Guten Morgen, meine Damen und Herren. Haben Sie Fragen?
Wir haben uns bis jetzt immer mit dem Solution Wachstumsmodell befasst und Varianten dieses Modells.
Insofern alles Varianten des tirdischen Wachstumsmodells als eine entscheidende Annahme des solution Wachstumsmodells,
sich auch in all den anderen Modellen fand,
die wir besprochen haben, einschließlich der Modelle der enogenen Wachstumstheorie,
nämlich die Annahme, dass die Ersparnis,
die gebildet wird,
proportional ist zum jeweiligen Einkommen
Dass, wenn man das so in den ersten Semestern VWL erzählt,
ist es meistens eine Annahme, die nicht sehr kritisch aufgenommen wird,
obwohl sie es eigentlich verdient.
Und deshalb wollen wir jetzt von dieser Annahme abweichen,
indem wir uns zunächst einmal klarmachen, warum es sinnvoll ist,
da ein bisschen kritisch drüber nachzudenken. Wenn wir die Annahme machen,
dass die Ersparnis proportional ist zum Einkommen,
in dem Sinne, dass wir stets dieselbe Sparquote haben,
dann ist es jetzt zunächst einmal so,
dass damit auch die Investitionen immer proportional zum Einkommen ist
Wir wissen aber, dass die Grenzleistungsfähigkeit einer zusätzlichen Einheit Kapitals
sehr unterschiedlich sein kann. Wir wissen aus den Inada-Bedingungen,
dass die Grenzleistungsfähigkeit einer zusätzlichen Einheit Kapitals sehr,
sehr groß ist. Nach unserer Annahme ging unendlich geht,
wenn wir fast kein Kapital haben. Das heißt,
wenn wir fast kein Einkommen haben, dann ist eine Einheit Kapital,
die wir uns vom Munde absparen,
indem wir sparen und investieren,
besonders leistungsfähig
Und umgekehrt ist eine Einheit Kapital mit nur sehr geringer Grenzleistungsfähigkeit
ausgestattet, wenn der Kapitalbestand bereits sehr groß ist.
Das heißt, wenn das Einkommen bereits sehr groß ist.
Da kann es dann so sein,
dass die Grenzleistungsfähigkeit einer Einheit Kapital kleiner ist als das,
was die Kosten der Kapitalnutzung im Sinne von Abschreibungssatz plus möglicherweise
Wachstumsrat der Bevölkerung plus möglicherweise Wachstumsrate des technischen Wissens ist,
sodass man sagen würde,
eigentlich lohnt es sich ja
gar nicht weiter zu investieren
Das hatten wir auch bereits festgestellt, insbesondere in der Variante des solischen Wachstumsmodells,
die wir ganz am Anfang besprochen haben,
in der es noch gar keinen technischen Fortschritt gab,
in der das technische Wissen also konstant gewesen ist.
Da habe ich festgestellt, irgendwann kommt es dazu,
dass nicht mehr investiert wird,
weil es sich nicht lohnt, mehr zu investieren,
weil sonst die Kosten der Investitionen größer sind als der Ertrag,
den man aus dieser Investition herausziehen kann.
Und dann hört man genau an der Stelle auf zu investieren
bzw. ersetzt nur noch so viel Kapital,
fügt nur noch so viel Kapital hinzu,
wie notwendig ist um den Kapitalbestand pro Kopf aufrecht zu erhalten,
erhöht aber nicht mehr
die Kapitalintensität
Nun müssen wir uns doch überlegen, dass wenn es so ist,
dass die Grenzleistungsfähigkeit einer Einheit Kapital so unterschiedlich ist,
dann liegt es doch nahe zu vermuten,
dass die Individuen in der Ökonomie auf diesen Sachverhalt auch reagieren.
Das heißt, eigentlich liegt es nahe zu vermuten,
dann besonders viel zu investieren, wenn die Grenzleistungsfähigkeit des Kapitals
hoch ist und dann besonders wenig zu investieren, wenn sie besonders niedrig ist.
Aber das ist natürlich bei dieser Annahme, dass die Investitionen
proportional zum Einkommen sind, gerade nicht der Fall.
Bei dieser Annahme ist es so, dass wir besonders viel investieren,
jetzt nicht relativ zum Einkommen, sondern einfach absolut,
besonders viel investieren, wenn die Grenzleistungsfähigkeit des Kapitals niedrig ist.
Das Einkommen ist hoch, Grenzleistungsfähigkeit des Kapitals ist niedrig,
weil der Kapitalbestand hoch ist. Trotzdem wird sehr viel investiert.
In absoluten Einheiten wird viel mehr investiert, als dann,
wenn der Kapitalbestand sehr klein ist. Dann ist das Einkommen klein, aber die Grenzleistungsfähigkeit des Kapitals ist sehr groß. Nun,
das ist erstaunlich, dass man eine solche Annahme macht oder dass man einer Annahme macht,
mit solchen Implikationen und die Tatsache,
dass das so relativ bereit wird, ich meistens geschluckt wird,
wenn man das erzählt, hängt wahrscheinlich ein bisschen damit zusammen,
dass man diese Annahme einer konstanten Sparquote beziehungsweise einer konstanten Zoom-Quote,
sozusagen wie mit der Muttermilch aufgesogen hat im volkswirtschaftlichen Studium,
weil man ja in der Makroökonomie so des zweiten,
dritten Semesters normalerweise ein kensianisches Mikromodell präsentiert bekommt,
in dem die Konsumfunktion eben so beschaffen ist,
dass die marginale Konsumneigung konstant ist.
Das bedeutet also auch, dass die Sparquote dann konstant ist,
jedenfalls wenn kein Absolutbied dabei ist,
ist die konstant und da hat man sich daran gewöhnt an dieser Annahme,
die in der Tat im Rahmen eines mittelfristig orientierten,
eher konjunkturell ausgerichteten Modells nicht ganz so problematisch ist,
weil wir ja in diesem kensianischen Makromodelltyp, Multiplikator,
Accelerator,
gar kein Wachstum des Kapitalbestands haben und nie nachgedacht haben über Grenzleistungsfähigkeiten von Investitionsgütern und ähnliche Sachen.
Oft waren ja
die Investitionen
einfach konstant
Aber jetzt haben wir den anderen Kontext. Und da ist es nicht so ganz unproblematisch,
diese vereinfachende Annahme aus dem Grundstudium unkritisch zu übernehmen und zu sagen,
es wird stets ein konstanter Prozentsatz des Einkommens investiert,
ohne dass das Individuum darüber nachdenkt,
ob das eigentlich auch optimal ist, so viel zu investieren.
Und es ist deshalb eben problematisch,
diese Annahme zu übernehmen,
weil sie zu einem eigentlich schon auf den ersten Blick unintuitiven Investitionsverhalten führt,
das nämlich dann besonders viel investiert wird,
wenn die Investition eigentlich
besonders wenig rentabel ist
Und umgekehrt, ja? Das wollen wir also jetzt aufheben
. Jetzt wollen wir sagen, das Individuum entscheidet selbst,
wie vieles in jeder Situation, in die es kommt, investiert.
Das heißt, die Ersparnis wird jetzt endogenisiert.
Das ist dann eine neue Modellklasse, die auf Ramsay zurückgeht,
auf einen Artikel von Ramsay aus den 20er Jahren des 20. Jahrhunderts,
wo die Ersparnis einfach unter Optimalitätsgesichtspunkten bestimmt wird.
Das ist das, was bei der Endogenisierung passiert.
Wir stellen also jetzt ein Maximierungsproblem auf für den repräsentativen Konsumenten
in dieser Ökonomie
Dieses Maximierungsproblem, das müssen wir natürlich irgendwie motivieren.
Wir müssen also irgendwie dem Konsumenten sagen, was er eigentlich
zu maximieren hat. Das wollen wir in der Standard vormachen,
indem wir sagen, der Konsument hat eine Nutzenfunktion,
die wird maximiert und dann spart er immer so viel,
wie eben für ihn Nutzen maximal ist.
Nun ist es mit der Ersparnis natürlich so,
dass Ersparnis eigentlich nichts anderes ist als aufgeschobene Konsum.
Also Ersparnis, heute bedeutet Konsumverzicht heute,
aber man spart natürlich nur deshalb,
weil man die Ersparnis zumindest im Prinzip eines späteren Tages
wird auflösen können und sich da mit Konsum in einer
späteren Periode wird finanzieren können
Also Ersparnis ist aufgeschobener Konsum und insofern ist es klar,
dass die Nutzenfunktionen, über die wir jetzt sprechen müssen,
eine Intertemporale Nutzenfunktion sein wird. Das heißt,
wenn der Konsument aus einem Nutzen Maximierungsproblem sein Sparverhalten,
Endogen bestimmen kann, dann muss die zugrunde liegende Nutzenfunktion die
Abwägung erlauben zwischen Konsum heute und Konsum in späteren Perioden.
Also muss diese Nutzenfunktionen Intertemporal gestaltet sein. Das ist jetzt der zweite Grund,
weshalb wir diese endogene Ersparnisbildung bislang nicht betrachtet haben,
denn ein solches Intertemporales Optimalitätskalkül, das ist nicht gerade trivial.
Sie haben ein Grundstudium gelernt, wie, Entschuldigung,
Sie haben im Grundstudium gelernt, wie man statische Maximierungsprobleme unter Nebenbedingungen löst,
den Lagrange-Ansatz haben Sie gelernt, aber Sie haben oft,
jedenfalls nicht gelernt, wie man das in einem dynamischen Kontext macht.
Und das werde ich deshalb jetzt in dieser Vorlesung nachholen,
werde Ihnen zeigen, wie dynamische Optimierung funktioniert,
wie man also in einem dynamischen Kontext eine Nutzenfunktion maximiert,
bei der es Verbindungen in der temporaler Art gibt,
die durch das eigene Verhalten bedingt sind,
nämlich durch die Möglichkeit bedingt sind,
dass man Ersparnis bildet
Und diese ganze Modellierung von Konsum und Ersparnis im intertemporalen Kontext hat natürlich dann sofort Auswirkungen,
auch auf das Investitionsverhalten in der Ökonomie,
weil wir nach wie vor die Annahme einer geschlossenen Ökonomie machen werden,
in der es gleich I gilt.
Das heißt, die Ersparnis ist automatisch die Investition und die
Investition wird dann in ziemlich genau derselben Art und Weise,
wie bislang auch, überführt werden in Wachstum des Kapitalbestands.
Also an dieser sozusagen Unternehmensseite ändern wir nicht viel in
dieser Ökonomie
Nun mögen Sie sagen, das ist auch noch eine merkwürdige Modellierung,
denn eigentlich ist es doch so,
dass über Investitionen Unternehmer entscheiden und nicht Haushalte entscheiden.
Also wir fangen es ja irgendwie so ein bisschen von hinten
durch die Brust ins Auge an, wenn wir sagen,
wir betrachten jetzt den Konsumenten, um zu entscheiden,
wie viel der Unternehmer investiert.
Eigentlich habe ich ja meine Kritik des solution Wachstumsmodells und der damit verknüpften anderen Modelle,
die irgendwie exogene Sparentscheidungen haben, damit motiviert,
dass ich gesagt habe,
es geht doch darum,
die unterschiedlich hohe Grenzleistungsfähigkeit des Kapitals
zu berücksichtigen
Nun diese hohe Grenzleistungsfähigkeit des Kapitals oder diese mit unterschiedlich großem Kapitalbestand schwankende unterschiedliche Grenzleistungsfähigkeit des Kapitals,
die sieht ja in erster Linie der Unternehmer und der Unternehmer,
der investiert. Also die Frage ist,
warum machen wir es dann nicht einfach so, dass wir sagen,
wir lösen irgendein Maximierungsproblem für den Unternehmer und der Unternehmer bestimmt eben seine Investitionen?
Nun, das ist nicht ganz so leicht,
ein Maximierungsproblem für einen Unternehmer aufzustellen,
denn sie mögen fragen,
was soll der Unternehmer
denn schon maximieren
Die da liegende Antwort wäre, wir sagen, der maximiert seine Gewinne.
Aber dann denkt man ein bisschen intensiver darüber nach und stellen fest,
mit den Gewinnen ist das so eine problematische Sache.
Denn im vollständigen Wettbewerb, da gibt es gar keine Gewinne.
Also da Gewinne zu maximieren ist nicht so ganz trivial,
weil die Annahme des vollständigen Wettbewerbs per se bereits impliziert,
dass man immer null Gewinne hat.
Da ist also nicht viel, was man maximieren kann durch ein geeignetes Investitionsverhalten.
Man könnte jetzt natürlich unvollständig im Wettbewerb einführen, aber das wäre eine weitere Komplikation des Modells.
Dann hätten wir also nicht nur den Effekt,
dass wir jetzt ein Maximierungskalkül einführen müssen,
sondern wir müssen auch Markt Unvollkommenheiten mit einführen und müssen uns überlegen,
wie diese Marktunvollkommenheiten auf der anderen Seite so geschaffen sind,
dass sie sich gegenseitig beschränken,
damit es trotz Marktmacht nicht zu dynamischen Entwicklungen kommt,
die dazu führen würden, dass man bestimmte Unternehmen hat,
die über alle Grenzen hinauswachsen.
Deren Markt macht also ständig zunimmt. Da ist zunächst mal
der vollständige Wettbewerber eigentlich schon eine ganz schöne Modellannahme,
die einem das Leben in vielfacher Hinsicht leicht macht,
weil man weiß,
da bleiben alle Unternehmen mikroskopisch klein und machen eben keine ökonomischen Gewinne.
Sie erwirtschaften einfach eine faire Kapitalentlohnung,
die für Eigenkapital und vom Kapital
dieselbe ist
Und es ist eben nicht so, dass man,
wenn man jetzt von der Konsumentenseite aus anfängt,
sagen würde, nun, das ist ja komisch,
denn der Konsument wird ja kaum die Grenzleistungsfähigkeit des Kapitals berücksichtigen,
sei es Sichtigen bei seiner Sparentscheidung.
Genau das tut er eben doch. Der Konsument berücksichtigt und orientiert sich
eine Grenzleistungsfähigkeit des Kapitals. Denn der Konsument orientiert sich natürlich
an dem Zinssatz, wenn er seine Sparentscheidung Endungin bestimmt.
Und der Zins ist natürlich gerade Ausdruck der Grenzleistungsfähigkeit des Kapitals. Das heißt,
wenn die Grenzleistungsfähigkeit des Kapitals hoch ist,
dann sind die Unternehmer bereit auf dem Kapitalmarkt hohe Zinsen zu
bezahlen für Ersparnisse der Konsumenten und transportieren damit die Informationen über die unterschiedlich hohe Grenzleistungsfähigkeit des Kapitals bei unterschiedlich hohen Kapitalbeständen,
sofort hin zum Konsumenten, der sich dann daran orientiert,
möglicherweise nicht wirklich verstehend, dass das die Grenzleistungsfähigkeit des Kapitals ist,
die ihn jetzt zu einer bestimmten Sparanstrengung motiviert.
Aber das ist ja auch nicht wirklich wichtig, dass der das versteht.
Was wichtig ist, ist, dass der Mechanismus funktioniert.
Und unter den Annahmen, die man so üblicherweise macht,
würde das denn also genau funktionieren.
Wenn die Grenzleistungsfähigkeit eben hoch ist des Kapitals,
dann ist der Zinssatz hoch und dann fängt der Konsument an,
viel zu sparen.
Das ist genau das, was wir wollen.
Das ist praktisch äquivalent dazu,
dass der Unternehmer dann viel investiert,
weil die Ersparnis
gleich der Investition ist
Gut, also, das ist das,
was wir jetzt in den folgenden Folien besprechen wollen,
meiner einleitenden Bemerkung, habe ich damit im Wesentlichen abgeschlossen.
Sie sehen, hier kommt jetzt dieses Ramsey-Modell,
was sie auch bei Barrow und Salah Imartin nachlesen können,
sind ein paar Seiten mehr,
als ich ihn sonst üblicherweise zum Lesen aufgegeben habe,
aber das liegt daran,
dass das Modell eben technisch einfach ein bisschen schwieriger ist als das,
was wir bislang gemacht haben.
Und auch wir werden uns jetzt in erster Linie mit
der Technik befassen auf den nächsten, vielleicht 20 Folien,
Eva, dann schließlich den Weg zurückfinden in die ökonomische Interpretation.
Dieses Modells und uns dabei dann vor allem überlegen werden,
wo die Gemeinsamkeiten und wo die Unterschiede zwischen dem soloischen
Wachstumsmodell und dem Ramsation-Wachstumsmodell sind
Wir gehen jetzt also davon aus,
dass wir irgendwie einen Nutzen-Kalkül für die Konsumenten haben und wollen zunächst einmal diese Nutzenfunktionen spezifizieren,
da ich schon angekündigt habe,
dass das mathematisch ein bisschen anspruchsvoller wird, was wir jetzt machen,
weil wir es uns zunächst mal so leicht gestalten,
wie es nur irgend geht und wollen sagen,
der Nutzen des Konsumenten,
das ist eine Nutzenfunktion Klein-U,
der hängt ab vom Konsum des Konsumenten zum Zeitpunkt T. Den Konsum schreibe ich hier bereits in Pro-Kopf-Einheiten,
deshalb ein kleines C. Ja,
also es gibt sozusagen einen repräsentativen Konsumenten und der
hat den Pro-Kopf-Konsum zum Zeitpunkt T von Klein C von Team
Nun, das hier nennt man den sogenannten momentanen Nutzen.
Den momentanen Nutzen, das heißt, ist der Nutzen,
den der Konsument im Zeitpunkt T genießt aus seinem Konsum in
Höhe von C von T. Diesen momentanen Nutzen muss man unterscheiden von dem sogenannten Lebenszeitnutzen,
der Lebenszeitnutzen ist, die irgendwie geartete Aggregation sämtlicher momentaner Nutzenniveau ist, die wir genießen.
Und wenn wir dann über die Nutzenmaximierung sprechen,
dann müssen wir natürlich diesen Lebenszeitnutzen betrachten,
weil es ja um Nutzen Abwägungen zu unterschiedlichen Zeitpunkten geht,
wenn wir über Entscheidungen reden, dann kann es offenbar nicht ausreichend sein,
nur einen momentanen Nutzen zu betrachten,
sondern wir müssen dann mehrere momentane Nutzen gleichzeitig betrachten,
mindestens zwei und müssen die gegeneinander abwägen.
Das heißt, wir müssen irgendwie das auf den Lebenszeitnutzen des Konsumenten beziehen.
Zunächst aber betrachten wir die Eigenschaften dieser momentanen Nutzenfunktion und die
wollen wir so gestalten, wie man das typischerweise tut.
Wir wollen sagen, der ist der Grenznutzen des Konsums positiv,
ist, dass es das Natürlichste, was man überhaupt nur sagen kann.
Je höher das Konsumniveau ist, desto höher ist der momentane Nutzen des Konsumenten.
Also die Ableitung, die erste Ableitung dieser Nutzenfunktion ist positiv
und die zweite Ableitung dieser Nutzenfunktion, die sollen negativ
Sein U2-Strich von C ist kleiner als null. Das gibt
dieses Argument fallenden Grenznutzens wieder. Sie kennen das aus der Mikroökonomie,
wo man ihnen wahrscheinlich irgendwelche Geschichten erzählt hat, wie,
dass jedes zusätzliche Kuchenstück oder Todd-Stück ihre Nutzen doch mal steigert,
aber der jeweilige Nutzengewinn durch ein immer neues Tortenstück wird immer kleinern.
Ich war, am Ende können sie die Totte kaum noch sehen,
ja, und dann ist also der Zuwachs an Grenznutzen sehr, sehr gering.
Das heißt, wir wissen eine Grenze,
selbst es ist eine fallende Funktion
An dieser Stelle mögen jetzt zunächst mal diejenigen unter ihnen aufschreien,
die in der Mikroökonomie was gehört haben über Kardinales und originales Nutzenfunkkonzept.
Und dabei gelernt haben, dass Annahmen über die zweite Ableitung
einer Nutzenfunktion eine kardinale Eigenschaft sind und keine originale Eigenschaft.
Unter originaler Nutzentheorie ist es ja so,
dass sie die Nutzenfunktion beliebig, streng monoton, transformieren können,
ohne dass die allokrativen Entscheidungen des Konsumenten irgendwie beeinträchtigen würde.
Das können sie nicht, wenn sie eine Annahme aufrechterhalten wollen,
dass die zweite Ableitung der Nutzenfunktion negativ ist.
Diese Annahme unterhält sich nicht unter monotonen Transformationen.
Also jedenfalls nicht unter allen denkbaren, streng monotonen Transformationen.
Insofern ist es klar, dass diese Eigenschaft hier,
die nichts anderes ist als die Kongravität der Nutzenfunktion,
eine kardinale Eigenschaft ist. Das ist in der Tat so.
Bei intertemporalen makroökonomischen Problemen muss man zurückfallen auf die Kardinale Nutzentheorie,
die für sich genommen fragwürdig ist,
weil sie ja sowas ähnliches darstellt wie den Versuch,
Nutzen irgendwie in Nutzeneinheiten zu messen.
Und da haben ja die Theoretiker der originalen Nutzentheorie gesagt,
das geht eigentlich überhaupt nicht.
Davon sollte man Abstand nehmen. Man sollte Nutzen lediglich ordnen,
also Originales Nutzenkonzept, aber nicht irgendwie messen in Einheiten.
Aber genau das tut man hier und das ist heutzutage Standard in der Makoökonomie,
macht sich kaum noch jemand Gedanken drüber,
dass das gegen die Idee einer nur noch ordnenden Nutzenbetrachtung verstößt.
Nun, ich will es hier nicht problematisieren,
ich will Sie nur darauf hinweisen, dass das also Kardinal-Nutzen-Theorie ist,
die man braucht, wenn man in der temporalen Aussagen machen möchte.
Wir machen auch bestimmte Grenzaussagen oder Aussagen über Grenzbetrachtungen,
nämlich wir wollen sagen, der Grenznutzen des Konsums,
der soll unendlich sein, wenn der Konsum fast null ist.
Also wenn der Konsum gegen null konvergiert, das heißt,
wenn man fast verhungert,
dann ist die erste Scheibe Brot Gold wert
Dann hat man einen besonders hohen Grenznutzen davon.
Und umgekehrt hier so eine Art Sättigungsannahme,
wenn der Konsum sehr hoch ist und ich war dann,
weiß man, eine Scheibe Brot nicht mehr wirklich zu schätzen.
Da hat sie fast einen Nutzengewinn von null, weil man sowieso schon satt ist.
Also der Grenznutzen konvergiert gegen null, wenn sie gegen unendlich geht.
Das sind also die Annahmen der Nutzenfunktion, der momentanen Nutzenfunktion,
die wir im folgenden verhängen wollen und sie sehen schon so ein bisschen diese Grenzwertbetrachtungen,
die hier rechts auf der Folie stehen,
die haben natürlich starke Anklänge an die Inada-Bedingungen,
die wir bei der Produktionsfunktion verhängt hatten
Jetzt betrachten wir zunächst mal ein intertemporales Modell in der allereinfachsten Form.
Das ist noch nicht ganz die Form,
die wir später brauchen, aber es wird leichter sein,
dass mathematische Handwerkszeugs zunächst einmal anhand dieser Modellierung zu erläutern.
Es soll, wie ich sagte, nur einen repräsentativen Konsumenten
geben und wir wollen beim Augenblick von Bevölkerungswachstum vollständig absehen.
Es soll auch keinen technischen Fortschritt im Augenblick geben,
um uns das Leben einfacher zu machen.
Darüber hinaus hat der Konsument einen wohldefinierten Lebenszeithorizont. Der lebt nämlich
genau von Periode 0 bis zur Periode T und dann stirbt er.
Und das weiß er auch von Anfang an. Also es
gibt bei keinerlei Sicherheit drüber. Dann definieren wir uns jetzt
den Lebenszeitnutzen Groß-U als das Integral über den momentanen Nutzen Klein,
der, wie gesagt, vom Puckopf-Konsum abhängt.
Und das Integral läuft über den gesamten Lebenshorizont des Konsumenten,
also von null bis Periode Groß-Tee. Denken Sie bitte daran,
dass das Integral nichts anderes ist als eine Summation.
Und daher kommt das Integral-Symbol, so hat das Leibnitz eingeführt.
Das ist eigentlich ein stilisiertes S und das S steht für Summe.
Es ist nur eben eine Summe über ein kontinuierliches Intervall,
nicht überdiskrete Punkte,
wie sie
sonst sonst gewöhnt sind
Mit dem griechischen Sigma als Summenzeichen summieren sie ja immer höchstens abzählbar viele verschiedene Sumanten,
wäre man mit einem Integralzeichen eben überabzählbar, viele sumanten integriert.
Das heißt, also summiert. Das heißt, sie summieren praktisch
auf einem Kontinuum. Aber de facto machen sie eben nichts anderes,
als dass sie sagen, naja, wenn das so ist,
dass ich hier meinen Nutzen U von Tee habe,
Und hier ist die Zeitachse,
dann können wir ja irgendwie feststellen,
zu einem bestimmten Zeitpunkt habe ich irgendwie einen Lützen in dieser
Höhe und zu einem anderen Zeitpunkt habe ich ein Nutzen in der Höhe und zu einem dritten Zeitpunkt habe ich irgendwie Nutzen.
In dieser Höhe, und das kann ich jetzt für jeden einzelnen Zeitpunkt machen,
das heißt, ich kann mir also genau darstellen,
wie irgendwie meine Nutzenfunktion im Zeitablauf verläuft.
Und da kann ich doch sagen, naja,
wenn ich jetzt alle diese Nutzenwerte, die ich hier habe,
summieren will, dann bedeutet das nichts anderes,
als dass ich eben die Fläche unter dieser Kurve hier berechne.
Und die Fläche unter dieser Kurve ist natürlich
das Integral
Gut, also das Integral, lesen Sie bitte einfach als Zoom-Zeichen.
Das Integral drückt hier aus,
die Summe über die gesamten momentanen Nutzen, die der Konsument erlebt,
während seines Lebenshorizonts im Intervall von 0 bis Groß Tee.
Nun müssen wir uns ein bisschen Gedanken darüber machen,
was das ökonomische Verhalten des Konsumenten kennzeichnet. Wir wollen sagen,
der Konsument hat irgendein Vermögen,
das bezeichnen wir mit A, wieder eine Pupo-Kopfgröße,
also kleines A. Das steht für englische Assets und der hat eine bestimmte Arbeitsfähigkeit,
die wollen wir einfach auf 1 setzen,
die Arbeitszeit
So, wie wir es aus dem Zoll durch,
Wachstumsmodell kennen, die Norminen wir hier einfach auf eins.
Das heißt, der Konsument hat nicht die Möglichkeit,
irgendwie mal mehr und mal weniger zu arbeiten.
Das könnte man natürlich auch noch einführen und man könnte einführen,
dass wenn die Arbeitszeit irgendwie flexibel wäre,
der also mal mehr und mal weniger arbeiten kann,
dass er natürlich auch die Freizeit,
die er dann mal mehr und mal weniger genießt,
irgendwie seinen Nutzen beeinflusst.
Das wollen wir jetzt alles nicht tun,
damit die Sache einfach bleibt. Aber das sind Sachen,
die man sonst also schon bei Verallgemeinerungen dieses Modellansatzes einführt,
das also durchaus Standard, auch die Freizeiten variablen Arbeitseinsatz in solchen Modellen zu berücksichtigen.
Aber jetzt zur Einführung, weil wir das nicht machen,
deshalb ist die Arbeitszeit fixiert und da können wir sie eben
auf eins normieren
Wenn das so ist, wenn er also irgendwie ein Vermögen
A hat und immer eine Einheit Arbeit zur Verfügung stellt,
dann können wir uns überlegen, was sein Einkommen ist.
Das ist offensachbar Lohnsatz, mal Arbeitszeit,
also W mal eins ist einfach weh, dass das Lohneinkommen plus R mal A,
das ist das Kapitaleinkommen, die Verzinsung des Vermögens.
Also dieses Ding, hier ist das gesamte Einkommen,
das jetzt zusammen aus Arbeitseinkommen weh,
in Klammern W mal eins, meine Arbeitszeit,
plus eher mal eine Art, sind es jetzt mal Vermögen.
Und was macht er jetzt mit seinem Einkommen,
nur mit dem Einkommen hatte zwei Möglichkeiten,
wie sie aus der VGR wissen,
der kann das entweder konsumieren oder er kann das sparen
Ja. Was ist die Ersparnis? Die Ersparnis ist offenbar das,
das übrig bleibt, nachdem er konsumiert hat. Also,
wissen wir, das Einkommen ist W plus R mal A,
wenn ich davon dann den Konsum abziehe,
dann ist das die Ersparnis und diese Ersparnis ist offenbar nichts
anderes als die Veränderung des Vermögens.
Die Ersparnis verändert das Vermögen. Also, die Veränderung des
Vermögens, A, Punkt hier, ist die Ersparnis.
Das heißt, das ist das,
was im soloischen Wachstumsmodell S mal Y gewesen ist.
Nur haben wir jetzt kein S mehr.
Wir haben keine exogene Sparneigung mehr. Stattdessen steht jetzt hier
eben A, Punkt, das ist einkommen-konsum.
Und damit haben wir hier
eine Akkumulationsgleichung
So wie sie aus dem zollischen Wachstumsmodell eine Akkubulationsgleichung des Kapitals kannten.
Und die werden wir in diesem Modell auch haben.
Da wird sich nichts dran ändern. So haben wir jetzt
hier eine Akkumulationsgleichung für das Vermögen. Und dieser Akkumulationsgleichung für
das Vermögen bestimmt uns eben gerade die Ersparnisbildung des Konsumenten.
Weil das A-Punkt gerade die Ersparnis ist. Ja,
und damit haben wir schon mal erstmal ein wohl definiertes Problem.
Denn was wir jetzt sehen, ist doch offenbar,
dass der Konsument diese Nutzenfunktion hier maximieren muss unter dieser Budgetbeschränkung
Jetzt müssen wir uns nur noch ein bisschen genauer Gedanken
darüber machen, wie man das jetzt technisch lösen kann.
Zunächst mal scheint es so, als sei das ganz einfach.
Sie können ja sagen, naja, was will der Konsument machen?
Der will doch jetzt offenbar seinen Konsum so wählen,
dass der Nutzen maximiert wird und das muss er tun,
irgendwie unter dieser Nebenbedingung. Das Problem ist lediglich,
dass es jetzt nicht darum geht, ein Konsumniveau zu wählen,
also so, wie man das in statischen Problemen kennt,
sondern er muss jetzt ganz, ganz viele Konsumniveaus wählen,
nämlich für jeden Zeitpunkt in seinem Lebenshorizont 1.
Also er muss überabzählbar viele Konsumentscheidungen jetzt treffen und die determinieren
ihm dann auch für jeden Zeitpunkt irgendwie eine Ersparnisbildung und damit
einen Verlauf seines Vermögens
Ehe wir dieses Problem dann so aufschreiben,
dass wir das auch lösen können,
zunächst mal auf eine heuristische Art und Weise.
Wollen wir uns noch ein bisschen Gedanken machen über andere Beschränkungen,
die man dort verhängen kann. Zunächst mal vielleicht eine etwas,
keine Beschränkung ist, sondern sogar eine Verallgemeinerung dessen,
was wir bislang immer gemacht haben.
Wir wollen jetzt in diesem Ramsey-Ansatz dem Konsumenten auch gestatten,
sich zu verschulden. Das konnte der Konsument im Sollischen Wachstumsmodell
ja nicht. Der war gezwungen, immer zu sparen,
immer einen Konstanten-Prozentsatz seines Einkommens zu sparen.
Hier wollen wir das ganz freigeben. Der Konsument,
der kann sich verschulden oder er kann sparen,
ganz wie er das möchte
Also dieses A-Punkt, das kann negativ sein.
Und auch das A kann im Prinzip negativ werden.
Wir wollen nur eine Beschränkung dem Konsumenten auferlegen.
Ihr darf nicht bankrott machen. Ihr darf nicht als Bankrottier
sterben. Das heißt, an seinem Lebensende soll gelten,
dass sein Vermögen nicht negativ ist. Also wir wollen ihm nicht erlauben,
diese Welt zu verlassen mit einem großen Berg von Schulden.
Denn dann, wenn ihm das erlaubt wäre,
dann hätte sein Nutzen Maximierungsproblem natürlich keine Lösung mehr.
Dann würde der möglichst viel konsumieren,
möglichst hohe Schulden anhäufen
Wurde dann irgendwie das Zeitliche segnen und die Schulden hinterlassen.
Und die Frage ist, wer trägt die dann?
Beziehungsweise mit dieser Aussicht stellt sich zunächst mal die Frage,
wer wird ihm überhaupt Kredit gewähren?
Ja, wenn diese Möglichkeit bestünde, dass man stirbt und
Schulden hinterlässt. Also das lassen wir nicht zu,
weil das dann offenbar kein sinnvolles, ökonomisches Verhalten mehr abbilden würde,
wenn man sich einfach maßlos verschulden dürfte und mit Schulden an seinem Lebensende sterben durfte.
Deshalb haben wir folgende Beschränkung. A von T muss
größer gleich null sein
Das ist eine Ungleichheitsbeschränkung, wie Sie dort sehen.
Das ist eigentlich die sinnvolle Beschränkung, die man im Konsumenten auferlegt.
Wir wollten es aber zugleich überlegen,
dass es wohl kaum Nutzen maximal für den Konsumenten sein kann,
zu sterben, mit positivem Vermögen.
Denn wenn er an seinem ihm ja bekannten Lebensende noch ein positives Vermögen hat,
dann würde er freiwillig sozusagen auf Nutzen steigernde Möglichkeiten verzichten.
Er hätte ja dieses Vermögen, was dann am Lebensende noch
übrig wäre, das hätte er ja auch konsumieren können.
Und für wen will er jetzt schon aufsparen?
Wir haben ja jetzt in diesem Modell kein Bevölkerungswachstum,
keine Kinder und Ähnliches. Die Kinder gehen auch nicht irgendwie
in seinen Nutzenfunktionen ein. Also warum sollte er sterben und
Vermögen zurücklassen
Offenbar ist es doch so, das brauchen wir gar nicht
irgendwie kompliziert auszurechnen. Das ist optimal sein muss,
dass der Konsument mit einem Vermögen von Null stirbt.
Das wollen wir jetzt auch ohne, dass wir das beweisen,
dass das optimal ist, das könnte man beweisen,
wollen wir das einfach so annehmen.
Ja, weil das Problem wieder etwas leichter macht. Das heißt,
wir wollen von Anfang an diese Gleichung 75 hier spezialisieren zur Gleichung.
76 und wir fordern das Vermögen am Lebenszeitende, muss null sein.
Ihr darf keine Schulden hinterlassen. Einerseits, andererseits wollen wir aber sagen,
es wäre auch nicht sinnvoll für ihn ein positives Vermögen zu hinterlassen,
weil das kein Nutzen mehr stiftet und das Aufzehren des Vermögens,
aber seinen Nutzen hätte erhöhen können.
Also fordern wir das am Ende des Lebenshorizontes,
das Vermögen genau gleich null ist
So, damit haben wir jetzt unser Nutzen,
Maximierungsproblemen vorliegen, so wie der Konsument das löst.
Der hat zunächst mal ein bestimmtes Anfangsvermögen A0,
da wissen wir nicht, ob das positiv oder negativ ist.
Das ist ihm irgendwo vom Himmel gefallen.
Keine Ahnung, wo es herkommt. Und er löst jetzt
für das gegebene Anfangsvermögen A0 das Problem seinen Lebenszeitnutzen groß,
U-Summe über die ganzen momentanen Nutzen, Klein-U zu maximieren,
in Abhängigkeit von Konsumentscheidungen zu jedem Zeitpunkt kleinen Tee und Vermögensentscheidungen,
zu jedem Zeitpunkt klein A.
Der hat diese Vermögensentscheidungen, da habe ich zu jedem Zeitpunkt klein A,
eine Entscheidung über mein Vermögen mache, bedeutet das damit,
dass ich praktisch auch immer bestimme, wie viel spare ich.
Was ist also die Veränderung des Vermögens A-Punkt? Das ergibt sich dann daraus.
Das ist also dann die Sparentscheidung, die getroffen wird.
Also sie können das so lesen, er muss diese Nutzenfunktion
hier maximieren unter bestimmten Entscheidungen bezüglich seines Konsums und seiner Ersparnis.
Das ist das, was da steht. Aber er kann
das Integral eben nicht frei maximieren, sondern er muss noch
Restriktionen beachten. Das eine ist eben seine Budgetrestriktion,
A, Punkt ist W plus ärmer A-C,
die habe ich ihm eben gezeigt, diese Restriktion.
Und dann zur Vereinfachung eben noch die Forderung,
dass das Vermögen am Lebensende gleich Null sein muss,
also gleich
Was wir jetzt suchen, sind optimale Funktionen. C von
Tee und Afonti. Also wir suchen jetzt diejenigen, Funktionen,
C von Tee und Afonti, wobei Tee eben auf dem
offenen Intervall von 0 bis Groß Tee bestimmt sein muss.
So, dass dieses Integrat hier maximal wird. Und das ist offenbar nicht so ganz leicht,
weil sie bislang, jedenfalls wenn sie nur so Grundstudiumsmathematik beherrschen,
immer nur gelernt haben, Maximierungsprobleme zu lösen für Variablen,
die nicht irgendwie zeitabhängig gewesen sind, sondern einfach,
da gab es dann eben einen Wert, den müssten sie rauskriegen,
der war maximal.
Das waren eine so einfache Zahlen, die sie als Maximierer bestimmen mussten.
Und jetzt müssen sie eine ganze Funktion als Maximierer bestimmen.
Und um ihnen zu zeigen, wie man sowas macht,
wollen wir das jetzt mal so machen,
dass wir zunächst mal so tun,
als könnte man dieses Problem hier über einen Lagrange-Ansatz lösen.
Wobei wir bei diesem Lagrange-Ansatz das so auffassen wollen,
als hätten wir eben unendlich viele Variablen, über die wir maximieren können.
Nämlich für jeden Zeitpunkt kleinen Tee haben wir zwei Variablen zu bestimmten.
C von Tee und A von Tee. Und da gibt es eben
unendlich viele von diesen Variablen, die ich jetzt bestimmen muss,
um das optimale Konsum- und Sprachverhalten dieses Konsumenten bestimmen zu können.
Und dabei müssen wir jetzt berücksichtigen,
dass es auch unendlich viele Budgetrestriktionen des Typs 74 gibt.
Denn sie müssen sich ja klarmachen, diese Gleichung 74,
die ich ihnen je gezeigt habe, diese Budgetrestriktion,
die gilt für alle kleinen Tee.
Das heißt, es ist eigentlich nicht eine Gleichung,
die hier steht, sondern das sind überabzählbar viele Gleichungen,
nämlich für jedes Tee auf diesem offenen Intervall hier,
muss diese Gleichung gelten.
Ja, also eigentlich sind es unendlich viele Restriktionen,
die der Konsument zu berücksichtigen hat,
nämlich für jede Periode eine.
Und das bedeutet also auch,
dass man dann unendlich viele Lagrangemultiplikatoren kriegen muss
Nun, das wollen wir uns jetzt mal angucken,
wie man das dann aufschreiben würde.
Lesen Sie erneut dieses Integral hier als ein Summenzeichen.
Also was ist zu maximieren? Zu maximieren ist zunächst mal
der Lebenszeitmützen. Das kennen wir schon. Plus,
und jetzt dieses Lamda, das ist der Lagrange-Multiplikator,
der steht ja immer noch in dem Integralzeichen drin.
Also plus die Summe praktisch über ganz viele lagrange Multiplikationen,
Multiplikatoren, die multipliziert werden mit einer Nebenbedingung.
Mit der jeweiligen Nebenbedingung, nämlich der Bedingung, das Einkommen minus Konsum,
Gleicher Spannendes sein muss, gleich A-Punkt sein muss.
Oder hier dann eben zugeschrieben, dass diese Budgetrestriktion gleich null gesetzt wird,
einkommen-konsum-a-punkt ist gleich null. Das ist ja die Nebenbedingung.
Und diese Nebenbedingung gibt es eben für jeden Zeitpunkt kleinen Tee,
folglich ist sie für jeden Zeitpunkt kleinen Tee mit einem bestimmten lagranischen Multiplikator verbunden.
In der diskreten Schreibweise hätten sie jetzt geschrieben,
plus Lamda eins mal Restriktion, plus Lamda zweimal Restriktion,
plus Lamda dreimal Restriktion,
hier statt eines Index verwenden wir einfach ein Funktionsargument Tee
um die unterschiedliche Lagrange-Multiplikatoren zu kennzeichnen
Und das ganze Zeug sie, das muss integriert werden nach Deti.
Also es muss summiert werden über Tee. Ja,
das Invest zunächst klar, wie man darauf kommt,
so auf diese Lagrange-Funktion durch Übertragung dessen,
was sie aus dem Diskreten gewöhnt sind.
Oder haben sie das zu fragen? Ich frage lieber nicht,
ob Ihnen das klar ist, weil ich darauf meistens keine Antwort kriege.
Dann frage ich lieber, ob Sie eine Frage haben,
dann kriege ich auch keine Antwort mehr.
Und dann kann ich weitermachen. Also wenn Sie Fragen haben
, dann fragen Sie. Haben Sie nicht.
Gut. Das Ding, das müssen wir jetzt maximieren.
Das heißt, wir müssen ableiten nach unseren beiden Variablen.
Naja, worüber wollten wir das maximieren?
Wir wollten maximieren über C von Tee und über Afonti
Dann könnte man auch sagen, naja,
wir wissen ja, wie wir eine Summe ableiten.
Wir wissen auch, wie wir innerhalb eines Integrals differenzieren müssen.
Ist ja alles nicht so schwierig. Dann differenzieren wir jetzt
mal fröhlich drauf los. Und das können wir in der Tat
auch machen, indem wir jetzt ableiten nach C von Tee.
Ja, also praktisch nach jedem Ziel von Tee leiten wir ab.
Was kriegen wir dann raus? Nun,
wir kriegen doch dann offenbar raus,
wenn wir dieses Integral als ein Summenzeichen lesen,
das für einen ganz speziellen Zeitpunkt nur überhaupt ein Summant sozusagen
in dieser Summe wirklich für diesen speziellen Zeitpunkt definiert ist.
Und an diesem speziellen Zeitpunkt abgeleitet nach CVT wäre die Ableitung
eben U-Strich von C an
Diesem Zeitpunkt Tee. Und dann sehen wir,
hier hinten steht auch noch ein Ziel von Tee,
nach dem müssen wir auch noch differenzieren.
Nun ja, das hat einen Koeffizienten von Lamda und negatives Vorzeichen.
Also ist doch die notwendige Bedingung, die wir da rauskriegen,
u-strich von C ist gerade gleich Lamda.
Das ist also eine notwendige Bedingung und die muss gelten für alle Tees.
Wir können die auch schon so ein bisschen interpretieren,
diese Bedingung, denn wir können ja schon sagen,
das zeigt uns doch offenbar, dass dieser Lagrangeparameter Lamda hier,
dass das ein Schattenpreis ist.
Und zwar kann man diesen Lagrageparameter Lamda jetzt interpretieren,
als entweder den Schattenpreis des Konsums oder den Schattenpreis des Einkommens,
wie man es nimmt. Schattenpreis wissen Sie immer,
ist der Preis, den man bereit ist,
zu zahlen für eine zusätzliche Einheit von dem Ding,
von dem das eben der Schattenpreis ist.
Das heißt, wenn man die Möglichkeit hätte,
eine zusätzliche Einheit Konsums zu erwerben,
dann wäre man hier bereit, Lamda dafür zu bezahlen,
weil der Grenznutzen des Konsums eben gerade gleich Lamda ist zu
dem Zeitpunkt
Oder wenn man eine zusätzliche Einheit Einkommen hätte,
dann wäre einem die ebenfalls lammnder wert,
denn mit dieser zusätzlichen Einheit Einkommens,
könnte man sich ja eine zusätzliche Einheit Konsum kaufen.
Und dieser Konsum hat eben einen Grenznutzen von U-Strich.
Und dieser Grenznutzen von U-Strich ist gerade lammnder wert.
Hier spielt wieder das rein, was ich gesagt habe,
dass es sich um ein Kardinales Nutzen-Konzept handelt.
Also Grenznutzen hat sozusagen einen Wert. Und dieser Wert wird
in Lamda ausgedrückt. Also Lamda ist je nachdem,
wie sie es beschreiben wollen, Grenznutzen,
der Schattenpreis des Konsums oder der Schattenpreis des Einkommens
Also, soweit geht die Sache erst mal glatt.
Wir können hier einfach nach C von T differenzieren,
weil es integral wie ein Summenzeichen aufgefasst wird,
fallen eben sämtliche Summanten weg,
die zu anderen Zeitpunkten T definiert sind.
Und nur der Zeitpunkt T, nachdem wir gerade differenzieren,
der taucht dann hier auf in unserer notwendigen Bedingung.
Allerdings machen wir das für alle Zeitpunkte,
sodass diese notwendige Bedingung hier für alle T,
für alle kleinen Tier aus dem offenen Intervall von 0
bis T existiert
Das Problem kommt jetzt mit dem A von Team.
Wenn man jetzt den Versuch, den wir gerade gemacht haben,
übertragen wollen auf das Ableiten nach dem A,
dann stellen wir fest, dass da ein Problem existiert.
Denn wo haben wir in diesem Ausdruck hier A stehen? Nun,
das hier ist offenbar unabhängig von A und Lamda,
ist unabhängig von AW, ist unabhängig von A. Aha,
da steht einmal das A drin, nicht wahr,
das ist leicht zu differenzieren, da ist eben die Ableitung ärmer Lamda.
Dann kommt hier minus C von T und jetzt kommt dir
das Problem, da steht nämlich A, Punkt.
Das A-Punkt hat ja ganz offensichtlich irgendwas zu tun mit dem A.
Aber die Frage ist, wie leitet man denn nun eigentlich
A, Punkt von T ab nach A von T
Und das kann man so auf Anhieb nicht sehen. Ja,
dafür müssen wir ein bisschen ausholen, um uns zu überlegen,
wie man diese Gleichung 78 nach A von Tee ableiten kann,
sodass man diese Schwierigkeit mit diesem A-Punkt umschifft.
Wir werden das so machen, dass wir einfach die Gleichung 78 umschreiben.
Wir werden das Verfahren der partiellen Integration nutzen,
um dieses A-Punkt von Tee rauszukriegen aus der Gleichung 78,
sodass da nur noch As stehen und keiner A-Punkt mehr
und dann können wir ableiten
Nun, weil, nach meiner Erfahrung sie meistens
wieder vergessen haben oder viele von ihnen wieder vergessen haben,
was partieller Integration ist, hier nochmal das,
was sie irgendwo im Grundstümen in der Mathematikvorlesung gelernt haben.
Sie kennen alle aus der Schule die Produktregel, ja,
die oft beigebracht wird irgendwie, als,
wenn wir das Produkt U von X mal V von X ableitet,
also U von X, V von X Strich,
dann ist das U-Strich von X mal V von X plus V Strich von X mal U von X.
Ja, das haben sie alle in der Schule gelernt.
Und wenn ich dieses Ding, also diese Gleichheit hier,
diese Gleichung integriere über ein bestimmtes Intervall,
sagen wir mal von X0 bis X1,
dann kriege ich doch offenbar Folgendes.
Die Stammfunktion von U mal V
abgeleitet ist ja U mal
Dann fällt also durch das Integrieren einfach das Strich hier weg
und da ich jetzt hier ein bestimmtes Integral nehme,
also in den festen Grenzen, ist das nichts anderes,
als die Funktion, die Stammfunktion ausgewertet an der oberen Grenze,
Ufer X1, V von X1,
minus die Funktion ausgewertet einer unteren Grenze, Ufer X0V von X0.
Das ist gleich und jetzt muss ich die rechte Seite dieser Gleichung hier integrieren.
Nun, was ist das? Das Integral von X0 bis X1,
u-strich von XV von XDXDX,
das ist das Integral dieses ersten Sumantenplus,
das Integral von X0 bis X1,
Ufer XV-Strich von XDX,
als das Integral dieses zweiten Sumanten hier
Diese beiden Dinge, die kennen wir nicht, die können wir erst mal nicht ausrechnen, wie groß die sind.
Aber was wir machen können, ist, dass wir das umstellen. Einfach eines dieser beiden Integraler auf der rechten Seite,
auf die linke Seite bringen und dann kriegen wir also das raus,
was man als Regel der partiellen Integration bezeichnet,
das Integral über X-0 bis X-1,
also von X-0 bis X-1, über U-Strich von X-V,
von X, DX,
ist dasselbe wie die Stammfunktion von UV in Klammern abgeleitet,
also U-Fon X-1,
V von X-1,
minus U von X-0V von X-0,
minus und jetzt das Integral von X-0
bis X-1 über U von X-V-Strich von X-DX
Das haben sie möglicherweise auch schon in der Schule gelernt und
ganz bestimmt haben sie es in den Mathevorlesungen hier gelernt,
was man hier macht, ist, dass man ein Integral,
in dem eine Ableitung vorkommt und eine Funktion,
die nicht abgeleitet worden ist, ja, umschreibt in ein Integral,
in der die ursprünglich abgeleitete Funktion nicht mehr als Ableitung drinsteht,
sondern als deren Stammfunktion und dafür die andere Funktion abgeleitet wird.
Und das ist oft hilfreich, wenn sie integrieren wollen,
unter anderem wird das jetzt hilfreich sein,
wenn wir das A, Punkt, wegkriegen wollen,
denn das A, Punkt, das ist ja gerade eine Ableitung,
so wie dieses Urstrich in der Ableitung ist.
Und sie sehen,
das versetzt uns jetzt also diese Regel der Parziellen Integration,
versetzt uns jetzt in die Lage,
ein U-Strich in einem Integral so umzuschreiben,
dass da kein U-Strich mehr steht,
sondern nur auf das U,
also keine Ableitung mehr
Um den Preis, dass dafür eine andere Funktion als Ableitung auftaucht.
Nämlich das V taucht jetzt hier als Ableitung auf.
Also das machen wir jetzt mit dem Ding, was wir hier maximieren wollen.
Das, was wir maximieren wollten, war die Funktion,
integral über den momentanen Nutzen, plus Lamda,
mal die Restriktion, Restriktion war einkommen-konsum, ist Ersparnis.
Und da steht das A-Punkt drin, was uns im Augenblick stört.
Also brechen wir dieses Integral erstmal auf für zwei Teile.
Der erste längere Teil ist dieser hier, der wird einfach
unverändert übernommen, also das Integral bis hierhin, DT.
Und dann steht hier ja dieses Ding integriert, wohlgemerkt,
multipliziert mit dem Lamda. Da steht ja Lamda,
mal minus A., also das Minus,
das Integral von 0 bis T Lamda mal A. von T.T.
Und schauen Sie, hier steht jetzt sehr schön dieselbe Struktur,
wie die, die wir da oben haben.
Hier steht ja ein Produkt aus einer abgeleiteten Funktion und einer Funktion,
die nicht abgeleitet wird. Dasselbe haben wir da auch stehen.
Also können wir jetzt auf dieses Integral hier die Produkte,
die partielle Integrationsregel anwenden und dann kriegen wir,
das erste Ding hier ist unverändert,
statt dem Integral Lamda A.T. kriegen wir jetzt
das Integral Lamda.a.de
Und dann müssen wir diese Thermie hier mit der Stammfunktion noch dazutun,
also minus Lamda von Großtee,
A von Großtee plus Lamda von 0, A von 0.
Der Ausdruck hier ist jetzt sehr viel länger,
aber er hat unser Problem nicht mehr.
In diesem Ausdruck taucht nirgendwo mehr ein A-Punkt auf.
Deshalb können wir jetzt nach A von T differenzieren.
Und das ist relativ einfach, dieses erste Integral
hier nach A von T differenziert ist gerade Lamda mal
R. Sonst steht nirgendwo das A drin. Dieses Ding
hier differenziert nach A von T gibt uns offenbar gerade Lamda
Punkt als Ableitung von A von
Das Ding hier, dieser Ausdruck, sowieso gleich null,
weil wir schon angenommen haben, das A von Großtee,
das Vermögen am Lebenszeitende, dass das gleiche null ist.
Also dieser ganze Summant entfällt sowieso. Und hier steht Lamda von null mal A von null,
nun A von null ist ein gegebener Vermögensbestand am Anfang.
Der ist also nicht variabel. Danach können wir auch nicht ableiten,
das ist eine Konstante, die entfällt bei der Ableitung auch. Ergo,
kriegen wir, wenn wir jetzt das Ding hier ableiten,
nach A, Punkt, kriegen wir auf,
Entschuldigung nach A, kriegen wir offenbar raus,
Lamda mal R,
plus Lamda.
ist gleich null
Oder? Ja, lamder mal, er ist gleich minus lamder,
Punkt. Ja. Das ist also jetzt die Ableitung,
die wir bekommen, wenn wir unsere Zielfunktion,
die wir halt ein bisschen geschickt ungeformt formuliert haben,
umschreiben mithilfe der partiellen Integration.
Dann kriegen wir diese einfache Bedingung erster Ordnung. Lamder mal,
er ist gleich minus lamder, Punkt und das muss für
alle kleinen Tee gelten aus dem offenen Intervall von 0 bis Großtee.
Auch diese Bedingung können wir hier interpretieren und das sollen sie sich bitte in einer Übung überlegen,
diese Gleichung 80 sagt uns jetzt,
dass der Schattenpreis des Einkommens oder Konsums,
wie sie wollen,
mit der Wachstumsrate von minus er fällt
Ja, das ist geradezu offensichtlich, dass das so ist.
Überlegen Sie sich mal, warum das plausibel ist,
dass der Schattenpreis des Einkommens mit dieser Wachstumsrate fällt,
also mit der Wachstumsrate minus R fällt.
Ja, bei einem Laygrange-Ansatz muss man dann immer noch mal nach dem Laygrange-Parameter ableiten,
aber das ist, wie Sie wissen, trivial.
Da kommt dann immer die Restriktion raus, die man reingesteckt hat in das Problem.
Also wenn ich jetzt ableite nach einem Lamda von Tee,
dann ergibt sich natürlich gerade wieder meine Budgetrestriktion, A,
Punkt, ist W plus r mal A, minus C.
Das gilt ebenfalls für alle Tee. Also haben wir jetzt
drei Gleichungen für drei Unbekannte, die Unbekannten sind C von T,
von Tee und Lamda von Tee. Und wir haben drei Gleichungen,
nämlich diese gleiche und Kiel, die kennen wir schon,
also die Budgetrestriktion 74, dann diese gleiche 80 hier,
die wir mit ein bisschen Mühe hergeleitet haben und dann eben die notwendige Bedingung 79,
u-strich von C ist gerade gleich Lamda.
Tatsächlich sind es aber nicht drei Gleichungen, sondern tatsächlich sind das dreimal unendlich viele Gleichungen,
weil ja jede dieser Gleichungen immer für alle kleinen Tees gelten muss.
Das heißt, diese Gleichung beschreiben mir wirklich Funktionsverläufe. Nur man kann diese drei Gleichungen lösen,
das werden wir später tun, aber zunächst mal möchte ich Ihnen das,
was wir hier hergeleitet haben, exakt formulieren und ihnen zeigen,
wie man solche Probleme typischerweise löst,
denn normalerweise schreibt man sie nicht so als ein La Grage ansetzt,
sondern man verwendet dort ein bestimmtes Prinzip,
das sogenannte Maximum-Prinzip und eine bestimmte Technik, einen Hamilton-Ansatz,
die ich ihnen jetzt vorstellen möchte,
nachdem ich ihnen zunächst einmal vorgeführt habe,
was ein sogenanntes optimales Kontrollproblem ist.
Ja, vielleicht sollte ich da zunächst mal eine gewisse Polemik loswerden über Leute,
die Sachen einfach aus dem Englischen gedankenlos übersetzen.
Im Englischen heißt ein, Also dieses Problem, dieser Begriff
optimales Kontrollproblem. Der hat sich also eingebürgert im Deutschen,
obwohl es im Grunde genommen ein Ärgernis ist,
dass man es als optimales Kontrollproblem bezeichnet.
Diese Bezeichnung kommt nur daher, dass es im Englischen heißt, optimal control problem.
Ja, man hat mir übersetzt als optimales Kontrollproblem. Nun,
das erste ist, dass es das englische Wort Control
eigentlich mit Steuerung übersetzt werden sollte und nicht mit Kontrolle.
Ja, es hat nicht wirklich was mit Kontrolle
zu tun im Sinne von Wach- und Schließgesellschaft oder sowas,
sondern es hat was mit Steuerung zu tun.
Sein Problem, optimaler Steuerung. Und das zweite Ärgernis darin,
also das erste Ärgernis ist, dass man eben Troll falsch übersetzt hat.
Das zweite ist, dass man sagt,
also wenn man im Deutschen optimales Kontrollproblem sagt,
dann sagt die grammatische Struktur, dass das Problem optimal ist.
Nicht, dass die Kontrolle optimal ist. Im Englischen
sagt aber Optimal Control problem, das ist ein Problem,
optimaler Kontrolle oder optimaler Steuerung ist. Aber optimales Kontrollproblem ist eigentlich völlig unsinnig,
weil nicht das Problem optimal ist, sondern das,
was optimal sein soll, ist die Art,
wie ich eine bestimmte Variable steuere.
Na schön. So, also ich nenne es lieber eben Problem
optimaler Kontrolle oder noch besser hätte ich es nennen sollen,
Problem optimaler Steuerung.
Das ist das, was hiermit beschrieben wird und das ist
folgendermaßen definiert
Wir haben irgendwie eine Variable X, die zeitabhängig ist.
Und die beschreibt mir den Zustand eines Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt T.
Eine solche Zustandsvariable könnte zum Beispiel der Kapitalbestand sein.
Oder es kann hier in unserer Anwendung jetzt das Vermögen sein.
Das sind sogenannte Zustandsvariablen, Bestandsvariablen typischerweise.
Eine zweite Variable U von T ist eine Variable,
die man steuern kann, zum Beispiel den Konsum.
Diese Variable U von T kann man so steuern,
dass dadurch der Zustand des Systems in der Zukunft beeinflusst wird.
Also wenn der Konsum beispielsweise diese Variable U von T ist,
dann ist es so, dass sie den Konsum so wählen kann,
dass mein Vermögen größer oder kleiner wird in der Zukunft,
damit steuere ich dann also den Zustand des Systems
Was man ein Problem optimaler Steuerung macht, ist,
dass man die optimalen Verläufe von X und U auf einem bestimmten Intervall bestimmt.
Ich habe jetzt hier so ein offenes Intervall von 0 bis T genommen,
also irgendwie sowas, was dem endlichen Lebenszeithorizont unseres Konsumenten bestimmt, entspricht.
Man kann da aber auch andere Intervalle nehmen,
insbesondere kann man auch unendlich bis ins unendliche reichende Intervalle
mit betrachten bei diesen Problemen optimaler Steuerung
Also, man bestimmt jetzt die optimalen Verläufe von X und U, um ein bestimmtes Maximierungsproblem zu lösen.
Dieses Maximierungsproblem ist gegeben durch bestimmte Funktionen F und G. Wobei das Problem dann die Struktur hat,
Maximiere das Integral über die Funktion F, DT,
also die Summe über sämtliche Zeitpunkte, ja,
von 0 bis T über die Funktion F,
unter der Bedingung, dass sich X Punkt,
also die Zustandsvariable, verändert, gemäß der Funktion G. Ja,
beide Funktionen F und G hängen ab sowohl von der Zeit oder können abhängen von der Zeit,
als auch vom Zustand des Systems,
als auch von dem jeweiligen,
von der jeweiligen Steuerungsvariablen
Also bei uns, in unserer Anwendung wäre das F hier gerade der momentane Nutzen gewesen.
Und das G hier wäre gerade einkommen-konsum gewesen. Das heißt,
die selbe Struktur, die wir hier haben,
man hat bestimmte Anfangswerte gegeben in dieser einfachsten Form eines problemsoptimaler Steuerung,
hat ein Beginn bestimmter Anfangswerte gegeben.
Bei uns ist das Vermögen am Anfang eben gegeben,
um bestimmte Endwerte für die Zustandsvariable sind möglicherweise auch gegeben.
Zum Beispiel eben bei uns das Vermögen von Null. Auch das kann man für allgemeine,
man kann auch solche Kontrollprobleme schreiben, so,
dass sie entweder Endbedingungen haben oder keine Anfangsbedingungen haben oder Ungleichheiten als
ein- oder Anfangsbedingungen haben oder der Endzeitpunkt unklar ist und vielleicht sogar mitgewählt werden muss,
da entfaltet sich eine ziemliche mathematische Theorie,
wenn man dieses Problem noch verallgemeinert.
Hier deshalb jetzt nur die allereinfachste Formulierung.
So ein Ding nennt man also optimales Kontrollproblem und das
sind wir im Augenblick im Begriff zu lösen.
Also das ist genau die Struktur des Problems,
was wir zurzeit betrachten
Ja, das habe ich mal im Wesentlichen schon gesagt.
Das ist jetzt also nur die einfachste Form eines solchen Kontrollproblems,
weil wir nämlich das Zeitfenster fixiert haben und weil es endlich ist und
weil wir einen fest vorgegebenen Endpunkt für dieses X haben,
eine X von T ist gleich 0 oder ist gleich X 0 oder sowas.
Das ist also ein genauer Zielwert für das X vorgegeben.
Das macht die Sache relativ einfach. Man kann alle
diese Sachen aufheben, entweder kann man sagen,
dass der Endzeitpunkt nicht fixiert ist oder dass der Endpunkt für
das X nicht fest vorgegeben ist oder beides irgendwie variabel ist
Nun für solche sogenannten optimalen Kontrollprobleme gibt es ein Maximierungsverfahren,
was man das Maximum-Prinzip nennt. Also,
gegeben sei so ein Problem der Form 81,
dann weiß man, das ist das,
was dieser Satz jetzt besagt, dieses Maximum-Prinzip besagt,
notwendig zur Lösung dieses Problems ist es,
dass die partiellen Ableitungen der sogenannten Hamilton-Funktion,
die habe ich hier definiert,
diese Bedingungen erfüllen
Also wie auch bei der Lagrange-Funktion ist es so,
dass man eine bestimmte Funktion aufstellen muss,
nur heißt jetzt nicht mehr Lagrange-Funktion, sondern man hätte jetzt Hamilton-Funktion.
Und wie bei der Lagrange-Funktion muss gelten,
dass die Ableitung dieser Funktion bestimmte Eigenschaften erfüllt.
Bei der Lagrange-Funktion war das immer so, dass die Ableitung
der Lagrange-Funktion null sein müssten. Das war besonders einprägsam.
Bei der Hamilton-Funktion ist das leider nicht mehr der Fall,
dass die Ableitung einfach nur gleich null gesetzt werden,
sondern es ist folgendes.
Also zunächst zeige ich Ihnen mal, was die Hamilton-Funktion ist.
Diese Hamilton-Funktion hier ist ganz ähnlich wie das,
was sie als Lagrange-Funktion kennen.
Nämlich, das ist F, erinnern Sie sich,
das F-Stand in der Zielfunktion drin
Plus Lamda mal G. G, hatte was mit der Restriktion
zu tun. Da stand in der Restriktion drin,
ja, Lamda hat sozusagen die Funktion dieses Lagrange-Parameters.
Deshalb hier die Notation. Es ist nur folgender Unterschied zu dem einfachen Lagrange-Problem,
was sie aus der, aus der Grundstudiumsbathematik kennen.
Nochmal zurück. Bei der Hamilton-Funktion steht hier als erster Summant
einfach F und nicht etwa integral über F.
Es steht nicht wirklich die ganze Zielfunktion da,
so wie sie das bei Lagrange kennen, ja,
sondern es steht lediglich der Integrant da,
was die Sache viel einfacher macht,
weil das Integralzeichen weg ist
Also sie müssen jetzt nicht das ganze Integral dorthin schreiben,
wenn sie anfangen abzuleiten,
sondern sie beschreiben sich die Hamilton-Funktion direkt so hin,
dass sie nur dieses F hinschreiben unter Verzicht auf das Integralzeichen.
Und der zweite Unterschied ist Folgen, wenn wir nochmal zurückgehen,
also da steht F ohne Integralzeichen plus Lamda mal G.
Bei der Lagrange-Maximierung war dieses G dann immer die Restriktion,
die man gleich null gesetzt hatte. Also man hat die Restriktion so umgeschrieben,
dass die eine Seite der Gleichung null war und den ganzen
Summs auf der anderen Seite, der stand hier da,
wo jetzt hier das G steht.
Bei dem Hamilton-Ansatz ist das nicht so.
Sehen Sie,
da steht Lamda mal
Und G ist lediglich eine Seite der Restriktion,
die andere Seite der Restriktion besteht aus X Punkt.
Der X Punkt entfällt jetzt. Auch was,
was uns das Leben ein bisschen einfacher macht,
dann ist das hässliche X-Punkt eben gar nicht mehr mit dabei,
sondern wir müssen lediglich den Ausdruck nehmen,
der die Veränderung der Variablen X beschreibt.
Wir müssen das X-Punkt selbst nicht abziehen. Nun,
das ist in gewisser Hinsicht sogar logisch,
dass es sich so verhält oder man sieht,
wie es sich aus dem Lagrange-Ansatz verallgemeinert,
im Lagrange-Ansatz hätte es geheißen,
G ist gleich null,
das wäre
die Restriktion gewesen
Ja. Nun, Lagrage-Einsätze sind Ansätze für statische Probleme.
Da verändern sich die Variablen eben nicht. Ja,
also x Punkt ist da immer null, weil es
gar keine Zustandsvariablen gibt, die irgendwie Veränderungen erfahren können.
Aber jetzt verallgemeinert sich das eben und dann kann eine Zustandsvariable
sich verändern und dementsprechend steht jetzt hier, G ist gleich x Punkt.
Aber in der Hamilton-Funktion taucht das x Punkt eben nicht auf,
sondern relevant ist ja nur das G. Warum das so ist,
kann ich Ihnen nicht beweisen,
der Beweis für das Maximum-Prinzip ist jenseits auch meiner mathematischen Fähigkeiten oder jedenfalls meines mathematischen Interesses,
wir nehmen das einfach zur Kenntnis, dass das die Hamilton Funktion ist,
die man jetzt ableiten muss, nach dem vier Funktionsargumenten,
die sie hat.
Nein, eigentlich nur noch den Dreien hier.
Also sie hängt im Allgemeinen sogar noch von Tee selbst ab,
aber uns interessiert eigentlich nur die Ableitung von X,
der Zustandsvariablen U, der Kontrollvariablen und Lambda,
diesem Schattenpreis oder sowas ähnliches wie Lagrange-Parameter.
Das nennt man den Co-State, die Co-Zustandsvariable.
Und zwar müssen folgte Bedingungen für die Ableitung gegeben sein.
Erstens, die Ableitung von H nach U nach der Kontrollvariablen
ist null. Das ist so wie im Lagrange-Ansatz auch,
ableitend und gleich null setzen
Aber dann wird es anders. Die Ableitung von H nach dem Lamda,
die muss x Punkt sein. Da ist man vielleicht erst mal überrascht,
dass das jetzt nicht gleich null gesetzt wird, aber diese Überraschung,
die klärt sich sofort, wenn man sich überlegt,
die Ableitung von H nach Lamda, H,
abgeleitet nach Lamda, ist natürlich einfach G. Das heißt,
die Ableitung von H nach Lamda ist Energie.
Das heißt, was wir hier rausdringen,
ist einfach G, ist gerade gleich x Punkt.
Und das ist die ursprüngliche Restriktion. Nichts natürlicher als das.
Schließlich die Ableitung von dem H nach x nach der Zustandsvariablen,
die muss gleich minus Lamda
Punkt sein
Ja, das ist jetzt neu und das ist auch nicht wirklich intuitiv.
Also wenn sie jetzt nach dem X-Up leiten,
dann kriegen sie eben F abgeleitet nach X plus Lamda,
mal G, abgeleitet nach X.
Diese Ableitung muss gleich minus lamnder Punkt sein.
Und dieses minus lamnder Punkt, das ist sowas ähnliches.
Ja, das ist praktisch das,
was wir eben mit der partiellen Integration bereits gemacht hatten.
Sehen Sie, da hatten wir auch Lamda R,
ist gleich minus lamnder Punkt. Ja, das ist dieselbe Bedingung,
die wir hier schon mit so einem Lagrange-Ansatz motiviert hatten,
ja,
die wir jetzt in diesem Hamilton-Ansatz
wieder sehen
Das kommt eben daher, dass sich die Vermögensvariable selbst ändert. Sie erinnern sich ja,
diese Bedingung, die haben wir irgendwie da hergeleitet, dass wir gesagt haben,
naja, wir haben da so ein komisches A-Punkt drinstehen,
also diese Zustandsvariable, im Allgemeinen,
in der allgemeinen Notation X-Punkt, die müssen wir irgendwie wegkriegen,
da haben wir partiell integriert und dann haben wir sie weggekriegt nicht und der Preis,
den wir dafür bezahlt haben, war aber,
dass dieser Co-State, dieser Lagrange-Sparameter, wie ich das hier nenne,
dass der dann als Ableitung da drin auftaucht.
Und genau das ist eben auch bei dem Maximum-Prinzip der Fall,
wir kriegen dann eben diese Bedingung raus,
die H nach DX muss gleich minus landerpunkt sein
Außerdem muss natürlich die andere Restriktion eingehalten werden,
dass X zum Ende des Maximierungshorizonts, also zum Zeitpunkt Großtee,
gleich dem vorgegebenen Ziel wird, XT ist.
Das hat man ja zunächst mal bei der einfachen Form des Kontrollproblems geschrieben,
dass X von Großtee gleich XT ist,
dass wir da also irgendwie einen festen Wert anstreben müssen in unserer Maximierung,
war das eben so, dass das Vermögen der Null sein soll.
Ja, dann wäre X-Gros T 0.
Diese Bedingung muss natürlich auch
eingehalten werden
Und wenn man diese optimalen Bedingungen dann haben,
dann haben wir hier drei Gleichungen stehen und
die Gleichungen kann man dann versuchen zu lösen,
sodass man die maximierenden Funktionen in X von Tee und Ufontee erhält.
Das Lösen der Gleichung selbst ist auch wieder anspruchsvoll, weil das dann Differenzialgleichungen sind.
Ja, und die können also ziemlich hässlich werden,
diese Differenzialgleichung, da wollen wir uns später mit befassen.
Aber im Augenblick zunächst mal wollen wir das so zur Kenntnis nehmen,
dass wir hier diese Bedingungen erster Ordnung haben,
die man für sich genommen dann schon mal analysieren kann und interpretieren kann,
wo man schon das eine oder andere das lernen kann.
Haben Sie dazu Fragen
Ja, zur Übung gucken Sie sich mal dieses Maximum-Prinzip an,
bestimmen Sie die Hamilton-Funktion und lösen Sie das Problem,
was ich eben mit dem heuristischen Ansatz über diese Lagrange-Überlegung gelöst habe,
lösen Sie das mal mit diesem Hamilton-Ansatz und vergleichen Sie die Bedingungen,
die Sie dann rauskriegen.
Also verifizieren Sie, dass die Bedingungen,
die Sie dann rauskriegen, dieselben sind,
wie die Bedingungen,
die ich
mit diesem Lagrange-Ansatz ermittelt habe
Nun, vielleicht sind sie jetzt ein bisschen irritiert,
dass hier diese Ableitungen der Hamilton-Funktion, also dieses DH nach DU,
DH nach Delamda und die H nach DEX,
dass die eben nicht immer gleich null gesetzt werden.
Das ist leider so. Beachten Sie aber bitte,
dass das in gewisser Hinsicht eine naheliegende Verallgemeinerung des Lagrange-Ansatzes ist,
denn es ist doch so,
dass im Lagrange-Ansatz eben die Variablen immer nur feste Werte sind.
Also die maximierende Variable sind feste Werte. Das heißt,
deren Veränderungen in der Zeit sind immer null.
Also in gewisser Hinsicht ist das,
umschließt dieses Meximum-Prinzip genau den Lagrange-Ansatz,
den im Lagrange-Ansatz ist x-punktgleich null und landender Punktgleich null
Und das ist alles. Dann haben sie wieder die Eigenschaft,
dass sie einfach nach allen Variablen ableiten müssen und die Ableitung
gleich null setzen müssen. Es ist nur nicht viel mehr
ganz so einprägsam hier in diesem Hamilton-Ansatz oder in diesem Maximum-Prinzip.
In komplizierteren Problemen werden die Bedingungen noch ein bisschen komplizierter dadurch,
dass wir dann eine weitere notwendige Bedingung dazu bekommen.
Das ist die sogenannte Transversalitätsbedingung. Dieses Transversalitätsbedingung, die tritt dann auf,
wenn die Endpunktbedingung durch eine Ungleichung beispielsweise beschrieben ist.
Zum Beispiel, es könnte ja auch sein,
dass die Endpunktbedingung für die Zustandsvariable X von T nur so gegeben ist,
dass das größergleich irgendein fester Wert sein muss
So hatten wir das eben schon mal hingeschrieben bei dem Vermögen
und hatten gesagt, eigentlich ist die ökonomisch sinnvolle Restriktion,
nur dass das Vermögen größer gleich null ist am Ende des Lebenszeithorizonts.
Ja, und dann hat sie so einen kleinen Trick gemacht und hatte gesagt,
naja, wir überlegen uns schon mal,
dass die optimale Lösung sicherlich so sein muss, dass das Vermögen null ist.
Aber das war nicht wirklich die Restriktion, die man im Restkonsumenten auferlegt.
Darauf müsste der eigentlich erst mal kommen, wenn er maximiert.
Und ich hatte dieses Ergebnis durch eine Plausibilitätsüberlegung vorweggenommen.
Das habe ich deshalb gemacht, weil ich ihm zunächst mal
diese Transfersalitätsbedingung ersparen wollte. Wenn es nämlich so ist,
dass wir nur eine Ungleichung als Endbedingung für die Zustandsvariable haben oder wenn es sogar so ist,
dass zum Beispiel der Endzeitpunkt, dass dieser Endpunkt hier sogar völlig beliebig ist,
könnte ja auch sein, dass man sagt,
es ist ganz egal, welchen Wert die Zustandsvariable zum Zeitpunkt T ist.
Dann ergibt sich nämlich diese sogenannte Transversalitätsbedingung, die eben irgendwie
eine Aussage auch über den Schattenpreis macht Lamda von T. Und zwar ist das so,
wenn, ich betrachte jetzt immer nur mal einen speziellen Fall,
wenn wir haben X von T ist größer, gleich X T,
also ein fester Wert und dieser Wert ist gleich Null,
dann sagt diese Transversalitätsbedingung,
also dieses TVC steht hier für Transversality Condition,
ja,
dann besagt diese Transversalitätsbedingung,
dass das Produkt Lamda von T
mal X von T
gleich Null sein muss
Ja, also, wenn wir wissen,
am Ende des Lebenshorizonts muss das Vermögen hier größer gleich null sein,
dann soll gelten, dass der Schattenpreis des Einkommens oder Schattenpreis
des Konsums mal Vermögen am Ende des Lebenshorizonts null sein muss.
Und das wiederum kann man interpretieren, denn das bedeutet,
entweder muss das X-Fond T gleich null sein,
das heißt, das Vermögen muss aufgebraucht sein.
Nutzen maximal ist, oder wir hatten ja uns eben überlegt,
es ist also wahrscheinlich nicht nutzen maximal, wenn das Vermögen nicht aufgebraucht wird.
Oder es muss so sein,
dass der Schattenpreis zum Zeitpunkt groß T-0 wird,
der Schattenpreis des Einkommens null wird, das heißt,
das Konsum zusätzliche Konsum einfach nichts mehr
wert ist
Dann, wenn der zusätzliche Konsum keinen Nutzen mehr stiften würde,
dann wäre es plausibel zu sagen, dann mal halte ich Vermögen über,
weil ich ja keinen Nutzen mehr daraus kriege,
wenn ich mehr konsumiere.
Das ist die andere Möglichkeit. Deshalb wird das dann eben
hier vereint in dieser Bedingung des Lamda von Thema X von T
gleich Null ist und das nennt man eben die Transversalitätsbedingung.
Ja, und wir haben eben das ein bisschen vorweggenommen,
weil wir statt der Ungleichung A von Tee größer gleich Null bereits
die gleich und A von Tee gleich Null als Nutzen maximal vermutet haben und dadurch sind wir erstmal um diese Transversalitätsbedingungen herumgekommen.
Die kommt aber später wieder. Freuen sich also nicht
zu früh
Haben Sie Fragen dazu? Wir könnten jetzt dieses Modell
erst mal lösen, so wie ich es formuliert habe.
Wir sparen uns aber ein bisschen Arbeit, wenn wir,
nachdem wir jetzt diesen mathematischen Apparat erst mal besprochen haben,
das Modell gleich in der Form aufschreiben,
in der wir es dann auch tatsächlich brauchen.
Also es ist jetzt näher heranführend an die Beschreibung eines ökonomischen Modells,
was an das Solution Wachstumsmodell angelehnt ist und das Solution Wachstumsmodell
insofern verändert und wie wir später sehen werden,
einfach nur verallgemeinert,
als jetzt die Ersparnisbildung eben endogen ist
Deshalb erweitern wir jetzt also das Modell um einige Einzelheiten,
die wir eigentlich aus dem soulischen Wachstumsmodell bereits kennen und die
jetzt die mathematische Struktur auch nicht mehr großartig verändern.
Zum einen nehmen wir an, das ist Bevölkerungswachstum gibt.
Eben hatte ich gesagt, es gibt einen repräsentativen Agenten und der
hat eine Arbeitszeit von eins, die bietet er irgendwie fix an.
Das ist natürlich eine Möglichkeit, das so zu machen,
aber genauso gut kann ich jetzt natürlich sagen, wenn wir Bevölkerungswachstum haben,
dann ist eben die Bevölkerung L beschrieben durch E-Hoch-N-N-T, weil wissen Sie,
das bedeutet, dass die Wachstumsrate der Bevölkerung gerade gleich eng ist.
Und ja, und dieses Tier hier eben,
die Zeitabhängigkeit des Bevölkerungswachstums beschreibt
Eben in dem Modell hatten wir N war gleich null,
kein Bevölkerungswachstum. Dann steht da eh hoch null mal Tee,
ist eh hoch, 0 ist 1.
Dementsprechend war die Bevölkerung eben in dem Modell ohne Bevölkerungswachstum einfach eins.
Und jetzt ist sie eben L beschrieben durch eh hoch ein Tee.
Dieselbe Annahme machen wir jetzt für den technischen, für das technische Wissen.
Das bezeichnet aber wieder mit Tee. Und das soll
mit Wachstumsrate X wachsen, sowie im sörerischen Wachstumsmodell auch.
Also X lassen wir jetzt zu, ist größer als null.
Das heißt, das technische Wissen Tee wird jetzt beschrieben durch
E-Hoch XT. Eben hätten wir uns vorstellen können,
was das technische Wissen einfach auf eins normiert,
weil X gleich null war
Ferner wollen wir jetzt annehmen, dass es nicht mehr einen
endlichen Lebenszeithorizont gibt und jedes Individuum weiß, wann es stirbt.
Sondern wir wollen annehmen, dass die Individuen unendlich lange leben und interessiert.
Und das dadurch motivieren, dass wir sagen, sie sind interessiert am Wohlergehen ihrer Kinder.
Und am Wohlergehen ihrer Enkel und Urenkel und so weiter.
Das heißt, wir wollen jetzt, wir wollen die Kinder und die Enkel und so weiter nicht explizit modellieren. Sondern wir wollen sagen,
die Individuen, die leben unendlich lange und diese unendlich lange Lebensdauer,
die ja offensichtlich der Realität widerspricht, wollen wir dadurch erkennen,
klären oder motivieren als Modellannahme, dass wir sagen können,
naja, wenn ein endlich lange lebendes Individuum,
normalerweise Kinder und Enkel und Urenkel hat,
dann ist es doch so,
dass die meisten Menschen sich jedenfalls auch für das Wohlergehen ihrer Kinder interessieren.
Und wirtschaftlicher Entscheidungen irgendwie so machen, dass sie auch
das Wohlergehen der Kinder dabei mit berücksichtigen. Das heißt,
das könnte man sich so vorstellen, dass man sagt,
in die Nutzenfunktion eines real lebenden Menschen geht nicht nur der
eigene Konsum während des eigenen Lebenszeithorizonts ein,
sondern es geht in die Nutzenfunktion jedes einzelnen Menschen auch ein,
das Nutzenniveau,
was die eigenen Kinder haben
Je besser es den eigenen Kindern geht, desto mehr Nutzen empfindet man selbst.
Das heißt, der Nutzen der Kinder beeinflusst das eigene Nutzniveau.
Und damit werden wirtschaftliche Entscheidungen für das jeweilige Individuum auch dann
relevant, wenn sie über den eigenen Lebenszeithorizont hinausragen.
Die eigenen Kinder haben natürlich auch nur einen beschränkten Lebenshorizont und sterben irgendwann.
Aber deren Nutzniveau, das ja in die Nutzenfunktion der Eltern eingeht,
deren Nutzniveau hängt ab vom Nutzen ihrer eigenen Kinder. Das heißt,
die ganzen Nutzen sind irgendwo verkettet und wenn sie das zu Ende denken,
bedeutet das, dass jedes mit einem beschränkten Lebenshorizont in einer gewissen,
möglicherweise sehr schwachen Art und Weise auch noch berücksichtigt,
den Nutzen jeder auch nur noch so fernen Generationen in der Zukunft.
Weil es irgendwo noch mal indirekt die eigenen Abkömmlinge sind,
die profitieren oder möglicherweise auch leiden unter den wirtschaftlichen Entscheidungen,
die man selbst zu dem Zeitpunkt getroffen hat.
Und diese komplizierte Verkettung und Verknüpfung von Nutzenniveaus über viele,
viele Generationen hinweg, die kann man natürlich viel einfacher darstellen,
indem man einfach sagt, es gibt ein Individuum, das lebt unendlich lange.
Berücksichtigt deshalb sämtliche Entscheidungen bis in die fernste Zukunft hinein
Man kann das auch formal zeigen. Sie können auch im
Prinzip ein Modell bauen mit überlappenden Generationen und jede Generation selbst
lebt nur einen beschränkten Lebenshorizont, ja, die Generationen überlappen aber,
weil es immer Eltern und Kinder und Enkel gibt und so weiter.
Und wenn sie dann die Annahme machen,
dass der Nutzen der Kinder immer auch in die Nutzenfunktionen der Eltern als Argument eingeht,
dann können sie zeigen, dass das mathematisch Äquivalent ist zu einem Modell mit unendlich langen lebenden Individuen.
Ja, und den Aufwand wollen wir nicht betreiben,
sondern wir nehmen gleich an,
dass das repräsentative Individuum eben unendlich lange lebt und dass
der Planungshorizont Großtee deshalb eben unendlich lang ist
Nun ist es aber natürlich so, dass der Nutzen meiner Kinder,
was weiß ich, oder meiner Nachkommen in tausend Jahren,
mich zwar vielleicht heute auch irgendwo noch marginal berührt.
Ich war aber eben nur marginal noch berührt. Ja,
das ist sicherlich nur noch ein sehr kleiner Einfluss,
den das vielleicht heute irgendwie auf mein Einkommen,
auf meine wirtschaftlichen Entscheidungen hat, dass ich denke, naja,
wie wirkt sich das in tausend Jahren auf die Generationen aus?
Deshalb wollen wir das berücksichtigen, indem wir sagen,
die nutzen zukünftiger Zeitpunkte, die sehr weit in der Zukunft liegen,
die werden auch entsprechend diskutiert.
Das heißt, in die Nutzenfunktionen, die das Individuum hat.
Wollen wir jetzt auch noch einen Disconfaktor einfügen, den wir als roh notieren.
Das heißt, wir haben jetzt nicht mehr eine Nutzenfunktion,
die irgendwie so geschaffen ist, dass wir sagen, integral,
über U von T-T-D-T als Summe über die ganzen Lebenszeit nutzen.
Denn das würde mir ja sagen, nutzen in einer sehr
fernen Periode, ist genauso viel wert wie nutzen jetzt.
So, wir wollen jetzt sagen,
dass dieser Nutzen diskontiert wird mit irgendwie einem Faktor ehoch-roti
Das heißt, je größer das Tee ist, desto kleiner
ist eh hoch minus route. Und das bedeutet also,
je weiter der Zeitpunkt in der Zukunft liegt,
desto weniger interessiert mich der Nutzen in der Zukunft.
Weil ich mit einer immer größeren Wahrscheinlichkeit tot bin und
vielleicht meine Kinder und meine Enkelkinder auch schon tot sind.
Nun, warum nehmen wir gerade eh hoch minus routee?
Das können wir uns relativ leicht klarmachen. ehoch minus routee
ist praktisch ein Zinsfaktor. Sie wissen vielleicht,
dass man die E-Funktion approximieren kann an der Stelle null
durch 1 plus
Also das bedeutet nichts anderes, als dass das hier ungefähr ist,
also schreiben wir es mal so, das ist eh hoch.
Eins durch eh hoch rote, beziehungsweise das können wir schreiben,
als eins durch eh hoch roh.
Und das Hochtee. Naja, und eins durch eh hoch
kann man schreiben, als ungefähr eins plus roh.
Also ist das ungefähr eins durch eins plus roh.
Hochtee. Ja, also es ist ungefähr gleich
Naja, und das sehen Sie, ist so eine Art Disconfaktor hier.
Ja, also stellen sich das roh als den Zinssatz vor,
dann würden Sie sagen, dass das ein Disconfaktor ist.
Also ehoch-minus-rot-tee ist ungefähr gleich eins durch eins plus-rot-tee,
ist also nichts anderes als ein normaler Disconfaktor.
Für dieses Roh, diesen subjektiven Disconfaktor,
wollen wir jetzt noch eine Annahme machen, nämlich wir wollen annehmen,
dass diese subjektive Diskontierung größer ist als die,
als das Bevölkerungswachstum.
Also wir wollen die Annahme machen,
dass roh größer ist als
Warum? Nun, wenn wir das nicht tun,
dann würde das Integral nicht konvergieren. Das ist zunächst mal
die technische Antwort, die man darauf geben muss.
Dann wäre also das ganze Maximierungsproblem nicht ordentlich definiert.
Die ökonomische Interpretation ist die, dass der Nutzengewinn dadurch,
dass man das zu einem zukünftigen Zeitpunkt die Kinder oder Nachkommen
einen bestimmten Konsum haben können,
dass dieser Nutzengewinn geringer ist,
als wenn man selbst sofort
diesen Konsum tätigen würde
Gucken wir uns das mal in der mathematischen Formulierung an,
dann wird das vielleicht klar, was ich dort gerade gesagt habe.
Das Nutzen Maximierungsproblem, so wie wir es jetzt schreiben,
mit diesen etwas erweiternden Annahmen, würde sagen,
maximiere über optimale Wahl von C und von A,
den Lebenszeitnutzen U und das ist das Integral von null bis unendlich über diesen Disconfaktor,
ehoch-rote, mal den momentanen Nutzen, U von C von T,
mal und jetzt müssen wir machen, mal die Bevölkerung.
Wir wollen ja jetzt nicht mehr nur maximieren, den Nutzen eines Einzelnen,
sondern wir wollen den Nutzen der gesamten Bevölkerung maximieren.
Die Individuen sind alle identisch, also muss einfach die Nutzenfunktion
eines einzelnen Individuums UVNC multipliziert werden mit der Menge an Bevölkerung,
also mit L und L ist nichts anderes als eh hoch NT.
Nun, jetzt haben wir da zwei E-Funktionen, stehen in diesem Integral,
dann ist das also nichts anderes als das Integral von U von C
über E hoch n-roh, in Klammern mal T-D-T.
Und damit dieses Integral hier konvergiert,
muss natürlich diese E-Funktion hier gegen Null gehen,
wenn nämlich jetzt das N größer wäre als das Roh,
ja dann wäre hier der Exponent positiv,
dann würde die E-Funktion natürlich explodieren und dementsprechend wird das Ganze
integral nicht konvergieren
Das heißt, wir müssen also dafür Sorge tragen,
dass sozusagen das Roh hier größer ist als das N. Das heißt,
das muss aus oder ökonomisch ausgedrückt bedeutet,
dass das die Diskontierung zukünftiger Generationen stärker wirkt auf den jetzigen Konsumenten,
als die Tatsache, dass er eben zu dem Zeitpunkt viele Kinder haben wird,
die alle einen bestimmten Konsum haben, ihn erfreut,
als deren Konsum ihn erfreut.
Das ist, denke ich,
eine relativ plausible Annahme gegeben, wie gegenwartsbezogen wir,
typischerweise heutzutage leben
Naja, und dieses Problem wird jetzt maximiert unter den bekannten Nebenbedingungen.
Also hier ist zunächst mal wieder die Budgetrestriktion A,
Punkt, ist gleich weh plus ärmer A-C, also einkommen-konsum.
Nur müssen wir jetzt so wie in der Kapitalakkumulationsgleichung des Solution Wachstumsmodells auch berücksichtigen,
dass wir natürlich immer neu hinzutretende Bevölkerung ebenfalls mit Vermögen ausstatten müssen.
Das heißt, wir müssen unseren Kindern ständig irgendwie ein bisschen
was von unserem Vermögen abgeben, wenn wir Kinder bekommen.
Ja, wir vererben sozusagen an die Kinder und dadurch muss man also Vermögen bereitstellen,
um denen denselben Vermögensbestand zu zu übertragen, wie der,
den man im Augenblick selber hat.
Deshalb kommt dann noch dieser Korrekturfaktor N mal A hin,
so wie wir sonst in der Kapitalorkumulationsgleichung des N mal K als Korrekturfaktor gehabt haben.
Gegeben ist ein bestimmtes Anfangsvermögen von A 0 und da jetzt unser Horizont,
dieses Großtee, was da früher als obere Integralgrenze haben,
da das jetzt unendlich ist, bekommen wir noch die Bedingung,
Limis A von T mal e hochn-rquertee,
muss größer gleich 0 ist sein
Ja, die muss man ein bisschen erklären, diese Bedingung, 84. Das ist im Wesentlichen das,
was der Bedingung 75 entspracht, die ich vorhin erläutert hatte,
also das A von T gleich Null ist,
wo war sie, größer gleich Null ist,
dass das Vermögen zum Lebensende größer gleich Null ist.
Diese Bedingung, die müssen wir jetzt im unendlichen Zeithorizont auch verhängen,
aber sie ist bei einem unendlichen Zeithorizont natürlich nicht so leicht mehr zu verhängen,
ja, also wir haben ja jetzt als Zeithorizont unendlich,
das heißt, wir haben kein festgegebenes Team mehr,
das heißt,
wir können jetzt nicht mehr sagen,
zu welchem Zeitpunkt genau muss das Vermögen eigentlich nicht
negativ sein
Zu welchem Zeitpunkt genau wollen wir jetzt verlangen, dass man nicht irgendwie Schulden hinterlässt und dann stirbt.
Ja, weil man ja nicht mehr stirbt. Das heißt,
wir müssen diese Forderung, die wir bei dieser Gleichung hier haben,
dass man irgendwo sinnvolles, ökonomisches Verhalten erzwingen will,
diese Forderung, die muss man jetzt umsetzen in einen ökonomischen,
in einen Ausdruck, der eben verhindert,
dass man das macht, was Bernie Maddoff immer gemacht hat,
dass man sozusagen hergeht und sich immer weiter verschuldet,
um immer mehr Konsum aus diesen Schulden zu finanzieren,
ohne jemals die Absicht zu haben,
die Schulden zurückzuzahlen
Zu dem Zeitpunkt, wo diese Theorie hier formuliert worden ist,
kannte man Herrn Medhoff noch nicht. Deshalb hat man die Bedingung 84,
die ich gleich noch mal ein bisschen von ihrer Struktur her erklären werde,
als sogenannte No-Ponty-Game-Bedingung bezeichnet oder eine Ponty-Game-Condition,
NPG ist die Abkürzung, die sieht eine Literatur oft kennen.
Denn Ponty, Charles Ponty war so eine frühe Auflage von Bernie Madoff.
Das war ein Betrüger, der in den 20er Jahren,
ich glaube in Chicago, bin ich ganz sicher,
aktiv gewesen ist und genau dieses Spiel praktisch gespielt hat,
was der Madhoff auch bereits gespielt hat.
Der ist also rumgegangen und hat gesagt,
er sei ein Vermögensverwalter und versprach seinen Anliegern gewaltige Renditen,
wenn sie ihm ihr Vermögen anvertrauten.
Und er hat einige gut für die gefunden, die das gemacht haben.
Die haben ihm also ihr Vermögen zur Verfügung gestellt und
er ist dann hergegangen und hat irgendwie so getan,
als ob er an der Börse irgendwelche Anlageformen damit finanziert hat.
Tatsächlich hat er das Vermögen eigentlich im Wesentlichen zu seinem eigenen Konsumzwecken ausgegeben.
Und er hat aus dem Vermögen heraus den Anlegern
hohe Dividendenzahlungen gegeben
Finanziert. Ja, also die Leute haben ihr Vermögen
zur Verfügung gestellt und einen Teil dieses Vermögens hat er,
ohne dass die Leute das wussten, einfach dafür verwendet,
um den scheinbar hohe Renditen auf ihr Vermögen auszuzahlen.
Ja, Verzinsungen von 10 Prozent,
15 Prozent, 20 Prozent, ich weiß nicht genau,
wie viel es ist, wie viel es gewesen ist.
Und diese ersten Anleger bei dem Ponti waren natürlich begeistert. Die wussten ja nicht,
dass dieses Geld, was ich jetzt bekomme,
im Grunde genommen nichts anderes ist als ihr eigenes Vermögen,
was im Augenblick wie ein Schlachtschwein genutzt worden ist, sondern die haben rumerzählt,
wir sind da bei diesem Ponti und da kriegen wir enorm hohe Renditen.
Und dann gab es andere, die wurden hellhörig und Geldgier,
wie gesagt, das haben wir auch bei Bernie Modet Meldorf erlebt,
nicht wahr, lässt sämtliche Vorsicht dann zurückstehen.
Andere Anleger kamen und vertrauten dem Ponti das ebenfalls an
Ihr Vermögen. Naja, und das war für den Ponzi natürlich prima.
Dann hatte der also wieder frisches Kapital aus diesem frischen Kapital,
konnte er diese sagenhaften Renditen finanzieren für seine bisherigen Anlegern.
Ich war alle Anleger, die bei ihm waren,
alle, die ihm ihr Vermögen anvertraut hatten,
waren begeistert, dass sie so scheinbar hohe Renditen bekamen.
Und erzählten das weiter rum. Und dann funktionierte das eben
wie so ein Kettenbrief. Es wurden immer mehr Leute,
die zu Ponzi kamen und aufgrund dieser fantastischen Renditen,
dem ihr Vermögen brachten, sodass der Ponzi eben dieses Vermögen nutzen konnte,
um die hohen Renditen zu finanzieren.
Aber die Substanz war natürlich längst aufgezehrt. Und irgendwann kommen
solche Kettenmechanismen an ein Ende und es finden sich nicht mehr genügend frische Anleger,
die mögen, dem vermeintlichen Vermögensberater anvertrauen,
sodass der in Schwierigkeiten kommt, diese Renditen weiter zu finanzieren.
Und in dem Augenblick, in dem die Renditen nicht mehr
so hoch sind, kommen die ursprünglichen Anleger an,
wollen ihr Kapital gerne wieder abziehen und dann stellen sie fest,
ist kein Kapital mehr da.
Und da bricht die ganze Sache zusammen. Und das ist
dem Prinzip passiert, dem ist das sogar zweimal passiert.
Das erste Mal hat er sich irgendwie da noch rausslavieren können und den Eindruck erwecken können,
als sei das doch ein seriöses Business, was er aufgebaut hat,
aber beim zweiten Mal hat er dann irgendwie im Gefängnis geendet.
Und dasselbe Spiel hat der Medorf auch getan.
Und wenn sie das noch im Kopf haben,
der hat das sogar dann mal wörtlich gesagt,
dass er ein Ponzi-Spiel betrieben hat. Ja,
man hat gedacht, sowas kommt nicht mehr vor,
aber da haben wir uns eben Es gab sogar noch einige andere,
die nicht so bekannt geworden sind, wie der Mad of Deed.
Das ist auch in ähnlicher Form gemacht haben. Und
genau das wollen wir jetzt hier verhindern mit dieser Bedingung.
Nun, was sagt diese Bedingung hier? Die sagt uns etwas aus über das Vermögen,
der Grenzwert des Vermögens für Tee gegen Unendlich,
der soll vernachlässigen, weil im Augenblick mal diesen Therm positiv sein.
Gut, das macht zunächst mal Sinn.
Allerdings haben wir jetzt hier noch diesen Therm mit dabei.
Und was sagt dieser Therm? Naja, zunächst mal kommt da
ein R-Quer drin vor. Das hatte ich jetzt noch nicht erläutert,
dass er quer ist, einfach der durchschnittliche Zins im Zeitraum
von Null bis hin zum Zeitpunkt
Das beschreibt mir also, also sehen Sie es hier vielleicht,
soll ich es nochmal ausführlicher sagen, das Integral ist wieder ein Summenzeichen,
summiert wird einfach der Zins von null bis zum Zeitpunkt T über R von Taudi Tau.
Ja,
also das ist einfach der Zins bis ihm zum Zeitpunkt T,
geteilt durch den Zeitraum,
der verstrichen ist bis zum Zeitpunkt T ist,
also der Durchschnittszins bis zum Zeitpunkt T. Das heißt,
dieses E-Hoch-Minus-RQRT beschreibt mir sozusagen eine Diskontierung des Vermögens mit dem
bis zum Zeitpunkt T
jeweils festzustellenden Zinssatz
Und was jetzt gefordert wird, ist, dass sozusagen der Diskontierte wird des Vermögens, asymptotisch Nulls.
Danach lesen Sie also im Augenblick nochmal das N hierbei.
Wenn ich hier nur stündende E hoch minus R-Quertee,
dann sehen Sie, dass offenbar das Vermögen A von Tee diskontiert wird,
mit dem jeweils angemessenen durchschnittlichen Zins zu dem Zeitpunkt T. Das heißt,
die Forderung ist jetzt, wenn wir den unendlichen Zeithorizont haben,
nicht mehr,
dass einfach das Vermögen immer nicht negativ ist oder asymptotisch nicht negativ ist,
sondern wir fordern nur,
dass der diskontierte wird
des Vermögens asymptotisch nicht negativ ist
Was ja sinnvoll ist, weil wir ja das Geld auch
immer irgendwie anlegen können und das Erträge erwirtschaftet und so weiter.
Also müssen wir schon diesen Zinsfaktor auch berücksichtigen und sagen,
die richtige Forderung ist eigentlich, dass das diskontierte Vermögen nicht negativ wird.
Naja, und jetzt haben wir dann eben noch den Bevölkerungswachstumsfaktor dabei.
Es geht ja eben nicht um das Vermögen eines einzelnen Menschen in dieser Ökonomie,
sondern es geht ja um das gesamte Vermögen in der Ökonomie.
Deshalb müssen wir also A von T noch mit I hoch
NT multiplizieren, um auf das gesamte Vermögen in der Ökonomie
zu kommen
Sodass wir die No-Pontsy-Game-Condition, die sind No-Pontsy-Game, No-Pontsy-Game-Bedingungen folgendermaßen interpretieren können. Wir fordern,
dass Zins und Tilgung einer eventuellen Verschuldung, also A von Tee,
kleiner als Null, nicht dauerhaft durch eine höhere Verschuldung finanziert werden dürfen.
Das bedeutet also, entweder muss gelten,
dass das Gesamtvermögen der Bevölkerung asymptotisch positiv ist oder nicht negativ ist,
das Gesamtvermögen A von T mal I hoch NT,
muss asymptotisch nicht negativ sein,
dass die eine Möglichkeit oder es muss gelten,
dass die Gesamtverschuldung A von T mal I hoch NT zwar negativ ist,
Aber asymptotisch langsamer wächst als der Abzinsungsfaktor ihoch
RQRT. Sodass der Gegenwartswerte Gesamtverschuldung trotzdem null ist.
Das ist die Aussage dieser No-Poncy-Game-Bedingung, die man als
weitere Bedingungen in diesem Problem mit unendlichem Zeithorizont verhängt.
Das bedeutet also auch, asymptotisch schwingt die Zeit gegen unendlich
geht, darf man Verschuldung haben.
Man darf zu jedem Zeitpunkt im Prinzip sich verschulden,
aber es muss eben immer so sein, dass der Gegenwartswetter Verschuldung null ist.
Das heißt, der Verschuldungspfad muss so sein,
dass man die Verschuldung auch wieder zurückführen kann auf null.
Das ist die Forderung dabei
Naja, und dann gucken wir uns jetzt die Hamilton-Funktion zu diesem Problem an,
was jetzt eben unser Maximierungsproblem in einer Form beschreibt,
die dem Wachstumsmodell, was wir haben wollen, schon näher ist.
Die Hamilton-Funktion ist doch dann offenbar U von zehn,
mal eh hoch n-rote, plus Lamda mal, ja,
und hier ist also die Einkommensrestriktion, eine Arbeitseinkommen plus Kapitaleinkommen,
r-a, korrigiert um den Einfluss wachsender Bevölkerung, minus Konsum.
Na, und das müssen wir jetzt ableiten und eben diese Restriktion,
diese notwendigen Bedingungen ausnutzen,
die notwendigen Bedingungen sind also einerseits eben diese Restriktion 83,
die No-Ponty-Game-Condition, andererseits Das, was wir hier aus dem Maximum-Prinzip gelernt haben,
die Ableitung der Hamilton-Funktion nach dem Konsum muss null sein.
Also in diesem Fall ist das einfach grenznutzendes Konsums,
mal der Faktor ehoch-n-roté, muss Lamda sein.
Dieses Ding hier abgeleitet nach C. Ist hier die linke Seite und
dann die rechte Seite abgeleitet nach C gibt minus Lamda.
Dann Ableitung nach A muss gleich minus Lamda Punkt sein.
Nun, das A steht hier drin, das ist also abgeleitet r-n-n-malanda, lamda mal
r-n muss gleich minus Lamda Punkt sein. Und dann
haben wir hier noch die Transversalitätsbedingung, Lamda von T,
mal A von T muss gleich null sein.
Das heißt, entweder muss das Vermögen asymptotisch null werden oder
es muss der Grenznutzen des Konsums asymptotisch null werden.
Beziehungsweise das Produkt muss ebenso beschaffen sein. Ja,
ich glaube, ich schließe hier an dieser Stelle und nächste Woche
wollen wir dann diese Techniken ausnutzen, um zurückzukommen zum Modell und das auch entsprechend zu interpretieren.
Schönen Dank erstmal und nicht bis nächste Woche,
sondern bis morgen