Okay. Wunderschönen guten Morgen zusammen. Herzlich willkommen zur Vorlesung.
Einführung dynamische Systeme. Heute wollte ich Ihnen, wir versprochen,
den Satz zeigen, dass auf dem Torus lineare Translation,
topologisch transitiv und minimal sind und unter ganz bestimmten Voraussetzungen an die Translationsvektoren.
Also kurze Wiederholung, was bis jetzt geschah und was heute geschieht.
Also es geht heute um ein Kriterium für Minimalität
Mann. Thomas. Ranszenation. So, also kurze Wiederholung
. Wir befarten uns mit dem Endtorus, dem Endtorus,
als Untermenge vom, zum Beispiel das RON, als Kozentenraum daraus.
Also kurze Wiederholung. Was wir schon wissen,
wir kennen schon den Endtorus,
nämlich den TN
Gleich. Ja, auch en. Durch Z-Tuch-N. Also
diesen Kozenten, vielleicht Raum kennen wir schon.
Wir können den Toast auffassen, als das eine als Quadrat,
was in dieser Nordation auch gerade gegeben ist.
Das heißt, du toastest ein Ding,
wo die Länge eins in jede Koordinate da ist.
Der Toast also sozusagen das Einheitsquadrat hoch en mit der linken
und rechenseite jeweils zusammengeheftet.
Also gleich 0,1. Hoch en
Mit gegenüberliegenden Seiten. Identifiziert. Okay,
das ist das erste, was wir schon wissen.
Wir kennen den Toast, wir haben ihn mehrmals gesehen.
Es gibt viele Donuts, Shapes im täglichen Leben,
die an Tores sind. Beim Bäcker gibt es Donuts,
Fahrradschläuche und desgleichen.
Das sind alles
genau solche Objekte
Dann kennen wir auch zwei Begriffe aus der Theorie dynamische Systeme,
nämlich wir kennen den Begriff der top-logischen Transitivität.
Was nichts anderes heißt, als ein Orbe des Dicht.
Und wir können den Begriff der Minimalität,
den stärkeren Begriff, Jedes sein. Er ist dicht.
Das sind zwei Definitionen. Also man kann hier Definitionsäquivalenzpfeile hinschreiben.
Gut, das, was wir bis jetzt schon wissen.
Und wir kennen auch schon ein Kriterium für top-logische Transitivität,
zumindest auf dem Toast oder auf metrischen Räumen.
Nämlich auf dem Toast ist eine tores Translation.
Die Transaktion, die wir uns angucken wollen, sind folgende.
Also die Translation Auf diesem enddimensionalen Tores TN sind Abbildungen,
die wir mit F oder T oder so etwas betrachten,
die von einem Vektor abhängen, nennen wir einen Gummer.
Und das bildet ab, den Tores T-O-N in sich selbst
und bildet ab einen Vektor auf dem Tores,
auf den Vektor plus diesen anderen Vektor-Gummer. Also je nachdem,
wie man den in der Situation macht, sagt man,
dass X oder die Äquivalenzklasse des Vektors X wird abgebildet auf
Die Äquivalenzklasse von X. Und je nachdem,
ob Gamma jetzt ein Element des Tores ist oder das RON,
schaut man das hier hinein oder schaut man das dazu?
Man könnte zum Beispiel so etwas schreiben. Gamma. Wobei
man bei dieser Notation nicht unterscheidet, F Gamma oder F
Adventsklasse von Gamma, weil das letztlich sowieso dieselbe Dynamik hat.
Also in diesem Fall wäre Gamma, ebenso wie X,
aus dem R hoch N.
Sie können auch Gamma als Element aus dem Tores nehmen und
dann geht eine ähnliche Notation
und produziert dieselbe Abbildung
Diese Translation auf dem Toast, dass die sind manchmal,
das hatten wir schon gesehen, periodisch, zum Beispiel dann,
wenn jede von diesen Komponenten des Comics rational ist,
sie sind manchmal nicht periodisch, nämlich dann,
wenn mindestens eine Komponente nicht rational ist,
aber wenn sie nicht periodisch sind,
müssen die noch lange nicht topologisch transitiv oder minimal sein,
dass sie jetzt beim Toast dasselbe ansonsten nicht.
Und heute kommt deswegen das versprochene Kriterium,
fand in einer Translation auf dem Toast minimal ist.
Also wann sie diese stärkste Aussage von den dreien
minimal topologisch transitiv und nicht periodisch
Erfüllt. Ja, also das hier war die Wiederholung.
Noch eine kurze Bemerkung. Also was wir schon wissen.
Dass diese drei Eigenschaften von denen zwei hier steht und die
dritte Periodizität oder nicht Periodizität, sind geordnet.
Wir haben nämlich das Minimalität. Impliziert,
topologische Transitivität
Das wussten wir schon. Und die nächste Aussage,
die ist neu, aber die ist leicht zu sehen.
Das impliziert, dass die Abbildung nicht periodisch ist.
Zumindest auf den Räumen, und das sind die meisten,
wo nicht ein einziges periodisches Orbit,
nämlich endlich viele Punkte, der gesamte Raum ist.
Es gibt gegen Beispiele zu dieser Behauptung, aber nicht auf einem Torus,
dann, wenn eine Abbildung einperiodisches Orbit hat,
ist es einen gesamten Raum hat.
Also wenn der Raum aus endlich vielen Punkten besteht,
dann kann es durchaus sein, dass dies anders ist.
Aber im Allgemeinen gilt die Aussage, so wie sie da steht.
Insofern xx. Als unendliche Menge.
Da schaue ich uns klein gedruckt, weil der Tore ist,
von dem wir uns heute kümmern werden,
die hat sowieso unendlich viele Punkte für jedes N,
außer vielleicht eng gleich null.
Gut, und jetzt das Kriterium,
ist wie gesagt für die Stärkste von diesen Eigenschaften,
damit auch für jede von diesen beiden anderen, ist,
dass die koeffizienten Gamma allesamt genügend wenig rational sind.
Genau genommen soll jede Linearkombination davon und der Zahl 1
keine null ergeben können. Also es kommt jetzt für heute
Folgen der Satz. Das ist ein sehr starker Satz,
die Transulation
F, Gamma auf TN. Er ist minimal.
Also stärkste in der Dreikiträ-Kriterien. Man gilt,
und zwar genau dann, wenn, gilt.
Genau, und dann, wenn
Zahlen. Ja, also wenn ich diese Zahlen GAMAI,
Kammer 1 bis KAN, nicht linear kombinieren kann,
zu null oder zu einer ganzen Zahl,
also wenn es keine Zahlen,
wie nennen wir die Liner-Kombinationen, nennen wir sie KAI,
K 1 bis KN und noch ein Ghost Car gibt,
die sollen rational sein oder am folgenden, für das,
was ich im folgenden brauche, reichen auch schon ganze Zahlen,
Element.
Z gibt Mit Summe, die Nahkombination der Gamma-Eas, hier sind die Gamma-Eas,
multipliziert mit den KIs, eh gleich eins bis ein.
Und wann folgen dann die komplexe Zahl Ihnen noch vorkommen wird,
ändere ich den Index mal in einen J um,
dann haben wir ja später kein Problem beim späteren Teil des Beweises.
Mit Summe von diesem ganzen Ding gleich Großkabel.
Wenn es keine solchen Zahlen gibt, die dies erfüllen.
Also man sagt dann in diesem Fall, Das heißt,
die Zahlen, Kammer 1 bis Gamma,
N und 1 sind rational, unabhängig.
So, das hier ist der Fachausdruck davon,
den muss man aber nicht kennen, vollständige Beschreibung.
Und diesen Satz, diesen mächtigen Satz werden wir heute uns
genau ansehen, wie man denen nun zeigt.
Als Vorüberlegung brauche ich zwei Aussagen über topologische Transitivität,
topologische Transitivität ist, wie wir schon wissen, eine schwächere Form der Minimalität.
Das heißt, alles, was nicht topologisch transitiv ist,
kann doch nicht minimal sein.
Und umgekehrt wird auf dem Tores das eine so gut sein
wie das andere. Es kommt also folgendes folgende Hilfssatz oder Lämmer
Und der Lämmer hat etwas zu tun mit offenen Mengen
und wie man offenen Mengen in solche Bänken abbildet.
Und was mit toplogischer Transitivität zu tun hat. Das Lämmer
ist die Abbildung. F, das muss in diesem Fall
gar nicht eins für diesen F-Alpha sein, es reicht irgendein F, ist...
Aber sagen wir ruhig, wir haben DSF-Kammer auf dem Torus,
das ist eine allgemeine Aussage, die jetzt hier kommt,
aber die Notizon ist leichter auf dem Toast.
Taransi tief. Genau dann, wenn. Wenn jetzt gilt für offene Mengen,
wenn ich zwei offene Mengen habe, UNV,
die beide offen sind, wie gesagt, in Variante.
Und das junkt. Tja, dann kann es dir
nicht geben. Also das heißt, wenn für jede,
wenn es keine,
zwei Mengen
UNV. Time Menge des gesamten Raums, in diesem Fall
ist Tores. Ähm. Was geht noch? N?
Gibt. Die beide. Offen. Erstens mal. Nicht
leer. Und F-Alpha, das kann man
in Bayern sind
Ja, also je nachdem, ob es solche Mengen gibt oder nicht,
ist die Abbildung nicht top logisch transitiv oder doch.
Zum Begriff der Invaliance, eine Menge ist Invayance,
wenn das Bild unter der Abbildung F dieselbe Menge ist wie Foren.
Also zur Erinnerung oder als Definition, F f
heißt deine Menge.
Puh. Heißt. F. Kammer
In Variant. Wenn gilt. An dieser Stelle noch eine Bemerkung,
diese Abbildung FGAMA, die sind bei uns allesamt invertierbar,
denn eine Translation, eine Verschiebung in eine Richtung,
kann man durch eine Verschiebung in die andere Richtung,
kann man durch Minuskammer setzen, wieder aufheben.
Das heißt, wir müssen uns keinen Gedanken machen,
ob wir vorwärts oder rückwärts oder beides iterieren,
wenn dieses gilt, so wie es hier steht,
von Ugleich-U,
gilt natürlich auch F von F-U minus 1 von Ugleich-U,
weil wir das Urbild
beide Seiten anmelden können
Und es gilt automatisch F hoch K von Ugleich U,
für jede ganze Zahl K.
Also diese In-Varianz-Bedingung besagt es dann automatisch für jedes K,
die es gilt. Geld und dann gilt. Automatisch.
Auch. Für Alle. K,
ganz zahlig
Für Karl gleich 0, das ist eine Trivia-Aussage, für alle anderen nicht.
So, und dieses Lamer werden wir uns kurz angucken,
weil wir dann nämlich das Studium,
diese Abbildung als Ding auf dem Torus,
etwas reduzieren können, als ein Studium von Dingen,
die auf offenen Mengen operieren.
So, also Beweis dieses Lämmers. Lämmer.
Das geht so. Ja, es gibt also zwei Rechnungen,
die zu zeigen sind. Erstmal top-logisch, transitiv,
impliziert. Es gibt keine solchen Mengen. Zweitens,
es gibt keine solchen Mengen impliziert,
top-logisch transitiv
Ich beweise durch Widerspruch. Ich sage also erstmal,
wenn die Menge nicht top logisch transitiv ist, dann gibt es solche Mengen.
Warum soll das so sein? Also mit anderen Worten,
die Implikationen fahren unten nach oben. Dir geht es so,
wenn F, kann man in diesem Fall nicht top logisch.
Transitives. Was soll gleich top logische Transitivität?
Vorhin stand es nochmal. Es existiert ein Licht ist Orbit,
oder Äquivalent, das hatte ich letztes Mal schon besprochen,
Equalente zu je zwei Mengen UNV, die offen sind,
gibt es ein K, sodass die Karfache Iteration der Einmenge in der anderen drin liegt.
Und das kann ich jetzt hier benutzen,
wenn es also nicht toplogisch transitiv ist, mit anderen Worten,
dann ist das nicht der Fall,
gibt es offene Mengen.
ONV,
beide nicht leer, ungleich die leere Menge
Sodass, sodass wenn ich die eine festhalte,
zum Beispiel U und die andere ätheriere,
zum Beispiel V, ich kenne aber auch die andere nehmen,
dann schneiden sie es nie.
Also das U geschnitten, F hoch,
Gruß oder kleinen K von V. Leer ist für alle K
ganz zahlig
Okay, was sagt uns das? Wir haben da
schon mal zwei Mengen gefunden, die die Eigenschaft haben.
F ist nicht top, glaube ich, transitiv.
Und jetzt will ich in zwei Mengen produzieren, UNV,
die beide offen sind und nicht der und F inviod.
Hier stehen schon zwei Mengen, die sind schon mal offen,
die sind schon mal nicht leer.
Nur die F-Inviiance, die muss ich noch konstruieren.
Das heißt, diese Mengen werden es nicht sein,
sondern ich werde zwei Mengen aus diesen kleinen Mengen hier konstruieren,
die diese Eigenschaft erfüllten. Und weil dies hier UNV,
diese Notation für involvente Mengen gilt,
und ich hier schon UNV habe,
weil ich jetzt eine zweite Menge mit einer Schlange drauf konstruieren,
die diese Eigenschaft hat und auch noch
invoiant ist
Also dann ist die, oder die Mengen.
Uh, Schlange. Gleich die Vereinigung à la Kalmand Z,
FHK von Uh, das hier ist sein Vereinigungssymbol,
also alle diese Mengen werden zusammengetan.
Und FAU-Schlange. Das sind beides Mengen, die sind beide offen,
denn die Abbildung Effice stetig und das Inversus stetig.
Das heißt, jedes von diesen FHK von V und U
ist wieder
eine offene Menge
Diese Mengen sind also offen, die sind nicht leer,
weil es schon für K gleich null eine Licht,
nicht leere Menge da stand.
Und sie sind F-Invoyant. Also sind. Offen. Zur Erinnerung,
wenn dies eine offene Menge ist,
dann ist auch dies und offene Menge zumindest für eine Abbildung F,
so das F-Uminus 1 stetig ist.
Also die sind offen da. F-H-K von U bzw. F-H-K
von V. Offen ist nicht leer
Da. Erfuch null. Die VLO. Nicht leer.
Das heißt, zwei von den drei Eigenschaften,
die wir wollen, haben wir schon konstruiert.
Was auch nicht schwer war, denn die waren ja schon vorher da.
Und die dritte, die schöne Eigenschaft, die In-Varianz,
die haben wir durch diese Vereinigung auch produziert.
Ja. Und... In-Variante, unter dieser Abbildung FGAMA.
Also hier DSF ist immer
ein F-GAMA
Nervenkameras. In Variante. Warum ist das so,
wenn Sie diese Menge nehmen und Sie wollen sie iterieren?
Also Sie wollen einen Punkt daraus nehmen und wollen sehen,
ob der im Bildpunkt wieder drin liegt und umgekehrt,
dann sehen Sie, wenn Sie einen Punkt haben,
NU in NWNX, dann ist er ein F-Gamer von U,
DSF von X darin.
Aber hier sind gerade alle FHK von dieser Uhr drin. Das heißt,
wenn Sie einen Punkt in diese Menge haben, in U,
dann ist er natürlich automatisch in das Bild in Uschlange und umgeht,
wenn Sie irgendein Bild in Uschlange haben,
dann ist es FHK von eigenem XNU
Und das Bild davon ist Effort Kaplus 1 von diesem XNU
und das liegt wieder in diese Menge drin. Schreibe ich jetzt nicht hin,
aber wenn immer sie an den Punkt,
FHK von X haben und dann nochmal F anwenden,
dann haben sie FH hoch Kaplus 1 von X und das liegt in dieser Menge auch drin,
weil das Kaplus 1 ja auch eine ganze Zahl ist.
Jetzt haben wir also zwei Mengen konstruiert und da wir
diese zwei Mengen konstruiert haben, gilt das das Kompliment,
das Gegenteil, diese Behauptung gezeigt ist.
Denn wir haben jetzt zwei Mengen konstruiert,
die beide offen sind, nicht leer und invariant.
Das war also
die eine Richtung
Und jetzt die andere Richtung? Du müsst also zeigen,
wenn eine Abbildung top logisch transitiv ist,
dann gibt es auch keine zwei solchen Mengen oder mit anderen Worten,
wenn es zwei solchen Mengen gibt,
ist sie nicht top logisch transitiv.
Und das geht auch wieder mit Widerspruch oder anders wie,
sagen wir, wir nehmen das Kompliment, das Gegenteil,
diese Aussage hier unten.
Es gibt also zwei Mengen UNV, mit diesen drei Eigenschaften.
Und dann behaupte ich, kann die Abbildung nicht top logisch transitiv sein,
denn Wenn das UV gibt. Das ist die beide.
Rechtslehrer. Offen. Und in Varian sind. Ja,
dann kann eben die Eigenschaft der Top-Lotion Transiliarität,
nämlich diese hier nicht mehr gelten,
dass man da die eine Menge iterieren kann und in
der anderen landen.
Also dann ist
Die erste Menge, geschnitten mit FHK, von der zweiten Menge,
was ja wegen der Innenvarianz dieselbe Menge wie die zweite Menge selbst ist.
Also ich sollte noch sagen, diese beiden Mengen sollen natürlich das jung sein,
denn sonst ist es ja leicht, wenn man dieselbe nehmen kann,
sind und so und geschnitten V, gleich leere Menge.
Das habe ich genau hier benutzt, denn wenn wir Mit zwei bis jungen Mengen anfangen,
dann haben wir auch wieder das junge Mengen bei Top-Logisch-transiven Abbildungen und ansonsten eben nicht.
So, wenn es also diese beiden Mengen gibt,
in Valent ist, dann ist dies hier,
das jungt, sofern U-geschnitten Forscher mal des jungen war.
Gleichen Null, wenn U geschnitten V gleich die leere Menge ist. Ja,
und deswegen gilt, dass die Bedingung für top-logische Transitivität,
nämlich, dass man für je zwei offene Mengen UNV,
meinetwegen auch nicht das junge, aber insbesondere auch für das junge Mengen,
sofern sie offen und nicht leer ist,
immer so einen Schnitt erzeugen kann,
der nicht die leere Menge ist.
Diese Denkung ist nicht erfüllt,
deswegen ist die Abbildung nicht top-logisch transitiv.
Also Widerspruch
Die Tät. Ein Widerspruch zu,
nicht zu dieser Definition, die hier oben steht,
existiert ein dichtes Orbit, obwohl man das,
wenn man genau hinguckt, auch hier darauf sehen kann,
sondern Widerspruch zu der daraus abgeleiteten Aussage,
dass zu je zwei Mengen U und V,
die beide offen und nicht leer sind, es ein K gibt,
sodass F-Hochk, der Einmenge in der anderen,
nicht leer im Schnitt hat.
Okay, Ende dieses Beweises hier. So, das war das
erste Lämmer, das war als Vorbereitung zu diesem Satz brauchen.
Das zweite Lame hat etwas zu tun mit In-Varianten, Funktionen
Und in Variantenabbildungen. Also ein weiteres Lämmer ist... Und Slammer wird sein,
wenn ich eine Funktion angeben kann, auf dem gesamten Raum,
dem gesamten Tores, die nicht konstant ist,
aber in Variante, das heißt,
das Bild unter der Funktion ist wieder die Funktion selbst,
wenn ich sie translatiere, kommt dieselbe Funktion wieder heraus.
Solche Funktionen gibt es manchmal, zum Beispiel bei periodischen Translationen.
Wenn es so eine Funktion gibt, dann behaupte ich,
ist die Abbildung auf den Tores nicht, topologisch transitiv.
Also, die Abbildung. Lathkammer ist Top-Lobestrand tief. Wenn es
keine Stetige Funktionen. Ja, wie auch immer wir sie nennen.
F ist jetzt schon vergeben für die Abbildung selbst.
Das Vieh, welchen Folgenden für einen Fluss benutzen.
Deswegen nenne ich, gebe ich der Funktion irgendeinen Namen,
zum Beispiel Groß F. Groß F vom Torus.
TON. In die Reellen Zahlen gibt. Außer natürlich
konstante Funktionen
Nicht. Konstant ist. Und die F-Kammer in Vion ist. Mit anderen Worten,
die Aufsage ist, wenn es Funktionen gibt,
steht die Funktion sowas wie der Sinus, die sich unter der Translation nicht ändern,
dann ist die Abbildung nicht top logisch transitiv.
Also sie erinnert sich zum Beispiel auf der realen Achse,
die Funktion Sinus X,
das ist eine periodische Funktion,
das heißt unter Translationen mit Verschiebung
Ist diese Funktion in Variante. Ich weiß nicht,
ob ich den zum Begriff der Inviance noch mal so sagen.
Denn bis jetzt habe ich definiert,
was eine F-in-Variante Menge ist, was jetzt eine F-in-Variante-Funktion.
Hier kommt ihr jetzt noch in der Bedingung dazu.
Und die benennen wir jetzt sein, dass eben diese Mengen,
was oberhalb und unterhalb eines bestimmten Wertes liegt,
nicht die leere Menge ist und offen für eine positive Konstante.
Also er feist. Ja, Kammer.
Oder unter einer beliebenen Abbildung, es muss keine Transaktion sein,
wenn geht, F nach F-Gummer, gleich F ist.
Das heißt, wenn ich den Punkten hinschreibe,
F von F-Gummer, von einem beliebenden Punkt auf dem Torus,
wie auch immer ich ihn wende,
sagen wir Äquulenzgas von X, zum Beispiel so,
dann ist das dasselbe,
als hätte ich das F-Gummer gar nicht angewendet und
gleich das Groß-F angewendet
Für alle. Ja, und jetzt glaube ich,
Equalenzklasse von X geschrieben, das heißt,
das X ist nicht ein Repräsentant auf dem Toast,
sondern das X ist aus dem R hochende.
Für alle. So, dass die Invarianz von Funktionen unter Transaktionen kommt dieselbe Funktion heraus.
So, warum ist dies so? Der ist auch eine Aussage,
die man gleich auf die Vorregel reduzieren kann,
denn sie wissen schon, wenn sie eine stetige Funktion haben,
hier steht stetig,
dann ist das Urbild eine offene Menge,
eine offene Menge
Oder mit anderen Worten, das, was sie bekommen,
wenn sie alle Punkte nehmen,
deren Wert unter Gruß F, größeres als C,
ist das eine offene Menge in den reellen Zahlen.
Also auf eine Menge im Tee, weil das U-Web-Lust-C ist
dann auf eine Menge in den reellen Zahlen.
Also kurz vorbei ist dieses Lämmers, weiß von diesem Lämmer.
Ja, also für... F von Toros
Ja, ja. Stetig. Und... Für jedes...
Sie nehmen sich also eine Städtefunktion und eine beliebige reelle Zahl,
dann behaupte ich, die Niveaumenge,
die überhalb C liegt oder die Halbniveaumenge und die,
die darunter liegt, sind jeweils offene Mengen.
Ja, die Menge. Ja, nehmen wir sie.
C gleich
Menge aller Punkte auf dem Torus, alle Punkte hiervon.
So, das gilt. F davon.
Das ist größer als C. Und die Menge. VC,
gleich dasselbe,
mit kleiner hier
Diese beiden Mengen, vielleicht schreibe ich es doch mal genau hin,
mein X-Element, dem Endtorus, er von X,
kleiner C. Diese beiden Mengen, das war,
die sind erstmal immer offene Mengen für jede Städtefunktion.
Offen. Und wenn die Funktionen zusätzlich noch nicht konstant war,
dann gibt es auch ein C,
sodass beide Mengen auf einmal nicht leer sind.
Also für mindestens eine von diesen Biden Man gibt es sowieso
ein C, vor allem das C,
größer oder kleiner als das maximale Minimum der Funktion wählen kann.
Sie wissen schon, wenn da auf einer kompakten Menge wieder
im Tores nimmt eine Städtefunktion Groß-F immer maximal mit Minimum an.
Und wenn die nicht konstant ist, dann gibt es auch
irgendetwas zwischen dem Maximum, mit dem Minimum.
Und dann haben wir diese beiden Mengen auch noch nicht leer.
Also wenn F nicht. Konstant ist. Dann existiert ein C.
Aus diesem Intervall, dem offenen Entervall des Minimums von F.
Und des Maximums von F. Sünden wir uns beide endliche Zahlen,
aber das ist gar nicht wichtig für diese Aussage hier.
Dann gibt es jedenfalls eine Zahl und es gilt und
sind UC und VC,
Leer. Wir haben also dann,
wie wir also für jede städte Funktion, die nicht konstant ist,
zwei offene Mengen gefunden, auf eine Menge des Raums,
auf dem die Funktion definiert ist,
die beide samt nicht leer sind.
Jetzt steht hier etwas von In-Varianz.
Hier steht etwas von Inwanz der Funktion. Ich mochte,
wenn die Funktion FN-Variante ist,
dann sind die Mengen UC und VC
auch FN-Variante
Ja. Sind auch UC. VC. Für
jeden Wert von C. Sogar Werte außerhalb dieses Intervalls,
sowie das sind die interessantesten.
In Variance
Und damit ist der Beweis in der Einrichtung auch schon abgeschlossen.
Denn wir stellen uns vor, wir haben jetzt eine Funktion,
eine Stedefunktion, die nicht konstant ist.
Und die F-N-Virent ist, also nehmen wir an die Bedingungen unten,
die nicht erfüllt sein sollen, wäre doch erfüllt.
Dann sage ich, dann finden wir jetzt,
dann zeige ich das auch nicht toplogisch transitiv.
Denn wenn es so eine Funktion F gibt,
die stetig und offen ist, nicht konstant und invirod,
dann habe ich ihn gerade zwei Mengen konstruiert, UNV.
Die sind beide offen, per Konstruktion,
sind beide nicht leer, zumindest für nicht konstant ist F.
Und die sind auch wieder F-N in Variante. Das heißt,
Wir haben damit erst die Richtung. Vom Gegenteil dieses,
auf das Gegenteil dieses, also die Vorwärtsrechnung sozusagen, überwiesen.
Denn, top logische Transität impliziert ja gerade,
es gibt keine solchen Us und Vs. So,
und jetzt machen wir die Umkehrrichtung, die ist auch leicht,
wenn es also, wir wollen also zeigen,
wenn es nicht top logisch transitiv ist,
dann gibt es so eine Funktion Groß
Und das können wir machen, indem wir hier so etwas konstruieren.
Also umgekehrt. Ja, jetzt wollen wir dieses ganze Argument
sozusagen rückwärts benutzen. Wir haben also keine Funktion,
die wir schon kennen, sondern wir wollen erstmal seine Funktion konstruieren.
Wir wissen nicht schon, die Funktion,
die Abbildung F ist nicht, toplogisch transitiv.
Das heißt, es gibt zwei invariante Mengen.
Und dann konstruieren wir einfach eine stille Funktion,
die auf der einen Menge irgendwelche Werte hat,
auf der anderen irgendwelche anderen und dazwischen
stetig fortgesetzt wird
Wenn es gibt, U-V, offen, genauso wie im vorigen Lämmer.
Zwei Mengie sind, die beide sind offen sind, die beide nicht leer sind.
Und die beide Effen und Variant sind. Affen nicht leer
. In Variant. Und das jungt. Diese beiden Mengen,
die wir vorhin konzit haben,
die sind natürlich sowieso des Jungt, denn die Abbildung F,
also die Funktion F kann entweder größer oder kleine Tee sein,
aber niemals weit ist gleichzeitig.
Das kann ein Punkt nicht in beiden Mengen gleichzeitig drin liegen.
Und umgekehrt, wenn wir zwei Mengen haben,
die diese Eigenschaften haben, dass sie inviant sind.
Und F kann man natürlich nicht leer offen und das juckt.
Dann können wir... Stetige Funktionen. Auf dem ganzen Todes definieren,
der würde zum Beispiel sagen,
auf U haben wir online an uns genehmen Wert,
irgendwas größer, C, was weiß ich,
C plus 1 oder so etwas,
oder die Zahl 1,
auf U,
auf der anderen Menge haben wir einen anderen Wert,
zum Beispiel den werben
Null und dazwischen setzen wir stetig fort
Dev finden. Mit F, angeschränkt auf U. Seid
eine konstante Funktion, sagen wir mal, null.
F. Eingeschränkt auf V. Es kommt 1-1. Das
geht ja, weil die Mengen des Jungts sind.
Da kann man auf der allen Menge diesen,
auf der anderen Menge das definieren. Und dazwischen soll sie
eben stetig fortgesetzt sein. Und weil die so ist,
ist dies gerade so eine Funktion, die alle Eimschaften erfüllt.
Jetzt müssen wir auch noch die Invalianz produzieren. Und die F-Gummer
in Variante ist, und das kann man auch zeigen,
dass es damit geht. Also das ist sozusagen der Schutz
von der Imperiation von rechts nach links. So,
das war jetzt ziemlich viel Analysis, Dinge,
die sie teilweise gesehen haben und teilweise auch nicht in dieser Form,
das mit den offenen Mengenurbildern von offenen Mengen und so weiter und Städtigkeit.
Und das sind Dinge, die wir hier so brauchen
Diese beiden Lämmers, die du meinen Lämmert hast,
wenn wir es benutzen, um den Satz an sich zu beweisen,
indem wir nämlich zeigen werden,
die Funktion ist minimal und top logisch transitiv.
Genau dann, wenn es keine solchen Funktionen gibt,
auf dem ganzen Toast, die periodisch sind,
also periodisch vielleicht zeigen, die nicht konstant sind und stetig.
Und deswegen werden wir uns jetzt gleich mit Funktionen befassen auf dem Torus,
die stetig sind und entweder inviant oder auch nicht in Variante.
Okay, gut,
dann legen wir mal los
Musik So, in diesem Satz, ja,
ich werde mal noch
kurz stehen lassen
Musik Okay, für den Satzwochenen wir ein wichtiges Hilfsmittel aus der Analysis
oder mehrere. Zum Beispiel müssen sich erinnern an die Foyer-Zerlegung,
wenn Sie sich nicht erinnern, vielleicht nochmal erzählen, was es genau war.
Das muss man Kindern also nicht unbedingt behandelt worden sein. Also ich sage,
ein Sachverhalt, den Müssen die vorher nicht gesehen haben,
dass man Funktionen, steht die Funktionen,
aber auch beliebige Funktionen, die integrabel sind, schreiben kann,
als eine ganz bestimmte Summe von triggenometischen oder Exponentialfunktionen.
Ich sage jetzt noch, wenn es dran kommt,
es kommt erst in der zweiten Hälfte des Beweises fuhr und
dann erkläre ich es nochmal ganz genau.
So, jetzt kommt der Beweis von diesem Satz. Nämlich von diesem Satz hier,
nochmal zur Wiederholung, also die Transformation des Minimal,
genau dann, wenn es keine solchen Kombinationen gibt,
der Translationsvektoren, Und der Eins zu null.
Was hier steht, ist sozusagen eine Lina-Kombination von Transaktionsvektoren
zu einer ganzen Zahl. Genauso gut könnte ich sagen,
ich nehme eine Lina-Kombination von den Transaktionsvektoren und der Zahl Eins.
Das ist Karkan auf die linke Seite.
Und das Ganze ist dann null. Und wichtig ist,
dass diese Zahlen KIs entweder ganz zeitig sind oder rational,
macht einen Unterschied, aber nicht beliebige irrationale Werte annehmen können.
Es ist immer ganz wichtig, nicht wichtig an dieser Stelle,
ob sie hier ganze Zahlen oder rationale Zahlen schreiben.
Jetzt habe ich vielleicht schon gefragt, hier steht rational unabhängig,
rational klingt so nach Kuh
Und hier steht Z, ist es so,
wenn Sie endlich viele Zahlen haben, endlich viele rationale Zahlen,
können Sie mit dem Gesein gemeinsamen Nenner multiplizieren oder mit allen Männern und haben dann automatisch ganze Zahlen.
Also das ist eine Erklärung, wenn es keine solchen Zahlen gibt,
gibt es auch keine Zahlen, KI-Element,
Kuh mit dieser Eigenschaft, die da steht.
So, jetzt wollen wir, du sagst zuweisen,
der weiß ja zwei Richtungen. Die erste Richtung ist,
wir nehmen an,
es gibt solche Linear-Kombinationen zu ganzen Zahlen und dann werde ich ihnen sagen,
diesen Fall konstruiere ich eine Funktion,
die F anweint ist stetig und Diese Eigenschaften hat,
die wir da vorhin haben, die nicht konstant ist.
Und damit fange ich an. Also sei. Ja,
wir nehmen an, hallo Ben. In die Zahlen.
Gamma 1. Bis Gamma N. Hier zwar nehme ich jetzt als reelle Zahlen an,
was okay ist, das war genau die Notation,
die ich da oben benutzt habe.
Ich habe sie jetzt glaube ich schon weggewischt,
dass ich mit reellen Vektoren verschiebe und danach Äquulenzklassen bilde
Wenn sie die Gamma-Is gerne aus dem Tores hätten,
ist die Aussage aber genau dieselbe, weil siebliebene Repräsentanten wählen können.
Jedenfalls, wenn diese Zahlen hier und die Eins dazu nicht,
oder wenn sie nicht rational und unabhängig sind,
das heißt rational abhängig sind. Also, dass sie,
das Gegenteil von unabhängig ist natürlich abhängig, das heißt,
Es gibt also, wie es dort steht, solche Zahlen,
Sexistieren, K1 bis K, N und GOSK,
Element, Z mit Kai oder Kai,
J,
Gamma,
J,
gleich GOSK
Und die Insights, wie gesagt, nicht deswegen e-weile,
mir das eh nicht gefällt, sondern deswegen,
weil ich das eh gleich brauche als Komplexe Zahl eh,
dann definiere die Funktion.
Die Funktion, die wird groß F heißen,
die hängt ab von diesen variablen X1 bis XN oder genau genommen
deren Äquivalenzklassen, die soll für den Tores definiert sein.
F geht von Tee Enddimensionen nach R. Und sie soll definiert sein
als R von X oder von der Äquivalenzklasse von X,
wie auch immer. Ich schaue es mal so,
dann, wenn ich sage, Äquivalenzklasse von X,
dann sind X jetzt reelle Zahlen. Und ich sage,
das soll sein, eine periodische Funktion, zum Beispiel Sinus,
2P, mal der Summe aller KI mit XIs
So, diese Funktion hier definiere ich.
Also der Sinn, das nimmt all dies hier als Argument.
Ja, zwei oder drei Dinge sind zu überprüfen.
Erstmal steht hier etwas, was Operierung nicht wohl definiert sein muss
, das muss ich noch überprüfen.
Hier steht ja... Eine Äquivalenzklasse und hier steht eine Repräsentant.
Das heißt, das X soll sein X1 bis XN.
Endkoeffizienten. Und hier benutze ich diese Koeffizienten. Aber auf
der linken Seite fehlt hier nur eine Klasse. Das heißt,
damit die es wohl definieren, muss ich noch überprüfen,
dass, wenn ich ersetze,
X durch X plus 1 und auch nur plus 1 in eine Komponente,
kommt dasselbe Ergebnis für Gruß F heraus.
Also, DC muss wohl definiert sein. Ja. Jetzt,
wohl definiert. Was muss ich zeigen? Ich muss,
wie gesagt, zeigen, wenn ich in jede Komponente
eine beliebige ganze Zahl dazu addiere,
liefert mir
denselben Wert
Und das geht so,
wenn ich in einer jeden überlebenden Komponente einen Wert dazu addiere,
ersetze ich dieses XJ durch XJ plus 1,
mal KJ, gibt es immer noch eine ganze Zahl.
Ich addiere also eine ganze Zahl hier dazu.
Und Sinus von irgendeinem Wert plus, zwei Pinne mal in
der ganzen Zahl, ist derselbe Wert wie der Sinus vorher.
Also F von der Glenzklasse vor allem.
X plus, ich schaffe es mal so,
X, L bis XN. Und hier erdee ich in irgendeiner Komponente,
zum Beispiel der Elton-Komponente, die Zahl 1 dazu.
Also da ist hier ist ein Index,
X und L plus 1. Wenn ich dann wecke,
also in irgendeine Komponente, um eine ganze Zahl ändere,
dann kommt er raus, dasselbe wie,
wenn ich das nicht getan hätte.
Das heißt, derselbe Wert von der Äquivalenzklasse,
sehr viele Klammern, ich weiß, von X1 bis XN.
Okay. Hier sehen Sie uns, warum viele Leute,
wenn Torus, die Klammern weglassen, weil es viele werden.
Und so muss man schreiben, weil man in Pritis sein will.
Viele Leute schreiben auch einfach X-1 bis XN und identifizieren sozusagen im Kopf,
Faktoren im RON und Element auf dem Torus.
Diese Abbildung ist wohl definiert. Die ist, außerdem ist
es stetig. Lass klar, der Sinn ist stetig und
der Rest ist nur eine lineare Kombination. Zweitens,
oder drittens schon, ist diese Abbildung nicht konstant,
denn der Sinn ist nimmt ja verschiedene Werte an
Und da dieses Jahr bliebe Werte sein können,
wenn sie zum Beispiel die XEs allesamt nah bei null einsetzen,
bekommen sie hier etwas, was ungefähr null ist.
Und wenn sie an Größe weiter einsetzen, bekommen sie andere Funktionen.
Und deswegen ist F nicht konstant. Ja,
wieso ist es eigentlich nicht konstant,
wenn mindestens eins von diesen KIs ungleich null ist,
dann ist diese Funktion automatisch nicht mehr konstant,
weil sie in der einen Variablen schon ein Sin ist und
hält und der ist nicht konstant
Übrigens sollte ich dazu sagen, wenn ich diese lineare Kombination mache,
Linie-Arkombinationen zu, eine ganze Zahl,
der ist natürlich der Fall ausgeschlossen, dass alle koeffizient null sind,
genau wie bei der Lena und Kombination von Vektoren,
wenn sie lehnen Jahre Unabhängigkeit schreiben wollen, sagen sie,
es gibt keine Linearkombinationen der Null, außer natürlich,
wenn alle Koeffizienten null sind.
Ich sollte also hier noch dazu sagen,
Z ohne die Menge null
Und wenn ich das so geschrieben habe,
war ich ein wenig unvorsichtig und sollte besser schreiben.
Denn das Großkar kann ja sein. KI. Alle.
K1. Bis KN sollen nicht verschwindend sein. Deshalb kann ich
hier nochmal hinschreiben. Diese Kopfzenten sollen allesamt nicht,
sollen nicht alle Null sein. Also das heißt,
die, oder ich schaffe mal einen extra Satz,
die einzige Kombination, die dies zulässt,
ist die Kombination,
dass alle KIs
ohne Ausnahme Null sind
Und wenn es keine Zahlen gibt,
außer K1 gleich 0. K2 gleich 0 bis K1.
Gleich 0. Und wenn ich hier sage, es gibt keine,
es gibt Zahlen solche, sodass die nicht alle St. Null sind,
also mindestens eine davon ungleich null.
Also nicht alle KJ
Im gleichen Null. Eines Kompliment von allen Nulls ist,
mindestens eins davon ist nicht Null. Und in diesem Fall,
wenn mindestens eins zu diesen Zahlen nicht Null ist,
ist diese Funktion auch nicht konstant. Okay,
damit habe ich die erste Hälfte vom Satz auch schon bewiesen,
nämlich die Impulkation, dass, wenn es so eine Kombination gibt,
das heißt, das Gegenteil der zweiten Aussage implizit das Gegenteil,
die Außenaussage, wir haben jetzt eine nicht-dopologisch-transitive Abbildung,
die ist damit auch automatisch nicht minimal,
denn minimal impliziert ja
topologisch transitiv
Und so. Ist. Alpha, have gummer.
Nicht. Topologisch. Transitiv. Deshalb. Auch nicht.
Und dann ist die erste Richtung schon bewiesen.
Also das war sozusagen diese Richtung. So,
jetzt kommen wir in zur anderen Richtung.
Ich wünsche jetzt mal dieses hier weg,
weil wir kennen den Satz jetzt
So, jetzt haben wir gezeigt, wenn es eine lineare Kombination gibt,
dann haben wir die Existenz einer solchen Funktion.
Und jetzt müssen wir zeigen, dass wenn es keine Linearkombination gibt,
dann existiert keine Funktion Groß-F, die all diese Eigenschaften erfüllt.
Stetig, in Variante und nicht konstant.
Also die Umkehrung geht wie folgt. Sein Kammer 1
bis Kammer
Und eins. Arational. Unabhängig. So, ich mache
wieder einen Widerspruch. Du weißt, das heißt,
ich nehme an, es gibt eine Funktion Groß-F mit dieser Eigenschaft
und leite daraus einen Widerspruch her.
Also. Annahme? Es gäbe. Einer. Funktion.
F auf TON
Die stetig, in Variante. Und nicht konstant ist.
So, und jetzt kommt das Hilfsmittel aus deiner Alleses,
von dem ich Ihnen erzählt hatte, nämlich Vorrehe rein.
Foyer rein sind eine Sache, die sind viel allgemeiner,
als man sie auf den A auch einen kennt,
aber der Spezialfall auf dem AON, der geht so.
Sie können eine Funktion auf dem Torus,
eine städte Funktion, sogar eine L2-Funktion, Quadratintegrabel,
aber das brauchen wir ja heute nicht.
An solche Funktionen können Sie schreiben, als Summe,
unendliche Summe, von trignometrischen Polynomen.
Also dann gilt, es gibt eine,
dann eine Foyer
Herr Reiner. Für F? Für F. Oje Rein gibt
es mehrere Schreibweisen. Es gibt die Schreibweise zum Beispiel,
die kennen sich schon mit dem Sinus und dem Kursnuss.
Und es gibt etwas kürzere Schreibweise,
wo man gleich die Exponential, die komplexe Exponentialfunktion hineinschreibt.
Ich werde die zweite benutzen. Da habe ich
wenige Therme zu schreiben. Und das ist der Grund,
warum ich hier kein I genommen habe, sondern ein J,
weil in dieser komplexen Schreibweise E-Och,
ihm an irgendetwas kommt das E eben vor.
Und die Foliereihen, die wird so aussehen,
dass F Das hängt jetzt von verschieden Varialim ab.
Hier ging es im Wesentlichen von Envoyarbien ab. Und ich
kann die Funktionen schreiben als reelle Funktion oder als Todesfunktion.
Das macht keinen großen Unterschied. Ich schreibe jetzt mal in
geringe ändere Dinotationen. Die XEs in das Argument von F
hinein. Und das sieht dann so aus. F,
also F und X, ist gleich eine Summe.
Summen wir über beliebig viele Kompetenten, die beliebig hoch sind.
Und in der Vorjahrentwicklung stehen dann, hier stehen irgendwelche Zahlen.
Ja, und jetzt stehen ja Koeffizienten,
wo man sagt, hier ist K1 bis KN.
Ich nehme Summierum alle N-Vektoren. Ich summiere über alle Invektoren
in Z-Hoch N. Und diese As, diese Koeffizienten,
die sind dann mit diesen K1 bis K1 versehen.
Das sind die konstanten Therme in der Foyerreihe.
Und die Reihe besteht dann aus Thermen, die Komplex-Exponentialfunktionen sind,
eh hoch,
zwei PI
Ich schreibe mal das Expe so rein oder geht auch so
eher auf zwei PI. Mal die Argumente,
die Fs, die X sind, mal diesen Cars.
Und hier kommt sozusagen ein Skala-Produkt aus dem Vektor K und
den Vektor an X. Das heißt, ich schreibe hier,
wenn Sie so wollen,
K1 X1 plus bis KN XN
So, das ist eine etwas längliche Therm. Und das ist sozusagen eine Foyer-Reihe,
die, wenn man die Notation ein wenig ändert,
so schreiben kann, F von X1 bis XN.
Wobei diese Notation, so wie je steht,
die Notiation einer Funktion auf dem R auch endest,
nicht auf dem TON, aber das ist die selbe Entwicklung.
So, und was gibt es jetzt zu dieser Foyer-Reihe zu wissen?
Erstens mal gilt für jede Funktion, die Quadratmeter Kabel ist
, gibt es so eine Reihe. Zweitens,
als L-2-Funktion, vielleicht erinnere ich noch, also diese,
die das Quadrat noch eine integrable Funktion ist, noch ein Layback-Integral hat,
ist das auch dasselbe wie die Funktion selbst, bis auf Nullmengen.
Das brauchen sie noch nicht,
wir brauchen erstmal nur die Darstellung und dann später sehen wir,
dass es eben praktisch mit der Funktion übereinstimmt.
So, ja, es gäbe eine Funktion.
Welche Funktion bietet sich an? Wenn es eine Funktion gibt,
die es hat, können wir genauso gut statt Beliebung,
Funktionen, charakteristische Funktionen studieren, denn charakteristische Funktionen existieren genau dann,
wenn es auf eine Menge gibt, mit schönen Eigenschaften.
Wir nehmen jetzt an, wir wollen die zeigenden Impulkationen von rechts
nach links, das heißt rationale Unhängigkeit impliziert so etwas hier
Wir nehmen also dies an, wir bilden eine Foyerreihe und weil Foyer
rein für ganz beliebe Funktionen vielleicht schwierig zu nehmen,
weil bestimmte Funktionen, wir nehmen jetzt charakterakteristische Funktionen und sehen,
was da herauskommt.
Und an dieser Stelle können wir die Inviance auch noch ausnutzen,
nehmen wir diesen Time mit uns hineinstecken und sehen,
was wir da so haben
Musik Okay, jetzt nehmen wir uns diese Hauptung daher,
dass es so eine Funktion gäbe,
die jetzt stetig in Variante und nicht konstant ist.
Und guck mal, was das für die Vorrichtkoeffizienten impliziert.
Und bedenken Sie, wir wissen schon, die Koeffizienten sollen,
also diese Casts, die im Ex-Vanden da stehen,
die sollen schon mal rational unabhängig sein.
Dann behaupte ich, dann werden wir da aufs Tee leiten können,
dass diese Koeffizienten diese As praktisch alle null sind.
Und dass wir dann zeigen,
dass die Funktion dann doch konstant gewesen sein muss.
Widerspruch zur Annahme, dass sie nicht konstant war.
Also wenn diese Funktion F inviod ist. Unter F-Kammer.
Das ist ja eine von den Bedingungen, die da steht.
Dann gilt, Leute, da muss gelten. Ja,
was denn noch gleich invoyence, das heißt,
wir haben die Translation, setzen wir ein und kommen dasselbe Ergebnis.
Ich setze mal die Translation explizit ein. Es muss also gelten,
F von X1 plus. Ja, was war der erste Translationswerk,
oder erste Translationsvektor war Gamma 1. Und bis XN plus Gamma N.
Und ich habe hier, weil ich das als Relifonzon geschehen habe,
momentan umgeschaltet vor allem Zeilen auf,
ich wollte noch Zeilen wegtouren, was keinen Unterschied macht,
weil ich ohne von dem Toast auf den RON drübergegangen bin.
Sie können uns auch beschreiben, wie sie möchten.
Jedenfalls muss dies hier gleich sein. F von X1 bis
XN. Das heißt, das hier ist die Invienzbedingung,
die muss erfüllt sein. Wir stecken jetzt diese Bedingung in
dieser reinen Entwicklung, die darauf steht und sehen,
was da rauskommt
Also, ja, und wenn sie das aufdröseln,
wenn sie also jedes X setzen durch X plus XI plus Gamai,
jedes XJ setzen sie durch XY plus Gmaj.
In der Summe, die ja rechts oben am Exponenten steht,
dann kommt dann heraus, Summe,
jetzt kommt ein langer Term.
K1 bis K1,
E-Och, 2PI
Ich kann noch eine Summe. Ja,
vielleicht mache ich die zweite Summe mal. Ich glaube,
ich explizit Hände muss ich nehmen, wenn ich noch
an Index ausdenken und ich schreibe hier X 1 plus.
X Einfluss Kammer 1 und das molpliziere ich mit
So, jetzt habe ich hier eine Menge Dinge zu dem Expendenten
dazu addiert. Und jetzt wissen Sie schon, okay,
wenn Sie dies dazu addieren, können Sie natürlich dies herausziehen.
Sie haben also dann herausgezogen, K1, Gumm 1,
Plus und so weiter, bis kein Gummer N.
Und wenn Sie so viel herausziehen aus einer Summe und das Ganze exponentieren,
können Sie genauso gut das Ganze, so man heraus multiplizieren.
Also dies hier ist gleich, ich mache eine neue Zeit,
weil es wieder lang wird,
Summe,
jeweils über alle K1 bis
Ganz zahlig, Z-O-N. Mal, dem Term,
den wir schon haben.
Eher auch zwei PI.
K1 X1 Plus.
XN. Das ist der erste Term, das Ganze multipliziert mit
deinem Term, der jetzt kommt, mal eh hoch.
Zwei PI, K1, Gamma 1, plus KN, Kamma N. So,
entschuldigen Sie die langen Therme,
die werden jetzt zum Glück weniger, denn es muss gelten,
dass dieses hier etwas hier steht, dass die transportierte Funktion,
die muss gleich die originale Funktion sein und die originale Funktion war alles,
was hier steht, außer dem letzten Faktor.
Ja, wann sind zwei solche Funktionen,
weil es sind zwei solche Reihen gleich
Zwei solche Funktionensreihen aus Silena Outfang, die Funktion,
sindgleich werden für jeden Koffizienten eins bis AK, das was hinten steht, gleicher ist.
Also daraus folgt und deswegen gilt das für alle K1 bis KN Element,
ZON, für jeden von diesen Lektoren,
denn die sind unabhängige Funktionen, gilt das,
ja das war's, dass entweder diese Time da hinten steht,
eins ist, Oder das Date haben davor,
davor und davor steht dieser Faktor,
null ist.
Diese Termine kann ich null werden.
Also... Gleich 1 oder
Gut, wir haben zwei Alternativen, also zwei Möglichkeiten,
die eintreffen können. Waren das eine Exponentialfunktion gleich eins,
wenn das Argument davon null ist oder zumindest bei Reihenfunktionen ist,
so bei Imaginären ist es noch so,
wenn ich hier eine ganze Zahl in diese Klammer habe,
dann produziere ich hier eine Eins und sonst nicht.
Das heißt, die erste Blendung kann nur erfüllt sein,
wenn das, was in der Summe steht,
eine ganze Zahl ist.
Also das heißt, die Bedingung Hier steht's.
Ich gehe auch zwei PI. Kammer eins plus.
Er ist nur erfüllt. Kann man enden. Element.
Z. Und das war ja wegen der rationalen Unabhängigkeit
der Sozialen ausgeschlossen
Was? Oh, möglich ist. So, also muss die alte andere Alternative
erfüllt sein. Und diese Arcas, allesamt Null sein.
Also, sind Parcas, K1 bis KN, alle Null.
Ja, was haben wir dann gezeigt in diese Foliereihe?
Müssen alle Therme oder fast alle, bis wir in konstanten Thermen Null sein,
die Funktion F muss dann doch konstant sein.
Deswegen ist F. Das heißt, als L2-Funktion, konstant.
Und das beweist gerade diese Aussage, denn ich habe gesagt,
wenn wir eine Beliebefunktion dahin nehmen, annehmen Sie wer nicht konstant,
kommt heraus mit dieser Entwicklung, sie ist doch konstant Widerspruch.
Und das beendet diesen Beweis hier. Es gibt also deswegen keine Funktion,
Groß F, die in Variant ist, uns nicht konstant.
Weil mit diesem komplizierten Argument kann man zeigen, dass es
anders nicht geht. Ja, und damit haben wir gezeigt,
Minimalität ist Äquivalent zu rationaler Umhängigkeit aller Verschiebungssektoren.
So, das war der Beweis dieses großen Satzes heute.
Vielen Dank fürs Kommen, vielen Dank fürs Zuhören und
bis zum nächsten Mal