Guten Morgen, meine Damen und Herren. Haben Sie Fragen zur Vorlesung?
Ich hatte Ihnen in der letzten Stunde versucht zu erklären,
inwieweit der Ansatz der Real Business Cycle Theorie als einen Kontrast
verstanden werden kann zur Standardtheorie der 60er und 70er Jahre und hatte
bereits versucht auf einige der wesentlichen Abgrenzungsmerkmale Wert zu legen und zu illustrieren,
zu erläutern,
was für Implikationen daraus folgen
Ich will jetzt in der heutigen Stunde, dass die
erste Form eines expliziten Real Business Cycle Modells ihnen darlegen.
Das ist ein Zwei-Perioden-Modell,
wie sie hier sehen und weil es sich nur mit zwei Perioden befasst,
wird es natürlich dem vollen Reichtum dieser Modellklasse noch nicht ausschöpfen können.
Ich werde deshalb vor allem auf die mikroökonomischen Mechanismen Wert legen,
die dem Real Business Cycle Modell zugrunde liegen,
um ihnen klarzumachen, welche Art von Reaktionen im Rahmen dieser Theorie
betrachtet werden
Sie sehen das hier bereits auf der ersten Folie,
dass wir jetzt anfangen, übernutzen, Baximierung nachzudenken.
Etwas, was in den bisherigen Modellen eigentlich vollständig gefehlt hat.
Wir haben also bislang in der Standardtheorie über das Verhalten von makroökonomischen Aggregaten gesprochen,
ohne uns darüber Gedanken zu machen,
ob dieses Verhalten von makroökonomischen Aggregaten auch motiviert werden kann,
aus dem Nutzen maximierenden Verhalten von Einzelnen.
Da gibt es eine sehr ausführliche, vor allem mikroökonomische Literatur zu,
die zu zum Teil für die Makroökonomie relativ problematischen Result Sultaten führt,
weil die Aggregation von mikroökonomischem Verhalten hin zu einer Makroebene,
alles andere als trivial ist.
Es ist nämlich durchaus möglich, dass alle Eigenschaften oder fast aller Eigenschaften,
die man aus der Nutzenmaximierungshypothese mikroökonomischer ableiten kann,
durch den Prozess der Aggregation verschwinden,
also im Aggregat nicht wieder auftauchen, nicht erhalten bleiben.
Dieses Problem umgeht man gerne dadurch,
dass man unmittelbar die Existenz eines Repräsentativen
Agenten annimmt
Ich möchte dir Vollständigkeit habe hinzufügen,
dass das eine genauso problematische Annahme ist,
weil die Existenz eines Repräsentativen Agenten eben bereits unterstellt,
dass man die Mikroökonomischen Agenten aggregieren kann,
hin zu einer zentralen Figur, die man als repräsentativen Agenten beschreibt.
Und die angemessen beschrieben werden kann, in derselben Art und Weise,
wie mikroökonomische Agenten beschrieben werden können, nämlich mit einer Nutzenfunktion.
Genau das bestreitet die mikroökonomische Theorie, die allgemeine Gleichgewichtstheorie,
oder gibt es eben eine ganze Reihe von Unmöglichkeitstheorien,
die sagen,
dass alles andere als gewährleistet ist,
dass ein repräsentativer Agent auch tatsächlich
eine Nutzenfunktion hat
Oder andersrum, dass man nicht aus der Tatsache,
dass alle mikroökonomischen Agenten eine Nutzenfunktion haben, schließen kann,
dass der repräsentative Agent dieser Ökonomie ebenfalls eine Nutzenfunktion hat.
Dass dessen Präferenzen dann ebenfalls durch ihre Nutzenfunktion beschrieben werden können.
Nun, all diese Sachen gehören mir in eine Vorlesung Allokationstheorie,
als in einer Vorlesung Konjunkturtheorie. Deshalb will ich da im Einzelnen nicht draufgehen,
sondern trotz der Tatsache, dass die andere problematisch ist,
dass zunächst einmal in dieser Form schlucken und davon ausgehen,
dass es eben irgendetwas gibt wie einen Agenten,
der die Ökonomie als Ganzes repräsentiert.
Von diesem,
Herr Steffen
Aber gerne, ja. Das müsste das sein, ja. Gut,
von diesem Agenten wollen wir jetzt ausgehen und annehmen,
dass dir eben eine Nutzenfunktion hat,
die die Präferenzen aller Mitglieder der Ökonomie angemessen gewichtet darstellt.
Der Agent maximiert jetzt seinen Nutzen in Abhängigkeit von zwei Argumenten,
nämlich vom Konsum und von der Freizeit
So, hier genug, ja. Von der Freizeit,
die er genießt. Wir wollen also davon ausgehen,
dass der Agent nicht nur Interesse daran hat,
möglichst viel zu konsumieren, sondern dass ihm auch Arbeit ein
gewisses Missvergnügen bereitet und ihr bei einem gegebenen Konsumniveau natürlich Allokationen vorzieht,
bei denen ihr wenig arbeiten muss gegenüber anderen Allokationen,
bei denen ihr möglicherweise mehr arbeiten muss.
Also die Freizeit spielt als ein Nutzenstiftendes Element,
ebenfalls in die Präferenzrelation dieses Agenten
mit hinein
Diese Freizeit wollen wir gleichzeitig auch interpretieren als Arbeitslosigkeit. Und das ist derjenige Schritt,
der in der Real Business Cycle Theorie die größten Kontroversen hervorgerufen hat,
weil das bedeutet, dass Arbeitslosigkeit letzten Endes,
dass der Arbeitslosigkeit eine positive Seite abgewonnen wird,
in dem Sinne, dass Arbeitslosigkeit frei verfügbare Zeit bedeutet,
die in gewisser Hinsicht nutzen, stiftend ist.
Es bedeutet eben auch,
dass Arbeitslosigkeit in der Real Business Cycle Theorie als eine freiwillige Entscheidung modelliert wird,
jedenfalls wenn man auf die einfachsten Modelle der Real Business Cycle Theorie schaut,
dann ist es so,
Der Konsument entscheidet sich einfach für ein bestimmtes Verhältnis von Konsum und Arbeitseinsatz,
respektive Konsum und Freizeit.
Und all diejenigen Schwankungen, die wir in der Arbeitszeit dann beobachten werden,
interpretiert als Schwankungen in der Beschäftigung,
sodass Schwankungen in der Freizeit äquivalent interpretiert werden als Schwankungen in der Arbeitslosigkeit.
Das bedeutet, dass die Arbeitslosigkeit rein freiwilliger Natur ist.
Sie erinnern sich vielleicht an die Begriffe freiwilliger und unfreiwilliger Arbeitslosigkeit,
die sie im Grundstudium kennengelernt haben und nicht angemessen berücksichtigt werden kann oder es scheint zumindest so,
als können die nicht angemessen berücksichtigt werden, dass weit verbreitete Empfinden,
Arbeitslosigkeit, etwas Unfreiwilliges und Negatives ist für diejenigen,
die davon betroffen werden.
Das ist also 100.000 und vielleicht Millionen von Menschen gibt,
die nach Arbeit suchen und keine Arbeit finden,
die also arbeitswillig sind zum herrschenden Reallohn, aber keine angemessene Beschäftigung finden.
Diese Art der Modellierung hat die Real Business Cycle Theorie von Anfang
an geprägt und in den Augen vieler auch in Misskredit gebracht,
weil man gesagt hat,
das ist unangemessene Arbeitslosigkeit lediglich als eine freiwillige Entscheidung zu modellieren.
Nun, darauf hat die Theorie auch reagiert und ich will
hier kurz charakterisieren, wie sie darauf reagiert hat,
um diesen Einwand zu entkräften
Weil ich in der Vorlesung selbst keine Zeit haben werde,
das im Detail zu behandeln. Man hat aufbauend auf die Modelltypen,
die ich ihm jetzt erklären werde,
den mikroökonomischen Aufbau hier noch verfeinert und hat folgendes,
folgende Interpretation den Modellen auferlegt oder folgende Modifikationen den Modellen auferlegt.
Man hat gesagt, wir können doch unfreiwillige Arbeitslosigkeiten so modellieren,
dass wir sagen, es gibt nach wie vor einen repräsentativen Agenten,
der zentral bestimmte freiwillige Entscheidungen trifft über Beschäftigung und Nichtbeschäftigung,
sprich Freizeit
Diese freiwilligen Entscheidungen werden jetzt anders als ein Basismodell der Real
Business Cycle-Theorie ergänzt, um ein Lotterie-Aspekt.
Um also eine Lotterie, die durchgeführt wird und die gewissermaßen entscheidet,
über Arbeitslosigkeit und Beschäftigung. Das heißt,
in diesen Erweiterungen des Real Business Cycle-Modells ist es so,
dass alle Agenten ein Los zugeteilt bekommen und alle Agenten wissen,
dass sie dieses Los zugeteilt bekommen werden und sie kennen auch die Wahrscheinlichkeiten,
mit denen das Los eine bestimmte Realisierung erfährt.
Nämlich mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit ist man dann voll beschäftigt,
das Los sagt, also man hat einen Arbeitsplatz und hat eine die volle Arbeitszeit umfassende Beschäftigung.
Und mit der komplementären Wahrscheinlichkeit ist man arbeitslos und arbeitet überhaupt nicht.
Diese Art von Lotterie wird in das Modell integriert und die Menschen haben Kenntnis,
der zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeiten und treffen ihre allokativen Entscheidungen,
also ihre Entscheidungen über Konsum und angebotenen Arbeitseinsatz in Kenntnis dieser Wahrscheinlichkeiten.
Diejenigen Leute, die das Losziehen später arbeitslos zu sein,
genau genommen findet diese Lotterie in jeder Periode statt.
Das heißt, das Schicksal der Arbeitslosigkeit ist kein dauerhaftes Schicksal,
sondern es ist ein Schicksal,
was sich gelegentlich eben realisiert für jeden einzelnen Agenten
Diese Leute erhalten einer arbeitslosen Unterstützung. Das heißt,
sie fallen in der Periode, in der sie arbeitslos sind,
nicht irgendwie in ein Nichts,
sondern es gibt eine Art Steuer in dem Modell,
die von allen Arbeitenden erhoben wird.
Und aus dieser Steuer wird eine Unterstützung für die Nichtarbeitenden finanziert.
Wenn man eine solche Institutionalisierung von Arbeitslosen Unterstützung hat und eine
solche Modellierung von Arbeitslosigkeit hat, dann kommt das dem,
was man tatsächlich in der Realität und der Arbeitslosigkeit versteht,
durchaus bereits relativ nahe. Es kommt nämlich insofern nah,
als Arbeitslosigkeit wie ein Schicksalsschlag auf bestimmte Menschen zu und dass
diese Menschen dann eben durch eine Art von Arbeitslosenunterstützung nach wie vor von der Gesellschaft unterhalten werden.
Es gibt noch einen Unterschied, der oder vielleicht einen Unterschied,
der wesentlich ist, und das ist der, das im Modell,
die Arbeitslosen eigentlich unter Umständen besser dastehen als die Arbeitende.
Das hängt ab von der Höhe der Unterstützung, die ihnen zuteil wird.
In den einfachsten Modellen dieser Art sagt man einfach,
diejenigen Leute, die das Los der Arbeitslosigkeit gezogen haben,
erhalten dieselbe Unterstützung oder erhalten ein Ersatzeinkommen in derselben Höhe,
wie es arbeitende Menschen erwirtschaften können,
sodass die Arbeitslosen dann also monetär äquivalent gestellt sind zu den Arbeitenden,
aber gleichzeitig den Vorteil haben,
dass sie nicht arbeiten müssen,
dass sie also höhere Freizeit genießen können
Offensichtlich ist das eine Sache, die man relativ leicht in den Griff kriegen kann,
indem man das Niveau der Arbeitslosenunterstützung eben niedriger setzt,
als das Niveau, was ein arbeitender Agent in dieser Ökonomie erzielt.
Wenn man also eine solche Modellierung macht,
dann kann man sagen, gut, der repräsentative Agent,
der trifft jetzt die allokativen Entscheidungen eben in Kenntnis der Tatsache,
dass einzelne Mitglieder der Ökonomie in der nächsten Periode arbeitslos sein werden und andere werden Vollzeit beschäftigt sein.
Für beide Mitglieder der Ökonomie ist das nicht unbedingt die optimale Art von Beschäftigung,
die Arbeitenden würden möglicherweise gerne ein bisschen weniger arbeiten als Vollzeit,
einfach weil ihnen Freizeit eben auch irgendwo etwas wert ist und die Nichtarbeitenden,
die, die das Los der Arbeitslosigkeit bezogen haben,
würden ganz gerne ein bisschen mehr arbeiten,
weil die arbeitslosen Unterstützung vielleicht geringer ausfällt als das Erwerbseinkommen,
was sie erzielen könnten, wenn sie beschäftigt wären.
Wenn sie das nun aggregieren,
kommen sie sozusagen zu einer Art Konwechsellinearkombination zwischen vollarbeitenden und gar nicht
arbeitenden mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten und das entspricht letzten Endes der Modellierung,
die wir hier haben in einem Real Business Cycle Modell,
was diesen etwas komplizierten Überbau von Lotterie und arbeitslosen Unterstützung gar nicht erst aufweist,
dann werden wir nämlich feststellen,
dass diese Leute in dieser Ökonomie nie voll arbeiten und nie
gar nicht arbeiten,
sondern irgendetwas dazwischen wählen
Man kann alles das, was ich gerade gesagt habe,
sozusagen projizieren auf diese Art von Modell,
was ich ihnen jetzt vorführen werde, in der die Arbeitszeit eben schwankt,
irgendwo zwischen 0 und 1. Aber nie diese beiden Extremwerte annimmt.
Das ist einfach sozusagen eine reduzierte Form,
dieses etwas ausführlicheren Modells,
was die Real Business Cycle Theorie entwickelt hat als Antwort auf die Kritik,
dass die reine Modellierung von freiwilliger Arbeitslosigkeit unbefriedigend sei.
Und ich denke, dass dieser Antwort eigentlich an
ganz interessante Arbeit ist, die durchaus Aspekte von unfreiwilliger Arbeitslosigkeit
dann erfasst
Mit dieser Vorrede will ich jetzt also in ein Modell einsteigen,
was Arbeitslosigkeit explizit nicht erwähnt, was aber eben diese Interpretation zulässt,
die ich Ihnen gerade erläutert habe. Und dieses Modell,
wie Sie sehen, um fast zum Augenblick lediglich zwei Perioden,
deshalb tauchen der Konsum und die Freizeit jeweils mit den in
die CS1 oder zwei für die beiden Perioden auf,
nach der zweiten Periode endet die Welt im Augenblick.
Wir unterstellen jetzt, dass die repräsentative Haushalt eine Nutzenfunktion Groß-U hat,
diese Nutzenfunktion Groß-U bezeichnen wir als den Lebenszeit nutzen.
Das ist also sozusagen der gesamte Nutzen,
der sich in den beiden Perioden für das Individuum ergibt.
Und das Individuum ist darin interessiert, diesen Lebenszeit nutzen zu maximieren,
in Abhängigkeit von den vier Entscheidungsparametern,
C1,
C2,
L1 und
Für diese Lebenszeit nützen Funktionen wollen wir gleich eine ganze Reihe von Struktureigenschaften annehmen,
die es etwas leichter machen, das Modell zu lösen.
Die erste Eigenschaft, die wir annehmen, ist, dass wir Lebenszeit nutzen,
sich darstellen lässt als die gewichtete Summe aus zwei sogenannten momentanen Nutzenfunktionen.
Kleinen U. Klein-U ist also eine momentane Nutzenfunktion,
die den Nutzen in einer Periode angibt.
Perioden nutzen bedeutet der Nutzen, der sich ergibt,
nur aus den Periodenwerten von Konsum und Arbeit,
also nur aus den Werten,
die Konsum und Arbeit in einer bestimmten Periode annehmen
Hier haben wir also einmal die Perioden-Nutzen der ersten Periode,
U von C1L1. Und dann haben wir dort den Perioden-Nutzen der zweiten Periode,
U von C2L2. Wir wollen den Perioden nutzen,
der zweiten Periode, diskontieren mit einem subjektiven Diskonfaktor bitter.
Das ist also ein Teil der Präferenzrelation des Konsumenten.
Und dieser Diskontierungsfaktor Better drückt einfach aus, das Perioden-Nutzen,
die mich gegenwärtig genieße, mir mehr wert ist als Perioden nutzen,
den ich in einer zukünftigen Periode werde genießen können.
Ja, da findet also eine bestimmte Diskontierung statt.
Deshalb wollen wir annehmen, dass dieser Parameter Better irgendwie
ein Werbs zwischen null und eins ist.
Also eine positive Zahl, aber etwas kleiner als eins,
um diesen Diskontierungsgedanken auszudrücken
Die entscheidende Annahme ist, dass diese beiden Perioden nutzen dann
mit diesem Gewichtungsfaktor Better additiv verknüpft werden können.
Das ist eine Annahme der sogenannten Separabilität. Das heißt,
wir können die Periode 1 trennen oder nur durch eine Addition verknüpfen mit dem Nutzen,
den man in der Periode 2 erwirtschaften kann.
Für diese beiden Perioden Nutzenfunktionen machen wir dann die üblichen Annahmen,
die sie aus der Mikrotheorie des Grundstudiums kennen.
Wir wollen an ihm, dass die Grenzen nutzen,
positiv sind, also die EU nach DC ist positiv und
die EU nach der Freizeit abgeleitet ist, ebenfalls positiv.
Beide Güter sind also nutzend, stiftend.
Wir wollen annehmen, dass der Grenznutzen abnimmt ist.
Das heißt, je mehr ich von einem gut konsumiere,
entweder von Konsum oder von Freizeit, desto geringer Ist der Grenznutzen.
Der ist ja zusätzliche Grenznutzen, den man daraus ziehen kann.
Das sind also Standardannahmen. Und wir wollen eben
diese Separabilität zwischen C und EL, zwischen Konsum und Freizeit
auch in Bezug auf den Perioden nutzen, doch unterstellen.
Wir wollen also annehmen, dass der Grenznutzen des Konsums,
unabhängig von der Freizeit bzw. der Grenznutzen der Freizeit, unabhängig vom Konsum ist.
Das sind diese beiden Annahmen hier über die zweiten Ableitungen der Mützenfunktionen,
D-Quadrat, U nach DC, DEL, ist jeweils gleich null.
Die letzten beiden Annahmen sind Annahmen,
die man ohne weiteres auch weglassen könnte,
aber sie machen uns einfach das Leben dann leichter,
wenn wir
das Modell formal behandeln
Wir wollen sagen, dass dem Haushalt eine Einheit Zeit
zur Verfügung steht. Das ist einfach eine Normierungsannahme,
die Gesamtmenge der verfügbaren Zeit in einer Periode ist eins.
Das heißt, die Arbeitszeit ergibt sich dann als eins minus die Freizeit 1-LT.
Folglich wird der Output Y produziert aus einer Produktionsfunktion,
die wir hier zunächst mal als kleinen F schreiben,
nur in Abhängigkeit vom Arbeitseinsatz, F von 1-LT.
Das heißt, wir lassen im Augenblick das Kapital als einen Produktionsfaktor
weg und wir entsprechen im Augenblick auch noch nicht über technologische Schocks,
die führen wir dann später in das Modell ein.
Ja, im Augenblick wollen wir lediglich sozusagen das Grundverhältnis von
Kapital, von Konsum und Freizeit klären
Dieser Output kann, weil es keinen Kapitalbestand gibt, nur konsumiert werden.
Das heißt, die gesamte Output-Verwendung ist ebenfalls sehr einfach,
YT ist einfach gleich CT, es gibt keine Investitionen,
Staat und Außenhandel nehmen wir sowieso nicht an.
Jetzt wollen wir sagen, dass der Haushalt ein bestimmtes Lebenszeiteinkommen X hat,
dieses Lebenszeiteinkommen stellen wir uns so vor,
wie ich Ihnen das in der letzten Stunde erläutert hatte,
dass wir eine Art Gegenwartswert des Einkommensstroms über die beiden Perioden definieren und den Gegenwartswerte bezeichnen werden mit X.
Es reicht dieses Lebenszeiteinkommen X zu betrachten,
weil wir annehmen wollen, dass der Haushalt nicht liquiditätsbeschränkt ist.
Das heißt, es ist möglich für ihn auf dem Kapitalmarkt,
Geld zu leihen, zu einem Realzinssatz von R oder das Geld zu verleihen.
Wir wollen auch unterstellen, dass der Haushalt immer ehrlich ist und das Geld,
was heißt sich vielleicht in der ersten Periode geborgt hat,
in der zweiten Periode wirklich vollständig zurückzahlt und vollständig verzinst, zurückzahlt.
Also wir sehen mal von der Möglichkeit ab, dass irgendwie
ein betrügerischer Bankrott oder ähnliches hier gemacht werden kann. Wenn dem so ist,
dann hat der Haushalt eine intertemporale Budgetbeschränkung,
diese intertemporale Budgetbeschränkung sagt nichts anderes,
als dass der Gegenwartswert des Konsums, das wäre ja dieses hier,
ich war die Konsumausgabe der zweiten Periode diskontiert mit dem Zinsfaktor 1 plus R,
dass der gleich dem Lebenszeiteinkommen,
also dem Gegenwartswert sämtlicher Einkommen in den beiden Perioden sein muss.
Eine einfache Form in der temporalen Budgetbeschränkung,
die wir in der letzten Stunde bereits besprochen haben
Folglich lautet unser Nutzenmaximierungsproblem für diese beiden Perioden jetzt ganz einfach,
der Lebenszeit nutzen abhängig von Konsum und Freizeit in den beiden Perioden,
ist diese Addition von momentanen Nutzen,
also diese Addition von Perioden nutzen.
Und die können wir jetzt gedanklich, also die Maximierung dieser Nutzenfunktion,
hier können wir jetzt gedanklich in zwei Teilprobleme zerlegen,
die wir auch getrennt analytisch behandeln werden,
nämlich zunächst mal in einen Intratemporales Problem und dann in ein
intern temporales Problem
Warum können wir das machen? Nun,
wir können doch zunächst einmal sagen, wir maximieren diese Nutzenfunktion,
indem wir jeweils diese momentanen Nutzenfunktionen maximieren. Ja,
also ich gucke mir einfach nur an, die momentanen Nutzenfunktionen klein,
U von CE1 und L1, und versuche zu bestimmen,
was ist jetzt eigentlich das optimale Verhältnis von Konsum und Freizeit in der ersten Periode,
sodass dieses kleine U maximiert wird.
Und dasselbe kann ich auch für die Periodenfunktion,
die Periodennutzenfunktion der zweiten Periode machen,
dass ich mir angucke,
was das optimale Verhältnis zwischen Konsum und Freizeit
und der zweiten Periode
Damit würden wir also sozusagen eine intratemporale Optimalitätsbedingung bekommen,
nämlich Intratemporal bestimmen, wie viel Arbeit ist es sinnvoll anzubieten,
respektive wie viel Freizeit ist es sinnvoll nachzufragen, gegeben,
dass man auch Konsumbedürfnisse hat und diese Konsumbedürfnisse,
die befriedigt man natürlich dadurch, dass man Arbeit anbietet und Erwerbseinkommen erzielt.
Wenn wir das Problem gelöst haben, dieses Intratemporale Problem,
dann können wir uns dem Intertemporalen Problemen zuwenden,
nämlich dem Problem,
wie viel muss ich eigentlich sparen oder wie viel ist es
sinnvoll zu sparen in der ersten Periode oder zu entsparen in der ersten Periode,
mir also Geld zu leihen,
damit ich in der zweiten Periode
angemessen konsumieren kann
Dieses intertemporale Problem ist gerade im Zwei-Perioden-Kontext ein Problem, was ja häufig studiert wird beispielsweise dann,
wenn es irgendwie um Theorien der Alterssicherung geht. Ja,
dann sagt man gut,
also in der ersten Periode hat man möglicherweise ein sehr hohes Erwerbseinkommen,
weil man jung ist und gut arbeiten kann und in der zweiten Periode,
da ist man im zweiten Lebensabschnitt,
wo die Möglichkeiten zum Erzielen von Erwerbseinkommen sehr viel eingeschränkter sind oder vielleicht sogar gleich null sind und dann stellt sich die Frage,
wie viel muss ich in der ersten Periode arbeiten,
damit ich in der zweiten Periode,
also in der Zeit meiner Nicht-Berufstätigkeit möglicherweise,
noch angemessen konsumieren kann
Und so ähnlich können sie das im Augenblick auch interpretieren,
dass sie also sagen,
da gibt es möglicherweise unterschiedliche Fähigkeiten zu arbeiten und dementsprechend überlegen wir uns,
wie viel Freizeit wir in der ersten Periode haben wollen,
wie viel wir da so arbeiten wollen,
wie viel wir sparen wollen und wie viele Ressourcen wir dann in die zweite Transperiode,
in die zweite Periode hinüber transferieren.
Also hier geht es jetzt dann darum,
dass man die Zeit verschiedenen Kombinationen von C1 oder L1,
beziehungsweise C2 und L2 so wählt,
dass der gesamte Lebensnutzen das große U,
der ja diese Addition hier aus kleinen U plus Better
mal kleine U der zweiten Periode ist,
dass das maximal wird
Wenn wir uns also zunächst mal diesem Intratemporalen Problem zu.
Das machen wir jetzt einfach so, dass wir sagen, die Budgetrestriktion ist folgende.
Also wir nehmen zunächst mal an, dass nicht gespart werden kann.
Das sollte ich vorausschieben. Wir sagen jetzt,
wir haben ein bestimmtes, einen bestimmten Reallohn gegeben.
Das ist dieses Weh hier und dieser Real und konstituiert dann natürlich ein bestimmtes Einkommen,
wenn ich ihn multipliziere mit der Arbeitszeit 1 minus LT.
Und wir wollen zunächst mal davon ausgehen,
dass man von diesem Arbeitseinkommen, was man dort erzielt,
nichts sparen kann, sondern alles konsumiert.
Die Sparentscheidung kommt dann in dem intertemporalen Problem
Also zu maximieren ist jetzt nur den momentanen Nutzen kleinen U von CT-LT, unter der Bedingung, dass der Konsum sich ergibt aus dem Arbeitseinkommen. Nun,
das ist relativ einfach, dieses Problem hier zu lösen,
das ist ein normaler Lagrange-Ansatz, die Lagrange-Funktion steht hier als Großel,
bringen Sie bitte dieses Großelen nicht mit dem Großel-T durcheinander,
das ist die Freizeit und das andere ist die Lagrange-Funktion,
aber dieses Großelter hat auch wirklich nur an dieser Stelle auf,
verschwindet also gleich wieder so,
das ist hoffentlich nicht zu Missverständnissen kommt,
die Lagrange-Funktion wird definiert als die Zielfunktion, Perioden nutzen,
abhängig von CT und 80,
minus Klein-Lander-T,
der Lagrange-Multiplikator,
mal die Restriktion konsum-arbeitseinkommen
Das Ding müssen sie jetzt ableiten, nach CT,
LT und Lamdatee. Und wenn sie das tun,
dann kriegen sie raus, dass der Grenznutzendes momentanen Konsums,
also D-Klein-U-Nach-D-C, einfach gleich Lamda ist.
Wir leiten hier dieses kleine U-U-Ab nach C und leiten dann
hier die Restriktion ab nach C,
dann bleibt er einfach minus Lamda stehen,
also Grenznutzendes Konsums ist Lamda,
der Lagrange-Parameter bemisst uns also
den Grenznutzendes Konsums
Wenn wir dasselbe machen in Bezug auf die Freizeit,
dann steht da DU nach DEL, grenznutzen der Freizeit.
Das ist ein lammnder Tee mal wehte. Denn ich muss dann
auch hier in der Restriktion nach dem LT ableiten, naja,
da steht ja praktisch plus weh mal LT drin in der Restriktion.
Also ist der Grenznutzen der Freizeit oder genau genommen der momentane Grenznutzen,
also bezogen auf das kleine U der Freizeit.
Das ist gerade der Grenznutzen des Konsums mal der Realohn.
Der Landartee-Segrenznutzen des Konsums. Wenn wir jetzt dieses Lammnder Tee da rauskriegen wollen,
dann können wir einfach diese beiden Grenznutzen durcheinander teilen,
dann kriegen wir raus,
das Verhältnis der beiden Grenznutzen hier ist gerade gleich
dem Realohn
Nun, diese Formel sollte ihnen vertraut sein aus der mikroökonomischen Theorie des Grundstudiums,
denn dort haben sie gelernt,
als sie so einfache Nutzen Maximierungsprobleme analysiert haben,
dass im Nutzen Maximum das Verhältnis der Grenznutzen zweier Güter stets gleich dem Verhältnis der Güterpreise ist.
Und genau das sehen wir jetzt hier.
Hier steht der Grenznutzen zweier Güter. Wir fassen einfach mal
Freizeit als ein Gut auf, was nachgefragt wird.
Es hat einen bestimmten Preis, nämlich den Reallohn im Sinne
von Opportunitätskosten der Arbeit,
also im Sinne von entgangenem Arbeitseinkommen
Also hier steht das Verhältnis des Grenznutzens zweier Güter,
Freizeit zu Konsum. Und das sagt uns die mikroökonomische Theorie
des Grundstüms, sogleich dem Verhältnis der Güterpreise sein.
Und da mögen sie im Augenblick noch stützen und sagen,
wieso Verhältnis der Güterpreise, da steht nur ein Güterpreis,
nämlich der Real und W. Aber bedenken Sie,
der Reallohn W ist ja eigentlich nichts anderes als W durch P,
nämlich der Preis für Arbeit,
der nominale Preis für Arbeit geteilt durch den Preis des Konsumgutes.
Das heißt, der Reallohn ist bereits ein relativer Preis und
wir machen uns das Leben hier einfach und sagen einfach
den Preis des Konsumgutes,
dennormieren wir auf eins
Also wir können ja einen Güterpreis stets beliebig normieren,
auf eins setzen. Wir sagen hier,
in jeder Periode ist der Preis des Konsumgutes einfach gleich eins.
Dann steht da das Verhältnis der beiden Grenznutzen,
ist gerade gleich weh durch eins,
also dem Verhältnis des vom Arbeitspreis zum Preis des Konsumgutes.
Und so kennen wir das eben aus dem Grundstudium.
Die Interpretation dieser Gleichung ist relativ einfach,
auch das dürften sie im Grundstudium mal gehört haben.
Stellen wir uns mal vor,
wir hätten eine zusätzliche Einheit an Zeit
zur Verfügung
Dann schreiben wir dieses Verhältnis der Grenzennutzen ist gleich dem Verhältnis der Preise in der Form,
dass wir multiplizieren mit dem Grenznutzen des Konsums.
Den kriegen wir also hier raus, Grenznutzen der Freizeit
ist gerade gleich Realon, mal Grenznutzen des Konsums.
Das soll im Nutzenmaximum gelten, diese Gleichung hier. Nun,
wenn wir jetzt eine zusätzliche Einheit Zeit zur Verfügung haben,
dann haben wir für diese zusätzliche Einheit Zeit zwei denkbare Verwendungsmöglichkeiten.
Die eine Verwendungsmöglichkeit ist die, dass er sagt,
gut, wir konsumieren diese zusätzliche Zeit als Freizeit.
Wenn wir die zusätzliche Zeit als Freizeit konsumieren,
dann kriegen wir dadurch offenbar den Grenznutzen die U nach DLT
Ja, das ist der zusätzliche Nutzen,
der uns dann aus der zusätzlichen einer Zeit erwächst.
Die andere Verwendung für die zusätzliche Einheit Zeit ist die,
dass wir sagen, naja, wir könnten ja arbeiten.
Was können wir, welchen Nutzen ziehen wir daraus, wenn wir arbeiten?
Wenn wir also mit der einen Einheit Zeit anfangen zu arbeiten,
dann erhalten wir einen Reallohn von W für diese Zeiteinheit und
mit dem Reallohn von W können wir uns Konsumeinheiten kaufen.
Nun, eine Konsumeinheit kostet genau eins. Das heißt,
der Grenznutzen, also weil der Preis des Konsumgutes eins ist,
das heißt, der Grenznutzen,
den wir dann kriegen aus dem zusätzlichen Konsum,
ist grenznutzend des Konsums für eine Einheit,
multipliziert mit der Anzahl der Einheiten,
die wir kaufen können.
Das sind gerade wie Einheiten
Das heißt, wenn wir diese eine Zeiteinheit verwenden,
um zu arbeiten und den Arbeitslohn dann aufwenden, um zu konsumieren,
ist der Nutzengewinn gerade weh, mal die U nach DCT.
Wie mal grenznutzend des Konsums. Nun,
diese Bedingung sagt mir also jetzt, im Nutzenmaximum soll gelten,
dass ich indifferent bin für die zwischen zwei verschiedenen Verwendungen der zusätzlichen Einheit Zeit,
die wir uns hier hypothetisch zugebilligt haben.
Es ist egal, ob ich diese Einheit Zeit als Freizeit
konsumiere oder ob ich arbeite und dann als Konsum gut konsumiere,
in beiden Fällen würde ich denselben Grenznutzen bekommen.
Das muss im Optimum so sein,
wenn das nicht der Fall wäre, dann wäre es sinnvoll,
die Allokation zwischen Konsum und Arbeiten noch zu verändern,
zwischen Konsum und Freizeit noch zu verändern.
Also das ist die Intuitive, die ökonomische Interpretation dessen,
was wir mathematisch hergeleitet haben, die Veranstaltlichung der Tatsache,
dass das mathematische Resultat auch tatsächlich im ökonomischen Sinne sinnvoll zu interpretieren ist,
als Beschreibung des Nutzenmaximums.
Machen Sie sich dabei bitte klar,
dass Sie die Budgetrestriktion, die ich gerade hingeschrieben hatte,
Sie erinnern sich an die Gleichung,
CT ist weh mal 1 minus LT,
also Konsumausgaben ist Arbeitslohn mal Arbeitszeit 1
minus LT
Die natürlich auch schreiben können, in dieser Formiergleichung 16,
indem wir einfach sagen, naja, dass diese Freizeit,
die fassen wir auf wie die Nachfrage nach einem bestimmten Gut,
nämlich Nachfrage nach dem Gut Freizeit.
Dann hat die Freizeit doch offenbar den Preis weh, weil ich in dem Maße,
in dem ich Freizeit nachfrage, auf Arbeitseinkommen wie verzichten muss.
Das sind die Opportunitätskosten der Freizeit. Also es ist meine gesamte Nachfrage,
doch nichts an muss als Konsum multipliziert mit seinem Preis,
nämlich eins,
ja, wertmäßig Nachfrage nach dem Konsum,
plus hier die wertmäßige Nachfrage nach der Freizeit und das ist
dann gerade gleich weh und ich hätte hier noch hinschreiben können,
ebenfalls mal eins
Eins ist sozusagen das hypothetische Arbeitseinkommen, was man erzielt,
wenn man die gesamte zur Verfügung stehende Zeit für Arbeitszwecke verwendet,
wenn man also wirklich Vollzeit arbeitet,
dann erhält sich man gerade das Einkommen wie mal eins,
also gerade gleich eins.
Und von diesem hypothetischen Arbeitseinkommen wie mal eins konsumieren wir eben
einen bestimmten Teil als Freizeitarbeiten, also nicht voll,
weshalb dann hier auf der Nachfrageseite,
wie mal LT steht.
Die Bedingung 15, die wir dort als nutzen, Maximum abgeleitet haben,
diese Bedingung hier, hat natürlich eine enge Beziehung zur Grenzrate der Substitution.
Das Verhältnis dieser Grenznutzen, hier ist nichts anderes als minus eins mal die Grenzrate der Substitution. Wenn Sie sich daran erinnern,
wieder in Ihrer Mikroökonomie des Grundstudiums, dann fällt Ihnen möglicherweise ein,
dass die Grenzrate der Substitution oder Marginal Rate of Substitution,
also hier abgekürzt als MRS,
dass die sich daraus ergibt, dass man sagt,
gut, wir leiten mal eines der beiden nachgefragten Güter,
zum Beispiel den Konsum ab nach dem anderen nachgefragten also nach der Freizeit.
Wir bilden also die totale Ableitung, DCT nach DLT,
unter der Restriktion, dass der Nutzen sich nicht verändern soll. Das heißt,
wir befreien uns im Augenblick von der Budgetbeschränkung und fragen einfach nur,
wenn ich mehr an Freizeit konsumiere, wie viel darf dann,
um wie viel darf dann mein Konsum zurückgehen,
sodass trotzdem noch der Nutzen konstant bleibt.
Nun, und diese Ableitung hier zu bilden,
das macht man nach dem impliziten Funktionentheorien,
das ergibt sich, wie Sie wissen,
als der Quotient der partiellen Ableitung der Nutzenfunktion,
die EU nach DLT geteilt durch die U nach DCT und das Ganze mal minus eins.
Das ist definiert als die Grenzrate der Substitution.
Und das ist gerade das negative Verhältnis der beiden Grenzraten.
Der hat die beiden Grenzen nützen. Von denen wissen wir jetzt,
dass das gerade gleich Minus Tim Realoon sein muss. Also ziehen Sie sich,
rufen Sie sich das bitte nochmal in Erinnerung,
dass das hier einfach Standardergebnisse aus der mikroökonomischen Theorie sind,
die Sie im Grundstudium typischerweise folgendermaßen veranschaulicht hatten mit irgendwelchen Gütern X1 und X2.
Wir nennen die Güter jetzt Klein C, Konsum und Freizeit L.
Da haben wir dann eine Budgetbeschränkung,
diese Budgetbeschränkung wird ja durch diese Grade wiedergegeben
Wir wissen, wir können, wenn wir nichts konsumieren,
gerade Freizeit in der Höhe der gesamten Zeitausstattung,
also in der Höhe von 1, konsumieren.
Das ist die eine Möglichkeit, die wir haben.
Oder wir können, wenn wir gar keine Freizeit haben wollen,
ein Arbeitseinkommen von wie erzielen. Das heißt,
da der Preis des Konsumgutes auf 1 normiert ist,
können wir dann wie Einheiten, Konsumgüter konsumieren und während an dieser Stelle.
Und wir können natürlich auch sämtliche Linearkombinationen zwischen diesen beiden
extremen Punkten wählen. Das konstituiert dann gerade unsere Budgetgraden.
Unsere Budgetrestriktion hier
Nun, unter dieser Budgetrestriktion müsst ihr Nutzen maximiert werden,
der Nutzen wird irgendwie beschrieben durch Indifferenzkurven,
die ich hier eingezeichnet habe oder einige von diesen Indifferenzkurven habe ich eingezeichnet. Sie wissen,
das Nutzen, Optimum ergibt sich immer an der Stelle,
wo die Differenzgruppe gerade Tangential zur Budget geraden,
ist also hier die Stelle C1 und L1,
die ich dort eingezeichnet habe und dann wissen sie natürlich auch,
dass die Steigung der Indifferenzkurve, das ist ja gerade die Kurve,
wo sich der Nutzen nicht verändert,
dass diese Steigung der Indifferenzkurve gerade wiedergegeben wird,
durch die Grenzrate der Substitution
Echt? Die EU gleich. Null sagt ja gerade,
wir betrachten eine Steigung entlang einer Indifferenzkurve, also da,
wo sie der Nutzen nicht verändert. Das heißt,
das ist die Grenzrate der Substitution und diese Grenzrate der Substitution,
die muss im Nutzen Optimum offenbar gerade dieselbe Steigung haben,
wie die Budget gerade.
Nur die Budget gerade, das sehen sich ja in
diesen Achsenabschnitten, hat die Steigung minus W. Ja.
Gucken wir uns das in einem Beispiel an,
indem wir die Nutzenfunktion jetzt irgendwie explizit angeben.
Nehmen wir also mal an,
der momentane Nutzen ergibt sich als Logarithmus des Konsums plus Täter
mal Logarithmus der Freizeit
Das ist nicht unbedingt das realistischste Beispiel für aggregierte Präferenzen,
aber das ist das, was ich am leichtesten rechnet, deshalb gehen wir das hier einfach mal durch.
Wenn wir für diese momentane Nutzenfunktion gleich um 15 auswerten,
also die beiden Grenznutzen, berechnen, dann kriegen wir gerade heraus,
dass die Arbeit, gerade entschuldige, dass die Freizeit,
Täter mal CT durch Vetis, oder wenn sie es andersrum schreiben wollen,
dann können sie doch einfach sagen, naja,
das ist doch nichts anderes als eins durch CT,
das ist der Grenznutzen des Konsums, geteilt durch Täter,
durch LT, das ist der Grenznutzen der Freizeit und dass der ganze Ding hier muss gerade gleich WT sein, das ist der relative Preis.
Also der Realon. Ja, Logarithmus CT abgeleitet,
ist der Grenznutzen des Konsums 1 durch CT,
Täter mal Logarithmus, LT abgeleitet, ist der Grenznutzen,
Täter mal Täter durch LT und das Ganze muss gleich dem Verhältnis der Preise sein.
Was habe ich da gemacht? Nicht richtig, das muss,
ich habe es glaube ich gerade umgekehrt jetzt gemacht,
es muss das Verhältnis,
lassen Sie uns das lieber nochmal angucken
Genau, ich habe,
hätte ich hier natürlich den Quotienten andersrum machen müssen,
erstes der Grenznutzen der Freizeit und dann geteilt durch den Grenznutzen des Konsums.
Das heißt, ich habe mich jetzt hier für galoppiert
und hätte das Ding folgendermaßen schreiben müssen.
Täter durch LT. Und hier müsste entstehen, eins durch CT.
Also Grenznutzen der Freizeit geteilt durch Grenznutzenden des Konsums ergibt mir
dann das WT, das ist diese Gleichung hier.
Und wenn sie die dann auflösen,
dann kommen sie auf den Ausdruck,
den ich
ihnen gerade gezeigt hatte
Nämlich, dass L.T. gerade gleich Täter durch Zetter mal CD durch VT ist.
Auf die genaue Form hier kommt es nicht an,
sondern worauf ich nur hinweisen möchte, ist,
dass optimalerweise in diesem Intertemporalen Problem, Intratemporalen Problem,
die Freizeit in einem bestimmten Verhältnis zum Konsum steht.
Ja? Wir haben jetzt hier also eine Optimalitätsbedingung für
dieses Intratemporale Problem und können sozusagen die Menge an nachgefragter Freizeit
immer ausdrücken durch die Menge an nachgefragten Konsum.
Diese Relation können wir ausnutzen,
um das Intertemporale Problem zu lösen
Ja, wir können jetzt also sagen, nun, die Freizeit,
die haben wir sozusagen bereits bestimmt in Abhängigkeit vom Konsum. Das heißt,
wir können bei dem Intertemporalen Problem einfach überall da,
wo LT steht, diesen Ausdruck hier rein substituieren,
der also nur den Konsum umschließt,
sodass das intern temporale Problem schließlich ein Problem ist,
bei dem es nur auf das Verhältnis von CT
zu CT plus 1 ankommt,
weil das LT und das LT
plus 1 raus substituiert haben
Das werden wir auch gleich machen, aber zunächst wollte ich noch
auf Substitutions- und Einkommenseffekte zu sprechen kommen. Wenn wir jetzt die Budgetrestriktion mitbenutzen,
dann können wir auch direkt lösen nach LT und nach CT unterhalten,
dass sich die Freizeit ergibt als Täter durch eins plus Täter,
dass sie es offensichtlich ein Wert,
der irgendwo zwischen 0 und 1 liegt und die gesamte Arbeitszeit war ja auf 1 beschränkt,
also haben wir hier irgendwie eine Zahl zwischen 0 und 1,
das ist die Nachfrage nach Freizeit und hier haben wir dann die Konsumnachfrage,
bei der Konsumnachfrage sehen wir,
dass der Konsum sich ergibt aus dem Reallohnweh,
geteilt durch 1
plus Täter
Und das, was dann von Interesse ist in dieser Art von Analyse,
ist, wie Veränderungen des Reallohns wirken auf das Arbeitsangebotsverhalten
des Haushaltes und auf die Konsumnachfrage des Haushalts.
Gehen wir zunächst mal aus von der Nachfrage nach Freizeit,
also dem Inversen des Arbeitsangebotsverhaltens. Normalerweise ist es so,
dass wenn wir eine Erhöhung des Lohnsatzes haben,
also eine Erhöhung des Einkommens haben, dann bedeutet das,
dass wir einen positiven Einkommenseffekt haben.
Das heißt, die Nachfrage nach beiden Gütern LT und nach
dem Konsumgut
sollte steigen
In Bezug auf die Freizeit haben wir zugleich einen negativen Substitutionseffekt.
Denn es ist natürlich so, weh ist ja der Preis der Freizeit.
Und wenn sich wie erhöht, dann wird Freizeit also relativ gesehen teurer.
Das heißt, der Substitutionseffekt fällt dann negativ aus.
Beide Effekte, diesen Einkommenseffekt und den Substitutionseffekt sehen sie nicht
in unserer Nachfragefunktion nach Freizeit, die wir hier ausgerechnet haben.
Denn dieses LT, das hängt ja scheinbar nicht von dem
WET ab. Das liegt daran,
dass wir hier eine spezielle Nutzenfunktion genommen haben,
nämlich diese logarithmische Nutzenfunktion,
bei der der Einkommenseffekt und der Substitutionseffekt sich in Bezug auf
die Nachfrage nach Freizeit
gerade saldieren
Die sind also gerade genau gleich groß und von unterschiedlichen Vorzeichen.
Einkommenseffekte ist positiv, Substitutionseffekt ist negativ und heben sich exakt weg.
Das ist ein Spezifikum dieser Nutzenfunktion, die auf Logarithmen basiert.
Wenn sie andere Nutzenfunktionen benutzen, dann können sie das so darstellen,
dass entweder der Einkommenseffekt dominiert oder der Substitutionseffekt dominiert.
Das heißt, es ist unklar,
wie eine Erhöhung des Lohnsetzes auf das Arbeitsangebot wirkt.
Es kann sein, dass das Arbeitsangebot zunimmt und es kann sein,
dass das Arbeitsangebot abnimmt, wenn der Lohnsatz steigt.
Das heißt, wir haben nicht die üblicherweise unterstellte Eigenschaft,
dass mit einem steigenden Lohnsatz auch mehr Arbeitsangebot auf dem Arbeitsmarkt ist.
Das könnte auch das Gegenteil der Fall sein.
Das hängt alles von der Nutzenfunktion ab
In Bezug auf die Konsumnachfrage ist die Sache allerdings eindeutig.
In Bezug auf die Konsumnachfrage haben wir einen Einkommenseffekt und einen Substitutionseffekt,
die in dieselbe Richtung wirken, nämlich positiv sind.
Und dann ist es natürlich klar, wenn der Reallohnsatz steigt,
dann wird auf alle Fälle mehr konsumiert.
Hier sehen Sie das an einer Grafik. Was passiert,
wenn der Lohnsatz steigt? Die gepunktete Linie ist die ursprüngliche Budget gerade,
die hier zu Punkt 1 geht und dann bei einem
bestimmten Lohnsatz eben eine bestimmte Menge an Konsummöglichkeiten eröffnet.
Die optimale Nachfrage ergibt sich hier irgendwie als dieser Punkt L1
Und jetzt sehen Sie nun, wenn der lohnt,
dass es sich erhöht, dann bedeutet das doch,
dass dieser Teil der Budget gerade weiter nach außen klappt,
während wir hier unten bei dem Punkt 1 bleiben,
die Konsummöglichkeiten für Freizeit verändern sich natürlich nicht.
Das heißt, es ist die Steigerung der Budgetgraden wird stärker negativ,
weil eben die Steigerung minus W ist und W ist gestiegen.
Folgelich haben wir einen neuen Tangentialpunkt mit einer neuen Indifferenzkurve und bei dieser speziellen Nutzenfunktion
ist es nun so, dass sich die Arbeitsmenge nicht verändert.
Ich habe es jetzt so gezeichnet, dass das L1 unverändert bleibt,
während die Konsummenge eindeutig gestiegen ist. Es ist leicht,
die Grafik so zu verändern,
dass entweder die Freizeit ansteigt oder die Freizeit zurückgeht,
das heißt, entweder Arbeitsangebot fällt oder Arbeitsangebot sinkt,
je nachdem,
wie die Indifferenzkurven hier im Raum liegen
Jetzt wenden wir uns dem Intertemporalen Problemen zu. Das heißt,
wir heben jetzt diese vereinfachende Annahme auf,
die wir gerade gemacht haben, dass man nicht sparen kann und sagen,
es soll einen Kapitalmarkt geben und wir können Ressourcen von einer Periode in die andere verschieben.
Wenn man das tut,
wenn man spart oder auch wenn man sich Geld leiht,
wenn man also bockt, dann soll es einen Preis von R,
also einem Realzinssatz R haben, sparen,
speziell wurde also dazu führen, dass wir,
wenn wir eine Einheit sparen,
in der nächsten Pariode 1 plus kleine R-Einheiten,
Geldeinheiten zur Verfügung haben
Wie gesagt, der Preis des Konsums wird in beiden Perioden einfach auf eins normiert,
weil wir immer einen Preis beliebig festsetzen können.
Und das bedeutet dann also, dass man eine Einheit C2 finanzieren kann,
Konsum in der zweiten Periode, sich ermöglichen kann,
wenn man in der ersten Periode eins durch eins plus R-Geldeinheiten spart.
Ich muss also nicht eine Geldeinheit sparen,
um in der nächsten Periode eine Konsumeinheit zu haben,
sondern nur eins durch eins plus R-Geldeinheiten,
weil das natürlich verzinst wird.
Und das führt dann natürlich zu dieser intertemporalen Budgetrestriktion,
die ich ihnen bereits erläutert hatte,
C1 plus 1 plus 1 durch eins plus RC2,
ist gerade gleich
das Lebenszeiteinkommen
Jetzt wollen wir das Ergebnis ausnutzen,
was wir bei der Intratemporalen Nutzenmaximierung erzielt haben und wollen sagen,
nun unsere momentane Nutzenfunktion,
entweder für die erste Periode oder für die zweite Periode hier,
also einfach geschrieben als U von CT-LT,
die haben wir doch unterstellt,
hat die Form Logarithmus CT plus Tettermal Logarithmus LT,
die wollen wir jetzt nur in Abhängigkeit von einem Funktionsargument schreiben,
indem wir für das LT hier einsetzen,
was wir für LT ermittelt haben,
nämlich dass das Tetter
mal CT durch WT ist
Also fühlt die Freizeit, setzen wir jetzt Tetter mal Konsumnachfrage durch W ein.
Und dann sehen wir, hier haben wir Logarhythmus CT,
plus Tetter mal der Logarhythmus Tetter, CT durch W stehen.
Das können wir vereinfachen, indem wir diese konstanten Therme hier zusammenfassen. Es ist ja klar,
der Logarhythmus von Tetter,
mal C durch W ist nichts anderes als der Logarhythmus von Tetter durch W,
plus der Logarhythmus von C,
dann fassen wir das also so zusammen und kriegen,
das ist irgendwie eine konstante Jenie,
die nicht sonderlich interessant ist,
plus eins plus Tetter mal der Logarhythmus von CT,
und da schreiben wir einfach als Kleinen von CT
Die verändern dich ja, also Definition der momentanen Nutzenfunktion,
setzen die Lösung des intratemporalen Problems dort unmittelbar ein und erhalten dann,
dass der Periodennutzen in der Periode T nur vom Konsum abhängt.
Unterstellen, dass man dann optimal sich mit der Arbeits-,
mit dem Arbeitsangebot beziehungsweise der Freizeitnachfrage an dieses Konsumniveau anpasst. Ja,
und das sollen Sie sich hier in dieser Übung nochmal überlegen,
warum diese vereinfachte Nutzenfunktion,
die ich in der Übung übrigens als Utilde bezeichne,
warum die dieselbe Eigenschaft aufweist,
wie die Nutzenfunktion U von CT
Warum also diese Nutzenfunktion Utilde hier dasselbe ist,
wie diese Nutzenfunktion U von CET, die wir dort beschrieben haben.
Das heißt, warum ich praktisch hier auf bestimmte Therma einfach
verzichten kann. Unser Problem vereinfacht sich jetzt also dahingehend,
dass wir sagen, nun der Lebenszeit nutzen,
und jetzt kommen wir zu dem großen U hier zurück,
ist einfach der momentane Nutzen, abhängig von C1 plus Better,
mal der momentane Nutzen, abhängig von C2.
Und das L, das haben wir aussubstituiert,
da wissen wir, wie sich das ergibt,
wenn man C1 und C2 angemessen, angemessen bestimmt haben.
Dieser Lebenszeit nutzen Groß-U, der muss maximiert werden oder die
intertemporalen Budgetrestriktionen
Nun, was kann ich da machen?
Ich kann hier einfach wieder einen normalen Lagrange-Ansatz aufsetzen.
Dann kriegen wir wieder so einen Lagrange-Multiplikator Lamda da rein.
Ich will es im Augenblick auf eine etwas andere Art und Weise machen,
die vielleicht noch einfacher ist. Es ist nämlich so,
ich löse diese interteporale Budgetrestriktion hier einfach auf nach C1. Also C1 ist ja x,
minus eins durch eins plus R mal C2 und setzt das hier oben für C1 ein.
Dann bekomme ich also ein transformiertes Problem,
was nur noch von C2 abhängt,
der Lebenszeit nutzen ist Klein-U von x, minus eins durch eins plus RC2.
Das ist also nichts anderes als das C1 hier.
Plus Better mal U von
Und jetzt sehen Sie, hängt der Lebenszeitnutzen nur noch von
einer einzigen Variablen ab, nämlich von dem C2 hier.
Und da kann ich dann einfach nach dem C2 ableiten.
Ich brauche gar keinen Lagrange-Ansätzen mehr,
sondern ich nehme einfach die Ableitung dieser Funktion nach C2
und setze die gleiche Null, wenn ich das ableite,
dann komme ich auf diesen Ausdruck hier.
Ich muss zunächst bald das U hier ableiten. Das gibt dann
also U-Strich an dieser Stelle. Und danach differenzieren nach dem C2,
das gibt also minus eins durch eins plus R als Koeffizient vor dem Urstrich.
Und dann muss ich Better mal U von C2 ableiten nach C2,
das ist einfach Better mal U-Strich von C2,
das ist gleich Null
Diese Bedingung erster Ordnung, die zentral ist für die ganze Real-Business-Cycle-Theorie,
die schreiben wir noch ein bisschen um,
indem wir die Restriktion 14 wieder dort einsetzen,
dann erhalten wir einfach U-Strich von C1,
der momentane Grenznutzen des Konsums in der ersten Periode,
muss eins plus R, mal bitter,
mal der momentane Grenz nutzen von C2 in der zweiten Periode sein.
Dass die Optimalitätsbedingung und diese Optimalitätsbedingung nennt man eine Eulergleichung,
also eine intertemporale Optimalitätsbedingung,
nennt man eine Eulergleichung und diese Art von Eulergleichung,
also speziell diese Formulierung hier,
finden sie praktisch in jedem dynamischen Makromodell
Real-Business-Cycle-Modelle oder andere weiter fortgeschrittene Modelle, haben immer diese Art
von Optimalitätsbedingungen, also sozusagen einen Kern der Modellstruktur ist.
Also eine ganz zentrale Gleichung hier, diese Eulergleichung.
Was sagt nun die Eulergleichung aus? Nun zunächst mal,
wenn wir mal auf diese 1 plus R und Better hier verzichten,
wenn wir einfach mal davon abstrahieren,
dann scheint sie nur für etwas ganz Triviales auszusagen oder es ist tatsächlich trivial.
Sie sagt nämlich, dass der Grenznutzen des Konsums in der ersten Periode
gleich den Grenznutzen des Konsums in der zweiten Periode sein muss.
Und das ist natürlich auch logisch. Also wir stellen uns wieder vor,
wir hätten irgendwie eine Geldeinheit mehr zur Verfügung dann müssen wir uns fragen,
was muss gegeben sein, damit wir im Nutzen Maximum sind, nun im Nutzen
Maximum muss es doch so sein, dass wir indifferent sind,
ob wir mit dieser Geldeinheit uns nun mehr Nutzen stiften in
der ersten Periode oder mehr Nutzen stiften in der zweiten Periode.
Das heißt, es muss so sein,
dass der Grenzlusten des Konsums in der ersten Periode
gleich dem Grenzlusten des Konsums in der zweiten Periode ist.
In Bezug auf die momentan nutzen würde es also einfach bedeuten,
u-strich von C1 müsste gleich u-strich von C2 sein.
Nun ist es allerdings so, dass er da zwei Dinge bei berücksichtigen müssen.
Zum einen geht es uns nicht um die Maximierung des momentanen Nutzens,
sondern es geht uns um die Maximierung des Lebenszeitnutzens
Der Lebenszeitnutzen hängt aber dann nicht direkt von dem U ab,
sondern von dem Better mal, Uwe, was die zweite Periode betrifft.
Ja, deshalb muss ich als der Faktor Better noch berücksichtigt werden.
Und dann muss berücksichtigt werden, dass wenn ich das Geld,
was ich mehr zur Verfügung habe,
also in dem Gedankenexperiment, wo ich sage,
ich habe eine Geldeinheit mehr und jetzt überlege ich mir,
was mache ich mit dir?
Wenn ich die in der ersten Periode zur Verfügung habe,
dann kann ich damit eben der Konsum finanzieren in der Höhe von einer Konsumeinheit.
Wenn ich aber sage, ich will den Konsum in der
zweiten Periode erhöhen, dann kann ich diese Geldeinheit ja zunächst
mal zum Kapitalmarkt bringen und kriege da noch eine Verzinsung.
Deshalb kommt also noch dieser Faktor 1 plus R
dort mit hinein
Dann kann ich mir eins plus R-Geld einhalten in der nächsten,
eins plus R-Konsumeinheiten in der nächsten Periode zusätzlich leisten.
Und deshalb muss also diese Art von Gleichheit hier gelten.
Wir können es auch so interpretieren, dass wir sagen,
die Eulergleichung gesagt, dass das Verhältnis zwar Herr Grenz nutzen,
gleich dem Verhältnis der entsprechenden Preise sein muss.
Denn was ist das Verhältnis der entsprechenden Preise? Sehen Sie der Preis von CE-1
, das ist einfach eins, das ist eine Normierung.
Und der heutige Preis von CE-2 ist eins durch eins plus R.
Da muss man ein bisschen mit der zeitlichen Struktur des Modells aufpassen,
denn ich hatte zwar gesagt, in jeder Periode ist der Preis des Konsums 1
Aber wenn ich jetzt in einem Zeitpunkt die Preise des Konsums von heute und Preis des Konsums von morgen vergleiche,
dann stelle ich natürlich fest, dass der Preis für eine Konsumeinheit morgen,
heute bestimmt 1 zu 1 plus R ist, weil es reicht,
wenn ich um eine Konsumeinheit morgen zur Verfügung zu haben,
heute eins zu 1 plus R Geldeinheiten zur Verfügung habe,
denn die kann ich mir ja dann verzinsen lassen.
Und dann kann ich den morgigen Preis 1 des Konsums auch entsprechend finanzieren.
Also, der Faktor 1 durch 1 plus R,
den sie normalerweise als Disconfaktor kennen und ja in der Tat ein Disconfaktor ist,
ist zugleich der relative Preis von Konsum heute versus heutiger Preis
des Konsums von morgen
Nur der Grenznutzen von C-1 ist U-Strich von C-1,
also der Lebenszeitgrenznutzen von C-1 ist U-Strich von C-1 und der Lebenszeitgrenznützen von C-2 ist Bettermahl-U-Strich von C-2.
Also sagt uns die Eulergleichung gerade wieder,
wir haben das Verhältnis zweier Grenznutzen und das muss gleich sein,
dem Verhältnis der beiden Preise, nämlich eins durch eins plus R. Naja,
und das ist im Prinzip dieselbe Grafik wie die,
die ich Ihnen eben schon beim intratemporalen Problem erläutert habe.
Wir haben jetzt auf den beiden Achsen die Konsumgüter stehen,
C-1 und C-2,
also bei der Lösung des intertemporalen Problems
Steht hier C1 und da steht C2 und ich habe eine Budgetrestriktion,
die mir eben sagen kann, sagt,
ich kann entweder x Einheiten,
also mein gesamtes Lebenseinkommen,
konsumieren bereits in Periode 1,
dann habe ich diese Menge x an Konsum des Gutes 1 in der ersten Periode
oder ich kann das ganze Lebens ein Zeiteinkommen sparen und in der nächsten Periode x mal 1 plus R-Konsumeinheiten des zweiten Gutes kaufen oder ich kann irgendeine Kombination dazwischen wählen,
das ist gerade diese Budgetgrade hier und dann muss ich mir eben angucken,
wie laufen meine Indifferenzkurven im Rahmen und wo ist der Tangenzialpunkt,
der ist an dieser Stelle nur bei diesem Termenzialpunkt,
wo es eben gerade wieder gelten,
dass die Grenzrate der Substitution gerade gleich der Steigerung dieser Budgetgraden hier ist,
die Grenzrate der Substitution ist nichts anderes als das negative Verhältnis der Grenznutzen und die Steigerung der Budgetgraden ist negativ,
das heißt,
es sagt nichts anderes als das Verhältnis der Grenznutzen von Konsum
heute zu Konsum morgen gleich dem Verhältnis der Preise des Konsums sein muss,
also gerade gleich diesem 1 durch 1 plus R
sein muss
Das sehen Sie dann hier in dieser gelb unterliegten Formel nochmal.
Auch hier muss gelten, dass die Grenzrate der intertemporalen Substitution
gleich dem negativen Verhältnis der Preise ist.
Die Grenzrate der intertemporalen Substitution, also die Frage,
wie weit kann ich zwischen zwei Periodenkonsum verschieben, die wird beantwortet durch diese Ableitung.
Hier Veränderung des Konsums der zweiten Periode bei einer Veränderung
des Konsums der ersten Periode unter der Bedingung,
dass das große U, also hier das Lebenszeit,
der Lebenszeit nutzen, sich nicht verändert.
Das ist natürlich gerade das Verhältnis der Grenznutzen in Bezug auf
das große U mit einem negativen Vorzeichen, also einfach wieder implizites Funktionentheorie im Angewandt.
DU, also B großes U nach DC1 ist nichts anderes
als kleines U abgeleitet nach C1. Großes U abgeleitet nach C2 ist Better,
mal kleines U abgeleitet nach C2.
Das ist also das Verhältnis der momentanen Grenznutzen, korrigiert um diesen Faktor bitter.
Und das ist gerade gleich minus eins plus R in Klammern,
beziehungsweise minus eins durch eins plus R,
das Verhältnis der beiden Güterpreise in der,
also Konsum der ersten Periode versus Konsum der zweiten Periode
zu heutigem Preis.
Haben Sie dazu Fragen
Ich weiß, dass wenn man die Sache so zum
ersten Mal hört, dann ist das ein bisschen verwirrend.
Ich versuche ihn zu motivieren, dass es eigentlich ganz einfach ist,
weil es alles Mechanismen sind, die Synchronstudium schon kennengelernt haben.
Nur wenn sie jetzt eben intertemporal angewandt, statt temporal im statischen Modell,
so wie sie es im Grundstüm gehört haben.
Versuchen sie also bitte, das zu Hause sich nochmal anzugucken
und sich klarzumachen, wo die Verbindung zum Grundstudium ist.
Sie ist ganz unmittelbar eigentlich gegeben. Es ist nichts Neues,
abgesehen davon, dass die Interpretation einer andere ist als die,
die sie im Grundstudium hatten,
wo sie das im statischen Kontext gemacht haben
So, gucken wir uns auch das nochmal an einem Beispiel angenehm, also wieder eine logarithmische Nutzenfunktion für die momentanen Nutzenfunktionen.
Sie hatten ja eben in der Übung, Sie schon überlegen sollen,
dass wir als Nutzenfunktion eigentlich genauso gut einfach,
U von CT ist Logarithmus, CT nehmen können und das drückt sogar dann,
wenn wir die Lösung des intratemporalen Problems gedanklich mit im Kopf haben,
auch noch die Abhängigkeit von der Freizeit mit aus,
dann sagt unsere Eulergleichung einfach eins durch C1,
ist eins plus R mal bitter, mal eins durch C2.
Und wenn Sie dann das Einsetzen in die Intertemporale Budgetrestriktion,
dann können Sie auch lösen nach C1 und nach C2 und Sie kriegen dann heraus,
Konzom der ersten Periode ist Lebenszeiteinkommen durch 1 plus Better und
der Konsum der zweiten Periode ist 1 plus R mal Better,
mal Lebenszeiteinkommen durch 1 plus Better und wieder stellen wir fest,
dass ich für C1 Substitutionen so ein Einkommenseffekte einer Realzinsveränderung saldieren.
Also das C1 ist aufgrund dieser speziellen Nutzenfunktion hier jetzt unabhängig vom Zinssatz.
Bei C2 ist es nicht so, da wirken die Effekte,
Substitutionen sind Einkommenseffekte in die gleiche Richtung,
wenn der Zinssatz sich erhöht,
dann habe ich einerseits einen Einkommenseffekt und andererseits habe ich einen Substitutionseffekt,
beide gehen dahin,
dass der Konsum der zweiten Periode sich erhöhen wird,
folglich sehen wir hier ein eindeutiges Vorzeichen,
wenn man nach dem R ableiten
Wir stellen aber auch hier wieder fest,
dass es eben in Bezug auf den gegenwärtigen Konsum nicht so ist,
dass man bezüglich der Abhängigkeit vom Zinssatz, vom Realzinssatz eine eindeutige Vorzeichenaussage machen kann.
Wir sehen, es gibt eine spezielle Nutzungsfunktion, Logarithmus CT,
bei der Einkommens- und Substitutionseffekt sich gerade saldieren.
Das heißt, wir können einfach schließen,
dass es andere Nutzenfunktionen gibt, die entweder dazu führen,
dass es eine Zinserhöhung zu einer Steigerung des Konsums führt oder andere Nutzenfunktionen,
bei denen eine Zinserhöhung zu einer Verminderung des gegenwärtigen Konsums führen.
Das hängt dann einfach von den Präferenzen der Konsumenten ab und ich habe ihnen hier sozusagen den Grenzfall genommen,
der mathematisch am einfachsten ist und insofern auch didaktisch vielleicht ganz sinnvoll ist,
weil er unmittelbar zeigt,
dass die Abhängigkeit eigentlich in beiden Richtungen gegeben sein kann,
wenn man andere Nutzenfunktionen hat
als die logarithmische
Gut, man interessiert sich jetzt oft vor allem für die Stärke dieses Substitutionseffekts.
Beim Substitutionseffekt ist es so, dass sein Vorzeichen eindeutig ist,
das haben sie auch im Grundstudium gelernt,
wenn sie an die Slutky-Gleichung zurückdenken,
der Substitutionseffekt ist immer kleiner gleich null beim Einkommenseffekt,
wissen wir es nicht genau, weil es manchmal auch in Firioregüter geben kann.
Das haben wir hier allerdings in diesem Modell nicht gegeben.
In Firioregüter sind ja so ein bisschen was Spezielles,
so was wie Kaffeeersatz, wo wir ins Einkommen steigt,
dann konsumiert man weniger davon und dann kann das
dem Substitutionseffekt entgegenwirken
Bei uns haben wir qua Annahme, dass Freizeit und Konsum
einfach normale Güter sind, wo auch der Einkommenseffekt positiv ist.
Nun können wir die Stärke dieses Substitutionseffektes messen durch die sogenannte Substitutionselastizität.
Und das ist ein Konzept und bei speziellen Nutzenfunktionen auch ein Parameter,
dem in den Real-Business-Cycle-Modellen besondere Bedeutung beigemessen wird.
Und deshalb möchte ich das hier im Einzelnen noch erläutern,
was man unter dieser Substitutionselastizität versteht.
Die Substitutionselastizität bezieht sich immer auf relative Größen
Ja, sie wissen ja, was eine Ilastizität ist.
Die Ilastizität sagt ihnen,
um wie viel Prozent steigt die Nachfrage nach einem bestimmten Gut,
wenn der Preis eines Gutes um ein Prozent steigt.
Bei einer Substitutionselastizitätsfrage stellt man nicht die Frage,
um wie viel Prozent steigt die Nachfrage,
sondern um wie viel Prozent verändert sich relativ die Nachfrage nach zwei Gütern,
wenn der relative Preis der Güter sich verändert.
Das ist also ein bisschen komplizierter und ein bisschen weniger anschaulich
als bei der normalen Elastizität.
Das heißt, wir gucken uns hier zum Beispiel an die
relative Konsumnachfrage.
C2 durch
Wir wollen jetzt wissen, wie verändert sich die Aufteilung
des Konsums zwischen den beiden Perioden, C2 durch CC1,
dann, wenn sich der relative Preis des Konsums verändert.
Nun, der relative Preis des Konsums hängt natürlich in unser Modell unmittelbar vom Zinssatz ab.
Den relativen Preis drücken wir jetzt also aus als eins,
das heißt Preis des Konsumgutes in der ersten Periode,
geteilt durch eins plus R. Nein,
so wollte ich es nicht machen.
Als eins durch eins plus R,
das ist der Preis des Konsumgutes in der zweiten Periode,
geteilt durch eins, also Preis des Konsumgutes in der ersten
Periode.
So muss ich
es machen
Also ich muss ja, da ich hier den Kunden,
den den Quotienten C2 durch C1 habe, muss ich auch nehmen,
erst den Preis von C2, geteilt durch den Preis von C1.
Und der Preis von C2 haben wir gesehen,
ist eins durch eins plus R und der Preis von C1 ist einfach eins,
also eins durch eins plus R nochmal, geteilt durch eins,
bleibt einfach eins durch eins plus R. Das heißt,
diese 1 durch 1 plus R ist der relative Preis für das C2.
Für das C2 durch C1. Also soweit man das anschaulich ausdrücken kann,
kann man es so ausdrücken, dass man sagt,
um wie viel Prozent verändert sich die relative Nachfrage,
C2 durch C1,
wenn der relative Preis sich um ein Prozent erhöht
Und das ist nun,
auch wenn die Fragestellung vielleicht ein bisschen kompliziert zunächst wirkt,
relativ einfach auszurechnen und zu bestimmen. Schauen Sie die Substitutionselastizität,
ist die Ableitung von C2 durch C1 nach dem relativen Preis,
multipliziert mit dem relativen Preis durch die relative Nachfrage.
Und das wissen wir aber, eine solche Formel hier,
die Formel einer Elestizität, können wir immer auch schreiben,
als die Ableitung des Logarithmus der Menge nach der Ableitung des Logarithmus des Preises,
in diesem Fall relative Menge und Relativpreis.
Also D-Logarithmus C2, C1, durch C1,
nach D-Logarithmus 1
durch 1 plus
Nun gehen wir nochmal zurück, dann sehen wir es vielleicht
am deutlichsten, wie das sich in unserem Beispiel darstellt.
Wir hatten hier ja diese Formel 1 durch C1. Ist gerade
gleich 1 plus R. Mal Better, mal 1 durch C2.
Das heißt, wir kriegen sofort raus, das C2 durch C1,
die relative Nachfrage. 1 plus R. Mal Better ist. Naja,
und jetzt brauchen wir ja lediglich zu schreiben,
dann folgt doch offenbar, dass der Logarithmus von C2 durch C1,
gerade der Logarithmus von 1 plus R plus,
der Logarithmus von Better ist.
Und der Logarithmus von 1 durch,
der Logarithmus von 1 plus R ist natürlich nichts anderes als minus
der Logarithmus von 1 durch 1 plus R. Plus Logarithmus von Better.
Ja, also wenn sie die Eulergleichung nehmen und hier ein bisschen umschreiben,
dann steht da, ich glaube,
sie können den Logarithmus hier kaum sehen,
aber der steht davor
Logarithmus von C2 durch C1,
also Logarithmus des relativen Konsums, ist gerade gleiche Minus,
der Logarithmus von 1 durch 1 plus R. Nun haben wir gerade gesehen,
die Elastizität, die Substitutions-Elastizität, kriegen wir raus,
indem wir den Logarithmus der relativen Nachfragen ableiten,
nach dem Logarithmus des relativen Preises.
Dann sehen Sie, offenbar ist das Ding
hier abgeleitet nach diesem Logarithmus dort gleich minus 1.
Und die Substitutions-Elastizität ist minus
Das ist das Ergebnis, was wir hier haben. Lugarithmus C2 durch C1,
also dieses Ding hier, ist gerade gleich Lugarithmus Better,
Minus-Logarithmus mal 1 durch 1 plus R. Also das, was da steht.
Das heißt, wenn ich jetzt den Lugarithmus hier ableite,
nach diesem Logarithmus von 1 durch 1 plus R da,
ist die Ableitung einfach minus 1 und die Substitutionselastizität ist minus 1.
Das ist wieder ein Spezifikum dieser logarithmischen Nutzenfunktion,
also ähnlich wie sie die Eigenschaft hat,
dass sich Substitutions- und Einkommenseffekte gerade aufheben,
hat die logarithmische Nutzenfunktion immer die Eigenschaft,
dass die Substitutionselastizität Betrachtsmäßig gleich 1 ist.
Das heißt, eine einprozentige Veränderung des relativen Preises führt zu
einer einprozentigen Veränderung der relativen Nachfrage
Das ist natürlich ein bisschen zu speziell, ja,
und deshalb, beziehungsweise wir haben überhaupt keinen vernünftigen Grund,
anzunehmen, dass in der Realität die Substitutionselastizität tatsächlich gerade gleich eins ist.
Deshalb arbeitet man normalerweise mit einer Nutzenfunktion,
die allgemeine ist als die logarithmische Nutzenfunktion und die dementsprechend dann
auch in den anderen Anwendungen, die ich Ihnen bereits erläutert habe,
zulässt, des Einkommens- und Substitutionseffekte sich nicht saldieren.
Diese Verallgemeinerung der Nutzenfunktionen, die man dann betrachtet,
ist eine Nutzenfunktion aus der sogenannten CRRA-Klasse,
wobei CRAA stieg für Constant Relative Risk Version
Oder ein konstanter Koeffizient, der relativen Risiko-Aversion. Das ist auch ein Konzept,
was sie in der Mikroökonomie spätestens des Hauptstudiums normalerweise motiviert bekommen.
Ich werde es jetzt ein bisschen en passant erklären.
Diese Nutzenfunktionen haben typischerweise folgende Gestalt. Sie sagen,
der Nutzen des Konsums,
der soll beschrieben werden durch CT hoch 1 minus etter,
minus 1, durch 1 minus etter.
Da könnten Sie zunächst mal ein bisschen mosern und sagen,
warum ziehen wir hier noch minus 1 ab,
wenn Sie diesen Bruch hier auseinandernehmen,
steht ja praktisch CT hoch 1
minus etter durch 1
minus etter
Minus eine konstant, nämlich minus eins durch eins,
minus etta und eine Konstante spielt ja bei der Maximierung einer
Nutzenfunktion dann keine Rolle. Und es ist völlig richtig,
sie schadet aber nicht und sie werden gleich sehen,
dass dieses Abziehen von dem Minus eins ganz hilfreich ist,
wenn man einen Spezialfall betrachtet, nämlich den Spezialfall etta gleich eins.
Sie sehen diese Nutzenfunktion ist hier scheinbar nicht definiert,
wenn etta gleich eins ist, denn dann steht hier eins,
minus eins und das ist null, ja,
und durch null dürfen wir nicht teilen.
Aber wenn ich hier im Zähler schreibe,
CT hoch eins minus etta minus eins,
dann ist für etta gleich eins, auch der Zähler gleich null.
Denn wenn etta gleich eins ist,
dann steht hier CT hoch null, ja,
das ist eins,
minus eins ist ebenfalls null
Und dann haben wir hier also einen Bruch des Typs null
durch null, beziehungsweise wenn etwa gegen eins geht,
dann strebt dieser Bruch ja gegen null durch null.
Und der ist in diesem Fall wohl definiert. Das kann man
dann bestimmen, indem man die Regel von Lobbital anwendet.
Und dann fällt einem auf, dass wenn etwa gleich eins ist,
dann ist diese Nutzenfunktion u einfach luggerithmisch im CT. Sehen Sie,
der Grenzwert für etwa gegen eins von dieser Nutzenfunktion hier ist nach der Regel von Lobbital,
ja derselbe Grenzwert wie der, der sich ergibt,
wenn ich die Ableitung des Zählers durch die Ableitung des Nenners teile.
Nun, was ist die Ableitung des Zählers?
Das ist gerade minus CT hoch 1 minus etwa,
mal Logarithmus CT
Ableitung des Nenners ist einfach minus eins, wenn ich nach Ether ableite.
Naja, und wenn ich jetzt dann diesen Grenzwert hier für Äther gegen eins auswählt,
dann kommt einfach aus dem Logarhythmus von CT.
Das ist also der Grund, weshalb ich hier noch dieses
minus eins durch eins minus Ether hinzufüge zu der Nutzenfunktion,
denn dann ist die Nutzenfunktion auch für den kritischen Fall Ether gleich.
Eins definiert, und es kommt dann gerade der Fall raus,
den wir bereits betrachtet haben, nämlich die logarithmische Nutzenfunktion.
Das heißt, diese CRA-Nutzenfunktion ist wirklich eine Verallgemeinerung der Nutzenfunktion,
die wir bislang exemplarisch betrachtet haben,
für den Fall Ether gleich eins kriegen wir einfach die
logarithmische Nutzenfunktion raus
Für den Fall Ether gleich null sehen Sie,
kriegen wir eine lineare Nutzenfunktion raus. Ja,
betrachtet man auch in manchen Situationen, Ether gleich null,
dann ist U einfach linear in CT,
nämlich U von CD ist CT minus eins.
Und ferner kann man sich überlegen, dass die Nutzenfunktion U streng kongrav ist,
sofern das Ether größer als null ist und streng konvex ist,
wenn das Ether kleiner ist als null.
Nur dieser letzte Fall, strenge Konlexität, der interessiert normalerweise nicht.
Üblicherweise nimmt man an, dass die Nutzenfunktion streng kongrav ist,
sodass wir abnehmende Grenznutzen haben. Das Entscheidende ist nun folgendes.
Ich hatte ihn eben erläutert, was man unter einer Substitutionselastizität versteht.
Dieses Ätter hier, dieser Parameter, ist eng verknüpft mit der Substitutionselastizität.
Das heißt, diese Art von Nutzenfunktion erlaubt es uns jetzt,
die Präferenzen der Individuen auch anders zu modellieren,
als mit einer Substitutionselastizität von eins oder minus eins.
Ja, wir können jetzt beliebige Substitutionselastizitäten modellieren. Das heißt,
wir können jetzt unterstellen, dass die Koeffizienten,
dass die Konsumenten beliebig reagieren auf Zinsänderungen,
entweder dahingehend, dass sie ihren Konsum dann erhöhen,
wenn sich der Zins erhöht oder dass sie ihren Konsum der ersten Periode vermindern,
wenn sich der Zins erhöht.
Ja, also dieses Ausmaß, in dem ein Konsument intertemporal
reagiert durch Veränderungen seiner Konsumgewohnheiten, wenn sich der intertemporale Preis,
der Zins verändert, das wird genau gesteuert durch diesen Parameter
Äther und deshalb ist das ein Parameter, der sehr wesentlich
ist in dieser Art von Modellbildung und sehr intensiv betrachtet wird.
Wenn man die Eulergleichung jetzt auswerten für diese allgemeinere Nutzenfunktion,
dann kriegen wir folgende Form heraus,
Zieheinzug minus Äther ist eins plus Ärmel,
Better mal C2 hoch minus Äther und sie kriegen sofort die vorherige Form der Eulergleichen raus,
wenn sie Äther auf einsetzen, dann wissen sie,
sind wir bei der logarithmischen Nutzenfunktion,
da steht ja wieder eins durch C1,
ist eins plus R-Bitter,
mal eins durch
Sie können das Ding hier auch logarithmieren, dann kriegen Sie raus,
der Lugarithmus von C2 durch C1 ist eins durch Ethermal-Logarithmus, Betterminus-Logarithmus 1 durch 1 plus R.
Und dann sehen Sie sofort, was die Substitutionselastizität ist,
nämlich wenn wir den Lugarithmus des relativen Konsums ableiten,
nach dem Lugarithmus des relativen Preises,
dann ist die Substitutionselastizität offenbar eins durch Ether, nein,
minus 1 für Ether, mit dem negativen Vorzeichen hier.
Dann kriegen wir also hier heraus die Substitutionselastizitäts minus eins
durch Ether. Das heißt, Ether ist gerade das Inverse
der Intertemporalen Substitutionselastizität
Und das bedeutet jetzt also, je größer dieses Ätter ist,
desto weniger ist ein Individuum bereit, Konsum, Intertemporal zu verschieben.
Wenn wir das Ätter anwachsen lassen und sagen,
Ätter ist irgendwie, sagen wir mal,
zwei statt eins in der lugarithmischen Spezifikation,
dann bedeutet das, dass ein Individuum dann,
wenn der Zinssatz um ein Prozent steigt, nur bereit ist,
den relativen Konsum um ein halbes Prozent zu verändern,
statt um ein Prozent.
Das heißt, den relativen Konsum weniger verändert.
Das heißt, dann reagiert der Konsum relativ schwach
nur auf Zinsänderungen
Empirische Schätzungen haben gezeigt, dass es wahrscheinlich ein ganz vernünftiger
Wert ist, zu sagen, Ether ist zwei.
Ja, es ist nicht so vernünftig, Ether auf eins anzunehmen.
Das ist eine zu hohe, intertemporale Substitutionselastizität, die da unterstellt wird.
empirische Schätzungen suggerieren typischerweise, dass das Ether eher in
der Regel eher in der Größenordnung von zwei ist.
Das heißt, die intertemporale Substitutionselastizität, die liegt eher bei ungefähr 0,5.
So, was hat das eine mit dem anderen zu tun? Nun,
es geht hier um die sogenannte Konsumglättung und wir wollten uns zunächst mal klar machen,
warum es sinnvoll sein kann, den Konsumzug glätten.
Wir stellen also vor, wir haben irgendwie einen unregelmäßigen Einkommensstrom.
Denken Sie nochmal zurück an das,
was ich am Anfang der Vorlesung gesagt habe,
dass wir zum Beispiel einen Konsumenten betrachten,
der ist mit bestimmten Wahrscheinlichkeit in manchen Perioden arbeitslos.
Und die arbeitslosen Unterstützung, die er dann bekommt,
ist niedriger als das, was er üblicherweise an Erwerbseinkommen hätte.
Dann ist er ein Einkommensstrom also unregelmäßig und er muss sich eben überlegen,
wie reagiert er auf diese Tatsache,
dass der Einkommensunregel der Einkommensstrom unregelmäßig ist mit seinen Konsumgewohnheiten
Nur wenn die Nutzenfunktion kongrav ist, dann ist es typischerweise sinnvoll,
den Konsumstrom glatter zu wählen, als das Einkommen.
Und das gucken wir uns nochmal an, am Beispiel der logarithmischen Konsumfunktion.
Es verhält sich nicht anders für eine Konsumfunktion,
die irgendwie eine intertemperale Substitutionselastizität von einhalb hat.
Nehmen wir uns mal als gedanklichen Ausgangspunkt eine Situation,
in der der Konsum der ersten Periode sehr viel kleiner ist als der Konsum der zweiten Periode.
Wenn wir also uns überlegen,
dass C1 sehr viel kleiner ist als C2,
dann folgt doch daraus,
dass U-Strich von C1 sehr viel größer ist als U-Strich von C2. Ja,
weil ja bei der logarithmischen Konsumfunktion der Grenz nutzen,
gerade das Inverse des Konsums ist
Das wiederum würde bedeuten,
dass wenn wir jetzt einen kleinen Konsumverzicht in Periode 2 haben,
dann verlieren wir nicht sehr viel Nutzen in Periode 2,
dadurch, dass wir da auf eine Konsumeinheit verzichten.
Aber wir gewinnen sehr viel Nutzen, indem wir diesen Konsumverzicht dann rübertransferierenden Periode 1,
indem wir eben entsprechend weniger sparen oder uns verschulden.
Das heißt also, der kleine Konsumversicht zieht in der Periode
2 zugunsten des Periodens des Konsums der Periode 1,
würde ein Nutzengewinn per Saldo bedingen,
weil wir wenig an Nutzenden Periode 2 verlieren,
aber viele an Nutzen in Periode 1 gewinnen
Kann man daraus folgern, dass es ist optimal,
ist für die Konsumenten in jeder Periode einfach gleich viel zu konsumieren. Nun,
das kann man nicht folgern, weil es ja nicht um den momentanen Nutzen geht,
sondern es geht um den Lebenszeitennutzen und der Lebenszeit nutzen bedingt,
dass der momentane Nutzen der Periode 2 noch mit diesem Faktor bitter diskutiert wird.
Also wir haben keine absolute Konsumgleichheit zu erwarten,
aber wir haben eine bestimmte Glättung des Konsums zu erwarten und sie sehen die grafische Veranschaulichung dessen,
was ich gerade gesagt habe, hier,
wenn wir anfangs einen sehr kleinen Konsum haben,
diesen dort und später in der zweiten Periode einen sehr großen Konsum haben und die Nutzenfunktion ist irgendwie so schön kongrav,
das ist lugarithmisch, dann stellen wir natürlich fest,
dass eine kleine Verminderung des Konsums in der Periode 2 von diesem Wert hier zu dem Wert C2-DC,
die führt nur zu einem sehr kleinen Nutzenverlust.
Hier durch diesen kleinen Abschnitt gekennzeichnet, die EU von C2. Aber diese Veränderung des Konsums DC,
also der Verzicht auf Konsum, den ich hier habe,
rüber transferiert in Periode 1 und im Augenblick sehe ich noch völlig von der Möglichkeit ab,
dass wir da Verzinsung haben,
führt dazu,
dass wir hier einen sehr großen Nutzen gewinnen,
DU von C1 haben
Und folglich ist es sinnvoll, Konsum aus der zweiten Periode
in die erste Periode zu transferieren, bis sozusagen diese beiden Veränderungen,
hier die EU von C2 und DU von C1 dieselben sind.
Streng genommen, noch korrigiert, um eben den Zinsfaktor 1
plus R und diesen subjektiven Disconfaktor bitter.
Jetzt ist es dann so, je stärker die Nutzenfunktion gekrümmt ist.
Das heißt also, je größer das Äther ist,
beziehungsweise je kleiner die intertemporale Substitutionselastizität ist, desto wichtiger ist die Konsumglittung.
Das können Sie sich doch vorstellen, wenn Sie diese Konsum,
wenn sich diese Nutzenfunktion hier mit unterschiedlichen Krümmungsgraden aufmalen,
dann ist es so, dass die Glättung des Konsums umso wichtiger ist,
je stärker die Nutzenfunktion gekrümmt ist.
Stellt sich zunächst mal vielleicht eine Nutzenfunktion vor, die gar nicht
gekrümmt ist. Also einfach eine lineare Funktion. Ja,
dann ist automatisch natürlich der Grenznutzen Verlust, den ich hier habe,
gleich dem Grenznutzen gewinnen, den ich da habe.
Einfach weil die Nutzenfunktion linear ist. Dann brauche ich also
keinen Konsum irgendwie zu glätten, sondern ich habe für jedes
Konsumniveau immer sozusagen denselben Grenz nutzen.
Dann bin ich im Optimum. Je stärker jetzt
die Konsumfunktion gekrümmt ist, desto wichtiger ist die Konsumglättung
Also die Krümmung der Nutzenfunktionen, die impliziert sozusagen das Konsum geglättet wird.
Und je stärker die Krümmung ist, desto mehr wird der Konsum geglättet.
Die Krümmung der Nutzenfunktion wird aber gerade durch dieses Äther gemessen.
Das heißt, je größer das Äther ist,
desto stärker ist die Nutzenfunktion gekrimmt.
Und wir wissen, desto kleiner ist die intertemporale Substitutionselestizität.
Also eine kleine oder eine kleine intertemporale Substitutionsinlestizität bedeutet immer,
dass die Konsumglättung sehr wichtig ist, beziehungsweise es bedeutet,
dass das Individuum wenig bereit ist,
Konsum intertemporal zu verschieben,
wenn es sich einmal im Nutzenmaximum befindet
Wir gehen davon aus, dass Individuum Welt irgendwie sein nutzen Maximum.
Jetzt kommt eine Veränderung des Zinssatzes. Und jetzt ist die Frage,
wie stark ist das Individuum bereit, Konsum zu verschieben?
Nun, wenn die intertemporale Substitutionselästizität niedrig ist,
dann verschiebt das Individuum auch bei einer relativ hohen Veränderung
des Zinssatzes den Konsum nur relativ wenig.
Wenn wir den Fall hätten, dass wir eine lineare Nutzenfunktion haben,
dann ist das älter gleich null, wie ich Ihnen bereits gesagt habe.
Dann haben wir überall den gleichen Grenznutzen. Und das bedeutet,
dass das Individuum jederzeit bereit ist, Konsum auch zu verschieben als Antwort auf Zinsänderungen.
Das heißt, dann ist die Substitutionselastizität unendlich groß,
denn die Substitutionselastizität ist ja eins durch,
Etta, und Etta ist null,
also ist die Substitutionselastizität unendlich
So, hier kommt eine kleine Übung für Sie, damit sich diese Konzepte veranschaulichen.
Nehmen Sie mal diese C-R-A-Nutzen-Funktion und bestimmen Sie direkt die Konsumfunktion. Ja,
also Konsumfunktion jetzt geschrieben als C-1,
abhängig vom Lebenszeiteinkommen X. Zeigen Sie also,
dass dieser Ausdruck dann herauskommt,
dass in dieser Art und Weise der Konsum abhängt vom Einkommen und dass wir also haben,
für ein gegebenes Einkommen von X,
dass eine Erhöhung des Zinssatzes in diesem Fall zu einer Verbindung des Konsums führen würde,
dann und nur dann,
wenn er es
älter kleiner ist
als eins
Oder umgekehrt, wenn das Äther größer ist als eins,
das heißt, wenn wir eine intertemporale Substitutionselastizizität des Konsums haben,
die kleiner ist als eins, sagen wir mal,
nehmen vielleicht realistischen Bereich von 0,5,
dann würde eine Erhöhung des Zinssatzes auch zu einer Erhöhung des Konsums führen.
Diese Sachen finden sich nicht nur in der RBC-Theorie,
sondern die finden sich auch in der neukänzianischen Theorie sozusagen
dem Hauptwettbewerber im Bereich der Konsumtheorie in der heutigen Zeit.
Gerade in der neukänzianischen IS-Kurve, also einer Erweiterung der IS-Kurve,
die sie aus dem Grundstudium kennt, Finden Sie diesen Zusammenhang,
dass der Zinssatz eben eine bestimmte Wirkung auf den Konsum hat und diese Wirkung auf den Konsum,
die hängt davon ab, wie die intertemperale Subsitutionselastizität beschaffen ist.
Das heißt, wie groß dieses Äther ist. Ja,
und das ist ja allerdings nicht alles bei der Neukansianischen Konsum,
bei der Neukansianischen Konsumfunktion oder der neukansianischen IS-Kurve, sondern hinzu kommt,
dass da auch noch der erwartete Konsum mit einer Rolle spielt,
dass wir dich im Einzelnen jetzt aber noch nicht erläutern,
sondern erst später,
wenn wir auf dieses Modell zu sprechen kommen
Das ist das, was ich zu dem Zwei-Perioden-Modell zunächst einmal machen wollte,
um vorzubereiten, dass eigentliche RBC-Modell, was jetzt von den zwei Perioden weggeht.
Und über unendlich viele Perioden definiert ist. In diesem richtigen,
in der richtigen Ausformulierung des RBC-Modells mit unendlich vielen Perioden
finden Sie genau diese Mechanismen immer wieder,
die ich jetzt am Zwei-Perioden-Modell aufgezeigt habe.
Das heißt, da wird immer wieder diskutiert,
die Krümmung der Nutzenfunktion, der momentanen Nutzenfunktion,
gemessen durch die intertemporale Substitutionselastizität bzw. invers
durch diesen Parameter ETA
Und damit die Implikationen, die Veränderungen von intertemporalen Preisen,
haben auf das Konsumverhalten und auf das Arbeitsangebotsverhalten der Konsumenten.
Sie sehen, dass das alles miteinander zusammenhängt, denn wir haben festgestellt,
dass der Zinssatz als ein wesentlicher Preis in der Ökonomie den Konsum beeinflussen kann,
je nachdem, wie groß die Intertemperate Substitutionselastizität ist.
Und wir haben in dem Intratemporalen Problem gesehen,
dass die Höhe des Konsums ja die Höhe des Arbeitsangebots bzw.
die Höhe der Freizeitnachfrage beeinflusst,
sodass der Zinssatz damit also automatisch auch eine Auswirkung auf
die Freizeitnachfrage bzw. das Arbeitsangebot
Also jetzt hinsatz, er weiß sich in diesem Modell als eine Größe,
die sehr, sehr viel über die Allokation der Ökonomie aussagt
und über die Reaktion der Ökonomie auf Veränderung in den gesamtwirtschaftlichen Angebotsbedingungen.
Denn wie ich ihn ja erläutert hatte,
in der RBC-Theorie spielt eine große Rolle der Technologieschock und der Technologieschock
ist genau derjenige Schock, der Auswirkungen auf den Zinssatz hat.
Ja, der Zinssatz ist ja typischerweise das Grenzprodukt des Kapitals oder bei kompetitiven Faktormärkten gilt,
dass das Grenzprodukt des Kapitals gleich den Zinssatz ist.
Und dann, wenn wir technologische Schocks haben,
dann erhöht sich natürlich mit einem positiven Technologieschock
das Grenzprodukt des Kapitals und damit der Realzienssatz
Und dieser Realzinssatz wirkt sich dann wiederum aus,
auf Konsum und auf Arbeitseinsatz, sprich auf die Beschäftigung in der Ökonomie.
Das heißt, alles wird praktisch koordiniert über diesen Zinssatz.
Nach dieser ausführlichen Vorbereitung auf das RBC-Modell sollte ich zunächst nochmal
fragen, ob Sie Fragen dazu haben.
Und dann würde ich fortfahren, das eigentliche Standardmodell zu diskutieren.
Ja, bitte, Steffen
Ja, wir werden weiterhin mit solchen separablen Nutzenfunktionen arbeiten.
Das hängt mit der Lösungstheorie zusammen, weil sie dann,
wenn das separabel ist, rekursive Lösungen benutzen können.
Und das erleichtert also im mathematischen Aufbau erheblich. Ja,
die Frage ist berechtigt, ist es realistisch und die Antwort darauf lautet in gewisser Hinsicht ja.
Denn sie können folgendes sich sich überlegen. Wenn sie nicht separabilitäten haben,
dann bedeutet das typischerweise, dass sie irgendwelche Interaktionen zwischen verschiedenen Perioden mit berücksichtigen. Ja,
also wenn wir hier diese additive Separabilität haben zwischen Periode 1 und Periode 2,
dann können Sie sagen, gut, was wäre jetzt,
wenn das nicht semperabel ist,
dann würden wir sagen,
den Nutzen in der Periode 1 hängt ab und dann sagen wir so,
der Nutzen in der Periode 2 hängt ab von den Entscheidungen,
die in der Periode 2 getroffen werden und vielleicht in den Entscheidungen der Vorperiode.
Das ist in Ordnung. Sie können auch sagen,
hängt auch noch ab von den Entscheidungen in der Vor-Vorperiode.
Sagen wir, wenn Sie es allgemein machen wollen, sogar von Endperioden zuvor.
Irgendwann würden Sie sagen, ist Schluss mit dieser Abhängigkeit.
Das heißt, Sie können jetzt die Perioden reformulieren. Sie können sozusagen diese Endperioden,
irgendwie zusammenhängt, sind zusammenfassend zu einer Periode, ja,
und können dann sagen, und die nächste Periode beginnt danach,
dann haben sie es wieder separabel gemacht.
Dann würden sie das Problem erneut sonst separat lösen und würden
dann diese Abhängigkeit zwischen den Endperioden wieder rein substituieren.
Das geht auch, macht die Sache aber sehr, sehr viel komplizierter.
Ja, also es ist kein grundsätzliches Problem und es ist
auch numerisch durchaus betrachtet worden, dieser Fall von Nicht-Separabilitäten.
Es bietet sich aber für eine Vorlesung,
also für das Lernen des Modells nicht so sonderlich an,
auf diesen Fall jetzt einzugehen,
weil es eben letzten Endes nur eine technische Komplikation ist,
ohne dass dabei wirklich ökonomisch neue Erkenntnisse herauskommen
Haben Sie andere Fragen? Gut, also jetzt kommt das Standardmodell und was wir da machen,
ist zunächst einmal, dass wir eben unendlich viele Perioden einführen.
Das heißt, der Konsument maximiert jetzt wieder einen Lebenszeitnutzen,
Groß-U, das Groß-U ist alles das, was hier in der eckigen Klammer drinsteht.
Und dieses Groß-U ergibt dich eben jetzt als eine Summe aus kleinen Us,
aus momentanen Nutzenfunktionen und diese ganzen momentanen Nutzenfunktionen, die werden diskontiert mit dem Subjektiven des Confaktor Beta, der Hochtee genommen wird, je weiter diese Periode in der Zukunft liegt. Wenn Beta eine Zahl ist,
die Kleine als 1 ist,
dann bedeutet das, dass in der in der ersten,
in der nullten Periode sollte ich vielleicht besser sagen,
vielleicht hätte ich hier die Summe von null ablaufen lassen sollen,
dann würde der Peter hoch null stehen,
da steht also einfach, als erster so meinte das Uda,
in der zweiten Periode steht dann Peter hoch eins da,
das ist irgendwie eine Zahl,
typischerweise noch in der Nähe von eins und danach steht Peter Quadrat da,
damit wird dieser Disconfaktor schon kleiner und dann Peter hoch drei,
Peter hoch vier und dieser Faktor schrumpft also immer mehr,
das heißt immer weiter in der Zukunft liegende momentane Nutzen,
sind immer wesentlich,
immer weniger wichtig für den heutigen Lebenszelt nutzen
Wir haben nach wie vor kleinen C, als den,
den Pro-Kopf-Konsum. Wichtig ist mit dem Augenblick ist,
dass das pro Kopf ist,
nämlich für den repräsentativen Agenten pro Kopf gerechnet und LT als die Pro-Kopf-Freizeit und die Arbeitszeit,
die bezeichne ich jetzt insgesamt als NT,
also nicht mehr normiert als auf eins,
sondern auf NT hier oder mit NT bezeichnet.
NT ist dann sozusagen ein Maß auch für das Bevölkerungswachstum.
Die pro Kopf, nee, halt entschuldige,
was habe ich
da gesagt
Nein, es ist Quatsch. Es ist nach wie vor normiert auf eins
. Die Arbeitszeit ist nach wie vor normiert auf eins.
Nur ich führe als abkürzende Bezeichnung für die Arbeitszeit eben NT ein.
Dafür habe ich vorhin malhin immer eins-minus-LT geschrieben,
da werden sie diese gleichen hier umschreiben. Dann sehen sie,
NT ist gerade eins-minus-LT, damit ich nicht immer eins-minus-LT schreiben muss,
führe ich die Arbeitszeit als NT an.
Aber es ist eben nicht, es ist nicht Bevölkerungswachstum,
weil ich ja alles noch pro Kopf habe.
Die pro-Kopf-Produktion ergibt sich jetzt nicht mehr nur aus der Arbeitszeit,
sondern auch aus dem Kapitalbestand.
Und aus dem Technologieschock oder aus dem Stand der Technologie AT
Also wir haben eine complexe Produktionsfunktion ausgedrückt in Pro-Kopf-Größen,
der Output pro Kopf YT, ergibt sich als der Arbeitseinsatz Hochalpha,
mal der Kapitaleinsatz Hoch 1, minus Alpha, also konstantes Skalenerträge,
multipliziert mit AT, dem Niveau an technischem Wissen,
was in der Ökonomie verfügbar ist.
Und das A trägt eben einen Zeitindex-Klein-Tee, was bedeutet,
dass es irgendwelche Veränderungen in der Technologie geben wird,
diese Veränderung in der Technologie werden wir modellieren als Schocks,
die auftreten,
also gelegentlich gibt es neue Innovationen oder sogar in jeder Periode kann es neue Innovationen geben,
dazu führen, dass dieses AT typischerweise ansteigt.
Und wir können uns auch technologischen Regress vorstellen,
wenn irgendwelche Erfindungen entweder vergessen werden oder wenn, sagen wir mal,
Veränderungen von relativen Preisen erfolgen, die exogen sind.
Ich hatte das in der letzten Stunde diskutiert mit den Ölpreisschocks,
die dazu führen, dass man de facto mehr Ressourcen aufwenden muss,
um eine gegebene Menge an Output zu produzieren.
Neu ist jetzt gegenüber dem Zweiperioden-Modell,
dass wir einen Kapitalbestand als weiteren Produktionsinput dabei haben,
aber das ist natürlich realistisch, deshalb müssen wir uns darüber Gedanken machen,
wie dieser Kapitalbestand eigentlich bestimmt wird.
Und das tut man typischerweise durch die Spezifikation einer solchen Kapital-Akkumulationsgleichung,
da werden wir sagen, der Kapitalbestand der Periode T,
der ergibt sich eigentlich aus dem Kapitalbestand der Periode T minus 1. Also das,
was an Maschinen verfügbar gewesen ist in der Vorperiode.
Allerdings vermindert um Abschreibungen. Abschreibungen werden gekennzeichnet durch diesen Parameter. Delta hier,
das stellen wir uns als irgendwie einen konstanten Prozentsatz vor,
sagen wir mal, ein Prozent im Quartal,
an Kapital wird physisch verschlissen, einfach dadurch,
dass wir die Maschinen benutzen, werden sie langsam verschlissen und damit abgeschrieben.
Ja, also im physischen Sinne abgeschrieben,
nicht im steuerlichen Sinne
Abgeschrieben, das heißt,
es bleibt etwas weniger an verfügbarem Kapital, Nachproduktionen übrig,
weil ein bestimmter Verschleiß eingetreten ist und diesem Kapital verziehe in
Form von Abschreibungen steht entgegen die Investition der Fuhrperiode.
Eine Vorperiode entscheide mich, ich mich eine bestimmte Menge meines Outputs YT
als Investitionsgüter zu verwenden und durch diese Investitionsgüter erstens in Kapitalverschleiß zu ersetzen.
Zweitens möglicherweise auch neues Kapital zur Verfügung zu stellen, über den Kapitalverschleiß hinaus.
In bestimmten Situationen kann ich natürlich mich auch entscheiden,
weniger als in Kapitalverschleiß durch neue Investitionen zu ersetzen,
dann würde der Kapitalbestand
insgesamt sinken
Also wenn das IT minus eins hier kleiner ist,
als Delta mal KT minus eins,
dann hätte ich einen höheren Kapitalverschleiß als das,
was ich neu investiere, dass es durchaus legitim ist,
kann man auch machen.
Dementsprechend gibt es für die Produktion zwei Verwendungsmöglichkeiten,
nämlich der Output kann entweder konsumiert werden oder er kann investiert werden.
Also jetzt haben wir eine echte Wahl in Bezug auf unsere Output-Verwendung.
Wir sehen nach wie vor von Staat- und Außenhandel ab.
Und jetzt machen wir das, was ich am Anfang
meiner Ausführung über die RBC-Theorie bereits angekündigt hatte.
Jetzt machen wir jede Menge
unrealistische Annahmen
Um uns abzugrenzen von dem, was die Standardtheorie bis in die 70er Jahre hinein gemacht hat.
Erstens, nehmen wir nämlich an, dass es rationale Erwartungen gibt.
Gut, das hatten wir auch bereits in den Modellen,
die der neue Klassik zuzuordnen gewesen sind.
Da hatten wir ja dann diese adaptiven Erwartungsprozesse durch rationale Erwartungen,
ersetzt und festgestellt, dass wir damit in den Standardmodellen nicht mehr zu Konjunkturzyklen kamen.
Diese Annahme wird aufrechterhalten in der MEC-Theorie, trotz der Tatsache,
dass sie in der Standardtheorie nicht erfolgreich gewesen ist,
weil sie einfach als Konsistenzannahme überzeugend zu sein, scheint,
wir wollen nicht mehr annehmen,
dass irgendjemand irgendetwas in systematischer Art und Weise inkorrekt antizipiert.
Wir wollen davon ausgehen,
Leute lernen aus ihren Fehlern und wenn sie Fehler machen,
dann sind das Fehler, die sie vorher als solche nicht haben,
erkennen können, die nicht antizipierbar sind.
Die Erwartungen können also falsch sein, durchaus bei rationalen Erwartungen,
aber sie sind nicht systematisch falsch.
Wir nehmen an vollständige Informationen. Wir nehmen an perfekt funktionierende Märkte.
Es gibt alle Märkte, die man überhaupt nur haben will und
alle Märkte arbeiten im wahlrasianischen Sinne unendlich schnell und finden die richtigen Allokationen.
Wir nehmen an, stets optimales Verhalten aller Agenten,
also immer optimierendes Verhalten in Bezug auf Konsum und Arbeitseinsatz.
Wir nehmen an, dass es keinerlei Anpassungskosten gibt. Wir nehmen an,
dass es keinen Staat gibt und kein Geld,
insbesondere keine Geldpolitik, insbesondere keine Zentralbank, insbesondere keine Inflation,
alles das blenden wir aus. Wir nehmen an,
dass es keinerlei Verteilungskonflikte gibt zwischen beispielsweise Arbeitgebern und Arbeitnehmen,
auch keinerlei Gewerkschaftsmacht oder politische Einflüsse und wir nehmen an,
keine außenwirtschaftlichen Einflüsse
Kurz, wir nehmen an, das ist alles das nicht gibt,
was bis zur Entstehung der RBC-Theorie oft als irgendwie ursächlich für Konjunktur angenommen worden ist.
Ja, die RBC-Theorie setzt sich bewusst von allem dem ab,
was man bis dato als vielleicht ursächlich für die Konjunktur unterstellt hat.
Und behauptet dann, obwohl wir alle diese Sachen jetzt qua annahmer
ausblenden aus dem Modell, kriegen wir ein Modell heraus,
was uns Konjunkturzyklen gut erklären kann.
Das heißt, die RBC-Theorie behauptet, alles das,
was hier steht, ja,
spielt keine Rolle für die Konjunktur oder jedenfalls keine wesentliche Rolle für die Konjunktur,
sondern das Wesentliche sind Technologieschocks.
Und das gucken wir uns in der nächsten Stunde ausführlicher an.
Schönen Dank erstmal, bis nächste Woche