Schönen guten Morgen. Herzlich Willkommen zur Vorlesung,
Einführung an dynamische Systeme. Was ich heute erzählen möchte,
ist erstmal ein Modell sozusagen aus dem Praktischen Leben zum Studium
von Flüssen und gewöhnlichen der Funziallöchern,
ein ganz luples Modell mit ein lineares System in RO2.
Und zweitens zählt mir etwas, wo allgemeine Mannchfaltigkeiten,
Dinge, die man dynamische Systeme am besten studieren kann.
Was wir bisher wissen, wir kennen jetzt Abbildungen und Flüsse.
Wir wissen, was die lösen an der Defensalgleichung ist,
zum Beispiel bei RON
Die können wir perfekt lösen. Also dürfen zahle ich
um U.gleich AMLU, die können wir jetzt gut lösen.
Für den nicht linearen Systemen interessieren wir uns eigentlich mehr.
Über die wissen wir noch wenig. Das wird sich jetzt
gar nicht ändern. Bevor wir loslegen, noch ein kleines lineares System,
dass man so studieren kann, so eine Modellierung.
Und zwar untersuchen wir, also Beispiel. Versuchen wir
ein Modell zu machen, des amerikanischen Mathematikers Strohgatz.
Und zwar Das Modell der Dynamik von... Uns untersuchen wir
im folgenden die Dynamik von Liebesaffären.
Das ist dann, glaube ich, aus den richtigen Techenleben.
Und da können Sie nachher sagen, irgendwas habe ich aus
diesen Fotos mitgenommen, was in einem Techenleben so richtig weiterhilft.
Und zwar... Gibt es da folgendes, simples Modell?
Ein Modell, das zwei Personen beschreibt,
die in einer Beziehung oder auch nicht, je nachdem sind,
Zwei Personen nennen wir sie, nach klassischem Vorgebilde Romeo und Julia.
Oder irgendwie anders. Irgendwelche zwei Namen, die ihnen passen.
Also gegeben. Also, jetzt haben wir zwei Zahlen.
R und J. Das sind zwei Zahlen, die beschreiben.
R beschreibt die Gefühle von Romeo für Julia.
Und J, ich habe die Gefühle von Julia für Romeo.
Wie modellieren wir die? Am besten modellieren wir sie
durch reelle Zahlen
Das heißt, die Gefühle sind jetzt reduziert so ein wenig,
etwas eindimensional. Positiv größer heißt mehr, Zuneigung, Kliebe.
Negativ oder kleiner heißt weniger. Nur das erlaubt, also
keinerlei Gefühle sind absolut möglich. Negative Worte sind erlaubt.
Das sind dann eben negative Gefühle. Und die Gefühle der beiden
sind unabhängig. Das heißt, hier ist eine Zahl,
hier ist eine andere und die müssen nicht dieselbe sein.
Wir haben also ein April-Reand, zweidimensionales System.
Und das ist ganz interessanter zu machen,
sind diese beiden Werte zeitabhängig
R von T und J von T. Wir haben also zwei Zahlen,
die zu sich im Zeitpunkt T, die gegenseitigen Gefühle beschreiben.
Und die ändern sich auch mit der Zeit.
Die ändern sich, geben durch eine Differenzialergleichung.
Also das heißt ehrengleich. Romeos. Gefühle.
Für Julia und J
Ja, umgekehrt. Jeweils. Zum Zeitpunkt.de. Und
die Zeit ist ja jetzt so reält, das heißt,
die Zeit schaltet immer weiter voran.
Und wir interessieren uns, was passiert da so?
Was passiert zum Beispiel für große Zeiten, für die wird irgendwas konvergieren?
Kommt irgendwelche Werte raus, die wir verstehen können.
So, damit haben wir jetzt nur das System beschrieben und
devariabel beschrieben
Jetzt brauchen wir als nächstes eine Dynamik. Eine Art Vorschrift,
die uns sagt, gegeben ein bestimmter Zustand.
Was passiert in der Zukunft? Und da machen wir folgendes
simples Modell. Das ist gar nicht mal so schlecht.
Und wir nehmen also gegeben, sind diese Variablen und die Dynamik.
Das ist dieser Vektor, DNA-DT,
vom Vektor R und J. Ich habe also ein Vektor,
wo wir zwei Komponenten,
jo jetzt abhängig von der Zeit
Also ich kann auch eher von Tee schreiben, um das
nochmal präzise hinzuschreiben. Und die Abladung davon soll sein,
in der simpelsten Opproximation, ein Vektor, R&J, von Tee.
Jatfontee. Mal eine Matrix mit vier Koeffizienten.
A, B, C, D. Das ist also
eine Reelle. Zwei Kreuz zwei.
Und das allgemeine Problem ist eigentlich ziemlich simpel, denn wir wissen schon,
haben wir seine Matrix, dann können wir Lösungen,
die so davon zahlreichen U-Punkt gleich M mal U,
Backdown-Up-Leitung, gleich Markus, mal Vektor, leicht bestimmen.
Und jetzt gucken wir uns mal ein paar Spezialfeld an und
sehen uns mit dieser Modellierung auf irgendwelche konkreten Aussagen machen können,
die irgendwas tatsächlich Reales beschreiben.
Ein Beispiel, also zum Beispiel. Zum Beispiel gibt es den einfachen Fall,
dass wir diesen Term haben,
dass die Ableitung von R nur von J abhängt,
das heißt nur diese Term eingesetzt wird und diese verschwindet und umgekehrt Wenn wir sagen,
das R-Punkt.
Eine konstante Mal. J ist,
wie auch immer die Konstante heißt, nennen wir sie B.
Und die Abladung von J. Von J gleich. Nennen wir sie hier C.
Man er ist. Und um das Ganze mal etwas weniger abstrakt und mehr konkret zu machen,
nehmen wir zum Beispiel an, um zu modellieren,
die Gefühle von Rom ist in der Gestalt,
Rom achtet nur auf Julia,
achtet auf dessen auf deren Gefühle für ihn,
wenn die sie positiv sind, dann zeigt sozusagen seine Zuneigung.
Also wir nehmen an, diese Konstante hier, seid positiv,
während die andere Person umgekehrt agiert und wir nehmen an das,
die positiv meinte ich. Nehmen wir an,
dass Jude dagegen anders agiert und sagt, ja,
wenn die Zuge ein Album für Rummen schon so groß ist für mich,
dann muss ich mich nicht mehr so ans Zeug legen und kann etwas,
meine Gefühle zurücknehmen, etwas sympathischer werden.
Und deswegen haben wir in der Differenzialisierung die Ableitung dieser Gefühle
von Julia für Rummen, wenn in diesem Fall würden weniger.
Das würde sich verkleinern. Also im simplen Modell,
Person 1 erhöht die Aufmerksamkeit für Person 2, wenn letztere positiv ist.
Person 2, für nie solche eigene Aufmerksamkeit für Person 1
, wenn deren Aufmerksamkeit positiv ist.
Wie auch immer. Ja, was passiert in diesem System?
Wir werden beide glücklich, unglücklich. Oder kommt irgendwas anders heraus?
Wofür man jetzt weiterrede. Nur so ein kleiner Political Crackness-Hinweis.
Ich habe zwar einmal, ich sage es immer Rom,
ja und Julia, aber die Mathematik ist absolut neutral,
in denen Variablen, also sie können das System umdrehen.
Und es ist natürlich genau dasselbe. Ich spiele da so
aus Plathetical Crackness gesehen keine Rolle, ob R,
die männliche und ja auch die weibliche Variable, ist dort umgekehrt.
Das können sie handhaben, wie sie wollen.
Also können zum Beispiel sagen, sind nicht Drohungen und Julia,
sondern wir reden vielmehr von Ruminia und Julius.
Und dann kommt dasselbe symmetrisch heraus. Immsystemathematik sowieso symmetrisch,
denn sie wissen schon, würden sie die Variablen hier umdrehen,
müssen sie nur die Matrix transformieren.
Und hätten dasselbe System von derselben Form. So,
was kommt jetzt heraus, wenn die erste Person die Aufmerksamkeit
Wenn die andere positiv ist und die zweite umgekehrt handelt.
Nun, dann wissen wir es schon.
Wir haben also so eine Matrix von diesem Fonds,
0-B-C-0. Wenn du über diese Matrix wissen wir schon,
die hat komplexe Eigenwerte, rein komplexe Eigenwerte.
Also Allteil 0 und im Arginärteil etwas, was durch BNC gegeben wird.
Und die Dynamik dieses Systems wird dann so sein,
dass in dem RJ-Koordinatensystem, also Verfolgung, Rein.
Imaginär. Wenn wir sie jetzt ein Kondantsystem mit R&L einzeichnen.
Dann sehen die Lösung so aus,
dass sie allesamt Kreise sind oder zumindest Allipsen,
die hier durchgehen
Das heißt, die Dynamik geht so. Und in diesem Fall ist die Umlaufrichtung,
wenn ich mich nicht enttäusche, so, dass wir im Uhrzeigesein laufen.
Denn wenn wir einen Vektor einsetzen, der NR-Komponente, etwas Positives sagt,
in der J-Kompetenz 0, zum Beispiel diesen Vektor hier,
dann kommt als nächstes heraus, dass R-Punkt ist gleich
B mal 0, also nichts. Und J-Punkt ist gleich
eine negative Zahl, mal der Positiven, also negativ.
Das heißt, es geht in diesem Fall abwärts.
Und die Dynamik ist dies, was sie ja resultiert.
Tja, das wissen wir schon, wie Matrix.
Die ist ja nicht besonders schwer zu analysieren.
Und was heißt das für unser Modell? Das heißt,
tja, wenn wir nun überlegen, sind die beiden jetzt
glücklich oder unglücklich oder zumindest ist deren Zuneigung positiv oder negativ,
dann ist die Antwort, ja, kommt drauf an.
Wir gehen nämlich hier im Kreis um diese Kurven herum,
um den Ursprung. Und wenn sie hier irgendwo anfangen,
bestimmt anfangs wert, und beide positive Zuneigung haben,
kommt als weiter in den Bereich,
wo rum ja noch positive Zuneigung zu Julia hat,
aber Julia, wo man gar nicht mehr aufstehen kann.
Und dann kommt ein Bereich, wo keiner,
der einen anderen mag, dann ein Bereich,
wo Julia Rohmeer mag,
den mag sie aber nicht mehr.
Und dann geht es von vorne los
Aha. Das heißt, glücklich werden sie zumindest zu einem,
zumindest sind sie da ein Viertel der Zeit,
nämlich im oberen rechten Kodranten, gemeinsam glücklich.
Ist ja auch schon was. Aber es kommt noch besser
. Dann gibt es ein anderes Modell,
das waren jetzt die Liebhaber von dem Typ,
absolut nach außen fixiert, nicht auf die eigenen Gefühle.
Und je nachdem, die anderen,
die Gefühle des anderen positiv oder negativ bewerten
Ein etwas komplizierteres Modell. Sie haben ja auch
sehr einfach zu analysieren, ist folgendes.
Anderer Fall. Und das ist der Fall,
der heißt in der Lettertour, die etwas vorsichtigen Liebhaber.
Der andere Fall besteht aus derselben Matrix.
Und jetzt sagt Turumja,
ich gewichte meine Eigengefühle negativ
Ah, kleiner Null. Ich will sagen,
Runde sagt, ich habe bestimmte Gefühle für Julia,
aber wenn sie gar nichts tut,
wenn es einfach apathisch ist und mir überhaupt keine Zulagung oder sonst was unterschickt,
dann nehmen meine Gefühle ab, sozusagen exponentiell.
Ich habe dann die gleichen R-Punkt, gleich AmalR, mit A negativ.
Das heißt, die ein Gefühle würden dann so langsam dahin schwenden.
Das drückt diese Modellierung aus und die Stärke,
also der Betrag von A, gibt die Abklingerate,
also die Schnelligkeit des Verschwindens der Gefühle für Ruhemioren.
Dann, sagt Rumior, also das hier bedeutet das vorsichtig
Dass die Konstante B positiv ist, deswegen Liebhaber, wo man sagt,
also, ja, wenn Juli irgendwelche positiven Gefühle zeigt,
dann werden meine Angefühle wachsen, denn klar,
da kommt ja dann irgendetwas, das hat noch Potenzial.
Uns, um das Ganze nicht so konfliktrechtlich wieder drüben
zu machen, macht Julia genau dasselbe.
Mit genau denselben Werten, also das heißt, wir haben,
also punktgleich einmal R Plus, BJ.
Das ist jetzt die gleiche für Romeo. Und wir nehmen
jetzt an, dass die gleichen für Julia
genau dieselbe wäre.
Das heißt
Und gleich vom selben Typ, eine Vorsichtigkeitskonstant,
und zwar dieselbe, mal J, mal der eigenen.
Plus B, mal R. Also Julia, denkt genauso.
Die eigenen Gefühle werden gedämpft in Abwesenheit von äußerem Input.
Und bei Input von außen werden sie noch verstärkt mit einer
positiven Konstante B. Also das B ist wieder positiv,
das ist ja dieselbe Zahlung, A ist wieder negativ.
Ja, dieses System können wir auch mal studieren.
Das gibt dann eine Matrix A, B,
B, A. Hier wird, wenn die Viable umgedreht,
weil in der Matrix-Shaves kommt ja das R zuerst.
Also diese Kompetente und dann jene
Wir haben also folgende Matrix. A, B. B,
A. Also hierzu führt das. Ja, und
diese Matrix können wir analysieren. Wir wissen zum Beispiel,
detem nanntest akodrab-b-quadrat, Eigenwärter sind etwas zu rechnen.
A, plus B und A, minus B.
Und dann gucken wir mal, was da so herauskommt.
So. Hier kommt heraus, eigene.
A, minus
Ja. Und die sind beide reell,
also die Eigenweite sind ja diesmal nicht komplex.
Das heißt, wir haben keine Rotation, die haben auch
keinen imaginären Anteil. Wir erwarten also keine Rotationsbewegung,
sondern exponentielle Strengkornschumpfungen oder exponentielles Wachstum oder ist irgendwas in dieser Art?
Und dazu gehören auch Eigenvektoren. Und die sind jedenfalls zum Beispiel
der Vektor 1.1 und hier zum Beispiel der Vektor 1 minus 1. Ja,
und wenn wir jetzt ein Phasenporträt zeichnen wollen,
das heißt gucken,
wie sieht es aus im R
auch 2
Dann interessieren wir uns dafür, ob diese Eigenwerte
positiv oder negativ sind, unabhängig von den eigenen Vektoren.
Und dann stellen wir fest, wenn A negativ ist und
B positiv, dann ist dies hier natürlich negativ.
Also die ist erst sicherlich kleiner null. Während diese Zahl hier kann,
je nach Stark von A, kleiner oder größer neu sein,
je nachdem, ob A oder B, überwiegend.
Gesundheit. So, das heißt, wir haben zwei verschiedene Fälle,
je nachdem, ob A minus B,
Opa Plus B, positiv oder negativ ist.
Und in beiden Fällen kommt etwas Verschiedenes heraus,
nämlich Nämlich hier in diesem Fall.
Ja, das mache ich ja nicht. In meinem Fall
A-Quadrat. Kleiner B-Quadrat und hier mal auf jeden Fall.
A, Quadrat. Größer B-Quadrat. Die Variablen sind R und J. Ja,
dann wissen wir schon, die eigene Richtung,
das sind die Richtungen,
die hier nach rechts fortgehen,
das sind diese hier
Diese eigene Richtung Arminus B zu diesem eigenen Vaktor 1,
minus 1. Ist auf jeden Fall negativ.
Das heißt, wir haben eine stabile Richtung hier.
Und im Phasenportal von beiden Systemen wissen wir schon,
weil die ist ein negativer Eigenwertest, kommen wir eine Konvergenz zum Ursprung.
Und jetzt kümmern wir uns um den anderen.
Der ist nämlich einmal abstoßend, einmal anziehend. Hier ist
der sozusagen, ja, was ist der Fall, Arquadrat.
Kleiner B-Quadrat ist der Fall, dass wir Ich bin Aquadrant,
kleiners B-Kodrat ist, ist dieser Term hier positiv.
Das heißt, wir haben... Plus B. Wie ist denn
das? Also A ist vom Betrag her kleiner als B,
A ist negativ, B ist positiv und dann kommt etwas heraus,
das größer null ist.
Das heißt, dieser Term hier, wie sie ist,
der Eigenwert, der hierzu gehört,
ist dann abstoßend
Übrigens vom Betrag her immer noch kleiner als der Eigenweite drüben.
Das heißt ja, das Phasenportal wird dann so aussehen,
dass jede Kurve von hier ankommt und sich dieser Akkurve leblauen annähern wird.
Ja, etwa so. Und analog hier gehen die Kurven
in die Blaue hinein
So, was ist jetzt die romantische Konsequenz für unsere beiden Helden?
Die Konsequenz ist, wir fangen mit am belieben, Punkt an,
nehmen wir mal einen positiven Standardwert. Das heißt,
zum Zeitpunkt 0 sind die Gefühle der beiden füreinander positiv,
dass die immer ein guter Anfang für die Geschichte,
denn wir sind also in einem rechten oberen Quadranten und dann sehen wir,
tja, jede Phasenkurve, die mit einem Anfangswert im rechten oberen Quadranten losgeht,
konvergiert gegen diese Achse hier.
Das heißt, sowohl R als auch J wachsen unbeschränkt und
die Liebe geht sozusagen gegen unendlich.
Ja, ein schöner Ausgang der Geschichte
Das heißt, in diesem Fall kommt heraus, ja, gegen unendlich.
Und J gegen unendlich. Mit anderen Worten, beide werden
zu sagen, unendlich glücklich. Zumindest in diesem Spiel,
also in diesem Fall, wo beide Anfangsgefühle positiv waren,
und sogar eine etwas mehr, überall,
wenn wir in dieser Halbachsebene sind, die von dieser orangenen Ebene,
irgendwelchen Achse getrennt sind.
Das heißt, der eine von beiden kann sogar eine
klein wenig negative Gefühle am Anfang haben.
Die werden dann überwogen vom anderen. Und auch hier können
wir ein bisschen über die Achse nach links hinausgehen.
Wenn dagegen beide mit negativen Gefühlen starten,
wie hier, dann haben wir Pech,
dann ist es
immer schlechter
Moral von der Geschichte am besten mit positiven Überratungen anfangen.
Und dann kommt was Gutes raus. Ja,
das war jetzt der Fall von,
dass der Vorsichtsfaktor A nicht so groß war,
wie der Faktor des Eingehens auf den anderen.
Sprich, in Beziehungen sollte man nicht allzu vorsichtig sein,
sondern lieber etwas mehr auf den Partner achten.
Dann kommt was Positives heraus. Das ist so die Konsequenz
in diesem speziellen Modell. Ist man dagegen zu vorsichtig?
In diesem Fall ist der Vorsichtsthemen größer vom Betrag her
als der Times of den anderen achten. Kommt heraus,
wir haben jetzt plötzlich unter diesem,
aus der letzten zwei Negativeigenwerte bei den A plus B,
Diesmal eine negative Zahl, wenn sie vom Betrag her größer als B ist,
dann kommt heraus, A plus B ist kleiner, null.
Wir haben also den zweiten Eigenwert, dass immer noch negativ,
wir haben also dieses Phasenporträt, hier ist der zweite Eigenwert.
Der ist zwar nicht mehr so negativ wie der andere,
aber immer noch ein wenig negativ.
Und deswegen sehen die Lösungskurven alle so aus,
dass sie hier sich auf dem null zubewegen.
Und zwar schneller in diese Richtung als in die anderen Richtungen.
Das heißt, alle Lösungskurven sehen so aus,
dass sie hier hinein laufen
Musik Konsequenz, wer zu vorsichtig ist,
zum Zwilling auf den anderen achtet,
der bekommt als Ergebnis überhaupt nichts für Tegeln endlich.
Da geht alles gegen null. In anderen Worten,
wer jetzt vorsichtig ist,
erntet totale Appathie im Gleichgewichtspunkt werden.
Ansonsten gibt es
ein potenzielles Wachstum
So, das war dieses simple Strohgarts-Modell, in den zwei simplen Spezialfällen,
also dem einen simplen Spezialfall linear System, und in zwei simplen Fällen,
entweder ist die Matrix nur teilweise besetzt, manche kauft seinen so null,
oder die Matrix ist symmetrisch, wie hier, das ABBA transminiert gleich ABBA ist.
Und in den Übungen werden sie noch ein paar mehr Spezialfälle betrachten,
nämlich, was passiert zum Beispiel,
wenn wir das System noch von außen stören,
wenn da dieses System nicht mehr autonom ist, sondern wir sagen,
die Ableitung des Systems ist gleich eine Matrix-Mile im System,
plus ein Term, der von außen kommt und vielleicht von der Zeit abhängt,
kann es zum Beispiel sein, Das kann sich zum Beispiel überlegen,
könnte es sein, dass wir so ein System haben und Eigenwerte,
die komplexen Zahlen sind wie hier, aber nicht von allteilen,
null, sondern von unserem Allteil positiv oder negativ.
Kommt raus, ja, das kann gut sein.
Kann es sein, dass wir Systeme haben,
wo wir eine Ex-Vension und eine Kreisbewegung gleichzeitig haben?
Klar. Und das werden Sie noch ausführlicher studieren.
Okay, gibt es noch Fragen zu diesem Modell? Super,
das war das Modell von Strohgarts zu ein ganz simples Modell
von Liebesoffären, untersucht mit linearen Systemen im Rhoch
Naja, die Realitätsnähe bleibt ihnen selbst überlassen zu interpretieren.
Gut, jetzt kommen wir zu einem weiteren Thema,
das eigentlich hier schon ein bisschen motiviert ist.
Wenn Sie jetzt sich fragen würden, das wäre ja schon ganz schön,
aber wir machen dieses Modell jetzt eigentlich präziser,
dann würden Sie sagen, hm, gefühlere L-Zahlen gehen gegen unendlich.
Das ist nicht so ganz das, vielleicht nicht so ganz
das Wahre, vielleicht schon. Vielleicht würden Sie sagen,
naja, irgendwie ist der Raum der Gefühle sozusagen,
nicht so wirklich der RO2, vielleicht muss man da ein bisschen subtiler vorgehen.
Also in diesem Fall mit dem Raum der Gefühle,
da rede ich vielleicht besser nicht mehr so,
als so viel, denn da kommen wir vielleicht auf dünnes Eis,
aber ich rede über den Raum von Lösung von generellen Systemen,
der kann nämlich etwas anderes sein, als er auch N.
Man kennt das zum Beispiel, ein Pendel. Also nur
mal wieder simple Modelle zurückzukommen, wo man mir direkt versteht,
was da passiert. Wenn sie einen Pendel haben,
das rauf und runter geht, können sie sagen, okay,
dass die Auslenkung irgendwie eine reelle Zahl vielleicht in einem Intervall.
Wenn sie ein Pendel haben, das schwingt, so ein Stangenpendel,
also sie haben irgendwo eine Achse und dann ein Pendel,
das in eine Winkel schwingt, können sie sagen,
ja, die Auslenkung ist einfach auch eine reelle Zahl,
aber wenn sie einmal Computer herumschwingen,
kannst du euch dank Pendel, ja,
dann kommen sie wieder daran,
wo sie am Anfang war
Und deswegen ist die gesamte Menge der Punkte,
wo sie sind, eigentlich ein Kreis und keine reelle Zahl.
Also vielleicht sollte man dieses Ende ersetzen durch ein etwas geeignetere Menge,
was wir jetzt tun werden,
nämlich die Menge der sogenannten Mannigfaltigkeit.
Also was kommt jetzt,
ist die
Also jetzt kommt ein Thema,
das Sie im Prinzip schon mal in alles aus drei oder so gesehen haben könnten,
sich vielleicht sogar erinnern,
was wir in dynamischen Systemen eigentlich dauernd brauchen, weil die,
also als Motivation, die Menge der Systeme,
die wir studieren wollen, eher nicht auf MR auch erlebt.
Also Motivation? Ja, realistisch, ja.
Modellierung? Dann braucht
Andere Räume als in R-Rad. Ja, also ich fange mal
in zwei simplen Beispielen an. Das Open ist auch schon ein gutes Beispiel,
nur kann ich da nicht so den richtigen Raum angeben,
sondern wir unterhalten uns beispielsweise über Pendel, BSP, Stangenpendel.
Ein Stangependel, das geht so, wir haben irgendwo
eine Achse,
die ist fest
Und daran haben wir einen Pendel, das kann herumschwingen.
Also wir haben irgendwie eine feste Achse. Hier ist eine Masse
. Und die ist irgendwo befestigt. Und diese Befestigung,
die ist nicht an der Wand oder so etwas,
sondern die ist einfach da, die ist einfach fest.
Und machen wir zum Beispiel einen Gestänge hin.
Also wir haben hier so eine Art Vorrichtung,
sodass dieses Pendel hier einfach frei schwingen kann und es kann
sich drehen
Und auf diesem Kreis jede Beliebe-Position annehmen. Und diese Bewegung
hier wollen wir analysieren. Du hast ein Problem,
das stellen die Physiker schon seit Jahrhunderten, haben sie auch schon lange gelöst.
Es ist kein schwieriges Problem. Wir haben hier eine Masse und eine Variable,
eine einzige reelle Zahlen, die die Position angibt. Auch so,
dass wenn die Zahl sich um 2P oder 1 oder L,
je nachdem, wie sie den Kreis bezeichnen, ändert,
sind wir wieder da, wo wir am Anfang waren.
Ja, welches mathematische Objekt ist jetzt geeignet, um
die Position zu beschreiben? Denn das wissen Sie schon,
klar, dann nehmen wir einfach
den Kreis
Tradios 1 oder Radios? Eins durch 2P oder Radios L
, wie es uns gerade passt.
Und sehen, was passiert. Also der Phasenraum,
das heißt, die Menge der Position wäre, tja, S1.
Also eine Menge der Positionen. Vielleicht eine Menge aller XY
Er meinte, er auch zwei, weil es Zeilen oder
auch Schwalbenberg drüber geschrieben, wie es ihm am besten passt.
So, das gilt x Quadrat plus y Quadrat.
Gleich eins. Oder, das hier muss auch nicht eins sein,
das kann auch eine beliebige andere Zahl sein, beziehungsweise.
Konstante. Und es gäbe dasselbe mathematische Modell. Okay,
hier steht also jetzt, hier steht jetzt plötzlich zwei Zahlen,
obwohl ich ein eindimensionales Objekt beschrieben habe.
Und es wird meist so sein,
wir werden jetzt in folgenden Dinge beschreiben,
die für diesen Mehrkoordinaten brauchen,
um sie hinzuschreiben,
als das Ding Dimension hat
Wir reden erstmal nur noch über Objekte mit ganz zahliger Dimension,
hier Dimension 1, Dimension 2 und 3 und so weiter.
Also die Objekte mit Ungrat Zahl gehört oder Komma-Dimension 7,8.
Die sehen wir euch später auch noch. Aber momentan reden wir
nur über Dinge mit richtig schönen, glatter Struktur an ganzer Dimension.
Also die Menge der Position eines Pendels ist gegeben durch ein S1. Ja,
was wäre jetzt, wenn wir zu dem einen Pendel noch ein zweites dazu nehmen?
Und verschiedene Stangen Pendel haben. Und wenn wir jetzt zum Beispiel K
ein Pendel haben, Wir haben also dieselbe gemäßliche Struktur,
wir bauen irgendwie so einen Stand auf, eine Achse.
Und sagen, wir haben jetzt nicht nur einen,
sondern mehrere verschiedene Pendel, die hier so unabhängig voneinander schwingen können.
Also das wären jetzt verschiedene Kreise und sie stellen sich vor,
naja, das ist ja, glaube ich, nicht so.
Sie stellen sich vor,
sie haben eine Achse und dann verschiedene Pendel,
die in einer Ebene,
Orthogonalziele Achsel schwingen,
die beeinflussen sich also nicht gegenseitig
Hier zum Beispiel drei Stück oder im Allgemeinen K-Stück.
Fangen wir mal mit zwei an, dann denken wir über
drei Meter, dann war Kar beliebig nach.
Was war denn der richtige Raum der Position, um alle
Pendler auf einen zu beschreiben? Da würden sie sagen,
ja, das ist ja nun offensichtlich, wenn ich zwei Pendler habe,
dann brauche ich natürlich zwei von diesen Variablen, wenn die unabhängig sind.
Und wenn ich Carpendal habe, brauche ich K von diesen Variablen.
Ich brauche also das mehrfache Produkt von solchen Sphären,
S wie Sphäre, obwohl der Kreis ist so eine ganz simple Sphäre,
mit sich selbst.
Also die Menge der Position ist gleich
Ja. Bis gleich. Vers 1, Kreuz.
Kreuz. Vers 1 und das Ganze Kar-Marl. Okay,
wenn sagen, das ist ja nun ganz offensichtlich,
dass wenn ich Karma dasselbe System habe, brauche ich Karma dieselbe Variable.
Jetzt dann etwas schwierige Frage. Nee, manchmal nicht nur
die Menge der Position, sondern auch noch Geschwindigkeiten beschreiben.
Das heißt, an diesem Punkt hat dieses Pendel eine Geschwindigkeit,
das bewegt sich und
der Geschwindigkeitsvektor ist
Hier ist also eine Geschwindigkeit. Wie wir uns jetzt
die Menge der Geschwindigkeiten ausdrücken, in den Reihen Zahlen,
da wissen es schon, wenn sie eine Zahl haben,
X, X von T, als Ort,
und dann die Geschwindigkeit beschreiben wollen,
haben sie einen zweiten Vektor, X Punkt.
Und der ist ebenfalls mehr auch N. Was würden Sie hier machen auf diese Sphäre?
Würden Sie für V auch ein Element aufs S1 nehmen?
Ja, das klappt nicht so richtig. Denn Geschwindigkeiten können
beliebig groß oder klein sein, die wiederholen sich auch nicht.
Das heißt... Auch wenn der Ort hier erst eins ist,
ist die Geschwindigkeit etwas anders,
nämlich die Geschwindigkeit ist plötzlich M&A-Reel
Also die Menge der Geschwindigkeiten oder eine Menge der, ja,
das Phasenportal ist das, die Menge der Outs Geschwindigkeitskoordinaten.
Und Geschwindigkeiten. Das wäre also,
er ist eins wieder wie vorhin, der Kreis, Kreuz,
Denn sie können jeden Punkt eine Geschwindigkeit zuordnen, nehmen,
wann sie sagen, Rechtshurm, nenne ich jetzt immer positiv,
und links rum negativ oder so etwas, je nachdem,
wie sie den Kreis orientieren mit diesen Koordinaten.
Dann haben sie also dieses Produkt für die Vektoren, die tangitial sind.
Ortskomponente und Richtungskomponente. Dann würden es hier recht machen würden,
würden sie kaum mal des Podcastkreises und kamen mal des Produktes eher
auch eins nehmen und hätten dann S-1 hochkahr mal R-Hochkahl.
Also die Positionen. Und Geschwindigkeiten Erst eins Kreuz, ja.
Das Ganze hoch. K. Vielleicht haben wir dich auch schon gefragt,
warum stehe ich bei diesem Kreis immer eine Eins oben dran?
Warum heißt der Kreis oben eigentlich? Übrigens, S-Kreis,
ich habe ja noch mit K und nicht mit EAS,
steht für Sphäre.
Und also ein Kreis ist eigentlich nur eine Ein-Versionale Sphäre.
Sphären könnt ihr schon mehr auch enden.
Das sind einfach die MRON, nehmen sie die N-minus
1-dimensionalen Untermengen von Abstand 1 zum Ursprung.
Und die Sphäre der Dimension N,
nennen wir SN
Und das ist ein gutes Beispiel für das, was in
folgenden Mannchfaltigkeiten heißen wir aber. ISS1, das SN und
diese Produkte hier, die nenne ich mal Tores von Dimensionen N.
Also dieses Jahr nenne ich jetzt dieses ganze Ding,
den kadimensionalen Tores. Also das heißt, Ja,
wie kann man sich jetzt so ein Tores vorstellen?
Also so ein Tores ist einfach ein Ding, wo sie eine,
fangen wir mal hiermit an, eine Kreiskornate haben und eine Lena-Kombinate.
Und das bekommen sie, wenn sie den RON hernehmen.
Hier ist ein kleines Stück RON, der ganze Zeit nicht in den Hörsaal gepasst.
Wenn sie ihn jetzt so einfalten und sagen,
es ist sie identifizieren, nehmen wir an,
dass sie wieder länger 2P und ich identifiziere diese rechte Seite mit dieser linken Seite,
nehme ich sie zusammenklebe, dann hätte ich genau dieses S1-Kreuzer.
Das heißt, wir haben also das erste Modell,
eine Mannigfaltigkeit, so ein Zylinder,
der im Prinzip nach beiden Seiten unendlich weit fortgehen würde
Und das, was wir hier gesehen haben in diesem simplen Modell,
wollen wir jetzt allgemein beschreiben,
für Dinge, die vielleicht mehr Dimensionen haben als zwei,
die vielleicht auch weiter gekrümmt sind.
Also das hier war noch ein simples,
eine simple Deformation vom RO2. Vielleicht geht es komplizierter,
vielleicht passieren auch Dinge, vielleicht werden auch Henkeln angeklebt und so weiter,
über einer Brezel.
Und genau das wird passieren. Das werden wir im folgenden studieren
. Und wir werden uns genauer mit dem Thema befassen,
was sind jetzt Richtungen an einem Punkt hier dran?
Wie verstehe ich jetzt Tendenzialenvektoren und Richtungsvektorfelder und dürfen Zuergleichungen?
Das ist wichtig für uns, denn wir beschreiben ja Flüsse,
somit Weckterfelder,
Das F ist also ein Vektor, eine Richtung.
Und Sie müssen jetzt wissen, wie an dieses Ding
eine Richtung anzulegen ist. Zum Beispiel so Tangezialen dran.
Und dazu kommt jetzt eine formale Definition zu diesen Dingen.
Musik Also die Prominenz zum Beispiel für manche Faltigkeiten sind das,
was wir schon gesehen haben,
den Toasten und die Sphäre
Und das sind auch die Beispiele, die sie immer
im Hinterkopf behalten sollen, während wir über Manchweitigkeiten reden.
Also wir kennen schon. Die Endsphäre. Das ist einfach
die Menge der Punkte, nennen wir sie SN.
Die kann man jetzt als Zeilenwektor irgendwie oben oder als Schwaltweg
dorn schreiben. Das macht keinen Unterschied. X1 bis XN
Im R-Hoch N plus 1. So, das gilt,
das ist eins Quadrat plus. Plus X N-Quadrat.
Ist gleich eins. Okay, das kennen wir schon.
Für einen gleich zwei, sieht das Bild einfach so aus,
dass wir hier haben, wir mal hier die Sphäre.
Und um das etwas klar zu machen, ist hier noch
eine Art Äquator. Ja, ein bisschen diffamiert das Ganze.
Das ist die Endsehre. Endlich zwei ist diese Fall,
endlich eins war einfach
ein Kreis
Und heute müssen alles Fähren, können sich natürlich selbst vorstellen.
Dann kennen wir neben der Enzwerte, kennen wir jetzt schon den End-Torus.
Also. Ja, kennen wir euch den End-Torus?
Also das heißt TN, was ich gerade definiert habe,
das Produkt S1 mit sich selbst.
Enmal? Ja, wie sieht es noch in Tores aus?
Also für N gleich eins, das ist einfach nur
entkreist,
wie bisher schon gehabt
Also... Für eng gleich eins haben wir dieses Ding.
Für eng gleich zwei wird es schon eine interessante,
dann wäre eine Art Fahrradschlauch, eine Art Ding,
das so bekommen, wenn wir bei diesem Zylinder hier,
die linke und die rechte Seite zusammenkleben.
Das kann ich mir zum Papier nicht vorführen, weil das Papier
nicht dehnbar ist. Wenn das aus Gummi wäre und nicht,
dass die ja jetzt da rumbiegen würde,
sodass diese Seite hier auf diese kommen würde, das dann festkleben,
dann hätte ich so eine Struktur wie ein Fahrradschlauch oder einen Rettungsdring oder so etwas.
Und das ist dann dies hier,
also eng gleich zwei,
gibt so
ein Bild
Dass wir hier diese Struktur haben, wo jeweils,
wenn Sie draufgucken, da gibt es diese Stücke.
Hier gibt es Teilstücke. Die Streifen fallen mich aussehen.
Also Sie können in diesen Touris solche Kreise einbetten,
die kann man nicht zusammenziehen.
Und es gibt auch noch weitere Kreise, nämlich diese hier,
die man auch nicht so richtig zusammenziehen kann.
Sie können auch hier so
einen Kreis reinlegen
Und weder der Grüne noch diese beiden roten Kreise haben die Eigenschaften,
dass sie sie auf einen Punkt zusammenziehen können,
ohne die Menge M zu verlassen.
Das End-tors. Das hier gibt es auch noch für Hörendimensionen.
Also sie können auch an höherdimensionalen Tores nehmen. Ich habe
jetzt gerade keine, viele müssen eine tough zur Hand.
Ich habe beim zweiten Tores bräuchte ich eigentlich eine 3-tournale Tafel,
weil es ein Ding ist.
Das hat zwei Dimensionen zwei. Ist aber sozusagen,
jede von diesen Komponenten braucht zwei Variablen, um das hinzuschreiben.
Ich bräuchte alles hier genau, glaube ich,
schon vier Variablen, das richtig hinzuschreiben.
Und mache jetzt ein zweitjournales Bild von einem Ding,
das MR auch vier oder auch drei in diesem Fall
eingebettet ist
Und bei Hörendimensionen sieht es noch kompliziert aus,
aber das kann man natürlich versuchen,
bei Engleich drei sehr das Ding dann so aus,
dass sie, ja, wie bekommt sie eigentlich diesen Tores?
Sie bekommen sie, indem sie die Einsjahre nehmen.
Hier das Rote, das ist eine Einssphäre, einen von den Faktoren.
Und die bewegen sie dann mit einer Bewegung längst an einer anderen Sphäre herum,
sodass sich nichts kreuzt und auf die richtige Weise.
Sie haben also einen Haufen Kopien von solchen roten Kreisen.
Für jeden Punkt auf diesem grünen Kreis, einen von den Roten.
Und das ist dann eher Tores. Analog können Sie das
hier auch machen. Sie können natürlich sagen,
ich nehme jetzt einen, ich nehme dieses ganze Objekt,
das ist jetzt der Zwei-Torres
Hier ist der T1. Das Juwere der T2. Und den nehme
ich jetzt, eine Kopie davon, also diesen Tores,
ich mache mal in Blau, damit sie noch was sehen.
Davon nehme ich eine Kopie und nehme jetzt für
einen Punkt auf einem Kreis eine Kopie von diesem Ding,
nennen sie einen höherdimensionales Objekt,
das so aussieht wie dieses Ich mache den mal.
Wir müssen in diesem Fall andersrum zeichnen,
damit es noch auf die Tafel passt.
Hier ist unser Toros. Und sie hatten dann so eine
Art Struktur im... Im Er auch, wie auch immer.
Er auch sechs oder auch er auch weniger als sechs
So können sich zum Beispiel den Brei Tores vorstellen,
einen Haufen zwei Tore, für jeden Punkt auf dem Kreis, ein eigener.
Und so weiter und so fort. Genau, dann ist
der Tore sogar ziemlich leicht vorzustellen, bis er ein Haufen Produkt von Kreisen sind.
So, das sind jetzt Beispiele, zwei Arten von Beispielen,
Sehren und Tobi, für etwas, was wir meine ich Faltigkeit nennen werden.
Wir wollen das im Allgemeinen dürfen damit befassen,
was passiert, wenn wir so in der Struktur haben,
vielleicht kein Produkt, vielleicht nicht direkt durch Codenant gegeben,
sondern irgendwie auch einen herumsitzend, dass wir beschreiben wollen.
Was wir beschreiben wollen, sind solche Dinge, wie beschreiben wir Solche Strukturen.
Zum Beispiel zeichne ich hier mal eine Fläche im RON ein,
auch da rein in diesem Fall.
Sie stellen sich vor, Sie haben zwei von diesen Henkeln.
Das hier ist eine zweite nonale Fläche, im RO3 zum Beispiel.
Das ist so das Standardbeispiel für Mathematiker mit zwei Henkeln
oder dasselbe mit mehr Henkeln. Das kann auch sagen,
naja, zwei Henkel sind nicht genug.
Ich brauche mehr. Dann haben Sie so
ein Objekt
Bei solchen Objekten wäre das langsam richtig mühsam, Koordinaten hinzuschreiben,
also X1X-1X-1X-3, Entgleichung von diesem Typ, die ganz links stehen.
Das wäre zwar im Prinzip, können Sie sich überlegen,
um es geht oder nicht, aber es würde so langsam mühsam.
Und es kommt auch heraus, es ist ganz schwer,
eine Einzelgleichung für alle Punkte hinzuschreiben, es ist besser,
für verschiedene Teile des Objektes verschiedene Dinge hinzuschreiben.
Was wir aber wollen, ist solche Strukturen zu beschreiben,
Dinge, die irgendwie glatt sind,
aber nicht so richtig durch Kolonnaen gegeben.
Die wollen wir beschreiben und wir wollen außerdem
noch Richtungen darauf beschreiben.
Also wir haben hier
eine Mannigfaltigkeit
Also die Menge M wollen wir beschreiben.
Die Punkte drauf und wir wollen möglichst noch Richtungen.
Also an dieser Stelle hier, an diesem Punkt P,
können wir ja eine Richtung einschlagen, indem wir sagen,
es gibt jetzt in dieser Richtung weiter.
Der Pfeil ist extra länger gezeichnet als das Ding.
Und wir wollen dann untersuchen, wie geht die Lösung, diese Differenzialreichung?
P. gleich V. Also wenn hier ein Vektor V ist,
dann wollen wir gerne wissen,
wo geht die Lösung dieses Systems lang.
Zum Beispiel hier in diese Richtung
So etwas wollen wir am besten untersuchen. Dazu wollen wir
zwei Konzepte. Erstens das Konzept der Mannigfaltigkeit als Menge.
Und zweitens das Konzept der Richtung als Geschwindigkeitswerte fällt.
Hier zum Beispiel sind auch leicht der Menge der Richtung,
an so ein Objekt besteht einfach aus einer Ebene.
Das heißt, wir stellen uns vor,
wenn wir einen Punkt auf M haben,
hier ist es ein Punkt, nennen wir ihn P,
den hängen wir dran.
Dann haben wir eine Ebene, auch zwei,
die sozusagen die Menge aller Richtungen angibt.
Zum Beispiel, hier ist ein Vektor,
wo wir sagen,
an diesem Punkt hefte ich
eine Richtung an
Die zeigten an der Billyview-Richtung und das ist dann unsere Auch
2. Wir haben also eine zweisonale Ebene, wenn wir sie den Tangenzialraum,
TM oder TPM, die hängt an jeden Punkt dran.
Und wenn wir den Punkt ändern, dann ändert sich auch diese Tangenzialebene.
Wir haben sozusagen für jeden Punkt eine andere. Und genau
dieses Konzept von Tangenzialebenen, Lektoren und manch Faltigkeiten werde ich jetzt formal hinschreiben.
Also das ist eine Motivation für das, was gleich kommt,
weil es wird jetzt gleich so von der Terminologie her kompliziert,
weil da viele Begriffe stehen,
aber wir beschreiben nicht viel mehr, dass Dinge,
die einfach so aussehen, gekrümmte Dinge oder so,
Und deren Richtung und vielleicht Tangenzialebenen, die dran liegen.
Also die tangen uns alle eben in diesem Diagramm,
wäre so ein Ding, das so aussieht.
Also hier wäre vielleicht eine Ebene,
die liegt irgendwie schief im Raum und das wäre die Tangenzial.
Ebene. Und Fava, wie gesagt,
eine Richtung
Und das Ganze machen wir nicht nur so als,
manchmal als Allgemeinbildung, sondern weil das exakt die Richtung
Objekte sein werden, um dynamische Systeme zu studieren.
Flüsse kann man am allerbesten auf solchen Dingen wie hier studieren,
noch besser als im RON.
Und Vectorfelder kann man ebenfalls auf diesen Dingen nicht studieren.
Das folgt also jetzt eine formale Beschreibung von so etwas,
die ist so ein bisschen länglich und da muss man viele Thermos gucken,
aber das lohnt sich wirklich, das zu tun.
Gut, dann legen wir los und sagen, Musik Okay.
Es gibt grob gesagt zwei Methoden, manchmal kannst du definieren.
Die eine ist leicht hinzuschreiben, aber in der Praxis
eher schwer zu überprüfen, die zweite ist schwer hinzuschreiben.
Die braucht dreimal so viel Aufwand,
aber es ist in der Praxis viel besser zu benutzen.
Also du hast mal
eine motivierende Definition
Und das ist genau genommen die Defention von eingebettete und manch Faltigkeit
immer auch N. Also M heißt. Also eine Menge.
Glatte da, sagen wir mal,
Das Glück mit dem Glattvergleich noch präzise gemacht.
Und... Das... Herr Hau, ja und ich will jetzt
den Buchstaben kleinen, entweder Dimensionen, der das Objekt benutzen.
Deswegen schreibe ich nicht RON, sondern ich schreibe Des Air
hoch groß N.
Mit Dimension
Klein N. Und sie denken jetzt an einen von diesen Mengen.
Am besten an eine von diesen hier. Und wir wollen
das Ding beschreiben. Und die einfachste Definition ist,
die da unter meiner Faltigkeit. Ich würde sagen,
also ein Ding hat Dimension N und legt ihm auch groß N.
Wenn M-Lokal, und das ist jetzt eine Kurzform der Definition,
weil es kommt die Langform kommt danach noch,
lokal der Graf, von Glatten.
Funktionen ist. Und zwar in geeigneten Koordinaten.
In Systemen. Die Industrition ist auch schon ganz gut.
Die ist in der Praxis industriell zu überprüfen.
Das heißt, wir sagen, wir nehmen zum Beispiel die
zwei Sphäre.
Hier ist sie schon
Dies ist aus unserer Serie S2. Eine zweite neutrale Menge im R3.
So, können wir diese Funktion als Graf eine Glattenfunktion schreiben?
Ja, das geht aus zwei Gründen nicht. Erstmal,
wenn wir sie zum Beispiel die Drittkoordinate als Funktion der
ersten beiden schreiben wollten, haben wir erstmal zwei Punkte,
die auf demselben XY liegen.
Und das klappt schon mal nicht. Das zweite Problem wäre
auch hier im Brand,
wird es auch noch senkrecht und ist auch nicht
so richtig glatt
Und was man da machen würde, ist, man würde
das Ding ja nicht zuckerzerlegen. Zum Beispiel, ja,
wie viele Stocke braucht man so ungefähr acht, würden in diesem Fall erreichen?
Es geht auch mit wenigen, aber in eigenen Koordinatensystemen,
die linear auch sind, würde man sagen,
dieses Stück hier, das schneiden wir heraus und sagen,
ich mache jetzt einen kleinen Aufschnitt und das,
was hier ist, dieses Ding, dieses kleine gekommte Stück,
kann ich schreiben als Graf über dem R2. Also die kann ich sagen,
dieses Komischstück ist der Graf eines Quadrats.
Also Graf eine Funktion, die auf diesem Quadrat definiert ist
Gierstöcke unten, sagen wir mal, dieses hier.
Wäre ein anderer Graf von einem anderen? Quadrat. Naja,
wir verstehen schon, was gemeint ist. Und so könnte ich
das ganze Ding überdecken mit mehreren Stücken, je nach Geschick,
gucken wir vielleicht mal mit acht aus oder mit wenigern.
Und dann hat man das Ding beschrieben. Zumindest,
wenn ich linear konnte nach dem System und benutze,
brauche ich dann schon eine ganze Menge Stücke.
Wenn die das Geschickte anstellen und nicht linear kondinaren Systeme nehmen,
sondern irgendwelche krummen Dinge und das Ganze projizieren,
von einem Punkt ausgehen,
dann kommen sie mit sehr viel weniger Kondatsystemen hinkommen.
Da würden auch zwei
schon reichen
Aber auf jeden Fall ist da die Idee, die Mannigfaltigkeit,
diese Struktur hier, ist als Funktion, als Graf gegeben.
Ja, wie wäre es denn hier? Hier geht es senkrecht. Da,
wo es senkrecht geht, dann würde man sagen,
die senkrechten Stücke, die kann man als Grafisch schreiben,
nicht über diesen Zwei-Kornaten hier,
sondern vielleicht über diesen Koornaten hier rechts.
Also so ein Stück hier, wie zum Beispiel dieses hier,
wäre gegeben als Graf, eine Funktion von hier,
von diesem Quadrat.
Und ein Stück, das hier vorne liegt und senkrecht,
wir geben durch als Graf
eine Ebene,
die Paläzetaffenebene liegt
So kann man eingebettete Untermannigfaltigkeiten, dass er auch ein Definieren.
Das ist auch schon ganz gut. Wir machen es aber
etwas besser und wir definieren allgemeine manche Faltigkeiten, sozusagen abstrakte mannig Faltigkeiten.
Da muss man sich bei der Definition mehr anstrengen.
Man hat sozusagen nicht das Problem, dass man immer Kondaten
angeben muss. Okay, jetzt zur Definition von,
manchmal halte ich gerade allgemein,
also zur,
es gibt noch eine
In Definition. Eine Gefaltigkeiten. Und die allgemeine Definition,
die ich noch zeigen werde, die kommt zu sagen,
ohne diese Grafen aus. Das heißt, wir brauchen nur
die Manchfaltigkeit selbst zu betrachten und können sehen, was da passiert.
Wir brauchen diese Grafen nicht. Also die keine Grafen benötigt
. So, eine Definition, die keine Grafen benötigt,
werden wir jetzt sehen. Ja, genau, genau,
wo ist eigentlich die Dimension N hier?
Das hier war so eine Kurzdefinition. Das wird dann ein
Spezialfall sein von dem, was ich ihnen nachher zeige.
Deswegen habe ich das nicht so genau erklärt.
Was ein lokaler Graf, habe ich nicht genau gesagt.
Gemein ist damit folgendes
Gegangen von glatten Funktionen ist. Ein gemeintes Folgendes,
sie haben zu jedem Punkt eine Umgebung in dieser Menge,
sodass die Umgebung gegeben ist, als diese Umgebung finden sie ein Koordinatensystem.
Ja genau, ESO macht zum Ende mit seinen Raum.
Können Sie sagen, wenn Sie unter dem Wort ESO morgen auf genügend viel verstehen?
Und was genau das ESOM auf ist? Ja genau,
das ist mit dem gleichartig und ESOM Hoff, das werden
wir noch untersuchen. Denn diese Menge ist zwar lokal,
die Stücke sehen aus wie deformierter Stück aus dem RO2,
also ist der Raum irgendwie so wie der RO2,
aber eine andere Beziehung ist ja auch wieder nicht wie der RO2.
Zum Beispiel gibt es hier Kurven, wo man immer gerade
ausgehen kann. Und dann kommt wieder zum Ursprung zurück.
Das gibt es mir auch zwei nicht. Also irgendwie ist
diese Menge anders. Die Menge ist auch kompakt,
die ist beschränkt und der auch zwei ist nicht kompakt.
Das heißt, es gibt da als globale Struktur
einen großen Unterschied zwischen dieser Menge und dem auch zwei.
Und diesen Unterschied zu einem Glück des Erdes.
Ein lokales ist immer auf deinem Stück, das ist ja
auch zwei, das ist korrekt. Lokal ist diese Struktur,
ja, Isomauf, je nachdem, was man sagt,
ist immer auf diesem Sinne, dass jedes Stück davon Graf ist,
eine Abbildung von er auch zwei in diesem Fall oder auch N.
Eine Offenmenge im RON in die Mannigfaltigkeit
Also ich kann hier sagen, auch die Funktionen angeben.
Genau. Also wenn ich das hier nochmal formal hinschreiben würde,
das waren also die motivierende Definitionen, dann würde ich sagen,
so als Kleingedrucktes für alle Punkte P in M existiert eine Umgebung.
Was in der Umgebung ist, das habe ich noch gar nicht
so richtig definiert. Sie fand aber zum Beispiel sagen,
sie nehmen eine Umgebung im RN und steigen die mit
der Mannigfaltigkeit und nennen das dann eine Umgebung des Punktes.
Das ist auch schön ganz gut.
Und sie sagen jetzt zu jedem Punkt gibt es
eine Umgebung
Und Koordinaten, was sind Koordinatensthemen, eine Transformation,
eine Matrix A, sodass in diese Matrix dieses Ding
hier geschrieben werden kann, als genau das.
Ja, sozusagen eine Hype-Ebene, eine N-Ebene. MRHON,
sodass Urgleich, Graf, von einer Funktion ist,
nennen wir sie mal Vieh oder G oder sonst etwas,
wie auch immer, ein Groß-F.
Eine Ebene E, mit F von E in den R
auch 1. Glatt. Hier steht es im Kleingedruckten,
diese Defension, die Links steht nochmal formal aufgedröselt.
Von meinem Muss brauchen wir also noch eine EN-Ebene,
ein Ding, der mit den Dimensionen N Gruß eng.
Und ein Graf davon. Ja, und dann haben wir
so eine Art Struktur hier. Das heißt,
wir haben eine Funktion und sie müssen dann noch verstehen,
also sich dazu denken, was heißt eigentlich,
dass ein Graf gleich eine Menge ist.
Denn der Graf leckte sozusagen im Endimseln, Kreuz eindimensionalen,
der lebt also sozusagen im Endplus 1 dimensionalen Raum.
Während hier sind wir genau genommen, im Gruß indimensionalen Raum,
können ein Plus 1, dann kann auch mehr sein.
Und wir müssen nicht überlegen, was heißt, dass das eine gleich dem anderen ist.
Denn wenn ich ja eine Ebene so habe und dann so eine Funktion,
dann meine ich mit dem Graf,
Nicht die ersten Endkohlenaden und dann die N plus 1 sind,
sondern das Ganze muss man irgendwie noch in meiner Matrix-Linie transformieren.
Und ich habe extra die Details, dieses Ebenen-Suchens,
und das ist trotzdem Jens nicht hingeschrieben,
würde in der zweiten Definition nicht auftauchen werden.
Die brauchen wir sozusagen nicht. Und dann können wir schneller zum Ziel kommen.
Okay, bevor es losgeht, noch eine kleine Zwischendefinition.
Wir brauchen den Begriff des topologischen Raums.
Und das geht, das geht so.
Zunächst mal den
Nein. Das ist eine kleine Definition.
Der topologische Raum wird noch nicht die Manchfaltigkeit sein.
Es wird so eine Art Vorstruktur sein, aber eine ganz einfache.
Und das ist eine Menge. Nennen wir sie X
oder im folgenden M
Deswegen, weil die Minichweite und die Wochen werden top
logische Räume sein mit einer, einem System,
nennen wir es T oder von Teilmengen.
Von M,
so das gilt
Ja, die Menge von Timemang ist immer so ein kleines Problem,
weil wir wollen ja Rekursionen vermeiden wie ein Menge von Mengen,
die sich selbst enthalten und so etwas.
Aber diesmal reden wir von einer bestimmten Menge im RON,
das ist noch okay. Und dann von ganz bestimmten Teilmengen,
das geht auch noch so, das Folgendes gilt.
Erstens mal soll gelten, dass die leere Menge,
wie schreibe ich mein Sohn oder mit offenen Geschlossenen geschweiften Klammern,
die soll sein, ein Element von Tee,
also erste Bedingung, leere Menge ist drin.
Der gesamte Raum, GroßM,
das ist ja sicher eine Teilmenge von M,
das ist auch Element von Tee
Dann soll gelten, wenn ich zwei Mengen NT habe,
soll ja im Durchschnitt wieder drin sein, B-Element,
T, impliziert, geschnitten B, Element T,
also wenn ich zwei habe und drittens soll sein,
habe ich beliebige Mengen,
dann ist ja
auch deren Vereinigung drin
Engen. In Tee liegen wieder in Tee. So,
wenn wir dies haben, wenn wir diese drei Aktionen erfüllt
haben für dieses Objekt Tee, von Teilmengen von M,
dann heißt dieses ganze Ding M, Komma Tee,
topologischer Raum.
Also dann heißt,
also MT heißt
Topologischer Raum und Tee heißt Topologie. Die heißt Topologie auf M.
Ja. Hast du eine Frage? TSW dann allgemein noch
in der Sigmar Algebra. Wenn Sie Algebra und Sigmar Algebra
hatten, dann hätten Sie dieses Aktionen so wie hier.
Sie hätten dann das mit dem Durchschnitt und mit den Vereinigungen
hätten sie auch, außer dass hier etwas steht,
was etwas von der Sigma irgendwo abweicht.
Sie können nämlich nicht beliebig schneiden. Sie können zweimal unendlich
oft schneiden, aber nicht mehr. Sie können allgemein nicht
unendlich oft schneiden. Also das hier ist etwas schwächer als
bei der Sigma Algobra. Sigma Algo heißt ja ab so
bei viele Durchschnitte zum Beispiel und das geht hier nicht.
Sie können nicht abzubauen oft durchschneiden. Das hier ist gedacht,
als um das Konzept der offenen Menge zu verallgemeinern,
das soll ich vielleicht noch hinschreiben,
Elemente von Tee
VT heißen offene Mengen. Also ich habe nicht mehr,
nicht weniger definiert, als was eine offene Menge ist.
Sie dachten schon, das wussten sie schon,
sie wussten es auch im RN wirklich.
Und das Konzept von offener Menge auf einer beliebigen Menge M.
Bei einer Sigma-Agua ist das stärker,
denn bei Sigma-Agebras können sie noch sehr viel mehr schneiden.
Hier können sie nur endliche Schnitte zulassen, aber beliebige Vereinigung.
Sie kennen das schon aus dem RON oder auch eins,
haben sie zwei offene Mengen,
zum Beispiel Intervalle
Ja, oder vor allen Dingen auch von Intervallen,
dann können sie die Vereinigung von offenen Mengen nehmen und bekommen wieder eine offene Menge.
Klar, jeder Punkt hat ja eine Umgebung, das war die Definition von offen.
Wenn sie also mehrere offene Mengen nehmen, auch überall,
zumal viele, es spielt gar keine Rolle und die alle zusammentun,
dann ist das Ergebnis sicher offen,
weil hier der Punkt sozusagen eine Umgebung mitbringt und das wird einemfalls noch mehr.
Dem geben gehen also nicht weg. Das heißt,
dass ihr, das ist bei offenen Mengen immer der Fall,
Schnitte von zwei offenen Mengen, die waren immer noch offen,
aber Schnitte von unendlich vielen offenen Mengen,
da wird es schon problematisch,
sind wir zum Beispiel alle Intervalle,
der Reellendenintervalle von minus bis von minus ab bis plus
A schneiden,
für jeden Wert von
Positiv, dann bekommen sie, ja, einen Punkt.
Und der Punkt ist nicht mehr offen. Deswegen lassen wir
hier nur endliche Durchschnitte zu. Und zwar oder endlich viele
, das macht keinen Unterschied. Und die Lehrerin wollen wir
offen, die gesamte Menge ist auch immer offen.
Okay, also das ist das Konzept der offenen Menge.
Da steht nicht besonders viel dahinter. Zum Beispiel ist jeder metrische Raum,
jeder Raum mit Abstandsfunktionen, automatisch ein topologischer Raum in diesem Sinne,
indem sie einfach sagen,
die metrischen Bälle und den Vereinigungen sind die offenen Mengen
So, das war die erste Definition,
bevor es losgeht und jetzt geht's langsam richtig los
. . . . Das eine Beispiel kann ich noch hinschreiben
, ein Beispiel.
Jeder.
Ja, was meine ich denn mit einem metrischer Raum,
das ist ein Ding, so eine Abstandsfunktion?
Und damit kann ich eine Menge als offen definieren,
wenn zu jedem Punkt eine Umgebung darin liegt.
Und dieses Konzept, das in Umgebungen drin liegt,
das verallgemeint ist sich sicher, wenn man dazu Vereinigung und Durchschnitt nimmt.
Also wenn X die Meda Charme. Und dann können wir
definieren Tee als die Menge aller. Alle Untermengen A. Also
das gilt für alle X-Element A. Existiert ein Appslon größer Null,
sodass der Ball von Radios Apslon um A
eine Teilmenge von X von dieser Menge A ist
Ja. Mit W, Epstilant von dem Punkt A oder X.
Nochmal als Kleingedruckte die Erinnerung,
der Ball von Radios Apps und um einen Punkt,
ist die Menge aller Punkt Y, Elmat X,
sodass Geld der Abstand zwischen den beiden Punkten ist kleiner als
Das heißt, metrische Räume sind insbesondere topologische Räume.
Und das sind auch die einzigen Beispiele, die uns jetzt momentan interessieren.
Es gibt aber noch mehrere topologische Räume, die keine Metrik tragen.
Die brauchen wir aber im folgenden nicht.
Dennoch zahlen Definitionen, bevor es um richtig losgeht.
Der Raum, Definitionen, noch zwei, optionale kurz,
ein topologischer Raum.
M oder X
Hausdorf. Wenn, wenn es gilt es für alle Punkte,
die drin liegen, X Y Element.
Wenn für je zwei Punkte es Umgebung gibt,
die sich nicht schneiden.
Offene Mengen
Ah, B. In der Topologie. Ja,
die kommen noch an eine Topologie zu dem M dazu.
Ich kann sie hinschreiben oder auch nicht. Mit X-Element A.
Y-Element B. Oder A. Gestritten B. Gleich die leere Menge.
Mit anderen Worten, wenn ich hier zwei Punkte durch offene
Mengen trennen kann, heißt dieser Raum ein Hausdorfraum.
Das ist eine simple Eigenschaft, die ist zum Beispiel
für metrische Räume
immer gegeben
Also ein Beispiel. Herr Jeder. Metrische Raum.
Dann habe ich einen metrischen Raum. Das heißt,
ich habe zwei Punkte und die haben einen Abstand,
der ist, sagen wir mal, L. Dann kann ich sagen,
ich nehme die Umgebung L. Drittel um den ein.
Die Umgebung L. Drittel um den anderen.
Die schneiden sich dann sicher nicht.
Wenn nichts
Bereich. Impliziert. Dass der Ball von Radios Ellen-Brittel-L-Halber jetzt
auch getan, aber du wirst schon so einen langen knapp
um X geschnitten mit dem Ball vom Radios L-Drittel auf Y.
Zwei offene Mengen. Auf eine Bälle sind immer offene Mengen.
Sind leer. Das heißt, wann immer sie eine Metrik haben,
ist dieses automatische Füllt und sie brauchen sich um diese Gedankenschaft
gar keine Gedanken mehr zu machen
So, eine zweite Eigenschaft, die wir brauchen,
bevor die Definition von Manchfaltigkeit losgeht, ist das folgende,
eine Definition.
Dass diese Topologie-Tau eine bestimmte Absellbarkeitseigenschaft erfüllt. Eine. Tee,
offene Magics, die wir in Folgen gar nicht besprochen.
Ja,
das zweite Axt war Abzellbarkeits-Axium oder die zweite Abzahlbarkeitsbedingung
Ja. Oh, das ist zweitabzählbar,
wie auch immer. Hört sogar vielleicht die Spaß,
wenn geht
Das ist eine abzählbare Menge in Tau gibt,
sodass deren Durchschnitte alle Menge Austau den Vereinigungen anmengen von Tau ergeben.
Eine. Silbere, drei Menge von Tau.
Nennen wir sie U. E-Element
So das. Ja, so das was. Sie stellen sich vor,
sie haben offene Mengen, dann wissen sie schon offene Mengen.
Wie viele Mengen brauchen sie eigentlich, um alle offene Mengen
zu produzieren? Sagen wir mal im R1 oder auch N.
Sie sind immer auch eins und sie kennen schon offene Intervalle.
Sie kennen vielleicht auch schon offene Intervalle mit abzählbarem Mittelpunkt
oder mit drationalem Mittelpunkt oder drationalem Radius.
Das sind absolut viele. Und wie können sie das
aus diesen Intervallen alle auf eine Mengen zusammenbauen oder nicht?
Die Antwort ist ja. Und das ist die Motivation hier
, sodass jede Menge offene Menge
Jede offene Menge, was waren offene Mengen? Auf eine Menge
waren die aus Tau. A. Element Theodetau. Vereinigung.
Von Elementen. Haus. Aus diesem OIS. Ja,
also ein Beispiel ist, wenn sie immer auch N sind,
also in R hoch N, ist die Menge.
Also auch N mit der normalen Metrik.de Standard.
Welle. Rationalen. Rationalen Mittelpunkten, rationalen Radien. Gerade die
so eine Menge um diese Eigenschaft. Geeignet. So,
damit haben wir jetzt viel Vorarbeit geleistet und die eigentliche Definition
von Mannig-Faltigkeit, die erzähle ich Ihnen dann nächstes Mal.
Die wird dann sagen, eine Menge wird eine Mannchfaltigkeit heißen,
wenn sie das erfüllt. Und das, also Hausdorf,
on zweite Absorger Abzimmerkeitsaktion und noch etwas anderes,
was ich Ihnen dann auch erzählen werde, bezüglich der Kondinaten.
Okay, das war's heute.
Vielen Dank