Guten Morgen, meine Damen und Herren. Haben Sie Fragen zur Vorlesung
? Wir hatten in der letzten Stunde das... Multiplikator.
Ja. Ja. Ja. Ja. Ja. Ja
. Ja. Ja. Ja. Ja. Ja.
Ja. Ja. Ja. Ja. Ja. Ja. Ja. Ja. Ja. Ja. Ja. Ja. Ja. Ja. Ja. Ja. just morgen,
morgen, äh, m, ja, ja,
m, ja, m, just morgen, e,
m, ja, m, m, m,
m, m, m, m, m,
m, m, m, m, m, m,
m, n, m, m, m, m,
Disziplin entwickelt hat und unser erster Schritt in dieser Auflistung von Konturmodellen ist,
also dieses Multiplikator, Accelerator-Modell,
das sich in der Vorlesung der letzten Woche,
genauso wie in der heutigen Vorlesung, auch kritisieren werde.
Und sie wird sehen, dass ich ja nicht sehr viel
Gutes an diesem Modell erkennen werde. Gleichwohl ist es instruktiv,
das Modell zu verstehen und zu sehen,
wo die Schwächen des Modells sind und woran es liegt,
dass es sich zur Erklärung des Phänomens Kontuktur nicht besonders gut eignet.
Ich habe ihn hier nochmal projiziert,
was der Stand der Dinge gewesen ist in der letzten Stunde
Wir hatten gesehen, dass Multiplikator Accelerator-Modell lässt sich formal darstellen,
als eine Differenzengleichung, zweiter Ordnung.
Die haben wir gelöst, da habe ich ihnen die entsprechenden
Theorien für benannt. Sie haben gesehen,
dass es da ganz unterschiedliche Lösungsmöglichkeiten gibt und diese Lösungsmöglichkeiten,
die haben wir dann hier einfließen lassen in eine grafische Kategorisierung dieser Lösungen.
Wir haben da sechs Regime unterschieden, insbesondere haben wir festgestellt,
dass es also einen bestimmten Bereich gibt,
wo ist denn hier
der Punkt
Ganz schwach. Es gibt hier einen bestimmten, na,
das kann ich wohl vergessen. Es gibt hier einen bestimmten Punkt,
den einen bestimmten Bereich, in dem es stabile Lösungen des Systems gibt.
Entschuldigung, Ketter, wer durfte ich sie bitten?
Es gibt dort stabile Lösungen des Systems und es gibt einen bestimmten Bereich,
ich kann es jetzt nicht zeigen,
aber sie haben es in der letzten Stunde gesehen,
in dem es Schwingungen gibt unter dieser gebogenen Kurve dort oben,
haben wir so etwas.
Wo muss ich
der Trikot
Ah, okay, dankeschön. Besser. Vielen Dank.
Hier unter dieser gebogenen Kurve, da gibt es eben schwingende
Lösungen und das ist der Bereich, in dem wir interessiert sind.
Es gab dann einen ganz kleinen und eigentlich nur mit Wahrscheinlichkeit null eintretenden Parameterbereich,
in dem diese schwingenden Lösungen, gerade die Eigenschaft haben,
dass die Amplitude der Schwingungen im Zeitablauf konstant ist.
Denn im stabilen Bereich ist es so, dass die Schwingungen abnehmend sind,
also das Modell letzten Endes zusammen Gleichgewichtspunkt hin konvergiert.
Und in diesem Bereich der rechts von dem Wert Nügleich 1 liegt also hier Regime 6,
da sind die Schwingungen explosiv und das hatten wir uns in der letzten Stunde angeguckt,
sowohl, also dass wir diese qualitativen Grafiken hier gemalt hatten.
Hier sehen Sie nochmal Regime 6 mit den explosiven Schwingungen,
als auch,
dass wir
uns das angeschaut hatten
Für Computersimulationen unter bestimmten Parameterwerten. Sie sehen also hier das,
was dem Regime der stabilen Lösungen schwingend entspricht.
Da sehen Sie, dass das nicht das ist,
was wir uns unter Konjunkturschwingungen vorstellen oder Konjunkturfluktuationen vorstellen,
weil die Amplitude der Schwingungen halt immer geringer wird.
Das entspricht nicht unseren Vorstellungen von Konjunktur und auch nicht der Definition von Konjunktur,
die wir am Anfang der Vorlesung besprochen haben.
Dann haben wir uns dieses Regime hier angeschaut. Das war jetzt
gerade der Wert von Ny gleich 1. Wir haben gesehen,
wenn Ny exakt gleich 1 ist, also wenn dieser Kapitän total koeffizient,
exakt gleich eins ist, dann ist es eigentlich egal,
welche marginale Konsumneigung wir unterstellen.
Ich habe jetzt hier gleich 0,8 unterstellt, aber wir kriegen für
alle Werte der marginalen Konsumneigung Schwingungen mit konstanter Applitude heraus.
Das sieht also hier sehr schön gleichmäßig aus und erfüllt unser Erfordernis,
dass die Applitude von konjunkturellen Fluktuationen im Zeitablauf nicht zurückgeht.
Es sieht, muss man sagen,
auf der anderen Seite eigentlich viel zugleichmäßig aus,
als dass man sagen würde,
dass das wie konjunkturelle Fluktuationen aussieht,
denn solche schönen Schwingungen kriegen wir natürlich in der realen
Wirtschaft nicht
Dennoch ist das unter dem Gesichtspunkt,
dass die Applitude eben nicht abnehmen darf, nicht zunehmen,
darf immer noch vielleicht der interessantere Bereich,
aber der Nachteil ist eben,
dass dieser Bereich sich im Modell nur als ein ganz kleiner und eigentlich völlig unrealistischer Spezialfall ergibt,
bereits die Tatsache,
dass wir einen Wert von Nü exakt gleich eins brauchen und jede kleinste Abweichung entweder nach oben oder nach unten von diesem Nü entweder zu stabilen Schwingungen,
sprich aussterbenden Schwingungen oder zu explosiven Schwingungen führen würde,
bereits diese Tatsache zeigt,
dass es im Grunde genommen keine sehr brauchbare Erklärung des Phänomens Konjunktur ist,
denn wer wollte uns denn garantieren,
dass in der Natur sozusagen in der realen Welt
der Parameter Nü exakt wirklich auf den Wert von 1,00 ist
Nun, wenn der Wert von Mühe ein bisschen größer ist,
hier habe ich ihn auf 1,2 gesetzt, dann sehen wir,
dass wir zu explosiven Schwingungen kommen. Also es schwingt immer noch,
aber selbst wenn wir ganz klein anfangen mit ganz kleinen,
fast unmerklichen Befingungen hier in den ersten sechs Perioden,
sehen wir,
dass das sehr schnell sehr groß wird und irgendwann wurde also hier meine Projektionsfläche nicht mehr ausreichen,
das explodiert uns sicherlich auch nichts,
was man irgendwie als konjunkturell bezeichnen könnte,
ist also ebenfalls unbrauchbar zur Erklärung von konjunkturellen Phänomenen
Nun, jetzt will ich das zusammenfassen und dabei das Modell dann auch gleichzeitig kritisieren,
also zusammenfassend, was wir aus der Analyse dieses Modells gelernt haben.
Den ersten Punkt habe ich gerade schon betont, wir erhalten konstante Schwingungen,
so wie wir sie konjunkturell eigentlich beobachten oder hoffen, glauben, zu beobachten.
Die erhalten wir eben nur für einen sehr speziellen Parameterwert,
nämlich den Wert nügleich 1 und dieser Wert hat nicht nur den Nachteil,
dass er eben speziell ist und insofern also,
wenn sie sozusagen, dass sich in der realen Welt,
dass der Parameter nü dort irgendwo zufällig gewählt wird,
von wem auch immer, hätte das Ereignis,
das wirklich nie gleich eins, der tatsächliche Wert ist,
hätte eine Wahrscheinlichkeit von null.
Also insofern ist das also eine Theorie, die auf einer Nullmenge basieren würde.
Nicht nur das ist Kritik, die Kritik daran,
dass wir eben diesem sehr speziellen Wert für Nü brauchen,
sondern die andere Kritik ist auch,
dass dieser Wert von Nü eben völlig unplausibel ist,
wenn wir das mit empirischen Daten abgleichen.
Denn wir hatten uns überlegt, dass Lü im Grunde genommen sehr viel größer als eins sein müsste.
Ich habe es mehrfach gesagt, ich wiederhole es jetzt nochmal,
mit Jahresdaten sollte der Wert für Nüse ungefähr im Bereich von 3 bis 4 liegen,
wenn wir eine höherfrequente Realisierung des Modells wählen,
wenn wir also mit Quartalsdaten oder mit Monatsdaten arbeiten würden,
dann wäre der Wert für Ny noch sehr viel größer.
Also auf alle Fälle scheint es so zu sein,
dass Ny bei üblichen Periodisierungen von einem Jahr oder geringer deutlich größer ist,
als der kritische Wert von Ny gleich ein,
den wir bräuchten und konstante Schwingungen zu erhalten.
Wenn wir sogar einen Wert von Ny größer als vier haben,
haben wir uns überlegt, dann weiß das Modell noch nicht einmal
mehr Schwingungen auf und dann wird von Ny gleich vier,
ist gerade nicht unplausibel, eben dann,
wenn wir mit höher frequenten Schwingungen arbeiten,
als mit Jahresdaten.
Also Quartale, Monate,
Halbjahreswerte oder was auch immer
Und so kommen wir schließlich zu der Frage,
was denn eigentlich die angemessene Periodisierung dieses Modells ist.
Und auch da stellen wir fest, dass das Modell eigentlich
nicht besonders gut zu sein scheint. Denn aus den Verhaltensgleichungen des Modells,
die wir haben, der Konsumfunktion und der Investitionsfunktion,
ergeben sich eigentlich ganz unterschiedliche Werte für die angemessene Periodisierung.
Wenn Sie hier noch einmal zurückgehen zu unserer Konsumfunktion,
dann sehen Sie, haben wir gesagt, der Konsum der Periode T,
der soll abhängen von dem Einkommen der Periode T minus eins.
Nun ist das so ein bisschen natürlich huristisch geurteilt, wenn ich sage,
plausibel ist da eigentlich allenfalls eine Verzögerung vielleicht um ein Quartal,
dass ihr Konsum im zweiten ein Quartal des Jahres 2009,
abhängig ist von dem, was sie im ersten Quartal des Jahres 2009 verdient haben.
Es ist im Grunde genommen schwer zu argumentieren,
dass man noch stärkere Verzögerungen in der Konsumfunktion hat,
dass also beispielsweise erst das Einkommen von vier Quartalen vorher oder
das Einkommen des Vorjahres maßgeblich ist für den Konsum dieses Jahres.
Solche starken beobachten solche stärken Verzögerungen und Einkommen beobachtet man eigentlich nicht.
Im Gegenteil ökonometrisch ist es eher so,
dass der beste Prediktor für heutigen Konsum, das heutige,
also das unverzögerte Einkommen ist.
Also allenfalls denke ich, kann man vielleicht rechtfertigen für diese Konsumfunktion,
dass eine Periode eben ein Quartal sein sollte
Wir haben uns gleichzeitig aber die Investitionsfunktionen angucken in diesen Modellen,
dann rekapitulieren Sie bitte nochmal, dass die Investitionsfunktion ja so spezifiziert war,
dass sie von Veränderungen der gesamtwirtschaftlichen Nachfrage abhängen sollte.
Und da ist es empirisch eher so, dass man sieht,
dass Investitionen, die man abhängig macht von Nachfrage, Veränderungen,
falls das überhaupt der richtige Bestimmungsfaktor für die Investitionen ist,
also spricht eigentlich nicht mit dem heutigen Stadt der Forschung,
das so zu sehen,
aber akzeptieren wir diese etwas ältere Sichtweise mal und stellen das nicht in Frage des Investitionen von Nachfrageänderungen, verzögerten Nachfrageänderungen abhängen sollen.
Wenn man das also akzeptiert, dann würde man empirisch finden,
dass die Anpassung der Investitionen an die Nachfrageänderungen eher relativ langsam ist zwischen einem und anderthalb Jahre brauchen die Investitionen,
um wirklich dann zu reagieren, auf Nachfrageänderungen, sodass in dieser Betrachtungsweise,
also ausgehend jetzt von den postulierten Investitionsverhalten man argumentieren würde,
dass eine Periode,
ein Zeitraum von einem Jahr oder vielleicht sogar anderthalb Jahren sein würde.
Und das ist nun gerade inkonsistent. Wir müssen uns schon auf
eine bestimmte Periodisierung einigen. Als wenn wir eine Periode als begreifen würden,
Monaten, dann rechtfertigt das natürlich einen viel kleineren Nühwert,
als wenn wir sagen, eine Periode ist ein Quartal.
Und beides zusammengeht eben nicht. Das ist inkompatibel. Und da hat man sich,
denke ich, als man dieses Modell entwickelte,
vielleicht auch nicht genügend Gedanken darüber gemacht, ob der Zeitbegriff,
den man zunächst mal so etwas harmlos verbirgt unter dem Begriff einer Periode,
ob der auch tatsächlich mit Leben gefüllt werden kann,
also mit einer realen Zeit gefüllt werden kann.
Denn das muss gemacht werden,
um die Parametisierung des Modells angemessen durchführen zu können,
weil, wie ich ihm ja erklärt habe,
nü, ein Parameter ist der eine Zeitdimension hat,
der also von der Periodisierung des Modells abhängig ist.
Herr Steffen
Ja, genau. Dann wäre das eine andere Differenzen gleich,
also es wäre eine Möglichkeiterweise,
zu Recht darauf hin, das wäre eine Möglichkeit,
jetzt diese Periodisierungen kompatibel zueinander zu machen und könnte jetzt sagen,
gut, wir nageln das eben fest und sagen,
eine Periode ist ein Quartal, dann kann man diese Konsumfunktion vielleicht rechtfertigen,
mit dieser Verzögerung immer eine Periode und da müsste man vernünftigerweise eben sagen,
dass die Investitionsfunktion irgendwie abstellt auf die Nachfrageänderung vor fünf Quartalen.
Das kann man machen,
dann bekommt man eine Differenz gleich in fünfter Ordnung heraus,
die gehört an ganz andere Lösung als die,
die wir hier entwickelt haben, die ist noch viel komplizierter,
als die halt noch viel mehr freie Parameter.
Also das sieht dann ganz anders aus,
das ist eine Möglichkeit, mit diesem Modell umzugehen,
macht die Modelllösung, aber wie gesagt,
also nicht einfacher zu handhaben.
Das Stück, das wäre eine mögliche Antwort auf die Kritik,
die ich hier vortrage
Man muss allerdings dann auch Folgendes noch sehen, wenn man sagen würde,
dass die Investitionsfunktion abhängt von der Nachfrageänderung vor fünf Quartalen,
dann fragt man sich natürlich, warum eigentlich vor fünf Quartalen?
Ist das wirklich plausibel zu sagen, dass die Investitionen heute davon abhängen,
wie die Nachfrageänderung vor fünf Quartalen ist und nur die Nachfrageänderung vor fünf Quartalen war?
Das heißt, man würde dann implizieren,
dass der Investor sich ausschließlich in der heutigen Periode konzentriert auf das,
was vor fünf Quartalen war und ignoriert die Nachfrageänderung vor vier Quartalen
und vor drei Quartalen und vor sechs Quartalen und vor sieben Quartalen.
Das ist auch nicht sonderlich plausibel. Ja,
im Grunde genommen müsste man dann sagen, naja,
also vielleicht muss man so eine Art gleitende Durchschnitt nehmen über die Nachfrage
Änderungen in unterschiedlichen Quartalen. Und man setzt vielleicht das meiste
Gewicht auf fünf Quartale, aber gibt ein bisschen Gewicht eben
auch für vier Quartale und für sechs Quartale und so weiter.
Das würde dann, je nachdem,
wie weit man diesen Durchschnitt zieht, die Ordnung der Differenzissen gleich,
um noch einmal erheblich erhöhen und die Lösung wiederum verkomplizieren.
Selbst wenn man das alles täte, kommt man nicht an der Tatsache vorbei,
die sich als ein ganz grundlegendes Problem für diese Art von Konjunkturtheorie erreicht,
dass man eine ganz spezielle Parameterkonfiguration braucht, um konstante Zyklen zu erhalten.
Also auch dann,
wenn ich jetzt versuche zu reparieren an diesem Modell und versuchen würde,
konsistente Begrifflichkeiten für die Periodisierung zu entwickeln und möglicherweise die Ordnung der zugrunde liegenden Differenzengleichung höher zu wählen,
um dieser Kritik bezüglich der Periodisierung Rechnung zu tragen.
Auch dann würde man immer noch bei dem Ergebnis bleiben,
dass es eine ganz spezielle Konfiguration für die Parameter dieses Modells geben müsste,
um konstante Zyklen zu erhalten.
Und diese ganz spezielle Konfiguration wäre wieder irgendwie so beschaffen,
dass der Parameter nü in einem bestimmten Verhältnis zu irgendwelchen Zahlenwerten stehen müsste.
Also dass wieder so eine Restriktion da stehen würde wie nü gleich irgendetwas.
Also nur ein spezieller Nühwert würde zu Konstantenzyklen oder eine bestimmte
Konfiguration von Mü und C, würde zu konstanten Zyklen führen.
Und auch da würde man wieder sagen, naja,
das ist letzten Endes wenig hilfreich. Im Grunde genommen brauchen wir kein Modell,
was nur dann funktioniert, wenn ein Parameter einen ganz bestimmten Wert annimmt.
Sondern wir brauchen ein Modell, was für einen bestimmten Parameterbereich funktioniert. Das heißt,
was wir hier sehen an diesem Modell, ist,
dass ein solches deterministisches Modell, also es ist jetzt ein Modell,
was eben keinerlei Zufallseinflüsse aufweist, sondern alles wirklich als determiniert betrachtet,
das sind solches deterministisches Modell, grundsätzlich Schwierigkeiten hat,
Zyklen zu erzeugen,
weil eben Zyklen,
die Konstanter-Appliktude nur dann entstehen,
wenn spezielle Kaparameter-Konfigurationen gegeben sind
Die naheliegende Überlegung, ich weiß nicht, ob es für sie so ganz naheliegend ist,
aber für, wenn man sich so ein bisschen beschäftigt hat mit Differenzengleichung,
was diese Modellbauer natürlich getan haben, die naheliegende Überlegung ist es deshalb,
jetzt zu versuchen, das Modell zu erweitern, in dem Sinne, dass man stochastische Störungen einbaut.
Dass man also sagt,
es gibt irgendwelche zufälligen Einflüsse und diese zufälligen Einflüsse,
die können dazu führen, dass Zyklen entstehen in einem Sinne,
der dem realen Geschehen von Konjunktur nähe, kommt insofern,
als ich nicht solche regelmäßigen Zyklen ergeben wie die,
die wir hier sehen, sondern es ergeben sich Zyklen,
die sehr viel unregelmäßiger gestaltet sind und insofern also tatsächlich in Daten rein weitaus eher entsprechen und gleichzeitig ergibt sich dann auch,
dass wir uns auf bestimmte Parameterbereiche konzentrieren können,
die nicht durch die Restriktion gekennzeichnet sind,
dass ein bestimmter Parameter einem ganz bestimmten Zahlenwert entsprechen muss.
Was ich damit meine, ist folgendes,
wenn wir uns von der Überlegung mal machen,
Wenn wir nochmal zurückgehen zu dieser Grafik hier,
dann würden wir sagen, naja, dieses Regime 5,
was sie dort sehen, das wäre also ein arger Zufall,
wenn das in der Realität tatsächlich getroffen werden würde,
weil das nur eine hauchdünne Gerade im ganzen Parameterbereich ist.
Aber was wäre denn zum Beispiel, wenn wir uns hier
in Regime 4 aufhielten? Wenn wir also einfach sagen könnten,
aus irgendeinem Grunde ist der Parameter nie kleiner als eins.
Gut, das ist ein bisschen unplausibel, ja,
aber nehmen wir mal an, wir können das Modell dahingehend irgendwie verändern,
dass der Parameter Lydien wird kleiner als eins hat.
Und C, ja, soll sowieso zwischen 0 und 1 liegen,
da können wir gut argumentieren, dass das der Fall ist,
dann wären wir also hier in diesem Bereich des Regimes 4,
sofern das C nicht zu zu groß wird.
Und dann könnte man sich doch überlegen, schön,
was hier passiert ist ja, wenn wir uns abseits des Gleichgewichts befinden,
dann gibt es irgendwie Schwingungen, die aussterben und hingehen zum Gleichgewicht.
Aber wenn es jetzt Schocks gibt, irgendwelche zufälligen Einflüsse,
die das Modell treffen, dann wird ein solcher Schock ja dazu führen,
dass die Anpassung an das Gleichgewicht gestört wird.
Dass man also sozusagen wieder weggetrieben wird von dem Gleichgewicht.
Und wenn man weggetrieben wird von dem Gleichgewicht,
dann fängt ein neuer Anpassungsprozess an, der wieder irgendwie schwingend hinführt zu dem Gleichgewicht.
Wenn sich das noch einmal anschauen in der Grafik,
die ich ihm gegeben habe, Diese hier, ja,
dann können Sie doch Folgendes sagen, was wir wissen,
diese Computersimulation war doch zum Beispiel Y.
Das 500 der Gleichgewichtswert gewesen ist. Nun stellen wir uns
mal vor, dass es irgendeinen Schock gibt.
Wir hatten in diesem Fall gesagt, dass der autonome Konsum sich erhöhte,
glaube ich, um 50 Einheiten oder sowas ähnliches.
Das führte also dazu, dass das Modell aus seinem Gleichgewicht
herausgeschmissen worden ist und dann fing es an zu schwingen und konvergierte so langsam wieder zurück zum Gleichgewichtswert.
Nun können Sie sich doch sagen, es kann sein,
dass es nicht nur einen einzelnen Schock gibt,
der irgendwann in einer Periode mal passiert und ab da ist das,
Modell völlig ungestört, sondern sie stellen sich vor, dass es viele Schocks gibt.
Nehmen wir zunächst mal nur an, dass es einen zweiten Schock gibt.
Also der erste Schock, der hat uns irgendwie hier hingeführt
und hat diesen Anpassungsprozess hier in Gang gesetzt.
Und nun stellen Sie sich mal vor,
wenn wir uns so langsam dem Gleichgewicht genähert haben, zum Beispiel,
wenn wir hier sind, gibt es einen zweiten Schock.
Nun, was würde dann passieren, wenn es einen zweiten Schock gibt?
Dann würden doch das Modell wieder irgendwo hingetrieben werden.
Beispielsweise hierhin oder vielleicht dahin, je nachdem,
ob es ein positiver oder negativer Schock ist.
Und von diesem Punkt her also wieder weiter von dem Gleichgewicht entfernt ist,
als man ihm im Grunde genommen schon nahe gekommen war,
würde erneut irgendwie einen Anpassungsprozess einsetzen
Wenn das also zwei Schocks wären, dann würde das dazu führen,
dass diese Amplitude nicht gleichmäßig kleiner werden würde,
sondern dass es irgendwann diesen Impuls gäbe, der dazu führen würde,
dass die Schwingung auch wieder größer werden.
Und dann ist es natürlich naheliegend zu sagen, wir könnten uns
ja vorstellen, dass es in jeder Periode einen Schock gibt.
Der Schock kann mal kleiner und mal größer sein,
aber es gibt irgendwie ein bestimmtes nicht kontrollierbares Ereignis,
irgendetwas, was im Modell einfach nicht vorgesehen ist,
ja, was wir nicht modelliert haben,
irgendein solches Ereignis oder viele solche Ereignisse oder die Summe solcher Ereignisse,
dass irgendwelche Schocks und die treffen das Modell in jeder Periode
Schwerer und manchmal weniger schwer. Manchmal hat man relativ grusame
Phasen und manchmal kommt plötzlich eine Finanzkrise oder etwas Ähnliches.
Und jeder einzelne Schock führt dazu,
dass die Entwicklung des Bruttoinlandsprodukts und des Konsums und der Investition gestört wird,
in dem Sinne, dass der eigentlich berechenbare Anpassungspfad an das Gleichgewichtsmodell verlassen wird,
wo man sich wieder etwas weiter weg befindet vom Modell.
Vor vorm Gleichgewicht. Und dann würde es doch dazu führen,
dass wir vermutlich die ganze Zeit irgendwelche Schwingungen beobachten würden,
und zwar relativ unregelmäßige Schwingungen.
Diesen Gedanken wollen wir jetzt nachgehen. Wir wollen uns jetzt also überlegen,
könnte es nicht sein, dass man dieses Regime hier,
vergesst den Namen über, aber ich glaube,
es war Regime 4,
Ja, Regime Römisch 4, dass man das thematisiert,
statt dieses Verschwindende, also nur mit Wahrscheinlichkeit null auftreten,
Regime 5 zu thematisieren.
Wir könnten eben dieses Modell möglicherweise sinnvoll konjunkturell interpretieren,
wenn wir das Modell mit Schocks ausstatten.
Und das wollen wir jetzt mal tun,
indem wir zum nächsten Vorlesungsabschnitt gehen,
der stochastischen Erweiterung des Multiplikator Akzerator-Modells
Also, gucken wir uns noch einmal an.
Das einfache Multiplikator-Akzelerator-Modell, was er bislang besprochen haben,
das ließ sich kondensieren zu einer einfachen Differenzengleichung, zweiter Ordnung.
Und zwar betone ich jetzt einer deterministischen linearen Differenzengleichung in dieser Form.
Das haben wir uns angeschaut, welche Konsequenzen das hat und haben festgestellt,
das ist nicht befriedigt. Jetzt wollen wir mal sagen,
wir betrachten irgendwie einen Schock, den nennen wir Epsilon.
Epsilon T. In jeder Periode gibt es einen Schock.
Mal kleiner, mal größer. Wir wollen sagen,
wir wissen nichts über diesen Schock, außer dass er passiert.
Wir wissen nicht, wir haben keine Erwartung darüber,
ob das ein positiver oder negativer Schock ist.
Das heißt, der Erwartungswert für dieses Epsilon T hier,
der sei einfach
gleich null
Apriori können wir nichts darüber sagen, ob der positiv oder negativ ist,
der realisiert sich, positiv oder negativ mit gleichen Wahrscheinlichkeiten.
Der Schock hat eine gewisse Varianz,
diese Varianz ist größer als null, das sagt nichts anderes,
als dass es wirklich eben Störungen sind, die auch auftreten.
Diese YT soll also jetzt, soll jetzt unabhängige,
stochastische Störungen sein, die in jeder Periode auftreten,
weil die unabhängig sind, können wir eben auch aus dem Wert,
den ein Schock in der Periode T hat, nicht schließen,
welchen Wert der Schock in der Periode T plus 1 haben wird.
Ja, es ist völliges weißes Rauschen,
ist also
völlig unabhängig
Wenn wir das so sagen, dann würden wir die Differenzengleichung,
die bislang deterministisch gewesen ist, erweitern zu einer stochastischen Differenzengleichung,
sowie sich in Gleichung zwei dargestellt ist.
Also derselbe systematische Teil, wie der, den sie dort
oben sehen, da ändern wir einfach nichts dran.
Nur sagen wir jetzt, dass das nicht gleich null ist,
sondern das ist einem, gleich einem Schock, dessen Erwartungswert null ist.
Ja, von dem wir zunächst einmal annehmen, dass er null ist.
Das heißt, alle Marktteilnehmer richten sozusagen ihr Verhalten darauf aus,
wie das erwartete Gleichgewicht im Markt ist.
Und dann kommt aber der Schock und man stellt fest,
dass die Pläne, die man gemacht hat,
doch nicht vollständig kompatibel sind,
dass ich vielleicht eben doch kein Gleichgewicht im Markt ergibt,
sondern dass es dort irgendwie einen Überhang gibt von Angebot oder von Nachfrage.
Und dieser Übergehangen hier, der brechtfertigt dann eben,
dass diese Epstilon Tee von null verschieden ist, positiv ist oder negativ ist.
Das führen wir im Einzelnen gar nicht aus,
sondern wir glauben mal einfach,
dass man eine solche Mikrostruktur aufbauen kann in diesem Modell und
dass dann die Differenzengleichung eben diese Gestalt bekommt mit einer stochastischen Störung an dieser Stelle.
Das ist dann eben eine lineare stochastische Differenzengleichung, zweiter Ordnung.
Und was wir zunächst einmal feststellen, ist,
dass die in ihren Erwartungen natürlich dem entspricht, was er zuvor schon analysiert haben.
Also wenn wir jetzt von der Gleichung zwei mit diesem stochastischen Term den Erwartungswert bilden,
ja, wir ziehen über die ganze Gleichung,
rechte Seite und linke Seite den Erwartungswert drüber,
dann stellen wir eben fest, dass da steht,
der Erwartungswert von YT minus einmal der Erwartungswert von YT minus 1, Minus
B mal der Erwartungswert von YT minus 2 ist gleich null. Das heißt,
alle Marktteilnehmer erwarten, dass in dieser Ökonomie Angebot gleich Nachfrage ist,
denn diese differenzengleichung, die ist ja letzten Endes dadurch motim modell geschlossen haben,
gesagt haben, gesagt haben, Y, ist gleich C plos, y, y, also produktionen, ist gleich, de, der prodrat, das ist gleich der Nachfrage. Und so produzieren,
die, die, die, die dustämin, de,
d, die, die ist ja letztens mot,
die los, d, d, dass er minnö,
der de, de, der, d, de,
mint, der marklot, mot, be, de,
de, vo nomis, d, d, d,
de, de, de, de, de,
de, de, de, der, d, der,
der, der, der, de, d de,
de, d, d, und d, mäh,
de, , , , , , , der,
d, der, , de, , , , ,
min, , und min, min, , ,
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de, de, de, de, de,
de, de , , , , , de , ,
de, de, de , , ,
In der letzten Stunde definiert haben. Nämlich,
dass die charakteristische Gleichung, die sich hier aus diesem systematischen Teil ergibt,
beziehungsweise aus diesem, dass diese charakteristische Gleichung Eigenwerte hat,
Wurzeln hat, die kleiner sind betragsmäßig als eins.
Wenn diese Differenzengleichung also stabil ist, dann ist der Erwartungswert von YT zeitkonstant.
Das heißt, der Erwartungswert von YT ist gleich dem Erwartungswert
von YT minus eins und gleich dem Erwartungswert von YT minus zwei
und so weiter.
Alle diese Erwartungswerte sind dann gleich. Das heißt,
ja gut, die sind alle gleich
Naja, und wenn das so ist, dann folgt daraus
sofort, dass der Erwartungswert von YT gleich null ist.
Denken Sie noch mal dran, YT war ja die Abweichung vom Gleichgewicht.
Das kleine YT war die Abweichung vom Gleichgewicht. Das heißt,
wir würden also dann erwarten, dass es keine Abweichung vom Gleichgewicht gibt.
Machen Sie sich vielleicht noch mal schnell klar, warum das so ist,
dass der Erwartungswert von YT dann gleich null ist. Nun,
Sie können sich das hier an dieser letzten gelb unterlegten,
gleich auf dieser Folie klarmachen,
wenn diese ganzen E-Therme hier alle dieselben sind,
dann können Sie ja praktisch diese E-Therme ausklammern in diesem Ausdruck.
Da würde da stehen also der Erwartungswert mal eins,
minus a,
minus b ist gleich null
Ja. Nun, also steht der Erwartungswert,
ich kann es Ihnen hier noch mal kurz hinschreiben.
Das ist bestimmt wieder die Quietschkreide. Erwartungswert von YYT,
mal 1-a-b, ist gleich null. Nun,
diese Gleichung ist nur dann erfüllbar,
wenn entweder das 1-a, minus B gleich null ist,
ja, oder wenn der Erwartungswert von YT gleich null ist,
einer dieser beiden Faktoren muss null sein.
Aber da wir gesagt haben, die Gleichung ist stabil,
wissen wir, dass das 1-a-b von null verschieden ist.
Genau genommen, es ist so,
dass A plus B
kleiner ist als
Das war eine Gleichung, oder eine Ungleichung, die wir
in der letzten Stunde bei dem Stabilitätsdreieck gesehen hatten. Ich hatte ja gesagt,
hier soll die Lösung stabil sein, wir wissen,
Stabilität liegt gemäß unseren Überlegungen zu dem Stabilitätsdreieck dann vor,
wenn drei Ungleichungen erfüllt sind,
eine von diesen drei Ungleichungen war die des A plus B,
kleiner ist als eins.
Also wissen wir, das Ding hier 1-a-b ist von null verschieden,
also muss der Erwartungswert von YT
gleich 0 sein
Okay, wenn wir so weit sind, dass wir wissen,
dass der Erwartungswert von YT gleich null ist, dann können wir uns mal die Varianz von YT angucken.
Wir sprechen ja jetzt über ein stochastisches Modell, das heißt,
wir können das Verhalten des Modells jetzt charakterisieren,
indem wir die Momente der Variablen YT betrachten und ein wesentliches Element ist natürlich das erste Moment,
also der Erwartungswert, der war ausgerechnet, der ist null,
das sagt uns jetzt noch nicht so sonderlich viel,
sagt uns allenfalls, dass eben erwartet wird,
dass die Gleichgewichtserweichung gleich null ist.
Hier kommt jetzt die Varianz und die Varianz ist ja dann,
wenn der Erwartungswert gleich null ist,
nichts anderes als der Erwartungswert von YT zum Quadrat
Nur diese Varianz, die bezeichnen wir einfach mit Signal-Quadrat zu,
wie sie das aus der Statistik kennen. Und dann gucken wir uns,
und das wird die Größe sein, die uns interessiert,
die Autokorrelationen, an die sich ergeben für das YT.
Erinnern Sie sich bitte in diesem Zusammenhang daran,
dass ich Ihnen im ersten Kapitel ganz am Ende,
als ich überstilisierte Fakten gesprochen habe, eine Tabelle projiziert habe,
die wir gleich nochmal sehen werden,
wo die Autokorrelationen von großen Makroökonomen,
von großen makroökonomischen Aggregaten angegeben waren.
Auf diese Tabelle werden wir gleich abstellen. Also es hat seinen Sinn gehabt,
dass ich darüber geredet habe, weil wir jetzt gleich das Verhalten des Modells,
was wir hier haben,
vergleichen wollen mit den Daten,
die ich
Ihnen gezeigt habe
Also, was ist eine Autokorrelation?
nun eine Autokorrelation ist nichts anderes als die. Outdoor-Co-Varianz,
also der Erwartungswert von YT, mal yt-j,
das ist die Auto-Co-Varianz,
weil ich ja das Produkt der beiden Erwartungswerte nicht mehr abzuziehen brauche,
den beide Erwartungswerte sind null.
Also das hier ist die Auto-Co-Varianz, geteilt durch die Variante selbst,
geteilt durch das Signal Quadrat selbst.
Das ist dann die Autokorrelation und zwar zum Lake J,
so wie ich es hier geschrieben habe,
wenn ich hier multipliziere YT und YT minus J,
dann ist das
die Autokorrelation zum Lake
Und jetzt machen wir folgenden Trick. Wir nehmen die Gleichung
2, das war unsere stochastische Differenzengleichung und multiplizieren die.
Mit zwei unterschiedlichen Größen. Nämlich einmal mit Y-T-Minus 1 und einmal
mit Y-T-Minus 2. Ja? Also, gucken Sie es sich
nochmal an? Wir nehmen hier die Gleichung. Zwei,
die Sie dort sehen. Diese Gleichung und multiplizieren die
ganze Gleichung mit Y-T-Minus 1. Was kriegen wir dann raus?
Nun, da wird hier also Y zu ein Team oder Y
zu ein T minus 1 draus.
Da wird A mal Y-T minus 1 zum Quadrat draus.
Da wird B mal, Y zu ein T minus 2
mal Y-T minus 1 draus.
Und da wird Y-T Thema Y-T minus 1 draus.
Und genauso machen wir das, indem wir einmal mit Y-T
minus 2 multiplizieren
Wenn wir das tun, dann kriegen wir hier zwei solche Gleichungen heraus. Sie sehen die,
die ich gerade ihm sozusagen schon vorgerechnet hatte,
ist die Y, Thema Y, Team minus 1,
minus A, mal Y, Team minus 1,
ein Quadrat, minus B, mal Y,
Team minus 1, ob es ein Team ist, 2,
ist gleich absolut ein Team minus 1. Und hier steht dasselbe Ding nochmal,
wo ich nur mit Y und T minus 2 multipliziert habe.
Ja, dann bilden wir von dieser Gleichung den Erwartungswerte.
Also wir ziehen über diese ganze Gleichung den Erwartungswert rüber und
dasselbe Ding machen wir hier.
Naja, wenn wir hier den Erwartungswert nehmen,
dann steht hier die Auto-Co-Varianz, Erwartungswert von Y,
Y und T
minus 1 ist die Auto-Co-Varianz
Hier steht eine Varianz, ja, Erwartungswert von YT
minus 1 zu Quadrat, ist die Varianz von YT.
Und da steht wieder in der Autoco-Varianz. Der Erwartungswert von
Äpstel und T mal YT minus 1 ist null.
Warum? Das YT ist unabhängiges Weißes Rauschen,
ist nicht korreliert mit irgendwelchen früheren Werten.
Also Äpstel und T ist unabhängig von YT minus 1.
Sie wissen aus der Statistik,
wenn sie den Erwartungswert eines Produkts nehmen und die beiden Faktoren
unabhängig voneinander nehmen, sind,
dann ist der Erwartungswert des Produkts
gleich dem Produkt der Erwartungswerte
Erwartungswert des Produkts, also Erwartungswert von diesem Produkt hier,
ist gleich dem Produkt der einzelnen Erwartungswerte.
Also Erwartungswert von Epsy und Team, mal Erwartungswert von YT minus 1.
Aber der Erwartungswert von YT ist null. Also ist dann
hier auf der rechten Seite der Erwartungswert einfach null. Ja,
und wenn Sie hier diese ganzen Auto-Co-Varianzen haben und jetzt die gleiche
noch durch Sigma Quadrat teilen, dann kommen Sie darauf,
dass hier die Autokorrelationen stehen werden.
Aus der ersten Gleichung erhalten die also erste Autokorrelation minus A,
minus B mal die erste Autokorrelation ist gleich null.
Und aus der zweiten Gleichung erhalten die zweite Autokorrelation minus A
mal die erste Autokorrelation minus B ist gleich null
Jetzt habe ich jetzt zwei Gleichungen in zwei Unbekannten,
nämlich die beiden Autokorrelationen Ruh 1 und Ruh 2.
Für gegebene Parameterwerte A und B. Wir haben ja zwei lineare Gleichungen haben in zwei Unbekannten,
dann können wir natürlich lösen nach diesen beiden Unbekannten.
Und das tun wir jetzt,
wir lösen also diese beiden Gleichungen auf nach diesen Autokorrelationskoeffizienten,
koeffizient sollte ich gar nicht sagen,
einfach nach den Autokorrelationen,
dann kriegen wir raus,
Ruh 1 ist gleich A durch 1 minus B und Ruh
2 ist A Quadrat durch 1 minus B plus B. Nun,
was sehen wir daraus
Zunächst mal habe ich hier, sie haben es in
ihren Folien noch anders, die Reihenfolge verändert.
Diese Übung gehört eigentlich dahin und erst dann kommt diese Annahme.
Ja, das notieren sie sich vielleicht, damit sie da nicht verwirrt werden.
Sie brauchen diese Annahme nicht, um diese Übung zu machen.
Was aber zunächst sieht, ist folgendes. Wenn das A
hier positiv ist, dann ist die Autokorrelation Ruhe 1 ebenfalls positiv.
Dann ist also die Zeitreihe YT, die ja unser Bruttoinlandsprodukt charakterisiert,
die weiß dann eine positive Autokorrelation auf.
Also die erste Autokorrelation ist positiv. Und das sollte bitte
zeigen, dass das so ist. Das ist ganz einfach.
Ja, diese Übung ist sehr,
sehr leicht
Diese erste Autokorrelation ist positiv, wenn das A positiv ist.
Und bei der zweiten Autokorrelation ist es ein bisschen schwieriger,
das werden wir uns gleich noch genauer angucken,
was mit der zweiten Autokorrelation ist.
Das war eine positive Autokorrelation, erste Ordnung haben,
ist aber in gewisser Hinsicht schon mal ganz schön,
denn ich hatte ihnen die Tabelle gezeigt bei den stilisierten Fakten und hatte ihnen gezeigt,
alle Marco-Variablen haben eine positive Autokorrelation erster Ordnung.
Das heißt, das ist das stilisierte Faktum,
was wir haben wollen und vielleicht sollte ich ihnen das
auch gerade nochmal zeigen oder in Erinnerung rufen,
dass wir
das gehabt haben
Wenn wir hier zurückgehen zu dem,
was ich Ihnen am Ende der stilisierten Fakten gezeigt habe,
dann hatten wir da diese Tabelle.
Nun, untersehen Sie, hier steht die Autokorrelation erster Ordnung drin.
Fürs Bruttoinlandsprodukt war die 0,825, also positiv. Und für den privaten Konsum,
Staatskonsum, Investitionen, Exporte, Importe, Real- und Arbeitsvolumen,
Erwerbstätige, Arbeitsstunden, war die Autokorrelation erster Ordnung immer positiv.
Okay, das nur nochmal in Erinnerung gerufen,
um dann zurückzugehen zu dem,
was wir uns gerade hier überlegt haben
Wenn das A, positiv ist und sie wissen, das A,
das hängt irgendwie von unseren Parametern C und Mühe ab,
wenn das A positiv ist, dann haben wir also eine positive Autokorrelation,
erste Ordnung, so wie es die stilisierten Fakten verlangen.
Jetzt wollen wir das noch ein bisschen einschränken und wollen mal annehmen,
dass die Lösung der Differenzengleichung eins, also die Lösung des Deterministischen Multiplikator,
Accelerator-Modells, die wir in der letzten Stunde analysiert haben,
dass diese Lösung stabile Schwingungen hat.
Das heißt, wir wollen mal annehmen,
dass das A-Quadrat plus 4b, dieser Term,
der unter der Wurzel steht,
dass das negativ ist,
sodass wir da komplexe Lösungen herausbekommen und dass der Parameter B
absolut gesehen kleiner ist
als eins
Denn das wird es gleich helfen. Aussagen auch über weitere
Autokoalitionen zu machen. Also wir nehmen jetzt schlicht an,
dass die Parameter C und Mühe unseres Modells
so korrespondieren mit den Parametern A und B der Differenzengleichung,
dass eben diese Ungleichung hier erfüllt ist.
Das heißt, wir haben Schwingungen, ja, und die Schwingungen sind stabil.
Das heißt, wir sind in dem Regime römisch 4,
was ich ihnen gerade nochmal gezeigt hätte. Wenn dem so ist,
dann können wir doch sagen, den Schritt,
den wir gerade gemacht haben,
dass wir die stochastische Differenzengleichung genommen haben und sie einfach durchmultipliziert haben,
einmal mit YT minus 1 und einmal mit YT minus 2.
Diesen Schritt können wir natürlich
auch in ganz allgemeiner Form machen
Wir können also zum Beispiel einfach durchmultipliziplizieren mit YT-J.
Für irgendeinen Lake-J. J, gleich 1 und J,
gleich 2 haben wir schon betrachtet, jetzt machen wir es allgemein.
Dann kriegen wir diese Gleichung hier. Nun, da sehen Sie wieder,
da stehen Auto-Co-Varianzen drin und hier steht ein Term,
dessen Erwartungswert null ist, weil das YT unabhängig von dem YT-minus J ist.
Also nehmen wir wieder von dieser Gleichung hier die Erwartungswerte und teilen durch die Varianz des Prozesses,
dann kriegen wir raus, die Autokorrelation Jotta-Ordnung,
minus Amal, die Autokorrelation j-erster Ordnung,
minus B mal die Autokorrelation J minus zweiter Ordnung,
ist gleich null
Und das Faszinierende daran ist, dass hier jetzt etwas steht,
was wieder eine deterministische Differenzengleichung ist.
Nur jetzt eine Differenzengleichung in Autokorrelationen. Das Ding,
was hier steht, ist genau dieselbe Differenzengleichung,
die wir im Multiplikator-Accelerator-Modell deterministischer Prägung analysiert hatten. Nur,
dass hier jetzt nicht mehr steht, Y,
T und T minus 1 und T minus 2,
sondern jetzt steht der Ro-J und Ro-J minus 1 und Ro-J
minus 2. Aber die Koeffizienten sind exakt dieselben,
dieses Minus-A und das Minus-B.
Das heißt, wir kennen die Lösung dieser Differenzengleichung.
Bereits ist nämlich dieselbe Art von Lösung,
wie die, die wir in dem Multiplikator-Accelerator-Modell
deterministischer Prägung ermittelt haben
Naja, und dann ist es ja ganz klar,
wir brauchen jetzt also nicht nochmal in unserer Theorie mal einzusteigen,
sondern wir brauchen Lust zurückzublättern zu den ganzen,
zu den ganzen verschiedenen Regimeen,
die wir in der letzten Stunde analysiert haben.
Wir wissen also, wenn wir dieser Annahme gemacht haben über die Parameter,
die ich ihn gerade projiziert hatte, diese Annahme hier,
dann sind wir in Regime 4.
Und das ist also das hier, in Regime 4,
da weiß die Variable, die durch diese Differenzengleichung gekennzeichnet wird,
stabile Schwingungen rund um null auf.
Das bedeutet also, unsere Autokorrelationen in diesem Fall,
die schwingen um die Null herum.
Das heißt, wir kriegen jetzt für die Autokorrelation genau das,
was ich ihnen eben gezeigt hatte
Für das Y. Unsere Autokorrelationen,
die verlaufen in diesem Modell so, das heißt,
die beginnen bei irgendwelchen großen Werten beispielsweise,
sinken dann, kreuzen die Nulllinie, ja,
sie müssen sich jetzt hier diesen Wert 500 oder hier unten,
diesen Wert 100 als Nulllinie vorstellen, kreuzen die Nullwerte,
gehen dann runter auf ein negatives Niveau,
gehen dann wieder hoch auf ein positives Niveau und so fort.
Nun, warum ist das interessant? Lassen Sie uns hierhin
wieder zurückgehen? Ja. Da habe ich es Ihnen nochmal charakterisiert,
jetzt für die Rojott selbst, die Autokorrelation der Zeitreihen,
die durch dieses Modell wiedergegeben werden,
sollten also solche langsam abklingenden Schwingungen aufweisen,
ja,
zunächst positiv sein und dann negativ sein
Positive Autokorrelationen, habe ich schon mal gesagt, bedeutet,
wenn die Variable heutzutage einen positiven Wert aufweist und positiv autokorreliert ist mit,
sagen wir mal, den Variablen mit Lake 1, 2 und 3,
dann bedeutet das, dass wir eine höhere Wahrscheinlichkeit dafür haben,
dass die folgenden Variablen ebenfalls positiv sind, als dafür, dass sie negativ sind.
Das heißt, das bedeutet,
dass es so etwas Ähnliches gibt wie einen berechenbaren Zyklus,
einen Zyklus, den man auch prognostizieren kann, wo,
wenn wir uns heute in einem Aufschwung befinden,
dann die Wahrscheinlichkeit größer ist,
dass wir uns auch morgen noch in einem Aufschwung befinden und übermorgen noch in einem Ausschwung befinden,
als dass wir uns in die Rezessionen befinden, ja,
in der Absprungphase befinden.
Eine negative Autokorrelation zu längeren Lags bedeutet aber gerade das,
dass es ab und zu dann eben auch diese Wechsel gibt zwischen Aufschwung und Abschwungphasen. Wenn wir also,
sagen wir mal, nehmen wir mal an,
das sind hier Quartale, ja, und wir sagen,
also für die ersten drei Quartale haben wir hier positive Autokorrelationen,
das heißt, wenn wir heute einen positiven Wert beobachten,
ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass wir in den nächsten drei Quartalen ebenfalls noch im positiven Bereich sind,
im Aufschwungbereich sind,
diese Wahrscheinlichkeit ist größer als die,
dass wir in diesen drei Quartalen plötzlich in der Rezession verschwinden
Aber es könnte zum Beispiel sein, dass wir bei längeren Lags,
nehmen wir mal jetzt irgendwie 28 Quartale, sieben Jahre,
ja, die klassischen biblischen sieben Jahre für den Konjunkturzyklus,
da wird welche negative Autokorrelation feststellen. Diese negative Autokorrelation würde also sagen,
wenn wir heute einen positiven Wert für das Y beobachten,
sprich uns in der Aufschwungphase befinden,
in der Boomphase befinden, dann bedeutet die negative Autokorrelation,
dass die Wahrscheinlichkeit dafür in sieben Jahren,
in einer Abschwungphase zu sein, unterhalb der Nulllinie zu sein,
größer ist,
als die Wahrscheinlichkeit dafür immer noch im Aufschwung
zu sein
Ja. Die negative Autokorrelation für längere Lags bedeutet eben gerade,
dass es diesen Wechsel gibt zwischen Aufschwung und Abschwung fassen.
Und das Modell hier sagt uns jetzt genau das. Das sagt uns,
es gibt in einer kurzen Frist positive Autokorrelationen und dann über diese
kurze Frist hinaus ist dann mit der Begrifflichkeit immer ein bisschen schwierig,
ob man das langfristig oder mittelfristig nennt oder was auch immer,
gibt es negative Werte für die Autokorrelation.
Das heißt, dann geht man irgendwo oder muss man irgendwann erwarten,
dass der Aufschwung zu Ende ist und der Abschwung beginnt oder umgekehrt,
dass der Abschwung zu Ende ist und der Aufschwung wiederum begeht.
Und noch länger zurück würde man wieder, allerdings schwächer positive Autokorrelationen finden.
Das heißt, irgendwann geht man dann auch wieder in eine
andere Phase. In die entgegengesetzte Phase ist Conny-Zyklus über
Beachten Sie dabei, bitte, dass in diesem stohastischen Modell,
in dieser stohastischen Erweiterung des Multiplikator-Akzelerator-Modells, die Autokorrelationen zwar gegen null gehen,
aber keineswegs die Y-Reihe gegen null geht.
Dass die Autokorrelationen gegen null gehen, sagt vielmehr nur,
dass dieser Wechsel zwischen positiven Abweichungen vom Mittelwert und negativen Abweichungen vom Mittelwert als Zwischenaufschwung und Abschwungphasen,
dass dieser Wechsel immer mehr verschmiert und dass man auf die lange Frist hinweg keine wirkliche Prognose mehr machen kann,
ob man in 50 Jahre nun in einer Aufschwung oder in einer Abschwungphase sein wird.
Da ist die Autokorrelation faktisch dann null. Da gibt es also
keine größere oder kleinere Wahrscheinlichkeit mehr in einer bestimmten Phase des Konjunkturzyklus zu sein.
Einfach deshalb, weil die Konjunkturzyklen eben von unregelmäßiger Dauer sein werden. Ja,
das sind eben nicht die Berechenbaren,
sieben Mageren und sieben fetten Jahre, die wir dort haben,
also keine feste Spanne des Konjunkturzyklus,
sondern so wie wie Burns und Mitchell, das sagen,
diese Aufschwung- und Abschwungfahrer sind zwar wiederkehrend,
aber sie sind nicht periodisch, nicht im strengen Sinne periodisch.
Deshalb kann man über lange Fristen hinweg
nicht sagen und die Autokorrelation gegen null
Aber dass die Autokorrelation gegen null gehen, sagt eben nicht,
dass das Y selbst gegen null geht.
Vielmehr wird es für das Y so sein,
wie ich das vorhin versucht habe zu erklären.
Das wird durch die storastischen Störungen,
durch dieses YT immer wieder weggetrieben von seinem Gleichgewichtswert.
Ja, das wird also nie konvergieren hin zum Gleichgewichtswert,
weil immer wieder neue Schocks auftreten werden, die bewirken,
das ist eine Abweichung vom Gleichgewicht gibt.
Das heißt, diese Y-Reihe ist in einem storahastischen Sinne zyklisch,
aber sie ist eben nicht periodisch und das entspricht der Burns Mitchell-Definition,
eigentlich jeder vernünftigen Vorstellung eines Konjunkturzyklus sieht man mal von dem
zweiten Buch Mose ab
Das, was ich Ihnen hier charakterisiere, ist der sogenannte Frisch-Slutzki-Ansatz.
Und der Frisch-Slutzki-Ansatz versteht man den Ansatz,
dass man sagt, wir betrachten nicht dann deterministisches Modell,
was aus sich heraus Zyklen erzeugen kann.
Das haben wir im Multiplikator-Akzelerator-Modell versucht. Da haben wir versucht,
sozusagen aus dem systematischen Teil des Modells heraus Zyklen zu erzeugen,
die irgendwie eine nicht abnehmende und nicht zunehmende Amplitude haben sollen.
Sowas bezeichnet man auch als endogene Konjunkturzyklen,
wo das Modell aus sich selbst heraus zu Schwingungen führt.
Das ist, wie ich Ihnen erläutert habe,
sehr schwierig, weil dafür eigentlich immer sehr spezielle Parameterkonfigurationen
erforderlich sind
Die Frisch-Slutski-Hypothese oder Frisch-Lutz-Suski-Ansatz ist ein anderer. Da sagt man,
man nimmt ein Modell, was eigentlich die Eigenschaft hat,
dass es hin zum Gleichgewicht konvergiert.
Und wenn es hin zum Gleichgewicht konvergiert, dann kann es offenbar keine Konjunkturzyklen aufweisen.
Ja, also jedenfalls nicht Zyklen mit anhaltender Applitude.
Aber man stört dieses Modell ständig durch irgendwelche exogenen Schocks.
Das ist heute das Beherrschende. Paradigma in der Konnotierturtheorie geworden.
Also fast alle Konjunkturmodelle, die sie heute in der Literatur finden,
weisen diesen Frisch-Slutzki-Ansatz auf. Ein ökonomisches Modell wird wird spezifiziert,
was ein wohl definiertes Gleichgewicht hat, was Stabilität aufweist in dem Sinne,
dass es normalerweise, wenn man es nicht stören würde,
hin konvergieren würde zum Gleichgewicht und dann für immer und ewig auf diesem Gleichgewichtspunkt verharren würde.
Aber dieses Modell wird durch exogene Schocks gestört. Ja,
und diese exogenen Schocks führen eben dazu,
dass das Modell immer wieder weggetrieben wird von seinem Gleichgewichtspunkt.
Und dann entstehen Fluktuationen rund um den Gleichgewichtspunkt. Ich zeige ihm jetzt mal,
wie sich das hier in diesem stochastischen Modell,
in dieser statistischen Version des Multiplikator-Akzelerator-Modells darstellen würde,
wenn wir das Regime 4,
was wir uns im deterministischen Modell angeschaut haben,
ständig durch solche Schocks YT stören,
die keinerlei Struktur aufweisen,
die also einen Erwartungswert von Null haben und
völlig unkorreliert sind
Achso, nein, ja, richtig. Also zunächst mal nochmal
die Grafik so, die ich ihnen schon gezeigt hatte.
So sieht das im deterministischen Modell aus. Ja, diese
abklingenden Zyklen. Und jetzt nehme ich dasselbe Regime wie das,
was mir dieses Bild hier erzeugt und störe das jetzt durch stochestische Schocks.
Und dann sieht die Entwicklung meiner drei Aggregate Bruttoinlandsproduktinvestitionen und Konsum
so aus wie auf dieser Grafik hier. Das heißt,
die sehen ganz klar, obwohl es dieselbe Parameterkonfiguration ist,
die, die also normalerweise zur Konvergenz geführt hätte,
ist hier von Konvergenz keine Rede.
Vielmehr sehen wir ständig Fluktuationen um den Gleichgewichtswert herum
Und diese Fluktuationen sind irgendwo unregelmäßig. So ähnlich wie Fluktuationen unregelmäßig sind,
die wir, sagen wir mal, einen Hotdrick Pressworttrend herum beobachten,
wenn wir reale Daten nehmen und versuchen, der Zyklus zu isolieren.
Echt? Also in dieser Simulation hier sehen die ganz klar etwas,
was man als Zyklus interpretieren könnte,
aber die Zyklenlänge ist nicht klassisch periodisch, ist also nicht so regelmäßig,
wie wir das in dem Regime 5 des Multiplikator-Akzelerator-Modells gesehen hatten,
das, was die nicht aussterbenden Zyklen hatte, die Konstanten-Ablituden hatte.
Und der Ausschlag, der Amplitude, also die schon die
Länge der Schwingungen ist unterschiedlich und die Höhe der Schwingung,
die Applitude ist ebenfalls unterschiedlich von Zyklus zu Zyklus.
Das heißt, mit dieser Art von stohastischer Erweiterung
kommen wir unserer Vorstellung von Konjunktur schon deutlich näher.
Nun haben wir nur ein Problem mit dem Modell,
denn es ändert nichts an der Tatsache,
diese ganze Analyse, die wir jetzt gemacht haben,
ändert nichts an der Tatsache,
dass dieses Regime 4 leider unplausibel ist
Untertitel der Amara.org
Untertitel der Amara.org Untertitel der Amara.org Untertitel der Amara.org Untertitel der
Amara.org Untertitel der Amara.org Untertitel der Amara.org Untertitel der Amara.org Untertitel
der Amara.org Untertitel der Amara.org Untertitel der Amara.org Tschüss
Untertitel der Amara.org
Die Folie hier noch ein bisschen verändert,
als sich die Vorlesung vorbereitet. Ich habe festgestellt,
auf der Folie, die sie vor sich liegen haben,
steht da,
dass die früher kensianische Theorie überwiegend statisch ist und dann habe
ich sowohl das Multiplikator-Akzelerator-Modell als auch das Lagerhaltung
Also bitte einfach, dass, bram, nicht,
dass sich die Kopf drüber zerbrechen, was das Lagerhaltungsmodell ist,
das ist rausgeflogen aus der Vorlesung.
Diese statische Theorie ist insofern etwas erstaunlich, als wenn man eine Theorie statisch macht,
man natürlich keinerlei Aussagen machen kann über Zyklen. Ja,
also der Begriff des Zyklus ist per se einfach ein dynamischer Begriff
und insofern können wir also keinerlei Aussage über Zyklen machen,
insbesondere können wir ihre Länge und Persistenz und Applitude
und so etwas Ähnliches gar nicht bemessen,
weil das Staatsmodell das nicht hergibt
Ich werde mich beschränken auf lineare Modelle. Und zwar insbesondere auf Log lineare Modelle,
weil die Analyse nicht lineare Modelle außerordentlich schwierig und kompliziert wird.
Und meines Erachtens auch der Erklärungsgehalt nicht sonderlich groß ist.
Log lineare Modelle wiederum sind in gewisser Hinsicht natürlich Modelle,
die eine gewisse Nicht-Linearität in den Ursprungsdaten berücksichtigen.
Insofern, als wir die Daten zunächst einmal von einer multiplikativen Form
auf eine additive Form transformieren, indem wir sie logaritmieren.
Also sie können sozusagen sagen, in bestimmter Hinsicht berücksichtigen wir auch nicht Linearitäten,
weil wir nämlich zunächst mal die Logarithmen nehmen und der Logarithmus ist natürlich ein nicht lineare Transformation, einfach der Variable.
Aber das spielt keine große Rolle. Das Modell,
was sich dann ergibt und was ausschließlich dann fast ausschließlich in den Logarithmen,
der entsprechenden Variablen, geschrieben ist, ist als solches dann ein völlig lineares Modell.
Nun wissen Sie,
dass Sie wahrscheinlich aus anderen Vorlesungen das logarithmische Modelle in der Wirtschaftswissenschaft
sehr beliebt sind und oft kriegt man so die Frage,
warum eigentlich,
weil Studenten das oft nicht so gerne haben in Logarithmen zu rechnen und Sie glauben,
dass der Logarithmus per se schon mal was Kompliziertes ist.
Deshalb will ich Ihnen zunächst mal hier sagen, Welche Gründe es gibt,
Modelle in Logerithmen auszudrücken und warum es eigentlich sehr schön und
sehr elegant und sehr hilfreich sein kann, Modelle logerithmisch auszudrücken.
Nun, das erste ist, das erste Argument,
was ich hier bringe, ist noch nicht wirklich ein Argument,
was ich auf die Logerithmen beziehe,
sondern es bezieht sich auf die lineare Eigenschaft, die ich hier angeben möchte.
Ich habe ja gesagt, viele wollen die Modelle Loglinear ausdrücken.
Also, wenn wir uns auf lineare Modelle beschränken,
linear in den Logerithmen, da hat man sehr einfache Lösungen.
Gleichungssysteme, die linear sind, sind immer irgendwo lösbar,
also unter bestimmten Umständen sind sie löst, wenn da diese Lösbarkeit gegeben ist,
dann ist die Lösung eben der einfach zu ermitteln.
Das ist per se einfach schon mal ganz schön,
dass man das machen kann. Sie haben gesehen,
im Rahmen von Differenzengleichung können selbst diese lineare Modelle schon Lösungen geben,
die zwar immer noch in gewisser Hinsicht einfach sind,
aber wenn man es nicht gewohnt ist,
doch auf den ersten Blick relativ komplex wirken.
Der zweite Punkt, der schön ist an wirklich den Lugarithmen,
ist der, dass in einem locklinearen Modell die Koeffizienten,
die wir dort haben, Elastizitäten sind.
Das heißt, die Koeffizienten haben keine Dimension. Normalerweise müssen sie
ja Variablen in bestimmten Einheiten definieren und aus den Einheiten,
in denen die Variablen definiert sind, also sagen wir mal,
bestimmter Wert pro Periode, nicht wahr?
Können sie dann ableiten, welche Dimensionen die Koeffizienten haben?
Und darüber habe ich lang und breit geredet,
als ich über den Parameter nie im Multiplikator Accelerator-Modell sprach.
Dieser Parameter hatte eben eine Dimension,
der wurde nämlich in Zeiteinheiten gemessen und das hatte uns Schwierigkeiten gemacht,
weil wir nicht wussten, dass die angemessene Zeiteinheit war.
Man macht sich das Leben sehr viel einfacher, wenn man
ein Modell hat, in dem die Koeffizienten dimensionslos sind.
Ja, dann braucht man sich da keine Gedanken mehr
drüber zu machen, was die richtige Dimension ist.
Und Illestizitäten sind nur gerade dimensionslose Größe.
In einem loglinearen Modell ist es eben so,
dass die Koeffizienten des lokallinearen Modells Illestizitäten sind und das
will ich ihnen hier gerade zeigen
Nehmen Sie ja mal eine einfache, logglineare Gleichung.
Glogarithmus Y ist Alpha, plus Better mal der Logarithmus X.
Über das Alpha hier rede ich überhaupt nicht lange.
Ja, das habe ich nur der Vollständigkeit halber hingeschrieben.
Konstanten sind normalerweise uninteressant. Was interessiert,
sind immer die Koeffizienten vor den anderen Variablen.
Also in diesem Fall das Wetter. Nun,
wenn das so ist, dann ist das Better eine Elastizität.
Ja, das ist die Illestizität von Y bezüglich X.
Und da sehen Sie hier an dieser Gleichung sehr einfach.
Denn wenn Sie jetzt ableiten, den Logarithmus nach D-Logarithmus,
also D-Logarithmus Y nach D-Logarithmus X,
dann ist das hier
gerade dieses Better
Also Better hätte ich ihn noch davor schreiben können,
ist gleich die Ableitung von Logarithmus Y nach Logarithmus X.
Was ist das? Nun ja,
wenn sie Logarithmus Y differenzieren wollen nach Logarithmus Übs,
dann können sie diese Ableitung auffächern, indem sie sagen,
das ist die Ableitung von Logarithmus Y nach Y,
mal Ableitung von Y nach X,
mal Ableitung von X nach Logarithmus X.
Und dann sehen sie kotzen sich diese DYs und diese DXs
hier weg und wir sind wieder bei dem Ausgangswert.
Ableitung von Logarithmus Y nach Y ist aber eins durch Y.
Mal die Y, die X, das bleibt dann stehen.
Und hier steht eins durch D-Logarithmus X nach DX,
also einfach der Kehrwert von diesem Ding
Nur die Ableitung von Lugarithmus X nach DX ist natürlich gerade gleich eins durch X.
Eins durch X. Und wenn sie eins durch eins durch X rechnen,
dann ist das nichts anderes als Mal X. Das heißt,
sie kriegen raus, das ist DY nach DX, mal X durch Y.
Und das ist gerade die Formel für eine Elastizität.
Also das ist eine grundsätzliche Eigenengschaft,
die sich bitte einprägen in einem locklinearen Modell,
ist der koeffizient vor einer Variablen, immer gerade gleich die Elastizität,
der abhängigen Variablen bezüglich dieser Variablen, vor der der koeffizient steht.
So schöne, angenehme Eigenschaft derartiger Modelle,
insbesondere weil eben die Elastizitäten dimensionslos sind
Zweite angenehme Eigenschaft ist die, dass die Veränderungen der Variablen apoximativ,
muss man sagen, Wachstumsraten sind, wenn wir in Logarithmen rechnen.
Wenn wir uns also die Veränderung einer Variablen Logarithmus XT angucken,
hier geschrieben als Delta-Logarithmus XT,
dann ist das also nichts anderes als der Logarithmus,
Extreminus, Logarithmus, XT minus eins.
Nur die Differenz zweier Logarithmen ist dasselbe wie der Logarithmus
des Quotienten, also Logarithmus XT durch XT minus eins.
Das bedeutet, dass es nichts anderes als der Logarithmus von
1 plus die Differenz zwischen XT und XT minus 1
bezogen auf das vorige Niveau von XT minus
Was ich gemacht habe von, in dieser Gleichung,
hier beim Übergang von dem Ausdruck zu dem,
ist nichts anderes, als dass ich gesagt habe,
naja, ich erweitere mit eins.
Denn hier steht ja minus xt minus eins geteilt durch xt
minus eins, das ist einfach minus eins.
Und da steht plus eins, das hebt sie also gerade wieder weg.
Es bleibt also einfach xt durch xt minus eins da stehen.
Das ist nur eine Erweiterung. Nun,
und dann gibt es eben eine Approximation,
die sie sicherlich in Mathematik auch gelernt haben und ich will sie hier nochmal in Erinnerung rufen,
wenn sie Logarithmus eins plus etwas Kleines haben,
dann ist das ungefähr das Gleiche im Kleinen
Also Logarithmus von eins plus einer Zahl ist ungefähr gleich gerade
diese kleine Zahl. Logarithmus von eins plus Äpzilon ist ungefähr
gleich Äpzilon, wäre das Y ein kleines.
Woher wissen wir, dass dieser Bruch hier klein ist?
Nun, da steckt ja XT minus XT minus eins durch XT minus eins.
Das ist eine Wachstumsrate. Die Veränderung einer Variablen bezogen auf
ihr früheres Niveau, ist eine Wachstumsrate. Wachstumsraten sind bei den Periodisierungen,
die wir normalerweise in der Konjunkturtheorie haben,
wo wir irgendwo mit Quartalsdaten meistens rechnen,
da liegen die Wachstumsraten, da wenn es hochkommt,
vielleicht bei einem Prozent pro Quartal.
Das heißt, dieser Wert hier ist 0,01 beispielsweise
Es ist also sicherlich eine kleine Zahl,
sodass wir fast keinen Fehler machen, wenn wir jetzt sagen,
diese Differenz der Logarithmen hier ist gleich der Wachstumsrate, der nicht lugarithmierten Größen.
Also der Fehler ist völlig vernachlässigenswert. Kann man also sehr sicher sagen.
Und normalerweise lesen Sie das auch in der Literatur entsprechend,
Delta-Logarithmus XT ist gleich die Wachstumsrate,
auch wenn es technisch gesehen nur eine Approximation ist,
aber es ist eine sehr gute Approximation.
Das also zunächst mal als Begründung dafür, weshalb wir gerne in Logarithmen arbeiten,
wir Wirtschaftswissenschaftler, Ökonomen. Jetzt ist noch die Frage,
wie kriegt man das denn hin, dass man in Logarithmen Nun,
das ist nicht ganz so einfach,
denn manche Modelle oder die meisten Modelle sind so beschaffen,
dass sie sich nicht exakt in Logarithmen ausdrücken lassen.
Exakt, den Logarithmen lassen sich nur multiplikative Gleichungen ausdrücken.
Ich zeige es Ihnen hier am Beispiel einer Produktionsfunktion. Ja,
die berühmte Kondakt des Produktionsfunktions, die habe ich Ihnen hier
in allgemeiner Form, also noch ohne Konstante Skalenerträge hingeschrieben.
Y ist gleich K-Hoch, Alpha, L, Hoch,
Better, so eine Gleichung, finden Sie in den meisten Konjunkturmodellen,
die können Sie natürlich exakt logarithmieren.
Sie nehmen einfach den Logarithmus von dieser gleichen und dann steht der Logarithmus Y,
ist Alpha-Logarithmus, Carb plus Better, Logarithmus L,
Carst,
das Kapital L ist die Arbeit-Labor
Also das ist einfach, die Produktionsfunktion ist unmittelbar, logarithmisch linear,
ist in den Logarithmen linear. Und so eine Konvention,
die ich hier jetzt in der Vorlesung einführen möchte und die sie auch sonst oft in der Literatur finden,
ist, dass man Logarithmen dann einfach durch kleine Größen angibt,
also durch kleine Buchstaben, ja,
ohne dass sie jetzt weiter noch erläutern werde,
werde ich für den Logarithmus von Groß Y einfach Klein Y schreiben.
Da brauche ich nicht immer Ellen-Groß Y zu schreiben,
dann schreibt er für Klein Y. Dieses Klein Y hat hier
also eine andere Bedeutung als ein Multiplikator, Accelerator-Modell,
wo das ja einfach die Abweichung vom Gleichgewicht war in absoluten Größen.
Und hier ist es eben der Logarithmus von Y kleinen Cast,
der Logarithmus des Kapitalbestands und Klein L ist der Logarithmus
der Arbeit
Schwieriger wird die Sache dann, wenn wir nicht multiplikative Gleichungen haben,
wie zum Beispiel die Budgetrestriktion, die Ressourcenbeschränkung,
die volkswirtschaftliche, die Identität der volkswirtschaftlichen Gesamtrechnung,
also die Zerlegung der Nachfrage oder die Marktgleichgewichtsbedingung,
Angebot ist gleich Nachfrage, ganz wie,
wie sie diese Gleichung interpretieren wollen.
Kennen Sie, alle Y ist vielleicht C plus iPlus G,
Exporte und Importe, vernachlässigen wir.
Nun, diese Gleichung zu logaritmieren ist nicht so ganz einfach.
Ich habe ihn hier mal ziemlich ausführlich aufgeschrieben, wie man es machen kann.
Gucken wir uns einfach nur mal die Loglinearisierung der linken Seite an,
also die Loglinearisierung von YT an. Die Frage ist,
wie können wir das YT durch seinen Logarithmus ausdrücken,
sodass wir auf einen linearen Ausdruck kommen
Man könnte natürlich ganz einfach schreiben, Y ist eh hoch Logarithmus von YT.
Das wäre aber dann keine lineare Gleichung, weil da eh hoch irgendwas drinstehen würde.
Nun, was man macht, ist folgendes.
Sie lesen es normalerweise nicht so in der Literatur,
sondern da wird unterstellt, dass sie das wissen,
deshalb fühle ich es ihm hier mal ausführlich vor.
Sie können ja Folgendes sagen, wenn wir eine solche Gleichung haben,
dann unterstellen wir zunächst mal,
dass das Modell ein Gleichgericht, ein Gleichgewicht hat.
Und dieses Gleichgewicht, das wird gekennzeichnet durch Größen ohne Zeitindex.
Also dieses Y hier soll der langfristige Gleichgewichtswert von Y sein.
Und dann kann ich doch einfach das YT ein bisschen komplizierter schreiben,
indem ich schreibe, das ist der langfristige Gleichgewicht,
mal eins plus die prozentuale Abweichung vom Gleichgewicht
Hier steht ja YT, minus Y, das ist also die absolute Abweichung,
YT ist vom Gleichgewicht gezogen auf das Gleichgewicht,
dann ist das die prozentuale Abweichung vom Gleichgewicht.
Also wir können sagen, YT ist gleichgewichtswert,
mal eins plus die prozentuale Abweichung vom Gleichgewichtswert sozusagen,
dass sie zum Beispiel 0,01 ist, so wie ich eben argumentiert habe,
dass es bei Quartalsdaten in dieser Größenordnung normalerweise vorkommt.
Da würde ich ja also stehen, YT ist Gleichgewichtswert,
mal 1,01. Da wurde YT gerade um 1,01 oberhalb
des Gleichgewichtswerts sein
Wenn sie das Ding hier auflösen, wir zu sehen,
dass gerade YT übrig bleibt. Nun,
jetzt machen wir den Schritt rückwärts, den ich Ihnen eben
vorwärts vorgeführt habe, als ich über die Wachstumsraten sprach.
Dieser Ausdruck hier, den kann ich auch schreiben,
als dass es ungefähr gleich Y mal 1 plus und statt der Wachstumsrate,
die hier steht, schreibe ich jetzt den Logarithmus von 1 plus dieser Wachstumsrate.
Ja, ist also gerade das Umgekehrte von dem,
was ich Ihnen eben gezeigt habe, als ich Ihnen sagte,
die Differenz von zwei Logarithmen ist die Wachstumsrate. Naja,
jetzt kann ich das Ding hier aber wieder etwas vereinfachen,
denn hier steht ja eins plus und dann steht da Y durch Y,
das ist aber auch eins mit einem negativen Vorzeichen,
da gibt es sich je eins da also weg,
dann ist das Y mal 1 plus Logarithmus YT durch
Und wenn ich das ausmultipliziere, dann komme ich darauf,
dass das hier irgendeine Konstante ist,
also unser Gleichgewichtswert ist immer irgendwie etwas Konstantes,
nämlich Y mal 1 minus Lukarithmus Y,
plus dann Gleichgewichtswert von Y mal Logarithmus YT.
Und das ist ein linearer Ausdruck jetzt im Logarithmus von Y. Ja,
das heißt, jetzt habe ich das YT hier umgewandelt in einen Ausdruck,
der eine lineare Funktion von Logarithmus YT ist.
Und so logarithmiert man die Gleichung,
das, was ich hier gemacht habe,
können Sie analog jetzt machen für Konsum,
Investition und Staatsausgaben
Einfach dieselben Formeln benutzen sie, ja. Dann kriegen sie also für alle diese Größen raus,
dass sich die Größe selbst darstellt als irgendeine Konstante,
ja, hast du immer eine andere Konstante,
plus der Gleichgewichtswert der entsprechenden Größe, also Gleichgewichtswert des Konsums,
Gleichgewichtswert der Investitionen, Gleichgewichtswert der Staatsausgaben,
mal der Logarhythmus der Variablen, die wir betrachten wollen,
die den Zeiten Next T trägt.
Und dann setzen sie einfach diese ganzen Approximationen in diese Gleichung hier ein.
Wenn Sie das denn machen, dann kommen Sie auf folgende,
auf folgenden Ausdruck, Sie kommen da drauf,
dass der Logarhythmus von YT ungefähr gleich ist einer Konstanten,
plus bestimmten koeffizienten SC, SI und SG.
SC, S-I und SG sind gerade die Anteile
des beispielsweise beim SC-Anteil des Konsums am Output im Gleichgewicht.
Also das ist die Konsumquote im Gleichgewicht. SI ist die
Investitionsquote im Gleichgewicht und SG ist die Staatsquote im Gleichgewicht.
Wie kommt man auf diese Ausdrücke? Nun ja,
Sie haben ja an der vorigen Folie gesehen,
dass vor dem lugarithmischen Term, da stand hier der Gleichgewichtswert Y,
beziehungsweise bei C, wurde da stehen,
also beim CT wurde stehen,
zehnmal Logarithmus CT
Wenn sie jetzt auflösen nach Logarithmus YT,
dann müssen sie praktisch durch diesen Gleichgewichtswert Y teilen.
Da müssten sie ja zum Beispiel bei dem C,
das C-Teil durch Y und so kommen sie eben auf diese Konsumquote im Gleichgewicht.
Und die Konstante, die ich dorthin geschrieben habe,
die für uns völlig uninteressant ist, ja,
deshalb fasse ich die einfach nur als Begriff Konstante,
die hat diese relativ hässliche Form.
Ja, aber das stört weiterhin nicht, weil es eine Konstante ist.
Das ganze Ding hier ist nichts anderes als eine Taylor-Approximation
der Ausgangsgleichung am Gleichgewichtspunkt mit den Werten YCI und G.
So wird also in einem solchen Modell Logarithmied
Und aber die gleiche und lock linearisiert.
Jetzt haben wir also die Identität, die VGR-Identität,
Y-Vergleich, C plus I plus G in Logerithmen ausgedrückt,
als eine Gleichung, die allerdings nur ungefähr gültig ist.
Schön. Aber jeder rechnet damit. Ich werde
diese Logerlinearisierung mit Ihnen in der Vorlesung kaum machen.
Wir werden es nochmal bei den RBC-Tier-Modellen etwas ausführlicher durchgehen,
aber hier im Augenblick präsentiere ich Ihnen das Modell dann einfach
direkt in der Logerlinearisierten Form und Sie wissen dann,
dass man das eben so machen kann.
Sie brauchen aber jetzt nicht sich in den mathematischen Schritten zu
verfangen und das genau nachzurechnen, dass man darauf kommt.
Das stimmt dann schon so, wie ich es Ihnen schreibe.
Interpretieren Sie es eben einfach als Ausdruck einer nicht linearen Funktion,
einer nicht locklinearen Funktion,
die man linearisiert hat
Ich sollte noch hinzufügen, dass man Zinssätze normalerweise nicht logarithmiert.
Das könnte man natürlich im Prinzip auch machen,
aber der Zinssatz bereits ein Prozentsatz ist,
ist es normalerweise eine relativ kleine Zahl, 0,03 oder sowas.
Und wenn man davon den Logarithmus nimmt, dann wird das eine
sehr stark negative Zahl. Da kann man dann zeigen,
ist die loggelineare Approximation nicht besonders gut,
weil das schon so stark im negativen Bereich ist.
Deshalb werden Zinssätze als normalerweise nicht logarithmiert
Jetzt gucken wir uns mal ein Beispiel an für eine Geldnachfragefunktion,
so wie sie die aus dem Grundstudium kennen, aus der VWL 3-Vorlesung.
Wenn ich eine normale Geldnachfragefunktion, sowie diese Dirkensianischen Liquiditätspräferenztheorie,
entspringt, logal linear schreiben würde, dann würde die folgendermaßen aussehen.
md-pt, das soll die reale Geldnachfrage sein. Da steht die nominale Geldnachfrage in Logarithmen ausgedrückt,
ja, Logarithmus der nominalen Geldnachfrage, das D steht für Demand,
geteilt normalerweise durch das Preisniveau in Logarithmen, also minus dem Preisniveau,
md-pt ist die logallineare Nachfrage, die soll dann abhängen,
einerseits vom Einkommen und andererseits vom Zinssatz.
Beim Einkommen YT nehme ich auch den Logerhythmus,
sodass das Vieh hier dieser Koeffizient, die Elastizität der Geldnachfrage ist bezüglich des Einkommens.
Also die Einkommens-Elastizität der Geldnachfrage ist und das Vieh hier ist,
weil das I nicht logaritiert wurde, lediglich eine sogenannte Semi-Elastizität.
Der Unterschied zwischen einer Illustizität und einer Semi-Elastizität,
falls Sie das im Grundstudium nicht gemacht haben, ist der folgende.
Die Illustizität gibt Ihnen an, um wie viel Prozent sich ein eine Variable verändert,
wenn sich eine andere Variable um ein Prozent verändert.
Also in diesem Fall, um wie viel Prozent verändert sich
die Geldnachfrage, wenn sich das Einkommen um ein Prozent ändert?
Die Semi-Elastizität gibt ihnen an, um wie viel Prozent sich
die abhängige Variable verändert, wenn sich die unabhängige Variable,
also in diesem Fall der Zinssatz, um einen Prozentpunkt verändert.
Also, die Semi-Elastizität PC sagt mir,
um wie viel Prozent verändert sich diese Variable,
die Geldnachfrage,
wenn der Zinssatz sich um einen Prozentpunkt verändert,
wenn er beispielsweise von drei Prozent
auf vier Prozent steigt
Genau das ist das, was man normalerweise dann wissen will.
Wir wollen nicht wissen, was ist,
wenn jetzt Zinssatz um ein Prozent sich verändert.
Also wenn er sich von drei Prozent verändert,
auf 3,03 Prozent, das wäre ja eine einprozentige Veränderung des Zinssatzes,
sondern normalerweise wollen wir wissen, was ist für eine Zinssatz von drei Prozent auf vier Prozent steigt.
Und das wird eben dann gerade ausgedrückt durch diese Semi-Illestizität.
Die Konstante hier, die werden wir einfach ignorieren.
Die hat keinen sonderlichen ökonomischen Wert. Wenn wir die Konstante ignorieren,
dann bedeutet das nichts anderes,
als dass wir eine Mittelwertbereinigung für die Variablen durchführen
Ja, und so waren wir dann diese gleichen auch interpretieren,
wenn sie unten nochmal da steht, ohne die Konstante,
ich habe das jetzt von der Notation hier nicht unterschieden,
also insofern könnten sie jetzt denken, da würde irgendwie implizieren,
dass die Konstante gleich null ist,
das ist nicht der Fall.
Vielmehr sollten sich diese Größen hier vorstellen als noch nicht Mittelwert bereinigt und diese Größen hier,
obwohl es dieselben Symbole sind, als Mittelwert bereinigte Größen.
Ja, wenn sie das Mittelwert bereinigen, dann haben wir
keine Konstante mehr und letzten Endes wird unsere Geldnachfrage-Funktion also so aussehen.
Mit dieser Geldnachfrage-Funktion werden wir in den nächsten Stunden ziemlich viel arbeiten.
Haben Sie zu diesen Technikalitäten Fragen
Dann können wir jetzt in den letzten Minuten der Vorlesung zum
eigentlichen Modell kommen. Und das ist das ISLM-Modell,
dass ich ihn jetzt präsentieren werde in einer etwas anderen Form als die,
die sie im Grundstudium normalerweise gesehen haben, je nachdem,
bei wem sie Grundstudium gemacht haben,
haben sie sich möglicherweise ziemlich lange mit diesem ISLM-Modell befasst.
Und typischerweise hat es grafisch analysiert und haben irgendwelche Kurven verschoben
im iY-Raum. Ja, die IS-Kurve oder die LM-Kurve,
je nachdem, wie Geld und Viskalpolitik beschaffen worden sind.
Wir wollen das Modell jetzt analytisch ohne Grafik,
einfach nur aufgrund der einfachen Gleichungsstruktur analysieren,
indem wir uns eben eine locker linearisierte Version dieses Modells anschauen
Sie wissen, dass ISLM-Modell ist ebenfalls ein relativ altes Modell.
Die statische Formulierung, die ich Ihnen hier vortrage, geht auf HIX zurück.
Also ist noch vor dem Zweiten Weltkrieg entwickelt worden.
Und die Gleichung, die dieses Modell charakterisieren,
sind ganz einfach. Zum einen haben wir die Gütermarktsgleichgewichtsbedingungen,
also letzten Endes Y gleich C plus I plus G,
die man als IS-Kurve auffasst,
also als die Kurve bei der Investitionen gleich Ersparnis ist,
i gleich S, i gleich S ist eigentlich eine Kapitalmarktgleichgewichtsbedingung.
Trotzdem wird sie immer als Gütermarktgleichgewichtsbedingung aufgefasst mit Ausnahme
des Lehrbuchs von Feldern in Hamburg,
was sie
vielleicht benutzt haben
Wir wollen es hier auch als Gütermarkt-Bedingung auffassen und Y ist C plus i plus G und wollen dabei aber dann gleich unterstellen,
dass der Konsum eben eine Funktion des Einkommens ist,
so wie sie es im Grundstudium gelernt haben und die Investitionen abhängen,
sowohl vom Einkommen als auch vom Zinssatz, die Einkommens-Elastiz,
die Einkommensabhängigkeit bei der Größenkonsum und Investitionen ist natürlich immer positiv,
wenn wir höheres Einkommen haben,
dann soll der Konsum steigen und dann sollen die Investitionen steigen,
die Abhängigkeit des Zinssatzes,
der Investitionen vom Zinssatz soll negativ sein mit der Begründung,
dass höhere Zinsen bedeuten,
dass man höhere Kosten für die Investitionen hat.
Also eine relativ einfache Investitionsfunktion,
die auch nicht mehr ganz dem heutigen Stand der Dinge entspricht,
aber wir übernehmen das mal so,
wie das eben im vergangenen Jahrhundert modelliert worden ist
Diese Gleichung hier, die wollen wir jetzt Loglinie apoximieren.
Und wenn sie das tun, dann kommen sie darauf,
dass der Logarithmus von Y minus singen wir mal i plus Mühmer gehst.
Jetzt müssen wir uns überlegen, warum das so ist.
Nun, seht ihr dabei Folgendes. Diese Gleichung hier ist eigentlich
eine Gleichung in den Variablen Y, Zinssatz und Staatsausgraben.
Der Konsum ist ja eine Funktion von Y und ist insofern
gar keine eigenständige Variable, sondern für den Konsum können sie
ja einfach irgendwie eine Funktion von Y hinschreiben.
Und entsprechend können sie für die Investitionen
irgendeine Funktion von Y hinschreiben
Wenn sie das logg linear tun,
dann kriegen sie also lauter Ausdrücke in Y und bei den Investitionen
auch abhängig von I. Lineare Ausdrücke in Y und bei den Investitionen noch einer Abhängigkeit von ihm.
Alle diese Abhängigkeiten von Y können sie jetzt zusammensammeln auf der linken Seite der Gleichung,
sozusagen die Gleichung der Lösen nach Y und dann eben nur die Abhängigkeit betrachten,
die noch verbleibt von den Variablen I und G.
Also diese Gleichung, hier dürfen sie nicht etwa lesen,
als wenn sie es ganz falsch machen würden, dann würden sie sie folgendermaßen lesen.
Dann würden sie sagen, der Output Y ist gleich Minus,
sig mal mal die Investitionen plus Mühmer,
die Staatsausgaben und huch, wo steckt der Konsum?
Ja, also so ist es nicht gedacht. Also erstens ist
das kleinen I nicht die, sind nicht die logarimierten Investitionen,
ja, sondern es ist einfach der Zinssatz.
In etwas in Abweichung davon, dass ich eben gesagt habe,
kleine Variablen sind immer, die Logarithmen der großen Variablen.
Wir haben die Investitionen hier in diesem Modell gar nicht explizit drin,
weil die direkt ersetzt werden durch eine Funktion des Zinssatzes und des Outputs.
Und zweitens ist es eben nicht mehr als eine,
als eine Gleichung zu lesen,
die ihnen die volkswirtschaftliche Identität angibt,
die gesamtwirtschaftliche Identität von Nachfrage und Angebot angibt,
sondern diese gleichen ist bereits gelöst nach
Stellen Sie sich es folgendermaßen vor, wenn Sie sagen,
irgendwie führt diese Gleichung, die wir hier oben haben,
dieses Y gleich C plus I plus G zu einer Form
Logarithmus Y ist gerade gleich.
A mal Logarithmus von... Jetzt vergaloppiere ich mich hier,
wenn ich improvisiere. Ich sollte es vielleicht folgendermaßen sagen,
na gut, schreiben wir es erstmal so hin.
Einmal Logarithmus von A plus B mal Y. Nee,
nicht A.
C plus B mal Y plus Logarithmus von,
und hier schreiben sie jetzt irgendwie hin, die mal,
minus D mal i plus e mal,
Y plus Logarithmus der Staatsausgaben.
Das ist ein bisschen improvisiert, was ich jetzt hier mache,
ja. Aber worauf ich nur hinaus will, ist,
dann steht hier in diesem Logarithmus,
das soll natürlich gerade gleich der Logarithmus von C sein.
Und dieser Logarithmus hier, das soll gerade gleich der Logarithmus
von I sein, ja.
Und da müsste da natürlich noch irgendwie so ein SC
davor stehen und hier müsste so ein SI davor stehen und
hier müsste so ein SG
davor stehen
Und jetzt müssten sie diese Ausdrücke,
die hier drin stehen, allerdings auch noch loglinear schreiben.
Das heißt, hier müssen sie aus dem Y ebenfalls noch
einen Logarithmus Y machen und hier auch einen Logarithmus Y machen.
Und dann hätten sie eben verschiedene Therme mit Logarithmus Y,
die würden sie jetzt alle hier auf die linke Seite bringen und auflösen.
Was dann auf der rechten Seite noch verbleibt,
sind einerseits Konstanten wie dieses C, die sind uninteressant,
dann steht da eine negative Abhängigkeit irgendwie vom Zinssatz,
ja, und dann steht da eben die Abhängigkeit von G.
Und nur dieses Ergebnis, also sozusagen die Auflösung der Gleichung
nach Logarithmus Y und die Abhängigkeit dann von I und G,
dieses Ergebnis sehen sie hier in der locklinearen Approximation.
Ich gehe jetzt, weil das eben rechnerisch ein bisschen aufwendig ist,
bewusst nicht durch diese Schritte alle durch und warne davor sie,
dass sie jetzt hier wörtlich nehmen zu lassen.
Das soll nur veranschaulichen, was im Prinzip passiert. Es ergibt sich,
dass der Gleichgewichtiger Output im ISLM-Modell eine Funktion einerseits des Zinssatzes und andererseits der Staatsausgaben ist.
Und die beiden Parameter, die wir hier haben,
über die haben wir keine Theorie,
die ergeben sich aber irgendwie aus dieser Locklinearisierung,
die habe ich jetzt so gewählt, dass sie immer positiv sind,
wie überhaupt in diesem Modell alle Parameter immer positiv sind. Also dadurch,
dass das Sigma dann ein negatives Vorzeichen hat und Sigma selbst positiv ist,
wissen wir, der Output singt, wenn der Zinssatz steigt,
dahinterstehende Logik des IS-LM-Modells ist natürlich die,
das durch ein steigendes Zinssatzes die Investitionen sinken und durch die Investitionen
dann die Nachfrage sinkt und aufgrund der sinkenden Nachfrage die Güterproduktion sinkt und das durch ein Ansteigen der Staatsausgaben,
die gesamtwirtschaftliche Nachfrage erhöht wird und aufgrund des Anstiegs der Nachfrage eben dann auch die Produktion steigt und insofern das Y steigen wird.
Ja, und für die LM-Kurve haben wir eine analoge Gleichung,
die ich Ihnen eben schon gezeigt habe. Die steht dann hier in folgender Form,
also so haben Sie es im Grundstudium kennengelernt,
reale Geldnachfrage ist gleich die Liquiditätspräferenz abhängig vom von Y,
also Transaktionsmotiv der Geldnachfrage und abhängig von Y, was irgendwo das Spekulationsmotiv der Geldnachfrage charakterisiert.
Auch das würden wir logglinear approximieren. Das hatte ich Ihnen eben schon gezeigt und schreiben das dann als m-p,
reale Geldnachfrage in Lugerithmen, ist gleich 4 mal Y,
minus 1 durch Lamda mal i. Und warum ich hier eins durch Lamda schreibe,
statt einfach nur irgendwie Lamda zu schreiben, das liegt nur daran,
dass ich konsistent bleiben will in der Notation gegenüber dem Textbuch von Arnold,
der das auch aus irgendeinem Grunde in der Ast schreibt.
Ja, hat keinen tieferen Grund, aber sie sollen da,
wenn sie ein Buch von Arnold nachlesen,
nicht verwirrt werden und deshalb nehme ich hier, übernehme ich hier einfach seine Notation.
Ich finde es ein bisschen unglücklich, dass das In Bears ist aber,
spielt keine Rolle. Auch diese beiden Parameter sind positiv,
sodass wir jetzt sehen, wenn das Einkommen steigt,
dann steigt die Geldnachfrage, Transaktionsmotiv,
wenn der Zinssatz steigt, dann sinkt die Geldnachfrage,
weil man stärker in verzinsliche Wertpapiere geht in Bond,
dann haben wir also eine sinkende Geldnachfrage und deshalb ist das minus eins durch Lambender negativ,
beziehungsweise einzuschlammen, der ist positiv und hat ein negatives Vorzeichen.
Und das ist dann schon unser ganzes Modell, das werden
wir uns in der nächsten Stunde dann angucken. Sie sehen im Augenblick,
wir haben ein Modell bestehend aus zwei Gleichungen,
wenn sie die Variablen zählen, dann sehen sie,
wir haben fünf Variablen, also müssen wir uns jetzt dann erstmal entscheiden,
welche Variablen Endo gehen und welche exogen sein sollen und das werden wir uns in der nächsten Stunde noch eingehend überlegen.
Schönen Dank erstmal für Ihre Aufmerksamkeit und bis nächste Woche