ich gerade sagen, ich habe Ihnen so Ihre Frage zwar
nicht richtig verstanden, aber ich erahne, was Sie fragen wollen.
Ich hatte es Ihnen eigentlich über Stine geschrieben, ja,
dass die Vorlesungsaufzeichnungen jetzt im Internet verfügbar sind.
Ende letzter Woche kam irgendwie die Benachrichtigung darüber,
Instine finden Sie auch die genaue Adresse, wo Sie die Vorlesungsaufzeichnung finden können.
Andere Fragen. Gut, das scheint nicht der Fall zu sein.
Dann wollen wir jetzt uns dem Multiplikator Accelerator-Modell zuwenden,
dass wir in der letzten Woche bereits begonnen haben.
Sie haben diese Folie hier bereits gesehen. Da sind die
wesentlichen des Modells schon einmal aufgeführt. Ich erinnere daran,
wir haben eine lineare, kendianische Konsumfunktion angenommen.
Der Konsum der gegenwärtigen Periode soll abhängen von dem Einkommen der Vorperiode
und soll irgendwie eine autonome Komponente haben.
Das habe ich Ihnen diskutiert. Dann haben wir eine induzierte Investitionsnachfrage motiviert aus der Überlegung heraus,
dass der Kapitalbestand der Periode Tee abhängen soll von der Nachfrage,
die man in der Vorperiode beobachtet hat mit einem Parameter Nü,
da die Investitionen, gerade die Veränderung des Kapitalbestands sind,
ergibt sich dann, dass die induzierten Investitionen sich ergeben als Nü mal,
übst so ein Tee minus 1, minus y,
Hier sind zwei Dinge wesentlich dran, die sie sich jetzt einprägen sollten für die Analyse,
die wir heute in diesem Modell machen. Zum einen, das Modell hat im Wesentlichen zwei Parameter. Ich verzichte mal im Augenblick darauf,
hier dieses C0 zu problematisieren oder das i0,
was gleich noch kommt, das sind nur so Absolutglieder,
die werden wir uns gleich vom Halse schaffen,
aber die wesentlichen Parameter sind einerseits die marginale Konsumneigungs-C,
da haben wir gesagt,
das ist eine Zahl zwischen 0 und 1,
kennen sie aus dem Grundstudium und dann der andere Parameter ist dieses Nü hier,
das ist der Kapitalkoeffizient,
das ist also der Koeffizient, der sich ergibt,
wenn sie den Kapitalbestand teilen durch das Bruttoinlandsprodukt und ich hatte ihnen das interpretiert und gesagt,
in modernen Ökonomien liegt dieser Wert so ungefähr bei zwischen drei und vier,
wenn man in Jahresdaten rechnet.
Ich hatte Ihnen auch erklärt, dass das Perioden abhängig ist,
wenn man mit Quartalsdaten rechnet, dann würdet ihr also irgendwo
zwischen neun und zwölf liegen oder so etwas ähnliches.
Das Wesentliche, weshalb ich diese Folie im Augenblick noch einmal projiziere,
ist, dass sie sowohl Konsum als auch Investitionen darstellen können,
Abhängigkeit von Y.
Von verzögerten Werten von Y, das ist im Augenblick nicht so wichtig.
Das Entscheidende ist, dass wir sowohl den Konsum durch Y ausdrücken können,
als auch die Investitionen durch Y ausdrücken können.
Also wir führen beide Größen zurück auf irgendwelche Parameter,
C0 und C beziehungsweise Nü und dann eben in diesem Fall
verzögerte Werte von Y,
nämlich YT minus 1 und YT
Und diese beiden Gleichungen für die Konsumfunktionen und für die Investitionsfunktionen
sind auch schon zwei von drei wesentlichen Bausteinen des Modells.
Der dritte Baustein ist die Gleichung, die das Modell dann schließt,
nämlich die gesamtwirtschaftliche Identität, dass sich das Bruttoinlandsprodukt zusammensetzt aus Konsum und Investitionen.
Wir haben hier in diesem Modell keinen Außenhandel,
also Exporte und Importe entfallen, den Staat,
den subsumieren wir ebenfalls unter Konsum und Investitionen,
also fügen die Staatsinvestitionen zu den Investitionen hinzu und den Staatskonsum zum Konsum,
sodass wir uns also mit dieser einfachen Gleichung hier behelfen können.
Dann sehen Sie, besteht das Modell im Wesentlichen aus drei Gleichungen in drei Variablen,
nämlich eine Konsumfunktion, eine Investitionsfunktion und dann hier die VGR-Identität und in drei Variablen YC und I.
Und wir haben auf der vorigen Folie gesehen,
können wir eben auch einen Ausdruck hinschreiben, den du noch von Y abhängt.
Und für I können wir ebenfalls einen Ausdruck hinschreiben,
der nur von Y abhängt, wohlgemerkt, von verzögerten Werten,
von Y. Das heißt, wir können die beiden Funktionen benutzen,
um hier in der Identität,
in der Zerlegung der gesamtwirtschaftlichen Nachfrage in die Konsum und in die Investitionsnachfrage des Konsums und der Investitionen selbst ledig zu werden und lediglich den,
die Abhängigkeit gegenüber den verzögerten Konsum,
dem gegenüber den verzögerten Einkommenswerten auszudrücken.
Das werden wir gleich tun oder vielleicht blättere ich da schon einmal hin,
dass sie es sehen, wenn wir es tun,
dann bekommen wir eine solche Gleichung,
wie sie hier auf der übernächsten Folie steht.
YT ergibt sich dann als C-0 plus i0 plus C plus nü,
mal über so ein T-minus 1, minus nü,
mal üb so ein T-minus 2.
Was ist hier passiert? Nun, wir wissen,
YT ist gerade gleich Konsum plus Investitionen.
Den Konsum sehen wir jetzt hier. Da steht nämlich C-0,
autonomer Konsum plus marginale Konsumneigung C, mal verzögertes Einkommen.
Das ist die Konsumkomponente hier drin. Und die Investitionen,
haben wir gesagt, setzen sich zusammen aus den autonomen Investitionen
Plus niemal üb so ein T minus 1, minus nümal
üb so ein T minus zweites waren die induzierten Investitionen.
Also nichts anderes passiert, als dass ich die beiden Funktionen auf Folie 2
hier eingesetzt habe in die Gleichung Y gleich C plus i,
dann komme ich auf diesen Ausdruck.
Dem werden wir in dieser Stunde analysieren. Also wir werden
uns in dieser Stunde praktisch nur mit dieser Gleichung hier befassen,
in verschiedenen Variationen. Sie haben gesehen,
das Modell ist eigentlich ganz einfach, alles ist linear,
ja, die Abhängigkeiten sind geradezu trivial,
so wie wir sie motiviert haben,
aber sie werden sehen,
dass das Modell doch eine erstaunliche Komplexität entfaltet,
wenn wir diese einzelne Gleichung dann nachher analysieren
Bevor wir die analysieren, wollen wir sie allerdings noch etwas vereinfachen,
um uns die Analyse eben so einfach wie möglich zu machen.
Und um das zu tun, müssen wir uns zunächst einmal
Gedanken darüber machen, was denn eigentlich das Gleichgewicht dieses Modells ist.
Wir wollen also zunächst einmal uns überlegen,
was man als langfristiges Gleichgewicht dieses Modells bezeichnen würde.
Und da liegt es doch nahe zu vermuten,
oder nahe zu postulieren, dass ein Gleichgewicht dieses Modells,
also das Modell ist jetzt komprimiert in dieser einengleichung,
das ist das gesamte Modell im Augenblick,
dass ein Gleichgewicht dieses Modells dann gegeben ist,
wenn sich das Y nicht mehr verändert.
Ich habe ja verschiedene Y-Werte drin,
also verschiedene Periodiririsierungen von Y oder verschiedene Periodenwerte von Y
und von einem Gleichgewicht würde man sinnvollerweise dann sprechen,
wenn Y in jeder Periode denselben Wert annimmt.
Das ist also das, was wir jetzt zunächst einmal machen wollen,
dass wir uns sagen, naja, wir definieren uns diesen Gleichgewichtsbegriff.
Ich habe den hier noch einmal neu in die Folien eingeführt.
Das steht auf ihren Folien noch nicht drauf.
Sie können das ja dann nachtragen. Sie sagen,
ein langfristiges Gleichgewicht erfüllt die Eigenschaft des YT gleich Y ist für alle Tee.
Ja, sagen wir mal, Startperiode ist irgendwie Tee gleich null,
dass er für alle Tee größer gleich null.
Also ein langfristiges Gleichgewicht ist dann gegeben,
wenn eben das YT sich nicht mehr verändert von Periode zu Periode
Und dann braucht man natürlich überhaupt keinen Zeitindex mehr hinzuschreiben,
dann ist das derselbe Y-Wert für alle Perioden Tee.
Werte ohne Zeitindex kennzeichnen und jetzt die langfristigen Gleichgewichtswerte. Naja,
und jetzt berechnen wir einfach mal, dass langfristig die Gleichgewicht,
indem wir eben die Zeit in die Cs wegfallen lassen,
in unserem Drei-Gleichungsmodell.
Hier sehen Sie noch einmal die Konsumfunktion, jetzt ohne Zeitindex geschrieben,
die Investitionsfunktion ohne Zeitindex geschrieben und die gesamtwirtschaftliche Nachfrage,
zerlegt also in Y gleich C plus I,
ebenfalls ohne Zeitindex geschrieben
Beachten Sie, dass ich hier zunächst mal das langfristige Gleichgewicht geschrieben habe oder
definiert habe für YT, ist gleich Y für alle Tee.
Also wird ohne Zeitindex. Dasselbe gilt natürlich für Konsum und Investitionen auch.
Wenn ich dann also dieses Y einsetze in die Konsumfunktion oder in die Investitionsfunktion,
dann kriege ich da eben auch zeitunabhängige Werte für C und I
raus und die haben dann auch keinen Zeitindex.
Beachten Sie auch, dass in der Investitionsfunkstation einfach steht I0 plus nymal null.
Denn hier stand ja eigentlich nümal YT minus 1,
minus YT minus 2. Ja, erinnern Sie sich?
Das entfällt dann natürlich, wenn sich das Y nicht mehr verändert.
Glaubt es, es ist noch eins weiter zurück
Noch eins weiter zurück? Klar. Das waren die induzierten Investitionen,
da steht nümal, YT minus, YT minus 1,
minus YT minus 2. Naja, wenn das Y konstant ist,
dann ist diese Differenz null.
Also dann sind die induzierten Investitionen null und es bleiben uns als Investitionen,
also diese induzierten Investitionen sind null,
es bleiben uns als Investitionen dann nur die autonomen Investitionen i0. Was mit dem Grund ist,
weshalb wir überhaupt autonome Investitionen in diesem Modell haben,
damit im Gleichgewicht, im langfristigen Gleichgewicht überhaupt noch investiert wird.
Sonst hätten wir
gar keine Investitionen mehr
Genau, das habe ich jetzt hier in dieser zweiten Gleichung also geschrieben.
Da steht, I ist I null im langfristigen Gleichgiebig. Die Investitionen sind konstant. Naja,
und dann bedeutet das eben Y ist C plus I,
das ist also dann das 10-0 plus 10-mal Y plus I-0.
Jetzt können sie diesen Therm 10-mal Y natürlich auf die andere Seite bringen.
Dann steht hier 1 minus 10-mal Y,
ist gleich 10-0 plus I-0,
dann teilen sie durch 1 minus kleinen Zeh und kriegen raus,
der langfristige Gleichgewicht für das Y,
sind die beiden autonomen Komponenten, 10-0 plus I-0,
geteilt durch 1 minus die marginale Konsumneigung,
also durch 1
minus die Sparquote
Geteilt durch die Sparquote. Eins minus C,
eins minus im marginalen Konsumneigung ist gerade die Sparquote.
Und sie kennen diesen Term eins durch eins minus C.
Das ist der kensianische Multiplikator, den sie in der Makroökonomie des Grundstudiums kennengelernt haben.
Das ist also insofern ein vertrauter Ausdruck, der hier auftaucht. Sie sehen natürlich auch,
dass das, was ich jetzt hier gemacht habe mit diesen drei Gleichungen,
dasselbe Ergebnis liefert, wie das, was wir bekommen würden,
wenn wir zu der Gleichung gehen würden,
die ich Ihnen eben schon diskutiert habe,
wo ich gesagt habe,
da kann ich praktisch das ganze Modell in einer einzelnen Gleichung ausdrücken,
indem ich Konsum und Investitionen raussubstituiere aus dem Modell und alles
immer nur durch Y werte ausdrücke
Wenn ich in dieser Gleichung jetzt die Zeit in die Cs für das T für das Y wegfallen lasse,
als ich hier nur hinschreibe,
Y ist 10-0 plus i-0,
plus C plus nü mal, Y minus nü mal Y,
naja, dann vereinfacht sich zunächst mal der Ausdruck insofern als hier plus nü mal Y steht und da steht minus nü mal Y, das entfällt also.
Das heißt, der Ausdruck ist,
dein Y ist gleich 10-0 plus i-0,
plus klein zehnmal Y und dann bringen wir das plus klein zehnmal Y wieder auf die andere Seite,
dann steht da eins minus zehnmal Y,
ist gleich 10-0 plus i-0 und geteilt durch eins
minus C kriegt man wieder denselben Ausdruck heraus.
Muss so sein
Nun gut, also zunächst mal haben wir das Modell gelöst,
insofern, als wir das langfristige Gleichgewicht berechnet haben.
Wir können jetzt ohne weiteres natürlich auch die Gleichgewichtigenwerte für den Konsum und für die Investitionen berechnen.
Das können Sie selber machen, das ist nicht sonderlich interessant,
dann setzen Sie einfach für das Y hier den Ausdruck ein
und dann kriegen Sie langfristigen Gleichgewichtswert für das C. Naja,
und den langfristigen Gleichgewichtswert für die Investitionen haben wir sowieso schon,
das ist einfach das I0. Das interessiert uns aber nicht.
Was uns eigentlich interessiert, ist die Dynamik des Modells,
denn wir wollen ja Konjunktur erklären.
Und Konjunktur hatte ich ihm in dem einleitenden Kapitel erläutert,
Konjunktur hängt zusammen mit Begriffen, wie zum Beispiel Korrelationen.
Das hängt irgendwie zusammen mit Konzepten von Schwingungen, von Fluktuationen.
Also das sind alles dynamische Konzepte, Konzepte,
die darauf abstellen, dass man Y-Werte in einer Periode mit Y,
wir hatten in anderen Perioden vergleicht.
Und dass diese Werte eben nicht dieselben sind,
sondern dass das Y in irgendeiner Form schwankt, fluktuiert.
Also gerade das langfristige Gleichgewicht ist eigentlich nicht das,
was irgendwie konjunkturelle interessant ist.
Das ist nur ein gewisser Bezugspunkt. Werden wir gleich sehen,
in welcher Art und Weise das ein Bezugspunkt ist.
Das, was uns tatsächlich interessiert, sind sozusagen Schwankungen,
um diesen langfristigen Gleichgewichtswert herum.
Und die wollen wir uns jetzt
im Einzelnen angucken
Nun, diese Gleichung, die sich hier auf dieser Folie sehen,
die erste gelb unterlegte gleich und hier, das ist eine sogenannte Differenzengleichung.
Eine Differenzengleichung, nämlich deshalb, war hier unterschiedlich datierte Werte von Y drin vorkommen.
Die Gleichung hat sozusagen zwei Elemente, nämlich Parameter.
Parameter sind feste, unveränderbare Größen, wie dieses 10-0,
das INU, das Kleinzieh und das NU.
Und dann hat es eben Variablen, YT,
YT minus 1, YT minus 2,
wehrte einer Zeitreihe von Y. Und zwar eben unterschiedlich datiert.
Das ist der Grund,
weshalb man das Ding als eine Differenzengleichung bezeichnet,
denn hier spielt irgendwie die Zeitdifferenz eine Rolle zwischen den
unterschiedlichen Y-Werten
Wir wollen uns jetzt überlegen, welche Zeitreihe, welcher zeitlich abhängige Prozess für Y,
diese Gleichung hier erfüllt, welche Eigenschaften der hat.
Wir suchen also nach der Lösung dieser Differenzengleichung und verstehen unter der Lösung dieser Differenzengleichung eine Zeitreihe,
die einer bestimmten Abhängigkeit von der Zeit folgt,
einer bestimmten Abhängigkeit von Tee folgt und diese Abhängigkeit von Tee muss so beschaffen sein,
dass die Zeitreihe diese Gleichung hier erfüllt,
unabhängig davon,
welcher Zeitindex kleinen Tee
gerade gewählt wird
Hat ihnen das nachher noch exakt definieren. Was war unter
der Lösung dieser Differenzengleichung erklären? Verstehen, zunächst mal wollte
ich es ihnen einfach erklären, was eine Differenzengleichung ist.
Denn das ist ein mathematisches Instrument, was in der Konjunkturtheorie
immer wieder auftaucht und uns die ganze Vorlesung hindurch begleiten wird.
Deshalb erkläre ich Ihnen die Lösung der Differenzengleichung und das Lösungsverfahren für Differenzengleichung
jetzt in den nächsten Folien auch erst einmal relativ ausführlich.
Sie werden sehen, dass das nicht ganz untechnisch ist,
was wir da zu machen haben.
Nur der erste Punkt ist folgender. Wir sehen diese Differenzen
gleich und hängt im Augenblick von vier Parametern ab,
nämlich von den beiden autonomen Größen,
10-0 und INUll unter diesen beiden Parametern,
kleinen Zeh und kleinen Nüh
Wir können uns die Arbeit ein bisschen vereinfachen, indem er
die Anzahl dieser Parameter reduzieren. Und zwar stellt sich heraus,
dass das 10-0 und das I0 nicht wirklich relevant sind.
Die stellen im Wesentlichen ein Absolutglied dar in dieser Differenzengleichung.
Sie sehen ja, dass 10-0 und das I0 hier,
das können sie praktisch auffassen, als irgendwie eine Konstante,
die zu der Gleichung noch dazu addiert worden ist.
Das, was eigentlich relevant ist für die Lösung der Gleichung,
ist YT und dann die Koeffizienten vor den verzögerten YT-Thermen,
also C-Plus-Nü vor dem YT-1-Therm und Minus-Nü
vor dem YT-2-Therm
Als die beiden Parameter Kleinzäh und Kleinnüh,
die werden entscheidend sein für die Lösung der Differenzen gleich und während
dieses 10-0 und das I-0 nicht so entscheidend ist.
Und deshalb können wir uns dieses Ausdrucks 10-0 plus
I-0 auch entledigen, indem wir die Gleichung jetzt umformen.
Und zwar machen wir das folgendermaßen,
wir betrachten jetzt nicht mehr den Wert für das Bruttoinlandsprodukt selbst,
also dieses YT, sondern wir betrachten kleinen YT,
was definiert wird als die Abweichung des Bruttoinlandsprodukts von seinem
langfristigen Gleichgewichtswert
Den langfristigen Gleichgewichtswert hatten wir uns ja eben definiert.
Und jetzt sagen wir, naja, Konjunktur ist ja vielleicht einfach so
das Fluktuieren einer Zeitreihe, um ihren langfristigen Gleichgewichtswert herum.
Es reicht uns also eigentlich, wenn wir diese Fluktuationen als solche betrachten,
das heißt nur die Abweichungen betrachten zwischen Y und T und dem langfristigen Gleichgewichtswert.
Das bezeichnen wir eben jetzt als Klein-YT. Das wäre dann
also nichts anderes als groß, YT minus dieser Gleichgewichtswert,
den wir auf der vorigen Folie ausgerechnet haben.
Und jetzt können Sie ja Folgendes machen,
Sie können diese Gleichung, die hier steht,
Klein-YT ist groß, YT minus dieser Wert hier,
die können Sie auflösen nach YT
Und dann für YT hier oben einsetzen, ja,
dann würden sie praktisch aus dieser Gleichung hier das YT raussubstituieren und durch einen kleinen YT ersetzen.
Und dasselbe können sie für das YT minus 1 machen und für das YT minus 2 machen,
das jeweils durch Ausdrücke in kleinen YT ersetzen.
Und wenn sie das tun, dann werden sie sehen,
dass sehr schön dieses 10-0 plus i-0 hier sich dann gerade rauskürzt aus der Gleichung.
Das verschwindet dann. Und es bleibt uns übrig,
eine Gleichung in diesen kleinen Werten,
in diesen Abweichungen vom Gleichgewicht,
YT minus C plus nü mal YT minus 1
plus nü mal YT minus 2
ist gleich null
Das heißt, die Gleichung, die hier steht,
ist de facto dieselbe Gleichung, wie die da oben steht.
Denn es ist immer noch so,
dass hier YT steht und dass das YT minus 1,
nur jetzt klein geschrieben,
den koeffizienten C plus Ny hat und das YT minus 2 großgeschrieben,
den koeffizienten Ny hat, ja,
aber was verschwunden ist, ist diese konstante 100 plus I0.
Die ist jetzt null. Das ist das Einzige, was daran sich verändert hat.
Ja? Rechnen Sie es einfach zu Hause mal nach,
dass man auf diese Gleichung hier kommt,
die jetzt ebenfalls eine lineare Differenzengleichung ist, wie Sie sehen,
die aber keine Konstante mehr, kein Absolutlied mehr auch,
weißt, sondern nur von zwei Parametern abhängt,
nämlich von der marginalen Konsumneigung und dem Akzelerationskoeffizient,
Ja? Kein 10-0 ist mehr da drin und kein Inhol.
Deshalb nimmt man eine solche Gleichung, eine homogene Gleichung.
Also eine homogene Gleichung ist eine Differenzengleichung,
die die Eigenschaft hat, dass diese ganzen YT,
YT minus 1 und YT minus zwei Therme,
gleich null gesetzt werden können.
Ja, mit den angemessenen Koeffizienten, dass da
kein Absolutglied mehr dabei ist. Während das hier ja,
bringen Sie mal diesen Therm und diesen Therm auf die andere Seite
und haben Sie dieselben Vorzeichen stehen wie hier und da.
Während dann uns hier ein Absolutglied von 10-0
plus I0 verbleiben würde, weshalb man diese Differenzengleichung in
homogen nennt
Also das ist die inhomogene Gleichung, das ist die homogene Gleichung.
Beide Gleichungen sind zweiter Ordnung. Die Ordnung bezieht sich immer
auf die höchste Zeitverzögerung, die in dem Y-Term auftaucht.
Also in diesem Fall übt so ein T-minus zwei.
Deshalb ist es eine Differenz gleich um zweiter Ordnung.
Diese Differenzen gleich um zweiter Ordnung sind relativ reich von ihrer Lösungsstruktur her,
wie sie gleich sehen werden. Bemerken Sie bitte,
dass wir nichts an Informationen verlieren, indem wir diese Umtransformation vornehmen,
indem wir also jetzt die Gleichung von großen Ys auf kleine Ys überführen.
Wenn wir die Gleichung in den kleinen Ys lösen,
dann können wir sofort natürlich auch die Lösung in den großen Ys bestimmen,
denn wir müssen lediglich zu den kleinen Ys immer noch den
Gleichgewichtswert 100 plus i0 durch 1 minus 10 hinzuaddieren und dann haben wir die Lösung in den großen Ys.
Ja, also es reicht vollständig jetzt, wenn wir diese
Gleichung hier analysieren und diese Gleichung enthält das ganze Modell.
Ja, das ist der Kern unseres Modells. Wir müssen
diese Gleichung lösen können, dann haben wir das ganze Modell gelöst.
Hier kommt jetzt mein Satz. Eins, in dem ich ihn charakterisiere,
wie man im Allgemeinen eine lineare Differenzengleichung, zweiter Ordnung und homogener Art löst.
Ich schreibe jetzt nicht mehr C-Plus-Nü beziehungsweise Nü als Koeffizienten,
sondern ich schreibe das jetzt für allgemeine Koeffizienten A und B
und wir werden dann später uns überlegen,
dass das A eben nichts anderes ist als C-Plus-Nü und dass B nichts anderes ist als Minus-Ny.
Ja, und dann werden wir das auswerten und das Modell so analysieren.
Aber zunächst mal mache ich das also jetzt für beliebige reelle Zahlen,
klein A und Klein B,
die Koeffizienten von YT minus 1 und YT minus 2 sind.
Wir haben also hier diese Gleichung, eine homogene lineare Differenzengleichung
zweiter Ordnung. Für diese homogene lineare Differenzen gleich um zweiter
Ordnung kann man eine sogenannte charakteristische Gleichung angeben.
Du, was ist eine charakteristische Gleichung? Die charakteristische Gleichung
kriegt man dadurch, dass man einfach mal rät,
was die Lösung für die Differenzengleichung
sein kann
Da haben wir diese gleiche und längst gelöst hat, raten wir jetzt mal richtig.
Wir nehmen sozusagen gleich die Lösung, ja, tun so,
als könnten wir sie nicht und sagen ganz einfach gute Rätselrate
und hätten die richtige Lösung eben erwischt oder würden das eben mal ausprobieren,
ob das funktioniert als Lösung.
Wir raten einfach mal,
dass jede Funktion der Form Lamda hochtee oder nicht jeder,
dass eine Funktion, die die Form Lamda hochtee hat für YT,
dass das eine solche Differenzengleichung hier lösen kann.
Ja, wir sagen einfach mal, wir vermuten, dass YT,
wenn es, wenn es eine Zeitreihe YT geben soll,
die diese gleiche,
hier für jeden Zeitindextil erfüllt,
dass das
dann von der Form Lamda hochtee sein muss
Wie man darauf kommt, dass das Lamda-Hochtee sein muss,
lassen wir im Augenblick völlig außen vor.
Ich verrate Ihnen nur, dass das richtig ist, so zu raten.
Im Prinzip finden Sie alle möglichen anderen Funktionen auch, versuchen können,
T-Quadrat, T-Hoch 3 oder sowas und würden immer feststellen,
dass das die Gleichung nicht löst, ja.
Aber Lamda-Hochtee, das funktioniert für bestimmte Werte von Lamda.
Jetzt machen wir das einfach mal, dass wir in
diese Gleichung hier für YT Lamda hoch Tee einsetzen.
Das heißt, wir schreiben hierhin, Lamda-Hochtee,
minus A mal, naja, jetzt steht hier YT minus 1.
Für YT minus 1 muss man dann also einsetzen,
Lamda hoch T minus
Wohlgemerkt, nicht landerhoch Tee, sondern landerhoch Tee minus eins.
Also lamdahoch Tee minus armer, lamdahoch Tee minus eins,
minus B mal Lamdahoch Tee minus zwei, ist gleich null.
Nun, diese Gleichung hat sofort eine Lösung,
nämlich dann, wenn Lamda gleich null ist.
Dann geht die Gleichung auf. Logischerweise. Also,
ich schreibe es vielleicht mal hier hin,
weil ich es auf der Folie nicht ausführlich habe.
Wenn ich für Y Tee Lamdahoch Tee einsetze,
dann kriege ich als Gleichung Lamdahoch Tee minus A mal Lamdahoch Tee minus 1-a.
Minus B mal, oh, da da da,
Lamda, was haben die denn für musikalische Kreide?
Tee minus 2
ist gleich null
Sie sehen jetzt die Gleichung und löst sich in einer trivialen
Art und Weise, wenn das Lamm da null ist.
Denn dann, hier steht hier offenbar überall null auf der linken Seite
und die rechte Seite ist auch null, da haben wir eine Lösung.
An der Lösung sind wir nicht interessiert. Ja,
das ist eine konstante Lösung, die sagt uns überhaupt nichts.
Denn Lamm da gleich null würde bedeuten, dass Y,
Klein Y null ist. Das würde also bedeuten,
dass die Abweichung vom langfristigen Gleichgewicht immer gleich null ist.
Das würde bedeuten, naja,
wenn wir das langfristige Gleichgewicht haben und darauf sind,
dann ist es auch eine Lösung für unser System.
Das hatten wir gesagt, diese Lösung interessiert uns eigentlich nicht,
dass das alles konstant ist.
Wir wollen uns hier gerade verschwingendes Verhalten interessieren
Gut, also dann gehen wir mal davon aus,
dass das Lamdau ungleich null ist, dass uns das interessiert.
Wenn Lamdau ungleich null ist, dann können wir das doch
so machen, dass wir die ganze Gleichung teilen.
Tut mir leid. Keine Ahnung, was die hier haben.
So, dann können wir die ganze Gleichung teilen.
Ah, das ist besser. Durch Lamda, Hochtee minus zwei
. Durch die niedrigste Potenz von Lamda können wir teilen.
Und was passiert dann? Nun, wenn ich Lamda hoch
Tee teile, durch Lamda hoch Tee minus zwei,
dann bleibt hier gerade stehen Lamda quadrat, minus Ama,
Lamda minus B ist gleich null
Das ist die Gleichung, die sie auch auf der Folie sehen.
Diese Gleichung hier, sehen Sie da,
das ist die sogenannte charakteristische Gleichung. Diese charakteristische Gleichung,
sagt mir nämlich, wenn ich einen Wert für Lander finde,
der diese Gleichung hier erfüllt, dann weiß ich damit,
dass YT gleich diese spezielle Lamda-Hochtee,
meine Differenzen gleich um zweiter Ordnung löst.
Ja? Also, wir müssen lediglich diese charakteristische Gleichung der
Differenzengleichung lösen, dann erhalten wir irgendeinen Wert für Lamda,
dieser Wert von Lamda.
Filamda, der hängt ab von dem A und von
dem B, von den beiden Parametern der Differenzengleichung
Und dann können wir sagen, naja,
dieser spezielle Wert für Lambda, der da rauskommt,
hochtegnum, der löst mir hier die Differenzen beispielsweise.
Eine Lösung, wir werden sehen, nicht die Gesamte
der Lösungsmengen, aber eine Lösung für diese Differenzengleichung hier.
Und dann gucken wir uns diese Gleichung hier an und sehen,
naja, das ist natürlich ganz einfach, das ist ja eine quadratische Gleichung,
das haben sie irgendwann in der neunten Klasse gelernt, quadratische Gleichungen zu lösen.
Da haben sie entweder eine quadratische Ergänzung benutzt oder sie haben
so eine PQ-Formel auswendig gelernt oder sowas ähnliches nicht.
Und die PQ-Formel, die habe ich sozusagen hier hingeschrieben,
wir wissen, die Lösung dieser Gleichung ist Lambda 1.2,
es gibt zwei Lösungen im Allgemeinen dafür,
Lamda 1.2 ist a halbe plus minus ein halbmal Wurzel aus
a Quadrat
plus 4b
Ja, wenn sie ihre PQ-Formel an und dann kommen sie
auf diese Lösung. Das heißt, genau diese beiden Landerwerte,
die da jetzt stehen, kann ich benutzen,
um Y darzustellen, in der Form Lamda Hochtee.
Diese beiden Lamda-Werte geben mir dort die Lösung für die Differenzengleichung zweiter Ordnung.
Allerdings hat es damit noch so seine Schwierigkeiten,
das fächert sich noch ein bisschen auf von der Lösungsmannich-Faltigkeit her,
weil der Ausdruck dort eine Wurzel enthält.
Und wir müssen jetzt erstmal darauf achten,
ob das eigentlich gegeben ist,
dass hier unter dieser Wurzel etwas Positives steht,
damit wir überhaupt
die Wurzel ziehen können
Wenn da was Positives steht, ist das schön,
dann können wir die Wurzel ziehen und alles ist in Ordnung.
Es könnte zufälligerweise der Fall sein, dass da gerade null steht.
Nämlich wenn das B negativ ist, wäre es ja möglich,
dass A-Quadrat zufällig gerade dasselbe ist, wie viermal, wie minus 4b.
Also wenn das B negativ ist. Aber dann könnte es
sein, dass A-Quadrat plus 4b gerade gleich null ist.
Wenn das B aber sehr stark negativ ist,
und das haben wir nicht ausgeschlossen, dann könnte das sein,
dass dieser somant hier stärker negativ ist,
als das A-Quadrat positiv ist,
da steht unter der Wurzel was Negatives und die Wurzel
aus einer negativen Zahl ist eine komplexwertige Zahl
Auch das gibt eine sinnvolle WR-Lösung und möglicherweise gefällt Ihnen das jetzt nicht so sehr,
weil Sie noch nicht so viel mit komplexen Zahlen gerechnet haben.
Aber gerade das sind die Lösungen, die uns interessieren.
Denn diese komplexen Lösungen führen dazu, dass schwingendes Verhalten entsteht.
Das werde ich Ihnen jetzt gleich zeigen.
Also wir müssen da Fallunterscheidungen machen für diese Wurzeltherme.
Und das ist jetzt der zweite Teil von Satz 1,
der war also auf der ersten Folie noch gar nicht zu Ende.
Da sage ich jetzt die allgemeine Lösung der Differenzengleichung lautet dann erstens,
zweitens, drittens drei verschiedene Fälle,
die ich Ihnen gerade schon erwähnt habe,
abhängig von dem Vorzeichen des Ausdrucks unter der Wurzel
Ich sollte aber zunächst mal erklären, das mit allgemeiner Lösung gemeint ist.
Mit allgemeiner Lösung ist gemeint, dass selbst die Lösung,
die jetzt hier gleich stehen, noch keiner eindeutigen Lösungen sind,
sondern dass es sogar in jedem von diesen drei Fällen
unendlich viele Lösungen geben wird.
Die hängen wieder von neun Parametern ab, die da mit reinkommen,
Konstanten, die ich als C1 und C2 beteichne.
Gucken wir uns zunächst mal den einfachen Fall an,
wo der Ausdruck unter der Wurzel in meinem Lamda 1.2,
A-Quadratfug plus 4b, wo das positiv ist.
Da kann ich also ganz normal
die Wurzel ziehen und erhalte als Wurzel
eine reelle Tal
Wenn das so ist, dann kriege ich also zwei sogenannte reelle Wurzeln.
Der Begriff Wurzel ist hier jetzt ein bisschen doppeldeutlich.
Lamda 1, Ungleich Lamda 2. Sollte das vielleicht nochmal kurz erklären.
Lamda 1 und Lamda 2 sind ja die Lösungen meiner charakteristischen Gleichung.
Diese Lösungen bezeichnet man auch als die Wurzeln der charakteristischen Gleichung.
Also als die Werte für Lamda, die diese Gleichung hier
so erfüllt, dass die gleiche Null ist.
Dieser Begriff, dass Lamda eine Wurzel der charakteristischen Gleichung ist,
hat nichts damit zu tun, dass hier ebenfalls eine Quadratwurzel steht.
Ja, das ist sozusagen ein Teekässelchen in der Verwendung
des Ausdruckswurzeln
Okay, also, man bezeichnet diese Werte Lamda 1,
2 auch als die Wurzeln der charakteristischen Gleichung und,
gehen wir doch nochmal zurück,
wenn hier was Positives drunter steht,
dann kriegen wir offenbar zwei verschiedene Lösungen für Lamda,
also zwei verschiedene Wurzeln der charakteristischen Gleichung,
denn da haben wir ja einmal dann eine halbe plus einhalb
mal eine reelle Zahl und einmal a halbe minus einhalb mal eine reelle Zahl,
eine reelle von null verschiedenen Zahlen,
also sind das zwei verschiedene Werte für Lamda 1 und 2
und das sind die beiden Wurzeln der charakteristischen Gleichung
Wenn wir diesen Fall haben, dann kann man zeigen,
dass nicht nur YT gleich Lamda hoch Tee,
eine Lösung der Differenzengleichung zweiter Ordnung ist,
sondern jeder Ausdruck der Form Y gleich C1,
Lamda 1 hoch T plus C2,
Lamda 2 hoch Tee, ist eine Lösung der Differenzengleichung.
Wobei C1 und C2 völlig beliebige reelle Zahlen sind.
Wir haben da also unendlich viele überabzählbar unendlich viele Lösungen der Differenzengleichung gefunden,
weil wir beliebige reelle Zahlen für C1 und beliebige reelle Zahlen für C2 wählen können
Und immer erfüllt dieser Ausdruck YYT die Differenzengleichung,
sofern Lamda 1 und Lamda 2 eben Wurzel der charakteristischen Gleichung der Differenzengleichung sind.
Weil wir kriegen außerordentlich viele Lösungen für diese Gleichung schon in diesem Fall.
Wir werden später sehen, dass diese Lösung nicht so sonderlich
interessant sind, aber dass sie die einfachsten Lösungen sozusagen.
Dann gibt es den Spezialfall, wenn a Quadrat plus 4b gleich null ist.
Nun, wenn a Quadrat plus 4b gleich null ist,
dann ist es natürlich so, dass diese Quadratwurzel hier verschwindet.
a Quadrat plus 4b ist null,
dann ziehen wir die Wurzel draus, dann bleibt das null,
also ein halb mal null ist null.
Das heißt, die Lösung Lamda 1,
2 ist nichts anderes als a halbe
In diesem Fall hat man einen Sonderfall. Es gibt also
nur einen lammender Wert, der diese charakteristische Gleichung löst.
Den brauchen wir dann nicht mehr mit Lamda 1 oder Lamda
2 zu bezeichnen, sondern wir sagen einfach,
es gibt eine reelle Wurzel der charakteristischen Gleichung Lamda.
Das ist gleich Lamda 1 beziehungsweise gleich Lamda 2.
Und dann kann man zeigen, dass die Differenzen gleich und gelöst
wird von jedem Ausdruck, der diese Form hier hat.
YT ist irgendeine beliebige reelle Zahl C1,
plus eine beliebige reelle Zahl C2 Malte.
Das Ganze in Klammern mal Lamda-Huch-Tee und das Lamda
wissen wir,
ist a halbe
Es ist also ein anders strukturierter Lösungsausdruck, als der,
den wir hier herauskriegen. Auch der wird für uns nicht
sonderlich interessant sein, aber ich erwähne ihn erstmal der Vollständigkeit halber.
Jetzt kommt der dritte Fall, der für uns interessant werden wird.
A-Quadrat plus 4b ist negativ. Das heißt,
unter der Wurzel steht was Negatives, das heißt,
wir ziehen jetzt die Wurzel aus einer negativen Zahl und deshalb
kriegen wir eine komplexe Lösung für die charakteristische Gleiche,
beziehungsweise komplexe Wurzeln der charakteristischen Gleichung.
Diese beiden Wurzeln nennt man dann konjugiert komplexe Wurzeln,
weil der Imaginiertteil einmal positiv und einmal
negativ ist
Ich glaube, sie haben das alles in ihren Mathevorlesungen mal gelernt,
aber wahrscheinlich ist es nicht mehr so ganz präsent,
versuchen sodass also vielleicht sich nochmal rauszukramen, aus ihren Grundstudiumsunterlagen,
wenn sie es nicht mehr so ganz können.
Wenn das so ist, dass wir diese komplexen Wurzeln der Differenzenleichung erhalten,
dann kann man zeigen, dass YT die Differenzengleichung löst,
wenn es folgendem Ausdruck hier folgt.
R hoch Tee mal eine beliebige konstante C1,
also mal eine runde Klammer erstmal, großer Ausdruck,
ja, und da drin steht beliebige Konstante C1,
mal Cosinus Omega T plus C2 mal Sinus Omega Tee
Diese Ausdrücke hier, diese Parameter R und Omega,
die sie dort sehen, habe ich noch nicht definiert,
werde ich gleich auf der nächsten Folie tun.
Die hängen von den As und den Bs ab. Ja,
das zeige ich ihnen gleich, wie die davon abhängen.
Das Wesentliche ist aber, die Lösung,
die sie hier sehen, die hat plötzlich Schwingungseigenschaften.
Da steht ein Cosinus drin und ein Sinus drin und
sie wissen, dass Cosinus und Sinus schwingende Funktionen sind.
Ja, das andere Wesentliche ist, dieser Ausdruck, der hier steht,
ist reell. Das ist keine komplexe Zahl. Also,
obwohl die Wurzeln der charakteristischen gleiche und komplexe Zahlen waren,
ergeben sich hier reelle Lösungen die Differenzengleichung.
Also durchaus Lösungen, die man im ökonomischen Sinne interpretieren kann.
Wir könnten ja die Lösung nicht interpretieren,
wenn jetzt stünde YT wäre, was komplexwertig ist,
was soll, was soll ein komplexwertiges Bruttoinlands-Produkt sein.
Aber diese Werte für das Bruttoinlands-Produkt, die sind reellwertig,
auch dann, oder es gibt jedenfalls reellwertige Werte für das Bruttoinlands-Produkt,
auch dann, wenn die Lösungen der charakteristischen Gleichung,
wenn die Wurzeln der charakteristischen Gleichung komplexe Zahlen sind.
Und das ist natürlich wieder ein ganz anderer Ausdruck,
als der, den wir hier rausgekriegt haben und der,
den wir
da rausgekriegt haben
Also diese scheinbar einfache, lineare Differenzengleichung, zweiter Ordnung,
entfaltet hier plötzlich ein Panoptikum von Lösungen in einer Vielfalt,
die sie vielleicht zunächst nicht erwartet haben.
Dieser einfache, lineare Struktur,
ein ganz simples Modell bestehend aus drei linearen Gleichungen,
führt zu sehr nicht linearen Lösungen, wie sie hier sehen.
Mit Cosinus, mit Sinus, mit Lamnders,
Hochtees oder Tema, Lamdahochtäterm und ähnlichen Sachen.
Also wird extrem nicht linear in seiner Abhängigkeit von der Zeit
, obwohl die Differenzengleichung selbst
linear ist
Ja, hier kommt noch der zweite Teil der dritten Lösung.
Hier sehen sie, wie diese Parameter R und Omega
abhängen von den As und den Bs der Differenzengleichung.
Sie brauchen mir das nicht auswendig zu lernen für die Klausur oder sowas.
Ja, das werde ich sie nicht abfragen,
wie das R und das Omega davon abhängt.
Wenn sie sowas in der Klausur benutzen müssten,
würde ich ihnen das Theorien dann eben an die Hand geben und sagen,
bitteschön, das ist der Satz.
Sie sollen nicht hier verstehen in der Vorlesung oder zu Hause verstehen oder in der Übung verstehen,
aber sie sollen ihnen nicht auswendig lernen, in dem Sinne,
dass sie anfangen, solche Formel hier auswendig zu lernen,
mit Akustangus,
sondern irgendwas,
die kann ich auch nicht auswendig
Man kann es aber zeigen, dass der richtige Ausdruck ist.
Omega ist der Akkus Tangens von Wurzel aus minus A-Quadrat minus 4b.
Bemerken Sie, das, was hier steht,
ist das Negative dessen, was in der Quadratwurzel oder unter
der Quadratwurzel bei der Lösung der charakteristischen Gleichung stand.
Deshalb ist das jetzt ein positiver Ausdruck hier, geteilt durch A.
Und so können Sie also dieses Omega bestimmen und das R ist
nichts anderes als der Absolutbetracht hier von Wurzellas B. Umgekehrt,
die Wurzel ist Absolutbetrages, von B, wie auch immer.
Also R und Omega sind zurückzuführen auf diese Parameter A
und B der charakteristischen Gleichung
Und C1 und C2 sind wieder beliebige Zahlen. Merken Sie
sich also Folgendes? Die Lösung dieser Differenzengleichung weiß ganz unterschiedliche Formen auf,
je nachdem, was mit diesem Aquadrat plus 4b ist.
Ob das positiv gleich null oder negativ ist.
Und in jedem Fall kriegen wir unendlich viele Lösungen,
sogar sozusagen unendlich zum Quadrat. Viele Lösungen, ja,
weil sowohl das C1 als auch das C2 jede beliebige reelle Zahl annehmen kann. Das heißt,
wir kriegen natürlich zum Beispiel in diesem Ansatz hier auch wieder unseren ersten Lösungsansatz,
in dem wir zum Beispiel sagen, naja,
wir setzen mal das C2 auf 0 und das C1 auf 1,
dann stünden da einfach YT Islam da Einzug Tee
Das ist der Lösungsansatz, den wir zunächst mal geraten haben.
Und der jetzt, wie sich hier herausstellt, nur einen Spezialfall
einer allgemeineren Lösungsstruktur gewesen ist. Ein Problem wird also sein,
dass wir möglicherweise zu viele Lösungen haben,
die diese Differenzengleichung hier lösen,
dass man gar nicht die Übersicht behalten kann über das,
was sich alles an Lösungen anbietet.
Da komme ich gleich noch drauf,
wie man spezielle Lösungen für eine solche Differenzengleichung bestimmen kann.
Jetzt wollen wir uns zunächst mit dem Lösungsverhalten,
mit dem Verhalten der Lösung befassen
Hier füge ich an den Satz noch eine Definition an.
Hätte ich auch vielleicht trennen können. Wir sagen, die Lösung,
die wir jetzt da oben in diesen drei Fällen ermittelt haben,
die heißt stabil, wenn gilt das YT,
die Abweichung des großen Ys, von seinem Gleichgewichtswert,
dann, wenn die Zeit gegen unendlich geht,
gegen null geht.
Das bedeutet nichts anderes als das, wenn asymptotisch die Gleichgewichtsabweichung
gegen null geht. Wenn also asymptotisch gilt,
dass das Bruttoinlandsprodukt gegen seinen langfristigen Gleichgewichtswert konvergiert
Das ist das, von dem man vielleicht intuitiv zunächst mal
glauben würde, dass man es ganz gerne haben möchte.
Das ist irgendwie so eine natürliche Rückkehr zum Gleichgewichtswert gibt. In bestimmten Situationen,
wie man das auch in der Tat haben, wir werden gleich sehen,
dass uns das in diesem speziellen Modell allerdings ein bisschen Schwierigkeiten bereitet,
wenn die Lösung dieser Eigenschaft aufweist,
dass das YT asymptotisch gegen Null geht.
Wenn die Lösung nicht stabil ist, dann gibt es zwei Möglichkeiten,
die das natürliche Gegenstück ist folgendes, dass man sagt,
die Lösung ist divergent.
Also das wäre praktisch die stabile Lösung,
ist die konvergente Lösung,
da konvergiert das YT gegen Null
Also den natürlichen Wert, den es annehmen sollte,
wenn es eben gegen das Gleichgewicht geht, wenn das Bruttoinlandsprodukt jedem das Gleichgewicht geht.
Und ansonsten hast du es divergent, nämlich dann,
wenn das YT gegen Plus oder gegen minus unendlich konvergiert.
Das sind sogenannte explosive Lösungen, die besonders uninteressant sind.
Und schließt sich noch etwas, was uns interessieren wird, der Fall der Persistenz. Persistenz bedeutet,
dass eine bestimmte Abweichung, die wir vom Gleichgewicht haben,
weder abgebaut wird in dem Sinne, dass die Gleichgewichtsabweichung gegen Null geht,
noch irgendwie außer Kontrolle gerät, in dem Sinne,
dass die Gleichgewichtsabweichung extrem explodiert, ja, unendlich groß wird.
Sondern es persistiert, es erhält sich immer so ungefähr dieselbe Abweichung vom Gleichgewicht. Also,
wenn eine Lösung weder stabil ist, weder konvergent ist,
noch divergent ist, noch explodiert,
dann nennen wir diese Lösung persistent und solche Persistentenlösungen existieren genau dann,
wenn das Maximum, der Absolutbeträge,
der Wurzeln der charakteristischen Gleichung gleich eins ist.
Ja, wenn also der absolut gesehen größere Wert von diesem Lamda 1,
2 Wurzeln, wenn der genau gleich eins ist,
dann hat man eine persistente Lösung.
Und das wird wieder der Fall sein,
der in diesem Modell für konjunkturelle Fluktuationen
interessant ist
Sollte ich vielleicht mal kurz Luft holen?
Haben Sie Fragen zu dem, was ich hier erklärt habe?
Ja, bitte. Genau. Wenn es Schwingungen sind,
dann ist es so, dass bei den stabilen Lösungen
die Schwingung immer kleiner wird und gegen den Gleichgewichtswert geht.
Und ich zeige Ihnen das später noch, ja?
Und wenn es divergent ist, dann würde es bedeuten,
dass wenn es eine Schwingung gibt, die immer größer wird und also explodiert.
Aber es ist natürlich noch nicht ausgemacht, dass es wirklich
eine Schwingung ist. Das hängt ja, wie gesagt,
von diesem Quadrat plus 4B ab.
Es kann auch ein monotones Lösungsverhalten sein,
das zeige ich Ihnen dann gleich noch
Andere Fragen. Ja, bitte. Ja, sie können
die Persistenz in gewisser Hinsicht als ein Gleichgewicht interpretieren. Weil da nämlich,
also wenn wir jetzt wieder von dem Schwingungsfall ausgehen,
der uns interessiert, Schwingungen entstehen würden,
die immer ungefähr mit derselben Amplitude um den Gleichgewichtswert herum sich abspielen.
Ja, und das ist das, was so vielleicht
unserem intuitiven Verständnis von Konjunktur entspräche.
Bitte, Herr Steffen.
Mehr als ein linearer, mehr als eine exponentielle.
Denn das Lamda wächst ja schon mit der Potenz Hochtee
und das wird nochmal mit Tee multipliziert, genau.
Ja? Okay. Andere Fragen? Gut. Jetzt will ich
zunächst noch ganz kurz zu sprechen kommen auf dieses Problem,
dass wir so viele Lösungen haben.
Dass da immer noch diese Parameter C1 und CO2 mit rumspüren.
Das Problem ist ehrlich gesagt nicht so schlimm,
wie es vielleicht am Anfang aussehen mag
Es ist relativ einfach, eine eindeutige Lösung zu erzwingen,
eine eindeutige Lösung zu erhalten und solche eindeutigen Lösungen nennt man spezielle Lösungen.
Also wir merken Sie bitte die Begrifflichkeit,
hier spreche ich jetzt über spezielle Lösungen,
während in dem Satz von allgemeinen Lösungen die Rede war.
Allgemein bedeutet für beliebige Werte von C1 und C2.
Ein allgemeiner Lösungsausdruck, der eben von C1 und C2 abhängt.
Speziell bedeutet, dass wir das C1 und C2 irgendwie festsetzen.
Nun, wie erhält man spezielle Lösungen?
Man erhält sie dadurch, dass man zusätzliche Bedingungen fordert.
Zum Beispiel kann man ja sagen,
wir haben bestimmte Startwerte für das Bruttoinlandsprodukt,
für das
Wir beobachten einfach, dass das Y in einer Ausgangsperiode null
einen bestimmten Wert annimmt. Dann hätten wir einen bestimmten Ausgangswert Y-0.
Zum Beispiel sagen wir mal, wir starten im Gleichgewicht.
Oder wir starten mit dem Wert Y-0 gleich 1,
also einer Abweitweitweichung von einer Einheit vom Gleichgewicht.
Das könnte man ja sagen, dass das sozusagen die Situation ist,
die wir im Augenblick beobachten. Dann haben wir da einen
sogenannten Startwert vorliegen. Man kann ohne weiteres auch sagen,
dass man zwei Startwerte vorliegen hat,
zum Beispiel irgendwie ein Y-minus 1,
also der wird in der Vorperiode,
beobachtet man möglicherweise auch
schon eine bestimmte Gleichgewichtsabweichung
Oder man kann sagen, dass es einen bestimmten Grenzwert geben soll.
Zum Beispiel kann man fordern, naja,
wir wollen gerne nur diejenige Lösung betrachten, die hin konvergieren,
zum langfristigen Gleichgewichtswert, wo also das YT,
wenn die Zeit gegen unendlich geht, den wird null annimmt.
Also nur die stabilen Lösungen betrachten. In diesem Fall habe ich es,
also ich habe jetzt mal diesen Fall hier betrachtet,
ja, als Beispiel,
einen Startwert Y0 ist gleich null oder irgendein anderer Wert und einen Entwert YT ist gleich null,
wenn die Zeit gegen unendlich geht, dann haben wir zwei zusätzliche Bedingungen.
Und diese beiden zusätzlichen Bedingungen reichen genau aus,
um die beiden freien Größen C1 und C2 festzunageln,
auf bestimmten Werten
Man kann dann also zeigen,
dass es nur zwei spezielle Werte für C1 und C2 gibt,
also sowohl für C1,
genau einen Wert als auch für C2 genau einen Wert,
die so beschaffen sind, dass diese beiden Bedingungen erfüllt sind.
Und dann haben wir eine eindeutige Lösung. Also durch das
Verhängen von Anfangsbedingungen und oder Endbedingungen kann man aus der allgemeinen Lösung
leicht eine spezielle Lösung machen, die dann eindeutig ist.
Ja, das ist ein übliches Verfahren und das werden wir
auch noch gelegentlich anwenden. Eindeutige Lösungen sind natürlich immer ganz schön,
wenn man dann kompakt komparative Statik machen kann,
wenn man irgendwelche Parameter des Modells verändert
Jetzt gehen wir zurück zum Multiplikator,
Accelerator-Modell und wenden diesen Satz 1 mal an auf das Modell,
das dieser harmlos scheinende Differenzengleichung gehabt hat,
die ich Ihnen zuvor hier gezeigt habe, dieses Ding,
ja,
das sah so harmlos aus und Sie haben jetzt gesehen,
was für ein Lösungsapparat sich dahinter verbergen kann.
Jetzt wollen wir uns das mal angucken. Die charakteristische Gleichung
unseres Multiplikator-Accelerator-Modells ist Lamda-Quadrat minus C plus Nymer Lamda,
plus Ny ist gleich Null.
Das ist noch einfach
Einfach, das A ist C plus nu und das B ist minus nu.
Wenn Sie das vergleichen, ich schreibe es Ihnen hier,
wo war die nicht quietschende Kreide hier?
A ist bei uns also C plus nu und B ist gerade gleich minus nu.
Nun, da müssen wir lediglich einsetzen in die Formeln,
die ich Ihnen da gegeben habe und dann sehen wir,
was die Wurzel der charakteristischen Gleichung sind, lamm da 1,
2, ist dieser Ausdruck hier.
C plus nu halbe plus minus anhalb mal diese Wurzel da
und was uns jetzt interessiert ist, ist,
ob dieser Ausdruck hier wohl positiv oder negativ oder gleich null ist.
Und da sehen wir zunächst mal, dass man das nicht so ohne Weiteres sagen kann.
Wir sehen nämlich C plus Mü in Klammern zum Quadrat,
das ist sicherlich positiv, dass ihr unser A-Quadrat,
das ist immer positiv, aber dann steht hier minus viermal Mü,
Mü war positiv, also minus vier Manü ist negativ.
Das heißt, da steht was Positives und was Negatives unter der Wurzel.
Wir wissen nicht, welcher von den beiden Ausdrücken größer ist. Das heißt,
wir müssen jetzt wirklich durch die ganzen Fallunterscheidungen durchgehen und uns überlegen,
welches Lösungsverhalten dieses Modell wohl aufweist in Abhängigkeit von den Parametern,
die wir dort haben
Wir haben ein bisschen Einschränkungen bezüglich der Parameter gemacht. Wir haben gesagt,
das C hier liegt zwischen 0 und 1. Ist ja die marginale Konsumneigung.
Und für das Nü haben wir keine Einschränkung gemacht,
da haben wir nur gesagt, das ist positiv.
Wir haben uns überlegt, das Nü hängt ab von der Periodisierung
des Modells. Das Nü ist zwischen 3 und 4,
wenn wir in Jahresdaten arbeiten und das ist irgendwie Bereich zwischen vielleicht 12 und 16,
wenn wir Quartalsdaten arbeiten, wenn wir in Monatsdaten arbeiten,
dann ist es noch viel größer.
Also Nü kann ziemlich große Werte annehmen, je nachdem,
was wir für die angemessene Periodenstruktur dieses Modells halten
So, jetzt hatte ich hervorgehoben, dass die Lösung
dieser Differenzengleichung manchmal stabil sein können, in bestimmten Situationen.
Ich gebe Ihnen hier zunächst mal ein Korular, also einen Hilfssatz,
der Ihnen das noch ein bisschen genauer erlaubt zu testen,
zu checken, ob eine stabile Lösung gegeben ist.
Denn es ist so,
wenn man eine lineare Differenzen gleich um zweiter Ordnung hat,
in der Form, in der wir sie analysiert haben,
dann sind die Stabilitätsbedingungen relativ einfach zu überprüfen anhand des
sogenannten Stabilitätsdreiecks,
was ich Ihnen zeige
Es ist nämlich dann der Fall, dass die Lösung
stabil ist, wenn diese drei Ungleichungen hier erfüllt sind.
Wenn B kleiner ist als 1 minus A,
B kleiner ist als 1 plus A und B
größer ist als minus 1. Wenn das der Fall ist,
dann ist die Lösung stabil, sonst ist sie nicht stabil.
Ja, sonst ist sie entweder persistent oder diverget.
Und sie soll mal bitteschön versuchen, das sich selbst klar zu machen.
Ich habe hier hingeschrieben, sie sollen als Übung eine Beweisskitze machen.
Die müssen sich genau beweisen, aber sie sollte sich
so ungefähr überlegen, indem sie folgendermaßen vorgehen.
Werten sie mal einfach die Grenzen dieser Ungleichungen aus
B, kleiner 1-A hat als Grenze sozusagen den Fall B gleich 1-A. B,
kleiner 1 plus A, hat als Grenze den Fall B,
gleich 1 plus A und B,
größer minus 1 hat das Grenzinfall B,
gleich minus 1 und zeigen sie,
dass wenn einer von diesen drei Bedingungen erfüllt ist hier,
dass dann jeweils ein Eigenwert betragsmäßig gleich eins ist.
Das heißt, wir sind dann in dem Bereich dieser Persistentenlösungen.
Ja, also Persistenz ist sozusagen die Scheiderlinie zwischen Stabilität,
Konvergenz und Divergenz dem explosiven Verhalten.
Und das können sie
sich also
relativ einfach überlegen
Nun, was bedeuten diese drei Ungleichungen dort? Ich hatte eben
den Begriff des Stabilitätsdreiecks erwähnt, das zeige ich Ihnen hier mal.
Wir können einfach mal im zweidimensionalen B und A, die beiden Parameter
, abtragen. Sie sehen, jetzt habe ich hier abgetragen,
auf der Abstäße den Parameter A, kann positiv sein,
kann negativ sein und auf der Ordinate trage ich das B ab.
Wenn Sie die Ungleichung haben,
dass B kleiner ist als 1 minus A,
dann bedeutet das doch nichts anderes,
als dass der Wert für B kleiner sein muss als
die Werte,
die hier auf dieser geraden liegen
Denn diese Gerade beschreibt gerade die lineare Funktion B
ist gleich 1 minus A. B ist gleich 1,
wenn A gleich null ist und wenn A gleich 1 ist,
dann wäre B 0, 1 minus A. Also alle Werte,
die unterhalb dieser Geraden hier liegen, die führen dazu,
dass das B kleiner ist als 1 minus A.
Umgekehrt, wenn das B kleiner sein soll als 1 plus A,
dann ist die Geradengleichung B gleich 1 plus A
durch diese Gerade hier gegeben.
Also alle Werte von B, die kleiner sind als 1
plus A, die liegen irgendwie unterhalb dieser Linie hier
Und schließlich hat man gesagt, B soll größer sein als minus eins,
nun ja minus eins ist hier, das ist also eine Parallele einfach zur A-Achse.
Alles, was größer ist als minus eins. Das würde
dann ebenfalls zur Stabilität beitragen. Wenn alle drei Bedingungen erfüllt sein sollen,
B ist kleiner als eins minus A,
also unterhalb dieser Graden, kleiner als eins plus A,
unterhalb dieser Graden und größer als minus eins,
dann bedeutet, dass alle Werte von A und B,
die in diesem Dreieck drin liegen, die führen dazu,
dass die Lösung der Differenzen gleich und stabil ist.
Alle Werte, die irgendwie da drauffliegen, genau auf dem Rand des Dreiecks führen zu Persistentenlösungen
Und alle Werte, die außerhalb des Dreiecks liegen,
die führen zu instabilen Lösungen, also zu divergenten Lösungen
. Bevor wir in die eigentliche Analyse einsteigen,
noch eine letzte Bemerkung, nämlich eine Veranschaulichung,
dass Ihnen vielleicht zunächst einmal sehr wundersam vorkommenden Resultats,
dass wir hier Schwingungen bekommen aus einem linearen Modell,
dass wir hier komische Cosinus und Sinus-Thermo plötzlich in der Lösung drin hatten.
Der Versuch einer Veranschaulichung, des Sachverhalts,
dass komplexe Wurzeln Zyklen generieren
Ich will es Ihnen einfach an einem Beispiel demonstrieren.
Das einfachste Beispiel ist, dass wir mal eine Differenzengleichung angucken,
die zum Beispiel die Form hat YT plus 2 plus YT,
ist gleich null. Das ist ja eine lineare Differenzengleichung,
zweiter Ordnung, wie Sie sehen, die Zeitdifferenz,
hier ist 2. Ich hätte auch schreiben können, YT,
plus YT minus 2 ist gleich null,
wäre dieselbe Differenzengleichung gewesen.
Wir gucken uns mal an, was diese Differenzengleichung hier für
eine charakteristische Gleichung hat. Nur die charakteristische Gleichung ist doch
offenbar Lamda-Quadrat plus 1 ist gleich null
Ja. Also setzen sich hier wieder ein, Lamda hoch
Tee plus 2, plus Lamda hoch Tee,
ist gleich null, dann dividieren sie durch Lamda hoch Tee,
dann bleibt also einfach stehen, Lamda Quadrat plus 1 ist gleich null,
das ist die charakteristische Gleiche.
Nun diese Gleichung, hier hat keine reelle Lösung,
weil das ja bedeuten würde, Lamda Quadrat muss gleich minus 1 sein.
Das hat keine reelle Lösung, aber wir wissen,
die Wurzel aus minus 1 ist plus oder minus I.
Also Lamda 1, 2, die beiden Lösungen, die wir erhalten,
sind plus oder minus I plus oder minus die imaginäre Einheit.
Das heißt, wir haben hier einen einfachen Fall von
komplexen Lösungen
Jetzt will ich Ihnen zeigen, dass diese komplexen Lösungen,
oder es ist eine Gleichung, die derartige komplexe Lösung hat,
eben in einer naheliegenden Art und Weise Zyklen generiert.
Und um das uns zu veranschaulichen,
wollen wir uns einfach mal die Gleichung vornehmen und sukzessiver einsetzen.
Nehmen wir mal an, wir haben irgendwie zwei Startwerte gegeben für diese Gleichung.
Sagen wir mal, wir wissen Y0 ist 1 und Y1 ist
0,5. Sie sind herzlich eingeladen, dass man mit irgendwelchen anderen Stadtwerten ebenfalls auszuprobieren.
Wenn das so ist, dass Y0 gleich 1 ist und
Y1 gleich 0,5 ist, dann können wir natürlich ausrechnen,
was Y2 ist.
Ich schreibe die gleichen Kilo
noch mal hin
Die Gleichung lautet doch YT plus 2. Ist gerade gleich minus YT.
Wenn ich das YT auf die andere Seite bringe. Also,
was muss ich jetzt machen, wenn ich weiß,
Y0 ist gleich eins, dann weiß ich,
Y2 muss gleich minus eins sein,
denn YT plus zwei ist gleich minus YT.
Also Y2 ist minus eins. Y3 ist der um
zwei Perioden verzögerte Wert mit dem negativen Vorzeichen,
also der vor zwei Perioden aufgetretene Wert ist 0,5. Das heißt,
jetzt kriegen wir minus
Y und 4 ist wieder der Wert,
zwei Vorperioden vorher mit einem negativen Vorzeichen, also minus eins,
mal minus eins, gibt plus eins und Y und 5 wird wieder 0,5.
Das heißt, die Reihe, die alterniert hier 1,
0,5 minus 1 minus 0,5 1 0,5. Naja,
und jetzt haben wir hier praktisch wieder dieselben Werte,
wie die, die wir als Startwerte benutzt haben.
Das heißt, jetzt geht die Reihe wieder von vorne los.
Wenn Sie sich das anschauen,
wenn Sie sich das grafisch veranschaulichen, dann sehen Sie eben,
dass Sie eine solche Entwicklung für das Y bekommen.
1, 0,5 minus 1 minus 0,5 1,
0,5 minus 1 minus 0,5. Das heißt,
wir haben eine sehr schöne Schwingung aus dieser einfachen Gleichung heraus
Also wir sehen jetzt hier eine Gleichung, deren, also eine Differenzengleichung,
deren charakteristische Gleichung komplexe Wurzeln hatte, führt offenbar zu schwingendem Verhalten.
Ja? Nun, was ist der Grund dafür?
Der Grund ist folgender. Wenn wir eine komplexe Zahl haben,
die wir irgendwie schreiben können in der Form A plus minus B mal
I. Das hier ist ja der allgemeine Ausdruck für eine
komplexe Zahl und der ist mir insofern ein bisschen missraten,
als ich hier jetzt As und Bs genommen habe,
die nichts zu tun haben sollen mit den As und Bs aus dem Satz 1,
ja, sind einfach irgendwelche anderen Zahlen.
Also rätseln Sie da bitte nicht drüber,
was das jetzt mit dem Satz 1 zu tun hat,
sondern es sind einfach irgendwelche reellen Zahlen und A plus B mal
I oder A minus B mal I ist eine komplexe Zahl.
Dann wissen Sie wahrscheinlich,
dass das die Algebrage-Darstellung einer komplexe Zahl ist und dass man
die überführen kann in die trigonometrische Darstellung einer komplexen Zahl.
R mal I hoch plus minus Ifi. Und
die kann man eben auch gemäß der ollischen Identität schreiben,
als ärmer Cousinus Fi plus minus I mal Sinus Fi.
Und da sehen Sie also bereits die komplexe Zahl,
die kann immer zurückgeführt werden auf Cosinus und Sinus-Funktionen.
Und das ist der eigentliche Grund,
weshalb wir bei komplexen Wurzeln eben
schwingendes Verhalten bekommen
Ja, diese komplexen Zahlen selbst sind Funktionen,
die sie auf Cosiness und Sinus-Funktionen zurückführen können.
Fragen bis hierhin. Okay, Satz 2,
der ist kurz und bezieht sich direkt auf das Multiplikator-Accelerator-Modell,
also nicht mehr auf dieser allgemeinen Darstellung mit As und Bs.
Wenn Z und Nü beide positiv sind,
und das haben wir ja angenommen,
die marginale Konsumneigung ist positiv,
das Nü ist positiv
Dann ist die Lösung YT der homogenen Differenzialgleichung stabil,
der homogenen Differenzengleichung, Entschuldigung, der homogenen Differenzengleichung stabil,
genau dann, wenn das C kleiner ist als eins und das Nü.
Kleiner ist als eins. Nur die erste Bedingung ist harmlos,
das C ist immer kleiner als eins, das haben wir angenommen.
Die zweite Bedingung ist alles andere als harmlos, wir haben
keine hinreichenden Grund anzunehmen, dass das Nü kleiner ist als eins.
Das heißt, wir müssen damit rechnen,
dass die Lösung unseres Modells instabil ist,
weil das Nü ohne weiteres größer sein kann als eins.
Genau genommen alle Periodisierungen, die ich Ihnen bislang vorgetragen hatte,
haben impliziert, dass das Nü in der Realität sehr viel größer ist als eins.
Ich hatte gesagt, für Jahreswerte zwischen drei und vier,
Quartalswerte irgendwo zwischen 12 und 16. Für Monatswerte noch entsprechend größer.
Also es scheint sehr viel größer zu sein als eins und die Lösung
ist dementsprechend vermutlich instabil. Diesen Satz können Sie jetzt ja einfach beweisen,
wenn Sie das ausnutzen, was ich Ihnen eben über das Stabilitätsdreieck gezeigt habe. Ja,
deshalb gebe ich Ihnen das zur Übung und ich verweise nur noch mal kurz darauf,
dass das Stabilitätskonzept natürlich relevant ist,
weil es uns die Abweichung vom Gleichgewichtswert wiedergibt,
wenn wir eine Modelllösung haben, die nicht stabil ist,
bedeutet das ja,
dass ich das tatsächliche Bruttoinlandsprodukt beliebig weit von seinem Gleichgewichtswert
entfernen kann und dann fragt es sich,
ob es überhaupt noch sinnvoll ist
Diesen Gleichgewichtswert als Gleichgewichtswert zu betrachten, weil er offenbar sehr,
sehr weit von dem entfernt ist, was wir in der Realität beobachten können.
Das hier ist die grafische Veranschaulichung von Satz 2 und die ist wieder ganz einfach.
Wenn wir uns jetzt nur die positiven Äste des Parameterraumes angucken,
die marginale Konsumneigung hier auf der Ordinate tragen und das Lü hier auf der Absisser abtragen,
dann wissen wir, die stabilen Lösungen,
die sind genau durch dieses Quadrat hier gekennzeichnet.
Alle Werte von C und Mü, die kleiner als eins sind,
die gleichzeitig kleiner als eins sind,
geben Anlass zu stabilen Lösungen und nichts anderes
Jetzt ist die Stabilität das eine, was vielleicht irgendwo reizvoll ist.
Ich werde ihn gleich noch erläutern,
dass wir das eigentlich gar nicht unbedingt wollen,
aber so als gedanklicher Bezugspunkt ist es vielleicht zunächst mal ganz attraktiv.
Und dann haben wir natürlich noch eine andere Eigenschaft,
die uns viel mehr interessiert, unter Konjunkturaspekten,
nämlich die Frage der Schwingungen.
Wenn C und Nü positiv sind, so wie wir das hier unterstellen,
dann weiß die Lösung der homogenen Differenzen gleich um Schwingungen auf.
Das heißt, wir kriegen komplexe Wurzeln. Genau dann,
wenn das C kleiner ist als zweimal
die Wurzel aus Nü-Nü
Muss kleiner sein als zweimal die Wurzel aus Minus
Nü. Das können wir ganz schnell beweisen,
dass das richtig ist, was ich da sage.
Denn wir wissen ja, unsere Wurzeln der charakteristischen Gleichung glammen da 1,2.
Das war dieser Ausdruck hier. Schwingungen erhalten wir dann,
wenn hier die Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen wird.
Das heißt, interessieren tut uns zwar ein C plus Nü,
in Klammern zum Quadrat, kleiner ist als 4 Nü.
Also komplexe Wurzeln erhalten wir,
wenn C plus Nü Quadrat kleiner ist als 4 Nü.
Nun, das können wir natürlich schneller auflösen. Da ziehen
wir hier erstmal die Wurzel draus. Das können wir ohne
weiteres machen, weil ja das alles positive Größen sind.
Das heißt, das impliziert dann das C kleiner ist
als plus minus zweimal die Wurzel aus Nü
Pustekuchen? Doch, jetzt da wieder.
Eine Batterie ist alle
So, nochmal. Dieser Ausdruck hielt, ich schreibe vielleicht
mal eine Tafel. Zieh gleich zweimal Wurzelnü. Ja,
wenn sie das als Funktion auffassen,
wenn sie praktisch das C als eine Funktion von Nü auffassen,
dann kriegen sie,
können sie groben Diskussionen machen und sich das überlegen,
war die falsche Richtung,
dann kriegen sie
diesen Bogen hier raus
Ja, die Eigenschaft,
dass gerade an der Stelle nü gleich vier null rauskommt,
können wir schnell überprüfen, Venue gleich vier ist,
dann steht da zweimal die Wurzel aus vier,
das ist also zweimal zwei, macht vier,
minus vier ist gerade gleich null.
An der Stelle ist eine Nullstelle. Und für nügleich null haben wir auch eine Nullstelle,
denn Wurzel aus null ist null, also null,
minus null ist auch null. Das ist da, naja,
und da machen sie Kurvendiskussionen, dann können sie feststellen,
dass da oben das Maximum liegt und so weiter.
Ist nicht schwer zu ermitteln, dass das der Verlauf der
Funktion ist. Jetzt sehen wir also für alle C-Werte,
die unterhalb dieser Linie hier liegen,
kriegen wir Schwingungen heraus
Und außerdem wissen wir, für alle Nühwerte kleiner als eins
und C-Werte kleiner als eins, kriegen wir was Stabiles raus.
Das kombiniere ich jetzt also hier in dieser Grafik. Hier ist mein Bereich,
der mir sagt, wo die Schwingungen entstehen, ja, nämlich hier,
ich spreche jetzt von bestimmten Regimeen in den Regimeen 4,
5, das ist gerade diese Linie und 6,
da sind überall Schwingungen, weil das,
weil dann diese Ungleichung da erfüllt ist,
C kleiner als zweimal Wurzeln wie Minusly.
Und Stabilität haben wir hier in dem,
was früher ein Quadrat war,
jetzt habe ich da eine etwas andere Skalierung, aber da,
wo eben sowohl das C kleiner als eins ist,
als auch das Nühklein als eins ist,
da liegt Stabilität vor
Insgesamt haben wir da jetzt sechs Regime, die wir betrachten können.
Ja, Regime 1, wie wir sehen,
ist ein Regime, da ist die Lösung stabil.
Ja, wir sind in diesem Quadrat hier drin,
was tatsächlich hier ein Rechteck ist, stabile Lösung, aber nicht schwingend.
Regime 2, naja, das ist das Regime,
wo C gerade gleich eins ist, das heißt,
es ist ein persistentes Regime.
Ja, es liegt keine Stabilität mehr vor,
wir sind ja gerade auf dem Grenzbereich zwischen Stabilität und Instabilität.
Deshalb haben wir hier also was Persistentes. Regime 3 hat ebenfalls,
also und dann sollte ich sagen, das ist eine Persistenz
hier ohne Schwingungen, aber außerhalb des schwingenden Bereiches sind.
Regime 3 hat ebenfalls keine Schwingungen. Und es ist auch
nicht stabil. Das heißt, das hier sogar explosiv.
Also wir haben nicht schwingende Lösungen, stabiler Art,
persistenter Art in 2 und explosiver Art in 3. Und
dann haben wir schwingende Lösungen, stabiler Art in 4,
persistenter Art in 5 und explosiver Art Index.
Diese sechs Regime gibt es jetzt abhängig von den Werten,
die die Parameter annehmen
Andere Parameterwerte größer als C gleich eins brauchen wir nicht zu betrachten.
Wir wissen, unser Nü ist vermutlich größer als eins.
Das heißt, wahrscheinlich sind wir hier entweder in dem Bereich des Regimes 6 oder des Regimes 3.
Und das wollen wir uns jetzt mal angucken,
wie diese einzelnen Regime unterschiedliches Schwingungsverhalten ermöglichen oder gar kein Schwingungsverhalten ermöglichen.
Das, was ich gerade gesagt habe, trage ich Ihnen
hier in Form dieser Tabelle nochmal zusammen. Da sehen Sie also,
wenn wir reelle Wurzeln haben, dann haben wir keine Schwingungen,
dann haben wir also entweder monotone Konvergenz in Regime 1,
Konvergenz, was stabil ist,
oder wir haben Persistenz Regime 2 beziehungsweise monotone Divergenz,
wenn das nü größer wird als eins.
Und wir haben monotone Divergenz, explosives Verhalten in Regime
3. Im Fall komplexer Wurzeln haben wir die Regime 4,
5 und 6, die ich Ihnen gerade gezeigt hatte.
Die können ebenfalls konvergent sein,
perräsistent oder hierfür kann man auch schreiben,
konstante harmonische Schwingungen, also konstante Sinusschwingungen,
die nicht irgendwie abnimmt oder zunehmend von der Applitude her
sind oder im Regime 6 zunehmende Schwingungen,
die dann also divergent beziehungsweise
explosiv wären
Hier sind grafische Veranschaulichungen dieser Sachen. Gehen wir nochmal zurück.
Regime 1 hier war stabil und nicht schwingend. Das heißt,
ja, oder nochmal hier, nochmal da,
stabil und nicht schwingend ist Regime 1. Das nennen wir das Regime der monotonen Konvergenz.
Und das bedeutet also, dass wir uns,
weil wir stabil sind, dem Gleichgewichtswert Y monoton nähern,
also von irgendeiner anfänglichen Gleichgewichtsabweichung ausgehend,
konvergieren wir monoton hin zum Gleichgewichtswert.
Dieses Verhalten ist uninteressant unter Konjunkturaspekten,
weil hier keinerlei Schwingungen stattfinden.
Es konvergiert eben einfach
Regime 3. Dieses da ist nicht stabil, hat keine Schwingungen.
Das heißt, es hat keine Schwingung und es ist explosiv,
die Veranschaulichung oder wir nennen das dann das Regime der monotonen Divergenz.
Dieses Regime verhält sich so,
selbst wenn wir ganz nah am Gleichgewichtswert starten,
dann entwickelt sich im Zeitablauf, beachten Sie das hier immer,
das T steht im Zeitablauf,
vergrößert sich die Abweichung vom Gleichgewichtswert und konvergiert irgendwie gegen plus unendlich.
Oder wenn wir knapp unterhalb des Gleichgewichtswertes starten würden,
dann würde es irgendwie gegen minus unendlich gehen
Regime 4. Ist ein Regime, wo wir Stabilität haben und wo wir Schwingungen haben.
Dieses Regime nennen wir das der abnehmenden Schwingungen, das ist
also ebenfalls konvergent. Und das sieht dann so aus,
dass wenn wir von irgendeinem Startwert aus starten,
dann haben wir Schwingungen rund um den Gleichgewichtswert und die Amplitur,
die der Schwingungen wird immer kleiner und schließlich landen wir auf dem Gleichgewichtswert.
Das ist schon mal schön, weil Verschwingungen haben,
aber das ist nicht das, was wir unter Konjunktur verstehen.
Denn bei Konjunktur haben wir gesagt, das sind Schwingungen,
deren Amplitude im Zeitablauf nicht nachlässt.
Schlagen Sie nochmal in der Burns Mitchell Definition
Ja, die Amplitur der Schwingung scheint im Zeitablauf nicht abzunehmen,
schreiben Burns und Mitchell. Das heißt,
es ist zwar sehr hübsch, dass wir hier diese Schwingungen kriegen,
aber das ist auch nicht das, was wir haben wollen,
wenn wir Konjunktur erklären wollen.
Das, was wir als Konjunktur haben wollen,
das ist Regime 5. Sehen Sie, hier haben wir irgendwie Schwingungen,
deren Amplitude im Zeitablauf nicht abnimmt.
Was war Regime 5? Regime 5 war gerade das,
was sich ergibt, wenn das Nü genau den Wert eins hat.
Ja, Mühe hat genau den Wert eins und C
ist irgendwie zwischen 0 und
Das ist sowieso eine grundsätzliche Annahme,
das C zwischen 0 und 1 sein soll,
brauchen wir uns also nicht weiter in den Kopf drüber zu zerbrechen,
aber es wäre natürlich schon eine arge Zufälligkeit,
wenn dieser Akzelerationskoeffizient nun exakt den Wert 1 hat,
ein bisschen kleiner als eins wurde in den Bereich der stabilen Lösungen führen,
dann sterben die Schwingungen langsam aus,
ein bisschen größer als eins wurde in dem Bereich der Divergentenschwingungen führen,
dann explodieren die also.
Das heißt, diese Lösung ist das,
was man in der englischsprachigen Literatur als Knivedged bezeichnet. Ja,
man läuft sozusagen auf Messers Schneide oder sozusagen auf dem Grad
eines Berges und jeder Schritt in die eine oder in die
andere Richtung würde dazu führen,
dass man irgendwie in ein ganz anderes Regime hineinkommt
Oder in der Sprache, der Stahastiker, der Wahrscheinlichkeitstheoretiker gesprochen, die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass Sny, der wirklich in der Natur,
in der Ökonomie existierende wird, nö,
exakt gleich eins ist, diese Wahrscheinlichkeit ist eigentlich null.
Ja, das kommt praktisch nicht vor. Warum sollte es gerade
gleich eins sein? Aber das ist exakt der Fall,
der uns die Schwingungen erzeugt, die konjunkturell interessant wären in diesem Modell.
Was ist mit den anderen Regime? Hier ist Regime 6,
da haben wir explosive Schwingungen. Ja, Regime 6,
das war das, wenn das nü größer war als eins.
Wir wissen, das nü ist vermutlich viel größer als eins
Wenn es immerhin noch kleiner als vier ist,
dann haben wir Schwingungen und diese Schwingungen explodieren.
Und dann kriegen wir also einen solchen Verlauf hier raus.
Der ist aber nicht so sonderlich interessant unter konjunkturellen Aspekten,
weil wir das nicht beobachten, dass die Amplitude der Konjunkturschwingungen zunimmt.
Und dann haben wir noch das Regime 2,
über das ich noch nicht so sehr viel gesagt habe und
was er auch vielleicht nicht im Detail betrachten soll.
Ich gehe hier über diese Folien,
obwohl ich es genau ausgearbeitet habe, ein bisschen schneller hinweg.
Regime 2 ist eigentlich im Multiplikator Accelerator-Modell gar nicht zulässig,
weil Regime 2 das Regime war,
wo die marginale Konsumneigung genau gleich eins war.
Das war dieses Regime hier
Ja. Aber das haben wir gesagt, das wollen wir eigentlich nicht haben,
die marginale Konsumneigung soll immer kleiner als einen sein.
Nur wenn wir das mal so als Grenzfall dennoch betrachten,
dann sehen wir, dass da jede Menge Schwierigkeiten entstehen,
wenn wir ein solches Regime betrachten.
Wenn C gleich eins ist, dann ist nämlich unsere Differenzengleichung
jetzt wieder in den Ursprungsvariablen geschrieben, so zu schreiben.
Ja, da habe ich überall das C auf eins gesetzt.
Und dann sehen Sie,
kann ich zum Beispiel das YT und das YT-minus eins hierzu
einer Veränderung von Y zusammenführen und das Ny mal YT-minus 1,
minus YT-minus 2 ist ja ebenfalls eine Veränderung von Y,
immer als Delta geschrieben
Dann steht da also die Veränderung von YT minus nühmer die Veränderung von YT minus 1,
ist irgendwie hier 10-0 plus i0,
da sitze ich einfach mal gleich gerne ab.
Dieses Modell hat ebenfalls eine langfristige Lösung in den Delta YTs,
die können sie ausrechnen, das wäre nämlich dann,
die langfristige Lösung wäre nämlich dadurch gekennzeichnet,
dass sie wieder die Zeit in die Cs hier vernachlässigen,
dann steht da Delta Y mal 1-nü,
ist gleich Gamma oder Delta Y ist Gamma durch 1-nü.
Data Y ist die Veränderung von Y. Nun,
das bedeutet, dass sich Y nur dann nicht verändert,
wenn das Gamma
gleich null ist
Denn Gamma wäre ja dann, oder die Veränderung von Y,
das im langfristigen Gleichgewicht wäre,
gerade gleich Gamma durch 1, minus nü.
Das heißt also, wenn das da mal von null verschieden ist,
dann würde entweder das Y ständig wachsen oder ständig fallen.
Das sind auch nicht wirklich interessante Lösungen für unser Modell.
Ganz abgesehen davon, dass die Restriktionen zielgleich 1 nicht kompatibel ist mit dem Modell.
Deshalb gehe ich hier durch die Einzelheiten dieses Dings nicht durch.
Und wir kommen stattdessen zu Simulationen des Modells.
Was ich hier mache, ist praktisch dasselbe,
was ich eben anhand von Handzeichnungen gezeigt habe,
indem ich das Modell mal mit bestimmten Zahlenwerten
in den Computer reinstecke
Wir nehmen jetzt mal also einfach irgendwelche Werte für Kleinzieh und Kleinnüh
und gucken uns an, wie das Modell sich entwickelt.
Stellen wir uns zum Beispiel mal vor,
die marginale Konsumneigung sei 0,8, das ist ein vernünftiger Wert,
ja, und das Nühwellen war sehr klein,
0,04. Wir wissen, dass das viel zu klein ist.
Ja, aber nur einfach, um zu sehen, was passiert.
Dann sind wir offenbar in dem Regime eins,
was ich Ihnen eben gezeigt hatte, ja,
stabiler Bereich, aber keine Konvers, keine Schwingungen,
denn das Nüh ist ja sehr klein und das C ist
relativ groß.
Gucken Sie es hier nochmal an
C ist 0,8, also liegt vielleicht irgendwo hier.
Das Nü ist sehr nah an Null, dann sind wir
sicher in Regime 1. Jetzt können wir uns das hinschreiben,
wie unser Konsum und unsere Investitionen und unser Y sich verhalten.
C ist dann irgendwie hier, ja,
ich habe jetzt hier für den autonomen Konsum den Wert von zehn
angesetzt und für die autonomen Investitionen den Wert von 90 angesetzt, plus Marie,
also C ist ein autonomer Konsum plus marginale Konsumneigung, mal Y-Team minus 1.
Also das 0,8 taucht da auf. Und I ist 90
plus 0,04, das ist das Nü,
mal die Veränderung von
Und dann kann ich mir überlegen, wie das YT sich verhält,
YT ist dann 100, plus 0,84 YT minus 1,
nämlich das 0,84 ist gerade 0,8 plus 0,04,
C plus 0, A ist C plus 0,
minus 0,04 mal YT minus 2, naja,
B war minus 0. Und jetzt stecke ich das in den Computer rein und simuliere mir mal,
was passiert.
Die Simulation, das lasse ich so laufen, dass ich
in der Periode null den autonomen Konsum am Schock unterziehe.
Also ich habe hier die Zeit beginnen lassen bei minus 3,
minus 2, minus 1, in diesen drei Anfangsperioden soll das Modell gerade in seinem langfristigen Gleichgewicht sein. Das habe ich ausgerechnet,
das langfristige Gleichgewicht ist 500 für Y, 90 für I,
nämlich der autonome, die nauatonomen Investitionen, 410 für C,
sie sehen, wenn man das jetzt addiert, 410 plus 90,
gibt die 500 da, Y ist also C plus I,
da steht die Veränderung der Investitionen,
die ist null in allen drei Perioden,
die Veränderung des Konsums ist null in allen drei Perioden und die Veränderung von Y ist nun in allen drei Perioden,
also sind wir im langfristigen Gleichgewicht.
Okay, jetzt in Periode 0 gibt es einen Schock und zwar sage ich mal,
aus irgendeinem Grunde steigt der autonome Konsum um 50 Einheiten ein an.
Was passiert
Naja, sie sehen, was passiert ist folgendes.
Dadurch erhöht sich der Konsum von 410 auf 460. Folglich erhöht sich
das Bruttoinlandsprodukt auf 550, nämlich um diese 50 Einheiten.
Hier, die Investitionen sind ja erstmal noch unverändert.
Also sehen wir auch eine Veränderung in Y in Höhe von 50.
Wenn sich jetzt Y verändert, um 50 Einheiten, dann bedeutet das,
dass für die Investitionen der nächsten Periode eine Anpassung erforderlich ist.
Denn die induzierten Investitionen sind ja nü mal YT minus
1,
minus YT minus
Also, das Y, da steckt die Veränderung von Y
drin und Y hat sich jetzt verändert um 50.
Also müssen die Investitionen ansteigen, um nun mal 50,
0,04 mal 50. Das sind gerade zwei Einheiten.
Die Investitionen steigen jetzt in der nächsten Periode hier auf 92.
Der Konsum hier bemisst sich jetzt auf nur noch 450 Einheiten,
weil die marginale Konsum hat neigen und ja 0,8 war.
Wir haben einen Einkommenszuwachs von 50,
von dem wir in 80 Prozent konsumiert,
also der Konsum steigt jetzt um 40 Einheiten oder wird jetzt
40 Einheiten höher sein als ein Gleichgewichtsniveau, Statt 410 ist er, 450.
Das heißt, der Konsum sinkt bereits wieder um zehn Einheiten gegenüber der Vorperiode.
Ja, der war in der Vorperiode 460, ist jetzt nur noch 450.
Was wir hier sehen, ist etwas Eigentümliches, was konjunkturuntypisch ist.
Denn normalerweise ist es doch in der Konjunktur so,
dass wir eine positive Korrelation zwischen den Aggregaten,
die zwischen den Hauptaggregaten, der Makroökonomie sehen.
Output, Konsum und Investitionen sind positiv miteinander korreliert,
hatte ich ihn in meinen stilisierten Fakten gezeigt.
Die Korrelation war positiv. Hier ist sie aber negativ,
die Investitionen steigen,
während der Konsum fällt
Es ist kein typisches Konsumverhalten, was Fantasie.
Spricht schon gegen dieses Modell neben anderen Sachen,
die ich ihm gleich noch zeigen werde.
Was passiert mit dem Bruttoinlines-Produkt? Nun, das Bruttoinlandsprodukt,
das Feld auch. Denn dieser Anstieg der Investitionen hier um
zwei Einheiten vermag nicht den Fall des Konsums,
um zehn Einheiten zu kompensieren.
Y ist ja einfach C plus i. Also haben wir hier
nur noch 542 Einheiten Y. Das heißt, das Bruttoinlines-Produkt sinkt um acht Einheiten.
Minus acht, haben wir da. Naja, wie geht
das jetzt weiter? Dadurch, dass das Bruttoinlines-Produkt sinkt,
sinkt der Konsum natürlich. Auch in der nächsten Periode.
Von 54 auf
Das heißt, der Konsum wird niedriger und auch das Bruttoinlandsprodukt
wird ständig niedriger, verändert sich also zum Negativen.
Die Investitionen fangen hier auch direkt wieder an zu sinken.
Denn wir sehen ja, jetzt ist das Bruttoinlandsprodukt weniger geworden,
die Veränderung des Bruttoinlandsprodukts ist negativ.
Folglich müssen die Investitionen sinken und zwar sogar unter das Ausgangsniveau von 90.
Die sinken hier auf 89,7. Wenn Sie jetzt diese Zahlenkolonnen hier
mal mit dem Auge entlangleiten, dann sehen Sie,
dass wir sehr schnell wieder in die Nähe unseres ursprünglichen Gleichgewichts kommen.
Nach 15 Perioden, naja, sind wir hier
nicht mehr sehr weit vom Gleichgewichtswert von 500 entfernt
Ist sogar schon wieder auf seinem Gleichgewichtswert. C liegt noch
ein bisschen da drüber. Wenn ich das noch weiter gerechnet hätte,
dann würde ich hin zum Gleichgewicht konvergieren. Das ist eben
das Regime der monotonen Konvergenz, was wir hier haben.
Wir haben eine Störung, und zwar eine erhebliche Störung.
Sie sehen ja, der Konsum, der steigt hier um
mehr als 10 Prozent an, durch diesen einen Schock.
Aber innerhalb einer bestimmten Zeit nähern wir uns im Gleichgewicht wieder
und es gibt keine Schwankungen dabei. Das Regime ist also konjunkturell uninteressant,
weil wir keine Schwingungen beobachten und weil wir auch ein atypisches
Korrelationsverhalten zwischen den Hauptaggregaten YC und I beobachten in dem Sinne,
dass die in einer Periode mal negativ korrigiert sind
Das ist die grafische Veranschaulichung dessen, was passiert.
Die Investitionen reagieren hier hier nur so ganz klein,
deshalb sehen sie das nur so ein ganz kleines Zittern an der Stelle,
was tatsächlich passiert ist, dass der Konsum einmal anspringt.
Das führt dazu, dass auch das Bruttoinlandsprodukt anspringt und
dann nähern die sich langfristig einfach ihren Gleichgewichtswert wieder.
Sie sehen hier nicht bis hin zu 42 Perioden für C
und I haben einen prozyklischen Verlauf,
Entschuldigung für C und Y haben einen prozyklischen Verlauf für I ist ja an einer Stelle mal gestört.
Ansonsten ist es auch prozyklisch. Jetzt gehen wir zu Regime
3 und gucken uns das vielleicht nochmal gerade an,
was Regime 3 war
Regime 3 war dieser Bereich hier,
da haben wir ebenfalls ein monotones Verhalten, keine Schwingungen,
aber wir sind im explosiven Bereich, haben keine stabile Lösung mehr.
Wie kriegen wir das hin? Nun, wir lassen die
marginale Konsumbeneigung auf 0,8 und nehmen einen Wert für das Nü von 2,4,
also ungefähr im Bereich dessen, was realistisch ist.
Ich hatte gesagt, Nühwerte von 3 bis 4 bei Jahresdaten,
das ist okay, 2,4 liegen wir noch ein bisschen drunter,
aber die Differenz ist jedenfalls nicht mehr so groß zum realistischen Bereich.
Das ist nämlich, also hier C ist 0,8,
Nü ist 2,4, schreibt mir die Gleichung wieder hin,
stopfe sie in den Computer rein und dann kriege ich
folgenden Verlauf
Das ist das, was ich mit Explodieren meine.
Hier ist das Bruttoinlandsprodukt wieder auf dem Gleichgewichtswert von 500 in den ersten drei Perioden,
ja, Investitionen, Konsum auf dem Gleichgewichtswert.
Da ist die anfängliche Veränderung der Schock im Konsum.
Das führt wieder zu einem Konsum von 460 in der Folgeperiode.
Das Bruttoinlandsprodukt steigt dann an auf einen Wert von 550.
Und jetzt legen die Investitionen hier so richtig los.
Sie sehen die Investitionen, die sind jetzt plötzlich sehr volatil und ja,
sie erhöhen sich um mehr als den Ausgangswert.
Also steigen von 90 auf 210 in Steigerung um über 100 Prozent.
Viel zu viel
Ja, wir haben gesehen, die Applitude der Investitionen,
die ist relativ groß. Wir hatten in den stilisierten Fakten beobachtet,
die liegt so, die Schwankungsbreite bei 14 bis 15 Prozent.
Da liegen wir hier mit diesem mehr als 100 Prozent viel,
viel zu hoch. Obwohl wir einen Lühwert genommen haben,
der jetzt einigermaßen im realistischen Bereich liegt.
Aber es stimmt überhaupt nicht mit den stilisierten Fakten überein.
Wie kommt es? Nun, es kommt dadurch,
dass wir hier eine Erhöhung des Bruttoinlandsprodukt um 50 Einheiten in der Periode minus eins haben.
Und das war dann ein relativ hohen,
oder sehr hohen Akzederationskoeffizient haben. Denn 2,4 mal 50,
naja, das macht uns dann eben gerade diese 120,
die dazukommen. Die Investitionen steigen jetzt um 120 Einheiten.
Ja, 90 plus 120 macht
Und das führt dazu,
dass jetzt das Bruttoinlandsprodukt in der nächsten Periode nicht etwa sinkt,
wie eben in dem Fall der monotonen Kontagent, sondern weiter steigt.
Zwar geht der Konsum hier zurück von 460 auf 450,
wie wir das zuvor auch hatten,
aber der Anstieg der Investitionen ist so stark,
dass er den Rückgang des Konsums locker kompensiert,
sodass das Proteinlandsprodukt weiter steigt.
Und zwar erhöht sich das jetzt nicht nur um
magere 50 Einheiten, sondern um weitere 110 Einheiten.
Veränderung von Y ist 110 Einheiten. Die Investitionen aber stellen darauf ab,
auf die Veränderung von Y. Also zu den Investitionen kommen jetzt
nochmal hinzu
2,4 mal 110.
144 kommen hinzu, aber der neue Wert ist dann eben um,
warum ist der um 144 größer? Achso, das sind die Investitionen,
also die autonomen Investitionen plus die Veränderung des Bruttoinlandsprodukts.
110 mal 2,4. Ach ja, genau, das ist 144.
Das kommt dann dazu zu den 2010 hier und dann ist
es 354 und damit steigt also das Bruttoinlandsprodukt weiter an.
Und der Konsum fängt auch wieder an zu steigen,
sehen Sie von 450 auf 538, weil er das Einkommen so stark zugenommen hat.
Mit diesen starken Zuwächsen sehen Sie,
wachsen wir hier sehr schnell ins Unermessliche und damit in den
völlig unrealistischen Bereich
Ja, also solche Wachstumsraten sind natürlich realistischerweise nicht vorstellbar.
Deshalb ist dieses explosive Verhalten also völlig unrealistisch. Das,
was wir hier hätten, wenn wir es grafisch veranschaulichen,
ist also hier so ein explosives Verhalten für alle drei Variablen.
Regime 4. Gehen wir zurück. Regime 4 war das Regime,
wo das Nü kleiner ist als eins. Also wir sind
im stabilen Bereich. Und das C ist ebenfalls so,
dass wir hier... Das C ist so,
dass wir im schwingenden Bereich sind.
Das kriegen wir hin,
wenn wir
C auf 0,8 setzen und das Nü jetzt nah,
aber etwas kleiner als eins wählen. Nü, gleich 0,96.
Dann setzen wir das hier in die Gleichungen ein.
Und könnt uns angucken, was passiert. Da ist wieder
unser anfänglicher Schock, der das anfängliche Gleichgewicht stört.
Der Konsum steigt auf 460, das Bruttoinlandsprodukt steigt um diese 50 Einheiten um 50 Einheiten.
Nun darauf reagiert der, der reagieren die Investitionen,
nämlich 0,96 war der Wert für Nü, ich war mal 50,
gibt wohl uns eine Zunahme der Investitionen um 48 Einheiten,
also von 90 auf
Dieser Zuwachs der Investitionen hier, der ist jetzt größer als das,
was ich an Konsum in der Periode 1 verliere,
sodass das Bruttoinlandsprodukt weiter steigt.
Auf 588. Damit steigt das Bruttoinlandsprodukt jetzt weiter, also um
38 Einheiten. Aber es steigt nicht mehr um mehr,
als es ursprünglich schon gestiegen ist. Hier war einmal ein
Anstieg um 50 Einheiten, jetzt ein Anstieg um 38 Einheiten.
Wozu führt dieser Anstieg um 38 Einheiten? Nun,
er führt dazu, dass die Investitionen weniger stark wachsen als zuvor.
Sehen Sie, die Investitionen haben doch die Eigenschaft.
Wir haben uns die induzierten Investitionen angucken
Das IT induziert gerade gleich nühmal Delta, YT minus 1 ist.
Also die Veränderung kann ich ja auf die Klammern verzichten.
Oder YT minus 1, minus YT minus 2.
Jetzt sehen Sie folgendes, die Veränderung von YT minus 1,
die war größer in der Periode.
Hier, was ist es? Periode 0,
wo es 50 war? Als in der Periode 1.
Hier ist die Veränderung von Y nur noch 38. Das heißt,
dieses Delta YT minus 1 ist gesunken in der Periode 1
gegenüber Periode 0, sodass die Investitionen niedriger werden.
Die Investitionen fallen jetzt also von 138 auf
Das ist der Sachverhalt, bei dem ich in mündlichen Prüfungen
immer feststelle, dass der nicht gut verstanden wird.
Das Bruttoinlandsprodukt steigt zwar weiter an, von 5088 auf 606,
also hier von 550 auf 588 auf 606,
aber die Investitionen können trotzdem hier fallen,
weil die Veränderung des Bruttoinlandsprodukts kleiner wird.
Und die Investitionen stellen eben ab auf die Veränderung des Bruttoinlandsprodukts.
Deshalb ist es möglich, dass hier die Investitionen sinken,
ja, die Investitionen gehen zurück von 138 auf
Im Augenblick ist es noch so, dass der Konsum jetzt größer ist,
also der ist gewachsen um 30 Einheiten,
der kompensiert also das Sinken der Investitionen, sodass das Bruttoinlandsprodukt noch einmal steigt,
aber es steigt jetzt nur noch um ungefähr 19 Einheiten, 18,9 hier.
In der nächsten Periode sehen wir,
dass der Konsum immer noch steigt,
weil ja das Bruttoinlandsprodukt gestiegen ist, von 5088 auf 606,
aber die Investitionen gehen weiter zurück,
denn jetzt ist die Veränderung der Investitionen nur noch 18,9 und
nicht mehr wie zuvor
50 und
Die Veränderung der Investitionen ist jetzt aber hier eine Veränderung um,
was lesen wir hier ab? Ungefähr, da steht es
ja nicht wahr, um 18,4 Einheiten. Um 18,4 Einheiten,
minus 18,4, der Konsum steigt nur an um 15 Einheiten.
Das heißt, der Netto-Effekt auf das Bruttoinlandsprodukt ist jetzt negativ,
sodass das Bruttoinhaltsprodukt um die Differenz, um diese drei Einheiten Differenz hier sinkt.
So ist es möglich, dass sich die Entwicklung jetzt hier umkehrt.
Hier haben wir jetzt also die 606, die sich vermindern zu 603.
Und wenn das Bruttoinlandsprodukt erst einmal anfängt zu sinken,
dann sinkt natürlich auch der Konsum in der nächsten Periode von 495 auf
492. Und die Investitionen gehen noch stärker zurück
Weil ja hier jetzt eine negative Differenz des Bruttoinlandsprodukts steht.
Das heißt, die sinken von 108 auf 86
und plötzlich sind wir in der Abschwungphase.
Ja, und so wirkt sich das jetzt hier aus.
Sie sehen trotz allem, werden diese Hochpunkte der Konjunktur 606,
kleiner im Zeitablauf. Hier ist der nächste Hochpunkt 581,
ist schon wieder näher dran am ursprünglichen Gleichgewichtswert.
Wenn man das weitermachen würde, würde man auch sehen,
dieser Tiefpunkt hier 406 ist hier relativ weit vom Gleichgewichtswert entfernt.
Der Nächste, der hier folgt, der wird wieder näher an den 500 dran liegen.
Das heißt, die Schwingungen insgesamt, ja,
die gehen wieder relativ, gehen wieder in Richtung Gleichgewichtswert.
Das heißt, wir kriegen ein solches Verhalten,
wenn wir das Modell dann simulieren
Zu konstanten Schwingungen, also hier sterben die Zyklen aus,
was nicht das ist, was wir in der Konjunktur beobachten,
zu konstanten Schwingungen kommen wir nur dann,
wenn das Nü gleich eins ist.
Und dann kriegen wir dieses Verhalten hier.
Das ist das, was unserer Apriori-Vorstellung von Konjunktur entspricht.
Aber das ist eben ein Spezialfall. Ein Fall,
der sehr unwahrscheinlich ist, weil wir da eben wirklich
die Eigenschaft brauchen, dass Nü exakt gleich eins ist.
Soviel für heute. Schönen Dank für Ihre Aufmerksamkeit.
Bis nächste Woche