Gut. Hier ist wieder dran, wir waren bei einem Reptation,
Wachstumsmodell entstehen geblieben und hatten uns das Modell als ein Nutzenmaximierungsproblem eines repräsentativen Konsumenten geschrieben,
dieser repräsentativen Konsumente, die momentane Nutzenfunktion im kleinen UVC zieht,
der momentane Konsumtier hängt abfottende Zeit.
Das Ganze wird diskutiert mit einer subjektivenskontrate gefundenen Ruhe und es wird pultipliziert mit der Bevölkerung,
die wir in der bekannten Wachstumsrate enden, wachsend voludiert haben.
Der Konsumente repräsentative Konsumenten maximiert seinen Hund so unter einer Budgetbeschränkung,
die Veränderung des Vermögens, gleich des Arbeitseinkommens,
plus das Kapitaleinkommen abzüglich des Konsums,
admzüglich der Verteidigungsvermögens auf neue Hinzukunft der Bevölkerung, das Bevölkerungswachstum,
das anfangs das Anfangsvermögen von A. Nullen ist gegeben und wir hören eine sogenannte Nopotsy-Game-Podition verhängt.
Wir verlangen also, dass es nicht möglich ist,
den Konsum durch eine Verschuldung zu finanzieren,
die Zeitablauf immer stärker wächst und man wollte vielmehr,
dass asymptotisch die Verschuldung Er stets größer gleich.
Und es ist genauer gesprochen, dass der Gegengewartswert der Verschuldung asymptotisch größer gleicht.
Null ist, diese Bedingung wird hier formuliert in einer Vorwurfe,
der mir den Diskonfaktor berechtigt, über den durchschnittliche Zitzsatz erklären.
Das ist dieser Ausdruck hier als der durchschnittliche Zitz im Zeitraum. 0 bis 10 und benutzt,
um das Vermögen Afrity abzusitzen auf den Gegenwartswertszitzung,
ist ein Punkt 0. Nun, das hatte ich eben erläutert,
die Interpretation dieser Doponsy-Ebene, Kritik und auch der Verweis auf aktuelle Geschichte,
Eine Finanzkrise, sprich Berlin.
Maddoff. Wir haben dann das Problem gelöst über das Aufstellen,
das ich meine. Habbeln-Funktion, diese Technik hat die Kiste
gelernt. Ich zeige dir die Funktion hier noch ein,
weil das ist also praktisch wie beim Raumschabschatz,
dass man die Zielfunktion nimmt, nur ohne Dessumation zeigt,
also ohne das Zitigral davor.
Und dann zieht man die Budgetbeschränkung davon ab und multipliziert die
natürlich mit einer Art Legrammschulliplikator hier, also ebenfalls von einer Garageabsatznotiert,
mit Lamper. Das heißt, hier haben wir etwas,
was man dann im Rahmen dieser dynamischen Optimierungsmodelle hat,
also ein Prostit bezeichnet
Die notwendigen Bedingungen ergeben sich dann aus der Referenzation dieser Habilton-Funktion zunächst einmal,
was die Kontrollvariante, die Konsum betrifft, ist es so,
dass wir einfach die Ableitung der Habilton-Funktion nachtippen,
berechtigen und gleich null sitzen, dann bekommen wir also heraus,
dass die Grenzen des Konsums angemäßig diskutiert, gleich diesen Schattenpreis,
latter sein muss, dann müssen wir ableiten nach der Verbögensvariante,
dieser Ableitung und nicht gleich null gesetzt,
sondern dann dürfen gleiche Linus latter, Punkte,
also minus die Veränderung des Großdatesgesetzes,
daraus ernährt man im Wesentlichen diese Bedingungen,
die ich ja nichts anderes besage,
als dass die Wachstumsrate des Schattenpreises minus R ist,
also wenn sich das sicher Telefonzeichen berücksichtigen,
Wir müssen im Prinzip auch noch ableiten nach Land da,
aber die Ableitung nach Land,
da gehen natürlich gerade die Restriktionen wieder.
Also diese Budgetrestriktionen. Hier, die habe ich,
das habe ich nochmal extra hingeschrieben, das kennen Sie.
Und dann kommt die sogenannte Transversalitätsbedingung, die jetzt etwas aussagt über das Grenzverein der Variablen,
wenn die Zeit eben unendlich geht. Das hat ebenfalls erläutert,
das Produkt aus dem Schattenkreis des Einkommens und dem Vermögen,
das muss null sein, asiatrotisch, das heißt,
das bedeutet, entweder ist es asymptotisch so,
dass das Vermögen aufgezählt sein muss, was klar ist,
weil es sinnlos ist, Vermögen zu halten,
wenn man nicht das auch irgendwie für zu den Zwecken genutzt.
Oder es muss so sein, dass der Grenzen dazu des Totums,
also der Schandepreis des Einbruchs bzw. Schattenpreis des Konsums, eben gegen Ungedichte sein könnte,
ist auch vernünftig seit Asthutsch auf die Verfügung zu halten.
Der Fall kommt aber normalerweise nicht vor, weil wir die Eigenschaft haben,
dass der ganze Witz des Konsums physikalischen Konsums immer sehr groß wird.
Nun, jetzt wollen wir diese notwendigen Bedingungen,
hier waren wir gestern stehen geblieben, analysieren und uns überlegen,
welche Eigenschaften des Rap-Station-Wachstums-Modells sich daraus ergeben,
wo liest sich vergleichen, hat in der Eigenschaft,
wie Sorge schon bei Zugspoden, dass wir einige besprochen haben.
Wir werden feststellen, dass das eine oder andere als bekannt
vorm Kopf und dann an einzelnen stehen, aber auch deutliche Unterschiede existieren.
Zunächst einmal tanken wir die erste, der notwendigen Edinen,
also die Ableitung der Hebeling-Funktion nach CE und logaritieren die.
Sie sehen das jetzt hier, als dieser logaritischen Streitweise geschrieben.
Ich zeige dir nochmal die Ausgangsgleiche, diese gleiche Betrügerin.
Meta kriegt man raus, der Logarithmus von Lampa ist die
gleiche gehürdete, das Grenzlutzend plus minus o
Also das, was wir jetzt hier haben, Bürgerinnen und Slamblein, das gleiche Glück ist das Grenzen, das ist für das Handydustro, ART. Wenn ich diese gleiche,
ich jetzt ableite, nach der Zeit,
dann halte ich auch über Wachstumsraten daraus,
sich nur gerhythmuslampner abgeleitet nach der Zeit, gib mir die Wachstumsrate von Lampe,
bin ich den Nudelrechtsgrenzenzen, ableite nach der Zeit,
dann erhalte ich zunächst mal eins durch den Genenzen und dann die innere Ableitung,
also die Ableitung des Grenzens ist selbst nach dem Zeiten,
es gibt Veränderung des Rentners,
es ist in der Zeit bezogen auf den Grenzen,
es ist so eine Art prozentrale Veränderung des Grenznutzes Plus,
naja, mit dem Völkerungswechselsrat immer als die subjektive Discontent weiter.
Diese gleichen bis jetzt insofern, vielleicht noch nicht hilfreich,
als da immer noch dieses Lappen da drin haben,
was jetzt hier eine beobachtbare Variable ist, dieser Schattenkreis.
Andererseits können wir wieder gleich im Termol weiterarbeiten,
denn wir haben natürlich auch die zweite Beobachtung, die bedingt,
die sich aus der Differenziation nach A ergibt,
die sehen Sie hier, diese Kleidhalle, wenn ihr bedient,
da haben wir gerade den Ausbruch drinstrecken, steht lamdaputt durch Landern.
Das heißt, wir wissen, lamdaputt durch Lampner,
ist gerade gleich en-r, folglich können wir jetzt in dem Ausbruch,
den wir gerade hier geleitet haben,
in dem dieses Lamplaput durch Lampner ebenfalls auftritt,
Das lag da pünktlich nacheinander ersetzen,
die Wachstumsrate aufeinander fliegt jetzt raus und hat euch irgendwie nur das R ersetzt werden.
Dann wurde als ich hier auf der linken Seite wieder gleich auf Eng-USR stehen.
Auf der rechten Seite, wir gleich sind sie end-minus-roh,
damit kürzlich das N-Alltag auch raus.
Und wenn wir das dann zusammenfassen, dann sehen Sie,
dass wir als notwendige Bedingung unter Ausschluss der Variablen Lambda jetzt erhalten,
dass der Zinssatz, gerade gleich der subjektiven,
des Kontrate sein muss, abzüglich der Veränderungsrate des Grenznutzens des Konsums.
Das ist also die Optimalitätsbedingung in dieser Ökonomie und diese Optimalitätsbedingung,
die wollen wir jetzt zunächst einmal interpretieren
Vielleicht sollte ich davor noch sagen, dass dies jetzt eine Bedingung ist,
die nicht irgendwie statisch erfüllt sein muss,
sondern es ist eine Bedingung, die während des gesamten Zeitraums gelten muss,
also für den gesamten Konsumpfad gelten muss.
Wo auch immer sich der Konsument befindet, auf seinem Konsumpfad,
so wie er sich eben in der Zeit bewegt,
so muss immer diese Bedingung hier erfüllt sein,
dass eben das Zinssatz Zeitpräferenzrat und die Veränderungsrate des Grenznutzens
des Konsums in diesem Verhältnis
zueinander stehen
Nun ja, und wenn wir das jetzt analysieren,
dann ist es am einfachsten,
sich zunächst mal auf den Fall zu konzentrieren,
wo der Zinssatz gleich der subjektiven Diskontrate ist,
was ja in gewisser Hinsicht vielleicht so eine Art Normalfall oder so ein typischer Benchmark-Fall sein würde,
dass man sagt, gut, der Zinssatz als ein Marktsignal ist natürlich etwas,
was sich ergibt, aus zu grundeliegenden Präferenzparametern des einzelnen Konsumenten.
Das heißt, der Zinssatz auf den Märkten ergibt sich gerade daraus,
dass die Menschen eine bestimmte Gegenwartspräferenz haben und dann bereit sind auf
den Kapitalmärkten eben Ressourcen zu einem bestimmten Zins Umsatz zu verleihen, in Übereinstimmung mit ihrer Gegenwartspräferenz.
Also können wir als ersten Fall, den wir betrachten,
den Fall betrachten, wo wir sagen, nun,
was wäre denn, wenn er gerade gleich roh ist,
wenn die Subjektive des Kontrate gleich dem Zinssatz ist,
dann folgt doch offenbar, dass die Veränderungsrate des Grenznutzens,
des Konsums, dass die gleich null sein muss.
Nun, wenn sich aber der grenzere Nutzen des Konsums nicht verändert,
dann bedeutet das, dass der Konsum konstant sein muss.
Das heißt, in dem Fall,
wo er gleich roh ist, hätten wir den Fall,
dass wir einen konstanten Konsum in eine Zeit wählen würden
Und daraus ergibt sich dann sofort auch,
welche Interpretationen wir bekommen, wenn Roh kleiner wäre als er,
wenn wir also einen Konsumenten betrachten,
bei dem die Subjektive des Kontrate niedriger ist, als der Zinssatz,
dann bekommen wir doch offenbar einen in der Zeit steigenden Konsum.
Denn wenn die Subjektive des Kontrate niedriger ist, als der Zinssatz,
dann bedeutet das ja, dass die Märkte, die Kapitalmärkte,
dem Konsumenten für Konsumverzicht mehr an Entschädigung zahlen,
einen höheren Zinssatz zahlen,
als das,
was er bezüglich seiner Präferenzrelation eigentlich als angemessene Entschädigung empfindet,
nämlich das Roh
Das heißt, wenn die Märkte mehr zu Zahlen bereit sind für diesen Konsumverzicht,
den man leistet, wenn man auf dem Kapitalmarkt Ersparnisse anlegt,
dann ist der Konsument offenbar bereit dazu, Konsumverzicht zu leisten.
Das bedeutet also zunächst einmal, verleiht ihr Ressourcen,
verzichtet auf Konsum und den späteren Perioden realisiert er dann diesen Konsum,
wenn er seine Ersparnisse auflöst und das auflösende Ersparnisse dann eben umwandelt in Konsum.
Das führt also dazu, dass wir einen in der Zeit steigenden Konsum haben,
in diesem Fall, wo Roh kleiner ist als er.
Das können wir hier auch formal an der Gleichung sehen,
wenn wir noch einmal zurückblättern, wenn roh kleiner ist als er,
dann bedeutet das ja, dass hier praktisch,
also bringen Sie mal das roh gedanklich auf die andere Seite,
dann steht da r-roh,
ist was Positives, ist gleich minus DU-Strich nach DT.
Das bedeutet also DU-Strich nach DT muss ebenfalls, muss negativ sein,
damit es zusammen mit diesem negativen Vorzeichen was Positives ergibt.
Das bedeutet also, dass der Grenznutzen des Konsums in der Zeit
fallend sein muss. Nun, wie Sie aber wissen,
ist der Grenznutzen des Konsums dann fallend,
wenn der Konsum steigend ist.
Also die Konsumfahrt steigt dann in der Zeit
Was wir hier sehen, ist, dass der Konsum
also in diesem Modell nicht vom Einkommen abhängig ist.
Oder jedenfalls nicht unmittelbar vom Einkommen abhängig ist.
Seine ganz andere Konsumtheorie als die kensianische Konsumtheorie,
die sie so im Grundstudium kennengelernt haben,
wo man einfach gesagt hat, naja, der Konsum,
der steigt eben, wenn das Einkommen steigt.
Dem ist hier nicht so, der Konsum fahrt genau genommen
die Steigung des Konsumpfades, ist allein abhängig vom Zinssatz.
Ja, und eben von den Subjektiven Discontrate.
Wir können diese Gleichung etwas anschaulicher formulieren,
indem wir sie umschreiben in eine Gleichung,
die eine Aussage macht über die Wachstumsrate des Konsums
Dazu gucken wir uns nochmal diese Ableitung des Grenznutzens des Konsums nach der Zeit,
an die wir in der vorigen Gleichung gesehen haben.
Die sehen Sie hier nochmal und schreiben nur die zunächst einmal um.
Die Veränderung des Grenznutzens des Konsums nach der Zeit
ist doch offenbar die zweite Ableitung der Nutzenfunktion.
Also ja, das ist ja praktisch dasselbe.
Multipliziert dann mit der inneren Ableitung, also mit C-Punkt.
Nun, diesen Ausdruck können wir erweitern,
damit wir aus diesem C-Punkt hier eine Wachstumsrate machen können.
Wir erweitern also mit eins durch C und multiplizieren hier mit C,
um das wieder auszugleichen. Dann kriegen wir also raus,
die Veränderung des Grenznutzens in der Zeit ist dasselbe wie c,
mal die zweite Ableitung der Nutzenfunktion,
mal die Wachstumsrate des Konsums
Wenn wir diesen Ausdruck jetzt einsetzen, in die Bedingung 91,
die ich Ihnen eben diskutiert hatte, dann erhalten wir das,
was in der Literatur bekannt ist, als die sogenannte Ramsay-Regel,
und das ist sozusagen das Kernstück jedes Ramsation-Wachstumsmodells.
Diese Ramsay-Regel sagt uns, die Wachstumsrate des Konsums ist gerade r-roh,
also Differenz aus Zinssatz, Real,
Zinssatz und der Subjektiven des Konsonrate, geteilt durch einen Ausdruck,
den ich jetzt hier abkürzend als Täter von C geschrieben habe.
Täter von C deutet zunächst einmal an, es ist ein Ausdruck,
der sich durchaus noch mit dem Konsumniveau verändert.
Wir werden aber sehen, dass wir eine bedeutende Klasse von Nutzen,
Funktionen, nämlich für alle Nutzer,
Funktionen mit konstanter relativer Risikoaversion zum Beispiel, werde ich ihnen gleich zeigen.
Dieses Täter eigentlich konstant ist. Ja, dann ist es
praktisch parametrisch, weißt? Und für die Interpretation der Ramsey-Riegel
ist es zunächst einmal vielleicht ganz hilfreich,
wenn sie einfach mal so tun,
als wäre das Täter jetzt eine gegebene Konstante.
Denn dann ist es ja einfach, sich zu überlegen, was die Ramsey-Riegel aussagt.
Die sagt uns nämlich die Wachstumsrate des Konsums ist positiv,
wenn er größer ist als so einfach. Ja,
also nach all dem mathematischen Aufwand, den wir betrieben haben,
kommt jetzt hier eine sehr einfach zu interpretierende Regel,
wenn der Markt sienstgrößer ist als die Subjektive des Kontrate,
dann wächst der Konsum in der Zeit.
Wenn das Gegenteil der Fall ist,
dann fällt der Konsum in der Zeit
Nun, Täter von C habe ich Ihnen hier definiert.
Sie sehen, was das ist. Da ist also jetzt
die zweite Ableitung der Nutzenfunktionen hin verschwunden, die wir da oben geschrieben hatten.
Ich war mal das C und dann wird das noch geteilt durch den Grenznutzen des Konsums,
so kriegen wir aus Gleichung 91 gleich um 92,
wenn wir das Täter von C so definieren.
Und sie sollten jetzt sehen, was besagt, dass Täter von C genau.
Nun, wenn da steht, zweite Ableitung der Nutzenfunktion,
geteilt durch die erste Ableitung multipliziert mit dem Konsum,
dann ist das eine Elastizität.
Und das negative Vollzeichen, minus das Ding.
Dann ist das eine Elastizität, das ist nämlich Minus,
die Ableitung des Grenznutzens nach dem Konsum,
mal Konsum geteilt durch Grenzen nutzen,
ist also
eine Elastizität
Also ist das nichts anderes, als die Konsum-Elastizität des momentanen Grenznutzens des Konsums.
Das sagt uns also aus, wie stark verändert sich der Grenznutzen prozentual,
wenn sich der Konsum um ein Prozent verändert. Nun,
das ist ein wichtiges Konzept,
man hat sich aber in der Literatur angewöhnt,
nicht unmittelbar zu sprechen, von der Konsum-Elastizität des Grenznutzens,
so wie ich das jetzt hier eingeführt habe,
also von diesem Täter, sondern zu sprechen von dem Inversen davon.
Dieses Inverse wird aus Gründen,
die ich Ihnen gleich erläutern werde,
bezeichnet als eine intertemporale Substitutionselastizität
Also wir definieren uns Sigma von C,
als einfach das Inverse von Täter multipliziert mit minus eins.
Sigma von C heißt die intertemporale Substitutionselastizität des Konsums.
Und ich erkläre ihnen gleich, warum das eben was mit Substitutionen
zu tun hat. Zunächst einmal sehen wir dann natürlich,
dass die Ramsey-Regel dann in gewisser Hinsicht noch einfacher ist,
nämlich die Wachstumsrate des Konsums,
ist einfach die Intertemporale Substitutionselastizität multipliziert mit der Differenz aus R
und Roh
Nun, was ist die Interpretation davon? Wie ich Ihnen schon gesagt habe,
wir kriegen dasselbe natürlich wie in Gleichung 91 auch.
Der Konsum steigt, wenn der Zinssatz größer ist
als die Subjektive des Kontrate und Feld im Umgekehrten Fall.
Das ist also nicht neu. Ferner sehen wir jetzt,
dass die Wachstumsrate des Konsums umso kleiner ist.
Je größer diese Konsumelastizität des Grenznutzens ist. Also je größer
das Täter ist. Das ist ja offenbar in dieser Ramsay-Regel
hier, je größer dieses Täter ist,
desto kleiner ist die Wachstumsrate des Konsums
Nun, wenn die Wachstumsrate des Konsums fällt mit wachsendem Täter,
dann bedeutet das doch offenbar,
oder dann können wir uns das so erklären, denn um den Fakt,
und das Faktum können wir uns so erklären,
dass es, ja, hier geht um die Empfindlichkeit,
mit der der Grenznutzen des Konsums auf den Konsum reagiert.
Ja, also diese Konsum-Elastizität des Grenznutzens sagt mir ja aus,
wie stark verändert sich der Grenznutzen des Konsums,
wenn der Konsum sich verändert.
Wie empfindlich reagiert also der Grenznutzen darauf, wenn der Konsum
sich verändert? Und dann ist es doch klar,
dass je empfindlicher der Grenznutzen des Konsums auf Veränderungen des Konsums reagiert,
desto weniger bereit ist der Konsument Konsum,
Intertemporal zu verschieben
Denn wenn das eine sehr hohe Empfindlichkeit ist mit der Grenznutzen,
reagiert, dann wurden ja schon kleine Veränderungen des Konsums zu großen Veränderungen im Grenznutzen führen.
Also wäre man in solchen Fällen nur bereit,
kleine Konsummengen entlang der Zeitachse zu verschieben. Was bedeutet,
dass der Konsument dann, wenn der Grenznutzen des Konsums sehr empfindlich reagiert,
wenn also diese Konsubilastizität des Grenznutzens sehr hoch ist,
dass der Konsument dann tendenziell einen relativ glatten Konsumverlauf anstrebt.
Die Wachstumsrate ist dann also relativ nah an Null,
verändert sich nicht sehr stark.
Und der Konsumfahrt ist sehr glatt,
der Konsum verläuft also
relativ glatt
Und vielleicht sollte ich das nochmal hier kurz grafisch darstellen,
wenn sich das in der Zeit vorstellen.
Haben sich hier die Zeit und da haben sie den Konsum.
Nun, wenn die Konsum-Elastizität des Grenznutzens hoch ist,
dann können wir uns vorstellen, dass der Konsum selbst kaum irgendwelche Änderungen aufweist.
Denn schon die kleinen Unterschiede im Grenznutzen, die wir sagen,
von diesem Punkt zu diesem Punkt hier haben, also irgendwie,
das sind ja nur ganz minimale Veränderungen in dem Konsumniveau,
die würden schon große Änderungen im Grenznutzen hervorrufen.
Also schon mit ganz kleinen Veränderungen in dem Konsummengen
wurde der Konsument sein Nutzenniveau
sehr stark beeinflussen können
Das heißt, dann wäre der Konsumfahrt also logischerweise relativ glatt,
weil es keine großen Schwankungen bedarf, um Nutzen,
Ausgleich, Grenzlutzen, Ausgleich herzustellen. Während,
wenn die Konsum-Elestizität des Grenznutzens klein ist,
dann ist es natürlich so,
dass durchaus ein solcher Konsumfahrt hier möglich wäre,
dann könnten wir also zu zwei unterschiedlichen Zeitpunkten,
zu diesem Zeitpunkt und zu diesem Zeitpunkt hier unter Umständen sehr große Unterschiede im Konsumniveau haben,
denn diese großen Unterschiede ist im Konsumniveau würden trotzdem möglicherweise
nur kleine Änderungen in Bezug auf den Grenznutzen darstellen,
weil eben die Konsum-Elestizität des Grenznutzens
so klein ist
Das heißt, in bei diesem Konsumfahrt,
hier ist der Konsument bereit, sehr stark intertemporal zu substituieren.
Ja, er ist sehr stark bereit,
Konsum von einer Periode in eine andere Periode hinein zu transferieren.
Das bedeutet also auf den Kapitalmärkten, Geld anzulegen, nicht?
Und in dem anderen Fall, bei der hohen Elastizität des
Grenzlustes ist das nicht der Fall. Das bedeutet also,
dass diese Konsumelastizzität des Grenznutzens nichts anderes misst,
als die Substitutionsbereitschaft des Konsumenten, und zwar eben invers,
weshalb man das inverse, dieser Konsumelastizität des Grenznutzens dann als Substitutionselastizität definiert.
Ja, das ist hier mein dritter Punkt in der Interpretation,
die Substitutionsbereitschaft in der Zeit ist umso größer,
je kleiner das Täter ist
Haben Sie dazu fragen? Wir wollen jetzt mal eine spezielle Form der Nutzenfunktion als Beispiel annehmen,
nämlich eine Funktion,
eine Nutzenfunktion der Klasse der Grundnützenfunktion mit Konstanter relativer Risikoaversion,
die sehen Sie hier, nehmen wir also an,
dem momentanen Nutzen des Konsums ist gegeben durch C hoch 1 minus Täter minus 1,
geteilt durch 1 minus Täter, wenn Sie das jetzt mal ausrechnen,
wie groß die Konsumelastizität des Grenznutzens bei dieser momentanen Nutzenfunktion hier ist,
dann werden Sie feststellen, dass die gerade gleich minus Täter ist.
Das heißt, bei diesen sogenannten CRA-Nutzen-Funktionen ist gerade eins durch Täter,
die Substitutionselastizität des Konsums, was sie in der wissenschaftlichen Literatur oft einfach unterstellt finden.
Also da würde man ihm sagen, dass diese Nutzenfunktion und
dann ist das Täter eben, oder das Einzuchttäter ist die Substitutionselastizität.
Nun kommen wir zu der Transversalitätsbedingung. Die Transversalitätsbedingung,
die können wir uns herleiten aus der Gleichung 87,
indem wir eben diese Bedingung bezüglich der Zustandsvariablen A noch einmal studieren.
Wir haben Das ist ja nicht die Transfersalitätsbedingung,
sondern es ist eben eine, das ist die Bedingung,
die sie eben ergibt aus der Ableitung, nach der Verwögensvariablen.
Das ist aber eine sehr einfache Bedingung hier, die wir unmittelbar lösen können, indem wir nämlich nach dem Lamda auflösen. Also diese Bedingung,
wie gesagt, sagt ja nichts anderes,
als dass die Wachstumsrate von dem Lamda gerade gleich n-r ist,
wenn wir sie so schreiben,
lamnder Punkt durch Lamda ist gerade gleich n-r und dann wissen wir natürlich n-r sollen oder stellen wir uns mal vor,
dass das konstante Größen sind, das muss gar nicht unbedingt konstant sein,
weil sich das R durchaus, wie wir nachher sehen werden,
in der Zeit verändern kann.
Aber wir wissen natürlich, wenn eine Variable eine solche Wachstumsrate hat,
dann folgt unmittelbar, dass das Lamm da selbst nichts anderes ist,
als eh hoch n-n-r.
Martin. Ja, also wir können das praktisch integrieren,
da können dann noch eine Integrationskonstante hinzu,
aber diesen Sachverhalt wollen wir im Wesentlichen hier ausnutzen.
Ja, ich habe sie ja schon hingeschrieben,
deshalb sollte ich es dann da auch tun.
Also es ist Lamm da null,
das ist die Integrationskonstante, Lamm da null,
mal eh hoch n-r mal
T, das wäre die Integrationbegleichung 87, die uns diesen Sachverhalt liefert.
Und deshalb können wir in der Transversalitätsbedingung das Lamda von T,
was da drin auftritt, ersetzen durch diesen Ausdruck Lamda von null, mal i
hoch-n-r-quer mal T. Ach ja, richtig. Das R quer
kommt dadurch zustande, dass ich hier dieses R zeitabhängig modelliere.
Deshalb muss also, dass R selbst nochmal nach der Zeit
integriert werden und dann ergibt sich eben doch der durchschnittliche Zinssatz.
Und dann kann ich das Lamda von T in der Transversalitätsbedingung
ersetzen durch diesen Ausdruck, gehen wir nochmal zur Transversalitätsbedingung zurück
Da stand ja Lamda von Tee drin, das Lamda von Tee
kann ich jetzt ersetzen durch Lamda null mal irgendwie eine E-Funktion. Ja,
das Lamda von null, das ist eine konstante,
wenn ich also die ganze gleiche Schlammda von null dividiere,
dann verschwindet diese Konstante. Und die Transfersalitätsbedingung erhält die Form,
die ich jetzt hier als 95 habe,
der Grenzwert des Produkts aus Vermögen, mal dieser,
naja, zum Teil abzinsenden Variablen, also ehoch-minus-rquertee,
ist ja einfach der Disconfaktor,
der das Vermögen wieder abzinst auf seinen Gegenwarts wird,
multipliziert dann eben mit der Bevölkerung ehoch-n,
dieses Ding,
das soll gleich nur sein,
das ist die Transfersalitätsbedingung
Und diese Transfersalitätsbedingung ist nun formal ganz ähnlich zu den neuen Ponty-Game-Bedingungen 84.
Gucken wir uns die nochmal im Vergleich dazu an?
Da ist sie. Die No-Ponty-Game-Bedingung hat praktisch dieselbe Struktur. Ja,
die hatten wir ja anfangs als eine Beschränkung in das Nutzenmaximierungsproblem aufgenommen.
Und jetzt sehen wir, nutzend Maximum liegt dann vor,
wenn diese No-Ponty-Game-Bedingung mit Gleichheit erfüllt ist.
Oder es ist jedenfalls eine notwendige Bedingung,
dass diese No-Ponty-Game-Bedingung mit Gleichheit erfüllt ist
Ja, und das sagt uns eben optimal,
ist wirklich, wenn man die,
wenn man das Vermögen vollständig ausnutzt zu Konsumzwecken mit der unteren Beschränkung,
dass das Vermögen asymptotisch nicht negativ werden darf.
Bezogen immer auf den Gegenwartswert, also das hatte ich
ja gestern erläutert, eigentlich ist es eben die Forderung,
dass der Gegenwartswert des Vermögens nicht negativ werden darf.
Temporär ist natürlich eine negative Verschuldung möglich,
sofern diese Verschuldung eben diese Grenze nicht überschreitet,
dass asymptotisch der Gegenwartswert
gleich Null bleibt
Nach diesen sozusagen Betrachtungen von der Haushaltsseite her,
wollen wir uns jetzt wieder der etwas vertrauteren Seite der Kapitalargumulation zuwenden,
also den Dingen, die wir aus dem soloischen Wachstumsmodell
bereits kennen und jetzt erstmals über die Kapitalargumulationsgleichung sprechen.
Bislang haben wir ja über das Konsumverhalten des repräsentativen Agenten gesprochen und wir haben gesprochen darüber,
wie er sein Vermögen in der Zeit gestaltet.
Wir haben das Problem noch nicht vollständig gelöst,
weil die Variablen, die jetzt in dem Haushaltsproblem auftreten,
eben offenbar sehr stark abhängig sind vom Zinssatz.
Und der Zinssatz ist nicht irgendwie eine exogen gegebene Variable,
dann wäre es leicht, das Haushaltsproblem zu lösen,
sondern der Zinssatz drückt natürlich das Bruttogrenzprodukt des Kapitals aus.
Deshalb müssen wir jetzt über die Kapital-Akkumulation reden und damit über die Investitionsseite dieser Ökonomie reden.
Nun die Kapital-Akkumulationsgleichung lautet jetzt im Ram-Station-Wachstumsmodell anders als im solution Wachstumsmodell,
weil beim solution Wachstumsmodell ja K-Punkt immer erklärt hatten durch die
Bruttoinvestitionen S-mal Y und jetzt haben wir kein S mehr.
Ja, jetzt haben wir keine Sparquote mehr,
weil die Ersparnis endogenisiert worden ist.
Also müssen wir jetzt die Investitionen anders schreiben.
Die Bruttoinvestitionen sind nicht mehr S-mal Y,
sondern die Bruttoinvestitionen sind Y und minus C,
also output-konsum
Das sehen Sie jetzt hier in dieser Gleichung. 96,
K. Punkt, ergibt sich als Output-Konsum. Das sind praktisch
die Brutto-Investitionen, die hier stehen, wieder unter der Annahme.
Das ist kein externen Sektor gibt und Staatstätigkeit auf null gesetzt worden ist.
Dann haben wir also hier Y gleich C plus I,
also ist i gleich Y minus C.
Und dann müssen wir hier die Abschreibungen berücksichtigen,
einerseits der physische Kapitalverschleiß und andererseits die Korrektur für wachsende Bevölkerung.
Das kennen Sie. Und dann haben wir also
die Kapital-Akkumulationsgleichung jetzt in der folgenden Form vorliegen
Das ist im Prinzip nicht schwierig,
um das Modell zu schließen,
brauchen wir noch sozusagen den Ersatz für die Bedingung,
das Ersparen ist gleich Investition ist, I gleich S,
das könnten wir im Prinzip auch in dieser Form schreiben,
aber ich will jetzt nicht noch eine neue Symbolik für Investitionen und für Ersparnis einfügen,
statt ein Führen stattdessen ersetzen wir die Bedingung,
die bislang in Stromgrößen formuliert war,
I gleich S einfach durch die analoge Bestimmung in Bestandsgrößen und sagen,
dass K gleich A sein soll.
Ja, also der Kapitalbestand muss gleich dem gesamtwirtschaftlichen Vermögen sein,
das ist praktisch die Kapitalmarktgleichgewichtsbedingung,
die wir jetzt hier verwenden, nur eben in Bestandsgrößen.
Für diese Kapitalmarktgleichgewichtsbedingungen gilt dann natürlich auch die Gleichheit der jeweiligen Anfangswerte
Also in der Ausgangsperiode muss das natürlich auch der Fall sein.
Das heißt, der gegebene Kapitalbestand muss gleich dem gegebenen Vermögensbestand zum
Zeitpunkt Null sein. Perner wissen wir aus dem soloischen Wachstumsmodell,
dass das Grenzprodukt des Kapitals, des Bruttogrenzproduktes Kapitals,
gleich dem Zinssatz plus der physischen Abschreibungsrate ist.
Also F-Strich von Kardach ist gerade gleich R plus Delta.
Das war unsere Gleichung. Sieben vor vielen Wochen
haben wir die erstmals benutzt. Und diese Gleichung sieben,
die können wir jetzt natürlich einsetzen in 92. Ich blätter dahin
nochmal zurück
In die Ramsay-Regel, das sehen sie jetzt hier,
da steht also der Zinssatz drin und diesen Zinssatz können wir jetzt unmittelbar schreiben,
als Grenzprodukt des Kapitals abzüglich physischer Kapital, physischem Kapitalverschleißes,
dann kriegen wir also die Ramsay-Regel in der Form,
wie sie hier steht, statt Zinssatz steht jetzt hier,
also statt Zinssatz steht jetzt hier das Grenzprodukt des Kapitals minus Data,
das minus roh, minus die Subjektive des Kontradaten ja schon vorher,
geteilt, wiederum hier durch die Konsumillastizität des Grenznutzens,
beziehungsweise eben multipliziert mit dem mit der Substitutionselastizität.
Und was ich dann noch gemacht habe, ist,
dass die ganze Gleichung umgeformt habe in die Größeneffizienzeinheiten,
weil wir ja jetzt auch technisches, technischen Fortschritt betrachten,
die Wachstumsrate des technischen Fortschritts war.
X, die würden wir normalerweise hier auf der anderen Seite
mit minus X verbuchen. Ich habe es jetzt rübergeholt,
auf die linke Seite der gleiche, sodass wir also bekommen,
die Wachstumsrate des Konsums sind Effizienteinheiten,
ist gerade plus der Wachstumsrate des technischen Fortschritts.
Fortschritt ergibt sich im Wesentlichen aus der Differenz zwischen dem Bruttogrenzprodukt
des Kapitals und der Subjektiven des Kontrate plus der physischen Abschreibung,
dann das ganze Ding geteilt durch die momentane Konsumelastizität des Grenznutzens
Wenn ich das jetzt auflöse nach der Veränderung des Konsums in effektiven Einheiten,
dann kriege ich das, was hier als Gleichung 99 steht,
also die Veränderung des Konsums in effektiven Einheiten,
ergibt sich als, ja, diese Differenz hier,
multipliziert mit C-Dach durch Täter.
Ja, also ich habe hier das X auf die
andere Seite gebracht, wie Sie sehen.
Deshalb, es muss mit Täter multipliziert werden,
weil ich hier ja auch durch Täter teile,
dann hebt sich das wieder weg.
Dann kann ich das in die Klammer hineintun. Und das
C-Dach multipliziere ich ihm einfach von der Wachstumsrate auf die andere Seite rüber.
Dann sehen wir schon, worauf das hinausläuft. Das läuft daraus hinaus,
dass sich diese Gleichung betrachten will,
mal unter der Annahme, wann verändert sich der Konsum in
Effizienzeinheiten nicht mehr
Und nun wann ist dieses T-Dach-Punkt hier gleich? Null. Das ist offenbar dann der Fall,
wenn das F-Strich von K-Dach gerade gleich roh plus Delta plus Delta mal X ist.
Ja, das werden wir gleich ausnutzen. Zunächst mal will ich aber darauf hinweisen,
dass das hier eine dynamische Gleichung ist,
also eine Differenzialgleichung im C, ja,
offensichtlich Veränderung von C. Und hier steht C,
aber auch abhängig eben von dem K. Nun ja,
und wir haben ja noch eine zweite dynamische Gleichung,
eine zweite Differenzialgleichung, das ist gerade die Kapital-Akkumulationsgleichung,
die ich eben schon besprochen hatte, wenn ich die umschreibe,
sodass ich auflöse nach der Veränderung von K bzw. K-Dach,
dann kriege ich eben hier wieder heraus,
das ist die Bruttoinvestition, minus diese Abschreibungssätze dort mal KDAC.
Das heißt, auch das ist ein Differenzialgleichung,
die in der Veränderung einer Variablen formuliert wird,
die sich dann bezieht auf zwei Niveaus,
nämlich das Niveau von K und das Niveau von C.
Also bildet das Ganze hier ein System von zwei Differenzialgleichungen in zwei Variablen.
Das ist im Prinzip lösbar. Allerdings ist es so,
dass so ein System von Differenzialgleichungen nicht eine eindeutige Lösung hat,
sondern das hat immer eine ganze Lösungsschar.
Für diese Differenzialgleichungen finden wir hier im Allgemeinen unendlich viele Lösungen.
Es sei denn, wir legen bestimmte Anfangswerte fest
Oder Endwerte. Üblicherweise liegt man anfangswerte fest,
wenn man eindeutige Lösungen von Differenzialgleichungssystemen haben will,
aber das können wir hier nicht machen,
weil wir nicht genügend Informationen über unsere Ökonomie haben,
um die Anfangswerte festlegen zu können.
Wir besitzen nämlich eine Information über einen Anfangswert und das ist der anfängliche Kapitalbestand.
Wir wissen aber nicht, was der anfängliche,
optimale Konsum ist. Der Konsum ist ja eine Stromgröße,
nicht eine Bestandsgröße wie der Kapitalbestand, das heißt,
der Konsum kann vom Konsumenten jetzt optimal,
auch in der Anfangsperiode null festgelegt werden.
Das heißt, der ist frei am Anfang
und ist sozusagen Teil der Lösung des Maximierungsproblems
Deshalb ist die Lösung hier durch Anfangswerte allein noch nicht determiniert,
noch nicht endgültig festgelegt, weil wir eben
nur einen Anfangswert für ein System mit zwei Gleichungen haben.
Wir bräuchten im Prinzip aber zwei Anfangswette, um das festlegen
zu können. Nun, dennoch ist es so,
also festhaltend tun wir, wir kennen das Karnol Dach,
aber wir kennen eben nicht das C-Null-Dach.
Dennoch ist es so, dass wir das System lösen können,
weil wir statt des fehlenden Anfangswerts eine Endpunktbedingung haben.
Und das ist gerade die Transversalitätsbedingung.
Gucken wir uns das hier an
Diese Transversalitätsbedingungen, die Transversalitätsbedingungen, die können wir so schreiben,
dass wir sehen, dass die wiederum von Kardach und von C-Dach abhängt.
Guck mal an, wie ich das gemacht habe.
Die Transfersalitätsbedingungen sagt mir, dass der Grenzwert von Schattenpreis mal vermögen,
dass das gerade gleich null sein muss. Nun,
das wissen wir, das können wir auch umschreiben, als,
also dass wir ausnutzen, dass das Lambda den Grenznutzen des Konsums wiedergibt,
als Limis U-Strich von C diskontiert mit E-Hoch-N-U-Romal-T.
Und das A ersetze ich durch K. Und wenn ich das jetzt noch umschreibe,
diese pro Kopfeinheiten C und K in Einheiten,
die in Effizienzgrößen definiert werden, also in die C-Dachs die Kardas.
Ja, dann kommt da noch so ein Faktor E hoch XT dazu.
Hier sehen sie es auch. E hoch XT kommt jetzt
noch dazu. Und dann haben wir also hier eine Bedingung,
die uns etwas aussagt, über das Grenzverhalten von Zedach und von Kardach.
Die müssen nämlich irgendwie so als Produkt und unter Einfluss dieser E-Funktion
, müssen die zusammen null ergeben.
Nun, das kann natürlich gerade dann der Fall sein,
wenn Zedach und Kardach gegen Konstanten konvergieren. Das wissen wir noch nicht,
ob die gegen Konstanten konvergieren,
aber das ist sozusagen ein naheliegender Verdacht, den man haben kann,
dass wenn das Kardach und wenn das Zedach hier irgendwie konstant werden,
naja, dann wissen wir ja schon,
der Grenznutzen des Konsums, der geht immer gegen null,
wenn der Konsum sehr groß wird,
da eh hoch x Tee hier explodiert,
geht der Grenznutzen des Konsums gegen null.
Das heißt, der erste Faktor würden dann hier schon mal gegen null konvergieren.
Bei dem zweiten Faktor ist das nicht so ganz klar,
was mit dem passiert, denn da sehen wir ja,
hier steht als Exponent etwas, von dem wir nicht wissen,
ob das positiv oder negativ ist.
Wir wissen zwar, dass das rohannahmegemäß kleiner ist als das N,
das heißt N-O ist negativ, wir wissen aber nicht,
ob die Differenz zwischen N und Roh stärker negativ ist,
als das x positiv ist.
Nun, selbst wenn es so wäre,
dass dieser Exponent hier positiv wäre und diese E-Funktion hier explodieren würde,
könnte das immer noch so sein,
dass Die Multiplikation mit dem gegen null gehenden U-Strich insgesamt null ergibt,
je nachdem wie schnell das umstrich gegen null geht.
Also das ist eine Möglichkeit, wie man eventuell hier das sicherstellen kann,
dass diese Transfersalitätsbedingungen erfüllt ist, dass man fordert,
naja, oder dass man sich überlegt,
obwohl das C-Dach und das Kardach gegen irgendwie Constanten gehen.
Aber wenn man das hört und wenn man schon diese Notation sieht,
C-Dach und Kardach, da denkt man natürlich,
das riecht ja danach, dass wir jetzt die Steady State-Betrachtung machen.
Ja, also wir wissen ja aus dem soloischen Wachstumsmodell,
dass C-Dach und Kardach gegen Konstanten konvergieren,
dass das also sozusagen der Gleichgewichtspunkt des Modells ist.
Und das wollen wir uns jetzt überlegen, ob das hier auch der Fall ist.
Ob wir hier durch die Division oder durch die Transformation in pro Kopfeinheiten und Effizienzeinheiten,
ob wir das dann hier bewerkstelligt haben,
dass auch das C-Dach und das Kadach gegen ein allgemeines,
gegen einen festen Gleichgewichtspunkt konvergieren.
Dieser Gleichgewichtspunkt wäre dann natürlich der Steady State des Modells,
weil dann, wenn diese Variablen gegen Konstanten konvergieren,
deren Wachstumsrate null ist,
dann hätten wir also konstante Wachstumsraten und wären folglich im
Steady State des Modells
Ich komme also zu dieser Interpretation der Transversalitätsbedingungen nachher nochmal zurück,
weil sie uns helfen wird, eben dieses Differenzialgleichungssystem zu lösen,
den die eindeutige Lösung dieses Modells zu finden.
Im Augenblick schweife ich jetzt aber erstmal länger ab,
mache also einen längeren Exkurs,
in dem ich eine Statistität-Betrachtung anfüge und dann auch über die
goldene Regel sprechen werde und wir untersuchen werden,
ob die goldene Regel wohl in diesem Modell erfüllt ist oder nicht.
Nun, zunächst einmal zu der Steady State-Betrachtung.
Wir wollen mal einfach sagen,
dass die Wachstumsraten im Steady State bezeichnet werden mit Gamma C-Dach,
Stern und Gamma Kardach
Und dann gucken wir uns jetzt mal die Ramsey-Regel-Angleichung 98 und überlegen uns,
was aus der im Staty States des Modells wohl werden wird.
Das war diese Gleichung, die sich hier unten sehen.
Wir nehmen jetzt also eine Steady-State-Betrachtung dieser Gleichung. Nun,
wenn wir im Steady-State des Modells sind, dann wissen wir,
dass die Wachstumsrate des Konsums konstant sein muss.
Also da würde ich ja gerne mal C-Dach-Stern stehen.
Diese Wachstumsrate ist konstant. Die Wachstumsrate des Bestands an technischem Wissen ist ebenfalls konstant.
Das heißt, die ganze linke Seite der Gleichung ist dann konstant.
Auf der rechten Seite der Gleichung kamen wir hier eine Konstante,
da eine Konstante und das Täter wäre ebenfalls konstant,
wenn wir diese C-R-A-Nutzen-Funktion unterstellen.
Das ist ja dann ebenfalls nur parametrisch. Das heißt,
das Einzige, was ich auf der rechten Seite der Gleichung
verändern könnte, wäre das F-Strich von Kardach.
Da aber die linke Seite konstant ist, hier alles konstant ist,
muss offenbar F-Strich von Kardach auch konstant sein.
Nun wann ist F-Strich von Kardach konstant? Offenbar dann,
wenn Kardach konstant ist. Das bedeutet also zunächst einmal,
wissen wir, wenn wir im Steady Status Modells sind,
dann ist die Wachstumsrat von K im Steady State gleich null.
Das habe ich hier beim C noch nicht reingesteckt.
Bei C habe ich zunächst mal nur gesagt,
das C wächst im Steady State mit einer konstanten Rate.
Also es kann null sein, kann aber auch im positiven Wachstumsrate sein.
Auf alle Fälle ist die linke Seite konstant,
aus der Konstanz der linken Seite folgt dann,
dass auf der rechten Seite das Kardach nicht wachsen darf.
Das heißt, die Wachstumsrate von dem K muss null sein
Also wissen wir schon mal, im Statistatus-Modells muss es so sein,
dass die Wachstumsrate von K gleich null ist.
Das ist das Ergebnis, was wir hier haben.
Hier habe ich es nochmal in einer anderen Form aufgeschrieben.
Ich habe aufgelöst sozusagen nach dem F-Strich von K-Dacht,
das ist dieselbe Bremse-Regel, dann sehen wir die linke Seite,
hier ist konstant, die rechte Seite muss auch konstant sein,
also muss die Wachstumsrate von dem K-Dach gleich null sein,
also haben wir Gama-K-Dach-Stern,
gleich null.
Nun, wenn das K aber nicht wächst,
dann folgt unmittelbar auch, dass das Zeh nicht wächst,
das sehen wir nämlich aus der gleichen
Gleich um 100, also wenn das K nicht,
wenn das K nicht wächst,
dann ist K-Dach Punkt ja gerade gleich null.
Hier haben wir dann eine Konstante stehen, da haben wir
eine konstantes Tier stehen, weil das Kardach nicht wächst.
Folgt dich, muss dann das C-Dach ebenfalls konstant hätten.
Wenn das C-Dach konstant ist, ist die Wachstumsrate von C
ebenfalls gleich null. Also wissen wir jetzt zunächst einmal bereits,
dass im Steady State dieses Modells, Kardach und C-Dach nicht wachsen.
Nun, was sind aber Kardach und C-Dach?
Kardach und C-Dach sind ja gerade Groß,
Kar und Groß C geteilt durch die Bevölkerung,
geteilt durch den Bestand des technischen Wissens
Also folgt sofort, dass im Steady-State des Modells C und K,
also Groß-C und K, mit exogener Rat wachsen, nämlich mit X plus N.
Und damit haben wir dasselbe Ergebnis wie im zörnischen Wachstumsmodell,
einen Augenblick, wie im zörnischen Wachstumsmodell.
Wir haben nur exogenes Wachstum in diesem Modell. Die Endogenisierung der Ersparnis,
die wir vorgenommen haben und die,
wie Sie sie ja gesehen haben, einen erheblichen Aufwand verursacht hat,
also technisch mathematisch einen ziemlichen Aufwand verursacht hat,
führt nicht irgendwie zu einer qualitativen Änderung der Modelergebnisse in Bezug auf die Wachstumsraten der Variablen im Steady-State.
Sondern wir haben genau dasselbe Wachstumstempo und wir haben
genau dieselbe Eigenschaft
Dass das Wachstum rein exogener Art ist. Das heißt,
es ist nicht wirtschaftspolitisch steuerbar. Es gibt keine Möglichkeit,
jetzt über die Investitionsanreize beispielsweise, das Wachstumstestempo in der Ökonomie,
im Staty State, zu verändern.
Sie haben eine Frage. Das Kammerzitter. Und das Dorf
haben wir dann beschlossen, dass der Vater Gottes,
das Interziele, die disklamazieder ist.
Nee, Ihre Prämisse ist falsch. Wir sind nicht davon ausgegangen,
dass Gamma C-Dach 0 ist,
sondern wir sind davon ausgegangen,
dass Gamma C-Dach konstant ist
Ja? Nicht, wir haben nur gesagt, Gamma C-Dachstern ist konstant,
weil wir sagen, wir betrachten den Steady Stick.
Dann wissen wir, ist das konstant. Und dann wissen wir,
dass die ganze linke Seite hier konstant,
schauen Sie nochmal hier in den Augenblick,
da ist die ganze linke Seite, die hier konstant,
wenn die linke Seite konstant ist, muss die rechte Seite konstant sein.
Das kann nur der Fall sein, wenn der Kapitalbestand selbst
konstant ist. Also der Trick ist hier praktisch,
dass wir auf der einen Seite der gleiche junge Wachstumsraten stehen
haben und auf der anderen Seite haben wir eine Niveau-Variable stehen.
Wenn die Wachstumsrate konstant ist, dann muss auch die Niveau-Variable konstant sein.
Das heißt, dass deren Wachstumsrate null sein muss.
Und dann kann ich den zweiten Schritt machen und schließen,
dass es Gamma C-Dachstern auch gleich null ist.
Sonst hätten sie recht, wer ist ein Zirkel
Haben Sie andere Fragen? Gut, also das ist jetzt mal
das erste, was Service ist. Wir kriegen dasselbe Ergebnis
wie im Solution Wachstumsmodell in Bezug auf die Wachstumsraten im Steady State.
Jetzt wollen wir den Steady State mal ausrechnen.
Wir wissen also jetzt cdach.undkdach.verändern sich im Steady State.
Nicht, ja, wenn wir im Steady State sind,
dann ist das sozusagen die konstituierende Bedingung des Steady States.
Das heißt, wir betrachten jetzt diese beiden Differenzialgleichjungen 99 und 100 unter der Annahme,
dass es keine Veränderungen mehr gibt in Zedach und Kadach,
dass wir also im Steady State sind
Dann kriegen wir eben aus diesen beiden Gleichungen heraus.
Ich kann sie ihm ja nochmal schnell zeigen. Zunächst mal
eine bestimmte Bedingung für das Grenzprodukt des Kapitals. Gleich um 99 hier,
ja, wenn das C-Dachpunkt gleich null ist, naja,
dann kann ich natürlich multiplizieren mit Täter und Teilen durch C-Dach,
dann fällt dieser Faktor hier weg.
Das heißt, es folgt es einfach, F-Strich von K-Dach gleich roh,
plus Delta, plus Täter mal X sein muss.
Das ist aber nichts anderes als die Forderung,
dass das Grenzprodukt des Kapitals konstant sein muss, ja.
Das heißt, wir wissen, naja gut,
das wussten wir eben auch schon,
das Grenzprodukt des Kapitals muss konstant sein und wir wissen jetzt,
auf welchem Wert es sein muss,
nämlich gerade auf dem Wert Roh plus Delta,
plus Täter mal
Was nun bedeutet, dass wenn wir uns den K-Dach-C-Dach-Raum zeichnen,
dann bedeutet das offenbar,
dass die Menge derjenigen K- und C-Kombinationen,
bei denen die Veränderung von C-Dach gleich null ist,
dass das einfach eine Senkrecht in diesem Raum ist.
Das zeige ich Ihnen mal hier in der nächsten Grafik.
Was ich in dem Augenblick sage, ist C-Dach.gleich null ist
genau dann der Fall, wenn wir ein spezielles Grenzprodukt des Kapitals haben.
Wenn das Kapital also auf einen ganz bestimmten Wert fix ist,
beispielsweise auf diesem Wert hier. Das ist dann eine Senkrechte,
egal wie der Konsum ist, solange wir diesen Kapitalbestand haben,
gilt immer,
dass der Konsum sich nicht weiter verändert
Dieses Kardach Sterns, also gerade das Kardach Stern,
bei dem das Grenzprodukt des Kapitals gerade gleich diesem Ausdruck roh plus Delta,
plus Delta mal X ist. Also F-Strich von Kardach,
Stern ist roh plus Delta, plus Delta mal X. Nun,
wie sieht es mit der zweiten Gleichung aus, mit der Gleichung 100?
Die haben wir hier. Das Kardachpunkt, wann ist das gleich null?
Nun, das Kardachpunkt ist doch oft mal dann gleich null,
wenn C-Dach gerade gleich F&K-Dach minus X plus N plus Delta-Kardach ist.
Ja? Also Kardach ist gleich null, wenn Zedach Gerade gleich FVNK-Dach,
minus x plus N plus Delta. Mal Kardachs. Nun,
das, was hier auf der rechten Seite jetzt steht,
das Kennen war aus der Analyse des soloischen Wachstumsmodells.
Denn was fahren wir beim soloischen Wachstumsmodell immer gemacht?
Dann haben wir doch einfach gesagt,
ja, x plus N plus Delta, mal Kardach,
das ist diese Break-Even-Investition, das ist eine lineare Funktion.
Und FVNK-Dach, das war die Produktionsfunktion, die sah irgendwie so aus.
Und wir wussten dann, die Wachstumsrate war immer dann positiv,
wenn das F größer war, als das x plus N plus Delta,
dann war hier der Steady State und da wurde die Wachstumsrate des Kapitals Quatsch.
Also wenn ich hier das mit S noch multipliziert wäre,
dann wäre der Schnittpunkt eben der Stabilität gewesen.
Aber was wir insgesamt wissen, ist,
dass es hier immer dieses positive Segment gegeben hat.
Und dann kommt ja die Stelle, wo das Ding null
ist und dann kommt da das Negative. Das heißt,
wenn ich das jetzt übertrage auf die Grafik,
die ich Ihnen gerade schon gezeigt habe, die sich hier,
dann sehen Sie,
wenn ich jetzt F von Kardach minus X plus N plus Delta Kardach zeichne,
dann zeichne ich praktisch diesen Bogen hier.
Die Differenz zwischen diesen beiden Funktionen,
das gibt diesen Bogen, das ist praktisch der Bogen,
den wir hier sehen
Das ist also die K-Dachpunktgleich-Null-Kurve. Und jetzt ist natürlich klar,
wenn das die K-Dachpunktgleich-Null-Kurve ist,
da verändert sich der Kapitalbestand nicht und das ist die C-Dachpunktgleich-Null-Kurve,
dann wissen wir, der Schnittpunkt dieser weiten Kurven,
der definiert mir gerade den City State.
Was ich Ihnen noch nicht gezeigt habe,
was aber richtig ist, werde ich Ihnen gleich zeigen,
ist, dass diese C-Dach-.gleich-Null-Kurve die K-Dachpunktgleich-Null-Kurve an einer Stelle schneidet,
wo die K-Dachpunktgleich-Null-Kurve eine positive steigen kann.
Im Prinzip könnte sie ja auch hier Maximum schneiden oder
sie könnte sie irgendwo da drüben schneiden.
Das haben wir jetzt noch nicht gezeigt, wo dieser Schnittpunkt liegt,
aber ich habe es schon so gezeichnet,
wie es richtig ist,
sie wird hier im Aufstrebenden Teil schneiden
Okay, das haben wir. Jetzt, wenn wir uns
der Frage zu, wurde nun die goldene Regel erfüllt ist.
Die goldene Regel nochmal zur Erinnerung, fragt, wann haben wir den maximalen,
langfristig aufrechtzuerhalten, also sozusagen nachhaltigen, pro Kopfkonsum.
Wann können wir den realisieren? Nun,
dann nehmen wir uns zunächst nochmal diese Gleichung 102 vor,
die uns eben sagte, wann ist der Kapitalbestand,
die Veränderung des Kapitalbestands und effektiven Einheiten,
wann ist die gleich null und schreiben die um Impro-Kopf-Einheiten,
weil die goldene Regel ja nach dem Pro-Kopf-Konsum fragt und
nicht nach dem Konsum in Effizienzgrößen
Also was sie jetzt hier sehen in dieser gleichen Kunde 3,
das ist im Grunde genommen nur eine Kleinigkeit,
da hat sich nicht sehr viel verändert.
Ich habe jetzt zunächst einmal lediglich die pro Kopf,
die größten Effizienzeinheiten umgeschrieben in Größen in pro Kopfeinheiten.
Das heißt, das C-Dach ist nichts anderes als C geteilt durch das technische Wissen.
Groß Tee, bringen Sie mir das nicht mit der Zeit durcheinander.
Gestern in dem Modell mit festem Zeithorizont war groß Thema
die obere Grenze der Lebenserwartung.
Jetzt haben wir das ja aber natürlich nicht mehr.
Jetzt ist Tee einfach das technische Wissen. Also das hier ist praktisch C-Dach,
so wie wir es davor auch geschrieben hatten,
das ist nichts anderes als F von Kardach
Diese Einzige hätte ich auch unterdrücken können, wir streichen sie lieber lieber durch.
Das ist eigentlich unnötig, dass ich die hier mitschleppe.
Es ist einfach F von Kdach, den K durch Tee,
ist Kdach, minus x plus N plus Delta, mal Kardach.
Nun, multiplizieren Sie gedanklich mal das Tee hier auf die
andere Seite rüber. Dann steht da also T mal F,
minus x plus N plus Delta mal K und differenzieren Sie dann die C nach DK,
um rauszukriegen, wann wird der Konsum maximal.
Bei welchem Kapitalbestand kriegen wir den maximal pro Kopfkonsum?
Nun, das ist natürlich dann der Fall,
wenn die notwendige Bedingung erfüllt ist,
dass diese Ableitung hier gleich null ist
Wenn Sie das ausrechnen,
also gedanklich das Tier hier auf die andere Seite bringen,
differenzieren Sie F an der Stelle K durch Tee nach K,
dann kriegen Sie offenbar F-Strich an der Stelle Kradach raus,
nachdifferenziert, das K durch tedifferenziert nach K,
gib mir eins durch Tee,
aber wir haben auch das Tier hier rüber multipliziert,
das kürzt sich also weg gegen das Tee da,
sodass wirklich einfach nur das Grenzprodukt des Kapitals in effektiven Einheiten dasteht.
Ja, minus x plus and plus Data, gleich null.
Das heißt, wann ist diese Ableitung hier gleich null?
Die ist offenbar dann, der gerade gleich null,
wenn F-Strich von Takar Dach gleich x plus and plus
Data ist
Und das ist die goldene Regel, so wie wir sie kennen.
Also auch hier keine Änderung gegenüber dem soloischen Wachstumsmodell.
Der Pro-Kopf-Konsum wird langfristig dann maximiert,
wenn auf Strich von Kardach vielleicht X plus N plus Delta
ist.
Ich mache ein bisschen
die Verdunklung runter
. Soweit mögen Sie fragen, warum treibt man dann den ganzen Aufwand? Ja,
also jetzt haben wir uns Mühe gegeben,
das Modell irgendwo realistischer zu machen,
in Bezug auf das Sparverhalten der Haushalte,
wir haben das Sparverhalten indogenisiert und wir stellen fest,
das macht die Sache alles viel, viel komplizierter als zuvor,
aber die Ergebnisse sind bislang genau dieselben, wie die,
die beim servischen Wachstumsmodell erhalten haben.
Der Klug kommt aber jetzt, also jetzt kommt das da,
wo das Ramseysische Wachstumsmodell immer andere Ergebnisse bringt,
denn das hier ist zwar die goldene Regel,
aber was wir sehen,
ist im Staty Status Ramseysischen
Wachstumsmodell ist die goldene Regel
nicht erfüllt
Das habe ich ja gerade ausgerechnet. Wir haben uns jetzt
die Staty State angeguckt und haben festgestellt, im Chris Daddies Date gilt aber,
dass das Grenzprodukt des Kapitals gleich roh, plus Delta,
plus Tedta X ist.
Und nicht etwa gleich X plus Delta ist. Das heißt,
im Ramsation Wachstumsmodell wird die goldene Regel nicht erfüllt.
Die Konsumenten realisieren nicht, ihren langfristigen, langfristig optimalen pro Kopfkonsum. Das ist,
was in diesem zörnischen Wachstumsmodell als die erstrebenswerte Allokation erschienen ist,
wird hier von einem repräsentativen Konsumenten, der seinen Nutzen maximiert,
gar nicht erreicht.
Ist gar nicht nutzen, maximal
Nun, das, was zunächst überraschend und vielleicht sogar ein bisschen paradox wirkt,
hat eine ganz einfache Erklärung. Die Erklärung ist schlicht die,
dass die Konsumenten in diesem Modell eben nicht ihren langfristigen Prokopfkonsum maximieren,
sondern sie maximieren ihren Nutzen, ihren Lebenszeitnutzen.
Und das Nutzenmaximum ist nicht unbedingt dargegeben, wo der Prokopfkonsum maximal wird,
weil es ja abnutzende Grenznutzen gibt, weil es also sein kann,
dass es sinnvoll ist, den Konsum anders zu gestalten,
als so, dass er langfristig maximal sein wird.
Es könnte zum Beispiel sinnvoll sein,
statt irgendwie ein langfristig maximales Konsumniveau dauerhaft aufrechtzuerhalten,
zu sagen, wir verschieben ein bisschen Konsum,
in die Gegenwart hinein, konsumieren am Anfang mehr,
weil wir ja eine Diskutierung des Nutzens in der Zeit haben.
Oder es könnte sein, dass aufgrund abnehmender Grenznutzen Effekte ein
anderer Konsum hat, optimal ist. Also der Grund dafür,
dass die goldene Regel hier nicht erfüllt ist,
der liegt schlicht und einfach darin, dass wir jetzt wirklich nutzen,
Optimierung betreiben. Und das zeigt,
dass der Aufwand doch in gewisser Hinsicht sinnvoll ist,
weil wir gesehen haben,
dass das zörnische Wachstumsmodell uns dann ein bisschen in die falsche Richtung führt,
wenn wir das so interpretieren,
als sei es erstrebenswert,
den Pro-Kopfkonsum langfristig zu optimieren
Gut, wie kommt diese Optimalitätsbedingung zustande oder wie kommt es zustande,
dass wir im Staties Date des Modells jetzt nicht ein Grenzprodukt von X plus Anne plus Delta haben,
sondern ein Grenzprodukt von Roh plus Delta, plus Delta X haben.
Nun, dafür ist es vielleicht sinnvoll, dass wir uns zunächst einmal klar machen,
was dieses Roh plus Teta X hier ist.
Das Roh plus Teta X ist nämlich nichts anderes als der Zinssatz.
Woher kommt das? Nun ja, wir wissen ja,
F-Strich von Karl Dach ist gerade gleich R plus Delta. Also das Brutto,
Grenzprodukt des Kapitals ist Zinssatz plus physischer kapitalverschleiß, sprich,
wenn wir das jetzt hier reinsetzen, für das,
für das F-Strich von Kardach, Air Plus Delta dort reinschreiben,
dann kürzt sich das Delta auf beiden Seiten der Gleichung raus und es bleibt übrig,
dass er gerade gleich roh plus Peter X ist.
Das heißt, wir wissen der Zinssatz in diesem Modell,
der wird im Staty State bestimmt durch die Subjektive Discontrate und durch das DDRX. Nun habe ich vorhin gesagt,
als ich Ihnen den Staty State des Sramsation Wachstumsmodells anhand der Ramsay-Riegel erklärte,
dass vielleicht nichts natürlicher ist, als anzunehmen,
dass er gleich roh ist, weil ich gesagt habe,
auf den Kapitalmärkten agieren ja die Agenten mit dieser subjektiven Discontrate und die Subjektive des Contrate drückt aus,
wie wertvoll sie Konsum heute empfinden,
relativ zu einem Konsum zu späteren Zeitpunkten,
also sollte sich der Zinssatz ja irgendwo ergeben,
als eine Reflexion dieser subjektiven Diskontrate.
Jetzt sehen wir, dass das nicht ganz richtig ist.
Zwar spielt die Subjektive des Kontrate durchaus eine Bestimmung bei der Rolle
des Zinssatzes im Steady State. Es ist ein gewisser Orientierungspunkt dabei,
aber zusätzlich haben wir eben noch dieses Täter X hier.
Nun, warum wird der Zinssatz die Subjektive des Kontrate im
Steady State des Modells um diesen Betracht Heter X überschreiten?
Nur aus dem einfachen Grunde, weil wir zum einen eben abnehmenden Grenzen nutzen des Konsums haben. Das heißt,
wenn ich Ressourcen heute verleihe, um später Konsum damit finanzieren zu können,
mehr Konsum damit finanzieren zu können, als das,
was ich heute an Konsum unmittelbar finanzieren könnte,
weil ja eine Verzinsung eingetreten ist, dann muss ich dabei aber wiederum berücksichtigen,
dass dieser Mehrkonsum natürlich nicht in demselben Maße nutzenstiftend ist,
wie mein heutiger Konsum nutzenstiftend ist, eben einfach,
weil es mehr Konsum ist und der Grenznutzen des Konsums fallend ist.
Nur diesen Effekt gleicht man dadurch aus,
dass man einen entsprechend höheren Zinssatz auf dem Kapitalmarkt verlangt,
als das, was aus der Subjektiven des Kontrate allein folgen würde.
Das erklärt also sozusagen den Faktor Täter,
als Steigerungsmerkmal des Zinssatzes oberhalb des Niveaus der Subjektiven des Kontrate
Darüber hinaus ist der Faktor X einfach dadurch zu erklären,
dass X als Niveau,
als Wachstumsrate des Bestand an technischem Wissen natürlich ebenfalls dazu führt,
dass die Konsummöglichkeiten im Laufe der Zeit steigen werden.
Und wenn die Konsummöglichkeiten im Laufe der Zeit steigen werden,
dann kommt man auch da wiederum in das Problem rein,
dass der Grenznutzen des Konsums ja falsch ist und aus der bloßen Tatsache,
dass die Konsummöglichkeiten steigen.
Zwar steigender Nutzen folgt, aber eben mit abnehmendem Grenznutzen.
Und dafür wird dann ebenfalls korrigiert,
indem hier dieser Grenznutzen eben berücksichtigt wird,
indem der Einfluss des technischen Wissens auf den abnehmenden Grenznutzen
berücksichtigt wird
Ja, Täter, wie gesagt, war diese Konsum-Elastizität
des Grenznutzens und X dann multipliziert mit Wachstumsschreibungstechnischen Wissens.
Es gibt mir eben diesen Betrag, um den jetzt Marktinsatz
höher sein muss, als die Subjektive des Kontrate.
Nun wollen wir noch der Frage nachgehen, wie sich der Steady-Stead-Kapitalbestand
zum Kapitalbestand der goldenen Riegel verhält. Ich hatte Ihnen schon gesagt,
es ist nicht der selber, übrigens noch nicht,
ist der neue Kapitalbestand eigentlich größer oder ist er kleiner als der
der goldenen Riegel oder könnte es zufällig sogar der Fall sein,
dass X plus N plus Delta gerade gleich roh plus Delta plus Täter X ist.
Also im Augenblick habe ich so getan,
als dann das unterschiedliche Größen, die Formeln sind ja auch unterschiedlich,
aber wir haben noch gar nicht gezeigt,
dass die Ausdrücke wirklich unterschiedlich sind.
Sie sind es aber in der Tat,
wie Sie jetzt gleich sehen werden
Nun, nehmen wir mal an, es gibt Konvergenz hin
zum Steady State. Das werde ich Ihnen später noch zeigen,
ja, vielleicht noch heute, vielleicht nach Weihnachten.
Das ist Konvergenz zum Steady State geben wird und überlegen uns,
was daraus folgt, weil uns das erleichtern wird,
eben diese beiden Optimalitätsbedingungen, einerseits eben sozusagen diese Daily State-Bedingungen,
andererseits die Bedingung der goldenen Regel, miteinander zu vergleichen.
Wenn wir Konvergenz zum Staty State haben,
dann wissen wir zum einen, dass der Grenzwert des durchschnittlichen Zinssatzes erquert,
dass das gerade gleich F-Strich von Kardach Stern minus Delta ist,
wobei Kardach Stern eben der Setistätkapitalbestand ist.
Ja, warum ist das so? Nun,
wir wissen natürlich, es ist immer so,
dass F-Strich von Kardach gerade gleich der Airplus-Delta ist.
Also diese Bedingung hier gilt ja immer
F-Strich von K-Dach ist gerade gleich R plus Delta,
wobei sich das R in der Zeit normalerweise verändern kann.
Wenn wir nun im Steady-State sind,
dann ist die linke Seite dieser gleichen K hier konstant.
Folglich ist dann auch die rechte Seite dieser gleichen konstant. Nun,
wenn es so ist, dass wir jetzt den durchschnittlichen Zinssatz betrachten,
mit einer Zeit,
die gegen unendlich geht und es Konvergenz hin zum Steady-State gibt,
dann können wir sagen,
nur für ein endlich langes Zeitintervall sind wir
mehr als irgendein gegebenes Y vom Stady-State entfernt
Ja. Nur für ein endlich langes Zeiten dabei
sind wir mehr als merkbar viel vom Steady State entfernt.
Wir nähern uns aber ja dem Steady State immer mehr an
und bleiben dann unendlich lange Zeit in einer Y-Umgebung des Steady States,
sodass bei einer Durchschnittsbetrachtung dieser endlich lange Zeit Horizont am Anfang unter den Tisch fällt.
Unendlich ist es klein, nein, endlich langer Zeithorizont ist,
vernachlässigbar, klein gegeben, die unendliche Zeitspanne, die danach folgt.
Also spielt in der Grenzbetrachtung nur sozusagen diese unendlich lange Zeitspanne eine Rolle.
Das heißt, die Eigenschaften des Modells, die sich dann ergeben,
wenn man eben bereits einer exilen Umgebung der Staty States ist.
Das heißt, es gilt also,
dass der Grenzwert des durchschnittlichen Zinses letzten Endes nur durch die asymptotische,
also durch diese asymptotischen Eigenschaften bestimmt sein wird.
Und diese asymptotischen Eigenschaften sind eben gerade, dass das hier
der Staty State Kapitalbestand beziehungsweise das Grenzprodukt der Staty State Kapitalbestands ist.
Also wissen wir, dass der durchschnittliche Zinssatz dann,
wenn es Konvergenz zum Steady State gibt,
beschrieben werden kann durch das Grenzprodukt des Kapitals am Staty State
abzüglich eben der physischen Abschreibungsrate Delta
Nun erinnern Sie sich an die Transfersalitätsbedingung in der Form,
in der wir sie gestern hatten.
Gleich um 95 zeige ich, ah nein,
hatten wir heute schon noch, hier habe ich sie schon mal erwähnt.
Da haben wir sie so geschrieben, ja,
grenzwert des Vermögens, mal eh hoch end-rquerty.
Nur das Vermögen ist immer gleich der Kapitalbestand.
Wir schreiben sie jetzt also als grenzwert des Kapitalbestands,
mal eh hoch n-rquerty und für das R quer setzen wir
dann eben einfach ein F-Strich-Delta.
Ja, das, was wir uns gerade überlegt haben.
Das muss ja
in der Grenze gelten.
Also, können wir die Transfersalitätsbedingungen eben schreiben,
als Grenzwert von K-Dach mal I hoch X plus N
plus Delta-F-Strich von K-Dach T. Jetzt wissen wir,
dieser Wert hier, der muss asymptotisch gegen Null gehen.
Nun, wie kann das sein, dass der Wert asymptotisch gegen Null geht?
Der Kapitalbestand, der strebt ja gegen sein Stady-State-Niveau und
das ist positiv. Also das hier ist was Positives,
das muss mit etwas multipliziert werden, was offenbar gegen Null gehen muss,
sonst könnte der ganze Grenzwert nicht Null sein.
Also wissen wir, diese E-Funktion, hier muss gegen Null
gehen und die E-Funktion geht nur dann gegen Null,
wenn der Exponent hier negativ ist
Also es muss offenbar gelten, dass F-Strich von K-Dach asymptotisch
größer ist als X plus End plus Delta. Ja,
es muss also gelten, der Grenzwert von F-Strich von K-Dach
muss größer sein als X plus N plus Delta.
Wer der Grenzwert von Karl, von dem Strich von K-Dach,
größer sein muss als X plus End plus Delta,
dann bedeutet das aber offenbar,
also dieser Grenzwert hier ist ja dann der Steady State-Kapitalbestand,
dass der Steady State-Kapitalbestand kleiner sein muss als der Kapitalbestand der goldenen Regel.
Ist das klar? Bei der goldenen Regel ist er
Strich von K-Dach gerade gleich X plus M plus Delta.
Gucken Sie sich das nochmal an
Das ist die goldene Regel. Da ist F-Strich von Kardach
gleich X-Plus-End plus Delta. Hier ist F-Strich von Kardach
größer als X-Plus-End plus Delta. Nun, das Grenzprodukt des
Kapitals ist dann größer, wenn der Kapitalbestand kleiner ist.
Also, der Kapitalbestand im Steady State ist kleiner als der Kapitalbestand
der goldenen Regel. Nun, das ist sehr erfreulich,
denn das wissen das, das zeigt uns,
dass wir nicht in irgendwelche dynamisch ineffizienten Situationen kommen.
Erinnern Sie sich im soloischen Wachstumsmodell? Hatten wir gesagt,
es könnte ja sein, dass wir in dynamisch ineffizienten Situationen sind,
dass wir zu viel Kapital halten.
Dann ist es immer sinnvoll,
Kapital abzubauen
Recht. Das Ramsey-Wachstumsmodell hat jetzt eine ganz andere Implikation.
Das sagt uns, dadurch, dass die Agenten Nutzen maximierend sind,
werden wir nie in eine dynamisch ineffiziente Situation kommen.
Wir werden immer im Kapitalbestand haben, der kleiner ist als
der Kapitalbestand der goldenen Regel. Und es zeigt uns gleichzeitig,
weil der Kapitalbestand der Kapitalbestand im Nutzen Maximum ist,
der die State kleiner ist, als der Kapitalbestand der goldenen Regel,
dass eben der langfristige Pro-Kopf-Konsum nicht maximiert, nicht realisiert werden wird,
der langfristig maximale Pro-Kopf-Konsum nicht realisiert werden wird.
Das heißt, wir wissen eben wirklich,
dass dieses Daily State-Kapitalbestand, den wir hier haben,
dass der kleiner ist als der Kapitalbestand der goldenen Regel,
der irgendwo dort liegen wird
Ja, besprechen wir das vielleicht zunächst einmal. Also,
woran liegt das, dass wir diese unterschiedlichen Ergebnisse haben? Nun,
zum einen ist es eben so,
dass hier die Tatsache eine Rolle spielt, dass wir in einem Modell arbeiten,
in dem die Agenten ihren Nutzen maximieren und das Ziel damit eben wirklich das Nutzen,
Maximum ist und nicht die Maximierung des langfristigen pro Kopfkonsums.
Zum anderen liegt es daran, dass die Agenten ungeduldig sind,
ja, dass sie eben ihren zukünftigen Nutzen diskontieren,
das, wie ich ihnen gestern erklärt hatte,
zum Beispiel schon allein als Ausschluss der Tatsache,
dass man eben eine beschränkte Lebenserwartung der Nutzen der Kinder und Kindeskinder einem nicht so wichtig ist,
wie der eigene Nutzen selbst.
Und folglich also ein Diskonfaktor von Roh angemessen ist. Schließlich aufgrund der Tatsache,
dass die Individuen an abnehmenden Grenzen nutzen,
des Konsums haben und hier eben aufgrund der Tatsache,
dass wir technischen Fortschritt haben,
diese abnehmenden Grenznutzen des Konsums sich äußern in der Tatsache,
dass wir diesen Täter mal x-term haben,
in der Optimalitätsbedingung für den Statistate-Kapital statt
Ja, und dann haben wir eben diese Folgerung hier,
die ich gerade schon erläutert habe.
Wir kriegen keinerlei dynamisch in effiziente Situationen im Ram-Session-Wachstumsmodell. Naja,
und jetzt können wir uns natürlich auch noch schnell überlegen,
wo liegt denn nun der Kapitalbestand der goldenen Regel?
Der Kapitalbestand der goldenen Regel liegt ja da,
wo DC nach DK gleich null war.
Und das sehen wir sofort, das muss natürlich dieses Maximum hier sein.
Hier ist die C nach DK gleich null.
Erinnern Sie sich, als wir eben diese Betrachtung gemacht haben,
da war es. Da haben wir nichts anderes getan,
als dass wir die K-Dach-Punktgleich-Null-Kurve genommen haben und dann DC
nach DK differenziert haben
Naja, wo ist das Maximum? Also an der Stelle,
wo die Ableitung null ist, beziehungsweise wir sehen es einfach
auch grafisch, das Atmaximum liegt an dieser Stelle.
Hier ist das Maximum, hier ist der Kommentarbestand der goldenen Regel.
Wir haben gezeigt, der Kapitalbestand im Steady-State ist kleiner als der der goldenen Regel.
Folglich wissen wir jetzt diese C-Dach-.gleich null Kurve,
schneidet in der Tat, so wie ich es behauptet habe,
die K-Dach-.gleich null Kurve im aufsteigenden Ast.
Jetzt bleibt uns noch ein Teil zu analysieren, nämlich die
Frage der Konvergenz. Eben habe ich das schon unterstellt,
dass man hinkonvergiert zum Steady-State.
Das will ich
ihm jetzt
auch zeigen
Dass wir das tun, dass es also Nutzen optimal für den Konsumenten ist,
einen Konsumpfad so zu wählen,
dass man hinkonvergiert zum Setty State und gleichzeitig werde ich Ihnen zeigen,
dass das nicht so ganz trivial ist, diese Konvergenz zum Setty State.
Nun, die Coverkonvergenz hier analysieren, das machen wir in diesem Phasendiagramm,
was wir ja ansatzweise auch bereits im soloischen Wachstumsmodell gemacht hatten.
Sie erinnern sich im soloischen Wachstumsmodell, haben wir,
ich verändere jetzt diese Grafik hier, haben wir erst mal,
F&K betrachtet und dann haben wir gesagt,
hier ist irgendwie der Steady State des Modells Kadach Stern und dann haben wir gesagt,
naja, in diesem schattierten Bereich hier,
da ist die Wachstumsrate Gamma Kadach größer als Null,
hier ist sie null und da ist sie dann kleiner
als Null,
So. Und das haben wir uns als ein Phasendiagramm so dargestellt,
dass wir gesagt haben,
tragen wir doch einfach mal hier K-Dach ab und tragen wir hier
die Wachstumsrate von K-Dach ab und dann kriegen wir irgendwie so einen Verlauf.
Und an dieser Stelle war der Steady State.
Ja? So ähnlich wollen wir das jetzt auch machen.
Nur haben wir das Problem, dass wir jetzt nicht mehr
eine Variable betrachten, nur den Kapitalbestand.
Wir haben ja nicht mehr nur eine dynamische Gleichung,
verkörpert durch die Kapital-Akkumulationsgleichen. So, wir haben zwei dynamische Variablen.
Kapital und Konsum. Wir haben zwei dynamische Gleichungen,
nämlich die Kapital-Akkumulationsgleichung und die Ramsey-Regel, die neu hinzugekommen ist.
Deshalb können wir nicht mehr so ohne weiteres einfach Wachstumsrate gegen eine Niveau-Variable abtragen,
weil wir zwei Wachstumsraten haben, die wir betrachten müssen,
Kapital und Konsum,
und zwar in Niveau-Variablen haben,
die wir betrachten müssen
Deshalb machen wir nicht mehr das Ding hier, was man als ein Phasendiagramm bezeichnet,
sondern wir nehmen das, was man als ein Phasenporträt bezeichnet.
Und dieses Phasenporträt haben wir bereits begonnen zu malen,
nämlich in dieser Grafik hier. Wir tragen auf den Achsen,
also auf der einen Achse nach wie vor den Kapitalbestand ab,
so wie hier,
auf der anderen Achse tragen wir aber jetzt nicht mehr eine Wachstumsrate ab,
sondern wir tragen da die anderen Niveau-Variable ab, nämlich C.
Und dann machen wir das so, dass wir uns überlegen,
gut, wo sind C-Dachpunkt gleich null und wo ist Kardachpunkt?
Gleich null, das sind diese beiden Kurven hier.
Und jetzt ist es ganz einfach, dass wir uns überlegen,
naja, wir können ja jetzt noch fragen,
wann ist eigentlich C8. größer als null?
Dann ist ja auch die Wachstumsrate größer als null
Waren das C-Dachpunkt kleiner als 0. Und dasselbe auch für Kardach
. K8-Punkt. Nun, das ist ganz einfach,
wenn wir uns die gleich um 99 angucken, dann sehen wir C-Dach.
Punkt ist positiv. Das heißt C-Dach wächst.
Wenn Kardach kleiner ist als Kardach-Stern. Und C-Dach fällt,
wenn Kardach größer ist als Kardachstern. Schauen wir uns uns
über gleich für 99 an, damit sie im Zusammenhang sehen.
Das ist hier der Fall. Eben haben wir diese Gleichung
an ausgewertet für C-Dach. ist gleich 0. Jetzt wollen wir
fragen, wann ist C-Dach.positiv
Wann wächst C-Dach-Punkt? Nun doch offensichtlich dann,
wenn das Grenzprodukt hier des Kapitals größer ist,
als roh plus Delta plus Teta X. Roh plus Delta plus Teta X,
das war diese Senkrechte, die wir hatten.
Die C-Dach-Punktgleich-Null-Kurve. Also das Grenzprodukt des Kapitals muss größer sein
als Roh plus Delta plus Teta X.
Hier ist Roh plus Delta plus Teta X. Das Grenzprodukt des
Kapitals muss größer sein. Das ist dann der Fall,
wenn der Kapitalbestand kleiner ist. Wenn der Kapitalbestand kleiner ist,
dann ist das Grenzprodukt des Kapitals größer.
Also wissen wir, links von diesem Kardach-Stern ist C-Dach-Punkt
positiv.
Da wächst also
der Konsum
Das habe ich hier behauptet. Wenn Kardach kleiner ist als Kardachstern,
dann wächst Zedach, dann ist Zedach, Punkt größer, null.
Und umgekehrt hat Zedach Feld, wenn Kardach größer ist als Kardachstern.
Ja, ich blätter mal schon auf die nächste Folie,
wo ich diese Informationen jetzt schon etwas ausgenutzt habe.
Also was habe ich gesagt? Wenn wir uns im,
wenn wir einen Kapitalbestand haben, der kleiner ist als das Kardachstern,
wenn wir uns also in diesem Bereich hier befinden,
dann wächst der Konsum.
Das zeichnet durch diesen senkrechten Pfeil hier ein.
In diesem Bereich wächst der Konsum,
das heißt entlang der Konsumachse haben wir
eine Entwicklung nach oben
Da auch, ja, der Konsum wächst,
wenn wir uns links von Kaderstern befinden,
der Konsum fällt, deshalb hier der Pfeil nach unten,
beziehungsweise auch jeder Pfeil nach unten, der Konsum fällt,
wenn wir uns rechts von dem Kaderstern befinden.
Jetzt die anderen Pfeile, die Sie wieder sehen,
die kriegen wir natürlich, wenn wir die andere Gleichung analysieren,
wenn wir uns also überlegen,
wann wächst und wann fällt der Kapitalbestand.
Wir wissen auf der Kaderach.gleich Nullkurve ist der Kapitalbestand konstant, ne?
Nun gucken wir uns vielleicht die gleiche um 100 an,
dann sehen wir es am einfachsten.
Da ist sie. Wann ist das Kardach Punkt hier
Größer als null, also wann wächst der Kapitalbestand,
nun doch offenbar dann, wenn das F von K-Dach größer
ist als C-Dach plus X plus N plus Delta Kadach.
Also wenn die Produktion hier, wenn der Output besonders groß ist,
sodass die Bruttoinvestition insgesamt größer ist,
als die abzuziehenden Abschreibungsmengen und Erweiterungsmengen für Bevölkerung und technisches Wissen,
dann ist das K-Dach positiv.
Das heißt, Und sie, ach so,
ich habe es jetzt hier geschrieben für das C-Dach, das Kardach wächst dann,
wenn das C-Dach kleiner ist als Output minus die Abschreibungsmengen.
Oder andersrum gesprochen, wenn der Output eben besonders groß ist,
größer ist als C-Dach plus das Ding,
dann wächst der Kapitalbestand und im umgekehrten Fall fällt der.
Sie können es auch umschreiben in die Investitionen,
wenn Sie jetzt einfach sagen, F von Kardach minus C sind die Investitionen,
dann können Sie zuschreiben, dass Sie sagen, der Kapitalbestand wächst eben,
wenn die Investitionen größer sind als die Break-Eden-Investitionen und fällt,
wenn die Investitionen kleiner sind als die Break-Eden-Investitionen.
Ja, das ist der ganz normale Zusammenhang
Okay, das heißt, wir sehen jetzt Folgendes. Der Kapitalbestand,
der wächst, entwickelt sich also, positiv,
also lang dieser Achse hier, der Kapitalbestand entwickelt sich positiv,
wenn wir unterhalb dieser kdach.gleich-null-Kurve sind.
Und er entwickelt sich negativ, wenn wir oberhalb dieser kaderpunktgleich-null-Kurve sind,
dann geht der Pfeil entlang der Kapitalachse eben in der entgegengesetzten Richtung.
Ja, also wenn der Konsum relativ klein ist,
wenn man sich hier an der Konsumachse sehen,
sind ja die Bereiche unterhalb der kdach.gleich-null-Kurve.
Das sind Bereiche, wo der Konsum
relativ klein ist
Und die Bereiche oberhalb der Kdach.gleich 0-Kurve sind Bereiche,
wo der Konsum relativ groß ist. Wenn wir relativ wenig konsumieren,
dann investieren wir offenbar relativ viel und dann wächst der Kapitalbestand.
Wenn wir viel investieren, wenn wir viel konsumieren,
dann investieren wir wenig und der Kapitalbestand schrumpft. Sodass wir jetzt also,
die durch diese Kräfte Parallelogramme, sind noch keine Parallelogramme,
aber sie zeigen ihnen, wie sie konstruiert werden müssten,
gegebenen dynamischen Anpassungsreaktionen in dem Modell haben.
Wir können das Modell aufteilen in sozusagen vier Quadranten.
Ja, ich bezeichne das hier als den ersten Quadranten.
Also stellen Sie sich vor, dass Sie so eine Art
Ursprung des Koordinatensystems und dass hier eine gerade liegt,
sondern so eine schräge Kurve.
Das ist die erste Quadrant, zweite Quadrant, dritte Quadrant
, vierte Quadrant. Wir können uns jetzt überlegen,
wie die Dynamik des Modells abläuft in diesen vier Quadranten.
Nun, zunächst mal, im ersten Quadrant und im dritten
Quadrant sehen wir was, was irgendwo erfreulich ist.
Denn schauen Sie, wenn wir an diesem Punkt hier sind,
dann stellen wir fest, der Kapitalbestand wächst, der Konsum wächst.
Das heißt, wir entwickeln uns irgendwie in diese Richtung.
Und zwar, solange wir in diesem Quadranten sind,
ist das immer so, dass wir irgendwie in diese Richtung hier gehen.
Man könnte jetzt hoffen, dass man von diesem Punkt aus,
dadurch, dass sowohl der Kapitalbestand wächst, als auch der Konsum wächst,
dass wir uns hier in den Statistat hinein bewegen.
Das wäre sozusagen das, was wir im Rahmen der Konvergenz
zeigen wollen
Und entsprechend von da oben. Wenn wir diesen Startwert hier hätten,
dann schrumpft der Kapitalbestand und es schrumpft der Konsum.
Das heißt, wir bewegen uns in diese Richtung. Und man könnte jetzt hoffen,
fromme Hoffnung, dass diese Schrumpfung gerade so abläuft,
dass wir hier in den Staties State hineinkommen.
Dann hätten wir die Konvergenz zum Staties State nachgewiesen,
wenn das so wäre. Unglücklicherweise sind wir noch nicht so
weit und ganz so einfach ist die Sache auch nicht.
Denn wir wissen nicht, dass der Anpassungsprozess,
der beispielsweise hier beginnt, dass der tatsächlich genau in diesem Punkt landet.
Eigentlich ist es so, dass wir ein ziemliches Glück haben müssten,
wenn das tatsächlich so der Fall wäre.
Denn es kann natürlich auch sein, dass der Anpassungsprozess folgendermaßen verläuft.
Schauen Sie mal, irgendwie, wir wachsen, wir wachsen,
wir wachsen, wir wachsen, wir wachsen,
wir wachsen,
wir wachsen
Und dann kommen wir hier an diese Grenze. Das sind
wir immer gewachsen, sind also immer sozusagen qualitativ so,
hat sich der Konsum und der Kapitalbestand verändert,
wie ist das Kräfteparallelogramm vorgibt.
Aber was ist, wenn wir auf dieser Situation hier sind?
Also wenn wir hier sind, dann verändert sich ja gerade
der Konsum nicht. Konsum bleibt gleich. Das heißt,
hier sozusagen die Ableitung dieses Pfades, die wäre dann null.
Und stattdessen kommen wir in den Bereich,
wo der Kapitalbestand anfängt zu wachsen. Das heißt,
wir gehen hier rüber und kommen in diesen Quadranten,
in den vierten Quadranten. Ja, jetzt ist schlecht.
Wenn wir im vierten Quadranten sind, dann sehen Sie,
geht die Entwicklung hier abwärts.
Die geht irgendwo hier nach Südosten. Also wenn wir einmal
hier sind, dann konvergieren wir irgendwo in diese Richtung und
ganz ersichtlich konvertigieren wir nicht in den Steady Status Modells
Jedenfalls nicht in diesen Stittys seht, des Modells. Entsprechend,
es könnte natürlich auch sein, dass der Anpassungsprozess irgendwie so verläuft.
Wir wachsen, wachsen, wachsen, wachsen, ja?
Irgendwo hierhin kommen hier auf diese Kurve. Sobald wir diese Kurve
an dieser Stelle erreicht haben, verändert sich der Kapitalbestand nicht.
Das heißt, die Ableitung unserer Trajektorie wäre in diesem Augenpunkt hier gerade senkrecht.
Im nächsten Schritt, also Kapitalbestand bleibt gleich, Konsum erhöht sich hier,
wie wir wissen, dann sind wir in dem Quadranten.
Und sobald wir in dem Quadranten sind, ist der Anpassungsprozess natürlich der,
dass der Konsum steigt und der Kapitalbestand schrumpft.
Das heißt, wir gehen irgendwie in diese Richtung und konvergieren
nicht in zum Steady State
Also die Dynamik des Modells ist ziemlich vertrackt im Augenblick.
Und es ist keineswegs so, dass das eine ausgemachte Sache ist,
dass wir exakt hier in diesen Punkt rein konvergieren.
Von dem Punkt her könnten wir dieselbe Analyse machen.
Es besteht immer die Gefahr, dass wir entweder in den
vierten Quadranten kommen oder in den zweiten Quadranten kommen.
Und sobald wir da drin sind, ist das Modell instabil.
Also dann konvergieren wir nicht den zum Gleichgewicht. Oder wir können es
auch so rum sagen, dieses Gleichgewicht ist per se zunächst einmal instabil.
Denn selbst wenn wir dem Gleichgewicht schon ziemlich nahe sind,
kann es uns immer noch passieren,
dass wir hier irgendwo in den falschen Quadranten rutschen.
Oder wenn wir, sagen wir mal,
an dieser Stelle hier sind, nicht weil,
dann konvergieren wir nicht hin zum Gleichgewicht,
sondern wir können,
wir gehen irgendwo da oben hin
Also, das ist etwas tückisch, was wir dort haben.
Und wir müssen uns überlegen, ob das in der Tat
so ist, dass die Konvergenz schiefgehen kann.
Dass wir irgendwie zu Adlokationen in dieser Ökonomie konvergieren,
die nicht mit langfristigem Wachstum kompatibel wären.
Ich will Ihnen zeigen, dass das nicht der Fall sein kann.
Und dafür müssen wir die notwendigen Bedingungen unseres Nutzen Maximierungsproblems ausnutzen,
insbesondere diese Transfersalitätsbedingungen, wird uns das zeigen.
Also, zunächst mal halten wir fest,
dass wir in zwei Quadranten unseres Phasenporträts Divergenz sehen
Kommt es also zu Verhalten, was irgendwo nicht auf den Zertisität zuläuft,
von dem wir eigentlich gedacht haben, dass es darauf zulaufen würde.
Ja, von dem wir schon wissen,
es ist ein Zertistate des Systems und wir hatten irgendwie erwartet,
da konvergieren wir wahrscheinlich hin, so wie wir im soloischen Wachstumsmodell auch,
immerhin konvergiert sind in den Stanley State.
Das war es ein Porträt, zeigt uns, aber das
ist nicht unbedingt gewährleistet. Nun kann man allerdings zeigen,
dass das System, von dem ich eben noch gesagt habe,
das ist eigentlich stabil, das ist eigentlich instabil, ja,
kann man zeigen, dass es sehr wohl stabil ist,
dass wir tatsächlich immer hier in diese Punkte,
in diesen Punkt rein konvergieren, ja,
auf genau einem eindeutigen, wohl definierten Pfad.
Nur, das müssen wir uns erst nochmal überlegen,
warum das
der Fall ist
Gucken wir uns mal an,
was passieren würde mit den notwendigen Bedingungen unseres Nutzen Maximierungsproblems,
wenn wir einen Pfad wählen, der irgendwo in dem vierten Quadranten endet.
Vierter Quadrant ist ja hier unten. Ja,
also stellen wir mal vor, wir starten irgendwo hier mit
irgendwie einem Startwert, der uns auf einen Anpassungspfad führt,
der hier irgendwo kreuzt und dann hier rüber geht.
Ja, jetzt kann man sich erstmal überlegen,
was passiert da genau nun, der Kapital,
der Konsum fällt und der Kapitalbestand wächst,
man kann sich überlegen,
man konvergiert letzten Endes genau in diesem Punkt hier
Denn in diesem Punkt hier ist wieder das Wachstum des Kapitalbestands null.
Und der Konsum ist dann ebenfalls null, folglich kann sich da nichts mehr verändern.
Das heißt, wir sind bei einer zusammengebrochenen Ökonomie. Ja,
also schlimmer als jeder Armutsfalle, über die wir jeweils gesprochen haben.
Wir haben kein Kapital mehr. Wir können nicht mehr konsumieren,
alle Menschen verhungern. Das wäre sozusagen auch ein Steady-State-Modell,
aber kein erwünschter. Echt? Die Frage ist,
kann das, wenn das das Ergebnis ist,
dass alle Menschen verhungern können, das Nutzen optimal sein?
Natürlich nicht. Ja, das kann nicht nutzen maximal sein,
dass man auf einer solchen Trajektorie landet,
die letzten Endes in diesem Steady-State hineinführt,
in dem man ja unendlich lange verbliebe.
Wie können wir das sehen,
dass das nicht nutzen optimal ist
Oder? Das können wir uns folgendermaßen überlegen. Diese Trajektorie,
die man dort hätte,
die würde zwar die Dynamik dergleichung 99 und 100 erfüllen,
würde also diese beiden notwendigen Bedingungen des Nutzenmaximierungsproblems erfüllen.
Würde aber insofern gegen notwendige Bedingungen des Nutzenmaximierungsproblems verstoßen,
als die Transfersitualitätsbedingungen verletzt wären.
Warum ist die Transfersalitätsbedingung verletzt? Nun,
wir sehen ja, wir kommen dann zu einem Kapitalbestand,
der schließlich
den goldenen Kapitalbestand übersteigt
Hier sehen Sie das jetzt, also wenn wir von diesem Punkt beispielsweise starten,
sodass wir eine drei Hitorie bekommen,
die hier irgendwie rüberkreuzt in den vierten Quadranten,
dann sehen Sie ja, konvergieren wir hier zu diesem Punkt hin.
Der Punkt hier ist sichtlich größer als der Kapitalbestand der goldenen Regel,
der irgendwo an dieser Stelle läge. Ja. Wenn es aber so ist,
dass wir den Kapitalbestand der goldenen Riegel überschreiten,
dann ist es letzten Endes so,
dass das Grenzprodukt des Kapitals kleiner wird als X plus N plus Delta,
F-Strich von Kardaris kleiner als X plus N plus Delta und das führt dann dazu,
dass hier in unserer Gleichung,
in unserer Transfersalitätsbedingung Auf Strich von Kardach wäre dann kleiner als X plus M plus Delta.
Das heißt, dieser Exponent ist dann positiv. Das heißt,
eh hoch was Positives, mal Tee, das geht gegen unendlich,
multipliziert mit einem positiven Kardach, bleibt es immer noch unendlich.
Geht es immer noch gegen unendlich, also was Positives,
mal was Explodierendes geht gegen unendlich.
Das heißt, die Transversalitätsbedingung ist nicht erfüllt. Das heißt,
das, was anschaulich klar ist, eine Ökonomie in der
letzten Endes der Kapitalbestand aufgezerrt wird und alle Menschen verhungern,
kann nicht nutzen, maximal sein.
Das sehen wir auch an den technischen Bedingungen des Nutzen Maximierungsproblems,
weil nämlich diese Ökonomie dieser Anpassungspfad gegen die Transversalitätsbedingung verstoßen würde
Das heißt, wenn ich zurückkehre zu der Situation des Repräsentativen
Individuums in dieser Ökonomie, dann ist die Situation,
dann ist das die Situation in der Anfangsperiode doch folgendermaßen gegeben.
Er weiß, er hat einen bestimmten Kapitalbestand und muss jetzt bei diesem Kapitalbestand
sich irgendwie entscheiden, einen bestimmten anfänglichen Konsum zu leisten.
Konsum bedeutet immer gleichzeitig auch mit der Konsumentscheidung, ist eine bestimmte Investitionsentscheidung verbunden.
Er muss sich also jetzt entscheiden, wie werden die Ressourcen, die produziert werden, mit diesem Kapitalbestand aufgeteilt auf Konsum und Investitionen. Nun,
und er könnte jetzt also, sagen wir mal,
ein ziemlich niedriges Konsumniveau wählen, dieses Konsumniveau C02-Strich hier wählt,
ja, dann wäre das so,
dass ihr auf einen nicht-nutzen-maximierenden Pfad kommen würde,
der letzten Endes zu einem Kollaps der Ökonomie führen würde,
wo wir zwar, Entschuldigung ich hatte gesagt,
Kapitalbestand ist nur, das war natürlich falsch,
die Wachstumsrate des Kapitalbestands hier unten ist dann null,
ne, wir haben dann zwar positives Kapital,
aber wir haben nur noch ein Konsumniveau von null,
ja, können nichts mehr machen, um diesen Kapitalbestand aufrechtzuerhalten,
müsst ihr alle Ressourcen, die wir überhaupt produzieren mit dem Kapitalbestand,
verwenden, um den Kapitalbestand aufrechtzuerhalten, also um Abschreibungen zu ersetzen,
Bevölkerungswachstum aufzufangen und ein technisches wachstumstechnischen Wissens aufzufangen,
müssten wir alle Ressourcen darauf verwenden,
den Kapitalbestand hier konstant zu halten und hätten keine Möglichkeit mehr
zu konsumieren
Das heißt, der Konsument hier in dieser Ausgangssituation wurde feststellen,
ein solcher Anfangskonsum hier kann nicht nutzen optimal sein.
Also wird er den nicht hellen? Weil
der gekossibelt ist ja frei, seinen Anfangskonsum zu wählen.
Also diesen Anfangskonsum wird der Konsument nicht wählen,
denn er ist nicht nutzen maximal, wie wir gesehen haben,
die Trajektorie hier verstößt gegen die Transversalitätsbedingungen.
Nun stellen wir uns mal vor, der Konsument wählt einen
höheren Anfangskonsum und wir übertreiben es gleich ein bisschen.
Ja, wir nehmen diesen Anfangskonsum hier,
von dem Sie aus dem Diagramm auch schon ersehen,
dass der Anfangskonsum ebenfalls nicht initialisiert führt, den wir gerne hätten.
Die Frage ist, könnte ein solcher Konsumfahrt nutzen, optimal sein.
Nun, das wäre ein Konsumfahrt, wo wir sehr viel konsumieren würden.
Das heißt, wir würden relativ wenig investieren.
Was würde damit passieren? Es würde dazu kommen,
dass wir irgendwie hier zunächst mal in dieser Art von Anpassung Kettenkonsum und Kapital wächst beides.
An dieser Stelle kreuzen wir die K.Dach gleich null Kurve.
Und ab dem Zeitpunkt fängt der Konsum an zu schrumpfen,
wird immer, Entschuldigung für den Kapitalbestand anzuschrumpfen,
wird immer weniger, wird immer weniger, wird immer weniger.
Bei einem immer noch steigenden Konsumniveau. Entlang dieser Kurve steigt
der Konsum, wir konsumieren immer mehr,
aber der Kapitalbestand wird immer kleiner,
weil wir sozusagen aus dem Kapital
heraus konsumieren
Das ist das, was in der DDR passiert ist.
In der DDR hat man mehr konsumiert als das, was der Kapitalbestand überhaupt produzieren konnte.
Das heißt, man hat die Pflege des Kapitalbestands vernachlässigt,
sodass der Kapitalbestand tatsächlich runtergewirtschaftet wurde und immer weniger leistungsfähig wurde.
Irgendwann bricht eine solche Ökonomie zusammen. Hier im Modell geht das so lange gut,
bis man irgendwie einen Kapitalbestand runtergewirtschaftet hat auf null.
Und an dieser Stelle hier, wenn Sie meine Grafik genau angucken,
dann sehen Sie, dass hier nicht eine Pfeilspitze steht,
sondern da steht so eine runde Klammer.
Was bedeuten soll, den Wert auf der Achse,
den realisieren wir gerade nicht mehr,
sondern wir nähern uns dieser Achse immer noch an mit einem
relativ hohen Konsumniveau und dann ist irgendwann der Kapitalbestand
völlig aufgezählt und der Konsum springt runter auf diesen Punkt dort
Das also eine Unstätigkeit in dem Modell. Das ist dann
der andere Statistat des Modells, den wir haben.
Kein Kapital mehr, weil kein Kapital mehr haben,
können wir nichts mehr produzieren, dann können wir nichts mehr konsumieren.
Da unten bleiben wir dann ewig, das kann natürlich nicht
nutzen und optimal sein. Warum ist das nicht nutzen optimal
? Nun, die Transversalitätsbedingung ist an dieser Stelle erfüllt.
Also diese Transversalitätsbedingung, die gerade da nicht erfüllt gewesen ist,
die ist hier erfüllt, weil der Kapitalbestand ja null ist.
Null mal die E-Funktion ist null. Also da haben wir
kein Problem mit der Transversalitätsbedingung. Gegen welche notwendige Bedingung des Nutzen Maximierungsproblems
verstoßen wir? Nun gegen die Bedingung Wo ist sie?
Hier, 99. Gegen Bedingung 99 verstoßen war. Warum? Die Bedingung 99,
die sagt mir, die Wachstumsrate des Konsums, ja,
also wenn sie hier zerteilen durch das Zidache,
da hätten sie die Wachstumsrate da stehen oder ich kann es ihnen ja auch in der Wachstumsratenformulierung zeigen,
dann war es hier, wo ist die Bedingung?
Ich dachte, ich hatte es ja irgendwo.
Ja, Ramsey-Regel könnt ihr auch nehmen, ne?
Ist egal, was sie geben. Nehmen wir es hier
mit der Wachstumsrate, ja? Die Wachstumsrate des Konsums ist
r-rudurch-täter,
ist irgendwas Endliches
Also was auch immer hier auf der rechten Seite steht,
das ist ein endlicher Ausdruck. Differenz zwischen R und Roh
geteilt durch Tetter. Nur diese Wachstumsrate des Konsums muss also,
ob offensichtlich immer endlich groß sein. Aber was passiert,
nein, da sind wir immer noch nicht richtig hier.
Was passiert bei dieser Trajektorie? Nun, hier überall ist
die Wachstumsrate des Konsums endlich bis zu diesem Punkt.
Und dann haben wir den diskreten Sprung darunter.
Da ist die Wachstumsrate des Konsums plötzlich minus unendlich.
Ja, ist nicht mehr endlich. Das verletzt also
die Bedingung 99 hier
Also an dieser sozusagen letzten Punkt der Trajektorie sehen wir,
dass die Nutzenmaximierungsbedingungen nicht erfüllt ist.
Das ist ein mathematisches Sachverhalt, den sie wahrscheinlich nicht wirklich kennen.
Man spricht davon, dass da die Wire strass erdmannische Eckenbedingung verletzt ist.
Wir sind da sozusagen an der Ecke und dann zack,
geht's runter. Es muss aber an dieser Ecke eigentlich stetig
sein, damit die Nutzenmaximierungsbedingungen erfüllt ist. Das heißt,
dieser Konsumfahrt war auch nicht gut, den wir da genommen haben.
Dieser Anfangskonsum war nicht gut, ja? Aber der Punkt
ist eben der, diese anfängliche Konsumentscheidung, die ist endogen.
Der Konsument ist frei, seinen Anfangskonsum zu wählen.
Und nun sehen Sie, was passiert.
Also zu kleine Anfangskonsume, in diesem Steady State.
Hier, der die Transfersalitätsbedingungen verletzt. Zu große Anfangskonsumingen führen dazu,
dass wir hier runtergehen, wo die Bedingungen 99 verletzt ist.
In beiden Situationen würden wir verhungern. Offenbar muss es irgendwo
einen Übergang geben von diesen Konsumfaden hier zu diesen Konsumfaden, sozusagen eine Scheiderlinie.
Und das ist ja durch diesen Konsum C-Dach 0 gegeben.
Genau an dieser Stelle und nur an dieser einen Stelle hätten wir
genau die Balance gefunden zwischen der Divergenz Richtung vierter Quadrant und der Divergenz Richtung dritter Quadrant.
Von praktisch jedem Punkt auf dieser senkrechten.
Hier konvergiert man entweder in den Entschuldigung,
in den vierten oder in den zweiten Quadranten
Ja, aber es gibt genau einen Punkt dazwischen, wo das nicht der Fall ist.
Von diesem einen Punkt aus konvergieren wir genau in diesen Steady State hier.
Und das ist der einzige Pfad in unserer Ökonomie,
der Nutzen maximal ist. Und das erkennt der Student,
der der Student, der Konsument beziehungsweise genau genommen die Märkte realisieren,
das, weil wir wissen, aus den Wohlfahrtstheorien,
dass die Märkte eben durch die Allokation der Güter und durch den Preismechanismus immer die effizienten, die nutzen optimalen Allokationen bereitstellen.
Ja, also natürlich ist tatsächlich nicht der Konsument,
der diese ganzen Maximierungskalküle durchläuft und dafür fehlt eben die mathematische Bildung und die dass das Wissen über die Zusammenhänge in der Ökonomie,
aber das Zusammenspiel von Preisen und Mengen auf den Märkten realisiert,
die nutzen maximale Allokation, realisiert das Pareto-Optimum,
sodass automatisch durch den Marktmechanismus eben gewährleistet, ist das der Konsument,
den richtigen Anfangskonsum wählt und hier den Nutzen maximalen Pfad beschreitet.
Diesen Pfad,
den man genauso von hier oben motivieren kann, ja,
also da wurde man eben auch diese Konvergenzen ausschließen können,
weil sie mit denselben Verletzungen der notwendigen Bedingungen einhergehen,
diesen Pfad der Nutzen maximal ist,
von hier kommt da rein oder von da
kommt da rein,
den bezeichnet man als den Sattelpfad
Weil das eben so ein Sattel ist, auf dem
man balanciert. Ein Schritt in die falsche Richtung,
man stürzt ab in eine von den beiden Richtungen.
Aber diesen einen Pfad gibt es, und deshalb spricht man
hier von einem Sattelpfad stabilen Gleichgewicht, was wir haben.
Dann konvergieren wir hinein in diesen Punkt und realisieren das Nutzen maximum.
Soweit für heute. Ich weiß, dass es harte Kost ist.
Schauen Sie es sich vielleicht ein bisschen an über die Weihnachtsfeiertage,
aber lassen sich andererseits Weihnachten nicht verdrießen.
Ich wünsche Ihnen jedenfalls ein gesegnetes Fest und einen guten Rutsch
ins neue Jahr und dann sehen wir uns am Dienstag,
dem fünften wieder.
Schönen Dank,
Ihre Aufmerksamkeit