Ja, einen wunderschönen guten Morgen zusammen,
herzlich willkommen zur Vorlesung, Einführung, ein dynamische Systeme.
Der Plan für heute ist wie folgt,
ich erzähle Ihnen weiterhin etwas über hyperbolische Abbildungen auf dem Terroris,
also ich speziell die Katzenabbildung von Arnold.
Letztes Mal hatten wir schon uns befasst mit einer bestimmten hyperbolischen Abbildung auf dem Zwei-Torrus.
Ich schaffe Sie nochmal hin für Sie. Die Abbildung war
folgende. Ja, also kotzt zwar ins Wiederholung,
also es geht um auf. Abbildung. Ja,
wir hatten also folgende Abbildung betrachtet, wenn wir die Matrix A haben.
A gleich. 2-1-1-1.
Das ist eine spezielle Matrix, die,
wie ich schon gesagt hatte, D-Time-Nante 1 hat.
Und deswegen ist sie besonders gut geeignet,
ob man mit Toros abzubilden.
Und die Abbildung FA
Die ging vom Tores, der Dimension 2 in diesem Fall,
weil es seine 2 Cott 2 in Matrix ist,
in sich selbst.
T2. Heute war definiert euch XY. Wenn wir so ein
Vektor haben und davon die Äquivalenzklasse, melden wir ab.
Auf die Äquivalenzklasse fahren. 2-1-1
-1. Mal.
So, dieses Abhalten haben wir studiert und wir haben schon
ein paar Dinge drüber gesehen. Und jetzt kommen noch
ein paar weitere dynamische Eigenschaften, die recht spannend sind.
Bevor es losgeht, noch ein bisschen was zur Notation.
Diese Schaffweise hier, können Sie auch andere schreiben,
wenn Sie die Ecke in Klammern, lästig finden?
Können Sie auch die Coin nach den XY direkt als reelle Zahlen schreiben?
Und dahinter schreiben Sie da einen Mord-1-Senat. Geheimsymbol,
das sagt, wenn Sie im Kreis die Eins überschreiten,
fangen Sie wieder bei Null an.
Also in anderen Worten, dies kann man auch schreiben.
Das war jetzt die Wiederholung, die kommt in eine
neue Schreibweise.
Beziehungsweise XY
Wird abgebildet auf 2-1-1-1. XY.
Soweit ist dasselbe wie, was darf ich jetzt
ohne die Äquivalenz klammern, die Ecke in Klammern?
Und dann kommt ihr noch dieses Stichwort Mord 1.
Dieses Wort Mord, das werden die Mathematik oft benutzt.
Es hat mindestens drei verschiedene Bedeutungen, die sie teilweise schon kennen. Die erste Bedeutung ist,
dass Mord ganze Zahlen, wenn ich sage,
wir nehmen Zahlen Mord 10 oder Modul oder 10,
heißt es, sie nehmen die letzte Ziffern der jetzt malen Darstellung,
wenn ich sage,
Modul 3 und so weiter heißt es die letzte Ziffern
der Darstellung
Modor 3, also das heißt 0-1 oder 2. Das bedeutet Nummer 1,
die man am ersten im Studium lernt, bedeuten um zwei,
ist dies hier, Mod 1 heißt,
sie nehmen Zahlen im Bereich Intervallen 0 bis 1 und 0-1 ist dasselbe,
in der ganzen Zahl dürfen sie abziehen.
Und es gibt noch eine dritte Bedeutung in der Mars-Theorie,
wo sie sagen, What 0 heißt Null Mengen, werden ignoriert.
Und das sind leider dieselbe Schreibweise für verschiedene Dinge,
aber trotzdem ist das hier praktisch. Wie ihr auch seid,
wenn sie dies nicht mögen, nehmen sie diese Schreibweise dort.
Okay, und heute erzähle ich ihnen etwas über zwei Dinge.
Erstens auch mal über die Zahl der periodischen Punkte,
diese Abbildung
Und zweitens, wenn wir noch Zeit haben,
etwas über das dynamische Verhalten, nämlich topologische Transitivität und topologisches Mission,
insofern vorhanden bei dieser Abbildung.
Ja, das stellen wir uns erstmal die Frage.
Also erstmal die... Diese Abbildung hier,
das ist eine hypobolische Abbildung auf dem Torus und sie wurde
erst zuerst studiert von der Mathematik namens Arnold,
VW Arnold und heißt dann die Arnoldsche Katzenabbildung
Jan, ich mache nochmal einen Jacker mit dem fundamentalen Bereich,
weil wir das gleich brauchen werden, um das dynamische Verhalten zu verstehen.
Das Verhalten der Abbildung geht nach wie vor so,
dass wenn wir uns den Tores anschauen, hier haben wir einen Fundamentalbereich,
also einen Quadrat der Länge 1, dann wird das abgebildet.
Auf sich selbst, ich male das Bild jetzt zu Recht so neben,
aber mit Wirklichkeit ist es auf sich selbst. Und zwar so,
dass wenn ich hier den Tores hinmale, nochmal einen Gitter,
Und jetzt ein Gitter der Länge 3 und 2 hinmale,
dann ist es, sieht so aus, dass das,
was links steht, dieser Bereich hier.
Also der Bereich, der hier losgeht, wird abgebildet auf den Bereich,
sodass der erste Einheitswerk der 0-1 abgebildet wird auf.
Das sehen sie schon 2-1. Das heißt,
die erste Einheitswerkdeutel geht dorthin,
die untere Kante geht auf diese Kante,
an die Lok niese hier auf eine parallele Kante.
Und die linke Kante Geht auf den Vektor 1-1,
das ist dieser hier. Das heißt, du bekommt ein Parallelogramm.
Ja. Okay, das hier ist noch kein besonders Schönes,
aber Sie sehen falls, wie es geht.
Okay, in diesem Parallelugramm gibt es jetzt verschiedene Dinge.
Es gibt natürlich stabile und instabile Richtungen,
da wo die Abbildung kontrolliert und expandiert
Was soll ich schon wissen? Es gibt zwei Eigenwerte,
ein Größereins, ein kleiner Eins. Das Produkt ist natürlich
die Data im Land und deswegen gleich eins.
Also es gibt Eigenwerte, die schreibe ich nur mal hier ins Kleingedruckte.
Nicht Number 2. Vielleicht eins. Und ich wollte gar nicht
viel rechnen, aber trotzdem sind die Eigenwerte gut,
weil man damit die eigene Räume nämlich sehen kann.
Es sind nämlich so die Abbildung wird irgendwo gestreckt und
das sehen sie schon hier von dieser Diagnale,
bis zu dieser wird es irgendwie länger,
als es vorher war
Irgendwo wird etwas gestaucht und sie sehen schon die Breite dieses Objekts,
ist irgendwie kleiner als vorn. Die Frage ist noch,
in welcher Richtung genau gestreckt gestaucht wird,
ist es nicht die Diagonale, die sie hier sehen?
Es ist in der Richtung, die etwa durch diese,
äh, etwa so geht und durch diese Kantie rechts durchgehen wird.
Das heißt, wenn wir die instabilen und stabilen Unterräume einzeichnen wollen,
dann sehen sie irgendwo in irgendeiner Richtung.
Sehen Sie diesen Raum, der der Expansion,
hier will also Expandiert in die eine Richtung,
die sie ist der instabile Unterraum.
E-E-E-U. Und es gibt ein Senkrecht dazu, stabilen Unterraum,
wo kontrolliert wird. Es gibt hier einen Raum,
wo sie von beiden Seiten auf die Null zulaufen.
Das ist ES. Gut, und was wir wissen,
die stabilen und instabilen Unterräume haben Eigenwerte,
die genau Landart 2 und Lande
1 sind
Okay, dies Wissen,
um diese stabilen und intribuellen Räume werden wir benutzen,
um zum Beispiel die periodischen Punkte auf diesen Torus zu zählen für diese Abbildung.
Gut, also stellt sich die erst folgende Frage,
die ist wichtig. Frage. Hat diese Abbildung hier,
die ist FA, periodische Punkte.
Und wie viele
Ja. Und mit dieser Frage wollen wir uns befassen.
Mit diesen zwei Fragen. Die erste ist sehr leicht zu beantworten.
Und die zweite wird uns die ganze Vorlesung lang ordentlich beschäftigen.
Für jodische Punkte sind immer sehr wichtig,
in dynamischen Systemen, wenn sie wissen,
wie viele periodische Punkte es gibt und wo die liegen,
dann wissen sie viel über die Abbildung.
Zu Teil 1 der Frage, da wissen wir schon Bescheid.
Zum Beispiel ist der Nullpunkt sicherlich ein Fixpunkt, so um dein periodischer Punkt.
Das war also leicht. Und außerdem wissen wir schon,
alle rationalen Punkte sind periodisch. Das hatten wir letztes Mal bewiesen,
dass wenn ein Punkt warum Pe durch Kuh und Pech durch Kuh hat,
dann ist der prepperiodisch,
weil der Zeller und Nenner muss sich jeweils wiederholen und kommt dann irgendwann zurück.
Und wegen Invertierbarkeit ist ein präperiodisches Orbit ein periodisches. Das heißt,
dies hier, Teil 1 der Frage ist schon beantwortet.
Ja. Und dieser Teil 2 der Antwort,
wie viele, wie viele periodische Punkte gibt es.
Der ist noch zu beantworten. Ja, zunächst mal,
wie zählt man eigentlich periodische Punkte? Also ich sage,
in einer Abbildung hat periodische Punkte, es gibt da Punkte,
die sind besonders wichtig und ich sage,
sie sollen jetzt irgendwie zählen,
wie viele das sind
Da können wir sagen, ja gut,
wir zählen alle zusammen und dann ist das unsere Antwort.
Dieses Mal kommt es raus, alle nicht rationalen Punkte,
alle die nicht in beiden Kondaten gleichzeitig rational sind, sind nicht periodisch.
Alle die, in beiden Konden dann gleichzeitig rational sind,
sind periodisch. Sind also absehbar viele,
wir können sie zählen, wir können sie abzählen.
Die Frage ist, wie wir das tun.
Insgesamt sind sie ja sozusagen unendlich viele.
Denn wir wissen schon,
ja,
alle Punkte
Pey durch Kuh. Pey Strich durch Kuh. Ja,
also jetzt kommt eine präzise Frage. Ich werde dann sagen,
wenn wir die periodischen Punkte so zählen,
dass wir mit der Periode zählen,
ich zähle erst alle mit Periode 1, dann alle mit Periode 2,
dann alle mit Periode 3 und so weiter,
dann können wir die genau angeben, wie viele es sind.
Und dafür werden wir sogar eine Formel angeben. Die Zahl
der periodischen Punkte mit Periode N ist, also ein Ausdruck von N, sein wir sagen.
Also es kommt jetzt ein Satz über genau diese Zahl der periodischen Punkte,
der sagt folgendes, Also, ein Satz FA hat,
und jetzt kommt hier ein Ausdruck, eine genaue Formel, PN, gleich.
Und diesen Fall ist die Form dein exponentieller Ausdruck in diesen beiden Eigenwerten,
Lamde 1 und Lamde 2,
und Lamde 2 ist ein Ausdruck von Lamde 1,
deswegen kann ich das so schreiben, ist gleich Lamde 1. Hoch N,
die Enterpotenz der Größeren der beiden Eigenwerte,
plus Lande 1 hoch minus N. Endependent zur kleinen Zahl.
In diesem Fall noch plus ein kleiner Korrekturthera minus 2.
So viele periodische Punkte gibt es. Der Periode N. Und
sie erinnert sich... Hier kann ein Lande 2 stehen.
Hier kam gerade die Frage,
warum muss beim zweiten Land da nicht einer eine 2 stehen?
Das können sie schreiben
Fall schreibe ich das erste Land hoch plus N.
Und das zweite Land hoch plus N. Und das ist dasselbe
wie das erste Land hoch minus enden. Also grob gesagt,
hier ist so ein exponentieller Ausdruck und da ist ein Term,
der wächst exponentiell. Und ein zweiter, der fällt exponentiell.
Genau, danke für die Nachfrage. Okay,
was genau in der Form drinsteht, ist gar nicht so wichtig,
obwohl du hierfür ein Interessantes, das exponentiell viele sind.
Je größer ein sind, desto mehr Punkte finden sie.
Das ist auch nicht verwunderlich,
denn wenn es unendlich viele Punkte gibt und jeder davon endliche Periode gibt hat,
dann muss natürlich, naja,
dann wird es wahrscheinlich mehr geben,
wenn ein größer ist
Okay, jetzt kümmern wir uns um,
wo die Periodischen Punkte liegen und wie man die zählen kann.
Das ist nicht sogar völlig trivial. Ja, wie zählen wir
denn an periodischen Punkten oder wie finden wir periodische Punkte?
Wir haben einen Punkt XY und der soll noch endmalige Iterationen
von F zu sich selbst zurückkommen.
Allerdings ist es auf dem Toresrum,
wir haben diese Äquivalenzklassen und jeder Punkt auf dem Toast
hat potenziell
unendlich viele Urbilder
Wir wissen uns also irgendwie mit dem Zählen,
diese unendlich vielen Urbildern herumschlagen und dann sozusagen richtig viele auswählen.
Bei die Methode geht es, geht folgendermaßen, wer weiß. Die Methode,
dass wir gucken erstmal den RON an und gucken sozusagen,
ob wir bis auf ganzteilige Vielfache zum selben Punkt zurückkommen und
dann haben wir auch einen periodischen Punkt gefunden.
Also ein periodischer Punkt
Der Periode N. Für FA. Ja, und was war
ein periodischer Punkt? Das ist ein Punkt, so das
FA Hoch N von diesem Punkt, dieselbe Punkte gibt.
Also das heißt, FA Hoch N. Von diesem Punkt,
ich nenne ihn mal XY. Er ist derselbe. Und
in voller Schönheit mit allen Klammern sieht er de Formel so aus.
Wenn wir also so on-periodischen Punkt haben, dann können wir
etwas sagen über die Zahlen der Repräsentanten X und Y. Erfüllt.
Oder ist... Ja, erfüllt was? Dass die Enterprenz
minus Identität auf den Tores auf die Null abbildet.
F hoch, N-R-R-R-F-A. Hoch-N-minus
Identität von diesem Punkt ist sozusagen die Klasse Null. Und das heißt,
wenn wir uns jetzt diese Äquivalenz-Klassen erledigen und auf dem RON arbeiten,
dass das, was hier steht,
auf dem RON eine ganze Zahl sein muss.
Das heißt, wir schreiben jetzt für dieses Ding hier,
für FON Identität. Da schreiben wir jetzt eine Matrix hin,
die Matrix für F kennen wir schon, die Matrix für F hoch
N kennen wir auch, das ist einfach dieselbe Matrix hoch N.
Und wenn wir dann die Matrix von FON-Identität hinschreiben wollen,
dann ist es auf dem RON einfach die Matrix,
die wir vorhin hatten, minus die Einheitsmatrix.
Also sei A, B,
CD,
die Matrix zu FON
Minus. Identität, und das meine ich mit dem Matrix zu,
die Matrix zu FAs natürlich A,
und die Matrix Hitzo ist einfach die Potenz davon, minus Einsatzmatrix.
Also ich nehme die Endepotenz, diese Matrix hier,
ziehen die Matrix 1-0-0-1 ab und haben ein Deals-Ding hier.
Und dann haben sie irgendeine Matrix, wie dem auch sei.
Die Matrix muss auch nicht notwendigerweise innoviertierbar sein,
die muss nicht Databilite 1 haben, als auch im Allgemeinen nicht.
Und da bist du noch nicht viel drüber,
aber es gibt jedenfalls irgendeine Matrix.
Was wir über dieses Matrix wissen, Emma,
wie wir auch immer,
wie sie nennen wollen,
die wird trotzdem
keinen eingewerten
Null haben
Weil F kein Eigenwert 1 hat. Und das ist schon
mal ganz gut zu wissen. Und weil es kein Eigenwert
0 hat, dann wissen wir im Nachhinein doch wieder,
die ist tatsächlich immer noch invertierbar.
Für noch nicht mit Datum nannte 1 notwendigerweise.
Also so als Kleingedrucktes, dies ist eine... 4 Bar.
Matrix. Was wir letztes Mal schon benutzt haben.
Okay, jetzt gucken wir uns eine neue Abbildung an.
Eine Abbildung auf dem RN. Und die Abbildung wird
so sein,
die geht
So, dass wir abbilden, einen Punkt auf diese Matrix hier.
Und ich könnte auch sagen, wenn wir die Matrix zu FON nehmen,
dann die Enterpretenz davon und eins abziehen, bekommen wir irgendetwas.
Und die Nullstellen,
diese neuen Abbildungen, wir werden gerade sagen,
die Fixpunkte der Abbildung FA mit Periode oder die periodischen Punkte
der Abbildung A mit Periode N.
Also es gilt
Fixpunkte oder periodische Punkte.
Voll. Punkte. XY mit G von XY
Oder von dieser Äquivalenzklasse. Ja, gleich. Null. Für... Geh gleich,
F-H-N. Minus. Identität. Also ich mache jetzt eine neue Abbildung,
gehe oder wie auch immer sie ich sie nennen will und das wird dann die Entepotenz minus hoch-en-Identität. Okay,
weil es immer noch im Tores ist,
gucken wir uns eine andere Abbildung an,
die im RON funktioniert, sei, nennen wir sie mal,
geh Strich oder H. Hier vom RON,
in diesem Fall auch R Quadrat, in sich selbst geht,
die lineare Abbildung Die Linda-Abbildung, die geht dadurch,
dass sie die Endrepatenz der Matrix nehmen und dann die eins abziehen.
XY geht nach XY, geht nach 2-1
-1-1-1-1 hoch.
N, minus dem hier, 1-0,
0-1, weil XY.
Und weil wir jetzt null Stellen von dieser Abbildung gehe hier suchen,
können wir ganz genauso gut dies hier angucken,
die es jetzt fast die Abbildung gehe
Außer, dass wir nicht auf dem Tore sind, sondern im RON.
Und wir suchen jetzt Punkt MRON, die sozusagen ganzteilig sind.
Und die Nullstellen von G, die wir suchen,
die periodischen Punkte von FA, die wir suchen,
sind gerade die Punkte, die hiervon die Eigenschaft haben,
Deeves Ding, minus dieses ist gerade eine ganzzahlige Funktion.
Denn wenn ich sage,
2-1-1-1 hoch N,
mal den Vektor, ist gleich der Vektor selbst,
dann habe ich einen Fixpunkt gefunden.
Also ich brauche sozusagen Punkte,
die nach der Position auf dem Tores Null sind.
Deswegen sind die
vor der Position ganzteilig
Also wir suchen Punkte. XY. Im RON. Diesmal
R hoch 2. Mit der Eigenschaft, dass dies hier,
das HVN XY ganz zahlig ist
Element Z, ein Quadrat. Und jetzt haben wir das Problem durch
simple Umfang reduziert von einem Problem des Finnen von periodischen Punkten,
auf einem Finden von Punkten mit ganz Teilen Koordinaten.
Wir waren so ein Gitter mit ganz zu einigen Punkten und
deren Punkte wollen wir irgendwie finden. Oder Äquivalent dazu,
wir nehmen die Urbilder von G und suchen dann,
wie viele Urbilder so ein Ding hat.
Ja, wie machen wir das? Das ist jetzt nicht
so, vielleicht auch nicht schwer.
Wir müssen sozusagen Urbilder von dieser nicht invertierbaren Abbildung finden
Und wie findet man Urbilder einer Nicht-invertierbaren Abbildung?
Da müssen wir uns erst mal ein paar Gedanken machen.
Und die Gedanken, die wir uns machen, sind folgende.
Wir werden dieses Algebrasch-Problem reduzieren auf ein gemetrisches. Und wir werden sehen,
dass die, wenn wir diesen gemetrischen Flächeninhalt betrachten,
von diesem Parallelogramm und sehen, wie der sich verhält,
dann kommt, wird herauskommen,
die Fläche nach einer Iteration von diesem Objekt,
oder zumindest von dem, was wir da so gern hätten,
von diesem, von ein paar Lelogrammen,
so wie hier als Abbild herauskommen.
Wird gerade sein,
die Zahl der Punkte im Urbild von 00
von solchen Abbildungen
Und jetzt kommt ein Argument, dass das bisherige,
nehme ich das, Finn von pyrischen Punkten,
reduziert auf das Fild, auf das Zählen von Gitterpunkten,
in einem bestimmten Palelogramm.
Und jetzt dürfen wir uns diesmal an.
Also wir können das finden. Von ein paar jurgischen Punkten
. Zurückführen
Auf das Zellen.
Von Gitterpunkten. Im, oder in Parallelogramm
Ja, denn wir wollen nach wie vor bezahlende Uber hier von bestimmen.
Das wäre jetzt das Problem, was uns irgendwie umtreibt.
Und ich werde dann sagen, wie man das auf ein
gemetrisches Problem zurückführt. Stellt sich mal vor,
sie wüssten schon, die zahlende Punkte in einem Palelogramm,
die zahlende Gitterpunkte, die zahlende ganz zahligen Punkte,
in Z-Quadrat, die würden sich schon kennen.
Nehmen wir an, sie wüssten schon,
das hätte was zu tun mit dem Flächenhalt dieses Palelogramms.
Wie würden wir dann weitermachen? Dann würden wir sagen,
der Flächenhalt eines Prale-Logramms unter einfache Iterationen einer Abbildung.
Tja, das ist leicht auszurechnen, weil wir einfach die
Determinante der Matrix nehmen können und dann wissen wir schon,
was er rauskommt
Und wenn wir die determinante von so etwas bilden wollen,
dann ist es ziemlich leicht,
weil wir einfach dann diese Patenzen nicht ausrechnen müssen,
sondern wir sagen einfach, dieses Jahr können wir auf Diagonalform schreiben,
Eigenwert 1, Zier, 1 Grad 2 dort,
0-0.
Und die Datum nannte von FON-A ist leicht auszurechnen.
Eine kurze Bemerkung im Beweis.
Wir kennen schon
Die Abbildung, also wenn ich dieses ab und hier nehme,
FON-Ministidentität und wir uns fragen, wie sehr streckt uns staucht diese Abbildung den Flächeninhalt.
Das ist jetzt anscheinend bei uns und für bundes Problem,
in der Tat ist es aber ganz zentral.
Und das ist ein Problem, das können sie alle lösen,
wenn ich ihnen sagen würde, hier ist deine Aufgabe,
berechnen sie den Flächeninhalt. Das eine ist Quadrats,
nachdem ich diese Abbildung hier, wie sie hier steht,
N mal verwendet habe, dann werden sie sagen,
ja, das ist ja nun die leichte Sache der Welt.
Ich muss ja nur eine lineare Abbildung,
eine Matrix auf den Disquadrat anwenden
Und dann weiß ich, wenn ich die Detail benannte,
diese Matrix hier, ausrechnen kann,
dann habe ich den Flächen halt auch schon gefunden.
Also wir kennen schon den Flächeninhalt des Einhalt, des Einheitsquadrats.
01 Quadrat nach Abbildung. Mit dieser Macht, die da aufsteht,
mit 2-1-1-1 hochen-n-n-n-minus.
1-0-0-1. Ja,
das ist nämlich genau determinante, von die du machtest,
die hier steht.
2-1-1-1-1 hochen-n.
Minus 1-0-0-
Und wieso können wir die Datum lante?
Wir kennen sie, weil wir die Matrix links diagonalisieren können.
Rechts kommen wir sowieso diagonalisieren, das nichts zu tun.
Dies ist gleich die Detembnante der Matrix-Lande 1,
0-0-Lande 2, hoch N,
minus 1-0,
0-
Ja, die sind eigentlich genau die Formel. Lande 1,
minus 1. Das ist, was wir links oben stehen haben,
wenn wir hier die Patenz nehmen und die 1 abziehen.
Und das multiplizieren wir mit Lamda 2.
Auch in minus 1. Und da wir uns erinnern,
Lamda 2 hoch Ende, ist gerade Lamda 1
hoch minus Ende
Also auch gleich. Der 1 zu hoch N. Dieses Jahr übrigens ist Land da.
Jetzt auch minus N. Plus. Nimmt 1 auf minus N
minus 2. Okay, da steht jetzt also ein Term,
der gibt jetzt einen Flächen halt wieder,
noch keine Zahl der periodischen Punkte.
Und der Term ist genau gleich dem Term, den ich behauptet habe,
dass er die Zahl der periodischen Punkte sein wird.
Wie kommt das? Jetzt werde ich Ihnen noch sagen,
warum solche Gitterpunkte
Zellen von Gitterpunkten, etwas zu tun hat mit Flächenhalt und etwas zu tun hat mit periodischen Punkten.
Also dazu gucken wir uns nochmal diese Abbildung an, die hier steht.
Und ich behaupte, wenn sie eine Abbildung haben,
nicht nur weil eine Weise invertierbar,
die ein Quadratabbild auf irgendeinen Parallelugamm im RON,
dann ist die Zahl der Gitterpunkte, die da drin liegen,
just der Flächenhalt dieses Einheitsquadrats.
Also jetzt kommt ein kleines Unterlämmer,
der weiß noch nicht fertig, aber der ist fertig,
wenn ich
dieses Unterlämmer bewiesen habe
Und dann habe ich erst gilt.
Folgendes. Geometrische Lämmer. Die Zahl.
Der Gitterpunkte
Und mit Gitter, meine ich in diesem Fall, das Ganzzahlgitter,
also alle ganze Hallen geht davon aus Z-Wadrat, aus Z-Quadrat.
Das ist das einfachste Gitter, was mich vorstellen kann.
Einfach alle ganz zahligen Punkte. In... Ja, welche
Gitterpunkte werde ich zählen? Hier habe ich ja gesagt,
ich will die Punkte zählen, XY,
die Urbilder sind von 0-0.
Mit anderen Worten, just alle,
die in diesem Quadrat
drin liegen
Bild von so einer Abbildung in diesem Fall,
von dieser Abbildung dort,
im Bild von einer linearen Transformation des Einheitsquadrats,
sind gegeben
Oder er ist es gegeben. Durch. Dead. Ja
, das geht jetzt nur für bestimmte Abbildungen. In diesem
Fall will ich Linieabbildung, Bild von Linie und Abbildung.
Abbildung L. So, das ist ein geometrisches Lammer. Ich zeige ihm,
dass wenn ich mit diesem Beweis fertig bin und dann haben
wir schon die Zahl der periodischen Punkte gezählt.
Denn wieso haben wir das getan? Wir haben uns jetzt überlegt,
die Zahl der U-Bilder von G, von diesem Punkt 00,
ist, was wir suchen. 9-0 ist ein Punkt,
der auf dem Tores ein einziger Punkt ist und dem RON,
das Gitter-Z-Quadrat ist, also die 0-0, alles,
was auf 0-0 abgebildet wird, auf den Tores,
sind gerade die Punkte XY mit X-Guns-Zeich und Y ganz zahlig.
Das heißt, dieses Gitter hier,
Zeitquadrat und dieses Punkt 0-0 ist dasselbe,
je nachdem, wofür man RON oder auf den Tores sind
Und wenn wir jetzt die Urbälle von G suchen,
ist das dasselbe, wie sozusagen die Urbäder von so Annalena
an Abbildung zu suchen im R-Quadrat.
Alexander 1. Das stimmt, hier habe ich noch einen Betrag
vergessen. Es muss nämlich hier dieses stehen,
weil ich ja von Flächen halt gesprochen habe und deswegen
sollten wir nochmal dies dazuschreiben.
Vielen Dank für die Bemerkung
Genau, vielen Dank. Wir wollen die pyrischen Punkte zählen.
Das ist nur die positive Flächeninhalt. Und so wie ich
es da stehen habe, stehen in der Tat noch ein Minuszeichen dort.
Okay. Ja, jetzt die Frage,
warum ist dies gemetrische Lämmer war? Mit anderen Worten,
warum ist die Zahl von Gitterpunkten gegeben durch eine determinante und
einen Flächeninhalt durch das L?
Also das heißt,
den Flächeninhalt
Nach Anwendung der Abbildung. Okay, der Beweis soweit klar.
Denn dieses gemetrische Lämmer, das muss ich auch noch zeigen.
Und da ist der Beweis lang und hat viele Formeln,
aber der ist leicht zu verstehen. Und das,
was bisher geschah, das hat wenige Formeln,
aber das ist konzeptionell so, dass man ordentlich ordentlich nachdenken muss.
Denn ich habe ja ein algebrachisches Problem, fix Punkte,
reduziert auf ein gemetrisches Gitterpunkte und Flächen halt
Dazu kommt jetzt noch etwas. Okay. Jetzt überlegen wir uns als nächstes,
wie finden wir deinen Flächenhalt eines Quadrats zu einer Matrix wie dieser hier?
Und nebenbei sollten wir uns noch überlegen,
was die Zahlen der Git-Punkte so genau ist,
wenn die zum Beispiel auf dem Rand liegen.
Also, jetzt kommt der Beweis des gemetrischen Lämmers und der
Beweis von diesem Lämmer schließt dann diesen Beweis auch ab.
Also, Beweis. Das, also hier schaffe ich nochmal QID,
weil nachdem ich diese Aussage bewiesen habe,
der Bereich so oben fertig ist.
Aber dieses außer, hier ist noch zu zeigen.
Geometrischen Lämmers. Mit Antworten, ich sage das, wenn wir ein...
Hier haben wir dieses Gitter, das Einsatzgitter im RON.
Dieser Garm gehört nicht zum Beweis an der Aussage.
Und jetzt stellen wir uns vor, in diesem Gitter haben wir irgendwo ein Parallelugramm.
Und dann überlegen wir uns, was dann die Größe sein kann.
Das Parallelugramm geht euch ganz zu heilige Punkte. Zum Beispiel
Diese hier. Und das ist nicht notwendigerweise die Mathes,
die dort steht. Jetzt sage ich, das geht von
hier nach dort und zum Beispiel zu diesem Punkt dort.
Und weil es ein Parallelugramm ist, sind dann die anderen Seiten vorgeschrieben.
Das hier geht von hier nach dort. Und hier geht
es weiter. So, und jetzt war dieses Parallelugramm,
dieses gelbe Ding hier, verschiedene Punkte des Gitters in sich.
Und die müssen erst mal zählen.
Wir haben hier Punkte,
nämlich diese hier
Und die auf dem Rand vielleicht auch noch, die müssen
irgendwie geschickt dazu zählen. Und bei manchen paar Elogrammen,
aber nicht bei diesen, gibt es noch Punkte auf der Kante,
die müssen auch noch irgendwie zählen.
Und zunächst mal eine überlegen, wie wir das so tun.
Wenn wir so ein paar Telegramm haben, das sagen wir mal,
Dinge auf der Kante enthält, wie zum Beispiel dieses hier,
dann müssen wir diese Punkte irgendwie geschickt zählen.
Und nur damit wir uns nicht vertun,
wir zählen immer so, Punkt im Inneren,
zählen eins
Punkte auf der Kante zählen einhalb und Punkte,
weil wir den Punkt sozusagen für dieses Quadrat,
für dieses App-Heale kommen und für das Benachbarte auch zählen würden.
Und Punkte auf der Ecke zählen sozusagen alle zusammen eins,
denn jeder Punkt auf einer Ecke von einem paar Lelogramm gehört zu vier,
Parallelugramm, die, ähm, sozusagen um die Ecke herumgelegt werden.
Zunächst mal, wir zählen wie folgt, also wir.
Ja, Gitterpunkte
Die einen parallel begaben. Ja, so.
Im Inneren zählen wir mit eins auf dem Rand.
Zählen wir eineinhalb und Ecken Sozusagen eins für alle vier zusammen.
Und für alle vier Ecken. Zusammen. Oder wenn
sie wollen, ein Viertel für jede Ecke. So,
das ist nur das Zellen und jetzt kommt der Beweis,
der geht jetzt hier los
Tja, wie machen wir das? Wir haben ein Objekt,
wir haben ein paar Legogramm, das vielleicht irgendwie geometrisch kurios,
wir wissen noch nicht viel darüber.
Und wir wollten irgendwie den Flächen halt ermitteln. Und dazu
machen wir einen kleinen Trick, einen kleinen ganz gemetrischen Leichentrick,
den hätten sie schon in der Schule und im ersten Semester verstehen können.
Konnten sie auch, wenn sie ihn da gesehen hätten.
Der geht so. Wenn ich jetzt sage,
dieses Parallelugramm hat eine Flächenhalt, den ich ermitteln will,
kann ich genauso gut tausend solche Parallelugramme nehmen und den Flächenhalt des Objektes über alle tausend sicher erstreckt,
das von allen tausend abgedeckt wird, durch tausend Teilen.
Da habe ich auch denselben Flächenhalt ermittelt
Oder ich kann ein gewaltiges Gebiet nehmen,
ein Gebiet der Seitenlage, eine Million, in jeder Richtung,
überdecke das mit solchen Parlelogrammen und sage,
wenn ich dieses Gebiet nehme, zähle, wie viel Parlelogramme drin sind.
Und die Fläche des gesamten Gebiets gerne, dann weiß ich auch,
wie viele Flächen halt jedes einzelne Stück davon hat.
Nicht wahr? Das ist so die Idee. Ja,
also die, wir benutzen also diese Methode,
die ist so ein wenig kurios, die ist aber sehr wirkungsvoll.
Wir sagen nämlich,
dass wenn wir ein ganz großes Gebiet nehmen und das überdecken,
mit Überlappungen nach innen oder außen,
wie es uns gerade passt,
dann haben wir die Fläche des Rechtsex
bestens bestimmt
Also wir. Oder Idee. Die wir überdecken. Ein großes Quadrat.
Da nehmen wir so ein Quadrat 0 bis N für,
naja, N ist jetzt in diesem Fall schlecht,
0 bis
Emma. Quadrat. Mit der Pflastung. Durch. Kopien
des Palelogramms. Ja, wenn wir das gemacht haben,
dann werden wir einfach die gesamte Fläche teilen durch
Die Zahl der Rechtecke. Und dann sind wir auch so ungefähr fertig.
Ja, dann legen wir mal los mit diesem Programm.
Untertitel von Stephanie Geiges Ja, Moment. Sie hatten gerade
eine Frage, Herr Bronke. Sie haben nämlich nach
der Ganzteiligkeit der Zahl der Gitte-Punkte des Flächen des Flächenhals.
Ja, und zwar habe ich geredet oder so hätte ich
reden sollen, über Abbildung L. von ganzteiligen Matrizen.
Ich mache das hier auch kurz zu Ende. Ja,
in der Tat. Also ich rede von linearen Abbildungen mit
ganz zahligen Einträgen, die also Gitte-Punkte auf Gitte-Punkte abbilden.
Die haben ja die Eigenschaft, dass der Flächen halt immer ganz teilig sein wird.
Und das könnt ihr auch irgendwie so sehen,
wenn Sie überlegen, Sie haben so ein paar Lilegramm.
Alle Ecken liegen auf ganzen, also auf ganz teiligen Punkten,
dann könnt ihr das Paillettogramm erstmal in einen Rechteck überführen.
Sie schneiden so rechts ein Stück ab.
Durch waagerecht und senkrechte Schnitte. Und reanagieren das Ganze.
Dann können Sie zu einem Rechteck zusammensetzen. Und dann Rechteck
mit ganz teiligen Punkten, hat automatisch ein ganz teiliges Flächeninhalt.
In kein zweien Flächen halt, weil die X- und Y-Dimension
eben ganz teilig sind.
Das Produkt davon ist ja
ein Flächeninhalt
Okay. Wo ist jetzt unsere Paraketierung, wenn ich gesprochen habe?
Hier war dieses Große Gebiet von 0 bis M-Quodrat.
Hier ist 0 und hier ist M. 0 und M.
Hier ist unser Gitter. Und so weiter. Und unsere
prallelugamme sitzen jetzt darin und die wollen wir uns ansehen.
Also hier haben wir ein paar Lebegraben.
Das sitzt meinetwegen hier unten, da geht es los.
Und das wollen wir studieren
Und was meine ich mit Pflaster? Mit Pflasterung meine ich
. Wir nehmen Kopien des Pallaydogramms und setzen sie zusammen,
jeweils an den passenden Seiten. Also wenn dies,
das Pallaydogramm ist, mit dem wir uns eigentlich befassen wollten,
dann nehmen wir als Zwischenschritt sozusagen viele Kopien davon.
Wir setzen, die kopieren hier dran. Und hier geht
es weiter. Und überdecken damit diese gesamte Rechte.
Und jetzt wollen wir nur die, also die Flächen,
den Flächen halt von M, mal M., dies,
Quadratsmitzeichen lang M.,
den kennen wir schon
Das heißt, die Zahl der Objekte hier drin ist der
gesamte Flächenhalt, den wir schon kennen.
Geteilt durch der Flächenhalt des Einzelnen. Das heißt, der Flächenhalt,
die ist bei Lelugramms, der wird sagen, die Zahl,
also der geräumte Flächenhalt von diesem Ding durch den einzelnen Flächenhalt.
Flächenhalt und Anzahl sind irgendwie proportional. Ja,
und dann überlegen wir uns, wie viele paar Lelugramme passen
da hinein und wie viele braucht man zum Überdecken.
So ein Problem, das wir haben werden,
manche Kopien, zum Beispiel die Kopie,
die hier jetzt kommt,
die sitzen so
ein bisschen draußen
Und bei solchen Dingen wissen wir nicht so richtig,
wie wir die zählen wollen. Gehören die jetzt dazu oder
nicht? Und weil wir das nicht so genau wissen,
zählen wir zweimal. Einmal zählen wir sie dazu,
das einmal zählen wir sie nicht dazu.
Und dann sehen wir das ungefähr, dasselbe herauskommt,
so war ein Fehlertherm, der gegen Null geht.
Und dann sind wir fertig mit dem Beweis.
Also Abschätzung in beide Richtungen.
In beide Richtungen
Und wir sagen jetzt, sei L, die längste,
oder die oder eine, Diagonale.
Im Parallelugramm. Also in diesem Fall das Verbindungsstück von hier
nach dort. Dies hier soll jetzt sein, die Länge,
L. Okay, und dann können wir folgende Abschied machen.
Also dann gilt
Alter, dann. Dann gelten folgende zwei Elementaren beobachten. Erstens,
wenn ich die parallelen Dogramme nehme,
diesem kleineren Stück sind,
wo ich hier bei L. Off höre und hier bei minus L,
wenn ich dieses kleine Unterrechteck nehme unter Quadrat,
im Inneren, also von hier nach dort,
L und minus L. Und wenn ich jetzt also dieses Ding hier nehme und alle Zähle,
die hier hineinfallen,
dann werden die auf jeden Fall im Inneren
dies größeren Rechtecks liegen
Und andererseits, wenn ich welche nehme, die in diesen
größeren Quadrat sind. Nämlich von minus L. Du bist M
plus L. Dann werden die auf jeden Fall alle beinhalten,
die irgendwie diese Kante überschreiten. Also dadurch,
dass sie das Quadrat nach Belieben für Größe oder für kleiner,
jeweils um die Länge L, muss ich mich nicht damit rumschlagen,
ob Rechtecke jetzt irgendwie über die Kante hinausgehen oder nicht.
Ich zähle einfach mal dem Inneren im kleinen Quadrat und im Großen.
Und wenn ich sage, das wird ungefähr dieselben Zahlen sein,
die herauskommen, Dann weiß ich auch, es war nicht so wichtig,
wie der Rand sich so genau verhalten hat.
Also dann gilt es, alle Rechtecke oder paar Ledogramme.
Die bin, oder sagen wir die, die ist kleinere,
schneiden, die das Quadrat L bis M-L. Schneiden oder berühren?
Die liegen auf jeden Fall im inneren. Von 0 bis M.
Quadrat. Und analog von der anderen Seite, alle,
die sagen wir, dieses Quadratier berühren von 0 M bis 0 M.
Die liegen auf jeden Fall im Inneren, die ist größeren Quadrats.
Wie so alle. Alter Paleo, komm, wie schreibe
ich das zum Besten? Das heißt, je nachdem,
ob ich diese 0 mit Vielfalt 0 oder 1 zähle,
komme ich dann in den Flächenhalt,
das kleine oder das größere Recht extra raus.
Alle Paleogramme,
die Wolbes M, Quadrat.
Errühren. Minus Elvis
M plus L. Quadrat. Das ist dieselbe Aussage mit Benvayablen
, etwas verschoben. Okay, dann zählen wir mal,
wie viele da so drin liegen. Und dann werden wir feststellen,
dass so die Behauptung, wir werden feststellen,
dass die Zahl der Quadrate darin justner Flächen halt ist oder
der Kotzent aus Zahl und Flächenanhalt geht irgendwie idealerweise gegen eins.
Okay,
fangen wir an
Ja, dann zählen wir mal los und sehen, was wir sagen.
Also wir haben so ein Quadrat, dessen Flächenhalt kennen wir.
Und jetzt wollen wir die Zahl der Elemente darin bestimmen.
Also es geht. Ja, und jetzt kennen wir die Länge des Quadrats,
die Bezeichnung mit M. L ist diese Differenz, die ist konstant.
Und M lassen wir gegen unendlich gehen. Und A oder
irgendwie F Mich einen Buchstaben habe ich noch nicht vergeben.
Wir brauchen noch einen Buchstaben für den Flächeninhalt des einzelnen Quadrats
, nennen wir den mal F. Also sei.
Von der Flächeninhalt. Eines. Der Parallelugamme
Dieses Öfters wollen wir gerade bestimmen, wenn wir die Zahl kennen.
Okay, dann gucken wir mal was, wie wir so rausbekommen.
Also die Idee ist, wir wollen den Flächen halt eines dieser Programme bestimmen.
Wir kennen schon den Flächenhalt des gesamten Quadrats, das kleine Blaue,
das große Blaue, die unterscheiden sich durch eine Menge,
die wir kontrollieren können. Und wenn wir dann wissen,
wie viele Parallelogramme in diesem Quadrat in dem kleinen oder großen Blauen hineinpassen,
dann wissen wir auch, die gesamte Zahl der Fläche,
die dadurch überdeckt wird,
die ist nämlich die Fläche des Einzelnen mal die Anzahl,
Also Fläche der kleinen Parallelugramme, mal deren Anzahl wird sein,
die Fläche des Quadrats, die wir kennen.
Und deswegen ist der Kozent aus Fläche des einzelnen paar
Lelugramms und Zahl der Parallelugramme, die ist gerade,
was wir hier so haben.
Denn es gilt also der Fläche.
Eines. Parallelugramms
Zahl der Parallelugramme. Ist gleich. Bis auf einen Fehlertime,
den wir noch kontrollieren müssen. Fläche. Quadrats. Plus.
Fehlertime. Und im Folgenden werde ich jetzt deswegen sagen,
Das Produkt ist bekannt und deswegen kann ich sozusagen den Quotienten nehmen von
diesem Ding und eins von diesen Dingen und halte den anderen Faktor.
Und welches davon will ich abschätzen? Fläche oder Anzahl,
wie es mir gerade am besten passt.
Ja, dann sehen wir mal, was da,
was wir sagen.
Also Anzahl
Ich mache erst mal eine Abschätzung nach unten und danach kommt
eine Abschätzung nach oben. Und die Abschätzung nach unten bekommen wir,
indem wir sagen, wir nehmen schon mal n-l.
Quadrat, das hieß der Flächenhalt des kleineren Quadrats,
geteilt durch F. Da ist der Flächenhalt des Einzelnen,
das ist die Anzahl und gemäß diese Regel hier,
wenn ich sage,
Anzahl der paar Lelogramme
Ist gleich ungefähr diese Quadratfläche geteilt durch die Parlilogrammfläche.
Das heißt, und die Quadratfläche, die ist schon mal
mindestens so groß wie das Kleine von beiden Quadraten.
Okay. Ja, das ist Ensulan M sein.
Vielen Dank. All die ist mindestens so groß wie die
vielleicht von diesem hier. Und dass ihr es gleich,
das brauche ich abschätze nach unten,
im Quadrat durch
Sowas hätte ich gar nicht. Jetzt kommen noch weitere Fehlertherme.
Ja, was kommt denn noch als Fehlertherme? Eins der
nächsten Thermie ist 4 ML durch F. Also ins minus 4 L durch M.
Ich lasse es im Quadrat durch erstmal vorne stehen.
Und den anderen Thermen plus 4 L-Quadrat durch F,
den lasse ich weg, den lässt positiv und habe dann eine Abschätzung nach unten.
Deswegen habe ich hier schon mal eine Abschätzung für das,
was so herauskommt
Und es wird sogar sein, ja, Alice konstant, MGG unendlich.
Und deswegen wird das hier eben Grenz hat 1 ergeben.
Dann habe ich einen Abschluss in die eine Richtung.
Und andererseits ist die Zahl der Parallelugamme. Hier ist kleiner
gleich. Und jetzt kommt dieselbe Abschätzung mit dem großen Rechtexpert
im Kleinen. Also kleiner gleich.
M plus
Quadrat durch F. Und das will ich irgendwie abschätzen. Und
ich will jetzt auf eine Form M-Quadrat durch F plus Rest bringen.
Und das mache ich so. Kleine gleich M-Quadrat durch F.
Mal Therme, nämlich den Term 1. Plus, ja,
der nächste Term, wie heißt vier L mal M.
Und ich teile durch M. Tier, also komme ich
vier L durch M.
Und jetzt kommt noch an Term
1 plus. Der dritte Tim hier wird sein 4 mal 11
Quadrat, jult euch F. Und das ist dasselbe wie 4L-Quadrat,
ich finde ich M-Quadrat ausklammern, 4L-Quadrat durch M-Quadrat.
Ich kann sie noch mal L durch M hier hinschreiben.
Und dann habe ich diesen Therm, da gibt es mehrere
kleinen Aggornische Schritte auf einmal gemacht, das können sie leicht nachrechnen.
Und diesen Teil möchte ich gerne noch abschätzen, damit ich nicht als Fehler L durch Ms herumstehen habe. Wenn ich sage,
dass wir machen das Quadrat so groß,
L ist fest und M ist groß, Wenn ich sage,
M ist mindestens zweimal so groß wie L. Oder was sinnvoll ist,
also dass das kleine Quadrat, die nicht gerade verschwindet,
dann habe ich zumindest also für 2L. Hier die Abschätzung, wenn L,
kleinerst als ein halbmal M, ist dieser Termin, der Klammer höchstens drei Albe.
Und ich habe eins plus sechsmal L durch M.
Habe ich erst mal eins plus.
Oder auch zehn oder tausend, das spielt eigentlich gar keine Rolle.
Jedenfalls irgendwas, irgend so ein Fehler-Term. Und wenn Sie jetzt diese beiden Abschätzungen betrachten,
mit Ihrer Analsis-Ausbildung, dann sehen Sie mehr so scharf,
ganz klar, wenn El fest ist und M gegen Unendlich geht,
dann geht ganz sicherlich der eine Term gegen M Quadrat durch F und anderthalb,
durch M Quadrat durch F.
Und deswegen haben wir die Wahrheit ermittelt. Die ist nämlich
genau diese Term M-Quadrat durch F. Und mit anderen Worten,
da M-Quadrat, der Flächenhalt des Quadrats war,
und die ist der Flächenhalt des Rechtsexists,
ist diese Flächenhalt des Rechtsex, jetzt, genau,
Flächenhalt des verdrahts, mal zweite Palelogramme.
Okay, was sagt das jetzt über den Flächenhalt des einzelnen Parallelegramms?
Eins davon? Ja, schauen sich an. Die Anzahl haben wir,
die Fläche davon, die ist jetzt genau,
wenn wir es umstellen, Anzahl der Einheitsquadrate im großen Quadrat,
gezahlte ich einzelne Palelogramme.
Das heißt, der Flächenhalt ist genau das,
was ich hier behauptet habe.
Das ist dann das Ende von diesem gemetrischen Lämmer
Also am Ende von dir so Analysis steht die Aussage,
dass die Anzahl der Parallelugramme genau gleich diesem Term ist.
Und ich habe es noch auf den nächsten Tag für,
wie das aus dem Gernhattan bewiesen haben
Musik Ja, jetzt können wir uns noch auf die Frage stellen,
wie viele Einheitsquadrate passen denn in dieses große Quadrat der Länge M hinein?
Natürlich M Quadrat. Also wir haben M-Quadrat-Einheitsquadrate.
Und dort haben wir die Zahl der paar Lehrdogramme,
die es gerade M-Quadrat durch F,
das heißt der Flächenhalt ist die Anzahl, oder das M-Quadrat,
also zahlt der Einheitsquadrat durch Anzahl der Prallelugramme.
Das gilt also, also ist Der F. Ja,
durch simple umstellende Formeln.
F gleich. M-Quadrat. Wahl. Zahl dir ein.
Parallelogama. Ja,
wegen Limas
Unendlich. Und das ist genau die,
deswegen ist genau die Zahl der Einheitsquadrate, ach so,
hier muss ich noch teilen.
Das hier ist im Quadrat und das hier ist das,
was wir gern hätten. Und deswegen ist... Ja,
jetzt kommt die eigentliche Behauptung, die Behauptung war ja,
dass wir die Gitterpunkte so zählen können
Ja. Überdeckten. Ja, wie war es jetzt mit den Gitterpunkten?
Die wollten wir eigentlich zählen. Wir wissen, das ist Quadrat,
das ist ja ganz klar M-Quadrat, geht da Punkte.
Die werden irgendwie verteilt auf diese Pile-Elogramme,
deren Zahl wir jetzt kennen. Diese Zahl M ist jetzt
gerade M-Kondat durch F. Die Zahl überdecken Gitterpunkte im Quadrat
Ja, davon gibt es. Im Quadrat ist... Diese hier,
und die ist die Zeile Palelogramme durch F. Ja,
deswegen ist die Zeile überdecken gekommen.
Durch F. Ja, wo ist jetzt eigentlich der Flächenerhalt des einzelnen Pilelegrams?
Den, den wollten wir haben. Jetzt haben wir den Flächenerhalt von
vielen paar Lelogrammen ausgerechnet. Und jetzt überlegen wir uns,
ganz klar, alle haben genau in denselben Flächenerhalt. Das heißt,
wenn ich nur durch dieses teile, dann habe ich genau,
was ich gern hätte, nämlich, dass jedes einzelne Pilelegramm,
den Flächen halt, von jedem einzelnen, einen als Quadrat,
also zahle Git-Punkte in jedem einzelnen Einheitsquadrat,
nämlich eins,
mal diesem F habe
Denn wie ist das? Wir haben da viele Gitterpunkte.
Wir wissen, wie viele. Wir haben es überdeckt mit
einer Anzahl von ein paar Lelogrammen. Und den Flächenhalt des
Palelleluramms kennen wir auch und sind damit auch schon fertig.
Und das beendet dann diesen Beweis hier. Und damit haben wir
so eine Art algoragisches Objekt, nämlich periodische Punkte und so weiter.
Zurückgeführt auf ein gemetrisches, nämlich irgendwie Zellen von irgendwelchen komischen Gitterpunkten.
Also nicht komischen, sondern besonders schönen Gitterpunkten. Okay,
das war jetzt ein langer Beweis. Damit haben wir gezeigt,
was haben wir da eigentlich gezeigt, dass diese hypobolische Torusabbildung,
als die Toastabbildung. Eine bestimmte Anzahl von periodischen Punkten hat,
nämlich Lampe 1 hoch N, plus weitere Therme, die exponentiell wächst.
Und das ist schon ein schönes Ergebnis. Ja,
was kommen wir noch über diese Abbildung sagen in den letzten Puffelbleiben Minuten?
Wir kennen diese Begriffe von toplogisch transitiv, mischend und desgleichen.
Und die können wir uns kurz mal überlegen,
ob die zutreffen. Es gibt also folgende Aussagen.
Satz. Die Arneutsche
Katzenabbildung. Ist topologisch. Zerransitiv. Topologisch tanzt tief an
diesem Ding. Es gibt ein dichtes Orbit oder Äquivalent dazu,
zu je zu offenen Mengen. UNV. Gibt es einen K,
sodass F-Hochka von der einen Menge in der anderen liegt.
Und es gilt sogar eine starke Aussage.
Es gilt sogar
Diese Abbildung FA ist topnologisch, missions. So,
das ist der neue Begriff, der kommt dem Satz vor.
Den werde ich erstmal erst mal definieren und kurz als Definition
Eine Abbildung. F von X nach X, in einem
metrischen Raum. Oder für die Experten von denen,
in einem topologischen Raum,
heißt topologisch mischend
Wenn gilt, dafür... Je zwei.
Offener. Mengen. A, B, oder UV,
oder wie auch immer wir sie nennen,
gilt das die eine Menge nach Iteration von endlich vielen Schritten.
So groß ist, dass sie die andere schneidet und dass
sie die dann für alle zukünftigen Iterationen
immer weiterschneidet
Gibt es N gleich, N von A, B,
sodass für alle K,
Grüße an Kyle Mad N. Geld A geschnitten,
FHK von
Ist nicht leer. Was ist das denn? Hier kommt
gerade eine gute Frage. Ist das derselbe Begriff wie chaotisch?
Sehr gute Frage. In der Tat gibt es viele Defentionen
von chaotisch. Viele Nicht-Äquivalente. Manche Begriffe setzen solche topologischen
Definitionen voraus und setzen noch etwas dazu. Nämlich sagen dann,
außerdem sollen noch die Zahl der periodischen Punkte genügend schnell wachsen.
Zum Beispiel soll es exponentiell viele davon geben. Oder die
periodischen Punkte sollen auch noch zusätzlich dicht liegen im Raum.
Das sind extra Forderungen, die sind nicht von diesen
topologischen Forderungen abgedeckt
Aber... Genau, hier braucht man nicht einen metrischen Raum.
Ich habe es mal hingeschrieben, um uns gleich zu sein.
Sie brauchen einen topologischen Raum und sie können in diese Defention da weiter und sagen,
eine Abbildung in einem topologischen Raum heißt topologisch mischend, wenn gilt.
Für je zwei Objekte einer Basis der Topologie
gilt diese Eigenschaft, die da rechts steht.
Ich wollte nur einen Begriff Bass der Topologie, sollte das vermeiden.
Und deswegen schreibe ich das zu hin.
Und eine Straße Team. Ah, gute Frage. Ist
dies Jahr Äquivalenz zu topologisch transitiv und fix und menge leglich?
Nein, denn hier ist nichts über Fixpunkte gesagt
Es gilt aber, was hier steht,
ist eine stärke Aussage als top logisch transitiv.
Also, es gilt Folgerung. Folgerung aus dieser Definition ist
die Definition von top logisch transitiv mit dem Vermischen von Mengen für alle.
A, B, offen. Existiert einen K, Element
Mit A geschnitten, FOKK von B. Ist nicht leer.
Und das, was dort steht, ist in den meisten Zusammenhängen,
Äquivalent zu topologischer Transitivität. Also genau daran gilt,
dass hier ist gerade die Bedenkung von topologischer Transitivität,
Ende vernünftigen Gräumen, nämlich solchen,
wo sie ein bestimmtes Absehbeaktion, keines Aktion haben,
die sich ihnen auch zeigen werde und wo keine isolierten Punkte herumstehen.
Nächstes Mal gebe ich noch eine genaue Kartorisierung von der Equivalenz
von solchen Bedingungen zu topologischer Transitivität
Das mache ich heute aber nicht mehr, weil es etwas länger dauert.
Es ist jetzt ein Satz mit vier äquivalenten Aussagen.
Da wird sein, eine Abbildung ist topologisch transitiv.
Im Sinne von, es gibt ein dichtes Orbit. Genau dann,
wenn dieses Tier erfüllt ist und genau dann, wenn es,
es gibt ein dichtes Semi-Orbit, die positive Hälfte davon.
Den Satz werde ich ihn zeigen, aber der gilt nicht
allgemein, sondern der gilt noch für bestimmte Räume.
Zum Beispiel sage ich mit keinen isolierten Punkten.
Und deswegen ist für solche Räume die Bedingung des Topolotion
der Transitivität schwächer und folgt aus dem Leben des Topologischen Missions
Ja, jetzt habe ich gerade noch
ein wenig Zeit und kann Ihnen gerade noch zeigen,
dass diese Abbildung hier top logisch mission ist.
Und das wird dann
die Transitivität auch noch erklären
Musik Okay. Also. Beweis. Ich beweise Ihnen jetzt
die Eigenschaft des topologischen Missions. Ja,
überlegen Sie uns noch, das habe ich leider schon weggewäscht,
aber das hatten wir am Anfang da.
Es gibt diese stabilen, instabilen Richtungen, die instabil ist,
die Expandierende und die stabilierst die Kontrollierende und
die eine expandiert exponentiell,
die eine kontrolliert exponentiell und das werden wir
jetzt benutzen
Die instabile Richtung. EU. Längst derer.
Welche... Spandiert? Hat irrationale Steigung
Okay, warum hat die irrationale Steigung aus zwei Gründen?
Erstens können Sie ausreichen, Sie können einfach den eigenen Raum ausrechnen,
Sie kommen in Sonne steigen und da steht irgendwann eine Wurzel 5 drin,
minus eins halten oder so etwas, dann haben Sie es gezeigt.
Oder Sie können sich überlegen, hätte sie rationale Steigung,
dann geht die Linie,
die von null losgeht und diagonal nach rechts oben geht,
wieder durch einen Gitterpunkt durch, den rationale Löchsteigung haben wir so geschafft,
dass sie dann wieder Punkte treffen.
Aber die Punkte, das sind beides Fixpunkte und
sie können dann nicht zwischen zwei Fixpunkten immer weiter expandieren.
Das wird irgendwann, zumindest nicht mit einer egalen Linie
Jedenfalls hat diese irrationale Steigung deswegen. Deswegen gilt,
das hatten wir nämlich schon bei der Torestranslation gesehen,
das sind völlig andere Abbildungen, aber da hatten wir gesehen,
irrationale Linie mit irrationaler Steigung,
also wo die X- und Y-Geschwindigkeit rational unfänglich sind,
haben die Eigenschaft, dass sie dicht sind im Tores.
Deswegen ist also diese Linie, ist ES oder EU,
beide davon,
dicht,
Ich habe ja so in der Linie. Hier ist nochmal
der Tores als Quedrat gezeichnet. Und die instabile Richtung,
die geht los. Hier geht sie los. Das ist EU.
Und dann geht sie weiter. Und das, was herauskommt,
ist so eine Familie von Linien, die die Eigenschaft hat.
Also hier wird expandiert. Dass diese Linien dicht liegen und
alles mitnehmen. Liegen zwar nicht in jede Richtung dicht,
aber in diese einen Richtung liegen sie und bekommen dann an
jeder anderen,
an den Punkt
beliebig nah dran
Ich habe also so an der Linie, die liegt hier
drin und die expandiert. So, und jetzt überlege ich mir,
ich habe zwei Mengen, zwei offene Mengen, A und B.
Die eine ist hier, der sitzt A. Und die andere ist dort,
das ist B. Und ich betrachte jetzt jetzt als metrischen Raum,
weil es dann leichter wird, bezeichnen. Und dann stelle ich fest,
also wenn, also gibt es für alle Äpstler und Größer Null,
ein Tee von Ypselon, sodass ein,
oder dass jedes, naja, da ist das so,
so dass dieses Bild,
ich nehme mal hier das Stückchen der Länge Ypselon von Null an,
also die haben die ihr ein Stückchen der Länge Ypselon
EU, auf EU, bei Null, also dieses Stück dort,
sodass dieses Stück nach Iteration von Zeit Tee,
Defen X und dann ganz teilig, mindestens Äpsteron dicht liegt.
Element, GoSN. FA hoch Tee von Äpsteron.
Von diesem Stück, wie nenne ich das Stück,
Stück SS wie Stück, Von S, Y, Dicht.
Ist. Äpfel an dich bedeutet, jeder Punkt wird bis
auf Äpfel an apoximiert. Es gibt, in diese Menge
kommen da bis auf Apps und an jeden anderen Punkt heran.
So, das haben wir gezeigt. Und jetzt wissen wir,
haben wir eine Menge A, die offen ist,
dann hält sie per Definition von Offenheit eine Apps und Umgebung jedes Punktes.
Den hält also ein Apps oder ein langes Stück.
Er ist so lange Stück von dieser Manchfaltigkeit EU, genau wie dieses, nur verschoben.
Und weil dies hier nicht liegt und das Bild von dem Ding,
was in A liegt, Nur verschoben ist,
ist und das Bild davon auch dicht und insbesondere kommt das Bild von A,
durch B durch oder das Bild von B,
kommt durch A hindurch.
Also alles, also ist, also gilt für jedes Moment.
Ich habe eine Saskia jetzt gerade hin,
die ich hier gerade gesagt habe.
Es gilt für jedes Stück von EU
Durch die eine Menge, sagen wir mal, B,
der Länge. Abstellon? Ich drücke nenne ich es mal
S-Strich. F-A-Hochtee. Von S-Strich ist Y. Dicht.
Ich habe gesagt, dass wenn das Bild von diesem Stock
hier unten nach Teteration Äpstel an dicht ist
Ist doch das Bild von diesem Stück oder jedem Stück oder
jedem anderen Stück derselben Länge, App Stone dicht,
weil es ja nur Verschiebungen davon sind.
Verschiebungen ändert den Abstand nicht. Und wenn die eine Menge offen war,
dann hält sie auf jeden Fall App Stone Umgebung und hält halt
auch eine App Stone, kleines Y. Umgebung von so einem Stück EU-E-U.
Jede offene Menge enthält das, also hier ist es auf
so einem Stück erstrich.
Das gibt es wegen Offenheit
Und weil die so ist, schneidet also...
Also, ah, für... Apps waren klein.
Genug. Das sind die Transitivität. Wir haben gezeigt,
dass eine Iteration von B, schneidet A,
nämlich diese Teilmenge von B hier, die liegt dann in A drin.
Achso, das weiß ich auch,
warum ich besser UNV gesagt hätte,
weil das FA hat auch schon so ein A
da unten dran.
Wie dem auch sei
Die schneidet also A und weil es A schneidet,
ist das auch für größere Tee immer noch der Fall.
Also für weitere, für K, größer Tee.
Es bleibt nicht erhalten. Äpfelon. Und deswegen ist die
top-logische Mission-Eigenschaft gezeigt. Also deswegen Das ist die Heimschaft.
Ja. Okay, das war das dynamische Verhalten,
der wohlischen Toastabbildung der Anläufischen Katzenabbildung auf dem Zweiteros.
Ja, vielen Dank fürs Zuhören