element B,
weil da käme heraus oftmals Abstand Null,
wenn die Mengen verschieden sind.
Und die Idee ist folgende, also Idee.
Sie haben hier eine kompakte Menge X oder M.
Hier ist X. Ich stelle mir das als kompakt vor.
Und jetzt haben wir zwei Teilmengen.
A und B, deren Abstand wir
gerne ermitteln würden
Die ist eine Menge, ja. A. Und eine weitere Menge B. Ja,
und wie würden wir jetzt den Abstand von solchen Mengen definieren?
Gut ist zum Beispiel zu sagen,
was ist denn das meiste, was B. überall hinaus steht?
Bei Punkt B ist dieser Punkt zum Beispiel recht weit von allen entfernt.
Und dieser Abstand hier ist vielleicht ein großes Maß für den Abstand der ganzen Mengen.
Oder hier ist dieser Abpunkt von A recht weit von B entfernt.
Und dieses Abstand hier ist vielleicht ein gutes Maß für
die Entfernung
Das heißt, wir kümmern uns uns um solche Abstände,
wie sie hier sind. Riesenabstand und diesen Abstand. Solche Dinge sind
ein gutes Maß. Und wie würden wir so einen Abstatifieren?
Wir können zum Beispiel sagen, wir gehen über alle Punkte,
B-Element B und alle Punkte A-Element A und nehmen für jeden Punkt
B den nächstliegenden Punkt aus A. Das gibt einem eine Zahl
, potenziell null. Und dann nehmen wir das Maximum über
alle Punkte, die in B darin sind.
Analog können wir auch sagen, das machen wir für A
und dann haben wir auch eine Zahl.
Das heißt,
wir können Folgendes definieren
Also Idee, welche Punkte,
also wie weit ist ein Punkt A-Element A,
maximal von B entfernt.
Wie weit?
Ein Punkt
B, Element B. Von A. Diese Überlegung gießen wir jetzt in die folgende Definition,
dass wir sagen, wir nehmen das maximal solche Abstände,
das mag es um solche Abstände und dann sehen wir,
was da so herauskommt.
Also wir definieren.
Erstmal eine Art Hilfsabstand. Detilde
Von A und B. Und A und B sollen jetzt kompakte Teilmengen sein.
Und die Menge extra selbst kompakt. Und dies wird,
klappt für Beliebe, kompakte Räume,
nicht nur Vanilleweils für manche Faltigkeiten, weswegen die Notation jetzt kurzerhand
X heißt statt M. Nachher wird es wie der M heißen,
wenn wir uns auf manche Faltigkeiten beschränken.
Und jetzt sagen wir den Abstand zwischen diesen Mengen A und B
, zumindest dieser Halbabstand mit einer Schlange drüber,
soll sein
Ich nehme das Maximum über alle.a-Element A. Oder
auch so prima, wenn sie wollen.
Der Abstände des Punktes A, zur Menge B.
Und wie ist der Abstand eines Punktes zu einer Menge definiert?
Der definiert als das Infimum aller Abständ A. Klein
B mit B.
Element Klein
Okay, das ist jetzt eine Funktion,
die noch nicht Apererio symmetrisch ist in A und B. Das heißt,
die ist jetzt noch nicht priosometrisch,
auch wenn dieses D hier symmetrisch war.
Und dieses X soll jetzt irgendeine Metrik auf sich haben,
ist gar nicht richtig welche. Dann habe ich hier eine Art Abstandsfunktion,
außer dass sie noch nicht symmetrisch ist, auf diesen Mengen.
Jetzt definieren wir weiter. Sei. D.H. von A und
B. Haarstedt für Hausdorf.
Klasse Maximum
Von die Schlange. A, B, Dehschlange von B
und A. Wenn ich die so schreibe, das heißt,
ich nehme beide Reihenfolgen, ganz logischerweise Symmetrie automatisch in
die Definition eingebaut und dies wird dann schnell zur Metrik.
Wir können schnell ein paar Aktionen mal versuchen zu verifizieren.
Mehr kommt an den Übungsaufgaben. Es ist klar,
dass wenn ich zweimal dieselbe Menge einsetze, dann wird dieses Minimum
immer null und das Maximum über null ist dann null.
Das heißt, D, A, Komma A ist
automatisch null
Umgekehrt gilt, kann man sich überlegen,
dass wenn ich DAB gleich null habe,
dann ist auch Däch, lange AB und die Schlange B-A-0.
Und dann muss A gleich B sein.
Symmetrie folgt aus der Definition und mit der Drecksungleichung,
da muss man noch ein wenig rechnen.
Und das heißt, eine Übungsaufgabe besteht, daran zu verifizieren,
dass dies in der Tat eine Metrik ist.
Also ein DH.
Heißt die Hausdorf
Metrik. Wenn dann nach der Mathematka Felix Hausdorf.
Also eine Übungsaufgabe. Die Haare erfüllt.
Axiome. Eine Distanzfunktion
Gut, jetzt wissen wir, wie das ist.
Noch ein paar alternative Charakterisierungen, wo wir gerade dabei sind.
Der Abstand hier ist just das kleinste Ypselon, sodass er
in einem App-Zone-Ball und beenthalten ist und BNAM Apselon-Ball umarmt halten.
Das gilt so als Bemerkung, es geht DH von A. B. Erst gleich,
dass Enfimum über alle Apselon, größer Null, sodass gilt.
Arm ist Teilmengen eines Balles und ich schreibe jetzt mal
den Ball explizit, einen Ball im Bereich des Apselon,
um einen Punkt B, für alle Punkte
B, Element B. Das heißt As-Teilmenge,
eine Apselon-Erweiterung der Menge B mit Radios Äpselon.
Und B, Teilmenge, Vereinigung, A,
Element,
A,
B,
Okay, jetzt haben wir eine Metro auf, Mengen von
kompakten Mengen definiert. Und das können wir jetzt benutzen,
um den Abstand von zwei kompakten Mengen zu ermitteln.
Und das werden wir benutzen wollen,
um bei diesen Distributionen EES in der EU-Abstände zu bestimmen.
Ein kleines Problem haben wir noch, Unterräume, Vektorräume.
Es sind allbein, wenn sie nicht gerade neudimensional sind,
niemals kompakt. Wir müssen irgendwie kompakt machen,
um sie vergleichen zu können.
Und das kommt jetzt
Okay. Ja, jetzt stellen wir uns vor,
wir haben zwei Mengen, zwei lineare Teilmengen. Zwei Geraden,
auch zwei oder so etwas oder Andy Minsalunterräume im R2N, solche Dinge.
Und sie wollen mit so einer Meteore wie hier den Abstand bestimmen.
Allerdings sind die Mengen nicht kompakt und gemäß diese Defentionen würde,
wenn sie einen linearen Raum einsetzen würden, A,
dann linearen Raum B, der nicht derselbe ist,
würde im Allgemeinen unendlich herauskommen,
dann haben sie zwei Fektoren,
V&W darin,
deren Distanz positiv ist,
können sie auch K mal VK mal W betrachten für KG
unendlich und dann käme heraus,
der Abstand geht auch gegen unendlich
Wenn wir also nicht kompakte Mengen betrachten wollen, können wir
sie zum Beispiel schneiden mit aller kompakten Kugel oder so etwas.
Kein Sorgen. Damit haben wir... Auch. Mengen.
ESP, ESQ. Und genauso EU-P,
EU-Q vergleichen
Zumindest nach wem wir sie mit dem Einsatzfall geschnitten haben.
Das heißt, da haben,
wir können sagen,
ES hängt
Ja. Steht weg von. P, ab.
Das war die Bedingung, die wir eigentlich diskutieren wollten.
Es steht Abhängigkeit eines Raumes von einem Basispunkt. Wenn der Durchschnitt, ESP,
mit Einheitskugel um den Punkt P, also eine kompakte Menge.
Und die eine ist Kugel mit Radius 1 um den Punkt
Q, auch eine kompakte Menge.
Kleinen Abstand haben für P, nahe bei Q.
Wenn gilt
Fühler. Wie? Genügend. Na, an Kuh.
Pekusenpunkte auf M ist die Hausdorf-Haustauf-Abstand von dem Punkt ES M.P.
geschnitten dem Einsatzball, Ball von Rheines 1, OP.
Das heißt, die Menge aller Punkte in diesem Raum die sozusagen,
die man ja alle Vektoren, die länger höchstens eins haben.
Und ich schreibe mal eins von Peischer, mal B1 von,
eins von null, das ist vielleicht ganz gut zu schreiben.
Wobei diese Einheitswahl um den Punkt P sozusagen herum ist,
aber im Tendenzialraum von TPM.
Und dasselbe mache ich mit ESQ B1 von null.
Als Untermenge von
QM. Das sind also verschiedene Einheitskugeln,
weil sie an verschiedenen Punkten, in verschiedenen Vektoräumen angeheftet sind.
Und dieser Abstand hier ist für Pegnügen nah an Kuh, Beliebigkleiden.
Das ist jetzt eine Definition, die macht Sinn und die ist absolut wasserdicht.
Das heißt, wir können jetzt sagen, zwei Vektoräume,
auch wenn sie nicht demselben Punkt angeheftet sind und nicht dieselbe
enormen Struktur haben, können wir vergleichen.
Man kann also jetzt über Stetigkeit von solchen Mengen reden.
Zur Sonde werde ich sagen,
aus dem,
was da steht
Wird, wenn wir nicht schon in die Definition hineinschreiben,
dass die Räume stetig von Punkt abhängen sollen.
Können wir die stetig Abhängigkeit und auch die Konstanz der Dimension
folgern aus den Aktionen, die schon da stehen.
Ja, bevor ich etwas aus den Aktionen folge,
wollte ich in ein paar alternative Beschreibungen von hyperbolische Menge präsentieren,
weil die, manchmal ist das eine und manchmal das andere praktischer.
Und es gibt zwei oder drei wichtige Beschreibungen für probulische Mengen,
wo man entweder das C,
die Konstante C los wird oder die algebranche Struktur durch
eine gemetische setzt und dann damit sich das Leben vereinfacht
Also, kurz ein paar Bemerkungen zur Äquivalenz.
Und danach kommen Aussagen zur Stetigkeit von solchen Dingen hier.
Also, Bemerkung. Ja, zur Definition von Hyperpolizität.
Und die erste Marken ist, anfangs haben wir
nur Abbildung gesprochen,
also nicht notwendigerweise invertierbar
Aber dann stand in den Definitionen drin, DEF auch minus eins,
zwar erfüllen und so weiter und so fort.
Und da brauchen wir dann doch Differenzierbarkeit.
Und es ist schwierig, dies in der Definition wegzudiskutieren.
Deswegen werde ich das auch nicht tun, sondern ich will
nur ein Beispiel präsentieren, wo es doch klappt.
Also die Definition enthält. Ein Term. Gesundheit.
Die AF, minus eins.
Und funktioniert
Eier. Nicht gut bei. Ein nicht invertierbarem F.
Aber es gibt eigentlich Spezialfall,
wo F nicht invertierbar ist und wo man trotzdem sinnvollerweise über
Expansion und Kontraktion
reden kann
Wenn sie zum Beispiel einen Apfel auf dem Einreis-Intervall nehmen,
die alles nur die Länge zwei verdoppelt, das,
was rechts herausfällt, wieder links anheftet,
dann ist dies eine Abbildung, die ist expandierend,
im wahrsten Sinne des Wortes,
auch wenn wir nicht das DRF mindestens eins betrachten können.
Wir können uns vorstellen, wir haben da so eine Art expandierenden Raum,
nämlich den gesamten tangenzialen Raum. Und deswegen kann man den Fall,
dass wir nicht invertierbar sind, aber nur expandierende Richtung haben,
trotzdem mehr oder weniger in die Hierpublizitätsdefinitionen aufnehmen,
zumindest mit einem anderen Wort,
und wenn es keine Verwirrung gibt.
Aber,
also, wenn
Alle Richtungen. Expandieren. Was heißt alle Richtungen expandieren?
Das heißt, der Tantenzialraum war ein M. Es spaltet sich
gar nicht auf, sondern ist komplett die Menge EU.
Dann... Und dann, das Behauptung lässt sich die Defention,
die Vorwahl nicht funktioniert, doch mit Leben füllen.
Funktioniert eine
Ähnlicher. Und was meine ich mir jetzt in alle Richtungen
expandieren? Ich meine, da wird irgendwie ein folgendes,
stellen sich vor, die Menge M ist so,
dass F, alle Punkte, egal wo sie sind,
zumindest nahe gelegene Punkte, immer ein Abstand,
eins durch Lamm da weiter auseinanderbringt.
Das heißt, sie haben eine Zahl, eins durch Lamm,
die ist größer als eins und jeder Abstand,
wenn er klein ist, wird mindestens um diesen Faktor gestreckt.
Sie haben also
eine Streckung in alle Richtungen
Dann können Sie sagen, naja,
dann habe ich so eine Art instabile Richtung, überall,
und habe trotzdem einen anderen Typen wohl durch das Verhalten.
Kann man so in Definition.
Eine Abbildung. F. M nach M.
Nicht notwendigerweise invertierbar
Heißt Expandierend. Wenn, gilt. Und jetzt würde ich
am liebsten sagen, alle Abstände werden um einen konstanten Faktor vergrößert.
Aber das werde ich so nicht sagen,
denn auf einer kompakten Menge sind die Abstände von vornherein beschränkt.
Und deswegen kann ich sagen, nicht alle Abstände werden für größer,
sondern solche, die eine bestimmte Länge nicht überschalten
Man gilt, es existiert eine Zahl, analog zu diesem Land,
da gibt es jetzt eine Zahl größer als eins,
ich nenne sie mal Mühe, damit sie nicht so wirkt wie ein Lamda,
existiert eine Mühlgröße eins und einer Zahl Äpstel 0
Größer 0, sodass für alle für alle Punkte P und Q Element M mit D PQ,
kleine Abselon 0, gilt Das heißt, alle Abstände,
die kleiner sind als der gesamte Abstand der Mannchfaltigkeit,
deutlich kleiner, gilt,
dass der Abstand nach Anwendung von F mindestens um ein Faktor Müh größer ist als vorher.
Da gilt also, dass die F von P F von Q
ist größer gleich Mühmal, D von PNQ.
Das ist eine Definition von einem Ding,
das kann ich jetzt nicht turbulös nennen,
weil es nicht invertierbar ist,
aber es erfüllt sozusagen dieselben Eigenschaften wie die hyperische Menge
Bei Dirbobolischen Mengen hatte ich ja gesagt,
in der instabilen Richtung EU geht es in invertierbar,
also in rückwärtiger Zeit, expenziell gegen null.
Hier gibt es keine rückwärts gehen, zumindest nicht eindeutig.
Aber in vorwärtige Richtung geht alles nach unendlich, alle Abstände.
Zumindest werden sie beliebig groß. So groß wie MG maximal
Abstände in der Manchwaltigkeit zulassen. Und wenn dies der Fall ist,
dann habe ich hier nicht formal die Diffension von Hypobilität,
aber ich habe einen ähnlichen Fall, der ähnliche Eigenschaften hat.
Und das heißt, diese Definition ist sozusagen ein analogern zur
Hypobilität für den Fall, dass nur expandierende und keine
Konter hin in Richtung gibt
Ja, das ist die erste Bemerkung.
Nächste Bemerkung werden seinen äquivalente Beschreibungen,
die vielleicht aus C oder andere Dinge nicht so enthalten,
wie sie da stehen
Musik Die nächste Bemerkung ist, dass wir in der Bedingung,
die ich gerade weggewischt habe,
die konstante C nicht wirklich brauchen,
wenn wir die Norm vorher ganz geschickt gewählt haben.
Mit anderen Worten,
eine Äquivalente,
Reflektion von Hyperpolizität
Ist, mit allen Worten, jetzt kommen wieder die ganzen
Axiome, außer dass sie etwas kürzer ist. Also,
und ich schreibe jetzt nicht die ganze Defention nochmal hin,
weil es etwas lang ist und nicht sagen, was sich ändert.
Es würde sich ändern, dass sie das C in der
Defention gleich einsetzen. Die Konstante C können sie vergessen.
Dafür müssen die aber ein paar Dinge mehr fordern.
Sie müssen nämlich fordern, dass die Norm speziell gewählt ist.
Also es existiert eine enorm. Norm auf M oder auf
TM.
Speziell gewählt
Sodass... Die normale Bedingung...
Mit C gleich 1 gilt
Und dafür soll sozusagen als Lohn dafür,
warum soll man jetzt sagen, eine Bedingung gilt so?
Denn das ist ja sozusagen eine stärkere Bedingung,
wenn ich sage, auch noch zehn muss gleich eins gelten statt.
Es gibt einen C. Dafür muss man sich eine Bedingung
nicht mehr ansehen. Nämlich dafür muss die Spaltung TM
gleich ES plus EU,
nicht Aperiori
Auf Invayant zu überprüft werden. Was bedeutet die Formulierung? Ich habe nicht gesagt,
die Spaltung ist nicht in Variant. Ich sage auch nicht,
sie ist allgemein nicht in Varyant, sondern ich sage,
wenn sie die Bedenkung für die Bulletszene hinschreiben und die Bedingung für C verschärfen,
sagen das Tee auch noch gleich eins ist,
dann können sie die Bedingung für die Invayant,
weglassen zu überprüfen,
dann folgt sie nämlich aus dem ganzen Rest
Das heißt, die können eine Bedingung verschärfen und auf eine andere abschwächen
und haben eine äquivalente Definition. Und das heißt natürlich,
dass jede Eigenschaft von jeder diesen beiden Definitionen bei der anderen auch herauskommt.
Korolast also, wenn sie dies Jahr gezeigt haben,
haben sie automatisch in Varianz als Ergebnis.
Und wenn sie die andere Definition, die vorhin da stand,
gezeigt haben, dann wissen sie auch, es gibt eine Norm,
sodass C immer gleich eins ist für diese spezielle Norm.
Das ist eine wichtige Eigenschaft, die man benutzen kann,
weil man damit nämlich die Expansion und Kontraktion in geeigneter Richtung,
eine Norm, auch schon im ersten Schritt hat.
Also Korollast, sie können immer so eine Norm finden,
die dies tut
Also eine solche Norm. Heißt. Lea bin auf Norm.
Auf TM. Bin dann nach dem großen russischen Mathematiker Lea
von Off. Aber die schreibt es von Japan auf,
es gibt mehrere Meinungen. Das hier ist die typische Schreibweise,
das ist die englische Transkription des korrelischen Alphabets
Okay, und wenn Sie also so was haben,
dann wissen Sie, Sie können gleich viel besser damit rechnen.
Im Folgenden kommen noch ein paar weitere äquivalente Defentionen,
insbesondere irgendwas macht mit Kegelnbedingungen zu und hat Dinge,
die kontrolliert und expandiert werben, bevor ich dahin komme,
möchten noch ein paar Worte sagen zur stetigen Abhängigkeit,
die da oben formuliert ist,
von tangenzialen Räumen oder von ES und EU.
Und ich wollte nämlich sagen, wenn Sie nämlich in die Definition von Hippopolisität
nicht schon die Stätigkeit von ES und EU hineingeschrieben haben,
was Sie dürfen, können Sie da auch folgern aus den Aktionen,
die wir schon haben.
Weil das gilt jetzt eine Aussage, dass die Räume ES in
der EU als Funktion von P erstens einmal stetig sind.
Zweitens die Dimension konstant ist. Das ist auch schon mal
gut zu wissen. Also, es gilt der Satz.
Sei F. U nach M. U offen.
Seit ich es ja genügend differenzierbar vorwärts und rückwärts.
Ich sage mal, das
Angst, ups. Und lamm da eine hyperbolische Menge.
Für F. Insbesondere denken Sie an Annoce of Different Officement,
wo die gesamte Menge Lande gleich M eine hyperbolische Menge ist.
Dann gilt, Jetzt gelten diese drei Dinge.
Erstens, weil der Raum ES als Funktion von P
hängt bestätigt von P ab. Ich behaupte also,
dass wenn Sie den Punkt ein wenig ändern,
ändern Sie diese stabile Richtung nur ein wenig.
Zumindest für P Element Lamm
da.
Und was heißt die Bestätig Abhängigkeit für eine Untermenge?
Das heißt, wenn Sie zwei Punkte nehmen, PMQ und die
genügend nah beieinander wählen, dann ist auch dieser Abstand klein.
Das muss aber nur gelten für Punkte, Element, Lambda.
Das heißt, für andere Räume sage ich jetzt erstmal nichts,
weil ich da noch nichts habe. Analog für EU,
E-UP. Ebenso. Das sind ein oder zwei Aktionen,
je nachdem, wie sie es gern hätten.
Und insbesondere gilt als Folgeung davon, die Dimension Von ES.
P. Die ist als Funktion von P. Einfach eine konstante Zahl.
MP. Und Dimensionen. Von D UP. Ebenso. So,
das sind jetzt zwei Aussagen jeweils für ES und EU
Das erfordert jetzt erstmal nicht einen Beweis, du musst mir
erstmal mit den Aktionen irgendetwas tun. Und ich sage,
das wird so gehen, wenn ich die Kontraktion in eine
Richtung betrachte und dann irgendeine Konvergenz habe gegen einen Punkt,
dann wird deine Folge von autonomalen Vektoren auch dagegen konvergieren.
Also der Beweis für diese Aussage. Geht so,
wir sehen uns eine Menge von an, eine von diesen Mengen.
Ich mache den Voice for ES, der für EU geht durch Invertieren der Zeit.
Das heißt, wenn P-Element Landa Und V-Element.
Ich esse am Punkt P ist, dann gilt.
Und jetzt benutze ich diese Lehrpon auf Norm, die,
wie ich schon gesagt habe, nicht bewiesen,
aber gesagt, dass die Äquivalent ist zur normalen Definition,
dann gilt in diese Lehrpon
auf Norm
Das nämlich Norm, DF hoch N, mal V. Kleiner gleich.
Lamdoch N. Mal V. Das ist gerade die Bedingung für Höhepublizität mit C
gleich 1. Und dies gilt für die Lampen auf Normen,
die ist dafür speziell gewählt, um dies C gleich eins zu machen.
Und diese Bedingung hier, die gilt für alle in den
natürlichen Zahlen. Und charakterisiert gerade die stabilen Richtungen.
Für alle. Ein Element N. Und diese Bedingung.
Er ist charakterisiert. E S ESP. Okay,
jetzt behaupte ich, dass wenn ich diese Bedingung per Limas,
Punkt, an einen anderen Punkt übertrage,
dann ist die Bedingung dort auch erfüllt
Wie mache ich das? Ich sage jetzt,
ich habe einen Raum, der hat Dimensionen K. Ich nehme
also eine Menge von Otto-Normalen Vektoren in diesem Punkt P.
Und wenn diese Punkt P als Folge PN gegen einen Punkt
P unendlich konvergiert, dann behaupte ich,
diese Menge von ortonormalen Werktoren konvergiert irgendwie Wiedergänge auf der Normalbasis im Zielraum.
Weil du seilst. PN? Konvergent gegen P. Unendlich.
Ich meine, M eine konvergente Folge
Hast du es zu zeigen? Ich habe gesagt,
die hieß eine Stätigkeit. Das heißt,
in PN muss beim Übergang PN nach B und Endlich
die Dimension und der Raum stetig übergehen.
Wie mache ich das? Also sei,
ich nehme jetzt eine Ortonormalbasis, die nenne ich mal E1
bis EK eine
Ein Auto und Normalbasis. Im Punkt P. N.
Und deswegen hängt dieses Ganze noch von einem N ab.
E1N bis EKN. Einen Auto und Normalbasis, von der
ich noch nicht weiß, dass dieses K für jedes Ende dasselbe ist.
Das werde ich nachher noch testen müssen.
Und für diese Orte Normalbasis gilt, dass sie soll gegen
das konlogieren
Also dann gilt, also die, also eventuell mit von
ein abhängigem K. Und ich werde in diesem Beweis zeigen,
dass dieses K in Wirklichkeit nicht von N abhängen muss.
So, jetzt sage ich, ich habe eine kompakte Menge und auf
der kompakten Menge kann ich aus Folgen immer konvergente Teilfolgen herausholen.
Und jetzt betrachte ich mal dieses Ding und ich sage,
kompakte Ron, wie zum Beispiel Seren, haben die Eigenschaft,
dass da in jeder Koschi-Folge eine konvegente Folge drin ist.
Das heißt, da habe ich hier N-Vektoren. Dann kann ich aus jeder Folge,
jede Folge von Vektoren der Länge 1, immer eine konvegente Teilfolge herausnehmen,
weil das gerade die Eigenschaft von Kompaktheit ist.
Und wenn die Sphäre, also die Menge von Einheitsvektoren,
kompakt ist, dann ist auch die Menge von autonormalen Basen kompakt.
Denn eine autonormale Basis, natürlich eins große N-Elemente.
Und für jedes diese Elemente kann ich höchstens aus einer Sphäre auswählen,
sogar noch weniger, weil ich noch einschränken habe.
Aber wenn ich N-Vektoren auswähle, die jeweils in der Anästhere sind,
in einer kompakten Menge,
dann kann ich für die gesamte Basis auch noch eine kompakte Menge als Basisvektoren,
als Basiselemente, als Basis Tupel, habe ich nur zur Auswahl.
Das heißt, dies hier, die Menge aller autonormalen Basen,
ist eine kompakte Menge an jeden Punkt und auch für einen gesamten Raum.
Das heißt, das kann ich jetzt benutzen, deswegen.
Kompaktheit der Menge. Von autonormalen Basen
Gibt es?
Eine konvegente Teilfolge
Musik Musik Ja, und jetzt nehme ich diese kompakte Teilfolge von autonalen Vektoren.
Und ich muss zeigen, dass er im Lime ist,
dass die auch alle da drin liegen.
Also es gibt eine kompakte Teilfolge,
wie glaube ich es genannt,
Ey. Und die kompakte Teilfolge bezeichne ich jetzt wieder mit demselben,
demselben Index, weil die Doppelindustries werden,
bringen wir im nächsten Schritt etwas lästig werden.
Die sind in E. Erst PN. Und die sollen konvergieren
gegen irgendetwas in ESP und endlich und zu zeigen ist,
dass das,
was dann herauskommt als Limes,
auch eine Basis von ESP und endlich ist
Ja, also zu zeigen ist, da ist dies hier,
Limes, durch 1N des Limes,
E-K-N, ist O-N-B, von E-S-S-P, unendlich.
Jetzt habe ich aber noch das Problem, dass dieses K
immer noch von N abhängt. Dieses Problems entledige ich mich,
nämlich sage, es gibt nur,
abts über viele ganze Zeiten,
es gibt endlich viele Zahlen,
die kleiner sind
als die Dimension der gesamte Raum
Das heißt, ich kann es,
wenn ich so an erweitern Teilfolge übergehe,
kann ich sagen, die Zahlen K sind alle konstant.
Also Uneinschränkung, sage ich,
das K ist jetzt immer genau dasselbe.
Also durch Teilfolge ist
Ja, ich kam von N oder sagen wir Konstantinnen.
In... Ich fange mit einer Orthonormal-Version einen Punkt an.
Und dann sage ich diesen Zahlen, die halte ich einfach.
Jetzt habe ich also was erreicht.
Ich habe eine Menge von autonormalen Vektoren an der Folge.
Das ist eine Abzweihlfolge von autonormalen Vektoren, jeweils K-Elemente.
Und die konvergieren gegen einen Punkt gegen eine Basis in.p unendlich.
So, erstens mal muss ich zeigen,
all die Sektoren liegen wieder im stabilen Raum ES.
Fehlen endlich. Und das folgt wegen der Stätigkeit, also wegen.
Bestäte kalt. Von DF? Ich hatte ja beide Definitionen von
Alassof Dismofesmus gefordert und hypobolische Menge, dass FC1 ist,
also das heißt DF ist stetig, in P.
Und die Bedingung, dass DF hoch N,
mal V. Kleine gleich
Lamda auch N. Norm V-Geld für alle V-Element E-P oder PN
. Und naja, eine V. Achso,
jetzt muss ich das Ende ein wenig ändern,
denn ich habe hier verschiedene Ends, die ich nicht vertäuschen will.
Alle über V-Elements T. Oder zumindest E. S.
PN gilt dies. Hier habe ich eine Bedenkung,
die gilt für alle M.
Also alle M. Element
In dieser Reihenfolge. Daraus folgt jetzt, wenn dies so gilt,
dann gilt es automatisch auch für den Grenzwert, folgt.
Das auch. Für alle VL-Mens,
ESP unendlich und alle M Element,
N. Geld,
das genau diese Denken erfüllt wird
Was haben wir jetzt gezeigt? Wir haben gezeigt,
dass eine Bedingung, die in jedem von diesen Räumen
ESPN galt, am Raum ESPN endlich gilt.
Warum ist das wichtig? Das ist wichtig,
weil dann dieser Vektor hier automatisch in der stabilen Menge herauskommt.
Und zumindest wissen wir, es kommt sozusagen im Limes heraus.
Und deshalb folgt Ach, sozusagen der Limes?
N gegen und endlich von diesen Räumen. E-S am Punkte-PN.
Diese Limes ist im Halten, in der stabilen Richtung am Punkt P und endlich.
Möglicherweise ist allerdings dings der Raum, der recht ist,
größer. Und jetzt sage ich,
wenn ich dieses Argument für AS habe und analog für EU,
ich kann nicht mehr hinschreiben, so analog, Für EU,
mit DF und DF, minus eins vertauscht.
Mit anderen Worten, wenn nicht alles, was ich jetzt sage,
nochmal hinschreibe, genauso wie es da steht,
außer dass ich jedes Uhren durch ein S ersetze.
Hier ist S durch NU und jedes DF durch ein DF von minus eins,
dann wird genau dieselbe Argument wieder funktionieren und ich werde dann herausgekommen,
was hier als Schlussfragen steht,
steht dann wieder da
Da steht da Limes von E-U-P-N. Das ist Teilmenge von E-U, eine Punkte-P unendlich.
Und obwohl ich bis jetzt noch nicht so über die Dimensionen gesagt habe,
ich habe am Anfang irgendwo gesagt, wir vernachlässigen die Dimensionen,
weil wir uns auf eine Teilmenge einschränken,
sodass dort die Dimensionen der Basis konstant ist,
können wir im Nachhinein sagen.
Nehmen wir anzwischen euch natürlich irgendwann die Dimensionen vergrößert in dieser
Stelle oder an Deezer. Wenn sich die Dimension von ES
vergrößert und ES plus EU der gesamte Raum ist,
wenn sich all die Dimensionen von so man, so ist,
dass der eine größer wird, musst andere kleiner werden.
Aber hier steht, keine von diesen Dimensionen kann kleiner werden.
Und deswegen müssen alle Dimensionen von vornherein konstant gewesen sein.
Das ist so eine Art Apostel-Ura-Argument. Ich zeige erst
eine Schwere und folge das leichtere dann sozusagen im Nachhinein.
Ich sage, ich habe zwei Räume. Ich zeige,
dass der Limes von stabilen Vektoren gegen einen stabilen Vektor konvergiert.
Der Lime ist von intabilen Vektoren gegen einen intabilen Vektor konvergiert.
Und deswegen wusste er Limes,
diese Orte normalen Vasen so sein,
dass die Dimensionen nicht zwischendurch größer geworden ist,
denn sonst wäre die Dimension des komplementären Raums zur ES
ist EU-Komplementär
kleiner geworden
Weil da keiner von beiden kleiner wird.
Wir müssen beide konstant geblieben sein. Also da.
Die Dimension von M gleich.
Der Summe der Dimensionen
Ja, oder ich sag mal,
die Dimension von TM am Punkt P,
für jeden Wert von P, von ESP und U-P ist.
Und diese Dimension ist konstant. Deswegen ist diese Somit
zumindest konstant. Deswegen muss jetzt wegen diesem Argument,
was da steht, auch jede einzelne Dimension hier konstant sein,
weil sie in jedem Emlemers
nur höher bewerben
EU, die von ES als Funktion von P.
Auch konstant in P sein.
Und das war's gerade,
was ich zeigen wollte
Das war ja nicht ganz triviale Aussage, denn ich sage,
ich weiß inzwischen, dass ich im Beweis bis ganz am Ende nicht,
ob die Dimension sich ändert oder nicht.
Aber ganz am Ende sage ich,
wenn sich alle Dimensionen von ehrst, höchstens vergrößern,
alle von EU, höchstens vergrößern und die Summe aber konstant bleibt,
dann kann sich weder der eine noch der andere vergrößert haben.
Okay, das wäre jetzt ein etwas technischer,
eine etwas technische Aussage, das ist nämlich die Stethigkeit,
wenn man sie nicht in die Dimensionen reinschreibt, sozusagen als Folgerung herauskommt.
Jetzt kommt etwas weniger technisches, mehr gemetrisches. Ich werde nämlich erzählen,
dass man diese Bedingungen, die vielleicht etwas kompliziert sind,
zu überprüfen, es existieren Normen, sodass irgendwas kontrolliert,
vielleicht noch mit einer Konstante C gleich 1,
der ist möglicherweise schwer zu prüfen.
Jetzt gebe ich in eine andere Bedingung, die leichter zu
prüfen ist, ob eine Länge hypobolisch ist oder nicht.
Und die mehr gemetrisch ist. Ich habe grob gesagt,
anstatt zu überprüfen, dass irgendetwas kontrolliert,
wo man immer die Kontinente Richtung so genau treffen muss,
sage ich, wir sehen,
dass irgendetwas anders expandiert und dann expandieren in eine Richtung,
die muss man nicht so genau treffen.
Wenn man etwas daneben liegt, wird es wahrscheinlich
immer noch expandieren
Musik Okay, jetzt kommt dieser Abschnitt über,
ich nenne mal, Kegelbedingungen.
Für Hypopolizität
Du warst doch gleich am Kegeln. Kegelim, auch Ende,
die kennen sich schon, das ist ein Grupp gesagt,
bestimmte Mengen und deren linearen Produkte. Wenn ich zum Beispiel sage,
ich habe ja einen Vektor und alle Vektoren,
die links und rechts daneben liegen, um Apps und vielleicht verschoben,
also einen kleinen Apps und einen Ball um einen Vektor,
das Ganze multipliziert mit allen Zahlen zwischen null und endlich,
oder allen Reellen Zahlen,
dann habe ich einen Kegel von Zahlen.
Also kurze Definition.
Nein. Kegel im
Ist eine Menge... Ah, Timing, äh, Horen.
Mit, ähm... Alphamal A. Timing A. Für alle.
A. In der reellen Zahlen. Hier steht nicht nur,
wenn du weißt, irgendwas von stetig und nicht nur reellenweise Unterraum.
Kegel ist also allgemeiner als unter Vektorraum. Das ist einfach
irgendeine Dinge. Wollen wir im Las Kegel,
mein Nass Kegel war zum Beispiel der Kegel,
in dem man zum Beispiel Eiscreme einfällt
So ein Ding hier ist im Wesentlichen, mit die Ordnung geht es weiter.
Die ist ein schönes Beispiel für einen Kegel-Gmr-N. Das heißt,
in diesem Fall wäre es gerade die Einheitssphäre,
auch eins der Kreis, aber nicht der Kreis am Ursprung,
sondern der Kreis irgendwo anders.
Und dann alle Zahlen, die sozusagen die Vektoren,
die auf dem Kreis liegen, noch hier mit Mult beziehe.
Und hier steht jetzt ein Oberrand, genau genommen geht er
die Menge weiter. Und dann kommt sozusagen immer mehr dazu,
also eine Art Eisregelfirmen, unendlich hungrige Personen,
weil man unendlich viel Eis einfüllen kann.
Die ist an Kegel MRON. Und genau solche Dinge,
wenn du im folgenden Netz genauer untersuchen.
Also der geht in beide Richtungen unbeschenkt weiter.
Ein offener Kegel wird sein, eine offene Menge und dann
alle Vielfachen mit Alpha.
Also ein Kegel ist offen
Wenn... Alle Punkte P-Elements. K. Gilt, dass der Ball von Radios Äpselon,
OMP, Teilmenge für den Cast, für geeignet kleines Apps-Lone.
An dem folgenden ist jetzt die Rede von offenen Kegeln und deren Strecken und Stauchen von Längen.
Also, es gilt folgendes. Eine Abbildung wird sein hypobolisch, wenn folgendes gilt. Es gibt Kegel,
nicht nur Vanniversal in Variante unter der Abbildung F in deren Indersen,
sodass in der instabilen Richtung, der instabile Kegel,
alles gestreckt wird in vorwärtige Richtung, mindestens um ein Faktor müh,
größ 1, sodass die stabile Richtung in der falschen Rechnung,
also nämlich der Inversen, gestreckt wird,
um ein Faktor mindestens müh.
Und sodass diese Kegel ins Innere von sich selbst
am anderen Punkt abgebildet werden.
Das heißt, es gibt folgende äquivalente Definition.
Vor allem hyperbolischen Mengen.
Das Geld. Was wäre denn von Ersatz?
Lamda ist hyperbolische Menge
Für F. Genau dann. Wenn. Ja, und jetzt steht da,
was jetzt als technische Defention komplett etwas komplizierter sein.
Ich will denen sagen, was dort sinngemäß steht.
Es stehen sinngemäß. Es gibt solche Kegel,
zwei Stück. Der eine wird in vorwärtige Richtung länger.
Und der andere wird in rückwärtige Richtung länger.
Und diese Kegel müssen nicht in Variante sein,
sondern sie müssen einfach nur länger werden und das Innere
von sich selbst
abgebildet werden
Wie definiere ich solche Kegel? Wie würde ich zum Beispiel
diesen Kegel definieren? So ein Ding, in dem man Eiscreme transportiert.
Man würde sagen, so ein Kegel ist einfach eine Art
Menge von Kreisen oder einen Kreis, um einen Punkt.
Und sie können dies beschreiben als Umgebung von der Richtung der zentralen Achse.
Sie sagen, sie haben mal die zentralen Achse in diesem Pegel drin.
Das ist ein einziger Vektor. Und nehmen dann alle,
zum Beispiel an diesem Punkt,
alle Vektoren von Abstand höchstens eins oder höchstens K oder Äpzon,
je nachdem, wie eng oder breit sie den Kegel machen wollen.
Und dies ist dann eine Umgebung,
dies eines Punktes in diesem einen fangenzialen Raum,
das modiplizieren sie mit allen Zahlen
Sie können also sozusagen von AppStone-Umgebung von Vektoren in Kegeln reden.
Sie können von AppStone, X-Longs schmalen Kegeln reden. Und die,
was Sie hier erstehen, wenn es zwei Kegel gibt,
die vorwärts und rückwärts nicht in Weiden sein müssen,
aber die so sind,
dass sie in sich selbst abgewählt werden.
Also wenn es Richtungen oder, naja, unterermengen.
Unter Räume.
RU und RS
Und Punkt P. Von TPM gibt, die nicht notwendigerweise DF
in Variance sind. Und Apstelon größer Null,
sodass für an die oder offenen offenen, wie auch immer.
Ja. Für irgendwelche Kegel. Die App-Store-Kegel. Um RS und er
... Wo und was sind die App Store-Kegel um einen Raum?
Das sind die Räume, die sozusagen nur am App Store abweichen.
Das heißt, hier habe ich einen Raum.
R. U zum Beispiel. Und ich sage, das,
was hier höchstens App Store daneben liegt, Ist dann der Kegel mit,
Alist Epstone, um RU. Und analog einen anderen Raum,
das hier ist also sozusagen ein Kegel, wenn ich sage,
ich nehme all diese Mengen mit, die dazwischen liegen.
Wenn ich jetzt sage, hier habe ich einen anderen Raum, RS,
dann kann ich einen anderen Kegel definieren, der sozusagen...
Abselona hier
dran liegt
Und es gilt jetzt für diese Apzlon-Kegel, folgende Bedingungen,
dass nämlich... Und es soll auch noch eine Zahlenmühlgröße Null gelten.
Oder Müh, Größe 1. DF von dem Kegel,
um die instabile Richtung
Y von RU, wird abgebildet ins Innere.
KFLON, RU. Der von minus eins von KRPLON von RS
, geht ins Innere. KRPLON, RS.
Dann soll die Norm in jedem Schritt höchstens oder
mindestens irgendwie größer werden
Alle V-Elements. KRPSLON RU. Norm V. Alle V-Elements. KRPSLON von RS gilt.
Norm DF mal V. Größe gleich Mühmal. Norm V in der Rückwärtiger Richtung. Das heißt,
ich gehe jedenfalls in die falsche Richtung,
statt zu kontrollieren in der stabilen Richtung,
gehe ich rückwärts und sage, ich expandiere,
statt in der Invertierbaren, also im invertierbaren Fall,
in der instabilen Richtung rückwärts zu gehen und zu sagen,
ich kontrolliere, gehe ich vorwärts und sage, ich expandiere.
Und diese Kegel, die müssen nicht so genau treffen,
die müssen ungefähr ins Innere der anderen Kegel treffen. Und genau dann,
wenn dies der Fall ist, mit diesen Bedingungen,
wo ich die instabile, in stabile Richtung nicht kennen muss,
denn ich kenne nur diese Richtung R&U,
die nicht nur in meiner Weise ES und Aero sind,
wenn ich diese Bedingungen erfüllt habe, dann weiß ich,
ich habe eine hybolische Menge gegeben.
Die Impkation von hier, von A nach B,
von oben noch und ist einfach. Denn wenn ich eine hybolische Menge habe,
dann habe ich bereits stabile,
instabile Richtung und ich kann deswegen die stabile Richtung als RS
setzen und die ähnliche Spieler als RU und kann dann diese Bedingungen,
die hier stehen, leicht verifizieren.
Umgekehrt gilt aber auch, und das ist die starke Aussage,
wenn ich diese schwächer klingenden Bedingungen habe, dann kann ich
die stärkeren Bedingungen für die Hypolizität auch autmatisch damit überprüfen.
Okay, und das werden wir nächstes Mal benutzen, um zu zeigen,
dass wenn wir eine hybolische Menge haben in einer Abbildung,
werden eine nahegelegende Abbildung, eine kleine Störung,
genauso viel hypolisch sein,
wie die Abbildung selbst.
vielen Dank fürs Zuhören