Guten Tag zusammen, herzlich willkommen zur Vorlesung, Einführung in dynamische Systeme.
Letztes Mal hatten wir uns mit linearen Systemen befasst,
also Multikation von Punkten mit Matrizen im RON,
auch eins, ja auch zwei und so weiter.
Heute wollen wir uns noch ein wenig mit differenziellen Gleichungen
auch enden befassen, die auch durch Matrizen definiert sind.
Also Ableitung eines Punktes gleich, Matrix mal diesen Punkt.
Wir werden sehen, dass wir ein sehr einfache Systeme sein,
zumindest in niedrigen Dimensionen. Die werden wir leicht verstehen können
. Und danach gehen wir so langsam über zu Systemen,
die nicht mehr am A auch enden sind,
nicht mehr auf linearen Räumen, sondern Formen,
die irgendwie in sich gestossen sind, Räumen, die irgendwie kompakt sind,
die ich hier dann später noch genau vorstellen werde.
Was wir also bis jetzt schon wissen, ist,
dass wenn wir ein System haben, also wir wissen.
Das neue als Wiederholung, Arbitz.
Von der Abbildung F. X wird abgewählt auf A mal X.
Für X-Element. A auch N.
An kurz and Matrix
War. Ja, wenn wir so ein System haben,
war einfach ein Punkt mit deiner Matrix mulpliziert wird,
dann sind die Orbits, die Bahnen des Punktes,
geben durch eine Struktur,
die von den Matrix abhängt und besonders von deren Eigenvektoren und Eigenwerten,
nämlich für eigene Werte im Bereich 0 bis 1,
kontrollieren wir auf die 0 zu und für Eigenwerte im Bereich 1 bis unendlich geht es von der 0 weg.
Und andere Fälle gibt es auch,
zum Beispiel die neue selbst oder die Zahl 1 selbst oder negative Zahlen,
wo wir auch uns überlegen können, was passiert ist.
Also wir wissen schon, diese Orbits verhalten sich wie folgt
Wie folgt? Wenn auf Eigen.
Erräumen. Also wir zerlegen die Matrix A in Eigenräume.
Vielleicht gibt es da solche. Mit Eigenwert. In
dem Intervall, minus
Bis eins. Für Reell-Eigenwerte. Beziehungsweise Betrag Lamda. Kleine
Eins. Das ist der Betrag einer komplexen Zahl Lamda.
Als wenn der Eigenwerte Lamda entweder in diesem Intervall
ist für eine reelle Zahl oder zumindest betragsmäßig kleine Eins.
Es geht dafür komplexe Zahlen. Konvergieren. Jedes Orbit.
Gegen Null
Und sogar noch mehr. Wir wissen auch, die Konvergenz ist exponentiell.
Und in Umkehrrichtung würden wir von der Null divigieren.
Also in Vorratsrichtung kann die Ideen mehr.
Exponentiell, schnell. Also wenn dem Matrix A invertierbar ist.
Die vagiert.
Das Rückwärtsorbit
Mit anderen Worten, der enorm geht gegen unendlich.
Ebenfalls exponentiell schnell. So, das ist jetzt noch
eine kurze Abkürzung dessen, was wir alles schon wissen.
Das ist das Verhalten von speziellen Bahnen,
wo nämlich wir auf einem Eigenraum sind, der anziehend ist.
Analog gibt es Abstoßen, Eigenräume, nämlich solche,
wo der Betrag von Eigenwerten größer als eins ist
Das wissen wir bereits schon. Ich schaffe es nur noch mal hin,
aber das ist ein gutes Modell für Verhalten,
wo es in diesem Fall besonders stabil ist.
Also es ist stabil, alles kommt, wir gehen zur Null.
Dass ein Verhalten das nicht nur leicht ist, sondern auch besonders wichtig,
ein wichtiger Spezialfall, den werden wir noch später sehen,
auch bei Systemen, die nicht in Matrizen sind,
die nicht linear sind und die vielleicht auch nicht im RN sind.
Da wird es häufig vorkommen, dass irgendetwas,
manche Orbits oder manche Richtungen oder manche Räume von höherer Dimension,
die angeschafft haben, das alles gegen einen bestimmten Punkt konvergiert.
Das ist also
ein typisches Beispiel eines stabilen Verhaltens
Ich stabiles. Wir werden auch mehrere Arten stabilen Verhaltens unterscheiden,
nämlich solche mit Konvergenz und solchen mit sich nicht wieder entfernen.
Okay, analog für umgekehrt.
Für Betrag Lamda. Ich strecke Größe 1. Orbits
Oh, jetzt divergieren. Sprich den Normen des Orbits. Also den Normen,
ich habe nicht namens gemeint, es ist die Norm der Zahlen X-0,
X-1, X-2, X-4 und so weiter.
Und wenn ich den Norm von diesen Zahlen einsetze,
wobei X-0, der war das, worüber ich anfange,
X-1 ist A mal X, X-Fives, A,
mein A mal X und so weiter,
dann konvigieren wir entweder gegen 0 oder umgekehrt.
Und das Inverse Orbit, das heißt einfach,
das Urbild, wenn es existiert, Weil... ...
Konvergiert. Das rückwärtige Arbeit. Das war jetzt ein vieles Verhalten.
Moment, gegen null. Okay, nur um diesen Satz abzuschließen.
Also, warum bei dem Fall Landerbetrag? Größe eins,
kommt das Gegenteil heraus, in vorwärtige Richtung,
haben wir Divergenz in Rückwärtige Richtung Konvergenz gegen Null.
So, noch eine Bemerkung zu diesem stabilen Falten,
was soll das heißen, stabil?
Stabil heißt in diesem Fall Folgendes, dass,
wir stellen uns vor, wir haben eine Umgebung,
die kann im Fall des Auch Ends auch sehr groß sein.
Wenn es so ist, dass eine Umgebung des Punktes in der Umgebung bleibt,
sich nicht weiter entfernt als vorher oder vielleicht nicht viel allzu sehr viel weiter entfernt als vorher,
dann können wir sagen, dieser Fixpunkt wäre irgendwie stabil.
Also was in der Nähe bleibt, also was in der Nähe ist,
bleibt in der Nähe und entfernt sich nicht.
Das ist eine Art von Stabilität
Es gibt eine zweite Art von Stabilität, die euch noch definieren,
die besagt, alles in einer Umgebung kanvigiert gegen diesen Punkt.
In diesem Fall ist es so, ich habe nur gesagt,
wir haben stabiles Verhalten, lang in einer bestimmten Richtung.
Dies ist ja wer der Fall,
wenn zum Beispiel alle Eigenwerte vom Betrag kleiner als eins sind.
Da wird alles angezogen. Wenn alle Eigenwerte vom Betrag
größer eins sind, wird alles abgestoßen.
Und typische Orbits sind irgendwo dazwischen. Sie wissen ja,
wenn sie verschiedene Eigenräume haben, zu verschiedenen Eigenwektoren,
dann sind die meisten Punkte im RON nicht auf der Eigenrichtung.
Und die meisten Punkte haben demnächst Verhalten,
dass sie in einer der beiden Zeitrichtungen,
entweder vorwärts oder rückwärtigst,
sich an eine dieser Ontoring
mal annähern
Ich werde noch sagen, welchen von den beiden.
Und die meisten Orbits sind deswegen nicht stabil und bleiben nicht
in der Nähe. Was wir hier haben,
ist eine Art stabiles Verhalten, auch wenn er bestimmt untermannigfaltigkeit,
also auf stabiles Verhalten und ähnlich wie das Verhalten haben wir auf einer bestimmten Länge,
die gerade besonders ausgezeichnet ist.
Also die ist dann so eine Art instabiles Falten. Ja,
und weil die Worte stabil, instabil,
ohne Quantifizierung eine etwas andere Bedeutung haben, Cherry auch dazu,
dass sie es auf einer bestimmten Menge geschieht.
Die Mengen nennen wir mal die stabile und instabile Menge hiervon.
Oder den stabilen instabilen Raum, was mir auch ein
nicht besonders verschieden ist. Ich schreibe mal U und S
für eine Menge.
Und EU, jetzt sage ich ihm gleich noch,
was diese beiden Mengen sind,
über die wir im Folgenden noch weiter reden wollen, mit ES.
F steht für stabil oder die englischen Worte Stable,
Stable and Unstable. Ich könnte auch in Stabil schreiben,
aber die englischen Bezeichnungen sind hier sehr üblich.
Welche ist denn jetzt die stabile Menge,
auf der ich Konvergenz gegen Null erwarte?
Klar, das habe ich einen Eigenraum mit einem Eigenwert,
der vom Metall kleiner eins ist, dann wird das Konvergenz vorliegen.
Das ist ganz klar, das ist einfach Linneal geworden.
Was passiert denn, wenn ich zwei Eigenräume habe,
zu verschiedenen Eigenwerten, die beide vom Betrag kleiner
als eins sind
Was würden Sie warten? Erwarten, passiert, weckt Ton
? Den in der Elena-Kombination, diese beiden Räume sind.
Diese Vektoren sind typischerweise weder ein Eigenwektor des einen noch des anderen Eigenwertes.
Dennoch behaupte ich, es gibt eine Kontraktion und auf dieser Summe
der beiden Eigenräume haben Sie immer noch eine Konvergenz gegen Null.
Wenn Sie es beweisen wollten, wird es einfach sagen,
ja klar, der weckt das einfach in eine Linearkombination des beiden Vektoren.
Und wenn ich die Matrix A auf die sogenannten Miktionen anwende,
wenn ich Sie auf den ersten, auf den zweiten Sumanten an,
weitergehen gegen Null, werden kontrolliert.
Da werden natürlich die Summe, so von 2-0-Folgen
, sicherlich eine Neufolge
Das heißt, wenn ich jetzt die beiden Räume,
die beiden Eigenräume, zu Eigenvektoren, also zu Eigenräumen,
Kleiner als eins, Vereinige,
und sogar die komplexe Hülle nehme, dann kommt er raus,
da ist immer noch irgendetwas kontrahierend.
Also ich sage das ES, das soll jetzt sein,
die lineare Hülle, oder die lineare Summe,
von allen eigenen Räumen, mit Eigenwerten, Betrag Kleiner 1.
Ich sage hier, ich definiere etwas von Meides.
E. Lamda. Plus, und jetzt kommt noch was dahinter,
ich werde noch sagen werde. Wobei, Oder?
Ja, für... Eigenraum. Zu Lamda. So,
also nehmen wir nicht, nehmen wir alle Eigenräume zu eigenwerten Landern.
Für alle, lahm da, von Betrag kleiner als eins.
Dann habe ich solche Räume. Und weil wir genau genommen
nicht nur immer nur reelle Eigenvektoren,
also Eigenwerte zu den Matrix haben,
wir können auch noch
komplex skandinierter haben
Also wir wissen ja schon, welche Art von Nullstellen her
ist Charakter, Sponeno. Entweder aus Nullstellen vom Typ,
irreelle Zahl oder Nullstellen vom Typ 2 zueinander koordiniertere komplexe Zahlen.
Wenn wir also kontinuiert komplexe Zahlen haben, dann sage ich,
ich nehme noch die anderen dazu und die weiteren Eigenräume,
nenne ich E Lamda, Lamda queer.
Das ist der Fall, dass wir komplexe Eigenwerte haben.
Lamda, Lamda queer, die nicht reell sind.
Und dann kann ich auch wieder sagen,
das hier ist der Raum,
sozusagen der Eigenraum zu beiden zusammen
Zu Lamda und Lamda quer. Was ist das? Was
ich machen will, ist, ich will die Matrix einsetzen.
Wir sind im RON,
deswegen kann ich nicht so richtig mit komplexen Vektoren hantieren,
sondern ich sage, ich nehme alle den Eigenraum im Komplexen.
Das sind jetzt komplexe Vektoren, das passt mir nicht so richtig.
Und danach projiziere ich wieder auf den RON zurück
und habe deswegen reelle Vektoren und einen Raum von reellen,
allgemein allgemein aus den Eigenvektoren zu Lamda und Lamda quer
Und wenn ich jetzt diese beiden Dinge dazu nehme,
also alle Reellen-Lamda-Element. Ehre, sowie alle Räume E.
Also ich will noch ein Summenzeichen. Also ich nehme alle
Räume, die reell kontrollierend sind und alle Räume.
Lamdavid-Betrag, kleine Eins, Lamde-Element. C,
ohne R. Lamda,
Lamda quer
Wenn ich dies tue, dann habe ich auf diesem Raum,
das ist die direkte Summe, aller eigenen Räume.
Vom Betrag kleiner Einzeigenwerten. Denn das auf diesen gesamten Raum hier habe ich eine Kontraktion,
die im gesamten Raum wird die Matrix A kontrollieren und jeder
Punkt wird gegen Null gehen und sogar exponentiell schnell.
Ja, das, wenn wir dies haben,
dann haben wir diese Menge ES.
Das ist die Menge, die hier steht.
Also diese Menge hier, wo die Konvergenz,
wie ich behaupte, so schnell ist,
die ist diese dort rechts.
Die ES ist diese Menge hier
Analog die Menge EU ist einfach genau dasselbe mit allen Eigenwerten
vom Betrag größer als hier und dort.
Und zwar analog EU
Namen Element. R, beziehungsweise C und R,
wenn ich diese Eigenräume allesamt vereine,
konntest du dir die direkte Summe nehme, dann habe ich dies.
Ja, ist dir jetzt damit der gesamte Raum aufgespannt?
Was passiert für eine allgemeine Matrix A ohne weitere Einschränkung?
Ohne weiter einschränken, kann es natürlich sein,
dass es ein Eigenwald Lambler gibt,
der für den Betrag her gleich eins ist.
Entweder reell oder komplex und nicht reell. Wenn solche Eigenwerte
gibt, kann ich im Allgemeinen noch nicht viel aufsagen.
Wenn es keine gibt, dann kann ich eine starke Aussage machen,
als ich bis jetzt schon gemacht habe.
Ich kann nämlich sagen, dass diese Räume hier EU und ES.
Das sind die beiden Räume, die dann das Verhalten
jedes Punktes in entweder positiver oder negative Zeitrichtung bestimmen.
Und wir haben diese schöne Aussage, dass wir dann
genau sagen können, was passiert.
Nämlich... Nämlich, wir haben einen folgenden schönen Fall.
Ich mache einmal eine Definition, weil die so voll
häufig vorkommen wird.
Definition. Die Matrix
Ah, heißt. Hyperbolisch. Und diese Defension von Hyperbolisch
zieht sich explizit auf Abbildung für Flüsse,
weil wir dürfen so ein wenig anders sein.
Also für die Abbildung. Nerv. Blix wird abgebildet auf A
mal X. Wenn A, kein Also wenn das Spektrum,
die Menge der Eigenwerte, nichts enthält, was vom Betrag her gleich eins ist.
Vom Betrag, das ist der komplexe Betrag als Vederelle,
noch komplexe Eigenwerte mit Betrag eins, sollen vorhanden sein.
Warum ist diese Fallen interessant? Diese Falle ist interessant,
weil wir in dem Fall besonders leicht sagen können,
was passiert, nämlich Konvergenz gegen Null oder unendlich
tut er mal ein
Das ist sogar so beim Matrizen, bei richtig linearen Abbildungen,
so wie hier, können wir auch bei linearen 1 immer sagen, was passiert.
Der ist nämlich ziemlich einfach, aber im folgenden Studierenden wir System,
die nicht linear sind, die also durch Matrizen nur approximiert werden.
Und da können wir dann immer noch für den Fall,
dass sie ungefähr, so wie Matrizen sind,
die hypolisch sind, immer noch genau sagen,
was passiert für C gegen Plus minus unendlich,
wenn für Matrizen deren Eigenwertbetrag 1 haben können.
Wir wissen dann nicht mehr,
ob das Licht im Linearsystem sich so ähnlich hält oder nicht.
Okay, also was wir also eben schon wissen,
ist, obwohl ich die Systeme,
ist gilt fangender Satz
Wenn, ab. Pipapolisch ist. Für. Ja.
Ex-Abmüll auf Armer X. Dann. Ist F eingeschränkt
auf die Menge ES auf die stabile Menge.
Eine Kontraktion
Eine lindere Kontraktion auf einem linearen Unterraum des RON.
Und damit gilt per Kontraktionsabbildungsprinzip bei weihnachtlichem Fixpunktsatz, das FAN-Fixpunkt hat.
Das wissen wir zum Beispiel und der Null ist sowieso ein Fixpunkt.
Aber dieses Fixpunkt ist doch auch anziehend. Wir wissen also
alles kontrolliert gegen Null. Und für alle X-Elements,
ES gilt, Erfuch, N von X konvergiert,
gegen Null für N
gegen endlich
Und zwar für jeden Punkt in der stabilen Menge.
Ja, wenn einem virtierbar ist,
muss im Allgemeinen nicht der Fall sein, denke ich,
das Gegenwärtige auch für instabil und negative Zeiten.
Also BNA
Also wenn ein Vertierbares dann gilt, wenn wir rückwärts gehen,
wenn wir also n gegen minus und endlich gehen lassen.
Für einen beliebenen Punkt, der nicht der Nullpunkt ist.
Für alle. X-Element. ES ohne die Menge. Null.
Dann geht die Norm gegen unendlich. Warum ist das so,
wenn du enorm nicht gegen endlich gehen würdest,
wenn sie beschränkt sein würden, ich kann,
würden mich vorwärtige Interaktionen, die sie verscheinern können,
und das würde dann schnellst am Widerspruch.
Diese Aussage hier, mit der haben sie
sich eine Entübung schon befasst und die ich vorgefahren habe,
auch sehr gut gelöst
Wo ich nenne, du hast nicht nur extra noch beweisen,
aber das ist dann eine wahre Aussage.
Es gilt sogar noch mehr. Es gilt sogar.
Ben. Wenn wir den maximalen Eigenwert von der Matrix A
eingeschenkt auf diese Menge ES nehmen.
Alle einen Werte dort sind ja kleine Eins.
Da ist das Maximum immer noch kleine Eins.
Also wenn dies Jahr ein Lamm da mit Landemtrag.
Kleine Eins
Ja. Eigenwert. Von A, ein Geschenk auf ES ist.
Dann gilt, dass die ab und im Wesentlichen,
bis auf kleine Störungen, eine Kontraktion mit konstante Lander ist.
Oder genau genommen für jede Kontraktionskonstante, die ein wenig schlechter ist als Lander.
Finden wir einen enorm bezüglich der Abbildung bezüglich welcher
die Abbildung über eine Kontraktion ist
Dann gibt es... Für alle. Delta größer Null,
eine... Auf dem RON, oder es reicht sogar auf
diesem Raum hier, denn es ist ein linearer Unterraum.
Also ich sage mal, eine Norm auf diesem Raum hier.
Sie können diesen Namen
aber auch ausweiten
Auf dem ES, sodass... Deshalb,
wenn wir diesen Norm mit Norm, Strich oder so bezeichnen,
dann gilt, dass diese Abbildung hier... eingeschränkt auf ES.
Eine... Kontraktion. Mit Kontraktionskonstant Lamda wird plus gelte vielleicht
Musik Okay. Und den beweist denn,
das meiste haben sie in den Übungen schon selbst gemacht.
Wir haben nämlich diesen Teil hier schon gezeigt.
Genau genommen gilt, also ich muss nur noch zeigen,
dass sie auch an diesem Betrag Lamda Delta nahe herankommen.
Und der Beweis war der Device Skizz,
der geht im Wesentlichen folgt
Das geht's, ne? Warum ist das so? Also,
wenn wir jetzt die Matrix A ansehen, wenn wir eine Matrix haben,
deren linearer Teil, eigenwerter Betrag, kleine Einzahlt.
Dann müssen wir uns in der Jordan-Normalform mit folgenden zwei oder drei Blöcken herumschlagen.
Ersten solchen, die nur Land auf der Dionalen haben oder kleinere Zahlen.
Die stören uns gar nicht. Dann gibt es Jordan-Blöcke,
die landen auf der Diagonalen haben und Einsen auf der Nebendiagonalen,
die müssen wir uns kümmern,
denn bei denen wird die Normen durch die Einsen vielleicht ein wenig größer.
Und dann müssen wir uns auch um Rotationsmatrizen kümmern,
die sozusagen Lamm da außen vor haben und danach noch
ein wenig rotiere
Also der Beweis geht befolgt. Die Matrix. Können wir
diesen Matus hier nehmen? Lamda. Lamda. 1. 1.
Also die magst du aus Lamdas und Einsen besteht.
Das hier ist ein Jordan-Blog, dass er das,
was wir gerade vereinfachen wollen. Dies können wir überhaupt nicht vereinfachen,
indem wir die Lamdas von links und rechts multiplizieren mit der
Diagonalen Matrix 1 Delta, Delta Quadrat und so weiter.
Und wir könnten sie auf die sozusagen andere Jordan normal vonbringen,
wo wir Stadt 1 immer ein Delta steht
Das können Sie durch Nachrichten prüfen. Lässt sich durch.
Mit so einer Matrix, die nur auf der digionalen Dinge stehen hat.
Eins, Delta, Delta, Quadrat und so weiter.
Umwandeln in Eben, genau, dieselbe Matrix,
dass alle einsen durch Deltas ersetzt sind.
Matrix. Okay, das ist jetzt fast dieselbe Matrix,
die einzelnen durch Datas ersetzt und werden deswegen bei deinen Normen
folgenden etwas weniger stören
Denn wenn wir uns die Norm ansehen von einem Vektor,
den wir mit dieser Matrix multiplizieren, was bekommen wir dann?
Jede Komponente wird mit Lamdame multipliziert, außer das sind
jede Komponente, nochmal in so ein Delta-Tam, dazukommt.
Ja, das ist noch nicht der einzige Journal-Blog, den wir uns kümmern müssen.
Es gibt noch Jordan und Blogs vom Typ,
landen da mal eine Rotationsmatrix, also Kosnuss, Sinus,
Minus, Sinus, Kosnuss.
Und bei denen gilt auch, was wir, was wir schon wissen.
Also es gilt, Dann. In. Dieser.
Was? Was meine ich mit in diese Basis?
Wir haben gerade sozusagen eine Ähnlichkeitstransformation durchgeführt. Das heißt,
wir haben die Basis, in die wir uns bewegen, geändert.
Für manche Rektoren verkürzt, eine verlängert, sonst gar nicht viel gemacht.
Und bei so einer Ähnlichkeitstransformation kann ich natürlich den Nomen,
sich diese neuen mal berechnen. Und dann gilt,
dass die Nomen von A mal V. Force ist ein Rektor
mit Komponenten V1 bis VN
Und der wird multipliziert mit, entweder Johann Blacken von dieser Gestalt,
sodass Lamdas und andere Dinge von Betrag Kleinheitslampe auf der Editionalen stehen oder mit Rotationsmatrizen,
die dann die Normen nicht viel ändern.
Also das hier ist gleich so eine Matrix, die entweder
die hier Johann am Black enthält, J1 bis JK.
Mal V. Und diese J1 und bis JK sind entweder von
diesem Typ oder vom Rotationstyp
Also, ja, und bei den Rotationstypen gilt etwas ähnliches
wie hier. Hier habe ich eine Matrix vereinfacht.
Das ist dank geil. Das ist dann,
wenn wir das mit einer Formel beziehen, kommt sozusagen raus,
statt in echten Eigenwerten, die auf der Regionale stehen.
Bei JK steht irgendein lamnder Car und lamder Card-Betrag kleiner als Lander,
weil landet ja betragsmäßig größt eigenwert war.
Kommt dann heraus, dass nach einer etwas komplizierteren Rechnung,
das ist gleich,
Kleine gleich
Lamda-Betrag. Mal nach dem V. Plus Delta. Und an
dieser Stelle muss man genau genau noch ein wenig rechnen,
weil ich nämlich diesen Schritt hier,
den müssen sie auch noch für die Rotationsmatrizen machen,
wo sie auf der sozusagen diagonalen Rotationsmatrizen von 2 Kreuz 2
haben und auf der nebendiagonalen Dimatics 01 minus 1.0.
Die können sie alles auch mit Data modiplizieren
und kommen dann auf dasselbe
Also an dieser Stelle ist noch ein wenig Rechnung erforderlich.
Möglich. So, das Ende vom Beweis oder von der Beweisskizze.
Und wenn sie das alles so richtig penibel aufschreiben würden,
würden sie entweder hier noch ein paar Zwischenschritte einfügen oder,
und, dass diese Normalformen auch noch für die Matratzen mit komplexen Beträgen hinscheiden.
Sie dann ist der genau dasselbe Argument,
aber man muss zwar mal hinschreiben,
weil es formal zwei verschiedene Matrizen sind
Okay, was haben wir jetzt eigentlich gelernt, was nämlich schon vorher wussten?
Dass das Leben auf stabilen Unterräumen besonders leicht ist.
Da geht es besonders angenehm zu. Auf Anthony Unterräumen geht
ganz analog. Okay, das ist das Verhalten auf stabilen Unterräumen.
Jetzt habe ich immer über Abbildung gesprochen und wir hatten ja
am Anfang der Folge sind viel über Flüsse geredet,
dürfen Zahlen gleich am Flüsseln.
Deswegen tun wir dasselbe nochmal. Wir untersuchen also nochmal das
lineare System für Flüsse. Also ich gebe in eine differenzielle Gleichung,
die durch einen Markt gegeben ist und dann sehen wir,
was da rauskommt. Und in der Tat ist es so,
wenn wir schon wissen, was für Abbildungen herauskommt,
dann sind wir mit differenziellen Gleichungen im Handumdrehen fertig.
Das wird uns extrem leicht fallen
Also in wenigen Minuten werden wir die gesamten Theorie von linearen
differenzialen Gleichungen, auf die von Abbildungen zurückführen können.
Umgekehrt über uns auch. Okay. Also dann Verhalten vorhanden
. Von Linearen. Differenzialengleichungen
Führst du noch? Ja, und was will ich jetzt studieren?
Jetzt fand ich das System studieren, dass wir Folgendes haben.
DU nach DT. Gleich. A, mal U. Wir wissen schon,
das Verhalten eines kontinuierlichen Systems ist nicht,
dass er dieses Verhalten des Redensystems,
wenn du die Martics A zum Beispiel Eigenwärter hast,
die allesamt zwischen 0 und 1 liegen,
dann wäre dies eine Kontra hier in der Abbildung,
aber der Fluss hat nicht eigentlich auf das alles gegen null geht,
sondern weil die Martics News halt positiv wäre,
würden Orbits
exponentiell gegen unendlich gehen
Erstmal ein kleiner Beispielfall zur Illustration dieses Unterschieds, der ist auch ganz leicht.
Also vorher ist Bemerkung. Die Bemerkungseinnahme lag darüber,
wie wir von einem System von Zeit 1 zum System
mit kontinuierlicher Zeit kommen und zurück.
Gibt es eine Frage dazu? Ich wollte nur fragen,
was diese Kontraktionen gewinnen, wurden eingeboten.
Also die Vergangenheit sollen, dass die alten Rolle weniger anbringen darf.
Ja, gute Frage. Ich kann mich gerade fragen,
was passiert, wenn wir nicht auf dem Eigenräumen sind,
auf den eigenen Räumen,
mit Betrag Klein 1,
haben wir Kontraktionen
Ich fand eventuell den eher auch ähnlich auf. Das ist korrekt.
Es ist so, entweder haben wir eine hypopolische Matrix,
das heißt, es gibt keine Eigenwerte von Betrag gleich eins.
Und in dem Fall wird er auch einen aufgeschwand von den
zwei Räumen stabiler und ähnlichem wieder unterraumen.
Das ist der angenehme Fall. Also wenn wir keine Eigenwerte von Betrag eins haben,
dann wird der gesamte Raum aufgespannt von der Summe, diese beiden stabilen Enzybilen.
Wenn wir auch noch Eigenwerte vom Betrag eins haben,
also der nicht hypopolische Fall,
dann wird er auch einen aufgespannt von der stabilen,
der instabilen und einer dritten Menge,
die wir noch nicht genau untersucht haben.
Und diese beiden Fälle gibt es immer
zu unterscheiden
Und die auch sagen, hier waren jetzt für die angenehmen Anfälle,
dass wir entweder den hypolischen Fall haben oder nur kontrollierende Eigenwerte oder so etwas.
Wann wird das die Frage damit beantwortet? Ja,
sind Sie sicher, dass der irgendwo eine Kondition von einer
holen darf? Ja, es gibt nämlich folgende Aussage,
wenn Sie eine Nachtricks haben im RON, also die folgende Kamera,
wird er ja auch immer aufgespannt von all diesen eigenen Räumen.
Alles ist so, wenn Sie einen RON,
einen endmensionalen Raum haben, dann hat das Charakter charakteristische Polynom,
das ist ein Polynom vom Grad N.
Das hat zumindest im Komplexen N-0-Stellen viel Freiheit gefällt.
Es wird immer genau Enden neu stellen, wenn sie mit vielfach erzählen.
Und diese null Stellen sind allesamt, die spannend allesamt,
einen Eigenraum auf. Beziehungsweise wenn sie komplex fundiert sind,
dann spannen sie so eine Art zwei Allgemeinheiten eingeräumt,
E-Lamda, Lammde, queer auf.
Und weil es immer genau in null Stellen gibt,
mit Vielfachheit gezählt, ist die Summe der Eigenräume immer genau der RRN.
Das ist so ein Satz aus Linderalg war.
Das muss der Eigenraum nicht unterlegen. Ja, genau,
also mit Eigenräumen meine ich diese verallgemeinernen Eigenräume.
Also das, was beim Jordan-Blog so herauskommt.
Wenn es also so einen Jordan-Blog haben wie hier,
landet das off der Diagonalen und einen sind auf der Nebendiagnalen
oder Datas
Dann ist das nicht, sind das nicht echte sozusagen Eigenrichtungen,
sondern es sind so, naja, so eine schlechte Approximation an diese Dinge.
Haupt- und Nebenräume, je nachdem, wie man die Intention verwendet.
Aber all die ist hier, diesmal bezeichne ich mal mit dem Verallgemeinerten Eigenraum, sozusagen.
Und das ist dann das, was ich meine.
Und diese Dinge hier, solche Dinge,
wie die hier hier stehen und dasselbe mit Rotationsmatutzen hier und da, diesesamt spannen dann den R-O-N auf.
Ja, genau, jetzt ist es mal das verlogische,
auch nicht die Orche geworden. Was sagst du,
die Gruppe, Bei der Johanna Normalform ist es so,
es gibt in meiner Johanna Normalform und sie können jede Marke schreiben,
so wie hier, als jede Marke ist im RON,
können sie schreiben als eine Matrix, die diese Form hat,
wo auf der diagonalen kleineren Matrizen stehen und auf der neben der genauen nichts.
Und diese kleineren Matrizen, das sind endlich viele, sind so,
dass der mit Summe gerade alles aufspannt und auf jeder diese
kleinen Matrizen steht entweder bei reellen Eigenwerten so eine Struktur wie hier.
Wir haben das auf der Hauptdiagonalen, reelle Zahlen, nicht komplexe.
Und einsen auf der neben der gnalen oder was
sie wollen, jede andere Zahl.
Stell einsen tut es auch
Sowie Rotationsmatrizen, wo hier Landor steht,
mal kleinen Rotationsmatrizen mit dem Kosenussindustrie-ministeriösen Kosenuss, dürfte er nebendignalen,
kleine Matrizen mit auch solchen Dingen wie 0-1,
minus 1-0.
Und dieser Typ und der andere Typ Rotation, die Spannende,
der sagt alles offen, die Jörn normal vorm,
da ist er noch für jede Maße gültig.
Also jede Matrix lässt sich in einer Jordan-Malform schreiben. Wobei,
wenn die Maßen nicht invertierbar ist,
das kommt jetzt nachher noch an,
dann sind eben manche von diesen Blöcken zum Beispiel 0,
das kann vorkommen
Es kann natürlich vorkommen, dass manche von diesen Blöcken klein sind,
dass sie also keine Einsen brauchen,
weil diesen Matus Hirn waren ein Eins, Kreuz 1,
Matox ist, dann brauchen sie die Nebendiagnale gar nicht.
Sowas kann vorkommen. Aber jede Matrix hat eine Äquivalenzklasse,
per Konnigation, dieses Typs. Und die bekommen sie,
wie alt ist so Standardverfahren, dem sie Zeilen und Spalten vertauschen.
Zum Beispiel kommen sie überall dahin und sonstige Standeverfahren gibt es dazu.
Ja, gut, das ist vor allem,
das ist so eine Art Standardthema aus der Lena Alkohol.
Okay, jetzt stellen wir uns auf den Standpunkt,
wir wissen schon, wie sich Abbildung verhalten,
abgelenkt im RON und studieren jetzt,
flüstern wir auch ein
Dass hier dieser lineare defen Zeilchen produziert einen Fluss,
weil, ja, das müssen wir gleich noch sehen,
jede Lösung lässt sich auf ganz fortsetzen.
Lösen werden niemals explodieren oder sollenst was tun. Zunächst eine Bemerkung dazu,
und zwar die Mörken ist über die Unterschiede und Gemeinsamkeiten
zwischen dem hier und dem, was Lösungen wissen.
X geht nach Amal X. Wenn ich diese dürfen zeillich betrachte,
also die Differenzialgleichung, DGL, wieder von Zahlgleichung,
U-Punktgleich,
Lamdao,
Ja, deren Lösung, die kennen wir natürlich zur Genüge,
dass wir die einfachste dürfen zeichnen,
die es überhaupt gibt, aus vielleicht der nullgleichen.
Die Lösung ist einfach eh hochlammnder Tee.
Lösungen. UVNT. Gleich zehnmal Ejoch Lamda Tee.
Okay, das ist jetzt nichts Neues. Und für beliebe
Wert von C kann man auch beliebte Anfangsjahre damit produzieren.
Was ich Ihnen sagen will, ist,
was passiert jetzt,
wenn Sie UVN 1 berechnen
Ich sage ihnen jetzt, die Lösung zu geben,
ich sage ihnen, was das zäh ist, das Land da sowieso.
Und sie wollen jetzt U von 1 berechnen. Werden Sie sagen,
ja, das ist ja eine leichte Sache der Welt.
U von 1 ist einfach die Konstante, der Anfangswert.
Also die zäh kann ich Ihnen auch so sagen,
mit zähgleich U von 0. Das ist sozusagen der Anfangswert,
wenn wir bei 10 T gleich 0 loslaufen.
Wenn ich jetzt U von 1 berechnen will,
dann mulpritiere ich und nicht mit Lambla, sondern mit E-Hochlampler.
Gut, elementar aus Fakten, ja. Das heißt,
wenn Sie schon wissen, wie sich die Matrix A,
mit zum Beispiel Lamblas auf der diagonalen Welt,
dann wird das lineare System U.gleich Locklander, sich genauso verhalten.
Aber sie müssen einen Logerhythmus nehmen und nicht das Lamder selbst.
Also ist die Abbildung. Ufer 0 wird abgebildet auf Ufer
1. Das hier nennen wir die Zeit-1-Abbildung,
denn hier wird ein Anfangsrat abgebildet auf das,
was zur Zeit 1 herauskommt.
Beziehungsweise Uf
Wird abgebildet auf Vieh 1 von U0. Beim Fluss kommen ja hier
ein Zeitparameter einsetzen, insbesondere kann ich auch einen sein setzen.
Das hier nennt sich 1 Abbildung.
Voll. Vieh. Also diese Abbildung hier. Ja,
die Abbildung ist jetzt von der Matrix U,
dieselbe wie von der Linner, vom Linneren System,
Eof Lamda.
Der Offenzialgleichung
U.gleich. Lamda U. Die Abbildung. U.0 wird abgebildet auf Ehoch-Lamda
. Mal. U.0. Das heißt, wir haben ein kontinuierliches
System in einem Diskretesystem verwandelt, mit leicht verwandeltem Lamda.
Nämlich das Lande war vorher in eine Zahl und jetzt ist es
eh auch dieselbe Zahl. Okay, oder analog gesprochen,
wenn ich hier statt Lamda Logorithmus von My geschrieben hätte,
wenn wir das Exponentielle gerade das My
Also es gibt einen Zusammenhang zwischen diesen Systemen,
von diesem Typen, System, von diesem Typ,
nämlich, dass einfach die Matrix noch einmal exponentiert wird.
Genau, nochmal hier in der Reelle Zahl exponentiert.
Das kann man auch mit Matutzen machen.
Also, ja
Vielen Dank für das Wort Lösung. Ich glaube, der Rest kommt
. Also es ist die Abwendung, Uwe wird abgebildet,
also U0 wird aktuell da auf U von 1,
beziehungsweise Uhr und Null, da wird auf 4-1 von UNOL.
Okay, das ist jetzt eine Abbildung. Wenn vielen Fluss ist,
dann ist diese eine Abbildung. Und diese Abbildung, der Defenzialgleichung,
das heißt, wenn ich mit der Defenziallichen U-Punktgleichlamde Uhr anfange,
dann definiere ich eine Abbildung, Ufer und Neu wird abgebildet auf UFN 1.
Diese Abbildung kann ich jetzt zum Beispiel F nennen.
Und ich behaupte, dass die Abbildung F ist gleich
die Abbildung, U9 wird abgebildet auf Eolamda mal
Gutes Fragen. Ja,
du sagst so ein bisschen mit, verkürzt,
aber ich glaube
völlig korrekter Grammatik geschrieben
Okay, jetzt wollen wir mal kurz ein paar Beispiele studieren von Systemen.
Zum Beispiel auch eins oder auch zwei von linearen differenziellen Gleichungen.
Und die werden genauso aussehen wie die Systeme,
die wir einfach schön kennen.
Also Spezialfälle.
Auch N. Mit ein Klein
Also den N gleich 1, den hatten wir bei Abbildung direkt abgehandelt.
Der war ganz simpel und bei den Differenzierreichen wird der First
noch simpler sein, weil dann nicht viel passieren kann.
Wir haben also ein System, das entweder,
also die Nullpunkte ist immer, der Nullpunkt ist immer,
ein Fixpunkt, das wissen wir schon jetzt.
Und hier ist die Null. Entweder haben wir Lamda,
ja was eigentlich? Lamda kleiner Null?
Ich habe es mal hier hin
Oder wir haben Lamda, größer null. Und da gibt es noch den Fall,
ja, Lamde gleich null, sozusagen als Sozialfall.
So, oder so habe ich dann eher auch eins mit
dem einzigen Fix.0. Und habe je nachdem, was passiert,
entweder Kontraktionen oder Expansionen, das heißt,
entweder geht jedes Orbit, wenn Lamda kleiner null ist,
dann habe ich die Lösung, eh auch Lamda Tee,
das heißt, alles konvegiert gegen null.
Jedes Orbit läuft hier hinein. Jedes Orbit läuft aus
der neuen heraus. Oder jeder Punkt bleibt da,
wo er eben ist
Das ist jetzt nicht ein Orbertier, dies gelbe,
sondern das sind einen ganzen Haufen Fixpunkte. Gut,
das ist ein simples System und ich schreibe es nur deswegen nochmal hin,
weil wir uns dann erinnern können,
dass genau dasselbe Bild ja schon mal da stand,
außer dass bei Abbildung eben da stand, Lamblerbetrag,
Kleine 1, hilft dir da Lambler, kleiner Null.
Also das heißt, wir haben sozusagen das Exponentialbild bei
den Abbildungen gesehen, das Exozialbild von negativen Zahlen,
das sind natürlich Zahlen im Intervallen 0 bis 1.
Das Ex- und Initialabbildung von positiven Zahlen,
das sind Zahlen im Intervall 1 bis unendlich und bei Abbildung
gab es auch noch negative Abzahlen
Und ansonsten passiert nicht besonders viel. Dann endgleich zwei.
Da bekommen wir ähnliche Bilder wie vorhin. Vielleicht so ein
bisschen leichter noch, weil wir keine Spiegelungen mehr drin haben.
Da haben wir die möglichen Fälle,
dass wir die Matrix haben, die kann diese Gestalt haben.
Lander, null, null Mühe. Das ist eine
mögliche Form einer Matrix immer auch zwei. Oder sie kann
eine Rotationsmatrix sein und dann müssen wir uns was anderes überlegen.
Also wir haben entweder in diesem Fall und dann sieht es
so aus, je nachdem,
ob die Vorzeichen ja gleich oder verschieden sind
Also, lamm da mal Größe und Null,
wenn sie verschiedene Zahlen haben, haben sie natürlich automatisch reelle Zahlen,
sie können nicht verschieden zahlen und nicht reell haben.
Sie haben entweder diesen Fall, dass sie zwei Eigenrichtungen haben und ja,
Null ist fix und wie eh und je.
Und die beiden Richtungen kommen dann so herein
Also die einen beiden eigenen Richtungen,
in diesem Fall sind es gerade die X und Y-Achse,
sehen so aus wie Thematik.
Oder wenn Lamdamui Lamda null, null Müh. Lamda,
wenn wir verschiedenes Vorzeichen haben. Also die ist ja kleiner,
null ist, dann haben sie ein System, das sieht so aus.
Das eine ist expandierendes, eine kontrollierend. Sie haben sich
immer noch diesen Fixpunkt. Und sie haben Richtung,
die entweder anziehen und abstoßend sind. Also das eine wäre jetzt,
dass er erst von da oben, das ist meinetwegen die Diese Richtung.
Und sie haben eine abstoßende Richtung, dass meinetwegen diese.
Und allgemein Oravitz gehen dann eben so. Das heißt,
diese beiden Welten haben wir gesehen, genau dasselbe wie Diagramm,
sogar exakt dasselbe Diagramm,
stand bei den Abbildungen
schon mal an der Tafel
Außer mit der kleinen Änderung, da ist diese Kurven,
sind jetzt echte Lösungskurven. Vorhin waren es nur sozusagen Kurven,
die man durch die Lösung durchlegen konnte.
Jetzt sind das echte Lösungskurven. Jede von diesen Kurven
lief das Falten von dem, was passiert.
Hier oben habe ich keine Pfeile dran gemalt,
weil dann kann ich das Diagramm positiv und negativ verwenden,
je nachdem, ob beide positiv oder beide negativ sind.
Und hier ist immer der eine, den positiven,
schreibe ich auf die X-Achse und negative auf die Opse und Achse.
Das waren Fälle, die vorkommen konnten. Dann gab es noch
den Fall, dass wir ein Lamm der Gleichmühe hatten.
Das kann natürlich auch vorkommen. Also hier hatte ich
noch genau so einen kleingedruckten Lamm da.
Ungleich Mühe
Benutzt, wenn wir nämlich so etwas haben,
Lamda 0-0 Lamda,
also das Mühe im Feld und ich habe wieder Lamda,
da hätte ich ein Verhalten, dass er so aus,
dass wir einen Stern haben und über eineselben Richtung auf den Null zulaufen.
Ja, dann gibt es noch den Fall, dass wir eine Jordan-Form haben,
sodass wir eine Eins auf den Lebendirk nallen haben.
Lamda. Und dass ihr entspricht dann, sag ich mal,
eine Unterteilung zwischen diesen Diagonnen Das entspricht in einem System,
wo wir einen echten Eigenraum haben, einen echten eigenen Wert.
Und einen Unechten. Und Lösungen sehen dann allesamt so aus. Okay,
bleibt noch der Fall, mit komplexen Eigenwerken zu betrachten,
komplexe Eigenvektoren, dann haben wir immer Betrag von irgendetwas,
mal etwa eine Mutationsmatrix.
Und dann hätten wir in diesem Fall Roman. Tja,
eine Maß zu diesem Tipp. Ja, da gibt es wieder verschiedene Fälle,
nämlich das Ruhe kann positiv oder negativ sein,
aber so oder so sieht das Bild ungefähr ähnlich aus.
Nämlich, wir haben hier unsere Kondatenachsen,
keine eigene Richtung, immer diesen Fixpunkt bei der Null
Und dann die Spiralen, die entweder zu Null hineingehen oder
da herauskommen. Ja, und je nachdem,
ob die so fünf Betrag kleiner oder größer als eins ist,
geht es noch innen oder nach außen in diesem Diagramm.
Und das sind so die möglichen Fälle, die eben auch zwei vorkommen kann.
Denn sie können entweder verschiedene oder gleiche Eigenwärter haben,
wenn sie gleich sind, haben sie diesen Fall.
Wenn sie verschieden sind, haben sie einen von diesen beiden Fällen.
Und dann gibt es noch so ein paar Fälle,
die ich nicht explizit hingezeichnet habe.
Zum Beispiel kann die Matis die Null-Matik sein.
Jede Punkt ist ein Fixpunkt
Die Marke kann die Null-Matik sein oder kann Eigeneigenwert Null
haben und den anderen Eigenwert.
Und gleich Null haben, dass wir hier nicht abgedeckt.
Es gibt noch so ein paar Spezialfälle, also hier Lamda,
Ohrenbetrag. Und gleich eins. Ich sage mal,
noch ein paar Spezialfälle hin, wo mal.
Oder eins.
Oder, naja
Also zum Beispiel. Zum Beispiel Lisa Maris hier,
das ist sicher ein Spital von dem,
das ist einer der wichtigsten Spezialfälle, dann haben wir ein System,
das sieht so aus in diesem Natenkreuz,
rotiert alles um die neu herum.
Ja, das ist fix. Und wir haben keine Spirale,
sondern einfach Kreise, die und jede Bahn ist periodisch.
Und dann gibt es noch den Spezialfall,
dass wir eine Marke von diesem Form
haben,
Null. Das ist formal noch nicht in dem ebengesagten Enthalten.
Und da ist der dann auch so ein wenig verschieden aus.
Nämlich, dass wenn wir die eigene Richtung Lambla zum Beispiel hier haben.
Und dann haben wir in der anderen Richtung nichts.
Und jedes Orbit wird dann einfach so auf die Null
zulaufen oder von den Null weglaufen.
Und ich mache mir da ein Beispiel mit Lambla.
Kleiner Null, da sieht es so aus.
Zum Beispiel
Landa. Kleiner Noll. Ich glaube, der Größere ist
dasselbe Diagramm mit allen Pfeilen in der anderen Richtung.
Und alle Punkte, die hier sind, sind allesamt Fixpunkte.
Okay, damit haben wir die Klassifizierung sozusagen für endlich zwei
auch schon erledigt. Und es kommt raus, genau dieselben
Diagramme mit den genau und demselben Aussehen, wie für Abbildung.
Und der einzige Unterschied ist, dass da, wo ihr,
also da, wo jetzt Betrag kleiner oder größer eins steht,
ich dann vor dem Betrag kleiner oder größer
Also wobei Apple keine kleinere Größe 1 steht, steht bei dürfen zahlgleichen
Realteile ist positiv oder negativ oder neu. Und sonst passiert da
nicht viel. Okay. Fragen dazu, soweit alles klar.
Wir können uns noch schnell den Fall endgleich drei zuwenden.
Das ist etwas schwieriger. Genau zu sehen,
was passiert
Musik Ja, die von den Mateuren und Dimensionen dann so langsam schwierig
zu zeichnen, besonders weil die Tafel nur zweidimensional ist.
Ich habe keine drei und vierdimensionale bekommen für diese Vorlesung.
Grob gesagt, für engleich drei bekommt er eine Matrix,
wo sie mindestens einen reellen Eigenwert haben,
vielleicht noch zwei kondidierte oder auch in drei verschiedene Reelle-Einwerte.
Und da kommt typischerweise so etwas heraus. Also Fallen 3,
N gleich 3. Also genau, dann wissen die auch schon,
was passiert und sie können das sozusagen verallgemeinern.
Wenn sie zum Beispiel ein Maß von diesem Typ haben,
Eine Spirale, die nach innen geht und noch einen weiteren eigenweitere Alice und positiv,
dann wissen sie schon, ja,
da gibt es noch eine weitere Richtung,
da geht es einfach wieder nach außen.
Und wie sie Orbits dann aussehen, das können sie sich,
ja, können sie sich das vorstellen. Dann wissen sie zumindest,
dass die Orbits in allen Projektionen so und in anderen Positionen
anders sich verhalten und können das gesamte Verhalten auch ausableiten.
Also zum Beispiel, wenn sie eine Matrix von diesem Typ haben,
Lamda, Müh und Nü, der nächste Gerüchte Buchstabe.
Hätten sie ein Bild, das einen von diesen beiden
entspricht und sie hatten in eine dritte Richtung,
die vielleicht schneller oder langsamer ist, als die beiden davor.
Und wenn sie zum Beispiel sagen, alle drei sind vom selben Vorzeichen,
Landa, Mühe und Mü, sind allesamt.
Kleine Eins, noch besser kleiner Null. Nennen sie ein System,
wo sie, wenn sie diese drei Zahlen haben und nehmen sie ein,
die wissen auch schon mal, in welcher Richtung die kleiner Null sind,
nehmen wir an,
ein Nüver am nächsten
An Null heran
Mühen wäre kleiner und lamm dann noch kleiner. Und ich
sage jetzt, dies Jahr sind die eigenen Räume zu Lamda.
Also zu e. Müh. Und zu e, nü.
Wie wollen dann ein typisches Orbit von diesem System aussehen?
Dann würden sie sagen, naja gut, ich schaue mir
das an. Alle drei Komponenten, die X1 X2,
die X3-Komponente, die konvergieren gegen null.
Die Lamda komplett wird am schnellsten konvergieren.
Die am zweitschnellsten und die am drittschnellsten
Deswegen wird das Orbit so sein. Das finde ich eben
in einem bestimmten Punkt anfange. Wir müssen nicht jetzt vorstellen,
dass ein Punkt, den ich auf die Zahlen zeichne,
ein dreidimensionales Objekt wäre, dann wird dieser Punkt in der ersten,
also als allererstes, in dieser Richtung gegen Null gehen.
Da wird also sich sozusagen der E-Mü-E-Nü-Ebene annähern und wird dann
in der E-Mü-E-Nü-Ebene erstmal in der Mühe-Ebene gegen Null gehen. Das heißt,
wenn ich über dieser Punkt jetzt hier diese Kondinaten hatte,
von hier kommt und hier und hier sozusagen projiziert wird auf die beiden Achsen und die zweitminalen Ebenen,
dann wird das Verhalten so sein, dass in der Emy-Emy-Ebene,
also den beiden größeren Werten, haben sie ein Intergramm,
das genauso aus wie der Ofen.
Nämlich in der Emy-Emy-Ebene haben sie zuerst Konvergenz in der schnelleren Richtung.
Das ist gerade diese hier. Also alles kombiniert erstmal
in diese Rechnung gegen Null danach in diese Richtung.
Also sie haben sozusagen dieses Bild in dieser Ebene
Das ist nur die zweite monale Ebene, die aufgespannt wird durch Emy und Eny.
Und wenn Sie noch einen weiteren Punkt dazunehmen wollen,
der nicht in diese Ebene liegt oder weitere Punkte,
dann sehen Sie, dann würden Sie sehen,
diese Punkte, komm, wir gehen erstmal hier hinein.
Und nähern sich dann solchen Kurven an. So
wie deine typische Kurve aussehen, dass die hier reingeht.
Und dann so etwas macht. Ja,
wenn ich jetzt eine holographische Tafel hätte,
dann wäre das gleich
noch viel besser
Aber sie könnte sich vielleicht auch schon vorstellen,
was so gemeint wird. Und wenn ich Punkte habe,
die hier von hier von links kommen,
dann würden sich erstmal diese Ebene annähern.
Und dann in der Nähe-Ebene so langsam abbiegen und diesen Kurven hier erfolgen.
Das passiert dann. Oder wenn ich nicht drei verschiedene Relleingwerte hatte,
sondern zum Beispiel so etwas wie hier.
Dass wir einen reellen Angwart Lamde haben,
0-
Und hier dann eine Rotationsmatrix von zum Beispiel diesem Typ.
Dann kämen wir heraus, dass wir,
wir hatten ja in der Uktionsmatrix ein Verhältnis aussieht wie hier.
Das kann, naja, vielleicht sollte ich noch ein Ruhe davor schreiben.
Rohmal. Und dann kommt es darauf an,
wie die Vorzeichen von Lamb and Andro sind, was da so herauskommt.
Zum Beispiel, wenn die beide kontrollieren,
Da kommt es immer noch darauf an, welche Stärker kontrolliert.
Und sie haben dann ein Verhalten, wo sie in der
einen Ebene in dieser X-2X3-Ebene hätten sie dieses Bild, was da rechts ist.
Und ansonsten konvergieren sie da hinein oder da heraus.
Also wenn sie zum Beispiel so etwas hätten wie Lamda,
mal hohe Kleider 1. Hätten sie so ein Bild,
das hier in dieser Ebene, konvergieren sie zwar auf einen Fixpunkt zu.
Also das wäre jetzt die X-2-X3-Ebene. Und wenn sie in
der Ebene sind, dann konvergieren sie so
In diesen Punkt hinein. Aber wenn sie nicht eine Ebene sind,
dann hätten sie, also sagen wir mal hier, Lamda, größer.
Kleiner neu, wollte ich schreiben. Größer neuer Ruhe.
Kleiner Null. Oder als Beispiel. Ansonsten würden sie
die Pfeile umdrehen. Wenn sie nicht eine Ebene sind,
kommen, wir gehen sie plötzlich heraus,
nämlich so
Und das gesamte Verhalten des Orbits ist dann so,
dass wenn sie es zusammensetzen und dann mit einem beliebigen Punkt sich draußen,
der nicht mehr in dieser Ebene liegt,
dann würden sie vielleicht erstmal auf die 0 zu konvergieren und würden danach hier wieder herauslaufen.
Also sie würden auf so eine Art Trichter diesem Orbit folgen,
aber nicht so ganz so richtig genau, sondern würden sich dann verabschieden.
Und hier immer weiter aufwärts gehen oder entsprechend in diesem Fall abwärts.
Und die Orbits würden dann auf solchen Schalen verlaufen,
die jetzt schwer zu sehen sind,
aber wenn sie so eine Art Schauen, einzeichnen,
die sozusagen trompetenförmig hier verlaufen, dann würden diese Schalen,
die sich besser der Axt annähern sollten,
die Eigenschaft haben, dass alle Orbits auf solchen Schalen verlaufen.
Gut, das war jetzt der Fall,
dass die verschiedensten Vorzeichen haben, wenn die Vorzeichen gleich sind,
haben sie eher den Fall,
dass alles so oder so dahineinläuft.
Also analog
Ein Fixpunkt. Ja, und je nachdem,
welche von diesen beiden Kontraktionen schnell erst,
würden die Orbits
dann entweder so hineinlaufen
Oder andersherum. Das ist der Fall,
der ist leichter zu zeichnen,
dass die Kontraktion in der Landerichtung schneller ist,
so Lamda,
kleiner Roh,
kleiner Noll
Dann würden Sie all diesen Kurven in die 0 Folgen. Okay,
damit endlich mal so ein,
wenn ich den Exkursen auch 3 oder R auch N,
ich werde es,
wenn ich 4 und 5 Millionen eine Zeichnung anfangen wollte,
dann würde man gar nichts mehr sehen,
weil da die Vorstellungskraft so langsam aufsteigt.
Und ohnehin wissen ja schon, was passiert.
Wir wissen nämlich, dass wir irgendwie nur zerlegen können,
zerlegen, wir sehen diese Johanna-Blöcke.
Und wichtig sind vor allen Dingen die stabilen und intividuellen Komponenten.
Gut, damit haben wir sozusagen auch lineare Systeme
ganz gut verstanden
Bleibt noch zur Motivation, so ein wenig die Frage,
was mir damals alles studieren kann.
Wenn wir jetzt zum Beispiel zwei Colts 2 mal trotzdem ansehen,
die allesamt vielleicht nur reelle Eigenwerte haben,
dann kommt noch ein letztes Beispiel zur Motivation.
Habe ich noch was vergessen?
Nö, das war es auch schon
Musik Gut, jetzt habe ich noch zehn Minuten und
ich habe noch zwei Beispiele vorbereitet zur,
so als Motivation zum Studium von linearen Defenseitlichen, zum Beispiel zweite Ordnung.
Womit fange ich mal an? Ich fange mal mit
zum Beispiel diesem hier. Beispiele aus der Modellierung.
Also da gibt es zum Beispiel diesen, das Ding,
das nennt sich harmonisch Ostilator
Und da gibt es ein System, das studiert in Physik,
besonders gerne. Was passiert, wenn Sie eine Art Masse
in einem Pendel oder einer Feder auszellieren lassen?
Zum Beispiel, wenn Sie so etwas haben,
Sie haben diese Struktur, hier oben ist eine ihre Decke.
Und da heften Sie an, eine Feder.
Und da unten eine Masse
Und sie stellen dir jetzt vor, dieses Objekt,
das kann pendeln, insbesondere auf und ab.
Dies ist jetzt unsere Kordinatenrichtung, nennen wir sie X oder so etwas.
Und dann gilt, jeder Physiker weiß das,
die Beschleunigungsproportionale zur Kraft, Kraft ist massimale Beschleunigung.
Und wenn sie die Masse haben,
dann geht eine Masse, mal Durchschleunigung,
die Beschleunigung ist zweite Ableitung,
D-Quadrat nach BT-Quadrat von
Bis gleich, tja, machst du mal,
beschleunigen das die eine Kraft und das ist gleich der Rückstellkraft
und die Rückstellkraft ist meist so etwas wie Konstante,
mal X. Das ist jetzt eine schöne Dürfenzeichen, in diesem Fall
zweite Ordnung und das ist in der Praxis besonders wichtig.
Ich glaube, darum ist es eine Lenarisierung für kleine Auslenkungen des Pendels,
wenn das Pendel allzu sehr ausstärkt, ist die gleiche wenig anders.
Was würden Sie machen, wenn Sie so ein System studieren wollen?
Hier steht jetzt einerseits nur eine Variable,
X-Element R. C ist eine Zahl, die ist größer als null,
irgendeine reelle Konstante und die Masse,
es soll auch größer als null sein
Und um so ein Ding zu studieren,
können wir dieses System zweitordnen, zurückholen auf ein System,
erste Ordnung, mit zwei Stadt eine Variablen.
Wir machen einen Trick, der nennt sich Reduktion.
Auf einen. Auf eine differenziale Gleichung.
Erste Ordnung
Ja, und das geht so. Die habe ich in der dritten Teiligung,
zweite Ordnung, X und X, Punkt, Punkt sozusagen.
Und ich sage, wir definieren uns, sei, definiere.
V, gleich. Ex-Punkt. V, wie belaste ich jetzt
auch das Symbol, das die Physik haben, definieren.
Und dann haben wir die definiale Leichung, die so aussieht.
Also damit haben wir
ein System
X.gleich.V. Und V.gleich, ja,
warst du auch gleich V-Punkt, V. ist X-Punkt, Punkt.
Und das ist gerade das, was hier steht.
Ist also gleich eine konstante Mal X. Und die Konstante ist
in diesem Fall M mal C oder so etwas.
Vielleicht soll ich noch auf die Vorzeichen 8 geben,
weil wenn ich die Auslenkung in diese Richtung habe,
dann wirkt die Kraft in diese Richtung.
Das heißt, die Beschleunigung sollte vier neuen Minuszeichen haben oder
hier sollte ich das Vorzeichen umdrehen
Also ich habe dann V-Punkt, Punkt ist,
gleich eine konstante minus C durch M mal X.
Ich hätte auch C durch M durcheinsetzen können. Jedenfalls habe
ich die Dürfenzeichnung zweite Ordnung auf einer Dürfenzeichnung Erstordnung reduziert.
Frage dazu. Natürlich. Hier ist hier deine zweite Ableitung
. Danke für den Hinweis. Okay, jetzt habe ich
eine dürfenzeichnung Erstordnung. Und das hier ist,
wenn Sie genau hingucken, eine Mathesgleichung.
Hier steht also D nach DT
Von der Matrix XV. Bis gleich. Die Matrix 01. Orientier steht jetzt nolotierende Zahl, die ist nicht so ganz eins, da steht minus C durch M. Mal. X und V. Ja,
in diesem System, das kennen wir schon,
das haben wir oben schon gesehen, da steht Just,
wo eigentlich ganz rechts oben,
außer dass in den Konnaten hier minus eins stehen, sollte,
hier steht was anderes, aber wenn wir die Konnate V umskalieren,
wenn wir V nicht in Einheiten eins messen,
sondern V und Einheiten von C durch M,
also wir strecken und stochen das Bild sozusagen,
dann sehen wir hier gerade, dass Verhalten,
das so aussieht, dass in der X-Achse haben wir da,
wo hier eins ist, ein periodisches Orbit, eine periodische Bahn,
die geht hier los und geht im Kreis herum,
denn die Lösung von dieser dürfen zahlreichen,
sind allesamt Kreisbahn.
In dieser Richtung,
also wenn das X nach rechts und das Fonds nach oben orientiert ist,
gehen in der Tat die Kurven rechts herum,
denn wenn das X positiv ist, dann geht die Rückschlagkauft rückwärts,
also das Und der V wird danach stresst strebendes X zu kleinern.
Ist aber auch nicht so besonders wichtig. Jedenfalls haben sie
so ein System. Diesen nennt sich der Hamburger Ostsolator,
weil es so ist, wenn dieses Pendel in Abwesenheit von Reibung,
das wird einfach immer weiter schwingen.
Das wird mit deiner Auslenkung anfangen und vorwärts und rückwärts gehen.
Und die Amplitur, die wird sich einfach immer weiter konstant halten.
Das ist ein alter Effekt. Den haben Leute,
da stehen so Ewigkeiten benutzt, um Großvateruhren zu bauen mit einem schwingenden Pendel.
Die werden so gebaut, weil eben das Pendel immer
dieselbe Auszellationsamtlitude hat.
Und nur ganz langsam zur Ruhe kommt
Ganz ähnlich, weil das ist ein,
das ist ein etwas anderes System,
dieses Pferdependel ist geringfügig, anders als das schwingende Pendel,
aber das ist ungefähr dasselbe Prinzip bei beiden.
Und so oder so haben sie jetzt mit diesem linearen System verstanden,
wie man so einen, dürfen zahlreichen System allgemein studieren kann.
Das geht natürlich auch allgemeiner, haben sie ein bliebiges System,
höhere Ordnung, dann gilt auch hier, also wenn,
denen auch die, oder wenn wir eine Differenzialgleichung höhere Ordnung haben.
Sprich, wir haben so etwas wie D nach D,
T, nicht die Erstablage, sondern die Enteableitung.
Die Änder, DT. Von X. Und
das soll sein,
irgendeine Funktion von
X. und so weiter, bis die Engines 1 nach DET hoch,
N-minus 1 von X, wenn wir ein so ein System haben,
eine explizite dürfen zahlliche Enterordnung,
könnt ihr euch schreiben als Exit,
ihr dürfen zahllich eine erste Ordnung mit statt einem N-N-Komponenten,
dann ist dies ein System.
Nämlich, wir können sagen, dass, ja,
wir definieren einfach x, statt sich einen neuen Buchstaben aus,
da denke ich mir einfach Ziffern aus und sage,
ich habe die Komponenten X, das soll sein X-0,
X-Punkt, das nenne ich X-1 und so weiter,
als ich sage, x-Punkt, sei gleich X-1,
sozusagen per Definition, dann sage ich X-1-Punkt,
soll sein X-2, das ist sozusagen eine Definition,
und so weiter bis X-N, und wo ich eigentlich aufgehe,
höre ich auf, wenn ich den ersten N minus 1-Komponenten habe,
und das ist dann die Endableitung,
und zuletzt habe ich den gleichen Kinn, X-N-Punkt,
also die Ableitung der... Ja, genau,
ich ziehe mal besser noch eins ab,
weil ich junge Ziffern habe.
So, die letzte Komponente ist dann nicht durch so
eine Trojaner gleichen bestimmt, sondern durch X-N-Minus-1-Punkt,
ist gleich alles, was da so übrig bleibt.
Gleich F von X X X X-1 und so weiter,
bis X X N, minus eins.
Und dieses gleichen System hat jetzt N-Einträge,
und bis zu einer gleichen von erster Ordnung. Okay,
damit kann ich ein liebes System auf so eins zurückführen,
Linia oder nicht? Gut, das war das,
was ich Ihnen heute erzählen wollte.
Vielen Dank fürs Zuhören und bis zum nächsten Mal