Ja, schönen guten Morgen zusammen. Herzlich willkommen zur Vorlesung,
Einführung in dynamische Systeme. Letztes Mal hatten wir uns angesehen,
die GFM gehören Büroklammer, Hufeisen, also Hufeisen, die Büroklammer.
Und wir hatten es auch angesehen, symbolische Dynamik auf Folgenräumen.
Und ich hatte behauptet,
dass diese beiden Dinge etwas miteinander zu tun haben,
dass diese formalen sehr verschiedenen Dinge, formal dasselbe Objekt beschreibt.
Nochmal zur Wiederholung, welche Objekte da waren.
Da waren also deren zwei ein gemetrisches und ein eher symbolisches
Also kurze,
es geht um Gehfahren wieder.
Hufeisen. So wie
Um diese beiden Dinge geht es hier. Und
noch mal kurz die Wiederholung, was die Objekte waren.
Die Objekte waren erstmal dieses, diese Abbildung G oder F.
Das heißt, wir hatten die Abbildung F. 01. Quadrat.
In den A auch. 2. Die so aussah,
dass sie eben dieses Quadrat genommen hat.
Das hier ist 01 Quadrat oder Q.
Und wenn man das Kuh noch mal Hirn schreiben sozusagen
als Kopie
War die Abbildung so, dass die es gestreckt wird?
Ein Teil wird auf Diss untere Drittel abgebildet,
ein Teil auf das obere und ein Teil fällt heraus.
Das heißt, wir hatten die Abbildung, die so geht,
dass dieses gesamte Quadrat. Abgebildet wird auf dieses Drittel hier.
Dieses Drittel hier. Und dazwischen wird es sofort gesetzt,
dass es eine bestimmte Form auch zwei gibt, in diesem Fall gerade gehe.
So, diesmal so eine Abbildung, F. So,
diese Abbildung hat man schon gesehen und wir hatten gesehen,
dass wenn man diese drei Teile genau anschaut,
dann sehen wir,
dass ein Teil gestreckt wird mit einem Faktor in drei in diese Richtung,
gestochen,
mein Faktor in drei
in diese Richtung
Ein Teil wird ebenfalls gestreckt, mein Faktor 3
in diese Richtung gestochten und Faktor 3 in diese Richtung.
Und der mittlere Teil, mit dem passiert irgendetwas anderes.
Was uns in Folge nicht interessieren muss, weil der nicht mehr hervorkommt. Das heißt,
wir hatten diese drei Teile, wenn wir sie markieren,
waren sie eben so, dass die vertikalen Bereiche, dieser Bereich,
dieser Bereich und dieser Bereich abgebildet werden auf den,
ich meine jetzt mal die untere Kante,
die untere Kante bleibt immer eine untere Kante,
der mittlere Teil geht auf diesen Teil hier
Der linke Teil geht nach unten oder oben in diesem Fall,
so ich denke, schau, dann geh dir nach unten.
Und der rechte Teil geht nach oben. Man kann auch
die ganzen Quadrate markieren und dann geht das so weiter.
Also wenn die ganzen Rechtecke, in diesem Fall die Wertekalen,
per Sofa habe ich markieren, dann haben sie hier das gesamte Rechteck.
Und wenn sie liest und markieren,
haben sie
dieses Recht der Kieler
Diese Abhörung hatten wir uns angesehen und uns gefragt,
wie wir davon zum Beispiel periodische Punkte finden,
ob wir Finn rausholen, dass es viele sind,
wie wir topologische Transitivität, topologisches Wischen und der gleichen Eigenschaften zeigen können.
Und dann hatten wir uns überlegt,
dass wir für solche Abbildungen symbolisch die Dynamik studieren,
Und sowohl das Studio Dynamik geht so,
dass hier war der Huf aus dem Büro, Klammer.
Und die Symbole steht im Dynamiking-Sohn. Wir hatten die Abbildung
Sigma. Von Amega auf Amega. Wobei Amega.
Das war ein Raum von Folgen von Nullen und Einsen.
Pran interessiert über den ganzen Zahlen. Das heißt,
unendliche Folgen, links und rechts unendlich.
Und wir hatten auch noch einseitige Varianten wie Amega R. Also
das kann ich nur ins Kleingedruckte schreiben
Gleich 0-1. Auch N oder N-0. Und der Shift,
diese Abbildung Sigmar, die ging so, dass sie die
gesamte Folge nimmt und sie um eine Position nach links schiebt.
Das heißt, sie hatten den Shift Sigmar von Amega,
an der Position N, ist gleich Omega N plus 1.
Und das hier ist also eine Schiebung,
meine Position nach links
Und über die ist Abbildung Sigma, wussten wir sofort viele Eigenschaften.
Wir können mit elementaren Mitteln zeigen, dass es viele periodische
Punkte gibt. Wir können die periodischen Punkte exakt zählen,
nämlich von Periode K gibt es genau zwei Hochkaperiodische Punkte.
Wir haben noch schön gezeigt, dass sie dicht sind.
Also, dass wir das sozusagen alles nach Wiederholung.
Es gibt zwei Hochk, den Share.
Der. Periode. K. Für. Sigbar. Ja,
damit haben wir einiges gezeigt. Damit haben wir gezeigt,
es gibt insgesamt unendlich viele periodische Punkte.
Habt zwar viele, weil sie alle in eine Periode haben.
Und wir hatten auch schon gezeigt, diese periodischen Punkte sind
dicht in diese Menge Ormega in einer geeigneten Metrik.
Nämlich die periodischen Punkte
Für Sigmar. Mal sehen. Nicht. In Amega.
Beziehungsweise Amega R. Für... Nie Metrik. Day Lamda.
Die Metrik nimmt also einen Parameter.
Und jetzt kommen die zwei Argumente. Ich nenne sie
Alpha und Amega
Und das war so, dass wir die koordinatenweise Abstände von
Alphan Ormega, entweder 1 oder 0,
nehmen und sie mit einer exponentiell fallenden Reihe mollt bezieheren.
Also Summe über E-Element, Z. Lande auch minus.
Ihr Betrag, mal Alphai, minus Armegai.
Diese Metri haben wir uns schon angesehen und bezüglich dieser Metrik
ist die Menge der periodischen Punkte in diesem enger Omega dicht
Das haben wir uns alles schon angesehen.
Das sind alles Dinge, die wir bisher schon wussten.
Und jetzt können wir uns ein paar weitere Fragen stellen.
Zum Beispiel nach den nichtperiodischen Punkten und nach Eigenschaften wie topologische
Transitivität und nach topologischem Mession. Dass sie jetzt also das
Ende der Wiederholung, jetzt kommen ein paar neue Aussage.
Also Bemerkung. Die erste Bemerkung ist,
es gibt Es gibt auch nicht periodische Punkte,
und zwar noch mehr als periodische Punkte,
nämlich überall sogar viele.
Also,
Klammer neun,
kleiner Beweis dazu
Erstens mal, wollen wir uns diesen Folgenraum am Arme ansehen,
dann ist der überabsehbar,
weil das eine Sujektion von Amegar auf die suellen Zahlen gibt?
Jetzt. Überabsehbar. Jetzt können Sie sagen, naja,
warum ist das überabsehbar? Sind ja sozusagen endlich viele Einträge
an jeder Koordinate, aber es ist überall zu wahr,
denn es gibt eine Abbildung, denn diese Abbildung,
nennen wir sie mal,
C. Amegar
In die reellen Zahlen oder sagen wir in das Entervall 0-1?
Das ist ja auch schon eine überall zu wahre Menge.
Und wir bilden ab Amega auf die Summe, über alle ganzen Zahlen.
Wir nehmen jetzt die Koordinaten von 0 bis unendlich,
dass die Negativen vergessen wir einfach und sagen,
wir nehmen Amagai,
multipliziert mit 2 auch minus i. Meinetwegen für die Zahlen,
die Größe gleich
Dann wissen wir schon, diese Abbildung hier ist sujektiv,
eine sojektive Abbildung von Omega, auf einer teilmarketeriellen Zahlen, die überab zuweist.
Jetzt. Es gibt also mindestens so viele Punkte in Armegan
, wie reelle Zahlen. Vielleicht sogar noch mehr,
denn die Abbildung ist sujektiv, die ist nicht bieaktiv.
Sie hat, bildet eventuell mehrere Folgen,
Omega auf denselben Punkt ab, sogar garantiert,
weil ja die negativen Content-Nacht alle vergessen werden.
Das heißt, jeder Punkt in der Reellen Zahlen hat sogar unendlich viele Urbilder.
Das heißt, wir haben also eine Überabzahlung über abzählbare Menge,
Annega. Und daraus haben wir periodische Punkte entnommen,
und zwar wie viele, für jede Periode K, gibt es 2 Hochk.
Also für jede Periode gibt es endlich viele periodische Punkte.
Es gibt also für alle Perioden zusammen, absehbar viele periodische Punkte.
Es gibt, also die Zahl...
Periodische. Das ist abzählbar
Das ist also das Ende dieses Beweises sozusagen,
dass Armega überab soweit viele nicht-periodische Punkte hat.
Es gibt also sozusagen mehr, deutlich mehr nicht-periodische Punkte,
als es Periodische gibt. Ja, dann wollten wir überall
schaffen, wie die top logische Transitivität und Mission unterhalten.
Und dazu gibt es folgende Bemerkung.
Erst nun da kommen es gibt.
Dichte Orbits
Diese Aussage wird gleich durch eine noch stärkere ersetzt,
aber trotzdem kann ich einen ein oder mehrere dichte Orbits angeben.
Zum Beispiel? Ah, mega, gleich. Die Folge,
die gebildet wird aus allen Blöcken der Länge 1,
gefolgt wird mit allen Blöcken der Länge 2,
mit allen Blöcken der Länge dran und so weiter.
Das heißt, wir sagen, wir nehmen einfach die Folge,
die links nur aus dem Wollen besteht, bis zum Punkt 0.
Den Punkt 0 sind in Kondachen nicht so richtig zu sehen, wo der ist.
Deswegen mache ich hier mal einen Punkt und markiere damit,
wie bei den dritten Zahlen, Vorkammern,
Nachkammerstellen, die die Größe gleichen, kleine gleichen Null,
sondern die Null-Koordinate liegt typischerweise gerade rechts vom Punkt,
aber das ist noch eine Konvention.
Jedenfalls sage ich, ich nehme jetzt alle Blöcke der Länge eins.
Also 0-1. Das hier sind also alle.
Länge 1, gefolgt mit 0-0,
0-1. 1-0-1-1,
also das sind dann alle Blöcke der Länge
Und so weiter. Jetzt kommen also hier Dreierblöcke, 0-0,
0-0, 0-0-1 und so weiter.
Und sie sehen schon, wie das weitergeht. Und wenn wir
diese Folge nehmen, haben wir ja gleich dieses Ding hier.
Dann ist dieses dicht, weil jeder Block, egal wie lange ist,
früher oder später durch Schieben nach links, am Ursprung vorbeikommt.
Und was wir letztes Mal auch schon gesehen haben, ist,
dass genau dann, wenn zwei Folgen, Alpha und Omega,
nahe der Nullkoordinate, viele Koordinaten gemeinsam haben, durchgehend,
dann ist auch die Metrik klein.
Also es gilt dann, wir wissen schon,
wenn Alpha, Omega, für K, groß genug.
Heimträger. Kleine Gleichk. Das heißt,
der Eintrag I heißt die IT-Koordinate, gemeinsam haben.
Alpha I. Gleich. Omega I. Naja,
ich brauche keine Betragslichen für alle
Gleich K. Wenn das der Fall ist,
dann ist die Metrik, der Abstand von Alphan Omgar klein.
Die Lamda Alpha-Amega, beliebig. Kleinen. Denn wenn wir uns
die Formel für die Metrik ansehen, da steht eine gemetrische Reihe.
Und wenn wir nur genügend viele Termina bei Null übereinstimmen haben,
dann kommen einfach die anderen M-Betrachten und da ist
die gemetrische Reihe hier schon klein genug
Und weil wir das schon wissen, dann gilt das,
wenn zwei Folgen, die da in der Gestalt sind,
dass wenn wir Alpha konstant lassen und Omega shiften,
nach links verschieben,
kommt früher oder später ein Block an Alpha vorbei,
der genau dieselben Kollinaten in der Mitte hat.
Und wo dann der Abstand null ist. Das ist jetzt ein Argument für Amega,
für den zweiseitigen Shift und für den einseitigen Shift gilt genau dasselbe,
wo wir dann die linken Koordinaten einfach weglassen.
Sie sind auch ganz doglos auf null gesetzt worden.
Okay, dann wissen wir euch auch an dies und
damit wissen wir etwas über dich, der Orbits.
Das heißt, die Abbildung Sigma ist topologisch transitiv.
Es gilt sogar nicht mehr, sie ist sogar topologisch nations
Haben. Ja, nächste Erkenntnis ist, Sigmar ist sogar Messions, was heißt top logisches Mission? Das heißt,
wenn wir zwei Mengen, zwei offene Mengen dahernehmen,
über die Struktur von offenen Lenken,
weil ich gleich noch etwas sage, dann gilt,
nennen wir die offenen Lengen, U&V, gilt das,
wenn wir die eine festlassen, zum Beispiel U und die andere,
zum Beispiel V verschieben oder darauf die Abbildung in diesem Fall Sigma anwenden,
das ist in diesem Fall eine Verschiebung,
dann gilt früher oder später,
dass die eine Abbildung genügend angewendet auf V,
geschnitten U und Licht leer ist und für alle weiteren Iterationen,
für alle weiteren Iterationen auf FVKV angewendet,
ist der Schnitt der beiden Mengen immer
noch nicht leer
Das heißt, ich sage, wenn wir zwei Mengen nehmen,
zum Beispiel kleine offene Bälle und denen einen genügend lange verschieben,
dann bekommen wir eine Menge, die so mit anderen verschachtelt ist,
dass sich nie wieder komplett, wenn die so ertrennt ist.
Der schnitt immer nicht leer sein wird. Um so etwas zu zeigen und hier du weißt,
zu liefern, ich habe es bemerken genannt,
ich habe jetzt auch Lämmer oder Ersatz nennen können,
weil es eine schöne Aussage ist,
muss ich ihm etwas sagen, über die Struktur von kleinen,
offenen Bällen in dieser D-Landamil zurück.
Und es gilt, dass die offenen Bälle durch diese Metrik D-Landam da,
just die Punkte sind oder die Mengen von Punkten, wo dies je gilt,
wo die K inneren Koordinaten oder die 2K-Plus-1 inneren Koordinaten genau übereinstimmen.
Also der Beweis folgt nach der nächsten Bemerkung für K,
sagen wir erstmal, für Lamda groß genug.
Und der Übungs, in den Übungen werden sie feststellen,
für welche Lamda dies der Fall ist,
sind die Mengen Und ich mache jetzt eine formale Definition von den Mengen,
die ich hier hingeschrieben habe.
Die Mengen mit den K-Konnaten, links und rechts des Ursprungs
gleich der vorgebenden Menge. Ich nenne sie Z,
Z wie Zylinder, Z, Omega, Minoska,
Amgar, Minoska, plus 1, bis Amgar,
Carminus 1, Amgar K. Ich habe jetzt hier 2 Kaplus 1
Koordinaten hingeschrieben
Und diese Menge soll sein. Alle Alphas, sodass
die inneren zwei Kabels eines Kollinaten mit dem Hebel einstimmen.
Gleich. Menge aller. Alpha Element. Omega. Sodass
gilt. Alpha-K. Gleich. Oder ich glaube, mit Indizes.
Alpha-I gleich. Amega-I. Für alle E-Betrag. Klar dann gleich.
K. Das sind exakt die Mengen, die wir hier beschrieben haben,
außer dass wir den Links keinen Namen gegeben haben.
Jetzt nenne ich die
Z steht für Zylinder. Und diese Mengen? Die haben
die Eigenschaft, das zumindest für Lamda genügend groß,
sind dies genau offene Bälle,
Gesundheit,
um einen Punkt in Großormega
Die Lamda. Okay, das ist also die Behauptung,
ist eine Übungsaufgabe. Und die Frage,
für welche Lamda das gilt, hängt die Übung davon ab,
ob sie zwei Seiten gut einseitige Symbole, Symbolfolgen betrachten.
Und ob sie nur zwei Elemente im Alphabet 01
oder N-N-Element im Alphabet 0 bis
N-1 zulassen
Ein größtes Alphabet nehmen, was sie hier tun können.
Sie können bei diesen Folgen räumen, Stadt 0 und 1 sind auch mehr Symbole zulassen.
Dann müssen wir das Land entsprechend vergrößern in Abhängigkeit von der Zahl der Symbole.
Wie dem auch sei, Sie sehen sofort,
dass Vergnügen großes Land da, muss die seiner offenen Kugeln sein,
denn für genügend großes Land da, hat diese Formel,
die nicht helfen, auch steht. Die Eigenschaft,
dass der Rest Term immer kleiner sein wird als jeder vorherige Term,
denn für Landa genügend groß,
fällt der exponentielle Reihe beliebig schnell ab und deswegen gilt damit diese Behauptung,
dass nämlich, wenn sie den Ball nehmen mit Radius,
just dem, was da herauskommt, wenn sie die Iten-Kommentaren einsetzen.
Also denn der D-Landa von Alpha und Amega ist für Amega beliebig und Alpha in dieser Zylindermenge.
Dann ist dieser Abstand, das sehen sie sofort,
kleiner Gleich, dem, was sie bekommen,
wenn sie alle folgenden Koordinaten für I größer kam, auf Einsätzen,
also alle Abstände, in der da rechts stehen und alle Erinnerungen auf Null setzen.
Sie bekommen also sozusagen die Summe, zweimal die Summe,
über alle I vom Betrag größer als K, I-Betrag,
Größe K, und das kommt zweimal vor,
deswegen steht hier nur ein I auf der Position-Seite, Lander,
hoch minus I, was natürlich, wie Sie schon wissen,
eine gemetische Reihe ist und beliebig klein ist,
nämlich Landehauch K,
mal eins durch eins
minus Lamda
Also das hier ist nur so ein Tipp, wie man das zeigen würde.
Okay, wenn wir nun diese Aussage benutzen,
dass diese Zylindermengen just offene Bälle sind,
zumindest für große Lamda,
dann können wir diese Eigenschaft des top-logischen Missions leicht zeigen.
Also dann,
das geht so um Beweis
Und da machen wir uns das Leben leicht.
Ich statt nämlich für Liebe zweimal in den UNV zu zeigen,
dass irgendetwas gilt, sagen wir es genügt zu zeigen,
für UNV offenen Bälle.
Denn jede offene Menge enthält ja einen offenen Ball.
Und wenn die offenen Bälle sich schon schneiden,
ich schneide sich automatisch auch die Mengen, die diese offenen Bälle enthalten.
Das heißt, zum Beweis genügt es zu zeigen.
Für jeden offenen Ball.
Auch noch jeden kleinen
Am Ball. Ja, und die offenen Bälle kann ich
UNV nennen, oder ich kann sie wie Zylindermengen nehmen.
Uh, V. Er gilt, existiert. N-0, Tim Men Damn,
sodass für alle ein Größer, ein Nullgeld Oh, geschnitten.
Sigma auch NV. Das ist nicht die leere Menge.
Dies Geld ist zu zeigen, dass diese Durchschnitt nicht lehrst.
Und wie schon gesagt, genügt es das für offene Bälle zu zeigen.
Denn wenn ich es für offene Mengen zeigen will und ich zeige,
das ist offene Mengen, auf eine Bälle in diesen Mengen gibt,
die sich schon schneiden, standen sich auch die offenen Mengen.
Ich werde also die Behauptung zeigen, und zwar für solche Zylindermengen.
Und da ist ihr recht leicht zu sehen.
Denn wenn ich zwei Zylindermengen dahernehme, das heißt,
die eine Zylindermenge sagt, die ersten Caro-Koordinaten,
links und rechts des Ursprungs,
sind so und so
Und die zweite Zylindermango besagt, dass weitere K-Strich-Koordinaten,
links und rechts des Ursprungs, bestimmte Einträge haben.
Dann muss ich nur warten,
dass ich die erste Menge komplett nach links gesund hat.
Nach links an der ersten vorbeigeschoben habe und schon haben sie
einen nicht leeren Durchschnitt.
Also sei U gleich. Die Zylindermenge. Gegeben durch
irgendein Omega.
Armegaminos K. Amgar plus
Und ich muss das, den Rest des Omgas nicht kennen.
Ich schreibe nur einfach irgendwelche Symbole von Minus-K bis plus Karte hin.
Und V gleich eine zylinde Menge mit eventuell einem anderen Groß-K.
Und ich kann es in diesem Fall sogar Alpha nennen,
denn es kommt keine weiteren griechischen Buchstaben in diesem Beweis vor.
Minus L. bis Alpha. L. Und jetzt schiebe ich
so lange. Das heißt, ich habe diese zwei Mengen
und die sind zwei Mengen. Spezifiziere ich beim Amegan,
beim Alpha eine bestimmte Menge an Koordinaten
Hier habe ich die Konnaden von minus k, bis k, festgelegt.
Und hier lege ich von minus L, bis L fest.
Was man in diesem Bild sieht, sind nicht so richtig Symbolfolgen,
sondern es sind nicht schlicht, aber einfach irreelle Intervalle.
Und wenn ich eine Intervallderlänge 2 Capitels 1 habe und dann intervallte Länge 2,
L plus 1, hier ist das eine.
Und hier ist das andere. Das sind die Mengen.
U und V. Da muss ich jetzt nichts tun,
als diese Konnaten, die hier festlegen. Und diese,
die nicht festlegen weiter rechts,
Wenn ich einen Durchschnitt finden will, reicht es,
wenn ich die Menge hier so weit nach links schiebe,
dass dieser festgelegte Bereich, der blaue Bereich, komplett nach links verschwunden ist.
Und dieser variable Bereich, den er noch nach rechts kommt,
der unendlich weit geht, mit dem festgelegten Bereich des ersten übereinstimmt.
Und schon habe ich nicht leeren Durchschnitt. Das heißt,
ich schiebe jetzt, ja, wie lang,
zum Beispiel zwei L plus eins mal,
dann ist dieser Bereich hier ganz nach links, vielleicht noch,
oder zwei Caplos eins, je nachdem,
was größer ist.
Und dann bin ich auf jeden Fall
alle Überschneidungen los
Oder beides, zweimal Carples 1 plus, L plus 1.
Da spielt keine große Rolle. That's a null. Zwei
L plus 1, das ist nicht die oft normale Schranke,
aber das ist eine gute Wahl.
Dann Dann... Für N größer. N-0, genau das,
das wäre eine Nicht-Lehre-Überschneidung finden können, denn die Kondaten,
die hier rechts kommen, die sind ja frei.
Die können also so gewählt werden, dass hier solche Elemente drin liegen.
Das, uh, geschnitten, Sigma Hoch N von V.
Und gleich leere Menge ist
Ja, das ist damit gezeigt. Ist also eine stärkere
Eigenschaft, das ist topologisches Mission und impliziert topologische Transitivität.
Jetzt wissen wir also schon eine ganze Menge über die Abbildung Sigma.
Das ist ganz sehr viel. Wir haben periodische Punkte gezählt,
sogar sehr präzise und ausführlich. Und wir haben topologische Eigenschaften,
topologische, dynamische Eigenschaften wie Transitivität und Mission ebenfalls präzise erfasst.
Was bleibt zu tun? Für Sigma bleibt eigentlich fast nichts
zu tun. Die Abbildung Sigma haben wir jetzt gut verstanden.
Was bleibt, ist die Abbildung, geht zu verstehen.
Dieses Gehförmige Hufeisen, denn darum ging es ja ursprünglich.
Und nun welchen zeigen, dass alle Aufsagen,
die Physik mal gestimmt haben, Zwei der periodischen Punkte,
topologisches Mischen und solche Dinge.
Exakt so, wie sie da stehen für die Abbildung des G-förmigen Hufeisens gelten.
Denn die beiden sind ähnlicher, als man denkt.
Also die Frage ist, was können wir Musik Das ist eine wichtige Frage,
weil das Hufeisen G ist besonders typisch für eine Klasse von Abbildung,
die wir am Folgen noch studieren werden,
wo in eine Richtung gestreckt wird und in einen anderen gestaucht.
Das ist ein ganz typisches Verhalten, das wir noch öfter
sehen werden und was sehr wichtige Eigenschaften haben wird.
Und deswegen ist es wichtig, zu solchen Abbildungen zu verstehen.
Und hier können wir sagen,
also die Antwort wird sein oder erstmal Meta-Antwort
Dasselbe. Wie? Über. Den Shift. Sigva. Denn ich werde jetzt zeigen,
dass diese beiden Abbildungen formal ein sehr verschiedenes eine mit Symbolen,
das andere mit geometrischen Objekten, zueinander konnigriert sind.
Also es wird sich ja auch zeigen, dass die Abbildung
Sigma und die Abonnenten da oben steht, sind zueinander.
Konniviert. So, das ist eine Behauptung. Und jetzt
werde ich in einer Konnigation beschreiben. Sie müssen dich nochmal
erinnern, das Wiederholen als letztes Mal an die Kantermenge.
Die Kantermenge war gebildet durch das Intervall,
aus dem sie das mittlere Drittel entfernen,
aus den verbleibenden Stücken jeweils das mittlere Drittel entfernen und so
weiter verfahren.
Dann haben sie
eine Kantermenge
Eine Standardkante im Engel, wenn sie so wollen.
Und wenn sie die Menge mit sich selbst multiplizieren,
haben sie den Kante auf Staub als Teilmengen des Einheitsquadrats.
Und das Einheitsquadrat ist Justus, was wir dort als Ursprungsdefinitionsbereich
von F hingeschrieben haben. Und jetzt erinnern wir uns noch,
wo wir die Abbildung F iterieren können,
wo wir sie also wiederholen können.
Wenn wir diese Menge Lamde haben,
betrachte F auf Lamde
Denn das wird es sein, was zu Sigmar konrigiert ist.
Die steht genau genau am F eingeschränkt auf eine Menge.
Großlamda, die geeignet ist. Flamda? Wobei. Lamda gleich
. Und dazu haben wir zwei Definitionen für Lamda gesehen.
Erstmal die, die direkt von AFH kommt. Und zweitens
die mit einem Kantorfstaub geometrisch. Die erste Defension war,
dass wir hinschreiben, den Durchschnitt über alle E-Mail-Element Z. F
hoch,
Vom Quadrat Q. Das ist eine wohl definierte Menge. Allerdings,
es sieht in Definitionen so, wie sie da steht,
etwas komisch aus. Denn ich hätte ja gesagt,
manche Dinge werden aus dem Quadrat heraus abbildet und dann habe ich
keine neue Vorschrift. Hier wird also genau genommen gesagt,
wir nehmen Durchschnitte, obwohl dies FOI von Punkten,
die nicht in der Menge drin sind, vielleicht nicht definiert ist.
Aber wir nehmen nur so lange den Durchschnitt, wie es
noch drin liegen. Also wir nehmen Q geschnitten,
dem Bild von Q eingeschränkt auf das, was da drin liegt.
Und von diesen Punkten nehmen wir neue Bilder und so weiter.
Dass du also dies hier gleich zäh Kreuz
Also der Kantorfstaub. Wobei. C gleich, ja,
zehngleich. Die Kantermenge ist. Alles klar. Kann.
Standard könnte Menge in 01. Die auf zwei verschiedene Weisen,
wie schon letztes Mal gesagt, zu bilden ist.
Nämlich erstens mal nehmen wir aus dem Einsatzintervall
Alle Punkte entfernen, die mittleren Drittel liegen,
aber die Ränder drin lassen.
Es gibt eine Menge von Punkten, die immer noch überabzubeißt.
Also c gleich, der Durchschnitt aller CI,
wobei dies 10-0,
C1 und
so weiter ist
Und wir können auch schreiben, C ist gleich eine Menge von Triadischen
Darstellungen von Zahlen, wobei die mittlere Ziffer 2 verboten ist.
Also sozusagen eine Summe von Darstellungen AI,
3 hoch minus I, sodass gilt AI-Element 02 für alle I.
Das ist nochmal eine Prätise, schreibtweise der Kontermenge. Und je nachdem,
wo sie zu Zellen anfangen, Je nachdem,
ob sie bei null oder eins anfangen zu zählen,
ist die Menge verschieden groß, habe genau dieselbe Struktur.
Sie können meinetwegen auch bei 42 anfangen zu zählen,
dann hat die Menge die Größe, 3 auch minus 41. Gut,
das ist also die Kantermenge und es ergibt sich als Ergebnis dieser Definition,
dass dieser Durchschnitt, Justuan kannt euch Staub ist,
denn wenn sie diese vertikalen Bereiche dort links oben nehmen und Urwelt daneben,
haben sie noch total untergeteilte vertkale Bereiche von jeweils einem Drittel so breit und wenn sie die Horizontalen streifeln,
Streifen wieder abbilden,
haben sie heutzutage Unterstreifen von einem Drittel der Dicke.
Zwei UN von diesen Dingen. Also zur Erinnerung,
wie seht so eine Iteration, Effoch K von Q aus,
geschnitten Kuh und so weiter. Die besteht aus,
je nachdem, ob K positiv oder negativ ist.
Zwei Hochkahl, Vertikalen oder Horts in Teilen Streifen.
Ja, und jetzt wollte ich in einer Konnegation angeben zwischen
diesen beiden Abbildungen
Und das tue ich, indem wir betrachten,
was passiert eigentlich, wenn wir die Menge nehmen,
alle Punkte, wo die Iteration entweder in der linken oder rechten
von diesen beiden wertkahlen Mengen drin liegt.
Also sei das Quadrat so aufgeteilt. Hier ist unser Einheitsquadrat
und ich teile es wie im ersten Diagramm in zwei Bereiche,
den Bereich links und den Bereich rechts.
Ich nenne dies das linke Rechteck.
Die Farben habe ich eigentlich genau mit dem Geld und Grünen
, wie dem auch sei
Ich nehme mal einen Orangen und Grünen, dann ist es gut unterscheidbar.
Diesen Bereich hier nenne ich R. Null. Und diesen Bereich
nenne ich R.1. Jetzt habe ich das Quadrat unterteilt in drei Bereiche.
Ein links, ein rechts in einen dritten, der mich nicht interessiert.
Und ich werde jetzt Punkte im Kantorch Staub.
Daraufhin klassifizieren, in welchem Bereich, links oder rechts,
sie nach der Karteniteration stehen.
01. R1 gleich. Zwei Drittel. Eins Kreuz.
01. Okay. Und jetzt gucken wir uns an,
in welchen von diesen beiden Bereichen die Karte-Iteration eines Punktes in Lamda drin liegt.
Also wir nehmen eine Abbildung,
die entweder von Lamda nach Omega geht oder von Omega nach Lamda,
weil das ist dieselbe Abbildung.
Und beides geht mit derselben Vorschaft
Und zwar schauen wir uns an,
dass ein Punkt in jedem von diesen Bereichen liegen kann.
Und wir schauen uns dann an,
was sie es mit Symbolfolgen zu tun haben wird.
Also ich betrachte mal eine Abbildung, definiere. Und Abbildung
zum Beispiel dieses Vieh hier, na viel ist schlecht,
weil vier brauche ich noch, wir nehmen die Abbildung.
Ha, die geht von Amega, nach Lamda.
Und ich sage jetzt, dass Amega, gleich.
Amegamin ist 1, Amegan 0, Amega 1 und so weiter.
Das wird abgebildet auf den gemetrischen Punkt, der durch die
unendlichen Durchschneidung von solchen Iterierten von R0 und 1 gebildet wird.
Es wird abgebildet auf den Durchschnitt über alle I,
Kill MZ. Erfuch und jetzt kommt ein Plus oder Minus
, so wie es gerade passt,
Vom Bereich R. Und jetzt kann ich mir auswählen,
ob ich R.0 oder R.1 wähle. Und ich wähle so aus,
wie ist mir gerade die ide Komponente von Omega vorschreibt?
R. Omega. I. Den Omega I ist immer 0 und
1. Wenn es 0 ist, dann werde ich den linken Bereich,
Arnul, wenn es eins ist, werde ich
den rechten R.1. Dass hier Minus steht,
ist nur Dekoration, das hatten auch keine besondere Bedeutung,
außer dass hier Plus irgendwie nur stehen wird.
Und da muss man aufpassen. Jetzt habe ich eine Abbildung,
die geht von wo nach wo?
Die geht von Omega. Für jeden Funktionen armen Gast,
die wohl definiert. Sie landet zweifellos in Lamda,
denn der Durchschnitt hiervon ist ja in weiten Menge
Und ich behaupte, dies hier ist eine sujektive Abbildung,
sogar eine bijektive Abbildung, die alle Punkte erreicht.
Zuerst mal ist sie wohl definiert, warum ist die bijektiv?
Denn wenn ein Punkt hier drin liegt, dann liegt er
natürlich im Durchschnitt von irgendwelchen, von den Iterierten von Al.
Im Mittleren Bereich kann ja nicht liegen, der fällt ja
im ersten Tritt heraus. Und wegen der Kontraktionseigenschaft,
in der Y-Koinate, kontrolliert die Abbildung F,
in der X-Koinate kontrolliert die Abbildung F von minus 1. Deswegen hat jede von diesen Schnitten,
hier ist ein Durchschnitt von Mengen und den Iterierten.
Jeden von diesen Schnitten hat genau einen einzigen Punkt,
der in allen Kornaten
gleich ist
Das heißt, dies Jahr ist eine subjektive Abbildung.
Man ist HS. Subjektiv. Nämlich, Ben.
Wenn wir zwei Punkte haben, nennen wir sie P&Q.
Element Lambla sind.
Und Erfuch
Von P. FOI von Q. Elements R. AlphaI. Das Alpha wird das Omega sein,
aber ich nehme mal vorbei in anderen Buchstaben ist.
Für alle E-Element Z. Das heißt,
wenn für alle Ehe in mein Z,
beide Punkte in dasselbe von diesen beiden Rechtecken hinein abgebildet werden,
dann behaupte ich,
dann sind P&Q gleich
B, gleich, Kuh. Denn,
und das ist jetzt die moralische Argumentation,
die in diesem Fall leicht ist,
die ja auch ansonsten sehr nützlich ist,
denn F und F von minus 1 sind in X und Y-Richtung,
so wie es gerade passt,
Kontraktion.
Und das ist sehr nützlich
Im, also, er folgt uns eins durch meinen Klammern.
Und F ist eine Kontraktion in der Y-Richtung?
Richtung. Und eine Kontraktion, und das wissen Sie schon
, hat genau einen Fixpunkt und nicht mehrere.
Klammer höher ist nicht F von minus 1,
die Klammer heißt F oder F
von minus
Und weil die so ist, ist diese Abbildung so,
dass sie jeden Punkt in Lamda tatsächlich auch trifft.
Wir haben also eine Abbildung, die ist tja,
inektiv ist übrigens auch. Denn wenn sie zwei verschiedene Mengen
haben, dann trifft sie auch in verschiedene Punkte hinein.
Und dies hier ist eine Apple und die sujektiv ist.
Ich werde ihn gleich sagen, dass sie inektiv ist.
Und sie hatte Eigenschaft, das Haar,
die Abbildung F und die Abbildung Sigma konnigiert.
Dazu gleich auch
ein paar Bemerkungen
Musik Untertitel der Amara.org-Community Okay, dann gilt A. Enektiv.
Ich behaupte also, dass für zwei Punkte
das Bild verschieden sein muss,
wenn die Punkte
schon mal verschieden waren
So sei. Alpha Ungleich, Omega. Element. Gruß, Omega.
Jetzt will ich Ihnen zeigen, dass das Bild von A,
von Alpha und das Bild von Amega verschieden sein müssen.
Also dann ist... Da die beiden Rechtecke R 0
und R1 Die schneiden sich natürlich nicht.
Ist ja klein, die haben einen großen Abstand zueinander.
Und wenn ich hier jetzt iteriere,
wenn ich also FHK von Aeron 0, er verkaufen R1 betrachte,
schneide ich natürlich immer noch nicht.
Denn die Abbildung bildet, streckt ja nur einen Stauch nur.
Und das gilt auch für jede Potenz.
Und FHK von Airmull. Was ist AfHK von Aeronull?
Das besteht aus K oder 2OK oder 2OK minus 1 vertikalen Streifen.
Und die Sitten besteht aus
so vielen wertkalen Streifen geschnitten
Ja, was will ich jetzt eigentlich sagen? Die... Ich wollte sagen,
dass in der Darstellung dieser Streifendarstellung,
wenn Sie die eine Koordinate gefunden haben,
wo er sich alpha und einmal unterscheiden,
werden sich just in dieser Darstellung, wenn Sie in verschiedenen,
in diesen Streifen sich wiederfinden, Also weißt du,
welchen, die gar nicht über Ära schreibe?
Ja, habe ich schon gesagt, was zu sagen ist.
Und deswegen... Ja, daher... Ein Gilt.
Wenn... Ja, dann wird eine Menge Delta definieren.
Delta, sagen wir mal, von Amega Null.
Bis Amega
Das soll sein, der Durchschnitt, so wie er da steht,
außer dass er bei Null anfangen, bei K.O. hören zu zählen?
Durchschnitt über I. Erfach-minus-I. Von R. Armega-I. Das besteht jetzt aus
einer Menge von schmalen Rechtecken. Wenn dies hier ist,
und Alpha,
Amega, sich
In der Elton Koordinate. Mit L, Klanegleich, K.
Zum Beispiel eine positive Koordinate, null größergleich, L,
Kleingleich, K. Unterscheiden.
Dann, dass die Hauptung liegen wir in diesem Streifen.
Es gibt zwei hoch K plus 1,
viele davon
Kriegen wir diesen Streifen in einem anderen Bereich.
Wir haben nämlich diese binäre Cordierung so haben,
dass wir da einen eigenen Ziffer ausgetauscht haben.
Dann schneiden sich die Rechtecke.
Delta. Amega 0 bis Amega K. Und Delta. Alpha
0 bis Alpha
Nicht. Also wir betrachten zwei Folgen, Alpha und Amega.
Einen Kordon hatte zu verschieben. Die kann jetzt positiv oder negativen
Index haben. Ich mache da den Vice für positiven Index
, andere geht genauso. Für positive Indizes betrachte ich
diese Durchschnitte von Rechtecken noch einen endlichen Durchschnitt.
Also das ist nur immer so ein gemetisches Rechteck von länger der Breite.
Die eine Seite ist eins und die andere ist zwei Euro minus K.
Von diesen Stücken habe ich zwei hoch K viel oder in
diesem Fall zwei Carblus 1.
Und diese ganzen Stücke,
die sind binär kodiert
Wenn ich einen von diesen Binärziffern austausche, lande ich in
einem anderen Stück. Das ist noch ein richtig,
ein einfaches Argument, solange ich über endlich viele spreche,
aber weil es für jeden endlichen,
für jeden endlichen Index K gilt und ich immer nur noch etwas,
ich schneide etwas wegnehme, also Teilmengen von diesen Mengen Delta bilde,
gilt es auch im unendlichen Schnitt.
Das heißt, wenn ich aus diesem,
diese Menge noch etwas wegnehme und dass diese noch etwas wegnehme,
sind sie immer noch, das juckt.
Das heißt, sie können nicht denselben Punkt als Grenzwert produzieren.
Also wenn sie den Funk P und Q,
der hier herauskommt, dieses P und dieses Kuh,
das Durchschnitt von solchen Mengen produzieren,
müssen die verschieden sein
Also er kann der Durchschnitt über alle K-Element N. Landa.
Haben wir gar null. Bis Omega K. Dass jetzt ein Durchschnitt,
der in der Einkohlner nur einen Punkt enthalten kann und in
der anderen eine ganze Linie, geschnitten, dem Durchschnitt,
nochmals über K-Element N, über analoge Rechtecke Amega,
minus k bis Amega, minus eins.
Nur einen Punkt enthalten. Das sind schon mal zwei Beispiele,
oder Bausteine der Konnigation. Ich habe in einer bjektiven Abbildung
von der Einmenge auf die andere. Jetzt behaupte ich,
dass diese Abbildung etwas mit der Funktionen mit der Abbildung Musik
mal zu tun hat.
Nämlich, dass Sigma korrigiert wird zu F, mittels diesem Haar.
Es gilt weiter. Und hier ist die Abbildung Amega.
Und hier ist die Abbildung, sieht man dazwischen.
Dann gibt es die Abbildung F, die von Lamda auf Lamda geht.
Und jetzt hat man die Abbildung gesehen,
die von Amega nach Lamda geht.
Das war die Abbildung Haar
Jetzt behaupte ich das, wenn wir diesen Weg gehen.
Er ist Harry und danach F. Es ist,
wie wenn wir erst Sieg machen und danach annehmen.
Das heißt, ich bilde jetzt die Verkettung und sage,
dass dies dasselbe ist. Ich behaupte also,
dass H nach Sigmar gleich F nach H ist.
Oder auch, weil dies objektiv ist,
F gleich H nach Sigmar
nach Hauch minus
Dann? Denn ja, wie wirkt denn die Abholung? Sigmar,
die schiebt auf diesen Wohlfolg eins weiter und wie wirkt
die Abbildung F oder Abbildung H, die geht so,
dass wenn wir in dieser Vorschrift, die da recht steht,
eins weiterschieben.
Dann haben wir also H nach Sigmar.
Sigmar von Amegar.
Bis gleich
Tja, und jetzt verschieben wir uns sozusagen,
also den Nullpunkt und sehen, was da herauskommt,
ja, meinen Sie den Durchschnitt, weil ein Element,
Z von efach-i von Ära.
Und da, wo das Omega steht, steht jetzt Sigva von Amega.
Sigma, Omega. Und wir wissen schon, der Shift,
der funktioniert so, dass Sigma Omega an der Stelle i
ist dasselbe wie Omega an der Stelle i plus 1.
Hier steht also sozusagen Amega i plus 1. Und Ja,
wenn wir das jetzt schneiden und nochmal nehmen,
hätten wir genauso gut hier das IO1 vergrößern können.
Also das ist gleich. Und jetzt tausche ich alle in DCs aus,
aus dem IPlus 1 mache ich einen J, also.
Und dann steht hier von Armega J,
aus dem I wird ein J minus
Also aus dem Minus-I wird dann sozusagen minus.
Ja, minus eins. Mit anderen Worten, hier stets
Minus-J. Plus eins. Durchschnitt über alle J-Element-Z. Und ja,
hier habe ich jetzt die Abbildung F. Da sozusagen einmal mehr
angewendet. Gleich dem her. Da könnte ich also
genauso gut das F herausziehen und bekomme gleich F von
dem Durchschnitt
Über alle J-Element Z. Epho-J von R. Armega.
J. Hier steht also in der Klammer, dasselbe wie in
originaler Definition. Und es steht noch ein F davor.
Also ich sehe es gleich. F nach von Amega.
Damit haben wir gezeigt, dass Hannah auf Sigma gleich F
nach H ist. Mit anderen Worten, diese Abbildung ist
eine Kongnigation
Vom Folgenraum, auf den Kantorchstaub und darf auf die Streckung
entstauchen mit dieser Abbildung des G-förmigen Hufeisens.
Okay. Und das, was wir hier gesehen haben,
das ist nämlich Streckung und Staufung zu vielen guten Eigenschaften führt,
zu vielen periodischen Punkten, zu topologischen Missions, topologischer Transitivität,
zu einer ganz spezifizierten Beschreibung, wo wir sagen können,
wie viele periodische Punkte und so weiter.
Das sind schöne Eigenschaften, die werden im folgenden Allgemeinen beschreiben und
ich werde jetzt abstrakte Eigenschaften formulieren, die all diese schönen Eigenschaften garantieren.
Unabhängig davon, dass die Abbildung F diese spezifische Form hat.
Ich hätte ein spezielles F angegeben. Ich hätte gesagt,
wir nehmen dieses F und das nehmen wir so,
dass jetzt gerade mit einem Faktor 3 gestreckt wird,
einem Faktor 3 gestauft wird.
Es würde natürlich auch klappen, wenn wir mit einem Faktor
2,7 oder 1,8 gestreckt und gestauft hätten.
Dasselbe Argument hätte funktioniert. Und das kommt in der sogenannten hypopolischen Abbildung vor.
Wenn diese Abbildung betrachten, die jetzt hier nicht mehr steht,
eigentlich stand sie heute auch gar nicht da,
aber sie möchte dort in der Strecke und einer Strauchung.
Solche Dinge poduzieren immer Features wie hier,
viele periodische Punkte und top logisches Mission oder Eigenschaften,
die dem Chaos schon
ziemlich nahe kommen
Dazu ein paar passende Begriffe
Musik Oder generelle Erkenntnis? Also die erkennt es,
die ich gerade in Worten geliefert habe, schreibe ich nochmal hin.
Das ist dieses Prinzip des Streckens und Stauchen.
Führt zu
Vielen. Bei jodischen Punkten. Und führt zu topologischer Transitivität.
Und gegebenenfalls hier Mischen. Das ist erstmal so die generelle
Erkenntnis so im Allgemeinen als philosophische Manier. Und jetzt,
weil ich nochmal die Dinge, die wir herausgefunden haben,
nochmal explizit hinschreiben, damit wir da auch...
Auch präsent haben, also es gilt folgenden Satz,
den wir jetzt auch schon bewiesen haben,
damit wir ihn auch formuliert haben,
die Gehfornige
Hofeisen, Büroklammer. Also, das war die Abbildung F,
eingeschränkt auf Lamda. Hat die Eigenschaft. Eigenschaft 1,
Zahl der periodischen Punkte der Periode K ist bekannt.
Es gibt Genau. Zwei auch K. Herr jodische Punkte.
Periode K. Warum soll das so sein?
Weil das für die Abbildung Sigma so ist.
Und wenn die Abbildung F zur Abbildung G konnoidiert ist,
dann haben F&B F&G dieselben Zahlen periodische Punkte mit derselben Periode.
Es gibt Über Abzuwahl viele Nicht per jüdische Punktenden,
Das heißt, die Zahl der periodischen und nicht periodischen Punkte haben wir exakt ermittelt.
Es sind sogar ziemlich viele von beiden. Es gibt dichte
Arbeits. Sogar ziemlich viel, aber auf jeden Fall,
eins haben wir schon mal gefunden. Nämlich,
wenn wir das Dichtorbit von Sigwan nehmen und darauf die Konnegationen haar anwenden,
haben wir automatisch ein dichtes Orbit für F auf Landau.
Dann wissen wir, dass F eingeschränkt auf Landau Er ist top
logisch. Missions. Das sind alles extrem starke Aussagen.
Und die bekommen wir alle kostenlos aus analogen Aussagen für Sigma.
Und der Tatsache, dass wir jetzt eine Kondigation gezeigt haben.
Wir sind also damit gut im Spiel. Und damit haben wir
die Suf-Eisen ganz ausgiebig untersucht und viele schöne Eigenschaften leicht bewiesen.
Also Beweis, all diese Eigenschaften
Gelten für Sigmar? Und bleiben. Die bleiben erhalten,
wenn wir zu einer konnigierten Abbildung übergehen
Manchmal diese Eigenschaften sind sogar so schön, dass sie eine
eigene Definition verdienen, nämlich das mit den periodischen Punkten.
Nicht, dass genau zwei UK sind,
aber dass es viele gibt, dass sie dicht sind.
Und das mit dem topologischen Mission oder der Trinsitivität,
das kommt in eine eigene Definition gießen.
Was ich noch nicht gesagt habe,
du hast genau noch dazu sagen kann,
dass die periodischen Punkte nicht nur so viele sind,
sondern sogar eine dichte Menge in der Menge aller Punkte.
Das kann ich noch dazuschreiben,
periodische Punkte.
Sind dicht
Und die ist auch angestanden, sind so schön,
dass du die als eigenen Definition als etwas abgeschwächte Version als eigene Definition formulieren.
Und dann haben wir folgende allgemeine Devention.
Dass die Defentionen von Chaos nach, ob die Vami.
Eine Abbildung
Appel noch der Fluss, das macht nicht in diesem Fall
keinen kostenlosen Ungeisen, weil gar keinen großen Unterschied.
Jedenfalls nenne ich eine Abbildung, F von X nach X,
einem topologischen Raum in sich selbst, heißt.
Sollte ein chaotisch. Ferner ein paar Eigenschaften erfüllt sind.
Ich nehme eine Eigenschaft über periodische Punkte und dann Eigenschaft über topologische Transitivität oder Mission.
Diesmal die Schwächere. In dem Fall sage ich,
wenn periodische Punkte von F dicht sind NX und F top
logisch transitiv ist Und dann kennen wir euch auch noch ein paar Beispiele.
Das erste Beispiel, das wir kennen, Season Upbilde,
die wir gerade studiert haben, nämlich die Abbildung F.
Das zweite Beispiel ist die Abbildung Siegmar. Und das dritte
ist die Strecken, die Stauchungsabbildung auf dem Torus,
die Arnoldsche Katzenabbildung, die Torus Automatismus war.
Damit kennen wir mindestens drei von diesen schönen Dingern
Musik . Also wir haben folgende Beispiele von solchen Objekten
Erstens, wie gesagt,
diese Giffarmige Huf ist ein Büroklammer.
Zweitens,
den Shift Sigva auf Amega
Oder wenn sie so wollen,
sie können auch den Shift auf Amega-R nehmen,
den einseitigen Shift, oder auch den Shift mit N-Symbolen.
Also das ist sozusagen 2A und 2B. Sigma auf.
Omega-R. Das waren gerade die Symbolfolgen, die auf der einen Seite aufhören.
Dann hatten wir Sigma auf Omega. Und ein N,
das war der Raum 0 bis N minus 1. Das heißt,
statt 2 Symbolen können wir auch mehr Symbole nehmen und darüber
alle Folgen bilden
Die bei ganzen Zeilen indiziert sind. Das können wir natürlich
auch einseitig machen. Und wir können sagen,
wir nehmen alle Folgen, aber wir hören bei null auf
zu zählen und nehmen nur die positiven Indizes.
Sigma auf Amega. Rechtzeitig mit N-Symbolen. 0 bis M
minus 1 hoch. Groß N. Das ist alles ungefähr dasselbe
, deswegen nenne ich das alles mal Beispiel 2.
Dann gibt es Beispiel 3. Drittens, Der Arnold.
Arnold. Katzenabbildung. Auf. Dem Zweittorus. Was besonders spannend ist,
denn diese Abbildung ist ja auf einer schönen, glatten,
kompakten Mannchfähigkeit definiert. Die lässt doch keinen Punkt aus,
während die Abbildung F, dieses Hufeisende,
können Sie sagen, das ist zwar eine schöne Abbildung,
aber die lässt ja sozusagen den Lücken, Kantemenge ist lückenhaft,
da sind große Lücken zwischen den Punkten und ihr könnt euch staubslückenhaft im Quadrat.
Deswegen hat die Abbildung F nur auf manchen Punkten irgendwie
eine wohldefinierte Eigenschaft, auf anderen manchen Punkten nicht.
Aber diese Katzenabbildung, die ist sozusagen schöner, die streckt und staucht auch.
Ist aber auf jeden Punkt im Toast definiert. Das heißt,
die lässt sozusagen nichts fort. Und das ist etwas,
was die Folgende noch weiter sehen werden. Und was diese Eigenschaften dieser Abbildung alle sind,
die dies garantieren, sind, abgesehen davon,
dass wir es ausgerechnet haben, diese Eigenschaft des Streckens in eine Richtung,
mit beziehenden meinem Faktor 3 oder so,
oder hier,
lande 1 gleich,
irgendwas mit Wort
zu 5 drin
Jedenfalls etwas größer eins. Multikation mit positiven Konstanen in der
einen Richtung und Kontraktion mit Putzenkonstanten,
kleine eins in der anderen Richtung, führt zu vielen periodischen Punkten.
Das werden wir im folgenden noch ausführlich untersuchen.
Und wir werden jetzt eine Definition sehen im folgenden von Abbildungen,
die diese Eigenschaften haben, dass sie strecken und stauchen.
Das war eine sogenannte Hyperbowl durch Abbildungen sein. Und die
werden die Eigenschaften haben, dass wir darüber sehr viel schöne Dinge aussagen können.
Über solche hyperbolischen Abbildungen, die Strecken und stauchen,
können wir periodische Punkte, Chaos und so weiter gut ermitteln.
Also im folgenden kommt eine Definition, die so etwas wie Strecken und stauchen,
wie wir sie haben, auf manch Faltigkeiten definiert ist.
Also die Frage, die wir das nächste Mal behandeln werden,
ist folgende. Wie können wir... Das Konzept... Glatt
möchte man sich tauchen, auf meine Faltigkeiten, übertragen.
Und deswegen werden wir uns in der Zukunft einer Devention zuwenden von Hyperbowlitz-Tät,
die so aussehen wird, die wie diese Katzenabbildung.
Wir haben also Expansionen und Kontraktionen mit Konstanten,
die strikt größer sind als eins und strikt kleiner als eins.
Und die werden wir demnächst mal ganz formal definieren,
wie das ist, wie man in Kontraktionen misst und wie man damit umgeht.
Okay, vielen Dank fürs Zuhören