Ja. Schönen guten Morgen zu dann.
Herzlich willkommen zur Vorlesung, Einführung in dynamische Systeme.
Was ich denn heute erzählen wollte, ist das Thema manchfaltigkeiten,
differenzierbarer manchfaltigkeiten und Dynamik auf meine Faltigkeit.
Das, was ich ja letztes Mal schon versprochen.
Und letztes Mal hatten wir schon vieles an Vorarbeit geleistet.
Wir hatten ein paar Konzepte gesehen, die ziemlich abstrakt waren,
das des top-logischen Raums. Und das Konzept der zweiten Abzählbarkeit.
Und die fließen jetzt gleich in die Definition ein.
Also zur Motivation, was wir machen wollen.
Wir wollen folgende Dinge verstehen in diesem Thema.
Meine Gefaltigkeiten
Und die Dynamik darauf. Was wir also verstehen wollen,
dass Strukturen, wie zum Beispiel Tori,
Zylinder und so etwas, die so aussehen,
was wir, wir haben also eine solche Struktur,
dass wir die Mannchfaltigkeit M sein.
Und ab diesen Dingen Und hier drauf,
also als erstes muss ich das Objekt selbst definieren,
die Mannlich-Faltigkeit muss ich sagen, was das ist.
Und als zweites definieren wir eine Art Dynamik darauf,
eine Art Fortbewegung, Änderung der Punkte, Vektoren,
Richtungen oder Abbildungen von M nach M. und solche Dinge.
Also die Frage ist, wie beschreibt man so ein Ding?
Mathematisch korrekt. Zum Beispiel diesen Fahrradschlauch, welche Struktur nehmen wir,
um das zu beschreiben, um das korrekt zu definieren?
Und da nehmen wir die Struktur des topologischen Raums
und versehen sie mit zusätzlichen extra Informationen,
die dann diese glatte Struktur,
die wir hier sehen,
Also, die ist wie eine Mahnigweitigkeit. Speziell dieses einen Torus.
Okay. Ja, dann fangen wir an mit folgender Definition.
Also eine. Und zwar, es gibt manche Faltigkeiten von
verschiedenen Differenzierbarkeitstypen. Ich definiere das mal allgemein.
Also eine,
meine Gefaltigkeit
Der Dimension, also das ist jetzt der Begriff, den ich definiere.
Und es kommen noch ein paar Worte, die dazwischen auftauchen.
Der Satz wird langsam, der wird über mehrere Spalten gehen.
Deswegen sage ich schon im Forst, worum es geht.
Die Dimension ist sozusagen die Art,
die Menge der Freiheitsgrade, die man hat,
zum Beispiel auf diesem Tores, diesem zwei Tores,
können sie an jedem Punkt sowohl in diese Rechnung gehen,
als auch in diese Richtung
Das heißt, die haben sozusagen zwei Koordinaten.
Und deswegen wird dieses Jahr ein Objekt der Dimension 2 sein.
Bei einem Folgenden wird das für jede Dimension enden möglich sein.
Und eine Manchfaltigkeit der Dimension N ist folgende Dinge.
Besteht aus... Und die erste Komponente, man braucht mehrere
Dinge. Erstens machen wir einen sogar einen topologischen Raum
Traum. Was war doch gleich ein topologischer Raum?
Das heißt, eine Menge von offenen Mengen.
Das heißt, topologische Raum machst du einfach.
Ich definiere irgendwelche Mengen, die nenne ich jetzt offen.
Zum Beispiel alle offenen Intervalle auf der reellen Achse und deren Vereinigung.
Dann noch mehr, also topologischen Raum, sozusagen.
So als Erinnerung, offene. Habe ich einen topologischen Raum,
kann ich im folgenden immer von offenen Mengen reden?
Ich kann von stetigen Abbildungen reden, in was stetige Appel,
was Auf eine Uhrwelle von offenen Mengen hat,
ist dann stetig und so weiter.
Ich habe, glaube ich, einen Raum.
Der Hausdorf ist. Also der die Hausdorf Eigenschaft hat,
haust auf Eigenschaften nur so zur Erinnerung,
das war dies mit dem Trennen von Punkten durch offene Mengen.
Habe ich einen Punkt hier, X und einen Punkt Y.
Dann gibt es offene Mengen auf eine Umgebung davon,
die die Punkte trennen.
Also das finde ich hier So zwei offene Mengen,
die verschieden sind. Das ist jetzt nochmal billig illustriert,
die Hausdorf-Eigenschaft. Welcher? Das Zweite. Abzählbarkeitsaktion erfüllt.
Das mit dem zweiten Absolvergastrosion, das sieht man in
der Praxis
Kaum, aber also man sieht kaum, dass man das wirklich benutzt,
aber das steckt implizit in der Rechnung drin.
Und das war doch gleich die Bedingung,
dass es eine abzerrbare Teilmenge der Topologie gibt,
eine abzählbare Folge von offenen Mengen,
sodass jede andere offene Menge eine Vereinigung von solchen Dingen ist,
aus diesem abzubahnen Komponente.
Also ich kannst du mal ins Kleingedrücke schreiben,
wir hatten es das letzte Mal schon definiert,
existiert eine abzählbare.
Menge oder Folge?
Von offenen Mengen
Und offene Mengen sind genannt an die, die diesen
topologischen Raum drin sind, sodass jede andere offene Menge.
Vereinigung davon ist. Wollte das nur nochmal ins Kleingedruckte. So,
jetzt haben wir also den topologischen Raum mit diesen zwei Aktionen,
Hausdorf und Abzahlbarkeit. Das ist nur so als Vorarbeit.
Und da ist noch Nirgendszeugen die Rede von glatter, differenzierbarer Struktur,
sondern manchmal hat diesen Tores, können sie sich sehr glatt vorstellen.
Und hier steht nur irgendwas vom Leben offenen Mengen.
Die können da Knicke haben und sonst etwas. Und das im Allgemeinen
noch nicht gut genug. Was wir wirklich sehen wollen,
sind solche Dinge wie dieser Runde Zylinder hier.
Hier haben wir einen Zylinder aus Plastik in diesem Fall.
Wo man, wenn man längst eine Koordinate entlangfährt,
hat man eine schöne glatte, differenzierbare Kurve,
längst anderen Richtungen auch.
Und dies wollen wir irgendwie modellieren. Und dazu kommt jetzt
noch eine weitere Struktur dazu,
die diese Glattheit irgendwie beschreibt
Und diese Glatter zu beschreiben ist im Allgemeinen nicht so ganz leicht.
Denn wir können natürlich sagen, dieses Ding hier
ist als Untermenge vom R hoch N, glatt.
Aber im Allgemeinen wissen wir noch nicht, ob so ein R-N gibt.
Und deswegen wäre das etwas komplizierter. Deswegen kommt jetzt noch
folgende Struktur. Es kommt an die Struktur des Überdeckens mit
kleinen Mengen. So drauf jeder von diesen Mengen,
das Ding aussieht, wird auch klitisch hier Raum.
Und dieser Überdecken von der einen zu anderen irgendwie gescheit ist.
Also die zweite Komponente neben dem koglobischen Raum
ist eine Überdeckung
Ja. Oh, i. Hier Element.
I. Also in der Überdeckung aus irgendeiner Indexmenge,
die ich jetzt noch nicht spezifiziere, mit offenen Mengen.
Zur Erinnerung, offene Mengen sind genau die,
die diese toplogisch,
also in der Topologie des topologischen Raumes
drin sind
Und da gibt es noch Abbildungen. Von jedem dieser UI
, also HI. Ich elementiere die. Mit HI,
so eine Abbildung von UI,
in den RON oder auch mit genau diesem N hier
Oder ich kann auch sagen, beziehungsweise Einheitskugel. MRON,
das letztlich gar kein großer Unterschied sind,
was ich auf die offene Einheitskugel abbilden kann,
kann ich auf den ganzen RON abbilden.
Das ist nur so eine kleine technische Verhindert. Ich habe halt
so Abbildungen, die dies tun. Die sollen sozusagen,
ja, sie sollen möglichst stetig und glatt sein.
Und mit der Glatter ist das immer so ein Problem.
Deswegen sage ich erst einfach,
die sollen stetig sein in dem Sinne,
dass Urbälle von offenen Mengen
hier offen dort sein sollen
Ja, entscheidend. So, das. HI. Stetig ist. Ja,
nochmal zur Definition von Stetigkeit. Sie kennen schon Stetigkeit in metrischen Räumen,
da wo es eine Abstandsfunktion gibt,
dass es mit dem F-Sonne und Delta die Stetigkeit,
wenn es in einem topologischen Raum sind wie hier,
dann ist Stetigkeit, dass die Urbilder von offenen Mengen wieder offen sind.
Ja, für alle, für jede Menge V,
Timing R auch,
N. Offen ist
HI, rumminus eins von V. Offen. Also Elemente Topologie von M. So,
jetzt haben wir einen Haufen von stetiger Abbildung und jetzt kommen noch mehr,
weil diese HI noch keinen Zusammenhang untereinander haben.
Die sind alles separate Abbildung. Denn was wir brauchen ist,
da ist die Abbildung so gehen. Ich mache mal,
also der Satz geht noch weiter,
aber ich muss sie noch an Diagramm einführen,
dessen erklärt, wozu die HI da sind.
Hier ist also die Mannchfaltigkeit M und ich überdecke
das Ganze mit Mengen,
UE,
etwa so
U1 zu 2 und so weiter. Und ich will jetzt,
dass wenn ich eine bestimmte Teilmenge habe,
die sowohl im einen als auch im anderen UE drin ist,
dann will ich, dass diese beiden Abbildungen,
also hier, ich nehme mal zwei AIs,
hier ist eine Abbildung, die bildet diese Menge ab,
eins,
auf so einen offenen Ball,
ja doch
MRON. Dann habe ich ja ein Meckner, ein Abbildung H2.
Die Batters up. Auch irgendwie, nicht nur Adventivise,
auf ein überschneidendes Stück. Und hier habe ich jetzt eine
Teilmenge. Die wird sowohl Hirn abgebildet als auch dorthin.
Das heißt, diese Teilmenge hier. Die ist in beiden
Stücken drin, etwa so. Und ich will jetzt,
damit das Ganze glatt wird, dass der Übergang von diesem
Stück zu diesem Stück differzierbar ist.
Also hier ist ein Stück, das in beiden Garten drin ist.
Beide Karten durchschreiben sozusagen, beide Koordinaten beschreiben dieses Stück hier.
Deswegen will ich, dass der Übergang von dir dort,
das heißt, die ist Abbildung hier,
die gebetet wird durch das Verkettung der einen der beiden Haars.
Dies hier soll eine schöne glatte Abbildung sein.
Das ist also das nächste Aktion,
das jetzt da gleich hingeschrieben wird
Das. Die Appelle nennen wir sie mal PC.
Die Y. Das heisst, ich habe hier zwei Abbildungen HI und HJ.
Das hier ist das HI. Das ist HJ. Und
diese Blau-Abbildung von hier nach dort ist gebildet von erst HI oder minus eins.
Und danach, HJ. Also ich sage,
diese Abbildung J. HI,
minus eins
Jetzt muss ich noch etwas dazusagen, diese Abbildung HI,
die muss also insbesondere stetig sein und die sollen auch noch inventierbar sein.
Das höre ich noch mal dazu. Also und bidiaktiv.
Und so, dass diese Abbildung hier,
das ist jetzt eine Abbildung, CEJ geht jetzt von
einem RON
In den RRN. Diese Appel dann hat also nichts mehr
mit der Mannfaltigkeit zu tun, also hat sie schon,
aber sie geht von Mengen, auf denen wir schönen Glattkurven betrachten können.
Und die soll also eine differenzierbare, bjektive Abbildung sein.
Keine glatte oder, ja. Ja, wie lacht will
ich es eigentlich? Jetzt kommen hier verschiedene Dinge schreiben,
man kann hinschreiben, glatt, man kann hinschreiben,
CK, man kann Scheiben stetig.
Ich habe jetzt mal
CK Abbildung ist
Für alle I. J. In der Endex-Menge I. Und die Index-Menge,
die kann endlich sein, abzählbar oder überabzählbar.
Das ist alles korrekt. Das ist so eine Mannigfaltigkeit.
Und wenn man positive sein will,
das ist eine Mannchfaltigkeit der Dimension N. Oder wenn man so will,
eine CK, meine ich Faltigkeit.
Das kann man also noch dazuschreiben.
Über diese Mannigfaltigkeit
Eine CK-Mannchfaltigkeit, im Sinne von Karma differenzierbar, kann man stetig davon zielbar.
Okay, das war jetzt schon ein ziemlich schweres Geschütz,
ziemlich lange Definition. Machen wir ein paar Beispiele,
damit wir wieder klar sehen. Erstes einfaches Beispiel,
wir nehmen ein Objekt mir nur in einzigen Karten,
diese Objekte Paar heißen Karten,
kann ich ja noch dazu sagen.
Also Definition oder Notation.
Die PI
Heißen. Karten? Karten sowie Landkarte,
Landkarte ist so ein Stück Papier,
quadratisch oder jedenfalls simpel, dass irgendeine größere Wirklichkeit wiedergibt,
irgendeine gekommte Wirklichkeit wird wiedergeben auf so ein flachen Stück
öklidischer Raum.
Dann die Definitionsbereiche,
die UE heißen Kartenumgebungen
Und zuletzt diese CEs, die hier sind,
die Verkettung von den Kartenabbildungen mit im Nerven von anderen Kartenabbildungen.
Die heißen Kartenwechsel. Und jetzt, was kann sie auch schauen,
aus dem normalen Leben, zum Beispiel aus dem Erdkundeunterricht,
kennen sie wahrscheinlich verschiedene Karten für die Erdkugel.
Da gibt es verschiedene Arten der Projektion,
denn wenn sie einen Atlas machen wollen, etwas auf Papier drucken,
das Problem, dass diese Sphäre, diese runde Gestalt,
die müssen irgendwie abdrucken und da gibt es verschiedene Möglichkeiten, das zu tun.
Meist gibt es nur die sogenannte Mercato-Projektion,
aber es gibt auch noch andere, es gibt eine zylindrische Projektion,
wo dann die Pole unendlich ausgedehnt werden und es gibt die Projektion direkt von oben,
so wie sie es aus dem Satellit sehen würden,
wo sie dann zum Beispiel den Nordpol sehr gut sehen würden,
aber um den Äquator herum sind alles recht verzerrt.
Solche Karten gibt es also, Kartenkartenwechselkarten, Umgebung.
Ja, und weil es jetzt recht viele Begriffe sind,
alle auf einmal kommen jetzt mal ein paar Definitionen,
ein paar Beispiele davon
Also, Beispiele. Und in dieser Definition habe ich jetzt noch nicht die Kompaktheit vorausgesetzt.
Im Folgenden werden wir uns meist über kompakte manche Faltigkeiten unterhalten.
Aber die ersten Beispiele sind noch auf nicht kompakten Räumen,
weil sie da halbwegs leicht sind.
Zum Beispiel als Beispiel eins nehmen wir an,
das sei F, das ginge vom Einheitsball,
Ball von Radios 1, Omdi 0 als Teilmenge von
Im R-O-N. Also F soll für diese Menge gehen in den R auch eins.
Sei glatt. Also unendlich oft stetig dürfen Zieron. Dann behaupte ich,
dass das Bild davon schon mal eine glatte Mannigfaltigkeit ist.
Dann ist. Gute Frage. Und zwar,
wenn ich das so schreibe, wenn ich dabei ausgefüllt,
wenn ich schreibe, der Ball ohne einen Strich druhe,
meine ich immer den offenen Ball, Und also der Einsatzball,
der ist dann automatisch offen.
Es gibt auch noch den abgeschlossenen Einer als Ball,
den nehme ich in diesem Fall nicht,
weil man dann sich am Rand dann extra Gedanken machen muss.
Also die Aussage ist, wenn dieses eine glatte Funktion ist,
eine Funktion einer mit eindimensionalen Werten,
dann ist das Bild davon,
also der Graf,
eine glatte.
Also glatt heißt
Und endlich... Moment, hier.
Sehr unendlich. Wenn ein Abbildung heißt C und endlich,
wenn sie insbesondere C hoch Car ist, für jedes K,
dann ist der Graf eine glatte Mahnigfaltigkeit.
Das ist jetzt Beispiel 1. So, das ist eine Behauptung,
dass dieses Ding eine glatte Mahnigfaltigkeit ist.
Ich mache mal einen Dialom, wie die es auch sehen kann.
Wir haben also hier irgendwo Eine Kugel,
das hier ist der Einheitsball, B1 von Null.
Ich würde gar keine Rolle, dass der Ball um die
Null ist, der könnte irgendwo sein.
Aber in diesem Fall habe ich ihn um die Null gewählt.
Jetzt nehmen wir einen Graf. Irgendeine schöne Funktion.
Da sehen wir so ein Ding.
Und dies denn hier
Also die Abbildung F, die geht von unten nach oben.
Und was wir hier sehen, das ist der Graf von F. So,
jetzt zwar habe ich eine Behauptung, ich habe mich schämen,
die ist da, eine Glatte, meine Faligkeit.
Das muss ich ihnen jetzt natürlich zeigen. Warum soll die so sein?
Ich muss ihn also angeben. Erst einmal muss ich sagen,
diese Menge ist ein toplogischer Raum mit diesen ganzen Aktionen.
Zweitens muss ich sagen,
es gibt diese UEs und Heiß, sodass folgendes gilt,
sodass diese CEs immer
schön glatt sind
Okay, das mache ich mal. Also, nenne ich
diesmal M. Also, wieso ist die seine Meinigkeit?
Und also Frage?
Also Antwort
Ja, erstmal muss ich das mit dem topologischen Raum prüfen.
Also ich weiß schon, dass B1 von 0,
das ist sicherlich ein topologischer Raum,
genau, kenne ich ja schon offene Mengen.
Mist. Sicher. Von daher, das bekannte Weisein.
Ein topologischer Raum. Es ist im Folgenden gar nicht mal
so wichtig, welche Topologie ich darauf nehme.
Es kann mehrere geben, jedenfalls, dass hier ganz Ganz in Ordnung.
Also B1 zu 0 ist ein doppellogischer Raum.
Mit sozusagen der Standard-Topologie, naja. Sogar. Metrischer Raum
. Und letztes Mal hatte ich ja schon erklärt,
dass ein metrischer Raum, ein Raum mit Abstandsfunktion,
automatisch ein topologischer Raum ist eine mit offenen Mengen.
Gut, also den Raum hier unten. Den kennen wir
euch mal gut. Hier unten haben wir auf jeden Fall
schon mal einen topologischen Raum. Jedoch fragen wir uns jetzt,
wenn wir wissen, dass das hier unten ein topologischer Raum ist,
Warum ist dann das hier oben auch ein toplogischer Raum?
Und die Antwort ist noch halbwegs leicht. Ich sage jetzt,
es gibt eine Bijektion, klar, das wissen wir schon,
EMF zwischen diesem und jenem.
Also es ist der Graf von F von F. Es ist
auch topologischer Raum. Ja, nämlich mit welchen offenen Mengen
? Top-logischer Raummeister? Ich gebe irgendwelche offenen Mengen an.
Also M gleich, dem hier. Ich sage,
das ist eine Menge, V-Teilmenge. M ist dann offen
. Genau, dann wenn. Das kann man als Definition
hinschreiben, obwohl diesenfalls noch nicht mal eine Definition ist.
Das ist ein Faktum für Untermengen vom R
auch N plus 1. Wenn Geld, V gleich.
Also Graf von F eingeschränkt auf eine Menge.
V-Strich und V-Strich offen im RON. Das heißt,
wir sagen eine Menge, die oben liegt, ist genau dann offen,
wenn das zugrunde liegende Ding unten schön offen ist.
Ich nehme also hier ein Stück heraus, zum Beispiel diese Menge hier,
will wissen, ist die offen oder nicht.
Und nur um das herauszubekommen, sage ich,
jede Punkt hier oben ist das Bild von einem Punkt da unten.
Ich kann also genau eine Menge hinschreiben,
die auf diese Menge oben abgebildet wird.
Und wenn dies ja eine offene Menge unten ist,
dann ist die Menge oben auch offen.
Damit habe ich das Konzept von offenen Mengen auf diesem Graphen
definiert.
Das ist nicht
besonders überraschend
Das fand ich gut. Ah, gute Frage ist
der Graf oder das Bild, die meine ich Falschkeit?
Ich rede von einem Grafen. Das heißt,
die Menge von Punkten, x, F von X.
Der Graf nochmal zur Erinnerung, was ist ein Graf?
Das ist die Menge von Tupeln, von zwei Tupeln,
von Punkten X, Komma, Fhonex.
So sieht ein Graf aus. Wenn ich irgendwelche,
irgendeinen Definitionsbereich habe und x da aus und werte da aus,
in diesem Fall auch, N und R auch 1,
dann ist die Menge alle dieser Tupel,
so das gilt in diesem Fall
x Element
Dem, was als Definitionsbereich da steht, B1 von null.
Und dass der Ball sozusagen im R-Hoch-N. Und weil ihr Enddimensionen stehen,
plus eine, sie ist also eine Teilmenge vom R-N plus 1.
Die ist also eine Teilmenge von R-Hoch, Dimension 1 größer.
Hier sehen wir schon ein typisches Prinzip.
Eine Mannfähigkeit der Dimension N, sie wird Dimension End haben,
ist Teilmengen vom R-N für ein größeres N als die
eigentliche Dimension
Also diese Graf ist eine Mannchfaltigkeit, der Dimension,
die ich noch nicht hingeschrieben habe, das wird genauso sein.
Zur Dimension habe ich noch nichts gesagt, die kommt dann
gleich noch. Wo steht eigentlich in dieser Definition?
Irgendwo wann auf so einer Definition? Ich sage,
ich habe ja irgendwo gesagt, eine Mannchfalt geht in der Dimension N.
Wo kommt das Ende eigentlich wieder vor? Das End kommt dort vor
bei diesen Kartenabbildungen, die gehen nämlich in den RON.
Und sollen da irgendwie bjektiv sein. Das heißt,
das Ende aus der Definition taucht hier wieder auf.
Deswegen werden wir es hier auch brauchen. So, und
jetzt haben wir diesen Grafen und haben da schon das Konzept offenen Mengen bestens verstanden.
Jetzt kommt das mit den Zugangsabbildung mit den UIs und mit den HIs.
Gibt es Fragen? Muss F nicht beschränkt sein.
Ich habe in diesem Fall gesagt, die ist eine glatte Funktion.
In der Tat, gute Frage. Ich kann das für beschränkt der F machen,
denn es ist ein bisschen schöner, wenn DSF nicht beschränkt ist,
dann klappt alles genauso, wie ich es...
Ja, es kommt gerade die Frage,
muss die SF an dieser Stelle nicht beschränkt sein?
Muss es nicht. Das klappt auch so. So,
jetzt muss ich das Konzept dieser HIs und UIs irgendwie hinschreiben,
denn das ist die Hauptarbeit des anderen Meeres Leichte
Den topologischen Raum haben wir schon. Der topologische Raum ist
Hausdorf. Also. Also M. ist Hausdorf oder Hausdorf
oder hat die Hausdorf Eigenschaft und erfüllt.
Das Zweite. Abzügbarkeitsaktion
Weil das für B1 von null geht.
Uns ist die Neutration so ein bisschen komisch,
denn hier steht B1 von neun, die stehen also zwei variabel.
Einmal der Mittelpunkt, einmal der Durchmesser.
Genau genommen ist der Mittelpunkt nicht besonders interessant.
Ich könnte deswegen verschieben und das käme das selber raus.
Ich könnte auch den Radius vergrößern, verkleinern und das käme dasselbe raus.
Das Einzige, was eigentlich wichtig ist und was nie so
eine Neutration leider nicht da steht, ist die Dimension.
Dafür ist leider kein Platz mehr in dieser Standardschreibung.
Also wir können auch dazu sagen,
B10 OpenN wäre der endimensionale Einheitsball,
aber das würde verwirrungsstiften und von der üblichen Notation abweichen
Jedenfalls, mit der tubologischen Struktur sind wir fertig.
Jetzt kommt dieses HI und U. Ich werde jetzt eine Menge von UIs definieren,
in diesem Fall eine einzige Menge UI,
eine Menge von HIs, und dieses Fall ein einziges HI,
und das nehmen wir da mal.
Also, fangen wir an mit den UIs,
also sei U oder U1, soll sein.
Genau die gesamte Menge,
der gesamte Graf
Graf von F. Gleich M. Und wir wissen, in jedem
topologischen Raum ist die gesamte Menge immer eine offene Teilmenge.
Das heißt, haben wir diese Menge,
sind wir auch schon mal in der Topologie selbst drin.
Dann ist... ist U1. Offen in
So, ich habe also eine offene Menge definiert und jetzt
muss ich irgendwie ein HI angeben, dass diese Menge hier,
den Grafen, auf so einem Stück im akkreditischen Raum,
zum Beispiel dieses Stock hier, abbildet.
Also, definiere H, H1, also definiere,
das geht von U1, was gleich M ist,
in die eine als Kugel,
B1 von
Das ist halt eine Menge. Ja, auch N. Also
, ich habe mal daneben. Ja, durch. Eins
von. Ja, wir sind jetzt in einem Graphen.
Das heißt, jeder Punkt hat die Kohle nach,
wie ich es da schon hingeschrieben habe,
also einen Punkt X,
Komma F von
Hier ist das Element aus dem Grafen, hat genau diese
Form und ich bilde das ab auf die erste Koordinate.
Zwei Drecker mit Auftrag, aber zu.
Gleich Ex. Das ist so eine Abbildung,
die bildet sicherlich alles ab, projiziert alles nach unten.
Das heißt, H1 ist Projektion.
Auf die erste Kondinate
Okay, jetzt habe ich eine einzige Abbildung. Uh,
ein Abhaar von einer einzigen Menge Uh auf der Mannigfaltigkeit angegeben.
In den RON. So, was müssen wir jetzt überprüfen? Jetzt müssen wir überprüfen,
dass für diese Mengen UIs und diese HIs gilt,
dass alle Abbildungen, PC-IJ, differenzierbare Abbildungen sind.
Es gibt jetzt eine einzige Abbildung, es gibt also ein einziges,
ein einziger Wert für I, I gleich eins,
ein einziger Wert für J, nämlich I gleich eins.
Und jetzt müssen wir noch PC 1-1 prüfen,
das ist die auf jeden Fall ziemlich leicht ist.
Also es gibt nur
Eine. Übergangsabbildung. Oder Kolnatentransformationsabbildung, Koordinatenwechsel.
Ich benutze mal dasselbe Wort. Kartenwechsel. Sie 1-
1 gleich. H1. Verkehrt mit A1, auch minus 1.
Gleich Identität
Was glatt ist, weil das eine Abbildung ist. Mit anderen Worten,
wir haben in diesem Fall uns das Leben leicht gemacht,
indem wir nur ein einziges UENTHI beschrieben haben.
Und deswegen gibt es auch keine Kartenwechsel zu betrachten,
weil sozusagen
alle Trüger alt sind
Okay, soviel zu diesem Beispiel. Wir haben also eine glatte
meiner Faltigkeit gesehen, der Graf an der glatten Funktion.
Alles klar, Fragen dazu. Jetzt können Sie sich überlegen,
an welcher Stelle haben wir eigentlich benutzt, dass hieß der Graf einer glatten Funktion ist?
Was wäre, wenn die Funktion nur stetig wäre?
Was soll, wenn eine Funktion nicht stetig wäre?
An welcher Stelle würde das Argument scheitern? Ich werde mich projiziert,
wir haben gesagt,
wir definieren eine neue Struktur von offenen Mengen auf diesen Grafen,
denen wir gesagt haben, eine Menge ist offen im Graf,
wir werden das,
was wir runterprojizieren,
unten offen ist
Wir haben gesagt, wir nehmen Kolonaten wechseln, indem wir
gar nicht wechseln, weil wir mit einer einzigen Kartenumgebung alles abdecken.
Was war jetzt, wenn die Funktion F nicht schädig wäre?
Stell dich zum Beispiel vor, Sie haben die charakteristische Funktion
der rationalen Zahlen, im R auch eins,
im offenen Intervall von minus eins bis eins.
Das ist eine als Kugel im R auch eins.
Ist dies eine blatte Wandigfaltigkeit? Und die Antwort ist überraschenderweise,
ja, das ist in der Tat wirklich eine.
Also diese Funktion, die nicht stetig gewesen wäre,
wäre es auch okay gewesen,
denn wir haben sozusagen eine neue Struktur darauf definiert
Also sozusagen als Bemerkung und als Beispiel zwei, naja.
Jeder Graf. Nicht nur seine Weise stetig
Abbildung ist mit demselben Argument eine glatte War nicht falsch kalt.
Mit anderen Worten, wenn wir einen Graf haben,
Das heißt, wenn F von, sagen wir mal,
der Einheitskugel oder dem RON, nehmen wir den gesamten RON,
ja auch N in irgendeinen Raum X, irgendeine Abbildung ist,
dann ist ein Graf von F eine glatte Enddimensionale.
Meine Qualtigkeit. Okay, das ist eigentlich um mehr
ein nicht intuitives Beispiel. Im folgenden interessieren uns eher die
manche Faltien, die auch so richtig glatt aussehen.
Also die, wenn wir sehen, dann auch Enden reintun,
die so schön glatt sind.
Wobei in diesem Fall kann man natürlich sagen,
dies kann ich auch in den RAN reintun,
nämlich einfach die zweite Koordinate vergesse, die erste behalte.
Und da ist ja schön alles glatt und eben
Also das ist so ein Beispiel zwei.
Jetzt kommen wir zu interessanteren Beispielen, denn jetzt,
bisher hatten wir das alles auch schon in Analys verstanden,
solche Grafen, das Stoff von Analysis 2.
Solche Dinge sind Stoff von, ja, was auch immer,
theoriedemotischen Räume. Und jetzt kommen wir zu den Tori,
drittens. Den Tores oder die Sphäre. Ich fange mal
an mit der Sphäre. Die Eins-Swäre.
Oder auch Kreis
Ist die Menge aller X, Y. Kämen. Er auch zwei.
So das gilt X-Quadrat plus Y-Quadrat. Gleich eins. Okay,
diese Menge kennen Sie zur Genüge,
dass die Einheitskreise oder der Rand des Einarztwalz,
also das Balz von Radios 1 im R auch zwei,
dasselbe kennen Sie auch im R auch ändern,
aber ich fange es mal an mit diesem einfachen Beispiel.
Die ist überhaupt nicht so eine glatte Mannlichkeit von Dimension 1.
Warum soll die so sein? Ich muss also zu diesem Objekt,
hier ist es schon, Das hier ist also,
nennen wir diesmal S1. Hier ist unser S1,
das Open 1 bedeutet die Dimension, wir wollen,
also natürlich gibt es auch Sphären in beliebenden anderen Dimensionen,
aber hier kommen wir euch schon mal an so Konzept und so Verständnis von Karten,
Kartenumgebungen und Kartenwechseln trainieren.
Jetzt ist das Ding ein Graf, sicher nicht,
zumindest nicht so eine weitere Form, auch einzelne, auch eins.
Ich werde Ihnen jetzt ein paar Kolnaten angeben,
die dir das ganze Ding in Schanzen,
ich sage jetzt die Menge U1 soll sein, irgendeine Menge zum Beispiel
Diese hier, ich nehme mal, was nehme ich denn mal?
Ich fange mal an hier an mit Ehoch Null und gäbe es irgendwo hier.
Und ich sage diese Menge soll sein U1. Dann sage ich,
ich mache das weiter und nehme noch zwei weitere Mengen,
U2 und
Das heißt, ich teile den Kreis irgendwie auf in sechs Segmente und sage,
dass jeweils eins, zwei, drei aufeinander folgende davon sollen,
sollen die wenigen U1, U2 und U3.
Und ich behaupte jetzt, ich kann mit dieser Konstruktion Koordinatenbeschreibung hinschreiben.
Also sein Sein. Drei. Ja, wie soll ich das hinschreiben?
Ich würde jetzt am liebsten sagen, wir nehmen drei Intervalle,
aber das Konzept des Intervalls kennen wir noch nicht.
Deswegen sage ich mal explizit, wir nehmen die Koordinaten
von 0 bis
Das hier ist irgendwie eh hoch,
eh mal genau diese Koordinate. Und dann sage ich,
sei sozusagen drei Umgebungen gegeben, also U1. U2.
U3. Mengen. Sodass. Ui. Gleich. Die Menge
aller Ehe auch.
I mal
Fiest mit Vier-Element. Jetzt sage ich, ich nehme Intervalle
in einem reellen Raum, nennen wir es mal V, VI.
Und VI sollen sein. Affene Intervalle. Hoch 1,
das ist jetzt nur eine komplizierte Schreibweise für das,
was sie im Bild schon sehen.
Ich nehme mit drei Intervalle, bilde sie ab mit EOIFI
Das geht ja in den Kreis hinein. Und so,
dass das alles überdecken. Und so das. U1 vereinigt U2,
vereinigt U3 gleich. Der ganze Kreis ist. So,
ich behaupte jetzt, dieser Kreis ist eine glatte Mannigfaltigkeit.
Warum soll es sein? Als erstes mal muss ich
eine topologische Struktur darauf angeben. Dann sage ich,
ich gebe gleich mal eine metrische Struktur
Also S1 ist. Denn mittische Strukturen haben sie eigentlich geschafft,
das sind automatisch Hausdorfs sind und so weiter.
Meta, schau mal. Es gibt verschiedene Metriken auf
diesem Raum. Zum Beispiel kann ich sagen,
ich kenne ja schon einen Abstand im Auch 2. Und wenn ich
das einschränke auf diese Menge hier, habe ich auch einen Abstand.
Das ist eine von den Abständen auf S1.
Ein andere wäre, also D von XY gleich
X. Ja, X-Ops und das ist jetzt schlecht,
weil ich hier schon X-Ops und vergeben habe, ich sage mal, P&Q.
Und ich sage, die haben Konnaten P1,
P2 und ich kann zum Beispiel diese akletische Metrik nehmen,
um das hier als Band.
Ich sage P1, minus Q1, Quadrat plus.
P2, minus Q2 zum Quadrat.
Ich nehme mal
den akletischen Abstand
Und habe dann eine Magic definiert. Es ist nicht der einzige Metric,
ich hätte auch sagen können,
wenn ich zwei Punkte habe, hier und dort,
gehe ich auf dem Kreis entlang und nehme die Länge dieses Bogens und das ist der Abstand,
entweder so lange oder anders herum und das Kurze von Weinstücken ist der Abstand,
das wäre auch gegangen, aber es kommt dasselbe raus.
Die beiden Metren sind äquivalent. Die ist also
ein metrischer Raum, deswegen automatisch Hausdorf, topologischer Raum,
das zweite Abzug Wahlkassaktionen gilt für den auch.
Eins und deswegen sind wir auch schon mal damit fertig.
Und jetzt kommen wir zu diesen Karten und Karten
weg Swind
Diese UEs habe ich dann abgegeben. Jetzt muss ich diese HEs angeben.
Ich gebe also jetzt dann Abbildung HI von UE in den R-Hor-1.
Ja, wie mache ich das? Hier habe ich Glück,
denn diese UEs, die waren schon Bilder von dieser Funktion hier, von solchen Intervallen.
Das ist also sozusagen das UEs auch so eine Art Graf,
vielleicht ein bisschen komplizierter als ein Graf,
weil ich gehe da im Kreis herum.
Und ich muss jetzt nur diese Kolnaten-Ziele hernehmen und Bild ab
den Punkt, E-Hoch-IPC ihre EV auf den Winkel Vieh.
Das werde ich ins Folgenden machen. Indem ich sage,
HI von Vieh wird abgebildet auf Vieh.
So würde ich das gerne hinschreiben, sozusagen so als Anführungszeichen.
Und das Dumme bei dieser Abbildung ist,
das ist nicht so ganz eindeutig,
denn die Abbildung Vieh geht nach EOIV, die ist alldeutig.
Umgekehrt gibt es zu jedem Punkt EOIV mehrere verschiedene,
sogar unendlich viele verschiedene Punkte,
die in denselben Werte haben
Also sie kennt diese Abbildung Aero-IV, die geht immer im Kreis herum.
Das heißt, die wiederholt sich alle zwei IP.
Und wenn sie sagen, ich will ein Urbild haben,
dann hat jeder Punkt unendlich viele Urbilder.
Wir machen das alles geschickter. Wir müssen jetzt
sozusagen ein zusammenhängendes Intervall in diesem Urwelt auswählen.
Und guck mal,
wie wir das hinbekommen
Musik So, und jetzt habe ich schon gesagt,
dass das Hui, das Bild von einem bestimmten Intervall V ist.
Ich bilde also das Ui in genau dasselben Intervall VI zurück ab.
Wenn ich sage, HI geht von Ui in VI,
was ja ein Intervall... Weil... MRO 1 ist.
Ja, und wie geht das jetzt? Nur nicht,
ich habe gesagt, das Intervall war so,
dass diese Abbildung gerade eindeutig war. Und zwar habe ich,
das hätte ich mir vorhin nur noch sagen können,
dass wir, gute Wesen, das will ich so machen,
dass VI soll so klein gewesen sein,
dass diese Abbildung EU-EV auf VI eindeutig ist.
Also das heißt, nicht zweimal dieselbe Punkt ist.
Das heißt, wenn dieses VI klein genug ist,
da ist diese Abbildung VI nach UI injektiv.
Und dann ist diese Umkehrabbildung wohl definiert.
Also wenn VI nicht Weil zu groß war.
Est. Plappelung Vieh geht nach Eo, Ifi.
Penetitiv. Und damit umkehrbar. Das heißt,
wir dürfen hier in dieses High
einfach als Unkehrabbildung,
die Umkehrabbildung
Und dann nennen wir, oder sei.
Wenn wir HI. Das ist dann eine vulfinale Abbildung von
so einem Stück Kreis in die Rel-Achse.
Wir haben jetzt übrigens zwei Probleme, mit denen wir kämpfen müssen.
Problem eins, wir haben hier irgendwie so eine gekrümmte Struktur,
so etwas aus dem Kreis herumgeht.
Das müssen wir auf eine gerade Struktur, nämlich den R
auch eins abbilden.
Das ist das erste Problem,
sondern mit der E-Funktion gelöst
Das zweite Problem, das irgendwie mathematisch tief liegen, mit dem müssen wir uns befassen.
Es gibt ja offenbar Probleme mit Indektivität und Nicht-Indektivität.
Wir gehen herum und wir gehen noch einmal herum und treffen denselben Punkt zweimal.
Das ist ein Problem, das hat nichts mit dem Gepumpten zu tun.
Das hat damit zu tun, dass irgendwie,
wenn wir zu weit nach draußen gehen, dann kommen wir auf dieselbe Menge zurück.
Und dem müssen wir uns irgendwie beschäftigen. Ja,
und mit beiden Dingen habe ich,
wenn sie jetzt sozusagen implizit beschäftigt,
auch wenn das hier nicht so richtig dasteht,
hier ist der Teil, der das so erkrümmen vom Raum macht,
der bildet Intervalle,
ab auf Dinge,
die im Kreis herumgehen
Und die andere Struktur ist dies mit dem nicht allzu groß,
das besagt, wenn wir diese Teile so machen,
wie ihr diesem Bild dargestellt, dass sich zwar überlappen,
aber dass nicht eins von diesen Intervallen einmal komplett herumgeht.
Denn wenn es eins komplett rumgeht, dann klappt diese Konstruktion nicht mehr.
Dann haben wir dieses HI, so wie hier, konstruieren können.
In der Tat, wenn einzelne Intervallen so groß wäre,
dass es größer wäre als zwei Bier in der Länge,
dann klappt die Umkehrung schon mal gar nicht.
Auch nicht, weil ein einziges für dieses eine VI.
Okay, jetzt haben wir mit viel Aufwand berechnet,
dass dieses Ding eine glatte Mannigweiligkeit,
dieser Kreis
hier haben
Und dasselbe geht auch für beliebe Dimensionen.
Also analog für in höheren Dimensionen. Also wir nehmen SN,
die Endsphäre, gleich eine Menge aller Punkte.
XY oder X-1 bis XN als Zeilen oder Schwaltenwektor,
wie es ihnen am besten passt.
So das gilt die Summe von den Quadraten
Gleich eins oder gleich irgendeine ingenehme Zahl,
der des Radius ungleich null und positiv.
Dieses Ganze heißt dann Endesphäre. Das ist die Bezeichnung für
dieses Objekt, das behaupte ich,
ist eine glatte Manchfaltigkeit von Dimension
Ja, wenn ich das jetzt nachreichen wollte,
also wenn ich explizit die Conan eben angeben würde, dann wäre es so ein bisschen lästig.
Und sie könnten sich aber zum Beispiel fragen,
als so als kleine Denkaufgabe, die Sphäre könnten,
die verstehen sehr gut, dass so eine Art, so ein Ding,
das ist auch nicht viel anders als von einem engen Würfel oder der Oberfläche des NPlus 1 Würfels,
Sie könnte hier fragen, nur so als Denkaufgabe,
wie viele Karten glauben Sie, brauchen Sie mindestens,
um dieses Ding abzudecken?
Sie können nicht einmal komplett die ganze Sphäre nehmen,
denn das kann man nicht auch N abbilden.
Ich bin nicht bijektiv. Wie viele Karten glauben Sie,
müsste man mindestens nehmen? Das kennst du schon aus dem Erdkorn-Unterricht
. Es ist schwer, ein einziges Blatt Papier hinzumachen,
sodass alles eigentlich sich Polen und allem richtig gut abgebildet wird.
Also meist diese Landkarten sind so, dass Nord- und Südpol sind
dann so ein bisschen gestaucht und nicht so richtig korrekt.
Und ohne einen Pasta links und rechts, ja,
links hört es irgendwo auf und rechts hört irgendwo auf
Ist irgendwas, was im richtigen Leben,
also auf der richtigen Erde zusammenhängt, weißt du,
positiv durch Ozean, ist auf der Karte dann zwei Teile geschnitten.
Also mit einer einzigen Karte wird es am Anfang nicht schwer.
Mindestens zwei brauchen sie schon. Und sie können sich auch fragen,
wenn sie im Endwind seinen Raum wären, wenn also die Ahre,
die jetzt nicht an der Zweisphäre wäre, sondern eine Endsphäre,
wie viele Karten würden sie dann brauchen?
Und in der Tat stellt sich heraus, um abzukürzen,
sie kommt in der Tat mit zwei Karten immer schön hin,
mit einer ganz geschickten Projektion. Also man kann zeigen,
das werde ich jetzt nicht im Einzelnen tun,
das ist so eine schöne Rechenaufgabe, das können sie auch tun.
Zeigen. Jeder. Jedes N lässt sich... Ja,
die Endsphäre. Mit Silvin-Karten beschreiben, nämlich zu sagen,
sie haben ja die Endsphäre. Ich mache mal ein Bild,
wo ich nur die drei, also nur in der drei,
bis man eine Sphäre einzeichne,
auch wenn das Bild im Hördimensionalen klappt
Wenn dies unsere Sphäre ist,
hier mal ich mal einen Äquator hinein,
dann können Sie geschickt hingehen und sagen, ich nehme diese Ebene,
zum Beispiel diese, die durch den Äquator geht,
das würde auch jede andere Ebene tun.
Diese Ebene nehme ich daher. Und... Also sie denken
sich sozusagen, dass diese Ebene in hier durchgehen würde.
Vielleicht kann sie
das Bild
noch visualisieren
Und jetzt gehen sie hin und sagen, bin ich an
deinem Punkt, bin ich markiere, einem Abzeichenpunkt.
Ich markiere zum Beispiel diesen Punkt, den nenne ich mal Nordpol,
der von der Ebene am weitesten entfernt entfernt ist.
Und jetzt gehe ich hin und sage,
wenn ich einen weiteren Punkt habe auf dieser Sphäre, zum Beispiel diesen dort,
dann mache ich eine gerade Linie von diesem Nordpol durch diesen Punkt auf diese Ebene.
Und das gibt dann eine eindeutige Koordinate,
wo wir dann irgendwo ankommen
Und es gibt einen eindruckenden Punkt, wo wir hingehen.
Also das hier wäre so ein bestimmter ausgezeichneter Punkt,
nennen wir ihn mal den Punkt 0,0. 0 und dann 1.
Und das ist ein Punkt P. Und das hier ist der Punkt,
der die Projektion dieses Punktes Ps von diesem Punkt hier aus angibt.
Man kann eine Formel dafür hinschreiben, die ist auch nicht besonders lang,
aber die ist nicht besonders hilfreich, ist besser,
sich dieses Bild zu vor Augen zu halten.
Wenn sich diese Projektionen nehmen, dann haben sie eine Projektion,
die jeden Punkt auf der Sphäre auf diese Ebene abbildet,
auf Punkte hier unten, die geben eben sozusagen zurück.
Außerdem Nordpol selbst, der wird nicht nirgendwen projiziert.
Also dann, und das Wort ist stereografisch.
Und dann bekommen sie ein Bild der Sphäre außer diesem Nordpol in der Ebene.
Das heißt, die haben sozusagen die gesamte Sphäre,
bis auf einen Punkt in die Eden abgebildet.
Dass wenn sie sagen, na gut, ich wollte aber
die ganze Sphäre haben und nicht nur die Sphäre besuchen einen Punkt.
Und der nimmt mal als zweiten Trick,
die ist als erste Karte, das,
was ich gerade so grafisch ein bisschen angedeutet habe.
Und als zweiten, zweite Abbildung nimmt man dasselbe nochmal mit dem Südpol.
Also man sagt hier, ich setze die einzig an,
minus eins, dann habe ich eine zweite Karte.
Und dann habe ich eine zweite Projektion,
ist verschieden von der ersten und habe dann alles bis auf
den Südpol,
sprich den Nordpol und bin damit sozusagen wieder im Rennen
Und mit zwei Kartenüberdeckungen. Nämlich U1 gleich. SN,
ohne die Menge aus dem Einzelpunkt.
Meine Dasse ist die Menge.
U1 und U2 gleich
SN ohne den anderen Pool. Abdecken. So,
also das kann man nicht zeigen,
das habe ich praktisch gerade gezeigt, was man zeigen kann,
was ich nicht jetzt vorrechnen möchte, ist,
dass der Wechsel von der einen Kartenumgebung zur anderen,
der ist in der Tat glatt.
Also der Wechsel
Also was man jetzt ausreichen müsste, ist,
wenn man diesen Wechsel hat,
wenn man die Projektion vom einen Punkt, vom Nordpol,
dieses Punkt ist B, Hirn macht,
das gibt dann eine Abbildung von der gesamten Sphäre,
bis auf den einen Punkt hier hinein.
Und dann nochmal die Projektion von anderen Richtungen.
Es gibt dann eine andere Abbildung. Dann kann man zeigen,
H1 nachher 2 oder minus 1 ist in der Tat eine schöne,
gedachte Abbildung von dieser Ebene in sich selbst.
Das würde man, wenn man das ausreichen würde,
würde es so ein paar Minuten dauern.
Aber das kann man mit etwas Aufwand tun.
Und dazu müssen wir erstmal eine Formel,
die für herleiten für diese Projektion
Gut, das war jetzt die Sphäre.
Ich habe ja noch mehr versprochen als Sphären. Zum Beispiel
habe ich immer schon von Tori geredet. Der Einheitskreis,
also der IS1 ist schon mal ein 1-Tores und den End-Tores,
für den interessieren wir uns ganz besonders,
weil der ein besonders schmackhaftes dynamisches System ist.
Ich mag gerade deswegen, weil in Szene, das ist
Teigrängel beim Wecker gibt, denn mit Schokolade überzogen und so weiter.
Aber auch, weil es dynamisch gesehen besonders gut ist,
auf dem End-Tores leben sehr viele dynamische Systeme,
die wir studieren wollen
Musik Okay, kommen wir jetzt zu den Tobi. Also,
das wäre jetzt Beispiel, ja,
an Logan und Hören Dimensionen,
das ist auch das Beispiel 1, 2 oder 3,
genau genommen ist es zum Beispiel 4,
weil ich kann das noch mal als extra eine Nummeriere,
das Beispiel Nummer
Und jetzt Nummer 5, jetzt wird es spannend, der Endtores.
Ja, was war noch gleich an Endtores? Also ein
Zwei-Tores bekommen Sie, indem Sie ein normales Stück Ebene nehmen,
das einrollen, selbst ein Zylinder haben.
Das heißt, die verkleben sozusagen die eine Kante mit dem Gegenstück.
Haben Sie jetzt diesen Zylinder und haben Sie ein dehnbares Material,
also nicht gerade Papier, können Sie jetzt noch diese Kante hier,
mit dieser Kante hier auch noch verkleben,
hätten dann so einen Ring
Und das ist der Toast, um den wir uns kommen wollen.
Ja, wie bescheuern wir das jetzt mathematisch?
Es gibt da zwei Möglichkeiten. Zum Beispiel,
warte mal, ich könnte mir sagen,
wir nehmen dieses Stück quadratisches Papier und sagen jetzt die oberen Unterkante,
dies, hier und dies hier, soll dasselbe sein,
so als Menge.
Das können wir so abstrakt sagen. Das heißt,
wir können sagen, wir nehmen einen Haufen Quadrate und schieben
jedes Quadrat, hier habe ich zwei davon.
Das eine schieben wir auf das andere, indem wir sagen,
Translation um eins nach rechts, ist irgendwie dasselbe wie die Identität.
In irgendeiner Weise, die wir noch beschreiben müssen.
Translation nach oben und eins ist irgendwie dasselbe wie die Identität.
Und das, was so als Raum herauskommt,
wir das geschickt machen, ist der Torus.
Ich habe jetzt zwei Beschreibungen vom Torus.
Die erste Beschreibung ist folgende. Also verschiedene Beschreibungen. Die
erste Beschreibung ist die als Koozentenraum. Sie kennt wahrscheinlich aus
der Linde Allen, war schon Quatienten Vektoräume.
Und wir können zum Beispiel sagen, dass der Torus,
der wird sein TN.
Und jeder von diesen Beschreibungen
liefert dasselbe Objekt zurück
Also Beschreibung A wäre, das TN, der N-Torus.
Und ich fange mal nicht mit T-1 an,
denn T-1 wäre den Kreis, den wir schon kennen,
würde ich sagen mal T-O-N. Das ist nicht so eine Potenz,
sondern das ist nur eine Schreibweise für die enddimensionale Version,
die ist ob jetzt Toros.
Das soll sein, denn R-O-N? Geteilt durch Z-Hoch-N. Ja,
das ist jetzt so ein Objekt, das muss man erstmal verstehen.
Das heißt, wir betrachten Äquivalenzklassen von Objekten.
Das heißt, Was soll das sein, diese Kotient?
Das heißt, wir betrachten endlimitale Vektoren,
aber zum Beispiel der Vektor 0-0, oder 0,
je nachdem, wie viel Kommentare wir haben.
Und 1-0-0 ist plötzlich dasselbe.
Und 2-0-0 ist auch wieder dasselbe.
Das heißt, immer, wenn wir eins dazu addieren,
haben wir sozusagen überhaupt nichts geleistet.
Also das ist sozusagen die Menge der Äquivalenzklassen.
Menge der draußen von Punkten, ich nenne nur mal P.
Wobei P,
Element vom RON sind
Mit Äquivalenzklasse von P ist gleich Äquivalenzklasse von Kuh.
Genau dann, wenn P-Kuh ein ganz zahliger Vektor ist.
Seid doch eng
Wenn sie alles schon mal gesehen haben,
dann ist das völlig trivial, dass die simpelste Kozentenbildung,
die man sich vorstellen kann, wenn sie es noch nie gesehen haben,
dann müssen sich jetzt erstmal damit befassen.
Also das heißt, sie haben eine Äquivalenzklasse und sagen in dem RON,
hier ist zum Beispiel so ein großes Stück.
Ja, auch zwei. Da sage ich, ich nehme
einen Gitter. Das Gitter sind die ganzen Zahlen in Koordinaten.
Hier nehme ich die Koordinaten, wo ich sage, meinetwegen x gleich.
Ich fange irgendwo an, es muss nicht null sein,
aber es kann auch um die neu sein,
x gleich minus eins,
x gleich null
X gleich 1, X gleich 2 und so weiter.
Und das Y, ach so sage ich ebenfalls,
hier habe ich Y gleich, minus 1, Y gleich null,
Y gleich 1 und so weiter, nach oben und unten.
Und ein Punkt, der hier drin liegt,
der so Punkt hier, ist jetzt,
wenn ich irgendeinen Punkt habe, zum Beispiel diesen hier,
ist dieser Punkt genau dasselbe,
wenn ich den Punkt woanders hin machen würde und all
diese Punkte hier,
sind exakt dasselbe Punkt im Koozentenvektorraum
Also ich habe jetzt hier verschiedene Punkte im RON eingezeichnet,
die aber im Quotientenbild allesamt derselbe sind.
Die sind sozusagen in diesem Raster immer an derselben Stelle.
Ich hoffe, das können Sie sich vorstellen. Und dass
du so als Quotiente herauskommt, ist der Toros. Wir können sogar sagen,
ja, weil das so schön ist,
weil du jetzt jeden von diesen Punkten auswählen können,
können wir genauso gut sagen, wir nehmen jetzt eins von diesen Kästchen heraus,
eins von diesen endlementalen Würfeln, in diesem Fall zwei Jungs sollen,
Quadrat.
Und deklarieren das als Toros. Wir können also sozusagen
diesen Bereich hier nehmen
Das heißt, ein schwerer Form im Metallbereich,
zum Beispiel von 0 bis 1 oder was uns immer uns am besten passt.
Und dieses Objekt ist dann unser Toros. Auffassen müssen wir nur insofern, was,
wie, dass der Rand, das Terrasse unten ist,
ist dasselbe wie das, was oben ist.
Also ein Punkt, der hier mitten auf diesem Rand liegt,
der liegt genauso gut auf dem Rand da oben.
Es ist also nicht so richtig ein Quadrat,
wie ein offenes neuen Abgeschlossenes, sondern es ist mehr ein abgeschlossenes Quadrat,
wo das obere, untere Ende plötzlich gleich sind.
Und wo das linke und rechtende plötzlich gleich sind.
Also wenn Sie dieses Objekt nehmen und das untere Ende eines Obere dran kleben,
in genau diese Richtung, Also nicht zwischendurch umdrehen ist verboten und nicht verschieben,
sondern jeder Punkt, die er darf nur an dem Punkt oben entklebt werden.
Und das denkt an die rechte Seite ankleben,
dann hätten sie gerade den Tores genau beschrieben.
Okay, das war jetzt die eine Beschreibung. Der Tores
als Restklassen, als Kotientenmenge, auch endlich Zeitung eng.
Die Tores besteht also ein Haufen von Koordinaten,
die sozusagen sich alle eins wiederholen.
Das periodisch, eins periodisch in jeder Koordinate.
Okay, das ist die erste Beschreibung. Es ist auch
die beste Beschreibung, weil die ist eine additive Beschreibung.
Ich habe sozusagen einen Vektorraum als Basis genommen.
Diese Vektorraumie ist die Menge aus denen die Punkte stammen.
Und das sind die Äquivalenzklassen. Die zweite Beschreibung ist,
wer ich gesagt habe, ich will irgendwas einwickeln, irgendwas einrollen.
Ja, wenn ich rolle, dann habe ich doch mehr oder weniger Kreiskoordinaten.
Sie würden ja sagen, und wenn ich das nochmal rolle,
dann hätte ich nochmal eine Kreiskoordinate.
Die zweite Beschreibung ist B. Wenn ich sage, hier ist mein Tores.
Und im Bild zeichne ich jetzt an Tores von Dimensionen 2,
aber dasselbe Argument klappt auch in M-Dimension,
dann kann ich ja sagen, im Prinzip habe ich hier ein Koordinate,
die geht so,
die geht hier und macht einen Winkel
Das hier gibt ein Winkelvieh. Und in anderen Richtungen
geht das so und produziert einen Winkel,
lasst es nicht, Täter oder so etwas.
Oder meinetwegen auch Feed 2. Also ich könnte sagen,
dass der T2 gleich,
ja und jetzt kann ich das irgendwie geschickt als Funktion darstellen,
wird beschrieben durch
Zwei. Winkel. Fee-Tatter. Element. Ja, und
wo sind jetzt Winkel? Winkel sind sozusagen Elemente, vor allem dieser S1.
Und das sind sie auch. Und wenn ich sage,
ich habe jetzt mehrere Winkel, wenn ich nicht den Theorie zeichne,
sondern den TON, hätte ich Endwinkel,
meinetwegen 4-1 bis 4N, allesamt Elemente S1.
Und das eins ist ja, je nachdem,
wie ich draufgucke, zum Beispiel ein Element,
wo Dinge von 0 bis 2 P paramtosiert sind.
Durch zwei Winkel, das heißt, Zum Beispiel 2P. Periodisch.
Also letztlich stellt sich heraus, man kann statt 2P-periodisch
auch einsperiodisch hinschreiben. Und es kommt genau dasselbe heraus.
Und T-O-N wird euch... Nwinkel.
Die 2P-Periode sind. Und wenn wir schon zwei piperiodische Winkel haben,
können wir gleich sagen, haben wir eine Winkelvariable,
haben wir vielleicht auch so einen Radius, der ist konstant.
Das heißt, wir können zum Beispiel sagen, dass der TON
. Das heißt CON. Ist die Menge aller Komponenten,
wo ich jetzt in jedem,
in jeder Winkelvariable mit zwei Ortskollnatten hernehme,
die werden rotiert
Das heißt, ich sage, dass die Menge,
und jetzt will ich rotieren, ich sage hier,
Rotation, den Winkel, Vieh 1.
In den ersten beiden Kondinaten. Und die Menge der Bilde davon,
dann sage ich ihre Rotation um den Winkel,
Vieh 2 in den nächsten Koordinate und so weiter.
Bis zur Matrix zur Rotation
VN in Enten-Koordinate. Das Ganze gibt eine Matrix,
eine große Matrix, wo überall null stehen, außer auf den Diagonalen.
Das ist jetzt eine 2 in x2 in Matrix.
Und das Bild davon gibt sozusagen die Menge aller Punkte.
Also die ist hier. Und jetzt die,
jetzt kann ich liebe Mengen frei wählen. Ich kann halt
Liebe zahlen, ob es für 1,42 bis VN hinschreiben.
Und diese Punkte, ja, wo kommen die eigentlich hin?
Ich fange mit einem Punkt an, den ich auf den Tores drauf tue.
Und dann sage ich das Bild eines Punktes unter all diesen
Matrizen,
soll sein
der Tores
Mal. Ja, und jetzt ist nämlich irgendein Punkt,
der mir genehm ist,
am besten schreibe ich ihn gar nicht hin, sondern sage mal,
mal PN0. PN0 ist irgendein Vektor im R auch N.,
sagen wir mal, nicht gerade Verschwinde, Cornaten hat.
Und die Menge all dieser Objekte, die ich bekomme,
für alle 4-1 bis 4N. Element R. Das
wäre dann in der zweiten Beschreibung wieder
der Torus
Jetzt werden Sie gleich mal sagen, okay, ich habe
mir jetzt zwei verschiedene Beschreibungen für das selbe Objekt gegeben.
Ich habe sogar denselben Namen Tee auch entweder dasselbe benutzt.
Logischerweise muss dann diese Beschreibung hier mit der Beschreibung dort irgendwas
zu tun haben. Und das klingt ja schon komisch,
denn auf dieser Seite habe ich gesagt, alles ist periodisch mit Periode 1.
Und auf diese Seite ist alles periodisch mit Periode 2P in so einer Rotationsmatrix.
Was war eine Rotationsmatrix zu Rott? Vieh,
das ist die Matrix, die 2 Kreuz 2 Matrix mit
dem Kursnuss Sinus.
minus Sinus
Und Kosnuss. Diesmal ist es ja periodisch mit Periode,
2P, statt ist damit Periode. Periode 1. Ja,
und deswegen eine kurze Bemerkung, also Beschreibungen.
A und B sind Esomorph. Also grob gesagt,
wir schreiben dasselbe Ding. Nämlich ich kann dir deine Abbildung
angeben von dem Ding links, in dieses Ding rechts,
die einfach bjektiv ist und das alles schön beschreibt
Nämlich ich sage, wenn ich hier diese Cordnaten nehme,
kann ich ja das eine Ding, jede von diesen Colennaten
mit zwei Pio mal plizieren und dann mit EOI-4 zum Beispiel zieren.
Und habe dann Metals der Abbildung 4-1 bis 4N.
Oder sagen wir mal X-1 bis X-N, ich schaffe mal als Zeilenwerk,
oder müsst ihr noch die Tafel üben, draufpasst, wird abgebildet auf.
Die Abbildung, jetzt habe ich immer auch N, eh hoch. Zwei Pi,
E-Mail X-1, bis eh auch zwei Pi mal X-N. Und jetzt habe ich am Anfang gesagt,
ich nehme so einen Vektor P0 und ich will noch dazu als Voraussetzung machen,
das ist nicht unbedingt nötig, aber das ist ganz gut für diese,
so hier, dass alle Komponenten positiv sind.
Um das Leben leicht zu machen. Das kann ich jetzt hier dran beutuzieren,
zum Beispiel kann ich sagen, ich nehme den Vektor,
alle Kombinenten sind eins. Oder ansonsten kann ich hier sagen,
ich beutuziere mit dieser Konstante P-0 1 bis P0 N,
diesem Komponenten. Und die ist jetzt eine Abbildung,
die von dieser additiven Struktur, wo alles einsperiodisch ist,
in eine 2P-periodische Struktur übergeht, wo alles sozusagen zyklisch ist.
Das heißt, hier ist die Rotation,
wo man die Krümmung sieht, wo man die Kreise sieht,
hieße eine Lotation, wo man nur die Addition von eins sieht.
Also die schaffe ich also links so ein bisschen leichter,
die werden folgen meist benutzen.
Ich habe ja so rechts, ist ein wenig geometrischer,
also anschaulicher. So, also zwei Schallpassen für den Tores.
Thores, Fahrschlauch oder Donat oder solche Objekte. Okay,
nächstes Mal erzähle ich hier, links,
so ein bisschen leichter, die werden folgen meist benutzt.
Und ich habe ja so einspe Yodisch ist,
in eine 2. Pipe