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Ja, schönen guten Morgen zusammen, herzlich willkommen zur Vorlesung, Einführung dynamische Systeme.
Was ich heute erzählen möchte, ist, ich würde erzählen,
welche Arten von dynamischen Systemen wir genau wie studieren,
welche Probleme sich ergeben können und wie man damit umgeht,
zumindest seinen Einblick darin.
Und bevor wir loslegen, nochmal sollten wir es generell Gedanken machen,
warum studieren wir dynamische Systeme in diesem Fall oder irgendetwas anderes.
Also ganz grob gesagt, die Motivation für das Studium von
dynamischen Systemen ist, ja,
also erstmal nur zu
Simpel gesagt, wir wollen, also am Anfang,
ich glaube nicht die Frage, was würden wir eigentlich verstehen,
mit welchen Methoden kann man das denn verstehen?
Und die einfachste Einführung ist, wir wollen verstehen,
tja, was nehmen wir denn? Wir nehmen am besten
das ganze Universum mit allem, was drin ist,
das Leben und den ganzen Dresst und wollen all diese Dinge verstehen.
Also es ist sozusagen ein Versuch, sozusagen die alle
bewegten Prozesse
Im Universum zu verstehen. Ja,
das sind jetzt so ein bisschen viele und wir waren nicht wirklich
alle Dinge verstehen, die es im Universum so gibt,
sondern wir waren uns auf bestimmte Dinge beschränken,
die mit ganz bestimmten Methoden gut zugänglich sind.
Ich gebe mir mal ein paar Beispiele von Dingen,
die man gut verstehen kann. Hier steht irgendwas von bewegten Prozessen
, bewegt, steht in diesem Zusammenhang für zeitveränderlich.
Wir haben also einen Prozess, einen Zustand,
ich sage noch, wie man den beschreibt,
der sich mit der Zeit ändert, es wird eine Zeitvariable geben,
die wird sich, die wird fortschreiten.
Das ist die Hauptgemeinsamkeit, der gesamte Rest ist verschieden.
Und ein Beispiel, der zu sind, Herr Sorgen.
Ein Beispiel, das klassische Beispiel,
da hatte ich schon etwas erzählt,
ist die Bewegung von Planeten
im Sonnensystem
Oder generell astronomische Bewegungen generell. Was kann ich noch
mit der Zeit ändern? Ein ganz klassisches Beispiel,
was mich immer als erstes bringt, ist irgendwelche Populationsdynamik.
Also Fragen, die fangen an, ganz simpel, gegeben,
eine bestimmte Anzahl von Bakterien und zu einem bestimmten Zeitpunkt.
Wie viel habe ich zu einem späteren Zeitpunkt? Bist du kompliziert,
gegeben eine komplizierte Komplikation von komplizierten Wesen und eine komplizierte Umgebung,
die nicht allzu großes Wachstum zulässt und sich verschiedenfält,
je nachdem,
ob viele oder wenige
da sind
Was passiert oder was passiert, wenn ich mehr als eine Spezies habe,
wenn ich zum Beispiel in einem ökologischen System sowohl Räuber als auch Beute habe.
Und die einen, die anderen verspeisen,
dann hängt die Anzahl der und die Entwicklung der Räuber
davon ab, wie viele Beutetiere es gibt.
Und es gibt ein komplizierteres System als bei den einfachen Bakterien.
Und die ist komplizierteres System,
wird sich auch deutlich komplizierter verhalten als in dem Fall,
wo einfach nur ein Wachstum da ist.
Da kann man auch Zyklen beobachten und diverse andere Dinge.
Was gibt es noch? Es gibt Computer,
das ist ein gutes Beispiel
Ich mache jetzt hier keine Informatikvorlesung, das weltweit davon entfernt sein,
aber man kann einen gesamten Computer als sein Ding auffassen,
das da so vor sich hin rechnet,
dass wir von einem Zustand in einen weiteren übergeht.
Und viele Leute wüssten eigentlich sehr gerne,
was passiert eigentlich, wenn man da lange wartet?
Kommt irgendwann an was Vernünftiges raus oder nicht?
Oder gibt es irgendwas Probleme? Kommt das Ding in Zustände,
in die man gar nicht hinein möchte?
Und das sind interessante und auch sehr schwierige Probleme.
Schwierig deswegen, weil Computer meist sehr viele Zustände haben.
Die haben endlich viele Zustände, weil sie aus endlich vielen
Speicherstellen gebaut sind, die endlich viele Zustände haben.
Aber deren sind es viele. Und die Informatiker schwettern das
jetzt komplett daran, ein komplettes Bild aller möglichen Zustände
zu machen
Zu produzieren. Ist auch schwer,
wenn du so sagst, sie haben eine vier Gegewaltspeichert,
dann haben sie viermal, achtmal eine Milliarde ungefähr Zustände.
Jeder hat davon, er kann zwei Dinge enthalten.
Also wir haben zwei hoch ungefähr 32 Milliarden mögliche Zustände,
das sind sehr viele. Und die kann man nicht schwer
alle überprüfen. Eine große Herausforderung für ein Informatka.
Dann habe ich gesagt, physikalische Systeme, jede Art,
die diesen irgendwie ähnlich sind.
Alle Arten von Schwingungen werden wir uns ansehen.
Wo wir gerade bei der Physik sind,
Dinge wie Wärmeausbreitung
Das ist ein gutes Beispiel, das heißt,
wenn ich irgendeinen materiellen Gegenstand habe, zum Beispiel diese Tafel hier,
sie wird an einer Seite erhitzt, an einer gekühlt,
dann kann man sich fragen, wie fände ich die Temperatur in der Mitte?
Vielleicht wird die Wärme irgendwie von rechts nach links wandern, tut sie auch.
Und dafür gibt es präzise Beschreibung von dem, was da passiert. Es gibt auch andere Phänomene,
die waren eher schwer behandeln kann,
zum Beispiel Wasserströmung oder Wenn sie so ein System hinnehmen,
wieder in Ozean, das ist ein klassisches Beispiel für ein dynamisches System,
das wir gut beschreiben können und sehr schwer verstehen,
weil es dort eine Vielzahl von verschiedenen Effekten gibt,
Vielzahl von Strömungen, Geschwindigkeiten, Positionen und so weiter,
die man untersuchen muss.
Ich sage Ihnen, wie man das,
so eine Wasserströmung im Prinzip beschreibt. Wir werden auch sehen,
dass man sie sehr schwer konkret fassen kann.
Und was man mit Flüssigkeit machen kann,
kann man auch allgemeiner mit Fluiden machen,
also auch Luftschwimmungen
Und ein Physiker wird dir jetzt gleich beides zusammenfassen im Begriff der Fluide,
sprich Dinge, die man,
die nicht fest sind und die sich entweder kontrollieren lassen oder auch nicht,
was in den späteren Stellen gleich in eine Auswirkung zeigt.
Und das sind eines von, das sind ein paar Beispiele
von sehr vielen Dingen, die man dadurch beschreiben kann,
dass sich ein konkretes Objekt mit der Zeit ändert.
Und dieses Konzept ist sich mit der Zeit änderns,
das werden wir genau untersuchen.
Zwei Methoden, dann wir auf zwei Methoden werden und konzentrieren.
Erstens Dinge mit diskontrierlicher Zeit, wo die Zeit zu
ganz zahligen oder so ähnlich Schürden von Stern geht.
Zeitpunkt 1,
Zeitpunkt 2,
Computer sind ein Beispiel für so ein Ding, weil hier,
da gibt es einen internen Takt und alle gewissen,
also je einmal pro Takt,
der ist ungefähr eine oder ein Zehntel, nahe einer Sekunde,
geht es einen Schritt weiter.
Es gibt andere Dinge wie Schwingungen und physikalischen Phänomene,
wo die Zeit eher kontinuierlich ist,
wo es eher keine bestimmten Diskretionzeiten gibt,
man guckt ganz genau hin,
sondern wo es eher ein Continuum ist und da werden wir
uns mit differenzial gleich mit diesen Phänomenen zuwenden
Okay, heute erzähle ich ihnen also, lasst uns mal,
wie man generell dieses Ding aufbaut, die Beschreibung des Systems,
das wird nur ganz einfach sein und welche Probleme sich dabei stellen können.
Also die Methoden sind insbesondere folgende beiden, zwei prominente Methoden.
Das sind erstens mal, wie gesagt, diskrete Zeit.
Und wir nehmen an, dass eine Menge X gibt,
und eine Abbildung, nennen wir sie F,
die die Menge X in sich selbst zurückführt.
Das ist schon mal die erste Annahme, die ich in einer gewissen Erklärung bedarf.
Wir nehmen also an, der Zustand eines Systems,
am bestimmten Zeitpunkt ist durch eine bestimmte Menge gegeben.
Und der Zustand im nächsten Side-Shirt durch dieselbe Menge.
Wir nehmen also an, die Art der Beschreibung,
die ist für alle Zeiten sozusagen gültig. Das macht Sinn,
das macht bei physikalischen Systemen Sinn, haben sie einen Pendel,
einen Planeten oder sonst etwas und lassen ein wenig Zeit vergehen,
haben sie immer noch einen Planeten,
einen Pendel oder so etwas, wo beim Planeten,
ist das gar nicht mal so sicher,
je nachdem,
was sie so entgegenkommt
Und deswegen kann man das dieselbe Gesetzmäßigkeit,
die man am Anfang hatte, versuchen danach wiederzunehmen.
Oder auch beim Computer haben sie vorher einen Zustand,
haben sie nachher hoffentlich nur noch einen Zustand.
Und deswegen wird er wiederholt. Und was wir uns ansehen werden,
ist nicht nur die einmalige, sondern die mehrmalige,
die sehr oftige Anwendung von F. Okay, manchmal steckt hier nicht viel dahinter,
das kenne ich alles aus dem ersten Semester.
Dagegen die Methode 2, die wird viel mehr Probleme machen, kontinuierliche Zeit.
Da gibt es mehrere Methoden und die eine Methode,
die wir besonders studieren werden, ist, dass wer einen Zustand haben.
Und wir schreiben eine Defensalwerbung hin,
die U nach DT ist gleich eine Funktion von U und T.
Die Zeit ist, hier steht noch gar kein Variable für die Zeit.
Ich werde gleich noch die Monotition davon sagen,
hier ist die T, die Zeit explizit.
Und die ist jetzt nicht die allgemeinste Form von einem System,
dass sie mit der kontinuierlichen Zeit ändern,
dass eine gewisse Form, eine sogenannte gewöhnliche Dürfenzahlgleichung,
die explizit ist und erste Ordnung.
Ich sage, ich werde noch was anderes. Es könnte
auch höhere Ableitungen Links geben, das wären dann höhere Ordnungen.
Es können mehrere Ableitungen geben, in diesem Fall steht
die eine Variable
Und sozusagen eine Ableitung nach der zweiten, reellwertigen Variable.
Es ist auch möglich, dürfen zweigleich hinzuschreiben,
die viele Variablen haben, viele Raumvariablen.
Und wo die Ableitung, nicht nur DU nach DT sind,
sondern auch DU nach DX1, nach DX2 und so weiter,
das ist alles möglich.
Und da wird es extrem schwierig, allgemein Lösungen zu finden.
Das wird auch so schon schwer genug.
Also dies Jahr ist eine differenzialgleichung
Erste Ordnung. Und jetzt würden wir eigentlich erwarten,
dass wir das natürlich, dass ich ihnen sage,
Definition, eine defenziell gleiche erste Ordnung ist,
eine Abbildung von A nach B,
für bestimmte Werte von A nach B. Und das in der Tat schon das große Problem,
wenn ich so etwas definieren will, das werde ich auch machen,
das werde ich zwei oder dreimal in diese Vorlesung machen,
jeweils mit immer allgemeineren Definitionen.
Man kann etwas hinschreiben,
zum Beispiel im Einfluss noch könnte ich sagen, oh,
ist eine reelle Zahl, abhängig von T,
also U-Foundation, eine Funktion von R1 nach
R1. Und F ist eine genügend oft differenzierbare,
wie oft das müssen wir noch sehen,
Funktionen von zwei Variablen
Sie können sich also im einfachsten Fall ansehen. Und das ist
nur ein Spezialfall. Deswegen schreibe ich hier zum Beispiel Tee,
Element R. Sie haben also in das Intervall,
das ist unendliche Intervall, aller Realentzahlen.
Und U ist eine Funktion von, ja was eigentlich,
HR nach L. Das sehen Sie hier noch nicht,
die sehen Sie nur eine Zahl.
Aber wenn die an der Ableitung steht, dann können Sie sich schon denken,
der ist hier genau genommen etwas differenziert wird,
was eine Funktion ist.
Weswegen hier auch oft steht, er von Uhr von Tee
, Komma
Und F, eine Funktion von, sagen wir mal, Kreuz-R nach.
Und später werden wir dann sehen, schon als bald,
dass man als U überhaupt sich nicht sich auf reelle Funktionen beschränken muss.
Man kann Funktionen nehmen, die mit Envayablen losgehen,
also wo das U selbst der Wert von U,
die rechte Seite, beliebig viele, zum Beispiel N-Kollonaten hat.
Der Refensionsbereich kann beliebig viele Kohlendaten haben und die ableiten,
die wird dann auch eine Art,
nicht meine Art,
sondern ein Vektor sein
Das Effe dann auch wecktabwärtig sein. Er führt in eine
Funktion sein, nicht von R-Kreuz, R nach R,
sondern R hoch N, Kreuz R nach Erorelen.
Und es gibt sogar noch größere Allgemeinungen, können sagen,
wir auch nicht mehr den R auch enden,
wir können uns auf Dinge wie Sphärenoberflächen und so weiter begeben.
Auch da macht dieses Konzept Sinn. Und da werde ich später,
viel später eine Definition angeben,
mit dem auch solche Dinge wie gekrümmte Flächen behandeln kann,
wie man auch um denen dürfen zwei Leichen hinschreiben kann.
Aber bevor ich zu den formalen Definitionen gebe,
kann man das präzise hinschreiben,
wollte ich Ihnen ein paar von den Konzepten vorstellen,
die vorhanden,
dann nur ein paar von den Elementaren,
noch ganz elementaren Problemen vorstellen
Fangen wir doch mal an mit solchen Dingen.
Ich habe eine diskrete Zeit und ich habe nur eine Abbildung.
Vergessen Sie für einen Augenblick, die der von Zahlengleichung,
die kommt später und gucken sich über dieses System an,
wo die Zeit ganz zahlig ist.
Das könnte ich noch dazuschreiben. Das steht hier noch nicht
. Im Prinzip sehen die eigentlich gar keine Zeit.
Hier steht hier nur Zustandsraum, Abbildung und Zustandsraum.
Wo die Zeit ist, ist hier noch gar nicht zu sehen.
Jetzt werde ich ihnen gleich mal erklären.
Und dies hier ist dasselbe in fein aufgelöst und in schwieriger.
Und deswegen gucken wir uns erstmal dies hier an
Alle hier nehmen wir an, das X.
Da ist ein Ghost X, ist der Zustandsraum.
Und wenn es in einem Zustand sind,
dann gibt die Vorschrift F an, die Updating F,
welchen Zustand sie als nächstes annehmen.
Also sie haben das F,
eine Änderungsvorschrift ist.
Oder Evolutionsvorschrift oder Zeitauswirkungsvorschrift
So. Und jetzt gibt es ein paar ganz elementare Beobachtungen,
die so trivial sind,
dass ihr eigentlich nicht da habt, um hinzuschreiben,
wenn sie nicht im zweiten Fall äußerst schwierig wären,
deswegen sie doch mal wert gemacht zu werden.
Also Bemerkungen. Und die ersten Marken wollen völlig trivial sein,
sind doch mal richtig Macht sagen. Also Bemerkungen zu,
also sozusagen System 1 mit der diskreten Zeit,
nennen wir es auch Zeit des kreativen Systems
Und Zeitoskaten-Systeme sind natürlich solche, wie gesagt, F von X nach X.
Und zwar die erste Merkung ist, offensichtlich ist,
wenn F eine Abbildung ist, die eindeutig definiert ist,
dann ist für jeden Zustand X der Folgezustand eindeutig.
Das ist trivial. Das ist sozusagen das Elementare, was
in diesen Notiationen drinsteckt. Während die Umkehrung nicht der Fall ist,
es kann durchaus zwei Zustände X und X-Strich hier geben,
die auf denselben Zustand rechts abgewählt werden.
Also im Allgemeinen ist so ein System nicht invertierbar.
Also die Zukunft Jedes Punktes. Jetzt eindeutig bestimmt.
Wir haben die Vergangenheit nur.
Bye. Injektiven
Das ist ganz klar. Also wir setzen gespannt an alles eins.
Das ist das, was sie schon wissen. Natürlich ist nicht
jede Funktion injektiv. Und wenn sie nicht injektiv ist,
dann gibt es eben mehrere Urbilder zu einem bestimmten Punkt Y,
sozusagen auf der rechten Seite, die auch der linke Seite ist.
Ja, das ist schon mal das Erste.
Das Zweite ist, können wir die Funktion einmal anwenden?
Können wir sie auch mehrmals anwenden? Wir können sie beliebig oft anwenden,
weil wir in derselben Menge landen und können sozusagen eine ganze
Folge von Punkten betrachten, die die einmalige, zweimalige,
dreimal und so weiter Anwendung der Funktion F beinhalten.
Und das bringt es auch schon
ein gutes Konzept ein
F lässt sich iterieren. Nein, das heißt, zu
jedem Punkt X. Und ich nenne den Punkt jetzt mal X.0,
obwohl die Punkte in Groß X meist klein exizen,
in diesem Fall heißt das X.0, weil eine viele Indizes daherkommen werden.
X.0-Element. X gibt es eine... Erstens,
weil es gibt den Punkt X.1 gleich
F von X-0, ganz klar.
Wir haben eine Funktion, die X auf irgendwas abgebildet.
Dass wir haben natürlich die erste Iteration. Wir haben logischerweise
die Abbildung davon, X-2 definiert, als das Bild von X-1.
Wir können das wiederholen, X-3 gleich F-F-F von X-2 und so weiter.
Wir können also eine ganze Folge von Punkten in Groß-X konstruieren.
Und diese Folge hat einen speziellen Namen und auf diese Nordation
werden wir einfach wieder sehen.
Und deswegen kläre ich erst mal die Nordation davon.
Es gibt auf jeden Fall so eine Folge vorwärts,
zumindest für alle positiven Easts,
gibt es ein XI von dieser Form
Für negative Eas wissen wir es noch nicht.
Vielleicht gibt es was, vielleicht auch nicht. Bei bilaktiven
Abbildungen F wird es auch ein Urbett geben. Ja,
und diese ganze Folge von Dingen, die nennt man
Onward-Order-Trajektorie oder Bahn oder desgleichen des Punktes X oder X-Noll.
Wir nennen, ja, das kommt auch gleich in
der Defention fassen, um diesen Begriff einfach gesehen wird.
Definition. Die Folge. X-0. X-1 gleich
Ja, von X-0. X-2 gleich. FAN X-1. Und so
weiter. Heißt Orbits. Das Orbit oder der Orbit,
je nachdem, wie sie es die wetten.
Beziehungsweise Bahn.
Beziehungsweise drei Tore
Von nix Neue. Und HF. Und es gibt genau noch eine Unterscheidung.
Jetzt habe ich sozusagen nach rechts iteriert und die positiven Zeiten angewendet.
Es gibt auch in manchen Fällen die Möglichkeit,
das nach links auszudehnen. Also links wäre in diesem Fall,
wenn ich bei null nach links gehe,
wenn ich bei minus eins und so weiter.
Und deswegen kommt noch eine Präzisierung dazu,
die ich hier sozusagen jetzt erstmal im Kleingedruckten da,
dass die ist dies,
also an halb arbeitest.
Positives. Das nur so als Kleingedrucktes für später,
später werden wir sehen, dass man oft auch noch
das negative Orbit betrachtet, sprich die negativen Indizes hier.
So, jetzt haben wir noch fast gar keine Mathematik gemacht.
Auch diese Definition, die ist nur da, um das Leben zu vereinfachen.
Im folgenden kommt eine Definition, die uns das Leben erleichtert,
weil ich das F hier mehrmals anwende, werde ich kurzerhand für die mehrmal,
für die Karma eine Geantwortung von F, F,
HochK schreiben.
Also Notation wird sein, Notation
F-Hochk von X-0. Und das heißt nicht, die kammelte Multikation,
das heißt, die kammeilige Iteration. Also hier steht einfach,
F-Nach, F und so weiter, freuen wir uns.
X-0. Ka, Male. Das ist deswegen,
weil wir diese Notizion andauern verwenden werden, während die Potenz,
das ist mit dem Multiplizieren, das verwenden wir recht selten.
Und wenn wir doch mal speziieren müssen,
können wir immer noch eine Klammer drum tun und das
die Potenz außer Blikaner schreiben,
da geht es also
nichts verloren
Das ist also folgend in die Notation für Abbildung.
Das Ganze kann man auch machen für K gleichen Null,
da kommt die Identität raus.
Man kann es auch machen für K negativ,
dann kommt sozusagen die minus kahrmalige Iteration der Inversen heraus,
wenn es so eine gibt.
Für K. Element N. Oder auch K. Element,
ganz zahlig,
wenn invatir warst
Und wenn Evannivetär war, gibt es einen positiven Heilbauabend,
auch ein negatives Halbbaubit. Okay, das ist jetzt
noch keine Mathematik, das ist nur eine Notation.
Ich habe nur erklärt, wie Dinge heißen,
die wir so betrachten werden. Und ein Problem,
das man studieren kann, das wird dann ein Atmeterproblem sein.
Wichtiges Problem. Gegeben. X-0 Element X und F
von X nach
Was können wir sagen, über die Bahn,
das Orbit von X0 unter dieser Abbildung F?
Meine, was können wir? Und ein paar Konzepte,
mit denen man das behandeln kann, kennen sich schon.
Ich kenne zum Beispiel das Konzept der Konvergenz. Ich bin
alles gegen einen bestimmten Punkt konvergiert, oder zumindest von einem bestimmten Startpunkt.
Wir wissen nicht schon, wie man damit umgeht. Denn wenn ich ihnen sage,
X ist noch ein metrischer Raum, das mit der Distanzfunktion,
dann würden sie sagen, gut, jetzt kann ich zumindest ermitteln,
ob eine Konvergenz geht, einen bestimmten Punkt vorliegt.
Es wird aber noch viel komplizierter werden. Es kommen noch
andere Dinge heraus, als Konvergenz gegen einen Punkt.
Es gibt auch Dinge, die ostsellieren und niemals zum Stillstand kommen.
Und es gibt Dinge, die weder ostsellieren,
in Fehlersagweise noch zum Stillstand kommen und die sich komplett über
den Raum verteilen und über die man sehr wenig sagen kann.
Okay, das waren jetzt elementare Dinge. Und diese Dinge,
so elementar sie auch sind,
ich habe ja im Prinzip nichts gesagt, außer dass eine Funktion,
die man anwenden kann, man auch mehrmals anwenden kann,
sofern der Ziel- und Wertebereich derselbe sind,
ein elementares Faktum.
Diese ganz elementaren Dinge versuchen wir jetzt für differenziell
gleich nochmal zu wiederholen
Und stellen fest, es wird erstens sehr schwer sein,
zweitens noch viel schlimmer, sie werden nicht stimmen. Das,
was ich ihnen hier erzählt habe, das simple Konzept,
das wir in Funktionen nehmen und damit die Zukunft,
beliebig viele Schultern, die Zukunft einfach hinschreiben können,
das wird uns mächtige Probleme machen.
Es wird sogar herauskommen, es geht im Allgemeinen nicht.
Und wir versuchen jetzt diese Notizion,
dieses Hinschreiben der Zukunft, führt davon Zweileichen zu produzieren.
Mal sehen,
wie weit wir kommen
Ja, also erstmal überlegen wir uns,
was ist denn dieses Konzept der Zukunft für eine Differenzialergleichung?
Ich habe mir jetzt gesagt, die Zukunft beim diskreten System,
die einmalige Zukunft ist die einmalige Anwendung.
Wie ist es bei einer Differenzialerreichung? Da gibt es
dieses Konzept der Lösung, das kennen Sie wahrscheinlich schon,
haben Sie schon mal gehört. Und das Konzept,
das hier besser geeignet ist, des sogenannten Flusses,
dass wir uns weiterbringen, das Konzept der Lösung,
wo wir uns tatsächlich an einigen Stellen ins Stolpern bringen.
Und ich beschreibe mir erstmal formal,
wie man gerne Dinge beschreiben würde, wenn man könnte.
Und daher sehen wir, was geht oder auch nicht.
Und es kommt daraus in der Tat
jedes oft nicht
Also das analoge an, zu dieser Abbildung F hier,
für dürfen Zeilreichen, ist folgendes Konzept.
Also das. So, Iteration. Ja,
was doch gleich Iteration, Iteration heißt mehrfach Ausführung hintereinander Schaltung,
genau das, was hier steht, Berechnung von Efoka.
Das ist ein Konzept, das in diesem Fall so simpel ist,
dass es kaum einen neuen Namen verdient,
dann ist ja ganz klar,
dass sie eine Funktion mehrmals anwenden können.
Das ist ein Konzept, was hier ein neues,
einen neuen Namen erfordert und etwas nachdenken
Ist ein sogenannter Fluss. Plus. Und der wird jetzt
gleich mal definiert, Definition. Eine Abbildung. Wie nennen
Sie Vieh? Die wird von zwei Varianten abhängen.
Der erste steht immer unten, die zweite dahinter waren für die Definition,
sage ich noch, wo die Dinge stehen.
Die geht von X-Kreuz R nach X. Wobei X am Lieberaum ist,
ich habe noch nichts über X gesagt,
nur über R wissen Sie schon,
was gemeint ist
Heißt. Floss. Wenn Geld. Erstens. Vieh von
X-Komma 0. Ist gleich. X für alle. X-Element.
Groß X. Oder mit anderen Worten Vieh von Punkt Komma
0. So einer komischen Lotation, die besagt ist,
hier ein Argument noch einzusetzen ist,
ist die Identität
Dies und das sind selbe Aussagen, nur in verschiedenen Ordnationen.
Ich habe beziehungsweise dazwischen, damit sie wissen, was gemeint ist.
Das ist die erste Aussage, ein Fluss ist ein Ding,
wo wir, wenn wir Zeit null fließen,
wieder da sind, wo wir hergekommen sind,
beziehungsweise wir uns gar nicht erst fortbewegt haben.
Und zweitens, dass die Bedingung gilt,
die wichtige Flussbedingung FIFA und X, Kammer S plus T. X
ist die X-Koordinate S plus T ist die irrelle Zahl.
Bis gleich. FIFA und jetzt wird angewendet,
der Fluss
zweimal X-Kommer
Tee, Komma S. Das ist eine etwas komplizierte Notation.
Gleichwertig die Notation ändern und dann wird es logisch aussehen.
Aber die sind jedenfalls zwei Axiome,
zwei anderen Summe, die zum Konzept des Flusses führen.
Ein Fluss, warum untersuchen wir solche Dinge wie ein Fluss?
Dieses Ding wird sein, das, was herauskommt,
wenn wir dürfen zahlreichen studieren. Und dieses Konzept,
das hier steht,
und das ist wahrscheinlich für sie gerade vom Pult hier verdeckt wird,
hier steht nur,
dass die zwei mehr hinter der Ausführung von Vieh mit Argumenten S und T,
dasselbe ist wie wenn der Begleich S
plus da hineingesteckt hätten
Das wird sein, das Analogen zu dieser Iteration,
wie sie dort steht. Die simple Konzept hier wird in
diesem etwas komplizierteren Konzept hier übersetzt. Okay,
bevor ich das diskutiere, werde ich die Notizonen ein wenig ändern,
damit wir hier nicht durch die Nande kommen mit den Klammern.
Es wird nämlich immer so sein,
dass das eine Argument reell ist, das andere raumwertig.
Und deswegen wird die Notizonen gleich mal so benutzt.
Notization. Wir schreiben immer Vieh. Dann ist Tee hier
unten. Von X gleich viel von XT. Also für
die Zukunft schreibe ich einfach mal immer den Punkt,
bei dem es losgeht hier hinein
Und das Zeitargument hier auch unten hin,
das hat dann die bessere Analogie zu dem F,
das hier steht, dann beim F,
da stehen immer noch ein X in der Klammer.
Und das Zeitargument, das dann sozusagen nicht in der Klammer, da stand,
ja, beim einen mal ein wenig stand es gar nicht da.
Und bei der endmaligen Anwendung, wie du diese Nordision,
stand das K, sie sehen der FOK von X0,
das K steht sozusagen außerhalb der Klammer separat.
Ähnlich wie das Tee auch separat stehen. Ich habe es nach unten,
es gibt über Notationen, wo sie das Thema oben schreiben,
das will ich erstmal nicht machen,
damit es nicht aussieht wie eine Potenz.
Okay, warum soll die es irgendwie, sowas wie einen Fluss beschreiben?
Nun, sie stellen nicht einen Fluss vor so
einen Fluss aus Wasser, Hier ist einer.
Schluss. Und ein Flusszeichen der Zeugensaus. Sie stellen sich vor,
das Wasser strömt hier, es strömt eventuell an verschiedenen Punkten
mit verschiedenen Geschwindigkeit und in verschiedenen Richtungen zu den Richtungen,
in den Fallen sage ich später, dann war es mir.
Sie stellen sich vor, irgendwie strömt das Wasser.
Wie stelle ich wohl erstmal, dass noch ein Fluss
für die Stunden nicht besonders stark ist?
Die Stirme geht also immer in derselben Richtung.
Und die ändert sich mit der Zeit nicht.
Natürlich ändert sich die Position, Jesus einzelnen Wasserteilchens,
denn das geht ja voran
Aber der Fluss als solche bleibt da so stehen,
wie er ist. Und auch die Strömungsgeschwindigkeit,
die bleiben an jedem Punkt über die Zeit konstant.
Das übrigens ein realistisches Bild für langsame Wasserbewegung,
währendweise schnelle Bewegungen gibt es dann Turbulenzen, Dinge überschlagen sich.
Und dann passiert viel. Aber wenn das noch zu langsam wiederhergeht,
da sehen Sieweise so langsam Gebirgsbächen, da können Sie reingucken,
wenn es klar auf was das in die Sonne scheint.
Und Sie können bis zum Boden durchgucken. Sie sind ja
keinerlei bewegende Wasseroberfläche. Aber wenn Sie die Hand reinhalten,
dann sehen Sie, das geht eigentlich ziemlich schnell.
Bloß ist die Bewegung zwar schnell, aber so,
dass die Oberfläche genau dieselbe Form wählt.
Und das,
was einfach so angestellt voranfliegt
Sie stellen sich jetzt vor, sie fangen hier an,
einen anderen Punkt. Diesen Punkt nennen wir X. Sie lassen
nicht treiben und folgen diesem Punkt von der Strömung,
die Zeit T oder S. In diesem Fall habe ich gesagt,
wir fangen mit T an und sind dann dort.
Hier haben wir so einen neuen Punkt, Vieh,
T voll X. Okay, diesen Punkt nennen wir kurz einmal
Y. Vergessen, dass du von X gekommen bist.
Wir nennen ihn einfach Y. Bei Y können wir
die Zeit erst abwarten und kommen dann längst
dieser Strömung
Zwei Punkt, wie zum Beispiel diesen hier. Sagen wir
gleich Y. Du kommst zu diesem Punkt FIES von Y. Denn
wenn dies die zweit S ist und dies die zwei T ist,
dann kommen wir von Y in Zeit S zu FIES von Y.
Und nun die Frage, die Preisfrage, die nicht so schwer ist,
was passiert, wenn wir bei X angefangen haben?
Und anstatt Zeit T, Zeit T plus S haben treiben lassen.
Nun ja, wir werden nach Zeit T hier sein und nach weiterer Zeit erst hier sein.
Sprich nach Zeit T plus S, kommen wir von hier nach dort.
Elementares Faktum, das genau in dieser Definition hier widergespiegelt wird,
dass wenn wir erstmal Zeit T voranschreiten Und dann von dem Punkt,
wo wir danach angekommen sind, ZeitS voranscheiden, dann kommen wir dahin,
wie werden wir vom Anfangspunkt gleich T plus S vorangegangen wären.
Und deswegen ist das, was hier steht,
einen analogen zu dem, was dort gar nicht mal erst steht.
Und da würde stehen, F hoch K, Kringel FHOK,
ist gleich F hoch, oben Caplos L. Im Tasfakt,
Mike, ist nicht hingeschirmt, weil das ist ganz klar ist.
Aber das würde hier stehen. Und wenn man dieses Gesetz
hier unten in diese Notation hinschreibt, da steht also,
dass diese Regeln gelten, erstens mal FIFA 0,
gleich Identität und zweitens mal Also den Floss erfüllt, also.
Jetzt glaube ich, genau denselben Regen noch mal hin,
das sind keine neuen Aussagen, das sind dieselben,
sagen, unformuliert, 4-0, gleich Identität.
Hier steht es schon, nur der Beziehungsstation geändert.
Und hier ist das Argument sozusagen, das eine Argument,
was hier noch fehlt, der hätte einfach nicht hingeschrieben.
Und es gilt, das Vieh S plus T,
gleich Vieh, Liebe, Reihenfolge S oder T,
das kann ich vertauschen, Die reinen Zahlen kommentieren.
In diesem Fall habe ich das TZS geschrieben,
aber ich kann es schreiben, wie ich will.
VS nach FeeTech. Deswegen haben wir das Fluss. Also sie können,
wenn sie Zeit S plus T fließen wollen,
können sie erstmal Zeit Tee fließen, die Nachtzeit S. Oder andersrum.
Okay, dieses Konzept ist ein ganz elementares.
Hier steht ja nichts, also eine simple Definition.
Und dass wir das Analogen sein, also die ist ein
... zu erforcht.
K. Plus
Ist gleich. Erfuhr. Eine beliebige Reihenfolge. K nach
F. Hochel. Okay, soweit zum Elementar. Jetzt habe ich
nur eine neue Notation eingeführt. Ich habe noch nicht erklärt,
was genau ist mit der von Zahllichen zu tun hat.
Und oben in der liefen Zahlreichen immer zuhören,
solchen Fluss führt oder vielleicht auch nicht.
Kommt leider raus, wird nicht immer der Fall sein.
Es wird auf den Zahllöchern geben. Ich werde dann nur ein paar zeigen,
wo es eine defentale Gleiche gibt, aber keinen Fluss.
Erstmal eine Bemerkung zum Fluss. Vergessen wir mal kurz,
ob es so einen gibt oder nicht, zu einer diffenziellen Gleichung,
denn es gibt ja auch ein paar Dinge,
die man mit diesem Fluss beschreiben kann, zum Beispiel eben Gewässer.
Ich finde, wir sollen Fluss haben, dann können wir
schon mal viele Dinge tun. Zum Beispiel können wir
die Zukunft als so durch einsetzen, der Colnated Tay hier ermitteln.
Wir können das Ding auch invertieren, die Vergangenheit ermitteln.
Durch einsetzen negative Werte. Ja, soweit so elementar. Okay,
und deswegen ist die Frage,
also kann man so ein Konzept des Flusses auf mal ein mächtiges Konzept,
wenn man die Zukunft in Vergangenheit durch einsetzen und ermitteln kann,
kann man dies gewinnen aus einer differenzargleichung.
Differenzialwöchung, die kommen aus Modellierung, aus physikalischen Gesetzmäßigkeiten,
aus elementaren Prinzipien. Flüsse sind Dinge, die kommen nicht
im Prinzip aus elementaren Prinzipien, die muss man sich herleiten.
Die sind aber besser. Dann haben sie Einfluss,
dann können wir die Zukunft bestimmen mit einem implizierten
noch nicht
Okay, und jetzt werde ich versuchen, Ihnen zu erklären,
was das eine mit einem anderen zu tun hat.
Passt ein Fluss mit einer Defunktionalleichung zu tun hat und umgekehrt.
Und dazu ist es gut, wenn man differenzieren kann.
Ich habe, wie gesagt, die ganze Folge ist
noch nicht gesagt, was dieses Groß X ist.
Es hat doch bis jetzt noch keine Rolle gespielt,
weil alles, was ich bis jetzt gesagt habe,
auf Belegung, Mengen X funktioniert. Im folgenden Wort zu sein,
immer wenn ich über eine Abbildung rede, so wie hier,
dann wird das X mindestens ein metrischer Raum sein, Distanz umzuholen haben.
Denken Sie an RON oder sowas. Und wenn ich über
Dürfenzahngleichung rede, wird das X mindestens eine Struktur sein,
wo man einmal differenzieren kann,
denken Sie auch an RON
Wenn Sie schon was anderes gesehen haben,
wo man auch differenzieren kann, es gibt noch andere Räume,
können Sie sich die dazu denken.
Später wäre ich dann eine präzise Formulierung angeben,
die wäre sogar, die genau das erlaubt.
Okay, also dann fangen wir an mit folgender Frage.
Beziehung zwischen Flüssen.
Fluss und dürfenziell
gleich auch
Wir fangen mal mit einem Fluss und wir versuchen
eine Differenzialgleichung zu konstruieren, die den beschreibt.
Also gegeben. Einfluss. Wie? Auf X. Fluss auf
X heißt einfach eine Abbildung Vieh von X-Kreuz R nach X.
So wix.
Das heißt
Fiese Abbildung von X-Kreuz. Aaron auch X, von Weise
. Für den folgenden benutze ich die Notizoren X gleich.
R oder R auch N. Nehmen wir gleich den enddimensionalen Raum. Weil alles,
was ich im folgenden sage, nicht genau davon abhängt,
ist nur wichtig, dass ich differenzieren kann.
So geben wir also so einen Fluss, dann behaupte ich erstmal,
ich kann, dann dürfen zwei welche hinschreiben,
die kann ich einfach so konstruieren,
die genau in diesen Fluss erzeugt wird
Dann existiert eine. Eine Abbildung. F. Das F wird nicht sein,
die Iteration, es wird sein, die differenzierlich,
also die rechte Seite von EU-Punkt gleich F von U. Ja.
Man kann essen, wir sehen doch bei der letzten gleichen Tauschschule.
Ja. Erst das Bild vielleicht,
die von
Exakt. In diese gleichen können sie schreiben,
in diese gleichen 4S plus T, gleich 4 T,
nach 4S. Das ist korrekt. Exakt, dann hörst du
es so, weil sie können natürlich logischerweise hier verknüpfen.
Also wenn sie dieses Gesetz, so wie sie hier ist,
wie es hier steht, haben, dann wissen natürlich,
dass 4S nach 4T gleich 4S plus D,
gleich 4T plus S.
Und das dann nach dem geselben Gesetz 4T nach 4S.
Also eine unmeldbare Konsequenz dieser Flussdefinition ist,
dass jeder Flussabbildung 4S in 4T,
je zwei davon konvertieren oder vertauschen.
Das ist ganz korrekt. Das ist auch sehr,
sehr nützlich. Und das ist genau das,
was ich mit diesem, was sie die nennen,
beschreiben wollte, dass die es in vielen realistischen Anwendungen
einfach schon mal
der Fall ist
Okay, und jetzt habe ich gesagt,
haben wir so ein schönes Ding, so einen Fluss.
Kann ich auch noch gleich in der differenziallichen konstruieren.
Ich konstruiere eine Abbildung, sodass die Defensalleichung erfüllt wird.
Die Abbildung wird sein F, geht von, ja,
von was nach was. Die dürfen Zalichen soll sein,
dass auf den Punkten X, da wird es sozusagen ein Richtungsfeld gebildet.
Wenn ich einen Punkt im RON habe,
dann ist die Ableitung, ja, wo sind die eigentlich?
Die sind dann immer noch im RON.
Die ist F hat also eine Abbildung. MR hoch N.
In, wieder in den RON. Und wenn jetzt mal
ganz nach oben sind, stellen sie fest,
da oben stand, er kreuzt R nach R oder er
auch Renngolds nach RON
Und hier ist sozusagen eine Komponente verloren gegangen. Ich sage gleich,
wo die hin ist. Die kommende NSDS im Verlorengang,
wer dies Ding nicht von der Zeit abhängen wird.
So, das gilt. Die DU oder DX, je nachdem,
wie sie schreiben wollen, ich habe jetzt X geschrieben,
deswegen gleich mal kurz bei dem X. DX.
Ja, DT. Bis gleich. F von X.
Und hier kann ich das Team auch hineinschreiben.
Wenn Sie jetzt die Zahlen vergleichen mit dem,
was oben steht, mit dem U, stellen Sie fest,
hier steht ein Tee nicht mehr so richtig drin.
Das Tisch steckt zwar am X drin,
aber nicht mehr explizit in der Gleichung
Das ist gut so, das macht die Sache leichter.
Und das macht uns auch das Leben leichter. Als ich behaupte,
gegeben einen Fluss, wir werden so eine Abbildung konstruieren können,
sodass diese dürfen zahlreiche aus dem Fluss produziert wird.
Mit anderen Worten, jeder Fluss ergibt eine Differenzialgleichung.
Das werde ich ihm gleich mal demonstrieren. Ich hätte das Ding Satz nennen können,
aber du sagst es so elementar und der Beweis wird einfach sein,
ich schreibe die Abbildung hin,
deswegen ist das die Wortesatzbeweise eigentlich überflüssig.
Deswegen ist es, glaube ich,
hier einfach
in Konstruktion
Ich gebe ihnen einfach F-explizit an und das Effort sein,
wir nehmen den Fluss, wir differenzieren in die Zeitrichtung bei Tee gleich null.
Und das ist auch schon die Ableitung. Eine Konstruktion ist nicht mehr,
nicht weniger als F von X. Sollte sein, Idee nach BT,
an der Stelle Tee gleich null, von Vieh Tee.
Von X. So, das ist auch schon der gesamte Weiß,
dass die gesamte Behauptung,
wir nehmen mal den Fluss da hier,
der Fluss nimmt das Argument X,
wir setzen verschiedene Argumente von Tee
ein und differenzieren dann
Das können wir machen, weil der Fluss wieder im selben Raum ist,
wo das X herkommt, also wie dem RON.
Auch ein können wir differenzieren,
können also die Richtungsableitung bilden und haben dann dieses Objekt.
Okay, und das sollten Sie verstehen, also Sie sollten
natürlich mit Ihren Vorkenntnissen trivialerweise Ableitung von Wegbewerbenobjekten produzieren können.
Wenn nicht, einfach halt, wenn Sie auch eins differenzieren können,
können Sie mehr auch indifferenzieren, Sie machen es in jede Komponente separat.
Und deswegen können Sie, wenn Sie überhaupt differenzieren können,
automatisch solche Dinge ausrechnen. Ja, warum soll dies denn
doch gleich, die dürfen uns zahlreichen dort erfüllen?
Das ist jetzt ein Objekt und warum erfüllt dies Ding das,
was da steht? Nun, überlegen wir kurz was,
was da steht
Und warum die Flussgleichen erfüllen sollen? Also,
jetzt muss man sich überlegen, dass D nach DLT gleich
F ist und FSDs hier, ich muss also sagen,
D nach DT von X von T, soll dies Ding erfüllen.
Ja, dazu müssen wir uns erstmal generell Gedanken machen,
was soll die Lösung einer Differentalichung überhaupt sein?
Ich meine, was ist damit gemeint?
Hier steht eine Gleichung, die ist schon ganz plausibel.
Hier steht eine rechte Seite links und eine linke Seite rechts,
so eine Ableitung. Nicht so eine Ableitung von Dingen,
Ableitung von der Zukunft von X und rechts sieht auch so
ein wenig D nach DX oder DX nach BT DX von T nach DT ist gleich F.
Das ist ein sinnvolles Konzept. Und jetzt ist ein guter Zeitpunkt,
sich Gedanken zu machen,
was eigentlich Erwarten von diesem Ex-Fond T. Gut gesagt werden wir erwarten,
dass die gleichen, die da steht, für alle,
oder zumindest für möglichst viele wertvollen Tee,
alle geht leider nicht,
erfüllt sein wird.
Das nennen wir dann später Lösung. Und das soll dasselbe
sein wie das, was wir diesem Vieh hier herauskommt.
Okay, ohne das Konzept der Lösung schon zu kennen.
Überlegen wir uns denn, ist dieses Vieh an der Stelle null?
Was hat diese rechte Seite mit dem Ex
zu tun
Da steht die Nacht die TV X und hier steht die
nach DT von etwas komplizierterem Viehtee von X. Und ja,
was kommt dir jetzt raus, wenn wir euch 4-0 einsetzen?
Viel neues Identität. Steht also sozusagen X und nicht hier die Ableitung von X,
ist gleich F. Altes dies hier, je nachdem,
wenn man draufguckt, schon mal die mehr oder weniger die gleichen,
die dort rechts gefordert wird.
Außer dass hier recht noch nicht steht, was ich erst
noch sagen muss, wie die Evolution von X ist.
Dann hilft dir jetzt erstmal eine formale gleichen,
über die Ableitung von X
etwas gesagt wird
Und ja, was es genau bedeutet, muss ich erst noch erklären.
Und hier ist es schon präzise gesagt, wie es die Zukunft von X ist.
Und diese Themen ist definiert. Und die Ablehnung ist auch definiert.
Und ich brauche mal, dass die ist ein sinnvolles Konzept ist.
Okay, und ich werde jetzt demonstrieren,
dass die Lösung, die ich definieren werde,
von diesem gleichen hier und dergleichen dort dieselben sein werden.
Also zuerst mal das Konzept der Lösung.
Ja, und dann zu überprüfen der Gleichung.
Der Gleichheit
Benötigen wir der Lösung. Ja, und der kommt jetzt
. Erstmal eine Definition, sei F. Eine Funktion,
die in diesem Fall hier von RON nach RON geht,
kann aber auch vom RON-Kreuz R nach RON gehen
Da, ich schocke noch nie. Kurz, klar.
Nach Hoch-N. Oder. Und das in der Klammer steht,
wird hier der leichtere Fall sein, den wir häufiger betrachten.
Von, auch enden nach R. Und wenn in die Erstteile
zu kompliziert wird, dann gucken sie auf die zweite,
dann werden sie leichter verstehen, was gemeint ist.
Die, ja, das wird sein, die rechte Seite,
der dürfen zeichnen, als FSA ist man diese Funktion.
Und ich rede jetzt über die Lösung der von Zeichnung DX
nach DT gleich F
von X von
Dann heißt... Und im folgenden unterscheide ich mal zwischen dem
Devariable in der Gleichung. Der war ja in der Lösung,
weil ich werde gleichsetzen werden. Eine Kurve. Ungleich Uvan-Tee
. Und das U geht von Wohl nach Wo.
U geht von R nach R hoch N. Diese Kurve U
heißt, wenn die Folgebeziehung gegeben ist,
eine Lösung
Lösung. Von, und je nachdem, ob die Notization
so oder so ist, führt ihr der Verzeichnung leicht verschieden heißen.
Eine Lösung von der Dürfenzahlerleichung, DU.
Und statt dem U schaue ich jetzt an X hin,
damit wir das erste Mal noch auseinanderhalten. Schwerte werden wir
dieselbe Voyeabliche und dort verwenden. Die X nach dem DT,
gleich F von X, von T und T,
beziehungsweise das ist jetzt auch gewünscht, oder DX nach WT gleich.
Er von X von T. Also das,
was in der Klammer steht, ist immer die etwas einfachere Version,
die auch für das Linke ausreicht.
Aber die allgemeine Version kann ich gleich mit erklären.
So, und wann hast du jetzt dieses Uhr,
eine Lösung davon? Einfach genau, wenn das geht.
Wenn die Ableitung hier links eingesetzt, die rechte Seite erfüllt.
Weil wenn Einsätzen von U-Strich links und U-Rechts eine gleichen gibt.
Und mit anderen Worten, das ist eine Lösung,
genau, wenn es Das tut was erwarten,
wenn es die gleichen wirklich im wahrsten Sinne des Wortes löst.
Also wir setzen Dinge ein und es kommt das Richtige heraus.
Für die Ableitung. Ich gebe dann erstmal einen Namen,
folgenden ist das Übschluss, den separaten Namen zu geben.
Erpleitung V, von Tee gleich B nach DT.
UFONTee. Das ist ein wohl definiertes Objekt und ich habe hier Vektonen,
die kann ich differenzieren. Und wenn ihr einfach gilt,
V von Tee gleich F von UVMT und Tee ist,
beziehungsweise in der vereinfachten Notation, ohne das Extortee.
Oder habe ich eine Schlimme? So, wenn dies gilt,
dann hast du das Ding an der Lösung und das ist auch ein leichter Begriff,
Dennis, genau das, was wir gerade erwarten.
Eine Kurve löst an der Dürfenzialrechnung. Das Einzige,
worauf wir noch acht Beacht gehen muss, Was sind die Lösen jetzt?
Die Lösungen sind jetzt in der Tat formale Kurven.
Die sind also Funktionen, die von Tee abhängen.
Und die in denselben Raum gehen, wie die ist Groß-X.
Die Ableitung davon, die geht es,
während diesmal geht sie in denselben Raum wieder hinein,
faust wieder vektorwertig mit derselben Zahl der Dimensionen.
Und was man noch beachten muss, hier steht,
so ganz urlaub gesagt, die Ableitung.
Ich würde also vorausgesetzt, die Kurve hier hat Ableitung,
an deine Kurve hat im Allgemeinen keine Ableitung.
Deswegen ist eh noch gefordert, dass es zumindest typischerweise
Ableitung geben soll
Also impliziert davon, wenn ich sage, die KVU ist eine Lösung davon.
Skimplic sieht ja immer mitgemeint, die Kurve kann man ja auch differenzieren.
Sonst macht der Begriff wenig Sinn. Dazu muss... Uh,
insbesondere... Differenzierbar sein. Und wir haben uns alles allzu leicht vorkommt,
der kann sich immer noch überlegen, was passiert eigentlich,
wenn das U nicht mehr auch endet,
sondern in irgendeinem gekrümmten Raumlaufen der Asphären, obwohl vielleicht zum Beispiel,
in welchem Raum würde dann dieses V leben?
Das ist dann in der Fall nicht dieselbe,
derselbe Raum wieder, sondern es ist ein etwas anderer Raum.
Die formalen Notationskomplizierte, deswegen schreibe ich es nicht hin,
aber grob gesagt, wenn UMRO endet,
dann ist dieses VR auch im RON.
Und wenn U, Frau, wenn er komplizierteren Menge lebt,
dann müssen sie über das V und wenig Gedanken machen.
Und das wird die Notation vorkomplizieren. Deswegen schreibt sie jetzt
auch, lass mich nicht hin. So, das ist
also jedenfalls eine Lösung. Und jetzt behaupte ich insbesondere,
dass dieses Vieh eine Lösung der hätte von zahlreichen gehst.
Weil ich behaupte, wenn es einen Fluss gibt,
ist dieses X wird abgebildet auf FeedTVX,
diese Kurve,
eine Lösung für alle Zeiten
Wir achten Sie über 20, Sie sind die Definition,
nicht steht, obwohl es da stehen könnte.
Ach so, doch, hier steht schon was. Ja,
hier steht was, dass die Lösung, ich jetzt so ganz dreist,
die Lösung soll es geben, auf allen reellen Zahlen.
Im Folgenden werde ich Ihnen zeigen,
dass es davon Zahlreichen gibt, wo es Lösungen gibt,
die aber nicht für alle Reihen Zahlen definiert sind.
Es wird also der Begriff der Lösung, wird an dieser Stelle hier.
Gleich mal wenig aufgeweicht. Es wird auch dürfen sagen,
wir geben die Weichen zeigen,
die überhaupt keine Lösung in diesem Sinne haben.
Wo sie also selbst auf einem kleinen anderen Tavall
keine Lösung gibt
Also, kurz um die Wachen, davor es geht, Bemerkung.
Oder ich mache die Magen später. Ich sage ihnen erstmal,
warum es für die Dinger, die in der Klammer stehen,
immer eine Lösung in diesem Sinne gibt, insbesondere wird das U überall definiert sein.
Und warum das ansonsten schwierig wird. Als erstes mal ein,
ja, eine Aussage oder eine erste Formierung,
das kann ich ja schon mal als Lämmer formulieren,
das ist noch eine leichte Aufsage,
FeeTV X ist als Kurve in Tee,
mit Startler X, eine Lösung,
diese dürfen Zahlwöchung.
Und erstmal von Dislemma
Lämmer im Sinne von leichten Weisen nicht, nicht so,
dass es schwach ist. Die Abbildung. Oder die Abbildung.
Tee geht nach Vieh, Tee von Flix, liefert.
Für jedes. Ex-Almer Dix. Wobei X in diesem Fall
noch der RON war.
Eine Kurve
Ja, die, die... Der Funzialgleichung.
Der X nach. DT gleich. F von X
mit genau diesem F
da drüben löst
Ja. So, dürfen die jetzt einen... In denen er, DET.
Anstelle Tee gleich null von Vieh Tee. Von X. Und das ist jetzt auch kein Wunder mehr,
wenn wir das einsetzen, dann steht einfach links Vieh Tee von X,
das ist differenziert, gibt gerade F, weil F-Diviniers,
also diese größte Vieh Tee von X. Das ist jetzt in diese Notation,
wo wir die Notation erstmal haben, ganz klar,
weil viel gerade so gemacht wird,
dass deren Ableitung das F war.
Das ist insofern bemerkenswert, weil in diesem speziellen Fall,
wo wir also einen Fluss haben,
haben wir eine Lösung,
die auf dem gesamten Reellenintervall definiert ist
Also insbesondere... Diese Lösung. Alle Tee-Element-Ära.
Definitiv. Okay, das war jetzt der eine Teil.
Ich habe ihm gesagt, haben wir einen Fluss?
Dann haben wir eine
dürfen Zahllöchung
Das wäre der leichtere Teil. Der schwierige Teil wird sein,
haben wir in der differenziallichen, können wir einen Fluss gewinnen?
Die Antwort wird sein, allgemein nein, oder zumindest wird es schwierig,
oder wenn es eine Lösung gibt in diesem Sinne, dann kann es sein,
dass hier links der Reventionsbereich der Lösung nicht aller reellen Zahlen sind,
sondern nur ein Teilbereich davon.
Und dann folgend,
weil ich den Begriff der Lösung nochmal verallgemeinern,
sodass als auch Lösung auch Kurven,
die von einem Intervall hier um den Startpunkt herum
immer noch als Lösung bezeichnet werden
Die nächste Frage, da könnt ihr euch schon mal nachdenken. Hat jede,
dürfen Zahlreichkeit eine Lösung oder kann es welche geben,
die vielleicht gar keine Lösung haben oder die Lösung haben,
die nur für einen bestimmten Zeitraum definiert sind und danach nicht mehr?
Oder die vielleicht irgendwelche Sprünge in der Lösung haben oder so etwas?
Ja, also die Frage war, gibt es so eine Dürfen-Zahlgleichung?
Auch eine Lösung. Ist ja eigentlich so ganz klar.
Gleich um Lösung. Da haben wir so in der Schule
Gleichung X plus 1 gleich 0. Lösung, X werde ich mir mit eins.
Klar, kann man lösen. Dann lernen Sie irgendwann schwere
Quadrausvergleichung. X Quadrat plus 1 gleich 0. Lösung gleich.
Gibt es keine. Jetzt müssen Sie nicht in den Reellen zahlen.
Also schon bei Gleichung, Quadrausvergleichung, so im Sinne von
der fünften Klasse. Ich stelle Sie also gleich fest,
Gleichung, vergessen Sie, dürfen zahlengleichen, normale Gleichung.
Kann man sich mal nicht schwer lösen. Ich würde mit
der Fenster, ich kann natürlich nicht leichter sein,
denn da müssen Sie ja insbesondere Gleichung lösen.
Dann lernen Sie irgendwann später in der Schule differenzieren und integrieren.
Und stellen fest, Sie differenzieren EOX,
es kommt raus EOX,
kein Problem
Oder eher auch Ex-Quadrats,
differenzieren, sie kommt draus nach der Kettenregel irgendwas,
dann wollen sie es integrieren und es kommt raus,
ja, wer war es eigentlich?
E-O-Ex-Quadrat, wie integriert man das eigentlich? Schwierig. Weil
die Produktregel anwenden, klappt nicht. Kettenregel, klappt auch nicht.
Das gibt es noch, tja, es gibt nicht mehr viel.
Und da stellt man als Wald fest, es gibt Integrale,
die wollen wir ausrechnen und das klappt auch schon nicht. Nicht,
dass das Lösung die Lösung nicht geben wird,
aber irgendwie sieht man nicht, wie die Formel aussieht,
man muss irgendwie tricksen, der Gruß herumsubsitieren,
dann hat man vielleicht die Lösung oder vielleicht noch nicht,
solange man sie nicht hat, weiß man nicht,
ob man später nochmal draufkommt,
ich lohne es jetzt noch weiterzurechnen,
bei der Inklusion noch zwei Minuten sind oder es ist eher
eine gute Zeit mit aufzugeben,
keine Ahnung
Und in der Tat gibt es so ein paar ganz gemeine,
wo es Anlösen zwar gibt, im Sinne von existiert, ganz klar.
Sie können sich aber niemals mit elementaren Funktionen hinschreiben. Also die Probleme,
wenn man lösen von Gleichung, sind vielfältig und gehen schon los,
lange bevor sie mit differenzeller Leichen zu tun haben.
Also Lösung von Differenziallöchern würde das nicht geben,
würde es schon Lösung von elementaren Gleichungen,
quadratischen Gleichungen nicht gibt. Und wenn es Algebrage gleichen,
also aus überraschenden Grund kann dann gleich nicht lösbar sein,
wenn sie aus Algebraischen Gründen lösbar ist,
kann sie aus Integrationsgründen nicht lösbar sein,
sagen gleich ein Beispiel dafür.
Und wenn auch das der Fall ist,
kann sie immer noch als differenziell gleiche nicht
lösbar sein
Mal so, kann man allgemein dürfen zwei gleichen lösen.
Differenzialgleichungen. Immer lösen. Okay,
die Antwort wird sein,
ganz klar Nein
Auf seiner Vielzahl von Gründen. Und ich war denen jetzt
drei Gründe in diese Vorlesung zeigen.
Zwei habe ich ihnen gerade gesagt und der dritte,
der ist sopiler, den werden sie noch sehen.
Denn es gibt folgende drei Probleme von mindestens drei.
Also Problem eins. Schon allgebracht die Gleichung.
Lassen sich nicht lösen
Nicht immer lösen. Also zum Beispiel X-Quadrat plus 1. Gleich
null für X-Element R. So, das wissen wir natürlich schon,
solange es noch keine komplexen Zahlen gekannt haben.
Konnten sie auch diese dritten Zeichen noch nicht,
diese Gleichung noch nicht lösen, diese algoberraschen Gleichung.
Was sagt uns das? Du sagten es,
wenn wir jetzt eine differenzielle Gleichung formulieren,
wo in dem X irgendwo eine Ableitung drinsteht,
kann es natürlich
auch nichts geben
Also Konsequenz. Ist das manche von Zahlgleichung?
Zum Beispiel diese, die ist nicht eine explizite,
sondern eine implizite, die dürfen Zahlrechnung, welchen sage?
DU nach DT. Klammer, zum Quadrat plus 1
gleich 0.
Reellwertig. Dann ist schon mal klar,
diese dürfte Zahl hin, die kann gar keine Lösung haben,
denn wenn dies ja ein X ist, dann hätte auch diese gleiche neue Lösung.
Also das kann ich mal so aus rein, aus Kunden keine Lösung geben,
die nichts mit Ableihe zu tun haben. Unabhängig davon,
wie sie hier differenzieren können und was sie mit diesem Thema anfangen können,
können sie anhand der äußeren Struktur sehen,
wo noch keine DU nach DTP drinsteht,
dass es hier keine Lösung geben kann.
Das ist jetzt eine implizite Dürfenzeichen,
hier ist nicht die Form DU nach DT ist gleich irgendwas,
sondern hier ist ein Term,
der der UNAchDT involviert,
was immer schwerer ist
Aber ich zeige mir gleich noch ein paar,
wo man die explizite Form nicht allgemein finden kann.
Dann gibt es das zweite Problem, wenn es eine Lösung gibt,
ist es im Allgemeinen schwer, die zu finden.
Also Problem 2, also weiteres Problem. Wenn eine Lösung existiert,
Gibt es, oder gibt es zumindest im Allgemeinen, es gibt keine Methode,
die für jede der dürfen zahlreichen die Lösung auch produziert.
Oder gibt es, sagen wir so,
lässt sich nicht mit, also sich im Allgemeinen nicht mit
einer generellen Methode finden
Also eine Methode, die für viele Lifenzeichen lösend finden würde.
Es gibt natürlich immer die Methode,
wenn es eine fizielle Lösung einer speziellen Gleiche gibt,
dann gibt es immer diese Methode, die Methode ist,
schlag diese Lösung nach und ich habe genau diese Lösung hin.
Das löst natürlich das Problem, aber das ist keine allgemeine Methode,
denn die funktioniert nur einmal. Die funktionieren nur für diese
spezielle Dinge, wie auf eine Nachricht schlagen kann.
Und warum ist nicht so? Das ist auch so ein Faktum,
das ist im Prinzip schon aus Schulstoff, ja,
bekannt will ich nicht sagen, am Uplight war.
Ich werde jetzt ein Beispiel geben von der Differenzialgleichen,
die man nicht so an weiteres lösen kann,
also wo man sagen kann, hier wird oft nicht eine Lösung existieren.
Ich werde in der gleichen Hinschau,
die wird so einfach sein, dass sie sagen können,
da kann ich sofort sehen,
es gibt eine Lösung
Und sie werden auch sagen können, um die Lösung
zu finden, muss ich mich jetzt etwas anstrengen.
Sie können sich etwas anstrengen, dann werden sie nicht so leicht hinkommen.
Machen wir folgendes Beispiel. Das Beispiel ist die... Vor
allem die Funktion. Ich sage in das F von T.
Hier ist eine Funktion, die nicht wie bisher von X
abhängt oder X und T, sondern nur von T.
Das ist die leichtere Version, das wird sehr leicht sein.
Erst gleich Wurzel aus 1 minus T, Quadrat.
Es gibt einen Grund, warum hier das T steht und nicht
So. Und das ist jetzt eine simple Funktion. Und jetzt sagen wir,
wir tauschen mit dir auf den zahlreichen DX nach DTE.
Erst gleich. F. Fontee. Diese Gleichung ist viel leichter,
als die, die wir getrachtet haben,
weil das X auf der Rechenseite nicht mehr steht.
Sie können also, um diese Gleichen zu lösen,
die sozusagen des X-Links oder das X von T, wenn sie so wollen,
der steht links und sie können die Rechteseite generell betrachten.
Es gibt ja eine Lösungsmethode, ich habe noch nicht so Gelösungsmethoden gesagt,
aber es gibt die Methode,
dass man einfach in diesem Fall das D auf die andere Seite bringt und sagt,
man integriert, X von T ist gleich das Integral F von TDT.
Also das hier ist sozusagen leicht, oder ein leichter Spezialfall.
Da, unabhängig von X. Also es gibt eine Lösung,
die kann man hinschreiben, Lösung. Nämlich X von T,
ist gleich eine konstante plus Entegral von sagen wir mal,
0 bis T, naja, ja, neues Tee.
Fontau, DTO. Ja, und jetzt haben wir das
Problem schon reduziert von einer Differenzialrechnung auf eine simple Integrationsaufgabe.
Hier ist eine Funktion F, die auch noch explizit dasteht,
in simpler Form. Und sie müssen sie nur noch integrieren.
Und sicherlich, kann sie mir jetzt sagen,
nach zwei Minuten nachdenken, viele Lösungen aussieht.
Können sie eine Funktion geben, die dieses Integral angibt,
so richtig so schön simpel als Polonomen oder solche elementaren Dinge.
Irgendwas so Polomen, ganz rational Quotient von Dingen
Und dann, wenn Sie das versuchen,
können Sie mal versuchen, denken Sie mal kurz drüber nach,
wie immer diese Funktion, die Funktion integriert.
Und zumindest, wenn Sie die Lösung hinschreiben wollen als rationale Funktion,
also Ausdruck in Tee, Teequadrate, ja auch 3 und so weiter,
deren Potenzen und deren Quotienten, dann werden Sie sich ziemlich abmühen.
Denn es ist so,
diese Funktion hier ist nicht weiter als dein Halbpreis,
weil ich habe hier diese Funktion hier beschrieben.
Also da gab es erstmal die Funktion F. Und das funktioniert
zum Beispiel für Tee Element, sagen wir mal 0 bis 1.
Das sind Novellen minus 1 bis 0
schenke ich Ihnen
Unter dem Halbkreis, das wissen Sie schon,
ist diese Fläche ein Vielfaches von Pi, also NLP,
insbesondere eine irrationale Zahl.
Also Pi mal R, Quadraten, erstens diesmal einzusehen,
kommt hier heraus. Fläche. Vielleicht ist es eine Zahl
dieser Art. Und wenn Sie jetzt eine Funktion hätten,
der Gestalt, dass die Stammfunktion, groß R4 zu,
gegeben wir durch einen Kozent von Polynomen,
dann hätten Sie Pi ihn dargestellt
Als ein Argobrageen-Ausdruck in 0-1 und solchen Zahlen.
Und das geht nicht. Also eine Stammfunktion,
die diese Funktion existiert, weil die so eine stille Funktion ist,
das ist ganz klar elementar, Aussage der Analyse ist eins,
sie können eine Stammfunktion finden, sie existiert, sie ist eindeutig,
jedoch können sie nicht so ein Uhr weiteres hinschreiben.
Denn wenn sie sie hinschreiben könnten, können sie ja diesen Ausdruck hier,
Peer Firtle einfach einsetzen von 1 und 0 bestimmen.
Aber man kann Peer leider nicht durch Elementare,
durch endlich viele Kozenten,
Multpekationen und
so weiter von ganzen Zahlen bestimmen
Also das heißt,
die Stammfunktion existiert, lässt sich aber,
also solange sie sich zwar an Arkus Tanks oder so wissen,
als rationale Funktion schreiben oder ich habe einmal
eine Quotient von Pulnomen
Ich habe Funktionen, nennen wir sie mal Groß-F. Da.
Viel Viertel gleich erfunden. 1 minus F von 0. irrational.
Oder also dann arrangational wäre. Und die Frage ist jetzt nicht,
ob hier rational oder irrational ist. Das ist natürlich irrational
, deswegen kann es nicht sein. Die Frage ist,
wenn es denn, so wäre das eine simple hinzuschreiben durch Stammfunktionen,
da wäre, dann können wir das PISO schreiben.
Das heißt, dies zeigt sich mal die Stammfunktion,
wie auch immer sie aussieht, die kannst du mal nicht so ganz einfach sein.
Wie man in diesem Fall findet, ist, sei jetzt mal dahingestellt,
in diesem Fall kann man sich mit Winkelfunktionen behelfen,
die tatsächlich einen P produzieren. Aber dieses einfache Beispiel zeigt schon,
dass für leichte Funktionen, die Integrationsaufgabe schwierig sein kann,
selbst wenn auf der rechten Seite der dürfen zeigt,
noch gar kein X drinsteht.
Selbst in diesem schwür Zahlenfall, die simplen Spezialfallen,
ist das Lösen im Allgemeinen so eine Sache,
die das mag existieren und wir können sie trotzdem nicht
so richtig finden
Und da gibt es noch viele weitere Dinge, wo man
die Lösung finden kann, wo man aber ziemlich lange arbeiten muss.
Okay, das war das zweite Problem. Das dritte Problem
, das werden wir später sehen. Das wird sein,
es kann eine Lösung existieren, die für ein bestimmtes Zeitraum,
bestimmtes Intervall, sagen wir der Intervall von minus eins bis eins
existiert und die Nacht plötzlich aufhört zu existieren,
weil sie Lösung zwischendurch nach plus und endlich divergiert ist.
Das ist absolut möglich und kommt auch vor. Ich werde dazu ein paar Beispiele zeigen,
aber die Rechnung des Bestes kommt, die sie alle grob gesagt hat,
wenn sie sich überlegen, oder also,
ich habe immer das Problem an und werde nicht demonstrieren,
dass diese gleichen, die ich hinschreibe,
das Problem hat,
aber es wird es geben
Also weiteres Problem. Dass dann mindestens das dritte Problem auf
dem Weg zur Lösung, wenn eine Lösung... Lösung.
Existiert. Dann eventuell nicht für alle... T-Element Ära
Das kann also solche sein, das lösen zwischendurch noch unendlich geht und
da holt es einfach auf zu existieren und wir kommen nicht mehr weiter.
Das sind jetzt schon mal drei Subsenfälle Probleme auf dem Weg zur Lösung.
Jetzt habe ich die ganze Zeit nur von Problemen geredet,
ich habe nicht gesagt, wie es nun wörtlich geht und in der Tat ist es auch so,
ich habe mit drei Gründe gesagt, warum es im Allgemeinen nicht geht.
Ich kann also zu einer allgemeinen Diffunzialreichung,
kann man weder einen Fluss angeben, noch viel Firma,
eine Lösung produzieren und deswegen wird das Studium von Diffunzialreichung,
auch Chichi oder sei das Studium von Iterationen von Abbildung,
denn beim ersten, bei der Interaktion von Abbildung,
die hatten wir in den ersten fünf Minuten abgehandelt,
da oben stehen sie noch,
schreibt mir einfach die Zukunft hin und ist fertig und bei von Zahnböchern,
muss man sich an, zwei lange Gedanken machen,
was nun eigentlich sein soll.
Der Begriff der Lösung wird gleich noch erweitert, das,
was hier steht, wird noch abgeschwächt,
dass die unterstrichen, auf der linken Seite,
dass wir noch ersetzt durch ein Intervall, um den Startpunkt.
Und ich werde mich mit schwächeren Konzepten befassen müssen,
weil die Startkonzepte, die es da steht, so nicht funktionieren wird.
Okay. Ja, trotzdem kann ich schon mal sagen,
wie in einer Lösung aussehen wird.
Ich werde nur offen sagen, dass diese Begriffe von Orbit,
Traditorium und so weiter
führende verzeihlichen sein werden
Damit kann ich euch schon mal voranmachen. Bevor ich in
diese Dinge erzähle, noch ein paar organisatorische Dinge,
weil ich ihn noch vor dem Ende der Vorlesung abhandeln muss.
Zum einen mal ist es gut,
wenn sich für die Vorlesung in Stienen anmelden,
wenn sie auf Platzstadt studieren, dann müssen sie das sogar.
Wenn sie diese Vorlesung freiwillig behandeln oder als Diplom studieren,
daher sind, dann müssen sie das nicht tun.
Für diesen Fall gebe ich in eine Teilnehmerliste rum,
wo sich bitte alle mal eintragen. Einzellist derjenigen,
die nicht auf Bachelor studieren, die sozusagen freiwillig hier sind,
nur in diese Liste ein und am besten nicht in Schiene.
Die Platzschaftsstudierenden sollten sich hier aber auch verewigen,
damit ich weiß, wie ich sie erreiche.
Insbesondere steht hier, das Wichtelfeld E-Mail,
das ist wichtig, wenn ich sie einmal erreichen muss.
Welche keine E-Mail-Adresse angeht, bekommt die Nachrichten über die Vorlesung
an die Adresse at stude und die Hamburg.de oder so weiter
zugestellt.
Okay,
das war Administrationsansage
Ansage 2 ist, für Stine gibt es zwei Fristen,
die müssen überachten, die sind leicht zu finden,
aber die müssen wir trotzdem beachten.
Es gibt eine spätstmögliche Anmeldefrist, die ist,
glaube ich, am 14.,
die müssen nicht also innerhalb von einer Woche zu dieser Veranstaltung anmelden.
Wenn Sie keine Lust mehr auf die Veranstaltung haben und nicht
mehr kommen möchten, können Sie sich auch wieder abmelden.
Dazu haben Sie noch eine Woche später Zeit,
also bis ungefähr zwei Wochen ab jetzt.
Aber die Anmeldung läuft ab, bevor die mögliche Abmeldung abläuft.
Also als generelle Bemerkung. Und wenn Sie die Anmeldung verpasst haben,
in der Tür noch rein wollen,
dann wird der Aufwand
immer sehr viel größer
Okay, dann das andere. Dennoch eine kurze Bemerkung generell.
Ich hatte schon gesagt, Sie können jede Zeit Fragen stellen.
Das ist auch so gemeint, also jederzeit hier.
Es gibt später noch eine Übung,
die findet immer Montag statt, wo sie dann,
wo wir dann im kleineren Raum zusammenkommen,
wo sie die ganze Zeit interaktiv mit mir reden können.
Es wird hier geben, sofern es geklappt,
eine Vorlesungsaufzeichnung ist mehr Video, die läuft gerade.
Das ist jetzt so gemacht, dass dir das Video nimmt
nur die Tafel auf und nicht.
Das heißt, sie werden momentan nicht aufgenommen,
also sie können sich völlig unbesorgt bewegen, damit sie keinen Lampfheber bekommen.
Gut, das klappt auch hier.
Genau, die Kamera geben das okay
Und die Tontechnik ist auch so gemacht,
dass momentan nur das, was ich erzähle, aufgenommen wird.
Sie können also sozusagen untereinander völlig unbehelligt miteinander schwätzen.
Das ist mal zwar lieber, wenn sie es nicht tun,
aber sie sind sozusagen unberührt davon. Also sie brauchen sich nicht
allzu große Gedanken machen, ob ihr Versuch auch richtig sitzt.
Denn das ist, das betrifft sie im Prinzip nicht.
Ja, und das wird dann, wenn es funktioniert,
innerhalb weniger Wochen nach der Vorlesung, so der Plansminist,
ihnen auch zugänglich gemacht, sodass sie sehen können,
was hier gelaufen ist.
Ich wünsche mir, dass sie trotz Existenz eines Videos,
wenn es funktionieren wird, trotzdem noch in die Veranstaltung kommen,
denn es ist im Prinzip eine Veranstaltungen,
wo ich gebracht habe, dass sie hier sind.
Hier können sie auch Fragen stellen, wenn sie zu Hause
vor ihrem Bildschirm sitzen, dann wird das eher schwieriger.
Und das ist auch im Prinzip eine aktive Teilnehmerveranstaltung,
wo sie auch hier mit anderen Leuten reden können.
Das heißt, das wird kein Ersatz sein. Von mir
aus sowieso nicht. Also ich werde niemals, ich dachte,
meiner selbst sagen, gehen Sie doch auf die Webseite.
Und die Veranstaltung hier fällt aus. Von Ihnen erwarte ich aber auch,
dass Sie im Prinzip zur Vorlesung und Zündübungen erscheinen.
Denn das ist tatsächlich die beste Methode, das hier zu lernen.
Das wissen eigentlich alle schon. Das ist auch so
die Default-Einstellung, das wollte ich nur mal gesagt haben.
Also das ist sozusagen ein Zusatzservice für Sie
Den aber keine weiteren Nachteile bringt. Okay. Ja,
und jetzt habe ich noch auf ganz wenig Zeit
und kann ja noch ganz, ganz schnell sagen,
was sie unter einer Lösung mir vorstelle.
Und da wird es sein,
dass eine Lösung an ein Anfangsgradproblem lösen im folgenden Sinne
Musik Zunächst eine simple Bemerkung. Es geht um allgemein
mehrere Lösungen und sie wollen einen sogenannten Anfangswert,
um eine Lösung zu bestimmen.
Und deswegen,
also Beobachtung
Wenn Lösungen existieren. Oder wenn er eine Lösung... Existieren.
Dann meist mehrere. Ja, und es gibt jetzt
zwei Gründe, warum es mehrere Lösungen gibt.
Erstmal das mit den Anfangsdaten, was ich gleich erklären werde.
Und zweitens ein Problem, das ich hier noch gar nicht hingeschrieben habe.
Es kann euch ja sein, dass sehr viel,
dass verschiedene Lösungen zum delfen Anfangsgrad gibt. Die sind mit dem Anfangswert,
muss ich erklären, zwar in diesem Beispiel, BSP,
betrachten die sie dir simple Probleme, DU nach DT.
Gleich, uh. Das Fonttee, was links und rechts
dazustehen würde, habe ich mir jetzt mal geschenkt.
Das können sie dazuschreiben oder nicht. Also ich hoffe es mal in Klammern,
beziehungsweise DU von T, nach BT, Gleich, U von T.
Das hier ist dieselbe Gleiche wie weiter links.
Diese Gleichen erfüllt, oder wird erfüllt von vielen Funktionen,
zum Beispiel die Funktion UVT,
gleich E-Hochtee
Die differenzieren, sie bekommen natürlich dasselbe.
Also Lösungen kennen. Ja, hier wird Lösung nennen stehen.
Erstens mal könnt ihr da stehen, E-Hoch-Tee.
Also Tee wird abgebildet auf. Das ist sicherlich eine Lösung
des Problems. Ist es denn die einzige? Nun,
sie waren mit der Erkenntnisauslinie Allgäuer sagen,
offensichtliche Weise ist der Linke und der Lab errichtet haben linear.
Deswegen kann ich mit konstant multiplizieren und kann deswegen beliebige Konstanten
in die Lösung hineinschreiben.
Und ich bekomme Lösung gern.
Zimmer-EOT. Für Berlin wirst du C-Elements. Mit anderen Worten,
ich habe schon für diese ganze simple Differenzialleitung unendlich viele Lösungen gefunden.
Das ist auch im Allgemeinen so,
dass die Lösung nicht eindeutig sein wird, sondern nur,
wenn ich einen Wert noch vorgebe, einen Startwert,
dann wird sie eindeutig sein.
Und deswegen wird das Konzept der Lösung nochmal,
du hast verschärft zum Konzept der Lösung des anwaltungswerten Problems,
also eine neue Definition.
Ein Anfangsgrad-Problem
Langes Wort war ein simples Konzept. Ist eine der Funktionalangleichung
. Zum Beispiel die, die da längst steht,
ein DU nach DT, gleich erfahren.
U und T. Und in diesem Fall habe ich
das Fonttee hier unterdrückt, an die Kurzform gewählt.
Und jetzt kommt das Neue,
U von
Gleich U0. Und die Szene ist nicht ein spezialwertes Test,
das U0 ist nicht ein spezialwertes Us,
sondern das sind unabhängige Zahlen mit T-Element L oder T-0 N-Mand R festgewählt und U0-Element hochenden.
Das heißt, ich gebe mir vor,
das zu einem bestimmten Zeitpunkt zusätzlich noch,
eine weitere Einschränkung, dass diese gleichen erfüllt sein muss.
Zum Beispiel kann ich sagen,
ich möchte das bei dieser gleichen hier zum Zeitpunkt Null,
der Wert C angenommen wird,
dann kommt heraus,
die Lösung wird dann dies sein für dieses spezielle C und
sonst keins
Und im Allgemeinen wird es so sein,
wenn eine dürfen zahlreiche eindeutige Lösung hat,
wird im Allgemeinen die Eindeutigkeit sicher auf das Anfangswertproblem beziehen.
Nicht auf die gleichen Urne, die Anfangswerte.
Also dieses Ding wird im Gegensatz diesem Ding,
die Chance haben, eine eindeutige Lösung zu haben.
Und selbst da werden wir feststellen,
es wird noch oft genug vorkommen, dass es keiner hat.
Also die Frage, und die bleibt sozusagen als offene Frage
im Raum. Die Antwort wird später sein, nein.
Hat ein Anfangswertproblem? Immer einer. Eine eindeutige Lösung.
Es wird herauskommen. Erstens, ein Löfenteil, ich muss
überhaupt keine Lösung haben. Deswegen muss auch das Anfangswertproblem,
was ja eine zusätzliche Gleichung ist, und es deswegen nicht leichter macht,
das muss im Allgemeinen überhaupt keine Lösung haben.
Wenn es Lösungen gibt, kann es sein,
dass zum einen und demselben Anfangswert zwei verschiedene Lösungen herauskommen.
Also kann es sein, dass es eine Lösung gibt,
die sozusagen so aussieht. Hier ist ein U-Font-Tee,
sozusagen als Lösung. Und hier ist ein zweites U-Font-Tee,
das sozusagen hier lang geht und dann hier so abzweigt.
Lösung 1. Und die Erlösung 2. Kann dies hier vorkommen oder nicht?
Sie können sich ja schon ein paar Gedanken drüber machen,
so rein informal. Und am Montag geht es dann weiter
mit dieser Veranstaltung. Ja, haben Sie Fragen dazu soweit